2007年高考数学模拟考试卷二_5

2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国卷Ⅱ)文科数学（必修+选修Ⅰ）第Ⅰ卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n k n n P k C p p k n -=-=，，，…，一、选择题1．cos330=（ ）A ．12B ．12-C ．2D ．2-2．设集合{1234}{12}{24}U A B ===，，，，，，，，则()U A B = ð （ ） A ．{2}B ．{3}C ．{124}，，D ．{14}，3．函数sin y x =的一个单调增区间是 （ ） A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π⎪2⎝⎭， 4．下列四个数中最大的是（ ）A ．2(ln 2) B ．ln(ln 2) C ．D ．ln 25．不等式203x x ->+的解集是 （ ） A ．(32)-，B ．(2)+∞，C ．(3)(2)-∞-+∞ ，，D ．(2)(3)-∞-+∞ ，，6．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ= （ ）A ．23B ．13C ．13-D ．23-7．已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ）A ．6B ．4C ．2D ．28．已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．把函数e xy =的图像按向量(23)=，a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（ ） A ．e 2x+B ．e 2x-C ．2ex -D ．2ex +10．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．25种 D ．32种11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 （ ）A ．13B ．3C ．12D ．212．设12F F ，分别是双曲线2219y x +=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF = ，则12PF PF +=（ ）AB ．CD ．第Ⅱ卷（非选择题）本卷共10题，共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ．14．已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S = ．15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2．16．821(12)1x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 设等比数列{}n a 的公比1q <，前n 项和为n S ．已知34225a S S ==，，求{}n a 的通项公式． 18．（本小题满分12分）在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值．19．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =． （1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B ：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B ．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点．（1）证明EF ∥平面SAD ；（2）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小．21．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O为圆心的圆与直线4x =相切． （1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求PA PB的取值范围．22．（本小题满分12分） 已知函数321()(2)13f x ax bx b x =-+-+ 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且12012x x <<<<． （1）证明0a >；（2）若z =a +2b ,求z 的取值范围。

2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅱ）一、选择题本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．sin 210=A ．2 B ．2- C ．12 D ．12- 2．函数sin y x =的一个单调增区间是A ．()ππ-44，B ．3()ππ44，C ．()3ππ2，D ．3(2)ππ2，3．设复数z 满足12ii z+=，则z =A ．2i -+B ．2i --C ．2i -D ．2i + 4．下列四个数中最大的是A ．2(ln 2)B ．ln(ln 2)C ．ln ．ln 25．在ABC ∆中，已知D 是AB 边上一点，若2AD DB =，13CD CA CB λ=+，则λ=A ．23B ．13C ．13-D ．23-6．不等式2104x x ->-的解集是A ．(2,1)-B ．(2,)+∞C ．(2,1)(2,)-+∞D ．(,2)(1,)-∞-+∞7．已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等，则1AB 与侧面11ACC A 所成角的正弦值等于A ．2 D 8．已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为A ．3B ．2C ．1D ．129．把函数x y e =的图像按向量(2,3)a =平移，得到()y f x =的图像，则()f x = A ．32x e -+ B ．32x e +- C ．23x e -+ D ．23x e +- 10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有A ．40种B ．60种C ．100种D ．120种11．设12F F ，分别是双曲线2222x y a b -的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=且123AF AF =，则双曲线的离心率为A D 12．设F 为抛物线24y x =的焦点，,,ABC 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++= ，则FA FB FC ++=A ．9B ．6C ．4D ．3 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．281(12)()x x x+-的展开式中常数项为 ．（用数字作答）14．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1,)(0)N σσ>．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为 ．15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 2cm ． 16．已知数列的通项52n a n =-+，其前n 项和为n S ，则2limnn S n ∞=→ ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在ABC ∆中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ． （Ⅰ）求函数()y f x =的解析式和定义域； （Ⅱ）求y 的最大值．18．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =． （Ⅰ）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；（Ⅱ）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为AB ，SC 的中点． （Ⅰ）证明EF ∥平面SAD ；（Ⅱ）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小．20．（本小题满分12分）在直角坐标系xoy 中，以O为圆心的圆与直线4x =相切． （Ⅰ）求圆O 的方程；（Ⅱ）圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 使PA ，PO ，PB 成等比数列，求PA PB ⋅的取值范围． 21．（本小题满分12分）设数列{}n a 的首项1(01)a ∈，，132n n a a --=，2,3,4,n =.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；AEBCFSD（Ⅱ）设n b a =，证明1n n b b +<，其中n 为正整数． 22．（本小题满分12分） 已知函数3()f x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(,())M t f t 处的切线方程；（Ⅱ）设0a >，如果过点(,)a b 可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题 1．D 2．C 3．C 4．D5．A6．C7．A8．A9．C10．B 11．B 12．B二、填空题 13．42- 14．0.8 15．2+16．52-三、解答题17．解：（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π<<3． 应用正弦定理，知sin sin 4sin sin sin BC AC B x x A ===π3，2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭． 因为y AB BC AC =++，所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<< ⎪⎪3⎝⎭⎭，（2）因为14sin sin 2y x x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭5x x ππππ⎛⎫⎫=++<+< ⎪⎪6666⎝⎭⎭，所以，当x ππ+=62，即x π=3时，y取得最大值 18．解：（1）记0A 表示事件“取出的2件产品中无二等品”， 1A 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．则01A A ，互斥，且01A A A =+，故01()()P A P A A =+012122()()(1)C (1)1P A P A p p p p =+=-+-=-于是20.961p =-．解得120.20.2p p ==-，（舍去）． （2）ξ的可能取值为012，，．若该批产品共100件，由（1）知其二等品有1000.220⨯=件，故2802100C 316(0)C 495P ξ===．1180202100C C 160(1)C 495P ξ===．2202100C 19(2)C 495P ξ===． 所以ξ的分布列为19．解法一：（1）作FG DC ∥交SD 于点G ，则G 为SD 的中点．连结12AG FG CD ∥，，又CD AB ∥， 故FG AE AEFG∥，为平行四边形． EF AG ∥，又AG ⊂平面SAD EF ⊄，平面SAD ． 所以EF ∥平面SAD ．（2）不妨设2DC =，则42SD DG ADG ==，，△为等 腰直角三角形．取AG 中点H ，连结DH ，则DH AG ⊥． 又AB ⊥平面SAD ，所以AB DH ⊥，而AB AG A =，所以DH ⊥面AEF ．取EF 中点M ，连结MH ，则HM EF ⊥．AEBCFSD H G M连结DM ，则DM EF ⊥．故DMH ∠为二面角A EF D --的平面角tan DH DMH HM ∠=== 所以二面角A EF D --的大小为． 解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D xyz -．设(00)(00)A a S b ，，，，，，则(0)(00)B a a C a ，，，，00222a a b E a F ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，， 02b EF a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，．取SD 的中点002b G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，则02b AG a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，． EF AG EF AG AG =⊂，∥，平面SAD EF ⊄，平面SAD ，所以EF ∥平面SAD ．（2）不妨设(100)A ，，，则11(110)(010)(002)100122B C S E F ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，． EF 中点111111(101)0222222M MD EF MD EF MD EF ⎛⎫⎛⎫=---=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，⊥ 又1002EA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，0EA EF EA EF =，⊥， 所以向量MD 和EA 的夹角等于二面角A EF D --的平面角．3cos 3MD EA MD EA MD EA<>==，． 所以二面角A EF D --的大小为． 20．解：（1）依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线4x =的距离，即2r ==．得圆O 的方程为224x y +=．（2）不妨设1212(0)(0)A x B x x x <，，，，．由24x =即得 (20)(20)A B -，，，．设()P x y ，，由PA PO PB ，，成等比数列，得2222(2)x x y -+=+，即 222x y -=． (2)(2)PA PB x y x y =-----，，22242(1).x y y =-+=-由于点P 在圆O 内，故222242.x y x y ⎧+<⎪⎨-=⎪⎩，由此得21y <．所以PA PB 的取值范围为[20)-，． 21．解：（1）由132342n n a a n --==，，，，…，整理得 111(1)2n n a a --=--．又110a -≠，所以{1}n a -是首项为11a -，公比为12-的等比数列，得1111(1)2n n a a -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭（2）方法一： 由（1）可知302n a <<，故0n b >．那么，221n n b b +-2211222(32)(32)3332(32)229(1).4n n n n n n n n n n a a a a a a a a aa ++=-----⎛⎫⎛⎫=-⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-又由（1）知0n a >且1n a ≠，故2210n n b b +->，因此1n n b b n +<，为正整数．方法二：由（1）可知3012n n a a <<≠，，因为132nn a a +-=，所以1n n b a ++==由1n a ≠可得33(32)2n n n a a a -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即 223(32)2n n n n a a a a -⎛⎫-< ⎪⎝⎭两边开平方得32nn a a a -<．即 1n n b b n +<，为正整数．22．解：（1）求函数()f x 的导数；2()31x x f '=-． 曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-，即 23(31)2y t x t =--．（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--．于是，若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根． 记 32()23g t t at a b =-++， 则 2()66g t t at '=-6()t t a =-．当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表：由()g t 的单调性，当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时，方程()0g t =最多有一个实数根；当0a b +=时，解方程()0g t =得302at t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2at t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．综上，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即 ()a b f a -<<．。

2007年浙江省杭州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1. 已知集合M ={m|m =i n , n ∈N}，则下面属于M 的元素是（ ） A (1−i)+(1+i B (1−i)(1+i C1−i 1+iD (1−i)22. 已知函数f(x)=kcosx 的图象经过点P(π3, 1)，则函数图象在点P 的切线斜率等于（ ）A 1B √3C −√3D −13. 在(x2√x 3)8的展开式中的常数项是（ ）A 7B −7C 28D −284. 设P 为双曲线x 29−y 216=1上的一点且位在第一象限．若F 1、F 2为此双曲线的两个焦点，且且|PF 1|:|PF 2|=3:1，则△F 1PF 2的周长等于（ ） A 22 B 16 C 14 D 125. 已知a →、b →是非零向量且满足(a →−2b →)⊥a →，(b →−2a →)⊥b →，则a →与b →的夹角是（ ） A π6B π3C 2π3D 5π66. 如图，A ，B ，C 表示3种开关，设在某段时间内它们正常工作的概率是分别是0.9，0.8，0.7，如果系统中至少有1个开关能正常工作，那么该系统正常工作的概率是（ ）A 0.504B 0.496C 0.994D 0.067. 设l ，m ，n 是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中正确的是（ ） A 当n // α时，“n // β”是“α // β”成立的充要条件 B 当m ⊂α且n 是l 在α内的射影时，“m ⊥n ，”是“l ⊥m”的必要不充分条件 C 当m ⊂α时，“m ⊥β”是“α⊥β”充分不必要条件 D 当m ⊂α，且n 不在α内时，“n // α”是“m // n”的既不充分也不必要条件 8. 函数f(x)={x 2+bx +c,x ≤0,2,x >0,若f(−4)=f(0)，f(−2)=−2，则关于x 的方程f(x)=x 的解的个数为( )A 1B 2C 3D 49. 有两个同心圆，在外圆周上有不重合的六个点，在内圆周上有不重合的三个点，由这九个点确定的直线最少有（ ）A 36条B 33条C 21条D 18条10. 在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于点P ，一分钟后，其位置在Q 点，且∠POQ =90∘，再过二分钟后，该物体位于R 点，且∠QOR =60∘，则tan 2∠OPQ 的值等于（ ） A 49 B 2√39C 427 D 以上均不正确二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）11. 在直角坐标系xOy 中，设OB →=(−t, 2)，OC →=(−3, t)，则线段BC 中点M(x, y)的轨迹方程是________．12. 若ξ的分布列为：13. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m >1，a m−1+a m+1−a m 2=0，S 2m−1=78，则m =________．14. 设A ={x|2≤x ≤π, x ∈R}，定义在集合A 上的函数y =log a x(a >0且a ≠1)的最大值比最小值大1，则底数a 的值是________．15. 设n 为正整数，坐标平面上有一等腰三角形，它的三个顶点分别是(0, 2)、(1n, 0)、(−1n , 0)，设此三角形的外接圆直径长等于D n ，则lim n →∞D n=________． 16. 平面直角坐标系xOy 中，点P(x, y )满足条件：（|x|+|y|2−1 ） （|x|+|y|2−2 ） （|x|+|y|2−3 ）<0，则点P 所在区域的面积为________．17. 三棱锥S −ABC 中，∠SBA =∠SCA =90∘，△ABC 是斜边AB =a 的等腰直角三角形，则以下结论中：①异面直线SB 与AC 所成的角为90∘； ②直线SB ⊥平面ABC ； ③面SBC ⊥面SAC ；④点C 到平面SAB 的距离是12a ．其中正确结论的序号是________．三、解答题（共5小题，满分72分）18. （1）请写出一个各项均为实数且公比0<q <1的等比数列，使得其同时满足a 1+a 6=11且a 3⋅a 4=329；（2）在符合（1）条件的数列中，能否找到一正偶数m ，使得a m ，a m 2，−19这三个数依次成等差数列？若能，求出这个m 的值； 若不能，请说明理由． 19. 设函数f(x)=2cosx (cosx +√3sinx)−1，x ∈R （1）求f(x) 最小正周期T ； （2）求 f(x) 单调递增区间；（3）设点P1(x1, y1)，P2(x2, y2)，…，P n(x n, y n) (n∈N∗)在函数f(x)的图象上，且满足条件：x1=π6，x n+1−x n=T2，求N n=y1+y2+...+y n的值．20. 已知四棱锥P−ABCD的底面是边长为a的菱形，∠ABC=120∘，又PC⊥平面ABCD，PC=a，E是PA的中点．（1）求证：平面EBD⊥平面ABCD；（2）求直线PB与直线DE所成的角的余弦值；（3）设二面角A−BE−D的平面角为θ，求cosθ的值．21. 已知直线l:y=kx+k+1，抛物线C:y2=4x，定点M(1, 1)．（1）当直线l经过抛物线焦点F时，求点M关于直线l的对称点N的坐标，并判断点N是否在抛物线C上；（2）当k(k≠0)变化且直线l与抛物线C有公共点时，设点P(a, 1)关于直线l的对称点为Q(x0, y0)，求x0关于k的函数关系式x0=f(k)；若P与M重合时，求x0的取值范围．22. 已知函数f(x)=x+tx(t>0)和点P(1, 0)，过点P作曲线y=f(x)的两条切线PM、PN，切点分别为M、N．（1）设|MN|=g(t)，试求函数g(t)的表达式；（2）是否存在t，使得M、N与A(0, 1)三点共线．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（3）在（1）的条件下，若对任意的正整数n，在区间[2,n+64n]内总存在m+1个实数a1，a2，…，a m，a m+1，使得不等式g(a1)+g(a2)+...+g(a m)<g(a m+1)成立，求m的最大值．2007年浙江省杭州市高考数学二模试卷（理科）答案1. C2. C3. A4. A5. B6. C7. C8. C9. C10. C11. 2x+2y+1=012. q，,pq13. 2014. π2或2π15. 2 16. 2417. ①②③④18. 解：（1）由条件可知a 1，a 6应该是方程x 2−11x +329=0的两个根，解得{a 1=13a 6=323或{a 1=323a 6=13，继而得到q =2或q =12， 所以符合条件的等比数列可以是a n =13⋅2n−1（公比q >1舍去）， 或a n =323⋅(12)n−1=13⋅26−n (n ∈N ∗)，符合条件（2）对于a n =323⋅(12)n−1=13⋅26−n (3)，由2a m 2=a m −19，解得m =6．19. 解：函数f(x)=2cosx (cosx +√3sinx)−1=√3sin2x +cos2x =2sin(2x +π6)(1)T =2π2=π．（2）由2kp −π2£2x +π6£2kp +π2，得：kp −π3£x £kp +π6(k ÎZ)， f(x)单调递增区间是[kp −π3, kp +π6](k ÎZ)． （3）∵ x 1=π6，x n+1−x n =T 2，∴ 当n 为奇数时P n 位于图象最高处，当n 为偶数时P n 位于图象最低处， ∴ 当n 为奇数时，N n =2， 当n 为偶数时，N n =0．20. 解：由PC ⊥平面ABCD ，所以以C 为原点，CA 所在直线为y 轴，CP 所在直线为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系．∵ ABCD 的底面是边长为a 的菱形，∠ABC =120∘，PC =a ，E 是PA 的中点．所以C(0,0,0),A(0,√3a ，0)，B(−12a ，√32a ，0)，D(12a,√32a,0)，P(0, 0, a)，∵ E 是PA 的中点，∴ E(0,√32a ，12a)．（1）设AC 和BD 交于点Q ，则Q(0, √32a, 0)， ∴ QE →=（0, 0, 12a ,），CP →=2QE →，PC ⊥平面ABCD ，∴ QP ⊥平面ABCD ，平面EBD ⊥平面ABCD ；（2）∵ PB →⋅QE →=(−12a, √32a, −a)⋅（−12a, 0, 12a ,）=−14a 2，|PB →|=√2a ，|QE →|=√22a ， ∴ cos <PB →，QE →>=−14a 2√2×√22a 2=−14；故直线PB 与直线DE 所成的角的余弦值为14 -（3）设平面ABE 的法向量为p =(x, y, z)，可得p =(−√3, 1, √3)， 又AC ⊥BC ，得AC ⊥面BDE ，又CA →=(0, √3a, 0)， ∴ 取平面BDE 的法向量q =(0, √3, 0)， ∴ p ⋅q =√3，|p|=√7，|q|=√3， ∴ cosq =√77． 21. 解：（1）由焦点F(1, 0)在l 上，得k =−12，∴ l ：y =−12x +12 设点N(m, n)则有：{(n−1m−1)(−12)=−1m+12+2n+12=1， 解得{m =15n =−35，∴ N(15，−35) ∵ 45≠(−35)2， N 点不在抛物线C 上．（2）把直线方程x =yk −1k −1(k ≠0)代入抛物线方程得：ky 2−4y +4k +4=0， ∵ 相交，∴ △=16(−k 2−k +1)≥0， 解得−1−√52≤k ≤−1+√52且k ≠0. 由对称得{y 0−1x 0−a⋅k =−1y 0+12=k x 0+a 2+k +1解得x0=a(1−k2)−2k2k2+1(−1+√52≤k≤−1+√52，且k≠0)．当P与M重合时，a=1∴ f(k)=x0=1−3k2k2+1=−3+4k2+1(−1+√52≤k≤−1+√52，且k≠0)，∵ 函数x0=f(x)(k∈R)是偶函数，且k>0时单调递减．∴ 当k=−1−√52时，(x0)min=−5+2√55，lim k→0x0=1，x0∈[−5+2√55,1)22. 解：（1）设M、N两点的横坐标分别为x1、x2，∵ f′(x)=1−tx2，∴ 切线PM的方程为：y−(x1+tx1)=(1−tx12)(x−x1)，又∵ 切线PM过点P(1, 0)，∴ 有0−(x1+tx1)=(1−tx12)(1−x1)，即x12+2tx1−t=0，①同理，由切线PN也过点P(1, 0)，得x22+2tx2−t=0．②由①、②，可得x1，x2是方程x2+2tx−t=0的两根，∴ {x1+x2=−2t⋅(∗)|MN|=√(x1−x2)2+(x1+tx1−x2−tx2)2=√[(x1+x2)2−4x1x2][1+(1−tx1x2)2]，把(∗)式代入，得|MN|=√20t2+20t，因此，函数g(t)的表达式为g(t)=√20t2+20t(t>0)．（2）当点M、N与A共线时，k MA=k NA，∴ x1+tx1−1x1−0=x2+tx2−1x2−0，即x12+t−x1x12=x22+t−x2x22，化简，得(x2−x1)[t(x2+x1)−x1x2]=0∵ x1≠x2，∴ t(x2+x1)=x2x1．③把(∗)式代入③，解得t=12．∴ 存在t，使得点M、N与A三点共线，且t=12．（3）知g(t)在区间[2,n+64n]上为增函数，∴ g(2)≤g(a i)≤g(n+64n)(i=1, 2,,m+1)，则m⋅g(2)≤g(a1)+g(a2)++g(a m)≤m⋅g(n+64n)．依题意，不等式m⋅g(2)<g(n+64n)对一切的正整数n恒成立，m√20⋅22+20⋅2<√20(n+64n )2+20(n+64n)，即m<√16[(n+64n)2+(n+64n)]对一切的正整数n恒成立．∵ n+64n ≥16，∴ √16[(n+64n)2+(n+64n)]≥√16[162+16]=√1363，∴ m<√1363．由于m为正整数，∴ m≤6．又当m=6时，存在a1=a2=a m=2，a m+1=16，对所有的n满足条件．因此，m的最大值为6．。

2007年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）数学(理)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分) 1．sin 210= （ ） A ．32B ．32-C ．12D ．12-2．函数sin y x =的一个单调增区间是（ ）A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，3．设复数z 满足12ii z+=，则z =（ ） A ．2i -+B ．2i --C ．2i -D ．2i +4．下列四个数中最大的是（ ） A ．2(ln 2)B ．ln(ln 2)C ．ln 2D ．ln 25．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ）A ．23B ．13C ．13-D ．23-6．不等式2104x x ->-的解集是（ ） A ．(21)-， B ．(2)+∞， C ．(21)(2)-+∞ ，， D ．(2)(1)-∞-+∞ ，，7．已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等，则1AB 与侧面11ACC A 所成角的正弦值等于（ ） A ．64B ．104C ．22D ．328．已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．129．把函数e x y =的图像按向量(23)=，a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（ ） A ．3e 2x -+B ．3e 2x +-C ．2e 3x -+D ．2e 3x +-10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A ．40种B ．60种C ．100种D ．120种11．设12F F ，分别是双曲线2222x y a b-的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠= 且123AF AF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．52B ．102C ．152D ．512．设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0，则FA FB FC ++= （ ）A ．9B ．6C ．4D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．821(12)x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．（用数字作答）14．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1)(0)N σσ>，．若ξ在(01)，内取值的概率为0.4，则ξ在(02)，内取值的概率为 ．15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2． 16．已知数列的通项52n a n =-+，其前n 项和为n S ，则2limnn S n ∞=→ ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在ABC△中，已知内角Aπ=3，边23BC=．设内角B x=，周长为y．（1）求函数()y f x=的解析式和定义域；（2）求y的最大值．18．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A=．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD-中，底面A B C D为正方形，侧棱SD⊥底面A B C D E F，，分别为AB SC，的中点．（1）证明EF∥平面SAD；（2）设2SD DC=，求二面角A EF D--的大小．A EB CF SD20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线34x y -=相切． （1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求PA PB的取值范围．21．（本小题满分12分）设数列{}n a 的首项113(01)2342n n a a a n --∈==，，，，，，…． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设32n n n b a a =-，证明1n n b b +<，其中n 为正整数．22．（本小题满分12分） 已知函数3()f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．2007年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）数学(理)试题答案解析: 一、选择题 1.答案：D解析：sin2100 =1sin 302-︒=-，选D 。

2007年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）数学(文)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分) 1．cos330= （ ）A ．12B ．12-C ．32D ．32-2．设集合{1234}{12}{24}U A B ===，，，，，，，，则()U A B = ð（ ） A ．{2}B ．{3}C ．{124}，，D ．{14}，3．函数sin y x =的一个单调增区间是（ ）A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，4．下列四个数中最大的是（ ） A ．2(ln 2) B ．ln(ln 2)C ．ln 2D ．ln 25．不等式203x x ->+的解集是（ ） A ．(32)-， B ．(2)+∞， C ．(3)(2)-∞-+∞ ，， D ．(2)(3)-∞-+∞ ，，6．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ）A ．23B ．13C ．13-D ．23-7．已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ） A ．36B ．34C ．22D ．328．已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．把函数e x y =的图像按向量(23)=，a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（ ） A ．e 2x +B ．e 2x -C ．2e x -D ．2e x +10．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ） A ．10种B ．20种C ．25种D ．32种11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A ．13B ．33C ．12D ．3212．设12F F ，分别是双曲线2219y x +=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF =，则12PF PF += （ ）A ．10B ．210C ．5D ．25二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ．14．已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S = ．15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2．16．821(12)1x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）设等比数列{}n a 的公比1q <，前n 项和为n S ．已知34225a S S ==，，求{}n a 的通项公式．18．（本小题满分12分）在ABC△中，已知内角Aπ=3，边23BC=．设内角B x=，周长为y．（1）求函数()y f x=的解析式和定义域；（2）求y的最大值．19．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A=．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD-中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD E F，，分别为AB SC，的中点．（1）证明EF∥平面SAD；（2）设2SD DC=，求二面角A EF D--的大小．A EB CF SD21．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线：43=-y x 相切 （1）求圆O 的方程（2）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|P A |、|PO |、|PB |成等比数列，求PA PB ∙的取值范围。

2007年高考数学综合模拟试卷（二）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共分12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、（理科做）定义运算a c ad bcb d =-，复数z 满足11z ii i=+，则复数在的模为 A．1 BCD．1-（文科做）已知U 是全集，M 、N 是U 的两个子集，若M N U ≠ ，M N φ≠ ，则下列选项中正确的是A ．U C M N =B ．UC N M = C ．()()U U C M C N φ=D ． ()()U U C M C N U = 2、若条件p ：14x +≤，条件q ：23x <<，则q ⌝是p ⌝的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分条件也非必要条件3、已知,x y 满足约束条件50,0,3,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2z x y =+的最小值为A ．-3B ．3C ．-5D ． 5 4、（理科做）已知在函数()3xf x Rπ=图像上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在222x y R +=上，则()f x 的最小正周期为A ．1B ．2C ．3D ． 4 （文科做）若函数()3sin()f x x ωϕ=+对任意实数x 都有()()66f x f x ππ+=-，则()6f π=A ．0B ．3C ．-3D ． 3或-35、在OAB ∆中，OA a = ，OB b = ，OD 是AB 边上的高，若AD AB λ=，则实数λ等于A ．2()a b a a b⋅-- B ．2()a a b a b⋅-- C ．()a b a a b ⋅-- D ．()a ab a b⋅--6、（理科做）已知8a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为1 120，其中实数a 式常数，则展开式中各项系数的和为A ．82B ．83C ．1或83D ．1或82 （文科做）()()()()()543215410110151x x x x x -+-+-+-+-等于A ．5x B ．51x - C ．51x + D ．5(1)1x --7、设双曲线22169144x y -=的右焦点为2F ，M 是双曲线上任意一点，点A 的坐标为()9,2，则235MA MF +的最小值为 A ．9 B ．365 C ．425 D ．5458、已知方程()()22220x mx x nx -+-+=的四个根组成一个首项为12的等比数列，则m n -=A ．1B ．32 C ．52 D ．929、（理科做）在正三棱锥S ABC -中，M ，N 分别是棱SC 、BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱SA =，则正三棱锥S ABC -外接球的表面积是A ．12πB ．32πC ．36πD ．48π （文科做）已知棱长为a 的正四面体ABCD 右内切球O ，经过该棱锥A BCD -的中截面为M ，则O 到平面M 的距离为A ．4a B ．6a C ．12a D ．8a 10、（理科做）设()f x 为可导函数，且满足()()12lim12x f x f x x→--=-，则过曲线()y f x =上点()()1,1f 处的切线率为A ．2B ．-1C ．1D ．-2（文科做）垂直于直线2610x y -+=，且与曲线3231y x x =+-相切的直线方程是 A ．320x y ++= B ．320x y -+= C ．320x y +-= D ．320x y --= 11、（理科做）设随机变量的分布列为下表所示且 1.6E ξ=，则a b -=A ．0.2B ．0.1C ．-0.2D ．-0.4（文科做）老师为研究男女同学数学学习的差异情况，对某班50名同学（其中男同学30名，女同学20名）采取分层抽样的方法，抽取一个样本容量为10的样本进行研究，某女同学甲被抽到的概率为A ．150B ．110C ．15D ．1412、如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧 AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数()d f l =的图像大致是第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2007年高考数学模拟考试卷二第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：(本大题共15小题，每小题4分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设双曲线12222=-by a x ,(a>0,b>0)的一条准线与两条渐近线交于A ，B 两点，相应焦点为F ，若以AB 为直径的圆过点F ，则双曲线离心率为 ( ) (A)2(B)3(C)2(D)332 2．要使(log 23)x－(log 53)x≥(log 53)－y－(log 53)－y成立，则有 ( ) (A)0≤-y x(B)0≤+y x(C)0≥-y x(D)0≥+y x 3．设0cos sin ,cos sin 33<++=αααα且t ,则t 的取值范围是( ) (A))0,2[-(B)]2,2[-(C)(]2,1()0,1⋃-(D)),3()0,3(+∞⋃-4．设x,a 1,a 2,y 成等差数列，x,b 1,b 2,y 成等比数列，则21221)(b b a a +的取值范围是 ( )(A))4[∞+，(B)),4[]0,(+∞⋃-∞ (C))4,0[ (D)),4[)4,(+∞⋃--∞5．已知数列{a n }的通项a n =)(9998N n n n ∈--，则数列{a n }的前30项中最大项是 ( )(A)30a(B)10a(C) 9a(D) 1a 6．不等式)0(222>+<-a a x x a 的解集是( )(A)a x ax ≤≤-2|{ ｝ (B)}54,0|{a x x x -<>或 (C)}540|{ax a a x x -<≤-≤≤或 (D)}0|{a x x ≤≤ 7．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 是对角线A 1C 上的点，且PQ=2a，则三棱锥P －BDQ 的体积为( ) (A)3363a (B)3183a (C)3243a (D)不确定8．函数x b x a y c o s si n -=的一条对称轴方程是4π=x ,则直线0=+-c by ax 的倾斜角为 ( )(A)4π (B)43π (C)3π (D)32π9．已知P 为椭圆1204522=+y x 在第三象限内一点，且它与两焦点连线互相垂直。

2007年河南省新乡市高三数学理科模拟考试卷二第I 卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分） 1.复数12z i=+的虚部与实部之和为 A.13 B.1 C.15 D.35 2.下列函数中最小正周期最小的函数是A.()|sin |f x x =B.()tan f x x =C.()|tan |f x x =D.()|sin 2|f x x = 3.二项式331()(2)x x x--的展开式中4x 的系数为A.9B.16C.-9D.-164.已知直线l 和平面M 、N ，则M ∥N 的一个充分不必要条件是 A. l ∥M 且l ∥N B. l ⊥M 且l ⊥N C.l ⊂M 且l ∥N D. l ∥M 且l ⊥N5.已知11tan(),tan(),tan()3424ππαβαβ-=+=+=则A.15B.15-C.17D.17-6.函数311()1(0),(1)3,f x ax a b f b bx a=+->-=-+、满足则的最小值为 A.1B.2C.12 D.327.如图所示，在两个圆盘中，指针落在每个数所在扇形区域的机会相等，那么两个指针落在区域内数字之和为奇数的概率为A.23B.13C.1736D.128.空间四点P 、A 、B 、C 共面且满足12OP=2(OA+OB)+OC (>0),+a b a b a b ⋅、则的最小值为A.B.6+C.D.169.已知抛物线22y x =,若将其按向量(,)a t t =平移后过点(1,1)，则t 的值为 A.-1或1B.1C.-1D.不存在10.设P 是曲线2ln y x x =-上一点，则P 到直线2y x =-的最短距离为A.1 11.过顶点在原点且焦点在x 轴正半轴的抛物线的焦点F 作一直线交于抛物线于A 、B 两点，若AF 、BF 的长分别为m 、n ，且m+n=4mn,则抛物线的方程为 A.24y x =B.22y x =C.2y x =D.212y x =12.在5位数abcde 中，a 、b 、c 、d 、e 只能取1、3、4之一，且要求a+b+c+d+e>12，则这样的五位数共有A.182个B.172个C.162个D.152个第II 卷二、填空题（共4小题，每小题4分，共计16分）13.若12:(1)2:280l x m y m l mx y ++=-++=与的图像是两条既不平行又不垂直的直线，则m 的范围是______________14.已知球心为O 的球的球面上A 、B 两点之间的球面距离为1，该球表面积和体积之比为π，则∠AOB______________15.设{}n a 是公比为q 的等比数列，其前n 项积为n T ，并且满足条件9919910010011,10,01a a a a a ->-><-,给出下列结论：①0<q<1；②198T <1；③991011a a ⋅<；④使n T <1成立的最小自然数n=199.其中正确的结论的编号是______________16.已知双曲线22221x y a b -=和椭圆22221(0,0)x y a m b m b+=>>>的离心率分别为12e e 、，若222a b m +=,则12e e ⋅=______________三、解答题（共6小题，计74分）17.（本题满分12分）△ABC 中三边分别为a 、b 、c,∠A ≠∠B,()sin cos )a b C B A -⋅=-. ( I )求∠C ；(II)求ABC S △的取值范围.甲、乙两队进行比赛（赛制为五场三胜），分主客场，第一、二、五三场比赛在甲队主场进行，其余两场在乙队主场进行.已知甲队在自己的主场获胜的概率为35，在对方主场获胜的概率为12（每场必须分出胜负，若一队先取得三场比赛的胜利，则比赛结束）. ( I )求乙队3:1获胜的概率； (II)记乙队的胜场数为ξ，求E ξ.19.（本题满分12分）直三棱柱111111ABC-A B C ,90,AA =AC=BC=2,O AA B B C ∠=为面的中心. ( I )证明：CO ⊥面1ABC ;(II)若E 为1BB 中点，D 为11A B 上点满足∠AED=90°，求四面体A-DEC 体积.已知函数2()22ln(1)f x x x x =--- ( I )求()f x 单调区间;(II)当1[1,1] ()x e f x m e∈++<时，恒成立，求实数m 的范围.21.（本题满分12分）已知椭圆2212x y +=，P 为椭圆外一点，满足过点P 作椭圆的两条切线互相垂直，Q 为椭圆上一点，设Q 到椭圆两焦点的距离分别为12d d 、. ( I )求P 点的轨迹方程； (II)若过Q 作直线l ，l 斜率为k ，|k|≤1，原点O 到l 的距离为d ，并且123d d d 、、满足l 交点P 的轨迹于C 点，且C 在x 轴上方，求△OCQ 的面积.22.（本题满分14分）设{}n a 是正数数列，其前n 项和为n S ，满足对任意n N +∈,均有12n a a + ( I )求n a 的通项公式; (II)设3112223112T ()()n n n n n a a a a a aa a a a a a ++=+++++++，比较n T -2n 和411212nn n +-+的大小.[参考答案] http://一、选择题 1~4 CDAB 5~8 CBDB 9~12 ACCD二、填空题 13.22(,2)(2,)(,1)(1,)33-∞----+∞ 14.3π15.①③④ 16.1 三、解答题17.(I) ()sin cos )2(cos cos )()sin cos cos cos()cos()22 sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin 0cos (cos cos )a b C B A R B A a bC B A B C A C R RA CBC B C B C A C A C C B A A B -=-=-⇔-=-=+-+⇔⋅-⋅=⋅-⋅-⋅+⋅⇔=-解：、2(0,), cos cos ,cos 0,211(II)2sin 2sin 2sin sin 224sin sin 4sin sin 4sin cos 2sin 22(0,),0sin 212sin 2(0,2)2ABC ABC A B B A C C S AC BC R B R A R A B A B B B B B B B B S ππππ∈≠∴≠===⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⎛⎫=⋅⋅=-== ⎪⎝⎭∈∴<<∴∈∴B△△且则只有即的()02.取值范围是，1221218.(I )A 331314)[1)(1)(1)]55252253:10,1,2,33319(0)55250133(1)[1)255C P P C ξξξ∴⋅⋅-⋅-+-⋅===⋅⋅===⋅⋅-⋅解：记“乙队3:1获胜”为事件，则第四场比赛必为乙胜，且前三场乙队取得两场胜利1 P(A)=(1-（2 答：乙队获胜的概率(II)可取 （2222112213121()(1)]2521003211313311111(2)[(1)()(1)(1)(1)]552252552250019497(3)1(0)(1)(2)500250921111979090123501005002505P C C P P P P E ξξξξξξ+⋅-===-⋅⋅+⋅-+⋅⋅-⋅⋅⋅-===-=-=-===∴=⋅+⋅+⋅+⋅= 00E ξ909答:的值为50011111111111119.(I),90,', ',',' 'ABC A B C C G AB O BC ABB A ACB OG ACB CG CO ACB CG AB OC ABOO OO AC AC CBB C OO CC B B CO CO CC B B ∠=⊥⊥∴⊥⊥⊥∴⊥证明：－是直三棱柱且设为中点，为中点显然面面面为在面上的射影 又 由三垂线定理得 连接易知又面 面又为在面111'BB C C CO BC ∴⊥上的射影 而四边形是正方形1122222222211122221122222(II),4,19)19049)1CO BC CO ABC A D x AD AA A D x AE AB BE DE B D B E x AED AD AE ED x x x ⊥∴⊥==+=+=+=+==+=-+∠=∴=++=++ 由三垂线定理得面 设则,即解得：11322113334AED A DEC C ADE AED DE S AE DE C ADE CG V V CG S --=∴==⋅⋅=⋅⋅=∴==⋅⋅=⋅ 显然到面的距离即2221(I ){|1},'()22'()0,(1)21112'()0;2'()0()(1,2)1II 121()(1)2ln(1)1(1)2ln x x f x x f x x x x x x f x x f x f x e f x x x ef e e >=--=-=∴=--<<<>>∞+<<+=----+=-20.解：定义域 令则 当时，当时， 故在时递减，在(2,+)上递增()，而 ()2222222222111113,(1)2ln 1111()4(0) '()10()(0,)15 ()(5)5405131()33,e e f e e e eg x x x g x g x x xe g e g ef x e ee -=-+=--=+=-->∴=+>+∞>∴>=-->->+∴≤-∈-+∞ 令即在上递增故 故m00002222222000002220000(I )(,),P ()12()2,(21)4()2()202)4(21)[2()2]0P x y y k x x y x y x kx kx y k x y kx kx y kx y kx k y kx =-++=+-+=++-+--=--+--=221.解：设当过作切线且斜率不为0且存在时，是切线,代入，得即 直线与椭圆相切，故△=16k (化简得2220000122220120020222212(2)210,11132P (1)33()xk x y ky k k y k k xy x P x y Px y II d d --+-=-∴=-∴=-∴+=-±±+=+==，设为该方程的两根两切线垂直 当过作切线的斜率为0时，知另一条切线斜率不存在 易知为此时 综上点轨迹为 由焦半径公式得43(d l y k x =∴=-+ 设方程为(22211320011||122d k k kl y x x y x xC x COCQ d CQ∴==∴=-≤∴=-∴=-++=-=∴=∴∴∴=⋅=⨯=或－7 || 1方程为得点在轴上方△111122222122.(I)122222221)222(1)42(II)(nn nn nnn n n nnn a aaS Sn S SSnS n a S S n n naT---===+∴=-+≥=-+=∴=≥-=-+∴=∴=-=--=-=解：取得当时，易知111111424222)()(11)4242212111122()221212121411112()21212211110;20;235n n nk kk k kk knkn n na k ka a k k k kn nk k nnT nn nn n+===+=-++=+=++-+--+⎛⎫=+-=+-⎪-++⎝⎭+=---=-++==->=->∑∑∑∑△1当时，△当时，△=41212(1)23 2(11)11112122 110.2124111222124113 2212n n nn n n n nnn nn nn n n n C C C C C n n nnnn T nnnn T nn-⋅≥=+=++++>++=++≥++=+∴=-<++=->-++≥-<-+当时，△综上所述，当或时，当时，。

页眉内容阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。

——培根2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国卷Ⅱ)文科数学（必修+选修Ⅰ）第Ⅰ卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R = 如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(012)k kn k n n P k C p p k n -=-=，，，…，一、选择题 1．cos330=（ ）A ．12 B ．12- CD．2．设集合{1234}{12}{24}U A B ===，，，，，，，，则()U A B =ð（ ）A ．{2}B ．{3}C ．{124}，，D ．{14}， 3．函数sin y x =的一个单调增区间是（ ）A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭， B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭， C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭， D ．32π⎛⎫π⎪2⎝⎭， 4．下列四个数中最大的是（ ）A ．2(ln 2)B ．ln(ln 2)C．lnD ．ln 25．不等式203x x ->+的解集是（ ） A ．(32)-， B ．(2)+∞， C ．(3)(2)-∞-+∞，， D ．(2)(3)-∞-+∞，， 6．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ） A ．23 B ．13 C ．13- D ．23-7．已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ）ABC．2D8．已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．把函数e xy =的图像按向量(23)=，a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（ ） A ．e 2x+ B ．e 2x- C ．2e x - D ．2e x +10．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ）A ．10种B ．20种C ．25种D ．32种 11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A ．13BC ．12D12．设12F F ，分别是双曲线2219y x +=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF =，则12PF PF +=（ ）AB．CD．第Ⅱ卷（非选择题）本卷共10题，共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ．14．已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S = ． 15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2．16．821(12)1x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）设等比数列{}n a 的公比1q <，前n 项和为n S ．已知34225a S S ==，，求{}n a 的通项公式．18．（本小题满分12分）在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．19．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =． （1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B ：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B ．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中， 底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点．（1）证明EF ∥平面SAD ；（2）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小．21．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线4x =相切．（1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求PA PB 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数321()(2)13f x ax bx b x =-+-+在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且12012x x <<<<． （1）证明0a >； （2）若z =a +2b ,求z 的取值范围。

2007年江苏省苏州某校高考数学二模试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1. 集合M ={x|x =kπ2+π4，k ∈Z}，N ={x|x =kπ4+π2，k ∈Z}，则（ ） A M =N B M ⊃N C M ⊂N D M ∩N =⌀2. 已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2=( )A −4B −6C −8D −103. 甲、乙两同学投掷一枚骰子，用字母p 、q 分别表示两人各投掷一次的点数．满足关于x 的方程x 2+px +q =0有实数解的概率为（ ）A 1936B 736C 536D 136 4. 给出下列函数 ①y =x −x 3，②y =xsinx +cosx ，③y =sinxcosx ，④y =2x +2−x ，其中是偶函数的有（ ）A 1个B 2个C 3个D 4个5. 若函数y =log a (x +b)(a >0, a ≠1)的图象过两点(−1, 0)和(0, 1)，则（ ）A a =2，b =2B a =3，b =2C a =2，b =1D a =2，b =36. 把函数y =cos2x +3的图象沿向量a →平移后，得到函数y =sin(2x +π3)的图象，则向量a →的坐标是（ ）A (−π6, −3)B (π6, 3)C (−π12, 3)D (π12, −3) 7. 球面上有三点，其中任意两点的球面距离都等于球的大圆周长的16，经过这三点的小圆的周长为4π，则这个球的表面积为（ ）A 12πB 24πC 48πD 64π8. 过点M(1, 2)的直线l 将圆(x −2)2+y 2=9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l 的方程是（ ）A x =1B y =1C x −y +1=0D x −2y +3=09. 程序框图如下：如果上述程序运行的结果为S =11880，那么判断框中应填入（ ）A k >11B k >10C k <11D k <910. 已知A 箱内有红球1个和白球(n +1)个，B 箱内有白球(n −1)个(n ∈N ，且n ≥2)，现随意从A 箱中取出3个球放入B 箱，将B 箱中的球充分搅匀后，再从中随意取出3个球放入A 箱，则红球由A 箱移到B 箱，再返回到A 箱的概率等于（ ）A 2n+1B 3n+2C 9(n+2)2D 1(n+1)2二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11. 某地区有A 、B 、C 三家养鸡场，养鸡的数量分别是12000、8000、4000只，为了预防禽流感，现用合适的抽样方法从中抽取一个容量为120只的样本检查疫情，则应从A 、B 、C 三家养鸡场分别抽取的个体数为________．12. 已知向量a →、b →的夹角为45∘，且|a →|=4，(12a →+b →)•(2a →−3b →)=12，则|b →|=________；b →在a →上的投影等于________．13. 已知三个不等式：①ab >0；②−c a <−d b ；③bc >ad ．以其中两个作为条件，余下一个作为结论组成命题，则真命题的个数为________．14. 若曲线y =x 4+x 在P 点处的切线与直线3x +y =0平行，则P 点的坐标是________．15. 已知x ，y 满足{x −y ≤12x +y ≤4x ≥1，则函数z =x +3y 的最大值是________．16. 定义在R 上的函数f(x)的图象关于点(−34，0)或中心对称，对任意的实数x 均有f(x)=−f(x +32)且f(−1)=1，f(0)=−2，则f(1)+f(2)+...+f(2009)的值为________．三、解答题（共5小题，满分70分）17. 记函数f(x)=√2−x+3x+1的定义域为A ，g(x)=lg[(x −a −1)(2a −x)]，(a <1)的定义域为B ．若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．18. 已知函数f(x)=2cosxsin(x +π3)−√3sin 2x +sinxcosx （1）求函数f(x)的最小正周期；（2）若x ∈[−π2，π2]时，求f(x)的单调递减区间． 19. F 1、F 2是椭圆x 24+y 23=1的左、右焦点．直线x −my +1=0交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2内切圆半径的最大值为________．20. 如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，ABCD 是正方形，ABEF 是矩形，G 是线段EF 的中点，且B 点在平面AGC 内的射影在CG 上．（1）求证：AG ⊥平面BGC ；（2）求二面角B −AC −G 的大小．21. 数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2a n −3n(n ∈N ∗)（1）若数列{a n +c}成等比数列，求常数c 值；（2）求数列{a n }的通项公式a n（3）数列{a n }中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．2007年江苏省苏州某校高考数学二模试卷答案1. C2. B3. A4. B5. A6. D7. C8. D9. D10. C11. 60，40，2012. √2,113. 314. (−1, 0)15. 716. 217. 解：由2−x+3x+1≥0得：x−1x+1≥0，解得x <−1或x ≥1，即A =(−∞, −1)∪[1, +∞)由(x −a −1)(2a −x)>0得：(x −a −1)(x −2a)<0由a <1得a +1>2a ，∴ B =(2a, a +1)∵ B ⊆A ，∴ 2a ≥1或a +1≤−1即a ≥12或a ≤−2，而a <1，∴ 12≤a <1或a ≤−2 故当B ⊆A 时，实数a 的取值范围是(−∞, −2]∪[12,1) 18. 解：（1）f(x)=2cosx(12sinx +√32cosx)−√3sin 2x +sinxcosx=2sinxcosx +√3(cos 2x −sin 2x)=sin2x +√3cos2x=2sin(2x +π3) ∴ T =π（2）f(x)的减区间为2kπ+π2≤2x +π3≤2kπ+3π2，kπ+π12≤x ≤kπ+7π12 又∵ x ∈[−π2，−π12]，∴ −π2≤x ≤−5π12或π12≤x ≤π2即f(x)在[−π2，−5π12]和在[π12，π2]上单调递减．19. 3420. 解：（1）设B 点在平面AGC 内的射影为H ，则H 在CG 上，由BH ⊥平面AGC ，知BH ⊥AG ，∵ ABCD 为正方形，∴ BC ⊥AB ，又平面ABCD ⊥平面ABEF ， ∴ BC ⊥平面ABEF ，又AG ⊂平面ABEF ，∴ BC ⊥AG ，又BH 、BC ⊂平面BGC ，∴ AG ⊥平面BGC ；（2）过G 作GM ⊥AB 于M ，过M 作MN ⊥AC 于N ，连NG ，∵ 平面ABCD ⊥平面ABEF ，GM ⊥AB ，∴ GM ⊥平面ABCD ，又MN ⊥AC ，∴ NG ⊥AC ，∴ ∠GNM 就是二面角B −AC −G 的平面角，在平面ABEF 内，由ABEF 是矩形，G 是EF 的中点，GM ⊥AB ，可得M 是AB 的中点，又∵ AG ⊥平面BGC ，∴ AG ⊥GB ，∴ AB =2GM =2AF ，设AF =a ，则AB =2a ，又MN =√22AM ， ∴ tan∠GNM =a √22a=√2，∴ ∠GNM =arctan √2，∴ 二面角B −AC −G 的大小为arctan √2．21. 解：（1）由S n =2a n −3n 及S n+1=2a n+1−3(n +1)得a n+1=2a n +3∴ a n+1+3a n +3=2，∴ c =3（2）∵ a 1=S 1=2a 1−3，∴ a 1=3，a n +3=(a 1+3)⋅2n−1∴ a n =3.2n −3(n ∈N ∗)（3）设存在S ，P ，r ∈N ∗，且s <p <r 使a s ，a p ，a r 成等差数列∴ 2a p =a s +a r 即2(3⋅2p −3)=(3⋅2s −3)+(3⋅2r −3)∴ 2p+1=2s +2r∴ 2p−s+1=1+2r−s ∵ s ，p ，r ∈N ∗且s <p <r∴ 2p−s+1、2r−s 为偶数1+2r−s 为奇数矛盾，不存在满足条件的三项。