2020年高考数学模拟试卷

2020年河南省、广东省等五岳联考高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合M ={x|x 2−2x −3<0,x ∈Z}，则集合M 的真子集个数为( )A. 8B. 7C. 4D. 32. 已知i 是虚数单位，则化简(1+i1−i )2020的结果为( )A. iB. −iC. −1D. 13. 若干年前，某教师刚退休的月退休金为4000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图．已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为( )A. 4500元B. 5000元C. 5500元D. 6000元4. 将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为( )A. 27B. 37C. 17D. 3145. 已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M(3,2√3)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF|：|NM|等于( )A. 1：2B. 1：3C. 1：4D. 1：√36. 在所有棱长都相等的直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，D ，E 分别为棱CC 1，AC 的中点，则直线AB 与平面B 1DE 所成角的余弦值为( )A. √3010B. √3020C. √13020D. √70107. 已知点A(4,3)，点B 为不等式组{y ≥0x −y ≤0x +2y −6≤0所表示平面区域上的任意一点，则|AB|的最小值为( )A. 5B. 4√55C. √5D. 2√558. 给出下列说法①定义在[a,b]上的偶函数f(x)=x 2−(a +4)x +b 的最大值为20； ②“x =π4”是“tanx =1”的充分不必要条件；③命题“∃x 0∈(0,+∞),x 0+1x 0≥2”的否定形式是“∀x ∈(0,+∞),x +1x <2”其中正确说法的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 39. 已知log m 3>0,a =m log 42,b =m log 32,c =m 20.5，则a ，b ，c 间的大小关系为( )A. a <b <cB. b <a <cC. c <a <bD. b <c <a10. 元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两(1秤=15斤，1斤=16两)，令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何？其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半．若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银( )A. 9两B. 266127两C.26663两 D. 250127两11. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若acosB −bcosA =c3，则acosBacosA+bcosB的最大值为( )A. √2B. √22 C. √32 D. 2√3312. 已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)+g(x)=log 3(3x +1)，不等式3g(x)−f(x)−t ≥0对x ∈R 恒成立，则t 的最大值为( )A. 1B. 3−2log 32C. 2D. 32log 32−1二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(2,−√5)，b ⃗ =(1,2√5)，则b ⃗ 在a ⃗ 方向上的投影等于______． 14. 在△ABC 中，∠B =2π3，A 、B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，且BC =12AB ，则E 的离心率为______．15. 已知函数f(x)=cos(ωx +φ)(ω>0,0≤φ≤π)是奇函数，且在[−π6,π4]上单调递减，则ω的最大值是 ．16. 已知三棱锥A −BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，BC =CD =2，AB =AD =√6，则三棱锥A −BCD 的外接球的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=12na n+a n−1．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{2a n2}的前n项和为T n，证明：T n<32．18.如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABEF为正方形，AF⊥DF，AF=2√2FD，∠DFE=∠CEF=45．(1)证明：DC//FE；(2)求二面角D−BE−C的平面角的余弦值．19.已知点P在圆O：x2+y2=9上运动，点P在x轴上的投影为Q，动点M满足4PQ⃗⃗⃗⃗⃗ = 3√2MQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)求动点M的轨迹E的方程；(2)设G(−3,0)，H(3,0)，过点F(1,0)的动直线l与曲线E交于A、B两点．问：直线AG与BH的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．20.某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A、B、C.经过引种实验发现，引种树苗A的自然成活率为0.7，引种树苗B、C的自然成活率均为p(0.6≤p≤0.8)．(1)任取树苗A、B、C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及其数学期望；(2)将(1)中的数学期望取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率，该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种种树苗多少棵？21.已知函数f(x)=(a−1)x+xlnx的图象在点A(e2,f(e2))(e为自然对数的底数)处的切线斜率为4．(1)求实数a的值；(2)若m∈Z，且m(x−1)<f(x)+1对任意x>1恒成立，求m的最大值．22.以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=√2(θ∈[−π2,π2])，直线l的参数方程为{x=−2+tcosαy=−4+tssinα(t为参数)．(1)点A在曲线C上，且曲线C在点A处的切线与直线：x+2y+1=0垂直，求点A的直角坐标；(2)设直线l与曲线C有且只有一个公共点，求直线l的斜率的取值范围．23.设函数f(x)=|x−1|+2|x+1|，x∈R．(1)求不等式f(x)<5的解集；(2)若关于x的不等式f(x)+2<|2t−1|在实数范围内解集为空集，求实数t的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合M={x|x|x2−2x−3<0,x∈Z}={x|−1<x<3,x∈Z}={0,1,2}，所以集合M的真子集个数为：23−1=7个．故选：B．由列举法得到集合A中的元素个数，再由结论：含有n个元素的集合的真子集数共有：2n−1个，即得答案本题主要考查了集合的子集，一般地，含有n个元素的集合的真子集数共有：2n−1个．2.【答案】D【解析】解：∵1+i1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=i，∴(1+i1−i)2020=i2020=i4×505=1．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简1+i1−i，再由虚数单位i的运算性质得答案．本题考查复数的代数形式的乘除运算，考查虚数单位i的运算性质，是基础题．3.【答案】B【解析】解：设目前该教师的月退休金为x元，则有10%x=4000×15%−100，解之得x=5000，故选：B．根据题中目前的月就医费比刚退休时少100元可列等式，求出即可．本题考查对条形图，折线图的数据整合能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：①甲指挥交通，乙不指挥交通，是丙不能指挥交通，故有C52=10种方法，②乙指挥交通，甲不指挥交通，则丙必须指挥交通，故有C52=10种方法，③甲、乙都指挥交通，则丙不能指挥交通，故有C52=10种方法，∴甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为： p =3C 52C 84=37．故选：B ．①甲指挥交通，乙不指挥交通，是丙不能指挥交通，故有C 52=10种方法，乙指挥交通，甲不指挥交通，则丙必须指挥交通，故有C 52=10种方法，甲、乙都指挥交通，则丙不能指挥交通，故有C 52=10种方法，由此能求出甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率．本题考查概率的求法，考查分类讨论思想、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】C【解析】解：抛物线y 2=4x 的焦点为F(1,0)，所以k FM =2√33−1=√3，由{y 2=4x y =√3(x −1)，可得3x 2−10x +3=0，所以x 1=3，x 2=13， 所以|FN||MN|=x 2+p2x 1+x 2+p=13+13+13+2=14．故选：C ．求出抛物线的焦点坐标，通过直线与抛物线方程联立，求出MN 的坐标，然后转化求解|NF|：|NM|即可．本题考查抛物线的焦点弦，抛物线的简单性质以及数形结合的思想的应用，是中档题．6.【答案】C【解析】 【分析】本题考查了利用空间向量求线面角的问题，属于中档题．根据题意，建立空间直角坐标系，将所求的角转化为直线AB 与平面B 1DE 的法向量的夹角来求即可． 【解答】解：因为是所有棱长都相等的直三棱柱ABC −A 1B 1C 1． ∴该棱柱的上下底面是正三角形，侧面都是正方形，设各棱长均为2，取AB 的中点为原点，直线OC ，OB 分为x ，y 轴建立如图所示的空间直角坐标系．则O(0,0,0)，B(0,1,0)，E(√32,−12,0)，D(√3,0,1)，B 1(0,1,2)． ∴ED⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12,1)，EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,32,2)， 设平面B 1DE 的法向量m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)， ∴{m ⃗⃗⃗ ⋅ED⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴{√32x +12y +z =0−√32x +32y +2z =0，令x =2，得m ⃗⃗⃗ =(2,6√3,−4√3)．∵OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 设所求角为θ，则sinθ=|m⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√3020， ∴cosθ=√13020． 故选：C ．7.【答案】C【解析】解：不等式组{y ≥0x −y ≤0x +2y −6≤0的可行域如图：则|AB|的最小值为A 到B 的距离． 由{x −y =0x +2y −6=0解得B(2,2)， |AB|的最小值：√(4−2)2+(3−2)2=√5， 故选：C ．画出约束条件的可行域，利用已知条件求解距离的最小值即可．本题考查线性规划的简单应用，是基本知识的考查，考查数形结合以及点到直线的距离公式的应用．8.【答案】D【解析】解：①定义在[a,b]上的偶函数f(x)=x2−(a+4)x+b，所以有f(−x)=f(x)，即a=−4，定义域为[a,b]，所以b=4，所以函数f(x)在x=±4时取得最大值为20，正确；②由充要条件的定义“x=π4”能推出“tanx=1”成立，而“tanx=1”不能推出“x=π4”成立，所以“x=π4”是“tanx=1”的充分不必要条件正确；③由特称量词命题的否定定义可得命题“∃x0∈(0,+∞),x0+1x0≥2”的否定形式是“∀x∈(0,+∞),x+1x<2”正确；其中正确说法的个数为①②③三个，故选：D．①利用函数的奇偶性和最值可得答案，②由充要条件定义可判断，③由命题的否定定义可判断，从而可得结论．本题考查命题真假判断及充要条件，函数的奇偶性和最值，命题的否定，属基础题．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查对数函数和指数函数的性质，属于基础题．利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】解：∵log m3>0，∴m>1，∵0<log42<log32<1，20.5>1，∴a<b<c，故选：A．10.【答案】B【解析】解：由题意共有银：16×16+10=266两，设分银最少的为a两，则7人的分银量构成以a为首项，2为公比的等比数列，则a(1−27)1−2=266，解得a=266127．故选：B．共有银：16×16+10=266两，设分银最少的为a两，则7人的分银量构成以a为首项，2为公比的等比数列，由此利用等比数列前n项和公式能求出结果．本题考查等比数列的首项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】B【解析】解：因为acosB−bcosA=c3，由正弦定理可得，sinAcosB−sinBcosA=13sinC=13(sinAcosB+sinBcosA)，化简可得，tanA=2tanB，则acosBacosA+bcosB=sinAcosBsinAcosA+sinBcosB=1cosAcosB+sinBsinA≤2√sinAcosB，当且仅当cosAcosB=sinBsinA时取等号，=2√tanBtanA =√22，即最大值√22，故选：B．由已知结合正弦定理及和差角公式化简可得tanA=2tanB，然后对所求式子进行化简，结合基本不等式即可求解．本题主要考查了正弦定理及三角恒等变形在求解三角形中的应用，还考查了基本不等式求解最值的应用，属于中档试题．12.【答案】B【解析】解：f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，可得f(−x)=−f(x)，g(−x)=g(x)，由f(x)+g(x)=log3(3x+1)，①可得f(−x)+g(−x)=log3(3−x+1)，即为−f(x)+g(x)=log3(3−x+1)，②联立①②可得f(x)=12x，g(x)=log3(3x+1)−12x，由不等式3g(x)−f(x)−t≥0对x∈R恒成立，可得t ≤3g(x)−f(x)=3log 3(3x+1)−2x =log 3(3x +1)332x恒成立，设ℎ(x)=(3x +1)332x，ℎ′(x)=ln3⋅32x (1+3x )2(3x −2)34x，当x >log 32时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)递增，当x <log 32时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)递减， 可得x =log 32处ℎ(x)取得极小值，且为最小值3−2log 32， 则t ≤3−2log 32， 故选：B ．运用奇偶性的定义，将x 换为−x ，联立两个方程求得f(x)，g(x)，由题意可得t ≤3g(x)−f(x)的最小值，构造函数ℎ(x)，求得导数和单调性、极值和最小值，可得所求范围． 本题考查函数的奇偶性的定义和函数恒成立问题解法，注意运用参数分离和构造函数法，运用导数求得单调性和最值，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．13.【答案】−83【解析】解：向量a ⃗ =(2,−√5)，b ⃗ =(1,2√5)， 则b ⃗ 在a⃗ 方向上的投影为|b ⃗|cosθ=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |=√5×2√5√22+(−√5)2=−83．故答案为：−83．根据平面向量投影的定义，计算即可．本题考查了平面向量投影的定义与计算问题，也考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题．14.【答案】√7+13【解析】解：由题得，AB =2c ，BC =c ，∠B =23π， 则根据余弦定理可得AC =√AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cosB =√4c 2+c 2−2×2c ×(−12)=√7c ，所以√7c −c =2a ，解得e =√7+13，故答案为√7+13．根据余弦定理可得AC =√7c ，结合双曲线定义，则有√7c −c =2a ，即可解出e ．本题考查双曲线离心率的求法，考查余弦定理的应用，属于中档题．15.【答案】2【解析】【分析】本题考查了奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，三角函数的诱导公式，正弦型函数的单调性，考查了计算能力．根据f(x)是奇函数即可得出φ=π2，进而得出f(x)=−sinωx，然后根据题意即可得出[−π6,π4]⊆[−π2ω,π2ω]，然后即可得出0<ω≤2，从而得出ω的最大值．【解答】解：∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)=cosφ=0，且0≤φ≤π，∴φ=π2，∴f(x)=cos(ωx+π2)=−sinωx，且ω>0，f(x)在[−π6,π4]上单调递减，∴[−π6,π4]⊆[−π2ω,π2ω]，∴π2ω≥π4且−π2ω⩽−π6，解得0<ω≤2，∴ω的最大值是2．故答案为：2．16.【答案】9π2【解析】解：∵AB=AD，取BD中点E，则AE⊥BD ∵平面ABD⊥平面BCD，则AE⊥BD，故AE⊥平面BCD，则球心O在AE上，且BD=2√2，EB=√2，AE=√AD2−BE2=2，设外接球的半径R，则OB2=OE2+EB2，∴R2=2+(2−R)2，解可得，R=32，V=4πR33=43×(32)3=9π2．根据四棱锥的性质可先求出球心的位置，然后根据勾股定理可求半径R，然后代入球的体积公式可求．本题主要通过空间几何体的外接球问题，考查了考生的空间想象能力，推理论证能力，属于中档试题．17.【答案】解：(1)当n=1时，S1=12a1+a1−1=a1，得a1=2，当n≥2时，由S n=12na n+a n−1得，S n−1=12(n−1)a n−1+a n−1−1，作差得，a n=12na n+a n−1−12a n−1−a n−1+1，化简得，na n=(n+1)a n−1，即a na n−1=n+1n，由a n=a na n−1⋅a n−1a n−2…a2a1⋅a1=n+1n⋅nn−1…32⋅2=n+1，综上，a n=n+1(n∈N∗)；(2)证明：根据(1)得，当n=1时，2a12=12，当n≥2时，2a n2=2(n+1)2<2n(n+1)=2(1n−1n+1)，所以T n=222+232+242+⋯+2(n+1)2<12+2(12−13+13−14+⋯+1n−1n+1)=12+1−2n+1<32，故命题成立．【解析】(1)当n=1时，S1=12a1+a1−1=a1，得a1=2，当n≥2时，由S n=12na n+a n−1得，S n−1=12(n−1)a n−1+a n−1−1，作差化简求出a n的通项公式；(2)根据(1)得，当n=1时，2a12=12，当n≥2时，2a n2=2(n+1)2<2n(n+1)=2(1n−1n+1)，根据裂项相消法和放缩法，证明结论成立．本题考查了数列递推式求数列的通项公式和前n项和公式，考查运算能力，中档题．18.【答案】解：(1)证明：∵四边形ABEF 为正方形，∴AB//FE ，∵AB ⊄平面EFDC ，FE ⊂平面EFDC ，∴AB//平面EFDC ， ∵AB ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面EFDC =DC ， ∴DC//AB ，∴DC//FE ．(2)解：∵AF ⊥EF ，AF ⊥DF ，∴AF ⊥平面EFDC ， ∴平面ABEF ⊥平面EFDC ，作DG ⊥EF ，垂足为G ，则DG ⊥平面ABEF ，∴以G 为原点，GF 为x 轴，在平面ABEF 中，过G 作EF 的垂线为y 轴，GD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则题意得∠DFG =∠CEF =45°，设AB =4， 则D(0,0,1)，E(−3,0,0)，C(−2,0,1)，B(−3,4,0)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−4,1)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−4,1)，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1)， 设平面DBE 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3x −4y +z =0m ⃗⃗⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =3x +z =0，取x =1，得m⃗⃗⃗ =(1,0,−3)， 设平面BEC 的法向量n⃗ =(a,b,c)， 则{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −4b +c =0n ⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +c =0，取a =1，得n ⃗ =(1,0,−1)， 设二面角D −BE −C 的平面角为θ， 则二面角D −BE −C 的平面角的余弦值为： cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=1√10⋅√2=2√55．【解析】(1)推导出AB//FE ，从而AB//平面EFDC ，进而DC//AB ，由此能证明DC//FE ． (2)由AF ⊥EF ，AF ⊥DF ，得AF ⊥平面EFDC ，从而平面ABEF ⊥平面EFDC ，作DG ⊥EF ，垂足为G ，则DG ⊥平面ABEF ，以G 为原点，GF 为x 轴，在平面ABEF 中，过G 作EF 的垂线为y 轴，GD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明二面角D −BE −C 的平面角的余弦值．本题考查线线平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)设M(x,y)，P(x 0,y 0)，Q(x 0,0)， 则由4PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =3√2MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得 4(0,−y 0)=3√2(x 0−x,−y)，∴x 0=x ，y 03√24y ，代入圆O ：x 2+y 2=9，可得x 29+y 28=1．∴动点M 的轨迹E 的方程为x 29+y 28=1；(2)直线AG 与BH 的斜率之比为定值12． 证明如下：设直线l 为x =my +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).联立{x =my +1x 29+y 28=1，得(8m 2+9)y 2+16my −64=0．则y 1+y 2=−16m 8m 2+9，y 1y 2=−648m 2+9． ∴my 1y 2=4(y 1+y 2)， 则k AGk BH=y 1x 1+3⋅x 2−3y 2=y 1(my 2−2)(my 1+4)y 2=my 1y 2−2y 1my 1y 2+4y 2=4(y 1+y 2)−2y 14(y 1+y 2)+4y 2=2y 1+4y 24y 1+8y 2=12．【解析】(1)设M(x,y)，P(x 0,y 0)，Q(x 0,0)，则由4PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =3√2MQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得x 0=x ，y 03√24y ，代入圆O ：x 2+y 2=9，可得动点M 的轨迹E 的方程；(2)设直线l 为x =my +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系即可求得直线AG 与BH 的斜率之比为定值12．本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)X 的所有可能取值为0，1，2，3，则P(X =0)=0.3(1−p)2=0.3−0.6p +0.3p 2，P(X =1)=0.7(1−p)2+0.3×2p(1−p)=0.1p 2−0.8p +0.7， P(X =2)=2×0.7p(1−p)+0.3p 2=−1.1p 2+1.4p ， P(X =3)=0.7p 2， 所以X 的分布列为所以E(X)=1×0.1p 2−0.8p +0.7+2×−1.1p 2+1.4p +3×0.7p 2=2p +0.7． (2)因为0.6≤p ≤0.8，由(1)可知，当p =0.8时，E(X)取得最大值， ①一棵B 种树苗最终成活的概率为0.8+(1−0.8)×0.75×0.8=0.92， ②记Y 为n 棵树苗的成活棵数，则Y ～B(n,0.92)，E (Y)=0.92n ， ∴(0.92×400−0.08×80)n ≥100000， 解得n ≥100000361.6≈276.55，∴n ≥277，∴该农户至少要种植277棵树苗，才可获利不低于10万元．【解析】(1)X 的所有可能取值为0，1，2，3，然后用p 分别表示出每个X 的取值所对应的概率即可得分布列和数学期望；(2)先结合p 的取值范围和(1)中的结论确定p 的取值，然后就能得到一颗B 种树苗成活的概率；记Y 为n 棵树苗的成活棵数，则Y ～B(n,0.92)，再结合二项分布的性质，列出关于n 的不等式，解之并取整即可．本题考查了随机变量的分布列、数学期望等基础知识点，考查了学生数学建模的能力，即把实际问题转化为数学问题，再运算求解的能力，对于考生的综合分析能力提出较高要求，属于中档题．21.【答案】解：(1)∵f(x)=(a −1)x +xlnx ，∴f′(x)=a +lnx ，∵函数f(x)=(a −1)x +xlnx 的图象在点A(e 2,f(e 2))处的切线斜率为4， ∴f′(e 2)=a +lne 2=4，∴a =2．(2)由(1)知f(x)=x +xlnx ，∵m(x −1)<f(x)+1对任意x >1恒成立，∴m <f(x)+1x−1对任意x >1恒成立， 令g(x)=f(x)+1x−1，则g′(x)=(lnx+2)(x−1)−(x+xlnx+1)(x−1)2=x−lnx−3(x−1)2．令μ(x)=x −lnx −3，则μ′(x)=1−1x ，∵x >1，∴μ′(x)>0，∴μ(x)=x −lnx −3在(1,+∞)为增函数． ∵μ(4)=1−ln4<0，μ(5)=2−ln5>0， ∴∃x 0∈(4,5)，使得μ(x 0)=x 0−lnx 0−3=0，∴x ∈(1,x 0)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，x ∈(x 0,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增， ∴g(x)min =g(x 0)=x 0+x 0lnx 0+1x 0−1=x 0+x 0(x 0−3)+1x 0−1=x 0−1，故有m <x 0−1对x >1都成立，∵x 0∈(4,5)，x 0−1∈(3,4)，∴m 的最大值为3．【解析】(1)f(x)=(a −1)x +xlnx ⇒f′(x)=a +lnx ，依题意，f′(e 2)=a +lne 2=4，可求得a 的值；(2)由(1)知f(x)=x +xlnx ，∀x >1，m(x −1)<f(x)+1⇔m <f(x)+1x−1对任意x >1恒成立，构造函数g(x)=f(x)+1x−1，求g′(x)=x−lnx−3(x−1)2，再令μ(x)=x −lnx −3，分析得到∃x 0∈(4,5)，使得μ(x 0)=x 0−lnx 0−3=0，g(x)min =g(x 0)=x 0−1∈(3,4)，从而可求得m 的最大值．本题第(1)问考查切线问题，第(2)问考查恒成立问题，通过分离参数后，构造函数，利用导数解决问题，考查转化思想与运算能力，对学生要求较高，属于难题．22.【答案】解：(1)已知曲线C 的极坐标方程为ρ=√2(θ∈[−π2,π2])，转换为直角坐标方程为x 2+y 2=2(x ≥0)，A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：x +2y +1=0垂直， 所以{x 2+y 2=2y =−12xx ≥0，解得{x =2√105y =−√105，即A(2√105,−√105). (2)直线l 的直角坐标方程为y =−4+k(x +2)与半圆x 2+y 2=2(x ≥0)有且只有一个交点， 故√1+k 2=√2，整理得k 2−8k +7=0，解得k =1或7，由于B(0,√2)，C(0,−√2)P(−2,−4)， 所以k PB =4+√22，k PC =4−√22， 所以直线l 的斜率的范围为(4−√22,4−√22]∪{1}．【解析】(1)直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用求出结果． (2)利用直线和曲线的位置关系的应用建立等量关系，进一步求出范围的值． 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.【答案】解：(1)函数f(x)={−3x −1,x <−1x +3,−1≤x ≤13x +1,x >1，则{x <−1−3x −1<5或{x >13x +1<5或{−1≤x ≤1x +3<5， 解得−2<x <−1或1<x <43或−1≤x ≤1， 则原不等式的解集为(−2,43)；(2)关于x 的不等式f(x)+2<|2t −1|在实数范围内解集为空集， 等价为(f(x)+2)min ≥|2t −1|， 由(1)可得f(x)的最小值为f(−1)=2，则2+f(x)的最小值为4，则|2t −1|≤4，解得−32≤t ≤52， 则t 的取值范围是[−32,52].【解析】(1)将f(x)写成分段函数的形式，f(x)<5等价为一次不等式组，解不等式，求并集，可得所求解集；(2)由题意可得(f(x)+2)min ≥|2t −1|，由f(x)的解析式可得f(−1)为最小值，再由绝对值不等式的解法可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和分类讨论思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。

2020年内蒙古呼伦贝尔市高考数学模拟试卷2（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|3−2x <−1}，B ={x|x(2x −5)≤0}，则A ∪B =( )A. [25,2)B. (2,52]C. [0,+∞)D. [52,+∞)2. 设z =i(25−15i)，则|z|= ( )A. √55B. 2√55C. 15 D. 125 3. 在等差数列{a n }中，a 2=−6，a 8=6，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A. S 4<S 5B. S 4=S 5C. S 6<S 5D. S 6=S 5 4. 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAC =60°，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 2B. 4−2√3C. −2D. 4+2√35. 已知双曲线的方程为x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为√53c(其中c 为双曲线的半焦距长)，则该双曲线的离心率为( )A. 32B. √52 C. 3√52D. 526. 已知函数f(x)={log 3x −1,x ≥012019,x <0，则f(f(2))=( )A. 2019B. 12019 C. 2D. 17. 在正方形内任取一点，则该点在正方形的内切圆内的概率为( )A. π12B. π4C. π3D. π28. 已知函数f(x)=cos(2x −φ)−√3sin(2x −φ)(|φ|<π2)的图象向右平移π12个单位后关于y 轴对称，则f(x)在区间[−π2,0]上的最小值为( )A. −1B. √3C. −√3D. −29. 过抛物线x =14y 2的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 是坐标原点，抛物线的准线与x 轴交于点M ，若|AF|=4，则△AMB 的面积为( )A. 5√33B. 7√33C. 8√33D. 3√310. 函数f (x )=1x +ln |x |的图像大致为( )．A.B.C.D.11. 一个高为2的三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积( )A. 12πB. 9πC. 4√3πD. √3π12. 若2x =3，2y =4，则2x+y 的值为( )A. 7B. 10C. 12D. 34二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 二项式(x 2−2x )6的展开式中的常数项是_______．14. 已知实数x 、y 满足{x ≥2x +y −6≤02y −x ≥0，则z =y+1x−6的最大值为____．15. 甲、乙、丙、丁四人带着各自的创意作品去参赛，已知一等奖会是他们中1人获得，参赛结果出来之前，对于获得一等奖的作品． 甲说：会是我；乙说：不会是甲； 丙说：不会是丁；丁说：不会是我．若这4人只有1人的说法正确．据此判断，作品获得一等奖的人是________．16. 已知等比数列{a n }的各项都为正数，满足a 1=2，a 7=4a 5，设b n =log 2a 1+log 2a 2+⋯+log 2a n ，则数列{1b n}的前2019项和S 2019______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，且a +b =√3asinC +ccosA ．(Ⅰ)求角C；(Ⅱ)设D为BC的中点，且AD=2，求△ABC面积的最大值．18.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB=3，AC=4，AA1=4．(1)证明：B1C⊥AC1；(2)若BP=1，求二面角P−A1C−A的余弦值．19.已知某快递公司收取快递费的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，在收费10元的基础上，每超过1kg(不足1kg，按1kg计算)需再收5元．该快递公司承揽了一个工艺品厂家的全部玻璃工艺品包裹的邮寄事宜，该厂家随机统计了100件这种包裹的两个统计数表如下：表1表2(Ⅰ)估计该快递公司对每件包裹收取快递费的平均值；(Ⅱ)将包裹重量落入各组的频率视为概率，该工艺品厂家承担全部运费，每个包裹只有一件产品，如果客户收到有损坏品的包裹，该快递公司每件按其出厂价的90％赔偿给厂家．现该厂准备给客户邮寄重量在区间(2,3]和(3,4]内的工艺品各1件，求该厂家这两件工艺品获得利润的分布列和期望．20. 已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)左顶点M(−2,0)，离心率为√22． (1)求椭圆Γ的方程；(2)过N(1,0)的直线AB 交椭圆Γ于A 、B 两点，当MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值时，求△MAB 面积．21. 已知函数f(x)=e mx −lnx −2．(1)若m =1，证明：存在唯一实数t ∈(12,1)，使得f′(t)=0； (2)求证：存在0<m <1，使得f(x)>0．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =costy =sin 2t (t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρ(sinθ−acosθ)=12(a ∈R)． (1)写出曲线C 1的普通方程和直线C 2的直角坐标方程； (2)若直线C 2与曲线C 1有两个不同交点，求a 的取值范围．23. 已知函数f(x)=|x +1|+|2x −4|．(Ⅰ)解关于x 的不等式f(x)<9；(Ⅱ)若直线y =m 与函数y =f(x)的图象围成一个三角形，求实数m 的取值范围，并求围成的三角形面积的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A ={x|3−2x <−1}，B ={x|x(2x −5)≤0}， 即A ={x|x >2},B ={x|0≤x ≤52}， ∴A ∪B =[0,+∞)． 故选：C ．本题主要考查集合的并集，是基础题．解出集合A ，B ，然后根据并集的定义求解即可．2.答案：A解析： 【分析】本题主要考查复数的计算和复数模的计算.先化简复数再求模． 【解答】解： z =15+25i ，则|z |=√(15)2+(25)2=√55．故选A ．3.答案：B解析： 【分析】本题主要考查等差数列的求和，属于一般题． 解析：解：{a 1+d =−6a 1+7d =6⇒{a 1=−8d =2, S 4=4a 1+4×3d =−20, S 5=5a 1+5×42d =−20， S 6=6a 1+6×52d =−18，故S 4=S 5． 综上答案为B ．4.答案：A解析：解：∵在菱形ABCD 中，边长为2，∠BAC =60°， ∴AC =BC =2，∠ACB =60°，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos60°=2×2×12=2， 故选：A ．根据菱形的性质和向量的数量积公式计算即可本题考查了菱形的性质和向量的数量积公式，属于基础题5.答案：A解析：解：双曲线的一个焦点为(c,0)，一条渐近线方程为bx −ay =0， 所以焦点到渐近线的方程为22=√53c ，整理得b 2=54a 2，所以c 2=94a 2，即c =32a ， 所以离心率e =32， 故选：A ．确定双曲线的焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，及双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为√53c ，建立方程，即可求得双曲线的离心率．本题考查双曲线的几何性质，考查点到直线距离公式，属于中档题．6.答案：B解析：解：∵函数f(x)={log 3x −1,x ≥012019,x <0，∴f(2)=log 32−1，∴f(f(2))=f(log 32−1)=12019． 故选：B ．推导出f(2)=log 32−1，从而f(f(2))=f(log 32−1)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.答案：B解析：解：设圆的半径为r ，则正方形的边长为2r ∴圆的面积为πr 2，正方形的面积为4r 2 以面积为测度，可得点P 落在⊙O 内的概率为πr 24r 2=π4。

A. 〔-00, 0〕B. 〔-00, 1〕C. 〔1, +°°〕7. 在棱长为1的正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E, F 分别为线段CD 和A I B I 上的动点,且满足 CE=A I F,那么四边形D I FBE 所 围成的图形〔如下图阴影局部〕分别在该正方体有公共顶 点的三个面上的正投影的面积之和〔〕D. (0, +°°)A.有最小值B.有最大值jC.为定值35 . 等差数列｛a n ｝首项为a 1,公差dwQ 那么“ a 〔,a 3, a 9成等比数列〞是“ a 1二d的〔〕A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6 .函数f 〔x 〕 =：,；；］：,假设函数f 〔x 〕存在零点,那么实数a 的取值范围是〔 〕2021年北京市朝阳区高考数学二模试卷〔二〕 、选择题〔本大题共 8小题,共40.0分〕1. 集合 A={x|x>1}, B={x|x (x-2)<0},贝U AUB=( ) A. {x|x>0} B. {x|1<x< 2} C.{x|1 买v 2} D. {x|x>0且 xw 1} 2 . 复数i 〔1 + i 〕的虚部为〔 〕 A. B. 1 C. 0 3 .在数学史上,中外数学家使用不同的方法对圆周率 兀进行 了估算.根据德国数学家莱布尼茨在 1674年给出的求 兀D. -1的方法绘制的程序框图如下图. 执行该程序框图, s 的值为〔 A. 4 B. D.输出 4. 在 AABC 中,H c=4, cosC = -5,那么 b=()D.为定值28 . 在同一平面内, A 为动点,B, C 为定点,且/BAC4, 二A 却？于口,BC=1, P为BC 中点•过点p 作pQ gC 交AC 所在直线于Q ,那么;Q 在;c 方向上投影的最大值 二、填空题(本大题共 6小题,共30.0分)9 . a=log 3e, b=ln3, c=log 32,贝U a, b, c 中最小的是 .10 .点M (1, 2)在抛物线 C: y 2=2px (p>0)上,那么点M 到抛物线C 焦点的距 离是.I x - votO.* ( i = 1 + 2r,11 .圆心；｛y = 1十(.为参数)上的点P 到直线| y = —1 + (t 为参数)的距离 最小值是. f 工之L12 .实数x, y 满足 ¥=#,能说明“假设z=x+y 的最大值为4,那么x=1, y=3〞为假 [x 4- y < 4.命题的一组(x, y)值是.13 .由数字1, 2, 3, 4, 5, 6组成没有重复数字的三位数,偶数共有 个,其中 个位数字比十位数字大的偶数共有 个. 14 .如图,在平面直角坐标系xOy 中,点 O (0, 0) , M (-4, 0) , N (4, 0),P (0, -2) , Q (0, 2) , H (4, 2).线段OM 上的动点A 满足;力一%时(''(必‘))； 线段HN 上的动点B 满足j 二"N 直线PA 与直线QB 交于点L,设直线PA 的斜 ntf ni\ 7率记为k,直线QB 的斜率记为k',那么k?k'的值为;当入变化时,动点L 一定 在 (填“圆、椭圆、双曲线、抛物线〞之中的一个)上.三、解做题(本大题共 6小题,共80.0分) 15 .函数 fix) = 2sinxcosx + 入瓦,".一超.(I )求函数f (x)的最小正周期；(n )当某E [一彳,同时,求证：/(X )之一十B.C.是(某电视台举行文艺比赛, 并通过网络比照赛进行直播. 比16.赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分, 场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分. 每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定.某选手参与比赛后,现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分,将评分根据[7, 8) , [8, 9) , [9, 10]分组,绘成频率分布直方图如图：专家A B C D E评分9.69.59.68.99.7(I )求a的值,并用频率估计概率,估计某场外观众评分不小于9的概率；(n)从5名专家中随机选取3人,X表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人,用频率估计概率, Y表示评分不小于9分的人数；试求 E (X)与E (Y)的值；(出)考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数匚作为该选手的最终得分.r 4方案二：分别计算专家评分的平均数;和观众评分的平均数；,用以士作为该选手最终得分.请直接写出f与',的大小关系.频率在三^柱ABC-A i B i C i中,底面ABC是正三角形,侧棱AAUB面17.ABC. D, E分别是边BC, AC的中点,线段BC i与B i C交于点G,且AB=4, 叫=2k.(I )求证：EG//平面AB i D；(n)求证：BC i"面AB i D；(m )求二面角A-B i C-B的余弦值.18.函数f (x) = (2ax2+4x) lnx-ax2-4x (aCR,且a*O) (I )求曲线y=f(x)在点(1, f (1))处的切线方程;(n )假设函数f (x)的极小值为试求a的值.19 .椭圆C: 4 + y Z= l (a>1)的离心率为坐.(I )求椭圆C的方程；(n)设直线l过点M (1, 0)且与椭圆C相交于A, B两点.过点A作直线x=3 的垂线,垂足为D .证实直线BD过x轴上的定点.20 .对于由有限个自然数组成的集合A,定义集合S (A) ={a+b|aCA, bCA},记集合S(A)的元素个数为d (S (A)).定义变换T,变换T将集合A变换为集合T (A) =AUS (A).(I )假设A={0 , 1, 2},求S (A) , T (A);(n)假设集合A有n个元素,证实：" d (S (A) ) =2n-1〞的充要条件是“集合A 中的所有元素能组成公差不为.的等差数列〞；(出)假设A?{1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}且{1 , 2, 3,…,25, 26}? T (T (A)), 求元素个数最少的集合 A.1 .答案：A解析：解：根据不等式的解法,易得 B={x|0vx 匚< 2},均召-2? 4 5 .又有 A={ x|x> 1},那么 AUB={x|x>0}. 应选：A.根据不等式的解法,B={x[0vx<2},然后根据并集的定义“由所有属于集合 A 或属于集合B 的元素所组成的集合叫做并集〞进行求解即可. 此题考查并集的运算,注意结合数轴来求解,属于容易题.2 .答案：B 解析：解：.i (1 + i) =-1 + i,. i (1 + i)的虚部为1. 应选：B.直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.此题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的根本概念,是根底题.3 .答案：C 解析：解：第一次,s=4, k=1, k>3否,第二次, 乂辐,k =2 ,k4否, 第二次,s= |+?=m ,k=3, k>3是, 程序终止,输出s=* 应选：C.根据程序框图进行模拟运算即可. 此题主要考查程序框图的识别和判断, 根据条件进行模拟运算是解决此题的关键.比拟根底.4 .答案：B 解析：【分析】由利用同角三角函数根本关系式可求 值. 此题主要考查了同角三角函数根本关系式, 础题. 【解答】解：*c=4, CORC =(, sinC=dl-co5i 々巧,,由正弦定理 岛可得：解得：b=3. 应选：B.答案与解析sinC 的值,根据正弦定理即可计算得解b 的正弦定理在解三角形中的综合应用,属于基5 .答案：C 解析：【分析】此题考查等差、等比数列的定义以及判断,涉及充分必要的定义与判断,属于根底题. 根据题意,设数列｛a n ｝的公差为d,从充分性与必要性的角度分析“ a i, a 3, a 9成等比 数列〞和“ a i =d 〞的关系,综合即可得答案. 【解答】解：根据题意,设数列｛a n ｝的公差为d,假设 a i, a 3, a 9成等比数列,那么〔a 3〕2=a i 39,即〔a i +2d 〕 2=a i • 〔a i +8d 〕,变形可得：a i =d,那么“a i, a 3, a 9成等比数列〞是“ a i =d 〞的充分条件；假设 a i =d,贝U a 3=a i +2d=3d, a 9=a i +8d=9d,贝U 有〔a 3〕2=a i a 9,贝U " a i, a 3, a 9成等比数 列〞是“ a i =d 〞的必要条件；综合可得：“ a i, a 3, a 9成等比数列〞是“ a i =d 〞的充要条件； 应选：C.6 .答案：D 解析：解：函数f 〔x 〕=：上管,函数的图象如图：函数f 〔x 〕存在零点,那么实数 a 的取值范围是： 〔.,+°°〕. 应选：D.画出函数的图象,利用数形结合推出 a 的范围即可.此题考查分段函数的应用,函数的零点的判断, 考查数形结合以及计算水平.7 .答案：DD'B'E f解后面解：依题意,设四边形D I FBE的四个顶点在后面,上面,左面的投影点分别为D', F', B', E',那么四边形D I FBE在上面,后面,左面的投影分别如上图.所以在后面的投影的面积为S后=1 M=1 ,在上面的投影面积S±=D'E' 1=DEX1 = DE,在左面的投影面积S左=B'E' 1=CEX1=CE,所以四边形D1FBE所围成的图形〔如下图阴影局部〕分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和S=S 后+S 上+S 左=1 + DE+CE=1 + CD=2.应选：D.分别在后,上,左三个平面得到该四边形的投影,求其面积和即可.此题考查了正方体中四边形的投影问题,考查空间想象水平.属于中档题.8 .答案：C 解析：解：建立如下图的平面直角坐标系,那么〔4, 0〕, C4,0〕, P〔0,0〕,设 A 〔x, y〕,那么xv 0,设直线AB, AC的斜率分别为k b k2, 由到角公式得：G an J化简彳导:x2+ (y-,)=；,口次那么x*:,那么」苧叔V0,由;在；方向上投影的几何意义可得:.在；方向上投影为DP|二|x|, 那么H、方向上投影的最大值是降应选：C.先建系,再由到角公式得：=常二tan,化简得：x2+ (y<)=：,那么x29［那么-;今v 0,再由二在M方向上投影的几何意义可得解・此题考查了到角公式及平面向量数量积的运算,属中档题.9 .答案：c 解析：解：b=ln3>1,又2V ev 3,所以10g32V log3ev 1,即cv a< b,故a, b, c中最小的是 c.故答案为：c由对数值大小的比拟得：b=1n3>1,又2V e<3,所以10g32v1og3ev 1,即cvavb,得解.此题考查了对数值大小的比拟,属简单题.10 .答案：2解析：解：由点M (1, 2)在抛物线C: y2=2px (p>0)上,可得4=2p, p=2,抛物线C： y2=4x,焦点坐标F (1, 0),那么点M到抛物线C焦点的距离是：2,故答案为：2.由题意可知：点的坐标代入抛物线方程,求出p=2,求得焦点F (1, 0),利用直线的两点式,即可求点M到抛物线C焦点的距离.此题考查抛物线的标准方程及简单几何性质,直线的两点式方程,考查计算水平,属于根底题. 11 .答案：睥1 解析：解：由ly = 1+ 就月.得x2+(y-1)2=1,由,ly =一1 + t 得x-2y-3=0 ,,一,、一■ 一I r , r、 _ ■ - . |0"2~ 3| J-1圆心〔0, 1〕到直线x+2y+1=0的距离d=:=、后,所以所求距离的最小值为-1故答案为：.^5-1.化成直角坐标方程后用点到直线的距离,再减去半径. 此题考查了参数方程化成普通方程,属中档题.12 .答案:〔2, 2〕r x>l,解析：解：实数x, y 满足y 皂币 的可行域 以及x+y=4的直线方程如图：能说明"假设z=x+y 的最大值为4,那么x=1,y=3〞 为假命题的一组〔x, y 〕值是〔2, 2〕. 故答案为：〔2, 2〕.画出约束条件的可行域,目标函数取得最大值 的直线,然后求解即可.此题考查线性规划的简单应用,画出可行域是 解题的关键.13 .答案：60 36解析：解：根据题意, 对于第一空：分 2步分析：①要求是没有重复数字的三位偶数,其个位是 ②在剩下的5个数字中任选2个,安排在前 那么有3X20=60个符合题意的三位偶数； 对于第二空：分 3种情况讨论：①,当其个位为2时,十位数字只能是 的三位数；②,当其个位为4时,十位数字可以是 个符合题意的三位数；③,当其个位为6时,十位数字可以是5 >4=20个符合题意的三位数；那么有4+12+20=36个符合题意的三位数; 故答案为：60, 36.对于第一空：分 2步分析：①分析可得要求三位偶数的个位有 3种情况,②在剩下的 5个数字中任选2个,安排在前2个数位,由分步计数原理计算可得答案；对于第二空：按个位数字分 3种情况讨论,分别求出每种情况下的三位数的数目,由加 法原理计算可得答案.此题考查排列、组合的应用,涉及分步、分类计数原理的应用,属于根底题.解析：解：叫；「A (-4 入,0),又 P (0, -2) , .*=*$； r 二厂 _ ___ . , 2(-2) / . . , L HRB (4,2-2 k= 4^0- =-2, kk =,设 L (x, y),那么 k=\ k =^, .kk1 = 1?；〞=；, 1 / = = X,即彳-适=1 .2、4或6,有3种情况, 2个数位,有 A 52=20种情况,1,百位数字有4种情况,此时有4个符合题意 1、2、3,百位数字有4种情况,此时有 3>4=121、2、3、4、5,百位数字有4种情况,此时有14.答案：； 双曲线故答案为：:,彳先=1 .根据向量关系得到 A, B 的坐标,再根据斜率公式可得 kk'=;设P (x, y),根据斜 I 率公式可得P 点轨迹方程.此题考查了圆锥曲线的轨迹问题,属中档题. 15 .答案：解：(I) J ⑺="Ehwhh + 笈 3gA -木, =#i 也 2M + \3cosZx, =・ 证实：(II)由于第中, 即归+沁一,1, 所以f (x)在上单调递增. 当 2# + ；=—；时, J Q即工:一;,时, /.%山=一"手所以当X E 时,f W > 75.解析：(I)首先利用三角函数关系式的恒等变换, 把函数的关系式变形成正弦型函数,进一步求出函数的最小正周期.(n )利用函数的关系式,进一步利用函数的定义域求出函数的值域.此题考查的知识要点：三角函数关系式的变换,正弦函数的性质的应用,主要考察学生 的运算水平和转换水平,属于根底题型.16 .答案：解：(I)由图知a=0.3,某场外观众评分不小于 9的概率是1. (n ) X 的可能取值为 2, 3. P (X=2)所以X 的分布列为： X233 dP 弱3J 12 所以 E (X ) =2乂-+3XG = M .J0*J 1由题意可知,T 〜巩工］,所以E (Y)所以f (x)的最小正周期 2ltT=V =n3 / 、端 2W ； P (X =3)= np=|(m)* * * = 2 ^ x0 + 0x4 + 0x 2.= 0BC i DA'-=OxO + 〔-2〕x4+2\Nx2u2 = OBC 1 叫'所以 BC i ±DA, BCUDB i.又由于DA ADB I =D,所以BC i,平面AB i D. ............................ 〔 9分〕 (出)解：显然平面 B i CB 的一个法向量为“ =(I, 0, 0)'=0, L *呼n 8-诙平片灯=0,付1 4尸窗％ ; 0, 【电/ 4叼如ririA.设二面角A-BiC-B 的平面角为0,由图可知此二面角为锐二面角,解析：(I)证实EG/AB i.然后利用直线与平面平行的判定定理证实 EG/印面AB i D.(n )取B iC i 的中点D i,连接DD i,建立空间直角坐标系 D-xyz,通过向量的数量积证实BC i IDA, BCODB i,然后证实BC i 」平面AB i D.(出)求出平面 B i CB 的一个法向量,平面 AB i C 的一个法向量,设二面角 A-B i C-B 的平面角为0,利用空间向量的数量积求解二面角的余弦函数值即可. 此题考查直线与平面垂直以及平行的判定定理的应用, 二面角的平面角的求法,考查计算水平.解析：此题考查了离散型随机变量的期望和方差,属中档题.(I )由图知a=0.3,某场外观众评分不小于 9的概率是:(n )计算概率可得分布列和期望;(m)专家评分的平均分高于观众评分的平均分,17.答案：(本小题总分值14分)(I)证实：由于E 为AC 中点,G 为B i C 中点.所以EG/AB 1. 又由于EG?平面AB i D, AB i ?平面AB i D, 所以EG/狂面AB i D. .................... ( 4分) (II )证实：取BiCi 的中点Di,连接DDi.显然DA, DC, DD i 两两互相垂直,如图,建立空间直角坐 标系D-xyz,那么 D (0,0,0),42、, 0, 0),B (0,-2,0),fl 1(O 1 -2, 2j),2. 2^2), B R G, 1, 0), C (0, 2, 0). 所以又由于 设平面AB i C 的一个法向量为:叼=〔x, y, z 〕,又；=(一2屈 2,.) ni L, ■ =〔.,4, -西设x=i ,贝U y =/1,上二亚,那么:a,隹两.'III所以COSfi =而・. 〔 I4 分〕但专家人数远小于观众人数, 故小于.18 .答案：(本小题总分值13分)解：(I )函数 f (x) = (2ax 2+4x) lnx-ax 2-4x (aCR,且 aw .. 由题意可知 f' (x) =4 (ax+1) lnx, xC (0, +°°).f' (1) =0, f (1) =-a-4, .•曲线y=f (x)在点(1, f (1))处的切线方程为 y=-a-4. ....... ( 3分) (n )①当av-1时,x 变化时f (x) , f (x)变化情况如下表：x ◎ 4 Tf-l 1)1 (1, +°°) f (x) -0 +0 -f (x)极小值极大值此时晨一：)②当a=-1时,f' (x) wo 在(0, +oo )上恒成立,所以f (x)在(0, +°°)单调递减. 此时f (x)无极小值,故不成立.③当-1<av .时,x 变化时f' (x) , f (x)变化情况如下表： x (0, 1) 1 J 1A+ 8)f (x) -0 + 0 -f (x)极小值/极大值解得u = -2 +避或a = -2—?3. 由于-1vav0,所以 u =④当a>0时,x 变化时f' (x) , f (x)变化情况如下表: x (0, 1) 1 (1, +°°) f (x)-+f (x)极小值解得a =—2 +小或H =一2-$3 ,故不成立. 综上所述,二-2 +祠. ............ . (13分)解析：(I )由题意可知 f (x) =4 (ax+1) lnx, xC (0, +0°) , f' (1) =0, f (1) =-a-4, 由此能求出曲线 y=f (x)在点(1, f (1))处的切线方程.(n )当av-1时,求出f]-3 =1 +力M-口)=；,解得口 = -^>-1 ,不成立；②当a=-1 f (x)在(0, +8)单调递减.f (x)无极小值;由题意可得一以一4=：,求出4=\信-2；当a>0时,极小值f (1) =-a-4.由此能求出a 的值.此题考查切线方程的求法,考查实数值的求法,考查导数性质、函数的单调性、最值等 根底知识,考查运算求解水平,考查化归与转化思想,是中档题.= 119 .答案：(I )解：由题意可得[〞 —3 解得a=J , b=1 ,\a 2 = b 2 + c 2时,f (x) w 师(0, +oo)上恒成立, 当-1vav0 时,极小值 f (1) =-a-4,所以椭圆C 的方程为；+y 2=i.(n )直线BD 恒过x 轴上的定点 N (2, 0).证实如下 (1)当直线l 斜率不存在时,直线l 的方程为x=1, 不妨设 A (1,乎),B (1, ¥), D (3,悟)此时,直线BD 的方程为：y ((x-2),所以直线BD 过点(2, 0)(2)当直线l 的斜率存在时,设 A (xi, yi) , B (x2, y2),直线AB 为y=k (x-1), D (3, yi).解析：(I )由题意列关于a, b, c 的方程组,求解可得 a, b, c 的值,那么椭圆方程可 求；(n)当直线AB 的斜率不存在时,直线 BD 过点(2, 0).当直线AB 的斜率存在时, 设直线AB 为y=k (x-i),联立方程组,消去 y 整理得：(i+3k 2) x 2-6k 2x+3k 2-3=0,利 用韦达定理、直线方程,结合条件求出直线BD 过x 轴上的定点.此题考查椭圆方程求法,考查考查两直线的交点是否为定点的判断与求法,考查椭圆、 韦达定理、根的判别式、直线方程、弦长公式等根底知识,考查推理论证水平、运算求 解水平,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是中档题.20 .答案：解：(I )假设集合 A={0 , i, 2},那么 S (A) =T (A) ={0 , i, 2, 3, 4} •….(3 分)(n )令 A={Xi, x2,…xn}.不妨设 xi 〈x2<e y xn. 充分性：设{xk}是公差为d (dWQ)的等差数列. 贝U x i +x j =x i + (i-i) d+x i + (j-i) d=2x i + (i+j-2) d (iW, j 而)且2M+jwm.所以x i +x j 共有2n-i 个不同的值.即 d (S (A) ) =2n-i. 必要性：假设 d (S (A) ) =2n-i . 由于 2x i 〈x i +x i+i v 2x i+i, ( i=i, 2,…,n-i).所以 S (A)中有 2n-i 个不同的元素：2x i, 2x 2 ,…,2x n, x i + x 2, x 2+x 3,…,x n-i +x n. 任意x i +x j (iw, j 切)的值都与上述某一项相等.又 x i +x i+i v x i +x i+2V x i+i + x i+2, 且 x i + x i+i V 2x i+i V x i+i +x i+2 , i=i , 2 , …,n-2 . 所以X i +x i+2=2x i+i ,所以{x k }是等差数列,且公差不为 0.….(8分)(出)首先证实：iCA.假设i?A, A 中的元素均大于i,从而i?S (A), 因此 i?T (A) , i?S (T (A)),故 i?T (T (A)),与{i , 2, 3,…,25, 26} ?T (T (A))矛盾,因此i CA. 设A 的元素个数为n, S (A)的元素个数至多为C ： + n,从而T (A),的元素个数至多为 C -+n+n=,f^m. * 2假设n=2,那么T (A)元素个数至多为5,从而T (T (A))的元素个数至多为亨=20, 而T (T (A))中元素至少为 26,因此n>3假设 A 有三个元素,设 A={1 , a2, a 3},且 1va 2〈a3W8,那么 1, 2, a2, a 2+1, a 3, a 3+1, 2a 2, a 2+a 3, 2a 3C T (A),, = «一1) x 2+ 所以 x i +x 2= :(1+3k 2) x 2-6k 2x+3k 2-3=0.直线 北BD: y-y i = 所以由于(x-3),令 y=0,得 x-3=故直线BD 过点(2,0). 综上所述,直线 BD 恒过x 轴上的定点(2, 0)从而1, 2, 3, 47(T (A) ) .假设a2>5, T (T (A))中比4大的最小数为32,那么5?T (T (A)),与题意矛盾,故a2<5.集合T (T (A)).中最大数为4a3,由于26CT (T (A)),故4a3> 26从而a3>7, (i)假设A={1 , a2, 7},且a2<5.此时1, 2, a2, a2+1, 7, 8, 2a2, 7+a2, 14b (A), 那么有8+14=22, 2X14=28CT (T (A)),在22 与28之间可能的数为14+2a2, 21+a2. 此时23, 24, 25, 26不能全在T (T (A)).中,不满足题意. (ii)假设A={1 , 32, 8},且32<5 此时1, 2 , 32 , 32+1, 8 , 9 , 232 , 8+ 32, 16CT (A), 那么有16+9=25 CT (T (A)),假设26 CT (T (A)),那么16+232=26 或16+ (8+32)=26, 解得32=5或32=2 .当A={1 , 2, 8}时,15, 21, 23?T (T (A)).,不满足题意.当A={1 , 2, 8}时,T (T (A) ) ={1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 29, 32},满足题意.故元素个数最少的集合A为{1, 5, 8} ....................... ... ( 13分)解析：(I)根据定义直接进行计算即可(n)根据充分条件和必要条件的一结合等差数列的性质进行证实(m )首先证实：1 CA,然后根据条件分别判断A中元素情况即可得到结论.此题主要考查集合元素性质以及充分条件和必要条件的应用, 综合性强,难度比拟大.不太好理解.。

2020年高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若z(1+i)=i−2(i为虚数单位)，则z.等于()A. −12+32i B. −12−32i C. −1+3i D. −1−3i2.设集合M={x|x2<36}，N={2,4，6，8}，则M∩N=()A. {2,4}B. {4,6}C. {2,6}D. {2,4，6}3.设S n为等差数列{a n}的前n项和，若2a4+a10+a12=22，则S14=()A. 56B. 66C. 77D. 784.“勾股圆方图”是我国古代数学家赵爽设计的一幅用来证明勾股定理的图案，如图所示.在“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形.若直角三角形中较小的锐角满足，则从图中随机取一点，此点落在阴影部分的概率是A. B. C. D.5.函数f(x)=ln|x|+|sinx|(−π⩽x⩽π且x≠0)的图象大致是()．A. B.C. D.6.要从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，若按性别依此比例分层抽样且某男生担任队长，则不同的抽样方法数是()A. C93C52B. C103C52C. A103A52D. C104C527. 如图是一个三棱锥的三视图，其俯视图是正三角形，主视图与左视图都是直角三角形．则这个三棱锥的外接球的表面积是( )A. 19πB. 28πC. 67πD. 76π8. 已知F 1，F 2是椭圆x 216+y 212=1的左、右焦点，直线l 过点F 2与椭圆交于A 、B 两点，且|AB|=7，则△ABF 1的周长为( )A. 10B. 12C. 16D. 39. 已知函数f(x)=|x 2−4|−3x +m 恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A. (−6,6)∪(254,+∞) B. (254,+∞) C. (−∞,−254)∪(−6,6)D. (−254,+∞)10. 已知A 、M 、B 三点共线，m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数t 的值为( )．A. １２B. １３C. −１２D. −１３11. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦点为F 1、F 2，渐近线为l 1，l 2，过点F 2且与l 1平行的直线交l 2于M ，若M 在以线段F 1 F 2为直径的圆上，则双曲线的离心率为( )A. 2B. √2C. √3D. √512. f(x)是定义在R 上的偶函数，当x <0时f(x)+x ⋅f′(x)<0，且f(−4)=0，则不等式xf(x)>0的解集为( )A. (−4,0)∪(4,+∞)B. (−4,0)∪(0,4)C. (−∞,−4)∪(4,+∞)D. (−∞,−4)∪(0,4)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设x ，y 满足约束条件{y −1≤0x −y −1≤0x +2y −2≥0，则z =x −2y 的最小值是______．14. 等比数列{a n }中，a 1+a 2=20，a 3+a 4=40，则a 5+a 6等于______ ． 15. (1)观察下列式子：1+122<32，1+122+132<53，，…，根据以上式子可以猜想：1+122+132+⋯+120162<______．(2)甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且a 、b ∈{0,1,2,…,9}.若|a −b|=1，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为______．(3)古代埃及数学中发现有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干个单分数和的形式.例如25=13+115，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人12，不够，每人13，余13，再将这13分成5份，每人得115，这样每人分得13+115.形如22n+1(n =2,3,4，…)的分数的分解：25=13+115，27=14+128，29=15+145，按此规律，22n+1=______(n =2,3,4，…)． (4)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足x 2f’(x)+1>0，f(1)=5，则不等式f(x)<1x +4的解集为______．16. 直线y =2x +1被圆x 2+y 2=1截得的弦长为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若a−c b−c =sinBsinA+sinC ．(1)求角A ；(Ⅱ)设m ⃗⃗⃗ =(sinB,cos2B)，n ⃗ =(2,1)，求m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ 的最大值．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB =45°，PD ⊥平面ABCD ，AP ⊥BD ． (1)证明：BC ⊥平面PDB ；(2)若AB =√2,PB 与平面APD 所成角为45°，求二面角A −PC −B 的大小．19. 动点P 到定点F(0,1)的距离比它到直线y =−2的距离小1，设动点P 的轨迹为曲线C ，过点F的直线交曲线C 于A 、B 两个不同的点，过点A 、B 分别作曲线C 的切线，且二者相交于点M ． (Ⅰ)求曲线C 的方程； (Ⅱ)求证：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0；20. 某企业根据供销合同生产某种型号零件10万件，规定：零件长度(单位：毫米)在区间(99,101]内，则为一等品；若长度在(97,99]或(101,103]内，则为二等品；否则为不合格产品．现从生产出的零件中随机抽取100件作样本，其长度数据的频率分布直方图如图所示． (Ⅰ)试估计该样本的平均数；(Ⅱ)根据合同，企业生产的每件一等品可获利10元，每件二等品可获利8元，每件不合格产品亏损6元，若用样本估计总体，试估算该企业生产这批零件所获得的利润．21.已知函数f(x)=e x−ax，其中a∈R，e为自然对数的底数．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a>0时，求函数f(x)在[0,a]上的最大值．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =1+√22ty =2+√22t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ． (I)写出直线l 的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； (II)直线l 与曲线C 2交于A 、B 两点，求|AB|．23. 已知函数f(x)=|x −3|+|x −a|，a ∈R ．(1)当a =0时，解不等式f(x)>4；(2)若∃x ∈R ，使不等式|x −3|+|x −a|<4成立，求a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：由z(1+i)=i −2， 得z =i−21+i =(i−2)(1−i)(1+i)(1−i)=−1+3i 2=−12+32i ，则z .=−12−32i ． 故选：B ．由z(1+i)=i −2，得z =i−21+i ，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z 得答案． 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的求法，是基础题．2.答案：A解析：解：M ={x|−6<x <6}； ∴M ∩N ={2,4}． 故选：A ．可求出集合M ，然后进行交集的运算即可． 考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．3.答案：C解析：本题考查了等差数列的通项公式、求和公式及等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用等差数列的通项公式、求和公式及等差数列的性质即可得出． 解：∵2a 4+a 10+a 12=22，∴4a 1+26d =22， ∴2a 1+13d =11，∴a 7+a 8=2a 1+13d =11， 则S 14=14(a 1+a 14)2=7(a 7+a 8)=77．故选C ．4.答案：D解析：本题主要考查几何概型与数学文化的考查，根据几何概型的概率公式求出对应区域的面积是解决本题的关键；设出大正方形的边长，结合cosα=45，分别求出小直角三角形的边长，得到小正方形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可；属于基础题．解：设大正方形边长为5，由cosα=45知α对边等于3，邻边等于4，∴小正方形的边长为1，面积等于S=1，则对应的概率P=125．故选D．5.答案：D解析：本题考查函数的奇偶性以及函数的导数的应用，函数的极值，考查转化思想以及计算能力．利用函数的奇偶性排除选项，通过函数的导数求解函数的极值点的个数，求出f(π)的值，推出结果即可．解：函数f(x)=ln|x|+|sinx|(−π≤x≤π且x≠0)是偶函数排除A．当x>0时，f(x)=lnx+sinx，可得：f′(x)=1x+cosx，令1x +cosx=0，作出y=1x与y=−cosx图象如图：可知两个函数有一个交点，就是函数有一个极值点．f(π)=lnπ>1，故选D．6.答案：A解析：解：∵从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，∴每个学生被抽到的概率是615=25，∵按性别依此比例分层抽样∴应抽男生25× 10=4，应抽女生25× 5=2，∵某男生担任队长，∴不同的抽样方法数是C93C52，故选A．由题意知从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，得到每个学生被抽到的概率是615，因为按性别依此比例分层抽样，做出男女各需抽的人数，某男生担任队长，所以只抽三个男生即可，写出结果．本题是一个分层抽样与排列组合问题的综合题，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．7.答案：B解析：解：三视图可知几何体是底面为正三角形，边长为：3，一条侧棱垂直底面正三角形的一个顶点的三棱锥，三棱锥的高为4，三棱锥补充为三棱柱，三棱柱与三棱锥的外接球是同一个外接球，由棱柱的底面边长为3，则底面半径为r=3×√33=√3，由棱柱的高为4，则球心距d=2，外接球的半径R=√r2+d2=√7，故这个三棱锥的外接球的表面积S=4πR2=28π，故选：B由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出其外接球的半径，代入球的表面积公式，可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．8.答案：C解析：本题考查椭圆的定义．椭圆的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．利用椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，并且|AF2|+|BF2|=|AB|，进而得到答案．解：椭圆x216+y212=1，可得a=4，根据题意结合椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|=2a=8，并且|BF1|+|BF2|=2a=8，又因为|AF2|+|BF2|=|AB|，所以△ABF1的周长为：|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=16．故选：C．9.答案：C解析：本题主要考查根的存在性的应用，利用一元二次函数的图象和性质，以及数形结合是解决本题的关键．由f(x)=0，得m=3x−|x2−4|，作出函数y=g(x)=3x−|x2−4|图象，利用数形结合即可得到结论．解：由f(x)=0，得m=3x−|x2−4|，设g(x)=3x−|x2−4|，当x≥2或x≤−2时，g(x)=3x−|x2−4|，g(x)=3x −x 2+4=−(x −32)2+254，当−2<x <2时，g(x)=3x −|x 2−4|，g(x)=3x +x 2−4=(x +32)2−254，作出y =g(x)=3x −|x 2−4|图象如图：要使函数f(x)=|x 2−4|−3x +m 恰有两个不同的零点，则m <−254或−6<m <6，即m ∈(−∞,−254)∪(−6,6)，故选：C10.答案：D解析：解：∵AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =t(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， 化为3(t +1)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 与m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 比较可得：{3(t +1)=m −3t =1，解得t=−13．故答案为：−13．利用向量的三角形法则和平面向量的基本定理即可得出．本题考查了向量的三角形法则和平面向量的基本定理，属于基础题．11.答案：A解析：解：不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=ba(x−c)，与y=−ba x联立，可得交点M(c2,−bc2a)，∵点M在以线段F1F2为直径的圆上，∴c24+b2c24a2=c2，∴b=√3a，∴c=√a2+b2=2a，∴e=ca=2．故选：A．已知得出过F且与双曲线C的一条渐近线平行的直线方程，与另一条渐近线方程联立即可解得交点M的坐标，代入以线段F1F2为直径的圆的方程，即可得出离心率e．本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，熟练掌握双曲线的渐近线及离心率、直线的点斜式、圆的方程是解题的关键．12.答案：D解析：本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的单调性的关系对不等式进行判断．解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时f(x)+x⋅f′(x)<0，且f(−4)=0，所以ℎ(x)=xf(x)在x<0时单调递减，在x>0时递增，且ℎ(−4)=ℎ(4)=0，故选D.13.答案：−2解析：解：由x ，y 满足约束条件{y −1≤0x −y −1≤0x +2y −2≥0作出可行域如图，化目标函数z =x −2y 为y =12x −z 2．联立{y =1x +2y −2=0，解得：C(0,1)． 由图可知，当直线y =12x −z 2过C(0,1)时直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值，等于0−2×1=−2．故答案为：−2．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 14.答案：80解析：解：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 3+a 4=(a 1+a 2)⋅q 2，即40=20q 2,解得q 2=2，故a 5+a 6=(a 3+a 4)⋅q 2=40×2=80,故答案为：80．设等比数列{a n }的公比为q ，由a 3+a 4=(a 1+a 2)⋅q 2，可得q 2=2，而a 5+a 6=(a 3+a 4)⋅q 2，代入可得．本题考查等比数列的通项公式和公比的定义，属基础题．15.答案：(1)40312016；(2)950；(3)1n+1+1(n+1)(2n+1)；(4)(0,1)．解析：(1)本题考查归纳推理的应用，根据已知不等式得到规律即可求解．)解：，，，则，故答案为40312016．(2)本题考查古典概型的概率计算，列出基本事件，代入古典概型的公式即可求解．解：总的基本事件共有10×10=100种，满足|a−b|=1，即取相邻的两个数共有9×2=18种，则概率为18100=950，故答案为950．(3)本题考查归纳推理的应用，根据所给的等式找出规律即可求解．解：25=13+13×5，3=5+12；2 7=14+14×7，4=7+12；2 9=15+15×9，5=9+12按此规律，22n+1=1n+1+1(n+1)(2n+1)(n=2,3,4，…)，故答案为1n+1+1(n+1)(2n+1)．(4)本题考查导数在函数单调性中的应用，根据不等式函数得到单调性即可求解．解：设g(x)=f(x)−1x ，则g′(x)=f′(x)+1x2=x2f′(x)+1x2>0，所以g(x)在单调递增，又g(1)=4，不等式可化为g(x)<g(1)，则0<x<1，故答案为(0,1)．16.答案：4√55 解析：解：如图，圆x 2+y 2=1的圆心O(0,0)，半径r =1，∵圆心O 到直线y =2x +1的距离：OD =|2×0−0+1|√5=√55， ∴BD =(√55)=2√55， ∴直线y =2x +1被圆x 2+y 2=1截得的弦长：|AB|=2|BD|=4√55． 故答案为：4√55． 利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由勾股定理求出弦长．本题考查圆的弦长的求法，是基础题，解题时要注意点到直线的距离公式的合理运用．17.答案：解：(1)由a−c b−c =sinB sinA+sinC则a−c b−c =b a+c ，即a 2=b 2+c 2−bc ，由余弦定理，a 2=b 2+c 2−2bccosA ，得cosA =12， 由于A 为锐角，则A =π3；(II)m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =2sinB +cos2B ，=2sinB +1−2sin 2B=−2sin 2B +2sinB +1，B ∈(0,2π3)，令t =sinB ，则t ∈(0,1]．则m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−2t 2+2t +1=−2(t −12)2+32，t ∈(0,1]． ∴t =12时，m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ 取得最大值32．解析：(1)由正弦定理将角化为边，再由余弦定理即可求得角A ；(II)由向量的数量积的坐标表示，结合二倍角公式及三角换元，由二次函数的最值求法，即可得到最大值．本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查平面向量的数量积的坐标表示，考查三角函数的求值，考查二次函数的值域问题，考查运算能力，属于中档题．18.答案：(1)证明：由PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，得PD ⊥BD ，又AP ⊥BD ，AP ∩PD =P ，AP ，PD ⊂平面APD ，所以BD ⊥平面APD ，又∵AD ⊂平面APD ，所以BD ⊥AD ，又AD//BC ，所以BC ⊥BD ，因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC ，又BD ∩PD =D ，BD ，PD ⊂平面PDB ，所以BC ⊥平面PDB ；(2)解：由(1)可知BD ⊥AD ，又AB =√2，∠DAB =45°，所以AD =BD =1，又BD ⊥平面APD ，所以DP 为BP 在平面APD 内的射影，故∠BPD =45°，所以PD =BD =1，以D 为坐标原点，DA ，DB ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则P(0,0，1)，A(1,0，0)，B(0,1，0)，C(−1,1，0)，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−1),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−1)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−1)，设m⃗⃗⃗ =(x,y,z)为平面APC 的法向量， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +y −z =0m⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =x −z =0，故m ⃗⃗⃗ =(1,2,1)， 设平面PCB 的法向量n⃗ =(a,b,c)， 则{n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a +b −c =0n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b −c =0，得n ⃗ =(0,1,1)， 故cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=2√3=√32， 因为二面角A −PC −B 为锐二面角，所以二面角A −PC −B 的大小为π6．解析：本题考查线面垂直的判定定理与性质定理，考查空间想象能力和运算能力，是中档题．(1)根据题意，先判断BD ⊥平面APD ，得到PD ⊥BC ，根据线面垂直的判定定理得出结论；(2)根据题意，以D 为坐标原点，DA ，DB ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面APC 和平面PCB 的法向量，进行求解即可．19.答案：解：(Ⅰ)由已知，动点P 在直线y =−2上方，条件可转化为动点P 到定点F(0,1)的距离等于它到直线y =−1的距离，∴动点P 的轨迹是以F(0,1)为焦点，直线y =−1为准线的抛物线故其方程为x 2=4y ；(Ⅱ)证明：设直线AB 的方程为y =kx +1，由{x 2=4y y =kx +1得：x 2−4kx −4=0， 设A(x A ,y A )，B(x B ,y B )，则x A +x B =4k ，x A x B =−4，由x 2=4y 得：y =14x 2，∴y′=12x ，∴直线AM 的方程为：y −14x A2=12x A (x −x A )① 直线BM 的方程为：y −14x B2=12x B (x −x B )② ①−②得：14(x B 2−x A 2)=12(x B 2−x A 2)，即x =x A +x B2=2k ， 将x =x A +x B2代入①得：y −14x A 2=12x A x B −x A 2=14x A x B −14x A 2， ∴y =14x A x B =−1，故M(2k,−1)，∴MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2k,−2)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x B −x A ,k(x B −x A ))，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2k(x B −x A )−2k(x B −x A )=0．解析：(Ⅰ)由题意可得条件可转化为动点P 到定点F(0,1)的距离等于它到直线y =−1距离，由抛物线的定义即可得到所求曲线方程；(Ⅱ)设直线AB 的方程为y =kx +1，代入抛物线的方程，运用韦达定理，求得y =14x 2的导数，可得切线的斜率和方程．联立方程组，求得交点M 的坐标，再由向量数量积的坐标表示，即可得证． 本题考查曲线方程的求法，注意运用抛物线的定义和方程，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和导数的几何意义，考查运算能力，属于中档题．20.答案：解：(Ⅰ)由频率分布直方图可得各组的频率分别为0.02，0.18，0.38，0.30，0.10，0.02．平均数估计值是96×0.02+98×0.18+100×0.38+102×0.30+104×0.10+106×0.02=100.68．(Ⅱ)由题意知，一等品的频率为0.38，二等品的频率为0.48，不合格产品的频率为0.14． 用样本估计总体，一等品约有3.8万件，二等品约有4.8万件，不合格产品约有1.4万件．故该企业生产这批零件预计可获利润3.8×10+4.8×8−1.4×6=68万元．解析：本题主要考查了频率分布直方图，着重考查了频率分布直方图的理解和频率计算公式等知识，属于基础题．(Ⅰ)平均数为频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和，计算即可；(Ⅱ)算出一等品、二等品、不合格产品的频率，进而求出产品的数量，即可算该企业生产这批零件所获得的利润；21.答案：解：f(x)的定义域是R ，(1)f′(x)=e x −a ，①a >0时，令f′(x)>0，解得：x >lna ，令f′(x)<0，解得：x <lna ，故f(x)在(−∞,lna)递减，在(lna,+∞)递增；②a ≤0时，f′(x)>0，f(x)在R 递增；综上所述，当a >0时，f(x)在(−∞,lna)递减，在(lna,+∞)递增；当a ≤0时，f(x)在R 递增；(2)由(1)知当a>0时，f(x)在(−∞,lna)递减，在(lna,+∞)递增；先比较a与ln a的大小，构造函数y=x−lnx，则y′=1−1x =x−1x，易得当x∈(0,1)时，y=x−lnx单调递减，当x∈(1,+∞)时，y=x−lnx单调递增，所以当x=1时，y=x−lnx有最小值，即y min=1，即x−lnx>0，所以a>lna，①lna≤0即0<a≤1时，f(x)在[0,a]递增，f(x)max=f(a)=e a−a2，②当a>1时，0<lna<a恒成立，f(x)在[0,lna)递减，在(lna,a]递增，f(0)=1，f(a)=e a−a2，令ℎ(x)=e x−x2−1(x>1)，则ℎ′(x)=e x−2x，令m(x)=e x−2x(x>1)，则m′(x)=e x−2>0，即ℎ′(x)=e x−2x在(1,+∞)上是单调递增的，所以ℎ′(x)>e−2>0，即ℎ(x)=e x−x2−1在(1,+∞)上是单调递增的，所以ℎ(x)>e−1−1=e−2>0，所以当a>1时，e a−a2>1，即f(x)max=f(a)=e a−a2，综上所述，当a>0时，函数f(x)在[0,a]上的最大值e a−a2．解析：本题考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，属于中档题．(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(2)通过讨论a的范围，构造函数，结合函数的单调性比较大小即可求出函数的最值即可．22.答案：解：(I)直线l的参数方程可化为普通方程为x−y+1=0，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ．曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2−4y =0，即x 2+(y −2)2=4；(II)设A 、B 两点所对应的参数分别为t A ，t B,将{x =1+√22t y =2+√22t(t 为参数)代入x 2+y 2−4y =0， 化简整理可得t 2+√2t −3=0，从而{t A +t B =−√2t A t B =−3, 故|AB|=√(t A +t B )2−4t A t B =√14．解析：本题考查参数方程和极坐标方程与普通方程的互化，考查参数方程的运用，属于中档题． (I)利用坐标互化的方法即可写出直线l 的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(II)利用参数的几何意义，即可求得|AB|．23.答案：(本小题满分10分)解：(1)由a =0，原不等式为|x −3|+|x|>4由绝对值的几何意义可得{x|x <−12或x >72} …(5分)(2)由∃x ∈R ，|x −3|+|x −a|<4成立，得(|x −3|+|x −a|)min <4，又|x −3|+|x −a|≥|x −3−(x −a)|=|a −3|∴|a −3|<4，解得−1<a <7…(10分)解析：(1)利用绝对值的几何意义，转化求解即可．(2)利用绝对值的几何意义，求出不等式的最小值，列出不等式，转化求解即可．本题考查绝对值不等式的解法，不等式恒成立条件的转化，考查计算能力．。

直线 AB 的方程为____________．
答案：x＋y－3＝0
解析：设圆心为 C，由题知 kAB·kCP＝－1，又 kCP＝2－1＝1，∴ kAB＝－1，∴ 直线 AB 的方程为 y＝ 1－0
－(x－1)＋2，即 x＋y－3＝0.
11. 在△ABC 中，BC＝2，A＝2π，则A→B·A→C的最小值为________． 3
抛物线 y2＝－4x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为________．
答案： y＝± 3x 解析：由题设知a2＝1，又易知双曲线焦点在 x 轴上，且 a＝1，所以 b2＝c2－a2＝3，从而双曲线方程为
c2
x2－y2＝1，所以双曲线渐近线方程为 y＝± 3x. 3
7. 在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P(m，1)到直线 4x－3y－1＝0 的距离为 4，且点 P 在不等式 2x＋y≥3 表示的平面区域内，则 m＝________． 答案：6 解析：由题知|4m－4|＝4，得 m＝6 或－4，∴ P(6，1)或 P(－4，1)．又 2x＋y≥3，∴ m＝6. 5
11
＝
a
[π
－ 1 x4＋4x3－12x2 25 3
＋12×104]，(10
分)
11
令 f(x)＝－ 1 x4＋4x3－12x2，则 25 3
f′(x)＝－
4
x3＋4x2－24x＝－4x
1 x2－x＋6 25
.
25
由 f′(x)＝0，解得 x＝0(舍去)或 x＝10 或 x＝15，(12 分)
列表如下：
a
a
14. 已知等比数列{an}的首项为4，公比为－1，其前 n 项和为 Sn，若 A≤Sn－ 1 ≤B 对 n∈N*恒成立，则 B

2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．i是虚数单位，=（）A．1﹣i B．﹣1﹣i C．1+i D．﹣1+i2．已知全集U=R，函数y=ln（x﹣1）的定义域为M，集合N={x|x2﹣x＜0}，则下列结论正确的是（）A．M∩N=N B．M∩（∁U N）=∅C．M∪N=U D．M⊆（∁U N）3．“”是“e a＞e b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．42 B．19 C．8 D．35．在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（）A．B．或C．D．或6．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）（注：结余=收入﹣支出）A．收入最高值与收入最低值的比是3：1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．1 D．8．若圆x2+（y﹣1）2=r2与曲线（x﹣1）y=1没有公共点，则半径r的取值范围是（）A．0＜r＜B．0＜r＜C．0＜r＜D．0＜r＜二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．二项式（x2+）5的展开式中含x4的项的系数是_______（用数字作答）．10．已知等差数列{a n}（n∈N*）中，a1=1，a4=7，则数列{a n}的通项公式a n=_______；a2+a6+a10+…+a4n+10=_______．11．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2+y2=2，曲线C2的参数方程为（t为参数）．以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C1与C2的交点的极坐标为_______．12．不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与区域D有公共点，则实数a的取值范围是_______．13．已知M为△ABC所在平面内的一点，且．若点M在△ABC的内部（不含边界），则实数n的取值范围是_______．14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第i（i=1，2，…，12）项能力特征用x i表示，，若学生A，B的十二项能力特征分别记为A=（a1，a2，…，a12），B=（b1，b2，…，b12），则A，B两名学生的不同能力特征项数为_______（用a i，b i表示）．如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为_______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数，ω＞0．（Ⅰ）若ω=1，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若，求f（x）的最小正周期T的表达式并指出T的最大值．16．为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如表．1 2 3 4 5男生 1 4 3 2 2女生0 1 3 3 1（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率？（Ⅱ）若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试判断男学生阅读名著本数的方差与女学生阅读名著本数的方差的大小（只需写出结论）．17．如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1∥AB，AB=AA1=2A1B1=2．直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且使得平面AA1C1C⊥平面AA1B1B．M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点．（Ⅰ）求证：A1C1⊥AP；（Ⅱ）当点P是线段BB1中点时，求二面角P﹣AM﹣B的余弦值；1（Ⅲ）是否存在点P，使得直线A1C∥平面AMP？请说明理由．18．已知函数f（x）=x+alnx，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，都有f（x）＞0成立，求a的取值范围；（Ⅲ）试问过点P（1，3）可作多少条直线与曲线y=f（x）相切？并说明理由．19．已知点和椭圆C：．（Ⅰ）设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，试求△PF1F2的周长及椭圆的离心率；（Ⅱ）若直线l：与椭圆C交于两个不同的点A，B，直线PA，PB 与x轴分别交于M，N两点，求证：|PM|=|PN|．20．已知等差数列{a n}的通项公式．设数列{b n}为等比数列，且．（Ⅰ）若b1=a1=2，且等比数列{b n}的公比最小，（ⅰ）写出数列{b n}的前4项；（ⅱ）求数列{k n}的通项公式；（Ⅱ）证明：以b1=a2=5为首项的无穷等比数列{b n}有无数多个．2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．i是虚数单位，=（）A．1﹣i B．﹣1﹣i C．1+i D．﹣1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，运算求得结果．【解答】解：===1+i，故选C．2．已知全集U=R，函数y=ln（x﹣1）的定义域为M，集合N={x|x2﹣x＜0}，则下列结论正确的是（）A．M∩N=N B．M∩（∁U N）=∅C．M∪N=U D．M⊆（∁U N）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】分别解出关于M，N的范围，然后判断即可．【解答】解：由x﹣1＞0，解得：x＞1，故函数y=ln（x﹣1）的定义域为M=（1，+∞），由x2﹣x＜0，解得：0＜x＜1，故集合N={x|x2﹣x＜0}=（0，1），∴∁U N={x|x≥1或x≤0}，∴M⊆（∁U N），故选：D．3．“”是“e a＞e b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“”等价于a＞b，可得“e a＞e b”，反之不成立，例如取a=2，b=﹣1．即可判断出结论．【解答】解：∵“”⇔a＞b⇒“e a＞e b”，反之不成立，例如取a=2，b=﹣1．∴“”是“e a＞e b”的充分不必要条件．故选：A．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．42 B．19 C．8 D．3【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=4时不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为19．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=1满足条件i＜4，S=3，i=2满足条件i＜4，S=8，i=3满足条件i＜4，S=19，i=4不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为19．故选：B．5．在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（）A．B．或C．D．或【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理表示出cosB，整理后代入已知等式，利用同角三角函数间基本关系化简，求出sinB的值，即可确定出B的度数．【解答】解：∵cosB=，∴a2+c2﹣b2=2accosB，代入已知等式得：2ac•cosBtanB=ac，即sinB=，则B=或．故选：B．6．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）（注：结余=收入﹣支出）A．收入最高值与收入最低值的比是3：1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元【考点】函数的图象与图象变化．【分析】根据折现统计图即可判断各选项．【解答】解：由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3：1，故A正确，由图可知，结余最高为7月份，为80﹣20=60，故B正确，由图可知，1至2月份的收入的变化率为与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确，由图可知，前6个月的平均收入为（40+60+30+30+50+60）=45万元，故D错误，故选：D．7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．1 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为如图所示的三棱锥，CB⊥侧面PAB．利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为如图所示的三棱锥，CB⊥侧面PAB．该几何体的体积V=××1=．故选：A．8．若圆x2+（y﹣1）2=r2与曲线（x﹣1）y=1没有公共点，则半径r的取值范围是（）A．0＜r＜B．0＜r＜C．0＜r＜D．0＜r＜【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】求得圆的圆心和半径，设圆与曲线y=相切的切点为（m，n），代入曲线的方程，求出函数的导数和切线的斜率，由两点的斜率公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，解方程可得切点，进而得到此时圆的半径，结合图象即可得到所求范围．【解答】解：圆的圆心为（0，1），半径为r，设圆与曲线y=相切的切点为（m，n），可得n=，①y=的导数为y′=﹣，可得切线的斜率为﹣，由两点的斜率公式可得•（﹣）=﹣1，即为n﹣1=m（m﹣1）2，②由①②可得n4﹣n3﹣n﹣1=0，化为（n2﹣n﹣1）（n2+1）=0，即有n2﹣n﹣1=0，解得n=或，则有或．可得此时圆的半径r==．结合图象即可得到圆与曲线没有公共点的时候，r的范围是（0，）．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．二项式（x2+）5的展开式中含x4的项的系数是10（用数字作答）．【考点】二项式定理．【分析】先求出二项式（x2+）5的展开式中通项公式，令x的系数等于4，求出r的值，即可求得展开式中含x4的项的系数．【解答】解：二项式（x2+）5的展开式中通项公式为T r+1=x10﹣2r x﹣r=x10﹣3r．令10﹣3r=4，可得r=2，∴展开式中含x4的项的系数是=10，故答案为10．10．已知等差数列{a n}（n∈N*）中，a1=1，a4=7，则数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1；a2+a6+a10+…+a4n+10=（n+3）（4n+11）．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式求出首项和公差，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}（n∈N*）中，a1=1，a4=7，∴a4=1+3d=7，解得d=2，∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，∴a2=1+2=3，a6=1+5×2=11，a6﹣a2=8，∴a2+a6+a10+…+a4n+10=×3+×8=（n+3）（4n+11）．故答案为：2n﹣1，（n+3）（4n+11）．11．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2+y2=2，曲线C2的参数方程为（t 为参数）．以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C1与C2的交点的极坐标为（，）．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．【分析】将曲线C2的参数方程代入曲线C1的方程，可得t=1，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，tanθ=，求得ρ，θ，即可得到所求坐标．【解答】解：将曲线C2的参数方程（t为参数）代入曲线C1的方程为x2+y2=2，可得（2﹣t）2+t2=2，解得t=1，可得交点的直角坐标为（1，1），由x=ρcosθ，y=ρsinθ，tanθ=，可得ρ==，tanθ=1，0＜θ＜，可得θ=．可得交点的极坐标为（，）．故答案为：（，）．12．不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与区域D有公共点，则实数a的取值范围是．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域图示：因为y=a（x+1）过定点C（﹣1，0）．当a≤0时，直线y=a（x+1）与区域D有公共点，满足条件．当a＞0时，当直线y=a（x+1）过点A时，由公共点，由得，即A（3，3），代入y=a（x+1）得4a=3，a=，又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．此时0＜a≤．综上所述，a≤．故答案为：．13．已知M为△ABC所在平面内的一点，且．若点M在△ABC的内部（不含边界），则实数n的取值范围是（0，）．【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据题意可作出图形，将，带入并进行向量的数乘运算便可以得出，这样根据向量加法的平行四边形法则及向量数乘的几何意义便可得到，从而便可得出实数n的取值范围．【解答】解：如图，由得：；∴；∴；∴；∴；∴实数n的取值范围是．故答案为：．14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第i（i=1，2，…，12）项能力特征用x i表示，，若学生A，B的十二项能力特征分别记为A=（a1，a2，…，a12），B=（b1，b2，…，b12），则A，B两名学生的不同能力特征项数为（用a i，b i表示）．如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为22．【考点】函数模型的选择与应用；分段函数的应用．【分析】根据A，B两名学生的每一项的特征数是否相同，进行求解计算即可．【解答】解：若第i（i=1，2，…，12）项能力特征相同，则差为0，特征不相同，绝对值为1，则用x i表示A，B两名学生的不同能力特征项数为=|a1﹣b1|+|b2﹣c2|+…+|c12﹣a12|=，设第三个学生为C=（c1，c2，…，c12），则d i=|a i﹣b i|+|b i﹣c i|+|c i﹣a i|，1≤i≤12，∵d i的奇偶性和（a i﹣b i）+（b i﹣c i）+（c i﹣a i）=0一样，∴d i是偶数，3名学生两两不同能力特征项数总和为S=d1+d2+…+d12为偶数，又S≥7×3=21．则S≥22，取A=（0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1），B=（1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，1），C=（1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，1），则不同能力特征数总和恰好为22，∴最小值为22，故答案为：，22三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数，ω＞0．（Ⅰ）若ω=1，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若，求f（x）的最小正周期T的表达式并指出T的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）当ω=1时，利用两角和与差以及二倍角公式化简函数的解析式，然后求解函数的单调区间．（Ⅱ）化简函数的解析式为：f（x）=．通过，求出．然后求解T的最大值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当ω=1时，==．令．解得．所以f（x）的单调递增区间是．…（Ⅱ）由==．因为，所以．则，n∈Z．解得．又因为函数f（x）的最小正周期，且ω＞0，所以当ω=时，T的最大值为4π．…16．为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如表．1 2 3 4 5男生 1 4 3 2 2女生0 1 3 3 1（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率？（Ⅱ）若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试判断男学生阅读名著本数的方差与女学生阅读名著本数的方差的大小（只需写出结论）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；极差、方差与标准差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设事件A：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅读本数之和为4．由此能求出这两名学生阅读名著本数之和为4的概率．（Ⅱ）阅读名著不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的取值为0，1，2，3，4．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．（Ⅲ）．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅读本数之和为4．由题意可知，．…（Ⅱ）阅读名著不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的取值为0，1，2，3，4．由题意可得，，，，．所以随机变量X的分布列为X 0 1 2 3 4P随机变量X的均值．…（Ⅲ）．…17．如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1∥AB，AB=AA1=2A1B1=2．直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且使得平面AA1C1C⊥平面AA1B1B．M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点．（Ⅰ）求证：A1C1⊥AP；（Ⅱ）当点P是线段BB1中点时，求二面角P﹣AM﹣B的余弦值；1（Ⅲ）是否存在点P，使得直线A1C∥平面AMP？请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）证明AC⊥AB．结合AC⊥AA1，证明AC⊥平面AA1B1B．推出A1C1⊥平面AA1B1B．即可证明A1C1⊥AP．（Ⅱ）以AC，AB，AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出平面ABM的一个法向量，平面APM的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角P﹣AM﹣B的余弦值．（Ⅲ）存在点P，使得直线A1C∥平面AMP．设P（x1，y1，z1），求出平面AMP的一个法向量，求出，利用．求出λ，即可证明结果．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：由已知∠A1AB=∠A1AC=90°，且平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，所以∠BAC=90°，即AC⊥AB．又因为AC⊥AA1且AB∩AA1=A，所以AC⊥平面AA1B1B．由已知A1C1∥AC，所以A1C1⊥平面AA1B1B．因为AP⊂平面AA1B1B，所以A1C1⊥AP．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AC，AB，AA1两两垂直．分别以AC，AB，AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示．由已知AB=AC=AA1=2A1B1=2A1C1=2，所以A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），B1（0，1，2），A1（0，0，2）．因为M为线段BC的中点，P为线段BB1的中点，所以．易知平面ABM的一个法向量=（0，0，1）．设平面APM的一个法向量为=（x，y，z），由，得取y=2，得=（﹣2，2，﹣3）．由图可知，二面角P﹣AM﹣B的大小为锐角，所以===．所以二面角P﹣AM﹣B的余弦值为．…（Ⅲ）存在点P，使得直线A1C∥平面AMP．设P（x1，y1，z1），且，λ∈[0，1]，则（x1，y1﹣2，z1）=λ（0，﹣1，2），所以x1=0，y1=2﹣λ，z1=2λ．所以．设平面AMP的一个法向量为=（x0，y0，z0），由，得取y0=1，得（显然λ=0不符合题意）．又，若A1C∥平面AMP，则．所以．所以．所以在线段BB1上存在点P，且时，使得直线A1C∥平面AMP．…18．已知函数f（x）=x+alnx，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，都有f（x）＞0成立，求a的取值范围；（Ⅲ）试问过点P（1，3）可作多少条直线与曲线y=f（x）相切？并说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的定义域，函数的导函数，通过（1）当a≥0时，（2）当a ＜0时，当0＜x＜﹣a时，当x＞﹣a时，导函数的符号，判断函数的单调性．（Ⅱ）（1）当﹣a≤1时，（2）当1＜﹣a＜2时，（3）当﹣a≥2时，分别求解函数的最值．（Ⅲ）设切点为（x0，x0+alnx0），则切线斜率，求出切线方程，切线过点P（1，3），推出关系式，构造函数（x＞0），求出导函数，（1）当a＜0时，判断g（x）单调性，说明方程g（x）=0无解，切线的条数为0．（2）当a＞0时，类比求解，推出当a＞0时，过点P（1，3）存在两条切线．（3）当a=0时，f（x）=x，说明不存在过点P（1，3）的切线．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}．．（1）当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）当a＜0时，令f′（x）=0，得x=﹣a．当0＜x＜﹣a时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数；当x＞﹣a时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数．综上所述，当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．当a＜0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，﹣a），单调递增区间为（﹣a，+∞）．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当﹣a≤1时，即a≥﹣1时，函数f（x）在区间[1，2]上为增函数，所以在区间[1，2]上，f（x）min=f（1）=1，显然函数f（x）在区间[1，2]上恒大于零；（2）当1＜﹣a＜2时，即﹣2＜a＜﹣1时，函数f（x）在[1，﹣a）上为减函数，在（﹣a，2]上为增函数，所以f（x）min=f（﹣a）=﹣a+aln（﹣a）．依题意有f（x）min=﹣a+aln（﹣a）＞0，解得a＞﹣e，所以﹣2＜a＜﹣1．（3）当﹣a≥2时，即a≤﹣2时，f（x）在区间[1，2]上为减函数，所以f（x）min=f（2）=2+aln2．依题意有f（x）min=2+aln2＞0，解得，所以．综上所述，当时，函数f（x）在区间[1，2]上恒大于零．…（Ⅲ）设切点为（x0，x0+alnx0），则切线斜率，切线方程为．因为切线过点P（1，3），则．即．…①令（x＞0），则．（1）当a＜0时，在区间（0，1）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增；在区间（1，+∞）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以函数g（x）的最大值为g（1）=﹣2＜0．故方程g（x）=0无解，即不存在x0满足①式．因此当a＜0时，切线的条数为0．（2）当a＞0时，在区间（0，1）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，在区间（1，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以函数g（x）的最小值为g（1）=﹣2＜0．取，则．故g（x）在（1，+∞）上存在唯一零点．取，则=．设，u（t）=e t﹣2t，则u′（t）=e t﹣2．当t＞1时，u′（t）=e t﹣2＞e﹣2＞0恒成立．所以u（t）在（1，+∞）单调递增，u（t）＞u（1）=e﹣2＞0恒成立．所以g（x2）＞0．故g（x）在（0，1）上存在唯一零点．因此当a＞0时，过点P（1，3）存在两条切线．（3）当a=0时，f（x）=x，显然不存在过点P（1，3）的切线．综上所述，当a＞0时，过点P（1，3）存在两条切线；当a≤0时，不存在过点P（1，3）的切线．…19．已知点和椭圆C：．（Ⅰ）设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，试求△PF1F2的周长及椭圆的离心率；（Ⅱ）若直线l：与椭圆C交于两个不同的点A，B，直线PA，PB 与x轴分别交于M，N两点，求证：|PM|=|PN|．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的方程，求出a，b，c．通过椭圆的定义求解三角形的周长，求解椭圆的离心率．（Ⅱ）联立，利用直线l与椭圆C有两个交点，求出﹣4＜m＜0或0＜m＜4．设A（x1，y1），B（x2，y2），结合韦达定理，求解AB坐标，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，推出k1+k2=0，即可证明|PM|=|PN|．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，a2=4，b2=2，所以c2=2．因为是椭圆C上的点，由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=4．所以△PF1F2的周长为．易得椭圆的离心率．…（Ⅱ）证明：由得．因为直线l与椭圆C有两个交点，并注意到直线l不过点P，所以解得﹣4＜m＜0或0＜m＜4．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，，．显然直线PA与PB的斜率存在，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，则======．因为k1+k2=0，所以∠PMN=∠PNM．所以|PM|=|PN|．…20．已知等差数列{a n}的通项公式．设数列{b n}为等比数列，且．（Ⅰ）若b1=a1=2，且等比数列{b n}的公比最小，（ⅰ）写出数列{b n}的前4项；（ⅱ）求数列{k n}的通项公式；（Ⅱ）证明：以b1=a2=5为首项的无穷等比数列{b n}有无数多个．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）（ⅰ）写出数列{a n}的前若干项，观察可得等比数列{b n}的公比最小为4，即可得到所求；（ⅱ）由（ⅰ）可知{b n}的通项公式，由等差数列的通项公式可得．证明k n为正整数即可；（Ⅱ）设数列{c n}是数列{a n}中包含的一个无穷等比数列，求出c1，c2，求得公比q，只要证是数列{a n}的项，运用归纳法，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）观察数列{a n}的前若干项：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，…．因为数列{a n}是递增的整数数列，且等比数列以2为首项，显然最小公比不能是，最小公比是4．（ⅰ）以2为首项，且公比最小的等比数列的前四项是2，8，32，128．（ⅱ）由（ⅰ）可知b1=2，公比q=4，所以．又，所以，即．再证k n为正整数．显然k1=1为正整数，n≥2时，，即，故为正整数．所以，所求通项公式为；（Ⅱ）证明：设数列{c n}是数列{a n}中包含的一个无穷等比数列，且，，所以公比．因为等比数列{c n}各项为整数，所以q为整数．取k2=5m+2（m∈N*），则q=3m+1，故．只要证是数列{a n}的项，即证3k n﹣1=5•（3m+1）n﹣1．只要证（n∈N*）为正整数，显然k1=2为正整数．又n≥2时，，即，又因为k1=2，5m（3m+1）n﹣2都是正整数，故n≥2时，k n也都是正整数．所以数列{c n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，其公比q=3m+1有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故数列{a n}所包含的以a2=5为首项的不同无穷等比数列有无数多个．2020年9月12日。

2020年四川省“联测促改”高考数学模拟试卷（二）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合U=R，集合A={x|x2-1＞0}，B={x|0＜x≤2}，则集合（）∩B=（）A. （-1，1）B. [-1，1]C. （0，1]D. [-1，2]2.在复平面内，复数z对应的点是z（-1，2），则复数z的共轭复数=（）A. -1+2iB. -1-2iC. 1+2iD. 1-2i3.从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数中偶数的个数为（）A. 7200B. 2880C. 120D. 604.已知向量=（，-），=（cosα，sinα），则||的最大值为（）A. 1B. 3C.D. 95.执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A. -1B. 0C.D. 16.几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）.A. 729B. 428C. 356D. 2437.下列说法中错误的是（）A. 先把高二年级的1000名学生编号为1到1000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为m+50，m+100，m+150…的学生，这样的抽样方法是系统抽样法．B. 正态总体N（1，9）在区间（-1，0）和（2，3）上取值的概率相等C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1D. 若一组数据1、a、2、3的平均数是2，则这组数据的众数和中位数都是28.A，B是⊙O：x2+y2=1上两个动点，且∠AOB=120°，A，B到直线l：3x+4y-10=0的距离分别为d1，d2，则d1+d2的最大值是（）A. 3B. 4C. 5D. 69.已知四面体ABCD外接球的球心O恰好在AD上，等腰直角三角形ABC的斜边AC为2，DC=2，则这个球的表面积为（）A. B. 8π C. 12π D. 16π10.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，其图象向左平移个单位后所得图象关于y轴对称，则f（x）的单调递增区间为（）A. [-]，k∈ZB. [-]，k∈ZC. [-]，k∈ZD. [-]，k∈Z11.在数列{a n}中，已知a1=1，且对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n+mn，则=（）A. B. C. D.12.已知定义在R上的函数f（x）关于y轴对称，其导函数为f′（x），当x≥0时，不等式xf′（x）＞1-f（x）．若对∀x∈R，不等式e x f（e x）-e x+ax-axf（ax）＞0恒成立，则正整数a的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若变量x，y满足约束条件，则的最小值为______．14.已知等比数列{a n}中，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+a5a6=______．15.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）+f（x+2）=0，且f（1）=-2，则f（2019）+f（2018）的值为______．16.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C与圆O：x2+y2=5有公共点P（1，-2），且圆O在点P处的切线与双曲线C的一条渐近线平行，则该双曲线的实轴长为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.槟榔原产于马来西亚，中国主要分布在云南、海南及台湾等热带地区，在亚洲热带地区广泛栽培．槟榔是重要的中药材，在南方一些少数民族还有将果实作为一种咀嚼嗜好品，但其被世界卫生组织国际癌症研究机构列为致癌物清单Ⅰ类致癌物．云南某民族中学为了解A，B两个少数民族班学生咀嚼槟榔的情况，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周咀嚼槟榔的颗数作为样本绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．（1）从A班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为a，从B班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b，求a≥b的概率；（2）从所有咀嚼槟榔颗数在20颗以上（包含20颗）的同学中随机抽取3人，求被抽到B班同学人数的分布列和数学期望．18.如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，且AD⊥AC，sin∠BAC=，AD=1，AB=．（1）求BD的长；（2）求△ABC的面积．19.如图，在棱长为1的正方体PB1N1D1-ABND动点C线段BN动，且有=λ（0＜λ≤1）．（1）若λ=1，求证：PC⊥BD（2）若二面角B-PC-D弦值为-，求实数λ的值．20.已知点M（x，y），与定点F（1，0）的距离和它到直线l：x=4的距离的比是常数点M轨迹为曲线C．（1）求曲线C方程；（2）若直线l1：y=kx交曲线C于A，B两点，当点M不在A、B两点时，直线MA，MB的斜率分别为K1，K2，求证：K1，K2之积为定值．21.已知函数f（x）=ax2+（a-2）x-ln x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．22.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=4cosθ，过点p（2，-1）的直线l的参数方程为：（t为参数），直线l与曲线C分别交于M、N两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）求线段|MN|的长和|PM|•|PN|的积．23.已知函数f（x）=|x-2|-|x-1|．（1）若正数a，b，满足a+2b=f（-1），求的最小值；（2）解不等式f（x）．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集、补集的运算．属于基础题.可解出集合A，然后进行交集、补集的运算即可．【解答】解：A={x|x＜-1，或x＞1}；∴={x|-1≤x≤1}；∴（）∩B=（0，1]．故选：C．2.答案：B解析：解：由题意，z=-1+2i，则，故选：B．由已知可得z，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：B解析：解：根据题意，分3步进行分析：①，从1，3，5，7，9中任取3个数字，有C53=10种选法，从2，4，6，8中任取2个数字，有C42=6种选法，则5个数字的选法有10×6=60种，②，在选出的2个偶数数字中任选1个，安排在个位，有2种情况，③，将剩下的4个数字全排列，安排在前4个数位，有A44=24种情况，则组成的五位数中偶数的个数为60×2×24=2880；故选：B．根据题意，分3步进行分析：①，从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，②，在选出的2个偶数数字中任选1个，安排在个位，③，将剩下的4个数字全排列，安排在前4个数位，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．4.答案：B解析：解：==；∴时，取最大值9，取最大值3．故选：B．根据条件即可求出，从而得出的最大值为9，从而求出的最大值为3．考查向量数量积的运算，向量坐标的数量积运算，以及两角差的正弦公式，正弦函数的最值．5.答案：A解析：解：模拟程序的运行，可得S=0，i=1满足条件i≤3，执行循环体，S=2，i=2满足条件i≤3，执行循环体，S=6，i=3满足条件i≤3，执行循环体，S=14，i=4此时，不满足条件i≤3，退出循环，可得S=sin=-1．输出S的值为：-1．故选：A．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.答案：D解析：解：几何体的直观图如图，是正方体的一部分，四棱锥P-ABCD；几何体的体积为：=243．故选：D．判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．7.答案：C解析：解：先把高二年级的1000名学生编号为1到1000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为m+50，m+100，m+150…的学生，这样的抽样方法是系统抽样法．满足系统抽样的定义，正确；正态总体N（1，9）在区间（-1，0）和（2，3）上取值的概率相等，满足正态分布的性质，正确；若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1，也可以是-1，所以不正确；若一组数据1、a、2、3的众数是2，所以a=2，则这组数据的中位数是2，正确；故选：C．利用系统抽样，正态分布，线性相关以及中位数的知识判断选项的正误即可．本题考查命题的真假的判断与应用，涉及正态分布，线性相关以及中位数，分层抽样系统抽样的应用，是基本知识的考查．8.答案：C解析：解：设A（cosθ，sinθ），则B（cos（θ+），sin（θ+）），d1+d2=+因为A，B在直线l的同侧，所以d1+d2===，所以当sin（θ+φ）=-1时，d1+g2取得最大值5．故选：C．设A（cosθ，sinθ），则B（cos（θ+），sin（θ+）），再由点到直线的距离公式求出d1+d2，根据三角函数的性质求出最大值，本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．9.答案：C解析：解：如图，取AC的中点E，AD的中点O，由题意，E为ABC所在球小圆的圆心，OE⊥平面ABC，O即为球心，由中位线可知，CD∥OE，∴CD⊥平面ABC，在直角三角形ACD中，AC=2，CD=，求得球O的直径AD=，故球O的表面积为=12π．故选：C．分析得出AC中点E为ABC所在球小圆的圆心，AD中点O为球心，利用直角三角形易求得球O的直径，得解．此题考查了球的内接四面体及球表面积的求法，难度适中．10.答案：B解析：解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为=π，∴ω=2，f （x）=sin（2x+φ）．其图象向左平移个单位后，可得y=sin（2x++φ）的图象；根据所得图象关于y轴对称，可得+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=，f（x）=sin（2x+）．令2kπ-≤2x+≤2kπ+，求得kπ-≤x≤kπ+，故函数f（x）的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z，故选：B．利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性、图象的对称性，求得ω和φ，可得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递增区间．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性、单调性以、及图象的对称性，属于基础题．11.答案：C解析：解：数列{a n}中，已知a1=1，且对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n+mn，则：a2=a1+a1+1×1=3=1+2，a3=a1+a2+1×2=6=1+2+3，…，a n=1+2+3+…+n=，所以：，所以：=，=2（），=，=．故选：C．首先利用赋值法求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．12.答案：B解析：解：定义在R上的函数f（x）关于y轴对称，∴函数f（x）为R上的偶函数．令g（x）=xf（x）-x，则g（x）为奇函数．g′（x）=xf′（x）+f（x）-1．当x≥0时，不等式xf′（x）＞1-f（x）．∴g′（x）＞0，g（x）在[0，+∞）单调递增．∴函数g（x）在R上单调递增．对∀x∈R，不等式e x f（e x）-e x+ax-axf（ax）＞0恒成立，⇔e x f（e x）-e x＞axf（ax）-ax⇔g （e x）＞g（ax）．∴e x＞ax．当x＞0时，a＜=h（x），则h′（x）=，可得x=1时，函数h（x）取得极小值即最小值，h（1）=e．∴a＜e．此时正整数a的最大值为2．a=2对于x≤0时，e x＞ax恒成立．综上可得：正整数a的最大值为2．故选：B．定义在R上的函数f（x）关于y轴对称，可得函数f（x）为R上的偶函数．令g（x）=xf（x）-x，则g（x）为奇函数．g′（x）=xf′（x）+f（x）-1．当x≥0时，不等式xf′（x）＞1-f（x）．可得g（x）在[0，+∞）单调递增．函数g（x）在R上单调递增．对∀x∈R，不等式e x f（e x）-e x+ax-axf（ax）＞0恒成立，⇔e x f（e x）-e x＞axf（ax）-ax⇔g （e x）＞g（ax）．e x＞ax．进而得出答案．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13.答案：解析：解：已知得到可行域如图：z=的几何意义是表示区域内的点与（4，0）点连接直线的斜率，由图可知，直线DA的斜率最小，解得A（2，3），所以z=的最小值为：=-；故答案为：-．首先由约束条件画出可行域，根据目标函数的几何意义求最小值．本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，根据目标函数的几何意义求最值是解答的关键．14.答案：解析：解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2=2，a5=，∴=2×q3，解得q=．∴a1===4．则a1a2=8，n≥2时，=q2=．则a1a2+a2a3+…+a5a6==．故答案为：．设等比数列{a n}的公比为q，由a2=2，a5=，可得=2×q3，解得q．a1==4．可得a1a2=8，n≥2时，=q2=．利用求和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.答案：2解析：解：根据题意，函数f（x）满足f（x）+f（x+2）=0，即f（x+2）=-f（x），则有f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2018）=f（2+4×504）=f（2），f（2019）=f（5×505-1）=f（-1），又由f（-2）=f（2）且f（-2）=-f（2），则f（2）=f（-2）=0，f（-1）=-f（1）=2，则f（2019）+f（2018）=f（2）+f（-1）=2；故答案为：2．根据题意，分析可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，据此可得则f（2018）=f（2），f（2019）=f（-1），进而分析f（2）与f（-1）的值，相加即可得答案．本题考查函数的周期性与奇偶性的综合应用，关键是分析函数的周期，属于基础题．16.答案：解析：【分析】本题考查了双曲线的性质，圆的切线方程的求法，属于中档题．求出切线方程，根据双曲线的渐近线方程设双曲线的方程为，代入点，即可求出实轴长.【解答】解：∵圆O在P处的切线方程为：x-2y=5，即y=x-，所以双曲线的渐近线方程为,设双曲线的方程为，将点代入双曲线方程得,所以双曲线的方程为，即,所以a=，所以双曲线的实轴长为2a=．故答案为：．17.答案：解（1）A班的样本数据中不超过19的数据a有3个，B班的样本数据中不超过21的数据b也有3个，从A班和B班的样本数据中各随机抽取一个共有3×3=9种不同情况．其中a≥b的情况有（11，11），（14，11），（14，12）三种，故a≥b的概率P==．（2）因为所有咀嚼槟榔颗数在20颗以上（包含20颗）的同学中，A班有2人，B班有3人，共有5人，设抽到B班同学的人数为X，∴X的可能取值为1，2，3．P（X=1）=，P（X=2）==，P（X=3）==，．X123P数学期望为E（X）=1×+2×+3×=．解析：（1）由题可得：从A班和B班的样本数据中各随机抽取一个共有3×3=9种不同情况，列出a≥b的情况有（11，11），（14，11），（14，12）三种，问题得解．（2）X的可能取值为1，2，3．分别求出X各种取值的概率即可列出分布列，再由数学期望公式求解即可．本题主要考查了茎叶图、样本的数字特征、古典概型的概率公式，随机变量的分布列与期望等知识，考查数学应用能力，逻辑思维能力、运算求解能力，属于中档题．18.答案：解：（1）因为AD⊥AC，所以∠BAD=∠BAC-，所以cos∠BAD=cos（∠BAC-）=sin∠BAC=．在△BAD中，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2-2AB•AD•cos∠BAD=7+1-2××=4．解得：BD=2，（2）在△BAD中，由（1）知，cos∠ADB===-．所以∠ADB=．则∠ADC=．在Rt△ADC中，易得AC=．S△ABC=AB•AC sin∠BAC=×××=，所以△ABC的面积为．解析：（1）直接利用诱导公式和余弦定理求解．（2）求得cos∠ADB，解直角ADC三角形，可得AC，即可求△ABC的面积．本题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力．19.答案：证明：（1）当λ=1时，C与N重合，连接AN，则在正方形ABND中，BD⊥AN．又在正方体PB1N1D1-ABND中，PA⊥底面ABND，而BD⊂平面ABND，所以PA⊥BD．PA∩AN=A，所以BD⊥平面PANN1，而PN⊂平面PANN1，所以PN⊥BD，也即PC⊥BD．解：（2）依题意，以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则C（1，λ，0），P（0，0，1），B（1，0，0），D（0，1，0）．=（1，λ，-1），=（1，0，-1），=（0，1，-1）．设平面PBC的一个法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（1，0，1）．设平面PCD的一个法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（1-λ，1，1）．所以|cos＜＞|===，解得或λ=-13．因为0＜λ≤1，所以．解析：（1）当λ=1时，C与N重合，连接AN，可得BD⊥AN，再由正方体特征可证得PA⊥BD，即可证得BD⊥平面PANN1，问题得证．（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．分别求出平面PBC的一个法向量及平面PCD的一个法向量，利用向量夹角的坐标表示列方程即可求得λ，问题得解．本题主要考查了证明线线关系以及利用空间向量求二面角的平面角等基础知识，还考查了空间向量的坐标运算，考查运算求解能力及方程思想，属于中档题．20.答案：解：（1）由题意，，将上式两边平方，化简：3x2+4y2=12，即曲线C的方程为；（2）把y=kx代入3x2+4y2=12，得（4k2+3）x2-12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）则：x1+x2=0，．y1+y2=kx1+kx2=0，．===．即K1，K2之积为定值．解析：（1）由题意列方程，整理化简即可；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程，可得x1+x2=0，，代入斜率公式化简整理即可得证．本题主要考查了椭圆方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识，还考查了韦达定理及运算求解能力，考查逻辑思维与推证能力、分析与解决问题的能力，属于难题．21.答案：解：（1）函数f（x）=ax2+（a-2）x-ln x，（a∈R）；∴f′（x）=2ax+（a-2）-==（x＞0），…（2分）当a≤0时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，+∞）内单调递减；……（3分）当a＞0时，则f（x）在（0，）内单调递减，在（，+∞）内单调递增；……（5分）备注：求导正确给1分，因式分解正确得2分；（2）由（1）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）内单调递减，最多只有一个零点，舍去；…（5分）a＞0时，f（x）min=f（）=a•+（a-2）•-ln=-+1+ln a；……（7分）当x→0+时，f（x）＞0；当x→+∞时，f（x）＞0；∴当f（）=1+ln a-＜0，令g（a）=1+ln a-，则g′（a）=+，∴g′（a）＞0；…（10分）则g（a）在（0，+∞）上单调递增；又g（1）=0，解得a＜1；∴当0＜a＜1时，函数f（x）有两个不同的零点．…（12分）备注：其他解法也可以酌情相应给分．解析：（1）对函数f（x）求导数，讨论a的取值，利用导数判断f（x）的单调性；（2）由（1）知f（x）的单调性，得出a＞0时f（x）min=-+1+ln a，且x→0+时f（x）＞0，x→+∞时f（x）＞0；令f（x）min＜0求得a的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，也考查了函数零点的判断问题，是难题．22.答案：解（1）由ρsin2θ=4cosθ，也即（ρsinθ）2=4ρcosθ，即得曲线C的直角坐标方程为y2=4x．由消去参数t得直线l的普通方程为x+y-1=0 ．（2）将直l的参数方程化成标准形式为代入y2=4x中得t2-2t-14=0，则有t1+t2=2，t1t2=-14．根据参数t的几何意义，则有则|MN|=|t1-t2|===8|PM||PN|=|t1t2|=14解析：本题主要考查参数方程、普通方程和极坐标方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．属中档题．（1）由ρsin2θ=4cosθ，也即（ρsinθ）2=4ρcosθ，即得曲线C的直角坐标方程为y2=4x．由消去参数t得直线l的普通方程为x+y-1=0．（2）将直l的参数方程代入y2=4x中得t2-2t-7=0，再利用直线参数方程t的几何意义求线段|MN|的长和|PM||PN|的积．23.答案：解（1）由题意得a+2b=f（-1）=1，所以+=（+）×（a+2b）=4++≥4+2=8．所以+的最小值为8．当且仅当a=，b=，时等号成立．所以+的最小值为8．（2）因为f（x）=|x-2|-|x-1|．①当x≤1时，f（x）=2-x-（1-x）=1，由f（x），解得x≤1；②当1＜x＜2时，f（x）=3-2x，由f（x）＞，即3-2x，解得x＜，又1＜x＜2，所以1＜x＜；③当x≥2时，f（x）=-1不满足f（x），此时不等式无解；综上，不等式f（x）的解集为（-∞，）．解析：（1）由题意得a+2b=f（-1）=1，所以+=（+）×（a+2b）=4++≥4+2=8．所以+的最小值为8．（2）利用零点分类讨论法解绝对值不等式得解．本题主要考查基本不等式求最值，考查绝对值不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．属中档题．。

2020年湖南省邵阳市高考数学第三次联考试卷（三模）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数z满足(l-i)z= |2+2i|,则z=()A.l-iB.1+ i CZ-回 D. ^2+yj2i2.设集合A=(%|x2<2%),B=(x|l<x<4),则AU B=()A.(一8,4)B.[0,4]C. (1,2]D.(1,+co)3.已知&是等差数列｛%｝的前项和，若ag.=S2ois=2015,则首项角=()A.2015B.-2015C.2013D. -20134.己知双的线。

§一荃=1的左、右焦点分别为F19F29P为C上一点,瓦6=亦・。

为坐标原点,若|PFJ=10,则\OQ\=()5.A.10 B.1或9执行如图所示的程序框图，若输出的S=A.i>2014B.i>2014c.i>2015D.i >2017026.函数了。

）=j的大致图象为（）7.命题“任意向量a, b. \a^b\>\a\\b\"的否定为（）A. 任意向量X E ，B. 存在向Ma. b.C. 任意向量，D. 存在向量由正\a b\ > |a||b|\a-b\> |a || b||a-b| > |a||b||淑引 < |a||b|8.己知函数/（对=也云，若f （々）= b・则f （一。

）等于（）AM B. -b C. | D •-匕o b 9.己知正四面体的棱长为2,则它的外接球的表面枳为（）A.顼yrB. 2>/3nC. 3jtD. 6兀10.某学校需要把6名实习老师安排到A, B, C 三个班级去听课，每个班级安排2名老师，已知甲不能安排到A 班，乙和丙不能安排到同一班级，则安排方案的种数有（）A. 24B. 36C. 48D. 7211. 旦、旦是椭圆W + S=l （a>b>0）的左，右焦点，8是该椭圆短轴的一个端点.直线BF ］与椭圆C 交于点A,若\AB\.届F2I ，|4月I 成等差数列,则该怖圆的离心率为A 上B.爽C.| D .竺4 2 2 212. 己知函数/•（》）=伫；2 _心 x <o >Q 若方程/\x ）=x + a 有2个不同的实根，则实数〃的取值范围是（）A.(a|0<a<1>1}B.{a|a>1)C. {a|a=—1或。

分
所以异面直线 BM 与 EF 所成角的大小是 60 ．................................................10 分
18．【解析】
（1）因为
Sn
=
1 2
n2
+
1 2
n
，
所以当 n = 1时， a1 = S1 = 1 ，.................................................................................1 分
高三年级学习质量评估考试
数学参考答案及评分标准
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B C C D B A
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有
1
直角坐标系，设 AB = 1 ，则 AD = AF = 1， BC = BE = 2 ， 所以 B（0 ，0 ，0）， M（ 2 ， 2 ，0）， D（0，1，1）， F（1，0 ，1）， .....................2 分
所以 BM =（ 2 ， 2 ，0）， DF=（1，−1，0），
多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。
题号 9 10 11 12
答案 BCD AD ABC BCD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13． −1 ；14．5；15． 3 ；16． ， a 3 （本小题第一空 2 分，第二空 3 分）．

2020年陕西省宝鸡市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.把正确选项的代号填在答题卡上1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A∩（∁U B）=（）A．{1，3} B．{2} C．{2，3} D．{3}2．若复数，则|z|=（）A．B．1 C．D．3．已知椭圆标准方程x2+=1，则椭圆的焦点坐标为（）A．（，0）（﹣，0）B．（0，），（0，﹣）C．（0，3）（0，﹣3）D．（3，0），（﹣3，0）4．下列命题正确的是（）A．函数y=sinx在区间（0，π）内单调递增B．函数y=tanx的图象是关于直线成轴对称的图形C．函数y=cos4x﹣sin4x的最小正周期为2πD．函数的图象是关于点成中心对称的图形5．已知条件p：k=；条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则￢p是￢q的（）A．充分必要条件B．必要不充分条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件6．已知向量=（cosα，﹣2），=（sinα，1），且∥，则2snαcosα等于（）A．﹣B．﹣3 C．3 D．7．已知两条直线l1：（m+3）x+4y+3m﹣5=0，l2：2x+（m+6）y﹣8=0，且l1⊥l2，则直线l1的一个方向向量是（）A．（1，﹣）B．（﹣1，﹣）C．（1，﹣1）D．（﹣1，﹣1）8．已知变量x，y，满足约束条件，目标函数z=x+2y的最大值为10，则实数a的值为（）A．2 B．C．4 D．89．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S5、S4、S6成等差数列．则数列{a n}的公比为q的值等于（）A．﹣2或1 B．﹣1或2 C．﹣2 D．110．在边长为4的等边三角形OAB内部任取一点P，使得•≤4的概率为（）A．B．C．D．11．若f（x）=xe x﹣a有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，0）C．（﹣，+∞）D．（﹣，0）12．定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=函数g（x）=x3+3x2+m．若∀s∈[﹣4，2），∃t∈[﹣4，﹣2），不等式f（s）﹣g（t）≥0成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣12]B．（﹣∞，﹣4]C．（﹣∞，8]D．（﹣∞，]二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上13．若（1+x+x2）6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12，则a2+a4+…+a12=．14．一个无上盖容器的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．15．如图，是一程序框图，则输出结果为．16．已知双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上一点，点Q的坐标为（﹣2，3），则|PQ|+|PF1|的最小值为．三、解答题：解答题须写出文字说明、证明过程或演算步骤18．三角形ABC中，已知sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C，其中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求的取值范围．19．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图直方图：（Ⅰ）若直方图中前三组的频数成等比数列，后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（Ⅱ）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到如下数据：是否近视1～50 951～1000年级名次近视41 32不近视9 18根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？（Ⅲ）在（Ⅱ）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50名的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．P（K2≥k）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879附：．20．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F为线段DE的中点．（Ⅰ）求证：BE∥平面ACF；（Ⅱ）求二面角C﹣BF﹣E的平面角的余弦值．21．已知抛物线G的顶点在原点，焦点在y轴的正半轴上，抛物线上的点P（m，4）到焦点的距离等于5（Ⅰ）求抛物线G的方程；（2）若正方形ABCD的三个顶点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜0≤x2＜x3）在抛物线上，可设直线BC的斜率k，求正方形ABCD面积的最小值．22．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅱ）若函数y=f（x）+g（x）有两个不同的极值点x1，x2（x1＜x2）且x2﹣x1＞ln2，求实数a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题做大，如果多做，则按所做的第一题计分。

2020年高考数学模拟试卷（5月份）一、选择题（共10小题）1．设集合A＝{x||x|＜3}，B＝{x|x＝2k，k∈Z}，则A∩B＝（）A．{0，2}B．{﹣2，2}C．{﹣2，0，2}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．若复数z满足z•i＝﹣1+i，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．下列函数中，值域为R且区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝﹣x3B．y＝x|x|C．y＝x﹣1D．y=√x 4．抛物线x2＝4y的准线方程为（）A．x＝1B．x＝﹣1C．y＝1D．y＝﹣1 5．在△ABC中，若a：b：c＝4：5：6，则其最大内角的余弦值为（）A．18B．14C．310D．356．设a＝30.2，b＝log32，c＝log0.23，则（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．6B．4C．3D．28．若圆x2+y2﹣4x+2y+a＝0与x轴，y轴均有公共点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，0]C．[0，+∞）D．[5，+∞）9．若向量a→与b→不共线，则“a→⋅b→＜0”是“2|a→−b→|＞|a→|+|b→|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．设函数f（x）＝（x﹣1）e x．若关于x的不等式f（x）＜ax﹣1有且仅有一个整数解，则正数a的取值范围是（）A．（0，e]B．（0，e2]C．(1，e22]D．(1，e2+12]二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．设平面向量a→=(1，−2)，b→=(k，2)满足a→⊥b→，则|b→|＝．12．若双曲线x2a2−y216=1(a＞0)经过点（2，0），则该双曲线渐近线的方程为．13．设函数f（x）＝sin2x+2cos2x，则函数f（x）的最小正周期为；若对于任意x∈R，都有f（x）≤m成立，则实数m的最小值为．14．甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，其中有两人最终获奖．在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“〇”则表示对某人是否获奖未发表意见．已知四个人中有且只有两个人的猜测是完全正确定的，那么两名获奖者是，．甲获奖乙获奖丙获奖丁获奖甲的猜测√××√乙的猜测×〇〇√丙的猜测×√×√丁的猜测〇〇√×15．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝4，E，F，H分别是棱PB，BC，PD的中点，对于平面EFH截四棱锥P﹣ABCD所得的截面多边形，有以下三个结论：①截面的面积等于4√6；②截面是一个五边形；③截面只与四棱锥P﹣ABCD四条侧棱中的三条相交．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，DE∥BF，且DE＝2BF＝2．（Ⅰ）求证：平面BCF∥平面ADE；（Ⅱ）求钝二面角D﹣AE﹣F的余弦值．17．从①前n项和S n=n2+p(p∈R)，②a n＝a n+1﹣3，③a6＝11且2a n+1＝a n+a n+2这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答．在数列{a n}中，a1＝1，______，其中n∈N*．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a1，a n，a m成等比数列，其中m，n∈N*，且m＞n＞1，求m的最小值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：[0.486，0.536），[0.536，0.586），…，[0.836，0.886）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B级”，发芽率低于0.636的种子定为“C级”．（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C级”种子的概率；（Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“A级”、“B级”“C级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X元，以频率为概率，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）．19．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为12，右焦点为F，点A（a，0），且|AF|＝1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别与直线x＝4交于点P，Q，求∠PFQ的大小．20．设函数f（x）＝ae x+cos x，其中a∈R．（Ⅰ）已知函数f（x）为偶函数，求a的值；（Ⅱ）若a＝1，证明：当x＞0时，f（x）＞2；（Ⅲ）若f（x）在区间[0，π]内有两个不同的零点，求a的取值范围．21．设N为正整数，区间I k＝[a k，a k+1]（其中a k∈R，k＝1，2，…，N）同时满足下列两个条件：①对任意x∈[0，100]，存在k使得x∈I k；②对任意k∈{1，2，…，N}，存在x∈[0，100]，使得x∉I i（其中i＝1，2，…，k﹣1，k+1，…，N）．（Ⅰ）判断a k（k＝1，2，…，N）能否等于k﹣1或k2−1；（结论不需要证明）．（Ⅱ）求N的最小值；（Ⅲ）研究N是否存在最大值，若存在，求出N的最大值；若不在在，说明理由．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合A＝{x||x|＜3}，B＝{x|x＝2k，k∈Z}，则A∩B＝（）A．{0，2}B．{﹣2，2}C．{﹣2，0，2}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x||x|＜3}＝{x|﹣3＜x＜3}，B＝{x|x＝2k，k∈Z}，∴A∩B＝{﹣2，0，2}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．若复数z满足z•i＝﹣1+i，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z•i＝﹣1+i，得z=−1+ii=(−1+i)(−i)−i2=1+i，∴在复平面内z对应的点的坐标为（1，1），位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算化简，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．下列函数中，值域为R 且区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．y ＝﹣x 3B ．y ＝x |x |C ．y ＝x ﹣1D ．y =√x【分析】容易看出选项A ，C 的函数在（0，+∞）都是减函数，选项D 的函数的值域不是R ，从而判断选项A ，C ，D 都错误，只能选B ．解：y ＝﹣x 3，y ＝x ﹣1在（0，+∞）上都单调递减，y =√x 的值域不是R ， y ＝x |x |={x 2x ＞0−x 2x ≤0的值域为R ，且在（0，+∞）上单调递增． 故选：B ．【点评】本题考查了函数值域的定义及求法，二次函数的值域及单调性，反比例函数、幂函数和y ＝﹣x 3的单调性的判断，考查了计算能力，属于基础题． 4．抛物线x 2＝4y 的准线方程为（ ） A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．y ＝1D ．y ＝﹣1【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y 轴上以及2p ＝4，再直接代入即可求出其准线方程．解：因为抛物线的标准方程为：x 2＝4y ，焦点在y 轴上； 所以：2p ＝4，即p ＝2， 所以：p2=1，∴准线方程 y ＝﹣1， 故选：D ．【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．5．在△ABC 中，若a ：b ：c ＝4：5：6，则其最大内角的余弦值为（ ）A．18B．14C．310D．35【分析】根据三边之比表示出a，b，c，得到c对的角最大，利用余弦定理即可求出cos C 的值．解：根据题意得：a＝4k，b＝5k，c＝6k，k＞0，且最大角为C，∴cos C=a2+b 2−c22ab =16k2+25k2−36k22×4k×5k=18．故选：A．【点评】此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．6．设a＝30.2，b＝log32，c＝log0.23，则（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：∵30.2＞30＝1，∴a＞1，∵log31＜log32＜log33＝1，∴0＜b＜1，∵log0.23＜log0.21＝0，∴c＜0，∴a＞b＞c，故选：B．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．6B．4C．3D．2【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，底面为直角梯形，高为2．如图所示：所以：V=13×12×(1+2)×2×2=2．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8．若圆x2+y2﹣4x+2y+a＝0与x轴，y轴均有公共点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，0]C．[0，+∞）D．[5，+∞）【分析】若圆与x，y轴都有公共点，则圆心到x，y轴的距离小于等于半径即可．解：圆x2+y2﹣4x+2y+a＝0⇒（x﹣2）2+（y+1）2＝5﹣a；圆心（2，﹣1），r=√5−a；∵圆与x ，y 轴都有公共点； ∴{2≤√5−a1≤√5−a 5−a ＞0⇒a ≤1；故选：A ．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，利用圆心和坐标轴的关系是解决本题的关键．9．若向量a →与b →不共线，则“a →⋅b →＜0”是“2|a →−b →|＞|a →|+|b →|”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】2|a →−b →|＞|a →|+|b →|，化为：(a →−b →)2＞0，根据已知条件即可判断出结论．解：2|a →−b →|＞|a →|+|b →|，化为：(a →−b →)2＞0，∵向量a →与b →不共线，“a →⋅b →＜0”⇒(a →−b →)2＞0．反之不成立，可能a →⋅b →≥0．∴a →⋅b →＜0”是“2|a →−b →|＞|a →|+|b →|”的充分不必要条件． 故选：A ．【点评】本题考查了向量数量积运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．设函数f （x ）＝（x ﹣1）e x ．若关于x 的不等式f （x ）＜ax ﹣1有且仅有一个整数解，则正数a 的取值范围是（ ）A ．（0，e ]B ．（0，e 2]C ．(1，e 22]D ．(1，e 2+12]【分析】要使不等式f （x ）＜ax ﹣1有且仅有一个整数解，则只需有且仅有一个整数x ，使得f （x ）的图象在直线y ＝ax ﹣1的下方，利用导数研究f （x ），进而作出函数f （x ）的图象及直线y ＝ax ﹣1的图象，由图象观察可得出关于a 的不等式组，解该不等式组即可得到正数a 的取值范围．解：f ′（x ）＝e x +（x ﹣1）e x ＝xe x ，易知函数f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，且x →﹣∞时，f （x ）→0，x →+∞时，f （x ）→+∞，且f （1）＝0，f （0）＝﹣1，f （2）＝e 2，作出函数y ＝f （x ）以及直线y ＝ax ﹣1的图象如下图所示，由图可知，要使不等式f （x ）＜ax ﹣1有且仅有一个整数解，则只需有且仅有一个整数解，使得f （x ）的图象在直线y ＝ax ﹣1的下方，注意到函数f （x ）与直线y ＝ax ﹣1均过（0，﹣1），则只需{a −1＞02a −1≤e2，解得1＜a ≤e 2+12．故选：D ．【点评】本题考查不等式的整数解个数问题，考查利用导数研究函数的性质，考查转化思想及数形结合思想，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．设平面向量a →=(1，−2)，b →=(k ，2)满足a →⊥b →，则|b →|＝ 2√5 ．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，根据求向量的模的方法，属于基础题．解：平面向量a →=(1，−2)，b →=(k ，2) 满足a →⊥b →，则a →•b →=k ﹣4＝0，故有k ＝4， 则|b →|=√k 2+4=2√5， 故答案为：2√5．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，求向量的模，属于基础题．12．若双曲线x 2a −y 216=1(a ＞0)经过点（2，0），则该双曲线渐近线的方程为 y ＝±2x ． 【分析】利用双曲线经过的点，求出a ，然后求解双曲线的渐近线方程．解：双曲线x 2a −y 216=1(a ＞0)经过点（2，0），可得a ＝2，所以双曲线方程为：双曲线x 24−y 216=1，所以双曲线的渐近线方程为：y ＝±2x ．故答案为：y ＝±2x ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．13．设函数f （x ）＝sin2x +2cos 2x ，则函数f （x ）的最小正周期为 π ；若对于任意x ∈R ，都有f （x ）≤m 成立，则实数m 的最小值为 1+√2 ．【分析】利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的周期公式，以及最值性质求出f （x ）的最大值即可．解：f （x ）＝sin2x +2cos 2x ＝sin2x +cos2x +1＝1+√2sin （2x +π4）， 则f （x ）的最小正周期T =2π2=π， 当sin （2x +π4）＝1时，f （x ）取得最大值1+√2， 若对于任意x ∈R ，都有f （x ）≤m 成立，则m≥1+√2，即实数m的最小值为1+√2，故答案为：1+√2．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的周期性和最值性是解决本题的关键．难度不大．14．甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，其中有两人最终获奖．在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“〇”则表示对某人是否获奖未发表意见．已知四个人中有且只有两个人的猜测是完全正确定的，那么两名获奖者是乙，丁．甲获奖乙获奖丙获奖丁获奖甲的猜测√××√乙的猜测×〇〇√丙的猜测×√×√丁的猜测〇〇√×【分析】根据题意可得，分别假设甲的猜测正确，丙的猜测正确，即可求出答案．解：假设甲的猜测正确，那么甲丁获奖，乙丙不获奖，则乙丙丁的猜想就是错误，与四个人中有且只有两个人的猜测是完全正确矛盾，故甲的猜测不完全正确；假设丙的猜测正确，那么乙丁获奖，甲丙不获奖，则乙的猜想就是正确，丁的猜想不完全正确，符合题意，故答案为：乙，丁【点评】本题考查合情推理的运用，此类题目常用的手段是假设法，抓住题干中的条件进行推理，推理所得的结果如果不互相矛盾，则假设成立，反之，不成立．15．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝4，E，F，H分别是棱PB，BC，PD的中点，对于平面EFH截四棱锥P﹣ABCD所得的截面多边形，有以下三个结论：①截面的面积等于4√6；②截面是一个五边形；③截面只与四棱锥P﹣ABCD四条侧棱中的三条相交．其中，所有正确结论的序号是②③．【分析】直接利用平面的性质及的应用求出截面为五边形，进一步利用梯形的面积公式求出截面的面积．解：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝4，E，F，H分别是棱PB，BC，PD的中点，如图所示：所以PC=√AC2+AP2=4√3，由于AC与BD相交于O，取点N为AP的中点，所以ON∥PC，点F，G，M为BC和OC和NP的中点，所以GM由于AGAC=MGPC=34，解得MG=3√3，由于EF为△PBC的中位线，所以EF=12PC=2√3，由于FG=12OB=√2，所以S四边形EFGM=12×(3√3+2√3)×√2=5√62，所以截面面积为2S四边形EFGM=2×12×(3√3+2√3)×√2=5√6，故①错误．如图所示②截面是一个五边形；正确．③截面只与四棱锥P﹣ABCD四条侧棱中的PA，PB，PD三条相交，故正确．故答案为：②③．【点评】本题考查的知识要点：平面的性质的应用，截面面积的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，DE∥BF，且DE＝2BF＝2．（Ⅰ）求证：平面BCF∥平面ADE；（Ⅱ）求钝二面角D﹣AE﹣F的余弦值．【分析】（Ⅰ）只需证明BF∥平面ADE．BC∥平面ADE．即可证明平面BCF∥平面ADE．（Ⅱ）建立空间直角坐标系，确定平面ADE、平面AEF的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）因为DE∥BF，DE⊂平面ADE，BF⊄平面ADE，所以BF∥平面ADE．同理，得BC∥平面ADE．又因为BC∩BF＝B，BC⊂平面BCF，BF⊂平面BCF，所以平面BCF∥平面ADE．（Ⅱ）由DE⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，得DA，DC，DE两两垂直，故分别以DA，DC，DE为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），E（0，0，2），F（2，2，1），A（2，0，0），所以AE→=(−2，0，2)，AF→=(0，2，1)．设平面AEF的法向量n＝（x，y，z），由AE→⋅n=0，AF→⋅n=0，得{−2x+2z=0，2y+z=0，令y＝1，得n＝（﹣2，1，﹣2）．平面DAE的法向量m＝（0，1，0）．设钝二面角D﹣AE﹣F的平面角为θ，则|cosθ|=|cos＜m，n＞|=|m⋅n|m|⋅|n||=13，所以cosθ=−1 3，即钝二面角D﹣AE﹣F的余弦值为−1 3．【点评】本题考查面面平行的判定，考查面面垂直的性质，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力．17．从①前n项和S n=n2+p(p∈R)，②a n＝a n+1﹣3，③a6＝11且2a n+1＝a n+a n+2这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答．在数列{a n}中，a1＝1，______，其中n∈N*．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a1，a n，a m成等比数列，其中m，n∈N*，且m＞n＞1，求m的最小值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】本题第（Ⅰ）题选择条件①的方案时当n＝1时有a1＝S1，代入可解出p的值，得到S n的表达式，再利用公式a n＝S n﹣S n﹣1进行计算可发现数列{a n}是等差数列，即可计算出数列{a n}的通项公式；选择条件②的方案根据条件及等差数列的定义即可判断出数列{a n}是以3为公差的等差数列，进一步计算即可得到数列{a n}的通项公式；选择条件③的方案时利用等差中项判别法判断出数列{a n}是等差数列，再根据a1＝1及a6＝11计算出公差，即可得到数列{a n}的通项公式．第（Ⅱ）题先根据三个方案都判别出数列{a n}是等差数列，以及第（Ⅰ）题计算出的数列{a n}的通项公式计算出a n，a m的表达式，再根据等比中项的性质列出关于m、n的算式，并转化成用n表示m的性质，然后用二次函数的方法计算出在n∈N*，且n＞1情况下m的最小值．解：方案一：选择条件①（Ⅰ）由题意，当n＝1时，a1＝1＝S1＝12+p，解得p＝0，则S n＝n2，n∈N*．当n≥2时，由S n＝n2，得S n−1=(n−1)2，∴a n＝S n﹣S n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1（n≥2），经检验，a1＝1符合上式，∴a n=2n−1(n∈N∗)．（Ⅱ）依题意，由a1，a n，a m成等比数列，可得a n2=a1a m，即（2n﹣1）2＝1×（2m﹣1），化简，得m=2n2−2n+1=2(n−12)2+12，∵m，n是大于1的正整数，且m＞n，∴当n＝2时，m有最小值5．方案二：选择条件②（Ⅰ）依题意，由a n＝a n+1﹣3，可得a n+1﹣a n＝3，故数列{a n}是以1为首项，3为公差的等差数列，∴a n=a1+(n−1)d=3n−2(n∈N∗)．（Ⅱ）依题意，由a1，a n，a m成等比数列，可得a n2=a1a m，即（3n﹣2）2＝1×（3m﹣2），化简，得m=3n2−4n+2=3(n−23)2+23，∵m，n是大于1的正整数，且m＞n，∴当n＝2时，m取到最小值6．方案三：选择条件③（Ⅰ）依题意，由2a n+1＝a n+a n+2，可得a n+1﹣a n＝a n+2﹣a n+1，故数列{a n}是等差数列，又∵a1＝1，a6＝a1+5d＝1+5d＝11，即d＝2，∴a n=a1+(n−1)d=2n−1(n∈N∗)．（Ⅱ）依题意，由a1，a n，a m成等比数列，可得a n2=a1a m，即（2n﹣1）2＝1×（2m﹣1），化简，得m=2n2−2n+1=2(n−12)2+12，∵m，n是大于1的正整数，且m＞n，∴当n＝2时，m有最小值5．【点评】本题主要考查等差数列的判别及计算，等比中项的问题．考查了转化与化归思想，函数思想，方程思想，定义法，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．18．某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：[0.486，0.536），[0.536，0.586），…，[0.836，0.886）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B级”，发芽率低于0.636的种子定为“C级”．（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C级”种子的概率；（Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“A级”、“B级”“C级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X元，以频率为概率，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）．【分析】（Ⅰ）先由频率分布直方图中的数据，频率和为1算出a的值，再求出是“C 级”种子的概率，然后根据对立事件的概率，即可求得不是“C级”种子的概率；（Ⅱ）先根据频率分布直方图依次求出种子是“A级”、“B级”、“C级”康乃馨的概率，X的可能取值为20，25，30，35，40，然后由独立事件的概率逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；（Ⅲ）根据方差的意义与性质即可作出判断．解：（Ⅰ）设事件M为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是C级种子”，由图表，得（0.4+1.2+a+4.0+6.0+4.4+1.2+0.4）×0.05＝1，解得a＝2.4．由图表，知“C级”种子的频率为（0.4+1.2+2.4）×0.05＝0.2，故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C级”的概率为0.2．∵事件M与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是C级种子”为对立事件，∴事件M的概率P（M）＝1﹣0.2＝0.8．（Ⅱ）由题意，任取一种种子，恰好是“A级”康乃馨的概率为（4.4+1.2+0.4）×0.05＝0.3，恰好是“B级”康乃馨的概率为（4.0+6.0）×0.05＝0.5，恰好是“C级”的概率为（0.4+1.2+2.4）×0.05＝0.2．而随机变量X的可能取值有20，25，30，35，40，∴P（X＝20）＝0.2×0.2＝0.04，P（X＝25）＝0.2×0.5+0.5×0.2＝0.2，P（X＝30）＝0.5×0.5+0.3×0.2+0.2×0.3＝0.37，P（X＝35）＝0.3×0.5+0.5×0.3＝0.3，P（X＝40）＝0.3×0.3＝0.09．所以X的分布列为：X2025303540P0.040.20.370.30.09故数学期望E（X）＝20×0.04+25×0.2+30×0.37+35×0.3+40×0.09＝31．（Ⅲ）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了．【点评】本题考查频率分布直方图、对立事件的概率、独立事件的概率、离散型随机变量的分布列与期望、方差的含义等知识点，有一定的综合性，但难度不算大，考查学生灵活运用知识的能力和对数据的分析能力，属于基础题．19．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为12，右焦点为F，点A（a，0），且|AF|＝1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别与直线x＝4交于点P，Q，求∠PFQ的大小．【分析】（Ⅰ）由题意得{c a =12，a −c =1，求出a ，c ，然后求解b ，即可得到椭圆方程．（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，验证FP →⋅FQ →=0，即∠PFQ ＝90°．当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝k （x ﹣1），其中k ≠0．联立{y =k(x −1)，3x 2+4y 2=12，得（4k 2+3）x 2﹣8k 2x +4k 2﹣12＝0．由题意，知△＞0恒成立，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），利用韦达定理，结合直线MA 的方程为y =y1x 1−2(x −2)． 求出P(4，2y 1x 1−2)．Q(4，2y2x 2−2)．利用向量的数量积，转化求解即可．解：（Ⅰ）由题意得{c a =12，a −c =1，解得a ＝2，c ＝1， 从而b =√a 2−c 2=√3， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，有M(1，32)，N(1，−32)，P （4，﹣3），Q （4，3），F （1，0），则FP →=(3，−3)，FQ →=(3，3)，故FP →⋅FQ →=0，即∠PFQ ＝90°． 当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝k （x ﹣1），其中k ≠0．联立{y =k(x −1)，3x 2+4y 2=12，得（4k 2+3）x 2﹣8k 2x +4k 2﹣12＝0．由题意，知△＞0恒成立，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 2=8k24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3．直线MA 的方程为y =y1x 1−2(x −2)． 令x ＝4，得y P =2y 1x 1−2，即P(4，2y1x 1−2)．同理可得Q(4，2y2x 2−2)．所以FP →=(3，2y1x 1−2)，FQ →=(3，2y2x 2−2)．因为FP →⋅FQ →=9+4y 1y 2(x 1−2)(x 2−2)=9+4k 2(x 1−1)(x 2−1)(x 1−2)(x 2−2)=9+4k 2[x 1x 2−(x 1+x 2)+1]x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=9+4k 2(4k 2−124k 2+3−8k 24k 2+3+1)4k 2−124k 2+3−16k 24k 2+3+4=9+4k 2[(4k 2−12)−8k 2+(4k 2+3)](4k 2−12)−16k 2+4(4k 2+3)=0，所以∠PFQ ＝90°． 综上，∠PFQ ＝90°．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．20．设函数f （x ）＝ae x +cos x ，其中a ∈一、选择题． （Ⅰ）已知函数f （x ）为偶函数，求a 的值； （Ⅱ）若a ＝1，证明：当x ＞0时，f （x ）＞2；（Ⅲ）若f （x ）在区间[0，π]内有两个不同的零点，求a 的取值范围． 【分析】（Ⅰ）函数f （x ）为偶函数，通过f （﹣π）＝f （π），求解a ＝0．（Ⅱ）f'（x）＝e x﹣sin x，判断函数的单调性，推出结果．（Ⅲ）由f（x）＝ae x+cos x＝0，得a=−cosxe x．构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性，求解函数的极值，然后求解a的取值范围．解：（Ⅰ）函数f（x）为偶函数，所以f（﹣π）＝f（π），即ae﹣π﹣1＝aeπ﹣1，解得a＝0．验证知a＝0符合题意．（Ⅱ）证明；f'（x）＝e x﹣sin x，由x＞0，得e x＞1，sin x∈[﹣1，1]，则f'（x）＝e x﹣sin x＞0，即f（x）在（0，+∞）上为增函数．故f（x）＞f（0）＝2，即f（x）＞2．（Ⅲ）由f（x）＝ae x+cos x＝0，得a=−cosx e x．设函数h(x)=−cosxe x，x∈[0，π]，则h′(x)=sinx+cosxe x．令h'（x）＝0，得x=3π4．随着x变化，h'（x）与h（x）的变化情况如下表所示：x(0，3π4)3π4(3π4，π)h'（x）+0﹣h（x）↗极大值↘所以h （x ）在(0，3π4)上单调递增，在(3π4，π)上单调递减． 又因为h （0）＝﹣1，h （π）＝e ﹣π，h(3π4)=√22e −3π4，所以当a ∈[e −π，√22e−3π4)时，方程a =−cosxe x 在区间[0，π]内有两个不同解，且在区间[0，3π4)与(3π4，π]上各有一个解． 即所求实数a 的取值范围为[e −π，√22e−3π4)．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，函数的奇偶性的应用，是中档题．21．设N 为正整数，区间I k ＝[a k ，a k +1]（其中a k ∈R ，k ＝1，2，…，N ）同时满足下列两个条件：①对任意x ∈[0，100]，存在k 使得x ∈I k ；②对任意k ∈{1，2，…，N }，存在x ∈[0，100]，使得x ∉I i （其中i ＝1，2，…，k ﹣1，k +1，…，N ）．（Ⅰ）判断a k （k ＝1，2，…，N ）能否等于k ﹣1或k2−1；（结论不需要证明）．（Ⅱ）求N 的最小值；（Ⅲ）研究N 是否存在最大值，若存在，求出N 的最大值；若不在在，说明理由．【分析】（Ⅰ）a k 可以等于k ﹣1，但a k 不能等于k 2−1，（Ⅱ） 记b ﹣a 为区间[a ，b ]的长度，可求区间[0，100]的长度为100，I k 的长度为1．由①，得N ≥100，结合I 1＝[0，1]，I 2＝[1，2]，…，I 100＝[99，100]显然满足条件①，②．可求N 的最小值．（Ⅲ）首先，由题意利用反证法证明N ≤200．进而给出N ＝200存在的例子，可知N 的最大值存在，且为200．解：（Ⅰ）a k 可以等于k ﹣1，但a k 不能等于k2−1，（Ⅱ） 记b ﹣a 为区间[a ，b ]的长度， 则区间[0，100]的长度为100，I k 的长度为1． 由①，得N ≥100，又因为I 1＝[0，1]，I 2＝[1，2]，…，I 100＝[99，100]显然满足条件①，②． 所以N 的最小值为100．（Ⅲ）N 的最大值存在，且为200． 解答如下：（1）首先，证明N ≤200．由②，得I 1，I 2，…，I N 互不相同，且对于任意k ，I k ∩[0，100]≠∅． 不妨设a 1＜a 2＜…＜a n ＜…．如果a 2≤0，那么对于条件②，当k ＝1时，不存在x ∈[0，100]，使得x ∉I i （i ＝2，3，…，N ）．这与题意不符，故a 2＞0，如果a k +1≤a k ﹣1+1，那么I k ⊆I k ﹣1∪I k +1，这与条件②中“存在x ∈[0，100]，使得x ∉I i （i ＝1，2，…，k ﹣1，k +1，…N ）”矛盾， 故a k +1＞a k ﹣1+1．所以a 4＞a 2+1＞1，a 6＞a 4+1＞2，…，a 200＞a 198+1＞99， 则a 200+1＞100．故I 1∪I 2∪…∪I 200⊇[0，100]．若存在I 201，这与条件②中“存在x ∈[0，100]，使得x ∉I i （i ＝1，2，…，200）”矛盾，所以N ≤200，（2）给出N ＝200存在的例子．令a k =−12+100199(k −1)，其中k ＝1，2，…，200，即a 1，a 2，…，a 200为等差数列，公差d =100199．由d ＜1，知I k ∩I k +1≠∅，则易得I 1∪I 2∪⋯∪I 200=[−12，2012]， 所以I 1，I 2，…，I 200满足条件①． 又公差d =100199＞12， 所以100199(k −1)∈I k ，100199(k −1)∉I i （i ＝1，2，…，k ﹣1，k +1，…N ）．（注：100199(k −1)为区间I k 的中点对应的数）， 所以I 1，I 2，…，I 200满足条件②．综合（1）（2）可知N 的最大值存在，且为200．【点评】本题主要考查了数列与函数的综合应用，考查了反证法的应用以及等差数列的性质的应用，难度较大，属于难题．。

2020年河北省唐山市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1．数z满足（1+z）（1+2i）=i，则复平面内表示复数z的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知a，b为实数，则“a3＜b3”是“2a＜2b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为（）A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.94．执行如图的程序框图，若输入M的值为1，则输出的S=（）A．6 B．12 C．14 D．205．在▱ABCD中，AB=2AD=4，∠BAD=60°，E为BC的中点，则•=（）A．6 B．12 C．﹣6 D．﹣126．设椭圆C：y2+=1（0＜m＜1）的两焦点分别为F1，F2，若在椭圆C上存在点P使得PF1⊥PF2，则m的取值范围是（）A．[，1）B．（0，] C．[，1）D．（0，]7．函数f（x）=cos（x+）+2sin sin（x+）的最大值是（）A．1 B．sin C．2sin D．8．曲线y=和x2+y2=2及x轴所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．9．5名大学生为唐山世界园艺博览会的3个场馆提供翻译服务，每个场馆分配一名或两名大学生，则不同的分配方法有（）A．90种B．180种C．270种D．360种10．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=AB，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=x在[0，1）上的最大值为m，在（1，2]上的最小值为n，则m+n=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．212．在等边△ABC中，M为△ABC内一动点，∠BMC=120°，则的最小值是（）A．1 B．C．D．二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分）13．设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线方程为y=±x，则离心率e为．14．若实数x，y满足，则z=3x+4y的最大值是．15．已知AB是球O的直径，C，D为球面上两动点，AB⊥CD，若四面体ABCD体积的最大值为9，则球O的表面积为．16．当x∈[﹣1，+∞）时，不等式x3﹣ax2﹣4x+8≥0恒成立，则a的取值范围是．三、简答题：本大题共70分。

2020年高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（共12小题）. 1．已知复数z 满足z+i 2+i=1+i ，则复数z ＝（ ） A ．2+iB ．1+2iC ．3+iD ．3﹣2i2．已知集合A ={x|x−1x+3≤0}，B ＝{x ||x |＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |﹣2＜x ＜1} B ．{x |﹣3＜x ＜2} C ．{x |﹣2＜x ≤1} D ．{x |﹣2≤x ≤1}3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，a 2+2a 3+a 4＝0，则S 5＝（ ） A ．2B ．0C ．﹣2D ．﹣44．若某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．4C ．4√2D ．435．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N （1，σ2）（σ＞0），若X 在（0，2）内取值的概率为0.8，则X 在[0，+∞）内取值的概率为（ ） A ．0.9B ．0.8C ．0.3D ．0.16．已知函数f(x)=cos(3x +φ)(−π2＜φ＜π2)图象关于直线x =5π18对称，则函数f （x ）在区间[0，π]上零点的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．已知向量a →，b →是互相垂直的单位向量，向量c →满足c →⋅a →=1，c →⋅b →=1，则|a →+c →|=（ ） A ．2B ．√5C ．3D ．78．已知等差数列{a n }满足：a 12+a 52＝8，则a 1+a 2的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．59．已知直线PQ ：y =x −12与y 轴交于P 点，与曲线C ：y 2＝x （y ≥0）交于Q ，M 成为线段PQ上一点，过M作直线x＝t交C于点N，则△MNP面积取到最大值时，t的值为（）A．116B．14C．1D．5410．已知函数f（x）＝e x﹣1﹣ax−1e（a∈R）的图象与x轴有唯一的公共点，则实数a的取值范围为（）A．{a|a≤0}B．{a|a≤0，或a=1e}C．{a|a≤0，或a＝e}D．{a|a≤0，或a＝1}11．已知A，B分别为双曲线Γ：x2−y23=1实轴的左右两个端点，过双曲线Γ的左焦点F 作直线PQ交双曲线于P，Q两点（点P，Q异于A，B），则直线AP，BQ的斜率之比k AP：k BQ＝（）A．−13B．﹣3C．−23D．−3212．在四棱锥P﹣ABCD中，PA＝2，PB＝PC＝PD=√7，AB＝AD=√7，BC＝CD＝2，则四棱锥P﹣ABCD的体积为（）A．2√3B．√3C．√5D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．函数y=lnxx+1在点P（1，0）处的切线方程为．14．一种药在病人血液中的量保持1500mg以上才有疗效；而低于500mg病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：lg2≈0.3010，1g3≈0.4771，精确到0.1h）15．柜子里有3双不同的鞋子，随机地取出2只，则取出的2只鞋子不成对的概率为．16．已知M，N为直线3x+4y﹣10＝0上两点，O为坐标原点，若∠MON=π3，则△MON的周长最小值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a＝4，C＝2B．（1）若b＝2，求c；（2）若△ABC的面积为2√3，求tan B．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1是边长为4的菱形，且∠A1AC=π3，面ACC1A1⊥面ABC，A1A⊥BC，BC＝4．（1）求证：BC⊥面ACC1A1；（2）求二面角A﹣A1B﹣C的余弦值．19．已知F1（﹣1，0），F2（1，0）为椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，△F1AB的周长为8．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）已知P（x0，y0）（y0≠0）是直线l：x＝4上一动点，若PA，PB与x轴分别交于点M（x M，0），N（x N，0），则1x M−1+1x N−1是否为定值，若是，求出该定值，不是请说明理由．20．一种新的验血技术可以提高血液检测效率．现某专业检测机构提取了n（n≥6）份血液样本，其中只有1份呈阳性，并设计了如下混合检测方案：先随机对其中（n﹣3）份血液样本分别取样，然后再混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则对另外3份血液逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止；若检测结果呈阳性，测对这（n﹣3）份血液再逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止．（1）若n＝6，求恰好经过3次检测而确定呈阳性的血液的事件概率；（2）若n≥8，宜采用以上方案检测而确定呈阳性的血液所需次数为ξ，①求ξ的概率分布；②求Eξ．21．已知函数f（x）＝lnx+cos x．（1）讨论f（x）在（0，π）极值点个数；（2）证明：不等式f（x）＞0在(π2，π)恒成立．附：ln(5π6)≈0.9624，ln(2π3)≈0.7393．（二）选考题：共10分．请考生从第22、23题中任选一题作答．并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=2+tcosαy=tsinα（t参数，α为常数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ2=1．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C的交点为P，Q两点，曲线C和x轴交点为A，若△APQ面积为6√6，求tanα的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知正数a，b，c满足a+b+c＝1．求证：（1）ab＜1 4；（2）a1−a +b1−b+c1−c≥32．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z满足z+i2+i=1+i，则复数z＝（）A．2+i B．1+2i C．3+i D．3﹣2i 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z+i2+i=1+i，得z+i＝（1+i）（2+i）＝1+3i，∴z＝1+2i，故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2．已知集合A={x|x−1x+3≤0}，B＝{x||x|＜2}，则A∩B＝（）A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|﹣3＜x＜2}C．{x|﹣2＜x≤1}D．{x|﹣2≤x≤1}【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A={x|x−1x+3≤0}={x|﹣3＜x≤1}，B＝{x||x|＜2}＝{x|﹣2＜x＜2}，∴A∩B＝{x|﹣2＜x≤1}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．设等比数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，a2+2a3+a4＝0，则S5＝（）A．2B．0C．﹣2D．﹣4【分析】根据等比数列的通项公式和求和公式即可求出．解：设公比为q，q≠0，等比数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，a2+2a3+a4＝0，则2q+4q2+2q3＝0，解得q＝﹣1，∴S5=2(1−(−1)5)1+1=2，故选：A．【点评】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，属于基础题． 4．若某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．4C ．4√2D ．43【分析】先通过三视图对几何体进行还原，可得一个直四棱柱，然后利用棱柱体积的计算公式求解即可．解：根据三视图还原成的几何体是如图所示的四棱柱，其中底面是长为2，宽为1的矩形，棱柱的高为2，四棱柱的体积V ＝1×2×2＝4． 故选：B ．【点评】本题考查三视图的还原及棱柱体积的计算，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题．5．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N （1，σ2）（σ＞0），若X 在（0，2）内取值的概率为0.8，则X 在[0，+∞）内取值的概率为（ ） A ．0.9B ．0.8C ．0.3D ．0.1【分析】根据X 服从正态分布N （1，σ2），得到曲线的对称轴是直线x ＝1，利用X 在（0，2）内取值的概率为0.8，即可求得结论． 解：∵X 服从正态分布N （1，σ2） ∴曲线的对称轴是直线x ＝1，∵X在（0，2）内取值的概率为0.8，∴X在（0，1）内取值的概率为0.4，∴X在[0，+∞）内取值的概率为0.5+0.4＝0.9故选：A．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态曲线的对称性，是一个基础题．6．已知函数f(x)=cos(3x+φ)(−π2＜φ＜π2)图象关于直线x=5π18对称，则函数f（x）在区间[0，π]上零点的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据余弦型函数的对称性知，f（x）在x=5π18时取得最值，由此求出φ值，再令f（x）＝0，解出x，即可判断在[0，π]上零点个数．解：因为函数f(x)=cos(3x+φ)(−π2＜φ＜π2)图象关于直线x=5π18对称，∴cos(3×5π18+φ)=±1，∴5π6+φ=kπ，k∈Z，由−π2＜φ＜π2知，k＝1时，φ=π6．故f(x)=cos(3x+π6)，令f（x）＝0得3x+π6=π2+kπ，k∈Z，∴x=π9+kπ3，k∈Z．因为x∈[0，π]，所以k＝0，1，2时，φ=π9，4π9，7π9满足条件．故零点有三个．故选：C．【点评】本题考查三角函数据图求式的基本思路，注意把握好正、余弦函数图象的对称性与函数的最值点、零点之间的关系．属于中档题．7．已知向量a→，b→是互相垂直的单位向量，向量c→满足c→⋅a→=1，c→⋅b→=1，则|a→+c→|=（）A．2B．√5C．3D．7【分析】将向量a→，b→放入坐标系，利用条件求出坐标进而求得结论．解：因为向量a→，b→是互相垂直的单位向量，不妨设a→=（1.0），b→=（0，1），c→=（x，y）则由c→⋅a→=1，c→⋅b→=1，得x＝y＝1，即c→=（1，1）．∴a→+c→=（2，1）；∴|a →+c →|=√22+12=√5； 故选：B ．【点评】本题主要考查平面向量的应用，利用向量长度与坐标之间的关系进行运算，利用条件将向量a →，b →转化为坐标形式是解决本题的关键．8．已知等差数列{a n }满足：a 12+a 52＝8，则a 1+a 2的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】设a 1＝2√2cos α，a 5＝2√2sin α，（0≤α＜2π），求公差，求首项，再利用辅助角公式求最值．解：设等差数列{a n }的公差为d ，由于满足：a 12+a 52＝8， 设a 1＝2√2cos α，a 5＝2√2sin α，（0≤α＜2π）， 所以a 5﹣a 1＝2√2（sin α﹣cos α）， 即4d ＝2√2（sin α﹣cos α），d =√22（sin α﹣cos α），所以a 1+a 2＝2a 1+d ＝4√2cos α+√22（sin α﹣cos α）=7√22cos α+√22sin α=√22（7cos α+sin α）=√22√50（√50cos α1√50sin α）＝5sin （θ+α）≤5，（其中tan θ＝7）， 所以a 1+a 2最大值为5． 故选：D ．【点评】本题考查三角换元求取值范围，属于中档题．9．已知直线PQ ：y =x −12与y 轴交于P 点，与曲线C ：y 2＝x （y ≥0）交于Q ，M 成为线段PQ 上一点，过M 作直线x ＝t 交C 于点N ，则△MNP 面积取到最大值时，t 的值为（ ） A ．116B ．14C ．1D ．54【分析】求得P ，Q 的坐标，由直线x ＝t ，联立直线方程和曲线方程可得M ，N 的坐标，运用三角形的面积公式，结合换元法和导数的运用：求单调性和极值、最值，即可得到所求值．解：直线PQ ：y =x −12与y 轴交于P （0，−12），由y ＝x −12与y 2＝x （y ≥0）联立，可得Q （1+√32，√32+12），过M作直线x＝t交C于点N，可得M（t，t−12），N（t，√t），0≤t≤1+√32，则△MNP面积S=12（√t−t+12）t，设u=√t（0≤u≤1+32），可得S=12（u3﹣u4+12u2），可得S′=12（3u2﹣4u3+u）=−12u（4u+1）（u﹣1），可得0＜u＜1时，S′＞0，S递增；1＜u＜1+√32时，S′＜0，S递减，则面积S在u＝1，即t＝1处取得极大值，且为最大值．故选：C．【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查三角形的面积的最值求法，注意运用导数，求得单调性和极值、最值，考查化简运算能力，属于中档题．10．已知函数f（x）＝e x﹣1﹣ax−1e（a∈R）的图象与x轴有唯一的公共点，则实数a的取值范围为（）A．{a|a≤0}B．{a|a≤0，或a=1e}C．{a|a≤0，或a＝e}D．{a|a≤0，或a＝1}【分析】由于f（0）＝0且x∈R，由题意可知f（x）的图象与x轴有唯一的公共点（0，0），结合导数分析函数的性质，进而可求．解：由于f（0）＝0且x∈R，由题意可知f（x）的图象与x轴有唯一的公共点（0，0），f′（x）＝e x﹣1﹣a，若a≤0，则f′（x）＝e x﹣1﹣a＞0，函数f（x）单调递增，且f（0）＝0满足题意；当a＞0时，由f′（x）＝e x﹣1﹣a＝0可得x＝1+lna，当x＜1+lna时，f′（x）＝e x﹣1﹣a＜0，函数单调递减，当x＞1+lna时，f′（x）＝e x ﹣1﹣a＞0，函数单调递增，由题意可得1+lna＝0，故a=1 e，综上可得，a=1e或a≤0．故选：B．【点评】本题主要考查了利用导数求解函数的零点个数，体现了导数与函数性质的综合应用．11．已知A ，B 分别为双曲线Γ：x 2−y 23=1实轴的左右两个端点，过双曲线Γ的左焦点F作直线PQ 交双曲线于P ，Q 两点（点P ，Q 异于A ，B ），则直线AP ，BQ 的斜率之比k AP ：k BQ ＝（ ） A ．−13B ．﹣3C ．−23D ．−32【分析】先根据双曲线方程求出a ，b ，c 的值，再直接设直线方程为x ＝my ﹣2，代入双曲线方程，消去x ，化简得到关于y 的一元二次方程，得韦达定理，然后将k AP ：k BQ 借助于P ，Q 的坐标表示出来，再将韦达定理看成方程，将m 用y 1，y 2表示出来代入前面的比值，化简即可．解：由已知得双曲线Γ：a ＝1，b =√3，c ＝2． 故F （﹣2，0），A （﹣1，0），B （1，0）．设直线PQ ：x ＝my ﹣2，且P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）． 由{x =my −2x 2−y 23=1消去x 整理得（3m 2﹣1）y 2﹣12my +9＝0， ∴y 1+y 2=12m 3m 2−1，y 1y 2=93m 2−1， 两式相比得m =34×y 1+y2y 1y 2①， ∴k AP ：k BQ =y 1x 1+1×x 2−1y 2=y 1(my 2−3)y 2(my 1−1)=my 1y 2−3y1my 1y 2−y 2②， 将①代入②得：上式=34(y 1+y 2)−3y 134(y 1+y 2)−y 2=3(y 2−3y 1)3y 1−y 2=−3．故k AP ：k BQ ＝﹣3． 故选：B ．【点评】本题考查双曲线的性质，以及学生的化简运算能力，属于中档题．12．在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ＝2，PB ＝PC ＝PD =√7，AB ＝AD =√7，BC ＝CD ＝2，则四棱锥P ﹣ABCD 的体积为（ ） A ．2√3B ．√3C ．√5D ．3【分析】连结AC ，BD ，交于点E ，过P 作PO ⊥平面ABCD ，交AC 于点O ，连结BO ，DO ，则BO ＝DO ＝2，PO =√7−4=√3，AO =√4−3=1，DE ＝BE =√3，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为：V ＝V D ﹣PAC +V B ﹣PAC ，由此能求出结果．解：在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ＝2，PB ＝PC ＝PD =√7，AB ＝AD =√7，BC ＝CD ＝2， 连结AC ，BD ，交于点E ，过P 作PO ⊥平面ABCD ，交AC 于点O ，连结BO，DO，则BO＝DO＝2，PO=√7−4=√3，AO=√4−3=1，S△PAC=12×AC×PO=32×√3=3√32，DE＝BE=√22−12=√3，∴四棱锥P﹣ABCD的体积为：V＝V D﹣PAC+V B﹣PAC=13×DE×S△PAC+13×BE×S△PAC=13×√3×3√32+13×√3×3√32＝3．故选：D．【点评】本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．函数y=lnxx+1在点P（1，0）处的切线方程为x﹣2y﹣1＝0．【分析】先求出函数的导数，然后求出切点处的导数值，最后利用点斜式求出直线方程．解：∵y′=1+1x−lnx(x+1)2，∴y′|x=1=12，所以切线为：y=12(x−1)，即：x﹣2y﹣1＝0．故答案为：x﹣2y﹣1＝0．【点评】本题考查导数的几何意义、切线方程的求法，同时考查学生的运算能力．属于基础题．14．一种药在病人血液中的量保持1500mg以上才有疗效；而低于500mg病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2500mg ，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过 2.3 小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：lg 2≈0.3010，1g 3≈0.4771，精确到0.1h ）【分析】先设未知数，再根据题意列出不等式，整理得指数不等式，再利用指数函数的单调性、指数函数和对数函数的关系、换底公式和对数的运算性质，以及条件进行求解． 解：设应在病人注射这种药x 小时后再向病人的血液补充这种药， 依题意，可得500≤2500×（1﹣20%）x ≤1500 整理，得 0.2≤0.8x ≤0.6， ∴log 0.80.6≤x ≤log 0.80.2， ∵log 0.80.6=lg0.6lg0.8=lg6−1lg8−1=lg2+lg3−13lg2−1≈2.3， log 0.80.2=lg0.2lg0.8=lg2−13lg2−1≈7.2， 解得：2.3≤x ≤7.2，应在用药2.3小时后及7.2小时前再向病人的血液补充药． 故答案为：2.3．【点评】本题结合实际考查了指数函数的单调性、指数函数和对数函数的关系和换底公式等等，考查了分析和解决问题的能力．15．柜子里有3双不同的鞋子，随机地取出2只，则取出的2只鞋子不成对的概率为 45．【分析】利用古典概型概率计算公式和对立事件的概率计算公式求解． 解：∵取法总数有C 62＝15种，取出的鞋成对的种数有3种， ∴取出的鞋不成对的概率p ＝1−315=45． 故答案为：45【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件的概率计算公式的灵活运用．16．已知M ，N 为直线3x +4y ﹣10＝0上两点，O 为坐标原点，若∠MON =π3，则△MON 的周长最小值为 4√3 ．【分析】直接利用点到直线的距离公式的应用和三角形的周长公式的应用求出结果． 解：已知M ，N 为直线3x +4y ﹣10＝0上两点，O 为坐标原点，若∠MON =π3，则：原点（0，0）到直线3x+4y﹣10＝0的距离d=|0+0−10|√3+4=2．所以当△MON为等边三角形时：设OM＝2x，所以（2x）2＝22+x2，解得x2=43，故x=2√33，所以l△MON=6x=6×2√33=4√3．故答案为：4√3．【点评】本题考查的知识要点：直线的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，三角形的周长公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a＝4，C＝2B．（1）若b＝2，求c；（2）若△ABC的面积为2√3，求tan B．【分析】（1）由C＝2B利用二倍角公式得c＝2b•cos B，再利用余弦定理即可求出c的值；（2）对角C分锐角和钝角两种情况讨论，分别求出tan B的值，经验证C为钝角不符合题意，所以tan B=√33．解：（1）∵C＝2B，∴sin C＝sin2B＝2sin B cos B，∴c＝2b•cos B，∴cos B=c2b =a2+c2−b22ac，∴ac2＝b（a2+c2﹣b2），∴4c2＝2（16+c2﹣4），∴c2＝12，∴c＝2√3；（2）（i）若C为锐角，过点A作AH⊥BC于点H，如图所示：设BC 边上的高为h ，则S △ABC =12×4×h =2√3，∴h =√3， 设BH ＝x ，HC ＝4﹣x ， ∴tan B =ℎx，tan C =ℎ4−x，又∵C ＝2B ， ∴tan C ＝tan2B =2tanB 1−tan 2B =ℎ4−x =2⋅ℎx1−(ℎx)2， ∴1﹣（√3x ）2＝2×4−x x ，解得x ＝3，∴tan B =√33，（ii ）若C 为钝角，过A 作AH ⊥BC 的延长线于H ，如图所示：设CH ＝x ，AH ＝h =√3， 则tan B =ℎ4+x ，tan （π﹣C ）=ℎx=−tan C ， ∴由tan C ＝tan2B 知：−ℎx =2⋅ℎ4+x 1−(ℎ4+x )2， ∴1+2x 4+x −3(4+x)2=0，而x ＞0，∴x 无解，因此C 为钝角不符合题意，综上所述，tan B =√33．【点评】本题主要考查了三角函数的二倍角公式，以及余弦定理，是中档题．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1是边长为4的菱形，且∠A1AC=π3，面ACC1A1⊥面ABC，A1A⊥BC，BC＝4．（1）求证：BC⊥面ACC1A1；（2）求二面角A﹣A1B﹣C的余弦值．【分析】（1）在菱形ACC1A1中，过A1点作A1H⊥AC于H，则A1H⊥BC，再由A1A ⊥BC，能证明BC⊥平面A1C1CA．（2）连结AC1，设AC1∩A1C＝M，则BC⊥AM，AM⊥面A1BC，AM⊥A1B，过点M 作MN⊥A1B于点N，连结AN，则A1B⊥平面AMN，A1B⊥AN，从而∠MNA为二面角A﹣A1B﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣A1B﹣C的余弦值．解：（1）证明：在菱形ACC1A1中，过A1点作A1H⊥AC于H，∵平面A1C1CA⊥平面ABC，平面A1C1CA∩平面ABC＝AC，∴A1H⊥BC，∵A1A⊥BC，A1A∩A1H＝A1，∴BC⊥平面A1C1CA．（2）解：在菱形A1C1CA中，连结AC1，设AC1∩A1C＝M，BC⊥平面A1C1CA，∴BC⊥AM，则AM⊥面A1BC，∴AM⊥A1B，过点M作MN⊥A1B于点N，连结AN，则A1B⊥平面AMN，∴A1B⊥AN，∴∠MNA为二面角A﹣A1B﹣C的平面角，设大小为θ，在Rt△A1CB中，BC＝CA1＝4，且∠A1CB=π2，∴MN=√2，则tanθ=AMMN=2√32=√6，∴cosθ=17=√77，∴二面角A﹣A1B﹣C的余弦值为√77．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19．已知F 1（﹣1，0），F 2（1，0）为椭圆Γ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的左右焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，△F 1AB 的周长为8． （1）求椭圆Γ的标准方程；（2）已知P （x 0，y 0）（y 0≠0）是直线l ：x ＝4上一动点，若PA ，PB 与x 轴分别交于点M （x M ，0），N （x N ，0），则1x M −1+1x N −1是否为定值，若是，求出该定值，不是请说明理由．【分析】（1）由椭圆的定义可得△F 1AB 的周长为4a ，由题意可得a 的值，及c 的值，再有a ，b ，c 之间的关系求出b 的值，进而求出椭圆的标准方程；（2）分直线AB 的斜率为0和不为0两种情况讨论，求出A ，B 的坐标，设P 的坐标，求出直线PA 的方程，令y ＝0，求出M 的坐标，进而求出1x M −1的表达式，同理求出1x N −1的表达式，进而求出1x M −1+1x N −1为定值．解：（1）由题意可得三角形AF 1B 中，三角形的周长为|AF 1|+|BF 1|+|AB |＝4a ＝8，解得a ＝2，而c ＝1，所以b 2＝a 2﹣c 2＝4﹣1＝3， 所以椭圆Γ的方程为：x 24+y 23=1；（2）由题意设P （4，y 0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设直线AB 的斜率为0时可得，A （﹣2，0），B （2，0），则直线PA 与x 轴的交点M 的横坐标x M ＝﹣2， 同理可得x N ＝2， 所以1x M −1+1x N −1=1−2−1+12−1=23，当直线AB 的斜率不为0时，设直线AB 的方程为：x ＝my +1，联立直线AB 与椭圆的方程{x =my +13x 2+4y 2−12=0，整理可得（4+3m 2）y 2+6my ﹣9＝0，y 1+y 2=−6m 4+3m 2，y 1y 2=−94+3m 2， 设直线PA 的方程为：y =y 0−y14−x 1（x ﹣4）+y 0，令y ＝0，可得x M ﹣1=−y 0(4−x 1)y 0−y 1+3=−4y 0+y 0(my 1+1)+3y 0−3y 1y 0−y 1=y 1(my 0−3)y 0−y 1， 所以1x M −1=y 0−y 1y 1(my 0−3)，同理可得1x N −1=y 0−y 2y 2(my 0−3)， 所以1x M −1+1x N −1=y 0−y 1y 1(my 0−3)+y 0−y 2y 2(my 0−3)=(y 0−y 1)y 2+(y 0−y 2)y 1y 1y 2(my 0−3)=y 0(y 1+y 2)−2y 1y 2y 1y 2(my 0−3)=y 0⋅−6m 4+3m 2−2⋅−94+3m 2−94+3m 2⋅(my 0−3)=−6(my 0−3)−9(my 0−3)=23；综上所述1x M −1+1x N −1为定值23．【点评】本题考查求椭圆的标准方程，及直线与椭圆的综合，属于中档题．20．一种新的验血技术可以提高血液检测效率．现某专业检测机构提取了n （n ≥6）份血液样本，其中只有1份呈阳性，并设计了如下混合检测方案：先随机对其中（n ﹣3）份血液样本分别取样，然后再混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则对另外3份血液逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止；若检测结果呈阳性，测对这（n ﹣3）份血液再逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止．（1）若n ＝6，求恰好经过3次检测而确定呈阳性的血液的事件概率； （2）若n ≥8，宜采用以上方案检测而确定呈阳性的血液所需次数为ξ， ①求ξ的概率分布； ②求E ξ．【分析】（1）不论第一次检测结果如何，都要对含有2阴1阳得血液样本进行逐一检测，故第2次和第3次检测的都是阴性或者第2次检测的是阴性，第3次检测的是阳性，根据组合数公式和古典概型的概率公式计算概率；（2）根据组合数公式和古典概型的概率公式依次计算ξ＝2，3，4，…，n ﹣3的概率，得出分布列和数学期望．解：（1）n ＝6时，不论第一次检测的混合血液是阴性还是阳性，从第2次检测开始，都是对含有1阳性，2阴性的3份血液进行逐一检测，若恰好经过3次检测而确定阳性血液，则第2次和第3次检测的都是阴性或者第2次检测的是阴性，第3次检测的是阳性，故恰好经过3次检测而确定呈阳性的血液的事件概率为P =C 22C 32+C 21C 11C 31⋅C 21=23． （2）①n ≥8时，P （ξ＝2）=C n−1n−3C n n−3⋅C 11C 31+C n−13C n 3⋅C 11C n−31=2n， P （ξ＝3）=C n−12⋅C 11C n 3•（C 21⋅C 11C 31⋅C 21+C 21⋅C 11C 31⋅C 21）+C n−13C n 3⋅C n−41C 11C n−31C n−41=3n，P （ξ＝4）=C n−13C n3•C n−42C 11C n−32⋅C n−51=1n，当4≤k ≤n ﹣4时，P （ξ＝k ）=C n−13C n3⋅C n−4k−2C 11C n−3k−2C n−3−(k−2)1=1n ，P （ξ＝k ﹣3）=C n−13C n3⋅C n−4n−4C 11C n−3n−4C 11•2=2n，∴ξ的分布列为：ξ 2 3 4 … n ﹣4 n ﹣3 P 2n3n1n…1n2n②E ξ＝2•2n+3•3n+4•1n+⋯+（n ﹣4）⋅1n +（n ﹣3）•2n =n 2−3n+142n．【点评】本题考查了离散型随机变量的概率计算，属于中档题． 21．已知函数f （x ）＝lnx +cos x ．（1）讨论f （x ）在（0，π）极值点个数； （2）证明：不等式f （x ）＞0在(π2，π)恒成立．附：ln(5π6)≈0.9624，ln(2π3)≈0.7393． 【分析】（1）求导，分x ∈(0，π2)，x ∈[π2，5π6]以及x ∈(5π6，π)，判断函数的单调性，进而得出极值点情况；（2）分π2＜x ≤5π6，5π6＜x ＜π，结合零点存在性定理以及放缩思想得证．解：（1）f′(x)=1−xsinxx，设g （x ）＝1﹣x sin x ， ①在x ∈(0，π2)时，则g(0)=1，g(π2)=1−π2＜0，g ′（x ）＝﹣（sin x +x cos x ）＜0知g （x ）在(0，π2)递减，∴存在x 1∈(0，π2)，使得g （x 1）＝0，在x ∈（0，x 1）时，f ′（x ）＞0，在x ∈(x 1，π2)时，f ′（x ）＜0， ∴x 1为f （x ）的极大值点； ②在x ∈[π2，5π6]时，12≤sinx ≤1，有xsinx ≥min{π2sin π2，5π6sin 5π6}＞1，f ′（x ）＜0在(π2，5π6)上恒成立，f （x ）在(π2，5π6)上递减， ∴此时f （x ）无极值； ③在x ∈(5π6，π)时，f′(5π6)＜0，f′(π)=12＞0，f″(x)=−(cosx +1x2)＞0在(5π6，π)上恒成立， ∴f ′（x ）在(5π6，π)上递增， ∴存在唯一的x 2∈(5π6，π)，使得f ′（x 2）＝0，且在x ∈(5π6，x 2)时，f ′（x ）＜0，在x ∈（x 2，π）时，f ′（x ）＞0， ∴x 2为f （x ）的极小值点．综上，函数f （x ）在（0，π）上有两个极值点； （2）证明：由（1）知，f′(x)=1−xsinxx， ①若π2＜x ≤5π6时，12≤sinx ＜1，而xsinx ≥min{π2sin π2，5π6sin 5π6}＞1，∴f ′（x ）＜0在(π2，5π6)上恒成立，f （x ）在(π2，5π6)上递减，∴f(x)＞f(5π6)=cos 5π6+ln 5π6=−√32+0.9624＞0；②若5π6＜x ＜π，f′(5π6)＜0，f′(π)=12＞0，f″(x)=−(cosx +1x2)＞0在(5π6，π)上恒成立， ∴f ′（x ）在(5π6，π)上递增，∴存在唯一的x 0∈(5π6，π)，使得x 0sin x 0＝1，且当x ∈(5π6，x 0)时，f ′（x ）＜0，在x ∈（x 0，π）时，f ′（x ）＞0，∴f(x)min =f(x 0)=cosx 0+lnx 0=lnx 0−√1−1x 02， 下面证明：ln 2x +1x2＞1在x ∈(5π6，π)上恒成立， 记m(x)=ln 2x +1x 2，m′(x)=2x (lnx −1x 2)，lnx ＞ln 5π6＞0.96，1x 2＜0.14，则m ′（x ）＞0， ∴m （x ）在x ∈(5π6，π)上递增， 于是m(x)＞m(5π6)=ln 25π6+1(5π6)2=0.92+0.14=1.06＞1，从而可知lnx 0−√1−1x 02＞0； 综合①②可知，不等式f （x ）＞0在(π2，π)恒成立．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值点个数以及不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，考查运算求解能力，综合性较强，难度大． 一、选择题22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2+tcosαy =tsinα（t 参数，α为常数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ2=1．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 的交点为P ，Q 两点，曲线C 和x 轴交点为A ，若△APQ 面积为6√6，求tan α的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的变换求出结果． 解：（1）直线l 的参数方程为{x =2+tcosαy =tsinα（t 参数，α为常数），转换为直角坐标方程为y ＝k （x ﹣2）．曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ2=1．整理得ρ⋅1−cosθ2=1，根据x ＝ρcos θ，ρ2＝x 2+y 2转，换为直角坐标方程为y 2＝4x +4．（2）由于y 2＝4x +4与x 轴的交点坐标为（﹣1，0），所以{y 2=4x +4y =k(x −2)得到y 2−4ky −12=0，记t =1k，所以y 2﹣4ty ﹣12＝0，整理得|y 1−y 2|=√(4t)2+4×12=4√t 2+3． 所以S △APQ =12×|AM|×|y 1−y 2|=6√t 2+3=6√6，解得t =±√3，即k =±√33，所以tanα=±√33．【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]23．已知正数a ，b ，c 满足a +b +c ＝1．求证： （1）ab ＜14； （2）a1−a+b 1−b+c 1−c≥32．【分析】（1）由已知得a +b ＜1，用均值不等式即可； （2）用分析法把a 1−a+b 1−b+c 1−c≥32左式分离变量，再由a +b +c ＝1变形配凑成3元均值不等式的形式即可证明．【解答】证明：（1）因为正数a ，b ，c 满足a +b +c ＝1，所以a +b ＜1， 由于ab ≤（a+b 2）2＜14，故ab ＜14．（2）分析法：要证原式，只要证：a−1+11−a+b−1+11−b+c−1+11−c≥32，即证﹣3+11−a +11−b+11−c ≥32， 只要证：11−a+11−b+11−c≥92，即证：[（1﹣a ）+（1﹣b ）+（1﹣c ）]（11−a+11−b+11−c）≥9，因为（1﹣a ）+（1﹣b ）+（1﹣c ）≥3√(1−a)(1−b)(1−c)3，①11−a+11−b+11−c≥3√11−a ⋅11−b ⋅11−c3②将①②两式相乘即得要证的式子：[（1﹣a ）+（1﹣b ）+（1﹣c ）]（11−a+11−b+11−c）≥9，以上每步都成立，所以不等式a1−a+b1−b+c1−c≥32成立．【点评】本题考查多项式的化简变形技巧，均值不等式的应用．属于中档题．。

10．已知函数 （）
A． 为 的周期
B．对于任意 ，函数 都满足
C．函数 在 上单调递减
D． 的最小值为
答案：ABC
A.由函数周期定义判断是否满足 ；B根据诱导公式判断是否满足 ；C.根据定义域 ，化简函数，并判断函数的单调性；D.在一个周期内，分 和 两种情况讨论函数，并判断函数的最小值.
解：
A. ，即 ，所以 为 的周期，故A正确；
bcqnh为qn的中点点c到直线qn的距离最大为ch由题中数据求出cnq重合时pnqmaxmaxmaxpnqpnqcc的中点连接pq交bbcc的中心取左侧面aadd的中心为点f连接ef记ef的中点abcdabc的中心连接mg则mgef得到pnq的外接圆圆心为点e根据球的结构特征得到三棱锥外接球的球心在直线ef上记作点o连接om外接球的半径为r根据题中条件列出方程求解即可得出bc交qn于点h因为四边形bbcc是正方形nbb的中点所以易得bcqnabcdabc重合时pnqabcdabcab平面bbcc所以mb平面pnqmaxmaxmaxpnqpnqcc的中点连接pqbbcc的中心取左侧面aadd的中心为点f连接ef记ef的中点为gabcdabc的中心连接mg则mgefcc的中点所以npqnpq因此npnq所以pnqefabab平面bbcc因此三棱锥外接球的球心在直线ef上记作点mbge且mbgeefbcmbeg为矩形因此ogommgneccgeogoeef点评
答案：B
根据题中条件，求出 ，再由向量夹角公式，即可求出结果.
解：
因为向量 ， ， ，
所以 ，即 ，即 ，
因此 ，所以 .
故选：B.
点评：
本题主要考查求向量的夹角，熟记向量夹角公式，以及向量数量积的运算法则即可，属于基础题型.

2020年天津市河西区高考数学二模试卷（二）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，则（∁U A）∩B=（）A. {6，9}B. {6，7，9}C. {7，9}D. {7，9，10}2.若变量x，y满足约束条件，则z=2x-y的最小值等于（）A. B. -2 C. D. 23.如图所示，程序框图的输出结果是（）A. 5B. 6C. 7D. 84.设是公比为q的等比数列，则“”是“为递增数列”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.设a=（）0.5，b=（）0.4，c=（log34），则（）A. a＜b＜cB. a＜c＜bC. c＜a＜bD. c＜b＜a6.已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且f（）＞f（π），则f（x）的单调递增区间是（）A. [kπ-，kπ+]（k∈Z）B. [kπ，kπ+]（k∈Z）C. [kπ+，kπ+]（k∈Z）D. [kπ-，kπ]（k∈Z）7.已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线-=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点，A是两曲线的一个交点，若直线AF的斜率为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.8.在平行四边形ABCD中，||=2，||=4，∠ABC=60°，E，F分别是BC，CD的中点，DE与AF交于H，则•的值（）A. 12B. 16C.D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.设z=1-i（i是虚数单位），则+=______．10.三棱锥P-ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D-ABE的体积为V1，P-ABC的体积为V2，则=______．11.（3x2-）5的展开式中x3的系数为______．（用数字作答）12.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程为（t为参数），C在点（1，1）处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为______．13.若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是______．14.已知函数f（x）满足，f（x）=，其中k≥0，若函数y=f（f（x））+1有4个零点，则实数k的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在△ABC中，内角A，B，C所对边的边长分别是a，b，c．（1）若c=2，且△ABC的面积等于，求cos（A+B）和a，b的值；（2）若B是钝角，且，求sin C的值．16.甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为，乙，丙做对的概率分别为m，n（m＞n），且三位学生是否做对相互独立．记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：ξ0123P a b（）求至少有一位学生做对该题的概率；（2）求m，n的值；（3）求ξ的数学期望．17.如图，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=45°，AB=AC=2，M为线段AD的中点，点N满足=2．（Ⅰ）求证：直线PB∥平面MNC；（Ⅱ）求证：平面MNC⊥平面PAD；（Ⅲ）若平面PAB⊥平面PCD，求直线BP与平面PCD所成角的正弦值．18.数列{a n}是等比数列，公比大于0，前n项和S n（n∈N*），{b n}是等差数列，已知a1=，=+4，a3=，a4=．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式a n，b n；（Ⅱ）设{S n}的前n项和为T n（n∈N*）（i）求T n；（ii）证明：＜．19.设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A，已知|OA|-|OF|=1，其中O为原点，e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程及离心率e的值；（2）设过点A的直线l⊥椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．20.已知函数f（x）=ln x+ax，在点（t，f（t））处的切线方程为y=3x-1．（1）求a的值；（2）已知k≤2，当x＞1时，f（x）＞k（1-）+2x-1恒成立，求实数的取值范围；（3）对于在（0，1）中的任意一个常数b，是否存在正数x0，使得e+x ＜1，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：U={n∈N|1≤n≤10}={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，则∁U A={4，6，7，9，10}，则（∁U A）∩B={7，9}，故选：C．求出全集的元素，结合交集，补集的定义进行计算即可．本题主要考查集合的基本运算，结合补集，交集的定义是解决本题的关键．2.答案：A解析：解：由变量x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A（-1，）．∴z=2x-y的最小值为2×（-1）-=-．故选：A．由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．3.答案：C解析：解：k=0时，S＜100是，S=20=1，k=1，k=1时，S＜100是，S=1+21=3，k=2，k=2时，S＜100是，S=3+22=7，k=3，k=3时，S＜100是，S=7+23=15，k=4，k=4时，S＜100是，S=15+24=31，k=5，k=5时，S＜100是，S=31+25=63，k=6，k=6时，S＜100是，S=63+26=127，k=7，当k=7时，S＜100不满足，输出k=7，故选：C．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．4.答案：D解析：【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查等比数列的函数性质，属于基础题．根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：设数列的首项为，若为递增数列，则对恒成立，即或，所以由为递增数列，由为递增数列，故“q＞1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件．故选D．5.答案：C解析：解：∵a=（）0.5∈（0，1），b=（）0.4＞1，c=（log34）＜0，∴c＜a＜b．故选：C．利用指数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：C解析：解：若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，则f（）为函数的函数的最大值或最小值，即2×+φ=kπ+，k∈Z，则φ=kπ+，k∈Z，又f（）＞f（π），sin（π+φ）=-sinφ＞sin（2π+φ）=sinφ，sinφ＜0．令k=-1，此时φ=-，满足条件sinφ＜0，令2x-∈[2kπ-，2kπ+]，k∈Z，解得：x∈[kπ+，kπ+]（k∈Z）．则f（x）的单调递增区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．故选：C．由题意求得φ的值，利用正弦函数的性质，求得f（x）的单调递增区间．本题考查的知识点是函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换、三角函数的单调性，属于基础题．7.答案：B解析：解：抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线-=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，可设c=，即有抛物线方程为y2=4cx，设A（m，n），且m＞0，n＞0，由AF的斜率为，可得=，n2=4mc，解得m=3c，n2=12c2，代入双曲线方程可得-=1，由e=，即9e2-=1，即9e4-22e2+1=0，可得e2=，解得e=．故选：B．求得抛物线的焦点和方程，设A（m，n），且m＞0，n＞0，运用直线的斜率公式和抛物线方程，解得A的坐标，代入双曲线方程，结合离心率公式，计算可得所求值．本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．8.答案：C解析：【分析】过点F作BC的平行线交DE于G，计算出GF=AD，求出和的向量，利用向量数量积的定义和公式计算•即可．本题主要考查向量数量积的应用，根据条件求出和的表达式是解决本题的关键．【解答】解：过点F作BC的平行线交DE于G，则G是DE的中点，且GF=EC=BC∴GF=AD，则△AHD∽△FHG,从而FH=AH，∴=，=+=+=-，则==-，=+=--，则•=（-）•（--）=2-•- 2=--=-=，故选：C．9.答案：2+2i解析：解：∵z=1-i，∴+=．故答案为：2+2i．把复数z代入+，然后直接利用复数代数形式的除法运算化简求值．本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题．10.答案：解析：解：如图，三棱锥P-ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，三棱锥D-ABE的体积为V1，P-ABC的体积为V2，∴A到底面PBC的距离不变，底面BDE底面积是PBC面积的=，∴==．故答案为：．画出图形，通过底面面积的比求解棱锥的体积的比．本题考查三棱锥的体积，着重考查了棱锥的底面面积与体积的关系，属于基础题．11.答案：270解析：【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x3的系数．【解答】解：（3x2-）5的展开式的通项公式为T r+1=•35-r•（-1）r•，令10-=3，求得r=2，故展开式中x3的系数为•33=270，故答案为270．12.答案：ρcosθ+ρsinθ-2=0（填或也得满分）解析：解：由（t为参数），两式平方后相加得x2+y2=2，…（4分）∴曲线C是以（0，0）为圆心，半径等于的圆．C在点（1，1）处的切线l的方程为x+y=2，令x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入x+y=2，并整理得ρcosθ+ρsinθ-2=0，即或，则l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ-2=0（填或也得满分）．…（10分）故答案为：ρcosθ+ρsinθ-2=0（填或也得满分）．先求出曲线C的普通方程，再利用直线与圆相切求出切线的方程，最后利用x=ρcosθ，y=ρsinθ代换求得其极坐标方程即可．本题主要考查极坐标方程、参数方程及直角坐标方程的转化．普通方程化为极坐标方程关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ．13.答案：7+4解析：解：∵log4（3a+4b）=log2，∴=，∴，∴3a+4b=ab，a，b＞0．∴＞0，解得a＞4．a+b=a+=+7≥7+=，当且仅当a=4+2时取等号．∴a+b的最小值是7+4．故答案为：7+4．log4（3a+4b）=log2，可得3a+4b=ab，a，b＞0.＞0，解得a＞4．于是a+b=a+=+7，再利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了对数的运算性质、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．14.答案：[，+∞）解析：解：当k=0时，函数f（x）=的图象如下图所示：此时若函数y=f[f（x）]+1=0，则f[f（x）]=-1，则f（x）=，只有一解，不合题意，当0＜k＜时，函数f（x）=的图象如下图所示：此时若函数y=f[f（x）]+1=0，则f[f（x）]=-1，则f（x）=，或kf（x）+k=-1，只有三解，不合题意，当k≥时，函数f（x）=的图象如下图所示：此时若函数y=f[f（x）]+1=0，则f[f（x）]=-1，则f（x）=，或kf（x）+k=-1，有四解，满足题意，故满足条件的实数k的取值范围是[，+∞），故答案为：[，+∞）函数y=f[f（x）]+1的零点个数，即为方程f[f（x）]=-1的解的个数，结合函数f（x）=，求解方程可得答案．本题考查的知识点是函数零点的判定，其中将函数的零点问题转化为方程根的个数问题，是解答的关键．15.答案：解（1）∵A+B+C=π，，∴A+B=π-C=由此可得：（2分）根据余弦定理，得c2=a2+b2-2ab cos C，∴a2+b2-ab=4，（4分）又∵△ABC的面积等于，即，∴ab×=，解之得ab=4．（5分）联立方程组，解之得a=2，b=2．（7分）（2）∵B是钝角，且∴（8分）（9分）因此，sin C=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sin A cos B+cos A sin B=（12分）解析：（1）根据三角形内角和，算出A+B=π-C=，即可得到cos（A+B）=-．根据余弦定理，结合题中数据列式，化简得a2+b2-ab=4，由正弦定理关于三角形面积的公式算出ab=4，两式联解即可得到a=b=2；（2）根据B是钝角和，利用同角三角函数关系算出cos B=-；由算出，从而得sin（A+B）=sin A cos B+cos A sin B=，结合三角形内角和与诱导公式即可算出sin C的值．本题给出三角形的一边和其对角，在已知三角形的面积情况下求其它两边的长，着重考查了三角函数的诱导公式、同角三角三角函数的基本关系、正弦定理的面积公式和利用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．16.答案：解：设“甲做对”为事件A，“乙做对”为事件B，“丙做对”为事件C，由题意知，．（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“ξ=0”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是．（2）由题意知，，整理得mn=，．由m＞n，解得，．（3）由题意知=，b=P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=，∴ξ的数学期望为Eξ==．解析：（1）利用“至少有一位学生做对该题”事件的对立事件的概率即可得出；（2）利用P（ξ=0）与P（ξ=3）的概率即可得出m，n；（3）利用（2）及与b=P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）即可得出a，b．本小题主要考查相互独立事件的概率、利用对立事件的概率求概率的方法、离散型随机变量的均值等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识．17.答案：（I）证明：连接BD交CM于O，连接ON，∵△OMD∽△OCB，∴=，∴，∵=2，∴=，∴，∴ON∥PB，又ON⊂平面MNC，PB⊄平面MNC，∴PB∥平面MNC．（II）证明：∵AB=AC，AB=CD，∴AC=CD，又M是AD的中点，∴CM⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴CM⊥平面PAD，又CM⊂平面MNC，∴平面MNC⊥平面PAD．（III）解：∵AB=AC，∠ABC=45°，∴AB⊥AC，以A为原点，以AB，AC和平面过A点的垂线为坐标轴建立空间坐标系A-xyz，设PM=a，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），D（-2，2，0），M（-1，1，0），∴P（-1，1，a）．∴=（2，0，0），=（-1，1，a），=（-2，0，0），=（1，-1，a），设平面PAB的法向量为=（x1，y1，z1），则，即，令z1=1可得=（0，-a，1），设平面PCD的法向量为=（x2，y2，z2），则，即，令z=1可得=（0，a，1）．∵平面PAB⊥平面PCD，∴=0，即1-a2=0，故a=1．∴=（-3，1，1），=（0，1，1），∴cos＜＞===．∴直线BP与平面PCD所成角的正弦值为．解析：（I）连接BD交CM于O，连接ON，根据三角形相似可得，故ON∥PB，于是PB∥平面MCN；（II）根据AC=AB=CD可得CM⊥AD，故而CM⊥平面PAD，于是平面MNC⊥平面PAD；（III）设PM=a，建立空间坐标系，求出平面PAB和平面PCD的法向量，令法向量垂直计算a，再计算与平面PCD的法向量的夹角得出结论．本题考查了线面平行，面面垂直的判定，考查空间向量与空间角的计算，属于中档题．18.答案：解：（I）设等比数列{a n}的公比q＞0，，--2=0，解得q=．∴a n=．设等差数列{b n}的公差为d，∵a3==，a4==．∴2b1+8d=8，3b1+16d=16，解得b1=0，d=1，∴b n=n-1．（Ⅱ）（i）S n==1-{S n}的前n项和为T n=n---……-=n-=n-1+．（ii）证明：==-．∴=-+-+……+-=-＜．解析：（I）设等比数列{a n}的公比q＞0，，--2=0，解得q．可得a n．设等差数列{b n}的公差为d，由a3==，a4==．利用通项公式可得b n．（Ⅱ）（i）利用求和公式可得S n=1-可得{S n}的前n项和为T n═n-1+．（ii）由（i）可得：=-．利用裂项求和方法即可得出．本题考查了等差数列等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：解：（1）∵椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A，|OA|-|OF|=1，∴a-c=1，即a-=1，解得a=2，∴c=1，∴e==，椭圆的方程为+=1，（2）由已知设直线l的方程为y=k（x-2），（k≠0），设B（x1，y1），M（x0，k（x0-2）），∵∠MOA≤∠MAO，∴x0≥1，再设H（0，y H），联立，得（3+4k2）x2-16k2x+16k2-12=0．△=（-16k2）2-4（3+4k2）（16k2-12）=144＞0．由根与系数的关系得2x1=，∴x1=，y1=k（x1-2）=，MH所在直线方程为y-k（x0-2）=-（x-x0），∵BF⊥HF，∴•=（1-x1，-y1）•（1，-y H）=0，即1-x1+y1y H=1--•[（k+）x0+2k]，整理得：x0=≥1，即8k2≥3．∴k≤-或k≥解析：（1）根据椭圆的定义和几何性质可得a-=1，解得求出a的值即可．（2）由已知设直线l的方程为y=k（x-2），（k≠0），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出MH所在直线方程，求出H的坐标，由BF⊥HF，得•=（1-x1，-y1）•（1，-y H）=0，整理得到M的坐标与k的关系，由∠MOA≤∠MAO，得到x0≥1，转化为关于k的不等式求得k的范围．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“整体运算”思想方法和“设而不求”的解题思想方法，考查运算能力，是难题．20.答案：解：（1）函数f（x）=ln x+ax的导数为f′（x）=+a，在点（t，f（t））处切线方程为y=3x-1，可得f′（t）=+a，∴函数的切线方程为y-（ln t+at）=（+a）（x-t），即y=（+a）x+ln t-1，∴，解得a=2；（2）证明：由（1）可得f（x）=ln x+2x，∵f（x）＞k（1-）+2x-1，∴ln x＞k（1-）-1即为x lnx+x-k（x-3）＞0，可令g（x）=x lnx+x-k（x-3），g′（x）=2+ln x-k，由x＞1，可得ln x＞0，2-k≥0，即有g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）递增，可得g（x）＞g（1）=1+2k≥0，∴-≤k≤2故k的取值范围为[-，2]；（3）对于在（0，1）中的任意一个常数b，由e f（x0+1）-3x0-2+x02=e ln（x0+1）-x0+x02=（x0+1）•e-x0+x02＜1成立，从而存在正数x0，使得上式成立，只需上式的最小值小于0即可．令H（x）=（x+1）•e-x+x2-1，H′（x）=e-x-（x+1）•e-x+bx=x（b-e-x），令H′（x）＞0，解得x＞-ln b，令H′（x）＜0，解得0＜x＜-ln b，则x=-ln b为函数H（x）的极小值点，即为最小值点．故H（x）的最小值为H（-ln b）=（-ln b+1）e ln b+ln2b-1=ln2b-b lnb+b-1，再令G（x）=ln2x-x lnx+x-1，（0＜x＜1），G′（x）=（ln2x+2ln x）-（1+ln x）+1=ln2x＞0，则G（x）在（0，1）递增，可得G（x）＜G（1）=0，则H（-ln b）＜0．故存在正数x0=-ln b，使得+x02＜1．解析：（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，解方程可得a的值；（2）求出f（x）=ln x+x，要证原不等式成立，即证x lnx+x-k（x-3）＞0，可令g（x）=x lnx+x-k （x-3），求出导数，判断符号，可得单调性，即可得证；（3）对于在（0，1）中的任意一个常数b，假设存在正数x0，使得+x02＜1．运用转化思想可令H（x）=（x+1）•e-x+x2-1，求出导数判断单调性，可得最小值，即可得到结论本题考查导数的运用：求切线的斜率、单调区间和极值、最值，考查不等式的证明，注意运用分析法和构造函数法，求得导数判断单调性，考查存在性问题的解法，注意运用转化思想和构造函数，求出导数，运用单调性，属于难题．。

全国100所名校最新高考模拟示范卷·数学卷（二）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{0,1,2,3}, {2,3,4,5}A B ==，则A B =U （ ） A.{}1,2,3,4,5B.{}0,1,4,5C.{}2,3D.{}0,1,2,3,4,52.i 是虚数单位，2z i =-，则z =（ ）A.B.2C.3.已知向量()1,2a =r ，(1,)b λ=-r ，若a b r r∥，则实数λ等于（ ）A.-1B.1C.-2D.24.“22x -<≤”是“22x -≤≤”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D 既不充分也不必要条件5.双曲线22221x y a b -= （0a >，0b >）的离心率为53，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A.45y x =±B.54y x =±C.43y x =±D.34y x =±6.第18届国际篮联篮球世界杯（世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯）于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示，则下列说法错误的是（ ）A.第一场得分的中位数为52B.第二场得分的平均数为193C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差D.第一场与第二场得分的众数相等7.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若5b =，22625c c a ---，则cos A =（ ）A.45 B.35C.310D.258.函数1())1x xe f x x e-=+的图象大致为（ ）A BC D9.某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为（ ）A.152πB.12πC.112π D.212π10.图为祖冲之之子祖晒“开立圆术”中设计的立体模型.祖晒提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差，从而求出牟合方盖的体积等于323d （d 为球的直径），并得到球的体积为316V d π=，这种算法比外国人早了一千多年.人们还用过一些类似的近似公式，根据3.1415926π=⋅⋅⋅，判断下列公式中最精确的一个是（ ）A.d ≈B.d ≈C.d ≈D.d ≈11.已知32cos cos 2αβ-=，2sin sin 2αβ+=，则cos()αβ+等于（ ） A.12 B.12-C.14D.14-12.已知A B C ，，为椭圆2214x y +=上三个不同的点，若坐标原点O 为ABC △的重心，则ABC △的面积为（ ）A.B.2C.2D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设()f x 是定义在R 上的函数，若()()g x f x x =+是偶函数，且()24g -=-，则()2f =___________.14.已知数列()*(}n f a n ∈N 是等差数列，其前n 项和为n S ，若66nS =，则4a =___________.15.已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>，点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象上相邻的两个对称中心，则ω=___________.16.在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，E F ，分别为111AB AC ，的中点，平面a 过点1C ，且平面a ∥平面11A B C ，平面a I 平面111A B C l =，则异面直线EF 与l 所成角的余弦值为___________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.从中国教育在线官方公布的考研动机调查来看，本科生扎堆考研的原因大概集中在这6个方面：本科就业压力大，提升竞争力；通过考研选择真正感兴趣的专业；为了获得学历；继续深造；随大流；有名校情结如图是2015~2019年全国硕士研究生报考人数趋势图（单位：万人）的折线图.（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，预测2021年全国硕士研究生报考人数. 参考数据：()()51311iii t t y y =--=∑.回归方程$$y abt =+$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别：()()()121ii i ni i tty y b t t ∞==--=-∑∑，$a y bt=-$. 18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()21112,4,314,(1)log n n nn n n n S aS a b a -++==-=-⋅.（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）求数列{}n b 的前2n 项和2n T .19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥ ，BC AD ∥，2222AD BC PA AB ====，点E F G ，，分别为线段AD DC PB ，，的中点.（1）证明：直线AG ∥平面PEF.（2）求多面体 ACCPEF 的体积.20.已知函数2()e ,x f x ax x a =--∈R ，()g x 为函数()f x 的导函数.（1）若函数()gx 的最小值为0，求实数a 的值；（2）若0x ∀>，2()(1)(1)1f x a x a x --++…恒成立，求实数a 的取值范围.21.已知点()(),80Pt t <是抛物线2(:20)C x py p =>上一点，点F 为抛物线C 的焦点，||10PF =.（1）求直线PF 的方程； (2)若直线l 过点()0,4，与抛物线相交于M N ，两点，且曲线C 在点M 与点N 处的切线分别为m n ，，直线m n ，相交于点G ，求||PG 的最小值.（二）选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x ay α=⎧⎨=⎩（a 为参数），在以坐标原点为极点,，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 3m πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）若直线l 与曲线C 至多只有一个公共点，求实数m 的取值范围；（2）若直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，且A B ，的中点为P ，求点P 的轨迹方程. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知a b ，为正实数，222a b +=. （1）证明：2a b ab +≥. （2）证明：442a b +….2020年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试参考答案1.D 本题考查集合的运算因为{0,1,2,3}, {2,3,4,5}A B ==，所以{}0,12,3,4,5A B =U .2C 本题考查复数的模.因为2z i =-，所以||z ==3.C 本题考查向量的平行.因为a b r r∥，所以20λ--=，解得2λ=-.4.A 本题考查充分、必要条件“22x -<≤”是“22x -≤≤”的充分不必要条件.5.C 本题考查双曲线的渐近线.22225161199b e a =-=-=，即43b a =，故双线的渐近线方程为43y x =±. 6.C 本题考查茎叶图.由茎叶图可知第一场得分的中位数为52，众数为0，极差为19，第二场得分的众数为 0，平均数为193，极差为2，所以选项C 的说法是错误的. 7.B 本题考查解三角形.因为225625b c c a =⋅---，所以2226b c a c +-=，所以62cos c bc A =⋅， 所以3cos 5A =. 8.B 本题考查函数的图象.因为()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，排除CD 项，又因为)1(1)ln 101cf e-=>+，所以排除A 项.9.A 本題考查三视图.根据三视图可知，该几何体是由14个圆锥和18个球组成的， 如图所示，其中球的半径为3，圆锥的底面半径也为3，高为4，故该几何体的体积为2311119153433438322x ππππ⨯⨯⨯+⨯⨯-+=.10.C 本题考查数学史与立体几何.由316V xd =，解得36V x d =，选项A 化简得3916V d ≈， 所以69 3.37516π⨯≈=；选项B 化简得212V d ≈，所以632π≈=；选项C 化简得3157300V d ≈， 所以6157 3.14300π⨯≈=；选项D 化简得2815V d ≈，所以683.215π⨯≈=；所以选项C 的 公式最精确.11.A 本题考查三角恒等变换.因为32cos cos 2αβ-=，2sin sin αβ+-，所以2294cos 4cos cos cos 4ααββ-+=，2234sin 4sin sin sin 4ααββ++=， 两式相加得54(cos cos sin sin )3αβαβ--=，解得1cos()2αβ+=. 12.B 本题考查直线与椭圆的位置关系.不妨设直线AB 的方程为y kx m =+代人椭圆方程得()()222148410k xkmx m +++-=.设()11,Ax y ，()22,B x y ，则122814kmx x k +=-+，()21224114m x x k-=+. 设()33,Cx y ，因为O 为ABC △的重心，所以()2122814kmxx x k=-+=+， ()()2121222214my y y k x x m k =-+=-++=-⎡⎤⎣⎦+，代入椭圆方程得22441m k -+，12|||AB x x -， 点O 到直线AB的距离d -，所以OMB △的面积111||||22S AB d m =⨯⨯-⨯因为22441m k -+，所以1S =， 因为O 为ABC △的重心，所以ABC △的面积132S S ==. （另解：不妨设()2,0A，因为O 为ABC △的重心，所以BC 横坐标为1-，可得||BC =ABC△的面积为1322S =⨯=.） 13.6本题考查函数的性质，由题知，(2)(2)2(2)4g f g -+--=-，解得()26f =-.14.6本题考查等差数列基本量的求解设等差数列{}n a 的公差为d ，因为66n S =，所以41166a =，解得a6.15.2本题考查三角函数的性质因为点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象上相邻的两个对称中心，所以是72632wππππ=--，解得2ω=.16.4本题考在异面直线所成角.因为平面a ∥平面11A B C ， 平面a I 平面111A B C l =，平面11A B C I 平面11111A B C A B =，所以11l A B ∥，取11A B ，11B C 的中点分别为H G ，，连接EH BG GH GF AC ，，，，，如图所示，则11GF A B ∥， 所以GF l ∥所以异面直线EF 与所成的角为GFE ∠或其补角，又因为AB =12AA =，所以14AC =，1EH =，HP GP ==所以2EG EF -=，所以22cos 24GF GFE RP ∠==.【解题方法】本题以三棱柱为载体，综合考查异面直线所成角的概念.解答的基本方法是通过平移直线，把异面直线平移到两条相交直线上，明确异面直线所成角的概念，应用三角函数知识求解，充分利用图形特征，则可事半功倍.例如本题利用图形易得11D A B ∥，这是本题的题眼. 17.解：本题考查线性回归方程. （1）由题中数据计算得1(12345)35t =++++=， ()2223215(2)(1)01210i i i a t =---+-+++=∑，由参考数据知，()()51311iii t t y y =--=∑，所以()()()532131131.110iiiii tty y b tt=--=-=-∑∑，$214.2-31.13120.9ay bt --=⨯=$， 故所求回归方程为31.1120.9yt =+.（2）将2021年对应的7t =代人回归方程得31.17120.9338.6y =⨯+=， 所以预测2021年全国硕士研究生报考人数约为338.6万人. 18.解：本题考查数列通项公式及前n 项和 （1）因为()1311n nn S a+=-，所以当2n ≥时，所以()1314n n n S a +--，所以()11314(14)nn n n n a aa ++-=--，整理得()()11440nn n aa +--=，所以14,(2)n n a a n +=>，当1n =时，()12314nS a--，14a =，所以216a =，所以24a a =，所以数列{}n a 是首项和公比均为4的等比数列，所以1444n n a +=⨯=，即4n n a =.（2）由（1）知4n na =，所以()()221121222(1)log 4(1)log 24(1)n n n n n n b n +++=-⋅--⋅--⋅22222241234(21)(2)4[37(41)]4(21)n T n n n n n ⎡⎤=-+-++--=-----=-⋅+⎣⎦L L ，故数列{}n b 的前2n 项和24(21)n T n n =-+.【名师点睛】等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和问题，是高考的常考内容，解题过程中要注意应用函数与方程思想，构建方程（或方程组）求基本量，例如此题，从已知出发，构建1,a d 的方程组求数列通项公式，利用前后项合并，构造等差数列，求数列的前n 项和. 19.解：本题考查线面平行及多面体的体积.（1）证明：因为2BC AD AD BC E =∥，，为线段AD 的中点，所以BC AE ∥，连接EC ，因为AB AD ⊥，所以四边形ABCE 为矩形，连接BE 交AC 于点O ，连GO ，因为G 为线段PB 的中点，所以OG PE ∥，因为GO ⊄平面PEF ，PBC 平面PEF ， 所以GO ∥平面PEF ，由题易知，AC ∥平面PEF ， 又因为GC ⊂平面GAC ，AC ⊂平面GAC .AC GO O =I ，所以平面PEF ∥平面GAC ，又因为AGC 平面GMC ，所以直线AC ∥平面PEF .（2）因为22 2 AD BC PA ===，1AB =，所以四棱锥P ABCD -的体积111(12)11322S =⨯⨯+⨯⨯=，三棱锥G ABC -的体联11111132212S =⨯⨯⨯⨯=，棱锥P DEF -的体积 11111132212S =⨯⨯⨯⨯=，故所求多面体AGCPEF 的体积为1111212123--=.20.解：本题考查函数最值及恒成立求参数范围. （1）()21x f x e ax '=--，所以()21xg x eax =--，()2x g x e a '=-，①当0a ≤时，()0g x '>，所以()21x g x e ax =--在R 上单词递增，不合题意；②当0a >时，(,ln 2)x a ∈-∞，()0g x '<，(ln 2,)x a ∈+∞，()0g x '>， 所以函数()gx 在区间(,ln 2)a -∞上单调递减，在区间(ln 2,)a +∞上单调递增，()(ln 2)2(1ln 2)10g x g a a a ----…，令()ln 1x x x x μ'---，则()ln x x μ'=-，所以()x μ在区间()0,1上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，所以()()10x μμ≤=，所以由2(1ln 2)10a a --=，解得12a =， 即实数a 的值为12. （2）因为0x ∀>，2()(1)(1)1f x a x a x >--++恒成立，所以210x e x ax -+-≥，即21x e x a x ---<对任意0x >恒成立，令21()x e x x xϕ---，则()2(1)1()x x e x x x ϕ---'=，由（1）知，10x e x --≥，当且仅当0x =时，等号成立，所以函数()x ϕ在区间()0,1上单调递减，在区间(1,)+∞上单词递增，所以()(1)2x e ϕϕ=-…，所以2a e -≤-，即2a e ≥-. 所以实数a 的取值范围为[2,)e -+∞. 21.解：本题考查抛物线的性质. （1）因为||10PF =，所以8102p+-，解得4p =，所以()0,2F ， 因为288t =⨯，且0t <，所以8t =-，所以()8,8P -，故直线PF 的方程为822(0)80y x ------， 化简得3480x y +-=.（2）由（1）知，抛物线方程为28x y =，点()0,2F .设()()1122,,,Mx y N x y ，又因为14y x '=， 所以直线m 的方程为()11114y y x x x -=- 整理得1114y x x y =-， 同理可得直线n 的方程为1214y x x y =-，设()33,G x y ， 联立311332321414y x x y y x x y⎧--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得直线l 的方程为3314y xx y =-，又因为直线l 过点()0,4，所以4y =-，即点G 在定直线4y =-上，所以PG 的最小值为()8412--=.【解题思路】解决直线与抛物线的综合问题时，需要注意：（1）观察、应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；（2）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.22.解：本题考查坐标与参数方程： （1）由题知，曲线C 的直角坐标方程为224x y +=，直线l20y m -+=，因为直线l 与曲线C||2m =≥， 所以实数m 的取值范围为(,2][2,)-∞-+∞U . （2）设()()1122,,,,(,)Ax y B x y P u v ，由（1）知，(2,2)m ∈-，由22204y m x y -+=+=⎪⎩，解得224440x m ++-=，所以122u x x -+-=，)121224v y y x x m m -+++=，所以2u =-，即u =，故点P的轨迹方程为0(11)x y +=-<<.23.解：本题考查不等式证明.（1）因为222a b +=所以1ab ≤，所以1ab ≤≤，2a b +≤，所以2a b ab +≤， 即2a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立， （2）()244222222242a b a b a b a b +-+-=-， 由（1）知1ab ≤，所以221a b ≤，所以2242422a b -≥--，即442a b +≥，当且仅当a b =时等号成立.。