宿迁市高中数学第2章推理与证明第1课时归纳推理导学案苏教版

第1课时归纳推理学习目标 1.了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理.2.了解归纳推理在数学发现中的作用．知识点一推理1．推理的定义从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．2．推理的组成任何推理都包含前提和结论两个部分，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么．知识点二归纳推理思考(1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．(2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体．以上属于什么推理？答案属于归纳推理．符合归纳推理的定义特征，即由部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理．梳理(1)归纳推理的定义从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理．(2)归纳推理的思维过程大致如图实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论(3)归纳推理的特点①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑推理和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具．③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．1．由个别到一般的推理为归纳推理．( √)2．归纳的前提是特殊现象，归纳是立足于观察或实验的基础上的，结论一定正确．( × )类型一 数列中的归纳推理例1 已知f (x )＝x1－x ，设f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))(n >1，且n ∈N *)，则f 3(x )的表达式为________，猜想f n (x )(n ∈N *)的表达式为________． 答案 f 3(x )＝x 1－4x f n (x )＝x1－2n －1x解析 ∵f (x )＝x1－x，∴f 1(x )＝x1－x.又∵f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f 1(f 1(x ))＝x1－x1－x 1－x ＝x1－2x ， f 3(x )＝f 2(f 2(x ))＝x1－2x 1－2×x1－2x＝x1－4x， f 4(x )＝f 3(f 3(x ))＝x1－4x 1－4×x1－4x＝x1－8x， f 5(x )＝f 4(f 4(x ))＝x1－8x 1－8×x1－8x＝x1－16x， ∴根据前几项可以猜想f n (x )＝x1－2n －1x .引申探究在本例中，若把“f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))”改为“f n (x )＝f (f n －1(x ))”，其他条件不变，试猜想f n (x )(n ∈N *)的表达式． 解 ∵f (x )＝x 1－x ，∴f 1(x )＝x1－x .又∵f n (x )＝f (f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x1－x1－x 1－x ＝x1－2x ， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x1－2x 1－x1－2x＝x1－3x， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x1－3x 1－x1－3x＝x1－4x. 因此，可以猜想f n (x )＝x1－nx.反思与感悟 在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和． (1)通过已知条件求出数列的前几项或前n 项和．(2)根据数列中的前几项或前n 项和与对应序号之间的关系求解． (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式．跟踪训练1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－23，且S n ＋1S n＋2＝a n (n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．解 当n ＝1时，S 1＝a 1＝－23；当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－43，所以S 2＝－34；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－54，所以S 3＝－45；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－65，所以S 4＝－56.猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2，n ∈N *.类型二 等式与不等式中的归纳推理 例2 (1)观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …，据此规律，第n 个等式可为_________________________________． 答案 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n解析 等式左边的特征：第1个有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n.等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个等式右边有n 项，且由前几个等式的规律不难发现，第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n. (2)观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，猜想第n 个不等式为________________________． 答案 1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1 解析 第1个不等式：1＋1(1＋1)2<2×1＋11＋1， 第2个不等式：1＋122＋1(2＋1)2<2×2＋12＋1， 第3个不等式：1＋122＋132＋1(3＋1)2<2×3＋13＋1， …，故猜想第n 个不等式：1＋122＋132＋142＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1. 反思与感悟 已知等式或不等式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律．(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征． (3)提炼出等式(或不等式)的综合特点． (4)运用归纳推理得出一般结论．跟踪训练2 (1)已知x >1，等式x ＋1x >2；x 2＋2x >3；x 3＋3x>4；…，可以推广为________________．答案 x n＋nx>n ＋1解析 不等式左边是两项的和，第一项是x ，x 2，x 3，…，右边的数是2,3,4，…，利用此规律观察所给不等式，都是写成x n＋n x>n ＋1的形式，从而归纳出一般性结论：x n＋n x>n ＋1. (2)观察下列等式，并从中归纳出一般结论． 1＝12， 2＋3＋4＝32， 3＋4＋5＋6＋7＝52， 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92， ……解 等号的左端是连续自然数的和，且项数为2n －1，等号的右端是项数的平方． 所以猜想结论：n ＋(n ＋1)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2(n ∈N *)． 类型三 图形中的归纳推理例3 如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n 个图形中顶点的个数为________．答案 (n ＋2)(n ＋3)解析 由已知中的图形我们可以得到： 当n ＝1时，顶点共有12＝3×4(个)， 当n ＝2时，顶点共有20＝4×5(个)， 当n ＝3时，顶点共有30＝5×6(个)， 当n ＝4时，顶点共有42＝6×7(个)， …，则第n个图形共有顶点(n＋2)(n＋3)个．反思与感悟图形中归纳推理的特点及思路(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系．(2)从图形结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．跟踪训练3 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有黑色地面砖的块数是________．答案 5n ＋1解析 观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n 个图案中黑色地面砖的个数为6＋(n －1)×5＝5n ＋1.1．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝________.考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 123解析 利用归纳法：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝3＋1＝4，a 4＋b 4＝4＋3＝7，a 5＋b 5＝7＋4＝11，a 6＋b 6＝11＋7＝18，a 7＋b 7＝18＋11＝29，a 8＋b 8＝29＋18＝47，a 9＋b 9＝47＋29＝76，a 10＋b 10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．2．按照图1、图2、图3的规律，第10个图中圆点的个数为________．答案 40解析 图1中的点数为4＝1×4， 图2中的点数为8＝2×4， 图3中的点数为12＝3×4，…， 所以图10中的点数为10×4＝40.3．已知a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110，则数列{a n }的一个通项公式a n ＝________.答案2n (n ＋1)(n ∈N *)解析 a 1＝21×2，a 2＝22×3，a 3＝23×4，a 4＝24×5，则a n ＝2n (n ＋1)(n ∈N *)．4．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝________. 考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 －g (x )解析 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数， 故g (－x )＝－g (x )．5．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，求第n 行(n ≥3)从左向右数第3个数． 解 前(n －1)行共有正整数[1＋2＋…＋(n －1)]个，即n 2－n2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62(n ∈N *)．1．归纳推理的一般步骤(1)通过观察某类事物的个别情况，发现某些相同性质． (2)对这些性质进行归纳整理，得到一个合理的结论． (3)猜想这个结论对该类事物都成立． 2．归纳推理应注意的问题归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明.一、填空题1．如图所示的是一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排，那么第36颗珠子的颜色是________色．答案 白解析 通过观察发现，每5颗珠子为一组，前3颗为白色，后2颗为黑色，由36＝5×7＋1，得第36颗珠子一定为白色．2．根据给出的数塔猜测123456×9＋7＝________.1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1111 1234×9＋5＝11111 12345×9＋6＝111111…答案 1111111解析 由数塔猜测应是各位都是1的七位数， 即1111111.3．已知f (x )＝xe x ，定义f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝[f 1(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′，n ∈N *.经计算f 1(x )＝1－x e x ，f 2(x )＝x －2e x ，f 3(x )＝3－xe x ，…，照此规律，f n (x )＝________.答案 (－1)n(x －n )ex(n ∈N *) 解析 观察各个式子，发现分母都是e x，分子依次是－(x －1)，(x －2)，－(x －3)，故f n (x )＝(－1)n(x －n )ex(n ∈N *)． 4．已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33＝________. 答案 3解析 ∵a 1＝3，a 2＝6，a 3＝3，a 4＝－3，a 5＝－6，a 6＝－3，a 7＝3, a 8＝6，a 9＝3，a 10＝－3，a 11＝－6，a 12＝－3，∴周期T ＝6，∴a 33＝a 3＝3.5．根据三角恒等变换，可得如下等式： cos θ＝cos θ， cos2θ＝2cos 2θ－1， cos3θ＝4cos 3θ－3cos θ， cos4θ＝8cos 4θ－8cos 2θ＋1，cos5θ＝16cos5θ－20cos3θ＋5cosθ.依此规律，猜想cos6θ＝32cos6θ＋m cos4θ＋n cos2θ－1，其中m＋n＝________.答案－30解析由所给一系列式子，得等式右边各系数与常数项之和为1，即32＋m＋n－1＝1，得m ＋n＝－30.6．已知数列{a n}满足条件(n－1)·a n＋1＝(n＋1)·a n－n－1，且a2＝6，设b n＝a n＋n(n∈N*)，则数列{b n}的通项公式b n＝________.答案2n2(n∈N*)解析a1＝1，a2＝6，a3＝15，a4＝28，b1＝2，b2＝8，b3＝18，b4＝32.我们发现a1＝1＝1×1；a2＝6＝2×3；a3＝15＝3×5；a4＝28＝4×7；…，猜想a n＝n×(2n－1)，进而猜想b n＝2n2－n＋n＝2n2(n∈N*)．7．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示．按照图中所示的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________．答案6n＋2解析从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.8．观察下列等式：1＋1＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，…照此规律，第n个等式可为____________________________________________________．答案(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)解析观察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n＋1)，(n＋n)，右边为连续奇数之积乘以2n，则第n个等式为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．9．经计算发现下列不等式：2＋18<210， 4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2 <210，…，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b都成立的条件不等式：____________________________________.答案已知a，b为正实数，且a≠b，若a＋b＝20，则a＋b<21010．观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…，照此规律，第n 个等式为________．答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2 解析 12＝1， 12－22＝－(1＋2)，12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)，…，12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2 ＝(－1)n ＋1(1＋2＋…＋n )＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2.11．定义A *B ，B *C ，C *D ，D *B 分别对应下列图形那么下列图形中，可以表示A *D ，A *C 的分别是________．(填序号)答案 (2)，(4)解析 由已知图形，抓共性不难总结出：A “|”，B “□”(大)，C “—”，D “□”(小)．故A *D 为(2)，A *C 为(4)．二、解答题12．已知数列{a n }的第1项a 1＝2，且a n ＋1＝a n1＋a n (n ＝1,2，…)，试归纳出这个数列的通项公式．解 ∵a 1＝2，a n ＋1＝a n 1＋a n(n ＝1,2，…)， ∴a 1＝21，a 2＝21＋2＝23，a 3＝231＋23＝25，a 4＝251＋25＝27. 由此发现分母依次为1,3,5,7，…，分子都是2.∴归纳猜想得a n ＝22n －1(n ∈N *)． 13．已知sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32， sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32， sin 221°＋sin 281°＋sin 2141°＝32. 通过观察上述等式的规律，写出一般性规律的命题，并给出证明．解 猜想：sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋60°)＝32. 证明如下：sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋60°)＝12[1－cos(2α－120°)]＋12(1－cos 2α)＋12[1－cos(2α＋120°)] ＝12[(1－cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°)＋(1－cos 2α)＋(1－cos 2αcos 120°＋sin 2αsin 120°)]＝12(3－2cos2αcos120°－cos2α) ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12cos2α－cos2α ＝12(3＋cos2α－cos2α)＝32. 三、探究与拓展14．已知数列{a n }的通项公式a n ＝1(n ＋1)2(n ∈N *)，f (n )＝(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )的值．解 因为a n ＝1(n ＋1)2，所以a 1＝14，f (n )＝(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，所以f (1)＝1－a 1＝1－14＝34， f (2)＝(1－a 1)(1－a 2)＝f (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19＝34×89＝23＝46， f (3)＝(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)＝f (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116＝23×1516＝58， 由此猜想：f (n )＝n ＋22(n ＋1)(n ∈N *)． 15．根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式．(1)a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1；(2)a 1＝a ，a n ＋1＝12－a n； (3)对一切的n ∈N *，a n >0，且2S n ＝a n ＋1.解 (1)由已知可得a 1＝3＝22－1， a 2＝2a 1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1，a 3＝2a 2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1，a 4＝2a 3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1.猜想a n ＝2n ＋1－1，n ∈N *. (2)由已知可得a 1＝a ，a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝12－a 2＝2－a 3－2a ， a 4＝12－a 3＝3－2a 4－3a. 猜想a n ＝(n －1)－(n －2)a n －(n －1)a(n ∈N *)． (3)∵2S n ＝a n ＋1， ∴2S 1＝a 1＋1，即2a 1＝a 1＋1，∴a 1＝1.又2S 2＝a 2＋1， ∴2a 1＋a 2＝a 2＋1，∴a 22－2a 2－3＝0.∵对一切的n ∈N *，a n >0，∴a 2＝3.同理可求得a 3＝5，a 4＝7，猜想出a n＝2n－1(n∈N*)．。

课题：归纳推理第二章《推理与证明》第1节教学目标：1.了解合情推理的含义；理解归纳推理的概念，能利用归纳的方法进行一些简单的推理.2.培养学生的归纳探索能力，提高学生的创新意识.3.培养学生勇于创新而又不失严谨的思维习惯和在探索真理时锲而不舍的钻研精神.重点与难点：本节课的教学重点是归纳推理的概念理解和应用；教学难点是提高学生从特殊到一般的归纳能力. 教学方式：本节课采用的是启发式教学，综合使用了讲授、问答、活动等多种教学方式.教学工具：多媒体、圆纸片、硬币.教学过程：三问：对比（1）、（3）这两个推理，你能发现它们的相同点和不同点吗？3. 归纳推理的概念形成幻灯片：看下面的例子，试写出一般性结论.(1)1+3=4；1+3+5=9；1+3+5+7=16.(2)一元一次方程有一个实数根；一元二次方程最多有两个实数根；一元三次方程最多有三个实数根.提问：什么是归纳推理？学生发言，教师点评.总结：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出该类事物的所有对象都具有这种性质的推理，称为归纳推理（简称归纳）.回顾给出定义的过程，其本身就是归纳（从特殊到一般）的过程，所以可以说“我们归纳出了归纳”. （这两个“归纳”上有点区别，第一个重在归纳总结，第二个才是归纳推理.）合情推理的概念.三问的目的是：引出归纳推理（不必出现类比推理这个名词）.纯数学的实例，使学生体会归纳推理的含义.引导学生概括归纳推理的概念.现学现用，而且这句话本身很有趣，有利于激发学生的兴趣.三. 经典探究，深化新知幻灯片：汉诺塔问题如图，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 汉诺塔问题的探索，完整体现了归纳推理的过程，很具有代表性.使学生充分体验从个别情况看起，发现规律，归纳总2111112222n n -个个222223333n n =个2个3.*N n ∈，计算)10(,),f 的值，并归纳一般性结论。

2021高中数学第2章推理与证明第1节合情推理与演绎推理学案理苏教版选修22一、学习目标：1. 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发觉中的作用；2. 体会演绎推理的重要性，把握演绎推理的差不多模式，并能运用它们进行一些简单推理；3. 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。

二、重点、难点重点：会用合情推理提出猜想，会用演绎推理进行推理论证，明确合情推理与演绎推理的区别与联系。

难点：发觉两类对象的类似特点、在部分对象中查找共同特点或规律，利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明。

三、考点分析：推理是数学的差不多思维过程，高中数学课程的重要目标确实是培养和提高学生的推理能力，因此本部分内容在高中数学中占有重要地位，是高考的重要内容。

由于解答高考试题的过程确实是推理的过程，因此本部分内容的考查将会渗透到每一个高考题中。

在学习时，应注意明白得常用的推理的方法，了解其含义，把握其过程以解决具体问题。

今后的高考中若考查推理内容，最有可能是把推理渗透到解答题中考查，因为解答与证明题本身确实是一种推理，合情推理与演绎推理作为一种推理工具是专门容易被解答与证明题同意的。

一、知识导图二、推理依照一个或几个事实（或假设）得出一个判定，这种思维方式叫推理。

从结构上说，推理一样由两部分组成，一部分是已知的事实（或假设），叫做前提，一部分是由已知推出的判定，叫结论。

三、合情推理：依照已有的事实，通过观看、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理。

合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特点，推出该类事物的全部对象具有这些特点的推理，或者由个别事实概括出一样结论的推理。

简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一样的推理。

（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特点和其中一类对象具有的某些已知特点，推出另一类对象也具有这些特点的推理，简言之，类比推理是由专门到专门的推理。

数学：第2章《推理与证明》教案（苏教版选修1-2）十五、推理与证明一、考点、要点、疑点：考点：1、理解合情推理与演绎推理； 2、了解分析法和综合法； 3、了解反证法。

要点：1、合情推理（归纳和类比）在数学发现中的作用。

2、演绎推理的基本模式（三段论）。

3、证明的三种基本方法（分析法、综合法、反证法）各自的思考过程、特点。

二、典型例题解析：例1、观察下列两等式的规律，请写出一个（包含下面两命题）一般性的命题：① ；②例2、中，若，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若两两垂直，，则四面体的外接球半径____________．例3、已知表中的对数值有且只有两个是错误的．x1.53567891427lgx3a-b+c2a-ba+c1+a-b-c2(a+c)3(1-a -c）2(2a-b)1-a+2b3(2a-b)（1）假设上表中lg3=2a-b与lg5=a+c都是正确的，试判断lg6=1+a-b-c是否正确？给出判断过程；（2）试将两个错误的对数值均指出来并加以改正．（不要求证明）三、课堂练习：1、观察下列两等式的规律，请写出一个（包含下面两命题）一般性的命题：① ；②2、若三角形内切圆的半径为，三边长分别为，则三角形的面积。

根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为，四个面的面积分别为，则四面体的体积。

3、设，则＝。

4、已知数列，则是该数列的第项。

5、设数列是公比为的等比数列，是它的前项和。

（1）求证：数列一定不是等比数列；（2）数列能是等差数列吗？请判断并说明理由。

6、我们知道：圆的任意一条弦的中点和圆心的连线与该弦垂直。

那么，若椭圆的一弦中点与原点连线及弦所在直线的斜率均存在，你能得到什么结论？请予以证明。

参考解答例题解析：1、2、3、（1）正确（2）课堂练习：1、2、 3、4、1285、（1）略（2）时，是；时，不是6、椭圆的弦中点与原点的连线及弦所在直线的斜率都存在，那么它们的斜率的积为或。

高中数学第２章推理与证明2．1．2 演绎推理知识导航学案苏教版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(高中数学第2章推理与证明2.1.2 演绎推理知识导航学案苏教版选修1-２)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2.1.2 演绎推理知识梳理1。

演绎推理是一种由________＿____＿＿____的命题推演出__＿____________＿___命题的推理方法，简单的说，演绎推理是由________＿_＿__＿＿＿___到_＿__________＿_____＿的推理。

2.演绎推理的主要形式是_＿＿__＿_____＿,常用的格式为_＿_＿_＿＿＿_＿＿_____＿＿________＿__＿_．3。

三段论中包含了3个命题,第一个命题称为——_____＿__＿＿________＿,它提供了一个一般性的原理；第二个命题叫___＿______________＿,它指出了一个特殊对象。

这两个判断结合起来,揭示一般原理与特殊对象的内在联系，从而得到第三个命题-—＿___＿______＿___＿___.知识导学本节先以日常生活和数学学习中,以前经常遇到的一些问题为基础,介绍了演绎推理的定义.由一般到特殊的推理方法.从而得到了演绎推理的主要形式为三段论。

认识三段论推理的一般模式包括三步:(1)大前提,（2）小前提,(3）结论。

再从实际应用来认识数学中的证明，主要是通过演绎推理来进行的,从实例中认识其重要作用和具体的做法，最后对合情推理和演绎推理相比较,明确二者在数学中的不同作用.在学习本节时,可以回顾已有知识中证明问题的一般方法及推导结论时依据与结论之间的联系.在学习时，要正确认识演绎推理在数学中的重要作用，既要利用合情推理来发现新的结论，也要用合适的方法来证明结论的成立.疑难突破1。

归纳推理【学习目标】1.了解合情推理的含义，体会合情推理基本的分析问题的方法，认识归纳推理的方法，并把它用于对问题的发现中去；2.归纳推理是从特殊到一般的一种推理方法，通常归纳的个体数目越多越具有代表性，推广的一般命题越可靠，它是发现问题的重要方法.【预习导引】1.由数列1，10，100，1000，…猜想该数列的第n项可能是______________2.观察下列等式，并从中归纳出一般结论（1）1=1²(2)1+2=32+3+4=3²1+2+3=63+4+5+6+7=5²1+2+3+4=104+5+6+7+8+9+10=7²……结论___________________ 结论_____________________仿照上面的过程，观察1²，1²+2²，1²+2²+3²，…得结论___________________1³，1³+2³，1³+2³+3³，…得结论____________________3.楼梯共有n级，每步只能跨一级或两级，走完这n级楼梯共有f（n）种不同的走法，则f（n），f（n-1），f（n-2）的关系是_________________________【典例剖析】例1.（1）在平面内观察：凸四边形有两条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…，由此猜想凸n边形有_____________条对角线（2）1)1021(21=⨯-⨯ 2)2132(21=⨯-⨯ 3)3243(21=⨯-⨯ 4)4354(21=⨯-⨯ 你能作出什么猜想？证明你的猜想（3） 已知数列{an}的前n 项和为Sn ， ,321-=a ),2(21*N n n a S S n n n ∈≥=++， 计算S1.S2.S3.S4，并猜想Sn 表达式例2.计算2()11f n n n =-+(n N ∈)的值：当0n =时，211n n -+=11； 当1n =时，211n n -+=11； 当2n =时，211n n -+=13； 当3n =时，211n n -+=17； 当4n =时，211n n -+=23； 当5n =时，211n n -+=31； 而11.13.17.23.31都是质数，请作出归纳推理，并验证猜想是否正确.例3.设平面内有n 条直线(3)n ≥，其中有且仅有2条直线互相平行，任意3条直线不过同一点，若用()f n 表示这n 条直线的交点个数，（1）求(3),(4),(5)f f f ；（2）猜想()f n 的表达式，并尝试解释你的发现.江苏省泰兴中学高二数学课后作业（44）班级: 姓名: 学号：1.观察2222221311511171,1,1,222332344+<++<+++<，由此可得到的一般规律是___________________________________2.根据数塔19211129311112394111112349511111⨯+=⨯+=⨯+=⨯+=，猜想12345697__________⨯+= 3.====（a .b 均为正实数），则推测_____,_____a b ==4.经过计算发现下列正确不等式：<，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a .b 成立的条件不等式 .5.已知数列如下，试归纳出其通项公式.（1）*110,23,n n a a a n N +==+∈（2）*1121,()2n n n a a a n N a +==∈+（3）*,1n n n N a a ∀∈>=+.6.观察 ①2020003sin 10cos 40sin10cos 404++=②2020003sin 7cos 37sin 7cos374++= ③2020003sin 13cos 43sin13cos 434++= 由此，你能提出一个什么猜想？请尝试加以证明.7.一条直线将平面分成2个区域，两条直线最多将平面分成4个区域，三条直线最多将平面分成7个区域，则n条直线最多将平面分成多少个区域？。

高中数学 第2章 推理与证明 2.1.1 合情推理第一课时互动课堂苏教版选修2-2疏导引导推理是由一个或几个已知判断作出一个新的判断的思维形式.由于数学中通常把判断称为命题,因而数学推理是由已知命题推出新的命题的思维形式.推理一般分为合情推理和演绎推理,合情推理包括归纳推理和类比推理. (1)归纳推理所谓归纳推理就是根据一类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理.是从特殊到一般的推理. 归纳推理：根据一类事物的几个特殊对象具有某种属性F,而作出该类事物都具有属性F 的结论的推理.其推理形式是： ∵A 1具有性质F, A 2具有性质F, …A n 具有性质F,.)(1F A A A A n 类事物都具有性质∴⊂⋃⋃归纳推理的基础是对个别或部分对象的实验和观察,而缺乏对全体对象的考察,因而所得的结论具有偶然性,只能称之为归纳猜想,其正确与错误是需要严格论证的. 案例1 观察下图，可以发现：1+3=4=221+3+5=9=321+3+5+7=16=421+3+5+7+9=25=52由上述事实，你能得出怎样的结论？ 【探究】 将上述事实分别叙述如下： 前2个奇数的和等于2的平方； 前3个奇数的和等于3的平方； 前4个奇数的和等于4的平方； 前5个奇数的和等于5的平方； ……由此猜想：前n(n ∈N +)个连续奇数的和等于n 的平方，即1+3+5+…+(2n-1)=n 2【规律总结】归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确性还有待于证明，归纳往往从观察开始，观察，实验，对有限地资料进行归纳整理，提出带有规律性的猜想，是数学研究的基本方法之一. (2)类比推理①类比推理是根据两个或两类对象的某些属性相同或相似,而推出它们的某种其他属性也相同或相似的思维形式,也称为类比法,类比推理是以比较为基础的,在对两个或两类对象的属性进行比较时,若发现它们有较多的相同点或相似点,则可以把其中一个或一类对象的另外一种属性推移到另一个或另一类对象中去.由于类比法是根据两个或两类不同对象的某些特殊属性的比较,而作出有关另一个特殊属性的结论的,因此类比推理是从特殊到特殊的推理. ②类比法的类型(ⅰ)简单类比 仅仅依据两个研究对象在形式或现象方面的某些相同或相似,而推出它们在其他某方面相同或相似的方法,称为简单类比.简单类比的结构模式为 对象A ：具有属性a 1、a 2、…、a n 、m 对象B ：具有属性a 1′、a 2′、…、a n ′.)'(':)',,','(2211相同或相似与具有属性对象相同或似与与与m m m B a a a a a a n n由于简单类比侧重于外在形式和表面现象的比较,较少涉及事物的本质方面,因而其类比猜想的可靠性较差.(ⅱ)科学类比 为了提高类比猜想的可靠程度,一般来说需要增加作为推理基础的相同方面的属性,因为相同属性越多,推出属性相同的可能性就越大;同时要提高类比属性与推出属性的相关程度,二者联系愈密切,结论就愈可靠.于是,便出现了科学类比的方法.如果所研究的两个对象有较多相同或相似的属性,而且这些属性之间具有因果关系R,由此推出它们有其他相同或相似的属性及关系R′,这种方法就是科学类比.科学类比的结构模式为 对象A ：具有属性a 1、a 2、…、a n ,m 和关系R 对象B ：具有属性a 1′、a 2′、…、a n ′.'':)',,','(2211R m B a a a a a a n n 和关系具有对象相同或似与与与与简单类比不同的是,科学类比重视因果关系.由于因果关系往往反映了事物的本质与内在联系,因而通过科学类比形成的猜想具有较大的可靠性.案例2 在等差数列{a n }中，若a 10=0，则有等式a 1+a 2+…+a n =a 1+a 2+…+a 19-n (n ＜19,n ∈N *)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{b n }中，若b 9=1，则有等式__________________成立. 【探究】本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是：等差数列→用减法定义→性质用加法表述(若m ，n ，p,q ∈N *且m+n=p+q ，则a m +a n =a p +a q )；等比数列→用除法定义→性质用乘法表述(若m ，n ，p,q ∈N *且m+n=p+q ，则a m ·a n =a p ·a q ).由此，猜测本题的答案为：b 1b 2…b n =b 1b 2…b 17-n (n ＜17,n ∈N *).事实上，对等差数列{a n }，如果a k =0，则a n+1+a 2k-1-n =a n+2+a 2k-2-n =…=a k +a k =0.所以有：a 1+a 2+…+a n =a 1+a 2+…+a n +(a n+1+a n+2+…+a 2k-2-n +a 2k-1-n )(n ＜2k-1,n ∈N *).从而对等比数列{b n }，如果b k =1，则有等式b 1b 2…b n =b 1b 2…b 2k-1-n(n ＜2k-1,n ∈N *)成立.【规律总结】本题是一道小巧而富于思考的妙题，主要考查观察分析能力，抽象概括能力，考查运用类比的思想方法由等差数列{a n }而得到等比数列{b n }的新的一般性的结论.活学巧用1.在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线……由此猜想凸n 边形有几条对角线？ 解析：凸四边形有2条对角线;凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条……于是猜想凸n 边形的对角线条数比凸n-1边形多n-2条对角线.由此凸n 边形对角线条数为2+3+4+5+…+(n-2)=21n(n-3)(n≥4,n∈N *).2.意大利数学家斐波那契(L.Fibonacci)在他的1228年版的《算经》一书中记述了有趣的兔子问题：假定每对大兔子每月能生一对小兔子，而每对小兔子过了一个月就可长成大兔子.如果不发生死亡，那么由一对大兔子开始，一年后能有多少对大兔子呢？我们依次给出各个月的大兔子对数，并一直推算下去到无尽的月数，可得数列： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….这就是斐波那契数列，此数列中a 1=a 2=1，你能归纳出，当n≥3时a n 的递推关系式吗？ 解析：从第3项开始，逐项观察分析每项与其前面几项的关系易得：从第3项起，它的每一项等于它的前面两项之和,即a n =a n-1+a n-2(n≥3,n∈N *). 3.已知15441544,833833,322322=+=+=+，……，若ba b a 66=+(a 、b 均为实数)，请推测a=___________________，b=______________________.解析：由三个等式知：整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测ba+6中： a=6,b=62-1=35, 即a=6,b=35 答案：6；354.下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )A.a n =3n-1B.a n =3nC.a n =3n -2nD.a n =3n-1+2n-3解析：a 1=1=30，a 2=3=31,a 3=9=32,a 4=27=33,……由此猜想a n =3n-1答案：A5.类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质.解析：(1)两实数相加后，结果是一个实数，两向量相加后，结果仍是一个向量.(2)从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律.即a+b=b+a; a+b=b+a.(a+b)+c=a+(b+c); (a+b)+c=a+(b+c).(3)从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算.a+x=0与a+x=0都有唯一解,x=-a 与x=-a.(4)在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a+0=a.在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，亦不改变该向量的方向，即a+0=a.6.类比圆的下列特征，找出球的相关特征.(1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆；(2)平面内不共线的3个点确定一个圆；(3)圆的周长与面积可求;(4)在平面直角坐标系中，以点(x0,y0)为圆心、r为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2. 解析：(1)在空间内与定点距离等于定长的点的集合是球；(2)空间中不共面的4个点确定一个球；(3)球有面积与体积;(4)在空间直角坐标系中，以点(x0，y0,z0)为球心，r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.7.在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2=a2+b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面.这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是__________________________________________.解析：考虑到直角三角形的两条边互相垂直，所以我们可以选取有3个面两两垂直的四面体，作为直角三角形的类比对象.如图所示，与Rt△ABC相对应的，是四面体P DEF；与Rt△ABC的两条边交成1个直角相对应的，是四面体P DEF的3个面在一个顶点处构成3个直二面角；与Rt△ABC的直角边边长a、b相对应的，是四面体P DEF的面△DEF，△PDF和△DPE的面积S1，S2和S3；与Rt△ABC的斜边边长c相对应的，是四面体P DEF的面△PEF的面积S.由此，我们可以类比Rt△ABC中的勾股定理，猜想出四面体P DEF四个面的面积之间的关系.如下图(1)(2)所示，我们知道，在Rt△ABC中，由勾股定理，得c2=a2+b2.(1) (2)于是，类比直角三角形的勾股定理，在四面体P DEF中，我们猜想 S2=S21+S22+S23成立.。

高二数学：第2章《推理与证明》教案苏教版一、考点、要点、疑点：考点：1、明白得合情推理与演绎推理； 2、了解分析法和综合法； 3、了解反证法。

要点：1、合情推理〔归纳和类比〕在数学发觉中的作用。

2、演绎推理的差不多模式〔三段论〕。

3、证明的三种差不多方法〔分析法、综合法、反证法〕各自的摸索过程、特点。

二、典型例题解析：例1、观看以下两等式的规律，请写出一个〔包含下面两命题〕一样性的命题：①23150sin 90sin 30sin 020202=++； ② 23125sin 65sin 5sin 020202=++例2、ABC ∆中，假设a BC b AC BC AC ==⊥,,，那么ABC ∆的外接圆半径2r =，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S ABC -中，假设SA SB SC 、、两两垂直，,,SA a SB b SC c ===，那么四面体S ABC -的外接球半径R =____________．例3、表中的对数值有且只有两个是错误的．〔给出判定过程；〔2〕试将两个错误的对数值均指出来并加以改正．〔不要求证明〕三、课堂练习：1、观看以下两等式的规律，请写出一个〔包含下面两命题〕一样性的命题：①4330sin 30sin 30sin 30sin 000202=⋅++；②4320sin 40sin 20sin 40sin 000202=⋅++2、假设三角形内切圆的半径为r ，三边长分不为c b a ,,，那么三角形的面积)(21c b a r S ++=。

依照类比推理的方法，假设一个四面体的内切球的半径为R ，四个面的面积分不为4321,,,S S S S ，那么四面体的体积=V 。

3、设),()(,sin )(010x f x f x x f '==Nn x f x f x f x f n n ∈'='=+),()(,),()(112 ，那么)(2008x f ＝ 。

第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．1.1 合情推理第1课时归纳推理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能了解合情推理的含义，认识归纳推理的基本方法与步骤，能利用归纳推理进行简单的推理应用．2．过程与方法通过学生的积极参与，经历归纳推理概念的获得过程，了解归纳推理的含义．让学生通过欣赏一些伟大猜想产生的过程，体会如何利用归纳去猜测和发现一些新的结论，培养学生归纳推理的思维方式．3．情感、态度与价值观正确认识合情推理在数学中的重要作用，并体会归纳推理在日常活动和科学发现中的作用．学生通过主动探究、合作学习，激发学习兴趣，认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，养成认真观察事物、发现探索新知识的良好思维品质．●重点难点重点：归纳推理的含义与特点，能进行简单的归纳推理．难点：运用归纳推理得到一般性的结论，做出猜想．归纳推理是“推理与证明”一章中的重要组成部分，具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养，突出体现数学的人文价值和实际应用价值，因此，在高中数学的模块中，归纳推理就显得格外的举足轻重了．为了突破难点，引导学生合作交流，发现特殊实例的共性，抓住本质特征，作出合理猜想．(教师用书独具)●教学建议关于归纳推理的教学，建议以学生熟悉的实例为载体，创设问题情境．例如“猜职业”、“哥德巴赫猜想”等引导学生进行观察、分析、归纳推理，并借助例题具体说明在数学发现的过程中归纳猜想的作用、采取合作交流，培养学生合作学习的意识与数学思维能力．在课堂上渗透数学文化教育，让学生通过数学文化的学习，了解数学发展中起重大作用的历史事件和人物，激发学习数学的兴趣．●教学流程创设问题情境，引导学生得出归纳推理的意义和特点.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握数、式中归纳推理的一般规律.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握图形中归纳推理的特点与思路.⇒学习例3及其变式训练，求解简单实际问题的归纳推理并体会应用的广泛性.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正.课标解读1.了解归纳推理的含义，能用归纳推理进行简单的推理(重点、难点)．2．体会归纳推理在数学发现中的作用，归纳推理结论的真假(易错点).归纳推理【问题导思】1．(1)若a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝2，…你能猜想出数列{a n}的通项公式吗？(2)直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，你能猜想出什么结论？【提示】(1)a n＝n(n∈N*)；(2)三角形的内角和都是180°.2．在解决上述问题时，经历了怎样的思维过程？【提示】列出部分→归纳现象→得出结论．1．推理从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．2．归纳推理(1)归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理．(2)归纳推理的思维过程如图：实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论.3．归纳推理的特点(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验．(3)归纳推理是一种具有创造性的推理．代数中有关数、式的归纳推理已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1(n∈N*)．(1)求a2，a3，a4；(2)归纳猜想数列通项公式a n，并证明结论的正确性．【思路探究】由a1＝1求a2的值，进而求a3，a4→分析a1，a2，a3，a4的特征→猜想a n→数学证明【自主解答】(1)由a1＝1，且a n＋1＝2a n＋1(n∈N*)，令n＝1，得a2＝3，令n＝2，n＝3，进而得a3＝7，a4＝15，(2)由a1＝21－1，a2＝22－1，a3＝23－1，a4＝24－1.可归纳猜想，得a n＝2n－1(n∈N*)．证明如下：由a n＋1＝2a n＋1，得a n＋1＋1＝2(a n＋1)．∴{a n＋1}是以2为首项，公比为2的等比数列．∴a n＋1＝2·2n－1＝2n，因此a n＝2n－1.1．在数列中，常用归纳推理猜测通项公式或前n 项和公式；要认真观察数列中各项数字间的规律，分析每一项与对应的项数(序号n)之间的关系，这是解题的关键．2．归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，归纳推理的一般步骤： (1)通过观察个别情况发现某些共同的特征；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．已知：1＞12；1＋12＋13＞1；1＋12＋13＋14＋15＋16＋17＞32；1＋12＋13＋…＋115＞2；…根据以上不等式的结构特点，请你归纳一般结论． 【解】 1＝21－1，3＝22－1，7＝23－1，15＝24－1，…猜想不等式的左边共有2n －1项，最后一项的分母为2n－1，右边为n 2，由此可得一般性结论．1＋12＋13＋…＋12n －1＞ n 2(n∈N *)．几何图形、图表中的归纳推理数一数图2－1－1中的凸多面体的面数F 、顶点数V 和棱数E ，然后用归纳推理得出它们之间的关系．图2－1－1【思路探究】 先找出凸多面体的面数、顶点数和棱数，观察它们之间有什么关系，再归纳出一般性的结论．【自主解答】正方体：F＝6 V＝8 E＝12；三棱柱：F＝5 V＝6 E＝9；五棱柱：F＝7 V＝10 E＝15；四棱锥：F＝5 V＝5 E＝8；两个同底面的四棱锥组成的组合体：F＝8 V＝6 E＝12；通过以上观察发现F，V，E满足F＋V－E＝2.所以归纳得：在凸多面体中，面数F、顶点数V和棱数E满足以下关系：F＋V－E＝2.1．在几何中随点、线、面等元素的增加，探究点数、线数、面数等满足的关系及相应的线段、交点、区域部分图形等的增加情况常用归纳推理解决，通过比较，寻找规律是解决该类问题的关键．2．应用归纳推理，注意两点：(1)从图形的数量规律入手，寻找数值变化与数量关系；(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．有两种花色的正六边形地面砖，按如图2－1－2所示的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有条纹的正六边形的个数是多少？图2－1－2【解】法一有菱形纹的正六边形个数如下表：图案 1 2 3 …个数 6 11 16 …由上表可以看出有条纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第6个图案中有条纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.法二由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)．故第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.实际问题中的归纳推理蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形．如图2－1－3所示，为一组蜂巢的截面图，其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数．图2－1－3试给出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表达式．(不要求证明) 【思路探究】 根据前三个图形，找出正六边形增加的规律．【自主解答】 由图形可知：每个图形最外面有6×(n－1)个正六边形：f(4)＝f(3)＋18＝19＋18＝37，f(5)＝f(4)＋24＝37＋24＝61， 因为f(2)－f(1)＝7－1＝6， f(3)－f(2)＝19－7＝2×6， f(4)－f(3)＝37－19＝3×6， f(5)－f(4)＝61－37＝4×6， … …所以当n≥2时，有f(n)－f(n －1)＝6(n －1)． 以上各式相加，当n≥2时，f(n)－f(1)＝6[1＋2＋3＋…＋(n －1)]， ∴f(n)＝f(1)＋6×（n －1）n 2＝3n 2－3n ＋1.1．在本例中，应注意两点：(1)图形的特点，每个图形从宏观上看均为一大正六边形，每一边上均有n 个小正六边形，(2)式的变化，通过式子，寻求f(n)与f(n －1)的关系，转化成数列问题．2．利用归纳推理，可以使我们对许多实际问题总结出一般性的结论，掌握事物的本质规律．意大利数学家斐波那契在他的1228年版的《算经》一书中记述了有趣的兔子问题：假定每对大兔子每月能生一对小兔子，而每对小兔子过了一个月就可以长成大兔子，如果不发生死亡，那么由一对大兔子开始，一年后能有多少对大兔子呢？我们依次给出各个月的大兔子对数，并一直推算下去到无尽的月数，可得数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…这就是斐波那契数列．此数列中，a1＝a2＝1，当n≥3时，请归纳出a n与a n－1间的递推关系式．【解】因为2＝1＋1，3＝1＋2，5＝2＋3，8＝3＋5，…逐项观察分析每项与其前几项的关系易得：从第三项起，它的每一项等于它的前面两项之和，即a n＝a n－1＋a n－2(n≥3，n ∈N*)．归纳不完整致误对任意的正整数n，猜想2n与n2的大小关系．【错解】当n＝1时，21＞12；当n＝2时，22＝22；当n＝3时，23＜32.归纳猜想：当n＝1时，2n＞n2；当n≥2时，2n≤n2.【错因分析】对于2n与n2，n仅取1，2，3来判断它们的大小关系，这不具有代表性，忽略了对n＞3时情形的归纳．【防范措施】进行归纳推理时，防止归纳的局限性，可多考查一些特殊情形，从中寻找规律，发现一般性的结论．【正解】当n＝1时，21＞12；当n＝2时，22＝22；当n＝3时，23＜32；当n＝4时，24＝42；当n＝5时，25＞52；当n＝6时，26＞62.归纳猜想：当n＝1或n≥5时，2n＞n2；当n＝2或4时，2n＝n2；当n＝3时，2n＜n2.1．归纳推理是从个别事实中推演出一般性结论的推理方法，应用归纳推理可以发现新事实，获得新结论，为学习研究提供方向．2．我们在进行归纳和猜想时，要善于从变化的特殊性中寻找出不变的本质和规律．通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．1．由数列1，10，100，1 000，…，猜测该数列的第n项可能是________．【解析】该数列可整理为100，101，102，103….【答案】10n－12．如图2－1－4所示的是由火柴杆拼成的一列图形，第n 个图形由n 个正方形组成． 通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根；第n 个图形中，火柴杆有________根．图2－1－4【解析】 设a n 表示第n 个图形中的火柴杆数，易知a 1＝4，a 2＝4＋3＝7，a 3＝7＋3＝10，a 4＝10＋3＝13….∴a n ＝3n ＋1. 【答案】 13 3n ＋13．(2013·陕西高考)观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …，照此规律，第n 个等式可为________ 【解析】 12＝1， 12－22＝－(1＋2)， 12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， …，12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1(1＋2＋…＋n)＝(－1)n ＋1n （n ＋1）2.【答案】 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n （n ＋1）24．已知数列{a n }的首项a 1＝1，且a n ＋1＝a n1＋a n(n ＝1，2，3，…)，试用归纳法归纳出这个数列的通项公式．【解】 当n ＝1时，a 1＝1； 当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12；a 3＝a 21＋a 2＝13；a 4＝a 31＋a 3＝14.归纳可得，数列{a n }的前四项都等于相应序号的倒数，由此可以猜测，这个数列的通项公式为a n ＝1n(n ＝1，2，3，…)．一、填空题图2－1－51．如图2－1－5所示的是一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排，那么第36颗珠子的颜色是________色．【解析】通过观察发现，每5颗珠子为一组，前3颗为白色，后2颗为黑色，所以36＝35＋1＝5×7＋1.得第36颗珠子一定为白色的．【答案】白2．(2013·无锡高二检测)如图2－1－6所示，第n个图形中，小正六边形的个数为________．图2－1－6【解析】a1＝7，a2＝7＋5＝12，a3＝12＋5＝17，∴a n＝7＋5(n－1)＝5n＋2.【答案】5n＋23．正整数按下表的规律排列，则上起第2 005行，左起第2 006列的数应为________．【解析】第2 006行的第一个数为2 0062，第2 005行的第2 006列的数是以2 0062为首项，－1为公差的等差数列的第2 007项，∴该数为2 0062＋(－1)×2 006＝2 005×2 006.【答案】 2 005×2 0064．(2012·江西高考改编)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝________．【解析】从给出的式子特点观察可推知等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.【答案】1235．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于________．1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111【解析】等号右边应为n＋1个“1”．【答案】 1 111 1116．定义A*B，B*C，C*D，D*B分别对应下列图形图2－1－7那么下列图形中，图2－1－8可以表示A*D，A*C的分别是________．【解析】由已知图形，抓共性不难总结出：A“|”，B“□”(大)，C“—”，D“□”(小)．故A*D为(2)，A*C为(4)．【答案】(2)，(4)7．经计算发现下列不等式：2＋18＜210， 4.5＋15.5＜210，3＋2＋17－2＜210，…根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b都成立的条件不等式：________．【解析】 ∵2＋182＝10，4.5＋15.52＝10，3＋2＋17－22＝10， ∴不难得出，若a ＋b ＝20，a ＋b ＜210. 【答案】 若a ＋b ＝20，则a ＋b ＜2108．(2013·镇江高二检测)设函数f(x)＝x x ＋2(x ＞0)，观察：f 1(x)＝f(x)＝xx ＋2，f 2(x)＝f(f 1(x))＝x3x ＋4，f 3(x)＝f(f 2(x))＝x7x ＋8，f 4(x)＝f(f 3(x))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________．【解析】 函数结果的分母中x 项系数所组成数列的通项公式，由1，3，7，15，…，可推知该数列的通项公式为a n ＝2n－1.分母中常数项依次为2，4，8，16，…，其通项为2n. 又函数中，分子都是x .∴当n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝x（2n－1）x ＋2n.【答案】x（2n－1）x ＋2n二、解答题9．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立，在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立，在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想在n 边形A 1A 2…A n 中的不等式，为什么？【解】 不等式左边和式个数分别为3，4，5，…时，不等式右边的数依次为9π，162π，253π，…，其分子依次为32，42，52，…，分母依次为(3－2)π，(4－2)π，(5－2)π，…. 故当不等式左边和式个数为n 个时，归纳猜想右边应为n 2（n －2）π(n≥3，n ∈N *)，故所求为1A 1＋1A 2＋…＋1A n≥n 2（n －2）π(n ≥3，n ∈N *)．10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1S n＋2＝0(n≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．【解】 当n ＝1时，S 1＝a 1＝1；当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－3，∴S 2＝－13；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－53，∴S 3＝－35；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－75，∴S 4＝－57.猜想：S n ＝－2n －32n －1(n∈N *)．11．观察下列等式： ①cos 2α＝2cos 2α－1；②cos 4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；③cos 6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18cos 2α－1；④cos 8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1；⑤cos 10α＝m cos 10α－1 280cos 8α＋1 120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1. 求m －n ＋p 的值．【解】 观察等式可知，cos α的最高次项的系数：2，8，32，128构成了公式比为4的等式数列，故m ＝128×4＝512；取α＝0，则cos α＝1，cos 10α＝1，代入等式⑤，得 1＝m －1 280＋1 120＋n ＋p －1，即n ＋p ＝－350.(1)取α＝π3，则cos α＝12，cos 10α＝－12，代入等式⑤，得－12＝m(12)10－1 280×(12)8＋1 120×(12)6＋n ×(12)4＋p×(12)2－1，即n ＋4p ＝－200.(2) 联立(1)(2)， 得n ＝－400，p ＝50.故m －n ＋p ＝512－(－400)＋50＝962.(教师用书独具)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：图1 图2他们研究过图1中所示的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中所示的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．则289，1 024，1 225，1 378中既是三角形数又是正方形数的是________．【自主解答】 记三角形数构成的数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝3＝1＋2，a 3＝6＝1＋2＋3，a 4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通项公式为a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2.同理可得正方形数构成的数列{b n }的通项公式为b n ＝n 2. 将289，1 024，1 225，1 378分别代入上述两个通项公 式，可得使n 都为正整数的只有1 225. 【答案】 1 225设n≥2，n ∈N ，(2x ＋12)n －(3x ＋13)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，将|a k |(0≤k ≤n )的最小值记为T n ，则T 2＝0，T 3＝123－133，T 4＝0，T 5＝125－135，…，T n ，…，其中T n ＝________．【解析】 由T 2＝0，T 4＝0，…猜想T n ＝0(n 为偶数)．T 3＝123－133，T 5＝125－135，…猜想T n ＝12n －13n (n 为奇数)，因此可得T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为偶数，12n －13n ，n 为奇数【答案】 T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为偶数，12n －13n ，n 为奇数第2课时 类比推理(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去．2．过程与方法正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识．3．情感、态度与价值观认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识．●重点难点重点：了解合情推理的含义，理解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理．难点：类比时寻求合适的类比对象；培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力．(教师用书独具)●教学建议本节教材内容要求学生结合已学过的数学实例和生活中的实例，对合情推理——类比推理进行了概括和总结，让学生在学习过程中体会类比推理在数学结论的发现、证明与数学体系构建中的作用．(1)创设恰当的教学问题情境，如鲁班锯的发现、物理学家惠更斯提出了光波这一科学概念，从而提炼出类比推理的一般过程，概括出类比推理的含义．(2)分组交流，合作学习，讲练结合，将班上同学分成六个小组，分组讨论．从具体问题出发——观察、分析比较、联想——归纳，类比——提出猜想，让学生充分感受和体验类比推理的过程．●教学流程创设问题情境，引导学生提炼类比推理的一般过程和含义.⇒借助例1及其变式训练，使学生掌握数列中定义、性质公式的类比.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握平面图形和空间图形的类比规律.⇒通过例3及其变式训练，理解合情推理的应用广泛性并体会其作用.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识与思想方法.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行学后反馈、矫正.课标解读 1.结合实例，理解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理(重点、难点)． 2．区别归纳推理与类比推理，了解合情推理的合理性(易混点).类比推理【问题导思】已知三角形的如下性质： (1)三角形的两边之和大于第三边； (2)三角形的面积等于高与底积的12.1．试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质． 【提示】 (1)四面体任意三个面的面积大于第四个面的面积． (2)四面体的体积等于底面积与高乘积的13.2．上述两个推理是从特殊到一般的推理吗？【提示】不是．是从三角形的特征推出四面体的特征，两个推理是从特殊到特殊的推理．1．类比推理根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法．其思维过程为：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论2．类比推理的特征(1)类比推理是两类事物之间的特殊到特殊的推理；(2)类比推理的结果是猜测性的，不一定可靠．合情推理【问题导思】类比推理与归纳推理有何本质的不同？【提示】类比推理是由特殊到特殊的推理，而归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．1．合情推理的含义根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程称为合情推理．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．2．合情推理的特点(1)合情推理的结论超越了前提所包容的范围，带有猜想的成分，因此推理所得的结论未必正确；(2)合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供证明的思路和方向的作用．数列中的类比推理设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．【思路探究】 等差数列的性质结论多与和、差有关，等比数列的性质结论多与积、商有关，注意到类比结论中出现T 16T 12这一形式与S 16－S 12对应，易得答案．【自主解答】 等比数列类比等差数列，其中积类比和，除法类比减法，于是可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．【答案】 T 8T 4 T 12T 81．运用类比推理必须寻找合适的类比对象，从等差、等比数列的定义、性质、通项公式与前n 项和公式探求，充分挖掘事物的本质及内在联系．2．类比推理的一般步骤为：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)．(2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想．(3)检验这个猜想．已知命题：若数列{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b(m≠n，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝bn －amn －m.现已知等比数列{b n }(b n ＞0，n ∈N *)，且b m ＝a ，b n ＝b (m ，n ∈N *且m ≠n )．类比上述结论，求b m ＋n ，并说明理由．【解】 类比得b m ＋n ＝n －m b na m.理由如下：设等比数列{b n }的公比为q ， 则b m ＋n ＝b m q n.又b m b n ＝b 1q m －1b 1q n －1＝q m －n ＝a b . ∴q ＝(ab)1m －n .因此b m ＋n ＝b m q n＝a (a b )n m －n ＝(b na m )1n －m ＝n －mb na m.几何中的类比推理在平面几何里，有勾股定理：设△ABC的两条边BC ，AC 互相垂直，则BC 2＋AC 2＝AB 2.拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积和底面积的关系，可以得出的正确结论是________．【思路探究】三角形是由直线段围成的封闭图形，三棱锥(四面体)是由三角形围成的封闭图形，因此三角形的边长之间的关系类比到空间为三棱锥的面的面积之间的关系．【自主解答】考虑到直角三角形的两条边互相垂直，所以我们可以选取有3个侧面两两垂直的三棱锥，作为直角三角形的类比对象．直角三角形3个侧面两两垂直的三棱锥∠C＝90°∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°3条边的长度分别为a，b，c 4个面的面积分别为S1，S2，S3和S2条直角边a，b和1条斜边c 3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S 类比勾股定理的结构，猜想在三棱锥中，S2＝S21＋S22＋S23.1．解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何中．2．类比与归纳推理虽然不一定正确，但都是经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出合理猜想的推理，为研究学习提供了一盏明灯．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M(x 0，y 0)的切线方程为xx 0＋yy 0＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y2b2＝1类似的性质为________．【解析】 圆的性质中，经过圆上一点M(x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M(x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y2b2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P(x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝1.【答案】 过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P(x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1合情推理的创新应用我们已经学过了等差数列，你是否想过有没有等和数列呢？(1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；(2)探索等和数列{a n}的奇数项和偶数项各有什么特点？并加以说明．(3)在第(2)问中，若a1＝2，公和为5，求a18和S21.【思路探究】先根据等差数列的定义类比出“等和数列”的定义，然后再根据此定义探索等和数列的奇数项、偶数项及其前n项的和．【自主解答】(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列.(2)由(1)知a n＋a n＋1＝a n＋1＋a n＋2，所以a n＋2＝a n.所以等和数列的奇数项相等，偶数项也相等．(3)由“等和数列”的定义，知a1＝a3＝a5＝…＝a19＝a21＝2.a2＝a4＝a6＝…＝a18＝a20＝3.因此a18＝3.S21＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a19＋a20)＋a21＝5×10＋2＝52.1．本题通过对等差数列定义及性质的理解，类比出等和数列的定义和性质，考查学生的类比应用能力．2．从类比出新数列的定义出发，由特殊到一般，归纳出数列规律，类比是一个伟大的引路人，在探求知识的过程中，我们要充分运用类比的方法，由已知探究未知．设f(x)＝12x＋2，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(5)＋f(6)的值是________．【解析】等差数列运用“倒序相加”求和．令t＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(5)＋f(6)①则t＝f(6)＋f(5)＋…＋f(1)＋f(0)＋…＋f(－4)＋f(－5)．②∵f(x)＝12x＋2，∴f(1－x)＝121－x＋2＝2x2＋2·2x＝2x2（2x＋2），因此f(x)＋f(1－x)＝12x＋2＋2x2（2x＋2）＝12＝22，故①＋②，得2t＝12×22＝62，∴t＝3 2.【答案】3 2误将类比所得结论作为推理依据致误已知a1，b1，c1，a2，b2，c2都是非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1＜0，a 2x 2＋b 2x ＋c 2＜0的解集分别为M ，N ，则“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M＝N”成立的________条件．【错解】 在方程a 1x 2＋b 1x ＋c 1＝0与a 2x 2＋b 2x ＋c 2＝0中，若“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”，则两个方程同解．由a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2知两个不等式同解，故“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M＝N”成立的充要条件．【答案】 充要【错因分析】 错解将方程的同解原理类比到不等式中，忽略了不等式与等式的本质区别．【防范措施】 类比推理是不严格的，所得结论的正确与否有待用实践来证明，解题时若直接使用类比所得结论进行推理则容易出现错误，因此要理解好类比对象的本质，忌盲目类比．【正解】 当a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2时，可取a 1＝b 1＝c 1＝1，a 2＝b 2＝c 2＝－1，则M ＝∅，N ＝R ，即a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2D /⇒M ＝N ；当M ＝N ＝∅时，可取a 1＝b 1＝c 1＝1，a 2＝1，b 2＝2，c 2＝3，则a 1a 2≠b 1b 2≠c 1c 2， 即M ＝ND /⇒a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2.综上知“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”成立的既不充分也不必要条件． 【答案】 既不充分也不必要1．进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．2．类比推理的特点：(1)类比是由已经解决的问题和已经获得的知识出发，推测正在研究的事物的属性，提出新问题作出新发现．(2)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它有发现功能．3．要熟练掌握一些常见的类比推理，如等式与不等式、椭圆与双曲线的类比，特别是等差数列与等比数列的类比和平面几何与立体几何(包括三角形与四面体、矩形与长方体、圆与球)的类比，需掌握它们的类比特点与一些常用结论．1．若数列{a n }是等差数列，则通项为b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 的数列{b n }(n∈N *)也是等差数列．类比上述性质，相应地，若数列{c n }是等比数列，且c n ＞0(n ∈N *)，则有通项为d n ＝________的数列{d n }(n ∈N *)也是等比数列．【解析】 “和”变“积”，“商”变“开方”． 【答案】nc 1·c 1·…c n2．下面使用类比推理恰当的序号是________．①“若a·3＝b·3，则a ＝b”类推出“a ·c ＝b ·c ，则a ＝b ”； ②“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”类推出“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”； ③“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋bc ＝a c ＋bc(c ≠0)”；④“(ab)n＝a n b n”类推出“(a＋b)n＝a n＋b n”．【解析】①②④均错．【答案】③3．在平面直角坐标系O—xy中，二元一次方程Ax＋By＝0(A，B不同时为0)表示过原点的直线．类似地：在空间直角坐标系O—xyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C 不同时为0)表示________．【解析】平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系O—xyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C 不同时为0)表示过原点的平面．【答案】过原点的平面4．类比圆的下列特征，找出球的相关特征．(1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆；(2)平面内不共线的3个点确定一个圆；(3)圆的周长和面积可求．【解】(1)在空间中与定点距离等于定长的点的集合是球面；(2)空间中不共面的4个点确定一个球；(3)球的表面积与体积可求．一、填空题1．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的________．【解析】“边的中点”类比为“各面的中心”．【答案】中心2．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为________．【解析】乘积类比和，幂类比积．∴a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9.【答案】a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×93．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．【解析】若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.事实上，由平面几何和立体几何的知识，可知很多比值在平面上成平方关系，在空间内成立方关系．【答案】1∶84．在圆中，连结圆心和弦的中点的直线垂直于弦，类比圆的上述结论写出球的相应结论为________．【解析】平面图形中的点线关系类比到空间为线面关系，对应得出球的相应结论：在球中，连结球心和截面圆的圆心的直线垂直于截面．【答案】在球中，连结球心和截面圆的圆心的直线垂直于截面5．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：(1)“mn＝nm”类比得“a·b＝b·a”；。