选修2-2第二章推理与证明复习学案

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第二章推理与证明1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般,部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理,但二者都能由已知推测未知,都能用于猜想，推理的结论不一定为真,有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式,另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法;分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．4．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时,它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基）n＝n0时结论成立．第二步（归纳递推)假设n＝k时，结论成立,推得n＝k ＋1时结论也成立．数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤（两步)证明出无限的命题成立．5．归纳、猜想、证明探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论的问题称为探求规律性问题,它的解题思想是：从给出的条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明。

第二章 推理与证明章末复习提升课利用递推关系猜想数列通项公式[问题展示] （教材P83习题2.1 A 组T1）在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n（n ∈N *），试猜想这个数列的通项公式.【解】 因为a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n，所以a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝2×232＋23＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝25，所以猜想数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1.是否存在常数a ，b ，使得a n ＋1＝aa nba n ＋1对于一切n ∈N *均成立，若存在，求出常数a ，b 的值，若不存在，说明理由.【解】 假设存在满足条件的常数a ，b . 由a n ＝2n ＋1与a n ＋1＝aa nba n ＋1得 2n ＋2＝a ·2n ＋1b ·2n ＋1＋1， 即（a －1）n ＋（2a －2b －1）＝0对于n ∈N *恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，2a －2b －1＝0，所以a ＝1，b ＝12.即存在常数a ＝1，b ＝12，当a n ＝2n ＋1时，a n ＋1＝a n12a n ＋1对于一切n ∈N *均成立.【拓展1】 直接推出原问题中数列{a n }的通项公式. 【解】 由a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n 得1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12. 即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以首项为1a 1＝1，公差为12的等差数列，所以1a n ＝1＋（n －1）×12＝n ＋12.所以a n ＝2n ＋1.【拓展2】 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n1＋2a n .（1）猜想数列{a n }的通项公式； （2）求数列{a n }的通项公式.【解】 （1）由a 1＝1，a n ＋1＝2a n1＋2a n得a 2＝2a 11＋2a 1＝2×11＋2×1＝23，a 3＝2a 21＋2a 2＝2×231＋2×23＝47， a 4＝2a 31＋2a 3＝2×471＋2×47＝815，由此猜想a n ＝2n －12n －1. （2）由a 1＝1，a n ＋1＝2a n 1＋2a n 得1a n ＋1＝12a n ＋1，所以1a n ＋1－2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －2是首项为1a 1－2＝－1，公比为12的等比数列.所以1a n －2＝－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以1a n ＝2－12n －1＝2n －12n －1，所以a n ＝2n －12n －1.即所求数列的通项公式为a n ＝2n －12n －1.分析法与综合法的应用 [问题展示] （教材P89练习T2）求证6＋7＞22＋ 5.【证明】 要证6＋7＞22＋5， 只需证（6＋7）2＞（22＋5）2， 展开得13＋242＞13＋240， 只需证42＞40， 只需证42＞40.因为42＞40显然成立，所以6＋7＞22＋5成立.若22＋m ＜5恒成立，比较m 与5的大小. 【解】 由22＋m ＜5得m ＜5－2 2. 即m ＜（5－22）2＝33－202， 所以m －5＜28－202＝4（7－52）.因为72－（52）2＝49－50＝－1＜0， 所以7＜52， 即7－52＜0，即m －5＜4（7－52）＜0，所以m ＜5.设a ≥0，求证：a ＋1＋a ＋2＞a ＋a ＋3.【证明】 因为a ≥0，所以要证a ＋1＋a ＋2＞a ＋a ＋3成立， 只需证明（a ＋1＋a ＋2）2＞（a ＋a ＋3）2成立. 展开得2a ＋3＋2a 2＋3a ＋2＞2a ＋3＋2a 2＋3a . 即证 a 2＋3a ＋2＞ a 2＋3a 成立，只需证（a 2＋3a ＋2）2＞（a 2＋3a ）2成立. 只需证a 2＋3a ＋2＞a 2＋3a 成立. 即证2＞0成立， 2＞0显然成立.所以a ＋1＋a ＋2＞a ＋a ＋3成立.演绎推理的应用[问题展示] （教材P85例1）在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证△ABC 为等边三角形.【证明】 由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C .① 因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π.② 由①②，得B ＝π3.③由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac .④ 由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝a 2＋c 2－ac .再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ， 即（a －c ）2＝0，因此a ＝c . 从而有A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3.所以△ABC 为等边三角形.在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c .若B ＝π3，试比较：（1）b 2与ac 的大小； （2）2b 与a ＋c 的大小.【解】 因为B ＝π3，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac .（1）b 2－ac ＝a 2＋c 2－2ac ＝（a －c ）2≥0， 所以b 2≥ac .（2）（2b ）2－（a ＋c ）2＝4b 2－a 2－2ac －c 2＝4（a 2＋c 2－ac ）－a 2－2ac －c 2＝3a 2－6ac ＋3c 2＝3（a －c ）2≥0， 所以（2b ）2≥（a ＋c ）2，即2b ≥a ＋c .【拓展1】 在△ABC 中，A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c . （1）若a ，b ，c 成等比数列，求B 的范围； （2）若a ，b ，c 成等差数列，求B 的范围. 【解】 （1）因为a ，b ，c 成等比数列， 所以b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋c 2－ac 2ac≥2ac －ac 2ac ＝12.即cos B ≥12，又B ∈（0，π），所以0＜B ≤π3.（2）因为a ，b ，c 成等差数列， 所以b ＝a ＋c2，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 222ac＝3（a 2＋c 2）－2ac 8ac≥3×2ac －2ac 8ac ＝12.即cos B ≥12，又B ∈（0，π）， 所以0＜B ≤π3.【拓展2】 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 与a ，b ，c 都成等差数列，求证△ABC 为正三角形.【证明】 因为A ，B ，C 成等差数列， 所以2B ＝A ＋C ，① 又A ＋B ＋C ＝π，② 由①②得B ＝π3.③又a ，b ，c 成等差数列， 所以b ＝a ＋c2，④由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，⑤ 将③④代入⑤得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac ×12. 化简得a 2－2ac ＋c 2＝0， 即（a －c ）2＝0，所以a ＝c ，⑥ 由④⑥得a ＝b ＝c ， 所以△ABC 为正三角形.归纳—猜想—证明的应用[问题展示] （教材P94例2）已知数列11×4，14×7，17×10，…，1（3n －2）（3n ＋1），…，计算S 1，S 2，S 3，S 4，根据计算结果，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明.【解】 S 1＝11×4＝14；S 2＝14＋14×7＝27； S 3＝27＋17×10＝310； S 4＝310＋110×13＝413. 可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n 一致，分母可用项数n 表示为3n ＋1.于是可以猜想S n ＝n 3n ＋1. 下面我们用数学归纳法证明这个猜想. （1）当n ＝1时，左边＝S 1＝14，右边＝n 3n ＋1＝13×1＋1＝14， 猜想成立.（2）假设当n ＝k （k ∈N *）时猜想成立，即11×4＋14×7＋17×10＋…＋1（3k －2）（3k ＋1）＝k 3k ＋1， 那么，11×4＋14×7＋17×10＋…＋1（3k －2）（3k ＋1）＋1[3（k ＋1）－2][3（k ＋1）＋1]＝k 3k ＋1＋1（3k ＋1）（3k ＋4）＝3k 2＋4k ＋1（3k ＋1）（3k ＋4）＝（3k ＋1）（k ＋1）（3k ＋1）（3k ＋4）＝k ＋13（k ＋1）＋1，所以，当n ＝k ＋1时猜想也成立.根据（1）和（2），可知猜想对任何n ∈N *都成立.已知数列{a n }满足a 1＝1，且1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n3n ＋1对于一切n ∈N *均成立.（1）求a 2，a 3，a 4；（2）猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明. 【解】 （1）因为a 1＝1，1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n3n ＋1. 当n ＝1时，11·a 2＝13×1＋1，则a 2＝4.当n ＝2时，11×4＋14a 3＝23×2＋1，则a 3＝7.当n ＝3时，11×4＋14×7＋17a 4＝33×3＋1，则a 4＝10.（2）由a 1＝1，a 2＝4，a 3＝7，a 4＝10猜想a n ＝3n －2. 下用数学归纳法证明. ①当n ＝1时，显然成立.②假设n ＝k （k ∈N *）时猜想成立， 即a k ＝3k －2. 则当n ＝k ＋1时， 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k a k ＋1＝k3k ＋1， 即11×4＋14×7＋…＋1（3k －5）（3k －2）＋1（3k －2）a k ＋1＝k 3k ＋1. 所以1a k ＋1＝（3k －2）⎣⎢⎡k 3k ＋1－13⎝⎛1－14＋14－17＋…＋⎦⎥⎤⎭⎪⎫13k －5－13k －2＝（3k －2）⎝ ⎛⎭⎪⎫k 3k ＋1－k －13k －2＝13k ＋1， 所以a k ＋1＝3k ＋1＝3（k ＋1）－2. 即n ＝k ＋1时，猜想也成立. 根据①②知猜想对任意n ∈N *都成立.已知数列{a n }是递增等差数列，且a 1＞0. 求证：1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1. 【证明】 ①当n ＝1时，左边＝1a 1a 2，右边＝1a 1a 2，等式成立.②假设n ＝k （k ∈N *）等式成立，即 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k a k ＋1＝ka 1a k ＋1， 则当n ＝k ＋1时， 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k a k ＋1＋1a k ＋1a k ＋2＝k a 1a k ＋1＋1a k ＋1a k ＋2 ＝ka k ＋2＋a 1a 1a k ＋1a k ＋2＝k [a 1＋（k ＋1）d ]＋a 1a 1a k ＋1a k ＋2＝（k ＋1）（a 1＋kd ）a 1a k ＋1a k ＋2＝（k ＋1）a k ＋1a 1a k ＋1a k ＋2＝k ＋1a 1a k ＋2，即n ＝k ＋1时，等式也成立， 由①②知，等式对于一切n ∈N *均成立.1.用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数”，下列各假设中正确的是（ ）A.假设a ，b ，c 都是偶数B.假设a ，b ，c 都不是偶数C.假设a ，b ，c 中至多有一个是偶数D.假设a ，b ，c 中至多有两个偶数解析：选B.对命题的结论“a ，b ，c 中至少有一个是偶数”进行否定假设应是“假设a ，b ，c 都不是偶数”.因为“至少有一个”即有一个、两个或三个，因此它的否定应是“都不是”.2.以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角形”.1 2 3 4 5 … 2 013 2 014 2 015 2 0163 5 7 9 …………4 027 4 029 4 0318 12 16 ………………… 8 056 8 06020 28 ………………… 16 116…………………………该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（ ）A.2 017×22 013 B.2 017×22 014 C.2 016×22 015 D.2 016×22 014解析：选B.当第一行为2个数时，最后一行仅一个数，为3＝3×1＝3×20；当第一行为3个数时，最后一行仅一个数，为8＝4×2＝4×21；当第一行为4个数时，最后一行仅一个数，为20＝5×4＝5×22；当第一行为5个数时，最后一行仅一个数，为48＝6×8＝6×23.归纳推理，得当第一行为2 016个数时，最后一行仅一个数，为2 017×22 014.故选B.3.通过圆与球的类比，由结论“半径为r 的圆的内接四边形中，正方形的面积最大，最大值为2r 2”猜想关于球的相应结论为“半径为R 的球的内接六面体中， ”.（ ）A.长方体的体积最大，最大值为2R 3B.正方体的体积最大，最大值为3R 3C.长方体的体积最大，最大值为43R 39D.正方体的体积最大，最大值为83R 39解析：选D.类比可知半径为R 的球的内接六面体中，正方体的体积最大，设其棱长为a ，正方体体对角线的长度等于球的直径，即3a ＝2R ，得a ＝2R 3，体积V ＝a 3＝83R 39.故选D.4.已知a，b，c，d∈（0，＋∞）.求证ac＋bd≤（a2＋b2）（c2＋d2）.证明：法一：（分析法）欲证ac＋bd≤（a2＋b2）（c2＋d2），只需证（ac＋bd）2≤（a2＋b2）（c2＋d2），即证a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2，即证2abcd≤a2d2＋b2c2，即证0≤（bc－ad）2，而a，b，c，d∈（0，＋∞），0≤（bc－ad）2显然成立，故原不等式成立.法二：（综合法）（a2＋b2）（c2＋d2）＝a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2≥a2c2＋b2d2＋2abcd＝（ac＋bd）2，所以（a2＋b2）（c2＋d2）≥ac＋bd.5.已知数列{a n}满足关系式a1＝a（a>0），a n＝2a n－11＋a n－1（n≥2，n∈N*），（1）用a表示a2，a3，a4；（2）猜想a n的表达式（用a和n表示），并证明你的结论.解：（1）a2＝2a1＋a，a3＝2a21＋a2＝2×2a1＋a1＋2a1＋a＝4a1＋3a，a4＝2a31＋a3＝2×4a1＋3a1＋4a1＋3a＝8a1＋7a.（2）因为a1＝a＝20a1＋（20－1）a，a2＝21a1＋（21－1）a，…，猜想a n＝2n－1a1＋（2n－1－1）a. 下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，因为a 1＝a ＝20a 1＋（20－1）a，所以当n ＝1时结论正确. ②假设当n ＝k （k ≥1，k ∈N *）时结论正确，即a k ＝2k －1a 1＋（2k －1－1）a，所以当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝2a k 1＋a k ＝2k a1＋（2k －1－1）a 1＋2k －1a 1＋（2k －1－1）a＝2k a 1＋（2k －1－1）a ＋2k －1a＝2k a 1＋2×2k －1a －a ＝2（k ＋1）－1a 1＋[2（k ＋1）－1－1]a， 所以当n ＝k ＋1时结论也正确.根据①与②可知命题对一切n ∈N *都正确.。

目标定位：1．推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方法．和过去的教学内容（例如函数）相比，在本章中是把基本的数学（思维）方法（而不是某个数学对象）作为正面研究对象的．因此，本章的学习过程，是中学生第一次对数学活动过程的正面的系统的审视——这就是我们对本章教学活动的定位．2．推理方法与证明方法是从思维活动中抽象出来的，是由数学思维过程凝缩而成的“对象”．我们不能离开数学思维活动来谈论数学思维方法，不能满足于把数学方法看成是既定的程序、步骤和规则，不能满足于对方法做静态的逻辑的分析（这正是过去传统的教材中所强调的），而应当从（数学）活动本身，特别是从数学活动的过程来考察推理方法和证明方法建构的过程，以及这些方法是如何被运用到数学活动中成为“活”的方法的？应当着重于体会方法的特点、联系和作用（这正是传统教材中忽略的，而在苏教版教材中特别强调的）．这样一来，考察和研究数学思维过程就应该成为本模块学习的出发点和归宿了．3．与数学知识（如概念）的建构不同，在数学方法建构的过程中，数学思维活动过程本身就是被考察的对象并提供了抽象的原型．例如，在本章的引言中，教材就是通过对“摸球中的思维过程”的分析，抽象出推理、证明方法的．在这里，摸球中的思维过程本身就成为抽象的原型！正是这样的特点，决定了在有关“方法”的教学必须建立在对数学思维活动做“正面”考察的基础之上．4．课程标准明确指出：设置本模块的目的是让学生结合已学过的数学实例和生活中的实例，对合情推理、演绎推理以及数学证明的方法进行概括与总结，进一步体会合情推理、演绎推理以及两者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯，提高数学思维能力，形成对数学较为完整的认识．课程标准的上述要求．决定了本章中对思维过程的考察与分析应该是系统的，因为只有进行系统的考察才能让学生形成对数学较为完整的认识，才能通过对各种方法的比较，掌握各种方法的特点、作用以及它们之间的关系，更好地把它们运用到数学活动中去．5．本章具体的教学目标是：（1）结合已经学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含意，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．（2）结合已经学过的数学实例和生活中的实例，了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推理．（6）通过对实例的介绍（如欧基里德《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律），体会公理化思想．（7）了解计算机在自动推理领域和数学证明中的作用．教材解读：1．根据对本章教学的基本定位，为了帮助学生对数学思维过程作系统的正面的考察，教材做了如下的工作：（1）教科书为学习活动设置了数学探索发现活动的大背景，大框架．（注意引言的作用），在分别阐述了归纳、类比、演绎等推理方法以后，又专门设置了一节“推理案例赏析”所有这些，都为对思维过程进行系统的考察提供了条件．（2）教科书充分地利用案例，通过案例（这些案例大多是从学生学习过的材料中选取的）提供数学思维活动的素材，把案例当成学习活动的出发点和载体，把案例分析看成是教学活动的主要形式．因为惟有如此，才能使学生进行深刻的思考（反思），对思维活动过程做“正面的”审视．（3）教科书注意对思维活动过程做适度的形式化概括．因为惟有如此，才能把对思维过程分析的成果固定下来，形成数学方法并运用到思维活动中去．以上各点可以从第一节〈合情推理与演绎推理〉的展开框图中看出：2．和其他模块相比，在本章中，案例分析更具有举足轻重的作用．因为除了案例分析，我们实在找不到更好的方法为学生提供“数学活动过程”，让学生参与到数学活动中来体验数学方法发现的过程，看到活生生的数学方法．因此，案例分析应该成为本模块教学的出发点和载体，为考察和分析数学活动过程提供素材和讨论的平台，同时，案例分析也应该是教学活动的主要手段．教学方法与教学建议：1．在教学中不仅要重视对推理方法和证明方法的特点进行（静态）分析，更要重视这些方法被抽象出来的过程，通过对数学活动过程的分析来认识它们的特点和作用（即对它们做动态的考察）．从而正确地理解和运用这些方法，达到从整体上提高数学思维能力的目的．2．本章所学习的大部分内容如：合情推理、演绎推理、证明方法（包括反证法）都是学生熟悉的，他们早就在自觉或不自觉地把这些方法运用于学习与生活当中了．在教学中要注意从学生已学过的数学实例和生活中的实例出发，唤起学生的经验，找到知识的生长点，这是学生学习和理解本章内容的基础．3．在教学中，要通过对学生真实的思维过程和数学发现活动的典型案例的分析，让学生形成反思的意识，养成反思的良好习惯．4．教学的重点应该是对基本的数学方法的理解和运用.首先是对“推理”和“证明”在数学发现活动中的作用.这就要求学生从整体上认识本章所介绍的数学方法.如在“合情推理和演绎推理”的教学中，应通过实例，引导学生运用合情推理去探索、猜测一些数学结论，并用演绎推理确认所得结论的正确性，或者用反例推翻错误的猜想．教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理（它们的作用、特点、关系），理解数学发现过程，而不必追求对概念的抽象表述．在证明方法的教学中，应通过实例，引导学生认识各种证明方法的特点，掌握这些方法的思考过程，体会证明的必要性，而对证明的技巧性不宜作过高的要求．5．数学的推理方法和证明方法，不仅运用在数学中，而且在生活中的其它领域都有广泛的应用．在教学中要引用生活中和其它学科中的例子，让学生体会数学和生活的联系，体会数学应用的广泛性，认识数学的文化价值．6．公理化思想和机器证明体现了数学的文化价值．在教学中要让学生体会公理化思想中蕴涵的理性精神，和机器化证明中的算法思想．下面是具体的教学建议，供参考．引言1．华罗庚教授“摸球”的例子，为推理与证明的学习提供了一个大的背景．它具有丰富的教学意义．在教学中不仅应该让学生体会到，“推理”与“证明”是构成探索活动的两个最基本的环节，让学生体会到，探索活动是一个不断的“提出猜想——验证猜想——再提出猜想——再验证猜想”的过程，而且应当让学生体会到永不休止的探索精神正是理性精神的表现！而数学家就是通过不断地提出猜想、证明猜想来进行探索活动的！2．引言中提出的两个问题（我们怎样进行推理？我们怎样验证（证明）结论？）是本大节的中心问题．本节的教学内容就是依据它展开的．2．1 合情推理与演绎推理1．合情推理和演绎推理是数学活动中常用的两种推理形式，它们具有不同的形式、特点和作用．本节先分别研究它们的特点和作用，然后再通过对具体的数学发现过程的分析，进一步体会它们之间的联系，在具体的数学思维过程中感受它们的作用．2．演绎、归纳、类比是学生熟悉的推理方式．教材列举了3个例子，开始了对这些推理形式的考察．教学中可以让学生举出更多的例子．3．通过揭示三个推理案例的共同点概括出“推理”的概念．并根据它们在结构上的不同特点，进行分类研究，这个过程虽然简单，却体现了案例分析是本章教学的主要形式的特点．2．1．1 合情推理1．合情推理是由G·波利亚提出的概念．他通过对数学发现活动的分析注意到数学活动是由“猜想”和“论证”两个环节构成的，相应地在这两个不同的环节里使用着不同的思维方法，即合情推理与论证推理（教科书中称为演绎推理）．G·波利亚并没有为合情推理下定义．实际上，在教学中，只要让学生把合情推理看成是提出猜想的推理而演绎推理是可以给出证明的推理就行了．据此，教科书按照G·波利亚的思路，编写了引言，突出了对探索活动的分析，突出了“猜想”和“证明”两个重要的思维环节，而对合情推理的定义作淡化处理（只在阅读材料中提了一下）（《课程标准》给合情推理作了如下定义：合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某地结果的推理过程．）2．归纳、类比是合情推理的两种常用的形式，除此以外，合情推理还有其他的多种形式，如：联想、想象、直觉等等．2．1．1．1 归纳推理1．归纳推理是学生熟悉的推理方式．和过去不同，在本节中，我们专注于推理的形式，而不关注推理的内容，即专门对推理的形式进行考察，考察的重点则是归纳推理的特点和它的作用．2．归纳推理的一般模式为：S具有P，1S具有P，2……S n具有P（S，S2，…，S n是A类事物的对象）1——————————————————————————所以，A类事物具有P．教学中可以介绍给学生．3．“思考”要求列举更多的有关归纳推理的例子，下面的例子可供参考．（1）观察：1 = 12，1 + 3 = 22，1 + 3 + 5 = 32，1 + 3 + 5 +7 = 42，由此猜想：1 + 3 + 5 + 7 + …+ (2n1) = n2．（2）1640年，费马在给友人的信中谈到：220+ 1 = 3，221+ 1 = 5，222+ 1 = 17，223+ 1 = 257，224+ 1 = 65 537都是素数，由此，他猜想：任何形如22n+ 1（n N）的数（通常称为费马数，记作F n）都是素数．此后，一直未有人怀疑过这个结论．直到1732年，欧拉发现F= 225+ 1 = 4 294 967 297 = 641 6 700 417并不是素数，才推翻费马的猜5想．此例还说明，在归纳推理中，根据同一个前提，可以推出不同的结论：当n > 1时，F n的末位数字是7（猜想）．2．要让学生体会到归纳不仅是一种方法，而且体现了一种态度．欧拉说：把归纳看成是一种机会，“以便证明它或推翻它”，这就是我们对待归纳的态度，而归纳的价值就在于“在这两种情况之中我们都会学到一些有用的东西．”可以看出，归纳的态度就是探索的态度，这一点在华罗庚的“摸球”游戏中也得到了充分的体现．要让学生体会到，探索活动是在猜想的推动下进行的，没有猜想就没有探索！而归纳的价值就在于它是提出猜想的一种方法！3．在归纳推理中，根据同一个的前提，往往可以推出不同的结论．例如从例4中的推理前提出发，也可以得到当n＞1时，F n的末位数字是7的结论（猜想）．4．完全归纳法（和数学归纳法类似）实质上是一种演绎推理，它是一种必然性推理，是数学证明的工具，因此它不属于合情推理．2．1．1．2 类比推理1．类比推理是学生熟悉的推理方式．和过去不同，在本节中，我们专注于推理的形式，而不关注推理的内容，即专门对推理的形式进行考察．2．类比推理的一般模式为：A类事物具有性质a，b，c，d，B类事物具有性质a'，b'，c'，（a，b，c与a'，b'，c'相似或相同）————————————————所以，B类事物可能具有性质d'．教学中可以介绍给学生．3．例1是根据等式的性质类比不等式的性质．4．例2可以看成是系统间的类比．用现代数学的角度来看，类比就是两个具有同构关系的模型间的推理．数学（科学）发现活动中的类比绝大多数都是这类类比．在教学中要注意对类比过程的分析．5．类比可以看成是从已知的相似性，推断未知的相似性的推理．在教学中要引导学生对类比的过程进行分析，弄清在推理中究竟是从哪些已知的“相似性”推出什么样的未知的“相似性”的．6．在运用类比推理时，首先要找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或一致性）；然后，再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想；最后，检验这个猜想．在教学中不要满足于对对象相似性的模糊认识，要坚持把它们的相似性用语言确切地表述出来．只有这样，才能把类比和“比喻”区别开来．2．1．2 演绎推理1．演绎推理是一种重要的推理形式，通过数学学习，学生已经在广泛地使用它，在教学中，要让学生体会到演绎推理是严格按照逻辑法则进行的推理，是必然性推理的特点．2．三段论是演绎推理的主要形式．三段论有多种格式，教科书介绍了其中常用的一种，其用意在于让学生体会到演绎推理是一种形式化程度相当高的推理，而不是正面讲“三段论”，因此，在教学中不必拓展补充．3．除了三段论以外，演绎推理还有直接推理，关系推理、联言推理、假言推理、选言推理等多种形式．4．三段论也有多种形式，三段论的依据是不言自明的三段论公理：一类事物的全部是什么或不是什么，那么这类事物的部分也是什么或不是什么．对此教科书中用集合论的语言和图形作了说明，其目的是帮助学生理解三段论．（教学中不必提出三段论公理）5．三段论推理在数学中有重要的应用，特别是在理论初建或概念性质运用的初期．但是数学推理过程不全是三段论组合，直接用三段论推理的并不多，有些数学证明过程（如教科书中例2），虽然可以归结为三段论的组合，但却太为繁琐了，所以并不实用．6．数学并不等同于逻辑，它已独自发展几千年，尤其是它的符号系统，使得它有自身的一套简单的推理形式或规则，尽管它能用三段论解释，但大可不必去追溯它的三段论本源．因而在数学中，直接选定了若干演绎推理的规则．如：“如果q P ⇒，P 真，则q 真”、“如果b c ，，a b ⇒⇒，则c a ⇒”（三段论的“数学形式”）等等．（如课本中例2的证明就使用了这些规则）应该告诉学生，数学中的运算也是演绎推理的一种形式．7．在数学中学习演绎推理，并不等同于学习形式逻辑或数理逻辑，课程标准规定，本小节的学习目标是，“体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推理”，相信注意到这些，就可以理解教科书的编写意图，并掌握教学的分寸了．8．在叙述演绎推理的特点时，要和归纳、类比的特点对照，让学生理解它们是两类不同的推理．9．教科书中说“演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性”，这并不是说，演绎推理就完全没有发现功能，更不是说演绎推理在数学发现活动中没有作用．为了让学生全面认识演绎推理在发现活动中的作用，教科书提供了阅读材料：“海王星的发现和探索性演绎法”，这个材料对全面准确地理解演绎推理在探索活动中的作用是很有帮助的．2．1．3 推理案例赏析1．《推理案例赏析》是推理方法的综合应用，是对推理方法更深层次的考察．这样，教科书就为推理的教学提供了一个“总——分——总”的结构，而本小节正是后一个“总”．它引导学生在前面学习的基础上，对各种推理方法做综合的动态的考察，帮助学生体会不同推理方法的特点和联系，感受它们在数学思维过程中的作用．2．在教学中，要注意对思维过程的分析．课本中提供的思维过程只是几种典型的解决问题的思路．面对着这些问题，学生可能会有更多的想法，应该鼓励学生谈谈自己的想法，并对课本中的思考过程做出评价．3．关于例1的教学．（1）“提出问题”是数学发现活动中重要的环节．教学中要注意分析提出问题的过程．在例1和例2中，都是通过类比提出研究课题的．（2）课本中的思路1是“归纳的方案”，总的说，它是通过归纳提出猜想的．但是应该注意到，作为归纳基础的“表”中的每个数据都是由运算提供的，也就是说，演绎提供了归纳的基础．所以说：在数学发现活动中，演绎起到了类似“实验”的作用，在这里演绎为归纳提供了前提．（3）在“归纳的方案”中，解题者原本希望从表2-1-5中归纳出一般结论，可是却失败了，但是正是失败引导他尝试计算S1（n）和S2（n）的比，找到了通向成功的路．要让学生体会到发现活动都是具有尝试的性质的，失败是经常会遇到的，所以常说“失败是成功之母”．通过教学要让学生体会到，对思维过程进行调控的重要性．对此，在“思路2”和例2中，都有体现．教学中，要让学生体会到发现过程是一个曲折的艰苦的过程，认识到思维调控的重要性．（4）尝试计算S1（n）和S2（n）的比，是导致发现的关键，这个念头是由“联想”激发的．联想也是合情推理的一种方法．（5）思路2是一个“演绎的方案”，但这并不是说，在这个方案中没有使用合情推理的方法，相反地，应该说合情推理在这个方案中同样起了关键的作用．比如，这个方案中的“初始念头”——“尝试用直接相加的方法求出自然数的平方和”就是由合情推理提供的．（6）在思路2的教学中，设置了“（2）从失败中汲取有用的信息，进行新的尝试”的环节，是为了让学生体会到思维调控的重要性，注意对思维过程的分析，进而养成反思的习惯．（7）“既然能用上面的方法求出S1（n），那么我们也应该可以用类似的方法求出S2（n）”，这也是一个猜想，它是由类比得到的．4．关于例2的教学．（1）例2通过具体的问题对类比推理的方法做了更深入的介绍．类比在数学发现活动中具有十分重要的作用，应该让学生学会自觉地科学地把类比方法运用到发现活动中去．（2）把棱台和梯形类比，开始只是模糊的念头，通过分析，清晰地认识到它们之间的“相似性”，这时才会有科学的“类比推理”．因此，“确定类比对象”和“对类比对象的进一步分析”都是重要的思维环节，是进行类比推理的前提．学生在使用类比时，经常忽略这些环节．（3）验证猜想的过程也是对猜想做调整的过程．在这个过程中，合情推理仍然发挥着重要的作用．教学中请注意合情推理在“验证猜想”中的作用．（4）从美感出发做出的判断，可以称为审美推断．本例在“验证猜想”的环节中，使用了这种方法．审美推断也是一种合情推理的方法，在科学发现活动中具有重要的价值．通过案例的分析，应该让学生体会到审美在发现活动中的作用．（5）在公式（猜想）的调整过程中，实际上使用的是“探索性演绎法”（即在猜想的基础上进行的演绎推理），这可以让学生更好地体会到“演绎推理”在数学发现活动中所具有的类似于“实验”的功能．5．关于实习作业．学生可以通过查找资料来完成实习作业．例如可以引用本书提到的数学史中的例子：如欧拉公式、哥德巴赫猜想等，也可以从教科书中选取案例如：“正弦定理的发现”、“余弦定理的发现”、“和差化积公式的推导”等等．通过反思，对自己的思维活动进行分析（如你是怎样解决某个问题的）．6．在思考以及实习作业中，教材反复提出了相同的问题，其用意是希望为学生分析思维活动时提供一个反思的框架．2．2 直接证明与间接证明教学的重点是让学生了解直接证法与间接证法的特点，知道证明的一般步骤，能使用它们证明问题，在教学中不要拘泥于“概念”，在“概念”上下功夫．2．1 直接证明1．课本中选用的两个例子都是学生熟知的，在《数学（必修5）》的基本不等式中就采用了这两个证明．现在教科书把它用作讨论综合法和分析法的素材，是为了让学生能集中精力关注这两种证明方法形式结构上的特点和区别，进而展开对证明方法的研究．2．一般地，分析法和综合法是两种常见的思维方法，人们利用它们来寻求证明问题的思路．在教科书中是把它们看成两种证明方法的（指呈现出来的证明过程）．思维方法和证明方法当然有微妙的差别，但是如果把“证明”看成是思维过程，这样做也就没有什么不可以．3．综合法，从条件出发，“由因导果”，分析法，紧抓证题目标，“执果索因”．在实际的解题活动中，总是把两者结合起来使用的．2．2 间接证明1．反证法是一种重要的间接证法（同一法也是一种重要的间接证法）．在教学中应先让学生弄清直接证明和间接证明的区别，然后再转入反证法．2．学生在学习立体几何初步时，已经使用反证法，因此他们是有经验的，但当时并没有正面介绍反证法．3．反证法的逻辑依据是矛盾律和排中律．反证法的实质在于：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾．具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是从原题的反论题“既p又┐q”入手，由p与┐q合乎逻辑地推出一个矛盾结果；根据矛盾律，两个互相矛盾的判断，不能同真，必有一假，断定反论题“既p又┐q”为假；进而再根据排中律，两个互相矛盾的判断，不能同假，必有一真．由此肯定命题“若p则q”为真．虽然学生没有学过排中律和矛盾律，但是由于这两个定律的“准公理性”，学生还是能理解反证法的思想的，因而在教学中没有必要提出排中律和矛盾律．2．3 公理化思想1．公理化思想体现了数学中的理性精神和求真意识.为了确保命题真实性,数学对命题提出了演绎证明的要求,这种要求直接导致公理化产生.教学中要让学生体会到这一点.2.公理是“公认正确而不需证明的命题”,是“证明其它一切命题的基础”,是“选定”和“设置”的,都体现了现代公理法的思想,在教学中不要过多地强调公理是“经过长期的实践证明的”说法.3.可以建议有兴趣的学生阅读《数学史初步》中有关非欧几何的材料．教学案例:归纳推理执教:高建国(扬州大学附属中学)点评:张乃达(江苏省扬州中学)1.概念、技能、能力、态度我们可以从不同的层面来看归纳．第一种是把它看成一个概念，这要弄清什么是推理？什么是归纳推理？这是从知识层面来看归纳的；第二种是把归纳看成是一种方法，这就要弄清怎样进行归纳？归纳有哪几步？第一步怎么做？第二步又怎么做？等等，这是从技能层面来看归纳的．第三种是把归纳看成是一种能力，提高学生的归纳能力——归纳的能力实质上就是分析，分析到位了，思维能力提高了，归纳才能得到有价值的东西．这是从能力的层面看归纳的．长期以来，我们的教师大都习惯于从上面三个层次看归纳，并以此确定本节课的教学内容和重点，这正是习惯于从知识与能力的层面看待数学教育的体现！其实，如果从文化的视角来分析，就可以看到归纳还可以被看成是一种态度，一种对待事物的态度．归纳的态度实际上就是探究的态度，它总是用探究者的眼光来看世界——看到某些现象，总想从中归纳出某种规律！促使哥德巴赫提出那个著名的猜想的正是这种态度，向中学生介绍哥德巴赫猜想的目的也正是让他们学习这种态度！这种态度正是理性精神的表现！也是这节课中最有教育价值的东西！通过上面的分析，对这节课应该怎么上就清楚了．通过这节课当然应该让学生知道什么是推理？什么是归纳？怎样进行归纳？但是这并不是重点，其实学生早就在使用归纳的方法了，现在只要正面的小结一下就可以了！提高归纳的能力也不是这节课能够实现的目标，归纳的能力，是思维能力的体现，它不能独立于思维能力之外，也不是通过这节课就能实现的目标！这节课的重点应该是归纳态度的培养和探究精神的激发！在本节课中，执教老师对课的定位是比较准确的，较好地处理了概念、技能、能力和态度的关系．渗透了归纳态度的培养，探求欲望的激发，让学生体会到，在我们的周围，到处都存在着值得探索的问题，到处都可以运用归纳的方法来提出猜想，进而展开探索的活动，这对学生理性精神的形成是很有意义的．2．用数学（家）的眼光看世界。

推理与证明【复习目标】①了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．②了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．③了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．④了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．【类型一】类比推理通过计算可得下列等式：22 12 2 1 132 22 2 2 142 32 2 3 1┅┅(n 1) 2 n2 2 n 1将以上各式分别相加得：( n 1)2 12 2 (1 2 3 n) n1 2 3 n n(n 1)即： 2类比上述求法：请你求出12 2 2 32 n 2 的值 .．2.下面使用类比推理正确的是()b5E2RGbCAPA.“若 a 3 b 3 ,则a b ”类推出“若a 0b 0 ,则a b”B.“若(a b)c acbc”类推出“(ab)c ac bc ”a b a bC.“若(ab)c acbc”类推出“ccc（ c ≠ 0）”na nb n ”类推出“（ ana nb n ” D.“（ ab ）b ）3.在十进制中20044 100 0 101 0 102 2 103 ，那么在5 进制中数码 2004 折合成十进制为 ()A.29B. 254C. 602D. 20044. 类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边 AB 、AC 互相垂直，则三角形三边长之间满足关系： AB2AC 2BC 2 。

若三棱锥 A-BCD 的三个侧面 ABC 、 ACD 、ADB 两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为___________________ p1EanqFDPw5、类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比 较恰当的是（）DXDiTa9E3d①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的 二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 RTCrpUDGiTA ．①；B ．①②；C ．①②③；D ．③。

第二章《推理与证明》章末复习导学案考试要求1.了解合情推理的思维过程；2.掌握演绎推理的一般模式3.会灵活运用直接证明和间接证明的方法，证明问题；4.掌握数学归纳法的整体思想. 典例精析精讲例1 如图，已知□ABCD ，直线BC ⊥平面ABE ，F 为CE 的中点. （1）求证：直线AE ∥平面BDF ；（2）若90AEB ∠=，求证：平面BDF ⊥平面BCE ．例2 已知数列{}n a 的前n 项和11()22n n n S a -=--+（n 为正整数）.（Ⅰ）令2nn n b a =，求证数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令1n n n c a n +=，12........n n T c c c =+++试比较n T 与521nn +的大小，并予以证明.例3 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的正整数n ，都有51n n a S =+成立，记例1图A．C可能是线段AB的中点5.（2011湖南理16）对于*n N ∈,将n 表示12100121222...22k k k k k n a a a a a ---=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯,当0i =时，1i a =,当1i k ≤≤时,1a 为0或1．记()I n 为上述表示中ai 为0的个数（例如：021012,4120202I =⨯=⨯+⨯+⨯）,故(1)0I =, (4)2I =）,则（1）(12)I =________________;（2） ()12mI n n =∑________________.6.（2011北京理8）设()0,0A ,()4,0B ，()4,4C t +,()(),4D t t R ∈.记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()N t 的值域为A ．{}9,10,11B ．{}9,10,12C ．{}9,11,12D ．{}10,11,127.（2011江西理7）观察下列各式：55=3125，65=15625，75=78125，…则20115的末四位数字为A ．3125B ．5625C ．0625D ．81258.（2011广东理8）设S 是整数集Z 的非空子集，如果,,a b S ∀∈有ab S ∈，则称S关于数的乘法是封闭的．若T,V 是Z 的两个不相交的非空子集，,T U Z ⋃=且,,,a b c T ∀∈有;,,,abc T x y z V ∈∀∈有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是A ．,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B ．,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C ．,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D ．,T V 中每一个关于乘法都是封闭的9.（2011江西理10）如右图，一个直径为l 的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M ，N 在大圆内所绘出的图形大致是10.（2011安徽理15）在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点 ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线11.（2011四川理16）函数f x （）的定义域为A ，若1212x x A f x =f x ∈，且（）（）时总有12x =x f x ，则称（）为单函数．例如，函数f x （）=2x+1（x R ∈）是单函数．下列命题：①函数f x （）=2x （x ∈R ）是单函数；②若f x （）为单函数，121212x x A x x f x f x ∈≠≠，且，则（）（）；③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原象； ④函数f （x ）在某区间上具有单调性，则f （x ）一定是单函数． 其中的真命题是 ．（写出所有真命题的编号）12.（2011山东理15）设函数()(0)2xf x x x =>+,观察:1()(),2xf x f x x ==+21()(()),34xf x f f x x ==+ 32()(()),78xf x f f x x ==+）知，FG解：解：（b=于是1n()2122n +综合（1）（2）可知1+∴-=n n a a∴当n 为偶数时，设∴1(n R b =(b +4k ≥成立. )16n +λ⎡⎣即证：(a(21)2n n x -+(1)(n +++。

2019-2020学年苏教版选修2-2 第2章复习与小结教课设计教课要点：认识本章知识构造，进一步感觉和领会常用的思想模式和证明方法，形成对数学的完好认识．教课难点：认识数学实质，掌握数学实质，灵巧选择并运用所学知识解决问题．教课过程：一、知识回首本章知识构造：基础知识过关：（1）合情推理包含推理、推理．（2）称为概括推理；它是一种由到，由到的推理．（3）称为类比推理；它是一种由推理．（4）概括推理的一般步骤是：①，②（5）类比推理的一般步骤是：①，②到．．的（6）从一般性的原理出发，推出某个特别状况下的结论，我们称这类推理为，它是一种到的推理．（7）和是直接证明的两种基本方法．（8）反证法证明问题的一般步骤：①，②，③；④．（9）数学概括法的基本思想数学概括法证明命题的步骤：①；，②，③．（二、数学运用（例1（1）观察以下一组不等式：23＋53＞22·5＋2·52，24＋54＞23·5＋2·53，25＋55＞23·52＋22·53，．将上述不等式在左右两头仍为两项和的状况下加以推行，（使以上的不等式成为推行不等式的特例，则推行的不等式能够是．（（2）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶（4，近似地，在空间内，若两个正四周体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比（为．3）若数列{a n}是等差数列，关于b n＝1(a1＋a2＋＋a n)，则数列{b n}也是n等差数列．类比上述性质，若数列{c n}是各项都为正数的等比数列，关于d n＞0，则d n＝时，数列{d n}也是等比数列．解（1）a m＋n＋b m＋n＞a m b n＋a n b m(a，b＞0，a≠b，m，n∈N)；（2）体积比为1∶8；（3）n c1c2c n，n∈N．说明（1）是从个别状况到一般状况的合情推理；2）是从平面到空间的类比推理；3）是从等差数列到等比数列的类比推理．例2若△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，分别用综合法和剖析法证明：c＋a＝1．a＋b b＋cc＋a＝1，证明（剖析法）要证a＋b b＋c 只要证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，即证c2＋a2＝ac＋b2，∵△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，∴C＝60°，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos60，即c2＋a2＝ac＋b2，故原命题建立．（综合法）∵△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，∴C＝60°，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos60，即c2＋a2＝ac＋b2，或c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，c a两边同除以(a＋b)(b＋c)得＋＝1．1说明剖析法和综合法是两种常用的直接证明方法．剖析法的特色是执果索因，综合法的特色是由因导果，剖析法常用来探访解题思路，综合法常用来书写解题过程．2例3已知a，b，c∈(0，1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可以同时大于．41剖析“不可以同时大于”包含多种情况，不易直接证明，可考虑反证法．1证明：假定(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a同时大于，即(1－a)b＞1，(1－b)c＞1，(1－c)a＞1，∵444∵a，b，c∈(0，1)，1∴三式同向相乘得(1－a)b(1－b)c(1－c)a＞，又(1－a)a≤(1－a＋a)2＝1，24同理(1－b)c≤1，(1－c)a≤1，44∴(1－a)b(1－b)c(1－c)a＞1，这与假定矛盾，故原命题得证．64（说明反证法属于“间接证明法”，是从反面的角度思虑问题的证明方法．用反证法证明命题“若p则q”时，可能会出现以下三种状况：（1）导出非p为真，即与原命题的条件矛盾；2）导出q为真，即与假定“非q为真”矛盾；（3）导出一个恒假命题．使用反证法证明问题时，正确地作出反设（即否认结论） ，是正确运用反证法 的前提．当碰到否认性、唯一性、无穷性、至多、起码等种类问题时，常用反证 法．例4已知数列{a n }，a n ≥0，a 1＝0，a n ＋12＋a n ＋1－1＝a n 2(n ∈N *) 记S n ＝a 1＋a 2＋＋a n ．T n＝ 1 ＋ 1 ＋ ＋1．＋ ＋ ＋ ＋ ＋a 1 ＋1 (1 a 1)(1a 2) (1 a 1)(1a 2) (1a n )求证：当n ∈N *时，（1）a n ＜a n ＋1；（2）S n ＞n －2；（3）T n ＜3． 解 （1）证明：用数学概括法证明． ①n ＝1时，由于a 2是方程x 2＋x －1＝0的正根，因此a 1＜a 2． ②设当n ＝k(k ∈N *)时，a k ＜a k ＋1， 由于a k ＋12－a k 2＝(a k ＋22＋a k ＋2－1)－(a k ＋12＋a k ＋1－1) (a k ＋1－a k ＋1)(a k ＋1＋a k ＋1＋1)， 因此a k ＋1＜a k ＋2． 即当n ＝k ＋1时，a n ＜a n ＋1也建立． 依据①和②，可知 a n ＜a n ＋1对任何n ∈N *都建立．（2）证明：由a k ＋12＋a k ＋1－1＝a k2，k ＝1，2，，n －1（n ≥2），2＋(a 2＋a 3＋＋a n － － ＝2． 得a n1)(n1)a2由于a 1＝0，因此S n ＝n －1－a n ．1由a n ＜a n ＋1及a n ＋1＝1＋a n 2－2a n ＋12＜1，得a n ＜1，2 因此S n ＞n －2．33）证明：由a k ＋12＋a k ＋1＝1＋a k 2≥2a k ，得≤a k ＋1(k ＝2，3，，n －1，n ≥3)1＋a k ＋12a k因此1≤a n(a ≥3)，(1＋a 3)(1＋a 4) (1＋a n )(a 2 2＋a 2)2n2于是1≤n2a n＝a n ＜1 (n ≥3)，(1＋a 3)(1＋a 4) (1＋a n ) (a 2 22n2n22 ＋a 2)2故当n≥3时，＜＋＋1＋＋1＜，T n11n－232213又由于T1＜T2＜T3，14因此T n＜3．15三、学生总结16指引学生从知识、方法、收获三个方面进行小结，明确推理、概括推理的观点及相互间的关系．认识数学实质，掌握数学实质，加强创新意识，提升创新能力．17四、课后作业18教材第102—103页复习题第3题，第4题，第5题，第9题，第12题，第题．。

例2. 在ABC ∆中,若090=∠C ,则1cos cos 22=+B A ,用类比的方法,猜想三棱锥的类似性质,并证明你的猜想.例3. 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文d c b a ,,,对应密文d d c c b b a 4,32,2,2+++，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16．当接受方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（ ）． A ． 4，6，1，7 B ． 7，6，1，4C ． 6，4，1，7D ． 1，6，4，7 【方法技巧】1.归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性）.2.类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等.做题时应注意：（1）找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积，平面上的角对应空间角等等；（2）找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等. 3.掌握利用“三段论”进行推理.巩固训练1. 图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含()f n 个“福娃迎迎”，则(5)f = ；()(1)f n f n --= ．（答案用数字或n 的解析式表示）2. 已知ABC ∆的三边长为c b a ,,，内切圆半径为r （用的面积表示ABC S ABC ∆∆），则ABC S ∆)(21c b a r ++=；类比这一结论有：若三棱锥BCD A -的内切球半径为R ，则三棱锥体积=-BCD A V .3. 对于任意的两个实数对(,)a b 和(,)c d ，规定：(,)(,)a b c d =，当且仅当,a c b d ==；运算“⊗”为：(,)(,)(,)a b c d ac bd bc ad ⊗=-+；运算“⊕”为：(,)(,)(,)a b c d a c b d ⊕=++，设,p q R ∈，若(1,2)(,)(5,0)p q ⊗=，则(1,2)(,)p q ⊕=………（ ）A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0,4)-（1）写出,,21a a 3a ；（2）求数列}{n a 的通项公式【方法技巧】1.用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式，命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关，由到时等式的两边会增加多少项，增加怎样的项.2.在证明过程中，（I ）考虑“n 取第一个值的命题形式”时，需认真对待，一般情况是把第一个值代入通项，考察命题的真假，（II ）步骤②在由到的递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.3. “归纳——猜想——证明”是一个完整的发现问题和解决问题的思维模式.巩固训练1.用数学归纳法证明：2333112(1)()2n n n n N *⎡⎤++⋅⋅⋅+=+∈⎢⎥⎣⎦2.已知数列1111,,,,,122334n(1)n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯+，计算1234,,,S S S S ，由此推测计算n S 的公式，并用数学归纳法证明.课后作业1.命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是（ ）A ．使用了归纳推理B ．使用了类比推理C ．使用了“三段论”，但大前提错误D ．使用了“三段论”，但小前提错误 2.用反证法证明命题：“三角形内角和至少有一个不大于060”时，应假设（ ） A. 三个内角都不大于060 B. 三个内角都大于060 C. 三个内角至多有一个大于060 D. 三个内角至多有两个大于0603.若三角形能剖分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是（ ） A.锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定4.如图第n 个图形是由正2n +边形“扩展”而来(1,2,3)n =⋅⋅⋅，则第n 2-个图形中共有 个顶点.5.对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式： 2213=+ 23135=++ 241357=+++3235=+ 337911=++ 3413151719=+++根据上述分解规律，则2513579=++++, 若3*()m m N ∈的分解中最小的数是73，则m 的值为_ __ . 6.在平面直角坐标系中，直线一般方程为0=++C By Ax ，圆心在),(00y x 的圆的一般方程为22020)()(r y y x x =-+-；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为________________,球心在),,(000z y x 的球的一般方程为_______________________.7.如果函数)(x f 在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意1x ，2x ，…，n x ，都有)()()()(2121nx x x f n x f x f x f nn +++≤+++ .若x y sin =在区间(0,)π上是凸函数，那么在ABC ∆中，C B A sin sin sin ++的最大值是________________.8.设P 是ABC ∆内一点，ABC ∆三边上的高分别为A h 、B h 、C h ，P 到三边的距离依次为a l 、b l 、c l ，则有a b c A B Cl l lh h h ++=______________；类比到空间，设P 是四面体ABCD 内一点，四顶点到对面的距离分别是A h 、B h 、C h 、D h ，P 到这四个面的距离依次是a l 、b l 、c l 、d l ，则有_________________。

第2章推理与证明第1课时合情推理——归纳推理教学过程一、问题情境学生讨论:上述案例中的推理各有什么特点?解从个别事实推演出一般性结论.二、数学建构问题1什么是推理?解从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理.问题2一般的推理由几个部分组成?解任何一个推理都包含前提和结论两个部分.前提是推理所依据的命题,它告诉我们已知的知识是什么;结论是根据前提推导得出的命题,它告诉我们推理的结论是什么.问题3推理的结论对吗?解推理的结论可能正确,也可能是错误的.问题4上述的推理有什么特点?解从个别事实推演出一般性结论.通过讨论,得出归纳推理的相关概念1.归纳推理:从个别事实中推演出一般性结论,像这样的推理通常称为归纳推理.2.归纳推理的思维规程大致为:概括、推广猜测一般性结论概念理解归纳推理的特点:(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包含的范围;(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验,因此,它不能作为数学证明的工具;(3)归纳推理是一种具有创造性的推理.通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题.归纳推理基于观察和实验,和“瑞雪兆丰年”等谚语一样,是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果.三、数学运用【例1】蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的,蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物,由此我们猜想:.[3](见学生用书P33)[处理建议]题目简单,让学生自己解答.[规范板书]解所有的爬行动物都是用肺呼吸的.【例2】三角形的内角和是180°,凸四边形的内角和是360°,凸五边形的内角和是540°,由此我们猜想:(n-2)×180°.[4](见学生用书P33)[处理建议]先由学生讨论,说出推理的理由.[规范板书]解对于凸n边形,n=3时,内角和180°=180°×1;n=4时,内角和360°=180°×2;n=5时,内角和540°=180°×3;……由此我们猜想:凸n边形的内角和是(n-2)×180°.(2)<,<,<,…由此我们猜想:<(a,b,m均为正实数).[5][处理建议]先由学生讨论,说出推理的理由.[规范板书]解由此我们猜想:<(a,b,m均是正实数).或者:<(m>0).[题后反思]根据已知条件猜想的结论可能不止一个,只要猜想合理就可以.【例3】观察下列的图形中小正方形的个数,则第n个图中有个小正方形.[6](见学生用书P33)(例3)[处理建议]先由学生讨论,说出推理的理由.提示当n=1时,小正方形个数为1+2=3,当n=2时,小正方形个数为1+2+3=6,当n=3时,小正方形个数为1+2+3+4=10,当n=4时,小正方形个数为1+2+3+4+5=15,当n=5时,小正方形个数为1+2+3+4+5+6=21,由此我们猜想:第n个图中小正方形个数为1+2+3+…+(n+1)=.[题后反思]根据几个已知条件或现象探寻一般规律的方法通常可以从下面几个方面进行思考:(1)寻找它们的共同特征,如例1;(2)寻找它们的变化规律,如例2,边数每增加1个,内角和增加180°;(3)结合图形,观察图形的关系或变化特征,运用直观的方法去探求规律.所以,A类事物具有性质P.【例4】已知数列的每一项都是正数,a1=1,===+1(n=1,2,3,…),试归纳出数列{a n}的一个通项公式.(见学生用书P34)[处理建议]先由学生讨论,说出推理的理由,体会从特殊到一般的归纳过程.[规范板书]解当n=1时,a 1=1=;当n=2时,a2==;当n=3时,a3==;……由此我们猜想{a n}的一个通项公式为a n=.四、课堂练习1.(1)一元一次方程有1个实数根,一元二次方程最多有2个实数根,一元三次方程最多有3个实数根,由此我们猜想:一元n次方程最多有n个实数根.(2)先看下面的例子,试写出一般性结论.1+3=4,1+3+5=9,1+3+5+7=16,…1+3+5+…+(2n-1)=n2.2.对大于或等于2的自然数m的n次方幂,有如下分解方式:22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7,23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19.根据上述分解规律,有53=21+23+25+27+29;若m3(m∈N*)的分解中最小的数是73,则m的值为9.3.应用归纳推理猜测(n∈N*)的值.解当n=1时,=3,当n=2时,=33,当n=3时,=333,归纳发现:=.五、课堂小结1.归纳推理是从特殊到一般的推理,要会从几个特殊的个例中学会观察,有时候没有个例,要自己去寻找或设计个例.2.归纳推理基于观察和实验,一些创造发明往往来自于这些看似简单的活动,如“瑞雪兆丰年”等谚语,是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果.要在平常的生活中养成观察和思考的习惯,培养创新思维能力.第2课时合情推理——类比推理教学过程一、问题情境模仿鲁班发明锯子,在我们以前学过的知识和方法中,哪些知识板块可以放在一起进行类比呢?学生活动:等式与不等式,平面上的圆与空间中的球,等差与等比数列,平面几何与立体几何,椭圆与双曲线,空间向量与平面向量,等等.大家根据自己的直觉提出了这么多可以进行类比的知识,那我们就选几个板块,来看看它们为什么可以进行类比,以及具体怎样类比.1.试根据等式的性质猜想不等式的性质.[2]等式的性质:猜想不等式的性质:等式不等式(1)加法法则:a=b∈a+c=b+c(2)减法法则:a=b∈a-c=b-c(3)乘法法则:a=b∈ac=bc(4)除法法则:a=b∈a÷c=b÷c(c≠0)(5)平方法则:a=b∈a2=b2教师以问题组的形式让学生自然地建构概念.问题1等式与不等式之间为什么可以进行类比呢?它们在什么方面是相似的?教师启发:“3=3”描述的是相等关系,“4>3”描述的是不等关系,都是衡量数的大小关系,所以它们有不少的相似性质.问题2如何开展类比呢?学生活动模仿就可以.问题3大家通过等式的运算律猜想了不等式的运算律,得到了新知,那这些结论是否一定正确呢?说明什么?学生活动说明用类比的方式得来的结论不一定正确,需要通过严格的证明来确认.2.试将平面上的圆与空间的球进行类比.[3][处理建议]结合“锯子”实例引导学生分析、讨论,教师分析判断,理解类比的实质.解圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义:空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆球弦截面圆直径大圆周长表面积圆面积球体积圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆点的连线垂直于弦与圆心距离相等的两弦相与球心距离相等的两截面圆相等;与球心距离不等的两截面圆不等,距球心较近的截面圆较大等;与圆心距离不等的两弦不等,距圆心较近的弦较长圆的切线垂直于过切点的球的切面垂直于过切点的半径;经过球心且垂直于切面的直线必经过切点半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的经过切点且垂直于切面的直线必经过球心直线必经过圆心以点(x0,y0)为圆心、以r为半径的圆的方程为(x-以点(x0,y0,z0)为球心、以r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2x0)2+(y-y0)2=r2在教学的过程中,模仿第1题的方式.问题1平面上的圆与空间的球之间为什么可以进行类比呢,它们在什么方面是相似的?学生活动它们的定义是相似的:圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义:空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合.它们的形状也是相似的:一个是二维的,平面的;一个是三维的,空间的.圆绕着一条直径旋转一周就形成了球.问题2如何展开类比?学生活动因为圆绕着一条直径旋转一周就形成了球,所以圆的弦、直径、周长、面积类比球中的截面圆、大圆、表面积、体积,只要将圆中的概念改成球中相应的概念就可以.点对应线,线对应面也要注意.它们属于叙述方式上的类比.问题3类比的前提是什么?它的一般步骤是什么?[4]解进行类比推理时,首先,要找出两类对象之间可以确切表述的相似性或一致性;然后,再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;最后,检验这个猜想.二、数学建构概念理解由两个(两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同;或由其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理和归纳推理都是合情推理的一种.类比推理的一般步骤:(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;(2)用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;(3)检验猜想.即观察、比较联想、类推猜测新的结论三、数学运用【例1】类比实数的加法与乘法,并列出它们的类似的性质.[5](见学生用书P35)[处理建议]可以先启发学生讨论交流,了解类比的一般思路,体会类比的实质.[规范板书]解在实数的加法与乘法之间,可以建立如下的对应关系:加(+) ↔ 乘(×)加数、被加数↔ 乘数、被乘数和↔ 积等等,它们具有下列类似的性质加法的性质乘法的性质a+b=b+a ab=ba(a+b)+c=a+(b+c)(ab)c=a(bc)a+(-a)=0a·=1a+0=a a·0=0[题后反思]为什么实数的加法和乘法之间有这么多相似之处?当加数相同时,加法运算就可以用乘法来表示.加法和乘法运算可以类比,你想想,还有其他的运算可以类比吗?(a,b,c与a',b',c'相似或相同)所以B类事物具有性质d'.【例2】试找出等差与等比数列的类比知识.[处理建议]以学生活动为主,合作交流,将全班的同学分为两组,第一组的同学提出等差数列的性质,第二组的同学类比等比数列的性质,第一组的同学再判断类比的方式是否正确.[规范板书]解(1)定义:a n+1-a n=d ↔ =q.(2)通项公式:a n=a1+(n-1)d ↔ b n=b1q n-1;a n=a m+(n-m)d ↔b n=b m q n-m.(3)等差中项:2a n+1=a n+a n+2 ↔ =b n·b n+2.(4)若m+n=p+q,且m,n,p,q∈N*,则a m+a n=a p+a q ↔ b m b n=b p b q.变式在等差数列{a n}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立.类比上述性质,相应地:在等比数列中,若b 9=1,则有等式b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*)成立.提示本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是:等差数列→用减法定义→性质用加法表述.例如,若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q;等比数列→用除法定义→性质用乘法表述.例如,若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则a m·a n=a p·a q.由此,猜测本题的答案为:b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*).[题后反思](1)等差数列的通项公式是a n=a1+(n-1)d,等比数列的通项公式是a n=a1q n-1.两组公式形式上的变化主要体现在“a1+”换成了“a1×”,“(n-1)·d”换成了“q n-1”,即出现了四则运算中“加法升级为乘法、乘法升级为乘方”这样的对应的升级运算.而这也恰好体现在了等差数列与等比数列这两个数列的名称(或定义)之中:差(-)↔比(÷).(2)解题的过程中一些基本的方法是:+↔×,-↔÷,乘法↔乘方,除法↔开方,但这不是绝对的.(3)类比推理不能仅把类比停留在叙述方式或数学结构等外层表象之上,还需要对数学结论的运算、推理过程等内在联系进行类比分析,从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在的关系.四、课堂练习1.(1)已知正方形面积为边长的平方,那么在立体几何中,与之类比图形是什么?结论是什么?(2)圆有切线,切线与圆切于1点,切点到圆心的距离等于半径.由此结论,如何类比到球?(3)平面内不共线的3点确定1个圆.由此结论,如何类比得到空间的结论?解(1)类比图形是正方体,结论是正方体的体积为棱长的立方.(2)球有切面,切面与球切于1点,切点到球心的距离等于球的半径.(3)空间不共面的4点确定一个球.2.已知梯形的上底边长为a,下底边长为b,中位线长为m,则m=.若棱台的上底面积为,下底面积为S2,中截面面积为S0,类比梯形的中位线结论,猜想棱台中截面面积满足什么关系.解若棱台的上底面积为,下底面积为S 2,则中截面面积S0=.3.等差数列{a n}中,a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,…成等差数列,类比等差数列的结论,猜想等比数列有怎样的结论?结论正确吗?解等比数列{a n}中,a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9,…成等比数列,结论正确.五、课堂小结1.类比推理的步骤与方法:第一步,找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性);第二步,用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;第三步,用特例验证猜想或证明猜想.2.数学中常见的一些类比推理问题:(1)立体几何与平面几何问题(类比是一个伟大的引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题.——数学家G.波利亚);(2)等差数列与等比数列问题;(3)加、减、乘、除运算问题;(4)进制问题等.第3课时演绎推理教学过程一、问题情境问题1类比上面的推理方法,写出你的结论.(1)所有的金属都能导电,铜是金属,所以,.(2)在学习整数时,有下面的推理:个位数字是0或5的正整数必是5的倍数,2375的个位数是5,所以.二、数学建构问题2说说上述推理的特点.解由两个前提和一个结论组成.问题3上述推理的结论对吗?解只要两个前提是正确的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的.通过讨论,给出演绎推理的定义.在数学学习中,除了归纳推理、类比推理,我们更多使用的是一种由一般的命题推演出特殊命题的推理方法,例如上述推理“铜能导电”“2375是5的倍数”,像这样的推理通常称为演绎推理.三段论式推理是演绎推理的主要形式,常用的格式为:M—P(M是P)S—M(S是M)S—P(S是P)概念理解(1)在演绎推理过程中,M起着联系S和P的中介作用,因而M也称为中项.(2)三段论中包含了3个命题,第一个命题称为大前提,它提供了一个一般性的原理;第二个命题称为小前提,它指出了一个特殊对象,这两个判断结合起来,揭示了一般原理与特殊对象的内在联系,从而得到第三个命题——结论.(3)为了方便,在运用三段论推理时,常常采用省略大前提或小前提的表述方式.如前面的两个推理,可以分别写成“因为铜是金属,所以铜能导电”,“因为2375的个位数字是5,所以2375是5的倍数”.对于复杂的论证,常常采用一连串的三段论,并把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提.三、数学运用【例1】(教材第71页例1)如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∈BFD=∈A,DE∈BA,求证:ED=AF.[2](见学生用书P37)(例1)[处理建议]先让学生证明,再用三段论形式来表示,以加深对演绎推理的理解.[规范板书]证明(1)同位角相等,两直线平行, (大前提)∈BFD与∈A是同位角,且∈BFD=∈ A,(小前提)所以,DF∈EA.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)DE∈BA且DF∈EA,(小前提)所以,四边形AFDE是平行四边形.(结论)(3)平行四边形的对边相等,(大前提)ED和AF为平行四边形的对边,(小前提)所以,ED=AF.(结论)[题后反思]在初中阶段证明平面几何问题时,要在括号内注明理由,这是为什么?【例2】(教材第71页例2)已知a,b,m均为正实数,b<a,求证:<.[3](见学生用书P37) [处理建议]先让学生证明,再用三段论形式来分析表示,以加深对演绎推理的理解.[规范板书]证明(1)不等式两边乘以同一个正数,不等式仍成立,(大前提)b<a,m>0,(小前提)所以mb<ma.(结论)(2)不等式两边加上同一个数,不等式仍成立,(大前提)mb<ma,ab=ab,(小前提)所以ab+mb<ab+ma,即b(a+m)<a(b+m).(结论)(3)不等式两边除以同一个正数,不等式仍成立,(大前提)b(a+m)<a(b+m),a(a+m)>0,(小前提)所以<,即<.(结论)例2的证明通常简略地表述为:∈mb<ma∈ab+mb<ab+ma∈<∈<.[题后反思]在日常做证明题时,虽然不要求严格按照三段论形式来书写,但是三段论已经隐含其中,证明的过程是否正确,其检验标准就是证明的每一步能否用三段论形式来推敲.【例3】用三段论形式写出下题的计算过程.已知lg2=m,计算lg0.8.[4](见学生用书P38)[处理建议]先让学生书写,再用三段论形式来表示,以加深对演绎推理的理解.[规范板书]解(1) lg a n=n lg a(a>0),(大前提)lg8=lg23,(小前提)所以lg8=3lg2.(结论)(2) lg=lg a-lg b(a>0,b>0), (大前提)lg0.8=lg,(小前提)所以lg0.8=lg8-1=3lg2-1=3m-1.(结论)四、课堂练习1. “若四边形ABCD是矩形,则四边形ABCD的对角线相等”,此推理的大前提是矩形的对角线相等.2.(教材第72页练习第3题)把下列推理恢复成完整的三段论:(1)因为∈ABC三边长依次为3,4,5,所以∈ABC是直角三角形;(2)函数y=2x+5的图象是一条直线.解(1)如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形, (大前提)∈ABC三边长为3,4,5,满足32+42=52,(小前提)∈ABC是直角三角形.(结论) (2)一次函数的图象是一条直线, (大前提)函数y=2x+5是一次函数,(小前提)函数y=2x+5的图象是一条直线.(结论) 3.(教材第72页练习第4题)指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因.(1)整数是自然数,-3是整数,-3是自然数.(2)无理数是无限小数,是无限小数,是无理数.解(1)大前提错误.(2)不符合三段论推理的形式.4.有下列说法:①演绎推理是由一般到特殊的推理;①演绎推理得到的结论一定是正确的;①演绎推理一般模式是“三段论”形式;①演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.上面说法正确的有①①①.(填序号)五、课堂小结1.演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等),按照严格的逻辑法则得到新结论的推导过程.2.演绎推理具有如下特点:(1)演绎的前提是一般性原理,演绎所得到的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中.(2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系.只要前提是事实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的,因而演绎推理是数学中严格证明的工具.(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法,它缺少创造性,但却具有条理清晰、令人信服的论证作用,有助于科学的理论化和系统化.3.演绎推理不仅仅在证明题中常用,在计算题、解答题甚至日常说话中也是经常使用的.这是一种严谨的逻辑思维形式,我们要养成一种认真、严谨的好习惯.第4课时推理案例赏析教学过程一、问题情境在前两节中,我们分别对合情推理和演绎推理的特点与思维过程进行了考察.那么合情推理和演绎推理之间具有怎样的联系和差异?合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的?二、数学建构正整数平方和公式的推导.[3][处理建议]本题宜采用师生共同参与、共同讨论的合作交流形式,尽可能让学生发言、交流各自思路,尝试不同方法,体验归纳推理的过程,教师在这个过程中注意调控和引导,避免学生走一些不必要的弯路.提出问题我们已经知道前n个正整数的和为S1(n)=1+2+3+…+n=n(n+1),①那么,前n个正整数的平方和S2(n)=12+22+32+…+n2=?①问题1如何用你已经掌握的方法来求S2(n)呢?先由学生讨论教师引导思路1(归纳的方案)如下表1所示,列举出S2(n)的前几项,希望从中归纳出一般的结论.表1n123456…S2(n)1514305591…但是,从表1的数据中并没有发现明显的关系.这时我们可能会产生一个念头:S1(n)与S2(n)会不会有某种联系?如下表2所示,进一步列举出S1(n)的值,比较S1(n)与S2(n),希望能有所发现.表2n123456…S1(n)136101521…S2(n)1514305591…问题2观察S1(n)与S2(n)的相应数据,并没有发现明显的联系.怎么办呢?教师引导尝试计算.终于在计算S1(n)和S2(n)的比时,发现“规律”了.表3n123456…S1(n)136101521…S2(n)1514305591……从表3中发现=,于是猜想S2(n)=.①公式①的正确性还需要证明.[题后反思]上面的数学活动是由那些环节构成的?在这个过程中提出了哪些猜想?提出猜想时使用了哪些推理方法?合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用?思路2(演绎的方案)尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和.(1)把正整数的平方表示出来,有12=1,22=(1+1)2=12+2×1+1,32=(2+1)2=22+2×2+1,42=(3+1)2=32+2×3+1,…,n2=(n-1)2+2(n-1)+1,左右两边相加,得S2(n)=[S2(n)-n2]+[2S1(n)-2n]+n,等号两边的S2(n)被消去了,所以无法从中求出S2(n)的值,尝试失败了!(2)从失败中汲取有用信息,进行新的尝试.前面的失败尝试还是有意义的,因为尽管我们没有求出S2(n),但是却求出了S1(n)的表达式,即S1(n)==n(n+1),它启示我们:既然能用上面方法求出S1(n),那么我们也应该可以用类似的方法求出S2(n).(3)尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式.具体方法如下:13=1,23=(1+1)3=13+3×12+3×1+1,33=(2+1)3=23+3×22+3×2+1,…,n3=(n-1)3+3(n-1)2+3(n-1)+1.左右两边分别相加,得S3(n)=[S3(n)-n3]+3[S2(n)-n2]+3[S1(n)-n]+n.由此知S2(n)===,终于导出了公式.[题后反思]上面的数学活动是由哪些环节构成的?在这个过程中提出了哪些猜想?提出猜想时使用了哪些推理方法?合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用?三、数学运用【例1】(教材第77页例2)棱台体积公式的推导.[4](见学生用书P39)[处理建议]本题宜采用师生共同参与、共同讨论的合作交流形式,尽可能让学生讨论、交流各自思路,尝试不同方法,体验类比推理的过程,教师在这过程中注意调控和引导.[提出问题]问题1怎样求棱台的体积?联系所学推理方法,有什么启发?问题2能通过类比推导出棱台的体积公式吗?问题3什么知识可以和棱台进行类比?问题4怎样对梯形和四棱台作比较?思路以四棱台为例,通过和梯形的类比推导公式.(1)确定类比对象,对梯形和四棱台作比较,列表找出相似之处.梯形棱台(四棱台)上、下底平行上、下底面平行另外两边不平行另外4个面不平行两腰延长后交于一点4个侧面伸展后交于一点中位线平行于上、下底中截面平行于上、下底面(2)对类比对象的进一步分析.梯形可以认为是用平行于三角形一边的直线截去一个小三角形后得到的,而棱台则可认为是用平行于棱锥底面的平面截去一个小棱锥后得到的.据此,应该有如下的对应关系:直线↔ 平面三角形↔ 棱锥梯形↔ 棱台进而有梯形底边长↔ 棱台底面积三角形面积↔ 棱锥体积梯形面积↔ 棱台体积(3)通过类比推理,建立猜想.求棱台的体积的方法与求梯形面积的方法是类似的,棱台的体积公式与梯形的面积公式是类似的.已知梯形的面积公式为S梯形=h(a+b),①其中a,b分别表示梯形上、下底的长度,h表示高.猜想棱台的体积公式可能具有如下的形式: V棱台=h(S上+S下),①其中S上,S下分别表示棱台的上、下底面积,h表示棱台的高.(4)验证猜想.①式的正确性要通过严格的证明来确认.在作出正式的证明之前,可以先通过具体的例子来加以验证.把棱锥看成棱台的特例,此时,公式①中的S上=0,因此有V棱台=hS下,这与实际结果hS下不符,这表明,猜想①是错误的,需要修正.于是设想公式具有V棱台=h(S上+S0+S下)①的形式,其中S0应该是表示面积的量,它究竟是多少还有待进一步确定.与①式相比,公式①的分母从2变为3,相应的分子由2项变成3项,这些都恰如其分地反映了2维和3维的差异.因此,公式①从整体结构上就给人一种协调的美感.应该说,公式①比公式①更合理.既然①式被认为是合理的,那么下一步的行动就是要具体的确定公式中S0的意义和大小了.容易看出:第一,由于从棱锥的体积公式可知,当S上=0时,S0=0,因此,S0应含有S上的因子.第二,棱台的上底和下底具有同等地位,因此,S上和S下在公式中应该具有同等地位,据此,我们可以猜想S0具有k的形式.第三,进一步确定k的值.仍然使用特殊化的方法,当S上=S下时,棱台变为棱柱,则V棱台==h(S上+k=+S下)=hS0.此时S上=S下=S0,所以有k=1,因此,S0= ,①式即为V棱台=h(S上++S下).四、课堂练习1.在数学考试中,甲同学觉得有一道题和他平时做的题类似,于是他就用相同的方法来解决考试题目,他的想法用的是类比推理.2.数列{a n}的前4项分别是,3,,,有些同学说,数列{a n}的通项公式a n=,他们的说法用的是归纳推理.3.已知数列,,,,…,由此猜想第n个数为.。

第二章推理与证明复习课教学目标1．知识与技能目标(1)帮助学生进一步加深对合情推理和演绎推理的理解，力争使学生做到规范的应用这两种推理方法去解决相关问题；(2)掌握两种证明方法的思维过程和特点，并熟练掌握两种证明方法的操作流程；(3)进一步理解数学归纳法的基本原理、步骤，通过证明数学命题巩固对数学归纳法原理的再认识．2．过程与方法目标通过本章的学习，理解推理与证明的原理与方法，培养和提高学生的合情推理或演绎推理的能力，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，培养学生由具体到抽象的思维方法，提高学生的理性思维能力．3．情感、态度与价值观通过本章的学习，培养学生言之有理、论证有据的习惯，并能在今后的学习中有意识地使用这些推理与证明的方法．重点难点重点：(1)能利用归纳、类比、“三段论”进行简单推理；(2)了解综合法、分析法和反证法的思考过程与特点；(3)了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n有关的数学命题．难点：(1)根据归纳、类比、“三段论”推理的结构和特点，进行简单推理(2)根据问题的特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法综合使用；(3)理解数学归纳法的思想实质，了解第二个步骤的作用，并且能够根据归纳假设作出证明．教学过程形成网络1．本章的知识结构图：2．本章基本知识点：(1)合情推理与演绎推理：①归纳推理的概念：根据一类事物的______对象具有某种性质，推出该类事物的____对象都具有这种性质的推理，或有____事实概括出________的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由______到________，由______到______的推理．②类比推理的定义：这种由两个(两类)对象具有__________和其中一类对象的某些__________，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由______到________的推理．③合情推理的定义：根据已有的事实，经过__________、__________、__________、__________，再进行__________、__________，然后提出猜想的推理，我们把它统称为合情推理．④演绎推理的定义：从____出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．演绎推理是由______到______的推理．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括(ⅰ)大前提——____________；(ⅱ)小前提——____________；(ⅲ)结论——______________.(2)直接证明与间接证明：①综合法定义：一般地，利用____________等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②分析法定义：一般地，从______出发，逐步寻求使它成立的__________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理)，这种证明方法叫做分析法．③反证法定义：假设__________不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明________，从而证明了__________，这样的证明方法叫做反证法．④数学归纳法定义：一般地，证明一个与正整数n有关的命题P(n)，可按下列步骤进行：(ⅰ)(归纳奠基)证明当______时命题成立；(ⅱ)(归纳递推)假设________命题成立，证明当____也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．提出问题：1.请同学们独立完成知识填空．2．在完成知识填空的同时，回想一下本章主要有哪些基本题型，解决这些基本题型的方法和步骤分别是什么？活动设计：学生独立完成基本知识填空，然后让几位同学口答填空答案，教师借助多媒体投影出知识填空的答案，适当的规范学生的表述，回忆旧知识，并思考、讨论回答所提出的问题．学情预测：学生在前面几节学习的基础上，能够顺利的完成基本知识填空，但在准确、规范表达上会存在着一定的差距；题型和方法的总结更是五花八门．活动结果：知识填空答案：(1)合情推理与演绎推理：①部分全部个别一般结论部分整体个别一般②某些类似特征已知特征特殊特殊③观察分析比较联想归纳类比④一般性的原理一般特殊已知的一般原理所研究的特殊情况据一般原理，对特殊情况作出的判断(2)直接证明与间接证明：①已知条件和某些数学定义、公理、定理②要证明的结论 充分条件③原命题 假设错误 原命题正确④(ⅰ)n 取第一个值n 0(n 0∈N *)(ⅱ)n ＝k(k ≥n 0，k ∈N *)时当n ＝k ＋1时命题设计意图全面系统地梳理基础知识，帮助学生巩固基础，加深对概念、公式、定理的理解，教师利用下一环节“典型示例”和同学们一块总结本章的重点题型和方法．典型示例类型一：归纳推理例1观察圆周上n 个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？思路分析：归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质，(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．解：设f(n)为n 个点可连的弦的条数，则f(2)＝1，f(3)＝3，f(4)＝6，…，猜想：f(n)＝n (n －1)2. 点评：归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．巩固练习1．下列推理是归纳推理的是( )A ．A 、B 为定点，若动点P 满足︱PA ︱＋︱PB ︱＝2a ＞︱AB ︱，则点P 的轨迹是椭圆B ．由a 1＝1，a n ＋1＝3a n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的通项a n 和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝1的面积S ＝πr 2，猜想出椭圆的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇2．如下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色的？( )A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大答案：1.B 2.A类型二：类比推理例2在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n ＜19，n ∈N *)成立．类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式______成立．思路分析：找出两类对象之间可以准确表述的相似特征；然后，由一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而做出一个猜想．解：在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则a 1＋a 19＝a 2＋a 18＝…＝a n ＋a 20－n ＝2a 10＝0， 所以a 1＋a 2＋…＋a n ＋…＋a 19＝0，即a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n .相似地，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 17－n (n ＜17，n ∈N *)成立．点评：本题主要考查观察分析能力，抽象概括能力，考查运用类比的思想方法，由等差数列{a n }满足的一般结论，而得到等比数列{b n }所满足的一般结论．巩固练习平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行．类似地写出空间的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件．充要条件①________________.充要条件②________________.答案：①底面是平行四边形 ②两组相对侧面分别平行类型三：演绎推理例3如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱AB ，BC 的中点．证明：平面MNB 1⊥平面BDD 1B 1.思路分析：本题所依据的大前提是面面垂直的判定定理，小前提是平面MNB 1与平面BDD 1B 1之间所满足的证明面面垂直所需要的条件，这是证明本题的关键．证明：在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∵BB 1⊥平面ABCD ，MN ⊂平面ABCD ，∴BB 1⊥MN.∵MN ∥AC ，AC ⊥BD ，∴MN ⊥BD.又BD ∩BB 1＝B ，∴MN ⊥平面BDD 1B 1.∵MN ⊂平面MNB 1，∴平面MNB 1⊥平面BDD 1B 1.点评：“三段论”中，第一个判断称为大前提，它提供了一个一般原理，第二判断叫小前提，指出了一个特殊情况，这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提和结论之间有蕴含关系，因而，只要前提是真的，推理的形式是正确的，那么结论必然是真的，但错误的前提可导致错误的结论．巩固练习如果函数f(x ＋1)是偶函数，那么函数y ＝f(2x)的图象的一条对称轴是直线…( )A ．x ＝－1B ．x ＝1C ．x ＝－12D ．x ＝12答案：D类型四：直接证明例4已知a ，b ，c 为正实数，a ＋b ＋c ＝1.求证：a 2＋b 2＋c 2≥13. 思路分析：这是一个条件不等式的证明问题，要注意观察不等式的结构特点和已知条件的合理应用，从而选择出适当的证明方法．证明：(法一)：a 2＋b 2＋c 2－13＝13(3a 2＋3b 2＋3c 2－1)＝13[3a 2＋3b 2＋3c 2－(a ＋b ＋c)2]＝13(3a 2＋3b 2＋3c 2－a 2－b 2－c 2－2ab －2ac －2bc)＝13[(a －b)2＋(b －c)2＋(a －c)2]≥0，∴a 2＋b 2＋c 2≥13. (法二)：(a ＋b ＋c)2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ≤a 2＋b 2＋c 2＋a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2，∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c)2＝1.∴a 2＋b 2＋c 2≥13. (法三)：设a ＝13＋α，b ＝13＋β，c ＝13＋γ.∵a ＋b ＋c ＝1，∴α＋β＋γ＝0. ∴a 2＋b 2＋c 2＝(13＋α)2＋(13＋β)2＋(13＋γ)2＝13＋23(α＋β＋γ)＋α2＋β2＋γ2＝13＋α2＋β2＋γ2≥13.∴a 2＋b 2＋c 2≥13. 点评：充分利用“1”的代换是本题化简证明的关键．巩固练习已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－a n －(12)n －1＋2(n 为正整数)，令b n ＝2n a n ， 求证：数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝－a n －(12)n －1＋2得a 1＝－a 1＋1 a 1＝12， 并且a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝－a n ＋1－(12)n ＋2－[－a n －(12)n －1＋2]＝a n －a n ＋1＋(12)n ， 得到a n ＋1＝12a n ＋12n ＋1.于是b n ＋1＝2n ＋1a n ＋1＝2n a n ＋1＝b n ＋1. ∴数列{b n }是以1为首项，1为公差的等差数列．∵b n ＝b 1＋(n －1)d ，∴b n ＝n.又∵b n ＝2n a n ，∴a n ＝n 2n . 类型五：间接证明例5已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 不能同时大于14. 思路分析：这是否定性命题，条件比较简单，直接证明比较难入手，可考虑用反证法．解：假设三式同时大于14，即(1－a)b>14，(1－b)c>14，(1－c)a>14， 三式同向相乘，得(1－a)a(1－b)b(1－c)c>164.① 又(1－a)a ≤(1－a ＋a 2)2＝14，同理，(1－b)b ≤14，(1－c)c ≤14. 所以(1－a)a(1－b)b(1－c)c ≤164， 与①式矛盾，即假设前提不成立，故结论正确．点评：反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题，也常用反证法．巩固练习已知：ac ≥2(b ＋d)．求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0与方程x 2＋cx ＋d ＝0中至少有一个方程有实数根．证明：假设两方程都没有实数根，则Δ1＝a 2－4b<0与Δ2＝c 2－4d<0，有a 2＋c 2<4(b ＋d)，而a 2＋c 2≥2ac ，从而有4(b ＋d)>2ac ，即ac<2(b ＋d)，与已知矛盾，故原命题成立．类型六：数学归纳法例6已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r(b>0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，证明对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1成立． 解：(1)因为对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r 的图象上，所以得S n ＝b n ＋r. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝b ＋r ；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝b n ＋r －(b n －1＋r)＝b n －b n －1＝(b －1)b n －1.又因为{a n }为等比数列，所以r ＝－1，公比为b ，a n ＝(b －1)b n －1.(2)证明：当b ＝2时，a n ＝(b －1)b n －1＝2n －1，b n ＝2(log 2a n ＋1)＝2(log 22n －1＋1)＝2n ，则b n ＋1b n ＝2n ＋12n ，所以b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n. 下面用数学归纳法证明不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n >n ＋1成立． ①当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，因为32>2，所以不等式成立． ②假设当n ＝k 时不等式成立，即b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ＝32·54·76·…·2k ＋12k >k ＋1成立． 则当n ＝k ＋1时，左边＝b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ·b k ＋1＋1b k ＋1＝32·54·76·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋2>k ＋1·2k ＋32k ＋2＝(2k ＋3)24(k ＋1) ＝4(k ＋1)2＋4(k ＋1)＋14(k ＋1)＝(k ＋1)＋1＋14(k ＋1)>(k ＋1)＋1. 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①、②可得不等式对任意的n ∈N *都成立．巩固练习1．用数学归纳法证明对n 为正偶数时某命题成立，若已假设n ＝k(k ≥2偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立2．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k 2成立时，总可推出f(k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( )A ．若f(3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f(k)≥k 2成立B ．若f(5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f(k)≥k 2成立C ．若f(7)<49成立，则当k ≥8时，均有f(k)<k 2成立D ．若f(4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f(k)≥k 2成立答案：1.B 2.D拓展实例例 已知函数f(x)＝a x ＋x －2x ＋1(a>1)． (1)证明函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明f(x)＝0没有负数根．思路分析：(1)直接利用函数单调性的定义证明即可．(2)合理利用第(1)问提供的结论，当f(x)＝0有负数根时，利用函数与方程的关系，找到与已知矛盾的结论即可．证明：(1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1，且ax 1>0，所以ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0.又因为x 1＋1>0，x 2＋1>0，所以x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 2＋1)(x 1＋1)＝3(x 2－x 1)(x 2＋1)(x 1＋1)>0， 于是f(x 2)－f(x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0， 故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(2)设存在x 0<0(x 0≠－1)，满足f(x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，又0<ax 0<1，所以0<－x 0－2x 0＋1<1， 即12<x 0<2与x 0<0(x 0≠－1)假设矛盾．故f(x 0)＝0没有负数根． 点评：掌握综合法、分析法和反证法的思考过程、特点；根据问题的特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法综合使用．变练演编例用数学归纳法证明当n ∈N *时，1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －2)·3＋(n －1)·2＋n·1＝16n(n ＋1)(n ＋2)． 思路分析：与正整数有关的数学命题，可以用数学归纳法进行证明，故只需严格按照数学归纳法的步骤证明即可．证明：(1)当n ＝1时，1＝16·1·2·3，结论成立． (2)假设n ＝k 时结论成立，即1·k ＋2·(k －1)＋3·(k －2)＋…＋(k －2)·3＋(k －1)·2＋k·1＝16k(k ＋1)(k ＋2)． 当n ＝k ＋1时，则1·(k ＋1)＋2·k ＋3·(k －1)＋…＋(k －1)·3＋k·2＋(k ＋1)·1＝1·k ＋2·(k －1)＋…＋(k －1)·2＋k·1＋[1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1)]＝16k(k ＋1)(k ＋2)＋12(k ＋1)(k ＋2)＝16(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)， 即当n ＝k ＋1时结论也成立．综合上述，可知结论对一切n ∈N *都成立．点评：一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，有如下步骤：(1)证明当n 取第一个值n 0时命题成立；(2)假设当n ＝k(k ≥n 0，k 为自然数)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 提出问题：是否存在常数a ，b 使等式1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －2)·3＋(n －1)·2＋n·1＝16n(n ＋a)(n ＋b)对一切自然数n 都成立，并证明你的结论．活动设计：引导学生适当改变题目的条件和结论，进行一题多变，学生自己设计题目进行研究，对于数学归纳法不应只满足于证明现成的结论，更应当认真思考结论是如何得到的；归纳推理常起到重要的作用是：“归纳—猜想—证明”是由特殊到一般的重要思维方法．活动结果：令n ＝1，得1＝16(1＋a)(1＋b)，令n ＝2，得4＝26(2＋a)(2＋b)， 整理得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋a ＋b ＝5，ab ＋2(a ＋b )＝8.解得a ＝1，b ＝2. 数学归纳法证明过程见“变练演编”中的例题．设计意图通过本题发现，探索性命题的解题思路是：从给出的条件出发，通过观察、实验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳猜想的结论进行证明．达标检测1．下面说法正确的个数有( )①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般形式是“三段论”形式；④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式无关．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．若a ，b ，c 是不全相等的实数，求证：a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ca.证明过程如下：∵a ，b ，c ∈R ，∴a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，又∵a ，b ，c 不全相等，∴以上三式至少有一个“＝”不成立，∴将以上三式相加得2(a 2＋b 2＋c 2)>2(ab ＋bc ＋ac)，∴a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ca.此证法是( )A ．分析法B ．综合法C ．分析法与综合法并用D ．反证法3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k ＋1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2 D.13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1] 答案：1.B 2.B 3.B课堂小结1．知识收获：(1)合情推理与演绎推理；(2)直接证明与间接证明；(3)数学归纳法．2．方法收获：(1)推理的三种基本方法：归纳推理、类比推理、演绎推理；(2)证明问题的三种基本方法：综合法、分析法、反证法；(3)用数学归纳法证明与自然数有关的命题．3．思维收获：学会使用日常学习和生活中经常使用的思维方法，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，并养成言之有理，论证有据的好习惯．布置作业本章复习参考题A 组第5题、第7题．补充练习基础练习1．如果数列{a n }是等差数列，则( )A ．a 1＋a 8<a 4＋a 5B ．a 1＋a 8＝a 4＋a 5C ．a 1＋a 8>a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 52．设f 0(x)＝sinx ，f 1(x)＝f 0′(x)，f 2(x)＝f 1′(x)，…，f n ＋1(x)＝f n ′(x)，n ∈N ，则f 2 007(x)等于( )A ．sinxB ．－sinxC ．cosxD ．－cosx3．设a ，b ，c 大于0，则3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a的值( ) A ．都大于2 B ．至少有一个不大于2C ．都小于2D ．至少有一个不小于24．已知f(x ＋1)＝2f (x )f (x )＋2，f(1)＝1(x ∈N *)，猜想f(x)的表达式为( ) A ．f(x)＝42x ＋2 B ．f(x)＝2x ＋1C ．f(x)＝1x ＋1D ．f(x)＝22x ＋1答案：1.B 2.D 3.D 4.B拓展练习5．已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1，(1)写出a 1，a 2，a 3，并推测a n 的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论．解：(1)a 1＝32，a 2＝74，a 3＝158，猜测a n ＝2－12n . (2)①由(1)已得当n ＝1时，命题成立；②假设n ＝k 时，命题成立，即a k ＝2－12k ， 当n ＝k ＋1时，a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1＋a k ＋1＝2(k ＋1)＋1，且a 1＋a 2＋…＋a k ＝2k ＋1－a k ，∴2k ＋1－a k ＋2a k ＋1＝2(k ＋1)＋1＝2k ＋3.∴2a k ＋1＝2＋2－12k ，a k ＋1＝2－12k ＋1， 即当n ＝k ＋1时，命题成立．根据①②得n ∈N *，a n ＝2－12n 成立． 设计说明设计思想：通过基础知识填空，帮助学生回顾基本概念、定理和相关结论，通过典型示例总结本章的基本题型和方法；通过练习和作业加深对概念的理解和应用的熟练性．设计意图：由于本章概念多、理论性较强，通过基础知识填空，帮助学生准确记忆相关概念，并形成本章的知识网络；通过典型示例教学总结题型和方法，熟练相关题型的解题步骤和准确规范的表述；教学中不要急于求成，而应在后续的教学中经常借助这些概念表达、阐述和分析．设计特点：从学生的认知基础出发结合具体的题型和方法，加深概念理解的同时，熟练相关方法的应用，同时在应用新知的过程中，将所学的知识条理化，使自己的认知结构更趋合理．备课资料例1：若a 、b 、c 均为实数，且a ＝x 2－2x ＋π2，b ＝y 2－2y ＋π3，c ＝z 2－2z ＋π6，求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0.思路分析：直接证明较难入手，运用反证法进行证明．证明：设a 、b 、c 都不大于0，a ≤0，b ≤0，c ≤0，∴a ＋b ＋c ≤0.而a ＋b ＋c ＝(x 2－2x ＋π2)＋(y 2－2y ＋π3)＋(z 2－2z ＋π6)＝(x 2－2x)＋(y 2－2y)＋(z 2－2z)＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3，∴a ＋b ＋c ＞0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，故a 、b 、c 中至少有一个大于0.点评：反证法是一种间接证明命题的基本方法．在证明一个数学命题时，如果运用直接证明比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明．反证法的基本思想是：通过证明命题的否定是假命题，从而说明原命题是真命题．例2：数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ＝1,2,3，…)． 证明：(1)数列{S n n}是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n . 思路分析：利用a n 与S n 的关系，合理转化已知条件a n ＋1＝n ＋2n S n即可． 证明：(1)由a n ＋1＝n ＋2n S n ，而a n ＋1＝S n ＋1－S n 得n ＋2n S n＝S n ＋1－S n . ∴S n ＋1＝2(n ＋1)n S n .∴S n ＋1n ＋1S n n＝2.∴数列{S n n}为等比数列． (2)由(1)知{S n n }的公比为2，∴S n ＋1n ＋1＝4S n －1n －1＝4n －1·a n (n －1)n ＋1，∴S n ＋1＝4a n . 点评：综合法又叫顺推法，其实质就是由因导果法．例3：已知a>0，b>0，a ＋b ＝1，求证：(a ＋1a )(b ＋1b )≥254. 思路分析：用分析法将一个较为复杂的不等式转化为简单的不等式，找到使之成立的充分条件．证明：要证(a ＋1a )(b ＋1b )≥254，只需证4a 2b 2＋4(a 2＋b 2)＋4≥25ab ， ∵a ＋b ＝1，∴a 2＋b 2＝1－2ab.只需证4a 2b 2＋4(1－2ab)＋4≥25ab ，即4a 2b 2－33ab ＋8≥0.(*)只需证ab ≤14或ab ≥8.∵a>0，b>0，a ＋b ＝1≥2ab ，∴ab ≤14. 又ab ≥8不可能，∴ab ≤14时，使得(*)式成立．∴原不等式成立． 点评：由待证结论出发，步步寻找使该结论成立的充分条件．例4：在△ABC 中(如图1)，若CE 是∠ACB 的角平分线，则AC BC ＝AE BE.其证明过程：作EG ⊥AC 于点G ，EH ⊥BC 于点H ，CF ⊥AB 于点F.∵CE 是∠ACB 的平分线，∴EG ＝EH.又∵AC BC ＝AC·EG BC·EH ＝S △AEC S △BEC ，AE BE ＝AE·CF BE·CF ＝S △AEC S △BEC ，∴AC BC ＝AE BE. (1)把上面结论推广到空间中：在四面体A —BCD 中(如图2)，平面CDE 是二面角A-CD-B 的角平分面，类比三角形中的结论，你得到的相应空间的结论是__________．(2)证明你所得到的结论．图1 图2思路分析：运用类比思想，由平面图形边长成比例类比到空间图形面积(体积)成比例．解：(1)结论：S △ACD S △BCD ＝AE BE 或S △ACD S △BCD ＝S △AEC S △BEC 或S △ACD S △BCD ＝S △AED S △BED. (2)证明：设点E 到平面ACD 、平面BCD 的距离分别为h 1、h 2，则由平面CDE 平分二面角A-CD-B 知h 1＝h 2.又∵S △ACD S △BCD ＝h 1S △ACD h 2S △BCD ＝V A —CDE V B —CDE ，AE BE ＝S △AED S △BED ＝V C —AED V C —BED ＝V A —CDE V B —CDE .∴S △ACD S △BCD ＝AE BE. 点评：类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比、归纳，从而提出猜想．(设计者：赵海彬)。

第二章推理与证明章末复习学习目标 1.整合本章知识要点.2.进一步理解合情推理与演绎推理的概念、思维形式、应用等.3.进一步熟练掌握直接证明与间接证明.4.理解数学归纳法，并会用数学归纳法证明问题．1．合情推理(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理：由特殊到特殊的推理．(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理：由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．3．直接证明和间接证明(1)直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：①综合法是从已知条件推出结论的证明方法；②分析法是从结论追溯到条件的证明方法．(2)间接证明的一种方法是反证法，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法．4．数学归纳法数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题．证明时，它的两个步骤缺一不可，它的第一步(归纳奠基)是证当n＝n0时结论成立；第二步(归纳递推)是假设当n＝k时结论成立，推得当n＝k＋1时结论也成立．1．归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( ×)2．“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( √ )3．综合法是直接证明，分析法是间接证明．( × ) 4．反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．( × )类型一 合情推理与演绎推理 例1 (1)观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2 ＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …… 照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________. 考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 43n (n ＋1)解析 第一个等式中1＝3－12，2＝3＋12；第二个等式中，2＝5－12，3＝5＋12；第三个等式中，3＝7－12，4＝7＋12.由此可推得第n 个等式等于43×2n ＋1－12×2n ＋1＋12＝43n (n ＋1)．(2)根据图(1)的面积关系：S △PA ′B ′S △PAB ＝PA ′PA ·PB ′PB ，可猜想图(2)有体积关系：V 三棱锥P －A ′B ′C ′V 三棱锥P －ABC＝________.考点 类此推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比 答案PA ′PA ·PB ′PB ·PC ′PC解析 题干两图中，与△PAB ，△PA ′B ′相对应的是三棱锥P －ABC ，P －A ′B ′C ′；与△PA ′B ′两边PA ′，PB ′相对应的是三棱锥P －A ′B ′C ′的三条侧棱PA ′，PB ′，PC ′.与△PAB 的两条边PA ，PB 相对应的是三棱锥P －ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC .由此，类比题图(1)的面积关系，得到题图(2)的体积关系为V 三棱锥P －A ′B ′C ′V 三棱锥P －ABC ＝PA ′PA ·PB ′PB ·PC ′PC.(3)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．考点 演绎推理的综合应用 题点 演绎推理在其他方面的应用 答案 1和3解析 由题意可知丙不拿2和3.若丙拿1和2，则乙拿2和3，甲拿1和3，满足题意； 若丙拿1和3，则乙拿2和3，甲拿1和2，不满足题意． 故甲的卡片上的数字是1和3.反思与感悟 (1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明． (2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．(3)演绎推理是由一般到特殊的推理，其结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的．因此，在演绎推理中，只要前提及推理正确，结论必然正确． 跟踪训练1 (1)如图是由火柴棒拼成的图形，第n 个图形由n 个正方形组成．通过观察可以发现：第4个图形中有________根火柴棒；第n 个图形中有________根火柴棒．考点归纳推理的应用题点归纳推理在图形中的应用答案13 3n＋1解析设第n个图形中火柴棒的根数为a n，可知a4＝13.通过观察得到递推关系式a n－a n－1＝3(n≥2，n∈N*)，所以a n＝3n＋1.(2)若数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，则有性质“若S m＝S n(m，n∈N*且m≠n)，则S m ＋n＝0.”类比上述性质，相应地，当数列{b n}为等比数列时，写出一个正确的性质：________________.考点类比推理的应用题点等差数列与等比数列之间的类比答案数列{b n}为等比数列，T m表示其前m项的积，若T m＝T n(m，n∈N*，m≠n)，则T m＋n＝1 解析由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时，加减运算类比推理为乘除运算．累加类比为累乘，由此，等差数列{a n}的性质类比到等比数列{b n}中为：数列{b n}为等比数列，T m表示其前m项的积，若T m＝T n(m，n∈N*，m≠n)，则T m＋n＝1.类型二综合法与分析法例2 试用分析法和综合法分别推证下列命题：已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤sin α1－cos α. 考点分析法和综合法的综合应用题点分析法和综合法的综合应用证明方法一分析法要证2sin 2α≤sin α1－cos α成立，只需证4sin αcos α≤sin α1－cos α，∵α∈(0，π)，∴sin α>0，只需证4cos α≤11－cos α，∵1－cos α>0，∴4cos α(1－cos α)≤1，可变形为4cos2α－4cos α＋1≥0，只需证(2cos α－1)2≥0，显然成立． 方法二 综合法 ∵11－cos α＋4(1－cos α)≥4，当且仅当cos α＝12，即α＝π3时取等号，∴4cos α≤11－cos α.∵α∈(0，π)，∴sin α>0， ∴4sin αcos α≤sin α1－cos α，∴2sin 2α≤sin α1－cos α.反思与感悟 分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．跟踪训练2 设a ，b 是两个正实数，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 考点 分析法及应用 题点 分析法解决不等式问题证明 要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立，即需证 (a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立， 即需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立． 只需证a 2－2ab ＋b 2>0成立， 即需证(a －b )2>0成立．而由已知条件可知，a ≠b ，所以a －b ≠0， 所以(a －b )2>0显然成立． 即a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 类型三 反证法例3 若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋x y <2与1＋yx<2中至少有一个成立．考点 反证法及应用 题点 反证法的应用证明 假设1＋x y <2和1＋y x<2都不成立，则有1＋x y ≥2和1＋y x≥2同时成立．因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y 且1＋y ≥2x ，两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，所以x ＋y ≤2. 这与已知x ＋y >2矛盾． 故1＋x y <2与1＋yx<2中至少有一个成立．反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法． 跟踪训练3 已知：ac ≥2(b ＋d )．求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0与方程x 2＋cx ＋d ＝0中至少有一个方程有实数根． 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用证明 假设两方程都没有实数根，则Δ1＝a 2－4b <0与Δ2＝c 2－4d <0，有a 2＋c 2<4(b ＋d )，而a 2＋c 2≥2ac ，从而有4(b ＋d )>2ac ，即ac <2(b ＋d )，与已知矛盾，故原命题成立． 类型四 数学归纳法例4 已知在数列{a n }中，a 1＝－23，其前n 项和S n 满足a n ＝S n ＋1S n＋2(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法加以证明．考点 数学归纳法证明数列问题 题点 数学归纳法证明数列通项问题 解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝S n ＋1S n＋2.∴S n ＝－1S n －1＋2(n ≥2)．则有S 1＝a 1＝－23，S 2＝－1S 1＋2＝－34，S 3＝－1S 2＋2＝－45， S 4＝－1S 3＋2＝－56， 由此猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2(n ∈N *)．下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，S 1＝－23＝a 1，猜想成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时猜想成立， 即S k ＝－k ＋1k ＋2成立， 那么当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝－1S k ＋2＝－1－k ＋1k ＋2＋2＝－k ＋2k ＋3＝－(k ＋1)＋1(k ＋1)＋2. 即当n ＝k ＋1时猜想成立．由(1)(2)可知，对任意正整数n ，猜想均成立．反思与感悟 (1)用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始n 0是多少．(2)由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除等式两边变化的项外还要利用当n ＝k 时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明． 跟踪训练4 观察下列四个等式： 第一个式子 1＝1 第二个式子 2＋3＋4＝9 第三个式子 3＋4＋5＋6＋7＝25 第四个式子 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 (1)按照此规律，写出第五个等式；(2)请你做出一般性的猜想，并用数学归纳法证明． 考点 利用数学归纳法证明等式 题点 等式中的归纳、猜想、证明解 (1)第5个等式：5＋6＋7＋…＋13＝81. (2)猜想第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，左边＝1，右边＝(2－1)2＝1， 猜想成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，猜想成立， 即有k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＝(2k －1)2.那么当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＋(3k －1)＋3k ＋(3k ＋1) ＝k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＋(2k －1)＋3k ＋(3k ＋1) ＝(2k －1)2＋(2k －1)＋3k ＋(3k ＋1) ＝4k 2－4k ＋1＋8k ＝(2k ＋1)2＝[2(k ＋1)－1]2. 右边＝[2(k ＋1)－1]2， 即当n ＝k ＋1时，猜想也成立． 根据①②知，猜想对任意n ∈N *都成立.1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于( ) A ．47 B ．65 C ．63D ．128考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 B解析 5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1， 归纳可得：x ＝26＋1＝65.2．在平面直角坐标系中，方程x a ＋y b＝1表示x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，类比到空间直角坐标系中，在x ，y ，z 轴上截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为( ) A.x a ＋y b ＋z c＝1 B.x ab ＋y bc ＋zca＝1C.xy ab ＋yz bc ＋zxca＝1D ．ax ＋by ＋cz ＝1考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比 答案 A解析 ∵在平面直角坐标系中，方程x a ＋y b＝1表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b ”．类比到空间直角坐标系中，在x ，y ，z 轴上截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为x a ＋y b ＋zc＝1.故选A.3．若a >0，b >0，则有( )A.b 2a >2b －a B.b 2a <2b －a C.b 2a≥2b －a D.b 2a≤2b －a 考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题 答案 C解析 因为b 2a －(2b －a )＝b 2－2ab ＋a 2a ＝(b －a )2a ≥0，所以b 2a≥2b －a .4．用反证法证明命题：“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实数 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 考点 反证法及应用 题点 如何正确进行反设 答案 A解析 方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根的反面是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根，故选A. 5．用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n (2n ＋2)＝n 4(n ＋1)(n ∈N *)． 考点 用数学归纳法证明等式 题点 利用数学归纳法证明等式 解 (1)当n ＝1时，左边＝12×1×(2×1＋2)＝18，右边＝14×(1＋1)＝18.左边＝右边，所以等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立， 即有12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＝k 4(k ＋1)，则当n ＝k ＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＋12(k ＋1)[2(k ＋1)＋2] ＝k 4(k ＋1)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝k(k＋2)＋14(k＋1)(k＋2)＝(k＋1)24(k＋1)(k＋2)＝k＋14(k＋2)＝k＋14[(k＋1)＋1].所以当n＝k＋1时，等式也成立，由(1)(2)可知，对于一切n∈N*，等式都成立．1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．4．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)当n＝n0时，结论成立．第二步(归纳递推)假设当n＝k时，结论成立，推得当n＝k＋1时，结论也成立．数学归纳法是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立．一、选择题1．证明命题：“f(x)＝e x＋1e x在(0，＋∞)上是增函数”．现给出的证法如下：因为f(x)＝e x＋1e x ，所以f′(x)＝e x－1e x.因为x>0，所以e x>1,0<1e x<1.所以e x－1e x>0，即f′(x)>0.所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，使用的证明方法是( ) A．综合法B．分析法C．反证法D．以上都不是考点综合法及应用题点利用综合法解决函数问题答案 A解析 这是从已知条件出发利用已知的定理证得结论的，是综合法，故选A. 2．若a <b <0，则下列不等式中成立的是( ) A.1a <1bB ．a ＋1b >b ＋1aC ．b ＋1a>a ＋1bD.b a <b ＋1a ＋1考点 分析法及应用 题点 分析法解决不等式问题 答案 C解析 取a ＝－2，b ＝－1，验证可知C 正确．3．我们把1,4,9,16,25，…这些数称为“正方形点数”，这是因为这些数量的点可以排成一个正方形，如图所示，则第n 个正方形点数是( )A ．n (n －1)B ．n (n ＋1)C ．(n ＋1)2D ．n 2考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在图形中的应用 答案 D解析 由题意可知第n 个正方形点数为n 2.4．在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中，第25项为( ) A ．25 B ．7 C ．6D ．8考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 B解析 由所给的数列规律知，第25项为7.5．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( ) A ．a 1a 2a 3…a 9＝29B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9考点类比推理的应用题点等差数列与等比数列之间的类比答案 D解析由等差数列的性质a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5可知D正确．6．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )A．2 B．3C．5 D．6考点数学归纳法定义及原理题点数学归纳法第一步：归纳奠基答案 C解析当n取1,2,3,4时，2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，即第一个能使2n>n2＋1成立的n值为5，故选C.7．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值( )A．大于0 B．小于0C．不小于0 D．不大于0考点综合法及应用题点综合法的应用答案 D解析因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝0，又因为a2＋b2＋c2≥0，所以2(ab＋bc＋ca)≤0，即ab＋bc＋ca≤0.8．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( )A ．2号学生进入30秒跳绳决赛B ．5号学生进入30秒跳绳决赛C ．8号学生进入30秒跳绳决赛D ．9号学生进入30秒跳绳决赛 考点 演绎推理的综合应用 题点 演绎推理在其他方面的应用 答案 B解析 进入立定跳远决赛的有8人，根据成绩应是1号至8号． 若a >63，则同时进入两决赛的不是6人，不符合题意；若61≤a ≤63，则同时进入两决赛的有1,2,3,5,6,7号，符合题意； 若a ＝60，则同时进入两决赛的不是6人，不符合题意； 若a ≤59，则同时进入两决赛的有1,3,4,5,6,7号，符合题意． 综上可知，5号进入30秒跳绳决赛． 二、填空题9．已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是____________________． 考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比 答案 正四面体的内切球的半径是高的14解析 原问题的解法为等面积法，即正三角形的面积S ＝12ah 1＝3×12ar ⇒r ＝13h 1(其中a 是正三角形的边长，h 1是高，r 是内切圆半径)．类比，用等体积法，V ＝13Sh 2＝4×13R ·S ⇒R ＝14h 2(其中S 为底面正三角形的面积，h 2是高，R是内切球的半径)． 10．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，6＋a b ＝6ab，a ，b 均为正实数，由以上规律可推测出a ，b 的值，则a ＋b ＝________.考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 41解析 由题意归纳推理得6＋a b ＝6a b，b ＝62－1＝35，a ＝6.∴a ＋b ＝6＋35＝41.11．完成反证法证题的全过程．题目：设a 1，a 2，…，a 7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：假设p 为奇数，则________均为奇数．① 因为7个奇数之和为奇数，故有(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)为________．② 而(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝________.③ ②与③矛盾，故p 为偶数． 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用答案 a 1－1，a 2－2，…，a 7－7 奇数 0解析 由假设p 为奇数可知，(a 1－1)，(a 2－2)，…，(a 7－7)均为奇数，故(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数，这与0为偶数相矛盾． 三、解答题12．用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b2；(2)6＋10>23＋2.考点 分析法和综合法的综合应用 题点 分析法和综合法的综合应用 证明 (1)当a ，b >0时，有a ＋b2≥ab ，∴lg a ＋b2≥lg ab ，∴lga ＋b 2≥12lg(ab )＝lg a ＋lg b2. (2)要证6＋10>23＋2， 只需证(6＋10)2>(23＋2)2， 即260>248，这是显然成立的， ∴原不等式成立．13．求证：不论x ，y 取何非零实数，等式1x ＋1y ＝1x ＋y总不成立．考点 反证法及应用 题点 反证法的应用证明 假设存在非零实数x ，y 使得等式1x ＋1y ＝1x ＋y 成立．于是有y (x ＋y )＋x (x ＋y )＝xy ， 即x 2＋y 2＋xy ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋34y 2＝0. 由y ≠0，得34y 2＞0.又⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22≥0， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋34y 2＞0.与x 2＋y 2＋xy ＝0矛盾，故原命题成立． 四、探究与拓展14．设S ，V 分别表示表面积和体积，如△ABC 的面积用S △ABC 表示，三棱锥O －ABC 的体积用V O －ABC 表示，对于命题：如果O 是线段AB 上一点，则|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0.将它类比到平面的情形时，应该有：若O 是△ABC 内一点，有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OBA ·OC →＝0.将它类比到空间的情形时，应该有：若O 是三棱锥A －BCD 内一点，则有__________． 考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比答案 V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0 15．给出下列等式：1＝1， 1－4＝－(1＋2)， 1－4＋9＝1＋2＋3， 1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，……(1)写出第5个和第6个等式，并猜想第n (n ∈N *)个等式； (2)用数学归纳法证明你猜想的等式． 考点 利用数学归纳法证明等式 题点 等式中的归纳、猜想、证明(1)解 第5个等式为1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋5，第6个等式为1－4＋9－16＋25－36＝－(1＋2＋3＋4＋5＋6)． 猜想第n 个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n －1·(1＋2＋3＋…＋n )．(2)证明 ①当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0×1＝1，左边＝右边，猜想成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，猜想成立，即12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2，则当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k (k ＋1)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤(k ＋1)－k 2＝(－1)k·(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2，故当n ＝k ＋1时，猜想也成立由①②可知，对于任意n ∈N *，猜想均成立．。

1选修2-2第二单元《推理与证明数学归纳法》（学生学案）课时必记：1．推理(1)定义：是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程．(2)分类：推理⎩⎪⎨⎪⎧合情推理演绎推理 2．3.(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理． (2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．(3)模式：三段论⎩⎪⎨⎪⎧①大前提：已知的一般原理；②小前提：所研究的特殊情况；③结论：根据一般原理，对特殊情况做 出的判断. 4．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N ＋)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N ＋)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立．5．直接证明直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和分析法．(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又称为：由因导果法(顺推证法)．(2)分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．分析法又称为：执果索因法(逆推证法)．6．间接证明反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．例题选讲：例1：(1)观察下列等式：12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10…，照此规律，第n 个等式可为________；(2)某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度相等，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图．2n 级分形图中共有________条线段．变式训练1：已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030，则在等比数列{b n }中，会有类似的结论：________．例2：已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1.(1)写出a 1，a 2，a 3，并推测a n 的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论．变式训练2：设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *，且S 3＝15.(1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)求数列{a n }的通项公式．巩固作业：1．数列2，5，11，20，x ，47，…中的x 等于( )A ．28B ．32C ．33D ．272．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是() A ．① B ．②C ．③D ．①和②3．下列表述正确的是( )①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A ．①②③B ．②③④C ．②④⑤D ．①③⑤4．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．035．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)·(2n ＋1)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边需增添的代数式是( )A ．2k ＋2B ．2k ＋3C ．2k ＋1D ．(2k ＋2)＋(2k ＋3)6．如果命题p (n )对n ＝k (k ∈N *)成立，则它对n ＝k ＋2也成立．若p (n )对n ＝2成立，则下列结论正确的是( )A ．p (n )对所有正整数n 都成立B ．p (n )对所有正偶数n 都成立C ．p (n )对所有正奇数n 都成立D ．p (n )对所有自然数n 都成立7．凸n 多边形有f (n )条对角线，则凸(n ＋1)边形的对角线的条数f (n ＋1)为( )A ．f (n )＋n ＋1B ．f (n )＋nC ．f (n )＋n －1D ．f (n )＋n －28．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是( )A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3时正确(其中k ∈N *)B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1时正确(其中k ∈N *)C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1时正确(其中k ∈N *)D ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋2时正确(其中k ∈N *)9．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( ) A.1（n －1）（n ＋1） B.12n （2n ＋1）C.1（2n －1）（2n ＋1）D.1（2n ＋1）（2n ＋2）10．(2014·高考山东卷)用反证法证明命题：“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根11．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<012．用反证法证明命题“a ，b ∈R ，ab 可以被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是________．13．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则a ，b 应满足的条件是__________．14．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．15．(2015·贵州省六校联考)在平面几何中：△ABC 的∠C 内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC ＝AE BE.把这个结论类比到空间：在三棱锥A -BCD 中(如图)DEC 平分二面角A -CD -B 且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是________．8．观察下列不等式：1＋122＜32， 1＋122＋132＜53， 1＋122＋132＋142＜74， …照此规律，第五个不等式为________________．。

课题:复习课一、教学目标：1．了解本章知识结构。

2．进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。

课题:数学归纳法3．认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能力。

二、教学重点：进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。

难点：认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能力三、教学过程： 【创设情境】 一、知识结构：【探索研究】我们从逻辑上分析归纳、类比、演绎的推理形式及特点；揭示了分析法、综合法、数学归纳法和反证法的思维过程及特点。

通过学习，进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。

【例题评析】例1：如图第n 个图形是由正ｎ＋２边形“扩展”而来,（ｎ＝１，２，３，…）。

则第n －2个图形中共有________个顶点。

推理与证明推理证明合情推理演绎推理直接证明间接证明 类比推理归纳推理 分析法 综合法反证法数学归纳体会常用的思维模式和证明方法。

【反馈练习】1．（2005辽宁）在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立， 则 A ．11<<-a B ．20<<aC．2321<<-aD ．2123<<-a 2．定义A*B ，B*C ，C*D ，D*B 分别对应下列图形那么下列图形中可以表示A*D ，A*C 的分别是 ( ) A ．（1）、（2） B ．（2）、（3） C ．（2）、（4） D ．（1）、（4）3 已知f (n )=(2n +7)·3n +9,存在自然数m ,使得对任意n ∈N ,都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( )A 30B 26C 36D 6 解析 ∵f (1)=36,f (2)=108=3×36,f (3)=360=10×36 ∴f (1),f (2),f (3)能被36整除，猜想f (n )能被36整除 证明 n =1,2时，由上得证，设n =k (k ≥2)时， f (k )=(2k +7)·3k +9能被36整除，则n =k +1时，f (k +1)－f (k )=(2k +9)·3k +1－(2k +7)·3k =(6k +27)·3k －(2k +7)·3k=(4k +20)·3k =36(k +5)·3k －2(k ≥2) ⇒f (k +1)能被36整除 ∵f (1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m 值等于36 4 已知数列{b n }是等差数列，b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145 (1)求数列{b n }的通项公式b n ;(2)设数列{a n }的通项a n =log a (1+nb 1)(其中a ＞0且a ≠1)记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与31log a b n +1的大小，并证明你的结论 解 (1) 设数列{b n }的公差为d ,（1） （2） （3） （4） （1） （2） （3） （4）由题意得⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+=311452)110(10101111d b d b b ,∴b n =3n －2 (2)证明 由b n =3n －2知S n =log a (1+1)+log a (1+41)+…+log a (1+231-n ) =log a ［(1+1)(1+41)…(1+ 231-n )］ 而31log a b n +1=log a 313+n ,于是，比较S n 与31log a b n +1的大小 ⇔比较(1+1)(1+41)…(1+231-n )与313+n 的大小取n =1，有(1+1)=33311348+⋅=> 取n =2，有(1+1)(1+33312378)41+⨯=>>推测 (1+1)(1+41)…(1+231-n )＞313+n (*) ①当n =1时，已验证(*)式成立②假设n =k (k ≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+41)…(1+231-k )＞313+k则当n =k +1时，)1311(13)2)1(311)(2311()411)(11(3+++>-++-+++k k k k3131323+++=k k k333332(31)(34)31k k k k ++-++3222(32)(34)(31)940(31)(31)k k k k k k +-+++==>++33331(32)343(1)131k k k k k +∴+>+=+++31)1(3)1311)(2311()411)(11(++>-+-+++k k k 从而,即当n =k +1时，(*)式成立由①②知，(*)式对任意正整数n 都成立于是，当a ＞1时，S n ＞31log a b n +1,当 0＜a ＜1时，S n ＜31log a b n +1【课外作业】《课标检测》。