北师大版选修1-2高中数学第3章《推理与证明》3.3综合法和分析法(3)导学案

第3课时综合法与分析法1.结合已经学过的实例,了解直接证明的方法——综合法与分析法,知道综合法与分析法的思考过程和特点.2.通过对综合法与分析法的学习,体会数学思维的严密性、抽象性、科学性,养成缜密思维的习惯.3.通过综合法和分析法的学习,体会这两种方法相辅相成、辩证统一的关系.重点:会用综合法、分析法证明问题,了解综合法、分析法的思考过程.难点:根据问题的特点,结合综合法、分析法的思考过程及特点,选择适当的证明方法.我们都学过韦达定理.若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)的两个根,则有x1+x2=-,x1x2=.那么韦达定理要如何证明呢?问题1:综合法一般地,从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发,经过一系列推理论证,推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法.综合法是中学数学证明中最常用的方法,它是从已知到未知,从题设到结论的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证的命题.问题2:分析法的特点分析法的思维特点是执果索因,即从结论逐步挖掘已知.问题3:用框图表示综合法与分析法的证明过程(1)综合法可用框图表示为:(用P表示已知条件,已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论)(2)若用Q表示要证明的结论,分析法可用框图表示为:问题4:分析法与综合法的联系与区别分析法与综合法是两种思路相反的推理方法.分析法是倒溯,综合法是顺推,二者各有优缺点,分析法容易探路,且探路与表述合一,缺点是表述过程容易出错.综合法条理清晰,易于表述,但思路不太好想.因此将二者交互使用,互补优缺点形成分析综合法,其逻辑基础是充分条件与必要条件,也就是用分析法寻找解题思路,用综合法加以表述.费马大定理,又被称为“费马最后的定理”,由法国数学家费马提出.他断言:当整数n > 2时,关于x, y, z的方程x n+y n=z n没有正整数解.该定理被提出后,历经三百多年的历史,最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明.1.下列说法不正确的是( ).A.综合法是由因导果的顺推证法B.分析法是执果索因的逆推证法C.综合法与分析法都是直接证法D.综合法与分析法在同一题的证明中不可能同时采用【答案】D2.已知m>1,a=-,b=-,则以下结论正确的是( ).A.a>bB.a<bC.a=bD.a,b的大小不定【解析】要比较a,b的大小,即比较-与-的大小,即比较+与2的大小,即比较2m+2与4m的大小,因为2m+2<2m+2m=4m,所以a<b.【答案】B3.已知a,b是不相等的正数,x=,y=,则x,y的大小关系是.【解析】y2=()2=a+b>=x2,即x<y.【答案】x<y4.设a>0,f(x)=+是R上的偶函数,求a的值.【解析】∵f(x)是R上的偶函数,∴f(-x)=f(x),∴(a-)(e x-)=0对于一切x∈R成立,由此得a-=0,即a2=1,又a>0,∴a=1.综合法的应用如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.(1)证明:CD⊥AE,(2)证明:PD⊥平面ABE.【方法指导】解答本题可先明确线线、线面垂直的判定及性质定理,再用定理进行证明.【解析】(1)在四棱锥P-ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD,∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC,而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA,。

学习资料§3 综合法与分析法授课提示：对应学生用书第22页[自主梳理]一、综合法的定义从命题的________出发,利用________、________、________及________，通过________一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明，这种思维方法称为综合法．二、综合法证明的思维过程用P 表示已知条件、已知的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法的思维过程可用框图表示为:错误!→错误!→错误!→…→错误!三、分析法的定义从________出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的________，直到归结为这个命题的______，或者归结为________、________、________等，这种思维方法称为分析法．四、分析法证明的思维过程用Q 表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图表示为： Q ⇐P 1→错误!→错误!→…→错误![双基自测］1．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x，若f （a )＝b ，则f (－a ）等于( ) A ．b B ．－b C.错误! D ．－错误!2．已知a 、b 是不相等的正数，x ＝错误!，y ＝错误!，则x 、y 的关系是( ）A ．x 〉yB ．x 〈yC ．x >2yD ．不确定3．验证错误!－错误!<错误!－错误!,只需要证（ )A ．(错误!－错误!)2〈（错误!－错误!)2B ．（错误!－错误!）2<（错误!－错误!）2C ．(2＋错误!)2〈（错误!＋错误!)2D ．（错误!－错误!－错误!)2<(－错误!)24．在△ABC 中，tan A tan B 〉1,则△ABC 是( ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定5．若a 错误!＋b 错误!〉a 错误!＋b 错误!,则实数a ，b 应满足的条件是________．[自主梳理］一、条件 定义 公理 定理 运算法则 演绎推理 三、求证的结论 充分条件 条件 定义 公理 定理［双基自测］1．B f (－a )＝lg 1＋a 1－a＝lg （错误!)－1＝－lg 错误!＝－f （a ）＝－b . 2．B ∵x >0，y 〉0，∴要比较x 、y 的大小,只需比较x 2、y 2的大小，即比较错误!与a ＋b 的大小．∵a 、b 为不相等的正数，∴2ab 〈a ＋b 。

两种证明诠释一、知识解析 1．直接证明（1）定义：直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明．（2）一般形式：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫已知定理已知公理已知定义本题条件⇒…⇒本题结论．（3）常用方法：常用的直接证明的方法包括综合法、分析法，后面要学习的数学归纳法也是直接证明的一种常用方法．①综合法：从已经条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法．综合法的一般形式：已知条件⇒…⇒…⇒结论．②分析法：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上推，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法常称为分析法．分析法的一般形式：结论⇐…⇐…⇐已知条件． 2．间接证明（1）定义：不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种不是直接证明的方法通常称为间接证明．（2）常用方法：常用的间接证明的方法包括反证法、同一法、枚举法等。

我们这里重点加以分析反证法．（3）反证法①定义：从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定（即肯定原命题）的过程，这种证明方法称为反证法．②一般形式：“否定——推理——否定”． ③证明命题“若p 则q ”的反证法过程：肯定条件p 否定结论q →导致逻辑矛盾→“p 且q ⌝”为假→“若p 则q ”为真． 二、学法剖析1．证明与推理的关系密切但不等同．证明过程一定是推理过程，而且通常为演绎推理过程．合情推理主要用于证明；推理未必用于证明，还可以用于计算．2．数学证明是引用公理、定理等已知的真命题来确定某一命题正确性的一种思维形式．要证明一个命题为真，可以直接从原命题入手，也可以间接地从它的等价命题入手，因此证明的方法可以分为直接证明和间接证明．3．分析法和综合法各有优劣．分析法解题方向比较明确，利于寻找解题思路；综合法条理清晰，宜于表述．分析法是从“未知”看“需知”，逐步靠拢已知，可谓执果索因，常常跟底渐近，因而更容易成功；而综合法是从“已知”看“可知”逐步推向“未知”，可谓由因导果，但过程往往节枝横生，不易奏效．但就论述形式而言，综合法较分析法要简洁得多．因此在数学证明时，常先用分析法理清已知与求证之间的联系，再用综合法写出来．在实际解题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程．。

3.1归纳与类比归纳推理教材依据“归纳推理”是北京师范大学出版社出版的普通中学课程标准实验教科书数学（选修1－2）第三章第一节的内容。

教学目标：1.知识与技能目标：理解归纳推理的原理，并能运用解决一些简单的问题。

2.过程与方法目标：通过自主、合作与探究实现“一切以学生为中心”的理念。

3.情感、态度与价值观：感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。

教学重点：归纳推理的原理教学难点：归纳推理的具体应用。

教法学法：自主、合作探究教学教学准备：多媒体电脑、课件、空间多面体模型等教学过程：1.创设情景：1．情景㈠：苹果落地的故事，正是基于这个发现，牛顿大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“万有引力定理”思考：整个过程对你有什么启发？教师：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。

2．情景㈡：陈景润和他在“歌德巴赫猜想”证明中的伟大成就：任何一个大于4的偶数都可以写成两个奇素数之和。

如：6＝3+3，8＝3+5，10＝5+5, 12＝5+7，14＝7+7， 16＝5+11,…，1000＝29＋971，1002＝139＋863，……2.探求研究:探究1．学生根据自备的多面体进行观察，统计多面体的面数、顶点数和棱数；（学生实验与教师课件演示结合）探究2．观察、猜想它们之间是否有稳定的数量关系？探究3．整理所得结论，并尝试证明；若得证，则改写成定理，否则修改猜想，进一步尝试证明。

教师指导，合作交流，归纳：22V V V =棱柱棱台棱锥＝－，32E E E =棱柱棱台棱锥＝，1F F F 棱柱棱台棱锥＝＝＋，F+V-E=2等等，其中“F+V -E=2”为“欧拉公式”。

3.概念讲解结合情景问题和探究过程所得，教师引导学生完成归纳推理的概念及分析。

定义：根据一类事物的部分事物具有某种属性,推断该类事物的每一个都具有这种属性的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).说明：⑴归纳推理的作用：发现新事实，获得新结论；(2)归纳推理的一般步骤：试验、观察→概括、推广→猜测一般性结论→证明；⑶归纳推理的结论不一定成立。

§3 综合法与分析法1．了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法．2．了解综合法和分析法的思考过程与特点，能熟练运用综合法和分析法证明命题．1．综合法从命题的______出发，利用______________________，通过______推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明．我们把这样一种思维方法称为________．【做一做1】 已知p ＝a ＋1a －2(a ＞2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a ＞2)，则( )． A ．p ＞q B ．p ＜qC ．p ≥qD ．p ≤q2．分析法从求证的______出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的______条件，直到归结为这个命题的______，或者归结为__________________等．我们把这样一种思维方法称为________．综合法：(1)综合法是“由因到果”，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．(2)综合法格式——从已知条件出发，顺着推证，由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步推出求证的结论，这就是顺推法的格式，它的常见书面表达式是“∵，∴”或“⇒”．分析法：(1)分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件，因此分析法又叫作逆证法或执果索因法．(2)分析法格式——与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．这种证明方法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的，它的常见书写表达式是“要证明……需要证明……”或“⇐”．【做一做2】 已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( )． A ．bB ．－b C.1b D ．－1b答案：1．条件 定义、公理、定理及运算法则 演绎 综合法【做一做1】 A ∵a ＞2，∴p ＝a ＋1a －2 ＝a －2＋1a －2＋2≥2＋2＝4. 而－a 2＋4a －2＝－(a －2)2＋2＜2，∴q ＝2－a 2＋4a －2＜4.∴p ＞q .2．结论 充分 条件 定义、公理、定理 分析法【做一做2】 B f (－a )＝lg 1＋a 1－a ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 1＋a －1 ＝－lg 1－a 1＋a＝－f (a )＝－b .1．如何选择综合法或分析法证明不等式？剖析：(1)综合法是证明不等式的最基本、最常用的方法，由条件或一些重要不等式入手，难度不大的不等式证明多直接采用综合法，但对于比较复杂的不等式的证明还需要结合分析法等其他方法及技巧才能完成．(2)对于一些条件复杂、结论简单的等式或不等式的证明经常用综合法；对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明常用分析法．2．用分析法证题时过程的写法剖析：(1)证明不等式时往往误用分析法，把“逆求”作“逆推”，分析法过程没有必要“步步可逆”，仅需寻求充分条件即可，而不是充要条件．(2)用分析法证明时，要正确使用一些联结关联词，如“要证明”“只需证明”“即证”等．题型一 用综合法证明不等式【例题1】 已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝1，求证： ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥9. 分析：观察要证明的不等式，可以由条件入手，将x ＋y ＝1代入要证明的不等式，用综合法可证；也可从基本不等式入手，用综合法证明不等式．反思：用综合法证明不等式时，可以从条件出发，也可以从基本不等式出发，通过换元、拼凑等方法构造定值，但若连续两次或两次以上利用基本不等式，需要注意几次利用基本不等式时等号成立的条件是否相同．题型二 用分析法证明不等式【例题2】 已知a ＞b ＞0，求证：a －b 28a ＜a ＋b 2－ab ＜a －b 28b .分析：本题条件较为简单，结论比较复杂，我们可以从要证的结论入手，一步步探求结论成立的充分条件，即用分析法．反思：由于题目中条件比较简单，结论比较复杂，用综合法比较困难，可以从结论出发，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件．题型三 用分析法探索命题成立的条件【例题3】 给出一个不等式x 2＋1＋c x 2＋c ≥1＋c c(x ∈R )，经验证：当c ＝1,2,3时，对于x 取一切实数，不等式都成立．试问：当c 取任何正数时，不等式对任何实数x 是否都成立？若能成立，请给出证明；若不成立，请求出c 的取值范围，使不等式对任何实数x 都能成立．反思：探索性问题，可以探索条件，探索结论，探索方法，而分析法是用来探索条件的重要手段．答案：【例题1】 证法1：∵x ＋y ＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋y x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋x ＋y y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x y ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y . 又∵x ＞0，y ＞0，∴y x ＞0，x y ＞0.∴y x ＋x y≥2， 当且仅当y x ＝x y ，即x ＝y ＝12时取等号． 则有⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥5＋2×2＝9成立． 证法2：∵x ＞0，y ＞0,1＝x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y ＝12时取等号，∴xy ≤14. 则有⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ＝1＋1x ＋1y ＋1xy ＝1＋x ＋y xy＋1xy ＝1＋2xy ≥1＋8＝9成立． 【例题2】 证明：因为a ＞b ＞0， 所以要证a －b 28a ＜a ＋b 2－ab ＜a －b 28b成立， 即证a －b 24a ＜(a －b )2＜a －b 24b成立． 只需证a －b 2a ＜a －b ＜a －b 2b成立． 只需证a ＋b 2a ＜1＜a ＋b 2b成立， 即证a ＋b ＜2a 且a ＋b ＞2b ， 即b ＜a .∵a ＞b ＞0，∴b ＜a 成立．∴a －b 28a ＜a ＋b 2－ab ＜a －b 28b成立． 【例题3】 解：不成立．设f (x )＝x 2＋1＋c x 2＋c， 令μ＝x 2＋c ，则μ≥c ，则f (x )＝μ＋1μ(μ≥c )， ∴f (x )－c ＋1c ＝μ＋1μ－c ＋1c＝c μ＋－μc ＋μc ＝c μ－μ－c μc .∴要使不等式x 2＋1＋c x 2＋c ≥1＋c c对任何实数x 都成立，即f (x )－c ＋1c ≥0成立．∵μ≥c ， ∴只需c μ－1≥0，即c μ≥1.∴μ≥1c (c ＞0)，也就是x 2＋c ≥1c ，即x 2≥1c－c 对任意的x 都成立． ∴只需1c－c ≤0，又c ＞0，∴c ≥1时原不等式对一切实数x 都能成立．1设函数y ＝f (x )(x ∈R )的图像关于直线x ＝0及直线x ＝1对称，且x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-23f 等于( )． A.21 B.41 C.43 D.49 答案：B 由于函数f (x )的图像关于直线x ＝0及直线x ＝1对称，所以函数f (x )是偶函数，且f (1＋a )＝f (1－a )，所以要求)23(-f ，只需求出)23(f ，即求)211(+f ，而)211(+f ＝)211(-f ，即求⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ，而4121212=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛f .此题用了综合法与分析法相结合的方法． 2已知a ，b 是不相等的正数，2b a x +=，b a y +=，则x ，y 的关系是( )． A ．x ＞y B ．x ＜y C ．x ＞2y D ．不确定答案：B ∵x ＞0，y ＞0，∴要比较x ，y 的大小，只需比较x 2，y 2的大小，即比较22ab b a ++与a ＋b 的大小． ∵a ，b 为不相等的正数， ∴ab 2＜a ＋b .∴22ab b a ++＜a ＋b ，即x 2＜y 2.∴x ＜y . 3已知不等边三角形的三边按从小到大的顺序排列成等比数列，则公比q 的取值范围是( )．A.215-＜q ＜1 B ．1＜q ＜215+ C. 215-＜q ＜215+ D ．0＜q ＜215+ 答案：B 设三角形的三边长为a ，b ，c ，且a ＜b ＜c ，则b ＝aq ，c ＝aq 2.∴∵a ＞0，∴1＜q ＜251+. 4若sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)＝________. 答案：21-观察已知条件中有三个角α，β，γ，而所求结论中只有两个角α，β，所以我们只需将已知条件中的角γ消去即可，依据sin 2γ＋cos 2γ＝1消去γ.由已知，得sin γ＝－(sin α＋sin β)，cos γ＝－(cos α＋cos β)，∴(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝sin 2γ＋cos 2γ＝1， 化简并整理得cos(α－β)＝21-. 5已知a ＞b ＞c ，求证：c b b a -+-11≥ca -4. 答案：分析：本题中出现的有a －b ，b －c 和a －c ，注意它们之间的关系为a －c ＝(a －b )＋(b －c )，从而解答问题．证明：∵a ＞b ＞c ，∴a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，且a －c ＝(a －b )＋(b －c )． ∴cb c a b a c a --+-- cb c b b a b a c b b a --+-+--+-=)()()()( cb b a b ac b --+--+=2 ≥c b b a b a c b --⋅--+22＝4，当且仅当a －b ＝b －c 时，等号成立． ∴c b b a -+-11≥c a -4成立．。

浅谈分析法与综合法分析与综合的思想方法是高考试题求解（或求证）的基本思想方法之一，许多试题的求解，离不开分析与综合，由于题型不同，解答的要求不同，运用分析与综合思想方法的形式也不同.１. 以分析法为主导求解【例１】已知y=log a（2-ax）在［０，１］上是x的减函数，则a的取值范围是（）.Ａ. （０，１）Ｂ. （１，２）Ｃ. （０，２）Ｄ. ［２，＋∞）解：因为a>0，所以y1=2-ax是减函数.要使y=log a（２－ax）在［０，１］上是减函数，只要a>1，且0≤x≤1，且２－ax>0，只要a>1，且0≤ax≤a，且２－ax>0，只要a>1，且2≥2-ax≥2-a，且２－ax>0，只要a>1，且2-a>0，只要1<a<2，所以选Ｂ.【点评】这里是以分析为主导的解题过程.其中分析过程中也包括综合.如由a>0得y1=2-ax是减函数，及由a>1及0≤x≤1，得2≥2-ax≥2-a.2. 以综合法为主导求解【例2】如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l＝β∩γ，l∥α，mα和m⊥γ，那么必有（）.Ａ. α⊥γ且l⊥mＢ. α⊥γ且m∥βＣ. m∥β且l⊥mＤ. α∥β且α⊥γ【分析】这里也是给出条件，选择由条件得出的结论，显然主要用综合方法求解.所以应选Ａ.【点评】 这里用推理符号“⇒”表示综合推理过程，箭头总是由条件指向结论.本题若用分析方法就比较麻烦，因为要找的结论有四个选项，用分析方法须多次分析.3. 分析、综合两法并用【例3】设ABC △的三条高分别为a b c h h h r ，，，为内切圆半径，且9a b c h h h r ++=．求证该三角形为等边三角形．证明：设三角形三边为a b c ，，，故只需证明a b c ==．2a S h a =∵，2b S h b =，2c S h c=，这里S 为ABC △的面积． 故1112a b c h h h S a b c ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭． 又1()2S a b c r =++∵·，9a b c h h h r ++=， 故有111()9a b c a b c ⎛⎫++++= ⎪⎝⎭． 22222260a b a c b a b c c a c b abc +++++-=∴．将上式分解因式222()()()0a b c b c a c a b -+-+-=．000a b c >>>，，∵ ，222()()()0b c c a a b -=-=-=∴，a b c ==∴，∴ABC △为等边三角形．点评：本题的证明过程既用到了分析法，又用到了综合法．把两种方法有机地结合起来联合使用，使问题得以顺利解决．综合前面几个例题的解题经验可知，一般地，求结论成立的条件时，主要以分析方法为主导求解；由条件探求结论时，主要以综合方法为主导求解.在运用分析方法或综合方法时都要注意分析时适当地综合，综合时适当地分析.。

§3 综合法与分析法学习目标 1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.2.会用综合法、分析法解决问题．知识点一 综合法思考 阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？ 已知a ，b >0，求证：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc . 证明：因为b 2＋c 2≥2bc ，a >0，所以a (b 2＋c 2)≥2abc . 又因为c 2＋a 2≥2ac ，b >0，所以b (c 2＋a 2)≥2abc . 因此a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .答案 利用已知条件a >0，b >0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论． 梳理 综合法的定义及特点(1)定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，我们把这样的思维方法称为综合法． (2)思路：综合法的基本思路是“由因导果”． (3)模式：综合法可以用以下的框图表示P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q其中P 为条件，Q 为结论． 知识点二 分析法思考 阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？ 已知a ，b >0，求证：a ＋b2≥ab .证明：要证a ＋b2≥ab ，只需证a ＋b ≥2ab ， 只需证a ＋b －2ab ≥0， 只需证(a －b )2≥0，因为(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．答案从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件．梳理分析法的定义及特征(1)定义：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法．(2)思路：分析法的基本思路是“执果索因”．(3)模式：若用Q表示要证明的结论，则分析法可以用如下的框图来表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件1．综合法是执果索因的逆推证法．( ×)2．分析法就是从结论推向已知．( ×)3．分析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰好相反，过程相逆．( √)类型一用综合法证明不等式例1 已知a，b，c∈R，且它们互不相等，求证：a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2.考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题证明∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，a4＋c4≥2a2c2，∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)，即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.又∵a，b，c互不相等，∴a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2.反思与感悟 综合法证明问题的步骤：跟踪训练1 已知a ，b ，c 为不全相等的正实数， 求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc>3. 考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题 证明 因为b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc＝b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca－3， 又a ，b ，c 为不全相等的正实数， 而b a ＋a b ≥2，c b ＋b c ≥2，a c ＋c a≥2， 且上述三式等号不能同时成立， 所以b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋c a－3>6－3＝3， 即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc>3. 类型二 分析法的应用例2 设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )． 考点 分析法及应用 题点 分析法解决不等式问题 证明 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 当a ＋b >0时，用分析法证明如下： 要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )，只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22(a ＋b )2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 综上所述，不等式得证．反思与感悟 分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的．它的常见书写表达式是“要证……只需……”或“⇐”．跟踪训练2 设a >b >0，求证：a 2－b 2＋ab －b 2>a (a －b )． 考点 分析法及应用 题点 分析法解决不等式问题证明 因为a >b >0，所以a 2>ab >b 2，所以a 2－ab >0. 要证a 2－b 2＋ab －b 2>a (a －b )，只需证a 2－ab a 2－b 2－ab －b 2>a 2－ab a 2＋ab，只需证a 2－b 2－ab －b 2<a 2＋ab . 又a 2－b 2<a 2＋ab ＋ab －b 2显然成立， 所以a 2－b 2＋ab －b 2>a (a －b )成立． 类型三 分析法与综合法的综合应用例3 △ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，其对边分别为a ，b ，c .求证：(a ＋b )－1＋ (b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1. 考点 分析法和综合法的综合应用 题点 分析法和综合法的综合应用证明 要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1， 即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c ＝3， 即证c a ＋b ＋ab ＋c＝1.即证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 即证c 2＋a 2＝ac ＋b 2.因为△ABC 三个内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°. 由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ca cos60°， 即b 2＝c 2＋a 2－ac .所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立，命题得证． 引申探究本例改为求证a ＋b 1＋a ＋b >c1＋c .证明 要证a ＋b 1＋a ＋b >c1＋c，只需证a ＋b ＋(a ＋b )c >(1＋a ＋b )c ， 即证a ＋b >c . 而a ＋b >c 显然成立，所以a ＋b 1＋a ＋b >c 1＋c.反思与感悟 综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程． 跟踪训练3 已知a ，b ，c 是不全相等的正数，且0<x <1. 求证：log xa ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c .考点 分析法和综合法的综合应用 题点 分析法和综合法的综合应用 证明 要证log x a ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c ，只需证log x ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x(abc )，由已知0<x <1，只需证a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc ， 由公式a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0.又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc 成立．∴log xa ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立.1．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos2θ”的证明过程为：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos2θ”，其应用了( ) A ．分析法 B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．类比法考点 综合法及应用题点 利用综合法解决函数问题 答案 B解析 在证明过程中使用了平方差公式，以及同角的三角函数的关系式，符合综合法的定义，故证明过程使用了综合法．2．要证2－3<6－7成立，只需证( ) A ．(2－3)2<(6－7)2B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2＋7)2<(3＋6)2D ．(2－3－6)2<(－7)2答案 C解析 根据不等式性质，当a >b >0时，才有a 2>b 2， ∴只需证2＋7<6＋3，即证(2＋7)2<(3＋6)2. 3．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝x ＋1，c ＝11－x 中最大的是( )A ．aB ．bC ．cD ．随x 取值不同而不同考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题 答案 C解析 ∵0<x <1，∴b ＝x ＋1>2x >2x ＝a ， ∵11－x －(x ＋1)＝1－(1－x 2)1－x ＝x 21－x >0， ∴c >b >a . 4．已知f (x )＝a (2x ＋1)－22x＋1(x ∈R )是奇函数，那么实数a 的值为________．考点 综合法及应用题点 利用综合法解决函数问题 答案 1 解析 ∵f (x )＝a (2x ＋1)－22x＋1(x ∈R )是奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝a (2－x ＋1)－22－x＋1＋a (2x ＋1)－22x＋1＝0，∴a ＝1.5．已知a ，b ，c 都为正实数，求证：a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3.考点 分析法及应用 题点 分析法解决不等式问题 证明 要证a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3，只需证a 2＋b 2＋c 23≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 32，只需证3(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ， 只需证2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＋2ca ， 只需证(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≥0， 而这是显然成立的， 所以a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3成立．1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因． 2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语． 3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用.一、选择题1．用分析法证明：欲使①A >B ，只需②C <D .这里①是②的( ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 考点 分析法及应用题点 寻找结论成立的充分条件 答案 B解析 分析法证明的本质是证明使结论成立的充分条件成立，即②⇒①，所以①是②的必要条件．故选B.2．若实数x ，y 满足不等式xy >1，x ＋y ≥0，则( ) A ．x >0，y >0 B ．x <0，y <0 C ．x >0，y <0 D ．x <0，y >0考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，xy >1，得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0.3．下列函数中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( ) A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)考点 综合法及应用题点 利用综合法解决函数问题 答案 A解析 由题意得，f (x )在区间(0，＋∞)上是减少的，只有f (x )＝1x符合要求．4．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只需证( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0 考点 分析法及应用题点 寻找结论成立的充分条件 答案 D解析 要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0， 只需证a 2b 2－(a 2＋b 2)＋1≥0， 即证(a 2－1)(b 2－1)≥0.5．在非等边三角形ABC 中，A 为钝角，则三边a ，b ，c 满足的条件是( ) A ．b 2＋c 2≥a 2B ．b 2＋c 2>a 2C ．b 2＋c 2≤a 2D ．b 2＋c 2<a 2考点 综合法及应用题点 利用综合法解决三角形问题 答案 D解析 由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∵A 为钝角，∴cos A <0，则b 2＋c 2<a 2.6．若A ，B 为△ABC 的内角，则A >B 是sin A >sin B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 考点 综合法及应用题点 利用综合法解决三角形问题 答案 C解析 由正弦定理得a sin A ＝bsin B＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)，又A ，B 为三角形的内角， ∴sin A >0，sin B >0，∴sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B . 7．设a ，b >0，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( ) A ．1≤ab ≤a 2＋b 22 B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1D.a 2＋b 22<ab <1考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题 答案 B解析 因为a ≠b ，故a 2＋b 22>ab ，又因为a ＋b ＝2>2ab ， 故ab <1，a 2＋b 22＝(a ＋b )2－2ab2＝2－ab >1，即a 2＋b 22>1>ab .8．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )是减少的．若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( ) A ．恒为负 B ．恒等于零 C ．恒为正D ．无法确定正负考点 综合法及应用题点 利用综合法解决函数问题 答案 A解析 由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )是减少的，可知f (x )在R 上是减少的．由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2， 所以f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)， 所以f (x 1)＋f (x 2)<0. 二、填空题9．“已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1≥8”的证明过程如下：∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c>0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ab abc＝8， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴不等式成立．这种证法是________．(填“综合法”或“分析法”)考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题答案 综合法解析 本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种方法是综合法． 10．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则正数a ，b 应满足的条件是________．考点 分析法及应用题点 寻找结论成立的充分条件答案 a ≠b解析 ∵a a ＋b b －(a b ＋b a )＝a (a －b )＋b (b －a )＝(a －b )(a －b )＝(a －b )2(a ＋b )．∴只要a ≠b ，就有a a ＋b b >a b ＋b a .11．设a ≥0，b ≥0，a 2＋b 22＝1，则a ·1＋b 2的最大值为________． 考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题 答案 324解析 a ·1＋b 2＝2a ·12＋b 22≤22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋12＋b 22＝324，当且仅当a 2＝12＋b 22且a 2＋b 22＝1，即a ＝32，b ＝22时，等号成立． 三、解答题12．已知n ∈N ＋，且n ≥2，求证：1n >n －n －1.考点 分析法及应用题点 分析法解决不等式问题证明 要证1n >n －n －1， 即证1>n －n (n －1)，只需证n (n －1)>n －1.∵n ≥2，∴只需证n (n －1)>(n －1)2，只需证n >n －1，该不等式显然成立，故原不等式成立．13．(1)用分析法证明：当a >2时，a ＋2＋a －2<2a ；(2)设a ，b 是两个不相等的正数，且1a ＋1b＝1，用综合法证明：a ＋b >4. 考点 分析法和综合法的综合应用题点 分析法和综合法的综合应用 证明 (1)要证a ＋2＋a －2<2a ，只需证(a ＋2＋a －2)2<(2a )2，只需证2a ＋2a 2－4<4a ，只需证a 2－4<a .∵a 2－4<a 2显然成立，∴a 2－4<a 成立，∴a ＋2＋a －2<2a 成立．(2)∵a >0，b >0，且a ≠b ， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝1＋1＋b a ＋a b >2＋2b a ·a b＝4， ∴a ＋b >4.四、探究与拓展14．若不等式(－1)n a <2＋(－1)n ＋1n 对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是________．考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，32 解析 当n 为偶数时，a <2－1n ， 而2－1n ≥2－12＝32，所以a <32；当n 为奇数时，a >－2－1n， 而－2－1n<－2，所以a ≥－2. 综上可得，－2≤a <32. 15．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题证明 由A ，B ，C 成等差数列，得2B ＝A ＋C .①由于A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，所以A ＋B ＋C ＝π.②由①②，得B ＝π3.③ 由a ，b ，c 成等比数列，得b 2＝ac ，④由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0，从而a ＝c ，所以A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3，所以△ABC 为等边三角形． 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

陕西省榆林育才中学高中数学第3章《推理与证明》3.3综合法和分析法（2）导学案（无答案）北师大版选修1-2学习目标.2. 根据问题的特点，结合分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.学习过程一、课前准备48 P50，找出疑惑之处）复习1：综合法是由导 ;复习2：基本不等式:新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.反思：框图表示要点：逆推证法；执果索因※典型例题例13526变式：求证3725<小结：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径.例2 在四面体S ABC -中,,SA ABC AB BC ⊥⊥面,过A 作SB 的垂线,垂足为E ,过E 作SC 的垂线,垂足为F ,求证AF SC ⊥.变式：设,,a b c 为一个三角形的三边,1()2s a b c =++,且22s ab =,试证2s a <.小结：用题设不易切入,要注意用分析法来解决问题.※动手试试练1. 求证:当一个圆和一个正方形的周长相等时,圆的面积比正方形的面积大.练2. 设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：2224--+≥c a b ab三、总结提升※学习小结,P P⋅⋅⋅，直到所有的分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知12,已知P都成立.※知识拓展证明过程中分析法和综合法的区别:在综合法中,每个推理都必须是正确的,每个推论都应是前面一个论断的必然结果,因此语气必须是肯定的.分析法中,首先结论成立,依据假定寻找结论成立的条件，这样从结论一直到已知条件.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 可选择的方法有以下几种,其中最合理的是 A.综合法 B.分析法 C.反证法 D. 归纳法2.不等式①233x x +>;②2b a a b+≥,其中恒成立的是 A.① B.② C.①② D.都不正确2. 设,a b R +∈,且a b ≠,求证:3322a b a b ab +>+。

3.1 综合法学习目标核心素养1.了解综合法的思考过程、特点．(重点) 2．会用综合法证明数学命题．(难点)1.通过对综合法概念和思维过程的理解的学习，培养逻辑推理的核心素养．2．通过对综合法应用的学习，提升逻辑推理和数学建模的核心素养.1．综合法的定义从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法那么，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这种思维方法称为综合法．2．综合法证明的思维过程用P表示条件、的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，那么综合法的思维过程可用框图表示为：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q思考：综合法的证明过程属于什么思维方式？[提示] 综合法是由因导果的顺推思维．1．综合法是从条件、定义、定理、公理出发，寻求命题成立的( )A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案] B2．在△ABC中，假设sin A sin B<cos A cos B，那么△ABC一定是( )A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形C[由条件可知cos A cos B－sin A sin B＝cos(A＋B)＝－cos C>0，即cos C<0，∴C为钝角，故△ABC一定是钝角三角形．]3．命题“函数f(x)＝x－x ln x在区间(0,1)上是增函数〞的证明过程“对函数f(x)＝x －x ln x求导，得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln x>0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数〞，应用了________的证明方法．综合法[证明过程符合综合法的证题特点，故为综合法．]用综合法证明三角问题【例1】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .(1)求证：A 的大小为60°；(2)假设sin B ＋sin C ＝ 3.证明：△ABC 为等边三角形．思路点拨：(1)利用正弦定理将角与边互化，然后利用余弦定理求A . (2)结合(1)中A 的大小利用三角恒等变形证明A ＝B ＝C ＝60°. [证明] (1)由2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ， 得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ， 即bc ＝b 2＋c 2－a 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝60°.(2)由A ＋B ＋C ＝180°，得B ＋C ＝120°，由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3， sin B ＋(sin 120°cos B －cos 120°sin B )＝3， 32sin B ＋32cos B ＝3， 即sin(B ＋30°)＝1. 因为0°<B <120°， 所以30°<B ＋30°<150°， 所以B ＋30°＝90°，即B ＝60°， 所以A ＝B ＝C ＝60°， 即△ABC 为等边三角形．证明三角等式的主要依据1．三角函数的定义、诱导公式及同角根本关系式． 2．和、差、倍角的三角函数公式．3．三角形中的三角函数及三角形内角和定理． 4．正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式．1．假设sin θ，sin α，cos θ成等差数列，sin θ，sin β，cos θ成等比数列，求证：2cos 2α＝cos 2β.[证明] ∵sin θ，sin α，cos θ成等差数列， ∴sin θ＋cos θ＝2sin α①又∵sin θ，sin β，cos θ成等比数列， ∴sin 2β＝sin θcos θ②将②代入①2，得1＋2sin 2β＝4sin 2α， 又sin 2 β＝1－cos 2β2，sin 2α＝1－cos 2α2，∴1＋1－cos 2β＝2－2cos 2α， 即2cos 2α＝cos 2β. 用综合法证明几何问题【例2】 如图，在四面体B ­ACD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，E ，F 分别是AB ，BD 的中点．求证：(1)直线EF ∥平面ACD ； (2)平面EFC ⊥平面BCD .思路探究：(1)依据线面平行的判定定理，欲证明直线EF ∥平面ACD ，只需在平面ACD 内找出一条直线和直线EF 平行即可；(2)根据面面垂直的判定定理，欲证明平面EFC ⊥平面BCD ，只需在其中一个平面内找出一条另一个面的垂线即可．[证明] (1)因为E ，F 分别是AB ，BD 的中点，所以EF 是△ABD 的中位线，所以EF ∥AD ，又E F ⃘平面ACD ，AD 平面ACD ，所以直线EF ∥平面ACD .(2)因为AD ⊥BD ，EF ∥AD ，所以EF ⊥BD .因为CB ＝CD ，F 是BD 的中点，所以CF ⊥BD .又EF ∩CF ＝F ，所以BD ⊥平面EFC . 因为BD 平面BCD ，所以平面EFC ⊥平面BCD .证明空间位置关系的一般模式此题是综合运用条件和相关的空间位置关系的判定定理来证明的，故证明空间位置关系问题，也是综合法的一个典型应用．在证明过程中，语言转化是主旋律，转化途径为把符号语言转化为图形语言或文字语言转化为符号语言．这也是证明空间位置关系问题的一般模式．2．如图，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝a ，AB ＝2a ，E ，F 分别为C 1D 1，A 1D 1的中点．(1)求证：DE ⊥平面BCE ； (2)求证：AF ∥平面BDE . [证明](1)∵BC ⊥侧面CDD 1C 1，DE 侧面CDD 1C 1，∴DE ⊥BC .在△CDE 中，CD ＝2a ，CE ＝DE ＝2a ，那么有CD 2＝DE 2＋CE 2， ∴∠DEC ＝90°，∴DE ⊥EC . 又∵BC ∩EC ＝C ，∴DE ⊥平面BCE .(2)连接EF ，A 1C 1，设AC 交BD 于点O ，连接EO ， ∵EF 綊12A 1C 1，AO 綊12A 1C 1，∴EF 綊AO ，∴四边形AOEF 是平行四边形， ∴AF ∥OE .又∵OE 平面BDE ，A F ⃘平面BDE ， ∴AF ∥平面BDE . 用综合法证明不等式[探究问题]1．综合法证明不等式的主要依据有哪些？ [提示] (1)a 2≥0(a ∈R )．(2)a 2＋b 2≥2ab ，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab ，a 2＋b 2≥(a ＋b )22.(3)a ，b ∈(0，＋∞)，那么a ＋b2≥ab ，特别地，b a ＋ab≥2.(4)a －b ≥0⇔a ≥b ；a －b ≤0⇔a ≤b .(5)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . (6)b a ＋a b≥2(a ，b 同号，即ab >0)．(7)||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R )．左边等号成立的条件是ab ≤0，右边等号成立的条件是ab ≥0. 2．使用根本不等式证明不等式时，应该注意什么？请举例说明．[提示] 使用根本不等式时，要注意①“一正、二定、三相等〞；②不等式的方向性；③不等式的适度，如下例．[题] ，a ，b ∈(0，＋∞)，求证：a b ＋b a ≥a ＋b .假设直接使用根本不等式，a b＋ba ≥2ab ·b a＝24ab ，而a ＋b ≥24ab .从而达不到证明的目的，没掌握好“度〞，正确的证法应该是这样的：[证明] ∵a >0，b >0， ∴a b ＋b ≥2a ，ba ＋a ≥2b ， ∴a b ＋b ＋ba ＋a ≥2a ＋2b ， 即a b ＋ba≥a ＋b . 【例3】 x >0，y >0，x ＋y ＝1，求证：⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥9.思路探究：解答此题可由条件出发，结合根本不等式利用综合法证明． [证明] 法一：因为x >0，y >0,1＝x ＋y ≥2xy ， 所以xy ≤14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ＝1＋1x ＋1y ＋1xy＝1＋x ＋y xy ＋1xy ＝1＋2xy≥1＋8＝9. 法二：因为1＝x ＋y ，所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1y ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋x ＋y x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋x ＋y y ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋y x ⎝⎛⎭⎪⎫2＋x y ＝5＋2⎝⎛⎭⎪⎫x y ＋yx .又因为x >0，y >0，所以x y ＋yx≥2，当且仅当x ＝y 时，取“＝〞．所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥5＋2×2＝9.1．本例条件不变，求证：1x ＋1y≥4.[证明] 法一：因为x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝1， 所以x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y 时，取“＝〞， 所以xy ≤12，即xy ≤14，所以1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝1xy≥4.法二：因为x ，y ∈(0，＋∞)，所以x ＋y ≥2xy >0，当且仅当x ＝y 时，取“＝〞， 1x ＋1y≥21xy >0，当且仅当1x ＝1y时，取“＝〞，所以(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥4.又x ＋y ＝1，所以1x ＋1y≥4.法三：因为x ，y ∈(0，＋∞)，所以1x ＋1y ＝x ＋y x ＋x ＋yy＝1＋y x ＋xy ＋1≥2＋2x y ·yx＝4， 当且仅当x ＝y 时，取“＝〞．2．把本例条件改为“a >0，b >0，c >0”且a ＋b ＋c ＝1，求证：ab ＋bc ＋ac ≤13.[证明] ∵a >0，b >0，c >0， ∴a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ， a 2＋c 2≥2ac .∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .∴(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≥3(ab ＋bc ＋ac )． 又∵a ＋b ＋c ＝1，∴ab ＋bc ＋ac ≤13.综合法的证明步骤1．分析条件，选择方向：确定条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等． 2．转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程． 特别地，根据题目特点选取适宜的证法可以简化解题过程．1．综合法的根本思路综合法的根本思路是“由因导果〞，由走向求证，即从数学命题的条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后得到待证结论．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．2．综合法的特点(1)从“〞看“可知〞，逐步推向“未知〞，由因导果，逐步推理，寻找它的必要条件． (2)证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，易于表达推理的思维轨迹．(3)由综合法证明命题“假设A ，那么D 〞的思考过程如下图：1．判断正误(1)综合法是由因导果的顺推证法．( ) (2)综合法证明的依据是三段论．( )(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件．( ) [提示] (1)正确．由综合法的定义可知该说法正确． (2)正确．综合法的逻辑依据是三段论．(3)正确．综合法从“〞看“可知〞，逐步推出“未知〞，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．[答案] (1)√ (2)√ (3)√2．直线l ，m ，平面α，β，且l ⊥α，m β，给出以下四个命题：①假设α∥β，那么l ⊥m ；②假设l ⊥m ，那么α∥β；③假设α⊥β，那么l ⊥m ；④假设l ∥m ，那么α⊥β.其中正确的命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4B [假设l ⊥α，α∥β，那么l ⊥β，又m β，所以l ⊥m ，①正确； 假设l ⊥α，m β，l ⊥m ，α与β可能相交，②不正确； 假设l ⊥α，m β，α⊥β，l 与m 可能平行，③不正确； 假设l ⊥α，l ∥m ，那么m ⊥α，又m β，所以α⊥β，④正确．] 3．p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a >2)，那么p 与q 的大小关系是________． p >q [p ＝a －2＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4， －a 2＋4a －2＝2－(a －2)2<2，∴q <22＝4≤p .] 4．数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ＝1,2,3，…)．求证： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等比数列；(2)S n ＋1＝4a n . [证明] (1)∵a n ＋1＝n ＋2nS n ，而a n ＋1＝S n ＋1－S n ， ∴n ＋2nS n ＝S n ＋1－S n ， ∴S n ＋1＝2(n ＋1)nS n ，∴S n ＋1n ＋1S n n＝2，又∵a 1＝1， ∴S 1＝1，∴S 11＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为1，公比为2的等比数列．(2)由(1)知⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公比为2，而a n ＝n ＋1n －1S n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1n ＋1＝4S n －1n －1＝4n －1·a n (n －1)n ＋1， ∴S n ＋1＝4a n .。

§3 综合法与分析法学习目标 1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.2.会用综合法、分析法解决问题．知识点一 综合法思考 阅读以下证明过程，总结此证明方法有何特点？a ，b >0，求证：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .证明：因为b 2＋c 2≥2bc ，a >0，所以a (b 2＋c 2)≥2abc . 又因为c 2＋a 2≥2ac ，b >0，所以b (c 2＋a 2)≥2abc . 因此a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .答案 利用条件a >0，b >0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论． 梳理 综合法的定义及特点(1)定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法那么，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，我们把这样的思维方法称为综合法． (2)思路：综合法的根本思路是“由因导果〞． (3)模式：综合法可以用以下的框图表示P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q其中P 为条件，Q 为结论． 知识点二 分析法思考 阅读证明根本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？a ，b >0，求证：a ＋b2≥ab .证明：要证a ＋b2≥ab ，只需证a ＋b ≥2ab ， 只需证a ＋b －2ab ≥0， 只需证(a －b )2≥0，因为(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．答案从结论出发开场证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件．梳理分析法的定义及特征(1)定义：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法．(2)思路：分析法的根本思路是“执果索因〞．(3)模式：假设用Q表示要证明的结论，那么分析法可以用如下的框图来表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件1．综合法是执果索因的逆推证法．( ×)2．分析法就是从结论推向．( ×)3．分析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰好相反，过程相逆．( √)类型一用综合法证明不等式例1 a，b，c∈R，且它们互不相等，求证：a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2.考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题证明∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，a4＋c4≥2a2c2，∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)，即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.又∵a，b，c互不相等，∴a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2.反思与感悟 综合法证明问题的步骤：跟踪训练1 a ，b ，c 为不全相等的正实数， 求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc>3. 考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题 证明 因为b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc＝b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca－3， 又a ，b ，c 为不全相等的正实数， 而b a ＋a b ≥2，c b ＋b c ≥2，a c ＋c a≥2， 且上述三式等号不能同时成立， 所以b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋c a－3>6－3＝3， 即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc>3. 类型二 分析法的应用例2 设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )． 考点 分析法及应用 题点 分析法解决不等式问题 证明 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 当a ＋b >0时，用分析法证明如下： 要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )，只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22(a ＋b )2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 综上所述，不等式得证．反思与感悟 分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近(条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法那么等)．这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的．它的常见书写表达式是“要证……只需……〞或“⇐〞．跟踪训练2 设a >b >0，求证：a 2－b 2＋ab －b 2>a (a －b )． 考点 分析法及应用 题点 分析法解决不等式问题证明 因为a >b >0，所以a 2>ab >b 2，所以a 2－ab >0. 要证a 2－b 2＋ab －b 2>a (a －b )，只需证a 2－ab a 2－b 2－ab －b 2>a 2－aba 2＋ab，只需证a 2－b 2－ab －b 2<a 2＋ab . 又a 2－b 2<a 2＋ab ＋ab －b 2显然成立， 所以a 2－b 2＋ab －b 2>a (a －b )成立． 类型三 分析法与综合法的综合应用例3 △ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，其对边分别为a ，b ，c .求证：(a ＋b )－1＋ (b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1. 考点 分析法和综合法的综合应用 题点 分析法和综合法的综合应用证明 要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1， 即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c ＝3， 即证c a ＋b ＋ab ＋c＝1.即证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 即证c 2＋a 2＝ac ＋b 2.因为△ABC 三个内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°. 由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ca cos60°， 即b 2＝c 2＋a 2－ac .所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立，命题得证． 引申探究本例改为求证a ＋b 1＋a ＋b >c1＋c .证明 要证a ＋b 1＋a ＋b >c1＋c，只需证a ＋b ＋(a ＋b )c >(1＋a ＋b )c ， 即证a ＋b >c . 而a ＋b >c 显然成立，所以a ＋b 1＋a ＋b >c 1＋c.反思与感悟 综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程． 跟踪训练3 a ，b ，c 是不全相等的正数，且0<x <1. 求证：log xa ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c .考点 分析法和综合法的综合应用 题点 分析法和综合法的综合应用 证明 要证log x a ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c ，只需证log x ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x(abc )，由0<x <1，只需证a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc ，由公式a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0.又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc 成立．∴log xa ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立.1．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos2θ〞的证明过程为：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos2θ〞，其应用了( ) A ．分析法 B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．类比法考点 综合法及应用题点 利用综合法解决函数问题 答案 B解析 在证明过程中使用了平方差公式，以及同角的三角函数的关系式，符合综合法的定义，故证明过程使用了综合法．2．要证2－3<6－7成立，只需证( ) A ．(2－3)2<(6－7)2B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2＋7)2<(3＋6)2D ．(2－3－6)2<(－7)2答案 C解析 根据不等式性质，当a >b >0时，才有a 2>b 2， ∴只需证2＋7<6＋3，即证(2＋7)2<(3＋6)2. 3．设0<x <1，那么a ＝2x ，b ＝x ＋1，c ＝11－x 中最大的是( )A ．aB ．bC ．cD ．随x 取值不同而不同考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题 答案 C解析 ∵0<x <1，∴b ＝x ＋1>2x >2x ＝a ， ∵11－x －(x ＋1)＝1－(1－x 2)1－x ＝x 21－x >0， ∴c >b >a . 4．f (x )＝a (2x ＋1)－22x＋1(x ∈R )是奇函数，那么实数a 的值为________．考点 综合法及应用题点 利用综合法解决函数问题 答案 1 解析 ∵f (x )＝a (2x ＋1)－22x＋1(x ∈R )是奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝a (2－x ＋1)－22－x＋1＋a (2x ＋1)－22x＋1＝0，∴a ＝1.5．a ，b ，c 都为正实数，求证：a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3.考点 分析法及应用 题点 分析法解决不等式问题 证明 要证a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3，只需证a 2＋b 2＋c 23≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 32，只需证3(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ， 只需证2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＋2ca ， 只需证(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≥0， 而这是显然成立的， 所以a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3成立．1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因． 2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证〞、“只需证〞、“即证〞等词语． 3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用.一、选择题1．用分析法证明：欲使①A >B ，只需②C <D .这里①是②的( ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 考点 分析法及应用题点 寻找结论成立的充分条件 答案 B解析 分析法证明的本质是证明使结论成立的充分条件成立，即②⇒①，所以①是②的必要条件．应选B.2．假设实数x ，y 满足不等式xy >1，x ＋y ≥0，那么( ) A ．x >0，y >0 B ．x <0，y <0 C ．x >0，y <0 D ．x <0，y >0考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，xy >1，得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0.3．以下函数中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)〞的是( ) A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)考点 综合法及应用题点 利用综合法解决函数问题 答案 A解析 由题意得，f (x )在区间(0，＋∞)上是减少的，只有f (x )＝1x符合要求．4．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只需证( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0 考点 分析法及应用题点 寻找结论成立的充分条件 答案 D解析 要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0， 只需证a 2b 2－(a 2＋b 2)＋1≥0， 即证(a 2－1)(b 2－1)≥0.5．在非等边三角形ABC 中，A 为钝角，那么三边a ，b ，c 满足的条件是( ) A ．b 2＋c 2≥a 2B ．b 2＋c 2>a 2C ．b 2＋c 2≤a 2D ．b 2＋c 2<a 2考点 综合法及应用题点 利用综合法解决三角形问题 答案 D解析 由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∵A 为钝角，∴cos A <0，那么b 2＋c 2<a 2.6．假设A ，B 为△ABC 的内角，那么A >B 是sin A >sin B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 考点 综合法及应用题点 利用综合法解决三角形问题 答案 C解析 由正弦定理得a sin A ＝bsin B＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)，又A ，B 为三角形的内角， ∴sin A >0，sin B >0，∴sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B . 7．设a ，b >0，且a ≠b ，a ＋b ＝2，那么必有( ) A ．1≤ab ≤a 2＋b 22 B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1D.a 2＋b 22<ab <1考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题 答案 B解析 因为a ≠b ，故a 2＋b 22>ab ，又因为a ＋b ＝2>2ab ， 故ab <1，a 2＋b 22＝(a ＋b )2－2ab2＝2－ab >1，即a 2＋b 22>1>ab .8．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )是减少的．假设x 1＋x 2>0，那么f (x 1)＋f (x 2)的值( ) A ．恒为负 B ．恒等于零 C ．恒为正D ．无法确定正负考点 综合法及应用题点 利用综合法解决函数问题 答案 A解析 由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )是减少的，可知f (x )在R 上是减少的．由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2， 所以f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)， 所以f (x 1)＋f (x 2)<0. 二、填空题9．“a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1≥8〞的证明过程如下：∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c>0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ab abc＝8， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴不等式成立．这种证法是________．(填“综合法〞或“分析法〞)考点 综合法及应用 题点 利用综合法解决不等式问题答案 综合法解析 此题从条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种方法是综合法．10．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，那么正数a ，b 应满足的条件是________．考点 分析法及应用题点 寻找结论成立的充分条件 答案 a ≠b 解析 ∵a a ＋b b －(a b ＋b a )＝a (a －b )＋b (b －a )＝(a －b )(a －b )＝(a －b )2(a ＋b )．∴只要a ≠b ，就有a a ＋b b >a b ＋b a .11．设a ≥0，b ≥0，a 2＋b 22＝1，那么a ·1＋b 2的最大值为________． 考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题答案 324解析 a ·1＋b 2＝2a ·12＋b 22≤22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋12＋b 22＝324，当且仅当a 2＝12＋b 22且a 2＋b 22＝1，即a ＝32，b ＝22时，等号成立． 三、解答题 12．n ∈N ＋，且n ≥2，求证：1n >n －n －1.考点 分析法及应用题点 分析法解决不等式问题证明 要证1n >n －n －1，即证1>n －n (n －1)， 只需证n (n －1)>n －1.∵n ≥2，∴只需证n (n －1)>(n －1)2，只需证n >n －1，该不等式显然成立，故原不等式成立．13．(1)用分析法证明：当a >2时，a ＋2＋a －2<2a ；(2)设a ，b 是两个不相等的正数，且1a ＋1b＝1，用综合法证明：a ＋b >4. 考点 分析法和综合法的综合应用题点 分析法和综合法的综合应用证明 (1)要证a ＋2＋a －2<2a ，只需证(a ＋2＋a －2)2<(2a )2，只需证2a ＋2a 2－4<4a ， 只需证a 2－4<a .∵a 2－4<a 2显然成立，∴a 2－4<a 成立， ∴a ＋2＋a －2<2a 成立．(2)∵a >0，b >0，且a ≠b ， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝1＋1＋b a ＋a b >2＋2b a ·a b ＝4， ∴a ＋b >4.四、探究与拓展14．假设不等式(－1)n a <2＋(－1)n ＋1n 对任意正整数n 恒成立，那么实数a 的取值范围是________．考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，32 解析 当n 为偶数时，a <2－1n ， 而2－1n ≥2－12＝32，所以a <32；当n 为奇数时，a >－2－1n， 而－2－1n<－2，所以a ≥－2. 综上可得，－2≤a <32. 15．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题证明 由A ，B ，C 成等差数列，得2B ＝A ＋C .①由于A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，所以A ＋B ＋C ＝π.②由①②，得B ＝π3.③ 由a ，b ，c 成等比数列，得b 2＝ac ，④由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0，从而a ＝c ，所以A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．。

3.2 分析法学 习 目 标核 心 素 养1.了解分析法的思考过程、特点．(重点) 2．会用分析法证明数学命题．(难点)1.通过对分析法概念和思维过程的理解的学习，培养逻辑推理的核心素养．2．通过对分析法应用的学习，提升逻辑推理和数学建模的核心素养.1．分析法的定义从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这种思维方法称为分析法．2．分析法证明的思维过程用Q 表示要证明的结论，那么分析法的思维过程可用框图表示为： Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件1．用分析法证明：要使①A >B ，只需使②C <D .这里①是②的( ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [根据分析法的特点，寻找的是充分条件，∴②是①的充分条件，①是②的必要条件．] 2．欲证2－3<6－7，只需证( ) A ．(2＋7)2<(3＋6)2B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2－3)2<(6－7)2D ．(2－3－6)2<(－7)2A [欲证2－3<6－7，只需证2＋7<3＋6，只需证(2＋7)2<(3＋6)2.] 3．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．[答案] a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥0应用分析法证明不等式【例1】 a >b >0，求证：(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b.思路点拨：此题用综合法不易解决，由于变形后均为平方式，因此要先将式子两边同时开方，再找出使式子成立的充分条件．[证明] 要证(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b ，只需证(a －b )28a <(a －b )22<(a －b )28b .∵a >b >0，∴同时除以(a －b )22，得(a ＋b )24a <1<(a ＋b )24b ，同时开方，得a ＋b 2a <1<a ＋b2b， 只需证a ＋b <2a ，且a ＋b >2b ， 即证b <a ，即证b <a . ∵a >b >0，∴原不等式成立， 即(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b.分析法证题思维过程1．分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件为(或已证)的不等式．2．分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论⇐…⇐…⇐…，因此，在表达过程中，“要证〞“只需证〞“即证〞等词语必不可少，否那么会出现错误．1．a >0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2.[证明] 要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2， 只需证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋2，即证⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22，即a 2＋1a2＋4 a 2＋1a 2＋4≥a 2＋1a 2＋2 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋4，只需证2a 2＋1a 2≥ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ， 只需证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a2，即a 2＋1a2≥2.上述不等式显然成立，故原不等式成立． 用分析法证明其他问题【例2】 设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，假设函数y ＝f (x ＋1)的图象与f (x )的图象关于y 轴对称，求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数． 思路点拨：由于条件较为复杂，且不易与要证明的结论联系，故可从要证明的结论出发，利用分析法，从函数图象的对称轴找到证明的突破口．[证明] 要证函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数，只需证明其对称轴为直线x ＝0， 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝ax 2＋(a ＋b )x ＋14a ＋12b ＋c ，其对称轴为x ＝－a ＋b 2a ，因此只需证－a ＋b2a＝0， 即只需证a ＝－b ，又f (x ＋1)＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＋c ，其对称轴为x ＝－2a ＋b 2a，f (x )的对称轴为x ＝－b 2a， 由得x ＝－2a ＋b 2a 与x ＝－b2a 关于y 轴对称，所以－2a ＋b 2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，得a ＝－b 成立， 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数．分析法证题思路1．分析法是逆向思维，当条件与结论之间的联系不够明显、直接或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法．2．分析法的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近，即条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法那么等．2．1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)． [证明] 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)， 只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3，只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12.∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α，即2tan α＝－1.∴tan α＝－12显然成立，∴结论得证．综合法与分析法的综合应用[探究问题]1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？[提示] 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜测〞．2．综合法与分析法有什么区别？[提示] 综合法是从条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．【例3】 在某两个正数x ，y 之间，假设插入一个数a ，那么能使x ，a ，y 成等差数列；假设插入两个数b ，c ，那么能使x ，b ，c ，y 成等比数列，求证：(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)．思路探究：可用分析法找途径，用综合法由条件顺次推理，易于使条件与结论联系起来． [证明] 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝x ＋y ，b 2＝cx ，c 2＝by ，消去x ，y 得2a ＝b 2c ＋c 2b，且a >0，b >0，c >0.要证(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)，只需证a ＋1≥(b ＋1)(c ＋1)，因(b ＋1)(c ＋1)≤(b ＋1)＋(c ＋1)2，只需证a ＋1≥b ＋1＋c ＋12，即证2a ≥b ＋c .由于2a ＝b 2c ＋c 2b ，故只需证b 2c ＋c 2b≥b ＋c ，只需证b 3＋c 3＝(b ＋c )(b 2＋c 2－bc )≥(b ＋c )bc ， 即证b 2＋c 2－bc ≥bc ，即证(b －c )2≥0.因为上式显然成立，所以(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)．分析综合法特点综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其构造特点是根据条件的构造特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的构造特点去转化条件，得到中间结论P ；假设由P 可推出Q ，即可得证．3．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且三个内角A ，B ，C 构成等差数列．求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. [证明] 要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c ＝3， 即证c a ＋b ＋ab ＋c＝1，只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 只需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2. ∵A ，B ，C 成等差数列， ∴2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°. ∵c 2＋a 2－b 2＝2ac cos B ， ∴c 2＋a 2－b 2＝ac ， ∴c 2＋a 2＝ac ＋b 2，∴1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c成立．1．综合法与分析法的区别与联系区别：综合法分析法推理方向顺推，由因导果逆推，执果索因解题思路探路较难，易生枝节容易探路，利于思考(优点) 表述形式形式简洁，条理清晰(优点) 表达烦琐，易出错思考的侧重点侧重于条件提供的信息侧重于结论提供的信息联系：分析法便于我们去寻找证明思路，而综合法便于证明过程的表达，两种方法各有所长，因而在解决问题时，常先用分析法寻找解题思路，再用综合法有条理地表达证明过程，将两种方法结合起来运用2．分析综合法常采用同时从和结论出发，用综合法拓展条件，用分析法转化结论，找出与结论的连结点，从而构建出证明的有效路径．上面的思维模式可概括为下列图：1．判断正误(1)分析法就是从结论推向．( )(2)分析法的推理过程要比综合法优越．( )(3)并不是所有证明的题目都可使用分析法证明．( )[提示] (1)错误．分析法又叫逆推证法，但不是从结论推向，而是寻找使结论成立的充分条件的过程．(2)错误．分析法和综合法各有优缺点．(3)正确．一般用综合法证明的题目均可用分析法证明，但并不是所有的证明题都可使用分析法证明．[答案] (1)×(2)×(3)√2．假设P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4(a≥0)，那么P，Q的大小关系是( ) A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．由a的取值决定C[当a＝1时，P＝1＋22，Q＝2＋5，P<Q，故猜测当a≥0时，P<Q.证明如下：要证P<Q，只需证P2<Q2，只需证2a＋7＋2a(a＋7)<2a＋7＋2(a＋3)(a＋4)，即证a2＋7a<a2＋7a ＋12，只需证0<12.∵0<12成立，∴P <Q 成立．]3．设a >0，b >0，c >0，假设a ＋b ＋c ＝1，那么1a ＋1b ＋1c的最小值为________．9 [因为a ＋b ＋c ＝1，且a >0，b >0，c >0， 所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca≥3＋2b a ·a b＋2c a ·a c ＋2c b ·b c＝3＋6＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．]4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan Bcos A .证明：a ＋b ＝2c . [证明] 由题意知2⎝⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin B cos A cos B，化简得2(sin A cos B＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ， 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C . 从而sin A ＋sin B ＝2sin C . 由正弦定理得a ＋b ＝2c . 命题得证．。