推理与证明复习(导学案)

第二章 推理与证明2.3数学归纳法一、学习目标1.了解数学归纳法的原理2能用数学归纳法证明简单的与自然数有关的数学命题.【重点、难点】重点是数学归纳法证明简单的与自然数有关的数学命题，难点是数学归纳法的第二步.二、学习过程【导入新课】多米诺骨牌实验:要使所有的多米诺骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？（ 1）第一张牌被推倒 （奠基作用）（2）任意一张牌倒下必须保证它的下一张牌倒下 （递推作用）于是可以获得结论：多米诺骨牌会全部倒下。

数学归纳法步骤：（1）证明当n 取第一个值0n （例如10=n 或2等）时结论正确；（2）假设当k n =（*N k ∈，且0n k ≥）时结论正确，证明当1+=k n 时结论也正确。

根据（1）和（2），可知命题对从0n 开始的所有正整数n 都正确例1、用数学归纳法证明：2462(1)n n n +++=+ ()n N +∈例2：用数学归纳法证明：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=【变式拓展】在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n(n ∈N *)． (1)试求：a 2，a 3，a 4的值；(2)由此猜想数列{a n }的通项公式a n ；(3)用数学归纳法加以证明．三、总结反思①两个步骤，缺一不可，其中第一步是递推的基础，第二步是递推的依据；②两个步骤中关键是第二步，即当n ＝k ＋1时命题为什么成立．在证n ＝k ＋1命题时成立时，必须利用归纳假设当n ＝k 时成立这一条件，再根据有关定理、定义、公式、性质等推证出当n ＝k ＋1时成立．切忌直接代入，否则当n ＝k ＋1时成立也是假设了，命题并没有得到证明.四、随堂检测1.用数学归纳法证明1＋q ＋q 2＋…＋q n ＋1＝q n ＋2－q q －1(n ∈N *，q ≠1)，在验证n ＝1等式成立时，等式左边式子是( ) A ．1 B ．1＋q C ．1＋q ＋q 2 D ．1＋q ＋q 2＋q 32．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)(2n ＋1)时，从“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”，左边需增添的代数式是( )A ．(2k ＋1)＋(2k ＋2)B ．(2k －1)＋(2k ＋1)C ．(2k ＋2)＋(2k ＋3)D ．(2k ＋2)＋(2k ＋4)3.已知数列{}n a 的前n 项和2 (2)n n S n a n =≥，而11a =，通过计算234,,a a a ，猜想n a =( ) A.22(1)n + B. 2(1)n n + C. 221n - D. 221n -4.用数学归纳法证明：1122334(1)(1)(2)3n n n n n ⨯+⨯+⨯+++=++。

七年级数学（上）导学案（第五章）8.2证明的必要性【学习目标】1.知道利用观察、实验、归纳和类比等方法得到的命题不一定正确；2.知道要确定命题是真命题要有理有据的进行推理。

【知识回顾】1.什么是定义?什么是命题？2.命题包括那两个部分？请举例说明？【课前预习】预习内容：自学课本38～39页的内容，完成下列问题：1.下列命题是人们利用观察，实验，归纳和类比得到的。

判断是否是真命题（1）两点之间，线段最短。

（）（2）n边形有2)3(nn条对角线。

( )（3）对顶角相等。

( )2.（1）小亮通过计算发现，当n=1,2,3,4,5时，代数式n2+3n+1的值是质数，于是得出结论，当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数，这个结论是正确吗？（2）已知线段AB=6，BC=2，那么AC=?小莹认为AC=8,小亮认为AC=8或4，你认为他们的说法正确吗？为什么？3.经过、、和得到的命题仅仅是一种猜想，未必都是真命题，所以需要通过的方法加以证实。

【课中探究】点拨:观察、实验、归纳和类比等方法是人们发现规律、获取一般结论的重要方法，但得到的结论不一定正确；用举反例的方法让学生理解证明的必要性。

【当堂达标】一、选择题1.下列说法，错误的个数是（ ）（2分）①三角形的三条角平分线都在三角形的内部。

②三角形的三条中线都在三角形的内部。

③三角形的三条高线都在三角形的内部。

④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高线都交于一点。

A.1B.2C.3D.42.下列结论，你能肯定的是 ( )（2分）A.今天天晴，明天必然还是晴天。

B.三个连续整数的积一定能被6整除。

C.小明的数学成绩一向很好，因而后天的竞赛考试中他必然能获得一等奖。

D.两张照片看起来完全一样，可以知道这两张必然是同一张底片冲洗出来的 。

二、解答题1.观察下列等式： 2311= 233321=+23336321=++23333104321=+++…通过归纳，写出能反映上述规律的一般结论：（2分）2.观察下列各式：41322=-×2 42422=-×3 43522=-×4 ……(1)猜想22)2(n n -+的结果 (2)利用因式分解的方法验证上述结论.（2分）3.观察下列各式，：21×2=21+2；32×3=32+3；43×4=43+4；54×5=54+5；…… 想一想：设n 表示正整数，用关于n 的代数式表示这个规律为： （2分）。

推理与证明综合法与分析法学习目标： 教师备课 1． 理解综合法和分析法的概念及区别 学习笔记 2． 熟练的运用综合法分析法证题 学习重难点 :综合法和分析法的概念及区别 自主学习： 一：知识回顾1． 合情推理： 前提为真， 结论可能为真的推理。

它包括归纳推理与类比推理。

2． 演绎推理： 根据一般性的真命题 (或逻辑规则) 导出特殊命题为真的推理叫演绎推理 二：课题探究1. 直接证明: 从命题的条件或结论出发 ,根据已知的定义 ,公理,定理直接推证结论的真实性 . 2. 综合法：从题设中的已知条件或已证的真实判断出发 ,经过一系列的中间推理,最后导出所求证的命题 .综合法是一种由因所 果的证明方法 . 3. 分析法 : 一般地，从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已 知事实吻合为止，这种证明的方法叫做分析法．分析法是一种执果索因的证明方法 .4.综合法的证明步骤用符号表示:0P (已知) 1Pn P(结论)5.分析法的证明“若 A 成立,则 B 成立”的思路与步骤;要正(或为了证明)B 成立,只需证明 A 1 成立(A 1 是 B 成立的充分条件).要证 A 1 成立,只需证明 A 2 成立( A 2 是 A 1 成立的充分条件).… ,要证 A k 成立,只需证明 A 成立(A 是 A k 成立的充分条件).. A 成立, ：B 成立.三 : 例题解析例 1: 已知 a>0,b>0,求证 a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc证明 : 因为 b2+c 2 ≥2bc,a>0 又因为 c2+b2 ≥2bc,b>0所以 a(b2+c 2)≥2abc.教师备课学习笔记所以 b(c2+a 2)≥ 2abc. 因此 a(b2+c2)+b(c2+a 2)≥4abc.例 2: 已知:a,b,c 三数成等比数列 ,且 x,y 分别为 a,b 和b,c 的等差中项 . a b x y证明 : 依题意 , :a,b,c 三数成等比数列 , ： = , ： = ,b c a + b b + c又由题设: x =a + b, y =b + c,2 2a b 2a 2c 2b 2c 2(b + c)例 3. 设 a 、b 是两个正实数，且 a≠b， 求证： a3+b3＞a2b+ab2． 证明： (用分析法思路书写) 要证 a3+b3＞a2b+ab2 成立，只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立， 即证 a2-ab+b2＞ab 成立。

《逻辑的力量》导学案第一课时学习目标1、把握单元内在逻辑结构。

2、了解逻辑的基本规律，能够结合文本辨析逻辑规律的违反。

3、学会辨析日常生活和文学作品中的逻辑谬误。

【学习任务一】学习绘制思维导图（文本可自选）。

1、在白纸的正中央写下你正在学习或阅读的主题，我们可以把该主题看成一棵大树的主干。

2、将该主题的每一个要点变成一条分支。

3、在每个分支上写一个关键词或短语。

4、用箭头来表示不同分支之间的关系。

提示：可以用字体大小来表示一条信息的重要性，重要的信息用较大号字体来表示。

可以用符号和插图表示重点。

【学习任务二】下列这组句子分别违背了哪些逻辑规律？（1）人是由猿猴进化而来的，张三是人。

因此张三是猿猴进化而来的。

（2）楚人有鬻矛与盾者，誉之曰：“吾盾之坚，物莫能陷也。

”又誉其矛曰：“吾矛之利，于物无不陷也。

”或曰："以子之矛，陷子之盾，何如？”其人弗能应也。

夫不可陷之盾与无不陷之矛，不可同世而立。

（3）唐苏味道初拜相，依违无所发明，具位而已。

常谓人曰：“决事不欲明白，误则有悔，摸棱持两端可也。

”（4）庞恭与太子质于邯郸，谓魏王曰：“今一人言市有虎，王信之乎?”王曰“否。

”“二人言市有虎，王信之乎?”王曰：“寡人疑之矣。

”“三人言市有虎，王信之乎?”王曰：“寡人信之矣。

”（《战国策》）【学习任务三】分析“矛盾律”与“排中律”的差异。

【学习任务四】这段文字体现了对哪一逻辑规律的维护？《吕氏春秋∙去私》晋平公问于祁黄羊曰：“南阳无令，其谁可为之？”祁黄羊对曰：“解狐可。

”平公曰：“解狐非子之仇也？”对曰：“君问可，非问臣之仇也。

”平公曰：“善。

”遂用之。

国人皆称善焉。

【学习任务五】请分析下列文段的逻辑谬误。

①鲁迅的作品不是一天能读完的，《孔乙己》是鲁迅的作品，所以，《孔乙己》不是一天能读完的。

②庄子曰：“请循其本。

子曰‘汝安知鱼乐’云者，既已知吾知之而问我。

我知之濠上也。

”③“服务员同志，请当心，你的手指浸到我的汤里去了。

《数学分析》导学案导学目标：通过本导学案的学习，使学生能够了解数学分析的基本概念和方法，为之后的学习奠定基础。

导学内容：一、数学分析的概念和作用数学分析是一门研究函数、极限、连续性、微分和积分等数学概念的学科。

它是理论数学中最基础、最重要的学科之一，也是许多高等数学学科的基石。

数学分析的主要作用有：1. 揭示数学的基本规律和本质特征，为其他学科提供理论支持。

2. 解决实际问题中的数学模型和问题，提供了很多数学工具和方法。

3. 发展了数学推理和证明的能力，培养了逻辑思维和分析问题的能力。

二、函数与极限1. 函数的概念：函数是一种特殊的关系，它将自变量映射到因变量，并且每个自变量都有唯一的对应因变量。

2. 极限的概念：当自变量趋于某个值时，函数的取值是否存在一个确定的极限，这个极限就是函数的极限。

三、连续性与导数1. 连续性的概念：函数在某个点上连续，意味着在这个点上函数的值和函数的极限是相等的。

2. 导数的概念：导数表示了函数在某一点上的变化率，是刻画函数斜率的重要工具。

四、积分与微分方程1. 积分的概念：积分是导数的反运算，表示函数在某一区间上的累积和。

2. 微分方程的概念：微分方程是包含了未知函数及其导数的等式，通过求解微分方程可以得到函数的解析表达式。

导学总结：通过本导学案的学习，我们初步了解了数学分析的基本概念和方法。

数学分析作为一门重要的学科，对于我们深入理解和研究数学及其应用具有重要意义。

在接下来的学习中，我们将进一步学习数学分析的具体内容，并应用于解决实际问题。

参考资料：- 高等数学分析教程- 数学分析导论（以上内容仅为参考，可以根据实际情况进行合理调整和完善）。

§2.1.1 合情推理（1）1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.2830在日常生活中我们常常遇到这样的现象：（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨；（2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.以上例子可以得出推理是的思维过程.二、新课导学※学习探究探究任务：归纳推理问题1:哥德巴赫猜想：观察6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜想：. 问题2：由铜、铁、铝、金等金属能导电，归纳出.新知：归纳推理就是由某些事物的,推出该类事物的的推理，或者由的推理.简言之，归纳推理是由的推理.※典型例题例1 观察下列等式：1+3=4=22，1+3+5=9=23，1+3+5+7=16=24，1+3+5+7+9=25=25，……你能猜想到一个怎样的结论？变式：观察下列等式：1=11+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100，……你能猜想到一个怎样的结论？例2已知数列{}n a的第一项11a=，且nnn aaa+=+11(1,2,3.n=，试归纳出这个数列的通项公式.变式：在数列{na}中，11()2n nna aa=+（2n≥），试猜想这个数列的通项公式.2※ 动手试试练1..练2. 在数列{n a }中，11a =，122nn n a a a +=+（*n N ∈）,试猜想这个数列的通项公式.三、总结提升※ 学习小结1．归纳推理的定义.2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.※ 知识拓展1.费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对020213F =+=，121215F =+=，2222117F =+=，32321257F =+=，4242165537F =+=的观察，发现其结果都是素数，提出猜想：对所有的自然数n ，任何形如221nn F =+的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉发现5252142949672976416700417F =+==⨯不是素数，推翻费马猜想.2.四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1.下列关于归纳推理的说法错误的是（ ）. A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确 D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2.若2()41,f n n n n N =++∈，下列说法中正确的是（ ）.A.()f n 可以为偶数B. ()f n 一定为奇数C. ()f n 一定为质数D. ()f n 必为合数3.已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为（ ）.A.4()22x f x =+ B.2()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2()21f x x =+4.111()1()23f n n N n +=+++⋅⋅⋅+∈，经计算得357(2),(4)2,(8),(16)3,(32)222f f f f f =>>>>猜测当2n ≥时，有__________________________. 5. 从22211,2343,345675=++=++++=中得出_____________ . 1. 对于任意正整数n ，猜想(21)n -与2(1)n +的大小关系.2. 已知数列{n a }的前n 项和n S ，123a =-，满足12(2)n n n S a n S ++=≥，计算1234,,,,S S S S 并猜想n S 的表达式.4§2.1.2 演绎推理1.结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性；2.掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理.3942复习1：归纳推理是由到的推理.类比推理是由到的推理.复习2：合情推理的结论.二、新课导学※学习探究探究任务一：演绎推理的概念问题：观察下列例子有什么特点？（1）所有的金属都能够导电，铜是金属，所以；（2）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此；（3）在一个标准大气压下，水的沸点是100C︒，所以在一个标准大气压下把水加热到100C︒时，；（4）一切奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以；（5）三角函数都是周期函数，sinα是三角函数，所以；（6）两条直线平行，同旁内角互补.如果A与B是两条平行直线的同旁内角，那么. 新知：演绎推理是从出发，推出情况下的结论的推理.简言之，演绎推理是由到的推理.探究任务二：观察上述例子，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？新知：“三段论”是演绎推理的一般模式：大前提——；小前提——；结论——. 试试：请把探究任务一中的演绎推理（2）至（6）写成“三段论”的形式.※典型例题例1 在锐角三角形ABC中，,AD BC BE AC⊥⊥，D，E是垂足. 求证：AB的中点M到D，E的距离相等.新知：用集合知识说明“三段论”：大前提：小前提：结论：例2证明函数2()2f x x x=-+在(],1-∞-上是增函数.小结：应用“三段论”解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提，但为了叙述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略.例 3 下面的推理形式正确吗？推理的结论正确吗？为什么？所有边长相等的凸多边形是正多边形，（大前提）菱形是所有边长都相等的凸多边形，（小前提）菱形是正多边形. （结论）小结：在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确.6§2.1 合情推理与演绎推理(练习)1. 能利用归纳推理与类比推理进行一些简单的推理;2. 掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理;3. 体会合情推理和演绎推理的区别与联系.2840复习1：归纳推理是由 到 的推理. 类比推理是由 到 的推理.合情推理的结论 .复习2：演绎推理是由 到 的推理.演绎推理的结论 .二、新课导学※ 典型例题 例1 观察（1）（2）000000tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101;++=000000tan5tan10tan10tan 75tan 75tan51++=由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论.变式：已知：23150sin 90sin 30sin 222=++23125sin 65sin 5sin 222=++ 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明.例 2 在Rt ABC ∆中，若90C ∠=︒，则22cos cos 1A B +=，则在立体几何中，给出四面体性质的猜想.变式：已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，有如下性质：（1）()n m a a n m d =+-，（2）若*,(,,,)m n p q m n p q N +=+∈，则m n p q a a a a +=+，类比上述性质，在等比数列{}n b 中，写出类似的性质.8§2.2.1 综合法和分析法（1）1. 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；2. 会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.3. 根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.4547复习1：两类基本的证明方法: 和 . 复习2：直接证明的两中方法: 和 .二、新课导学※ 学习探究探究任务一：综合法的应用 问题：已知,0a b >, 求证:2222()()4a b c b c a abc +++≥.新知：一般地,利用,经过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法.反思：框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.※ 典型例题 例1已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c ++≥变式：已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证： 111(1)(1)(1)8a b c---≥.小结：用综合法证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式性质,要注意公式应用的条件和等号成立的条件,这是一种由因索果的证明.例2 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.变式：设在四面体P ABC -中,90,,ABC PA PB PC ∠=︒==D 是AC 的中点.求证:PD 垂直于ABC ∆所在的平面.小结：解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或把符号语言转换成图形语言等,还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明确表示出来.1011§2.2.1 综合法和分析法(二)学习目标 1. 会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程. 2. 根据问题的特点，结合分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.学习过程一、课前准备（预习教材P 48~ P 50，找出疑惑之处） 复习1：综合法是由 导 ;复习2：基本不等式:二、新课导学※ 学习探究探究任务一：分析法 问题：如何证明基本不等式(0,0)2a bab a b +≥>>新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.反思：框图表示要点：逆推证法；执果索因※ 典型例题例1求证3526+>+变式：求证:3725+<小结：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径.例 2 在四面体S ABC -中,,SA ABC AB BC ⊥⊥面,过A 作SB 的垂线,垂足为E ,过E 作SC 的垂线,垂足为F ,求证AF SC ⊥.变式：设,,a b c 为一个三角形的三边,1()2s a b c =++,且22s ab =,试证2s a <.小结：用题设不易切入,要注意用分析法来解决问题.12§2.2.1 综合法和分析法（3）1. 能结合已经学过的数学示例,了解综合法和分析法的思考过程和特点;2. 学会用综合法和分析法证明实际问题,并理解分析法和综合法之间的内在联系;3. 养成勤于观察、认真思考的数学品质.5051 复习1：综合法是由 导 ; 复习2：分析法是由 索 .二、新课导学※ 学习探究探究任务一：综合法和分析法的综合运用问题：已知,()2k k Z παβπ≠+∈,且2sin cos 2sin ,sin cos sin ,θθαθθβ+=∙=求证:22221tan 1tan 1tan 2(1tan )αβαβ--=++.新知：用P 表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q 表示要证明的结论，则上述过程可用框图表示为：试试：已知tan sin ,tan sin a b αααα+=-=，求证： 222()16a b ab -=.反思：在解决一些复杂、技巧性强的题目时，我们可以把综合法和分析法结合使用.※ 典型例题例 1 已知,A B 都是锐角，且2A B π+≠，(1tan )(1tan )2A B ++=，求证：45A B +=︒变式：已知1tan 12tan αα-=+，求证：3sin 24cos 2αα=-.小结：牢固掌握基础知识是灵活应用两种方法证明问题的前提，本例中，三角公式发挥着重要作用.例 2 在四面体P ABC -中，P D A B C ⊥∆，AC BC =，D 是AB 的中点，求证：AB PC ⊥.变式：如果,0a b >，则lg lg lg 22a b a b++≥.小结：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明.※知识拓展14§2.2.2 反证法1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；2. 了解反证法的思考过程、特点;3. 会用反证法证明问题.5254复习1：直接证明的两种方法: 和 ; 复习2： 是间接证明的一种基本方法.二、新课导学※ 学习探究探究任务：反证法 问题(1)：将9个球分别染成红色或白色,那么无论怎样染,至少有5个球是同色的,你能证明这个结论吗? 问题(2):三十六口缸,九条船来装,只准装单,不准装双,你说怎么装?新知：一般地，假设原命题 ，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设 ，从而证明了原命题 .这种证明方法叫 .试试：证明：5,3,2不可能成等差数列.反思：证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.※ 典型例题例 1 已知0a ≠,证明x 的方程ax b =有且只有一个根.变式：证明在ABC ∆中,若C ∠是直角,那么B ∠一定是锐角.小结：应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.例2求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.变式：求证：一个三角形中，至少有一个内角不少于60︒.小结：反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.16第二章 推理与证明(复习)1. 了解合情推理和演绎推理的含义；2. 能用归纳和类比进行简单的推理；掌握演绎推理的基本模式；3. 能用综合法和分析法进行数学证明；.2855复习1：归纳推理是由 到 的推理. 类比推理是由 到 的推理.合情推理的结论 .演绎推理是由 到 的推理. 演绎推理的结论 .复习2：综合法是由 导 ;分析法是由 索 .直接证明的两种方法: 和 ; 是间接证明的一种基本方法.二、新课导学※ 学习探究探究任务一：合情推理与演绎推理问题：合情推理与演绎推理是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.你能举出几个用合情推理和演绎推理的例子吗？探究任务一：直接证明和间接证明问题：你能分别说出这几种证明方法的特点吗？结合自己以往的数学学习经历，说说一般在什么情况下，你会选择什么相应的证明方法？※ 典型例题例1 已知数列{}n a 的通项公式 21()(1)n a n N n +=∈+，记12()(1)(1)(1)n f n a a a =--⋅⋅⋅-，试通过计算(1),(2),(3)f f f 的值，推测出()f n 的值.变式：已知数列()()1111,,,,1335572121n n ⨯⨯⨯-+ ⑴求出1234,,,S S S S ；⑵猜想前n 项和n S . （理科）（3）并用数学归纳法证明你的猜想是否正确？小结：归纳推理是由特殊到一般的推理,是一种猜想，推理的结论都有待进一步证明.例2已知tan α，tan β是关于x 的一元二次方程x 2+px +2=0的两实根.（1）求证：tan()p αβ+=；（2）求证：3sin()cos()0p αβαβ++-=.变式：如右图所示，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F ，求证：⑴SAB BC ⊥面；⑵AF SC ⊥.小结：证明问题对思维的深刻性、严谨性和灵活性AB C S F E※知识拓展18理：§2.3 数学归纳法(1)1. 了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤;2. 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写; 3. 数学归纳法中递推思想的理解.104106，找出疑惑之处） 复习1：在数列{}n a 中，*111,,()1n n n aa a n N a +==∈+，先算出a 2，a 3，a 4的值，再推测通项a n 的公式.复习2：2()41f n n n =++，当n ∈N 时，()f n 是否都为质数？二、新课导学※ 学习探究探究任务：数学归纳法 问题：在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?新知：数学归纳法两大步：（1）归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命题成立;（2）归纳递推：假设n =k （k ≥n 0， k ∈N *）时命题成立，证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立.原因：在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.试试：你能证明数列的通项公式1n a n=这个猜想吗?反思：数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.关键：从假设n =k 成立，证得n =k +1成立.※ 典型例题例1 用数学归纳法证明2222*(1)(21)123,6n n n n n N ++++++=∈变式：用数学归纳法证明2*1427310(31)(1),n n n n n N ⨯+⨯+⨯+++=+∈小结：证n =k +1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.例2 用数学归纳法证明:首项是1a ,公差是d 的等差数列的通项公式是1(1)n a a n d =+-,前n 项和的公式是1(1)2n n n S na d -=+.变式：用数学归纳法证明:首项是1a ,公比是q 的等差数列的通项公式是11n n a a q-=,前n 项和的公式是1(1)1n n a q S q-=-.(1q ≠)小结：数学归纳法经常证明数列的相关问题.)*20中山市东升高中 高二数学◆选修1-2&2-2◆导学案 执笔：董卜毓 审核：李志敏理：§2.3 数学归纳法(2)1.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;2.数学归纳法中递推思想的理解.107108，找出疑惑之处） 复习1：数学归纳法的基本步骤？复习2：数学归纳法主要用于研究与 有关的数学问题.二、新课导学※ 学习探究探究任务：数学归纳法的各类应用 问题：已知数列 1111,,,,1447710(32)(31)n n ⋅⋅⋅⨯⨯⨯-⨯+，猜想n S 的表达式，并证明.新知：数学归纳法可以应用于：(1)数列的先猜后证;(2)证明不等式;(3)证明整除性问题;(4)证明几何问题.试试：已知数列1111,,,,,1223314(1)n n ⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯+ ,计算123,,S S S ,由此推测计算n S 的公式.反思：用数学归纳法证明时,要注意从n k =时的情形到1n k =+的情形是怎样过渡的.※ 典型例题例1平面内有n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n 个圆将平面分成f (n )=n 2－n +2个部分变式：证明凸n 边形的对角线的条数1()(3)(4)2f n n n n =-≥小结：用数学归纳法证明几何问题的关键是找项,即几何元素从k 到1k +所证的几何量增加多少.例2 证明:3*5()n n n N +∈能被6整除.变式：证明:2121n n x y --+能被x y +整除.小结：数学归纳法证明整除性问题的关键是凑项,而采用增项、减项、拆项和因式分解的手段，凑出n k =的情形，从而利用归纳假设使问题获证.22。

数学广角—推理-第二课时（导学案）-二年级下册数学人教版一、教学目标1. 知识与技能：通过观察、猜测、推理等活动，进一步培养学生的推理能力。

2. 过程与方法：培养学生独立思考、合作交流的能力，提高学生的语言表达能力。

3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，激发学生探索数学世界的欲望。

二、教学内容1. 生活中的推理：通过观察、猜测、验证等方法，找出事物的规律。

2. 数字的推理：通过观察数字之间的关系，找出数字的规律。

3. 图形的推理：通过观察图形之间的关系，找出图形的规律。

三、教学重点与难点1. 教学重点：培养学生观察、猜测、推理的能力。

2. 教学难点：引导学生发现事物之间的联系，找出事物的规律。

四、教学过程1. 导入新课：通过生活中的实例，引导学生发现推理的必要性，激发学生的学习兴趣。

2. 自主探究：学生独立观察、猜测、推理，找出事物的规律。

3. 合作交流：学生在小组内分享自己的发现，互相学习，共同提高。

4. 全班交流：各小组代表汇报自己的发现，教师点评、总结。

五、课堂小结1. 教师引导学生回顾本节课的学习内容，总结推理的方法。

2. 学生谈收获，教师点评、鼓励。

六、课后作业（课后自主完成）1. 观察生活中的推理现象，与家人分享你的发现。

2. 完成课后练习题，巩固所学内容。

七、板书设计1. 生活中的推理2. 数字的推理3. 图形的推理八、教学反思1. 教师要关注学生在课堂上的表现，及时调整教学策略，提高教学效果。

2. 注重培养学生的观察、猜测、推理能力，为学生的终身发展奠定基础。

3. 激发学生对数学的兴趣，引导学生主动探索数学世界。

通过本节课的学习，我们希望学生能够掌握推理的方法，提高观察、猜测、推理的能力，激发学生对数学的兴趣，培养学生的独立思考、合作交流的能力，为学生的终身发展奠定基础。

重点关注的细节：教学过程教学过程是整个教学活动的核心环节，直接关系到学生对知识的掌握程度和教学目标的实现。

第一章 推理与证明§4 数学归纳法(一) 姓名一、学习目标：1. 了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质。

2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤与技巧方法；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题。

3. 培养观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展抽象思维能力和创新能力，经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。

4. 通过数学归纳法的学习和运用，体会数学中“无限”与“有限”的相互转化及辨证统一．二、 学习过程（一）新课引入：【问题导思】我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下。

1．试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？2．利用这种思想方法能解决哪类数学问题？（二）探索新知 1. 数学归纳法定义对于某些与自然数n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n 取第一个值n 0时命题成立；然后假设当n=k(k ∈N*，k ≥n 0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法。

2. 数学归纳法的基本思想先验证使结论有意义的最小的正整数n 0，如果当n=n 0时，命题成立，再假设当n=k(k ≥n 0，k ∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的,只有K=n 0时，命题成立) ，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.（ 化“无限”为“有限”）3. 数学归纳法是用来证明与正整数n (如n ≥1)有关的数学命题的一种方法，它的基本步骤是： (1)验证：n ＝1时，命题成立；(2)在假设当n ＝k (k ≥1)时命题成立的前提下，推出当n ＝k ＋1时，命题成立。

（3）根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n 都成立． 注意：1.三个步骤步骤缺一不可；2.在第一步中，确定好初始值n 0，不一定从1取起，也不一定只取一个，视具体情况而定；3.在第二步中，证当n=k+1时，必须使用假设，明确求证的目标形式，一般要凑出归纳假设给出的形式，以便使用归纳假设，然后再凑出当n=k+1时的结论。

第三章推理与证明§2数学证明基础自主预习1.演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.2.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提------一般性道理；②小前提------研究对象的特殊情况；③结论------由大前提和小前提作出的判断3.“三段论”可以表示为：①大前提：M是P②小前提：S是M③结论：S是P用集合说明：即若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素都具有性质P.4.在数学中，证明一个命题，就是根据命题的条件和已知的定义、公理、定理，利用演绎推理的法则将命题推导出来练习：一切无理数都不能写成分数的形式，2是无理数，所以2不能写成分数的形式，其演绎推理的“三段论”形式为：__________________________________________.【答案】大前提：一切无理数都不能写成分数的形式小前提：2是无理数结论：所以2不能写成分数的形式1.下列说法正确的个数有（ ）①演绎推理是由一般到特殊的推理；②三段论推理的常用规则有假言推理、三段论推理、关系推理、归纳推理；③演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提有关. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】C【解析】由演绎推理的相关概念知①③正确.2.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数” 结论显然是错误的，是因为 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误【答案】C【解析】大前提与小前提都是正确的，但整数就是那些不是真分数的有理数，故不能推出结论来.3. 设,,(,0),a b c ∈-∞则111,,a b c b c a+++（） A.都不大于2- B.都不小于2-C.至少有一个不大于2-D.至少有一个不小于2-【答案】D【解析】因为6111-≤+++++ac c b b a 所以111,,a b c b c a+++中至少有一个不大于2-.4.已知b a ,是不相等的正数，b a y b a x +=+=,2，则y x ,的大小关系是_________【答案】x y <【解析】2222()2a b y a b x +==+=>=5.已知ABC ∆中，45,30=∠=∠B A ，求证b a <.证明：B A B A ∠<∠∴=∠=∠,45,30b a <∴此问题的证明过程中蕴含的“三段论”中的大前提是. 【答案】b a B A <⇒∠<∠.【解析】三角形中”大边对大角，小边对小角”的一个结论.智能提升作业1.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊆/平面α，直线a ≠⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误 【答案】A【解析】大前提为“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线”，而此结论是不成立的，应是平行于平面内无数条直线才对. 2．函数]2,0[)44sin(3)(ππ在+=x x f 内（ ） A ．只有最大值 B ．只有最小值C ．只有最大值或只有最小值D ．既有最大值又有最小值 【答案】C【解析】正弦函数在闭区间内有最值，]2,0[)44sin(3)(ππ在+=x x f 内的最小值与最大值分别是0与223. 3.在ABC ∆中，F E ,分别为AC AB ,的中点，则有BC EF //，此问题的大前提为（ ） A.三角形中的中位线平行于第三边 B. 三角形的中位线等于第三边的一半C.EF 为中位线D. BC EF // 【答案】A 【解析】此问题的大前提便是三角形中位线的性质结论，即三角形中的中位线平行于第三边. B 选项中的结论在这没用到，C 选项中EF 为中位线即转述F E ,分别为AC AB ,的中点，此为该题的小前提，而D 选项BC EF //是结论，故B 、C 、D 错，A 正确. 4. 函数xy 1=在点4=x 处的导数是 ( )A ．81 B ．81- C ．161 D ．161- 【答案】D 【解析】函数xy 1=的导函数是3121xy -='，当4=x 时，161-='y . 5．设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是（ ）A ．22-B ．335- C ．－3 D ．27-【答案】C 【解析】令)(sin 3,cos 6R b a ∈==ααα，则))(sin(3sin 3cos 6R b a ∈++=+=+ϕαϕααα，于是其最小值为3-.6. 在ABC ∆中，CD BC AC ,>是AB 边上的高，求证：BCD ACD ∠>∠.证明：在ABC ∆中，BC AC BC AC >>, ， ①BD AD >∴ ② 于是BCD ACD ∠>∠ ③ 则在上面证明的过程中错误的序号是（ ）A.①B.②C.③D. ①③ 【答案】C【解析】①②都正确，而对于③中的结论BCD ACD ∠>∠，只有在同一三角形中才有大边对大角的结论成立.7．)1,2(),2,1(-== 012)2(1=⨯+-⨯=⋅∴ ⊥大前提：________________________; 小前提：________________________; 结论：________________________.【答案】⊥⇒=⋅0; 012)2(1=⨯+-⨯=⋅; ⊥.【解析】结合题目已知的证明过程，答案易知.8.已知：空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，则直线EF 与平面ABD 的关系是_______________________. 【答案】//EF 面ABD【解析】连接BD ，因为F E ,分别为CD BC ,的中点，所以 EF ∥BD.又因为⊄EF 面ABD ，⊂BD 面ABD ，故//EF 面ABD .9.△ABC 三边长,,a b c 的倒数成等差数列，求证：角B 090<.【证明】222cos 2a c b B ac +-=≥222ac b ac -=212b ac -=211()b bb ac a c -=-++ ,,a b c 为△ABC 三边，a c ∴+b >，1ba c∴-+0>cos B ∴0> ∴B 090<. 10. 若数列{}n a 的前n 项和为2)(1n n a a n s +=，求证：数列{}n a 为等差数列。

推理与证明、算法初步、复数【教材分析】算法初步是人教A版普通高中课程标准实验教科书数学（必修3）第一章的内容，推理与证明是人教A版普通高中课程标准实验教科书数学（选修2-2）第二章的内容，复数是人教A版普通高中课程标准实验教科书数学（必修2-2）第三章的内容。

其中合情推理、演绎推理、程序框图、复数的相关概念及计算相对简单，故复习的时候将这三章放在一起。

【学情分析】在目前小班化形势下，学生已经分组并要求进行捆绑评价。

知识方面学生已经学习完了高中所有课程，对推理、算法初步、复数掌握较好，在本阶段需重点复习数学归纳法。

【教学环境分析】根据本节内容程序框图比较多的特点，选择多媒体教室环境，程序框图用多媒体展示很大程度上提高课堂效率。

【教学目标】知识目标：了解合情推理与演绎推理的含义，并能运用它们进行一些简单推理；能用数学归纳法证明一些简单的数学命题；.理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件、循环．能力目标：培养类比推理和转化能力思想。

情感目标：体验数学中的美感，体验自主学习的成就感，提高学习探究的兴趣。

【教学重点】复数、程序框图、数学归纳法【教学难点】数学归纳法【教学过程】1、教师布置并批改导学案（导学案附在后面）。

学生完成并上交导学案（完成1-4,8-28题），准备展示用的白板。

2、课堂教学过程。

一、导入新课：教师活动：1、评价导学案完成情况。

为优秀小组、优秀个人进行加分和鼓励。

2、幻灯片展示合情推理与演绎推理的概念，复数的概念以及四则运算法则。

二、新课讲解（一）合情推理与演绎推理1．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…则a 10＋b 10等于( )A ．28B ．76C ．123D ．1992．(2015·济南模拟)有一个奇数组成的数阵排列如下： 1 3 7 13 21 … 5 9 15 23 … … 11 17 25 … … … 19 27 … … … … 29 … … … … … … … … … … …则第30行从左到右第3个数是________ 3．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD2＝1AB2＋1AC 2，那么在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由． 4．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .学生活动：四个小组成员用小白板展示并讲解1-4题。

第三章 推理与证明 §3综合法与分析法基础自主预习1.综合法：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近证明的结论，直到完成命题的证明，这样的思维方法称为综合法。

若P 表明命题的条件，已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可以用以下的框图表示：它是从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，由因导果，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件。

2.分析法：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前个结论成立的充分条件。

直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这样的思维方法称为分析法。

若用Q 表示要证明的结论，则分析法可以用以下的框图表示：它是综合法的逆过程，即从“未知”看“需知”。

执果索因，逐步靠拢“已知”。

3.综合法与分析法的区别与联系：①综合法证明是“由因索果”，分析法证明是“执果索因”；②分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述；③分析法的缺点是表述易错（注意分析法独特的表述！）综合法缺点是探路艰难，易生枝节；④对于难题，常把二者交互使用，互补优缺，形成了分析综合法.练习：设R b a ∈,，且b a >，则（ ）A.22b a >B.1<a bC.0)lg(>-b aD.ba⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛2121 【答案】D练习： ） Ａ．综合法 Ｂ．分析法 Ｃ．间接证法 Ｄ．合情推理法 【答案】Ｂtan(A分析法由要证明的结论Q思考，一步步知能达标训练1.命题“如果数列}{n a 的前n 项和n n S n -=2，那么数列}{n a 一定是等差数列”是否成立（ ）A.不成立B.成立C.不能判定 D 能判定. 【答案】Ｂ【解析】当2≥n 时，221-=-=-n S S a n n n ，当1=n 时，011211=-==S a 也满足上式，故)1(21≥=--n a a n n ，所以}{n a 是等差数列.2.（2010—2011学年度上学期中山市镇区高中高三联考文，3）已知a R ∈，则“2a >”是“22a a >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】a a a 222>⇒> ，但222>⇒>a a a 或0<a .∴“2a >”是“22a a >”的充分不必要条件.3.已知函数xxx f +-=11lg )(，若b a f =)(，则)(a f -等于（ ） A.a B.b - C.b 1 D. b1-【答案】Ｂ【解析】易证xxx f +-=11lg)(为奇函数，.)()(b a f a f -=-=-∴ 4．已知平面αβ，和直线m ，给出条件：①m α∥；②m α⊥；③m α⊂；④αβ⊥；⑤αβ∥．（1）当满足条件_____时，有m β∥，（2）当满足条件_____时，有m β⊥．（填所选条件的序号） 【答案】③⑤，②⑤ 【解析】对于（1），是据面面平行来证线面平行而得出的；对于（2），是据“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则其与另一个平面也垂直”这个结论来得的. 5．已知a b c +∈R ，，，且1a b c ++=，求证：.8)11)(11)(11(≥---cb a 证明过程如下：∵a b c +∈R ，，，且1a b c ++=，110b c a a +-=>∴，110a c b b +-=>，110a bc c+-=>，.)11)(11)(11(ac b c b a +=---8a c a b b c ++=·， 当且仅当a b c ==时取等号，∴不等式成立．这种证法是_________．（综合法、分析法或反证法） 【答案】综合法【解析】据综合法的证明思路便可得出.智能提升作业1.设a b c d ，，，，m n +∈R ，，P =Q = ） Ａ．P Q ≥ Ｂ．P Q ≤ Ｃ．P Q > Ｄ．P Q < 【答案】Ｂ 【解析】cd ab abcd cd ab nadm m ncb cd ab n d m b nc ma Q +=++≥+++=+⋅+=22．若π04αβ<<<，sin cos a αα+=，sin cos b ββ+=，则（ ） Ａ．a b < Ｂ．a b > Ｃ．1ab < Ｄ．2ab > 【答案】Ａ【解析】)4sin(2cos sin ),4sin(2cos sin πβββπααα+=+=+=+=b a且结合已知，有2444ππβπαπ<+<+<，故有a b <.3．已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a b +∈R ，，2a b A f +⎛⎫= ⎪⎝⎭，B f =，ab C f a b ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则A B C ，，的大小关系（ ）Ａ．A B C ≤≤ Ｂ．A C B ≤≤ Ｃ．B C A ≤≤ Ｄ．C B A ≤≤【答案】Ａ【解析】据不等式的性质知b a ab ab b a +≥≥+2，又1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为单调递减函数，故有 A B C ≤≤.4.在ABC ∆中，有：①;BC AC AB =- ②;0=++CA BC AB ③若0)()(=-⋅+AC AB AC AB ，则A B C ∆为等腰三角形;④若,0>⋅AC AB 则ABC ∆为锐角三角形.上述说法正确的是（ ）A. ①②B. ①④C. ②③D. ②③④ 【答案】C【解析】=-,故①错；若,0>⋅则只能说明A 为锐角，ABC ∆不一定为锐角三角形，因为其它角可能不是锐角,故④错；据向量的运算规律与性质易知②③正确. 5．012<-+ax ax 恒成立，则a 的取值范围是（ ）A.0≤aB.4-<aC.04<<-aD. 04≤<-a 【答案】D【解析】需讨论：当0=a 时，有01<-，显然成立；当0≠a 时，只能0<a ，且042<+=∆a a 才成立，综合知04≤<-a .6．（昆明一中2011届高三年级第二次月考理，4）已知向量且)1,(sin ),2,(cos αα=-=∥4tan(πα-则）等（ ）A ．3B ．－3C ．31D ．－31【答案】B【解析】3tan 11tan )4tan(,21tan 0sin 21cos //-=+-=--=⇒=+⋅⇒ααπαααα. 7．三次函数3()1f x ax =-在),(+∞-∞内是减函数，则a 的取值范围是_______． 【答案】0a <【解析】因为3()1f x ax =-是减函数，只能3ax 是递减的，而3x y =是一个递增函数，故只能是0a <才行.8．若抛物线2y mx =与椭圆22195x y +=有一个共同的焦点，则m =_______．【答案】8±【解析】因为椭圆22195x y +=的焦点是)0,2(),0,2(-，故抛物线2y mx =中应有24±=m ，故8±=m .9.设函数()f x 对任意∈R ，x y ，都有()()()f x y f x f y +=+，且0x >时，()0f x <． （1）证明()f x 为奇函数；（2）证明()f x 在R 上为减函数．【证明】（1）,,R y x ∈ ()()()f x y f x f y +=+，∴令0x y ==，(0)(0)(0)f f f =+，(0)0f =∴，令y x =-，代入()()()f x y f x f y +=+，得(0)()()f f x f x =+-， 而(0)0f =，()()()f x f x x -=-∈R ∴， ()f x ∴是奇函数；（2）任取12x x ∈R ，，且12x x <， 则210x x x ∆=->，21()()0f x f x x ∆=-<∴．又2121()()()f x x f x f x -=+-，()f x ∵为奇函数，11()()f x f x -=-∴，21()()()0f x f x f x ∆=-<∴，即21()()0f x f x -<， ()f x ∴在R 上是减函数．10.已知：a 2+b 2=1，x 2+y 2=1，求证：ax +by ≤1. 证法1：用综合法.∵2ax ≤a 2+x 2，2by ≤b 2+y 2， ∴2（ax ＋by ）≤a 2+b 2+x 2+y 2. 又a 2+b 2=1，x 2+y 2=1， ∴2（ax +by ）≤2， ∴ax +by ≤1. 证法2：用分析法.要证ax +by ≤1成立，只要证1－（ax +by ）≥0. 只要证2－2ax －2by ≥0. 又∵a 2+b 2=1，x 2+y 2=1，∴只要证：a 2+b 2+x 2+y 2－2ax －2by ≥0. 即证：（a －x ）2+（b －y ）2≥0， 上式显然成立. ∴ax +by ≤1成立.教学参考本节主要学习证明问题的两种直接证法：综合法与分析法，从而为同学们熟练证明数学问题提供方向，所以同学们必须熟练掌握这两种证题方式，以能灵活运用. 一、教学内容分析通过本节内容的学习，结合已学过的数学实例，正确认识综合法和分析法在证明过程中的重要作用，针对具体问题选择合适的证明方法，养成勤于观察、善于思考的数学品质,实现自己数学学习的又一次飞跃. 二、教学重点难点教学重点：结合已学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：综合法与分析法，以及其各自的思考过程、特点.教学难点：根据问题的特点，对照综合法与分析法各自的思考过程、特点，选择适当的方法来证明，或将两种不同的方法结合起来使用. 三、教学建议学生们对综合法与分析法在平时的证明问题中并不陌生，因为经常会用到它们来证明问题，但他们对这些证明方法的基本内涵和特点不一定非常清楚，为了帮助同学们理清证题思路，现归纳如下：分析法是从求证的结论出发，一步一步地探索保证前个结论成立的充分条件，此法解题 方向较为明确，利于寻找解题思路；综合法是从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近证明的结论，直到完成命题的证明，综合法形式简捷，条理清晰，宜于表述．因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程.为了让学生们认识和理解两种方法的相似之处和内在联系以及用它们来熟练解决问题的方式，必须充分动用学生已有的数学活动和生活经验，在此基础上进行概括和总结，在理解证明方法的基础上，对证明的规范要有严格的要求，要重视证明的表述.作为重要的思维方法，综合法和分析法也是两种重要的探索方法，在教学中要注意解题思路的探索过程，要重视方法的运用，并相信学生会在今后的运用过程中，会深化对方法的认识，并提高能力.。

认识逻辑的基本规律导学案导入：初识逻辑的力量清晨，村长发现村口有一男一女围着一堆西瓜在争吵。

男的说:“这瓜是你从我的地里偷出来的。

”妇女说:“你诬赖好人，瓜是我从自家地里摘下来的。

”村长经过仔细观察后对妇女说:“你把这瓜按成熟的和未成熟的分成两堆，数数各堆有多少。

”妇女有一丝慌乱，但也只好照办，分好后说:“成熟的12个，未成熟的10个。

”村长冷冷一笑，指着妇女说:“你就是偷瓜的贼!”妇女无言地低下了头。

同学们思考一下: 女人的所作所为存在怎样的漏洞?村长是如何判断谁是偷瓜贼的?单元导语P93：生活和学习中，逻辑无处不在。

每天我们都会接触到海量信息，懂一点儿逻辑，可以更好地辨识信息，把握事实真相;我们常常要对生活中的现象发表观点，作出论证，学习逻辑，可以使思维更缜密，论证更严谨，语言表达更准确;我们在工作学习中也往往会基于事实进行推理，作出判断，掌握一些逻辑方法,可以帮助我们合理思考，由已知探寻未知。

任务一:认识逻辑的基本规律，了解常见的逻辑错误1.判断毛不易歌曲《无名的人》中“无名”的词义。

我是这路上没名字的人我没有新闻没有人评论要拼尽所有换得普通的剧本曲折辗转不过谋生我是离开小镇上的人是哭笑着吃过饭的人是赶路的人是养家的人是城市背景的无声我不过想亲手触摸弯过腰的每一刻往留下的湿透的脚印是不是值得这哽咽若你也相同就是同路的朋友致所有顶天立地却平凡普通的人无名的人啊……无名的人啊车来啦太多的牵挂就别回头啊无名的人啊车开啦往前吧带着你的梦《汉语大词典》“无名”的释义：1.没有名声，名声不显于世；2.没有名称，没有名字；3.不可名状。

一、同一律概念：就是指在同一思维过程中，概念和判断具有确定性，要始终保持一致。

不能中途偷换概念,改变话题。

“同一思维过程”是指同一时间、同一关系、同一思维对象三个方面的“三同一”思维过程。

2.违反同一律的会出现的逻辑谬误[例1]人，已经存在几百万年了;而你，没有存在几百万年;所以你不是人![例2]左然说:“陆景和那么有钱的人，居然在路边吃麻辣烫。

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本文题目：高三理科数学复习教案：推理与证明复习教学案高考导航考试要求重难点击命题展望1.了解合情推理的含义.2.能利用归纳与类比等进行简单的推理.3.体会并认识合情推理在数学发现中的作用.4.了解演绎推理的重要性.5.掌握演绎推理的基本模式：三段论.6.能运用演绎推理进行简单的推理.7.了解演绎推理、合情推理的联系与区别.8.了解直接证明的两种基本方法：分析法与综合法.9.了解分析法与综合法的思维过程、特点.10.了解反证法是间接证明的一种基本方法及反证法的思维过程、特点.11.了解数学归纳法的原理.12.能用数学归纳法证明一些简单的与自然数有关的数学命题. 本章重点：1.利用归纳与类比进行推理;2.利用三段论进行推理与证明;3.运用直接证明(分析法、综合法)与间接证明(反证法)的方法证明一些简单的命题;4.数学归纳法的基本思想与证明步骤;运用数学归纳法证明与自然数n(nN*)有关的数学命题.本章难点：1.利用归纳与类比的推理来发现结论并形成猜想命题;2.根据综合法、分析法及反证法的思维过程与特点选取适当的证明方法证明命题;3.理解数学归纳法的思维实质，特别是在第二个步骤要根据归纳假设进行推理与证明. 推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.本章要求考生通过对已有知识的回顾与总结，进一步体会直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等数学思维过程以及合情推理、演绎推理之间的联系与差异，体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法.本章是新课程考纲中新增的内容，考查的范围宽，内容多，涉及数学知识的方方面面，与旧考纲相比，增加了合情推理等知识点，这为创新性试题的命制提供了空间.知识网络14.1 合情推理与演绎推理典例精析题型一运用归纳推理发现一般性结论【例1】通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假.sin215+sin275+sin2135sin230+sin290+sin2150sin245+sin2105+sin2165sin260+sin2120+sin2180=32.【解析】猜想：sin2(-60)+sin2+sin2(+60)=32.左边=(sin cos 60-cos sin 60)2+sin2+(sin cos 60+cos sin 60)2=32(sin2+cos2)=32=右边.【点拨】先猜后证是一种常见题型;归纳推理的一些常见形式：一是具有共同特征型，二是递推型，三是循环型(周期性).【变式训练1】设直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有a+b①a2+b2②a3+b3c5+h5.其中正确结论的序号是 ;进一步类比得到的一般结论是 .【解析】②③;an+bn题型二运用类比推理拓展新知识【例2】请用类比推理完成下表：平面空间三角形两边之和大于第三边三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的面积等于任意一边的长度与这边上的高的乘积的一半三棱锥的体积等于任意一个底面的面积与该底面上的高的乘积的三分之一三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长的乘积的一半【解析】本题由已知的前两组类比可得到如下信息：①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象;②三角形各边的边长与三棱锥各面的面积是类比对象;③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象;④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象;⑤三角形的面积公式中的二分之一与三棱锥的体积公式中的三分之一是类比对象.由以上分析可知：故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一.本题结论可以用等体积法，将三棱锥分割成四个小的三棱锥去证明，此处从略.【点拨】类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论.一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比列表如下：平面空间点线线面圆球三角形三棱锥角二面角面积体积周长表面积【变式训练2】面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i=1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离为hi(i=1,2,3,4)，(1)若a11=a22=a33=a44=k，则 =;(2)类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i=1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i=1,2,3,4)，若S11=S22=S33=S44=K，则 = .【解析】2Sk;3VK.题型三运用三段论进行演绎推理【例3】已知函数f(x)=ln ax-x-ax(a0).(1)求此函数的单调区间及最值;(2)求证：对于任意正整数n，均有1+12+13++1nln enn!. 【解析】(1)由题意f(x)=x-ax2.当a0时，函数f(x)的定义域为(0，+)，此时函数在(0，a)上是减函数，在(a，+)上是增函数，fmin(x)=f(a)=ln a2，无最大值.当a0时，函数f(x)的定义域为(-，0)，此时函数在(-，a)上是减函数，在(a,0)上是增函数，fmin(x)=f(a)=ln a2，无最大值.(2)取a=1，由(1)知，f(x)=ln x-x-1xf(1)=0，故1x1-ln x=ln ex，取x=1,2,3，，n，则1+12+ 13++1nln e+ln e2++ln en=ln enn!. 【点拨】演绎推理是推理证明的主要途径，而三段论是演绎推理的一种重要的推理形式，在高考中以证明题出现的频率较大.【变式训练3】已知函数f(x)=eg(x)，g(x)=kx-1x+1(e是自然对数的底数)，(1)若对任意的x0，都有f(x)(2)求证：ln(1+12)+ln(1+23)++ln[1+n(n+1)]2n-3(nN*). 【解析】(1)由条件得到f(1) k2ln 2+13，猜测最大整数k=2，现在证明 0恒成立：2，设h(x)=ln(x+1)+3x+1，则h(x)=1x+1-3(x+1)2=x-2(x+1)2. 故x(0,2)时，h(x)0，当x(2，+)时，h(x)0.所以对任意的x0都有h(x)h(2)=ln 3+12，即 0恒成立，所以整数k的最大值为2.(2)由(1)得到不等式2-3x+1所以ln[1+k(k+1)]2-3k(k+1)+12-3k(k+1)，ln(1+12)+ln(1+23)++ln[1+n(n+1)](2-312)+(2-323)++[2-3n(n+1)]=2n-3[112+123++1n(n+1)]=2n-3+3n+12n-3，所以原不等式成立.总结提高合情推理与演绎推理是两种基本的思维推理方式.尽管合情推理(归纳、类比)得到的结论未必正确，但归纳推理与类比推理具有猜想和发现新结论、探索和提供证明的新思路的重要作用，特别在数学学习中，我们可以由熟悉的、已知的知识领域运用归纳、类比思维获取发现和创造的灵感去探索陌生的、未知的知识领域.演绎推理是数学逻辑思维的主要形式，担负着判断命题真假的重要使命.如果说合情推理是以感性思维为主，只需有感而发;那么演绎推理则是以理性思维为主，要求言必有据.在近几年高考中一道合情推理的试题往往会成为一套高考试题的特色与亮点，以彰显数学思维的魅力.其中数列的通项公式、求和公式的归纳、等差数列与等比数列、平面与空间、圆锥曲线与圆、杨辉三角等的类比的考查频率较大.而演绎推理的考查则可以渗透到每一道试题中.14.2 直接证明与间接证明典例精析题型一运用综合法证明【例1】设a0，b0，a+b=1，求证：1a+1b+1ab8.【证明】因为a+b=1，所以1a+1b+1ab=a+ba+a+bb+a+bab=1+ba+1+ab+a+bab2++a+b(a+b2)2=2+2+4=8，当且仅当a=b=12时等号成立. 【点拨】在用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从已知逐渐引出结论.【变式训练1】设a，b，c0，求证：a2b+b2c+c2aa+b+c. 【证明】因为a，b，c0，根据基本不等式，有a2b+b2a，b2c+c2b，c2a+a2c.三式相加：a2b+b2c+c2a+a+b+c2(a+b+c).即a2b+b2c+c2aa+b+c.题型二运用分析法证明【例2】设a、b、c为任意三角形三边长，I=a+b+c，S=ab+bc+ca.求证：I24S.【证明】由I2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=a2+b2+c2+2S，故要证I24S，只需证a2+b2+c2+2S4S，即a2+b2+c22S.欲证上式，只需证a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca0，即证(a2-ab-ac)+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)0，只需证三括号中的式子均为负值即可，即证a2显然成立，因为三角形任意一边小于其他两边之和.故I24S.【点拨】(1)应用分析法易于找到思路的起始点，可探求解题途径.(2)应用分析法证明问题时要注意：严格按分析法的语言表达;下一步是上一步的充分条件.【变式训练2】已知a0，求证：a2+1a2-2a+1a-2.【证明】要证a2+1a2-2a+1a-2，只要证a2+1a2+2a+1a+2.因为a0，故只要证(a2+1a2+2)2(a+1a+2)2，即a2+1a2+4a2+1a2+4a2+2+1a2+22(a+1a)+2，从而只要证2a2+1a22(a+1a)，只要证4(a2+1a2)2(a2 +2+1a2)，即a2+1a22，而该不等式显然成立，故原不等式成立.题型三运用反证法证明【例3】若x，y都是正实数，且x+y2.求证：1+xy2或1+yx2中至少有一个成立.【证明】假设1+xy2和1+yx2都不成立.则1+xy2，1+yx2同时成立.因为x0且y0，所以1+x2y且1+y2x，两式相加得2+x+y2x+2y，所以x+y2，这与已知条件x+y2相因此1+xy2与1+yx2中至少有一个成立.【点拨】一般以下题型用反证法：①当结论的反面比结论本身更简单、更具体、更明确;②否定命题，唯一性命题，存在性命题，至多至少型命题;③有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及到无限个元素，用直接证明形式比较困难因而往往采用反证法.【变式训练3】已知下列三个方程：x2+4ax-4a+3=0;x2+(a-1)x+a2=0;x2+2ax-2a=0，若至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围.【解析】假设三个方程均无实根，则有由(4a)2-4(-4a+3)0，得4a2+4a-30，即-32由(a-1)2-4a20，得(a+1)(3a-1)0，即a-1或a由(2a)2-4(-2a)0，得a(a+2)0，即-2以上三部分取交集得M={a|-32总结提高分析法与综合法各有其优缺点：分析法是执果索因，比较容易寻求解题思路，但叙述繁琐;综合法叙述简洁，但常常思路阻塞.因此在实际解题时，需将两者结合起来运用，先用分析法寻求解题思路，再用综合法简洁地叙述解题过程.从逻辑思维的角度看，原命题pq与逆否命题 q p是等价的，而反证法是相当于由 q推出 p成立，从而证明了原命题正确.因此在运用反证法的证明过程中要特别注意条件 q的推理作用.综合法与分析法在新课标中第一次成为独立的显性的课题，预测可能有显性的相关考试命题.反证法证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知矛盾，或与假设矛盾或与定义、公理、公式事实矛盾等. 14.3 数学归纳法典例精析题型一用数学归纳法证明恒等式【例1】是否存在常数a、b、c，使等式12+22+32++n2+(n-1)2++22+12=an(bn2+c)对于一切nN*都成立?若存在，求出a、b、c并证明;若不存在，试说明理由. 【解析】假设存在a、b、c使12+22+32++n2+(n-1)2++22+12=an(bn2+c)对于一切nN*都成立.当n=1时，a(b+c)=1;当n=2时，2a(4b+c)=6;当n=3时，3a(9b+c)=19.解方程组解得证明如下：当n=1时，显然成立;假设n=k(kN*，k1)时等式成立，即12+22+32++k2+ (k-1)2 ++22+12=13k(2k2+1);则当n=k+1时，12+22+32++k2+(k+1)2+k2+(k-1)2++22+12=13k(2k2+1)+(k+ 1)2+k2=13k(2k2+3k+1)+(k+1)2=13k(2k+1)(k+1)+(k+1)2=13(k+1)(2k2+4k+3)=13(k+1)[2(k+1)2+1].因此存在a=13，b=2，c=1，使等式对一切nN*都成立. 【点拨】用数学归纳法证明与正整数n有关的恒等式时要弄清等式两边的项的构成规律：由n=k到n=k+1时等式左右各如何增减，发生了怎样的变化.【变式训练1】用数学归纳法证明：当nN*时，113+135++1(2n-1)(2n+1)=n2n+1.【证明】(1)当n=1时，左边=113=13，右边=121+1=13，左边=右边，所以等式成立.(2)假设当n=k(kN*)时等式成立，即有113+135++1(2k-1)(2k+1)=k2k+1，则当n=k+1时，113+135++1(2k-1)(2k+1)+1(2k+1)(2k+3)=k2k+1+1(2k+1)( 2k+3)=k(2k+3)+1(2k+1)(2k+3)=2k2+3k+1(2k+1)(2k+3)=k+12k+3 =k+12(k+1)+1，所以当n=k+1时，等式也成立.由(1)(2)可知，对一切nN*等式都成立.题型二用数学归纳法证明整除性问题【例2】已知f(n)=(2n+7)3n+9，是否存在自然数m使得任意的nN*，都有m整除f(n)?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.【解析】由f(1)=36，f(2)=108，f(3)=360，猜想：f(n)能被36整除，下面用数学归纳法证明.(1)当n=1时，结论显然成立;(2)假设当n=k(k1，kN*)时结论成立，即f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除.则当n=k+1时，f(k+1)=(2k+9)3k+1+9=3[(2k+7)3k+9]+18(3k-1-1)，由假设知3[(2k+7)3k+9]能被36 整除，又3k-1-1是偶数，故18(3k-1-1)也能被36 整除.即n=k+1时结论也成立.故由(1)(2)可知，对任意正整数n都有f(n)能被36整除. 由f(1)=36知36是整除f(n)的最大值.【点拨】与正整数n有关的整除性问题也可考虑用数学归纳法证明. 在证明n=k+1结论也成立时，要注意凑形，即凑出归纳假设的形式，以便于充分利用归纳假设的条件.【变式训练2】求证：当n为正整数时，f(n)=32n+2-8n-9能被64整除.【证明】方法一：①当n=1时，f(1)=34-8-9=64，命题显然成立.②假设当n=k(k1，kN*)时结论成立，即f(k)=32k+2-8k-9能被64整除.由于32(k+1)+2-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+98k+99-8(k+1)-9=9( 32k+2-8k-9)+64(k+1)，即f(k+1)=9f(k)+64(k+1)，所以n=k+1时命题也成立.根据①②可知，对任意的nN*，命题都成立.方法二：①当n=1时，f(1)=34-8-9=64，命题显然成立.②假设当n=k(k1，kN*)时，f(k)=32k+2-8k-9能被64整除.由归纳假设，设32k+2-8k-9=64m(m为大于1的自然数)，将32k+2=64m+8k+9代入到f(k +1)中得f(k+1)=9(64m+8k+9)-8(k+1)-9=64(9m+k+1)，所以n=k+1时命题也成立.根据①②可知，对任意的nN*，命题都成立.题型三数学归纳法在函数、数列、不等式证明中的运用【例3】(2009山东)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数y=bx+r(b0且b1，b，r均为常数)的图象上.(1)求r的值;(2)当b=2时，记bn=2(log2an+1)(nN*)，求证：对任意的nN*，不等式b1+1b1b2+1b2bn+1bnn+1成立.【解析】(1)因为点(n，Sn)均在函数y=bx+r(b0且b1，b，r 均为常数)的图象上，所以Sn=bn+r(b0且b1，b，r均为常数).当n=1时，a1=S1=b+r;当n2时，an=Sn-Sn-1=bn+r-bn-1-r=(b-1)bn-1.又数列{an}为等比数列，故r=-1且公比为b.(2)当b=2时，an=2n-1，所以bn=2(log2an+1)=2(log22n-1+1)=2n(nN*)，所以bn+1bn=2n+12n，于是要证明的不等式为32542n+12nn+1对任意的nN*成立. 下面用数学归纳法证明.当n=1时，322显然成立.假设当n=k时不等式成立，即32542k+12kk+1.则当n=k+1时，32542k+12k2k+32k+2k+12k+32k+2=k+1(2k+32k+2)2=(2k+3) 24(k+1)=[2(k+1)+1]24(k+1)=4(k+1)2+4(k+1)+14(k+1)=(k+1)+1+1 4(k+1)(k+1)+1，即当n=k+1时不等式成立，所以原不等式对任意nN*成立. 【点拨】运用归纳推理得到的结论不一定正确，需进行证明.用数学归纳法证明不等式时必须要利用归纳假设的条件，并且灵活运用放缩法、基本不等式等数学方法.【变式训练3】设函数f(x)=ex-1+ax(aR).(1)若函数f(x)在x=1处有极值，且函数g(x)=f(x)+b在(0，+)上有零点，求b的最大值;(2)若f(x)在(1,2)上为单调函数，求实数a的取值范围;(3)在(1)的条件下，数列{an}中a1=1，an+1=f(an)-f(an)，求|an+1-an|的最小值.【解析】(1)f(x)=ex-1-ax2，又函数f(x)在x=1处有极值，所以f(1)=0，即a=1，经检验符合题意.g(x)=ex-1-1x2，当x(0,1)时，g(x)0，g(x)为减函数，当x=1时，g(x)=0，当x(1，+)时g(x)0，g(x)为增函数.所以g(x)在x=1时取得极小值g(1)=2+b，依题意g(1)0，所以b-2，所以b的最大值为-2.(2)f(x)=ex-1-ax2，当f(x)在(1,2)上单调递增时，ex-1-ax20在[1,2]上恒成立，所以ax2ex-1，令h(x)=x2 ，则h(x)=ex-1(x2+2x)0在[1,2]上恒成立，即h(x)在[1,2]上单调递增，所以h(x)在[1,2]上的最小值为h(1)=1，所以a当f(x)在[1,2]上单调递减时，同理ax2ex-1，h(x)=x2ex-1在[1,2]上的最大值为h(2)=4e，所以a4e.综上实数a的取值范围为a1或a4e.(3)由(1)得a=1，所以f(x)-f(x)=1x+1x2，因此an+1=1an+1a2n，a1=1，所以a2=2，可得02.用数学归纳法证明如下：①当n=1时，a3=34，a4=289，结论成立;②设n=k，kN*时结论成立，即02，则n=k+1时，a2k+3=1a2k+2+1a22k+212+12=1，所以01+1=2.所以n=k+1时结论也成立，根据①②可得02恒成立，所以|an+1-an|a2-a1=2-1=1，即|an+1-an|的最小值为1. 总结提高数学归纳法是证明与自然数有关的命题的常用方法，它是在归纳的基础上进行的演绎推理，其大前提是皮亚诺公理(即归纳公理)：设M是正整数集合的子集，且具有如下性质：①1②若kM，则k+1M，那么必有M=N*成立.数学归纳法证明的两个步骤体现了递推的数学思想，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，通过对两个命题的证明替代了无限多次的验证，实现了有限与无限的辩证统一.从近几年的高考试题来看，比较注重于对数学归纳法的思想本质的考查，如归纳、猜想、证明是一种常见的命题形式.而涉及的知识内容也是很广泛的，可覆盖代数命题、三角恒等式、不等式、数列、几何命题、整除性命题等.其难点往往在第二步，关键是凑形以便运用归纳假设的条件.。

2．1.1合情推理(一)【学习要求】1．了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理．2．了解归纳推理在数学发展中的作用．【学法指导】归纳是推理常用的思维方法，其结论不一定正确，但具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养.【知识要点】1．推理：根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个，这种思维方式就是推理．推理一般由两部分组成：和________．2．合情推理：前提为真时，结论的推理，叫做合情推理．3．归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的都具有这种性质的推理．4．归纳推理具有如下的特点：（1）归纳推理是从到的推理；（2）由归纳推理得到的结论正确；（3）归纳推理是一种具有创造性的推理.【问题探究】探究点一归纳推理的定义问题1在日常生活中我们常常遇到这样一些问题：看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时，我们会得出一个判断——天要下雨了；张三今天没来上课，我们会推断——张三一定生病了；谚语说：“八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯”等，像上面的思维方式就是推理，请问你认为什么是推理？问题2在等差数列{a n}中：a1＝a1＋0d，a2＝a1＋d＝a1＋1d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，……观察可得什么结论？问题3设f(n)＝n2＋n＋41，n∈N*，计算f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想的结论是否正确．探究点二归纳推理的应用例1已知数列{a n}的第1项a1＝1，且a n＋1＝a n1＋a n(n＝1,2,3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．跟踪训练1已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1(n＝1,2,3，…)．（1）求a2，a3，a4，a5；（2）归纳猜想通项公式a n.例2在法国巴黎举行的第52届世兵赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)＝______；f(n)＝______(答案用含n的代数式表示)．跟踪训练2在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…由此猜想凸n(n≥4且n∈N*)边形有几条对角线？例3观察下列等式，并从中归纳出一般法则．（1）1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，1＋3＋5＋7＋9＝52，……（2）1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝524＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92，……跟踪训练3在△ABC中，不等式1A＋1B＋1C≥9成立；在四边形ABCD中，不等式1A＋1B＋1C＋1D≥16成立；在五边形ABCDE中，不等式1A＋1B＋1C＋1D＋1E≥253π成立．猜想在n边形A1A2…A n中有怎样的不等式成立_______．【当堂检测】1．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若6＋ab＝6ab(a、b均为实数)．请推测a＝______，b＝________.2．将全体正整数排成一个三角形数阵：12 345 6789101112131415……………………按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________． 3．已知正项数列{a n }满足S n ＝12(a n ＋1a n )，求出a 1，a 2，a 3，a 4，并推测a n .【课堂小结】归纳推理的一般步骤（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理，发现某些相同的性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题，提出带有规律性的结论，即猜想，注意：一般性的命题往往要用字母表示，这时需注明字母的取值范围.【拓展提高】2.1.1 合情推理(二)【学习要求】1．通过具体实例理解类比推理的意义． 2．会用类比推理对具体问题作出判断．【学法指导】类比推理是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式．归纳和类比是合情推理常用的思维方法，其结论不一定正确【知识要点】1．类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有___________________________的推理，叫做类比推理(简称类比)． 2．类比推理的一般步骤：（1）找出两类事物之间的 ；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个 .【问题探究】探究点一 平面图形与立体图形间的类比阅读下面的推理，回答后面提出的问题：1．科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征： （1）火星也是绕太阳运行、绕轴自转的行星； （2）有大气层，在一年中也有季节变更；（3）火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等．科学家猜想：火星上也可能有生命存在．2．根据等式的性质猜想不等式的性质．等式的性质： 猜想不等式的性质： （1）a ＝b ⇒a ＋c ＝b ＋c; （1）a >b ⇒a ＋c >b ＋c ； （2）a ＝b ⇒ac ＝bc; （2）a >b ⇒ac >bc ； （3）a ＝b ⇒a 2＝b 2等等. （3）a >b ⇒a 2>b 2等等．问题1 这两个推理实例在思维方式上有什么共同特点？问题2 猜想正确吗？问题3例1 如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i (i ＝1,2,3,4)，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4＝2Sk，类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i (i ＝1,2,3,4)，若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝K ，则H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4等于多少？跟踪训练1 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2＝BC 2”．拓展到空间(如图)，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的结论是_________________________________________．探究点二 定义、定理或性质中的类比例2 在等差数列{a n }中，若a 10＝0，证明等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N ＋)成立，并类比上述性质相应在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式________成立．跟踪训练2 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．【当堂检测】1．下列说法正确的是 ( ) A ．由合情推理得出的结论一定是正确的 B ．合情推理必须有前提、有结论 C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论不能判断正误2．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．3．若数列{c n }是等差数列，则当d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nn 时，数列{d n }也是等差数列，类比上述性质，若数列{a n }是各项均为正数的等比数列，则当b n ＝_________时，数列{b n }也是等比数列． 4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的________．【课堂小结】1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向． 2．合情推理的过程概括为：从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想【拓展提高】2.1.2 演绎推理【学习要求】1．理解演绎推理的意义．2．掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理． 3．了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．【学法指导】演绎推理是数学证明的主要工具，其一般模式是三段论．学习中要挖掘证明过程包含的推理思路，明确演绎推理的基本过程.【知识要点】1．演绎推理：由概念的定义或一些真命题，依照_____________得到 的过程，通常叫做演绎推理． 2．演绎推理的特征是：当前提为真时，结论 ． 3．演绎推理经常使用三段论推理，三段论一般可表示：________________；所以，S 是P .【问题探究】探究点一 演绎推理与三段论问题1 分析下面几个推理，找出它们的共同点．（1）所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；（2）一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除； （3）三角函数都是周期函数，正切函数是三角函数，因此正切函数是周期函数；（4）两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，那么∠A ＋∠B ＝180°. 问题2 演绎推理有什么特点？问题3 演绎推理的结论一定正确吗？ 问题4 演绎推理一般是怎样的模式？ 例1 将下列演绎推理写成三段论的形式．（1）平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分； （2）等腰三角形的两底角相等，∠A ，∠B 是等腰三角形的底角，则∠A ＝∠B ； （3）通项公式为a n ＝2n ＋3的数列{a n }为等差数列． 跟踪训练1 把下列推断写成三段论的形式：（1）因为△ABC 三边的长依次为3,4,5，所以△ABC 是直角三角形； （2）函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线； （3）y ＝sin x (x ∈R)是周期函数． 探究点二 三段论的错误探究例2 指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因： （1）整数是自然数， 大前提 －3是整数， 小前提 －3是自然数． 结论 （2）常函数的导函数为0， 大前提 函数f (x )的导函数为0， 小前提 f (x )为常函数． 结论 （3）无限不循环小数是无理数， 大前提 13(0.333 33…)是无限不循环小数， 小前提 13是无理数．结论跟踪训练2 指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因： （1）因为中国的大学分布在中国各地， 大前提 北京大学是中国的大学， 小前提 所以北京大学分布在中国各地． 结论 （2）因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形， 大前提 而菱形是所有边长都相等的凸多边形， 小前提 所以菱形是正多边形． 结论 探究点三 三段论的应用例3 如图，在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，D ，E 是垂足，求证：AB 的中点M 到点D ，E 的距离相等．跟踪训练3 已知：在空间四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，如图所示， 求证：EF ∥平面BCD .【当堂检测】1．下面几种推理过程是演绎推理的是 ( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180° B ．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式2．“因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，又x y 31log =是对数函数(小前提)，所以y ＝x y 31log =是增函数(结论)．”下列说法正确的是 ( ) A ．大前提错误导致结论错误 B ．小前提错误导致结论错误 C ．推理形式错误导致结论错误D ．大前提和小前提都错误导致结论错误3．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形．”中 的小前提是 ( ) A ．① B ．② C ．③ D ．①②4．把“函数y ＝x 2＋x ＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：____________； 小前提：____________； 结论：____________.【课堂小结】1．演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正确，通过演绎推理得到的结论一定正确．2．在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程中常省略三段论的大前提.【拓展提高】2.2.1 综合法与分析法(一)【学习要求】1．了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2．理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．【学法指导】综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，要结合实例了解两种证法的思考过程、特点.【知识要点】1． 和 是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式． 2．综合法是从 出发，经过 ，最后达到待证结论．3．分析法是从 出发，一步一步寻求结论成立的______，最后达到题设的已知条件，或已被证明的事实.【问题探究】探究点一 综合法问题1 证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？ 已知a ，b >0，求证：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .问题2 综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？例1 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形． 跟踪训练1 在△ABC 中，AC AB ＝cos Bcos C，证明：B ＝C . 探究点二 分析法问题1 回顾一下：均值不等式a ＋b2≥ab (a >0，b >0)是怎样证明的？问题2 证明过程有何特点？问题3 综合法和分析法的区别是什么？ 例2 求证：3＋7<2 5.跟踪训练2 求证：a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)． 探究点三 综合法和分析法的综合应用问题 在实际证题中，怎样选用综合法和分析法？例3 已知α，β≠k π＋π2(k ∈Z)，且sin θ＋cos θ＝2sin α， ①sin θ·cos θ＝sin 2β.②求证：1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β＋tan 2β.跟踪训练3 若tan(α＋β)＝2tan α，求证：3sin β＝sin(2α＋β)．【当堂检测】1．下列表述：①综合法是由因导果法； ②综合法是顺推法； ③分析法是执果索因法； ④分析法是间接证明法； ⑤分析法是逆推法． 其中正确的语句有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．欲证2－3<6－7成立，只需证( )A ．(2－3)2<(6－7)2B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2＋7)2<(3＋6)2D ．(2－3－6)2<(－7)2 3．求证：1log 519＋2log 319＋3log 219<2.4．已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．【课堂小结】1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因． 2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语． 3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用.【拓展提高】2.2.1 综合法与分析法(二)【学习要求】加深对综合法、分析法的理解，应用两种方法证明数学问题．【学法指导】通过本节课的学习，比较两种证明方法的优点，进而灵活选择证明方法，规范证明步骤，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高思维能力.【双基检测】1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的 ( ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．等价条件2．用P 表示已知，Q 表示要证的结论，则综合法的推理形式为 ( ) A ．P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q B ．P ⇐Q 1→Q 1⇐Q 2→Q 2⇐Q 3→…→Q n ⇐Q C ．Q ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒P D ．Q ⇐Q 1→Q 1⇐Q 2→Q 2⇐Q 3→…→Q n ⇐P3．已知p ：ab >0；q ：b a ＋ab≥2，则( )A ．p 是q 的充分而不必要条件B ．p 是q 的必要而不充分条件C ．p 是q 的充要条件D ．p 是q 的既不充分也不必要条件 4．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( )A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C ．a ＋b 22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥05．给出下列命题：①a <b <0⇒b a <1；②a <b <0⇒a －2<b －2；③a >b ，c >d ，abcd ≠0⇒a c >b d ；④a ·b ≠0⇒|a ＋b ||a |＋|b |<1；⑤a >b >0，c >d >0⇒ad>bc.其中，真命题的序号是________． 【问题探究】题型一 选择恰当的方法证明不等式例1 设a ，b ，c 为任意三角形三边长，I ＝a ＋b ＋c ，S ＝ab ＋bc ＋ca ，试证：3S ≤I 2<4S . 跟踪训练1 （1）已知：a ，b ，c 都是正实数，且ab ＋bc ＋ca ＝1.求证：a ＋b ＋c ≥ 3. （2）已知a 、b 、c 为互不相等的正数且abc ＝1，求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c .题型二 选择恰当的方法证明等式例2 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，对应的三边为a ，b ，c ，求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c .跟踪训练2 设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，试证：a x ＋cy ＝2.题型三 选择恰当的方法证明空间图形的位置关系例3 如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E是PC 的中点．求证：（1）CD ⊥AE ；（2）PD ⊥平面ABE .跟踪训练3 如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.求证：（1）AF ∥平面BDE ； （2）CF ⊥平面BDE .【课堂小结】1．综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知．2．分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知．3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．【拓展提高】2.2.2反证法【学习要求】1．了解反证法是间接证明的一种基本方法．2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．【学法指导】反证法需要逆向思维，难点是由假设推出矛盾，在学习中可通过动手证明体会反证法的内涵，归纳反证法的证题过程.【知识要点】1．定义一般地，由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒…⇒t，t与矛盾，或与矛盾．从而判定为假，推出为真的方法，叫做反证法．2．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与矛盾或与___________________________矛盾，或与矛盾等.【问题探究】探究点一反证法的概念问题1王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”这就是著名的“道旁苦李”的故事．王戎的论述，运用了什么方法？问题2上述方法的含义是什么？问题3反证法证明的关键是经过推理论证，得出矛盾．反证法引出的矛盾有几种情况？问题4反证法主要适用于什么情形？探究点二用反证法证明定理、性质等一些事实结论例1已知直线a，b和平面α，如果a⊄α，b⊂α，且a∥b，求证：a∥α.跟踪训练1已知：a∥b，a∩平面α＝A，如图．求证：直线b与平面α必相交．探究点三用反证法证明否定性命题例2求证：2不是有理数．跟踪训练2已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．探究点四用反证法证明“至多”、“至少”“唯一”型命题例3若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．跟踪训练3若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6.求证：a、b、c中至少有一个大于0.【当堂检测】1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设()A．三角形中至少有一个直角或钝角B．三角形中至少有两个直角或钝角C．三角形中没有直角或钝角D．三角形中三个角都是直角或钝角2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中()A．有一个内角小于60°B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每一个内角都大于60°3．“a<b”的反面应是()A．a≠b B．a>bC．a＝b D．a＝b或a>b4．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设()A．a不垂直于cB．a，b都不垂直于cC．a⊥bD．a与b相交5．已知a≠0，证明：关于x的方程ax＝b有且只有一个根．【课堂小结】1．反证法证明的基本步骤是什么？（1）假设命题结论的反面是正确的；(反设)（2）从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾；(推缪)（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论是正确的．(结论)2．反证法证题与“逆否命题法”是否相同？反证法的理论基础是逆否命题的等价性，但其证明思路不完全是证明一个命题的逆否命题．反证法在否定结论后，只要找到矛盾即可，可以与题设矛盾，也可以与假设矛盾，与定义、定理、公式、事实矛盾．因此，反证法与证明逆否命题是不同的.【拓展提高】。

选修2-2 复习学案一、导数及其应用1、求曲线的切线例1 （1）已知函数3()2f x x x =+- ①在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标 ； ②函数)(x f 在点．．（1，0）处的切线方程为 ； （2）曲线2y x =过点．．P(3,5)的切线方程 .变式1：若函数21()ln 2f x x ax x =-+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围2、利用导数研究函数的性质例2.已知时都取得极值与在132)(23=-=+++=x x c bx ax x x f(1) 求ａ、ｂ的值及函数)(x f 的单调区间．(2) 若对2)(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立，求ｃ的取值范围． (3) 若对[1,2],()=0x f x ∈-方程有三个零点，求ｃ的取值范围．变式2 已知函数1,13)(23=-=-+=x x x bx ax x f 在处取得极值（1）求函数)(x f 的解析式.（2）若过点)2)(,1(-≠m m A 可作曲线y=)(x f 的三条切线,求实数m 的取值范围.例3若函数32()23(1)68()f x x a x ax a R =-+++∈在(,0)-∞单增，求a 的取值范围变式3 （1）已知函数233)(x x x f +=在区间[2m-1,m+1]上递增,则m 的取值范围 . （2）已知函数233)(x x x f +=的单减区间为（a ，b ）,则a+b= . 例4 已知函数()ln a f x x x=-（1）若()f x 存在最小值且最小值为2，求a 的值；（2）设()ln g x x a =-，若2()g x x <在(0,]e 恒成立，求a 的取值范围3、定积分的计算例5计算下列定积分（1）⎰+5321dx xx =_______； （2）⎰--1121dx x =_______.；（3）22|2|x x dx +-⎰= ；（4）21(23)t dx +=⎰ ；（5）已知()f x 为偶函数且⎰6)(dx x f =8则⎰-66)(dx x f =________________；（6）由曲线12,3y y x y x ==-=-所围成的图形的面积为二、推理与证明与复数1.下面几种推理是合情推理的是：①由圆的性质类比推出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是1800，归纳出所有三角形的内角和都是1800；③某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是1800，四边形内角和是3600，五边形的内角和是5400，得出凸n 边形内角和是(n-2)·1800.( ) A.①②B.①③④C.①②④D.②④2.若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a ∈R ，结论是：a 2>0，那么这个演绎推理出错在( ) A.大前提B.小前提C.推理过程D.其他3．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．不是以上错误4. 用反证法证明命题“若a 2+b 2+c 2≠0，则a,b ,c 不全为零”反设正确的是( )A. a ,b ,c 全不为零B.a ,b ,c 全为零C.a ,b ,c 恰有一个为零D.a ,b ,c 至少有一个为零 5.用反证法证明“关于x 的方程ax=b （a ≠0）有且只有一个根”时，应该假设方程（ ） A.无解 B.两解 C.至少两解 D.无解或至少两解6.(2012江西)观察下列各式：221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+= 则1010a b += （ ） A ．28 B ．76 C ．123 D ．1997. 观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52011的末四位数字为( ) A ．3125 B ．5625 C ．0625 D ．8125 8.用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)时，验证n ＝1，左边应取的项是( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4 9.（2012全国卷理）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p （C ）,p p 24()D ,p p 3410.（2011重庆理）复数2341i i ii++=-（ ）（A ）1122i -- (B) 1122i -+ (C)1122i - (D) 1122i +11.212.[2011·陕西卷] 观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为_______________________________． 13.若数列{a n }，(n ∈N *)是等差数列,则有数列b n =na a a n +⋯++21(n ∈N *)也是等差数列，类比上述性质，相应地：若数列{c n }是等比数列,且c n ＞0(n ∈N *),则有d n =___ ___ __(n ∈N *)也是等比数列.14.由“三角形的两边之和大于第三边”可以类比推出三棱锥的类似属性是 . 15.下列两个方程：x 2+(a -1)x +a 2=0,x 2+2ax -2a=0中至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围.16.在数列{a n }中，)(22,111++∈+==N n a a a a nn n ，试猜想这个数列的通项公式，并用数学归纳法证明.选修2-2 复习学案参考答案一、导数及其应用例1 （1）① (1,0)或(1,4)-- ② 440x y --= （2）210x y --=或10250x y --= 变式1 2a ≥例2略解：(1)2,21-=-=b a'22222223(2).()32,3201(),(1)332721(1),(2)2,()[1,2](2)22212f x x x x x x x f c f cf c f c f x f c c c c c =----==-=-=+=-+-=+=+-=+>+<->由得或且所以在上的最大值为从而解得或（3）由（2）知，结合图像应满足(1)02212272()03f c f -≤⎧⎪-<≤-⎨->⎪⎩得 变式2略解(1)求得x x x f 3)(3-=(2)设切点为33)(),3,(2'0300-=-x x f x x x M 因为200'20300020300200302066)(332)(,0332)1)(33(3),1)(33(x x x g m x x x g x A m x x x x m x x M x x m y -=++-=**=++---=----=-则设有三个不同的实数根的方程所以关于可作曲线的三条切线因为过点即所以又切线过点所以切线方程为'00000000()001()(,0),(1,),(0,1),()0,1(0)032(1)0(3,2)g x x x g x g x x x x g m g m ===-∞+∞==*>⎧-<<-⎨<⎩--由得或所以在上单调递增在上单调递减故函数的极值点为所以关于的方程有三个不同实根的充要条件是 解得所求的实数的取值范围是例3 解： 方法１：)1)((66)1(66)(2'--=++-=x a x a x a x x f方法２： 方法３．变式3 （1）1(,3][,2)2-∞-（2）2-例4 （1）a e =（2）1(ln,)22-+∞（详解见导学案《阶段质量检测一》18题） 例5 （1）58ln3+ （2）2π （3）3 （4）23t + （5）16 （6）136 21,()(,1),(,),.1,()6(1)0,()(,).1,()(,),(1,),()(,0),01.0,()(,0).a f x a a f x x f x a f x a f x a a f x >-∞+∞==-≥-∞+∞<-∞+∞-∞≤<≥-∞当时在上递增符合条件当时恒成立在上递增当时在上递增要保证在上递增则综上所述时在上递增'()(,0)()0(,0)(1)(1)(,0)0,10f x f x x x x a x x x x x aa -∞≥∈-∞-≥-∈-∞<∴-<∴≤≥因为在上递增所以在上恒成立即在上恒成立从而'2'()66(1)6(,0]1100220(0)00f x x a x a a a f a =-++-∞++⎧⎧≥<⎪⎪⎨⎨⎪⎪∆≤≥⎩⎩≥保证在上最小值大于或等于零故有或可解得二、推理与证明与复数 1-5 CACBD 6-10 CDDCC 11.<12.n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)=(2n －1)213.n n c c c c (321)14.三棱锥任意三个面的面积和大于第四个面的面积15.若两个方程都没有实根，则⎩⎨⎧<∆<∆0021，解得-2<a <-1，所以a ≥1,或a ≤ 216解：在数列{a n }中，∵)(22,111++∈+==N n a a a a nnn,15222,14222,13222,12222,2214453342231121+=+=+=+=+=+=+=+===a a a a a a a a a a a a a ∴可以猜想，这个数列的通项公式是12+=n a n 。

课堂笔记栏课堂笔记栏⑴猜想：a与b、c与d的大小关系？m与n平行吗？图④中，中间两个圆哪个大？⑵你的猜想对吗？如何检测你的猜想？谈谈你的感受．⑴猜想：这两条小道哪个长？这两条小路的面积相等吗？⑵你有什么理由或证据让别人信服你的猜想？1、如图①是一张88⨯的正方形纸片，把它剪成4块：⑴能拼成一个如图②的长方形吗？⑵分别计算出这两个图形的面积，你有何发现？2、如图所示网格中的△ABC 、△DEF 、△GHI ：⑴你感觉它们哪一个面积最大？⑵实际计算一下，验证你的感觉是否正确．3、下面的判断是否正确？为什么？⑴无论x 取什么数，代数式342-+-x x 的值总是负数；⑵无论x 取什么数，代数式342-+-x x 的值不可能为2．4、⑴填表：⑵观察上表，小明发现“1>a 或2-<a 时，代数式()()12-+a a 的值是正数”．你认为小明的结论正确吗？为什么？a4-3-2-1-01234()()12-+a a课堂笔记栏1、如图，点A、B、E在一条直线上．⑴∵∠1＝∠3（已知）∴AB∥DC（）；⑵∵∠DAE＝∠CBE（已知）∴AD∥BC（）；⑶∵∠CDA＋∠DAB＝180°（已知）∴AB∥DC（）；⑷∵∠2＝∠4（已知）∴∥（内错角相等，两直线平行）；⑸∵∠DCB＋∠ABC＝180°（已知）∴∥（同旁内角互补，两直线平行）；⑹∵∠DAB＋∠ABC＝180°（已知）∴∥（同旁内角互补，两直线平行）．2、已知：如图，∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3．求证：AD∥BC．证明：∵∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3（），∴∠BAD―＝∠DCB―（等式性质），即∠＝∠，∴AD∥BC（）．3、已知：如图，D、B、C三点在同一条直线上，∠A＝60°，∠1＝2∠2．求证：AB∥CD．4、已知：如图，∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠D，且AD∥BC．求证：∠C＝2∠D．课堂笔记栏1、填写下列空格：已知：如图，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求证：AB∥CD．证明：∵CE平分∠ACD（），∴∠＝∠（），∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠（），∴AB∥CD（）．2、已知：如图，AD是△ABC的角平分线，点E在BC上，点F在CA的延长线上，EF∥AD，EF交AB于点G．求证：∠AGF＝∠F．3、已知：如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交AB、AC和CB的延长线于点D、E、F．求证：∠F＋∠FEC＝2∠A．4、证明：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直．课堂笔记栏班级：学号：姓名：金果学堂12.3互逆命题（第二课时）※学习目标：1、体会认识图形“位置关系”和“数量关系”的内在联系，学习逆向思考研究问题；2、经历构造一个命题的逆命题，并证明这个逆命题是真命题，获得新的数学结论的过程．※自主学习：阅读课本P159、160页探索如图：⑴如果AD ∥EF ，那么可以得到什么结论？⑵如果∠EFC ＋∠C ＝180°，那么可以得到什么结论呢？⑶证明AD ∥EF ，需要什么条件？证明EF ∥BC 呢？⑷证明AD ∥EF ∥BC ，需要什么条件？证明证明下列命题：⑴证明：平行于同一条直线的两条直线平行．⑵证明：直角三角形的两个锐角互余．⑶证明：有两个角互余的三角形是直角三角形．练习1、如图，AB ∥CD ，AB 、DE 相交于点G ，∠B ＝∠D ．在下列括号内填写推理的依据：⑴∵AB ∥CD （已知），∴∠EGA ＝∠D （），又∵∠B ＝∠D （已知），∴∠EGA ＝∠B （），∴DE ∥BF （）．⑵上述推理中，应用了哪两个互逆的真命题？2、已知：如图，在直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 上一点，且∠ACD ＝∠B ．求证：CD ⊥AB ．3、已知：如图，在△ABC 中，点E 在AC 上，点F 在BC 上，点D 、G 在AB 上，FG ∥CD ，∠1＝∠2．求证：∠AED ＝∠ACB ．课堂笔记栏※巩固练习：1、如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，填写下列空格：⑴∵EC ∥FD （已知），∴∠F ＝∠（），∵∠F ＝∠E （已知），∴∠＝∠E （），∴∥（）．⑵上述推理中，应用了哪两个互逆的真命题？2、已知：如图，直线AB 、CD 、EF 被直线BF 所截，∠B ＋∠1＝180°，∠2＝∠3．求证：∠B ＋∠F ＝180°．3、已知：如图，BD 、CE 是△ABC 的高．BD 、CE 相交于点O ．求证：∠A ＋∠BOC ＝180°．4、已知：如图，AB ⊥BC ，AB 、CD 相交于点E ，∠A ＝∠C ．求证：CD ⊥AD ．作业订正栏班级：学号：姓名：金果学堂第12章证明（复习）※学习目标：1、体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程；2、知道证明要合乎逻辑，初步会综合法证明的格式．※自主学习：阅读课本P162、163页1、下列语句中，不属于命题的是………………………………………………………（）A ．延长线段AB 到点C B ．有两条边相等的三角形是等腰三角形C ．自然数都是整数D ．平行于同一条直线的两条直线平行2、若三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是………………………………（）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．无法确定3、如图，AB ∥CD ，DA ⊥AC ，垂足为A ．若∠ADC ＝35°，则∠1的度数为……（）A ．65°B ．55°C ．45°D ．35°4、在锐角三角形中，最大角α的取值范围是…………………………………………（）A ．︒<<︒900αB ．︒<≤︒9060αC ．︒<<︒18060αD ．︒<<︒9060α5、下列命题中，属于真命题的是………………………………………………………（）A ．锐角小于它的余角B ．锐角小于它的补角C ．锐角与锐角的和是钝角D ．锐角与钝角的和等于平角6、如图，将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺所对的直角边和含45°角的三角尺的一条直角边在同一条直线上，则∠1的度数为…………（）A ．75°B ．65°C ．45°D ．30°7、下列条件：①∠A ＋∠B ＝∠C ；②∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3；③∠A ＝90°―∠B ；④∠A ＝∠B ＝21∠C ．其中，能确定△ABC 是直角三角形的有……………………………………………（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8、如图，直线a ∥b ，直线l 与a 、b 分别相交于A 、B 两点，过点A 作直线l 的垂线交直线b 于点C ．若∠1＝58°，则∠2的度数为．9、如图，AB ∥CD ，FE ⊥DB ，垂足为E ，∠1＝50°，则∠2＝．10、如图，直线a ∥b ，△ABC 的顶点B 在直线b 上，∠C ＝90°，∠1＝36°，则∠2的度数为．11、如图，把一块直角三角尺的含60°角的顶点放在直尺的一边上．若∠1＝2∠2，则∠1＝．12、如图，直线1l ∥2l ，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2＝．课堂笔记栏13、写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题的真假．若是假命题，请举反例说明．⑴如果b a =，那么b a 33=；⑵互为相反数的两个数的积为负数；⑶钝角小于180°；⑷等底等高的两个三角形面积相等．14、已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，点E 在BC 上，点G 在CA 的延长线上，EG 交AB 于点F ，且∠AFG ＝∠G ．求证：GE ∥AD．15、已知：如图，点B 、E 分别在AC 、DF 上，AF 分别交BD 、CE 于点M 、N ，∠1＝∠2，∠A ＝∠F ．求证：∠C ＝∠D．16、已知：如图，∠ABC ＋∠C ＋∠CDE ＝360°，GH 分别交AB 、ED 相交于点G 、H ．求证：∠1＝∠2．作业订正栏。