北师大版选修1-1高中数学第3章《推理与证明》3.3综合法和分析法(2)导学案

学习资料§3 综合法与分析法授课提示：对应学生用书第22页[自主梳理]一、综合法的定义从命题的________出发,利用________、________、________及________，通过________一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明，这种思维方法称为综合法．二、综合法证明的思维过程用P 表示已知条件、已知的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法的思维过程可用框图表示为:错误!→错误!→错误!→…→错误!三、分析法的定义从________出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的________，直到归结为这个命题的______，或者归结为________、________、________等，这种思维方法称为分析法．四、分析法证明的思维过程用Q 表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图表示为： Q ⇐P 1→错误!→错误!→…→错误![双基自测］1．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x，若f （a )＝b ，则f (－a ）等于( ) A ．b B ．－b C.错误! D ．－错误!2．已知a 、b 是不相等的正数，x ＝错误!，y ＝错误!，则x 、y 的关系是( ）A ．x 〉yB ．x 〈yC ．x >2yD ．不确定3．验证错误!－错误!<错误!－错误!,只需要证（ )A ．(错误!－错误!)2〈（错误!－错误!)2B ．（错误!－错误!）2<（错误!－错误!）2C ．(2＋错误!)2〈（错误!＋错误!)2D ．（错误!－错误!－错误!)2<(－错误!)24．在△ABC 中，tan A tan B 〉1,则△ABC 是( ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定5．若a 错误!＋b 错误!〉a 错误!＋b 错误!,则实数a ，b 应满足的条件是________．[自主梳理］一、条件 定义 公理 定理 运算法则 演绎推理 三、求证的结论 充分条件 条件 定义 公理 定理［双基自测］1．B f (－a )＝lg 1＋a 1－a＝lg （错误!)－1＝－lg 错误!＝－f （a ）＝－b . 2．B ∵x >0，y 〉0，∴要比较x 、y 的大小,只需比较x 2、y 2的大小，即比较错误!与a ＋b 的大小．∵a 、b 为不相等的正数，∴2ab 〈a ＋b 。

3.1归纳与类比归纳推理教材依据“归纳推理”是北京师范大学出版社出版地普通中学课程标准实验教科书数学（选修1—2）第三章第一节地内容•教学目标：1. 知识与技能目标：理解归纳推理地原理，并能运用解决一些简单地问题2. 过程与方法目标：通过自主、合作与探究实现“一切以学生为中心”地理念3. 情感、态度与价值观：感受数学地人文价值，提高学生地学习兴趣，使其体会到数学学习地美感.教学重点：归纳推理地原理教学难点：归纳推理地具体应用.教法学法：自主、合作探究教学教学准备：多媒体电脑、课件、空间多面体模型等教学过程：1. 创设情景：1 •情景㈠：苹果落地地故事，正是基于这个发现，牛顿大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大地“万有引力定理”思考：整个过程对你有什么启发？教师：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”.2 •情景㈡：陈景润和他在“歌德巴赫猜想”证明中地伟大成就：任何一个大于4地偶数都可以写成两个奇素数之和.如：6= 3+3, 8= 3+5, 10= 5+5, 12 = 5+7, 14= 7+7, 16 = 5+11,…，1000 = 29+ 971, 1002 = 139+ 863,……2. 探求研究：探究1.学生根据自备地多面体进行观察，统计多面体地面数、顶点数和棱数；（学生实验与教师课件演示结合）探究2•观察、猜想它们之间是否有稳定地数量关系？探究3•整理所得结论，并尝试证明；若得证，则改写成定理，否则修改猜想，进一步尝3E 棱柱=E 棱台3E 棱锥,F 棱柱=F 棱台=F 棱锥+ 1 , F+V-E=2等等，其中“ F+V-E=2'为“欧拉2公式”.3. 概念讲解结合情景问题和探究过程所得，教师引导学生完成归纳推理地概念及分析 定义：根据一类事物地部分事物具有某种属性 ，推断该类事物地每一个都具有这种属性 地推理，或者由个别事实概括出一般结论地推理，称为归纳推理（简称归纳）.说明：⑴归纳推理地作用：发现新事实，获得新结论；（2）归纳推理地一般步骤：试验、观察T 概括、推广T 猜测一般性结论T 证明；⑶归纳推理地结论不一定成立4. 例题解析至 n N * ,猜想这个数列地通项公式?In22 2 2,a 4 ,a 545 6时,往往统一分子（或分母）,再寻找另一部分地变化规律 •例2、（拓展）问：如果面积是一定地，什么样地平面图形周长最小？试猜测结论 教师：设定任务一：常见多边形面积一定时，计算其周长;任务二：归纳、猜想一般性结论 .试证明•@令0 O教师指导，合作交流，归纳：V棱柱V棱台=2V棱锥—2 ,例1: 在数列 a n 中， a 1 1,a n1解析: 先由学生计算：a 22 2®归纳：2 ( a n (n n 1*N )说明（学生完成）：⑴有整数和分数时,往往将整数化为分数；⑵当分子分母都在变化面积 一疋 时，---- > 圆地周长导电”，你能最小6.课时小结（师生共同） 1什么是归纳推理？ 2归纳推理地一般步骤：试验、观察T 概括、推广T 猜测一般性结论T 证明 布置作业: （补充）：已知a n 的前n 项和S n 与a n 满足：& 1 试归纳出其通项公式亦拓展延伸:1. 工匠鲁班类比带齿地草叶和蝗虫地牙齿，发明了锯；2. 科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似地特征：⑴火星也绕太阳运行，绕轴自转地行星；⑵有大气层,在一年中也有季节变更;⑶火星上大部分时间地温度适合地球上某些已知生物地生存等等；边形 3 46 8最小 周长4. 56 4 3. 72 3. 642 •观察下列式子，归纳结论:13 12 , 13 23 9 (1 2)2 ,13 233313 23 33 43 100 (12 34)2问:13 23 33 L n 33.右图中5个图形及相应点地个数地变化规律，试猜测第n 个图形中有 占； 八(1) (2) (3)4.已知数列 a n 中，a 1 1,且aa n（n N ），试归纳这个数列地通项公式 a n答案：1.金属导电;2 . 1323 33n 3 (1 2 3n)2 ；3. n 2 n 1； 4 • a n 1 (n nN ).纳出什么结论?科学家猜想；火星上也可能有生命存在•说明：以上两练习使用地是类比推理•目地是知识上承上启下，把本节知识延伸，既拓宽了学生视野，也为下一节“类比推理”地教学作了铺垫教后反思：⑴要实现数学新知识地建构学习，教师要创设适当地情境，情境应符合实际•包括生活场景地实际，数学教学内容地实际，学生知识状况地实际，学生思维发展地实际等等•⑵学生通过“经历”，“体会”，“感受”，最后形成概念地过程学习，充分体现了以学生为本地现代教育观；同时练习和作业地分层设计尽量满足多样化地学习需求做到因材施教，促进全体地参与.附：板书设计。

3.3综合法与分析法课前预习学案一、预习目标：了解综合法与分析法的概念，并能简单应用。

二、预习内容：证明方法可以分为直接证明和间接证明1．直接证明分为和2．直接证明是从命题的或出发，根据以知的定义，公里，定理，推证结论的真实性。

3．综合法是从推导到的方法。

而分析法是一种从追溯到的思维方法，具体的说，综合法是从已知的条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论，分析法则是从待证的结论出发，一步一步寻求结论成立的条件，最后达到题设的以知条件或以被证明的事实。

综合法是由导，分析法是执索。

三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案一、学习目标让学生理解分析法与综合法的概念并能够应用二、学习过程：例1．已知a,b∈R+≥例2 已知a,b,c∈R，求证：（1);a b≥+（2).++a b c课后练习与提高1．（A 级）函数⎩⎨⎧≥<<-=-0,;01,sin )(12x e x x x f x π，若,2)()1(=+a f f 则a 的所有可能值为 （ ）A ．1B ．22-C ．1,2-或D ．1,2或 2．（A 级）函数x x x y sin cos -=在下列哪个区间内是增函数 （ ）A ．)23,2(ππ B ．)2,(ππC ．)25,23(ππ D ．)3,2(ππ 3．（A 级）设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是 （ ） A ．22- B ．335-C ．－3D ．27-4．（A 级）下列函数中,在),0(+∞上为增函数的是 （ ） A ．x y 2sin = B ．xxe y =C ．x x y -=3D ．x x y -+=)1ln(5．（A 级）设c b a ,,三数成等比数列，而y x ,分别为b a ,和c b ,的等差中项，则=+ycx a （ ）A ．1B ．2C ．3D ．不确定6．（A 级）已知实数0≠a ，且函数)12()1()(2ax x a x f +-+=有最小值1-，则a =__________。

3.2 分析法自主整理从求证的结论出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的______________,直到归结为这个命题的______________或归结为______________、______________、______________等,我们把这种思维方法称为______________.高手笔记1.分析法的思考过程为“执果索因”的顺序，是从求证的结论出发，步步探索结论成立的条件.2.对于命题“若P则Q”的分析法证明可用框图表示为名师解惑分析法的解释剖析:分析法是从要证的结论入手,分析结论成立的一个充分条件,步骤书写较为繁杂,但入手点较低,易找出问题的突破口.用分析法思考数学问题的顺序可理解为(对于命题“若A则D”）分析法的思考顺序是执果索因的顺序,是从D上溯寻其论据,如C,C1,C2等,再寻求C,C1,C2的论据,如B,B1,B2,B3,B4等等,继而寻求B,B1,B2,B3,B4的论据,如果其中之一B的论据恰好为已知条件,于是命题得证.在分析法中,就应当用假设的语气,习惯上常用这样一类语句:假如要A成立,就必须先有B成立;如果要有B成立,又只需有C成立……从结论一直推到已知条件.当我们应用分析法时,所有各个中间的辅助命题,仅仅考虑到它们都是同所要证明的命题是等效的,而并不是确信它们都是真实的,直至达到最后已知条件或明显成立的事实后,我们才确信它是真实的,从而可以推知前面所有与之等效的命题也都是真实的,于是命题就被证明了.讲练互动【例1】求证:3+22<2+7.分析：可以采用分析法,逐步化简转化求使得结论成立的充分条件.证法一：为了证明3+22<2+7,∵3+22>0,2+7>0,∴只需证明(3+22)2<(2+7)2,展开,得11+46<11+47,只需证46<47,只需证6<7.显然6<7成立.∴3+22<7成立. 证法二：为了证明3+22<2+7,只要证明22-7<2-3, 只要证明7221+<321+ ∵22>2,7>3,∴22+7>2+3>0. ∴7221+<321+成立.∴3+22<2+7成立. 绿色通道在不等式证明中直接证不易证的情况下,可通过分析法,逐步探索不等式成立的条件. 变式训练1.求证:32-<76-.证明:要证2-3<6-7,只需证2+7<6+3. ∵2+7>0,6+3>0,只需证(2+7)2<(6+3)2,即9+142<9+182, 只需证14<18,只需证14<18.显然14<18成立. ∴2-3<6-7成立.【例2】已知a 、b∈R +.求证:b a +ab ≥a +b . 分析：本题左边结构为分式结构,并且左、右都含有根号,从形式上看不易找到关系,可用分析法将要证的不等式变形一下就可证明.证明：要证b a +ab ≥a +b , 只需证a a +b b ≥ab (a +b ),即证a(a -b )+b(b -a )≥0.只需证(a-b)(a -b )≥0,即(a -b )2(a +b )≥0. ∵a +b >0,(a -b )2≥0, ∴(a -b )2(a +b )≥0成立.∴b a +ab ≥a +b 成立. 绿色通道在不等式较复杂无从入手的情况下,可用分析法分析不等式成立所具备的条件. 变式训练2.设a 、b∈R +,且a≠b.求证:a 3+b 3>a 2b+ab 2.证明:要证a 3+b 3>a 2b+ab 2成立,只需证a 3-a 2b+b 3-ab 2>0,即a 2(a-b)+b 2(b-a)>0成立.即证(a-b)2(a+b)>0成立.∵a、b∈R +,∴a+b>0.又∵a≠b,∴(a -b)2>0.∴(a -b)2(a+b)>0成立.∴a 3+b 3>a 2b+ab 2成立.【例3】已知a>b>0,求证:a b a 8)(2-<2b a +ab -<bb a 8)(2-. 分析：本题条件较为简单,结论比较复杂,看上去无从入手解答问题,所以我们可以从要证的结论入手,一步步探求结论成立的充分条件,即用分析法.证明：要证b b a 8)(2-<2b a +-ab <ab a 8)(2-成立, 即a b a 4)(2-<(a -b )2<bb a 4)(2-成立. ∵a>b>0,只需证aba 2-<a -b <b b a 2-成立, 只需证a ba 2+<1<bb a 2+成立. 只需证a +b <2a 且2b <a +b , 即a >b 成立. ∵a>b>0,∴a >b 成立. ∴a b a 8)(2-<2b a +-ab <bb a 8)(2-成立. 绿色通道在已知条件较为简单,所要证的问题较为复杂时,我们可从结论入手逆推,执果索因,找到结论成立的条件.注明必要的文字说明,注意不等式的结构特点.变式训练3.设a>0,b>0,2c>a+b.求证:c-ab c -2<a<c+ab c -2.证明:要证c ab c --2a<c+ab c -2,只需证ab c --2<a-c<ab c -2,即证|a-c|<c 2-ab,只需证(a-c)2<c 2-ab,即a 2-2ac<-ab,即a(a+b-2c)<0.∵a>0,a+b<2c,∴a>0,a+b -2c<0.∴a(a+b -2c)<0成立. ∴c ab c --2<a<c+ab c -2成立.【例4】设x>0,y>0,且x≠y.求证:3133)(y x +<2122)(y x +.分析：注意到x 、y 的对称性,可能会想到重要不等式,但后续思路不好展开.可采用分析法,从消去分数指数幂入手.解：要证3133)(y x +<2122)(y x +,只需证(x 3+y 3)2<(x 2+y 2)3,即x 6+y 6+2x 3y 3<x 6+y 6+3x 4y 2+3x 2y 4,只需证2x 3y 3<3x 2y 2(x 2+y 2).∵x>0,y>0,只需证2xy<3(x 2+y 2).只需证2xy<x 2+y 2.∵x≠y,∴x 2+y 2>2xy 成立. ∴3133)(y x +<2122)(y x +成立.绿色通道在不便运用综合法的情况下,可考虑分析法,注意表述方法.变式训练4.已知a>0,求证:a 2+221a a +-2≥a+a 1-2. 证明:要证221aa +2-≥a+a 1-2, 只需证221aa ++2≥a+a 1+2成立. ∵a>0, 只需证(221aa ++2)2≥(a+a 1+2)2, 即a 2+21a +4221a a ++4≥a 2+21a +2+22(a+a 1)+2,即证2221a a +≥2(a+a 1),只需证4(a 2+21a )≥2(a 2+21a +2),即a 2+21a ≥2. 而显然a 2+21a ≥2成立. ∴221a a +2-≥a+a 1-2成立.。