1.2 集合之间的关系(含答案)

1.2 集合间的基本关系1．集合A={}|2k k Z πααπ=+∈，与集合B={}|2,2k k Z πααπ=±∈的关系是（ ）A ．A=B B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．以上都不对2．设集合{}2|10A x ax ax =-->，若A 为空集，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(4,0)-B ．(4,0]-C ．[4,0)-D ．[4,0]-3．下列关系正确的是（ ）A ．0=∅B ．1∈1}C ．∅=0} D ．0⊆0，1}4．已知：A ＝x|x 2＝1}，B ＝x|ax ＝1}，C ＝x|x ＝a}，B ⊆A ，则C 的真子集个数是（ ） A ．3B ．6C ．7D ．85．设a ，b∈R，集合A 中含有0，b ，ba三个元素，集合B 中含有1，a ，a+b 三个元素，且集合A 与集合B 相等，则a+2b ＝（ ） A ．1B ．0C ．﹣1D ．不确定6．已知集合{}1,2,4A =，{}|32,B y y x x A ==-∈，则A B 的子集个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．设23{|}A x x =<<，{|}B x x m =<，若A B ⊆，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[3,)+∞B ．(3,)+∞C ．(,2)-∞D ．(,2]-∞8．已知集合{}1,2,3,4A =，那么A 的真子集的个数是 A ．15 B ．16 C ．3 D ．4 9．已知集合{}{}1,21,2,3,4A ⊆，则满足条件的集合A 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 10．已知集合A ⊆0，1，2}，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为 A ．6B ．5C ．4D ．311．下列四个写法：①{}{}01,2,3∈；②{}0∅⊆；③{}{}0,1,21,2,0⊆；④0∉∅，其中错误写法的序号有（ ） A ．① B ．②C ．③D ．④12．下列说法中正确的是（ ）A ．(){}11,1∈B QC ．{}{}11,2,3,4,5⊆D ．{}5xx ∅∈≤∣ 13．已知集合A ，B 相等，A ＝R ，则B ＝（ ）A ．NB ．QC ．RD ．Z14．M ＝x|x 3＝x}，N ＝x|x 2＝1}，则下列式子中正确的是（ ）A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M∩N＝∅15．已知集合|,44k M x x k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，集合|,84k N x x k Z ππ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，则( ) A ．M N ⋂=∅ B ．M N ⊆ C ．N M ⊆D ．M N M ⋃=16．设A 为非空的数集，{}3,6,7A ⊆，且A 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合A 共有 A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个17．设非空集合{}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈，给出如下四个命题：①若1m =，则{}1S =；②若12m =-，则114l ≤≤；③若12l =，则0m ≤；④若1l =，则10m -≤≤或1m =；其中正确的命题个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 18．已知集合{|1}M x x =>-，那么（ ）A ．0M ⊆B ．{0}M ∈C ．M ∅∈D ．{0}M ⊆19．集合A=正方形}，B=矩形}，C=平行四边形}，D=梯形}，则下面包含关系中不正确的是（ ） A ．A B ⊆B ．BC ⊆C ．CD ⊆D ．A C ⊆20．{}a {},,P a b c ⊆的集合P 的个数是 A ．2 B ．3C ．4D ．5参考答案1．A2．D3．B4．C5．A6．D7．A8．A详解：集合A里有4个元素，那么它有42115-=个真子集，故选A9．C10．A详解：试题分析：根据已知中集合A满足A⊆0，1，2}，且集合A中至少含有一个偶数，逐一列举出满足条件的集合A，可得答案．解：∵集合A⊆0，1，2}，且集合A中至少含有一个偶数，∴满足条件的集合A可以为：0}，2}，0，1}，1，2}，0，2}，0，1，2}，共6个，故选A．考点：子集与真子集．11．A12．C13．C14．C15．B16．A17．D18．D19．C详解：{}{}{},,,,p a b a c a b c =或或【参考解析】1．解析：对于集合A ，当k 取奇数时，令k ＝2n ﹣1，α＝2nπ2π-；当k 取偶数时，令k ＝2n ，α＝2kπ2π+，n∈Z，即可看出A ，B 的关系 详解： 对于集合A ，当k 取奇数时，令k ＝2n ﹣1，α＝2nπ2π-；n∈Z， 当k 取偶数时，令k ＝2n ，α＝2kπ2π+，n∈Z， ∴A＝α|α＝2kπ±2π，k∈Z}＝B ． 故选：A ．2．解析：分0,0a a =≠两种情况分类讨论，0a =时符合题意，0a ≠时只需满足0a <⎧⎨∆≤⎩ 即可求解. 详解：当0a =时，原不等式为10->，A 为空集； 当0a ≠时，因为A 为空集 所以210ax ax -->无解，只需满足2040a a a <⎧⎨+≤⎩，解得40a -≤<，综上实数a 的取值范围是[4,0]-. 故选D 点睛：本题主要考查了一元二次不等式的解为空集，分类讨论的思想，属于中档题.3．解析：利用元素与集合以及集合与集合的关系即可求解.对于A ：0是一个元素，∅是一个集合，元素与集合是属于(∈)或者不属于(∉)关系，二者必居其一，A 不对. 对于B ：1是一个元素，1}是一个集合，1∈1}，所以B 对.对于C ：∅是一个集合，没有任何元素，0}是一个集合，有一个元素0，所以C 不对. 对于D ：0是一个元素，0，1}是一个集合，元素与集合是属于(∈)或者不属于(∉)关系，二者必居其一，D 不对. 故选：B. 点睛：本题考查了元素与集合关系的符号表示、集合与集合之间关系的符号表示，属于基础题.4．解析：首先求得A ＝﹣1，1}，之后根据B ⊆A ，求得a 的值，从而得到C ＝﹣1，0，1}，根据含有n 个元素的有限集合真子集的个数，求得结果. 详解：由A 中x 2＝1，得到x ＝1或﹣1，即A ＝﹣1，1}， ∵B＝x|ax ＝1}，B ⊆A ，∴把x ＝﹣1代入ax ＝1，得：a ＝﹣1；把x ＝1代入ax ＝1得：a ＝1， 当B φ=时，0a =，满足B ⊆A ， ∴C＝﹣1，0，1}，则C 真子集个数为23﹣1＝7． 故选：C. 点睛：该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有根据包含关系求参数的值，含有n 个元素的有限集合真子集的个数公式，属于简单题目.5．解析：依据题意可得01a b b a a b +=⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩或01a b b a b a⎧⎪+=⎪=⎨⎪⎪=⎩，然后进行计算即可.详解：由题意可知a≠0，则只能a+b ＝0，则有以下对应关系：01a b b a a b +=⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩①或01a b b a b a⎧⎪+=⎪=⎨⎪⎪=⎩②；由①得a ＝﹣1，b ＝1，符合题意； ②无解；则a+2b ＝﹣1+2＝1． 故选：A 点睛：本题考查集合相等求参数，重在计算，属基础题.6．解析：求出集合B ，进而可得A B ，利用子集个数的公式2n 求解即可. 详解：解：由已知{}{}|32,1,4,10B y y x x A ==-∈=，{}1,4A B ∴=，A B ∴的子集个数为224=，故选：D. 点睛：本题考查集合交集的运算，及集合子集的个数，是基础题.7．解析：由A B ⊆得到关于m 的不等式，能求出实数m 的取值范围． 详解：解：{|23}A x x =<<，{|}B x x m =<，A B ⊆，3m ∴≥，∴实数m 的取值范围是[)3,+∞．故选：A ． 点睛：本题考查实数的取值范围的求法，考查元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8．9．解析：由题意可知,集合A 中一定有1,2两个元素,且A 中最多三个元素,从而可求得满足题意的集合A . 详解：由题意,当集合A 中有两个元素时,集合}{1,2A =, 当集合A 中有三个元素时, 集合}{1,2,3A =或}{1,2,4. 即满足条件的集合A 的个数为3. 故选:C. 点睛：本题考查了集合间的包含关系,考查了真子集的性质,属于基础题. 10．11．解析：利用元素与集合的关系以及集合与集合之间的关系，便可得出答案. 详解：对①：0}是集合，1,2,3}也是集合，所以不能用∈这个符号，故①错误. 对②：∅是空集，0}也是集合，由于空集是任何集合的子集，故②正确.对③：0,1,2}是集合，1,2,0}也是集合，由于一个集合的本身也是该集合的子集，故③正确. 对④：0是元素，∅是不含任何元素的空集，所以0∉∅，故④正确. 故选： A. 点睛：本题考查集合与元素的关系以及集合与集合之间的关系，属于基础题.12．解析：根据元素与集合的关系，以及集合与集合的关系，判断选项. 详解：根据元素与集合的关系可知，(){}11,1∉Q ，故AB 不正确；根据集合与集合的关系可知，{}{}11,2,3,4,5⊆，{}5xx ∅⊆≤∣，故C 正确，D 不正确. 故选：C13．解析：根据集合相等得概念，即可得出答案. 详解：解：因为集合A ，B 相等，A ＝R ， 所以B ＝R. 故选：C.14．解析：求得两个集合的元素，由此确定正确选项. 详解：()()()332,0,1110x x x x x x x x x =-=-=+-=，所以{}0,1,1M =-，()()21,110x x x =+-=，所以{}1,1N =-，所以N M ⊆.故选：C15．解析：对两个集合中的元素x 所具有的性质P 分别化简，使其都是含有4π-的表达式. 详解：由题意可知，(24)|,84k M x x k Z ππ+⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭2|,84n x x n Z ππ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭ 2(21)|,8484k k N x x x k Z ππππ-⎧⎫==-=-∈⎨⎬⎩⎭或所以M N ⊆，故选B. 点睛：本题考查两个集合之间的基本关系，要求对集合中的元素所具有的性质能进行化简.16．解析：可采用列举法（分类的标准为A 中只含3不含7，A 中只含7不含3，A 中即含3又含7）逐一列出符合题意的集合A. 详解：解：∵A 为非空集合，{}3,6,7A ⊆，且A 中至少含有一个奇数 ∴当A 中只含3不含7时A ＝3，6}，3} 当A 中只含7不含3时A ＝7，6}，7} 当A 中即含3又含7时A ＝3，6，7}，3，7} 故符合题意的集合A 共有6个 故选A 点睛：本题主要考查了子集的概念，属中档题，较易．解题的关键是理解子集的概念和A 中至少含有一个奇数分三种情况：只含3不含7，A 中只含7不含3，A 中即含3又含7.17．解析：根据集合的定义，由m S ∈，l S ∈，得到2m S ∈，2l S ∈，即2m m ≥，21l ≤，然后利用一元二次不等式的解法化简后逐项判断. 详解：∵非空集合{}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈ ∴m S ∈，l S ∈，则2m S ∈，2l S ∈，且2m m ≥，21l ≤ 即0m ≤或1m ≥，01l ≤≤且1m①当1m =时，有1l =，所以{}1s =，故正确；②当12m =时，214m S =∈，所以114l ≤≤，故正确；③当12l =时，2m S ∈，所以212m ≤，所以02m -≤≤，故正确； ④当1l =时，可知10m -≤≤或1m =，故正确； 故选：D 点睛：本题主要考查集合的新定义，元素与集合的关系以及一元二次不等式的解法，还考查了逻辑推理、求解问题的能力，属于中档题.18．解析：根据元素与集合、集合与集合之间的关系，逐项判断，即可得出结果. 详解：因为{|1}M x x =>-，元素与集合之间的符号表示只有∈和∉，故A 错；{}0和∅都是M 的子集，故BC 错，D 正确；故选：D. 点睛：本题主要考查元素与集合之间的关系，以及集合与集合之间的关系，属于基础题型.19．解析：利用正方形是特殊的矩形，矩形是特殊的平行四边形，梯形不是平行四边形，平行四边形也不是梯形等性质，判断集合间的包含关系. 详解：因为正方形一定是矩形，所以选项A 正确；矩形一定是平行四边形，所以选项B 正确； 正方形一定是平行四边形，所以选项D 正确；梯形不是平行四边形，平行四边形也不是梯形，所以选项C 不正确． 故选C ． 点睛：本题考查平行四边形的分类，以及梯形的定义.其中两组对边分别平行的四边形是平行四边形，一组对边垂直的平行四边形是矩形，邻边相等的矩形是正方形；一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形. 20．。

1.1.2集合间的基本关系一、A组1.(2016·浙江温州十校联合体高一期中)如果A={x|x>-1},那么正确的结论是()A.0⊆AB.{0}∈AC.{0}⊆AD.⌀∈A解析:∵0∈A,∴{0}⊆A.答案:C2.已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},则()A.A⊆BB.C⊆BC.D⊆CD.A⊆D解析:正方形是邻边相等的矩形.答案:B3.定义集合运算A◇B={c|c=a+b,a∈A,b∈B},若A={0,1,2},B={3,4,5},则集合A◇B的子集个数为()A.32B.31C.30D.14解析:∵A={0,1,2},B={3,4,5},又A◇B={c|c=a+b,a∈A,b∈B},∴A◇B={3,4,5,6,7}.∵集合A◇B中共有5个元素,∴集合A◇B的所有子集的个数为25=32.故选A.答案:A4.已知集合A={2,-1},B={m2-m,-1},且A=B,则实数m=()A.2B.-1C.2或-1D.4解析:∵A=B,∴m2-m=2,即m2-m-2=0,∴m=2或m=-1.答案:C5.已知集合A={x|1≤x<4},B={x|x<a},若A⊆B,则实数a的取值集合是()A.{a|a≥4}B.{a|a>4}C.{a|a≤4}D.{a|a<4}解析:将集合A表示在数轴上(如图所示),要满足A⊆B,表示数a的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边,所以所求a的取值集合为{a|a≥4}.答案:A6.能正确表示集合M={x|0≤x≤2}和集合N={x|x2-2x=0}的关系的Venn图是()解析:解x2-2x=0,得x=2或x=0,则N={0,2}.又M={x|0≤x≤2},则N⫋M,故M和N对应的Venn 图如选项B所示.答案:B7.已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2},若B⊆A,则实数m=.解析:集合A,B中均含有元素3,由B⊆A,得B中另一元素m2一定与A中元素-1,2m-1中的一个相等.又-1<0,m2≥0,则m2=2m-1,解得m=1.答案:18.若A=,B={(x,y)|y=ax2+1},且A⊆B,则a=.解析:A=={(2,-1)},∵A⊆B,∴-1=a×22+1,∴a=-.答案:-9.已知集合A={1,a,b},B={a,a2,ab},且A=B,求实数a,b的值.解:∵A=B,且1∈A,∴1∈B.若a=1,则a2=1,这与集合中元素的互异性矛盾,∴a≠1.若a2=1,则a=-1或a=1(舍去).∴A={1,-1,b},∴b=ab=-b,即b=0.若ab=1,则a2=b,得a3=1,即a=1(舍去).故a=-1,b=0.10A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a,a≥1}.(1)若A⫋B,求a的取值范围;(2)若B⊆A,求a的取值范围.解:(1)若A⫋B,由图可知,a>2.(2)若B⊆A,由图可知,1≤a≤2.二、B组1.若x,y∈R,A={(x,y)|y=x},B=,则集合A,B间的关系为()A.A⫋BB.A⫌BC.A=BD.A⊆B解析:∵B=={(x,y)|y=x,且x≠0},∴B⫋A.答案:B2.已知集合A={x|a-1≤x≤a+2},B={x|3<x<5},则能使A⊇B成立的实数a的取值集合是()A.{a|3<a≤4}B.{a|3≤a≤4}C.{a|3<a<4}D.⌀解析:∵A⊇B,∴解得3≤a≤4.经检验知当a=3或a=4时符合题意.故3≤a≤4.答案:B3.若B={1,2},A={x|x⊆B},则A与B的关系是()A.A∈BB.B∈AC.A⊆BD.B⊆A解析:∵B的子集为{1},{2},{1,2},⌀,∴A={x|x⊆B}={{1},{2},{1,2},⌀},∴B∈A.答案:B4.已知集合M={x|x2+2x-8=0},N={x|(x-2)(x-a)=0},若N⊆M,则实数a的值是.解析:M={x|x2+2x-8=0}={2,-4}.当a≠2时,N={x|(x-2)(x-a) =0}={2,a}.∵N⊆M,∴a=-4.当a=2时,N={x|(x-2)(x-a)=0}={2},此时N⊆M,符合题意.答案:-4或25.如果集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0},P={(x,y)|x<0,y<0},那么M与P的关系为.解析:因为xy>0,所以x,y同号.又因为x+y<0,所以x<0,y<0,即集合M表示第三象限内的点.而集合P也表示第三象限内的点,故M=P.答案:M=P6.知集合A=,B=,C=,则集合A,B,C之间的关系是.解析:∵A=,B==,C=,又{x|x=6m+1,m∈Z}⫋{x|x=3n+1,n∈Z},∴A⫋B=C.答案:A⫋B=C7.(2016·贵州凯里一中高一期中)集合A={x|ax2-2x+2=0},集合B={y|y2-3y+2=0},如果A⊆B,求实数a的取值集合.解:化简集合B得B={1,2}.由A⊆B,知若a=0,则A={x|-2x+2=0}={1}⊆B.若a≠0,当Δ=4-8a<0,即a>时,A=⌀⊆B;当Δ=4-8a=0,即a=时,A={2}⊆B;当Δ=4-8a>0,即a<,且a≠0时,必有A={1,2},所以1,2均为关于x的方程ax2-2x+2=0的实根,即a-2+2=0,4a-4+2=0,这是不可能的.所以实数a的取值集合为.8A={x|-1≤x≤6},B={x|m-1≤x≤2m+1},且B⊆A.(1)求实数m的取值集合;(2)当x∈N时,求集合A的子集的个数.解:(1)①当m-1>2m+1,即m<-2时,B=⌀符合题意.②当m-1≤2m+1,即m≥-2时,B≠⌀.由B⊆A,借助数轴(如图所示),得解得0≤m≤.所以0≤m≤.经验证知m=0和m=符合题意.综合①②可知,实数m的取值集合为.(2)∵当x∈N时,A={0,1,2,3,4,5,6},∴集合A的子集的个数为27=128.。

1.2 集合间的基本关系1．已知集合，，则的子集个数为 A ．B ．C ．D ．2．如果集合|,3n A x x n Z ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，1|,3B x x n n Z ⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭，2|,3C x x n n Z ⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭，那么下列结论中正确的是（ ）A ．BC ≠B ．ABC ．C B A =⊆D ．A C ⊆ 3．已知集合{}1,2,3A ⊆，且A 中至少有一个奇数，则这样的集合个数为（ ）. A ．4个 B ．5个 C ．6个 D ．7个 4．已知A B ⊆，A C ⊆，{2,0,1,8}B =，{1,9,3,8}C =，则集合A 可以为A ．{1,8}B ．{2,3}C ．{0}D ．{9}5．已知集合{}220A x Z x x =∈-++>，则集合A 的真子集个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．86．下列集合的说法中正确的是（ ）A ．绝对值很小的数的全体形成一个集合B ．方程2(1)0x x -=的解集是{1,0,1}C ．集合{}1,,,a b c 和集合{},,,1c b a 相等D ．空集是任何集合的真子集7．若{}|1P x x =<，{}|0Q x x =>，全集为R ，则 A ．P Q ⊆ B ．Q P ⊆ C ．R Q C P ⊆ D ．R C P Q ⊆8．设集合A ＝1，2，4}，B ＝x|x 2﹣4x+m ＝0}．若A∩B＝1}，则集合B 的子集个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．集合M=16x x m m ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，N=}1-23n x x n -⎧=∈⎨⎩Z ，，P=126p x x p ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则M ，N ，P 之间的关系是（ ） A ．M=N ⫋P B ．M ⫋N=P C ．M ⫋N ⫋P D ．N ⫋P=M 10．满足的集合的个数为A ．6B ．7C ．8D ．911．已知集合{}0,1,2,4,6A =，{}*233nB n =∈<N ，则集合A B 的子集个数为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．412．已知集合N ＝1,3,5}，则集合N 的真子集个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．813．已知集合{}3A x N x =∈<，则（ ） A ．0A ∉B ．1A -∈C ．{}0A ⊆D ．{}1A -⊆14．已知集合{}{}1,,1,1A xax a R B ==∈=-∣，若A B ⊆，则所有a 的取值构成的集合为（ ） A ．{}1- B ．{}1,1- C ．{}0,1 D ．{}1,0,1-15．已知S 1，S 2，S 3为非空集合，且S 1，S 2，S 3⊆Z ，对于1，2，3的任意一个排列i ，j ，k ，若x∈S i ，y∈S j ，则x －y∈S k ，则下列说法正确的是（ ） A ．三个集合互不相等 B ．三个集合中至少有两个相等 C ．三个集合全都相等D ．以上说法均不对16．已知集合S ＝0，1，2，3，4，5}，A 是S 的一个子集，当x∈A 时，若有1x A -∉，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 中无“孤立元素”的非空子集的个数为（ ） A ．16 B ．17C ．18D ．2017．下列表示方法正确的是（ ）A ．3∈［0，3)B ．0 ⊆［0，3)C ．1∈［0，3)D ．｛2｝∈［0，3)18．已知集合{}2230A x x x =--=，{}10B x ax =-=，若B A ⊆，则实数a 的值构成的集合是（ ） A ．11,03⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，B ．{}1,0-C ．11,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．103⎧⎫⎨⎬⎩⎭，19．已知集合{}220A x x x =+-=，若{}B x x a =≤，且A B ，则a 的取值范围是（ ）A ．1a >B ．1a ≥C ．2a ≥-D ．2a ≤- 20．下列有关集合的写法正确的是（ ）A ．{0}{0,1,2}∈B ．{0}∅=C ．0∈∅D ．{}∅∈∅参考答案1．A详解：试题分析：,所以集合的子集个数为，故选A.考点：集合2．C3．C4．A5．A6．C7．D8．D9．B10．A详解：试题分析：由题意得，满足的集合有：{}{}{}{}{}{}a b c a b d a b e a b c d a b c e a b d e，共有6个，故选A. ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,考点：集合真子集的运算.11．A12．C详解：集合N＝1,3,5}，则集合N的子集个数328=.除去集合N本身，还有8-1=7个.故选C.13．C14．D15．B16．D17．C19．B 20．D【参考解析】1．2．解析：用列举法分别列出集合,,A B C 即可判断. 详解： 因为集合54211245|,,,,1,,,0,,,1,,,333333333n A x x n Z ⎧⎫⎧⎫==∈=-----⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 154211245|,,,,,,,,,,333333333B x x n n Z ⎧⎫⎧⎫==±∈=----⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 254211245|,,,,,,,,,,333333333C x x n n Z ⎧⎫⎧⎫==±∈=----⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 所以C B A =⊆. 故选：C. 点睛：本题主要考查了集合之间的关系.属于较易题.3．解析：由题得{1},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}A =，即得解. 详解：由题得{1},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}A =. 所以满足条件的集合有6个. 故选：C 点睛：本题主要考查集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．解析：由A B ⊆，A C ⊆，则A B C ⊆，又{}1,8B C ⋂=，从而可得答案. 详解：由A B ⊆，A C ⊆，则A B C ⊆. 又{}1,8B C ⋂=,所以{}1,8A ⊆所以选项B 、C 、D 不满足，选项A 满足.点睛：本题考查集合的子集的运用和交集的运算，属于基础题.5．解析：求出集合A ，确定集合A 的元素个数，利用真子集个数公式可得出集合A 的真子集个数. 详解：{}{}{}220120,1A x Z x x x Z x =∈-++>=∈-<<=，所以，集合A 的真子集个数为2213-=. 故选：A. 点睛：本题考查集合真子集个数的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，解答的关键就是确定集合元素的个数，考查计算能力，属于基础题.6．解析：逐项分析选项A,B 不符合集合的三要素，选项C 满足集合三要素，选项D 不符合真子集的定义，即可得出结论. 详解：选项A:不满足集合的确定性，错误； 选项B:不满足集合的互异性，错误；选项C:集合无序性，只需集合元素相同，则集合相等，正确； 选项D: 空集不是本身的真子集，错误. 故选: C 点睛：本题考查对集合概念的理解，以及空集的性质，属于基础题.7．解析：根据集合的基本关系和补集运算，即可求出结果. 详解：因为{}|1P x x =<，所以{}=|1R C P x x ≥，又{}|0Q x x =>， 所以R C P Q ⊆， 故选：D. 点睛：本题主要考查集合之间的基本关系，熟练掌握集合间的基本关系是解题的关键.8．解析：由题意知1是方程x 2﹣4x+m ＝0的实数根，求出m 的值和集合B ，即知集合B 的子集个数． 详解：集合A ＝1，2，4}，B ＝x|x 2﹣4x+m ＝0}，若A∩B＝1}，则1是方程x 2﹣4x+m ＝0的实数根， ∴m＝4﹣1＝3，∴集合B ＝x|x 2﹣4x+3＝0}＝x|x ＝1或x ＝3}＝1，3}， ∴集合B 的子集有22＝4（个）． 故选D ． 点睛：本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．9．解析：通分化简，再利用集合之间的包含关系即可求解. 详解： M=616m x x m Z ⎧⎫+=∈⎨⎬⎩⎭，， N=3-23(-1)166n n x x n Z ⎧+⎫==∈⎨⎬⎭⎩，， P=316p x x p Z ⎧⎫+=∈⎨⎬⎩⎭，． 由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数， 所以M ⫋N=P ． 故选：B 点睛：本题考查了集合的包含关系，考查了基本知识掌握情况，属于基础题. 10．11．解析：首先确定集合B ，求出A B 后可得其子集个数． 详解：由题意{1,2,3,4,5}B =，{1,2,4}A B ⋂=，其子集个数为328=． 故选：A ． 点睛：本题考查集合的运算，考查子集的个数，确定集合中的元素是解题关键． 12．13．解析：根据集合的概念判断． 详解：集合A 是由小于3的自然数组成，0A ∈，1A -∉，只有C 正确，故选：C．14．解析：根据子集的概念求得参数a的值可得．详解：a=时，A=∅满足题意，a≠时，1ax=得1xa=，所以11a=或11a=-，1a=或1a=-，所求集合为{1,0,1}-．故选：D．15．解析：根据条件，若x∈Si ，y∈Sj，则y﹣x∈Sk，从而(y－x)－y＝－x∈Si，这便说明Si中有非负元素，从而三个集合中都有非负元素．可以看出若0∈Si ，任意x∈Sj，都有x－0＝x∈Sk ，从而说明Sj⊆S k，而同理可得到S k⊆S j，从而便可得出S j＝S k，这便得出3个集合中至少有两个相等．详解：解：若x∈Si ，y∈Sj，则y－x∈Sk，从而(y－x)－y＝－x∈Si，所以Si中有非负元素，由i，j，k的任意性可知三个集合中都有非负元素，若三个集合都没有0，则取S1∪S2∪S3中最小的正整数a(由于三个集合中都有非负整数，所以这样的a存在)，不妨设a∈S1，取S2∪S3中的最小正整数b，并不妨设b∈S2，这时b＞a(否则b不可能大于a，只能等于a，所以b－a＝0∈S3，矛盾)，但是，这样就导致了0＜b－a＜b，且b－a∈S3，这时与b为S2∪S3中的最小正整数矛盾，∴三个集合中必有一个集合含有0．∵三个集合中有一个集合含有0，不妨设0∈S1，则对任意x∈S2，有x－0＝x∈S3，∴S2包含于S3，对于任意y∈S3，有y－0＝y∈S2，∴S3包含于S2，则S2＝S3，综上所述，这三个集合中必有两个集合相等，故选：B．16．解析：由集合S＝0，1，2，3，4，5}，结合x∈A时，若有1x A-∉，且x＋1∉A，则称x 为A的一个“孤立元素”，我们用列举法列出满足条件的所有集合，即可得出答案.详解：∵当x∈A时，若有x－1∉A，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，∴单元素集合都含“孤立元素”．S中无“孤立元素”的2个元素的子集为0，1}，1，2}，2，3}，3，4}，4，5}，共5个，S中无“孤立元素”的3个元素的子集为0，1，2}，1，2，3}，2，3，4}，3，4，5}，共4个，S中无“孤立元素”的4个元素的子集为0，1，2，3}，0，1，3，4}，0，1，4，5}，1，2，3，4}，1，2，4，5}，2，3，4，5}，共6个，S中无“孤立元素”的5个元素的子集为0，1，2，3，4}，1，2，3，4，5}，0，1，2，4，5}，0，1，3，4，5}，共4个，S中无“孤立元素”的6个元素的子集为0，1，2，3，4，5}，共1个，故S 中无“孤立元素”的非空子集有20个，故选D. 点睛：本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，我们根据定义列出满足条件的所有不含”孤立元素”的集合，进而求出不含”孤立元素”的集合个数.17．解析：由元素与集合的关系、集合与集合的关系的表示符号判断即可. 详解：3[0,3)∉，故A 错误；0[0,3)∈，故B 错误；1[0,3)∈，故C 正确；{2}[0,3)⊆，故D 错误. 故选：C. 点睛：本题考查元素与集合、集合与集合关系的符号表示，属于基础题.18．解析：解方程求得集合A ，分别在B =∅和B ≠∅两种情况下，根据包含关系构造方程求得结果. 详解：由2230x x --=得：1x =-或3x =，即{}1,3A =-； ①当0a =时，B =∅，满足B A ⊆，符合题意； ②当0a ≠时，{}110B x ax a ⎧⎫=-==⎨⎬⎩⎭，B A ⊆，11a ∴=-或13a=，解得：1a =-或13a =；综上所述：实数a 的值构成的集合是11,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 故选：A . 点睛：本题考查根据集合的包含关系求解参数值的问题，易错点是忽略子集为空集的情况，造成求解错误.19．解析：先求得集合A ，结合A B 求得a 的取值范围. 详解：()()22210x x x x +-=+-=，解得2x =-或1x =，所以{}2,1A =-，由于{}B x x a =≤，A B ，所以1a ≥. 故选：B 点睛：本小题主要考查根据真子集求参数的取值范围，属于基础题.20．解析：试题分析：元素和集合是属于或不属于的关系，空集是没有元素的集合，所以D 选项正确．考点：元素和集合的关系．。

1.1.2集合间的基本关系1. 集合123{,,,,}n A a a a a =L ，则A 的子集有 个，真子集有 个。

2.（1）满足条件{2,3}{1,2,3,4,5}M ⊆⊆的集合M 有 个。

（2）{2,3,7}A ⊂≠，且A 中至多有一个奇数，则这样的集合A 有 A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个3.（1）设集合2{|,}P y y x x R ==∈，2{(,)|,}Q x y y x x R ==∈，则P 与Q 的关系是A ．P Q ⊆B ．P Q ⊇C ．P Q =D ．以上都不对（2）已知集合},61|{Z m m x x M ∈+==，},312|{Z n n x x N ∈-==， },612|{Z p p x x P ∈+==试确定P N M ,,之间的关系．4.已知集合{(,)|2,,}A x y x y x y N =+=∈，写出A 的所有子集。

5.已知集合{|13}A x x =≤≤，{|(1)()0}B x x x a =--=。

（1）若A B ⊆，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使得A B =成立？6.已知集合{2,4,6,8,9}A =，{1,2,3,5,8}B =，又非空集合C 是这样的一个集合：若各元素都加上2后就变成了A 的一个子集；若各元素都减去2就变成了B 的一个子集，求集合C 。

7．（1）已知集合{1,3,21}A m =--，集合2{3,}B m =，若A B ⊆，则实数m 的取之集合为 。

（2）已知集合}1|{},1|{2====ax x B x x A ．若A B ⊆，求实数a 的值；（3）集合{}02},1,1{2=+-=-=b ax x x B A ，若B ≠∅，且B A ⊆，求a 和b 的值．（4）已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ⊆，求实数m 的范围。

8.设{}042=+=x x x A ，函数{}01)1(222=-+++=a x a x x B ． （1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围；（2）若A B ⊆，求实数a 的值.。

1.2 集合间的基本关系1．若集合M 满足{}1M ≠∅，{}*3|1M x x ⊆∈N ，则符合条件的集合M 的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．52．设集合6|2B x Z N ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭x ,则集合B 的子集个数为( )． A ．3B ．4C ．8D ．16 3．满足条件{1,2,3}M{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5 4．集合{|3,}n M x x n ==∈N ，集合{|3,}x x n N n =∈=N ，则集合M 与集合N 的关系为（ ） A ．M N ⊆ B ．N M ⊆ C ．MND ．MN 且NM5．已知集合{}|11A x x =-≤≤，{}|0B x x a =-≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞B ．[)1,-+∞C ．(],1-∞-D ．[)1,+∞6．设集合{}1012U =-，，，，2{|1}A y y x x U ==+∈，则集合A 的真子集个数为A ．2B ．3C ．7D ．8 7．集合A=﹣1，5，1}，A 的子集中，含有元素5的子集共有A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个8．已知集合{}1,2A =，集合{}0,2B =，设集合{},,C z z xy x A y B ==∈∈，则下列结论中正确的是 A ．A C φ⋂= B ．A C C = C ．B C B =D ．AB C =9．集合{}2,1,2,3A =-的真子集个数为（ ） A ．16B ．15C ．14D ．1310．已知集合{}12A x x =≤≤，{}2,B y y x a x A ==+∈，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,2B ．[]2,1--C ．[]22-,D ．[]1,1-11．已知集合{}{}2|4,|1.A x x B x ax ====若B A ⊆，则实数a 的值是（ ）A ．12B ．2C ．11,22-D ．110,,22-12．已知函数1()lg1xf x x+=-的定义域为A , 函数()lg(1)lg(1)g x x x =+--的定义域为B ,则下述关于A B 、的关系中,不正确的为A ．AB ⊇ B ．A B B ⋃=C ．A B B =D ．B A13．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ） A ．7个B ．5个C ．3个D ．8个14．下列集合中表示同一集合的是 A ．(){}2,3M =，(){}3,2N =B ．2,3M，{}3,2N =C ．(){},1M x y y x ==+，{}1N y y x ==+D ．{}1M y y x ==+，{}21N y y x ==+15．已知集合{}1,2,{|20}A B x ax ==-=，若B A ⊆，则a 的值不可能是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．316．给出下列关系式：①23Q ⊆；②{}210x x x ∅∈++=；③(){}(){}21,4,23x y y x x -⊆=--；④{}[)22,x x <=+∞，其中正确关系式的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．317．下列符号表述正确的是（ ）A ．*0N ∈B ．1.732Q ∉C ．{}0∅∈D ．{}2x x ∅⊆≤18．已知集合{2,4}A ，则集合A 的子集个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．819．设集合{}2|1P x x ==，则集合P 的非空真子集的个数是（ ）A ．2B ．3C ．7D ．820．已知集合A =a ，b ，c },下列可以作为集合A 的子集的是A ．aB ．a ，c}C ．a ，e}D ．a ，b ，c ，d }参考答案1．C2．D3．C4．D5．D6．C7．B详解：试题分析：由集合A中的元素有﹣1，5，1共3个，含有元素5的子集，可能含有﹣1，1，代入公式得结论．解：由集合A中的元素有﹣1，5，1共3个，含有元素5的子集，可能含有﹣1，1，代入公式得：22=4，故选B．考点：子集与真子集．8．C9．B10．B11．D12．D13．A14．B15．D16．B17．D18．C19．A20．B详解：由集合的子集的定义可知：集合A=a，b，c}的子集为：∅，a}，b}，c}，a，b}，a，c}，b，c}，a，b，c}，对应选项，则可以作为集合A的子集的是a，c}.故选B.点睛：集合A={}12n a a a ，，，的子集个数为2n ，非空真子集个数为22n -.【参考解析】1．解析：依题可知M 致少有元素1，结合子集定义即可求解． 详解：由题意可知，{}1M =或{1,2}或{1,3}或{1,2,3}． 故选：C2．解析：首先用列举法，分别取出满足题目时x 值，从而得出集合B 的元素，从而得出集B 的子集. 详解： 当666603,12,41,1620212421x x x x =⇒==⇒==⇒==-⇒=+++- 所以集合{}3,2,1,6B =,所以集合B 的子集个数为4216=. 故选D 点睛：本题主要考查就集合中子集的求法：若集合B 中有n 个元素，则集合B 的子集有2n 个,属于基础题.3．解析：根据题意，分析可得集合M 中必须有1，2，3这三个元素，且至少含有4、5、6中的一个但不能同时包含3个元素，即M 的个数应为集合{4，5，6}的非空真子集的个数，由集合的子集与元素数目的关系，分析可得答案． 详解：解：根据题意，满足题意条件的集合M 中必须有1，2，3这三个元素， 且至少含有4、5、6中的一个但不能同时包含3个元素， 则M 的个数应为集合{4，5，6}的非空真子集的个数， 集合{4，5，6}有3个元素，有3226-=个非空真子集； 故选：C ． 点睛：本题考查集合间的基本关系，以及非空真子集的个数的运算．4．解析：分析集合M 和N 中元素的性质，进行比较即可得出答案. 详解：由{|3,}n M x x n ==∈N ，可得集合M 中的元素为：1,3,9,27,,3,n ；由{|3,}x x n N n =∈=N ，可得集合N 中的元素为：0,3,6,9,12,,3,n ，比较得1M ∈，但1N ∉，0N ∈，但0M ∉，3M ∈，3N ∈.∴MN 且NM .故选：D. 点睛：本题考查了两个集合关系的判断，准确分析集合中元素的特点并进行比较是解题的关键，属于一般难度的题.5．解析：根据集合的包含关系,即可求得参数a 的取值范围. 详解：集合{}|11A x x =-≤≤,{}|0B x x a =-≤,即{}|B x x a =≤ 因为A B ⊆, 则1a ≥ 即[)1,a ∈+∞ 故选:D 点睛：本题考查了集合的包含关系,求参数的取值范围,属于基础题.6．解析：先求出集合A ，进而求出其真子集的个数． 详解：因为集合{}1012U =-，，，，∴集合{|}A y y x U =∈＝1， ∴真子集个数为23﹣1＝7个， 故选C ． 点睛：本题考查了真子集的概念及性质，考查集合的表示方法：列举法，是一道基础题． 7．8．解析：先求集合C ，再根据集合与集合的关系判断即可． 详解：由题设，{0,2,4}C =，则B C ⊆，故B C B = 选C . 点睛：本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，属于基础题．9．解析：根据集合真子集的计算公式，直接得出结果. 详解：集合{}2,1,2,3A =-的真子集个数为42115-=. 故选：B. 点睛：本题主要考查求集合的真子集个数，属于基础题型.10．解析：根据题意，求得集合B ，结合A B ⊆，列出不等式组，即可求解. 详解：由题意，集合[]1,2A =，可得{}[]2,2,4B y y x a x A a a ==+∈=++， 因为A B ⊆，所以2142a a +≤⎧⎨+≥⎩，解得[]2,1a ∈--．故选：B.11．解析：计算{}2,2A =-，考虑{}2B =，{}2B =-，B =∅三种情况，计算得到答案. 详解：{}{}2|42,2A x x ===-，B A ⊆，当{}2B =时，21a =，12a =；当{}2B =-时，21a -=，12a =-；当B =∅时，0a =. 即0a =或12a =或12a =-. 故选：D. 点睛：本题考查了根据集合的包含关系求参数，意在考查学生的计算能力，忽略掉空集是容易发生的错误.12．解析：分别求出两函数的定义域，再判断集合关系. 详解： 因为1()lg1xf x x +=-，所以101x x +>-即()()110x x +-> ，解得11x -<< 故{}11A x x =-<<因为()lg(1)lg(1)g x x x =+--，所以1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<故{}11B x x =-<< 所以A B = 故选D. 点睛：本题考查函数的定义域与集合之间的关系，属于简单题.13．解析：根据集合的补集判断集合的个数，进而求得集合的真子集个数． 详解：由题可知，集合A 有三个元素．所以A 的真子集个数为：32-1=7个．选A 点睛：集合中子集的个数为2n ，真子集的个数为2n -1，非空真子集的个数为2n -214．解析：因为有序数对()2,3与()3,2不相同，所以A 错误；由于集合中的元素具有无序性，所以集合M 与集合N 是同一集合，故B 正确；因为集合M 表示的是当1,y x x R =+∈时，所得的有序实数对(),x y 所构成的集合，而集合N 是当1,y x x R =+∈时所得的y 值所构成的集合，所以C 错误；因为M R =，[)1,N =+∞，所以D 错误， 详解：对于A 选项：有序数对()2,3与()3,2不相同，所以集合M 与集合N 不是同一集合，故A 错误； 对于C 选项：由于{}(,)1,M x y y x x R ==+∈，所以集合M 表示的是当1,y x x R =+∈时，所得的有序实数对(),x y 所构成的集合，而由{}1,N y y x x R ==+∈得集合N 是当1,y x x R =+∈时所得的y 值所构成的集合， 所以集合M 与集合N 不是同一集合，故C 错误；对于D 选项，{}1M y y x R ==+=，{}{}[)21,11,N y y x x R y y ==+∈=≥=+∞，所以集合M 与集合N 不是同一集合，故D 错误；对于B 选项：由于集合中的元素具有无序性，所以集合M 与集合N 是同一集合，故B 正确； 故选B. 点睛：本题考查集合所表示的元素的意义，在判断时需分清集合中表示的是点集还是数集，理解元素的具体含义是什么，属于基础题.15．解析：由B A ⊆，分0a =和0a ≠两种情况讨论，结合集合间的关系，即可求解. 详解：由题意，集合{}1,2,{|20}A B x ax ==-=， 因为B A ⊆，当0a =时，集合B 为空集，此时满足B A ⊆；当0a ≠时，集合2{|20}{}B x ax a =-==，可得21a或22a=，解得1a =或2a =， 综上可得，实数a 的值为{}0,1,2，所以则a 的值不可能是3. 故选：D. 点睛：本题主要考查了根据集合的包含关系求解参数问题，其中解答中熟记集合间的包含关系，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.16．解析：对于①，23Q ∈；对于②，{}210x x x ∅⊆++=；对于③，点(1,4)-在抛物线223y x x =--上，对于④，{}[)22,x x <⊆+∞.详解：对于①，元素与集合不是包含关系，故①不正确；对于②，{}210x x x ∅∉++==∅，故②不正确；对于③，点(1,4)-在抛物线223y x x =--上，故(){}(){}21,4,23x y y xx -⊆=--正确；对于④，{}[)22,x x <⊆+∞，故④不正确. 故选：B. 点睛：本题考查了元素与集合的关系，考查了集合与集合的关系，考查了空集，属于基础题.17．解析：根据元素与集合、集合与集合的关系可判断各选项的正误. 详解：对于A 选项，0N *∉，A 选项错误；对于B 选项，1.732Q ∈，B 选项错误； 对于C 选项，{}0∅⊆，C 选项错误；对于D 选项，{}2x x ∅⊆≤，D 选项正确. 故选：D. 点睛：本题考查元素与集合、集合与集合关系的判断，属于基础题.18．解析：根据子集的定义依次列出集合的子集即可得出答案. 详解：集合{}2,4A =的子集分别是：φ，{}2，{}4，{}2,4，共有4个子集. 故选：C. 点睛：本题考查集合子集的概念，属于基础题.19．解析：解出集合P ，再写出集合P 的非空真子集即可. 详解：集合{}2|1P x x ==,即{}1,1P =-，集合P 的非空真子集有{}{}1,1-， 共2个. 故选：A . 点睛：本题考查的是集合子集，真子集，是基础题. 20．。

1.2 集合间的基本关系（基础知识+基本题型） 知识点一 子集1.子集定义 一般地，对于两个集合A ,B ,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆(或B A ⊇),读作“A 含于B ”(或“B 包含A ”) 图示或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A A ⊆;(2)对于集合A ,B ,C ,若A B ⊆,且B C ⊆,则A C ⊆.2.V enn 图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图.表示集合的Venn 图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线.提示：(1)注意符号“∈”与“⊆”的区别. “⊆”只用于集合与集合之间，如{0}N ⊆,而不能写成0N ⊆；“∈”只能用于元素与元素之间，如0N ∈,而不能写成{0}N ∈.(2)“A 是B 的子集”：集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，即由任意x A ∈能推出x B ∈.(3)当A 不是B 的子集时，我们记作“A B ”(或“B A ”)，读作“A 不含于B ”(或“B 不包含A ”),此时A 中至少存在一个元素不是B 中的元素，用图形语言表示如图1.1-2所示.例如，集合{,,}A a b c =不是集合{,,,,}B b c d e f =的子集，因为集合A 中的元素a 不是集合B 中的元素.知识点二 集合相等如果集合A 是集合B 的子集()A B ⊆,且集合B 是集合A 的子集()B A ⊆,此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作A B =.拓展：(1)若A B ⊆,且B A ⊆,则A B =;反之，若A B =,则A B ⊆,且B A ⊆，这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A B =,只需要证A B ⊆与B A ⊆均成立即可.(2)若两个集合相等，则这两个集合中所含的元素完全相同，与元素的排列顺序无关.(3) 要判断两个集合是否相等，对于元素较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，看两个集合中的元素是否完全相同；对于元素较多的有限集或无限集，应从“互为子集”入手进行判断.()A B B A A A AB B B 1.12-图知识点三 真子集定义 如果集合A B ⊆,但存在元素x B ∈,且x A ∈/,我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B (或B A )图示结论(1)若A B ⊆,且A B ≠,则AB ; (2)若AB ,且BC ,则A C . 提示(1)在证明AB ，时，应先证明A B ⊆，再证明B 中至少存在一个元素a ，使得a A ∉即可. (2) A B 对任意x A ∈都有x B ∈，但存在0x B ∈，且0x A ∉.(3)注意符号“⊆”与“”的区别. A B ⊆⇒A B =或A B ，例如，若集合{}1,2A =，{}1,2,3B =,则A 是B 的子集，也是真子集，用A B ⊆与A B 均可，但用AB 更准确. 知识点四 空集我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为φ，并规定：空集是任何集合的子集.在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念。

1.子集对于两个集合A和B，如果集合A中任何一个元素都属于集合B，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B或（B⊇A），读作“A包含于B”或“B包含A”.我们规定，空集包含于任何一个集合，空集是任何集合的子集.2.相等的集合对于两个集合A和B，如果A⊆B且B⊆A，那么叫做集合A与集合B相等，记作A=B，读作“集合A等于集合B”.因此，如果两个集合所含的元素完全相同，那么这两个集合相等.3.真子集对于两个集合A、B，如果A⊆B，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作A⫋B，读作“A真包含于B”.4.子集的个数5.韦恩图（文氏图）【例题】判断下列说法是否正确，并说明理由.（1）A⊆A；（2）若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；（3）∅⊆A；（4）A⫋B，B⫋C，则A⫋C.【例题】在下面写法中，错误写法的个数是（）①{0}∈{0,1}；②∅⫋{0}；③{0,-1,1}={1,-1,0};④0∈∅；⑤{（0,0）}={0}.A.2B.3C.4D.5【判别】a与{a}，{0}与∅之间有何区别？【例题】已知a为给定的实数，那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0}的子集个数为 . 【例题】设集合A={1,2,3}，B={x|x⊆A}，求集合B.【例题】设集合A={1,2,3}，B={x|x∈A}，求集合B.【例题】已知A={x|x2-2x-3=0}，B={x|ax-1=0}，若B⫋A，试求a的值.【例题】已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|0<x<5,x∈N}，则满足A⫋C⫋B的集合的个数是（）A.1B.2C.3D.4【例题】已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|a+1≤x≤2a-1}.（1）若B⊆A，求实数a的取值范围；（2）若A⫋B，求a的范围.。

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．集合{}(,)0,C x y y x =-=集合11(,),222y x D x y y x ⎧⎫⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎨⎬⎪⎪⎪=-⎩⎩⎭则集合,C D 之间的关系为() A ．D C ∈ B ．C D ∈ C ．C D ⊆ D ．D C ⊆2．有下列四个命题:①最小的自然数是0;②空集是任何集合的子集．③若a Q ∈，则a R ∈;④方程212x x +=的解集可表示为{}1,1.其中正确命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 3．下面四个关系中正确的是（ ）A ．{}0φ∈B ．{}a a ∉C ．{}00⊆D ．{}{},,a b b a ⊆ 4．集合{}2,1,2,3A =-的真子集个数为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．135．满足{2018}A ⊆≠⊂{2018,2019,2020}的集合A 的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．已知集合{}{}22011A x x x B x x =--<=-<<，则（ ）A ．AB ⊆ B ．B A ⊆C ．A B =D ．A B =∅7．已知集合{}27A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+<<-，若A B A ⋃=，则实数m 的取值范围是A ．[]3,4-B ．()3,4-C ．()2,4D ．(],4-∞8．下列四个命题：（1）空集没有子集；（2）空集是任何一个集合的真子集；（3）φ =0}；（4）任何一个集合必有两个或两个以上的子集．其中正确的个数有个A ．0B ．1C ．2D ．49．设)(1,2A =，](,B a =-∞，若A 是B 的真子集，则实数a 的取值范围是A ．2a ≥B ．1a ≤C ．1a ≥D ．2a ≤ 10．{}{}21,4,,1,A x B x ==且B A ⊆，则x =A ．2B ．2或-2C ．0或2D ．0或2或-211．设集合{1,0,1}A =-，2{,}B a a =，则使B A ⊆成立的a 的值是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．1-或1 12．已知集合{12},{01}A x x B x x =-<<=<<∣∣，则（ ） A ．A B ≠⊃ B ．A B ≠⊂ C ．A B =D ．A B ⊆ 13．下列表示方法正确的是（ ） A ．3∈［0，3) B ．0 ⊆［0，3)C ．1∈［0，3)D ．｛2｝∈［0，3) 14．下列关于空集∅的叙述：①0∈∅；②{}∅∈∅；③{}0∅=；④满足{}{}1,21,2,3,4A ⊆的集合A 的个数是4个；正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 15．已知集合2{|320R}A x x x x =-+=∈，，{|06N}B x x x =<<∈，，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．3B ．4C ．8D ．1616．已知集合{},A a b =，那么集合A 的所有子集为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．417．下列说法正确的有(1)很小的实数可以构成集合;(2)集合2{|1}y y x =-与集合2{(,)|1}x y y x =-是同一个集合; (3) 3611,,,||,0.5242-这些数组成的集合有5个元素;(4)任何集合至少有两个子集. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个18．已知集合2560,{|}M x x x =--≤1,16x N y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==≥-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则（ ） A ．M N ⊆ B ．N M ⊆ C ．M N D ．()R M C N ⊆19．集合{}|212P x N x =∈-<-<的子集的个数是（ ）A ．4B ．8C ．16D ．3220．如果，那么 A ．B ．C ．D ．参考答案一、单选题1．D 解析：由11222y x y x⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，得：11x y =⎧⎨=⎩，即(){}1,1D =，而()1,1C ∈ ∴D C ⊆故选：D2．D解析：①根据自然数的定义判断;②根据空集和集合的包含关系来判断；③根据实数和有理数的关系判断;④根据集合的特性来判断.详解：①自然数是非负整数，正确;②空集是任何集合的子集，正确；③是有理数，当然是实数，正确;④集合中的有元素有互异性的特点，错误.故选D.点睛：本题考查集合的概念及性质，以及对空集的理解，是基础题3．D解析：利用属于、不属于以及子集的定义逐一判断即可.详解：因为集合与集合之间不能用属于符号，故A 错；因为a 是集合{}a 的元素，故B 错；因为元素与集合之间不能用包含于符号，故C 错；根据子集的定义可知{}{},,a b b a ⊆正确，故选：D.点睛：本题主要考查元素与集合，集合与集合之间的关系，属于基础题.4．B解析：根据集合真子集的计算公式，直接得出结果.详解：集合{}2,1,2,3A =-的真子集个数为42115-=.故选：B.点睛：本题主要考查求集合的真子集个数，属于基础题型.5．C解析：根据子集的定义可知集合A 中一定含有2018，且A 不等于{}2018,2019,2020，利用列举法可得结果．详解：因为{}2018A ⊆ ≠⊂ {}2018,2019,2020， 所以A 中一定含元素2018，且A 不等于{}2018,2019,2020.得{}2018,2019A =或{}2018,2020A =或{}2018A =，即A 的个数为3，故选C ．点睛：本题主要考查子集、真子集的定义、元素和集合的关系等知识，意在考查学生的逻辑思维能力以及灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题．6．B解析：先化简集合A ，再判断集合间的关系.详解： 集合{}220A x x x =--<=x -1<x<2},已知{}11B x x =-<<故 B A ⊆,故选B点睛：判断集合间关系时，通常要先化简集合，然后可借助数轴、韦恩图或直接判断集合间的关系.7．D解析：A B A ⋃=可得B A ⊆，由{}121B x m x m =+<<-可判断，应对集合B 进行分类讨论，分为B 不是空集与B 是空集两种情况，再结合具体条件进行判断，求出参数m详解：A B A =，B A ∴⊆.①若B 不为空集，则121m m +<-，解得2m >.{}27A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+<<-12m ∴+≥-，且217m -≤，解得34m -≤≤.此时24m <≤.②若B 为空集，则121m m +≥-，解得2m ≤，符合题意.综上，实数m 的取值范围为(],4-∞.答案选D点睛：本题考查根据集合的子集的运算求解参数问题，易错点为若B A ⊆，一定要根据两种基本情况讨论：①B =∅，②B 不是空集；情况①解题时往往容易忽略8．A解析：根据空集的定义：不含任何元素的集合；空集的性质：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即可判断对错选出答案．详解：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故（1）、（2）错又空集中不含任何元素，{}00∈ ，故（3）错误空集只有空集一个子集，故（4）错综上所述正确的个数为0个故选A点睛：本题考查空集的定义：不含任何元素的集合；与空集的性质：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，属于基础题．9．A解析：根据集合A 是集合B 的真子集，求得实数a 的取值范围.详解：由于)(1,2A =，](,B a =-∞，且A 是B 的真子集，所以2a ≥.故选A.点睛：本小题主要考查根据集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题.10．D详解：根据已知条件，24x =或2,2,2,0x x x =∴=-或11x =时不满足集合元素的互异性，应舍去，0,2,x ∴=或2-故答案选D11．A解析：根据集合A ，B ，以及B ⊆A 即可得出211a a =-⎧⎨=⎩，从而求出a ＝﹣1． 详解：解：∵A＝﹣1，0，1}，B ＝a ，a 2}，且B ⊆A ；∴211a a =-⎧⎨=⎩ ∴a＝﹣1．故选：A ．点睛：本题考查列举法的定义，集合元素的互异性，以及子集的定义，属于基础题．12．A解析：由真子集的定义可得结果.详解：显然，x B ∀∈，都有x A ∈；0x A ∃∈，但0x B ∉. 所以集合B 是集合A 的真子集.故选：A.13．C解析：由元素与集合的关系、集合与集合的关系的表示符号判断即可.详解：3[0,3)∉，故A 错误；0[0,3)∈，故B 错误；1[0,3)∈，故C 正确；{2}[0,3)⊆，故D 错误.故选：C.点睛：本题考查元素与集合、集合与集合关系的符号表示，属于基础题.14．A解析：利用集合与元素的关系，以及集合与集合的关系，逐一判断4个命题即可. 详解：对于①：∅不含任何元素，0∉∅，所以①不正确；对于②：{}∅是以∅作为元素的集合，所以{}∅∈∅正确，所以②正确；对于③：∅不含任何元素，而{}0的元素是0，所以两者不相等，所以③不正确； 对于④：因为{}{}1,21,2,3,4A ⊆，所以集合A 中必有1和2，可能含有3或4，所以{}{}{}1,2,1,2,3,1,2,4A =共3个，所以④不正确.所以正确的只有1个，故选：A点睛：本题主要考查了元素与集合、集合与集合之间的关系，考查了子集和真子集的定义，属于基础题.15．C解析：先求出集合A,B ，根据A C B ⊆⊆可得集合C 的个数.详解：{}2{|320}1,2A x x x x R =-+=∈=，{}{|06}1,2,3,4,5B x x x N =<<∈=，由A C B ⊆⊆，则集合C 中必有元素1,2，而元素3,4,5可以没有，可以有1个，或2个，或3个.即满足条件的集合C 为：{}1,2，{}1,23，，{}1,24，，{}1,25，，{}1,234，，， {}1,245，，，{}1,25，3，，{}1,25，4,3，共8个 故选： C16．D解析：按照子集的定义，写出集合A 的子集即可.详解：集合{},A a b =的子集分别是φ，{}a ，{}b ，{}ab ，共四个，故选：D.点睛：本题考查集合的子集个数，属于基础题.17．A解析：利用集合元素的特征，集合中元素的含义，子集的定义，判断命题的子集即可． 详解：（1）很小的实数不满足集合中元素的确定性，显然（1）不正确．（2）集合y|y ＝x 2﹣1}与集合（x ，y ）|y ＝x 2﹣1}不是同一个集合，前者是函数的值域，后者是点的集合；所以不正确．（3）不正确；因为3624=，10.52-=，集合中的元素是互异的， 所以说36110.5242-，，，，这些数组成的集合有5个元素不正确， （4）例如空集，只有一个子集．所以任何集合至少有两个子集是不正确的；故选：A ．点睛：本题考查命题的真假，集合概念的理解与应用，是基本知识的考查．18．B解析：求出集合M ，N ，然后判断M ，N 的关系即可．详解：∵M＝x|﹣1≤x≤6}，N ＝y|0＜y≤6}，∴N ⊆M ．故选：B ．点睛：本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的值域和单调性，考查了计算能力，属于基础题．19．B解析：化简集合P 得到其元素个数，然后根据公式2n 计算可得结果.详解：因为{}|212P x N x =∈-<-<{|13}{0,1,2}x N x =∈-<<=，所以其子集个数为328=个.故选：B.点睛：本题考查了求集合的子集个数，属于基础题.20．D解析：集合A中包含数字0,所以结合集合间的关系可知正确.。

1.2 集合间的基本关系知识题型总结1．子集的概念2．真子集的概念3．集合相等的概念如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B.4．空集的概念【题型1 子集、真子集的概念】【方法点拨】①集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法．②不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．③在真子集的定义中，A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.【例1】（2020秋•宁县校级月考）对于集合A，B，“A⊆B”不成立的含义是（）A．B是A的子集B．A中的元素都不是B的元素C．A中至少有一个元素不属于BD．B中至少有一个元素不属于A【分析】“A⊆B”不成立，是对命题的否定，任何的反面是至少，即可得到结论．【解答】解：∵“A⊆B”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素，∴不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B，故选：C．【点评】本题考查集合的包含关系，考查命题的否定，属于基础题．【变式1-1】（2020秋•海淀区期末）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3}，集合A与B的关系如图所示，则集合B可能是（）A．{2，4，5}B．{1，2，5}C．{1，6}D．{1，3}【分析】根据Venn图表达集合的关系可得集合A与集合B的关系，然后根据选项找符号条件的即可．【解答】解：由图可知B⊆A，而{1，3}⊆{1，2，3}．故选：D．【点评】本题主要考查了集合之间的关系，弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系是解题的关键．【变式1-2】（2020秋•东湖区校级期中）下列各式：①{a}⊆{a}②Ø⊊{0}③0⊆{0}④{1，3}⊊{3，4}，其中正确的有（）A．②B．①②C．①②③D．①③④【分析】根据子集，真子集的定义，以及元素与集合的关系即可判断每个式子的正误，从而找到正确选项．【解答】解：任何集合是它本身的子集，∴①正确；空集是任何非空集合的真子集，∴②正确；0表示元素，应为0∈{0∈}，∴③错误；1∉{3，4}，∴{1，3}不是{3，4}的真子集，∴④错误；∴正确的为①②．故选：B．【点评】考查任何集合和它本身的关系，空集和任何非空集合的关系，以及元素与集合的关系，真子集的定义．【变式1-3】[多选题]下列命题中，正确的有（）A．空集是任何集合的真子集；B．若A⫋B，B⫋C，则A⫋C；C．任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；D．如果不属于B的元素也不属于A，则A⊆B【分析】根据集合的相关知识，可以进行判断．【解答】解：空集是不是空集的真子集，A错；真子集具有传递性，B对；空集没有真子集，C错；如果不属于B的元素也不属于A，则A⊆B，D对，故选：BD．【点评】本题考查集合的相关知识，属于基础题．【题型2 集合的相等与空集】【方法点拨】①利用集合相等的定义和集合中的元素的性质去解题．②利用空集的定义去解题.【例2】（2020秋•雨花区校级月考）[多选题]下列选项中的两个集合相等的有（）A．P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2（n+1），n∈Z}B．P＝{x|x＝2n﹣1，n∈N*}，Q＝{x|x＝2n+1，n∈N+}C．P＝{x|x2﹣x＝0}，Q＝{x|x=1+(−1)n2，n∈Z}D．P＝{x|y＝x+1}，Q＝{（x，y）|y＝x+1}【分析】利用集合相等的定义和集合中的元素的性质，对各个选项逐个判断即可．【解答】解：选项A ：因为集合P ，Q 表示的都是所有偶数组成的集合，所以P ＝Q ； 选项B ：集合P 中的元素是由1，3，5，…，所有正奇数组成的集合，集合Q 是由3，5，7…，所有大于1的正奇数组成的集合，即1∉Q ，所以P ≠Q ；选项C ：集合P ＝{0，1}，集合Q 中：当n 为奇数时，x ＝0，当n 为偶数时，x ＝1，所以Q ＝{0，1}，则P ＝Q ；选项D ：集合P 表示的是数集，集合Q 表示的是点集，所以P ≠Q ； 综上，选项AC 表示的集合相等， 故选：AC ．【点评】本题考查了集合相等的性质，考查了学生对集合的元素的理解，属于基础题．【变式2-1】（2020秋•五华区校级期中）已知集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a 2，a ，ab }，若A ＝B ，则a 2021+b 2020＝（ ） A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【分析】根据集合元素的互异性得到关于a 的方程组{1=ab b =a 2或{1=a 2b =ab ，通过解方程组求得a 、b 的值，则易求a 2021+b 2020的值．【解答】解：由题意得①组{1=ab b =a 2或②{1=a 2b =ab，由②得a ＝±1，当a ＝1时，A ＝{1，1，b }，不符合，舍去； 当a ＝﹣1时，b ＝0，A ＝{1，﹣1，0}，B ＝{﹣1，1，0}，符合题意． 由①得a ＝1，舍去， 所以a ＝﹣1，b ＝0． ∴a 2021+b 2020＝﹣1． 故选：A ．【点评】本题考查了集合相等的应用，注意要验证集合中元素的互异性，属于基础题． 【变式2-2】（2020秋•武邑县校级期末）下列四个集合中，是空集的是（ ） A ．{x |x +3＝3} B ．{（x ，y ）|y 2＝﹣x 2，x ，y ∈R } C ．{x |x 2≤0}D ．{x |x 2﹣x +1＝0，x ∈R }【分析】根据空集的定义，分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：根据题意，由于空集中没有任何元素，对于选项A ，x ＝0； 对于选项B ，（0，0）是集合中的元素；对于选项C，由于x＝0成立；对于选项D，方程无解．故选：D．【点评】本题考查了集合的概念，是一道基础题．【变式2-3】（2020春•保定期中）如果A＝{x|ax2﹣ax+1＜0}＝∅，则实数a的取值范围为（）A．0＜a＜4B．0≤a＜4C．0＜a≤4D．0≤a≤4【分析】由A＝∅得不等式ax2﹣ax+1＜0的解集是空集，然后利用不等式进行求解．【解答】解：因为A＝{x|ax2﹣ax+1＜0}＝∅，所以不等式ax2﹣ax+1＜0的解集是空集，当a＝0，不等式等价为1＜0，无解，所以a＝0成立．当a≠0时，要使ax2﹣ax+1＜0的解集是空集，则{a＞0△=a2−4a≤0，解得0＜a≤4．综上实数a的取值范围0≤a≤4．故选：D．【点评】本题主要考查一元二次不等式的应用，将集合关系转化为一元二次不等式是解决本题的关键．【题型3 集合间关系的判断】【方法点拨】①列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系．②元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断．③图示法：利用数轴或Venn图判断两集合间的关系．【例3】（2021春•江油市校级期末）在下列选项中，能正确表示集合A＝{﹣2，0，2}和B＝{x|x2+2x＝0}关系的是（）A．A＝B B．A⊆B C．A⊋B D．A⊊B【分析】先求出集合B，然后利用两个集合之间的关系进行判断即可．【解答】解：解方程x2+2x＝0，得x＝0或x＝﹣2，所以B＝{﹣2，0}，又A＝{1﹣2，0，2}，所以A⊋B．故选：C ．【点评】本题考查了集合之间关系的判断，属于基础题．【变式3-1】（2021•市中区校级模拟）设集合P ＝{y |y ＝x 2+1），M ＝{x |y ＝x 2+1}，则集合M 与集合P 的关系是（ ） A ．M ＝PB ．P ∈MC ．M ⫋PD ．P ⫋M【分析】由函数得：P ＝{y |y ≥1}，M ＝R ，即P ⫋M ，得解 【解答】解：因为y ＝x 2+1≥1， 即P ＝{y |y ≥1}， M ＝{x |y ＝x 2+1}＝R ， 所以P ⫋M ， 故选：D ．【点评】本题考查了集合的表示及函数，属简单题.【变式3-2】（2020春•九龙坡区校级期中）已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，集合B ＝{x ||x ﹣1|≤3}，集合C ={x|x−4x+5≤0}，则集合A ，B ，C 的关系为（ ） A ．B ⊆AB ．A ＝BC ．C ⊆BD ．A ⊆C【分析】解出不等式，从而得出集合A ，B ，C ，再根据子集的定义判断A ，B ，C 的关系． 【解答】解：∵x 2﹣2x ﹣3≤0，即（x ﹣3）（x +1）≤0， ∴﹣1≤x ≤3，则A ＝[﹣1，3]， 又|x ﹣1|≤3，即﹣3≤x ﹣1≤3， ∴﹣2≤x ≤4，则B ＝[﹣2，4]， ∵x−4x+5≤0⇔{(x −4)(x +5)≤0x +5≠0， ∴﹣5＜x ≤4，则C ＝（﹣5，4]， ∴A ⊆C ，B ⊆C ， 故选：D ．【点评】本题主要考查集合间的基本关系的判断，考查一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式的解法，属于基础题．【变式3-3】（2020秋•湖北期中）[多选题]集合M ＝{x |x ＝2k ﹣1，k ∈Z }，P ＝{y |y ＝3n +1，n ∈Z }，S ＝{z |z ＝6m +1，m ∈Z }之间的关系表述正确的有（ ）A．S⊆P B．S⊆M C．M⊆S D．P⊆S【分析】根据题意判断集合M，P，S表示的意义，进行判断．【解答】解：M＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}表示被2整除余1的数的集合；P＝{y|y＝3n+1，n∈Z}表示被3整除余1的数的集合；S＝{z|z＝6m+1，m∈Z}＝{z|z＝3×（2m）+1，m∈Z}＝{z|z＝2×（3m）+1，m∈Z}，表示被6整除余1的集合；故S⫋P，S⫋M．故S⊆P，S⊆M，正确，即AB正确．故选：AB．【点评】本题考查了集合的交集、补集问题，属于基础题．【题型4 有限集合子集、真子集的确定】【方法点拨】①确定所求集合，是子集还是真子集．②合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出．③注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．假设集合A中含有n个元素，则有：①A的子集的个数为2n个；②A的真子集的个数为2n－1个；③A的非空真子集的个数为2n－2个．【例4】（2020秋•南昌县校级月考）已知集合M＝{2，4，8}，N＝{1，2}，P＝{x|x=ab，a∈M，b∈N}，则集合P的子集个数为（）A．4B．6C．16D．63【分析】由集合M＝{2，4，8}，N＝{1，2}，P＝{x|x=ab，a∈M，b∈N}，求出集合P，由此能求出集合P的子集个数．【解答】解：集合M＝{2，4，8}，N＝{1，2}，P＝{x|x=ab，a∈M，b∈N}，∴P＝{1，2，4，8}，∴集合P的子集个数为：24＝16．故选：C．【点评】本题考查集合的子集个数的求法，考查子集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【变式4-1】（2020秋•南沙区校级月考）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}，则满足A⊆C⊆B的集合C的个数为（）A．4B．8C．7D．16【分析】求出集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，由此利用列举法能求出满足A⊆C⊆B的集合C的个数．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，∴满足A⊆C⊆B的集合C有：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共8个．故选：B．【点评】本题考查满足条件的集合的个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意子集定义、列举法的合理运用．【变式4-2】（2020秋•临猗县校级月考）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}，则满足A⫋C⊆B的集合C的个数为（）A．4B．7C．8D．16【分析】求出集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，由此利用列举法能求出满足A⫋C⊆B的集合C的个数．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，∴满足A⫋C⊆B的集合C有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个．故选：B．【点评】本题考查满足条件的集合的个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意子集定义、列举法的合理运用．【变式4-3】（2020秋•海曙区校级期中）已知集合A＝{x|（a﹣1）x2+3x﹣2＝0}，若A的子集个数为2个，则实数a＝．【分析】推导出（a﹣1）x2+3x﹣2＝0只有一个实数解，当a﹣1＝0时，a＝1，（a﹣1）x2+3x﹣2＝0即3x﹣2＝0，当a﹣1≠0时，（a﹣1）x2+3x﹣2＝0只有一个实数根，△＝9+8（a﹣1）＝0，由此能求出实数a 的值．【解答】解：∵集合A ＝{x |（a ﹣1）x 2+3x ﹣2＝0}，且A 的子集个数为2个， ∴（a ﹣1）x 2+3x ﹣2＝0只有一个实数解，当a ﹣1＝0时，a ＝1，（a ﹣1）x 2+3x ﹣2＝0即3x ﹣2＝0，解得x =23， 当a ﹣1≠0时，（a ﹣1）x 2+3x ﹣2＝0只有一个实数根， △＝9+8（a ﹣1）＝0，解得a =−18． ∴实数a 的值为1或−18． 故答案为：1或−18．【点评】本题考查实数值的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 【题型5 利用集合间的关系求参数】 【方法点拨】①当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．②当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用． 【例5】（2020秋•南开区校级月考）设集合A ＝{x |﹣1≤x +1≤6}，B ＝{x |m ﹣1＜x ＜2m +1}，若A ⊇B ，则m 的取值范围是 ．【分析】B ⊆A ，则说明B 是A 的子集，然后分m ≤﹣2和m ＞﹣2两种情况求出m 的取值范围． 【解答】解：∵A ＝{x |﹣1≤x +1≤6}＝{x |﹣2≤x ≤5}， 当m ﹣1≥2m +1，即m ≤﹣2时，B ＝∅满足B ⊆A ． 当m ﹣1＜2m +1，即m ＞﹣2时，要使B ⊆A 成立， 需 {m −1≥−22m +1≤5，可得﹣1≤m ≤2，即﹣1≤m ≤2，综上，m ≤﹣2或﹣1≤m ≤2时有B ⊆A ． 故答案为：{m |m ≤﹣2或﹣1≤m ≤2}．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的性质的合理运用． 【变式5-1】（2020秋•武汉期中）已知关于x 不等式x 2﹣2mx +m +2≤0（m ∈R ）的解集为M ． （1）[1，2]⊆M ，求实数m 的取值范围；（2）当M 不为空集，且M ⊆[1，4]时，求实数m 的取值范围．【分析】（1）由题意得到关于m 的不等式组，求解不等式组确定实数m 的取值范围即可； （2）由题意分类讨论即可求得实数m 的取值范围．【解答】解：（1）由题意[1，2]⊆M 可知，令 f （x ）＝x 2﹣2mx +m +2，则{f(1)≤0f(2)≤0△＞0，解得：m ≥3．（2）∵M 不为空集，且M ⊆[1，4]，当△＞0 时，则{ f(1)≥0f(4)≥0△＞01≤m ≤4，解得：2≤m ≤187，当△＝0 时，m ＝2也符合题目要求： 综上：2≤m ≤187． 【点评】本题主要考查集合的包含关系，分类讨论的数学思想，二次方程根的分布等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．【变式5-2】（2020秋•南阳期中）集合A ＝{x |﹣3≤x ≤7}，B ＝{x |m +1≤x ≤2m ﹣1}． （1）若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；（2）当x ∈R 时，没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围．【分析】（1）根据B ⊆A 可讨论B 是否为空集：B ＝∅时，m +1＞2m ﹣1；B ≠∅时，{m +1≤2m −1m +1≥−32m −1≤7，解出m 的范围即可；（2）根据题意可知A ∩B ＝∅，讨论B 是否为空集：B ＝∅时，m ＜2；B ≠∅时，{m ≥2m +1＞7或{m ≥22m −1＜−3，然后解出m 的范围即可． 【解答】解：（1）∵B ⊆A ，∴①B ＝∅时，m +1＞2m ﹣1，解得m ＜2； ②B ≠∅时，{m ≥2m +1≥−32m −1≤7，解得2≤m ≤4，综上，实数m 的取值范围为（﹣∞，4]； （2）由题意知，A ∩B ＝∅， ①B ＝∅时，m ＜2；②B ≠∅时，{m ≥2m +1＞7或{m ≥22m −1＜−3，解得m ＞6，∴实数m 的取值范围为（﹣∞，2）∪（6，+∞）．【点评】本题考查了描述法的定义，子集的定义，空集的定义，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题．【变式5-3】（2020春•荔湾区校级期中）已知不等式x2﹣（a+1）x+a≤0的解集为A．（1）若a＝2，求集合A；（2）若集合A是集合{x|﹣4≤x≤2}的真子集，求实数a的取值范围．【分析】（1）代入a的值，根据一元二次不等式的解法即可求解；（2）对a分类讨论，进而可以确定集合A，再根据集合的子集关系即可求解．【解答】解：（1）由题意，当a＝2时，不等式x2﹣（a+1）x+a≤0，即x2﹣3x+2≤0，解得1≤x≤2，所以集合A＝{x|1≤x≤2}；（2）设集合B＝{x|﹣4≤x≤2}，由x2﹣（a+1）x+a≤0，可得（x﹣1）（x﹣a）≤0，当a＜1时，不等式（x﹣1）（x﹣a）≤0的解集{x|a≤x≤1}，由已知A⊆B可得a≥﹣4，所以﹣4≤a＜1；当a＝1时，不等式（x﹣1）（x﹣a）≤0的解集{x|x＝1}，满足题意；当a＞1时，不等式（x﹣1）（x﹣a）≤0的解集{x|1≤x≤a}，由A⊆B可得a≤2，所以1＜a≤2；综上可得﹣4≤a≤2，即实数a的取值范围为[﹣4，2]．【点评】本题考查了求解一元二次不等式以及子集的应用，考查了分类讨论思想，属于基础题．【题型6 集合间关系中的新定义问题】【例6】（2020秋•沭阳县期中）已知非空集合A，若对于任意x∈A，都有4x∈A，则称集合A具有“反射性”．则在集合{1，2，4，8}的所有子集中，具有“反射性”的集合个数为．【分析】利用列举法能求出在集合{1，2，4，8}的所有子集中，具有“反射性”的集合个数．【解答】解：在集合{1，2，4，8}的所有子集中，具有“反射性”的集合有：{1，4}，{2}，{1，2，4}，∴在集合{1，2，4，8}的所有子集中，具有“反射性”的集合个数为3．故答案为：3．【点评】本题考查集合的子集中具有“反射性”的集合个数的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【变式6-1】（2020秋•山东期中）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|ax2＝2，a ≥0}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a 的取值集合为 ． 【分析】讨论a ＝0和a ＞0，求得集合B ，再由新定义，得到a 的方程，即可解得a 的值． 【解答】解：集合A ＝{﹣1，2}， B ＝{x |ax 2＝2，a ≥0}， 若a ＝0，则B ＝∅， 即有B ⊆A ；若a ＞0，可得B ＝{−√2a ，√2a }，不满足B ⊆A ；若A ，B 两个集合有公共元素，但互不为对方子集，可得√2a =2或−√2a =−1，解得a =12或a ＝2．综上可得，a ＝0或12或2；故答案为：{0，12，2}．【点评】本题考查集合的运算以及包含关系，考查新定义的理解和运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，属于中档题．【变式6-2】（2020秋•南昌县校级月考）若x ∈A ，则1x∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝{﹣1，0，12，2，3}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（ ） A ．1B ．3C ．7D ．31【分析】由定义求出集合A 中的元素可为﹣1，2与12必然同时出现，然后利用n 集合的非空子集个数为2n ﹣1．【解答】解：∵﹣1∈A ，1−1=−12∈A 则12∈A12∈A 则2∈A∴A ＝{﹣1}或A ＝{2，12}或A ＝{﹣1，2，12} 故选：B ．【点评】本题考查集合与元素的关系，注意运用列举法，属于基础题．【变式6-3】（2021春•如皋市校级月考）对于任意两个数x ，y （x ，y ∈N *），定义某种运算“◎”如下：①当{x =2m ，m ∈N ∗y =2n ，n ∈N ∗或{x =2m −1，m ∈N ∗y =2n −1，n ∈N ∗时，x ◎y ＝x +y ；②当{x =2m ，m ∈N ∗y =2n −1，n ∈N ∗时，x ◎y ＝xy ．则集合A ＝{（x ，y ）|x ◎y ＝10}的子集个数是（ ） A ．214个B ．213个C ．211个D ．27个【分析】利用列举法分别针对两种情况列出A 中对应的元素即可求解． 【解答】解：①若x ，y 同为奇数或偶数时； ∵x ◎y ＝x +y ＝10，∴同时为偶数时：（2，8），（4，6），（6，4），（8，2）；同时为奇数时：（1，9），（3，7），（5，5），（7，3），（9，1）； ②当x 为偶数，y 为奇数时； ∵x ◎y ＝xy ．∴（2，5），（10，1）∴综上所诉：集合A 中共含有11个元素，故其子集个数为：211个． 故选：C ．【点评】本题考查了集合子集的个数问题，考查学生的分析能力，属于基础题．。

1.2集合间的基本关系学习任务核心素养1.理解集合之间的包含与相等的含义．(重点)2．能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(难点、易混点) 3．在具体情境中，了解空集的含义．(难点)1.通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解，培养数学抽象素养．2．借助子集和真子集的求解，培养数学运算素养.一所学校中，所有同学组成的集合记为A，而高一年级同学组成的集合为B，你觉得集合A和B之间有怎样的关系？你能从集合元素的角度分析它们的关系吗？知识点1子集、真子集、集合的相等(1)Venn图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．(2)两个集合之间的关系①子集．②集合相等．③真子集．(3)子集的性质①任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.②对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.1.(1)任何两个集合之间是否有包含关系？(2)符号“∈”与“⊆”有何不同？[提示](1)不一定．如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系．(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系；而“⊆”表示集合与集合之间的关系．1.已知集合P＝{－1,0,1,2}，Q＝{－1,0,1}，则()A．P∈Q B．P⊆QC．Q P D．Q∈PC[∵－1,0,1均在集合P、Q中，而2∈P且2∉Q，∴Q P，结合选项可知C正确．]2.已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：(1)A________B；(2)A________C；(3){2}________C；(4)2________C.(1)＝(2)(3)(4)∈[集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1,2}，而C＝{x|x<8，x∈N}＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．故(1)A＝B；(2)A C；(3){2}C；(4)2∈C.](1)方程x2＋1＝0的实数根组成的集合如何表示？(2)你认为可以规定∅是任意一个集合的子集吗？知识点2空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.(2)规定：空集是任何集合的子集．2.∅与0，{0}，{∅}有何区别？[提示]∅与0∅与{0}∅与{∅} 相同点都表示无的意思都是集合都是集合不同点∅是集合；0是实数∅不含任何元素；{0}含一个元素0∅不含任何元素；{∅}含一个元素，该元素是∅关系0∉∅∅{0}∅{∅} 空集是任何非空集合的真子集．3.思考辨析(正确的画√，错误的画×)(1)∅和{∅}都表示空集．()(2)任何集合都有子集和真子集．()(3)集合{x|x2＋1＝0，x∈R}＝∅.()[答案](1)×(2)×(3)√4.下列四个集合中，是空集的为()A．{0}B．{x|x>8，且x<5}C．{x∈N|x2－1＝0}D．{x|x>4}B[满足x>8且x<5的实数不存在，故{x|x>8，且x<5}＝∅.]类型1子集、真子集的个数问题【例1】(对接教材P8例题)填写下表，并回答问题：集合集合的子集子集的个数∅{a}{a，b}{a，b，c}由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，a n}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？[解]集合集合的子集子集的个数∅∅ 1{a}∅，{a} 2{a，b}∅，{a}，{b}，{a，b} 4{a，b，c}∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}8由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，a n}的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.子集、真子集个数有关的4个结论假设集合A中含有n个元素，则有(1)A的子集的个数有2n个；(2)A的非空子集的个数有2n－1个；(3)A的真子集的个数有2n－1个；(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．[跟进训练]1．已知集合M满足：{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况．[解]由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；含有5个元素：{1,2,3,4,5}．故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．类型2集合间关系的判断【例2】判断下列各组中集合之间的关系：(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；(2)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x 是正方形}；(3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<5}．[解](1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以A B.(2)由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而D B A C.(3)易知A中的元素都是B中的元素，但存在元素，如－2∈B，但－2∉A，故A B.判断集合关系的方法(1)观察法：一一列举观察．(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．提醒：若A⊆B和A B同时成立，则A B更能准确表达集合A，B之间的关系．[跟进训练]2．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是()B[解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得N M，其对应的Venn 图如选项B所示．]类型3 由集合间的关系求参数【例3】 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B A ，求实数m 的取值范围．判断B 是否是空集，由此借助数轴分类求解实数m 的取值范围．[解] (1)当B ＝∅时， 由m ＋1>2m －1，得m <2. (2)当B ≠∅时，如图所示．∴⎩⎨⎧m ＋1≥－2，2m －1<5，2m －1≥m ＋1或⎩⎨⎧m ＋1>－2，2m －1≤5，2m －1≥m ＋1，解这两个不等式组，得2≤m ≤3. 综上可得，m 的取值范围是{m |m ≤3}．若本例条件“A ＝{x |－2≤x ≤5}”改为“A ＝{x |－2<x <5}”，其他条件不变，求m 的取值范围．[解] (1)当B ＝∅时，由m ＋1>2m －1，得m <2. (2)当B ≠∅时，如图所示，∴⎩⎨⎧m ＋1>－2，2m －1<5，m ＋1≤2m －1，解得⎩⎨⎧m >－3，m <3，m ≥2，即2≤m <3，综上可得，m 的取值范围是{m |m <3}．利用集合的关系求参数问题(1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．(2)空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．[跟进训练]3．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B A，求m的值．[解]A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．因为B A，所以B＝{－3}或B＝{2}或B＝∅.当B＝{－3}时，由m·(－3)＋1＝0，得m＝1 3.当B＝{2}时，由m·2＋1＝0，得m＝－1 2.当B＝∅时，m＝0.综上所述，m＝13或m＝－12或m＝0.1．下列六个关系式：①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}⊆{b，a}；③∅＝{∅}；④{0}＝∅；⑤∅{0}；⑥0∈{0}．其中正确的个数是()A．1B．3C．4D．6C[①②⑤⑥正确，③④错误，故选C.]2．集合{1,2}的子集有()A．4个B．3个C．2个D．1个A[集合{1,2}的子集有∅，{1}，{2}，{1,2}，共4个．]3．已知集合A＝{x|1≤x<6}，B＝{x|x＋3≥4}，则A与B的关系是() A．A B B．A＝BC．B A D．B⊆AA[∵A＝{x|1≤x<6}，B＝{x|x≥1}，∴A B.故选A.]4．已知集合A＝{3，m}，B＝{3,4}，若A＝B，则实数m＝________.4[由A＝B可知，m＝4.]5．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．(1)若A B，则a的取值范围为________；(2)若B⊆A，则a的取值范围为________．(1){a|a>2}(2){a|1≤a<2}[(1)若A B，则集合A中的元素都在集合B中，且B中有不在A中的元素，则a>2.(2)若B⊆A，则集合B中的元素都在集合A中，则a≤2.因为a≥1，所以1≤a≤2.]回顾本节知识，自我完成以下问题：1．两个集合间的基本关系有哪些，如何判断两个集合间的关系？[提示]两个集合间的基本关系有子集、真子集和相等．常借助元素分析法及数轴法分析两个集合间的关系．2．空集同任意集合A之间存在怎样的关系？[提示](1)∅⊆A，(2)∅A(A≠∅)．3．包含关系与属于关系的使用条件分别是什么？[提示]包含关系是集合与集合间的关系，而属于关系是元素与集合的关系，两者不可混用．。

1.2 集合的基本关系1.集合间关系的判定；2. 有限集合的子集确定问题；3. 有限集合的子集个数的确定；4.由集合间的关系求参数的值和范围一、单选题1．（2021·浙江高一月考）已知集合{}0,1,2A =，则集合A 的子集的个数为（ ）A ．16B ．15C ．8D ．7【答案】C 【解析】集合A 中包含3个元素 ∴集合A 的子集个数为：328=个故选：C2．（2021·浙江高一课时练习）已知集合{|1}A x x =³-，则正确的是（ ）A ．0⊆A B ． {0}A Î C ．A f ÎD ．{0}AÍ【答案】D 【解析】对A ，0A Î,故A 错误；对B ，{0}A Í，故B 错误；对C ，空集f 是任何集合的子集，即A f Í，故C 错误；对D ，由于集合{0}是集合A 的子集，故D 正确.故选：D3．（2021·山东济宁高一月考）已知集合2{0,1,}=A a ，{1,0,23}=+B a ，若A B =，则a 等于（ ）A ．-1或3B ．0或-1C ．3D ．-1【答案】C 【解析】由于A B =，故223a a =+，解得1a =-或3a =.当1a =-时，21a =，与集合元素互异性矛盾，故1a =-不正确.经检验可知3a =符合.故选C.4．（2021·浙江高一课时练习）已知集合{|A x x =是平行四边形}，{|B x x =是矩形}，{|C x x =是正方形}，{|D x x =是菱形}，则A ．A B ÍB ．C B ÍC ．D C ÍD ．A DÍ【答案】B 【解析】因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D ⊂A ，矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B ⊂A ，C ⊂A ，正方形是矩形，所以C ⊆B ．故选B ．5．（2021·浙江高一单元测试）若{}2{1,4,},1,A x B x ==且B A Í，则x =（ ）．A ．2±B ．2±或0C ．2±或1或0D ．2±或±1或0【答案】B 【解析】因为B A Í，所以24x =或2x x =，所以2x =±、1或0．根据集合中元素的互异性得2x =±或0.故选：B6．（2021·浙江高一课时练习）设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a}＝0,,b b a ìüíýîþ ，则b －a 等于( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2【答案】C 【解析】根据题意，集合{}1,,0,,b a b a b a ìü+=íýîþ，且0a ≠，所以0a b +=，即=-a b ，所以1ba=-，且1b =，所以1,1a b =-=，则2b a -=，故选C.7．（2021·沙坪坝重庆一中高三月考（理））已知集合{}22,A xx x Z =<Î∣，则A 的真子集共有（ ）个A ．3B ．4C ．6D ．7【答案】D 【解析】因为{}{}22,1,0,1A xx x Z =<Î=-∣，所以其真子集个数为3217-=.故选：D.8．（2021·河南林州一中高二月考（理））已知集合{}21,A x x =+，{}1,2,3B =，且A B Í，则实数x 的值是（ ）A ．1-B ．1C ．3D ．4【答案】B 【解析】由A B Í，知21x B +Î且x B Î，经检验1x =符合题意，所以1x =.故选：B9．（2021·浙江高一单元测试）满足条件{}{}1,2,3,41,2,3,4,5,6M ≠ÍÌ的集合M 的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】由题意可知：M 应在{1,2,3,4}的基础上不增加元素或增加5,6中的一个，所以M 的个数就是集合{5,6}的真子集个数，即集合M 的个数是2213-=.本题选择B 选项.10．（2021·浙江高一课时练习）若集合||4{|}2A x R x =Î-£，集合2{|}3B x R a x a =Σ£+，若B A Í，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．{}|3x x >B ．{|1}x x …C ．{|13}x x <<D ．{|13}x x ££【答案】B 【解析】集合{}[]422,6A x R x =Î-£=，若集合B 为空集，则23a a >+，即3a >时满足题意；若集合B 不为空集，可得23a a £+，即3a £，由B A Í得22,36,a a ìí+î……解得[]1,3a Î，综合两种情况可知[1,)a Î+¥.故选：B.二、多选题11．（2021·广东南沙高一期中）以下四个选项表述正确的有（ ）A ．0ÎÆB ．{}0ÆÜC ．{}{},,a b b a ÍD ．{}0ÆÎ【答案】BC 【解析】0ÏÆ，A 错误；{}0ÆÜ，B 正确；{}{},,a b b a =，故{}{},,a b b a Í，C 正确；{}0ÆÍ，D 错误.故选：BC .12．（2021·全国高一课时练习）下列关系中正确的是（ ）A ．1{0,1,2}ÎB ．{}1{0,1,2}ÎC ．{}{0,1,2}0,1,2ÍD ．{0,1,2}{2,0,1}= E.{0,1}{(0,1)}Í【答案】ACD 【解析】A 项中集合{0,1,2}中有1这个元素，所以A 正确；因为集合{1}是集合{0,1,2}的真子集，不能用“Δ来表示，所以B 错误；因为任何集合都是它本身的子集，所以C 正确；因为集合中的元素具有无序性，所以D 正确；因为集合{0,1}表示数集，它有两个元素，而集合{(0,1)}表示点集，它有一个元素，所以E 错误.综上可得ACD 正确.故选：ACD.13．（2021·江苏宿迁高一期末）已知集合[2,5)A =，(,)B a =+¥.若A B Í，则实数a 的值可能是( )A ．3-B ．1C ．2D ．5【答案】AB∵A B Í，∴2a <，∴a 可能取3,1-；故选：AB.14．（2021·全国高一课时练习）已知集合{|12}A x x =<<，{|232}B x a x a =-<<-，下列命题正确的是（ ）A ．不存在实数a 使得AB =B ．存在实数a 使得A B ÍC ．当4a =时，A B ÍD ．当04a ……时，B AÍE.存在实数a 使得B A Í【答案】AE 【解析】A 选项由相等集合的概念可得23122a a -=ìí-=î解得2a =且4a =，得此方程组无解，故不存在实数a 使得集合A=B ，因此A 正确；B 选项由A B Í，得231,22,a a -£ìí-³î即2,4,a a £ìí³î，此不等式组无解，因此B 错误；C 选项当4a =时，得{|52}B x x =<<为空集，不满足A B Í，因此C 错误；D 选项当232a a -³-，即1a ³时，B A =ÆÍ，符合B A Í；当1a <时，要使B A Í，需满足23122a a -³ìí-£î解得24a ££，不满足1a <，故这样的实数a 不存在，则当04a ££时B A Í不正确，因此D 错误；E 选项由D 选项分析可得存在实数a 使得B A Í，因此E 正确.综上AE 选项正确.故选：AE.三、填空题15．（2021·安徽蚌山蚌埠二中高二期中（文））已知集合A={1,3},B={1,2,m}，若 A ÍB ，则实数 m ＝______．【答案】3Q A B Í，16．（2021·西夏宁夏大学附属中学高二月考（文））设集合{}{}3,,3,3A m B m ==，且A B =，则实数m 的值是________．【答案】0【解析】由集合A ＝{3，m}＝B ＝{3m,3}，得3m ＝m ，则m ＝0．故答案为0．17．（2021·上海市进才中学高二期末）已知集合{}121Q x k x k =+££-=Æ，则实数k 的取值范围是________．【答案】(),2-¥【解析】{}121Q x k x k =+££-=ÆQ ，121k k \+>-，解得2k <.因此，实数k 的取值范围是(),2-¥.故答案为：(),2-¥.18．（2021·滨州市博兴县第一中学）用“Δ“Ï”“Í”“Ê”，[]0,2______[]1,2-.【答案】Ï Í 【解析】Q Q ，易知[]0,2是[]1,2-的子集，所以[][]0,21,2Í-.故答案为(1). Ï (2). Í19．（2017·上海市淞浦中学）确定整数,x y 使{}{}2,5,4x x y -=，则x =_____，y =_______【答案】2 3- 【解析】由{}{}2,5,4x x y -=得：254x x y =ìí-=î或245x x y =ìí-=î，解得：5232x y ì=ïïíï=-ïî或23x y =ìí=-î,x y Q 都是整数 2x \=，3y =-故答案为：2；3-20．（2021·上海高三专题练习）设{(,)|4}M x y mx ny =+=，且{(2,1),(2,5)}-ÜM ，则m =_______，n =________．【答案】43 43【解析】{(2,1),(2,5)}-￿M，则24254m n m n +=ìí-+=î，解得43m =，43n =.故答案为：43；43.21.（2021·山东省淄博第七中学高一月考）若集合{1,2}A =,{|}B x x A =Î，{|}C x x A =Í用列举法表示集合B=_____，C=______.【答案】{}1,2 {∅，{1}，{2}，{1，2}} 【解析】由题意得，A ＝{1，2}，B ＝{x|x ÎA}{}1,2=，则集合C 中的元素是集合A 的子集：∅，{1}，{2}，{1，2}，所以集合C ＝{∅，{1}，{2}，{1，2}}，故答案为：{}1,2，{∅，{1}，{2}，{1，2}}．四、解答题22．（2021·全国高一）已知集合M 满足：{1，2}⫋M ⊆{1，2，3，4，5}，写出集合M 所有的可能情况.【答案】{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}【解析】由题意可以确定集合M 必含有元素1，2，且至少含有元素3，4，5中的一个，因此依据集合M 的元素个数分类如下：含有3个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；含有4个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}；含有5个元素：{1，2，3，4，5}.故满足条件的集合M 为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}.23．（2021·全国高一）已知{},,A a b c =，则求：（1）集合A 的子集的个数，并判断￿与集合A 的关系（2）请写出集合A 的所有非空真子集【答案】（1）8，￿￿A （2）{}a ，{}b ，{}c ，{,}a b ，{,}a c ，{,}b c 【解析】（1）{},,A a b c =的子集有￿，{}a ，{}b ，{}c ，{,}a b ，{,}a c ，{,}b c ，{,,}a b c 共8个，其中￿￿A .（2）集合A 的所有非空真子集有{}a ，{}b ，{}c ，{,}a b ，{,}a c ，{,}b c .24．（2021·上海高一课时练习）已知{}2|340A x x x =+-=，{|10}B x ax a =-+=，且B A Í，求所有a 的值所构成的集合M .【答案】110,,32ìü-íýîþ【解析】由已知得：{4,1}A =-.∵B A Í，当B =Æ时，0a =；当{4}B =-时，13a =-；当{1}B =时，12a =.∴110,,32M ìü=-íýîþ.25．（2021·浙江高一课时练习）已知集合{|1,1}A x x a a a =-££>-ÎR 且，{|21,}B y y x x A ==-Î，2{},|C z z x x A ==Î.是否存在a ，使C B Í？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】存在，1a =.【解析】存在,假设存在这样的a 值,由于21y x =-且x A Î,即1x a -££,321y a \-££-.而2z x =且x A Î,∴当10a -<£时,21a z ££；当01a <<时,01z ££；当1a ³时,20z a ££.若10a -<£,要使C B Í,则211a -³,即1a ³,矛盾.同理当01a <<时,也不存在a 的值.而1a ³时,要使C B Í,则有221a a £-,即2(1)0a -£,1a \=.故存在1a =,使得C B Í.26．（2021·全国高一）已知集合A={x|ax 2+2x+1=0，a ∈R}，（1）若A 只有一个元素，试求a 的值，并求出这个元素；（2）若A 是空集，求a 的取值范围；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．【答案】（1）详见解析；（2）1a >；（3）0a =或1a ³【解析】（1）若A 中只有一个元素，则方程ax 2+2x+1=0有且只有一个实根，当a=0时，方程为一元一次方程，满足条件，此时x=-12，当a≠0，此时△=4-4a=0，解得：a=1，此时x=-1，（2）若A 是空集，则方程ax 2+2x+1=0无解，此时△=4-4a＜0，解得：a ＞1.（3）若A 中至多只有一个元素，则A 为空集，或有且只有一个元素，由（1），（2）得满足条件的a 的取值范围是：a=0或a≥1.27．（2021·全国高一）已知集合{}12A x ax =<<，{}11B x x =-<<，求满足A B Í的实数a 的取值范围.【答案】(]{}[),202,-¥-+¥U U 【解析】①当0a =时，A =Æ，满足A B Í.② 当 0a >时，12A xx a a ìü=<<íýîþ，∵A B Í，∴11,21,aaì³-ïïíï£ïî解得2a ³.③ 当 0a <时，21A xx a a ìü=<<íýîþ，∵A B Í，∴21,11,aaì³-ïïíï£ïî解得2a £-.综上所述，所求实数a 的取值范围为(]{}[),202,-¥-+¥U U .。

1.2 集合间的基本关系课标要求素养要求理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表示集合间的基本关系，并能进行转换，重点提升数学抽象素养和直观想象素养.教材知识探究草原上，蓝蓝的天上白云飘，白云下面马儿跑.如果草原上的枣红马组成集合A，草原上的所有马组成集合B.问题(1)集合A中的元素与集合B中的元素的关系是怎样的？(2)集合A与集合B又存在什么关系？提示(1)集合A中的元素都是B的元素.(2)A是B的子集.1.子集的相关概念(1)子集、真子集、集合相等概念都是很重要的概念，一定要认真理解①子集的概念文字语言符号语言图形语言一般地，对于两个集合A ，B，如果集合AA B(或B A)中任意一个元素，都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集Venn图：我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.②集合相等一般地，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B，也就是说，若A B，且B A，则A＝B.③真子集的概念如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A).(2)空集注意区分与空集有关的符号：，0，{}，{0}一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作.规定：空集是任何集合的子集.空集是任何非空集合的真子集2.集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A A.(2)对于集合A，B，C：①若A B，且B C，则A C；②若A B，B C，则A C；③若A B，A≠B，则A B.教材拓展补遗『微判断』1.1{1，2，3}.(×)提示“”表示集合与集合之间的关系，而不是元素和集合之间的关系.2.任何集合都有子集和真子集.(×)提示空集只有子集，没有真子集.3.和{}表示的意义相同.(×)提示是不含任何元素的集合，而集合{}中含有一个元素.『微训练』1.已知集合A＝{－2，3，6m－6}，若{6}A，则m＝________.解析∵{6}A，∴6m－6＝6，∴m＝2.答案 22.若A＝{1，a，0}，B＝{－1，b，1}，且A＝B，则a＝________，b＝________.解析由两个集合相等可知b＝0，a＝－1.答案－1，03.若{1，2}B{1，2，4}，则B＝________.解析由条件知B中一定含有元素1和2，故B可能是{1，2}或{1，2，4}.答案{1，2}或{1，2，4}『微思考』1.A B能否理解为子集A是B中的“部分元素”所组合的集合？提示A B不能理解为集合A是B中的“部分元素”所组成的集合.因为若A ＝，则A中不包含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素，而此时可以说集合A是集合B的子集.2.符号“∈”与“”的区别是什么？提示符号“∈”用于表示元素与集合之间的关系；而符号“”用于表示集合与集合之间的关系.3.集合A中有n(n∈N*)个元素，则A的子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数分别是多少？提示①由n个元素组成的集合有2n个子集；②由n个元素组成的集合有(2n－1)个真子集；③由n个元素组成的集合有(2n－1)个非空子集；④由n个元素组成的集合有(2n－2)个非空真子集.题型一集合关系的判断『例1』指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}.解(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.(3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A B.(4)由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，故N M.规律方法判断集合关系的方法(1)观察法：一一列举观察.(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.(3)数形结合法：利用数轴或Venn图.『训练1』 (1)集合A ＝{x |(x －3)(x ＋2)＝0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x x －3x ＋2＝0，则A 与B 的关系是( ) A.ABB.A ＝BC.A BD.B A(2)已知集合A ＝{x |x <－2或x >0}，B ＝{x |0<x <1}，则( ) A.A ＝B B.A B C.B AD.AB解析 (1)∵A ＝{－2，3}，B ＝{3}，∴B A .(2)在数轴上分别画出集合A ，B ，如图所示，由数轴知B A .答案 (1)D (2)C题型二 子集、真子集个数问题 通常采用一一列举的办法求解『例2』 (1)集合{a ，b ，c }的所有子集为________________，其中它的真子集有________个.解析 集合{a ，b ，c }的子集有：，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }，{a ，b ，c }，其中除{a ，b ，c }外，都是{a ，b ，c }的真子集，共7个. 答案，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }，{a ，b ，c } 7(2)写出满足{3，4}P{0，1，2，3，4}的所有集合P .解 由题意知，集合P 中一定含有元素3，4，并且是至少含有三个元素的集合，因此所有满足题意的集合P 为：{0，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{0，1，3，4}，{0，2，3，4}，{1，2，3，4}，{0，1，2，3，4}. 规律方法 1.假设集合A 中含有n 个元素，则有： (1)A 的子集有2n 个；(2)A 的非空子集有(2n －1)个； (3)A 的真子集有(2n －1)个； (4)A 的非空真子集有(2n －2)个. 2.求给定集合的子集的两个注意点：(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写； (2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身.『训练2』 已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N }，试写出A 的所有子集. 解 ∵A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N }，∴A ＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}. ∴A 的子集有：，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.题型三 由集合间的包含关系求参数 此类题型中空集是常见的“雷区”『例3』 (1)已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且BA .求实数m 的取值范围.(2)已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}，B ＝{x |mx －3＝0}，且B A ，求实数m 的取值集合. 解 (1)∵B A ，①当B ＝时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. ②当B ≠时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2，综上得m ≥－1.(2)由x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3. ∴集合A ＝{1，3}.①当B ＝时，此时m ＝0，满足B A .②当B ≠时，则m ≠0，B ＝{x |mx －3＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m .∵BA ，∴3m ＝1或3m ＝3，解之得m ＝3或m ＝1.综上可知，所求实数m 的取值集合为{0，1，3}.规律方法 由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法 (1)注意点：①不能忽视集合为的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论.(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答.『训练3』 已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，集合B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}. (1)若A B ，求a 的取值范围； (2)若BA ，求a 的取值范围.解 (1)若A B ，由图可知a >2.(2)若BA ，由图可知1≤a ≤2.一、素养落地1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象和直观想象素养.2.对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，即由x ∈A ，能推出x ∈B ，这是判断AB 的常用方法.(2)不能简单地把“AB ”理解成“A 是B 中部分元素组成的集合”，因为若A＝时，则A 中不含任何元素；若A ＝B ，则A 中含有B 中的所有元素.(3)在真子集的定义中，A，B首先要满足A B，其次至少有一个x∈B，但xA.二、素养训练1.集合A＝{－1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有()A.2个B.4个C.6个D.8个解析根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}，{0，1}，{0，－1}，{－1，0，1}, 四个；故选B.答案 B2.已知集合M＝{x|－5<x<3，x∈Z}，则下列集合是集合M的子集的为()A.P＝{－3，0，1}B.Q＝{－1，0，1，2}C.R＝{y|－π<y<－1，y∈Z}D.S＝{x||x|≤3，x∈Z}解析集合M＝{－2，－1，0，1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{－1，0，1}，不难发现集合P中的元素－3M，集合Q中的元素2M，集合R中的元素－3M，而集合S＝{－1，0，1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S M.故选D.答案 D3.①0∈{0}，②{0}，③{0，1}＝{(0，1)}，④{(a，b)}＝{(b，a)}，上面关系中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4解析①正确，0是集合{0}的元素；②正确，是任何非空集合的真子集；③错误，集合{0，1}含有两个元素0，1；{(0，1)}含有一个元素点(0，1)，所以这两个集合没关系；④错误，集合{(a，b)}含有一个元素点(a，b)，集合{(b，a)}含有一个元素点(b，a)，这两个元素不同，所以集合不相等.∴正确的个数是2.故选B.答案 B4.设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A B，则a的取值范围是()A.{a|a≤2}B.{a|a≤1}C.{a|a≥1}D.{a|a≥2}解析画出数轴可得a≥2.答案 D5.已知集合A＝{x|x－7≥2}，B＝{x|x≥5}，试判断集合A，B的关系.解A＝{x|x－7≥2}{x|x≥9}，又B＝{x|x≥5}，∴A B.。

1.2 集合间的基本关系1．集合M=}|1,2n x x n Z ⎧=+∈⎨⎩，N=}1|,2x x m m Z ⎧=+∈⎨⎩，则两集合M ，N 的关系为（ ）A ．M∩N=∅B ．M=NC ．M ⊆ND ．N ⊆M 2．已知集合{2,0,1},{0,1,3}M N =-=，则M N ⋃=（ ）A ．{0,1}B ．{2,1,3}-C ．{2,0,1}-D ．{2,0,1,3}-3．已知集合A ，B ，C 满足：A B ⊆，A C ⊆，{}0,1,2,3B =，{}1,3,8,9C =，则集合A 可以是（ ） A ．{}1,8B ．{}1,3C ．{}0D ．{}94．集合{|13}P x Z x =∈-<，{}2R |9M x x =∈，则P∩M 等于A ．{}1,2B ．{}0,1,2C ．1,0,1,2D ．{|03}x x ≤≤5．设集合{}2|0log 1A x x =<<，{}|B x x a =<，若A B ⊆，则a 的取值范围是（ ）． A ．2a ≥B ．2a >C ．1a <D ．1a ≤6．已知集合{}20A x mx mx m =-+=有两个非空真子集，则实数m 的取值范围为（ ）A ．{}4m m ＞B ．{}04m m m ＜或＞C ．{}4m m ≥D ．{}04m m m ≤≥或7．已知集合2{|1}M x x ==．N 为自然数集，则下列表示不正确的是（ ） A ．1M ∈B ．{1,1}M =-C ．M ∅⊆D ．M N ⊆8．对于任意两个正整数,m n ，定义某种运算，法则如下：当,m n 都是正奇数时，mn m n =+ ；当,m n 不全为正奇数时，m n mn =，则在此定义下，集合(){,|M a b a=16,*,*}b a N b N =∈∈的真子集的个数是（ ）A ．721-B ．1121-C ．1321-D ．1421- 9．若集合{|13}A x x =<<，{|}B x x a =<，且A B B ⋃=，则a 的取值范围为（ ）A ．3a ≥B ．3a ≤C ．1a ≥D ．1a ≤10．已知集合A ＝x|x 2﹣3x+2＝0}，B ＝x|0＜x ＜6，x∈N}，则满足A ⫋C ⊆B 的集合C 的个数为（ ） A ．4B ．7C ．8D ．1611．已知a R b R ∈∈，，若集合{}210b a a a b a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，，，，，则20212020a b +的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．212．设集合{}210A x x =-=，则（ ）A ．A ∅∈B ．A π∈C ．1A -∈D ．{}11A -∈， 13．设集合A ＝x|x ＝2k ＋1，k ∈Z}，若a ＝5，则有（ ）A ．a ∈AB ．－a ∉AC ．a}∈AD ．a}∉A14．设集合P=立方后等于自身的数}，那么集合P 的真子集的个数是（ ）A ．3B ．4C ．7D ．815．集合|,3kA x x k Z ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，{}|,B x x k k Z ==∈，1{|,}3C x x k k Z ==+∈，2{|,}3D x x k k Z ==+∈，则下面正确的是（ ）A ．C DB =B ．CD A ⋃=C ．B C A =D ．B C D A =16．若集合|,2M k k Z πααπ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，|,2N k k Z πββπ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，|2,2P k k Z πθθπ⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭，|2,2Q k k Z πϕϕπ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则四个集合中与其它三个集合不相等的一个集合是（ ）A ．MB ．NC ．PD ．Q17．已知集合2{|40}A x x =-=，则下列关系式表示正确的是（ ）A ．A ∅∈B ．{2}A -=C ．2A ∈D ．{2,2}- ≠⊂A 18．已知集合{}01A =，，{},,B z z x y x A y A ==+∈∈∣，则B 的子集个数为（ ） A ．3 B ．4C ．8D ．619．设集合{|,}24k M x x k ππ==+∈Z ，{|,}42k N x x k ππ==+∈Z ，则（ ） A ．M NB ．M N ⊆C ．M N ⊇D ．M N ⋂=∅ 20．若1,2,3} A ⊆1,2,3,4,5}，则集合A 的个数为A ．2B ．3C ．4D ．5参考答案1．D 2．D 3．B 4．C 5．A 6．A 7．D 8．C 详解：由题意，当m n ， 都是正奇数时，m n m n =+※ ；当m n ，不全为正奇数时，m n mn =※ ； 若a b ， 都是正奇数，则由16a b =※ ，可得16a b += ，此时符合条件的数对为（115313151⋯，），（，），（，） 满足条件的共8个；若a b ，不全为正奇数时，m n mn =※ ，由16a b =※ ，可得16ab = ，则符合条件的数对分别为116284482161（，），（，），（，），（，），（，） 共5个；故集合**{|16}M a b a b a N b N ==∈∈（，）※，， 中的元素个数是13， 所以集合**{|16}M a b a b a N b N ==∈∈（，）※，，的真子集的个数是1321-．故选C ．点睛：本题考查元素与集合关系的判断，解题的关键是正确理解所给的定义及熟练运用分类讨论的思想进行列举，9．A 10．B 11．B 12．C 13．A 14．C 15．D 16．D 17．C 18．C 19．C详解：集合1,2,3}是集合A 的真子集，同时集合A 又是集合1,2,3,4,5}的子集，所以集合A 只能取集合1,2,3,4}，1,2,3,5}和1,2,3,4,5}． 考点：集合间的基本关系.【参考解析】1．解析：根据子集的定义判断． 详解：由题意，对于集合M ，当n 为偶数时，设n=2k （k∈Z），则x=k+1（k∈Z）， 当n 为奇数时，设n=2k+1（k∈Z），则x=k+1+12（k∈Z）， ∴N ⊆M ， 故选：D.2．解析：根据并集的运算求解即可. 详解：因为{2,0,1},{0,1,3}M N =-=，由集合的并集运算，得{2,0,1,3}M N ⋃=-. 故选：D 点睛：本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题.3．解析：根据题意，得()A B C ⊆，再利用交集的定义即可得到结论. 详解：由A B ⊆，A C ⊆，知()A B C ⊆， 又{}0,1,2,3B =，{}1,3,8,9C =， ∴{}1,3B C =， ∴集合A 可以为{}1,3. 故选：B. 点睛：本题考查交集的定义，集合与集合的关系，属于基础题.4．解析：先求出集合M 和集合P ，根据交集的定义，即得P M ⋂。