2014秋涟水进修学校西大2015年0088《数学分析选讲》作业解答

2014 —--2015学年度第二学期《数学分析2》A 试卷学院 班级 学号（后两位） 姓名一. 判断题（每小题3分，共21分）（正确者后面括号内打对勾，否则打叉） 1.若()x f 在[]b a ,连续,则()x f 在[]b a ,上的不定积分()⎰dx x f 可表为()C dt t f xa+⎰（ ).2.若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]⎰⎰⎰⋅=dx x g dx x f dx x g x f （ ）。

3. 若()⎰+∞adx x f 绝对收敛,()⎰+∞adx x g 条件收敛，则()()⎰+∞-adx x g x f ][必然条件收敛（ ）。

4。

若()⎰+∞1dx x f 收敛，则必有级数()∑∞=1n n f 收敛( ）5。

若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛,则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛（ ）。

6。

若数项级数∑∞=1n n a 条件收敛,则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大( ).7。

任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ).二. 单项选择题(每小题3分,共15分)1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()⎰ax dx x f 在[]b a ,上（ ）A 。

不连续 B. 连续 C.可微 D.不能确定2。

若()x g 在[]b a ,上可积,而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（ ）A 。

()x f 在[]b a ,上一定不可积；B. ()x f 在[]b a ,上一定可积，但是()()⎰⎰≠babadx x g dx x f ；C 。

()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()⎰⎰=bab adx x g dx x f ；D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定.3。

《数学分析选论》习题解答第 四 章 积 分 学１．设∈f R ],[b a ，f g 与仅在有限个点取值不同．试用可积定义证明∈g R ],[b a ，且=⎰bax x g d )(⎰bax x f d )(．证 显然，只要对g 与f 只有一点处取值不同的情形作出证明即可．为叙述方便起见，不妨设)()(b f b g ≠，而当),[b a x ∈时)()(x f x g =．因∈f R ],[b a ，故11||||,0,0δ<>δ∃>ε∀T 当时，对一切{}ni 1ξ，恒有,2)(1ε<-∆ξ∑=ni i i J x f 其中 x x f J b a⎰=d )(． 令⎭⎬⎫⎩⎨⎧-εδ=δ|)()(|2,m in 1b f b g ，则当δ<||||T 时，有,2)()()()()()(1111ε+∆ξ-ξ<-∆ξ+∆ξ-∆ξ≤-∆ξ∑∑∑∑====n n n ni i i n i ni i i i i ni i i x f g Jx f x f x g Jx g而上式最末第二项又为⎪⎩⎪⎨⎧=ξε<-≤≠ξ=∆ξ-ξ..b T b f b g b x f g n n n n n ,2||||)()(,,0)()(所以，无论b n =ξ或b n ≠ξ，只要δ<||||T ，便有ε=ε+ε<-∆ξ∑=22)(1ni i i J x g ． 这就证得∈g R ],[b a ，且x x f J x x g bab a⎰⎰==d d )()(． □２．通过化为定积分求下列极限： （１）∑-=∞→+1222limn k n kn n ； （２）nn n n n n)12()1(1lim-+∞→Λ．解 （１）由于∑∑-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=1210221122n k n k n n n k k n n I .， 因此2arctan 212lim 01102π==+=⎰∞→xx x I n n d ． （２）记nnn n n n n n n nJ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-+=11111)12()1(1ΛΛ.，∑-=⎪⎭⎫⎝⎛+==111n k n n n k nJ I n l n l ． 则有122)()lim 12211-=-==+=⎰⎰∞→n l n l d n l d 1n(l x x x x x x x I n n ，ee e4lim 12ln 2lim ===-∞→∞→nn I n n J ． □ ３．证明：若∈f R ],[b a ，则],[],[b a ⊂βα∀，∈f R ],[βα． 证 由条件，],[,0b a T ∃>ε∀，使ε<∆ω∑)(T ii x ．T 中添加βα,两点作为新的分点后，得到新的分割],[b a T '，并记T '落在],[βα上的部分为T ''],[βα．则对上述],[,0βα''∃>εT ，使得ε<∆ω≤∆ω≤∆ω∑∑∑''''''''')()()(T ii T i i T i i x x x ，所以证得∈f R ],[βα． □ *４．用可积第二充要条件重新证明第１题中的∈g R ],[b a ．证 设g 与f 仅有一点处的值不同，记此点为],[b a ∈τ． 由条件，],[,0b a T ∃>ε∀，使得2)(ε<∆ω∑T i i fx ． 若τ落在T 的第k 个小区间中，则有k k gk k gT i ki ifT i i g x x x x ∆ω+ε<∆ω+∆ω=∆ω∑∑≠2)()(． 由于∈f R ],[b a ，因此f 在],[b a 上有界，而g 与f 仅有)()(τ≠τf g ，故g 在],[b a 上亦有界，设∈≤x M x g ,|)(|],[b a ．于是，只要MT 4||||ε<，便能使 2||||2ε<≤∆ωT M x k k g．这样就可证得 ε=ε+ε<∆ω∑22)(T i igx ， 即∈g R ],[βα．（ 注：如果原来的分割T 尚不能满足MT 4||||ε<的要求，那么只需将此分割足够加细，直到能满足如上要求 ．） □５．设f 在],[b a 上有界，{}],[b a a n ⊂，且有c a n n =∞→lim ．证明：若f 在],[b a 上只有),2,1(Λ=n a n 为其间断点，则∈f R ],[b a ．证 设∈≤x M x f ,|)(|],[b a ．为叙述方便起见，不妨设a c =．于是，0>ε∀，0>∃N ，当Ma a a N n n 4,ε+<≤>时． 由于f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡ε+b M a ,4上至多只有N 个间断点，因此可积．故对上述0>ε，存在1T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ε+b M a ,4，使得2)(1ε<∆ω∑T i i x ． 而f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡ε+M a a 4,上的振幅M 20≤ω，所以把1T 与⎥⎦⎤⎢⎣⎡ε+M a a 4,合并成],[b a T 后，必使ε=ε+ε<∆ω+εω≤∆ω∑∑224)(0)(1T i i T i i x M x .．故证得∈f R ],[b a ． □*６．设∈g f ,R ],[b a ．证明：],[b a T ∀，若在T 所属的每个小区间i ∆上任取两点),,2,1(,n i i i Λ=ηξ，则有=∆ηξ∑=→ni i i i T x g f 10||||)()(limx x g x f ba⎰d )()(．证 由条件易知∈)(g f .R ],[b a ，记x x g x f I ba⎰=d )()(．故0,01>δ∃>ε∀， 当1||||δ<T 时，对一切{}ni 1ξ，有2)()(1ε<-∆ξξ∑=ni i i i I x g f ． 因∈f R ],[b a ，故f 有界，设∈≤x M x f ,|)(|],[b a ．又由∈g R ],[b a ，22||||,0δ<>δ∃T 当时，有Mx T i ig2)(ε<∆ω∑． 记{}21,m in δδ=δ，则当δ<||||T 时，有...22|)()(||)(|)()()()()()()()(ε=ε<∆ω≤∆ξ-ηξ≤∆ξξ-∆ηξ∑∑∑∑MM x M x g g f x g f x g f T i i gT ii i i T i i i T i i i所以证得δ<||||T 时满足.ε=ε+ε<-∆ξξ+∆ξξ-∆ηξ≤-∆ηξ∑∑∑∑==22)()()()()()()()(1)()(1ni i i i T ii i T i i i ni i i i I x g f x g f x g f I x g f此即==∆ηξ∑=→I x g f ni i i i T 10||||)()(limx x g x f ba⎰d )()( 成立． □７．证明：若∈f R ],[b a ，且0)(≥x f ，则必有∈f R ],[b a ．证 根据复合可积性命题（教材p.99例５）,外函数u 在),0[∞+上连续，内函数)(x f u =在],[b a 上可积，则复合函数)(x f 在],[b a 上可积． □８．设∈f R ],[b a ．证明：若任给∈g R ],[b a ，总有0)()(=⎰x x g x f b ad ，则f在其连续点处的值恒为零．证 由g 的任意性，特别当取f g =时，同样有0)()()(2==⎰⎰x x f x x g x f babad d ．把教材 p.103 例１（３）中的)(x f 换成)(2x f ，则得)(2x f 在其连续点处恒为零，亦即)(x f 在其连续点处恒为零． □*９．证明：若f 在],[b a 上连续，且0)()(==⎰⎰x x f x x x f babad d ，则至少存在两点),(,21b a x x ∈，使得0)()(21==x f x f ．证 若在),(b a 内0)(≠x f ，则由f 连续，恒使0)(0)(<>x f x f 或．于是又使)0(0)(<>⎰或x x f bad ，这与)(=⎰x x f ba d 相矛盾．所以),(1b a x ∈∃，使得0)(1=x f ．倘若f 在),(b a 内只有一个零点1x ，不妨设⎩⎨⎧∈<∈>.),(,0,),(,0)(11a x x x a x x f（ 若除1x 外)(x f 恒正或恒负，则将导致与上面相同的矛盾．）现令],[,)()()(1b a x x f x x x g ∈-=．易知)(x g 在),(b a 内除1x 外处处为负，从而>00)()()(1=-=⎰⎰⎰x x f x x x f x x x g bababad d d ，又得矛盾．所以f 在),(b a 内除1x 外至少另有一个零点2x ． □１０．证明以下不等式：（１）π+π<⎰π22sin 0x x x d ； （２）144sin 20320π<-π<⎰πx x x d ； （３）6ln 3<<⎰e4ed e x xx ．证 （１）设⎪⎩⎪⎨⎧π∈==,],0(,sin ,0,1)(x xxx x f它在],0[π上连续．由于],0(π∈x 时⎪⎭⎫⎝⎛=-='22)()sin cos (1)(x x g x x x x x f ， x x x x g sin cos )(-=在],0[π上连续，且0sin )sin cos ()(<-='-='x x x x x x g ，因此)(0)(,0)0()(x f x f g x g ⇒<'=< 递减．于是.π+π≤ξ+π=ξ+<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ∈ξ∃+=⎰⎰⎰⎰⎰πππππππ2212sin 1,2sin sin sin 220220x x x x xx x x xx xxd d d d d（２）由（１）已知2sin 20π<⎰πx x x d ，于是 0sin 220>-π⎰πx x xd ； 再由⎥⎦⎤⎢⎣⎡π∈-≥2,0,!31sin 3x x x x ，又可推得 144261sin 320220π-π=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛->⎰⎰ππx x x xxd d ． （３）设]4e ,e [,ln )(∈=x xxx f ．由于)4e ,e e 2(02ln 2)(∈=⇒=-='x xx x x f ，且e1e)ee ]4e ,e 2]4e ,e ====∈∈()(min ,2)()(max [[f x f f x f x x ，因此有62ln 13=<<=⎰⎰⎰e4ee4ee4ed ed d ee x x xx x ． □ １１．设f 在]1,0[上连续可微，1)0()1(=-f f ．证明：1)(102≥'⎰x x f d ．证 应用施瓦茨不等式，容易证得[]1)0()1()()(221012=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'≥'⎰⎰f f x x f x x f d d ． □ １２． 设f 在],[b a 上连续，且0)(>x f ．证明：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≤-⎰⎰x x f ab x x f ab babad d )(1ln )(ln 1．证 应用复合平均不等式（ 参见教材 p .105 例3及其注（ⅱ），（ⅳ）），注意到这里的外函数u ln 是个可微的凹函数（01)ln (2<-=''uu ），立即可得本题结论． □１３．借助定积分证明： （１）n nn ln 11211)1ln(+<+++<+Λ； （２）11211ln 1lim=⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→n n n Λ． 证 （１）利用x1的递减性，有 kk kkx xxk x k k kk kk k ln )1ln(||1111111-+=<<+=+⎰⎰⎰+++.d d d依此对),(1,,2,1n n k -=Λ所得)(1n n -个不等式进行相加，即得本题所要证明的不等式．（２）由以上不等式（１），当∞→n 时，有11ln 1ln ln 11211ln 1ln )1ln(1→+=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+++<+←nn n n n n n Λ，于是结论11211ln 1lim=⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→n nn Λ 成立．□ １４．设f 在],[b a 上有0)(≥''x f ．证明：2)()()(12b f a f x x f a b b a f ba+≤-≤⎪⎭⎫⎝⎛+⎰d ． （Ｆ）证 因0)(≥''x f ，故f 为一凸函数．取切点为⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛++2,2ba fb a 则必有 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+'+⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥222)(b a x b a f b a f x f ．对上式两边各取],[b a 上的定积分，利用积分不等式性质即得.0)(222)(2)(+-⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+'+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎰⎰a b b a f xb a x b a f a b b a f x x f b a bad d这时证得（Ｆ）的左部不等式成立．再由凸函数的一般充要条件，有.;;)(2)()()()()())(()(],[,)()()()()(],(,)()()()(a b b f a f xa x ab a f b f a b a f x x f b a x a x ab a f b f a f x f b a x ab a f b f a x a f x f ba ba-+=---+-≤⇒∈---+≤⇒∈--≤--⎰⎰d d这时证得（Ｆ）的右部不等式也成立．后者还可由凸函数的性质与分部积分而得：;;;x x f a b b f a b a f xa x x f ab a f x x f b a x a x x f a f x f b a x x a x f x f a f b ab aba⎰⎰⎰--+-=-'+-≤⇒∈-'+≤⇒∈-'+≥d d d )())(())(()()())(()(],[,))(()()(],[,))(()()(这就得到)]()()([)(2a b b f a f x x f b a-+≤⎰d ． □１５． 应用施瓦茨不等式证明: （１）若∈f R ],[b a ，则x x f a b x x f b a b a ⎰⎰-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡d d )()()(22；（２）若∈f R ],[b a ，0)(>≥m x f ，则2)()(1)(a b x x f x x f b aba-≥⎰⎰d d ； （３）若∈g f ,R ],[b a ，则[]x x g x x f x x g x f b a b a ba ⎰⎰⎰+≤+d d d )()()()(222； （４）若f 在],[b a 上非负、连续，且1)(=⎰x x f b ad ，则1sin )(cos )(22≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰x kx x f x kx x f b a b a d d ． 证 （１）x x f a b x x f xx x f b abababa ⎰⎰⎰⎰-=≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡d d d d )()()(1)(2222．（２）条件∈f R ],[b a ，0)(>≥m x f ，保证了∈f1R ],[b a ，于是有 ()..2222)()(1)()(1)()(1)(a b x x f x f x x f x x f x x f xx f b a bab ababa-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰⎰⎰⎰d d d d d（３）[]..2222222222)()()()(2)()()()(2)()()()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++≤++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x g x x f xx g x x f x x g x x f xx g x f x x g x x f x x g x f babababababab ab a b a ba d d d d d d d d d d （４）由于,cos )()(cos )()(cos )(222x kx x f x x f x kx x f x f x kx x f b ababab a ⎰⎰⎰⎰≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡d d d d .和1)(=⎰x x f bad ，便得x kx x f x kx x f bab a ⎰⎰≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡d d 22cos )(cos )(，同理又有x kx x f x kx x f bab a ⎰⎰≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡d d 22sin )(sin )(，因此两式相加后得到1)(sin )(cos )(22=≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰x x f x kx x f x kx x f bab a b a d d d ． □１６．用积分中值定理证明：若f 为]1,0[上的递减函数，则)1,0(∈∀a ，恒有x x f x x f a a⎰⎰≤010)()(d d ； （Ｆ１）并说明其几何意义．证 把欲证的不等式（Ｆ１）改写为)2()(1)(11)()()()(011010F .x x f ax x f axx f x x f a x x f a x x f a aaaaa ⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤-⇔≤+=d d d d d d由积分中值定理，))0()((11f a f ≤μ≤μ∃，使1101)(1μ=μ=⎰a ax x f aa.d ； 又))()1((22a f f ≤μ≤μ∃，使221)1(11)(11μ=-μ-=-⎰a ax x f aa.d ．由于12)(μ≤≤μa f ，因此（Ｆ２）成立，（Ｆ１）亦随之成立．此结论的几何意义是：如图所示，当f 为]1,0[上的递减函数时，（Ｆ２）表示)(x f 在区间],0[a 上的平均值)(1μ必定大于或等于它 在]1,[a 上的平均值)(2μ；而（Ｆ１）又表示上述1μ亦必大于或等于)(x f 在整个区间]1,0[上的平均值 (x x f ⎰=μ10)(d )． □*１７．设f 在]1,0[上为严格递减函数．证明（并说明其几何意义）：（１）)1,0(∈ξ∃，使)1()1()0()(1f f x x f ξ-+ξ=⎰d ；（２）)1,0(,)0(∈η∃>∀f c ，使)1()1()(1f c x x f η-+η=⎰d ．证（１）直接利用积分第二中值定理，当f 为单调函数时，)1,0(∈ξ∃，使)1()1()0()1()0()(11f f x f x f x x f ξ-+ξ=+=⎰⎰⎰ξξd d d ．（２）设⎩⎨⎧∈==.]1,0(,)(,0,)(x x f x c x gg 在]1,0[上亦为严格递减函数，类似于题（１），)1,0(∈η∃，使 .)1()1()1()1()0()1()0()()(111f cg g xg x g x x g x x f η-+η=η-+η=+==⎰⎰⎰⎰ηηd d d d本题结论的几何意义如以上二图所示：表现为每图中两个阴影部分的面积相等． □*１８．设f 在],[ππ-上为递减函数．证明：（１）02sin )(≥⎰ππ-xnx x f d ；（２）0)12sin()(≤+⎰ππ-xx n x f d ．x 1 Oy)0(f c η )2(O y )0(f x 1 ξ )1( )1(f)1(f证 令)()()(π-=f x f x g ，则g 在],[ππ-上为非负、递减函数．利用积分第二中值定理，∈ξ∃],[ππ-，使.0)2cos 1(2)(02sin )(2sin )(2sin )(2sin )(≥ξ-π-=+π-=π+=⎰⎰⎰⎰ξπ-ππ-ππ-ππ-n n g x nx g xnx f x nx x g x nx x f d d d d又∈η∃],[ππ-，使.0])12cos(1[12)(0)12sin()()12sin()()12sin()()12sin()(≤η+--+π-=++π-=+π++=+⎰⎰⎰⎰ηπ-ππ-ππ-ππ-n n g x nx g xx n f x x n x g x x n x f d d d d□１９．设f 在],[ππ-上为可微的凸函数，且有界．证明：0)12cos()(≤+⎰ππ-xx n x f d ．证 利用分部积分法得到x x n x f n x x n x f ⎰⎰ππ-ππ-+'+-=+d d )12sin()(121)12cos()(．由于f 为凸函数，因此f '为递增函数．用f '代替上题（２）中的f ，即证得结论成立． （注意上题中的f 为递减函数，当改为递增函数时，不等号反向．） □*２０．设f 是]1,0[上的连续函数，且满足)1,,1,0(0)(,1)(1010-===⎰⎰n k x x f xx x f x knΛd d ．证明：)1(2|)(|max 10+≥≤≤n x f nx ．证 由于)1(212121211212101+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎰⎰⎰n x x x x x x nn nnd d d ， 因此由条件可得,)10()1(21)(21)()(21)(211101010≤ξ≤+ξ=-ξ=-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰⎰n f x x f x x f x x x f x nnnn ...d d d)1(2|)(|+≥ξ⇒n f n ，)1(2|)(||)(|max 10+≥ξ≥⇒≤≤n f x f n x ． □２１．设f 在],[b a 上有连续的二阶导函数，0)()(==b f a f ．证明：（１）若41)()(,1)(2222≥'=⎰⎰⎰x x f x x x f x x f bababad d d .则； （２）x x f b x a x x x f ba ba ⎰⎰''--=d d )()()(21)(；*（３）)(max )(121)(],[3x f a b x x f b a x ba''-≤∈⎰.d ． 证 （１）利用施瓦茨不等式和分部积分可得()..41)()(41)(21)()()()(222222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'≥'⎰⎰⎰⎰⎰x x f x f x x f x x x f x f x x x f x x x f ba b ab a bab a bad d d d d（２）多次应用分部积分及已知条件可得[][],)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(x x f x x f b x a x xx f b x x x f b x a x x x f a x x f b x b x x f a x xx f a x x f a x a x x f x x f bab abababababab aba ba⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-''--='-+''--=''-+'-=-'--='---=-=d d d d d d d d d移项后便有x x f b x a x x x f ba ba⎰⎰''--=d d )()()(21)(．（３）设M x f b a x =''∈)(max],[．利用（２）可得.3)(12)()(2)()()(21)())((21)(a b Mx x b a x M xx f x b a x x x f b x a x x x f ba ba baba-=--≤''--≤''--=⎰⎰⎰⎰d d d d□*２２．设f 在),(B A 上连续，⊂],[b a ),(B A ．证明：)()()()(lima fb f x hx f h x f bah -=-+⎰→d ．证 设t t f x F xa⎰=d )()(．由于)()()(,0)(a F b F x x f a F ba-==⎰d ，,)()()()()()(h a F h b F tt f t t f t t f x h x f h a ahb ah b ha ba+-+=-==+⎰⎰⎰⎰++++d d d d因此有[])()()()(1lim )()(lim00a Fb F h a F h b F h x hx f h x f h bah +-+-+=-+→→⎰d ．再由f 连续，从而F 可导，便可证得.)()()()()()(lim)()(lim )()(lim000a fb f a F b F ha F h a F hb F h b F x h x f h x f h h bah -='-'=-+--+=-+→→→⎰d□ ２３．设f 在],[b a 上连续、递增．证明：x x f b a x x f x baba⎰⎰+≥d d )(2)(．证 作辅助函数x x f t a x x f x t F tata⎰⎰+-=d d )(2)()(．由于0)(=a F ，因此若能证明)(t F 递增，则0)()(=≥a F b F 即为需证之不等式．为此证明0)(≥'t F 如下：.0)(2)(2)()(2)(21)()(2)(21)()(=+---=+--≥+--='⎰⎰t f ta t f a t t f t t f ta x t f t f t t f ta x x f t f t t F t a t a d d □２４．设f 在),0[∞+上为递增函数．证明：t t f xx F x⎰=0)(1)(d 在),0(∞+上亦为递增函数．证 x x x x ''<'∞+∈'''∀,),0(,，考察,0)()()(11)(1)(11)(1)(1)()(1)(1)(1)()(000000=''''-''-''''-''='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''-'-'''≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''-'-''='-⎪⎭⎫ ⎝⎛+''='-''='-''⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰''''''''''''''''x f xx x x f x x x t x f x x t x f x t t f x x t t f x tt f x t t f t t f x t t f x t t f x x F x F x x x x x x x x x x x x d d d d d d d d d故)(x F 在),0(∞+上为递增函数． □*２５．设f 在],[b a 上为递增函数．证明：),(b a c ∈∀，t t f x g xc⎰=d )()(在],[b a 上为凸函数．分析 如果f 在],[b a 上更为连续函数，则由)()(x f x g ='为递增函数，立即推知g 为凸函数．但因本题条件只假设f 为递增函数，不能保证g 的可导性，所以只能用凸函数的定义或凸函数的基本充要条件来证明本题结论．证 321321,],[,,x x x b a x x x <<∈∀，由条件)()()(321x f x f x f ≤≤．考察)())((1)(1)()(21221212121221x f x x x f x x t t f x x x x x g x g x x =--≤-=--⎰d ，)())((1)(1)()(22322323232332x f x x x f x x t t f x x x x x g x g x x =--≥-=--⎰d ，232321212)()()()()(x x x g x g x f x x x g x g --≤≤--⇒．所以满足g 为凸函数的充要条件． □２６．设f 在),(∞+∞-上为连续函数．证明：f 是周期函数（周期为π2）的充要条件为积分⎰π+20)(x y x f d 与y 无关．．证 令u y x =+，得⎰⎰⎰⎰-==+=+π+ππyy y yu f u f u f x y x f y F 020220)()()()()(du du du d ，)()2()(y f y f y F -+π='⇒．)(y F 与y 无关，即C y F ≡)(，当F 可导时其充要条件为0)(≡'y F ，亦即)()2(y f y f =+π，故f 是以π2为周期的周期函数． □２７．证明：若f 在),[∞+a 上可导，且x x f a⎰∞+d )(与x x f a⎰∞+'d )(都收敛，则必有0)(lim=∞+→x f x ．证 因x x f a⎰∞+'d )(收敛，故极限)()(lim )(lima f u f x x f u uau -='∞+→∞+→⎰d存在．再由x x f a⎰∞+d )(收敛，根据 p.119 例１（５），知道0)(lim =∞+→x f x ． □２８．证明：设x x f a⎰∞+d )(为条件收敛．证明：（１）[][]x x f x f x x f x f a a ⎰⎰∞+∞+-+d d )()()()(与都发散；（２）[][]1)()()()(lim=-+⎰⎰∞+→uu f u f u u f u f xa xa x d d ．证 （１）倘若[]x x f x f a ⎰∞+±d )()(收敛，则 []{}x x f x x f x f x f aa ⎰⎰∞+∞+=+d d )()()()(μ也收敛，这与x x f a⎰∞+d )(为条件收敛的假设相矛盾．（２）由于[][][]uu f u f uu f uu f u f u u f u f xa xax a xa ⎰⎰⎰⎰-+=-+d d d d )()()(21)()()()(， （Ｆ）而由（１）知[]∞+=-⎰∞+→u u f u f xax d )()(lim，又由条件知A u u f xax =⎰∞+→d )(lim，因此当∞+→x 时，式（Ｆ）右边第二项的极限等于０，故左边的极限等于１． □２9．设h g f ,,在任何有限区间⊂],[b a ),[∞+a 上都可积，且满足)()()(x h x g x f ≤≤．证明：（１）若x x f a⎰∞+d )(与x x h a⎰∞+d )(都收敛，则x x g a⎰∞+d )(也收敛；（２）又若=⎰∞+x x f ad )(J x x h a=⎰∞+d )(，则J x x g a=⎰∞+d )(．证 （１）由条件知)()()()(0x f x h x f x g -≤-≤，并[]x x f x h a ⎰∞+-d )()(收敛，故由比较法则推知[]xx f x g a⎰∞+-d )()(收敛．再由x x f a⎰∞+d )(收敛，证得x x g a⎰∞+d )([]{}x x f x f x g a ⎰∞++-=d )()()(也收敛．（２）又因xx h x x g x x f ua uaua⎰⎰⎰≤≤d d d )()()(，J x x h x x f ua u uau ==⎰⎰∞+→∞+→d d )(lim)(lim， 所以由极限的迫敛性，证得J x x g x x g uau a==⎰⎰∞+→∞+d d )(lim)(． □30．证明：若f 在),0[∞+上为单调有界的连续可微函数，则x x x f ⎰∞+'0sin )(d 必定绝对收敛；证 因f 单调（不妨设为递增），故0)(≥'x f ；又f 有界，故A x f x =∞+→)(lim 存在．由比较法则，因),0[,)(sin )(∞+∈'≤'x x f x x f ，而f '连续，故)0()0()(lim )(0f A f x f x x f x -=-='∞+→∞+⎰d （ 收敛 ）， 所以x x x f ⎰∞+'0sin )(d 绝对收敛． □３１．讨论下列反常积分的敛、散性： （１）x xx x⎰∞++022cos 1d ； （２）x xxx ⎰∞++0100cos d ；（３）⎰1ln xx xd ； （４）x xx ⎰121cos d 1．解 （１）由于2221cos 1x xx x x +≥+，而∞+=+=+∞+→∞+→⎰)1(ln lim 211lim202u x x x u uu d ， 故由比较法则推知x xx x⎰∞++022cos 1d 发散． （２）由于),0[,2cos 0∞+∈≤⎰u x x ud ，而当∞+→x 时xx+100单调趋于０，因此根据狄利克雷判别法推知x xxx ⎰∞++0100cos d 收敛．又因100,2cos 1412cos 100cos 2≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=≥+x x xxx x x xxx ， 而x x⎰∞+1001d 发散，x xx⎰∞+1002cos d 收敛，故x x x x ⎰∞+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+1002cos 141d 发散，于是导致x xxx ⎰∞++0100cos d 也发散．所以，x xxx ⎰∞++0100cos d 为条件收敛．（３）因为∞==-→+→xx xx x x ln 1limln 1lim 10，所以有1,0=x 两个瑕点．为此需化为两个瑕积分：J I xx xx x xx x x+=+=⎰⎰⎰1012121ln ln ln d d d ．对于I ，由于)0,121(0ln 1lim0=λ<==+→p xx x x .， 因此为收敛；对于J ，则因)1,1(1ln 1)1(lim 1=λ==--→p xx x x .，故为发散．所以瑕积分⎰1ln xx xd 为发散．（４）作变换21xu =，把瑕积分化为无穷积分：u u u x xx d ⎰⎰∞+=112cos 211cos d 1， 此前已知它是一个条件收敛的反常积分． □３２．证明下列不等式：（１）212214π<-<π⎰x x d ； （２）ee e 211)11(2102+<<-⎰∞+-x x d ． 证 （１）由于)1,0[∈x 时，有2421111121xxx-≤-≤-，而20arcsin arcsin lim 1112π=-=--→⎰x x x x d ，因此所证不等式 212214π<-<π⎰x xd 成立．（２）由于,1111011222222x x x x x x x x x x x x x x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+-∞+--∞+---+<+=<≤d d d d d d ee e e e e而eee e21,)11(211122=-=⎰⎰∞+--x x x x x x d d ， 因此所证不等式ee e 211)11(2102+<<-⎰∞+-x x d 成立． □。

2014 ---2015学年度第二学期《数学分析2》A 试卷学院 班级 学号（后两位） 姓名一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()⎰dx x f 可表为()C dt t f xa+⎰（ ）.2.若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]⎰⎰⎰⋅=dx x g dx x f dx x g x f （ ）. 3. 若()⎰+∞adx x f 绝对收敛，()⎰+∞adx x g 条件收敛，则()()⎰+∞-adx x g x f ][必然条件收敛（ ）. 4. 若()⎰+∞1dx x f 收敛，则必有级数()∑∞=1n n f 收敛（ ）5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛，则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛（ ）.6. 若数项级数∑∞=1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大（ ）.7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）.二. 单项选择题（每小题3分，共15分）1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()⎰ax dx x f 在[]b a ,上（ ）A.不连续B. 连续C.可微D.不能确定2. 若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（ ）A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积；B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()⎰⎰≠babadx x g dx x f ；C. ()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()⎰⎰=bab adx x g dx x f ；D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定.3.级数()∑∞=--+12111n n n nA.发散B.绝对收敛C.条件收敛D. 不确定4.设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是（ ） A.若0lim =∞→n n u ，则级数∑nu 一定收敛；B. 若1lim1<=+∞→ρnn n u u ，则级数∑n u 一定收敛；C. 若1,1<>∃+nn u uN n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛；D. 若1,1>>∃+n n u uN n N ，时有当，则级数∑n u 一定发散；5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是（ ） A. ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B. ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的；C. ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；D. ∑n n x a 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；三.计算与求值（每小题5分，共10分） 1. ()()()nn n n n n n+++∞→ 211lim2. ()⎰dx xx 2cos sin ln四. 判断敛散性（每小题5分，共15分）1.dx xx x ⎰∞+++-021132.∑∞=1!nn n n3.()nnnnn21211+-∑∞=五. 判别在数集D 上的一致收敛性（每小题5分，共10分） 1.()()+∞∞-===,,2,1,sin D n nnxx f n2. (][)∞+⋃-∞-=∑,22,2D xn n六．已知一圆柱体的的半径为R ，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面030 角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。

《数学分析选讲》 第一次作业解答一、判断下列命题的正误1. 有上界的非空数集必有上确界. （正确）2. 收敛数列必有界. （正确）3. 两个收敛数列的和不一定收敛.（错误）4．若S 为无上界的数集,则S 中存在一递增数列趋于正无穷.（正确）5．若一数列收敛，则该数列的任何子列都收敛. （正确）二、选择题1．设2,1()3,1x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩, 则 [(1)]f f =( A ) .A 3- ；B 1- ；C 0 ；D 22．“对任意给定的)1,0(∈ε，总存在正整数N ，当N n ≥时，恒有2||2n x a ε-≤”是数列}{n x 收敛于a 的（ C ）.A 充分条件但非必要条件；B 必要条件但非充分条件；C 充分必要条件；D 既非充分又非必要条件3．若数列}{n x 有极限a ,则在a 的ε邻域之外，数列中的点（ B ） A 必不存在 ； B 至多只有有限多个；C 必定有无穷多个 ；D 可以有有限个，也可以有无限多个 4．设a x n n =∞→||lim ，则 （ D ）A 数列}{n x 收敛；B a x n n =∞→lim ；C a x n n -=∞→lim ； D 数列}{n x 可能收敛，也可能发散5．数列}{n x 收敛，数列}{n y 发散，则数列}{n n y x （ D ）．A 收敛；B 发散；C 是无穷大；D 可能收敛也可能发散 6．若函数)(x f 在某点0x 极限存在，则（ C ） A )(x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值；B )(x f 在0x 的函数值必存在，但不一定等于极限值；C )(x f 在0x 的函数值可以不存在；D 如果)(0x f 存在的话必等于函数值7．下列极限正确的是（ C ）A 01lim sin1x x x→=； B sin lim1x x x→∞=； C 01limsin 1x x x→=； D 1lim sin0x x x→∞=8． =+-→11lim11x x x e e （ A ）A 不存在；B 1 ；C 1- ；D 0三、计算题1．求极限 902070)15()58()63(lim --++∞→x x x x .解: 902070902070902070583155863lim)15()58()63(lim⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--++∞→+∞→x x x x x x x x2．求极限 211lim ()2x x x x +→∞+-.解：211lim ()2x x x x +→∞+=-21111lim 2211xx x x x x →∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭211lim 21xx x x →∞⎛⎫+⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭2(4)21[(1)]lim2[(1)]x x x x x→∞--+-264e e e-==.3． 求极限 1111lim (1)23n n n→∞++++解：由于111111(1)23nn n n≤++++≤ ，又lim 1n →∞=， 由迫敛性定理1111lim (1)123n n n→∞++++=4．考察函数),(,lim)(+∞-∞∈+-=--∞→x nn n n x f xxx x n 的连续性.若有间断点指出其类型.解： 当0x <时，有221()limlim11x x x xxxn n n n n f x n nn--→∞→∞--===-++；同理当0x >时，有()1f x =.而(0)0f =，所以1,0()sgn 0,01,0x f x x x x -<⎧⎪===⎨⎪>⎩。

西南大学2014年秋季学期《数学教育评价》作业答案（4次作业,已整理）第一次作业1：[论述题]1.数学教育评价有哪些功能？2.数学教育评价一般包含哪些基本内容？3.数学教育评价常用的的基本方法有哪些？4.国际中小学数学教育评价有哪些共同趋势？5.上海2009年参加了第四次PISA测试。

简要叙述PISA测试的评估内容与评估方式。

参考答案：1.答题要点：（1）对学生的功能：诊断、甄别选拔、激励改进、调控等；（2）对教师的功能：检查、督促、指导教师工作；发挥奖惩功能。

2.答题要点：（1）相对性评价、绝对性评价和个体内差异评价；（2）定量评价与定性评价；（3）诊断性评价、形成性评价和终结性评价。

3.答题要点：（1）学生数学学业评价的基本方法：量化方法（测验法），质性方法（观察法、访谈法、自我反省、表现性评价方法、成长记录袋）；（2）数学教师评价的基本方法：课堂观察，学生的数学学业成就，数学教师成长记录袋，同行评价，教师的自我评价。

4.答题要点：学生是评价的主题；评价主体的多元性；评价内容的多元化与开放性；评价方式的多样性。

5.答题要点：PISA测试是一种国际性的科学的评价方法，强化对考生知识面、综合分析、创新素养方面的考查。

评估内容第一次PISA评估于2000年首次举办，此后每3年举行一次。

评估主要分为3个领域：阅读素养、数学素养及科学素养，由这3项组成一评估循环核心，在每一个评核周期里，有2/3的时间会对其中一项领域进行深入评估，其他两项则进行综合评测。

评估方式PISA会在各个国家中抽取4500到10000名初三与高一为主的15岁学生担任调查对象，以测试学生是否能够掌握社会所需的知识与技能。

因此，试题着重于应用及情境化。

受测学生必须灵活运用学科知识与认知技能，针对情境化的问题自行建构答案，因此能深入检视学生的基础素养。

经合组织不久前公布了有40多个国家25万名中学生参加的2004年PISA测试。

结果显示，芬兰学生在历次测试中名列第一。

===================================================================================================1：[论述题]《数学分析选讲》第一次主观题作业答案一、判断题 1．（正确） 2．（ 正确 ） 3．（错误 ） 4．（ 正确 ） 5．（ 正确） 二、 选择题1、A2、A3、B4、B5、C6、C7、D8、D三、计算题解 1、902070902070902070583155863lim )15()58()63(lim⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--++∞→+∞→x x x x x x x x 2、211lim()2x x x x +→∞+=-21111lim 2211xx x x x x →∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭211lim 21xx x x →∞⎛⎫+ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭2(4)21[(1)]lim 2[(1)]x x x x x→∞--+- 264e e e-==. 3、解：因2n ≤++≤+1n n==， 故 21n n →∞++=+。

4、 当0x <时，有221()lim lim 11x x x x x x n n n n n f x n n n --→∞→∞--===-++；同理当0x >时，有()1f x =.而(0)0f =，所以1,0()sgn 0,01,0x f x x x x -<⎧⎪===⎨⎪>⎩。

所以0是f 的跳跃间断点.四、证明题===================================================================================================证 由b a <，有b b a a <+<2. 因为2lim ba a a n n +<=∞→，由保号性定理，存在01>N ，使得当1N n >时有2b a a n +<。

0088《数学分析选讲》单项选择题1、设，则x=0 是f 的（）1.跳跃间断点2.连续点3.第二类间断点4.可去间断点2、设f可导，则1. f'(sinx)dx2. -f'(sinx)cosxdx3. f'(sinx)sinxdx4. f'(sinx)cosxdx3、.1.2. 13. -14. 24、定义域为,值域为)的连续函数1.可能存在2.存在且唯一3.存在4.不存在5、定义域为[a,b],值域为（2，3）的连续函数1.存在2.不存在3.存在且唯一4.可能存在6、设，则1. 12. -13. -34. 27、1. B. -12. 13.4. 28、若,则1. A. 数列{xn}发散2.数列{xn}收敛于03.数列{xn}可能收敛，也可能发散4. A，B，C都不正确9、设，则是的（）1.可去间断点2.连续点3.第二类间断点4.跳跃间断点10、设f在[a,b]上无界，且f(x)不等于0,则1/f(x)在[a,b]上1.无界2.有界3.有上界或有下界4.可能有界，也可能无界11、若为连续函数，则1. E. f(x)+C2. F. 1/2 f(2x+1)+C3. f(2x+1)4. 2f(2x+1)+C12、若,则1. 2f(1-x2)2+C2. -1/2f(1-x2)2+C3. 1/2f(1-x2)2+C4. -2f(1-x2)2+C13、设，则1. 12.3. 24. -1判断题14、若数列有界，则数列收敛.1. A.√2. B.×15、若函数在[a,b]上可积，则该函数在[a,b]上有界.1. A.√2. B.×16、若实数A是非空数集S的下确界，则A一定是S的下界.1. A.√2. B.×17、若在[a,b]上可积，则在[a,b]上也可积。

1. A.√2. B.×18、若函数在某点处连续，则函数在该点处可导．1. A.√2. B.×19、若f与g在[a,b]上都可积，则fg在[a,b]上不可积.1. A.√2. B.×20、若f(x)在c处不可微，则f(x)在c处一定不可导．1. A.√2. B.×21、初等函数在其定义区间上连续.1. A.√2. B.×22、若在处的极限存在，则在处连续。

（0088）《数学分析选讲》网上作业题答案1：第一次作业2：第二次作业3：第三次作业4：第四次作业5：第五次作业1：[判断题]两个无穷小量的和一定是无穷小量参考答案：正确1、应注意写出要点；2、注意检查语法和拼写错误；3、文理通顺，中心突出。

2：[判断题]两个无穷大量的和一定是无穷大量参考答案：错误1、应注意写出要点；2、注意检查语法和拼写错误；3、文理通顺，中心突出。

3：[单选题]设f,g在（-a,a)上都是奇函数，则g(f(x))与f(g(x))A：都是奇函数B：都是偶函数C：一是奇函数，一是偶函数D：都是非奇、非偶函数参考答案：A社会实践是检验认识是否具有真理性的唯一标准，这是由真理的本性和实践的特点所决定的。

第一，真理的本性是主观同客观相符合。

要判明认识是否具有真理性的标准，只能通过一种能够把主观同客观联系、沟通起来的桥梁，这就是人们的社会实践，舍此别无它路。

它成为“实践是检验真理的唯一标准”的内在根据。

第二，实践的过程是一个主体能动地使自己的目的物化或对象化的过程，因而它具有直接现实性。

因此实践可以使主观与客观相对照，从而直接检验出主观认识是否与客观相符合以及符合的程度。

4：[判断题]闭区间上的连续函数是一致连续的参考答案：正确1、应注意写出要点；2、注意检查语法和拼写错误；3、文理通顺，中心突出。

5：[单选题]设数列{An}收敛，数列{Bn}发散，则数列{AnBn}A：收敛B：发散C：是无穷大D：可能收敛也可能发散参考答案：D马克思主义认为，劳动创造了人本身，同时也就创造了人类社会。

因此，只有实践，才是社会生活的真正本质。

说实践是社会的本质，主要理由是：首先，实践是社会关系的发祥地。

其次，实践构成了社会生活的基本领域。

最后，实践构成了社会发展的动力。

6：[判断题]最大值若存在必是上确界参考答案：正确1、应注意写出要点；2、注意检查语法和拼写错误；3、文理通顺，中心突出。

7：[判断题]若f,g在区间I上一致连续，则fg在I上也一致连续。

《 数学分析续论 》模拟试题及答案一、 单项选择题（56⨯'）（１）设{}n a 为单调数列，若存在一收敛子列{}j n a ，这时有 ．．．．．．．．．．．．[ ] Ａ．j n j n n a a ∞→∞→=lim lim ； Ｂ．{}n a 不一定收敛； Ｃ．{}n a 不一定有界；Ｄ．当且仅当预先假设了{}n a 为有界数列时，才有Ａ成立．（２）设)(x f 在R 上为一连续函数，则有 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]Ａ．当I 为开区间时)(I f 必为开区间； Ｂ．当)(I f 为闭区间时I 必为闭区间； Ｃ．当)(I f 为开区间时I 必为开区间； Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立． （３）设)(x f 在某去心邻域)(0x U 内可导．这时有 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]Ａ．若A x f x x ='→)(lim 0存在，则A x f =')(0；Ｂ．若f 在0x 连续，则A 成立；Ｃ．若A x f =')(0存在，则A x f x x ='→)(lim 0；Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．（４）设)(x f 在],[b a 上可积，则有 ．．．．．．．．．．．.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]Ａ．)(x f 在],[b a 上必定连续； Ｂ．)(x f 在],[b a 上至多只有有限个间断点； Ｃ．)(x f 的间断点不能处处稠密； Ｄ．)(x f 在],[b a 上的连续点必定处处稠密．（５）设∑∞=1n nu 为一正项级数．这时有 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]Ａ．若0lim =∞→n n u ,则 ∑∞=1n n u 收敛； Ｂ．若∑∞=1n n u 收敛，则1lim1<+∞→nn n u u ；C ．若∑∞=1n nu 收敛，则1lim<∞→nn n u ； Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．二、计算题（401⨯'）（１）试求下列极限：①⎪⎭⎫⎝⎛-+-+++∞→n n n n 3)12(31lim ； ② ⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛∞+→xt x t x tt 022022lim d ed e ．（２）设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+x y u f u y x u y x arctan e )(,21,220． 试求)()(0u f u f ''与． （３）试求由曲线 12-=x y ，直线2=x ，以及二坐标轴所围曲边梯形的面积 S ．（４）用条件极值方法（Lagrange 乘数法）导出从固定点),(00y x 到直线0=++C y B x A 的距离计算公式．三、证明题（301⨯'）（１）设)()(x g x f 与在],[b a 上都连续．试证：若)()(,)()(b g b f a g a f ><，则必存在),(0b a x ∈，满足)()(00x g x f =．（２）证明x x x f ln )(=在其定义域上为一严格凸函数，并导出不等式：c b a cb ac b a c b a <⎪⎭⎫ ⎝⎛++++3, 其中 c b a ,,均为正数．( 提示：利用詹森不等式．)（３） 证明：∑∞=π=+-0412)1(n n n ．解 答一、［答］（１）Ａ； （２）Ｃ； （３）Ｂ； （４）Ｄ； （５）Ｄ． 二、［解］（１） ① 333lim 3)12(31lim -=+-=⎪⎭⎫⎝⎛-+-+++∞→∞→n n n n n n n ；②.022limd 2limd 2limd ed e lim2222222220200220====⎪⎭⎫⎝⎛∞+→∞+→∞+→∞+→⎰⎰⎰⎰xx x xx tx x xt xx xt xt x x t ttt e ee e ee e（２） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-='⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-='++515242)(,e 2e 2)(55022222222e e u f y x xy x y y x u f y x y x ．（３）所围曲边梯形如右图所示．其面积为.212)3(01)3()1()1(3312122=-+-=-+-=⎰⎰x x x x xx x x S d d（４）由题意，所求距离的平方（2d ）为2020)()(y y x x -+-的最小值，其中),(y x 需满足0=++C By Ax ，故此为一条件极小值问题．依据 Lagrange 乘数法，设)()()(2020C By Ax y y x x L ++λ+-+-=，并令⎪⎩⎪⎨⎧.0,0)(2,0)(200=++==λ+-==λ+-=λC y B x A L B y y L A x x L y x （Ｆ）由方程组（Ｆ）可依次解出：.2200202022200222202022********)()(,)()(4)()(,2,)(2,2,2BA C yB x A y y x x d BA C yB x A B A y y x x BA C yB x A B A y B Ax y B x AC By y Ax x +++=-+-=⇒+++=+λ=-+-⇒+++=λ⇒+λ-+=+=-λ-=λ-=最后结果就是所求距离d 的计算公式．注 上面的求解过程是由（Ｆ）求出λ后直接得到2d ，而不再去算出y x 与的值，这是一种目标明确而又简捷的解法． 三、［证］（１）只需引入辅助函数：)()()(x g x f x h -=．易知)(x h 在],[b a 上连续，满足0)(,0)(><b h a h ，故由介值性定理（或根的存在定理），必存在),(0b a x ∈，满足0)(0=x h ，即)()(00x g x f =．（２）x x x f ln )(=的定义域为),0(∞+，在其上满足：),0(,01)(,1ln )(∞+∈>=''+='x xx f x x f ， 所以)(x f 为一严格凸函数．根据詹森不等式，对任何正数c b a ,,，恒有.)(ln )3(ln )ln ln ln (31)3(ln 3cb ac b a c b a c b a c c b b a a c b a c b a <++⇒++<++++++最后借助函数x ln 的严格递增性，便证得不等式c b a cb ac b a c b a <⎪⎭⎫ ⎝⎛++++3．（３）由于较难直接求出该级数的部分和，因此无法利用部分和的极限来计算级数的和．此时可以考虑把该级数的和看作幂级数=)(x S ∑∞=++-01212)1(n n n n x 在1=x 处的值，于是问题转为计算)(x S ．不难知道上述幂级数的收敛域为]1,1[-，经逐项求导得到]1,1[,)1()(02-∈-='∑∞=x x x S n n n ；这已是一个几何级数，其和为]1,1[,11)()(22-∈+=-='∑∞=x xx x S n n ．再通过两边求积分，还原得⎰⎰=+='=-xxx t tt t S S x S 02,arctan 11)()0()(d d由于这里的0)0(=S ，于是求得∑∞=π===+-041arctan )1(12)1(n n S n ．。