《数学分析选讲》 第一次 作业

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/wEPDwUJNDAyNj福师《数学分析选讲》在线作业一试卷总分：100 测试时间：--•单选题一、单选题（共 50 道试题，共 100 分。

）V1.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分2.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分3.A. AB. BC. CD. D满分：2 分4. 如图所示A.B.C.D.满分：2 分5.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分6.A.B.C.D.满分：2 分7.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分8.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分9.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分10. 题目如图A. 0B. 1C. 2D. 3满分：2 分11. 题面见图片A.B.C.D.满分：2 分12.题目如图A.B.C.D.满分：2 分13.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分14.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分15. 如图所示A.B.C.D.满分：2 分16.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分17. 如图所示A.B.C.D.满分：2 分18.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分19.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分20.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分21.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分22.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分23.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分24.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分25. 题面见图片A.B.C.D.满分：2 分26.A. AB. BC. CD. D满分：2 分27.A.B.C.D.满分：2 分28.A. AB. BC. CD. D满分：2 分29.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分30. 题面见图片A.B.C.D.满分：2 分31. 如图所示A.B.C.D.满分：2 分32.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分33.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分34.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分35.A. AB. BC. CD. D满分：2 分36.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分37.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分38.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分39.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分40.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分41.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分42.A. AB. BC. CD. D满分：2 分43.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分44.如题A. AB. BC. CD. d满分：2 分45.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分46.A. AB. BC. CD. D满分：2 分47.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分48.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分49. 如图所示A.B.C.D.满分：2 分50. 题面见图片A.B.C.D.满分：2 分请同学及时保存作业,如您在20分钟内不作操作,系统将自动退出。

《数学分析选讲》 第一次作业解答一、判断下列命题的正误1. 有上界的非空数集必有上确界. （正确）2. 收敛数列必有界. （正确）3. 两个收敛数列的和不一定收敛.（错误）4．若S 为无上界的数集,则S 中存在一递增数列趋于正无穷.（正确）5．若一数列收敛，则该数列的任何子列都收敛. （正确）二、选择题1．设2,1()3,1x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩, 则 [(1)]f f =( A ) .A 3- ；B 1- ；C 0 ；D 22．“对任意给定的)1,0(∈ε，总存在正整数N ，当N n ≥时，恒有2||2n x a ε-≤”是数列}{n x 收敛于a 的（ C ）.A 充分条件但非必要条件；B 必要条件但非充分条件；C 充分必要条件；D 既非充分又非必要条件3．若数列}{n x 有极限a ,则在a 的ε邻域之外，数列中的点（ B ） A 必不存在 ； B 至多只有有限多个；C 必定有无穷多个 ；D 可以有有限个，也可以有无限多个 4．设a x n n =∞→||lim ，则 （ D ）A 数列}{n x 收敛；B a x n n =∞→lim ；C a x n n -=∞→lim ； D 数列}{n x 可能收敛，也可能发散5．数列}{n x 收敛，数列}{n y 发散，则数列}{n n y x （ D ）．A 收敛；B 发散；C 是无穷大；D 可能收敛也可能发散 6．若函数)(x f 在某点0x 极限存在，则（ C ） A )(x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值；B )(x f 在0x 的函数值必存在，但不一定等于极限值；C )(x f 在0x 的函数值可以不存在；D 如果)(0x f 存在的话必等于函数值7．下列极限正确的是（ C ）A 01lim sin1x x x→=； B sin lim1x x x→∞=； C 01limsin 1x x x→=； D 1lim sin0x x x→∞=8． =+-→11lim11x x x e e （ A ）A 不存在；B 1 ；C 1- ；D 0三、计算题1．求极限 902070)15()58()63(lim --++∞→x x x x .解: 902070902070902070583155863lim)15()58()63(lim⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--++∞→+∞→x x x x x x x x2．求极限 211lim ()2x x x x +→∞+-.解：211lim ()2x x x x +→∞+=-21111lim 2211xx x x x x →∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭211lim 21xx x x →∞⎛⎫+⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭2(4)21[(1)]lim2[(1)]x x x x x→∞--+-264e e e-==.3． 求极限 1111lim (1)23n n n→∞++++解：由于111111(1)23nn n n≤++++≤ ，又lim 1n →∞=， 由迫敛性定理1111lim (1)123n n n→∞++++=4．考察函数),(,lim)(+∞-∞∈+-=--∞→x nn n n x f xxx x n 的连续性.若有间断点指出其类型.解： 当0x <时，有221()limlim11x x x xxxn n n n n f x n nn--→∞→∞--===-++；同理当0x >时，有()1f x =.而(0)0f =，所以1,0()sgn 0,01,0x f x x x x -<⎧⎪===⎨⎪>⎩。

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福师一、单选题（共50道试题，共100分。

）1.如题A. AB. BC. CD. D满分：2?分2.如题A. AB. BC. CD. D满分：2?分3.?A. AB. BC. CD. D满分：2?分4.如图所示A.B.C.D.满分：2?分5.如题A. AB. BC. CD. D满分：2?分6.A.B.C.D.满分：2?分7.如题A. AB. BC. CD. D满分：2?分8.如题A. AB. BC. CD. D满分：2?分9.如题A. AB. BC. CD. D满分：2?分10.题目如图A. 0B. 1C. 2D. 3满分：2?分11.题面见图片A.B.C.D.满分：2?分12.题目如图A.B.C.D.满分：2?分13.如题A. AB. BC. CD. D满分：2?分14.如题A. AB. BC. CD. D满分：2?分15.如图所示A.B.C.D.满分：2?分16.如题A. AB. BC. CD. D满分：2?分17.如图所示A.B.C.D.满分：2?分18.如题A. AB. BC. CD. D满分：2?分19.如题A. AB. BC. CD. D满分：2?分20.如题A. AB. BC. CD. D满分：2?分21.如题A. AC. CD. D满分：2?分22.如题A. AB. BC. C满分：2?分23.如题A. AB. BC. CD. D满分：2?分24.如题A. AB. BC. CD. D满分：2?分25.题面见图片A.B.C.D.满分：2?分26.?A. AB. BC. CD. D满分：2?分27.?A.B.C.D.满分：2?分28.?A. AB. BC. CD. D满分：2?分29.如题A. AB. BD. D满分：2?分30.题面见图片A.B.C.D.满分：2?分31.如图所示A.B.D.满分：2?分32.如题A. AB. BC. CD. D满分：2?分33.如题A. AB. BC. CD. D满分：2?分34.如题A. AB. BC. CD. D满分：2?分35.?A. AB. BC. CD. D满分：2?分36.如题?A. AB. BC. CD. D满分：2?分37.如题A. AB. BC. CD. D满分：2?分38.如题A. AB. BC. CD. D满分：2?分39.如题A. AB. BC. CD. D满分：2?分40.如题A. AB. BC. CD. D满分：2?分41.如题A. AB. BC. CD. D满分：2?分42.?A. AB. BC. CD. D满分：2?分43.如题A. AB. BC. CD. D满分：2?分44.如题A. AB. BC. CD. d满分：2?分45.如题A. AB. BC. CD. D满分：2?分46.?A. AB. BC. CD. D满分：2?分47.如题A. AB. BC. CD. D满分：2?分48.如题A. AB. BC. CD. D满分：2?分49.如图所示A.B.C.D.满分：2?分50.题面见图片A.B.C.D.满分：2?分请同学及时保存作业,如您在20分钟内不作操作,系统将自动退出。

2013年春西南大学《数学分析选讲》1、2、3次客观题答案（已整理）第一次作业客观题【判断题】狄利克雷函数D(x)是有最小正周期的周期函数错【选择题】设数列{An}收敛，数列{Bn}发散，则数列{AnBn} D【判断题】收敛数列必有界对【判断题】两个（相同类型的）无穷小量的和一定是无穷小量对【判断题】若函数在某点无定义，则在该点的极限不存在错【选择题】设 f,g 为区间 (a,b)上的递增函数，则 min{f(x),g(x)}是(a,b) 上的A【选择题】设f在[a,b]上无界，且f(x)不等于0,则1/f(x)在[a,b]上D【判断题】闭区间上的连续函数是一致连续的对【判断题】两个收敛数列的和不一定收敛错【判断题】有上界的非空数集必有上确界对【判断题】两个无穷小量的商一定是无穷小量错【选择题】若函数f在(a,b)的任一闭区间上连续，则f B【选择题】一个数列{An}的任一子列都收敛是数列{An}收敛的C【判断题】若f,g在区间I上一致连续，则fg在I上也一致连续。

错【判断题】区间上的连续函数必有最大值错【判断题】两个收敛数列的商不一定收敛对【选择题】设函数f(x)在（a-c,a+c）上单调，则f(x)在a处的左、右极限B【选择题】定义域为[a,b],值域为（-1，1）的连续函数B【选择题】y=f(x)在c处可导是y=f(x)在点(c，f(c))处存在切线的A【判断题】最大值若存在必是上确界对【选择题】设f,g在（-a,a)上都是奇函数，则g(f(x))与f(g(x)) A【判断题】两个无穷大量的和一定是无穷大量错【选择题】函数f在c处存在左、右导数，则f在c点B【判断题】若函数在某点可导，则在该点连续对【判断题】若f(x)在[a,b]上有定义，且f(a)f(b)<0,则在(a,b)内至少存在一点c,使得f(c)=0 错第二次作业客观题【判断题】若f在区间I上连续，则f在I上存在原函数。

对【判断题】不存在仅在一点可导，而在该点的任一空心邻域内皆无连续点的函数。

《数学分析选讲》A/B 模拟练习题参考答案一、选择题：（共18题，每题3分） 1、下列命题中正确的是（ A B ）A 、若'()()F x f x =，则()F x c +是()f x 的不定积分，其中c 为任意常数B 、若()f x 在[,]a b 上无界，则()f x 在[,]a b 上不可积C 、若()f x 在[,]a b 上有界，则()f x 在[,]a b 上可积D 、若()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上可积 2、设243)(-+=x x x f ，则当0→x 时，有（ B ） A ．)(x f 与x 是等价无穷小 B ．)(x f 与x 同阶但非是等价无穷小 C ．)(x f 是比x 高阶的无穷小 D ．)(x f 是比x 低阶的无穷小3、若f 为连续奇函数,则()x f sin 为( A ) A 、奇函数 B 、偶函数C 、非负偶函数D 、既不是非正的函数,也不是非负的函数. 4、函数()f x 在[,]a b 上连续是()f x 在[,]a b 上可积的（ A ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要条件 D. 非充分也非必要条件. 5、若f 为连续奇函数,则()x f cos 为( B ) A 、奇函数 B 、偶函数C 、非负偶函数D 、既不是非正的函数,也不是非负的函数. 6、设arctan (),xf x x=则0x =是()f x 的（ B ） A. 连续点 B. 可去间断点 C.跳跃间断点 D. 第二类间断点7、设+N ∈∃N ,当N n >时,恒有n n b a >,已知A a n n =∞→lim ,B b n n =∞→lim .则正确的选项是( A )A 、B A ≥ B 、B A ≠C 、B A >D 、A 和B 的大小关系不定.8、函数f(x,y) 在点00(,)x y 连续是它在该点偏导数都存在的（ A ） A.既非充分也非必要条件 B 充分条件 C.必要条件 D.充要条件 9、极限=+-∞→3321213limx x x ( D )A 、323B 、323-C 、323± D 、不存在.10、部分和数列}{n S 有界是正项级数∑∞=1n n u 收敛的( C )条件A. 充分非必要B. 必要非充分C.充分必要D.非充分非必要11、极限=⎪⎭⎫ ⎝⎛-→210sin lim x x x x ( A )A 、13e -B 、13e C 、3e - D 、不存在. 12、与lim n n x a →∞=的定义等价的是（ B D ）A 、0,ε∀> 总有n x a ε-<B 、0,ε∀> 至多只有{}n x 的有限项落在(,)a a εε-+之外C 、存在自然数N ，对0,ε∀>当n N >，有n x a ε-<D 、0(01),εε∀><<存在自然数N ，对,n N ∀>有n x a ε-< 13、曲线2211x x ee y ---+=( D )A 、没有渐近线B 、仅有水平渐近线C 、仅有垂直渐近线D 、既有水平渐近线, 也有垂直渐近线 14、下列命题中，错误的是（ A D ）A 、若()f x 在点0x 连续，则()f x 在0x 既是右连续，又是左连续B 、若对0,()f x ε∀>在[,]a b εε+-上连续，则()f x 在(,)a b 上连续C 、若()f x 是初等函数，其定义域为(,)a b ，0(,)x a b ∈，则00lim ()()x x f x f x →=D 、函数()y f x =在0x 点连续的充要条件是()f x 在0x 点的左、右极限存在且相等15、设{}n a 为单调数列，若存在一收敛子列{}j n a ，这时有（ A ） A 、j n j n n a a ∞→∞→=lim limB 、{}n a 不一定收敛 C 、{}n a 不一定有界D 、当且仅当预先假设了{}n a 为有界数列时，才有A 成立 16、设)(x f 在R 上为一连续函数，则有（ C ） A 、当I 为开区间时)(I f 必为开区间 B 、当)(I f 为闭区间时I 必为闭区间 C 、当)(I f 为开区间时I 必为开区间 D 、以上A,B,C 都不一定成立 17、下列命题中错误的是（ Ａ Ｃ ）A 、若lim 1nn nu v →∞=，级数1n n v ∞=∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛；B 、若(1,2)n n u v n ≤=，级数1n n v ∞=∑收敛，则1n n u ∞=∑不一定收敛；C 、若1n n u ∞=∑是正项级数，且,,N n N ∃∀>有11,n n u u +<则1n n u ∞=∑收敛； D 、若lim 0n n u →∞≠，则1n n u ∞=∑发散18、设 ∑∞=1n n u 为一正项级数，这时有（ D ）A 、若0lim =∞→n n u ,则 ∑∞=1n n u 收敛B 、若 ∑∞=1n n u 收敛，则1lim1<+∞→nn n u uC 、若 ∑∞=1n n u 收敛，则1lim <∞→n n n uD 、以上A,B,C 都不一定成立二、填空题：（共15题，每题2分） 1、设2sin cos cos 20x y y y -+=，则='=2πy y2或-2 2、n n n )11(lim -∞→=e 1 3、1)11(lim +∞→+n n n = e4、221lim 220---→x x x x = 2 5、设21(10)n n x ∞=-∑收敛，则lim n n x →∞= 106、121lim 221---→x x x x = 32 7、(,)limx y →=2 8、=-+→114sin limx xx89、设3()cos F x x '=，则=)(x F C xx +-3sin sin 3 10、设x y e =，则(2016)y = x e 11、幂级数1n n ∞=的收敛半径为 112、积分321421sin 21x xdx x x -++⎰的值为 0 13、曲线228y x x =--与x 轴所围成部分的面积为 3614、lim 1xx x x →∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭ 1e - 15、2222)0,0(),(lim y x y x y x +→= 0 三、计算题：（共15题，每题8分） 1、求⎰.222,2sin 2cos 2cos 4cos t t tdt t d t t t t tdt ===-=-+⎰⎰⎰⎰222cos 4sin 2cos 4sin 4sin t t td t t t t t tdt=-+=-+-⎰⎰=2x C - 2、将2()12xf x x x =+-展开成x 的幂级数，并指出其收敛域。

《数学分析（一）》作业参考答案一．选择1、A ；2、B ；3、D ；4、C ；5、B ；6、C ；二、填空题1、π62、2e3、x 2cos 8-;4、8x e 25、bA6、o y x ==,0三、判断对错1． ×； 2． √； 3． ×； 4． √； 5． ×; 6． ×; 7． √； 8． √； 9． ×; 10． ×； 11． √； 12． √; 13． √。

四．求极限1． 2； 2．;m n 3． ;21 4． 21; 5． ;31 6． a 2sin ; 7． 31-; 8． 31; 9． 1;10． π2; 11． 2-e ．； 12． 1； 13． 2e ; 14． 3; 15． 81-。

16.解x xx 2cot 2sin lim 0→ =xxx 2tan 2sinlim0→ =xxx 22lim 0→=4117.解：)1(1321211+++⋅+⋅n n=)111()3121()211(+-++-+-n n =1-11+n ∴(lim ∞→n )1(1321211+++⋅+⋅n n ） =)111(lim +-∞→n n =118.解：502030)15()88()63(lim --+∞→x x x x= ∞→x lim502030)15()58()63(x x x --+ =502030)15(lim )58(lim )63(lim xx x x x x --⋅+∞→∞→∞→ =502030583⋅ 19．解：xx x x 11lim 20-+→=)11(1)1(lim220++-+→x x x x=11lim2++→x x x=0 20．解：))12)(12(1531311(lim +-++⋅+⋅∞→n n n =)]121121()5131()311[(21lim +--++-+-∞→n n n =)1211(lim 21+-∞→n n =2121．解：3)15()3)(2)(1(lim----∞→x x x x x=3)15()31)(21)(11(limxx x x x ----∞→ =1251513=五．计算导数或积分1． ;11'2x y += 2． ;)2(3)1(',3)1(',)1(3)('222-=-=+-=x x f x x f x x f3． []21''(ln )'(ln );y f x f x x ''=- 4． 2)ln 1(1'x x y -=; 5． xx y 4sin 12sin '-=6． xx x x x x x x x x y ++++++=8124'; 7． ⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=;0,3,0,3)('22x x x x x f ;8． ;cos sin 6'222x x x y = 9． 3．2)1(3)('+=x x f , 2)2(3)1('+=+x x f , 23)1('x x f =- 10． 5)5()1(24)(x x f+=; 11．d y =; 12． '4csc2cot 2y x x =-; 13． 22''(sin )'(cos )sin 2y f x f x x ⎡⎤=-⎣⎦;14． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-++-=)1(51)2(2134)1(2)3('54x x x x x x y 15.))1((ln(2'++='x x y=)1(1122'++++x x x x = )11(1122xx x x ++++=211x+16.)cos ('='x e y x=)(cos cos )('+'x e x e x x=x e x e x x sin cos -= )sin (cos x x e x -17.)312(432x x x x d dy +-+= =)()31()2(432x d x d x d dx +-+=dx x x x )441(32+-+ 18．解：)tan ('='xxy =22tan sec x xx x - 19．解：])[(sin 32'='x y=)(si n )(si n 3222'x x=)(cos )(sin 32222'⋅x x x=222)(sin cos 6x x x 20．解：)ln (x x x d dy -==dx x x d -)ln (=dx x d x xdx -⋅+)(ln ln =dx dx xx xdx -⋅+1ln =xdx ln六．计算1． 解：令,0)23(2)('2=-=x x x f 得驻点)1.1(;23,0-∈==x x x 当时，.0)('>x f )(x f ∴严格增，0=∴x 非极植点；又,09)23(''<-=f23=∴x 是极大值点，极大值1627)23(=f 。

1、若函数f是奇函数，且在[-a,a]上可积，则2、任意给定M>0，总存在X>0，当x<-X时，f(x)<-M，则（）3、极限（）1e-11/e4、设f可导，则f'(sinx)sinxdxf'(sinx)cosxdx5、.1-126、函数为( )基本初等函数初等函数复合函数分段函数7、设，则1-1-328、若,则A. 数列{xn}发散数列{xn}收敛于0数列{xn}可能收敛，也可能发散A，B，C都不正确9、设，则是的（）可去间断点连续点第二类间断点跳跃间断点10、若为连续函数，则f(x)+C1/2 f(2x+1)+Cf(2x+1)2f(2x+1)+C11、设可导，则f'(cosx)dxf'(cosx)cosxdx-f'(cosx)sinxdxf'(cosx)sinxdx12、设，则12-113、设函数在上连续,则D. f'(x)dxf(x)dxf(x)+cf(x)14、设5sinx是f(x)的一个原函数，则5cosx+c-5sinx5sinx+c-5sinx+c15、若，则函数在点处（）E. 一定有极大值没有极值一定有极小值16、定义域为[1,2],值域为（-1，1）的连续函数（）存在存在且唯一不存在可能存在判断题17、若数列有界，则数列收敛.A.√B.×18、若函数在[a,b]上可积，则该函数在[a,b]上有界.A.√B.×19、设数列{an} 与{bn}都发散，则数列一定发散.A.√B.×20、若实数A是非空数集S的下确界，则A一定是S的下界.A.√B.×21、任一实系数奇次方程至少有一个实根.A.√B.×22、若函数为[a,b]上的增函数，则该函数在[a,b]上可积.A.√B.×23、若函数发f在[a,b]上连续，则f在[a,b]上存在原函数．A.√B.×24、若数列收敛，则数列收敛.A.√B.×25、若f(x)在c处不可微，则f(x)在c处一定不可导．A.√B.×26、初等函数在其定义区间上连续.A.√B.×27、若在处的极限存在，则在处连续。

《数学分析选讲》 第一次作业 一、叙述题1．叙述实数ξ为数集S 的上确界的定义；答:设S 是R 中的一个数集，若数η满足以下两条： （1） 对一切Sx ∈有ξ≤ x ，即ξ是数集S 的上界；（2）对任意ε>0，存在 x 0∈S 使得x 0>ξ-ε（即η是S 的最小上界），则称数ξ为数集S 的上确界。

记作ξ=sup s 。

2．叙述函数)(x f 为D 上的有界函数的定义；答: 若函数)(x f 在定义域D 上既有上界又有下界，则称f 为D 上的有界函数。

二、判断下列命题的正误1. 设S 为非空数集。

若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确 ( 正确)2. 收敛数列必有界.(正确)3. 设数列{}n a 与{}n b 都发散，则数列{}n n a b +一定发散. (错误) 4．若S 为无上界的数集,则S 中存在一递增数列趋于正无穷. (正确) 5．若一数列收敛，则该数列的任何子列都收敛. (正确) 6．若函数在某点无定义，则在该点的极限不存在.三、选择题1．设⎩⎨⎧>-≤+=1,31,1)(x x x x x f , 则 5[()]2f f =( A )A23 ； B 25 ； C 29； D 21-2．设函数22,0()2,02(2),2xx x f x x x x +-∞<<⎧⎪=≤<⎨⎪-≤<+∞⎩ ， 则下列等式中不成立的是（ A ） (0)(1)A f f = ； (0)(1)Bf f =- ； (2)(2)Cf f -= ； (1)(3)Df f -=3．若数列}{n x 有极限a ,则在a 的(0)ε>邻域之外，数列中的点（ B ） A 必不存在 ； B 至多只有有限多个；C 必定有无穷多个 ；D 可以有有限个，也可以有无限多个 4．数列}{n x 收敛，数列}{n y 发散，则数列{}n n x y + （ B ）．A 收敛；B 发散；C 是无穷大；D 可能收敛也可能发散 5．设a x n n =∞→||lim ，则 （ C ）A 数列}{n x 收敛；B a x n n =∞→lim ；C 数列}{n x 可能收敛，也可能发散；D a x n n -=∞→lim ；6．已知 2lim()01x x ax b x →∞--=+，其中b a ,是常数，则（ C ） A 1,1==b a ； B 1,1-==b a ； C 1,1=-=b a ； D1,1-=-=b a7．下列极限正确的是（ D ） A 01lim sin1x x x →=； B sin lim 1x x x →∞=； C 1lim sin 0x x x→∞=； D 01lim sin 1x x x →=8． 1121lim21xx x→-=+（ D ）A 0；B 1 ；C 1- ；D 不存在四、计算题1．求极限 902070)15()58()63(lim --++∞→x x x x .解 902070902070902070583155863lim )15()58()63(lim⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--++∞→+∞→x x x x x x x x2．求极限 253lim()2x x x x +→∞+-()()10464263252522131lim2131lim 2131.2131lim 23lim e ee x x x x x x x x x x xxx xx xx x x ==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+---+∞→+∞→+∞→++∞→解：3．求极限n →∞++ .解：因≤++≤1n n ==， 故1n →∞+= 。

《数学分析选讲》A/B 模拟练习题参考答案一、选择题:(共18题,每题3分） 1、下列命题中正确的是（ Ａ B ）A 、若'()()F x f x =，则()F x c +是()f x 的不定积分，其中c 为任意常数B 、若()f x 在[,]a b 上无界，则()f x 在[,]a b 上不可积C 、若()f x 在[,]a b 上有界,则()f x 在[,]a b 上可积D 、若()f x 在[,]a b 上可积,则()f x 在[,]a b 上可积 2、设243)(-+=x x x f ,则当0→x 时，有( Ｂ ） A ．)(x f 与x 是等价无穷小 B ．)(x f 与x 同阶但非是等价无穷小 C.)(x f 是比x 高阶的无穷小 Ｄ．)(x f 是比x 低阶的无穷小3、若f 为连续奇函数，则()x f sin 为（ A ) A 、奇函数 Ｂ、偶函数Ｃ、非负偶函数 Ｄ、既不是非正的函数,也不是非负的函数． 4、函数()f x 在[,]a b 上连续是()f x 在[,]a b 上可积的（ Ａ ）条件 A ． 充分非必要 B 。

必要非充分C 。

充分必要条件D ． 非充分也非必要条件。

5、若f 为连续奇函数，则()x f cos 为（ B ） A 、奇函数 Ｂ、偶函数Ｃ、非负偶函数 D 、既不是非正的函数，也不是非负的函数。

6、设arctan (),xf x x=则0x =是()f x 的（ B ) A 。

连续点 B. 可去间断点 Ｃ.跳跃间断点 D. 第二类间断点7、设+N ∈∃N ,当N n >时,恒有n n b a >,已知A a n n =∞→lim ，B b n n =∞→lim .则正确的选项是（ A ）A 、B A ≥ B 、B A ≠C 、B A > Ｄ、A 和B 的大小关系不定． 8、函数f （x,ｙ) 在点00(,)x y 连续是它在该点偏导数都存在的( Ａ ） A 。

习题2—11、若自然数n是无理数。

(),,,pp q N p qq=∈且互质，于是2222nq pp nq p pp nq=⇒=⇒而(),p q互质，故p不整除q⇒p整除n，记()nn ps s N ps+=∈⇒=，故()2222nnq n qss=⇒=，即n为完全平方数，矛盾。

假设不成立。

2、设,a b是两个不同的实数，证明,a b之间一定存在有理数。

证明：不妨设a b<，则存在m N+∈，使得()111m m b a mb mab a>⇒->⇒>+-又因为存在整数n，使得1n ma n-≤<由1,,1ma n ma nma n mb a b m N n Zma mb m+<≤+⎧⇒<<⇒<<∈∈⎨+<⎩，nm是有理数。

3、设x为无理数，证明存在无穷多个有理数(),,0pp q Z qq∈>，使得21pxq q-<，证明：假设只有n个有理数满足21pxq q-<，设为12,,na a a⋅⋅⋅其中()1,2ia i n=⋅⋅⋅为有理数，且12,na a a<<⋅⋅⋅<对于区间()1,i ia a-显然112i ii ia aa a--+<<，而12i ia a-+为有理数，且11222112i ii na ax a a a a xq q-+-<<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅<<+12i ia a-+满足要求，故假设不成立。

习题2—21、求下列数集的上，下确界()111n⎧⎫-⎨⎬⎩⎭上确界为1（不达到），下确界为0（达到）()121nn N n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭上确界为e （不达到），下确界为2（达到） ()()()11311nn n +⎧⎫-+-⎨⎬⎩⎭上确界为1（不达到），下确界为-1（不达到） ()214,1,2y x x ⎧⎫⎛⎫=∈-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭上确界为1（不达到）下确界为0（达到）2、 设{}2,2,,E x x x Q =<∈验证infE =证明：()1 2,2x E x x ∀∈<⇒>，即是E 的一个下界()2若2β<，则由有理数集在实数系中的稠密性，存在()2x β'∈，且x '为有理数，于是222x x β''<<<⇒<，即存在22,,x E x ββ''∈<故不是E 的下界。

数学分析选讲复习资料参考答案一、选择题（将符合要求的结论题号，填在题末的括号内，每题至多选两个题号）：1、下列命题中，正确的是：A 、若()f x 在点0x 连续，则()f x 在0x 连续；B 、若 ()f x 在(,)a b 上连续；则对0,()f x ε∀>在[,]a b εε+-上连续；C 、若()f x 是初等函数，其定义域为(,)a b ，则()f x 在(,)a b 有界；D 、函数()y f x =在0x 点连续的充要条件是()f x 在0x 点的左、右极限存在. 答：（ B ） 2、当0x x →时，()f x 以B 为极限，则A 、0,0,εδ∀>∀>存在x 满足00,x x δ<-<有()f xB ε-<; B 、0,0,εδ∀>∃>00x x δ<-<当时，有()f x B ε-<；C 、存在00{},(1,2),()n n n x x x n x x n ≠=→→∞L ，使{()}n f x 不以B 为极限；D 、0x x →时，()f x 的极限存在. 答：（ B D ）3、设函数()f x 在[,]a b 上连续，则在[,]a b 上有A 、()()ba d f x dx f x dx =⎰； B 、()()xad f t dt f x dx =⎰；C 、；()f x 在[,]a b 上单调；D 、()f x 在[,]a b 上未必有最大值. 答：（ B ） 4、设级数n u ∑收敛，则A 、0,N ∃> 当n m N >>时，11/2m m n u u u ++++<L .B 、{}1n n u =∞有界；C 、绝对收敛；D 、 lim n n u →∞未必存在答：（ AB ） 5、若数列{}1n n a =∞满足lim nn a a →∞=，则下列说法正确的是（ B ）A 、0,ε∀> 0,N ∀>当n N >时，都有n a a ε-<。