实变函数

南京理工大学实变函数（报告）前 言如今，实变函数论已成为现代分析不可缺少的理论基础泛函分析的诞生，在一定程度上正是受到了实变函数的推动。

实变函数论的概念、结论与方法，已广泛应用于微分方程与积分方程理论、fourier 分析、逼近论等学科。

现代概率论已经完全建立在测度论与Lebesgue 积分论的基础上。

在这个意义上甚至可以说，概率论是“概率测度空间中的实函数论”。

实变函数论对于现代数学的重要性，于此可见一斑。

所有数学类专业及某些理工科专业将“实变函数”作为一门重要基础课，是理所当然的。

然而不幸的是，这门课程的名声欠佳。

尽管它为分析数学带来如此巨大的简化的理论，但是不少学过实变函数的学生包括我在内除了留下“抽象、晦涩”的印象之外，收获不多。

下面主要对Lebesgue 测度与积分作个人短浅的叙述。

第一部分 测度与可测函数本部分包含两项相关的内容：测度与可测函数，二者构成本书核心内容“积分论”的基础。

引进测度有两个基本目的。

其一是为定义积分做准备，这无疑是主要目的。

正如对局域上的函数定义重积分需要区域的面积（或体积）概念一样，后者正是长度、面积与体积等几何度量概念的推广。

其二是用来精确刻画函数的性质，例如，若A 是函数f 的不可微点之全体，则A 的测度定量地刻画了f 的可微性。

测度论给函数的研究方法带来了革命性的变化，导致一系列深刻的结果。

1.1测度与可测集定义1.1.1设n R E ⊂.若{}k I 是n R 中的可数个开矩体，且有k I 1k E ≥⊂Y ，则称{}k I 为E 的一个L 覆盖.我们称为点集E 的Lebesgue 外侧度或简称外侧度. 定理1.1.2(i) 非负性： （ii ） 单调性：若 （iii ）次可加性： （iv ） 距离可加性：若 ,则（v ）平移不变性：设 推论1.1.3若{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑≥1*L E :)(inf )(m k k k I I v E 覆盖的为0;)Ф (,0)(**=≥m E m );()(E E 2*1*21E m E m ≤⊂，则)()(*11*k k k k k E m E E m Y Y ∞=∞=≤)()()(2*1*21*E m E m E E m +=Y 0),(d 21>E E ).()(,*0*0E m x E m R x n =+∈则.0)(*=⊂E m R E n 为可数点集，则定义1.1.4设n R E ⊂.若对任意的点集n R T ⊂.有则称E 为Lebesgue 可测集，简可测集.可测集的全体称为可测集类，简记M.)(*E m 称为E 的Lebesgue 测度，记为m(E).注：对于中任一点集E ，为了证明它是一个可测集，只需证明对任一点集n R T ⊂，有 ，这是因为 总是成立的。

引理1.1.5设n k R E E E ⊂,,.....,,21是有限个互不相交的可测集，n R T ⊂，则有证.当k=2时，取试验集)(21E E T Y I ，因为1E 是可测集.因为用数学归纳法可以对任意自然数k>=2,此引理成立.定理1.1.6（可测集的性质）（i ） ; (ii)若 ，则 ； （iii ）若则 （iv ）若，,....)2,1(=∈i M E i 则其并集也属于M ；若进一步有，则 即m 在M 上满足可数可加性。

定义1.1.7由 中一切开集构成的开集族所生成的σ-代数称为Borel 代数，Borel 代数中的元素称为Borel 集.定理1.1.8设........21⊂⊂⊂⊂k E E E 是一个递增可测集合列，则M E ∈cj)Ф(i 21≠=E E I ,)()m(11∑∞=∞==i i i i E m E Y )()()(***c E T m E T m T m I I +=n R )()()(***c E T m E T m T m I I +≥)()()(***c E T m E T m T m I I +=.)())((1*1*∑===ki i k i i E T m E T m I I Y ).()())(())(())((2*1*121*121*21*E T m E T m E E E T m E E E T m E E T m c I I I Y I I Y I Y I +=+=).()(lim lim k k k k E m E m ∞→∞→=MФ∈M ∈E ,,21M E E ⊂;,,212121M E E E E E E ⊂-I Y n R1.2可测函数定义1.2.1 设f （x ）是定义在可测集 上的广义实值函数。

若对于任意的数t ，点集是可测集，则称f(x)是E 上的可测函数，或称f(x)在E 上可测。

约定以M(E)记E 上的可测函数全体。

定理1.2.2设f(x)是可测集E 上的函数，D 是R 中的一个 稠密集。

若对任意的r ∈D ，点集(){:}x E f x r ∈>都是可测集，则f 在E 上可测。

定理1.2.3对于E 上的一个广义实值函数f ，以下条件相互等价：(i) f ∈M(x)；(ii) 对任意的t ∈R ，(){:}x f x t ≤可测；(iii) 对任意的t ∈R ，(){:}x f x t <可测；(iv) 对任意的t ∈R ，(){:}x f x t ≥可测；(v) 对任意的s,t ∈R ，()(){:}{:}x s f x t x f x <<=+∞与可测；(vi) 对任意开集()1,{:()}G R f G x f x -⊂=+∞与可测；(vii) 对任意闭集()()1,{:}F R f F x f x -⊂=+∞与可测；可测函数的运算性质：定理1.2.4(i) 设f(x)是定义在12n E E R ⊂U 上的广义实值函数。

若f(x)分别在和上则f(x)在12E E U 可测。

(ii) 若f(x)是n E R ⊂上的可测函数，A E ⊂是可测集，则f(x)在A 上也可测。

定理1.2.5若f(x)，g(x)是E 上的可测函数，则下列函数均是E 上的可测函数。

(i)()1();cf x c R ∈(ii)()();f x g x +(iii)()()·.f x g x(){:}x E f x t ∈>n E R ⊂1.3答疑解惑1.3.1不可测集的构造含于 中的点集并非都是Lebesgue 可测的，不满足两条性质的集Z 是不Lebesgue 可测的，这是因为：如果Z 是可测的，而且)()(n Z m Z m =,由于Z 是两两不相交，所以 又因为 是有界集，并且它包含一个长度不为零的区间，由测度的单调性知∞<<∞=)(01Y k n Z m .则可知m(Z)必须等于零却友不等于零，所以Z 必是不可测集。

1.3.2几乎处处收敛与一致收敛的关系在数学分析中,函数列的一致收敛概念是大家所熟悉的。

一致收敛的些极限运算可以交换次序,一般地,一致收敛强于处处收敛,更强于几乎处处收敛。

叶果洛夫定理指出，满足定理调教的几乎处处收敛的可测函数列，在去掉一个测度任意小的点集后是一致收敛的，因此定理在许多场合为处理极限交换问题提供了依据.在叶果洛夫定理中，条件很重要，不能去掉。

例如,可测函数列),0(,...,2,1),()(),0(∞∈==x n x x f n n χ在），（∞0上处处收敛于f(x)=1,但在），（∞0中的任一有限测度集外均不一致收敛于f(x)=1. 1.3.3依测度收敛与几乎处处收敛的关系（1）（黎斯F.Riesz ）设在E 上}{n f 测度收敛于f,则存在子列n f 在E 上a.e 收敛于f.（2）(Lebesgue)设1.mE<∞;2.n f 是E 上a.e 有限的可测的函数f,则).()(x f x f n ⇒n R Y ∞=1k n Z ),()()()(111Z m Z m Z m n n n k n ∑∑∞=∞=∞===Y ∞<)(E m第二部分Lebesgue 积分勒贝格积分理论是实变函数的核心内容，勒贝格积分是黎曼积分的推广，与此同时克服了黎曼积分的许多不足，如勒贝格积分的完全可加性等，最重要的是解决了积分于极限交换及积分与积分互相交换的问题，这正是勒贝格积分的最大成功之处。

2.1 Lebesgue 积分的定义与性质（a ）非负可测函数的积分定义2.1.1设 是n R 上的非负可测简单函数。

若∈E M ，则定义h 在E 上的积分为定理2.1.2（积分的线性性质）设 , 是n R 上的非负可测简单函数，c 是非负常数，则(i)(ii)定理2.1.3设}{E k 是n R 中的一列递增可测集，)(x h 是n R 上的非负可测简单函数，则 ()lim ()k E E k h x dx h x dx →∞=⎰⎰，其中1k k E E ∞==U （b ）非负可测函数的积分定义2.1.4设)(x f 是E 上的非负可测函数。

我们定义f 在E 上的积分为()()()sup E h x f x f x dx ≤=⎰{()E h x dx ⎰：()h x 是n R 上的非负简单可测函数} 若 ()E f x dx <+∞⎰则称)(x f 是E 上可积的，或)(x f 是E 上的可积函数.1()()i pi i h x c x χA ==∑1()()pi i E i h x dx c m E ==⋂A ∑⎰)(x g )(x f ()()E E cf x dx c f x dx =⎰⎰(()())()()E E E f x g x dx f x dx g x dx+=+⎰⎰⎰定理2.1.5设)(x f ，)(x g 是E 上的非负可测函数，1、若()()()f x g x x E ≤∀∈，则()()E Ef x dxg x dx ≤⎰⎰ 2、若E A ⊂是可测集，则()()()A A Ef x dx f x x dx χ=⎰⎰ 定理2.1.6（积分的线性性质）设)(x f ，)(x g 是n R 上的非负可测函数，α，β是非负常数，则(()())()()E E Ef xg x dx f x dx g x dx αβαβ+=+⎰⎰⎰ 定理2.1.7设)(x f ，)(x g 是E 上的非负可测函数1、若0)(=E m ，则()0Ef x dx =⎰ 2、若)()(xg x f = a.e ，则()()E Ef x dxg x dx =⎰⎰ 3、若)(x f 在E 上可积，则)(x f 在E 上几乎处处受限。

定理2.1.8（Levi 递增列积分定理）设有定义在E 上的非负可测函数列12()()...()...k f x f x f x ≤≤≤≤，且有lim ()()k k f x f x →∞=，E x ∈，则 lim ()()k E Ek f x dx f x dx →∞=⎰⎰2.2答疑解惑2.2.1黎曼可积与勒贝格可积的关系对于定义在[a,b]上的函数f ，如果它是黎曼可积的，则它必是勒贝格可积的，而且有相同的值。