2017-2018学年高中数学第一章空间几何体1.3空间几何体的表面积与体积学案新人教A版必修2

1.3 空间几何体的表面积与体积1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积预习课本P23～27，思考并完成以下问题[新知初探]1．柱体、锥体、台体的表面积公式2．柱体、锥体、台体的体积公式柱体的体积公式V ＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； 锥体的体积公式V ＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；台体的体积公式V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h .[点睛] (1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系：[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)锥体的体积等于底面面积与高之积( ) (2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差( ) 答案：(1)× (2)√2．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a 时，该三棱锥的表面积是( ) A.3＋34a 2B.34a 2C.3＋32a 2D.6＋34a 2解析：选A ∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于22a ，∴S 表＝34a 2＋3×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＝3＋34a 2.3．若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是________． 解析：由已知圆锥的高h ＝4， 所以V 圆锥＝13π×32×4＝12π.答案：12π[典例] 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积．[解] 如图，设底面对角线AC ＝a ，BD ＝b ，交点为O ，对角线A 1C ＝15，B 1D ＝9， ∴a 2＋52＝152，b 2＋52＝92，∴a 2＝200，b 2＝56.∵该直四棱柱的底面是菱形，∴AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BD 22＝a 2＋b 24＝200＋564＝64，∴AB ＝8.∴直四棱柱的侧面积S ＝4×8×5＝160.[活学活用]1．(陕西高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋4解析：选D 由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示．表面积为2×2＋2×12×π×12＋π×1×2＝4＋3π.2．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为( ) A ．81π B ．100π C ．168πD ．169π解析：选C 先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r ，下底面半径为R ，则它的母线长为l ＝h 2＋R －r 2＝r2＋r2＝5r ＝10，所以r ＝2，R ＝8.故S 侧＝π(R ＋r )l ＝π(8＋2)×10＝100π，S 表＝S 侧＋πr 2＋πR 2＝100π＋4π＋64π＝168π.[典例] )A ．2π＋2 3B ．4π＋2 3C ．2π＋233D ．4π＋233[解析] 该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为13×(2)2×3＝233，所以该几何体的体积为2π＋233.[答案] C[活学活用]1．已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是________．解析：设圆台的上、下底面半径分别为r 和R ，母线长为l ，高为h ，则S 上＝πr 2＝π，S 下＝πR 2＝4π，∴r ＝1，R ＝2，S 侧＝π(r ＋R )l ＝6π，∴l ＝2，∴h ＝3，∴V ＝13π(12＋22＋1×2)×3＝733π.答案：733π2.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于________． 解析：根据三视图，可知题中的几何体是由一个三棱柱削去一个三棱锥得到的，体积V ＝12×3×4×5－13×12×4×3×3＝24.答案：241.如图所示，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段B 1C 上的一点，则三棱锥A ­DED 1的体积为________．解析：V 三棱锥A ­DED 1＝V 三棱锥E ­DD 1A ＝13×12×1×1×1＝16.答案：162.如图所示，三棱锥的顶点为P ，PA ，PB ，PC 为三条侧棱，且PA ，PB ，PC 两两互相垂直，又PA ＝2，PB ＝3，PC ＝4，求三棱锥P ­ABC 的体积V .解：三棱锥的体积V ＝13Sh ，其中S 为底面积，h 为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B 看作顶点，△PAC 作为底面求解．故V ＝13S △PAC ·PB ＝13×12×2×4×3＝4.题点二：分割法3.如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为4的正方形，EF ∥AB ，EF ＝2，EF 上任意一点到平面ABCD 的距离均为3，求该多面体的体积．解：如图，连接EB ，EC .四棱锥E ­ABCD 的体积V 四棱锥E ­ABCD ＝13×42×3＝16.∵AB ＝2EF ，EF ∥AB ，∴S △EAB ＝2S △BEF .∴V 三棱锥F ­EBC ＝V 三棱锥C ­EFB ＝12V 三棱锥C ­ABE ＝12V 三棱锥E ­ABC ＝12×12V 四棱锥E ­ABCD ＝4.∴多面体的体积V ＝V 四棱锥E ­ABCD ＋V 三棱锥F ­EBC ＝16＋4＝20. 题点三：补形法4．如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．解：用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.5．已知四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝13，BC ＝AD ＝25，BD ＝AC ＝5，求四面体ABCD 的体积．解：以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图． 设长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z ， 则{x 2＋y 2＝13，y 2＋z 2＝20，x 2＋z 2＝25，∴{ x ＝3，y ＝2，z ＝4.∵V D ­ABE ＝13DE ·S △ABE ＝16V 长方体，同理，V C ­ABF ＝V D ­ACG ＝V D ­BCH ＝16V 长方体，∴V 四面体ABCD ＝V 长方体－4×16V 长方体＝13V 长方体．而V 长方体＝2×3×4＝24，∴V 四面体ABCD ＝8.层级一 学业水平达标1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为( ) A ．22 B ．20 C ．10D ．11解析：选A 所求长方体的表面积S ＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22. 2．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( ) A ．1∶2 B ．1∶ 3 C ．1∶ 5D.3∶2解析：选C 设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝5r .∴S 侧＝πrl ＝5πr 2，S底＝πr 2，S 底∶S 侧＝1∶ 5.3.如图是一个几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )A.433π B.36π C.12π D.33π 解析：选 B 由三视图，可知给定的几何体是一个圆锥的一半，故所求的体积为12×13×π×12×3＝36π. 4．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．3解析：选A 设圆台较小底面的半径为r ，则另一底面的半径为3r .由S 侧＝3π(r ＋3r )＝84π，解得r ＝7.5.如图，ABC ­A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C ­AA ′B ′B 的体积是( ) A.13 B.12 C.23D.34解析：选C ∵V C ­A ′B ′C ′＝13V ABC ­A ′B ′C ′＝13，∴V C ­AA ′B ′B ＝1－13＝23.6．棱长都是3的三棱锥的表面积S 为________．解析：因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以S ＝4×34×32＝9 3. 答案：9 37．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．解析：易知圆锥的母线长l ＝2，设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝12×2π×2，∴r ＝1，∴圆锥的高h ＝l 2－r 2＝3，则圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝33π.答案：33π 8．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3 3，则a ＝________.解析：由三视图，可知几何体为一个放倒的直三棱柱，则该几何体的体积V ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×a ＝3 3，所以a ＝ 3.答案： 39．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，若四边形ABCD 绕AD 旋转一周成为几何体．(1)画出该几何体的三视图； (2)求出该几何体的表面积．解：(1)如图所示．(2)过C 作CE 垂直AD 延长线于E 点， 作CF 垂直AB 于F 点． 由已知得：DE ＝2，CE ＝2， ∴CF ＝4，BF ＝5－2＝3. ∴BC ＝CF 2＋BF 2＝5. ∴下底圆面积S 1＝25π，台体侧面积S 2＝π×(2＋5)×5＝35π， 锥体侧面积S 3＝π×2×22＝42π， 故表面积S ＝S 1＋S 2＋S 3＝(60＋42)π.10.如图，已知正三棱锥S ­ABC 的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO ＝3，求此正三棱锥的表面积．解：如图，设正三棱锥的底面边长为a ，斜高为h ′，过点O 作OE ⊥AB ，与AB 交于点E ，连接SE ，则SE ⊥AB ，SE ＝h ′.∵S 侧＝2S 底，∴12·3a ·h ′＝34a 2×2. ∴a ＝3h ′.∵SO ⊥OE ，∴SO 2＋OE 2＝SE 2. ∴32＋⎝⎛⎭⎪⎫36×3h ′2＝h ′2. ∴h ′＝23，∴a ＝3h ′＝6. ∴S 底＝34a 2＝34×62＝93，S 侧＝2S 底＝18 3. ∴S 表＝S 侧＋S 底＝183＋93＝27 3.层级二 应试能力达标1．正方体的表面积为96，则正方体的体积为( ) A ．48 6 B ．64 C ．16D ．96解析：选B 设正方体的棱长为a ，则6a 2＝96，∴a ＝4，故V ＝a 3＝43＝64.2.已知高为3的棱柱ABC ­A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，如图，则三棱锥B ­AB 1C 的体积为( )A.14B.12C.36D.34解析：选D VB ­AB 1C ＝VB 1­ABC ＝13S △ABC ×h ＝13×34×3＝34.3．圆柱的一个底面积是S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( ) A ．4πS B ．2πS C ．πSD.233πS 解析：选A 底面半径是Sπ，所以正方形的边长是2πSπ＝2πS ，故圆柱的侧面积是(2πS )2＝4πS .4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A.533B.433C.536D. 3解析：选A 由三视图可知，该几何体是正三棱柱的一部分，如图所示，其中底面三角形的边长为2，故所求的体积为34×22×2－13×34×22×1＝533. 5．已知一个长方体的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的体积为________． 解析：设长方体从一点出发的三条棱长分别为a ，b ，c ，则{ ab ＝2，ac ＝3，bc ＝6，三式相乘得(abc )2＝6，故长方体的体积V ＝abc ＝ 6.答案： 66．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．解析：如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为22，其面积为8.答案：87．如图所示，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．(1)画出这个几何体(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积．解：(1)这个几何体如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q ­A 1D 1P 的组合体． 由PA 1＝PD 1＝2，A 1D 1＝AD ＝2，可得PA 1⊥PD 1.故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝(22＋42)cm 2，所求几何体的体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10(cm 3)．8．一个圆锥的底面半径为2 cm ，高为6 cm ，在其内部有一个高为x cm 的内接圆柱． (1)求圆锥的侧面积．(2)当x 为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值． 解：(1)圆锥的母线长为62＋22＝210(cm)， ∴圆锥的侧面积S 1＝π×2×210＝410 π(cm 2)． (2)画出圆锥的轴截面如图所示：设圆柱的底面半径为r cm ，由题意，知r 2＝6－x6，∴r ＝6－x 3，∴圆柱的侧面积S 2＝2πrx ＝2π3(－x 2＋6x )＝－2π3[(x －3)2－9]，∴当x ＝3时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6π cm 2.1．3.2 球的体积和表面积预习课本P27～28，思考并完成以下问题[新知初探]1．球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积S ＝4πR 2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍． 2．球的体积设球的半径为R ，则球的体积V ＝43πR 3.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个球的半径之比为1∶3，则其表面积之比为1∶9( ) (2)经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径( ) 答案：(1)√ (2)√2．若球的过球心的圆面圆周长是C ，则这个球的表面积是 ( ) A.C 24πB.C 22π C.C 2πD ．2πC 2解析：选C 由2πR ＝C ，得R ＝C2π，∴S 球面＝4πR 2＝C 2π.3．若一个球的直径是10 cm ，则它的体积为________ cm 3.解析：由题意知其半径为R ＝102＝5(cm)，故其体积为V ＝43πR 3＝43×π×53＝5003π(cm 3)．答案：5003π[典例] (1)球的体积是32π3，则此球的表面积是( )A ．12πB ．16π C.16π3D.64π3(2)一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，则这个几何体的表面积为________．[解析] (1)设球的半径为R ，则由已知得43πR 3＝32π3，解得R ＝2.故球的表面积S 表＝4πR 2＝16π.(2)由已知可得，该几何体是四分之三个球，其表面积是四分之三个球的表面积和两个半径与球的半径相等的半圆的面积之和．因为R ＝1，所以S ＝34×4×π×12＋2×12×π×12＝4π.[答案] (1)B (2)4π[活学活用]某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．解析：由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面与截面面积的和，即12×4π×12＋π×12＝3π.答案：3π[典例] 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，若不计容器厚度，则球的体积为( )A.500π3cm 3B.866π3 cm 3C.1 372π3cm 3D.2 048π3cm 3[解析] 如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)，BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．设球的半径为R cm ，则R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2)2＋42，∴R ＝5.∴V 球＝43π×53＝5003π(cm 3)．[答案] A[活学活用]一平面截一球得到直径为2 5 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm ，则该球的体积是( )A ．12π cm 3B ．36π cm 3C ．646π cm 3D ．108π cm 3解析：选B 设球心为O ，截面圆心为O 1，连接OO 1，则OO 1垂直于截面圆O 1，如图所示．在Rt △OO 1A 中，O 1A ＝ 5 cm ，OO 1＝2 cm ，∴球的半径R ＝OA ＝ 22＋52＝3(cm)，∴球的体积V ＝43×π×33＝36π(cm 3)．题点一：球的外切正方体问题1．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( ) A.4π3 B.2π3 C.3π2D.π6解析：选A 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是43×π×13＝4π3.题点二：球的内接长方体问题2．一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．解析：长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R ＝12＋22＋32＝14，所以球的表面积S ＝4πR 2＝14π.答案：14π题点三：球的内接正四面体问题3．若棱长为a 的正四面体的各个顶点都在半径为R 的球面上，求球的表面积． 解：把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为x ，则a ＝2x ， 由题意2R ＝3x ＝3×2a 2＝62a ， ∴S 球＝4πR 2＝64a π＝32a π.题点四：球的内接圆锥问题4．球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．解析：如图所示，设球半径为r ，则球心到该圆锥底面的距离是r2，于是圆锥的底面半径为r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22＝3r 2，高为3r 2.该圆锥的体积为13×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫3r 22×3r 2＝38πr 3，球体积为43πr 3，∴该圆锥的体积和此球体积的比值为38πr 343πr 3＝932.答案：932题点五：球的内接直棱柱问题5．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2B.73πa 2C.113πa 2D ．5πa 2解析：选 B 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a .如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知AP ＝23×32a ＝33a ，OP ＝12a ，所以球的半径R ＝OA 满足R 2＝⎝⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝712a 2，故S 球＝4πR 2＝73πa 2.与外接球半径R 的关系为：2R ＝62a .层级一 学业水平达标1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为( ) A.8π3B.32π3 C ．8πD.82π3解析：选 C 设球的半径为R ，则截面圆的半径为R 2－1，∴截面圆的面积为S ＝π()R 2－12＝(R 2－1)π＝π，∴R 2＝2，∴球的表面积S ＝4πR 2＝8π.2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为( ) A ．16π B ．20π C ．24πD ．32π解析：选A 设正四棱锥的高为h ，底面边长为a ，由V ＝13a 2h ＝a 2＝6，得a ＝ 6.由题意，知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为r ，则(3－r )2＋(3)2＝r 2，解得r ＝2，则S 球＝4πr 2＝16π.故选A.3．某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A ．72πB ．48πC ．30πD ．24π解析：选C 由三视图可知几何体由一个半球和倒立的圆锥组成的组合体．V ＝13π×32×4＋12×43π×33＝30 π.4．等体积的球和正方体的表面积S 球与S 正方体的大小关系是( ) A ．S 正方体>S 球 B ．S 正方体<S 球 C ．S 正方体＝S 球D ．无法确定解析：选A 设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，由题意，得V ＝43πR 3＝a 3，∴a ＝3V ，R ＝33V 4π，∴S 正方体＝6a 2＝63V 2＝3216V 2，S 球＝4πR 2＝336πV 2<3216V 2.5．球的表面积S 1与它的内接正方体的表面积S 2的比值是( ) A.π3 B.π4C.π2D ．π解析：选C 设球的内接正方体的棱长为a ，球的半径为R ，则3a 2＝4R 2，所以a 2＝43R 2，球的表面积S 1＝4πR 2，正方体的表面积S 2＝6a 2＝6×43R 2＝8R 2，所以S 1S 2＝π2.6．已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是________． 解析：过正方体的对角面作截面如图．故球的半径r ＝2，∴其表面积S ＝4π×(2)2＝8π. 答案：8π7．球内切于正方体的六个面，正方体的棱长为a ，则球的表面积为________． 解析：正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图，所以有2r 1＝a ，r 1＝a2，所以S 1＝4πr 21＝πa 2.答案：πa 28．圆柱形容器的内壁底半径是10 cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为________ cm 2.解析：设该铁球的半径为r ，则由题意得43πr 3＝π×102×53，解得r 3＝53，∴r ＝5，∴这个铁球的表面积S ＝4π×52＝100π(cm 2)．答案：100π9．若三个球的表面积之比为1∶4∶9，求这三个球的体积之比． 解：设三个球的半径分别为R 1，R 2，R 3， ∵三个球的表面积之比为1∶4∶9， ∴4πR 21∶4πR 22∶4πR 23＝1∶4∶9， 即R 21∶R 22∶R 23＝1∶4∶9，∴R 1∶R 2∶R 3＝1∶2∶3，得R 31∶R 32∶R 33＝1∶8∶27， ∴V 1∶V 2∶V 3＝43πR 31∶43πR 32∶43πR 33＝R 31∶R 32∶R 33＝1∶8∶27.10．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l ＝43π×13＋π×12×3＝13π3.层级二 应试能力达标1．在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )解析：选 B 正三棱锥的内切球球心在高线上，与侧面有公共点，与棱无公共点．故选B.2．一平面截一球得到直径是6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm ，则该球的体积是( )A.100π3 cm 3B.208π3 cm 3C.500π3cm 3D.41613π3cm 3解析：选C 根据球的截面的性质，得球的半径R ＝32＋42＝5(cm)，所以V 球＝43πR 3＝500π3(cm 3)．3．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积S ＝( )A ．32＋πB ．32＋2πC ．28＋2πD ．28＋π解析：选A 由三视图可知此几何体的上半部分为半个球，下半部分是一个长方体，故其表面积S ＝4π×12＋4×2×3＋2×2＋2×2－π＝32＋π.4.(新课标全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选B 如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r ，圆柱的底面半径为r ，高为2r ，则表面积S ＝12×4πr 2＋πr 2＋4r 2＋πr ·2r ＝(5π＋4)r 2.又S ＝16＋20π，∴(5π＋4)r 2＝16＋20π， ∴r 2＝4，r ＝2，故选B.5.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．解析：依题意得，该几何体是球的一个内接正方体，且该正方体的棱长为2.设该球的直径为2R ，则2R ＝ 22＋22＋22＝23，所以该几何体的表面积为4πR 2＝4π(3)2＝12π.答案：12π6．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的体积是________．解析：设球的半径为r ，则43πr 3＝323π，得r ＝2，柱体的高为2r ＝4.又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为43，所以正三棱柱的体积V ＝34×(43)2×4＝48 3. 答案：48 37．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm ，求球的体积． 解：如右图所示，作出轴截面，O 是球心，与边BC ，AC 相切于点D ，E .连接AD ，OE ，∵△ABC 是正三角形，∴CD ＝12AC .∵Rt △AOE ∽Rt △ACD ， ∴OE AO ＝CD AC. ∵CD ＝1 cm ，∴AC ＝2 cm ，AD ＝ 3 cm ， 设OE ＝r ，则AO ＝(3－r )， ∴r3－r ＝12，∴r ＝33 cm ，V 球＝43π⎝⎛⎭⎪⎫333＝4327π(cm 3)， 即球的体积等于4327π cm 3.8．在半径为15的球O 内有一个底面边长为123的内接正三棱锥A ­BCD ，求此正三棱锥的体积．解：①如图甲所示的情形，显然OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝15.设H 为△BCD 的中心，则A ，O ，H 三点在同一条直线上．∵HB ＝HC ＝HD ＝23×32×123＝12，∴OH ＝OB 2－HB 2＝9，∴正三棱锥A ­BCD 的高h ＝9＋15＝24. 又S △BCD ＝34×(123)2＝1083， ∴V 三棱锥A ­BCD ＝13×1083×24＝864 3.②对于图乙所示的情形，同理，可得正三棱锥A ­BCD 的高h ′＝15－9＝6，S △BCD ＝1083， ∴V 三棱锥A ­BCD ＝13×1083×6＝216 3.综上，可知三棱锥的体积为8643或216 3.(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中正确的是( ) A ．棱柱的侧面可以是三角形 B ．正方体和长方体都是特殊的四棱柱 C ．所有的几何体的表面都能展成平面图形 D ．棱柱的各条棱都相等解析：选B 棱柱的侧面必须是平行四边形，侧棱长相等，但底面只需为多边形，且边长也不需要与侧棱长相等，故A 、D 不正确；球的表面不能为平面图形，故C 不正确．2．如图所示的组合体，其构成形式是( )A ．左边是三棱台，右边是圆柱B ．左边是三棱柱，右边是圆柱C ．左边是三棱台，右边是长方体D ．左边是三棱柱，右边是长方体解析：选D 根据三棱柱和长方体的结构特征，可知此组合体左边是三棱柱，右边是长方体．3.如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正视图、俯视图如图；②存在四棱柱，其正视图、俯视图如图；③存在圆柱，其正视图、俯视图如图．其中正确命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选A 底面是等腰直角三角形的三棱柱，当它的一个矩形侧面放置在水平面上时，它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此①正确；若长方体的高和宽相等，则存在满足题意的正视图和俯视图，因此②正确；当圆柱侧放，即侧视图为圆时，它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此③正确．故选A.4．已知圆锥的表面积是其底面面积的3倍，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为( ) A ．120° B ．150° C ．180°D ．240°解析：选C 设圆锥的底面半径为R ，母线长为L .由题意，πR 2＋πRL ＝3πR 2，∴L ＝2R ，圆锥的底面圆周长l ＝2πR .展开成扇形后，设扇形圆心角为n ，则扇形的弧长l ＝n πL180°＝n π×2R180°，∴2πR ＝2n πR180°，∴n ＝180°，即展开后扇形的圆心角为180°. 5.某几何体的正视图和侧视图均为图甲所示，则在图乙的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是( )A ．①③B ．①③④C ．①②③D ．①②③④解析：选A 若图②是俯视图，则正视图和侧视图中矩形的竖边延长线有一条和圆相切，故图②不合要求；若图④是俯视图，则正视图和侧视图不相同，故图④不合要求，①③都是能符合要求的几何体，故选A.6.(福建高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )A ．8＋2 2B ．11＋2 2C ．14＋2 2D ．15解析：选B 由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰长为12＋12＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为2×(4＋2)＝8＋22，两底面的面积和为2×12×1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋2 2.7.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.15解析：选D 由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V 1＝13×12×1×1×1＝16，剩余部分的体积V 2＝13－16＝56.所以V 1V 2＝1656＝15，故选D.8．(山东高考)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3B.4π3C.5π3D ．2π解析：选C 过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V ＝V圆柱－V圆锥＝π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE ＝π×12×2－13π×12×1＝5π3，故选C.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中的横线上)9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由三视图可知题中几何体是由圆柱的一半和球的四分之一组成的，所以该几何体的体积V ＝12V 圆柱＋14V 球＝12×π×12×2＋14×43π×13＝43π.答案：43π10．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为________，表面积为________．解析：因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r ＝1212＋12＋22＝1，所以V 球＝4π3×13＝4π3，S 球＝4π×12＝4π.答案：43π 4π11．一个几何体的三视图如图，其中正视图和侧视图是相同的等腰三角形，俯视图由半圆和一等腰三角形组成．则这个几何体可以看成是由________和________组成的，若它的体积是π＋26，则a ＝________.解析：由三视图可知该几何体可以看成是由一个三棱锥和半个圆锥组成的．半圆锥的底面半径为1，高为a ，三棱锥的底面是以2为直角边长的等腰直角三角形，高为a ，所以该几何体的体积为13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12π＋12×2×2a ＝π＋26，解得a ＝1.答案：三棱锥 半个圆锥 112．某空间几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的侧视图的面积为________cm 2，此几何体的体积为________cm 3.解析：该几何体是半圆锥和半圆柱的组合体，侧视图面积为12π×12＝π2(cm 2)，此几何体的体积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫π×12×3＋13π×12×2＝11π6(cm 3)．答案：π2 11π613．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积等于________，表面积为________．解析：由三视图可知该几何体是一个四棱锥，如图，其底面是一个边长为2的正方形，高为2，故其体积为V ＝13×2×2×2＝83.在△ECD 中，CD 边上的高为2，故S △ECD ＝12×2×2＝2.△EBC 与△EAD 是全等的直角三角形，BC ⊥EC ，且BC ＝2，EC ＝5，故S △EAD ＝S △EBC ＝12×2×5＝ 5.在△EAB 中，EA ＝EB ＝3，AB ＝2，则S △EAB ＝12×2×9－1＝22，故该几何体的表面积为S ＝2＋4＋25＋22＝2(3＋2＋5)． 答案：832(3＋2＋5)14.如图，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱CC 1的平面A 1B 1EF ，这个平面分三棱台成两部分，这两部分的体积之比为________．解析：设三棱台的上底面面积为S 0，则下底面面积为4S 0，高为h ，则V 三棱台ABC ­A 1B 1C 1＝13(S 0＋4S 0＋2S 0)h ＝73S 0h ，V 三棱柱FEC ­A 1B 1C 1＝S 0h .设剩余的几何体的体积为V ，则V ＝73S 0h －S 0h ＝43S 0h ，体积之比为3∶4或4∶3.答案：3∶4(或4∶3)15.一块正方形薄铁片的边长为4，以它的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积为________．解析：设圆锥筒的底面半径为r ，高为h .由题意，得2πr ＝14×2π×4，所以r ＝1，所以h ＝42－12＝15，所以V ＝13πr 2h ＝13×π×12×15＝153π.答案：153π 三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分14分)某五面体的三视图如图所示，其正视图、俯视图均是等腰直角三角形，侧视图是直角梯形，部分长度已标出，试画出该几何体，并求出此几何体各棱的长．解：借助正方体(棱长为1)及题目所给的三视图，该几何体可看作是从正方体中截出来的(如图①所示)，然后将所得图形从正方体中分离出来，即可得到该几何体(如图②所示)，易知该几何体为四棱锥A ­BMC 1C .结合给定的三视图的长度关系，可知在四棱锥A ­BMC 1C 中，AB ＝1，BC ＝1，AC ＝2，BM ＝12，AM ＝52，CC 1＝1，AC 1＝3，MC 1＝52.17.(本小题满分15分)如图所示，在多面体FE ­ABCD 中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，求该多面体的体积V .解：如图所示，分别过A ，B 作EF 的垂线AG ，BH ，垂足分别为G ，H .连接DG ，CH ，容易求得EG ＝HF ＝12.所以AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32， S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24， V ＝V E ­ADG ＋V F ­BHC ＋V AGD ­BHC＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13×12×24×2＋24×1＝23. 18.(本小题满分15分)如图所示，已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，E ，F 分别是A 1A ，CC 1的中点，求四棱锥C 1­B 1EDF 的体积．解：连接EF ，B 1D 1.设B 1到平面C 1EF 的距离为h 1，D 到平面C 1EF 的距离为h 2.∵正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，E ，F 分 别是A 1A ，CC 1的中点， ∴h 1＋h 2＝B 1D 1＝2a .又S △C 1EF ＝12C 1F ·EF ＝12×a 2×2a ＝24a 2，∴VC 1­B 1EDF ＝VB 1­C 1EF ＋VD ­C 1EF ＝13·S △C 1EF ·(h 1＋h 2)＝13×24a 2×2a ＝16a 3.19.(本小题满分15分)如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6 m 铁丝．再用面积为S m 2的塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．圆柱底面半径为r m.(1)当r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01)．(2)若要制作一个如图所示的底面半径为0.3 m的灯笼，请作出该灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)．解：(1)设圆柱的高为h m，由题意，可知4(4r＋2h)＝9.6，即2r＋h＝1.2.S＝2πrh＋πr2＝πr(2.4－3r)＝3π[－(r－0.4)2＋0.16](0<r<0.6)．所以当r＝0.4时，S max＝0.48π≈1.51(m2)．(2)由r＝0.3,2r＋h＝1.2，得圆柱的高h＝0.6，则该灯笼的三视图为：20．(本小题满分15分)已知一个几何体的三视图如图所示．(1)求此几何体的表面积S；(2)如果点P，Q在正视图中所示位置：P为所在线段的中点，Q为所在线段的端点，求在几何体的表面上，从点P到点Q的最短路径的长．解：(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥和一个圆柱组成的，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面面积之和．又S圆锥侧＝πa×2a＝2πa2，S圆柱侧＝2πa×2a＝4πa2，S圆柱底＝πa2，所以S＝2πa2＋4πa2＋πa2＝()2＋5πa2.(2)沿点P与点Q所在母线剪开圆柱侧面，如图．。