2012年韩国数学奥林匹克(第二轮)
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2012年韩国数学奥林匹克1．△ABC是一个钝角三角形，其中∠A>90°，⊙O是△ABC
的外接圆，D为线段AB上的一点，使得AD=AC。
令AK为⊙O的直径，直线AK与CD相交于L，△DKL的外接圆与⊙O交于P(≠K)，已知AK=2,∠BCD=∠BAP=10°，证明：OP=sin�∠A2�.
2．有n个学生A1,A2,⋯,A n，它们中的一些人互相握过手（A i与A j能握手多于1次），记A i握手次数为d i，假设d1+d2+⋯+ d n>0，证明：存在1≤i<j≤n，使得i,j满足下列两条件：（1）学生A i,A j互相握过手；（2）(d1+d2+⋯+d n)2n2≤d i d j. 3．找出所有的三元数组(m,p,q)，其中m为正整数，p,q为质数且2m p2+1=q5。
4．a,b,c为正数，满足a2+b2+c2=2abc+1，找出(a−2bc)(b−2ac)(c−2ab)的最大值。
5． p (>3)为质数，满足：p |2p−1−1且p ∤2x −1，对任意x =1,2,⋯,p −2成立，令p =2k +3，现定义数列{a n }如下：a i =a i+k =2i (1≤i ≤k )，a j+2k =a j a j+k (j ≥1)证明：数列中存在相邻的2k 项：a x+1,a x+2,⋯,a x+2k 满足对任意
1≤i <j ≤2k 有a x+i ≢a x+j (mmd p )。
6． 令⊙O 为△ABC 的内切圆，线段AC ，CA 与⊙O 切于D ，E ；过B 且平行于DE 的直线交⊙O 于F ，G （F 更靠近B ）；直线CG 交⊙O 于H (≠G )；过G 且平行于EH 的直线交直线AC 于I ；直线IF 交⊙O 于J (≠F )；直线CJ 与EG 交于K 。
令l 为过K 且平行于JD 的直线，证明：l ,IF ,ED 共点。
7． 令{a 1,a 2,⋯,a n }={1,2,⋯,10}，找出下式的最大值：
∑(na n 2−n 2a n )10n=1 8． 令p ≡3 (mmd 4)为质数，定义T =�(i ,j )|{0,1,⋯,p −1}�∖{(0,0)}，对任意非空子集S ⊂T ，证明：存在S 的子集A ，满足下列条件：(1) �x i ,x j �∈A (1≤i ≤3)，则p ∤x 1+x 2−y 3或p ∤y 1+y 2+x 3；(2) 8n (A )>n (S ).。
