2019-2020学年安徽卓越县中联盟(舒城中学、无为中学等)高二12月素质检测英语试题 Word版

2019-2020学年安徽省六安市舒城中学高二下学期期末数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|}4M x N x =∈<，{}1,3,4N =，那么M N ⋂等于（ ） A ．{}0 B ．{}0,1C ．{}1,3D ．{}0,1,2,3,4答案：C根据题意求出{}4{|}0,1,2,3M x N x ==∈<，即可求得M N ⋂. 解：由题：{}4{|}0,1,2,3M x N x ==∈<， 所以M N ⋂={}1,3. 故选：C 点评：此题考查集合的交集运算，关键在于根据描述法表示的集合准确得出集合中的元素. 2．已知2sin(π)3α-=-，且π(,0)2α∈-，则cos α=A ．B ．CD ．答案：A本题可以先通过()sin πα-得出sin a 的值，再通过α的取值范围得出cos α是一个正值，最后得出结果． 解：因为()2sin π3α-=-， 所以2sin 3α=-， 因为π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以cos α是一个正值，所以cos α=，故选A ．点评：在进行cos α和sin α的值的相互计算的时候，一定要考虑到计算结果的正负． 3．在下列四个命题中，①若p 是q 的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件； ②若0,0a b d c >><<，则ac bd >；③“2430x x -+≥”是“2x >”的必要不充分条件；④若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则p 为真命题，q 为假命题． 正确的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：A根据充要条件的包含关系可知①正确.如210,210>>-<-<，()()2112⨯-=⨯-，故②错误.2430x x -+≥解得1,3x x ≤≥，与2x >没有包含关系，故③错误.对于④，有可能p 为假命题，q 为真命题，故④错误.综上所述，只有1个正确，故选A . 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则d =（ ） A ．12B ．14C ．4D ．2答案：D由题意结合等差数列通项公式、前n 项和公式列方程即可得解. 解：数列{}n a 为等差数列，4505S a ==，， 设数列{}n a 的公差为d ，∴41514340245S a d a a d ⨯⎧=+⋅=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩. 故选：D. 点评：本题考查了等差数列通项公式与前n 项和公式的基本量运算，考查了运算求解能力，属于基础题.5．已知5MN a b =+，28NP a b =-+，3()PQ a b =-，则（ ） A ．,,M N P 三点共线B ．,,M N Q 三点共线C ．,,N P Q 三点共线D ．,,M P Q 三点共线答案：B利用平面向量共线定理进行判断即可. 解：因为28NP a b =-+,3()PQ a b =-所以()2835NQ NP PQ a b a b a b =+=-++-=+, 因为5MN a b =+,所以MN NQ =由平面向量共线定理可知,MN 与NQ 为共线向量, 又因为MN 与NQ 有公共点N ,所以,,M N Q 三点共线. 故选: B 点评：本题考查利用平面向量共线定理判断三点共线;熟练掌握共线定理的内容是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.6．如图在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（ ）A ．如果0a b >>,那么a b >B ．如果0a b >>,那么22a b >C ．对任意正实数a 和b ，有222a b ab +≥， 当且仅当a b =时等号成立D ．对任意正实数a 和b ，有2a b ab +≥,当且仅当a b =时等号成立 答案：C观察图形,设直角三角形的长直角边为a ,短直角边为b ,由4个三角形的面积和与大正方形的面积的大小关系,得到222a b ab +≥,并判明何时取等即可 解：通过观察,可以发现这个图中的四个直角三角形是全等的,设直角三角形的长直角边为a ,短直角边为b ,如图,整个大正方形的面积大于等于4个小三角形的面积和,即22142a b a b ⎛⎫+≥⨯⋅ ⎪⎝⎭,即222a b ab +≥.当a b =时,中间空白的正方形消失,即整个大正形与4个小三角形重合.其他选项通过该图无法证明, 故选：C 点评：本题考查均值定理的几何法证明,考查数形结合,属于基础题 7．执行如图所示的程序框图，则输出的S =（ ）A ．8B ．9C ．72D ．288答案：C第一次循环，02S k ==，；第二次循环，30284S k =+==，；第三次循环，384726S k =+==，；跳出循环，则输出S 的值为72，故选C.8．在正方形内任取一点，则该点在此正方形的内切圆外的概率为（ ） A ．44π- B ．4π C ．34π- D ．24π-答案：A设正方形边长为a ，则222(2)4(2)4a a P a ππ--==，故选A.9．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，过虚轴端点且平行x 轴的直线交C 于,A B 两点，F 为双曲线的一个焦点，且有AF BF ⊥，则该双曲线的离心率为( )A ．2B 1C 1D 2答案：A令y b =代入双曲线方程，解得x =，不妨设())(),,,,,0A b Bb Fc -，依题意有0AF BF ⋅=，即()(),,0c b c b --⋅--=，化简得223,22c c a a ==. 点评：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，考查垂直关系的转化方法，考查化归与转化的数学思想方法.题目中首先叙述了一条直线和双曲线相交与两点，所以我们根据题意，先求出这两个点的坐标，然后利用两个向量垂直，数量积为零建立方程，将方程化为离心率的形式即可求得离心率.10．已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1a =，2cos 2C c b +=，则ABC 的周长的取值范围是（ ）A ．B ．[1,3]C ．(2,3]D ．(0,3]答案：C由余弦定理求得cos C 代入已知等式可得2()13b c bc +-=，利用基本不等式可求得02b c <+≤，再由三角形任意两边之和大于第三边可得1b c a +>=，即可求得周长的取值范围. 解：2cos 2C c b +=，222222212a b c c b b c bc ab +-∴+=⇒+=+，2()13b c bc ∴+-=，2()2b c bc +≤， 223()1()4b c b c ∴+-≤+，解得02b c <+≤(当且仅当b c =时取等号)，再由三角形任意两边之和大于第三边可得1b c a +>=， 所以23a b c <++≤，则ABC 的周长的取值范围是(2,3]. 故选：C 点评：本题考查余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题.11．如图,三棱锥P ABC -中,PB ABC ⊥平面,BC CA ⊥,且22PB BC CA ===,则三棱锥P ABC -的外接球表面积为A ．3πB ．9πC ．12πD ．36π答案：B∵PB ⊥面ABC ，AC ⊂面ABC ，∴PB AC ⊥，∵BC CA ⊥，PA BC B ⋂=，∴AC ⊥面PBC ，∵PC ⊂面PBC ，∴AC PC ⊥，取PA 的中点O ，则OP OA OB OC ===，∴O 为球心，∵22PB BC CA ===，∴3PA =，∴球半径为32r = ，∴该三棱锥的外接球的表面积为249r ππ=，故选B.12．已知()2e e xx f x x=-，()()0m g x mx m x =+>，对任意()0,x ∈+∞，不等式()()f x g x <恒成立，则m 的取值范围为（ ）A ．()1,+∞B ．e ,e 1⎛⎫+∞⎪-⎝⎭C ．2e ,e 1⎛⎫+∞⎪-⎝⎭D ．()4,+∞答案：B对任意()0,x ∈+∞，不等式()()f x g x <恒成立，即2e e x x mmx x x<+-，参变分离，得()()22e e 1x x x m x x -+<，令()()()22e e 1xx x h x x x =-+，求函数()h x 在给定的区间上的最大值，()max m h x >解得． 解：解：由题意，对任意()0,x ∈+∞，不等式()()f x g x <恒成立，即2e e x x m mx x x<+-，参变分离，得()()22e e 1xx x m x x -+<， 令()()()22e e 1xxx h x x x =-+，()0,x ∈+∞则()()()()()()()()()222222e e 1e 112e 2e e 1x x x xx x x x x x x x x h x x x ⎡⎤+-+--++-⎣⎦'=⎡⎤-+⎣⎦令()0h x '= 解得1x =可知()h x 在(0,1)上递增，(1,)+∞上递减，所以max e()(1)e 1h x h ==- ee 1m ∴>-， 故选B ． 点评：本题考查不等式恒成立问题，利用导数求函数的最值，属于基础题．二、填空题13．复数z 满足43zi i =+（i 是虚数单位），则｜z ｜＝__. 答案：5首先根据复数的运算法则，得到4334iz i i+==-，之后利用复数模的公式求得结果. 解：因为43zi i =+，所以4334iz i i+==-，所以5z ==， 故答案是：5. 点评：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的模，属于简单题目.14．已知直线经过点()2,0P ，且被圆()()22324x y -+-=截得的弦长为则这条直线的方程为______ 答案：2x =或3460x y --=求出圆心与半径，利用圆心到直线的距离、半径、半弦长满足勾股定理，求出弦心距，讨论直线的斜率存在与不存在，利用圆心到直线的距离求解即可. 解：圆心为(3,2)，半径2r，弦长23m=，设弦心距为d ，则由勾股定理222()2m r d =+得1d =. 若斜率不存在，则直线方程为2x =，圆心距直线距离为1，满足题意； 若斜率存在，设直线方程为(4)y k x =-即40kx y k --=，232411k k d k --==+，22441k k k ++=+，解得34k =-，直线方程为3460x y --=. 故答案为：2x =或3460x y --= 点评：本题考查求直线的方程，与圆相关的弦长问题，涉及点到直线的距离公式，属于基础题. 15．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AC 与11B D 所成角为__________．答案：2π首先确定线面垂直，据此确定异面直线所成的角即可. 解：如图所示，连结11A C ，由正方体的性质可知1AA ⊥平面1111D C B A ，则111⊥B D AA ， 底面1111D C B A 为正方形，则1111B D A C ⊥，由于1111AA AC A ⋂=，直线111,AA A C 在平面11AA C 内， 结合线面垂直的判断定理可得：11B D ⊥平面11AA C ，故111B D AC ⊥，据此可得异面直线1AC 与11B D 所成角为2π.点评：本题主要考查线面垂直的判断定理，异面直线夹角的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．设椭圆C 的两个焦点是12F F 、，过1F 的直线与椭圆C 交于P Q 、，若212PF F F =，且1156PF FQ =，则椭圆的离心率为__________． 答案：911设椭圆22121122 100056x y a b F c F c PF FQ a b+-=＝（＞＞），（，），（，），，设 1165PF m FQ m ==，， 由椭圆的定义可得21225QF a QF a m =-=- ，2122PF F F c ==， 可得2263c a m a c m =-∴-=．，① 取1PF 的中点K ，连接2KF ，则2KF PQ ，⊥ 由勾股定理可得222222||PF PKQF QK -=-， 即为2222492564c m a m m （），-=-- 化简即为222210()5()22101533a a c a c a c am m ---=+=+，可得：6a+6c=15a-5c即911a c = 则离心率911c e a ．== 即答案为911．三、解答题17．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了2015年12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如表：该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（1）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆy=bx +a ； （2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得到的线性回归方程是否可靠？()()1122211ˆ()?nni i i i i i nn i i i i x x y y x y nxy bx x x nx====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． 答案：(1)ˆ52y =x ﹣3；(2) 可靠 （1）由数据求出,x y ,代入求解ˆb,再求得ˆa ,即可求出线性回归方程； （2）分别将10x =和8x =代入求出ˆy,判断即可 解：（1）由表中数据,求得()1111312123x =⨯++=,()1253026273y =⨯++=,由公式,可得2222112513301226312275ˆ1113123122b ⨯+⨯+⨯-⨯⨯==++-⨯,5ˆˆ271232a y bx=-=-⨯=-, 所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ52y =x ﹣3（2）当x ＝10时,ˆ52y=⨯10﹣3＝22,|22﹣23|＜2； 同样,当x ＝8时,ˆ52y=⨯8﹣3＝17,|17﹣16|＜2； 所以,该研究所得到的回归方程是可靠的 点评：本题考查求线性回归方程,考查线性回归方程的应用,考查运算能力 18．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，1310a a +=，430S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2log nn na b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 答案：(1) 2nn a =.；(2)()1 222nn T n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. （1）根据等比数列的基本量，列方程求解即可；（2）由（1）可知数列{}n b ，再用错位相减法即可求前n 项和. 解：（1）该数列的公比为q ，公比显然不等于零， 根据题意可得：()41211110,301a q a a q q-+==-解得12,2a q ==，故2nn a =.（2）因为2nn a =，故12nn b n ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭故12n n T b b b =+++211112222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2311111112122222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减可得：2311111111222222n n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111221112212nn n T n +⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭=-⨯ ⎪⎝⎭-1111222nn n T ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()1222nn T n ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.点评：本题考查由基本量计算等比数列的通项公式，以及用错位相减法求前n 项和，属综合基础题.19．三棱锥D ABC -中，08,120,,AB BC CD DA ADC ABC M O ====∠=∠=分别为棱,BC AC 的中点，42DM =．（1）求证：平面ABC ⊥平面MDO ； （2）求点M 到平面ABD 的距离． 答案：（1）证明见解析；（2）217. 试题分析：（1）利用勾股定理有OD OM ⊥，利用等腰三角形中点，有OD AC ⊥，故OD ⊥平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面MDO ；（2）利用等体积法，M ABD D MAB V V --=，即11··33ABD MAB S h S OD ∆=，所以·421MAB ABD S OD h S ∆∆==. 试题解析：（1）由题意：4OM OD ==，∵42DM =，∴090DOM ∠=，即OD OM ⊥． 又∵在ACD ∆中，,AD CD O =为AC 的中点，∴OD AC ⊥． ∵OM AC O ⋂=，∴OD ⊥平面ABC ，又∵OD ⊂平面MDO ，∴平面ABC ⊥平面MDO ． （2）由（1）知OD ⊥平面,4ABC OD =，ABM ∆的面积为011sin12084222ABM S BA BM ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯=， 又∵在Rt BOD ∆中，4OB OD ==，得8BD AB AD ===，∴12ABD S ∆=⨯=． ∵M ABD D MAB V V --=，即11··33ABD MAB S h S OD ∆=，∴·7MAB ABD S OD h S ∆∆==，∴点M 到平面ABD．【考点】1.立体几何证明线面垂直；2.等体积法.20．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点．（1）若直线l 过点F 且8AB =，求直线l 的方程；（2）已知点(2,0)E -，若直线l 不过点E 、不与坐标轴垂直，且AEO BEO ∠=∠，证明：直线l 过定点．答案：（1）1y x =-或1y x =-+；（2）(2,0).（1）法一：焦点(1,0)F ，当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，说明不符合题意，故直线的斜率存在，设直线l 方程为(1)y k x =-与24y x =联立得()2222220k x k x k -+-=，利用韦达定理转化求解1k =±，求解直线方程．法二：焦点(1,0)F ，显然直线l 不垂直于x 轴，设直线l 方程为1x my =+，与24y x=联立得2440y my --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，利用韦达定理以及距离公式，转化求解即可．（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线l 方程为(0)x my b m =+≠与24y x =联立得：2440y my b --=，通过韦达定理以及斜率关系，求出直线系方程，即可推出结果．解：解：（1）法一：焦点(1,0)F ，当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，与抛物线的交点坐标分别为(1,2)，(1,2)-， 此时AB 4=，不符合题意，故直线的斜率存在．设直线l 方程为(1)y k x =-与24y x =联立得()2222220k x k x k -+-=，当0k =时，方程只有一根，不符合题意，故0k ≠.()212222k x x k++=，抛物线的准线方程为1x =-，由抛物线的定义得()()12||||||11AB AF BF x x =+=+++()222228k k+=+=，解得1k =±，所以l 方程为1y x =-或1y x =-+.法二：焦点(1,0)F ，显然直线l 不垂直于x 轴，设直线l 方程为1x my =+,与24y x =联立得2440y my --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，124y y m +=，124y y .||AB ==()241m ==+，由8AB =，解得1m =±， 所以l 方程为1y x =-或1y x =-+. （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线l 方程为(0)x my b m =+≠与24y x =联立得：2440y my b --=，可得124y y m +=，124y y b =-. 由AEO BEO ∠=∠得EAEB k k =，即121222y y x x =-++. 整理得121122220y x y x y y +++=，即121122()2()20y my b y my b y y +++++=， 整理得12122(2)()0my y b y y +++=， 即84(2)0bm b m -++=，即2b =. 故直线l 方程为2x my =+过定点(2,0).点评：本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力． 21．己知函数()2ln f x ax bx x =+-．（Ⅰ）当2a =-时，函数()f x 在()0,∞+上是减函数，求b 的取值范围；（Ⅱ）若方程()0f x =的两个根分别为()1212,x x x x <，求证：1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭. 答案：（Ⅰ）4b ≤；（Ⅱ）证明见解析.（Ⅰ）由题，可将条件进行转化，依题意，()22ln f x x bx x =-+-在()0,+∞上是减函数等价于()140f x x b x'=-+-≤对()0,x ∈+∞恒成立，再采用分离参数法解不等式即可；（Ⅱ）由于方程()0f x =的两个根分别为()1212,x x x x <，故有()()2111122222ln 0ln 0f x ax bx x f x ax bx x ⎧=+-=⎪⎨=+-=⎪⎩，可解得()()112122ln x x x a x x b x =-++⎡⎤⎣⎦，化简()12f x ax b x '=+-并联立前式可得()12111222211ln 1x x x f x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥'=-⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦，再设12x t x =，则12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-+整体可代换为()()21ln 1t g t t t -=-+，求()g t '，根据()g t '的正负即可得证 解： （Ⅰ）()f x 在()0,+∞上递减，()140f x x b x'∴=-+-≤对()0,x ∈+∞恒成立. 即14b x x ≤+对()0,x ∈+∞恒成立，所以只需min 14b x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭.0x ，144x x∴+≥， 当且仅当12x =时取“=”，4b ∴≤.（Ⅱ）由已知，得()()2111122222ln 0ln 0f x ax bx x f x ax bx x ⎧=+-=⎪⎨=+-=⎪⎩， 21112222ln ln x ax bx x ax bx ⎧=+∴⎨=+⎩两式相减， 得()()()11212122lnx a x x x x b x x x =+-+-()()1212x x a x x b =-++⎡⎤⎣⎦. 由()12f x ax b x '=+-知()12122x x f a x x +⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭122b x x -+ 11221212ln x x x x x x =-=-+()1211221221ln x x x x x x x x -⎡⎤-=⎢⎥-+⎣⎦12111222211ln 1x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥-⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦，设()120,1x t x =∈，则12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=+()()21ln 1t g t t t -=-+. ()()2141g t t t '∴=-=+()()22101t t t ->+. ()g t ∴在()0,1上递增，()()10g t g ∴<=. 120x x -<，12111222211ln 1x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥∴-⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦()1210g t x x =>-. 即1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭. 点评：本题考查根据函数增减性利用导数求解参数问题，已知函数零点利用导数求证不等式恒成立问题，运算能力，属于难题22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：221x y +=，将曲线1C 经过伸缩变换2x x y y=''⎧⎨=⎩得到曲线2C ；以直角坐标系原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）写出曲线2C 的极坐标方程；（2）若A ，B 分别是曲线2C 上的两点，且OA OB ⊥，求证：2211OAOB+为定值.答案：（1）2224cos 4sin ρθθ=+；（2）证明见解析（1）将2x x y y ''⎧=⎪⎨⎪=⎩代入221x y +=，求得曲线2C 的直角坐标方程，将cos ,sin x y ρθρθ==，代入取得曲线2C 的极坐标方程；（2）设12(,),(,)2A B πρθρθ+，得到21224cos 4sin ρθθ=+，22224sin 4cos ρθθ=+，由此证得2211OAOB+为定值.解：（1）设曲线2C 上任意一点(,)p x y '''，将2x x y y ''⎧=⎪⎨⎪=⎩代入221x y +=，可得2214x y ''+=，即2214x y +=为曲线2C 的直角坐标方程.将cos ,sin x y ρθρθ==，代入2214x y +=，可得22(cos )(sin )14ρθρθ+=， 即2224cos 4sin ρθθ=+为曲线2C 的极坐标方程.（2）由于OA OB ⊥，可设12(,),(,)2A B πρθρθ+，则21224cos 4sin ρθθ=+，22224sin 4cos ρθθ=+， 于是22222222121111cos 4sin sin 4cos 544OAOBθθθθρρ++++=+==.点评：本题主要考查了曲线的图象变换，曲线的极坐标方程的求法，以及曲线的极坐标方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 23．己知函数()|1||2|f x x x =++-. （1）求不等式()5f x ≤的解集；（2）若()|1|f x k ≤-有解，求实数k 的取值范围. 答案：（1）[2,3]-；（2）4k ≥或2k ≤-(1)由函数的解析式零点分段求解不等式的解集即可；(2)结合(1)的结论首先确定函数()f x 的最小值，然后求解绝对值不等式即可确定实数k 的取值范围. 解：（1）()12f x x x =++-①当1x -时，215x -+.解得：21x -≤≤-. ②当12x -<<时，35<恒成立，即12x -<<， ③当2x ≥时，215x -≤.解得：23x ≤≤. 综合①②③得不等式()5f x 的解集为：[]2,3-. （2）由（1）得，()123f x x x =++-≥. 所以不等式()1f x k ≤-有解等价于13k -≥ 解得：4k ≥或2k ≤- 点评：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。

安徽卓越县中联盟高二年级素质检测数学试卷（文）考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，集合B ＝{x |x ﹣1＞0}，则()R C A B ＝（ ）A ．（1，3）B ．（1，3]C ．[3，+∞）D ．（3，+∞）2．“﹣3＜m ＜4”是“方程22143x y m m +=-+表示椭圆”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要3．函数f （x ）＝2x ﹣3+log 3x 的零点所在区间是（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，+∞）4．已知平面向量(2,1)AB =，(3,3)AC t =-，若//AB AC ，则||BC =（ ）A ．B ．20C D ．25．如图的框图是一古代数学家的一个算法的程序框图，它输出的结果S 表示（ ）A ．0123a a a a +++的值B ．233201000a a x a x a x +++的值 C ．230102030a a x a x a x +++的值D ．以上都不对6．设α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，则下列命题中正确的为( ) A ．若//m n ，n α⊂，则//m α B ．若//m α，n α⊂，则//m n C ．若αβ⊥，m α⊂，则m β⊥D ．若m β⊥，m α⊂，则αβ⊥7.若直线1:60l x ay ++=与023)2(:2=++-a y x a l 平行，则1l 与2l 间的距离为（ ）A.2B.328 C.3D.338 8．将函数()cos(3)6f x x π=+图象上所有的点向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则()3g π=（ ）A ．2π B ．-C ．12D ．12-9．在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ） A ．36πB ．28πC ．20πD ．12π10．动直线:220()l x my m m R ++-=∈与圆22:2440C x y x y +-+-=交于点A ，B ，则弦AB 的最短为( )A ．2B ．C ．6D ．11．将棱长为2的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为（ ）A ．43πB ．3C D ．6π 12．已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（ ）A BC ．D ．2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知点A （﹣2，﹣1），B （2，2），C （0，4），则点C 到直线AB 的距离为 ． 14．已知圆C 的圆心在直线x ﹣y ＝0上，过点（2，2）且与直线x +y ＝0相切，则圆C 的方程是 ．15．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，且2PF垂直x 轴，若直线1PF ，则该椭圆的离心率为 ．16．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面111A B C ，底面为直角三角形，90ACB ∠=︒，2AC =，1BC =，1CC =P 是1BC 上一动点，则1A P PC +的最小值是 ．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．在△ABC 中，a 2+c 2＝b 2+ac ． （Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）若1cos 7A =，a ＝8，求b 以及S △ABC 的值．18．有关部门要了解甲型11H N 流感预防知识在学校的普及情况，命制了一份有10道题的问卷到各学校做问卷调查．某中学A 、B 两个班各被随机抽取5名学生接受问卷调查，A 班5名学生得分为：5、8、9、9、9，B 班5名学生得分为：6、7、8、9、10．（Ⅰ）请你判断A 、B 两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些，并说明你的理由； （Ⅱ）求如果把B 班5名学生的得分看成一个总体，并用简单随机抽样方法从中抽取样本容量为2的样本，求样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于1的概率．19．已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0，1]，不等式()22log 123x m m +-≥-恒成立；命题q ：存在x ∈[﹣1，1]，使得112xm ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭成立． （Ⅰ）若p 为真命题，求m 的取值范围；（Ⅱ）若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求m 的取值范围．20．在正项等比数列{}n a 中，11a ＝且35423a a a ，，成等差数列. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }满足n nnb a =，求数列{b n }的前n 项和S n ．21．如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．（Ⅰ）求证：//PA 平面BDE ； （Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAC ； （Ⅲ）若2AB =，PB =B CDE -的体积．22．如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点41(,)33M ，且点M 到椭圆的两焦点的距离之和为．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若R ，S 是椭圆C 上的两个点，线段RS 的中垂线l 的斜率为12且直线l 与RS 交于点P ，O 为坐标原点，求证：P ，O ，M 三点共线．安徽卓越县中联盟高二年级素质检测数学试题卷（文）参考答案一、选择题二、填空题13.145；14.()()22112x y -+-=；；16解析：连1A B ，沿1BC 将1CBC ∆展开与△11A BC 在同一个平面内，如图所示，连1A C ，则1A C 的长度就是所求的最小值．在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面111A B C ，底面为直角三角形，90ACB ∠=︒，2AC =，1BC =，1CC =12BC ∴=，112AC =，1A B =，1BC =，1CC =即1190AC B ∠=︒，130CC B ∠=︒，119030120ACC ∴∠=︒+︒=︒，由余弦定理可求得22211222cos120432272AC =+-⨯︒=++⨯=+1A P PC ∴+三、解答题 17.解：（1）由余弦定理及已知得：cos B ＝＝;.….….….…5分（2）因为A ，B 为三角形内角，所以sin A ＝＝，sin B ＝＝，由正弦定理得：b ＝＝＝7，又∵cos A ＝＝．∴c 2﹣2c ﹣15＝0，解得 c ＝5 （c ＝﹣3舍）． ∴S △ABC ＝bc •sin A ＝．.….….….…10分18.解：（1）B 班的问卷得分要稳定一些，理由如下：5899985A x ++++==，67891085B x ++++==，∴222222(58)(88)(98)(98)(98) 2.45AS -+-+-+-+-==，222222(68)(78)(88)(98)(108)25BS -+-+-+-+-==，A B x x =，22A B S S >，B ∴班的问卷得分要稳定．.….….….…6分（2）记“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于1”为事件M所有的基本事件分别为：(6,7)、(6,8)、(6,9)、(6,10)、(7,8)、(7,9)、(7,10)、(8,9)、(8,10)、(9,10)，共10个．事件M 包含的基本事件分别为：(6,7)、(6,8)、(8,10)、(9,10)，共4个 由于事件M 符合古典概型，则42()105P M ==．.….….….…12分 19.解：（1）对任意x ∈[0，1]，不等式恒成立，当x ∈[0，1]，由对数函数的性质可知当x ＝0时，y ＝log 2（x +1）﹣2的最小值为﹣2， ∴﹣2≥m 2﹣3m ，解得1≤m ≤2．因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[1，2]．.….….….…6分 （2）存在x ∈[﹣1，1]，使得成立，∴．命题q 为真时，m ≤1．∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p ，q 中一个是真命题，一个是假命题． 当p 真q 假时，则解得1＜m ≤2； 当p 假q 真时，，即m ＜1．综上所述，m 的取值范围为（﹣∞，1）∪（1，2]．.….….….…12分 20.解：（1）∵∴∴q ＝2，∵a n ＞0，∴q ＝2；.….….….…5分（2）∵，∴，①，②①﹣②得＝，∴．.….….….…12分21.证明：（1）ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点． 连结AC ，BD ，交于点O ，连结EO ，则//EO PA ，EO ⊂平面BDE ，PA ⊂/平面BDE ， //PA ∴平面BDE ．.….….….…4分（2）ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥，PO ⊥底面ABCD ，PO BD ∴⊥， POAC O =，BD ∴⊥平面PAC ．.….….….…8分（3）2AB =，PB =，12BO BD ∴==2PO =，∴点E 到平面BDC 的距离112122d PO ==⨯=， ∴三棱锥B CDE -的体积：11121223323B CDE E BDC BDC V V d S --∆==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=．.….….….…12分22.（1）解：点M到椭圆的两焦点的距离之和为∴2a =a =C 经过点41(,)33M ，∴222241()()331a b+=， 解得21b =．∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=；.….….….…5分（2）证明：线段RS 的中垂线l 的斜率为12，∴直线RS 的斜率为2-， ∴可设直线RS 的方程为2y x m =-+．联立22212y x m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2298220x mx m -+-=． 设点1(R x ，1)y ，2(S x ，2)y ，0(P x ，0)y ，∴12121212882,222()222999m m m x x y y x m x m x x m m +=+=-+-+=-++=-+=， 则1212004,2929x x y y m mx y ++====．0014y x =，∴0014y x =，∴点P 在直线14y x =上， 又点41(0,0),(,)33O M 也在直线14y x =上，P ∴，O ，M 三点共线．.….….….…12分。

安徽卓越县中联盟高二年级素质检测数学试卷（理）考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，集合B ＝{x |x ﹣1＞0}，则()R C A B ＝（ ）A ．（1，3）B ．（1，3]C ．[3，+∞）D ．（3，+∞）2．“﹣3＜m ＜4”是“方程22143x y m m +=-+表示椭圆”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要3．函数f （x ）＝2x﹣3+log 3x 的零点所在区间是（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，+∞）4．已知平面向量(2,1)AB =，(3,3)AC t =-，若//AB AC ，则||BC =（ ）A ．B ．20C D ．25．如图的框图是一古代数学家的一个算法的程序框图，它输出的结果S 表示（ ）A ．0123a a a a +++的值B ．233201000a a x a x a x +++的值 C ．230102030a a x a x a x +++的值D ．以上都不对6.若直线1:60l x ay ++=与023)2(:2=++-a y x a l 平行，则1l 与2l 间的距离为( )A. 2B.328 C.3D.338 7．将函数()cos(3)6f x x π=+图象上所有的点向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则()3g π= ( )A ．2π B ．-C ．12D ．12-8．如图，平面直角坐标系中，曲线（实线部分）的方程可以是（ ） A ．()()22110x y x y ----=B．()221+0x y -=C ．()10x y --= D．0=9．在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ） A ．36πB ．28πC ．20πD ．12π10．若直线:10l a xb y ++=始终平分圆22:4210M x y x y ++++=的周长，则22(2)(2)a b -+-的最小值为( )AB ．5C．D ．1011．已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（ ） ABC．D ．212．已知正四面体的中心与球心O重合，正四面体的棱长为，则正四面体表面与球面的交线的总长度为( ) A ．4π B． C．D ．12π二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知点A （﹣2，﹣1），B （2，2），C （0，4），则点C 到直线AB 的距离为 .14．已知圆C 的圆心在直线x ﹣y ＝0上，过点（2，2）且与直线x +y ＝0相切，则圆C的方程是 .15．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点,M N 分别是棱11A D ,CD 的中点，点P 在平面 ABCD 内，点Q 在线段BN上，若PM =，则PQ 长度的最小值为 .16.已知椭圆22:14x C y +=上的三点C B A ,,，斜率为负数的直线1BC 与y 轴交于M ，若原点O 是ABC ∆的重心，且ABM ∆与CMO ∆的面积之比为23，则直线BC 的斜率为 .三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．在△ABC 中，a 2+c 2＝b 2+ac ．（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）若1cos 7A =，a ＝8，求b 以及S △ABC 的值．18．已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0，1]，不等式()22log 123x m m +-≥-恒成立；命题q ：存在x ∈[﹣1，1]，使得112xm ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭成立． （Ⅰ）若p 为真命题，求m 的取值范围；（Ⅱ）若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求m 的取值范围．19．在正项等比数列{a n }中，a 1＝1且2a 3，a 5，3a 4成等差数列.（Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }满足n nnb a =，求数列{b n }的前n 项和S n ．20.我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了节约用水，市民用水拟实行阶梯水价．每人月用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：用水量(立方米)（Ⅰ）如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/高二数学（理） 第3页 (共4页)立方米，w 至少定为多少？（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当w =3时，试完成该10000位居民该月水费的频率分布表，并估计该市居民该月的人均水费．21．如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC，AB AD ⊥，矩形EDCF ⊥平面ABCD ，且2,1AB BC DE AD ====.（Ⅰ）求证：AB AE ⊥； （Ⅱ）求证：DF ∥平面ABE ； （Ⅲ） 求二面角B EF D --的正切值.22．已知曲线C 上的任意一点到两定点()11,0F -、()21,0F 距离之和为4，直线l 交曲线C 于,A B 两点，O 为坐标原点．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）若l 不过点O 且不平行于坐标轴，记线段AB 的中点为M ，求证：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（Ⅲ）若直线l 过点(0,2)Q ，求OAB ∆面积的最大值，以及取最大值时直线l 的方程．AC安徽卓越县中联盟高二年级素质检测数学试题卷（理）参考答案一、选择题二、填空题13.145；14.()()22112x y -+-=；；16..三、解答题 17.解：（1）由余弦定理及已知得：cos B ＝＝;.….….….…5分（2）因为A ，B 为三角形内角，所以sin A ＝＝，sin B ＝＝，由正弦定理得：b ＝＝＝7，又∵cos A ＝＝．∴c 2﹣2c ﹣15＝0，解得 c ＝5 （c ＝﹣3舍）． ∴S △ABC ＝bc •sin A ＝．.….….….…10分18.解：（1）对任意x ∈[0，1]，不等式恒成立，当x ∈[0，1]，由对数函数的性质可知当x ＝0时，y ＝log 2（x +1）﹣2的最小值为﹣2， ∴﹣2≥m 2﹣3m ，解得1≤m ≤2．因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[1，2]．.….….….…6分 （2）存在x ∈[﹣1，1]，使得成立，∴．命题q 为真时，m ≤1．∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p ，q 中一个是真命题，一个是假命题． 当p 真q 假时，则解得1＜m ≤2；当p 假q 真时，，即m ＜1．综上所述，m 的取值范围为（﹣∞，1）∪（1，2]．.….….….…12分 19.解： （1）∵∴∴q ＝2，∵a n ＞0，∴q ＝2；.….….….…6分（2）∵，∴，①，②①﹣②得＝，∴．.….….….…12分20.解：【解析】（I ）由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间[]0.5,1，(]1,1.5，(]1.5,2，(]2,2.5，(]2.5,3内的频率依次为0.1，0.15，0.2，0.25，0.15．-------4分所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%． 依题意，w 至少定为3．--------6分（II ）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：---------9分根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：40.160.1580.2100.25120.15170.05220.05270.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 10.5=（元）．--------12分21. 解：（Ⅰ）矩形平面，且平面平面= ,又,平面.平面 .又平面，且.平面.平面，………4分（Ⅱ）取中点,连接,由已知条件易得及为平行四边形，于是////,由于==,故为平行四边形.//面//平面.又//面//平面平面//平面. 又平面∥平面………8分（III）过点B 作,作，连接.由矩形平面，得平面,又所以就是所求二面角的平面角.在中，易知.故二面角的正切值为 . ………12分22.（1）由题意知曲线Γ是以原点为中心，长轴在x 轴上的椭圆，设其标准方程为，则有2,1a c==，所以2223b a c=-=，………4分（2）证明：设直线l的方程为()0,0y kx b k b=+≠≠，设()()()112200,,,,,A x yB x y M x y.可得()223412x kx b++=，即()2223484120k x kbx b+++-=∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积. ………8分（3）点()()1122,,,A x y B x y ，由可得()22341640k x kx +++=，>0∆，解得设()241,0,k t t -=∈+∞，当4t =时，AOB S ∆取得最大值此时2414k -=，即………12分。

舒城中学2019—2020学年度第二学期第一次统考高二文数总分：150分 时间：120分钟本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题，共90分，满分150分，考试时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一.选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的)1.设集合{}2|log (2)A x y x ==-，{}2|320B x x x =-+<，则A B =（ ）A. (,1]-∞B. (,1)-∞C. (2,)+∞D. [2,)+∞ 【答案】A【解析】【分析】 求解对数函数的定义域以及二次不等式，解得集合,A B ，再求集合的补运算即可.【详解】要使得对数函数有意义，则20x ->，解得2x <；由2320x x -+<，解得()1,2x ∈；故A B =(,1]-∞.故选：A.【点睛】本题考查对数函数定义域的求解，二次不等式的求解，集合的补运算，属综合基础题.2.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若5940,126S S ==，则7S =A. 66B. 68C. 77D. 84【答案】C【解析】【分析】由等差数列求和的性质，结合等差数列通项公式，求得首项与公差；再将7S 化简即可求解．【详解】根据等差数列的求和公式5395540,9126S a S a ====化简得35814a a =⎧⎨=⎩，根据等差数列通项公式得1128414a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解方程组得 123a d =⎧⎨=⎩ 74177(3)S a a d ==+()7233=⨯+⨯77=所以选C【点睛】本题考查了等差数列通项公式、求和公式的简单应用，利用等差数列的性质可简化运算过程，属于基础题．3.已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 A. a b c >> B. b a c >> C. c b a >> D. c a b >>【答案】D【解析】【详解】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a ,b ,c 的大小关系.详解：由题意可知：3337392log log log <<，即12a <<，103111044⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，即01b <<， 133317552log log log =>，即c a >，综上可得：c a b >>.本题选择D 选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．4.执行如图所示的程序框图，输出的结果为( )A. 201921-B. 201922-C. 202022-D. 202021-【答案】C【解析】【分析】 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量2320192222S =+++⋯+的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解．【详解】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量2320192222S =+++⋯+的值，由于()2019232019202021222222212S -=+++⋯+==--． 故选C ．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.函数2sin 1x y x x =++的部分图像大致为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合函数的性质，特值及选项进行排除.【详解】当1x =时，2sin12y =+>，可以排除A,C 选项； 由于2sin x y x x =+是奇函数，所以2sin 1x y x x =++关于点(0,1)对称，所以B 对， D 错. 故选：B.【点睛】本题主要考查函数图象的识别，由解析式选择函数图象时，要注意特值法的使用，侧重考查直观想象的核心素养.6.将自然数按如下规律排数对：(0,1)，(1,0)，(0,2)，(1,1)，(2,0)，(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)，(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，…，则第60个数对是（ ）A. (6,4)B. (5,5)C. (4,6)D. (3,7)【答案】B【解析】分析：先由所给数对总结规律，再确定第60个数对.详解：通过观察可以发现：两数和为1的数对有2个，两数和为2的数对有3个，两数和为3的数对有4个，⋅⋅⋅，以此类推，两数和为n 的数对有1n +个，因为231054++⋅⋅⋅+=，则第55个到65个数对的两数之和为10，第55个到60个数对依次为：(0,10),(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5)，即第60个数对为(5,5).点睛：本题考查归纳推理、等差数列等知识，意在考查学生的数学归纳猜想能力和基本运算能力，归纳推理的一般步骤是：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）.7.已知某8个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为x ，方差为2s ，则（ ） A. 5x =，23s > B. 5x =，23s < C. 5x >，23s < D. 5x >，23s >【答案】B【解析】分析：利用平均数与方差的定义直接计算即可求解.详解：因为某8个数据的平均数为5，方差为3，现有加入一个现数据5，此时这9个数的平均数为x ，方差为2s ， 则2285583(55)85,3993x s ⨯+⨯+-====<，故选B.点睛：本题主要考查了数据的平均数和方差的计算，其中熟记数据的平均数与方差的计算公式和合理应用是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及运算求解能力.8.已知函数()()2sin 0f x x ωω=>在区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上是增函数，其在区间[]0,π上恰好取得一次最大值2，则ω的取值范围是（ ） A. 13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 15,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 35,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 5,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】【分析】 结合三角函数单调性，最值与周期T 的关系，建立不等式进行求解即可.【详解】解：令22,22k x k k Z πππωπ-+≤≤+∈，得22,22k k x k Z ππππωωωω-+≤≤+∈， 因为函数()()2sin 0f x x ωω=>在区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上是增函数， 所以23232ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，得304ω<≤， 又函数()()2sin 0f x x ωω=>在区间[]0,π上恰好取得一次最大值2， 则222ππππωωω≤<+，解得1522ω≤<， 综合的：1324ω≤≤. 故选：A.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用单调性，最值与周期的关系是解决本题的关键.9.已知圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x 上，线段AB 为圆C 的直径，则PA PB ⋅的最小值为（）A. 2B. 52C. 3D. 72【答案】B【解析】【分析】将PA PB ⋅转化为2||2PC -，利用圆心到直线的距离求得||PC 的取值范围求得PA PB ⋅的最小值.【详解】()()()()PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA ⋅=+⋅+=+⋅-2222||||||222PC CA PC =-=-≥- ⎪⎝⎭52=.故选B. 【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1B C 的中点，F 是棱11C D 上的动点，若点P 为线段1BD 上的动点，则PE PF +的最小值为（ ）5212 632 【答案】A【解析】【分析】连接1BC ,得出点,,P E F 在平面11BC D 中，问题转化为在平面内直线1BD 上取一点P ，求点P 到定点E 的距离与到定直线的距离的和的最小值问题，建立平面直角坐标系，问题转化为点E 关于直线1BD 到直线11C D 的距离，从而可得结果.【详解】图1连接1BC ,则11BC B C E =，点,,P E F 在平面11BC D 中， 且111111,1,2BC C D C D BC ⊥==，如图1所示，在11Rt BC D ∆中，以11C D 为x 轴，1C B 为y 轴，建立平面直角坐标系，如图2所示，图2()(121,0,2,0,2D B E ⎛ ⎝⎭,设点E 关于直线1BD 的对称点为'E ，1BD 的方程为12x +=，① '222EE k ∴==-， ∴直线'EE 的方程为22y x =+，②由①②组成方程组，解得133x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 直线'EE 与1BD的交点1,33M ⎛ ⎝⎭，∴对称点2',36E ⎛ ⎝⎭，'PE PF PE PF ∴+=+，最小值为'E 到直线11C D 的距离为6，故选A. 【点睛】求最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.11.小赵和小王约定在早上7:00至7:15之间到某公交站搭乘公交车去上学，已知在这段时间内，共有2班公交车到达该站，到站的时间分别为7:05，7:15，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（ ） A. 13 B.49 C. 59 D. 23【答案】C【解析】【分析】设小赵到达汽车站的时刻为x ，小王到达汽车站的时刻为y ，根据条件建立二元一次不等式组，求出对应的区域面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【详解】如图，设小赵到达汽车站的时刻为x ，小王到达汽车站的时刻为y ，则0≤x≤15，0≤y≤15， 两人到达汽车站的时刻（x ，y ）所对应的区域在平面直角坐标系中画出（如图所示）是大正方形．将2班车到站的时刻在图形中画出，则两人要想乘同一班车，必须满足{（x ，y ）|0505x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，或515515x y ≤⎧⎨≤⎩＜＜}，即（x ，y ）必须落在图形中的2个带阴影的小正方形内，则阴影部分的面积S=5×5+10×10=125， 则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率P=1251515⨯=59， 故选：C【点睛】本题主要考查几何概型的概率公式的应用，根据条件求出对应区域的面积是解决本题的关键． 12.如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. 23y x =±B. 2y x =±C. 3y x =D. 2y x =【答案】A【解析】【分析】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由b y x a=±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =，所以2212||46413F F =+=13c ⇒=因为2521a x a =-=⇒=，所以b =所以双曲线的渐近线方程为by x a=±=±. 【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.已知向量a 与b 的夹角是3π，1a =，12b =，则向量–2a b 与a 的夹角为________． 【答案】3π【解析】 【分析】由向量夹角公式求得向量夹角的余弦，结合向量夹角的范围，即可得解. 【详解】∵1,,|1,|32a b a b π===，∴()2122cos12132a a b b a a π-⋅=-=-⨯⨯1122⨯=，222111(2)4cos 4141413224a b a b a b π-=-+=-⨯⨯⨯+⨯=，∴21a b -=，∴(2)1cos 2,22a b a a b a a b a-⋅-==-，∴向量2a b -与a 的夹角为3π．故答案为3π． 【点睛】本题考查向量夹角公式，准确计算是关键，是基础题.14.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =__________． 【答案】1n- 【解析】原式为1111n n n n n n n a S S S S S S ++++=⇔-=，整理为：1111n n S S +-= ，即1111n n S S +-=-，即数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以()()1111nn n S =-+--=- ，即1n S n=-.【点睛】这类型题使用的公式是11{n n n S a S S -=- 12n n =≥ ，一般条件是()n n S f a = ，若是消n S ，就需当2n ≥ 时构造()11n n S f a --= ，两式相减1n n n S S a --= ，再变形求解；若是消n a ，就需在原式将n a 变形为：1n n n a S S -=- ，再利用递推求解通项公式.15.已知边长为ABCD 中，60BAD ∠=，BD 中点为O ，将其沿对角线BD 折叠使其变为120AOC ∠=的四面体ABCD ，则四面体的外接球的表面积为______ 【答案】28π 【解析】 【分析】若设外接球的球心为E ，则由球的对称性可知60EOC ∠=，再利用等边三角形的性质和勾股定理，即可求出球的半径，进而求出球的表面积【详解】解：如图，设外接球的球心为E ，连接,,AE OE CE ,过E 作EF ⊥平面BCD ，垂足为F ，因为四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=，所以BCD 为等边三角形，F 为等边三角形BCD 的中心，即F 在OC 上， 因为120AOC ∠=，,,AE CE OE OE AO CO ===, 所以 AOE △≌COE ，所以60COE AOE ∠=∠=︒,因为AB =3OC =，则123=13233OF FC =⨯=⨯=，，所以EF=所以球的半径EC ==所以四面体的外接球的表面积为2428ππ⨯=故答案为：28π【点睛】此题考查了四面体外接球的表面积只的求法，考查推理能力，运算能力，空间想象能力，数形结合的思想，属于中档题. 16.已知函数()3xx1f x =x 2x+e -e-，其中e 是自然数对数的底数，若()()2f a-1+f 2a 0≤，则实数a 的取值范围是_________． 【答案】1[1,]2- 【解析】因为31()2e ()ex x f x x x f x -=-++-=-，所以函数()f x 是奇函数， 因为22()32e e 322e e 0x x x x f 'x x x --=-++≥-+⋅，所以数()f x 在R 上单调递增，又2(1)(2)0f a f a -+≤，即2(2)(1)f a f a ≤-，所以221a a ≤-，即2210a a +-≤， 解得112a -≤≤，故实数a 的取值范围为1[1,]2-． 点睛:解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数()f x 的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在函数()f x 的定义域内．三．解答题(本大题共6小题，共70分)17.2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占23，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额．（1）完成22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没兴趣合计男 55 女 合计（2）已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至少有2人对冰球有兴趣的概率． 附表：20()P K k ≥ 0.1500.100 0.050 0.025 0.0100k2.072 2.7063.841 5.024 6.63522()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）有（2）710p = 【解析】 【分析】（1）根据题中数据得到列联表，然后计算出2K ，与临界值表中的数据对照后可得结论．（2）由题意得概率为古典概型，根据古典概型概率公式计算可得所求． 【详解】（1）根据已知数据得到如下列联表 有兴趣 没有兴趣 合计 男 45 10 55 女 30 15 45 合计 7525100由列联表中的数据可得因为，所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”．(2)记5人中对冰球有兴趣的3人为A 、B 、C ，对冰球没有兴趣的2人为m 、n ，则从这5人中随机抽取3人，所有可能的情况为：（A,m,n ）,（B,m,n ）,（C,m,n ）,（A,B,m ）, （A,B,n ）,（B,C,m ）,（B,C,n ）,（A,C,m ）,（A,C,n ）,（A,B,C ），共10种情况， 其中3人都对冰球有兴趣的情况有（A,B,C ），共1种，2人对冰球有兴趣的情况有（A,B,m ）,（A,B,n ）,（B,C,m ）,（B,C,n ）,（A,C,m ）,（A,C,n ），共6种， 所以至少2人对冰球有兴趣的情况有7种， 因此，所求概率为710P =． 【点睛】由于独立性检验有其独特的作用，其原理不难理解和掌握，但解题时需要注意计算的准确性和判断的正确性，对独立性检验的考查多以解答题的形式出现，一般为容易题，多与概率、统计等内容综合命题．18.如图，四边形AOCB 中，0OA OC ⋅=，2AC =，1BC =.（1）若23AB =ABC S ∆. （2）若5AB =OB 长度的取值范围.【答案】（123；（2）(21⎤⎦.【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出cos ACB ∠，进而求得sin ACB ∠，然后利用三角形的面积公式可求出ABC S ∆的值；（2）设ACO θ∠=，可知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，以及2cos OC θ=，然后在OBC ∆中利用余弦定理将2OB 表示为θ的三角函数，并利用三角恒等变换思想化简，利用正弦函数的基本性质可求出OB 的取值范围.【详解】（1）在ABC ∆中，AB =2AC =，1BC =， 由余弦定理得22211cos 212AC BC AB ACB AC BC +-∠==⋅，sin 12ACB ∴∠==，因此，11sin 2122ABC S AC BC ACB ∆=⋅⋅∠=⨯⨯=；（2）2AC =，1BC =，AB =222AC BC AB ∴+=，2ACB π∴∠=.设ACO θ∠=，可知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且cos 2cos OC AC θθ==， 在OBC ∆中，22222cos 4cos 14cos sin 2OB OC BC OC BC πθθθθ⎛⎫=+-⋅+=++ ⎪⎝⎭2sin 22cos 23234πθθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，52444πππθ∴<+<，则sin 2124πθ⎛⎫-<+≤ ⎪⎝⎭，213OB ∴<≤+11OB <≤.因此，OB 的取值范围是(1⎤⎦.【点睛】本题考查三角形面积的计算，同时也考查了三边形边长取值范围的计算，解题的关键就是找出一个合适的角，将所求边长表示以此角为自变量的三角函数，转化为三角函数的值域问题来求解，考查运算求解能力，属于中等题.19.如图，四棱锥S ABCD -中，SD ⊥底面ABCD ，//AB CD ，AD DC ⊥，1AB AD ==，2DC =，2SD =，E 为棱SB 的中点．（1）求证：SC ⊥平面ADE ； （2）求点B 到平面AEC 的距离， 【答案】(1)见证明；(2) 2211h = 【解析】 【分析】（1）取BC 的中点F ，则//EF SC ，通过勾股证得AE EF ⊥即得AE SC ⊥结合AD SC ⊥即可得证.（2）先求AEC S ∆再求ABC S ∆根据体积公式B AEC E ABC V V --=计算即可． 【详解】解：（1）取BC 的中点F ，连结EF ，AF .如图：因SD ⊥底面ABCD 所以SD AD ⊥,又因为AD DC ⊥且SDDC D =,所以AD ⊥平面SDC ，得AD SC ⊥.又因为CD ⊥面ASD 且//AB CD 所以AB ⊥面ASD ， 在Rt ∆SAD 中2,1,3SD AD SA ===在Rt ∆SAB 中1,2AB SB ==,F 为BC中点，故112AE SB ==，在t R SCD ∆中2,2,6SD CD SC ===,所以162EF SC ==， 在ABD ∆中，1,2AB AD BD ===,故45ABD ∠=,在CBD ∆中，2BD BC ==,故90DBC ∠=,在ABF ∆中，21,,135AB BF ABF ==∠= ,由余弦定理知10AF =， 在AEF ∆中，1AE =,62EF =,10AF =满足勾股定理所以AE EF ⊥，从而AE SC ⊥.所以SC ⊥平面ADE .（2）连接BD 并取中点O ,连接EO ，OC ,过O 作OM CD ⊥交CD 于M 点，过O 作ON AD ⊥交AD 于N 点，如图：在t R OMC ∆中，1122OM ND AD ===,1122DM NO AB ===,13222MC CD DM =-=-= ∴2222131022OC OM MC ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭SD ⊥底面ABCD 且E 为棱SB 的中点∴ EO ⊥底面ABCD 即EOC ∆为直角三角形即2222210322EC OE OC ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在AEC ∆中1AE =，5AC =3EC =由余弦定理知cos 23E =即11sin 23E =∴111111sin 1322423AEC S AE EC E ∆=⨯⨯⨯=⨯=. 1121sin135=12222ABC S AB BC ∆=⨯⨯⨯，且B AEC E ABC V V --=，∴111332=⨯，解得h =. 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，属于中档题．20.椭圆22:14x C y +=，,A B 是椭圆C 的左右顶点，点P 是椭圆上的任意一点.（1）证明：直线PA ，与直线PB ，斜率之积为定值.（2）设经过(1,0)D 且斜率不为0的直线l 交椭圆于,M N 两点，直线AM 与直线BN 交于点Q ，求证：OA OQ ⋅为定值.【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设点00(,)P x y ，结合直线的斜率公式和椭圆的方程，代入求得直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值.（2）设直线l 的方程为:1l x ky =+，联立方程组，得到12122223,44k y y y y k k +=-=-++，进而求得1212332y y ky y +=，再联立直线,AM BN 的方程组，求得点Q 的横坐标，结合向量的数量积的公式，即可求解.【详解】（1）由题意，设点00(,),(2,0),(2,0)P x y A B -, 则直线PA 的斜率为002PA y k x =+ ，直线PB 的斜率为002PB y k x =-， 所以20002000224PA PBy y y k k x x x ⋅=⋅=+--， 又由点00(,)P x y 在椭圆上，可得220014x y +=，即2220004144x x y -=-=， 所以2020144PA PBy k k x ⋅==--， 即直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值.（2）由直线l 过点(1,0)D ，所以直线l 的方程为:1l x ky =+，联立方程组22114x ky x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22(4)230k y ky ++-=， 设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122223,44k y y y y k k +=-=-++， 则121223y y ky y +=，即1212332y y ky y +=， 又由直线11:(2)2y AM y x x =++，直线22:(2)2y BM y x x =--， 联立方程组，可得1212(2)(2)22y y x x x x +=-+-， 整理得21211221212121211211212332323221y x y ky ky y y ky y ky y y x x x y ky y ky y y ky y y ++++-+=⋅=⋅===-----， 解得4x =，即点0(4,)Q y又由向量0(2,0),(4,)OA OQ y =-=， 所以02408y OA OQ =-⨯+⨯=-⋅（定值）， 即OA OQ ⋅为定值.【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式，直线与椭圆的位置关系的综合应用，其中解答中直线方程与椭圆方程联立，合理利用根与系数的关系式是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题. 21.已知函数()()ln 1af x x x a a R x=+-+-∈ . （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若存在1x >，使()1xf x x x-+<成立，求整数a 的最小值. 【答案】（1）见解析（2）5. 【解析】试题分析：(1)求导，分类讨论110044a a a ≤<<≥、、时三种情况的单调性(2)分离含参量ln 211x x x a x +->-，构造新函数，()ln 211x x x g x x +-=-，求导算出零点的范围，从而求出结果 解析：（1）由题意可知，0x >，()22211a x x a f x x x x-+='-=--， 方程20x x a -+-=对应的14a ∆=-，当140a ∆=-≤，即14a ≥时，当()0,x ∈+∞时，()0f x '≤， ∴()f x 在()0,+∞上单调递减；当104a <<时，方程20x x a -+-=，且0<<，此时，()f x 在上()0f x '>，函数()f x 单调递增，在110,22⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭（，），上()0f x '<，函数()f x 单调递减；当0a ≤时，102<，102>，此时当(),0x f x ⎛∈> ⎝'⎭，()f x 单调递增，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；综上：当0a ≤时，x ⎛∈ ⎝⎭，()f x 单调递增，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时， ()f x 单调递减；当104a <<时，()f x 在122（，上单调递增，在0⎫+∞⎪⎪⎝⎭（上单调递减；当14a ≥时，()f x 在()0,+∞上单调递减； （2）原式等价于()1ln 21x a x x x ->+-，即存在1x >，使ln 211x x x a x +->-成立． 设()ln 211x x x g x x +-=-，1x >， 则()()2ln 2'1x x g x x --=-，设()ln 2h x x x =--，则()1110x h x x x='-=->，∴()h x 在()1,+∞上单调递增． 又()()33ln321ln30,44ln4222ln20h h =--=-=--=-，根据零点存在性定理，可知()h x 在()1,+∞上有唯一零点，设该零点为0x ， 则()03,4x ∈，且()000ln 20h x x x =--=，即002ln x x -=，∴()0000min 0ln 2111x x x g x x x +-==+- 由题意可知01a x >+，又()03,4x ∈，a Z ∈，∴a 的最小值为5.点睛：本题考查了运用导数求函数的单调性，在求解过程中结合判别式和定义域需要进行分类讨论，在求解含有参量的恒成立问题时，可以采用分离参量的方法，不过需要注意用零点的存在定理进行判断零点范围，然后得出结果．22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是222813(1)1k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（k 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()4πρθ+=（1）曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的取值范围． 【答案】（1）C ：()2213169x y y +=≠-，:6l x y -=；（2）[,22【解析】（1）联想二倍角公式化弦为切的结构特征，即2222tan 1tan sin 2,cos 21tan 1tan a ααααα-==++，结合22sin 2cos 1αα+=，所以将参数方程化为222241131x k k y k k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，即可化为普通方程；cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos x θ=，cos y ρθ=代入，即可化为直角坐标方程； （2）将椭圆方程化为参数方程，利用辅助角公式，结合余弦函数的有界性，即可得出结论.【详解】解：（1）222241:131x k k C y k k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，平方相加可得221169x y +=， 又(]2633,31y k =-+∈-+，C 的普通方程为()2213169x y y +=≠-. cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin 6ρθρθ-=， 将cos x θ=，cos y ρθ=代入即可得到:6l x y -=.（2）将曲线C 化成参数方程形式为4cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），则d ==，其中3tan 4ϕ=d ≤≤. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，注意消参方法，考查极坐标方程化直角坐标方程，应用参数方程求点到直线距离的范围，属于中档题.23.已知a>0，b>0，c>0，且a+b+c=3. 证明:（1）a 2+b 2+c 2≥3；（2） 1113a b c++≥ 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）等式两边平方，利用均值不等式计算得到证明.（2）变换11113a b c a b c a b c a b c a b c ++++++⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，展开利用均值不等式得到证明. 【详解】（1）3a b c ++=，则()()()2222222222229222a b c ab ac bc a b c a ba cbc =+++++≤++++++++， 故2223a b c ++≥，当1a b c ===时等号成立.（2）11111333a b c a b c a b c b a c a c b a b c a b c a b a c b c ++++++⎛⎫⎛⎫++=++=++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1333⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭，当1a b c ===时等号成立. 【点睛】本题考查了利用均值不等式证明不等式，意在考查学生对于均值不等式的综合应用.。

安徽省卓越县中联盟（舒城中学、无为中学等）2019-2020学年高二英语12月素质检测试题（考试时间：120分钟总分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. What does the woman suggest the man bring?A. Milk.B. Coffee.C. Tea.2. What does the man like to do before an exam?A. Do sports.B. Read a lot.C. Relax at home.3. What did the man do last night?A. He held a party.B. He lost his phone.C. He bought something ina shop.4. How many people will go to the football match?A. Two.B. Three.C. Four.5. What’s the probabl e relationship between the speakers?A. Mother and son.B. Brother and sister.C. Teacher and student.第二节听下面5段对话或独白。

2023~2024学年安徽县中联盟高三12月联考语文试题考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间150分钟。

2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

4．本卷命题范围：高考范围。

一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成1～5题。

一谈起薛宝钗，人们总是把她与林黛玉相提并论。

毫无疑问，薛宝钗与林黛玉代表两种对立鲜明的而又相倚相生的人格典型。

人性本就存在着诸多自相矛盾。

独立的意向是人性的表现，合群的意向同样是由人性所驱使；憧憬理想的超越意向是人之所以为人的特征，而贴近现实、保持和谐同样是人类自我调节的能动性的表现。

独立与合群之间、超越与调谐之间往往不能两全，它们常以势不两立的姿态出现，以致人们只能选择其中一种而拒绝另一种。

一旦把其中的一种划入“人性”或“道德”的范围，而把另一种拒斥在“人性”或“道德”的范围之外，人们就会陷入无法自拔的窘境之中。

这一点非常鲜明地表现在“钗黛优劣论”的难题上。

在“钗黛优劣论”上，在对薛宝钗与林黛玉进行道德评价时，人们总是持褒黛贬钗的立场。

但是，当人们选择终身伴侣时，却毫不犹豫地选择宝钗型而拒斥黛玉型。

这一自相矛盾并不表明选择者的虚伪，而是人性自相矛盾的结果。

然而，二百多年来的读者并不愿意作这样一种人性的自我反省，往往把批判的矛头指向薛宝钗及其“影子”花袭人。

人们不约而同地把薛宝钗、花袭人与林黛玉、晴雯分为两个不同性质的类型，对薛宝钗、花袭人持否定态度，对林黛玉、晴雯持肯定态度。

这种倾向一直延续到今天，尽管翻案文章时有出现，但是这种倾向毫无疑问在整个红学史上占据了主流位置。

舒城中学2019—2020学年度第二学期第一次统考高二物理总分：100分 时间：90分钟一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。

在每小题给出的四个选项中，第1~8题只有一项符合题目要求，第9~12题有多项符合题目要求。

全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

1.用6600V 和220V 两种电压输电，若输送的功率和输电线的电阻相同，则低压输电线与高压输电线上损失功率之比是（ ） A. 1：900B. 900：1C. 1：30D. 30：1『答案』A『解析』根据输送的功率P UI = 而损失的功率2P I R =损整理得22P PR U =损 因此可知212211900P U P U ==损损2A 正确，BCD 错误。

故选A 。

2.某匀强磁场垂直穿过一个线圈平面，磁感应强度B 随时间t 变化的规律如图所示。

若在某1s 内穿过线圈的磁通量的变化量为零，则该1s 开始的时刻是（ ）A. 第1.51sB. 第1.69sC. 第117s D. 第53s 『答案』C『解析』在0~2s 时间内图象的斜率1 1.00.2T/s 0.4T/s 2k -== 在2~4s 时间内图象的斜率10.4 1.0T/s 0.3T/s 2k -==- 设该时刻为t ，在这1s 内初始时刻的磁感强度等于末时刻的磁感强度121.0(2) 1.0(12)k t k t --=++- 解得11s 7t =C 正确，ABD 错误。

故选C 。

3.把电热器接到110V的直流电源上，每秒产生热量为Q，现把它接到交流电源上，每秒产生的热量为2Q，则交流电压的最大值是（）A. 1102VB. 2202VC. 220VD. 110V 『答案』C『解析』设电热器的电阻为R．当电热器接在U=110V的直流电源上时有：Q=2URt；当电热器改接到交流电源上时有：2()22mQ t；两式可得：U=220V，故选C.4.如图所示是布朗运动的示意图，下列说法中正确的是（）A. 图中记录的是液体分子无规则运动的情况B. 图中记录的是小颗粒分子无规则运动的情况C. 图中记录的是小颗粒做布朗运动的轨迹D. 图中记录的是几个小颗粒各自在不同时刻的位置的连线『答案』D『解析』AB．图中记录的是固体小颗粒的无规则运动的情况，AB错误；C．图中记录的是几个小颗粒每经过一段时间，各自所在位置，然后用线段连接起来的图案，不是小颗粒的运动轨道，C错误，D正确。

安徽卓越县中联盟高二年级素质检测化学试卷时间90分钟满分100分可能用到的相对原子质量:H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 S 32 Cl 35.5 K 39 Fe 56 Co 59第I卷(选择题共45分)(说明：第13、14、15小题各有两题，每位考生从a题和b题中选做一题）一.选择题（本题共15小题, 每小题3分, 共45分；每小题只有一个选项符合题意。

）1.建国70周年以来,我国在航天、军事、医药等领域的发展受到世界瞩目。

下列叙述正确的是（）A. 用乙醚从黄花蒿中萃取青蒿素发生了氧化还原反应B.“天宫二号”空间实验室的太阳能电池板的主要材料是硅C.“歼-20”飞机上大量使用的碳纤维是一种新型的有机高分子材料D.“辽宁舰”上用于舰载机降落的阻拦索是一种特种钢缆,属于新型无机非金属材料2．化学与生产、生活、社会密切相关。

下列叙述错误的是（）A.还原铁粉能用作食品包装袋中的抗氧化剂B.夜空中光柱的形成属于丁达尔效应C.小苏打是制作馒头和面包等糕点的膨松剂，还是治疗胃酸过多的一种药剂D.燃煤中加入CaO可减少温室气体的排放3.下列有关化学用语表示正确的是（）A.N2的电子式：B.S2－的结构示意图：C.CO2分子的结构式: O=C=OD.CH4分子的球棍模型：4．设N A为阿伏加德罗常数的值。

下列说法正确的是（）A.19g羟基（-18OH）所含电子数为9N AB.标准状况下，44.8 L HF含有2N A个极性键C.3.9g Na2O2晶体中含有的离子总数为0.2N AD.pH＝1的CH3COOH溶液中，含有0.1N A个H＋5．25℃时，下列各组离子在指定溶液中一定能大量共存的是（）A.无色溶液中：Cl-、CO32-、Cu2+、Na＋B.1.0mol/LFeCl3溶液中：Na+、Cl-、NO3-、SCN-C.1.0mol/LKNO3溶液中：Fe2+、H+、 Cl-、SO42-D.遇无色酚酞变红的溶液中：Na＋、Ba2+、Cl－、NO3-6．下列反应的离子方程式书写错误的是（）A.Fe3O4与稀硝酸反应：3Fe3O4＋28H+＋NO3- === 9Fe3+＋NO↑＋14H2OB.过量SO2与氨水反应：SO2+NH3∙H2O ＝ NH4+ + HSO3-C.向明矾中加入Ba(OH)2溶液使SO42- 恰好沉淀完全：2Al3+ +6OH- +3Ba2+ + 3SO42- ＝ 2Al(OH)3↓+ 3BaSO4↓D.酸性KMnO4溶液与H2C2O4溶液反应：5H2C2O4 + 2MnO4- + 6H+ ＝ 2Mn2+ + 10CO2↑ + 8H2O 7．已知化学反应A2(g)+B2(g)=2AB(g) △H=+100kJ/mol 的能量变化如图所示，判断下列叙述中正确的是（）A.该反应正反应的活化能大于100kJ/molB.每生成2molA-B键，将吸收bkJ能量C.每生成2分子AB吸收(a-b)kJ能量D.加入催化剂，该反应的反应热△H将减小8．对水样中溶质M的分解速率影响因素进行研究。

安徽省卓越县中联盟（舒城中学、无为中学等）2019-2020学年高二数学12月素质检测试题 理考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，集合B ＝{x |x ﹣1＞0}，则()R C A B I ＝（ ） A ．（1，3）B ．（1，3]C ．[3，+∞）D ．（3，+∞）2．“﹣3＜m ＜4”是“方程22143x y m m +=-+表示椭圆”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要3．函数f （x ）＝2x﹣3+log 3x 的零点所在区间是（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，+∞）4．已知平面向量(2,1)AB =u u u r ，(3,3)AC t =-u u u r，若//AB AC u u u r u u u r，则||BC =u u u r（ ） A ．25B ．20C ．5D ．25．如图的框图是一古代数学家的一个算法的程序框图，它输出的结果S 表示（ ） A ．0123a a a a +++的值B ．233201000a a x a x a x +++的值 C ．230102030a a x a x a x +++的值D ．以上都不对6.若直线1:60l x ay ++=与023)2(:2=++-a y x a l 平行，则1l 与2l 间的距离为( ) A. 2B.328 C.3D.338 7．将函数()cos(3)6f x x π=+图象上所有的点向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则()3g π= ( )A ．2π B ．3-C ．12D ．12-8．如图，平面直角坐标系中，曲线（实线部分）的方程可以是（ ） A ．()()22110x y x y ----=B ．()()2211+0x y x y ---=C ．()()2211+0x y x y ---= D ．()()2211+0x y x y ---=9．在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ） A ．36πB ．28πC ．20πD ．12π10．若直线:10l ax by ++=始终平分圆22:4210M x y x y ++++=的周长，则22(2)(2)a b -+-的最小值为( )A ．5B ．5C ．25D ．1011．已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（ ） A ．15B ．3C ．23D ．212．已知正四面体的中心与球心O 重合，正四面体的棱长为26，球的半径为5，则正四面体表面与球面的交线的总长度为( ) A ．4π B ．82π C ．122πD ．12π二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知点A （﹣2，﹣1），B （2，2），C （0，4），则点C 到直线AB 的距离为 .14．已知圆C 的圆心在直线x ﹣y ＝0上，过点（2，2）且与直线x +y ＝0相切，则圆C的方程是 .15．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点,M N 分别是棱11A D ,CD 的中点，点P 在平面 ABCD 内，点Q 在线段BN 上，若5PM =，则PQ 长度的最小值为 .16.已知椭圆22:14x C y +=上的三点C B A ,,，斜率为负数的直线CC 1D 1B 1A 1ABD PM N QBC 与y 轴交于M ，若原点O 是ABC ∆的重心，且ABM ∆与CMO ∆的面积之比为23，则直线BC 的斜率为 .三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．在△ABC 中，a 2+c 2＝b 2+ac ．（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）若1cos 7A =，a ＝8，求b 以及S △ABC 的值．18．已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0，1]，不等式()22log 123x m m +-≥-恒成立；命题q ：存在x ∈[﹣1，1]，使得112xm ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭成立． （Ⅰ）若p 为真命题，求m 的取值范围；（Ⅱ）若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求m 的取值范围．19．在正项等比数列{a n }中，a 1＝1且2a 3，a 5，3a 4成等差数列.（Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }满足n nnb a =，求数列{b n }的前n 项和S n ．20.我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了节约用水，市民用水拟实行阶梯水价．每人月用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：用水量(立方米)（Ⅰ）如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/高二数学（理） 第3页 (共4页)立方米，w 至少定为多少？（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当w =3时，试完成该10000位居民该月水费的频率分布表，并估计该市居民该月的人均水费．21．如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC，AB AD ⊥，矩形EDCF ⊥平面ABCD ，且2,1AB BC DE AD ====.（Ⅰ）求证：AB AE ⊥； （Ⅱ）求证：DF ∥平面ABE ； （Ⅲ） 求二面角B EF D --的正切值.22．已知曲线C 上的任意一点到两定点()11,0F -、()21,0F 距离之和为4，直线l 交曲线C 于,A B 两点，O 为坐标原点．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）若l 不过点O 且不平行于坐标轴，记线段AB 的中点为M ，求证：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（Ⅲ）若直线l 过点(0,2)Q ，求OAB ∆面积的最大值，以及取最大值时直线l 的方程．AC安徽卓越县中联盟高二年级素质检测数学试题卷（理）参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B B A C B D C D B A A二、填空题13.145；14.()()22112x y-+-=；15.355-；16.3-.三、解答题17.解：（1）由余弦定理及已知得：cos B＝＝;.….….….…5分（2）因为A，B为三角形内角，所以sin A＝＝，sin B＝＝，由正弦定理得：b＝＝＝7，又∵cos A＝＝．∴c2﹣2c﹣15＝0，解得c＝5 （c＝﹣3舍）．∴S△ABC＝bc•sin A＝．.….….….…10分18.解：（1）对任意x∈[0，1]，不等式恒成立，当x∈[0，1]，由对数函数的性质可知当x＝0时，y＝log2（x+1）﹣2的最小值为﹣2，∴﹣2≥m2﹣3m，解得1≤m≤2．因此，若p为真命题时，m的取值范围是[1，2]．.….….….…6分（2）存在x∈[﹣1，1]，使得成立，∴．命题q为真时，m≤1．∵p且q为假，p或q为真，∴p，q中一个是真命题，一个是假命题．当p真q假时，则解得1＜m≤2；当p 假q 真时，，即m ＜1．综上所述，m 的取值范围为（﹣∞，1）∪（1，2]．.….….….…12分 19.解： （1）∵∴∴q ＝2，∵a n ＞0，∴q ＝2；.….….….…6分（2）∵，∴，①，②①﹣②得＝，∴．.….….….…12分20.解：【解析】（I ）由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间[]0.5,1，(]1,1.5，(]1.5,2，(]2,2.5，(]2.5,3内的频率依次为0.1，0.15，0.2，0.25，0.15．-------4分所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%． 依题意，w 至少定为3．--------6分（II ）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表： 组号 1 2345678分组[]2,4 (]4,6 (]6,8 (]8,10 (]10,12 (]12,17 (]17,22 (]22,27频率 0.1 0.150.20.25 0.15 0.05 0.05 0.05---------9分根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：40.160.1580.2100.25120.15170.05220.05270.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 10.5=（元）．--------12分21. 解：（Ⅰ）矩形平面，且平面平面= ,又,平面.平面. 又平面，且.平面.平面，………4分（Ⅱ）取中点,连接,由已知条件易得及为平行四边形，于是//// ,由于== ,故为平行四边形.//面//平面.又//面//平面平面//平面. 又平面∥平面………8分（III）过点B作,作，连接.由矩形平面，得平面,又所以就是所求二面角的平面角.在中，易知.故二面角的正切值为. ………12分22.（1）由题意知曲线Γ是以原点为中心，长轴在x 轴上的椭圆，设其标准方程为，则有2,1a c ==，所以2223b a c =-=，………4分 （2）证明：设直线l 的方程为()0,0y kx b k b =+≠≠， 设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y .可得()223412x kx b ++=，即()2223484120kx kbx b +++-=∴直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积. ………8分 （3）点()()1122,,,A x y B x y ，由可得()22341640k x kx +++=， >0∆，解得设()241,0,k t t -=∈+∞，当4t =时，AOB S ∆取得最大值此时2414k -=，即………12分。

安徽省卓越县中联盟（舒城中学、无为中学等）2019-2020学年高二12月素质检测历史试题第Ⅰ卷选择题（共50分）一、选择题（本大题共25小题，每小题2分，计50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.隋唐时期创立和发展的科举制度，是中国历史上选官方式的重要制度创新，在我国封建社会延续了约1300年。

以下各项对其评价有误的是( )A. 科举制度是维护国家统一和巩固中央集权的制度保障B. 科举制片面应试严重禁锢了人们思想，不能与时俱进C. 选拔官吏权集中到中央政府，进一步固化了社会阶层D. 选拔标准单一压抑个性，以儒学为考试内容忽视科技【答案】C【解析】【详解】结合所学知识可知，科举制以考试成绩作为录取官员的依据，使得一些出身较低的读书人也可以通过读书当官，由此可知，有利于社会阶层的流动，故C符合题意；ABD均是对科举制的正确评价，与题意不符。

2.据图1和图2.清政府这一调整的主要目的是A. 增加地方政区的层级B. 限制省级官员的职权C. 缓解基层官员的冗滥D. 防止地方势力的膨胀【答案】D【解析】【详解】从材料“康熙四年江南省政区图”“乾隆二十六年江苏省、安徽省政区图”中可以看出，江南省被划分为安徽、江苏和江宁三省，府（州）的数量增多，这体现出地方势力被削弱，加强了中央集权，故D项正确；两幅图的地方政区都是“省”和“府”，没增加地方政区的层级，故A项排除；材料没有涉及到省级官员的职权，故B项排除；材料没有体现出地方官员的数量，故C项排除。

3.美国1787年宪法规定，参议院名额由各州议会选出，每州两名，众议院名额按照各州人口比例分配，各州人口数“按自由人总数加上所有其他人口的五分之三予以确定”。

这一规定主要为了( )A. 消除联邦和各州的冲突B. 促进工业资本主义的发展C. 制衡大州与小州的矛盾D. 保护南方黑人奴隶的利益【答案】C【解析】【详解】据材料“参议院的议员名额每州均为两名，众议院议员名额则按各州人口比例分配”并结合所学知识可知，这个规定协调了美国大州与小州的利益，故C正确；中央集权和地方分权协调了中央和地方的关系，“消除了联邦和各州的冲突”说法过于绝对，故A不正确；资本主义工业发展与材料信息无关，故B不正确；材料没有涉及黑人奴隶的利益问题，故D 不正确。