安徽省六安市舒城中学等差数列高考真题复习百度文库

等差数列高考真题及答案一、选择题1．记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）A．a n＝2n﹣5 B．a n＝3n﹣10 C．S n＝2n2﹣8n D．S n＝n2﹣2n 2．已知a、b、c为实常数，数列{x n}的通项x n＝an2+bn+c，n∈N*，则“存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（）A．a≥0 B．b≤0 C．c＝0 D．a﹣2b+c＝0 3．已知数列{a n}满足a n+a n+4＝a n+1+a n+3（n∈N*），那么必有（）A．{a n}是等差数列B．{a2n﹣1}是等差数列C．{a2n}是等差数列D．{a3n}是等差数列4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝﹣11，a4+a6＝﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）A．6 B．7 C．8 D．95．已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，且，则使得为整数的正整数n的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．56．若等差数列{a n}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7＝（）A．12 B．13 C．14 D．157．设{a n}是等差数列，若a2＝3，a7＝13，则数列{a n}前8项的和为（）A．128 B．80 C．64 D．568．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝4，S5≥S4≥S6，则公差d的取值范围是（）A．B．C．D．[﹣1，0] 9．等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．810．设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是（）A．若d＜0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项，则d＜0C．若对任意n∈N*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列D．若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*，均有S n＞011．已知等差数列{a n}中，a2＝7，a4＝15，则前10项的和S10＝（）A．100 B．210 C．380 D．40012．已知等差数列{a n}中，a2+a8＝8，则该数列前9项和S9等于（）A．18 B．27 C．36 D．4513．设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0 B．a7＝0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值14．在小于100的正整数中，能被3整除的所有各数之和为（）A．1632 B．1683 C．3264 D．3366 15．设已知等差数列{a n}满足a1+a2+…+a101＝0，则有（）A．a1+a101＞0 B．a2+a102＜0 C．a3+a99＝0 D．a51＝51 16．在等差数列{a n}中，已知a1＝2，a2+a3＝13，则a4+a5+a6等于（）A．40 B．42 C．43 D．4517．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a+3b+c＝10，则a＝（）A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4二、填空题18．设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S5S6+15＝0，则d的取值范围是．19．已知{a n}为等差数列，a3+a8＝22，a6＝7，则a5＝．20．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6＝S3＝12，则＝．21．在等差数列{a n}中，a1＝7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n＝8时S n取得最大值，则d的取值范围为．22．设数列{a n}，{b n}都是等差数列，若a1+b1＝7，a3+b3＝21，则a5+b5＝．23．S n为等差数列a n的前n项和，S2＝S6，a4＝1则a5＝．24．在等差数列{a n}中，a5＝3，a6＝﹣2，则a4+a5+…+a10＝．25．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是．26．在数列{a n}中，a n＝4n﹣，a1+a2+…+a n＝an2+bn，n∈N*，其中a，b为常数，则ab＝．27．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S12＝21，则a2+a5+a8+a11＝．28．设数列{a n}的首项a1＝﹣7，且满足a n+1＝a n+2（n∈N），则a1+a2+…+a17＝．29．设等差数列{a n}的公差d是2，前n项的和为S n，则＝．30．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为．三、解答题31．记S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）求使S n＞a n成立的n的最小值．32．已知数列{a n}是公差为2的等差数列．（1）a1，a3，a4成等比数列，求a1的值；（2）设a1＝﹣19，数列{a n}的前n项和为S n．数列{b n}满足，记c n＝S n+2n﹣1•b n（n∈N*），求数列{c n}的最小项（即≤c n对任意n∈N*成立）．33．记等差数列{a n}的前n项和为S n，设S3＝12，且2a1，a2，a3+1成等比数列，求S n．34．设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S5S6+15＝0．（Ⅰ）若S5＝5，求S6及a1；（Ⅱ）求d的取值范围．35．已知{a n}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）设{b n}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S n，当n≥2时，比较S n与b n的大小，并说明理由．36．设公差不为零的等差数列{a n}，S n是数列{a n}的前n项和，且S32＝9S2，S4＝4S2，求数列{a n}的通项公式．37．已知等差数列{a n}中，a2＝9，a5＝21．（1）求{a n}的通项公式；（2）令b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．38．设等差数列{a n}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为S n．（Ⅰ）若a11＝0，S14＝98，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列{a n}的通项公式．39．已知数列{a n}是等差数列，且a1＝2，a1+a2+a3＝12．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝a n x n（x∈R），求数列{b n}前n项和的公式．40．（1）设a1，a2，…，a n是各项均不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．（i）当n＝4时，求的数值；（ii）求n的所有可能值．（2）求证：对于给定的正整数n（n≥4），存在一个各项及公差均不为零的等差数列b1，b2，…，b n，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．参考答案与试题解析一、选择题1．记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）A．a n＝2n﹣5 B．a n＝3n﹣10 C．S n＝2n2﹣8n D．S n＝n2﹣2n 【分析】根据题意，设等差数列{a n}的公差为d，则有，求出首项和公差，然后求出通项公式和前n项和即可．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由S4＝0，a5＝5，得，∴，∴a n＝2n﹣5，，故选：A．2．已知a、b、c为实常数，数列{x n}的通项x n＝an2+bn+c，n∈N*，则“存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（）A．a≥0 B．b≤0 C．c＝0 D．a﹣2b+c＝0 【分析】由x100+k，x200+k，x300+k成等差数列，可得：2x200+k＝x100+k+x300+k，代入化简即可得出．【解答】解：存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列，可得：2[a（200+k）2+b（200+k）+c]＝a（100+k）2+b（100+k）+c+a（300+k）2+b（300+k）+c，化为：a＝0．∴使得x100+k，x200+k，x300+k成等差数列的必要条件是a≥0．故选：A．3．已知数列{a n}满足a n+a n+4＝a n+1+a n+3（n∈N*），那么必有（）A．{a n}是等差数列B．{a2n﹣1}是等差数列C．{a2n}是等差数列D．{a3n}是等差数列【分析】通过a n+a n+4＝a n+1+a n+3（n∈N*）可知a n+4﹣a n+1＝a n+3﹣a n，进而可得a n+6﹣a n+3＝a n+3﹣a n，从而数列{a3n}是等差数列．【解答】解：∵a n+a n+4＝a n+1+a n+3（n∈N*），∴a n+4﹣a n+1＝a n+3﹣a n，∴a n+5﹣a n+2＝a n+4﹣a n+1，a n+6﹣a n+3＝a n+5﹣a n+2，∴a n+6﹣a n+3＝a n+3﹣a n，∴数列{a3n}是等差数列，故选：D．4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝﹣11，a4+a6＝﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得．【解答】解：设该数列的公差为d，则a4+a6＝2a1+8d＝2×（﹣11）+8d＝﹣6，解得d＝2，所以，所以当n＝6时，S n取最小值．故选：A．5．已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，且，则使得为整数的正整数n的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】由等差数列的性质和求和公式，将通项之比转化为前n项和之比，验证可得．【解答】解：由等差数列的性质和求和公式可得：＝＝＝＝＝＝7+，验证知，当n＝1，2，3，5，11时为整数．故选：D．6．若等差数列{a n}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7＝（）A．12 B．13 C．14 D．15【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d 的方程组，解出a1，d，然后代入通项公式求解即可．【解答】解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，∴a7＝1+6×2＝13，故选：B．7．设{a n}是等差数列，若a2＝3，a7＝13，则数列{a n}前8项的和为（）A．128 B．80 C．64 D．56【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求出a1，d，代入等差数列的前n项和公式即可求解．或利用等差数列的前n项和公式，结合等差数列的性质a2+a7＝a1+a8求解．【解答】解：解法1：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由等差数列的通项公式以及已知条件得，解得，故s8＝8+＝64．解法2：∵a2+a7＝a1+a8＝16，∴s8＝×8＝64．故选：C．8．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝4，S5≥S4≥S6，则公差d的取值范围是（）A．B．C．D．[﹣1，0] 【分析】由，能求出公差d的取值范围．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝4，S5≥S4≥S6，∴，∴，∴，解得﹣1≤d≤﹣．∴公差d的取值范围是[﹣1，﹣]．故选：A．9．等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．8【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出{a n}前6项的和．【解答】解：∵等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．a2，a3，a6成等比数列，∴，∴（a1+2d）2＝（a1+d）（a1+5d），且a1＝1，d≠0，解得d＝﹣2，∴{a n}前6项的和为＝＝﹣24．故选：A．10．设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是（）A．若d＜0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项，则d＜0C．若对任意n∈N*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列D．若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*，均有S n＞0【分析】由等差数列的求和公式可得S n＝na1+d＝n2+（a1+）n，可看作关于n的二次函数，由二次函数的性质逐个选项验证可得．【解答】解：由等差数列的求和公式可得S n＝na1+d＝n2+（a1﹣）n，选项A，若d＜0，由二次函数的性质可得数列{S n}有最大项，故正确；选项B，若数列{S n}有最大项，则对应抛物线开口向下，则有d＜0，故正确；选项C，若对任意n∈N*，均有S n＞0，对应抛物线开口向上，d＞0，可得数列{S n}是递增数列，故正确；选项D，若数列{S n}是递增数列，则对应抛物线开口向上，但不一定有任意n∈N*，均有S n＞0，例如：是递增数列，但S1＜0，故错误．故选：D．11．已知等差数列{a n}中，a2＝7，a4＝15，则前10项的和S10＝（）A．100 B．210 C．380 D．400【分析】由第二项和第四项的值可以求出首项和公差，写出等差数列前n项和公式，代入n＝10得出结果．【解答】解：d＝，a1＝3，∴S10＝＝210，故选：B．12．已知等差数列{a n}中，a2+a8＝8，则该数列前9项和S9等于（）A．18 B．27 C．36 D．45【分析】根据等差数列的求和公式可知，要求s9，只需求出a1+a9，而已知a2+a8＝8，利用等差数列的性质即可求解．【解答】解：已知等差数列{a n}中，a2+a8＝8，∴a1+a9＝8，则该数列前9项和S9＝＝36，故选：C．13．设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0 B．a7＝0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值【分析】利用结论：n≥2时，a n＝s n﹣s n﹣1，易推出a6＞0，a7＝0，a8＜0，然后逐一分析各选项，排除错误答案．【解答】解：由S5＜S6得a1+a2+a3+…+a5＜a1+a2++a5+a6，即a6＞0，又∵S6＝S7，∴a1+a2+…+a6＝a1+a2+…+a6+a7，∴a7＝0，故B正确；同理由S7＞S8，得a8＜0，∵d＝a7﹣a6＜0，故A正确；而C选项S9＞S5，即a6+a7+a8+a9＞0，可得2（a7+a8）＞0，由结论a7＝0，a8＜0，显然C选项是错误的．∵S5＜S6，S6＝S7＞S8，∴S6与S7均为S n的最大值，故D正确；故选：C．14．在小于100的正整数中，能被3整除的所有各数之和为（）A．1632 B．1683 C．3264 D．3366【分析】在小于100的正整数中，能被3整除的数是等差数列3，6，9，…，99，由a1＝3，d＝3，a n＝99，得n＝33，由此能求出能被3整除的所有各数之和．【解答】解：在小于100的正整数中，能被3整除的数是等差数列3，6，9， (99)a1＝3，d＝3，a n＝99，∴a n＝3+（n﹣1）×3＝3n＝99，解得n＝33，∴在小于100的正整数中，能被3整除的所有各数之和：＝1683．故选：B．15．设已知等差数列{a n}满足a1+a2+…+a101＝0，则有（）A．a1+a101＞0 B．a2+a102＜0 C．a3+a99＝0 D．a51＝51 【分析】根据特殊数列a n＝0可直接得到a3+a99＝0，进而看得到答案．【解答】解：取满足题意的特殊数列a n＝0，即可得到a3+a99＝0选C．16．在等差数列{a n}中，已知a1＝2，a2+a3＝13，则a4+a5+a6等于（）A．40 B．42 C．43 D．45【分析】先根据a1＝2，a2+a3＝13求得d和a5，进而根据等差中项的性质知a4+a5+a6＝3a5求得答案．【解答】解：在等差数列{a n}中，已知a1＝2，a2+a3＝13，得d＝3，a5＝14，∴a4+a5+a6＝3a5＝42．故选：B．17．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a+3b+c＝10，则a＝（）A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4【分析】因为a，b，c成等差数列，且其和已知，故可设这三个数为b﹣d，b，b+d，再根据已知条件寻找关于b，d的两个方程，通过解方程组即可获解．【解答】解：由互不相等的实数a，b，c成等差数列，可设a＝b﹣d，c＝b+d，由题设得，，解方程组得，或，∵d≠0，∴b＝2，d＝6，∴a＝b﹣d＝﹣4，故选：D．二、填空题18．设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S5S6+15＝0，则d的取值范围是．【分析】由题设知（5a1+10d）（6a1+15d）+15＝0，即2a12+9a1d+10d2+1＝0，由此导出d2≥8，从而能够得到d的取值范围．【解答】解：因为S5S6+15＝0，所以（5a1+10d）（6a1+15d）+15＝0，整理得2a12+9a1d+10d2+1＝0，此方程可看作关于a1的一元二次方程，它一定有根，故有Δ＝（9d）2﹣4×2×（10d2+1）＝d2﹣8≥0，整理得d2≥8，解得d≥2，或d≤﹣2则d的取值范围是．故答案案为：．19．已知{a n}为等差数列，a3+a8＝22，a6＝7，则a5＝15．【分析】根据等差中项的性质可知a3+a8＝a5+a6，把a3+a8＝22，a6＝7代入即可求得a5．【解答】解：∵{a n}为等差数列，∴a3+a8＝a5+a6∴a5＝a3+a8﹣a6＝22﹣7＝1520．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6＝S3＝12，则＝1．【分析】先用数列的通项公式表示出a6和S3，进而求得a1和d，根据等差数列求和公式求得S n，代入到答案可得．【解答】解：依题意可知，解得a1＝2，d＝2∴S n＝n（n+1）∴＝∴＝＝1故答案为121．在等差数列{a n}中，a1＝7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n＝8时S n取得最大值，则d的取值范围为（﹣1，﹣）．【分析】根据题意当且仅当n＝8时S n取得最大值，得到S7＜S8，S9＜S8，联立得不等式方程组，求解得d的取值范围．【解答】解：∵S n＝7n+，当且仅当n＝8时S n取得最大值，∴，即，解得：，综上：d的取值范围为（﹣1，﹣）．22．设数列{a n}，{b n}都是等差数列，若a1+b1＝7，a3+b3＝21，则a5+b5＝35．【分析】根据等差数列的通项公式，可设数列{a n}的公差为d1，数列{b n}的公差为d2，根据a1+b1＝7，a3+b3＝21，可得2（d1+d2）＝21﹣7＝14．最后可得a5+b5＝a3+b3+2（d1+d2）＝2+14＝35．【解答】解：∵数列{a n}，{b n}都是等差数列，∴设数列{a n}的公差为d1，设数列{b n}的公差为d2，∴a3+b3＝a1+b1+2（d1+d2）＝21，而a1+b1＝7，可得2（d1+d2）＝21﹣7＝14．∴a5+b5＝a3+b3+2（d1+d2）＝21+14＝35故答案为：3523．S n为等差数列a n的前n项和，S2＝S6，a4＝1则a5＝﹣1．【分析】由S2＝S6，a4＝1，先求出首项和公差，然后再求a5的值．【解答】解：由题设知，∴a1＝7，d＝﹣2，a5＝7+4×（﹣2）＝﹣1．故答案为：﹣1．24．在等差数列{a n}中，a5＝3，a6＝﹣2，则a4+a5+…+a10＝﹣49．【分析】先根据a5＝3，a6＝﹣2，进而根据等差数列的求和公式根据a4+a5+…+a10＝S10﹣S3求得答案．【解答】解：由题意知，解得a1＝23，d＝﹣5∴a4+a5+…+a10＝S10﹣S3＝﹣＝﹣49故答案为﹣4925．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是．【分析】由a1，a3，a9成等比数列求得a1与d的关系，再代入即可．【解答】解：∵a1，a3，a9成等比数列，∴（a1+2d）2＝a1•（a1+8d），∴a1＝d，∴＝，故答案是：．26．在数列{a n}中，a n＝4n﹣，a1+a2+…+a n＝an2+bn，n∈N*，其中a，b为常数，则ab＝﹣1．【分析】由题意可知，数列{a n}为等差数列，故根据等差数列的前n项和公式可得s n的表达式，又已知a1+a2+…+a n＝an2+bn，利用对应系数相等进行求解．【解答】解：∵a n＝4n﹣，∴数列{a n}为等差数列，a1＝，d＝4，∴，∴，∴ab＝﹣1．故答案为﹣1．27．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S12＝21，则a2+a5+a8+a11＝7．【分析】由s12解得a1+a12，再由等差数列的性质得出结果．【解答】解：由题意得，．故答案是728．设数列{a n}的首项a1＝﹣7，且满足a n+1＝a n+2（n∈N），则a1+a2+…+a17＝153．【分析】根据a n+1＝a n+2得到a n+1﹣a n＝2，根据等差数列的定义可知此数列为等差数列，根据首项与公差，利用等差数列的前n项和的公式即可求出值．【解答】解：根据a n+1＝a n+2得到此数列为首项a1＝﹣7，公差d＝a n+1﹣a n＝2的等差数列，则S17＝a1+a2+…+a17＝17×（﹣7）+×2＝153故答案为：15329．设等差数列{a n}的公差d是2，前n项的和为S n，则＝3．【分析】由首项a1和公差d等于2，利用等差数列的通项公式及前n项和的公式表示出a n和S n，然后把表示的式子代入到极限中，求出极限的值即可．【解答】解：由公差d＝2，得到a n＝a1+2（n﹣1）＝2n+a1﹣2，S n＝na1+×2＝n2+n（a1﹣1）则＝＝＝3故答案为3．30．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为4．【分析】利用等差数列的前n项和公式变形为不等式，再利用消元思想确定d或a1的范围，a4用d或a1表示，再用不等式的性质求得其范围．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4≥10，S5≤15，∴，即∴∴，5+3d≤6+2d，d≤1∴a4≤3+d≤3+1＝4故a4的最大值为4，故答案为：4．三、解答题31．记S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）求使S n＞a n成立的n的最小值．【分析】（Ⅰ）直接利用等差数列的性质和前n项和的应用求出数列的通项公式；（Ⅱ）直接利用作差法的应用和数列的分解因式的应用求出结果．【解答】解：（Ⅰ）数列S n是公差d不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4．根据等差数列的性质，a3＝S5＝5a3，故a3＝0，根据a2a4＝S4可得（a3﹣d）（a3+d）＝（a3﹣2d）+（a3﹣d）+a3+（a3+d），整理得﹣d2＝﹣2d，可得d＝2（d＝0不合题意），故a n＝a3+（n﹣3）d＝2n﹣6．（Ⅱ）a n＝2n﹣6，a1＝﹣4，S n＝﹣4n+×2＝n2﹣5n，S n＞a n，即n2﹣5n＞2n﹣6，整理可得n2﹣7n+6＞0，当n＞6或n＜1时，S n＞a n成立，由于n为正整数，故n的最小正值为7．32．已知数列{a n}是公差为2的等差数列．（1）a1，a3，a4成等比数列，求a1的值；（2）设a1＝﹣19，数列{a n}的前n项和为S n．数列{b n}满足，记c n＝S n+2n﹣1•b n（n∈N*），求数列{c n}的最小项（即≤c n对任意n∈N*成立）．【分析】（1）利用等差数列通项公式和等比数列性质能求出首项a1的值．（2）由已知利用累加法能求出b n＝2﹣（）n﹣1．从而能求出c n﹣c n﹣1＝2n﹣19+2n，由此能求出数列{c n}的最小项．【解答】解：（1）∵数列{a n}是公差为2的等差数列．a1，a3，a4成等比数列，∴．解得d＝2，a1＝﹣8（2）b n＝b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1）＝1+＝＝2﹣（）n﹣1．，，＝2n﹣19+2n由题意n≥5，上式大于零，即c5＜c6＜…＜c n，进一步，2n+2n是关于n的增函数，∵2×4+24＝24＞19，2×3+23＝14＜19，∴c1＞c2＞c3＞c4＜c5＜…＜c9＜c10＜…＜c n，∴．33．记等差数列{a n}的前n项和为S n，设S3＝12，且2a1，a2，a3+1成等比数列，求S n．【分析】由2a1，a2，a3+1成等比数列，可得a22＝2a1（a3+1），结合s3＝12，可列出关于a1，d的方程组，求出a1，d，进而求出前n项和s n．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由题意得，解得或，∴s n＝n（3n﹣1）或s n＝2n（5﹣n）．34．设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S5S6+15＝0．（Ⅰ）若S5＝5，求S6及a1；（Ⅱ）求d的取值范围．【分析】（I）根据附加条件，先求得s6再求得a6分别用a1和d表示，再解关于a1和d的方程组．（II）所求问题是d的范围，所以用“a1，d”法．【解答】解：（Ⅰ）由题意知S6＝＝﹣3，a6＝S6﹣S5＝﹣8所以解得a1＝7所以S6＝﹣3，a1＝7；（Ⅱ）因为S5S6+15＝0，所以（5a1+10d）（6a1+15d）+15＝0，整理得，即，因为，所以，解得d≤﹣2或d≥2故d的取值范围为d≤﹣2或d≥2．35．已知{a n}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）设{b n}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S n，当n≥2时，比较S n与b n的大小，并说明理由．【分析】（1）由题意可知2a3＝a1+a2，根据等比数列通项公式代入a1和q，进而可求得q．（II）讨论当q＝1和q＝﹣，时分别求得S n和b n，进而根据S n﹣b n与0的关系判断S n与b n的大小，【解答】解：（1）由题意可知，2a3＝a1+a2，即a1（2q2﹣q﹣1）＝0，∴q＝1或q ＝﹣；（II）q＝1时，S n＝2n+＝，∵n≥2，∴S n﹣b n＝S n﹣1＝＞0当n≥2时，S n＞b n．若q＝﹣，则S n＝，同理S n﹣b n＝．∴2≤n≤9时，S n＞b n，n＝10时，S n＝b n，n≥11时，S n＜b n．36．设公差不为零的等差数列{a n}，S n是数列{a n}的前n项和，且S32＝9S2，S4＝4S2，求数列{a n}的通项公式．【分析】设出等差数列的首项和公差，利用等差数列的前n项和的公式由S32＝9S2，S4＝4S2列出关于首项和公差的方程，解出首项和公差即可得到等差数列的通项公式．【解答】解：设数列{a n}的公差为d（d≠0），首项为a1，由已知得：．解之得：或（舍）∴．37．已知等差数列{a n}中，a2＝9，a5＝21．（1）求{a n}的通项公式；（2）令b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）设出数列的公差，分别根据等差数列的通项公式表示出a2和a5联立方程求得和a1和d，则数列的通项公式可得．（2）把（1）中求得的a n代入b n＝2an中求得b n，判断出数列{b n}为等比数列，进而利用等比数列的求和公式求得前n项的和．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，由题意得解得a1＝5，d＝4，∴{a n}的通项公式为a n＝4n+1．（2）由a n＝4n+1得b n＝24n+1，∴{b n}是首项为b1＝25，公比q＝24的等比数列．∴S n＝．38．设等差数列{a n}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为S n．（Ⅰ）若a11＝0，S14＝98，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列{a n}的通项公式．【分析】（Ⅰ）本题是关于等差数列的基本量的运算，设出题目中的首项和公差，根据第十一项和前十四项的和两个数据列出方程组，解出首项和公差的值，写出数列的通项．（Ⅱ）根据三个不等关系，写出关于首项和公差的不等式组，解不等式组，得到一个范围，根据{a n}的首项a1及公差d都为整数得到所有可能的结果，写出通项公式．【解答】解：（Ⅰ）由S14＝98得2a1+13d＝14，又a11＝a1+10d＝0，∴解得d＝﹣2，a1＝20．∴{a n}的通项公式是a n＝22﹣2n，（Ⅱ）由得即由①+②得﹣7d＜11．即d＞﹣．由①+③得13d≤﹣1即d≤﹣于是﹣＜d≤﹣又d∈Z，故d＝﹣1 ④将④代入①②得10＜a1≤12．又a1∈Z，故a1＝11或a1＝12．∴所有可能的数列{a n}的通项公式是a n＝12﹣n和a n＝13﹣n，39．已知数列{a n}是等差数列，且a1＝2，a1+a2+a3＝12．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝a n x n（x∈R），求数列{b n}前n项和的公式．【分析】（1）本题是一个数列的基本量的运算，根据题目所给的首项和前连续三项的值，写出关于公差的方程，解方程可得结果．（2）构造一个新数列，观察这个数列是有一个等差数列和一个等比数列的积构成的，这种结构要用错位相减法求的结果，解题时注意等比数列的公比与1的关系，进行讨论．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，则a1+a2+a3＝3a1+3d＝12．又a1＝2，得d＝2．∴a n＝2n．（2）当x＝0时，b n＝0，S n＝0，当x≠0时，令S n＝b1+b2+…+b n，则由b n＝a n x n＝2nx n，得S n＝2x+4x2++（2n﹣2）x n﹣1+2nx n，①xS n＝2x2+4x3++（2n﹣2）x n+2nx n+1．②当x≠1时，①式减去②式，得（1﹣x）S n＝2（x+x2++x n）﹣2nx n+1＝﹣2nx n+1．∴S n＝﹣．当x＝1时，S n＝2+4++2n＝n（n+1）．综上可得，当x＝1时，S n＝n（n+1）；当x≠1时，S n＝﹣．40．（1）设a1，a2，…，a n是各项均不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．（i）当n＝4时，求的数值；（ii）求n的所有可能值．（2）求证：对于给定的正整数n（n≥4），存在一个各项及公差均不为零的等差数列b1，b2，…，b n，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．【分析】（1）根据题意，对n＝4，n＝5时数列中各项的情况逐一讨论，利用反证法结合等差数列的性质进行论证，进而推广到n≥4的所有情况．（2）利用反证法结合等差数列的性质进行论证即可．【解答】解：（1）①当n＝4时，a1，a2，a3，a4中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d＝0．若删去a2，则a32＝a1•a4，即（a1+2d）2＝a1•（a1+3d）化简得a1+4d＝0，得若删去a3，则a22＝a1•a4，即（a1+d）2＝a1•（a1+3d）化简得a1﹣d＝0，得综上，得或．②当n＝5时，a1，a2，a3，a4，a5中同样不可能删去a1，a2，a4，a5，否则出现连续三项．若删去a3，则a1•a5＝a2•a4，即a1（a1+4d）＝（a1+d）•（a1+3d）化简得3d2＝0，因为d≠0，所以a3不能删去；当n≥6时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列a1，a2，a3，…，a n﹣2，a n﹣1，a n中，由于不能删去首项或末项，若删去a2，则必有a1•a n＝a3•a n﹣2，这与d≠0矛盾；同样若删去a n﹣1也有a1•a n＝a3•a n﹣2，这与d≠0矛盾；若删去a3，…，a n﹣2中任意一个，则必有a1•a n＝a2•a n﹣1，这与d≠0矛盾．（或者说：当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项）综上所述，n＝4．（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列b1，b2，b n，其中b x+1，b y+1，b z+1（0≤x＜y＜z≤n﹣1）为任意三项成等比数列，则b2y+1＝b x+1•b z+1，即（b1+yd）2＝（b1+xd）•（b1+zd），化简得（y2﹣xz）d2＝（x+z﹣2y）b1d（*）由b1d≠0知，y2﹣xz与x+z﹣2y同时为0或同时不为0当y2﹣xz与x+z﹣2y同时为0时，有x＝y＝z与题设矛盾．故y2﹣xz与x+z﹣2y同时不为0，所以由（*）得因为0≤x＜y＜z≤n﹣1，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数．于是，对于任意的正整数n（n≥4），只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列．例如n项数列1，，，…，满足要求．。

一、等差数列选择题1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若936S S =，则612SS =（ ） A ．177B ．83 C ．143D ．1032．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161B ．155C ．141D ．1393．等差数列{}n a 中，已知14739a a a ++=，则4a =（ ） A ．13 B ．14C ．15D ．164．定义12nn p p p +++为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为12n ，又2n n a b =，则1223910111b b b b b b +++=（ ） A ．817 B ．1021C ．1123 D ．9195．设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+. 则8a 的值为（ ）．A ．65B ．16C ．15D ．146．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（ ） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列7．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（ ） A ．160B ．180C ．200D ．2208．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =，56S S ≥，下列四个命题：①公差d 的最大值为2-；②70S <；③记n S 的最大值为M ，则M 的最大值为30；④20192020a a >.其真命题的个数是（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．题目文件丢失！10．已知数列{}n a 为等差数列，2628a a +=，5943a a +=，则10a =（ ） A ．29B ．38C ．40D ．5811．已知正项数列{}n a 满足11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，数列{}n b 满足1111n n nb a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．已知等差数列{}n a 满足48a =，6711a a +=，则2a =（ ） A ．10B ．9C ．8D ．713．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若5620a a +=，11132S =，则{}n a 的公差为（ ） A ．2B ．43C ．4D ．4-14．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（ ）尺 A ．47B ．1629C ．815D ．4515．在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，则11S 的值是（ ） A ．60B ．11C ．50D ．5516．已知数列{}n a 满足25111,,25a a a ==且*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，则*n N ∈时，使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是（ ） A ．19B ．20C ．21D ．2217．已知递减的等差数列{}n a 满足2219a a =，则数列{}n a 的前n 项和取最大值时n =（ ）A ．4或5B ．5或6C ．4D ．518．在数列{}n a 中，11a =，且11nn na a na +=+，则其通项公式为n a =（ ） A ．211n n -+B ．212n n -+C ．221n n -+D ．222n n -+19．已知数列{}n a 的前n 项和()2*n S n n N =∈，则{}na 的通项公式为（ ）A ．2n a n =B ．21n a n =-C ．32n a n =-D ．1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩20．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()12n n n S +=，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项的和为（ ）A ．89B ．910C ．1011D ．1112二、多选题21．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =B ．733S =C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 22．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是（ ）A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B ．若2n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列C ．若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈也成等差数列23．已知数列{}n a 满足0n a >，121n n n a na a n +=+-(N n *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．11a =B ．121a a =C ．201920202019S a =D ．201920202019S a >24．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（ ） A ．－4B ．－2C ．0D ．225．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则（ ） A ．若59S >S ，则150S > B ．若59S =S ，则7S 是n S 中最大的项 C ．若67S S >， 则78S S > D ．若67S S >则56S S >.26．已知数列{}2nna n +是首项为1，公差为d 的等差数列，则下列判断正确的是（ ） A ．a 1＝3 B ．若d ＝1，则a n ＝n 2+2n C ．a 2可能为6D ．a 1，a 2，a 3可能成等差数列27．已知数列0,2,0,2,0,2,，则前六项适合的通项公式为（ ）A ．1(1)nn a =+-B ．2cos2n n a π= C ．(1)2sin2n n a π+= D ．1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--28．已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 25,n S n n =-则下列说法正确的是（ ）A ．{}n a 为等差数列B ．0n a >C ．n S 最小值为214-D ．{}n a 为单调递增数列29．下列命题正确的是（ ）A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B ．若等差数列{}n a 的公差0d >，则{}n a 是递增数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c可能成等差数列 D ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{}12++n n a a 也是等差数列30．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，120S >，70a <则（ ） A ．60a > B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列C ．0nS <时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．D 【分析】由等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，结合已知条件得633S S =和31210S S =计算得结果. 【详解】已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，∴3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，所以()()633962S S S S S ⋅-=+-，且936S S =，化简解得633S S =.又()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，∴31210S S =，从而126103S S =. 故选：D 【点睛】 思路点睛：（1）利用等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，（2）()()633962S S S S S ⋅-=+-，且936S S =，化简解得633S S =， （3）()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，化简解得31210S S =. 2．B 【分析】画出图形分析即可列出式子求解. 【详解】所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x ，根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了一个等差数列，如图：由图可得：3612107y x y -=⎧⎨-=⎩ ，解得15548x y =⎧⎨=⎩.故选：B. 3．A 【分析】利用等差数列的性质可得1742a a a +=，代入已知式子即可求解. 【详解】由等差数列的性质可得1742a a a +=， 所以1474339a a a a ++==，解得：413a =， 故选：A 4．D 【分析】由题意结合新定义的概念求得数列的前n 项和，然后利用前n 项和求解通项公式，最后裂项求和即可求得最终结果. 【详解】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，由题意可得：12n n S n=，则：22n S n =，当1n =时，112a S ==，当2n ≥时，142n n n a S S n -=-=-， 且14122a =⨯-=，据此可得 42n a n =-， 故212nn a b n ==-，()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 据此有：12239101111111111233517191.21891919b b b b b b +++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⨯= 故选：D 5．C 【分析】利用()12n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的通项公差，然后求解8a . 【详解】由21n S n =+得，12a =，()2111n S n -=-+，所以()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，所以2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，故828115a =⨯-=.故选：C. 【点睛】本题考查数列的通项公式求解，较简单，利用()12n n n a S S n -=-≥求解即可. 6．D 【分析】根据等差数列的性质，可判定A 、B 正确；当首项与公差均为0时，可判定C 正确；当首项为1与公差1时，可判定D 错误. 【详解】由题意，数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，根据等差数列的性质，可得而51051510,,S S S S S --，和24264,,S S S S S --构成等差数列，所以，所以A ，B 正确；当首项与公差均为0时，5101510,,S S S S +是等差数列，所以C 正确；当首项为1与公差1时，此时2426102,31,86S S S S S =+=+=，此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列，所以D 错误.7．B 【分析】把已知的两式相加得到12018a a +=，再求20S 得解. 【详解】由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=， 所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020()10181802S a a =+=⨯=. 故选：B 8．B 【分析】设公差为d ，利用等差数列的前n 项和公式，56S S ≥，得2d ≤-，由前n 项和公式，得728S ≤，同时可得n S 的最大值，2d =-，5n =或6n =时取得，结合递减数列判断D ． 【详解】设公差为d ，由已知110a =，56S S ≥，得5101061015d d ⨯+≥⨯+，所以2d ≤-，A 正确；所以7710217022128S d =⨯+≤-⨯=，B 错误；1(1)10(1)0n a a n d n d =+-=+-≥，解得101n d≤-+，11100n a a nd nd +=+=+≤，解得10n d≥-， 所以10101n d d-≤≤-+，当2d =-时，56n ≤≤， 当5n =时，有最大值，此时51010(2)30M =⨯+⨯-=，当6n =时，有最大值，此时61015(2)30M =⨯+⨯-=，C 正确． 又该数列为递减数列，所以20192020a a >，D 正确． 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和，掌握等差数列的前n 和公式与性质是解题关键．等差数列前n 项和n S 的最大值除可利用二次函数性质求解外还可由100n n a a +≥⎧⎨≤⎩求得．9．无10．A根据等差中项的性质，求出414a =，再求10a ; 【详解】因为{}n a 为等差数列，所以264228a a a +==, ∴414a =.由59410a a a a +=+43=,得1029a =, 故选：A. 11．B 【分析】 由题意可得221114n n a a +-=，运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-，求得14n b =，然后利用裂项相消求和法可求得结果【详解】解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得221114n n a a +-=， 所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列， 所以2114(1)43n n n a =+-=-， 因为0n a >，所以n a =，所以1111n n nb a a +=+=所以14n b ==，所以201220T b b b =++⋅⋅⋅+111339(91)244=++⋅⋅⋅+=⨯-=， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和，解题的关键是由已知条件得221114n n a a +-=，从而数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，进而可求n a =，14nb ==，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题【分析】利用等差数列的性质结合已知解得d ，进一步求得2a ． 【详解】在等差数列{}n a 中，设公差为d ，由467811a a a =⎧⇒⎨+=⎩444812311a d a d a d =⎧⇒=-⎨+++=⎩，24210a a d ∴=-=. 故选：A 13．C 【分析】由等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可求得6a ，再由等差数列的公式即可求得公差. 【详解】 解：()11111611111322a a S a+⨯===，612a ∴=，又5620a a +=，58a ∴=，654d a a ∴=-=.故选：C ． 14．D 【分析】设该妇子织布每天增加d 尺，由等差数列的前n 项和公式即可求出结果 【详解】设该妇子织布每天增加d 尺， 由题意知2020192042322S d ⨯=⨯+=， 解得45d =． 故该女子织布每天增加45尺． 故选：D 15．D 【分析】根据题中条件，由等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】因为在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，所以()1111161111552a a S a +===.故选：D. 16．B 【分析】由等差数列的性质可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，再由等差数列的通项公式可得1nn a ，进而可得1n a n=，再结合基本不等式即可得解. 【详解】因为*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，所以12211n n n a a a ++=+， 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设其公差为d ，由25111,25a a a ==可得25112,115a a a ==⋅， 所以111121145d a d a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⋅⎪⎩，解得1111a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以()1111n n d n a a =+-=，所以1n a n=， 所以不等式100n n a a +≥即100n a n+≥对任意的*n N ∈恒成立，又10020n n +≥=，当且仅当10n =时，等号成立， 所以20a ≤即实数a 的最大值是20. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用. 17．A 【分析】由2219a a =，可得14a d =-，从而得2922n d d S n n =-，然后利用二次函数的性质求其最值即可 【详解】解：设递减的等差数列{}n a 的公差为d （0d <），因为2219a a =，所以2211(8)a a d =+，化简得14a d =-，所以221(1)9422222n n n d d d dS na d dn n n n n -=+=-+-=-， 对称轴为92n =， 因为n ∈+N ，02d<， 所以当4n =或5n =时，n S 取最大值， 故选：A 18．D 【分析】先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=，再由累加法计算出2122n n n a -+=，进而求出n a .【详解】 解：11nn na a na +=+， ()11n n n a na a ++=∴，化简得：11n n n n a a a a n ++=+， 两边同时除以1n n a a +并整理得：111n nn a a +-=， 即21111a a -=，32112a a -=，43113a a -=，…，1111(2,)n n n n n z a a --=-≥∈， 将上述1n -个式子相加得：213243111111+a a a a a a --+-+ (111)123n n a a -+-=+++…1n +-， 即111(1)2n n n a a --=， 2111(1)(1)2=1(2,)222n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈， 又111a =也满足上式， 212()2n n n n z a -+∴=∈， 22()2n a n z n n ∴=∈-+. 故选：D. 【点睛】易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现1n -，要注意检验首项是否符合. 19．B 【分析】利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式，然后验证1a 的值是否适合，最后写出n a 的式子即可. 【详解】2n S n =，∴当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==，上式也成立，()*21n a n n N ∴=-∈，故选：B. 【点睛】易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，算出之后一定要判断1n =时对应的式子是否成立，最后求得结果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题. 20．C 【分析】首先根据()12n n n S +=得到n a n =，设11111n n n b a a n n +==-+，再利用裂项求和即可得到答案. 【详解】当1n =时，111a S ==， 当2n ≥时，()()11122n n n n n n n a S S n -+-=-=-=. 检验111a S ==，所以n a n =. 设()1111111n n n b a a n n n n +===-++，前n 项和为n T ， 则10111111101122310111111T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…. 故选：C二、多选题21．ABCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，对照四个选项可得正确答案.【详解】对A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对B ，71123581333S =++++++=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-， 可得：135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=.故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项.对D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=，故D 正确；故选：ABCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换. 22．BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;选项C: ()11nn S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈是等差数列，故对; 故选：BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键. 23．BC 【分析】根据递推公式，得到11n n nn n a a a +-=-，令1n =，得到121a a =，可判断A 错，B 正确；根据求和公式，得到1n n nS a +=，求出201920202019S a =，可得C 正确，D 错. 【详解】由121n n n a n a a n +=+-可知2111n n n n na n n n a a a a ++--==+，即11n n n n n a a a +-=-， 当1n =时，则121a a =，即得到121a a =，故选项B 正确；1a 无法计算，故A 错； 1221321111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1n n S a n +=，则201920202019S a =，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：BC. 【点睛】 方法点睛：由递推公式求通项公式的常用方法：（1）累加法，形如()1n n a a f n +=+的数列，求通项时，常用累加法求解； （2）累乘法，形如()1n na f n a +=的数列，求通项时，常用累乘法求解； （3）构造法，形如1n n a pa q +=+（0p ≠且1p ≠，0q ≠，n ∈+N ）的数列，求通项时，常需要构造成等比数列求解；（4）已知n a 与n S 的关系求通项时，一般可根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解.24．AB 【分析】 由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n=-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111n n n a a n n++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++，则11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111122a a -=-， 上述式子累加可得：111n a a n n -=-，122n a n n∴=-<，()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故A 正确；对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故B 正确；对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故C 错误；对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故D 错误， 故选：AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题. 25．BC 【分析】根据等差数列的前n 项和性质判断． 【详解】A 错：67895911415000S a a a a a S a S ⇒+++<>⇒+<⇒<；B 对：n S 对称轴为n =7；C 对：6770S S a >⇒<，又10a >，887700a S a d S ⇒⇒<<⇒<>；D 错：6770S S a >⇒<，但不能得出6a 是否为负，因此不一定有56S S >． 故选：BC ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和性质，（1）n S 是关于n 的二次函数，可以利用二次函数性质得最值；（2）1n n n S S a -=+，可由n a 的正负确定n S 与1n S -的大小；（3）1()2n n n a a S +=，因此可由1n a a +的正负确定n S 的正负． 26．ACD 【分析】利用等差数列的性质和通项公式，逐个选项进行判断即可求解 【详解】 因为1112a =+，1(1)2n n a n d n =+-+，所以a 1＝3，a n ＝[1+(n -1)d ](n +2n ).若d ＝1，则a n ＝n (n +2n )；若d ＝0，则a 2＝6.因为a 2＝6+6d ，a 3＝11+22d ，所以若a 1，a 2，a 3成等差数列，则a 1+a 3＝a 2，即14+22d ＝12+12d ，解得15d =-. 故选ACD 27．AC 【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案． 【详解】对于选项A ，1(1)nn a =+-取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；对于选项B ，2cos 2n n a π=取前六项得：0,2,0,2,0,2--，不满足条件； 对于选项C ，(1)2sin2n n a π+=取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件； 对于选项D ，1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得：0,2,2,8,12,22，不满足条件； 故选：AC 28．AD 【分析】利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列的通项公式，可对A ，B ，D 进行判断，对25,n S n n =-进行配方可对C 进行判断【详解】解：当1n =时，11154a S ==-=-，当2n ≥时，2215[(1)5(1)]26n n n a S S n n n n n -=-=-----=-，当1n =时，14a =-满足上式， 所以26n a n =-，由于()122n n a a n --=≥，所以数列{}n a 为首项为4-，公差为2的等差数列， 因为公差大于零，所以{}n a 为单调递增数列，所以A ，D 正确，B 错误， 由于225255()24n S n n n =-=--，而n ∈+N ，所以当2n =或3n =时，n S 取最小值，且最小值为6-，所以C 错误， 故选：AD 【点睛】此题考查,n n a S 的关系，考查由递推式求通项并判断等差数列，考查等差数列的单调性和前n 项和的最值问题，属于基础题 29．BCD 【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知0d >，{}n a 必是递增数列；C 选项：1a b c ===时，1111a b c===是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立；D 选项：数列{}n a 是等差数列公差为d ，所以11112(1)223(31)n n a a a n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列；故选：BCD 【点睛】本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题. 30．ACD 【分析】 由已知得()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，可判断A ；由已知得出2437d -<<-，且()12+3n a n d =-，得出[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d =-，可得出1n a 在1,6n n N上单调递增，1na 在7nn N ，上单调递增，可判断B ；由()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，可判断C ；判断 n a ，n S 的符号， n a 的单调性可判断D ； 【详解】由已知得311+212,122d a a a d ===-，()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，故A 正确；由7161671+612+40+512+3>0+2+1124+7>0a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪==⎨⎪==⎩，解得2437d -<<-，又()()3+312+3n a n d n d a =-=-，当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d=-，所以[]1,6n ∈时，1>0na ，7n ≥时，10n a <，所以1na 在1,6n n N上单调递增，1na 在7n n N ，上单调递增，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是递增数列，故B 不正确； 由于()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，而120S >，所以0n S <时，n 的最小值为13，故C 选项正确 ；当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，当[]1,12n ∈时，>0n S ，13n ≥时，0n S <，所以当[]7,12n ∈时，0n a <，>0n S ，0nnS a <，[]712n ∈，时，n a 为递增数列，n S 为正数且为递减数列，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项，故D 正确； 【点睛】本题考查等差数列的公差，项的符号，数列的单调性，数列的最值项，属于较难题.。

高考数学一轮复习《等差数列》练习题（含答案）一、单选题1．若3与13的等差中项是4与m 的等比中项，则m =（ ） A ．12B ．16C ．8D ．202．在等差数列{}n a 中，49a =，且2410,,a a a 构成等比数列，则公差d 等于( ) A ．3-B ．0C ．3D ．0或33．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7614,10S a ==，则{}n a 的公差为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．14．已知数列{}n a ，{}n b 均为等差数列，且125a =，175b =，22120a b +=，则3737a b +的值为（ ） A ．760B ．820C ．780D ．8605．在等差数列{an }中，若a 2+2a 6+a 10＝120，则a 3+a 9等于（ ） A ．30B ．40C ．60D ．806．在明朝程大位《算法统宗》中有首依筹算钞歌：“甲乙丙丁戊己庚，七人钱本不均平，甲乙念三七钱钞，念六一钱戊己庚，惟有丙丁钱无数，要依等第数分明，请问先生能算者，细推详算莫差争.”题意是：“现有甲､乙､丙､丁､戊､己､庚七人，他们手里钱不一样多，依次成等差数列，已知甲､乙两人共237钱，戊､己､庚三人共261钱，求各人钱数.”根据上题的已知条件，戊有（ ） A ．107钱B ．102钱C ．101钱D ．94钱7．已知数列{an }是首项为1a ，公差为d 的等差数列，前n 项和为Sn ，满足4325a a =+，则S 9=（ ） A ．35B ．40C ．45D ．50 8．正项等比数列{}n a 中，5a ，34a ，42a -成等差数列，若212a =，则17a a =（ ） A ．4B ．8C ．32D ．649．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，2414a a +=，且126,,a a a 成等比数列，则公差为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．设等差数列{}n a 的公差为d ，10a >，则“50a >”是“0d >”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件11．设等差数列 {}n a 的前n 项和为n S ，若3710a a += ，则9S = （ ） A ．22.5B ．45C ．67.5D ．9012．在等差数列{}n a 中n S 为前n 项和，7624a a =- ，则9S =（ ） A ．28 B ．30C ．32D ．36二、填空题13．记n S 为等差数列{n a }的前n 项和，若24a =，420S =，则9a =_________.14．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a ，5S ，{}750S ∈-，，则n S 的最小值为__________．15．已知数列{}n a 中，11a =，()1121n n n n a a n a na ++⋅=+-，则通项公式n a =______. 16．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a =，636S S =+，则7S =_____． 三、解答题17．已知等差数列{}n a 满足32a =，前4项和47S =． (1)求{}n a 的通项公式；(2)设等比数列{}n b 满足23b a =，415b a =，数列{}n b 的通项公式．18．已知等差数列{}n a 满足首项为3331log 15log 10log 42-+的值，且3718a a +=. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+． (1)证明：{}n a 是等差数列；(2)若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．20．已知在n的展开式中，前3项的系数成等差数列，求：(1)展开式中二项式系数最大项的项； (2)展开式中系数最大的项； (3)展开式中所有有理项.21．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知535S =，且4a 是1a 与13a 的等比中项，数列{}n b 的前n 项和245n T n n =+．(1)求数列{}{}n n a b 、的通项公式； (2)若14a <，对任意*n ∈N 总有1122111444n nS b S b S b λ+++≤---恒成立，求实数λ的最小值．22．这三个条件中任选一个，补充在下面题目条件中，并解答.①25a =，()11232,n n n S S S n n *+--+=≥∈N ；②25a =，()111322,n n n n S S S a n n *+--=--≥∈N ；③()132,12n n S S n n n n *--=≥∈-N . 问题：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且___________.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知n b 是n a 、1n a +的等比中项，求数列21n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T参考答案1．B2．D3．A4．B5．C7．C8．D9．C10．B11．B12．D 13．18 14．6- 15．21nn - 16．717．（1）设等差数列{}n a 首项为1a ，公差为d ．∵3427a S =⎧⎨=⎩∴()1122441472a d a d +=⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩解得：1112a d =⎧⎪⎨=⎪⎩∴等差数列{}n a 通项公式()11111222n a n n =+-⨯=+（2）设等比数列{}n b 首项为1b ，公比为q∵2341528b a b a ==⎧⎨==⎩∴13128b q b q ⋅=⎧⎨⋅=⎩ 解得：24q =即112b q =⎧⎨=⎩或112b q =-⎧⎨=-⎩ ∴等比数列{}n b 通项公式12n n b -=或()12n n b -=--18．（1）根据题意得，13331log 15log 10log 42a =-+333331533log log log log 2log 211022⎛⎫=+=+=⨯= ⎪⎝⎭，因为数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，则由3718a a +=，得112618a d a d +++=，解得2d =，所以()11221n a n n =+-⨯=-.（2）由（1）可得1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以1111111112323522121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭11122121nn n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭. 19．（1）因为221nn S n a n +=+，即222n n S n na n+=+①，当2n ≥时，()()()21121211n n S n n a n --+-=-+-②，①-②得，()()()22112212211n n n n S n S n na n n a n --+---=+----， 即()12212211n n n a n na n a -+-=--+，即()()()1212121n n n a n a n ----=-，所以11n n a a --=，2n ≥且N*n ∈， 所以{}n a 是以1为公差的等差数列． （2）[方法一]：二次函数的性质由（1）可得413a a =+，716a a =+，918a a =+，又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-，所以13n a n =-，所以()22112512562512222228n n n S n n n n -⎛⎫=-+=-=--⎪⎝⎭， 所以，当12n =或13n =时，()min 78n S =-． [方法二]：【最优解】邻项变号法由（1）可得413a a =+，716a a =+，918a a =+，又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-， 所以13n a n =-，即有1123210,0a a a a <<<<=.则当12n =或13n =时，()min 78n S =-． 20．（1）n展开式的通项公式为1C kn kk k nT -+=⋅3561C 2n kk n k x -=，依题意得122112C 1C 22n n ⋅⋅=+⋅，即2C 4(1)n n =-，得8n =，所以8的展开式有9项，二项式系数最大的项为5项，所以22433584135C 28T x x ==. （2）由（1）知，2456181C 2kk k k T x -+=，设展开式中系数最大的项为第1k +项，则1881188111C C 2211C C 22k k k k k k k k --++⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，即()()()()()()8!8!2!8!1!9!8!8!2!8!1!7!k k k k k k k k ⎧≥⋅⎪⋅--⋅-⎪⎨⎪⋅≥⎪⋅-+⋅-⎩，即92228k k k k -≥⎧⎨+≥-⎩，解得23k ≤≤，所以2k =或3k =， 所以展开式中系数最大的项为737x 和327x . （3）由2456181C 2kk k k T x -+=(0,1,2,3,4,5,6,7,8)k =为有理项知，2456k -为整数，得0k =，6.所以展开式中所有有理项为4x 和716x. 21．（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 由535S =得151035a d +=， 因为4a 是1a 与13a 的等比中项，所以()()2111312a d a a d +=+．化简得172a d =-且2123a d d =，解方程组得17,0a d ==或13,2a d==．故{}n a 的通项公式为7n a =或21n a n =+（其中N n *∈）；因为245n T n n =+，所以214(1)5(1)n T n n -=-+-，(2)n ≥，所以22145[4(1)5(1)]81n n n b T T n n n n n -=-=+--+-=+，因为119b T ==，满足上式，所以()81N n b n n *=+∈；（2）因为14a <，所以21n a n =+， 所以(2)n S n n =+，所以221114488141n n S b n n n n ==-+---，所以22211221111114442141(2)1n n S b S b S b n +++=+++------1111335(21)(21)n n =+++⨯⨯-+111111123352121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 易见111221n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭随n 的增大而增大，从而11112212n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭恒成立， 所以12λ≥，故λ的最小值为12.22．(1)解：选条件①时，25a =，1123n n n S S S +--+=，整理得()()113n n n n S S S S +----=，故13n n a a +-=（常数），且213a a -=， 所以数列{}n a 是以2为首项，3为公差的等差数列.故()13131n a a n n =+-=-；选条件②时，25a =，()*111322,n n n n S S S a n n +--=--≥∈N ，整理得()1112n n n n n S S S S a +---=--，故112n n n a a a +-+=，故数列{}n a 是等差数列，公差213d a a =-=，故()13131n a a n n =+-=-； 选条件③时，()*132,12n n S S n n n n --=≥∈-N ，且121S =， 所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，32为公差的等差数列，则()33121222n S n n n =+-=+，所以23122n S n n =+，则2n ≥时，131n n n a S S n -=-=-.又112311a S ===⨯-满足31n a n =-，所以31n a n =-，*n ∈N . (2)解：由（1）得：31n a n =-，由于n b 是n a 、1n a +的等比中项，所以()()213132n n n b a a n n +==-+⋅，则()()211111313233132n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 故()11111111113255831323232232n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-=-=⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 在等差数列{an}中，若a1=2，公差d=3，则a10的值为：A. 28B. 31C. 34D. 372. 已知等差数列{an}中，a1=1，a5=13，则公差d为：A. 2B. 3C. 4D. 53. 在等差数列{an}中，若a1=3，a7=23，则该数列的通项公式为：A. an = 3nB. an = 3n + 2C. an = 3n - 2D. an = 3n + 14. 已知等差数列{an}的前三项分别为3，5，7，则该数列的第100项为：A. 299B. 300C. 301D. 3025. 在等差数列{an}中，若a1=2，S5=30，则公差d为：A. 2B. 3C. 4D. 56. 等差数列{an}的前10项和为50，第11项为6，则该数列的公差d为：A. 1B. 2C. 3D. 47. 等差数列{an}中，a1=5，a6=19，则该数列的前5项和为：A. 15B. 20C. 25D. 308. 在等差数列{an}中，若a1=1，S10=55，则公差d为：A. 5B. 4C. 3D. 29. 等差数列{an}的前5项和为25，第6项为13，则该数列的公差d为：A. 2B. 3C. 4D. 510. 在等差数列{an}中，若a1=3，a10=31，则该数列的前9项和为：A. 81B. 90C. 99D. 100二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 在等差数列{an}中，若a1=4，d=2，则a8的值为______。

12. 等差数列{an}的前4项和为16，第5项为10，则公差d为______。

13. 已知等差数列{an}的前5项和为30，第3项为7，则公差d为______。

14. 在等差数列{an}中，若a1=5，S10=60，则第10项a10为______。

15. 等差数列{an}的前6项和为36，第7项为14，则公差d为______。

一、等差数列选择题1．在等差数列{}n a 中，10a >，81335a a =，则n S 中最大的是（ ） A ．21SB ．20SC ．19SD ．18S2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足212n n n a a a ++=-，534a a =-，则7S =（ ） A ．7B ．12C ．14D ．213．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（ ） A ．3斤B ．6斤C ．9斤D ．12斤4．在等差数列{}n a 中，3914a a +=，23a =，则10a =（ ） A ．11B ．10C ．6D ．35．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若454a a +=，则8S =（ ） A ．16 B ．-16 C ．4D ．-46．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =，56S S ≥，下列四个命题：①公差d 的最大值为2-；②70S <；③记n S 的最大值为M ，则M 的最大值为30；④20192020a a >.其真命题的个数是（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，记n S ，n T 分别为{}n a ，{}n b 的前n 项和，且713n n S n T n -=，则55a b =（ ） A ．3415B ．2310C ．317D ．62278．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<<m m m S S S ++，若0n S >，则n 的最大值为（ ） A ．2mB ．21m +C ．22m +D ．23m +9．数列{}n a 是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大212，则该数列的项数是（ ） A ．8B ．4C ．12D ．1610．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且71124a a -=，则5S =（ ） A ．15B ．20C ．25D ．3011．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且11112n n n x x x -++=(n ≥2)，则x n 等于（ ） A ．(23)n －1B ．(23)n C ．21n + D ．12n + 12．已知数列{}n a 的前项和221n S n =+，n *∈N ，则5a =（ ）A ．20B ．17C ．18D ．1913．已知等差数列{}n a 中，161,11a a ==，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．53B ．2C ．8D ．1314．已知{}n a 是公差为2的等差数列，前5项和525S =，若215m a =，则m =（ ） A ．4B ．6C ．7D ．815．设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ，已知10100S =，则47a a +=（ ） A ．12B ．20C ．40D ．10016．设等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若()*111,m m a a a m m N +-<<->∈，则必有（ ）A ．0m S <且10m S +>B ．0m S >且10m S +>C ．0m S <且10m S +<D ．0m S >且10m S +<17．在数列{}n a 中，11a =，且11nn na a na +=+，则其通项公式为n a =（ ） A ．211n n -+ B ．212n n -+C ．221n n -+D ．222n n -+18．已知等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41a =，则12a 的值是（ ） A ．15B ．30C ．3D ．6419．已知数列{}n a 的前n 项和()2*n S n n N =∈，则{}na 的通项公式为（ ）A ．2n a n =B ．21n a n =-C ．32n a n =-D ．1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩20．设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237n n S n T n =+，则63a b 的值为（ ） A ．511B ．38C ．1D ．2二、多选题21．题目文件丢失！22．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（ ）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝023．若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，则数列{}n a 中的项的值可能为（ ） A ．15B ．25C ．45D ．6524．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<B ．681a a >C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T25．已知数列0,2,0,2,0,2,，则前六项适合的通项公式为（ ）A ．1(1)nn a =+-B ．2cos2n n a π= C ．(1)2sin2n n a π+= D ．1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--26．设d 为正项等差数列{}n a 的公差，若0d >，32a =，则（ ） A ．244a a ⋅<B ．224154a a +≥C ．15111a a +> D ．1524a a a a ⋅>⋅27．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（ ）A ．2n S n = B ．223n S n n =- C ．21n a n =- D ．35n a n =-28．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则280S S +=；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15C ．若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大D ．若78S S <，则89S S <29．在下列四个式子确定数列{}n a 是等差数列的条件是（ ）A ．n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈）；B ．2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈）；C ．()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ； D ．{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈）.30．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则关于数列{}n a 说法正确的是（ ）A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．B 【分析】设等差数列的公差为d .由已知得()()1137512a d a d +=+，可得关系1392a d =-.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项. 【详解】设等差数列的公差为d .由81335a a =得，()()1137512a d a d +=+，整理得，1392a d =-. 又10a >，所以0d <，因此222120(20)2002222n d d d dS n a n n dn n d ⎛⎫=+-=-=-- ⎪⎝⎭，所以20S 最大. 故选：B. 2．C 【分析】判断出{}n a 是等差数列，然后结合等差数列的性质求得7S . 【详解】∵212n n n a a a ++=-，∴211n n n n a a a a +++-=-，∴数列{}n a 为等差数列. ∵534a a =-，∴354a a +=，∴173577()7()1422a a a a S ++===. 故选：C 3．C 【分析】根据题意转化成等差数列问题，再根据等差数列下标的性质求234a a a ++. 【详解】由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为1a ，粗的一端的重量为5a ，可知12a =，54a =，根据等差数列的性质可知1533263a a a a +==⇒=， 中间三尺为234339a a a a ++==. 故选：C 【点睛】本题考查数列新文化，等差数列的性质，重点考查理解题意，属于基础题型. 4．A 【分析】利用等差数列的通项公式求解1,a d ，代入即可得出结论. 【详解】由3914a a +=，23a =， 又{}n a 为等差数列， 得39121014a a a d +=+=，213a a d =+=，解得12,1a d ==， 则101+92911a a d ==+=； 故选：A. 5．A 【详解】由()()18458884816222a a a a S +⨯+⨯⨯====.故选A.6．B【分析】设公差为d ，利用等差数列的前n 项和公式，56S S ≥，得2d ≤-，由前n 项和公式，得728S ≤，同时可得n S 的最大值，2d =-，5n =或6n =时取得，结合递减数列判断D ． 【详解】设公差为d ，由已知110a =，56S S ≥，得5101061015d d ⨯+≥⨯+，所以2d ≤-，A 正确；所以7710217022128S d =⨯+≤-⨯=，B 错误；1(1)10(1)0n a a n d n d =+-=+-≥，解得101n d≤-+，11100n a a nd nd +=+=+≤，解得10n d≥-， 所以10101n d d-≤≤-+，当2d =-时，56n ≤≤， 当5n =时，有最大值，此时51010(2)30M =⨯+⨯-=，当6n =时，有最大值，此时61015(2)30M =⨯+⨯-=，C 正确． 又该数列为递减数列，所以20192020a a >，D 正确． 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和，掌握等差数列的前n 和公式与性质是解题关键．等差数列前n 项和n S 的最大值除可利用二次函数性质求解外还可由10n n a a +≥⎧⎨≤⎩求得．7．D 【分析】利用等差数列的性质以及前n 项和公式即可求解. 【详解】由713n n S n T n-=， ()()19551991955199927916229239272a a a a a a Sb b b b b b T ++⨯-======++⨯. 故选：D 8．C【分析】首先根据数列的通项n a 与n S 的关系，得到10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++，再根据选项，代入前n 项和公式，计算结果. 【详解】由21<<m m m S S S ++得，10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++==+，()()()1232322323<02m m m m a a S m a +++++==+， ()()()()1222212211>02m m m m m a a S m a a ++++++==++.故选:C.【点睛】关键点睛：本题的第一个关键是根据公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，判断数列的项的正负，第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负. 9．A 【分析】设项数为2n ，由题意可得()21212n d -⋅=，及6S S nd -==奇偶可求解． 【详解】设等差数列{}n a 的项数为2n ， 末项比首项大212， ()212121;2n a a n d ∴-=-⋅=① 24S =奇，30S =偶，30246S S nd ∴-=-==奇偶②．由①②，可得32d =，4n =， 即项数是8， 故选：A. 10．B 【分析】设出数列{}n a 的公差，利用等差数列的通项公式及已知条件，得到124a d +=，然后代入求和公式即可求解 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由已知可得()()111261024a d a d a d +-+=+=， 所以()5115455254202S a d a d ⨯=+=+=⨯= 故选：B 11．C 【分析】由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求出数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而得出答案．【详解】由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且121131,2x x ==，故公差12d = 则()1111122n n n x +=+-⨯=，故21n x n =+故选：C 12．C 【分析】根据题中条件，由554a S S =-，即可得出结果． 【详解】因为数列{}n a 的前项和2*21,n S n n N =+∈， 所以22554(251)(241)18a S S =-=⨯+-⨯+=． 故选：C ． 13．B 【分析】设公差为d ，则615a a d =+，即可求出公差d 的值. 【详解】设公差为d ，则615a a d =+，即1115d =+，解得：2d =， 所以数列{}n a 的公差为2， 故选：B 14．A 【分析】由525S =求出1a ，从而可求出数列的通项公式，进而可求出m 的值 【详解】 解：由题意得15452252a ⨯+⨯=，解得11a =， 所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-， 因为215m a =，所以22115m ⋅-=，解得4m =，故选：A 15．B 【分析】由等差数列的通项公式可得47129a a a d +=+，再由1011045100S a d =+=，从而可得结果. 【详解】 解：1011045100S a d =+=，12920a d ∴+=， 4712920a a a d ∴+=+=.故选：B. 16．D 【分析】由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】由题意，1110,0m m a a a a ++>+<， 所以1()02m m m a a S +=>，111(1)()02m m m a a S ++++=<. 故选：D. 17．D 【分析】先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=，再由累加法计算出2122n n n a -+=，进而求出n a .【详解】 解：11nn na a na +=+， ()11n n n a na a ++=∴，化简得：11n n n n a a a a n ++=+， 两边同时除以1n n a a +并整理得：111n nn a a +-=， 即21111a a -=，32112a a -=，43113a a -=，…，1111(2,)n n n n n z a a --=-≥∈， 将上述1n -个式子相加得：213243111111+a a a a a a --+-+ (1)11123n n a a -+-=+++…1n +-，即111(1)2n n n a a --=， 2111(1)(1)2=1(2,)222n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈， 又111a =也满足上式， 212()2n n n n z a -+∴=∈， 22()2n a n z n n ∴=∈-+. 故选：D. 【点睛】 易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现1n -，要注意检验首项是否符合. 18．A 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列的通项公式列方程组，求出1a 和d 的值，12111a a d =+，即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则111681631a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩，即117831a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得：174174d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以12117760111115444a a d =+=-+⨯==， 所以12a 的值是15， 故选：A 19．B 【分析】利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式，然后验证1a 的值是否适合，最后写出n a 的式子即可. 【详解】2n S n =，∴当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==，上式也成立，()*21n a n n N ∴=-∈，故选：B.【点睛】易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，算出之后一定要判断1n =时对应的式子是否成立，最后求得结果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题.20．C【分析】令22n S n λ=，()37n T n n λ=+，求出n a ，n b ，进而求出6a ，3b ，则63a b 可得． 【详解】令22n S n λ=，()37n T n n λ=+，可得当2n ≥时，()()221221221n n n a S S n n n λλλ-=-=--=-， ()()()()137134232n n n b T T n n n n n λλλ-=-=+--+=+，当1n =，()11112,3710a S b T λλλ====+=，符合()221n a n λ=-，()232n b n λ=+故622a λ=，322b λ=， 故631a b =. 【点睛】由n S 求n a 时，11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式求解．二、多选题21．无22．ABD【分析】对于A ，由题意得b n ＝4πa n 2，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果 【详解】由题意得b n ＝4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4πa 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·a 2021，则选项A 正确； 又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误；由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确；故选：ABD.【点睛】此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题 23．ABC【分析】利用数列{}n a 满足的递推关系及135a =，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果.【详解】数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，依次取1,2,3,4,...n =代入计算得， 211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234,,,5555. 故选：ABC.【点睛】本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题.24．AD【分析】分类讨论67,a a 大于1的情况，得出符合题意的一项.【详解】 ①671,1a a >>, 与题设67101a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意.③671,1,a a <<与题设67101a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .∴B ，C ，错误.故选：AD.【点睛】考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：()1*1n n a a qn N -=∈. 25．AC【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案．【详解】对于选项A ，1(1)n n a =+-取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件； 对于选项B ，2cos2n n a π=取前六项得：0,2,0,2,0,2--，不满足条件； 对于选项C ，(1)2sin 2n n a π+=取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件； 对于选项D ，1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得：0,2,2,8,12,22，不满足条件；故选：AC26．ABC【分析】由已知求得公差d 的范围：01d <<，把各选项中的项全部用d 表示，并根据01d <<判断各选项．【详解】由题知，只需1220010a d d d =->⎧⇒<<⎨>⎩， ()()2242244a a d d d ⋅=-⋅+=-<，A 正确；()()2222415223644a a d d d d +=-++=-+>≥，B 正确； 21511111122221a a d d d+=+=>-+-，C 正确； ()()()()2152422222230a a a a d d d d d ⋅-⋅=-⋅+--⋅+=-<，所以1524a a a a ⋅<⋅，D 错误.【点睛】本题考查等差数列的性质，解题方法是由已知确定d 的范围，由通项公式写出各项（用d表示）后，可判断．27．AC【分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，由此能求出n a 与n S ．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．39S =，47a =， ∴31413239237S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩， 解得11a =，2d =，1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=．()21212n n n S n +-== 故选：AC ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．28．BC【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案.【详解】A 选项，若1011091002S a d ⨯=+=，则1290a d +=， 那么()()2811128281029160S S a d a d a d d +=+++=+=-≠.故A 不正确； B 选项，若412S S =，则()5611128940a a a a a a ++++=+=，又因为10a >，所以前8项为正，从第9项开始为负，因为()()116168916802a a S a a +==+=， 所以使0n S >的最大的n 为15.故B 正确；C 选项，若()115158151502a a S a +==>，()()116168916802a a S a a +==+<， 则80a >，90a <，则{}n S 中8S 最大.故C 正确；D 选项，若78S S <，则80a >，而989S S a -=，不能判断9a 正负情况.故D 不正确. 故选：BC .【点睛】本题考查等差数列性质的应用，涉及等差数列的求和公式，属于常考题型.29．AC【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列．【详解】A 选项中n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈），数列{}n a 的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，B 选项中2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误；C 选项中()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ，对于数列{}n a 符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确；D 选项{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈），不符合2n S An Bn =+，所以{}n a 不为等差数列．故错误．故选：AC【点睛】本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．30．ABD【分析】由已知递推式可得数列2=，公差为1的等差数列，结合选项可得结果.【详解】 )211n a =-得)211n a +=，1=，即数列2=，公差为1的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，∴22n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，所以易知ABD 正确，故选：ABD.【点睛】本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.。

高考数学《等差等比数列综合问题》基础知识与练习题（含答案）一、基础知识：1、等差数列性质与等比数列性质：（1）若{}n a 为等差数列，0,1c c >≠，则{}na c成等比数列证明：设{}n a 的公差为d ，则11n n n na a a da c c c c ++−==为一个常数所以{}na c成等比数列（2）若{}n a 为正项等比数列，0,1c c >≠，则{}log c n a 成等差数列 证明：设{}n a 的公比为q ，则11log log log log n c n c n c c na a a q a ++−==为常数 所以{}log c n a 成等差数列 二、典型例题：例1：已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（ ） A. 1 B. 1−或2 C. 2 D. 1−思路：由“1324,,2a a a 成等差数列”可得：3123122422a a a a a a =+⇒=+，再由等比数列定义可得：23121,a a q a a q ==，所以等式变为：22q q =+解得2q =或1q =−，经检验均符合条件 答案：B例2：已知{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（ ）A. 140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <>思路：从“348,,a a a 成等比数列”入手可得：()()()22438111327a a a a d a d a d =⇒+=++，整理后可得：2135a d d=−，所以135d a =−，则211305a d a =−<，且()2141646025a dS d a d =+=−<，所以B 符合要求答案：B小炼有话说：在等差数列（或等比数列）中，如果只有关于项的一个条件，则可以考虑将涉及的项均用1,a d （或1,a q ）进行表示，从而得到1,a d （或1,a q ）的关系例3：已知等比数列{}n a 中的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++=_______________思路：由等比数列性质可得：1011912a a a a =，从而51011912a a a a e ==，因为{}n a 为等比数列，所以{}ln n a 为等差数列，求和可用等差数列求和公式：101112201011ln ln ln ln ln 2010ln 502a a a a a a a ++++=⋅==答案：50例4：三个数成等比数列，其乘积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列，则这三个数为___________ 思路：可设这三个数为,,a a aq q ，则有3=512512aa aq a q⋅⋅⇒=，解得8a =，而第一个数与第三个数各减2，新的等差数列为82,8,82q q −−，所以有：()816282q q ⎛⎫=−+− ⎪⎝⎭，即22252520q q q q+=⇒−+=，解得2q =或者12q =，2q =时，这三个数为4,8,16，当12q =时，这三个数为16,8,4 答案： 4,8,16小炼有话说：三个数成等比（或等差）数列时，可以中间的数为核心。

自主梳理1．等差数列的有关定义(1)一般地，如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的____等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为____________ (n ∈N *，d 为常数)．(2)数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是____________，其中A 叫做a ，b 的____________．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝____________，a n ＝a m ＋__________ (m ，n ∈N *)．(2)前n 项和公式：S n ＝______________＝________________.3．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列的充要条件是其前n 项和公式S n ＝____________.4．等差数列的性质(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有________________，特别地，当m ＋n ＝2p 时，________________.(2)等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列．(3)等差数列的单调性：若公差d >0，则数列为________；若d <0，则数列为__________；若d ＝0，则数列为____________．自我检测1． 已知等差数列{a n }中，a 5＋a 9－a 7＝10，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S 13的值为________．2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d ＝________.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝________.4．若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝________.学生姓名教师姓名 班主任 日期时间段 年级 课时 教学内容 等差数列及其前n 项和教学目标 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等差数列与一次函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．重点 等差数列性质、公式灵活应用难点同上5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5＝________.探究点一 等差数列的基本量运算例1 等差数列{a n }的前n 项和记为S n .已知a 10＝30，a 20＝50，(1)求通项a n ；(2)若S n ＝242，求n .变式迁移1 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，它的前10项和S 10＝110，且a 1，a 2，a 4成等比数列，求公差d 和通项公式a n .探究点二 等差数列的判定例2 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1 (n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大值和最小值，并说明理由．变式迁移2 已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1(n ≥2且n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值．(2)是否存在实数λ，使得数列{a n ＋λ2n }为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．探究点三 等差数列性质的应用例3 若一个等差数列的前5项之和为34，最后5项之和为146，且所有项的和为360，求这个数列的项数．变式迁移3 已知数列{a n }是等差数列．(1)前四项和为21，末四项和为67，且前n 项和为286，求n ；(2)若S n ＝20，S 2n ＝38，求S 3n ；(3)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．探究点四 等差数列的综合应用例4 已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72.若b n ＝12a n －30，求数列{b n }的前n 项和的最小值．变式迁移4 在等差数列{a n }中，a 16＋a 17＋a 18＝a 9＝－36，其前n 项和为S n .(1)求S n 的最小值，并求出S n 取最小值时n 的值．(2)求T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |.1．等差数列的判断方法有：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列．(2)中项公式：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }是等差数列．2．对于等差数列有关计算问题主要围绕着通项公式和前n 项和公式，在两个公式中共五个量a 1、d 、n 、a n 、S n ，已知其中三个量可求出剩余的量，而a 与d 是最基本的，它可以确定等差数列的通项公式和前n 项和公式．3．要注意等差数列通项公式和前n 项和公式的灵活应用，如a n ＝a m ＋(n －m )d ，S 2n －1＝(2n －1)a n 等．4．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为①a ，a ＋d ，a ＋2d ；②a －d ，a ，a ＋d ；③a －d ，a ＋d ，a ＋3d 等可视具体情况而定．一、填空题1．已知{a n }为等差数列，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5＝______.2．如果等差数列{}a n 中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝________.3．已知{a n }是等差数列，a 1＝－9，S 3＝S 7，那么使其前n 项和S n 最小的n 是________．4．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为________．5．等差数列{a n }的前n 项和满足S 20＝S 40，下列结论中正确的序号是________． ①S 30是S n 中的最大值；②S 30是S n 中的最小值；③S 30＝0；④S 60＝0.6．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________.8．在数列{a n }中，若点(n ，a n )在经过点(5,3)的定直线l 上，则数列{a n }的前9项和S 9＝________.二、解答题9．设{a n }是一个公差为d (d ≠0)的等差数列，它的前10项和S 10＝110，且a 22＝a 1a 4.(1)证明：a 1＝d ；(2)求公差d 的值和数列{a n }的通项公式．10．已知等差数列{a n}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{a n}的前n项和为S n.(1)求a n及S n；(2)令b n＝1a2n－1(n∈N*)，求数列{b n}的前n项和T n. 11．在数列{a n}中，a1＝1,3a n a n－1＋a n－a n－1＝0(n≥2)．(1)证明数列{1a n}是等差数列；(2)求数列{a n}的通项；(3)若λa n＋1a n＋1≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．。

高三等差数列练习题及答案解析在高中数学的学习过程中，等差数列是一个非常重要的概念。

在这篇文章中，我们将提供一些高三等差数列练习题并给出详细的答案解析。

希望这些题目能够帮助学生们更好地理解和掌握等差数列的性质和运算规律。

练习题一：已知等差数列的首项为a，公差为d。

若第7项等于2a+5d，第10项等于8a+11d，则求该等差数列的首项和公差。

解析：设该等差数列的首项为a，公差为d。

根据已知条件，我们可以列出以下方程组：a + 6d = 2a + 5d --(1)a + 9d = 8a + 11d --(2)我们先来解第一个方程：将方程(1)化简，得到：d = a --(3)然后，我们将方程(3)代入方程(2)，得到：a + 9(a) = 8a + 11(a)10a = 18a由此可知，a = 0。

将a代入方程(3)，得到：d = 0所以该等差数列的首项为0，公差也为0。

练习题二：已知等差数列的前n项和为Sn，公差为d。

若前m项和为Sm，其中m < n，则求从第m+1项到第n项的和。

解析：设从第m+1项到第n项的和为Sn'，则根据等差数列的性质，有：Sn' = Sn - Sm练习题三：已知等差数列的前n项和为Sn，公差为d。

若将每一项都乘以-1后得到新的数列，求新数列的前n项和。

解析：设新数列的前n项和为S'n。

根据等差数列的性质，有：S'n = -Sn练习题四：已知等差数列的前n项和为Sn，公差为d。

若将每一项都平方后得到新的数列，求新数列的前n项和。

设新数列的前n项和为S''n。

根据等差数列的性质，有：S''n = a^2 + (a+d)^2 + (a+2d)^2 + ... + (a+(n-1)d)^2我们可以利用平方公式将每一项展开，然后进行简化，得到：S''n = (n/6)(2a^2 + (n-1)d^2 + 4ad(n-1) + 2d^2(n-1)(2n-1))练习题五：已知等差数列的前n项和为Sn，公差为d。

高三数学等差数列试题答案及解析1. 在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，则的取值范围_________. 【答案】【解析】由题意得：，所以，即【考点】等差数列性质2. 已知数列是等差数列，且，那么数列的前11项和等于（ ）A ．22B ．24C ．44D ．48【答案】A【解析】由等差数列的性质可知，则.故A 正确.【考点】1等差数列的性质；2等差数列的前项和公式.3. 设等差数列{a n }的首项a 1为a ，公差d ＝2，前n 项和为S n ． (1) 若当n=10时，S n 取到最小值，求的取值范围； (2) 证明：n ∈N*, S n ，S n ＋1，S n ＋2不构成等比数列． 【答案】见解析【解析】(1)解：由题意可知，所以(2)证明：采用反证法．不失一般性，不妨设对某个m ∈N*，S m ，S m ＋1，S m ＋2构成等比数列，即．因此 a 2＋2ma ＋2m(m ＋1)＝0， 要使数列{a n }的首项a 存在，上式中的Δ≥0．然而 Δ＝(2m)2－8m(m ＋1)＝－4m (2＋m)＜0，矛盾．所以，对任意正整数n ，S n ，S n ＋1，S n ＋2都不构成等比数列．4. 设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．35【答案】C【解析】由a 3＋a 4＋a 5＝12得a 4＝4， 所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝＝7a 4＝28．5. 已知函数， 数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)令，若对一切成立，求最小正整数m ．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由可知数列为等差数列，易求得通项公式；（2）由第（1）的结果所以可用拆项法求和进而求得的最小值．解：（1）是以为公差，首项的等差数列（2）当时，当时，上式同样成立即对一切成立，又随递增，且，【考点】1、等差数列通项公式；2、拆项法求特列数列的前项和；3、含参数的不等式恒成立问题．6.设是等差数列的前项和，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得：,.故选D.【考点】1.等差数列的和；2.等差数列的性质.7.已知是递增的等差数列，，为其前项和，若成等比数列，则 .【答案】70【解析】因为数列为等差数列,所以且,因为成等比数列,所以,因为数列是递增的,所以,即,则,再根据等差数列前n项和的公式可得.故填70.【考点】等差数列等比中项前n项和8.等差数列的前项和为，若，则【答案】6【解析】因为为等差数列,所以根据等差数列的性质(下脚标之和相等对应项之和相等)可得,再根据等差数列的前n项和公式可得,故填6.【考点】等差数列前n项和9.在数列中，其前项和为，满足.（1）求数列的通项公式;（2）设（为正整数）,求数列的前项和.【答案】(1) .（2）.【解析】(1)根据,计算验证当时，,明确数列是为首项、公差为的等差数列即得所求. （2）由(1)知:利用“裂项相消法”、“错位相减法”求和.试题解析：(1)由题设得:,所以所以 2分当时，,数列是为首项、公差为的等差数列故. 5分（2）由(1)知: 6分9分设则两式相减得：整理得： 11分所以 12分【考点】等差数列的通项公式，“裂项相消法”，“错位相减法”.10.已知等差数列{an }中,a2+a4=10,a5=9,数列{bn}中,b1=a1,bn+1=bn+an.(1)求数列{an }的通项公式,写出它的前n项和Sn.(2)求数列{bn}的通项公式.(3)若cn =,求数列{cn}的前n项和Tn.【答案】(1) an =2n-1,Sn= n2 (2) bn=n2-2n+2 (3) Tn= =【解析】(1)设{an }的公差为d,由题意得a1=1,d=2,所以an =2n-1,Sn=na1+d=n2.(2)b1=a1=1,bn+1=bn+an=bn+2n-1,所以b2=b1+1,b3=b2+3=b1+1+3,b n =b1+1+3+…+(2n-3)=1+(n-1)2=n2-2n+2(n≥2).又n=1时n2-2n+2=1=b1,所以数列{bn }的通项公式为bn=n2-2n+2.(3)cn===-,Tn =c1+c2+…+cn=(-)+(-)+…+(-)=1-=.11.已知数列为等差数列，且．（1）求数列的通项公式；（2）求证：.【答案】（1） ;（2）参考解析【解析】（1）因为数列为等差数列，且，通过这些条件列出相应的方程即可求出等差数列的首项和公差，从而求出数列的通项公式，即可求出数列的通项公式，本小题的关键是对一个较复杂的数列的理解，对数式的运算也是易错点. （2）因为由(1)的到数列的通项公式，根据题意需要求数列前n项和公式，所以通过计算可求出通项公式，再利用等比数列的求和公式，即可得到结论.试题解析：（1）设等差数列的公差为d，由得所以d=1；所以即．（2）证明：所以 .【考点】1.对数的运算.2.等差数列的性质.3.等比数列的性质.4.构造转化的思想.12.已知函数y＝an x2(an≠0，n∈N*)的图像在x＝1处的切线斜率为2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，且当n＝1时其图像过点(2,8)，则a7的值为()A．B．7 C．5D．6【答案】C【解析】由题知y′＝2an x，∴2an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，∴a n－a n－1＝.又n＝1时其图像过点(2,8)，∴a1×22＝8，得a1＝2，∴{an}是首项为2，公差为的等差数列， an＝＋，得a7＝5.13.若Sn 是等差数列{an}的前n项和，且S8－S4＝12，则S12的值为()A．64B．44C．36D．22【答案】C【解析】由S8－S4＝12得a5＋a8＝a6＋a7＝a1＋a12＝6，则S12＝×(a1＋a12)＝3614.已知数列{an }是公差为2的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，则数列{an}的前5项和S5＝()A．20B．30C．25D．40【答案】C【解析】由数列{an }是公差为2的等差数列，得an＝a1＋(n－1)·2，又因为a1，a2，a5成等比数列，所以a1·a5＝，即a1·(a1＋8)＝(a1＋2)2，解得a1＝1，所以S5＝5a1＋·d＝5×1＋20＝2515.已知公差不为零的等差数列{an }的前4项和为10，且a2，a3，a7成等比数列．(1)求通项公式an；(2)设bn ＝2an，求数列{bn}的前n项和Sn.【答案】（1）an＝3n－5(n∈N*)．（2）【解析】(1)由题意知，解得所以an＝3n－5(n∈N*)．(2)∵bn ＝2an＝23n－5＝·8n－1，∴数列{bn}是首项为，公比为8的等比数列，所以Sn＝16.已知{}为等差数列，若，,则________.【答案】20【解析】由题意可知，，则等差数列{}的公差，又因为.【考点】等差中项的应用.17.已知等差数列{an }的前n项和为Sn，满足a13＝S13＝13，则a1＝()．A．－14B．－13C．－12D．－11【答案】D【解析】在等差数列中，，所以a1＋a13＝2，即a1＝2－a13＝2－13＝－11.18.设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2、a4、a6成公差为1的等差数列，则q的取值范围是________．【答案】【解析】∵a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，又a1＝1，∴a3＝q，a5＝q2，a7＝q3.又a2，a4，a 6成公差为1的等差数列，∴a4＝a2＋1，a6＝a2＋2.由1＝a1≤a2≤a3≤…≤a7，即有解得19.设各项均为正数的数列的前项和为，满足且恰好是等比数列的前三项．（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）记数列的前项和为,若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ），；(Ⅱ)【解析】（Ⅰ）根据数列的通项与数列前项和的关系，由，得；两式相减得数列的递推公式，从而得出数列通项公式.由此可求以确定等比数列的首项和公比,进而得到数列的通项公式.(Ⅱ)由（Ⅰ）的结果求,把变形为,,所以不小于的最大值.只需探究数列的单调性求其最大值即可.试题解析：（Ⅰ）当时，，, 2分当时，是公差的等差数列.构成等比数列，，，解得, 3分由条件可知， 4分是首项,公差的等差数列.数列的通项公式为. 5分,数列的通项公式为 6分(Ⅱ) ，对恒成立对恒成立， 9分令，，当时，，当时，，． 12分【考点】1、等差数列;等比数列的通项公式和前项和.2、参变量范围的求法.20.设Sn 为等差数列{an}的前n项和，已知S5=5，S9=27，则S7= ．【答案】【解析】研究特殊数列：等差数列的通法为根据方程组求出其首项及公差.由及解得【考点】等差数列前n项和.21.在数列中，前n项和为，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，数列前n项和为，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）已知前项和公式求，则.由此可得数列的通项公式．（Ⅱ）由等差数列与等比数列的积或商构成的新数列，求和时用错位相消法.在本题中用错位相消法可得．这也是一个数列，要求数列的范围，首先考查数列的单调性，而考查数列的单调性，一般是考查相邻两项的差的符号.作差易得，所以这是一个递增数列，第一项即为最小值.递增数列有可能无限增大，趋近于无穷大.本题中由于，所以.由此即得的取值范围．试题解析：（Ⅰ）当时，；当时，，经验证，满足上式．故数列的通项公式． 4分（Ⅱ）可知，则，两式相减，得，所以． 8分由于，则单调递增，故，又，故的取值范围是 12分【考点】1、等差数列与等比数列；2、错位相消法求和；3、数列的范围.22.由函数确定数列，.若函数能确定数列，，则称数列是数列的“反数列”.（1）若函数确定数列的反数列为，求；（2）对（1）中的，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围；（3）设（为正整数），若数列的反数列为，与的公共项组成的数列为（公共项为正整数），求数列的前项和.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）本题实质是求函数的反函数；（2）不等式恒成立，因此小于不等式左边的最小值，所以我们一般想办法求左边这个和，然而由（1）知，这个和求不出，那么我们只能从另一角度去思考，看的单调性，这里只要作差就可得出是递增数列，所以的最小值是，问题解决；（3）看起来很复杂，实质上由于和取值只能是0和1，因此我们按的奇偶性分类讨论，问题就简化了，例如当为奇数时，，则，就可求出，从而求出的前项和了．试题解析：（1），则；4分（2）不等式化为：，5分设，因为，所以单调递增， 7分则.因此，即.因为，所以，得. 10分（3）当为奇数时，，. 11分由，则，即，因此， 13分所以 14分当为偶数时，，. 15分由得，即，因此， 17分所以 18分【考点】（1）反函数；（2）数列的单调性；（3）分类讨论，等差数列与等比数列的前项和．23.（本小题满分13分）已知等比数列满足.（1）求数列的前15项的和；（2）若等差数列满足，，求数列的前项的和【答案】(1);(2)110【解析】(1)由等比数列满足.列出两个关于首项与公比的方程，通过解方程组可求出首项与公比.从而通过等比数列的前项和的公式求出前15项的和.本小题解出公比有两个值代入验算舍去一个.（2）由于等差数列满足，，由（1）可得数列的通项公式.从而得到数列的通项公式.即可求出等差数列的前10项和.试题解析：（1）设等比数列的公比为，由得,由得两式作比可得，（不符合题意舍去），所以，把代入②解得，由等比数列求和公式得7分（2）由（I）可得，设等差数列的公差为，则=2由等差数列求和公式得 13分【考点】1.待定系数法.2.等比数列前项和.3.等差数列的前项和.24.已知数列前n项和为，首项为，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，求证：【答案】(1)数列的通项公式;(2) ，,.【解析】(1)有等差数列的等差中项有，再根据可建立的关系，，由等比数列的定义可知数列是以为首项，以2为公比的等比数列，.(2)由（1）中可写出，则，再利用裂项求和的方法有.试题解析：(1)成等差数列，，当时，，当时，，两式相减得：∴数列是以为首项，以2为公比的等比数列，所以 .(2).【考点】1、等差中项；2、数列中求通项；3等比数列的定义；4、裂项相消求和；5、放缩法证明不等式.25.已知数列满足：，，（其中为非零常数，）．（1）判断数列是不是等比数列？（2）求；（3）当时，令，为数列的前项和，求.【答案】（1）数列是等比数列；（2），；（3）.【解析】（1）将数列的递推式进行变形得，从而利用定义得到数列是等比数列；（2）在（1）的基础上先求出数列的通项公式，再利用累乘法求数列的通项公式；（3）在（2）的基础上，将代入数列的通项公式，从而求出数列的通项公式，并根据数列的通项公式，对、以及进行三种情况的分类讨论，前两种情况利用等差数列求和即可，在最后一种情况下利用错位相减法求数列的前项和，最后用分段的形式表示数列的前项和.试题解析：（1）由，得．令，则，．，，（非零常数），数列是等比数列．（2）数列是首项为，公比为的等比数列，，即．当时，，满足上式，．（3），当时，．，①②当，即时，①②得：，即．而当时，，当时，．综上所述，【考点】1.定义法证明等比数列；2.累乘法求数列通项；3.等差数列求和；4.错位相减法求和26.设等差数列的前项和为，若，，则等于（）A．180B．90C．72D．100【答案】B【解析】因为2=9+11=20，所以，=9=90，故选B.【考点】等差数列的性质和前n项和27.已知函数对任意的实数都有，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知可得，可得为一等差数列，又，则，即，故选B．【考点】等差数列的定义28.已知等差数列的前项和是，则使的最小正整数等于【答案】2014【解析】设等差数列的公差为，∵前项和是，又∵，∴，解得，∴，由，可得，故最小正整数为．【考点】等差数列的前项和，等差数列的通项公式．29.在等差数列中，若，则的值为 ( )A．20B．22C．24D．28【答案】C【解析】由得，.【考点】等差数列.30.已知等差数列中，，记数列的前项和为，若，对任意的成立，则整数的最小值为( )A．5B．4C．3D．2【答案】B【解析】在等差数列中，∵，∴，解得，∴.∵，∴数列是递减数列，数列的最大项为，∵，又∵是整数，∴的最小值为4，选B.【考点】等差数列的通项公式，数列的单调性.31.已知数列，分别为等比，等差数列，数列的前n项和为，且，，成等差数列，，数列中，，（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）若数列的前n项和为,求满足不等式的最小正整数。

舒城中学2018—2019学年度第二学期第二次统考高一文数（总分：150分 时间：120分钟）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.2.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号填写在答题卡相应的位置.3.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合(){}lg 23A x y x ==-，{}|2,0x B y y x ==≥，则B A C R ⋂)(=（ ） A. ()0,3B. 30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭2.设数列{}n a 中，已知)1(11,111>+==-n a a a n n ，则=3a（ ） A ．58 B ．35 C ．23 D ．2 3.设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（ ） A ．1433AD AB AC =-+B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+D ．4133AD AB AC =- 4.已知向量()()2,1,,2a b x ==-，若//a b ，则a b +等于（ ） A ．()3,1-B ．()3,1-C ．()2,1D ．()2,1--5.已知53)3sin(=+x π，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-6cos πx（ ） A ．53B ．54C ． 53-D ．54-6. 在数列{}n x 中2,841==x x ，且满足+++∈=+N n x x x n n n ,212．则=10x（ ） A ．10-B ．10C ．20-D ．207. 函数()3sin(2)3f x x π=-的图象的一条对称轴是（ ） A ．3x π=B ．512x π=C ．2x π=D ．56x π= 8. 若bc a c b c b a 3))((=-+++，且C B A cos sin 2sin =，那么ABC ∆是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形9. 如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸C B ,的俯角分别为︒︒30,75，此时气球的高是m 60，则河流的宽度BC 等于（ ）A ．m )13(30+B ．m )13(120-C ．m )12(180-D ．m )13(240-10.等差数列{}n a 的首项为24，且从第10项起才开始为负，则其公差d 的取值范围是（ ）A ．38-<dB ．383-<<-dC ．383-<≤-dD ．383-≤<-d 11.已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为4π，且对x R ∀∈，有()()3f x f π≤成立，则()f x 的一个对称中心坐标是（ ） A.2(,0)3π-B.(,0)3π-C.2(,0)3πD.5(,0)3π12.已知定义在R 上的函数()f x ，若函数(2)y f x =+为偶函数，且()f x 对任意12,[2,)x x ∈+∞ (12x x ≠)，都有2121()()0f x f x x x -<-，若()(31)f a f a ≤+，则实数a 的取值范围是（ ）A ．13[,]24- B ．[2,1]--C.1(,]2-∞- D ．3(,)4+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分. 13.已知ααcos 2sin =，则=+αααsin cos 2sin 2_________14.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且94S S =，151,0k a a a =+=，则k =_________15.在ABC ∆中，已知135cos ,53sin ==B A ，则C cos 等于_____________ 16.P 是ABC ∆所在平面上一点，满足2PA PB PC AB ++=，若12=∆ABC S ，则PAB ∆的面积为_____________三、解答题：共70分。

一、等差数列选择题1．已知等差数列{}n a 满足48a =，6711a a +=，则2a =（ ） A ．10B ．9C ．8D ．72．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 2=8，38522a a a +=+，则a 1等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=，则7S =（ ） A ．10-B ．8C ．12D ．144．在等差数列{}n a 中，3914a a +=，23a =，则10a =（ ） A ．11B ．10C ．6D ．35．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()12n n n S +=，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项的和为（ ） A ．89B ．910C ．1011D ．11126．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（ ） A ．11B ．12C ．23D ．247．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n nn S a b n =---⨯+，*n N ∈，则存在数列{}n b 和{}n c 使得（ ）A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列C ．·n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．·n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 8．已知等差数列{}n a 中，5470,0a a a >+<，则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（ ） A ．4SB ．5SC ． 6SD ． 7S9．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =（ )A ．1B ．8C ．4D ．210．已知等差数列{}n a 中，前n 项和215n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（ ）A ．7B ．8C ．7或8D ．911．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（ ）A ．3、8、13、18、23B ．4、8、12、16、20C ．5、9、13、17、21D ．6、10、14、18、2212．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（ ） A ．121B ．161C ．141D ．15113．在数列{}n a 中，129a =-，()*13n n a a n +=+∈N ，则1220a a a +++=（ ）A ．10B ．145C ．300D ．32014．已知{}n a 是公差为2的等差数列，前5项和525S =，若215m a =，则m =（ ） A ．4B ．6C ．7D ．815．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =.定义数列{}n b 如下：()*1m m b m m+∈N 是使不等式()*n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值，则13519 b b b b ++++=（ ）A ．25B ．50C ．75D ．10016．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{} n a ，则5a =（ ） A ．103B ．107C ．109D ．10517．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132a a +=，422a a -=，则5S =（ ） A ．21B ．15C ．10D ．618．在等差数列{}n a 的中，若131,5a a ==，则5a 等于（ ） A ．25B ．11C ．10D ．919．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若542S S =，248a a +=，则5a 等于（ ） A ．6B ．7C ．8D ．1020．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，3456720a a a a a ++++=，则9S =（ ） A ．24B ．36C ．48D ．64二、多选题21．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =B ．733S =C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=22．题目文件丢失！23．题目文件丢失！ 24．题目文件丢失！25．设数列{}n a 满足1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是（ ） A ．2112a << B ．{}n a 是递增数列 C ．2020312a <<D ．2020314a << 26．若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．227．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<B ．681a a >C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T28．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则（ ） A ．若59S >S ，则150S > B ．若59S =S ，则7S 是n S 中最大的项 C ．若67S S >， 则78S S >D ．若67S S >则56S S >.29．记n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若81535a a = 且10a >，则下列关于数列的描述正确的是（ ） A ．2490a a += B ．数列{}n S 中最大值的项是25S C ．公差0d >D ．数列{}na 也是等差数列30．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，717S S =，则（ ） A ．0d < B ．120a > C ．13n S S ≤D ．当且仅当0nS <时，26n ≥【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题1．A 【分析】利用等差数列的性质结合已知解得d ，进一步求得2a ． 【详解】在等差数列{}n a 中，设公差为d ，由467811a a a =⎧⇒⎨+=⎩444812311a d a d a d =⎧⇒=-⎨+++=⎩，24210a a d ∴=-=. 故选：A 2．C 【分析】利用等差数列的下标和性质以及基本量运算，可求出1a ． 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则3856522a a a a a +=+=+，解得652d a a =-=，212112228S a a a d a =+=+=+=，解得13a =故选：C 3．D 【分析】利用等差数列下标性质求得4a ，再利用求和公式求解即可 【详解】147446=32a a a a a ++=∴=，则()177477142a a S a +=== 故选：D 4．A 【分析】利用等差数列的通项公式求解1,a d ，代入即可得出结论. 【详解】由3914a a +=，23a =， 又{}n a 为等差数列， 得39121014a a a d +=+=，213a a d =+=，解得12,1a d ==， 则101+92911a a d ==+=； 故选：A. 5．C【分析】首先根据()12n n n S +=得到n a n =，设11111n n n b a a n n +==-+，再利用裂项求和即可得到答案. 【详解】当1n =时，111a S ==， 当2n ≥时，()()11122n n n n n n n a S S n -+-=-=-=. 检验111a S ==，所以n a n =. 设()1111111n n n b a a n n n n +===-++，前n 项和为n T ， 则10111111101122310111111T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…. 故选：C 6．C 【分析】由题设求得等差数列{}n a 的公差d ，即可求得结果. 【详解】32153S a ==，25a ∴=， 12a =，∴公差213d a a =-=， 81727323a a d ∴=+=+⨯=，故选：C. 7．D 【分析】由题设求出数列{}n a 的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项. 【详解】 解：(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---⨯+=+-⋅-+，∴当1n =时，有110S a a ==≠；当2n ≥时，有11()2n n n n a S S a bn b --=-=-+⋅， 又当1n =时，01()2a a b b a =-+⋅=也适合上式，1()2n n a a bn b -∴=-+⋅，令n b a b bn =+-，12n n c -=，则数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列，故n n n a b c =，其中数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列；故C 错，D 正确；因为11()22n n n a a b bn --+=-⋅⋅，0b ≠，所以{}12n bn -⋅即不是等差数列，也不是等比数列，故AB 错. 故选：D. 【点睛】 方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能力. 8．B 【分析】根据已知条件判断0n a >时对应的n 的范围，由此求得n S 的最大值. 【详解】依题意556475600000a a a a a a a d >⎧>⎧⎪⇒<⎨⎨+=+<⎩⎪<⎩，所以015n a n >⇒≤≤， 所以{}n a 的前n 项和n S 的最大值为5S . 9．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，所以27720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，所以33810371178b b b b b b b ===.故选：B. 10．C 【分析】215n S n n =-看作关于n 的二次函数，结合二次函数的图象与性质可以求解．【详解】22152251524n S n n n ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭，∴数列{}n S 的图象是分布在抛物线21522524y x ⎛⎫=--⎪⎝⎭上的横坐标为正整数的离散的点．又抛物线开口向上，以152x =为对称轴，且1515|7822-=-|，所以当7,8n =时，n S 有最小值． 故选：C 11．C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则171,25a a ==，则712514716a a d --===-， 则这5个数依次是5，9，13，17，21. 故选：C 12．B 【分析】由条件可得127a =，然后231223S a =，算出即可. 【详解】因为31567a a a +=+，所以15637a a a =-+，所以1537a d =+，所以1537a d -=，即127a =所以231223161S a == 故选：B 13．C 【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-，结合分组求和法即可得解。

一、等差数列选择题1．在等差数列{}n a 中，10a >，81335a a =，则n S 中最大的是（ ） A ．21SB ．20SC ．19SD ．18S2．在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（ ） A ．825两 B ．845两 C ．865两 D ．885两 3．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3518a S +=，633a a =+，则n a =（ ） A ．1n -B ．nC ．21n -D ．2n4．数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则通项公式是（ ） A ．32n -B ．322n - C ．3122n - D ．3122n + 5．已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =+-，则13525a a a a ++++=（ ）A ．350B ．351C ．674D ．6756．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（ ） A ．11B ．12C ．23D ．247．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则1215a b =（ ） A ．32B ．7059C ．7159D ．858．已知等差数列{}n a 满足48a =，6711a a +=，则2a =（ ） A ．10B ．9C ．8D ．79．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200B ．100C ．90D ．8010．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，2n ≥且*n ∈N ，满足120n n n a S S -+=，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则下列说法中错误的是（ ）A ．214a =-B ．648211S S S =+ C ．数列{}12n n n S S S +++-的最大项为712D ．1121n n n n nT T T n n +-=++11．在等差数列{}n a 中，520164a a +=，S ，是数列{}n a 的前n 项和，则S 2020=（ ） A ．2019 B ．4040 C ．2020 D ．4038 12．在等差数列{a n }中，已知a 5=3，a 9=6，则a 13=（ ） A ．9B ．12C ．15D ．1813．在等差数列{}n a 的中，若131,5a a ==，则5a 等于（ ） A ．25B ．11C ．10D ．914．在等差数列{}n a 中，25812a a a ++=，则{}n a 的前9项和9S =（ ） A ．36B ．48C ．56D ．7215．已知数列{}n a 的前n 项和()2*n S n n N =∈，则{}na 的通项公式为（ ）A ．2n a n =B ．21n a n =-C ．32n a n =-D ．1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩16．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（ ） A ．3、8、13、18、23 B ．4、8、12、16、20 C ．5、9、13、17、21D ．6、10、14、18、2217．等差数列{}n a 中，若26a =，43a =，则5a =（ ） A ．32B ．92C ．2D ．918．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()11213n n n n S S a n +++=+-+，现有如下说法：①541a a =；②222121n n a a n ++=-；③401220S =. 则正确的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．319．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，戊所得为（ ） A ．54钱 B ．43钱 C ．23钱 D ．53钱 20．已知数列{}n a 中，132a =，且满足()*1112,22n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*n N ∈，都有n a nλ≥成立，则实数λ的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16二、多选题21．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足11140(2),4n n n a S S n a -+=≥=，则下列说法正确的是（ ）A ．数列{}n a 的前n 项和为1S 4n n= B ．数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列1{}nS 为递增数列22．题目文件丢失！23．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =C ．3430a a +=D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值24．等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（ ） A ．0d <B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为825．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的m ，*n N ∈，都有m n m n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．11285a a a a +=+B ．56110a a a a <C ．若该数列的前三项依次为x ，1x -，3x ，则10103a = D ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列 26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15110,20,a a a 则（ ）A ．80a <B ．当且仅当n = 7时，n S 取得最大值C ．49S S =D ．满足0n S >的n 的最大值为1227．{} n a 是等差数列，公差为d ，前项和为n S ，若56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d <B ．70a =C ．95S S >D ．170S <28．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d < B ．70a =C ．95S S >D ．67n S S S 与均为的最大值29．下列命题正确的是（ ）A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B ．若等差数列{}n a 的公差0d >，则{}n a 是递增数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c可能成等差数列 D ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{}12++n n a a 也是等差数列30．(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（ ）A ．若59S S =，则必有14S =0B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项C ．若67S S >，则必有78S S >D ．若67S S >，则必有56S S >【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．B 【分析】设等差数列的公差为d .由已知得()()1137512a d a d +=+，可得关系1392a d =-.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项. 【详解】设等差数列的公差为d .由81335a a =得，()()1137512a d a d +=+，整理得，1392a d =-. 又10a >，所以0d <，因此222120(20)2002222n d d d dS n a n n dn n d ⎛⎫=+-=-=-- ⎪⎝⎭， 所以20S 最大. 故选：B. 2．C 【分析】设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子，数列{}n a 是等差数列，8106100a S =⎧⎨=⎩利用等差数列的通项公式和前n 项和公式转化为关于1a 和d 的方程，即可求得长兄可分得银子的数目1a .【详解】设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子，由题意可得 设数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，则由题意得8106100a S =⎧⎨=⎩，即1176109101002a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得186585a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 所以长兄分得865两银子. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是能够读懂题意10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子构成公差0d <的等差数列，要熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式. 3．B 【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程组，求解出首项和公差，则等差数列{}n a 的通项公式可求. 【详解】因为3518a S +=，633a a =+，所以11161218523a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩， 所以111a d =⎧⎨=⎩，所以()111n a n n =+-⨯=， 故选：B. 4．C 【分析】根据题中条件，求出等差数列的公差，进而可得其通项公式. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =， 则公差为31322a a d -==， 因此通项公式为()33111222n a n n =+-=-. 故选：C. 5．A 【分析】先利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，再利用通项公式求出13525a a a a ++++的值.【详解】当1n =时，21112112a S ==+⨯-=；当2n ≥时，()()()22121121121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+---+--=+⎣⎦.12a =不适合上式，2,121,2n n a n n =⎧∴=⎨+≥⎩.因此，()()3251352512127512235022a a a a a a ⨯+⨯+++++=+=+=；故选：A. 【点睛】易错点睛：利用前n 项和n S 求通项n a ，一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，但需要验证1a 是否满足()2n a n ≥.6．C 【分析】由题设求得等差数列{}n a 的公差d ，即可求得结果. 【详解】32153S a ==，25a ∴=， 12a =，∴公差213d a a =-=， 81727323a a d ∴=+=+⨯=，故选：C. 7．C 【分析】可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，进而求得n a 与n b 的关系式，即可求得结果． 【详解】因为{}n a ，{}n b 是等差数列，且3221n n S n T n +=+， 所以可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，又当2n 时，有1(61)n n n a S S k n -=-=-，1(41)n n n b T T k n -=-=-， ∴1215(6121)71(4151)59a kb k ⨯-==⨯-， 故选：C ．8．A 【分析】利用等差数列的性质结合已知解得d ，进一步求得2a ． 【详解】在等差数列{}n a 中，设公差为d ，由467811a a a =⎧⇒⎨+=⎩444812311a d a d a d =⎧⇒=-⎨+++=⎩，24210a a d ∴=-=. 故选：A 9．C 【分析】先求得1a ，然后求得10S . 【详解】依题意120a a d =-=，所以101104545290S a d =+=⨯=. 故选：C 10．D 【分析】当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-代入120n n n a S S -+=可推导出数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，由221a S S =-可判断A 选项的正误；利用n S 的表达式可判断BC 选项的正误；求出n T ，可判断D 选项的正误. 【详解】当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-， 由120n n n a S S -+=可得111112020n n n n n nS S S S S S ----+=⇒-+=， 整理得1112n n S S --=（2n ≥且n +∈N ）. 则1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以2为首项，以2为公差的等差数列()12122n n n S ⇒=+-⋅=，12n S n ∴=. A 中，当2n =时，221111424a S S =-=-=-，A 选项正确； B 中，1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，显然有648211S S S =+，B 选项正确； C 中，记()()1212211221n n n n b S S n n n S ++=+-=+-++，()()()1123111212223n n n n b S S S n n n ++++=+-=+-+++，()()()1111602223223n n n b b n n n n n n ++∴-=--=-<++++，故{}n b 为递减数列， ()1123max 111724612n b b S S S ∴==+-=+-=，C 选项正确； D 中，12n n S =，()()2212n n n T n n +∴==+，()()112n T n n +∴=++. ()()()()()()11112112111n n n n T T n n n n n n n n n n n n n n +-=⋅++⋅++=+--+++++222122212n n n n n n T =-++=+-≠，D 选项错误.故选：D ． 【点睛】关键点点睛：利用n S 与n a 的关系求通项，一般利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求解，在变形过程中要注意1a 是否适用，当利用作差法求解不方便时，应利用1n n n a S S -=-将递推关系转化为有关n S 的递推数列来求解. 11．B 【分析】由等差数列的性质可得52012016024a a a a +==+，则()15202020202016202010102a a a a S +=⨯=⨯+可得答案. 【详解】 等差数列{}n a 中, 52012016024a a a a +==+()12020202052016202010104101040402a a a a S +===⨯=+⨯⨯ 故选：B 12．A 【分析】在等差数列{a n }中，利用等差中项由95132a a a =+求解. 【详解】在等差数列{a n }中，a 5=3，a 9=6， 所以95132a a a =+，所以139522639a a a =-=⨯-=， 故选：A 13．D【分析】利用等差数列的性质直接求解． 【详解】 因为131,5a a ==，315529a a a a =+∴=，故选：D ． 14．A 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，得出54a =，再由等差数列前n 项和公式，即可得出结果. 【详解】因为{}n a 为等差数列，25812a a a ++=， 所以5312a =，即54a =，所以()1999983622a a S +⨯===.故选：A . 【点睛】熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n 项和的基本量运算是解题关键. 15．B 【分析】利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式，然后验证1a 的值是否适合，最后写出n a 的式子即可. 【详解】2n S n =，∴当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==，上式也成立，()*21n a n n N ∴=-∈，故选：B. 【点睛】易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，算出之后一定要判断1n =时对应的式子是否成立，最后求得结果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题. 16．C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则171,25a a ==，则712514716a a d --===-， 则这5个数依次是5，9，13，17，21. 故选：C 17．A 【分析】由2a 和4a 求出公差d ，再根据54a a d =+可求得结果. 【详解】设公差为d ，则423634222a a d --===--， 所以5433322a a d =+=-=. 故选：A 18．D 【分析】由()11213n n n n S S a n +++=+-+得到()11132n n n a a n ++=-+-，再分n 为奇数和偶数得到21262k k a a k +=-+-，22165k k a a k -=+-，然后再联立递推逐项判断. 【详解】因为()11213n n n n S S a n +++=+-+，所以()11132n n n a a n ++=-+-，所以()212621k k a a k +=-+-，()221652k k a a k -=+-， 联立得：()212133k k a a +-+=， 所以()232134k k a a +++=， 故2321k k a a +-=，从而15941a a a a ===⋅⋅⋅=，22162k k a a k ++=-，222161k k a a k ++=++，则222121k k a a k ++=-，故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++，()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++，()()201411820622k k =+⨯=-==∑1220，故①②③正确. 故选：D 19．C 【分析】根据甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，然后再由五人钱之和为5，甲、乙的钱与与丙、丁、戊的钱相同求解.【详解】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，则根据题意有(2)()()(2)5(2)()()(2)a d a d a a d a d a d a d a a d a d -+-+++++=⎧⎨-+-=++++⎩， 解得116a d =⎧⎪⎨=-⎪⎩， 所以戊所得为223a d +=， 故选：C .20．A【分析】 将11122n n n a a -=+变形为11221n n n n a a --=+，由等差数列的定义得出22n n n a +=，从而得出()22n n n λ+≥，求出()max22n n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值，即可得出答案. 【详解】因为2n ≥时，11122n n n a a -=+，所以11221n n n n a a --=+，而1123a = 所以数列{}2n n a 是首项为3公差为1的等差数列，故22n n a n =+，从而22n n n a +=. 又因为n a n λ≥恒成立，即()22n n n λ+≥恒成立，所以()max22n n n λ+⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦. 由()()()()()()()1*121322,221122n n n n n n n n n n n n n n +-⎧+++≥⎪⎪∈≥⎨+-+⎪≥⎪⎩N 得2n = 所以()()2max2222222n n n +⨯+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2 故选：A二、多选题21．AD【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求S n ，最后根据和项与通项关系得n a .【详解】11140(2),40n n n n n n n a S S n S S S S ---+=≥∴-+=11104n n n S S S -≠∴-= 因此数列1{}n S 为以114S =为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确； 所以1144(1)44n n n n S S n=+-=∴=，即A 正确； 当2n ≥时111144(1)4(1)n n n a S S n n n n -=-=-=--- 所以1,141,24(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，即B ，C 不正确； 故选：AD【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.22．无23．AC【分析】先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案.【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=，所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值.故选：AC【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题.等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定；24．BD【分析】由题意可知0d >，由已知条件753a a =可得出13a d =-，可判断出AB 选项的正误，求出n S 关于d 的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误.【详解】由于等差数列{}n a 是递增数列，则0d >，A 选项错误；753a a =，则()11634a d a d +=+，可得130a d =-<，B 选项正确；()()()22171117493222224n n n d n n d n n d S na nd n d -⎡⎤--⎛⎫=+=-+==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 当3n =或4时，n S 最小，C 选项错误；令0n S >，可得270n n ->，解得0n <或7n >.n N *∈，所以，满足0n S >时n 的最小值为8，D 选项正确.故选：BD.25．AC【分析】令1m =，则11n n a a a +-=，根据10a >，可判定A 正确；由256110200a a a a d -=>，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，根据02>d ，可判定D 错误.【详解】 令1m =，则11n n a a a +-=，因为10a >，所以{}n a 为等差数列且公差0d >，故A 正确；由()()22225611011119209200a a a a a a d d a a d d -=++-+=>，所以56110a a a a >，故B错误；根据等差数列的性质，可得()213x x x -=+，所以13x =，213x -=， 故1011109333a =+⨯=，故C 正确； 由()111222nn n na d S d d n a n n -+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，因为02>d ，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列，故D 错误.故选：AC .【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法；1、作差比较法：根据1n n a a +-的符号，判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列；2、作商比较法：根据1(0n n na a a +>或0)n a <与1的大小关系，进行判定； 3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断.26．ACD【分析】由题可得16a d =-，0d <，21322n d d S n n =-，求出80a d =<可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出49,S S 可判断C ；令213022n d d S n n =->，解出即可判断D. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()5111122+4++100a a a d a d +==，解得16a d =-， 10a >，0d ∴<，且()21113+222n n n d d S na d n n -==-， 对于A ，81+7670a a d d d d ==-+=<，故A 正确；对于B ，21322n d d S n n =-的对称轴为132n =，开口向下，故6n =或7时，n S 取得最大值，故B 错误；对于C ，4131648261822d d S d d d =⨯-⨯=-=-，9138191822d d S d =⨯-⨯=-，故49S S =，故C 正确；对于D ，令213022n d d S n n =->，解得013n <<，故n 的最大值为12，故D 正确. 故选：ACD.【点睛】方法点睛：由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值.27．ABD【分析】结合等差数列的性质、前n 项和公式，及题中的条件，可选出答案.【详解】由67S S =，可得7670S S a -==，故B 正确；由56S S <，可得6560S S a -=>，由78S S >，可得8780S S a -=<，所以876a a a <<，故等差数列{}n a 是递减数列，即0d <，故A 正确；又()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确； 又因为等差数列{}n a 是单调递减数列，且80a <，所以90a <，所以()117179171702a a S a +==<，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列性质的应用，解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前n 项和的性质，本题要从题中条件入手，结合公式()12n n n a S S n --≥=，及()12n n n a a S +=，对选项逐个分析，可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.28．ABD【分析】 由1n n n S S a --=()2n ≥，判断6780,0,0a a a >=<，再依次判断选项.【详解】因为5665600S S S S a <⇒->⇒>，677670S S S S a =⇒-==，788780S S S S a >⇒-=<，所以数列{}n a 是递减数列，故0d <，AB 正确； ()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确；由以上可知数列{}n a 是单调递减数列，因为6780,0,0a a a >=<可知，67n S S S 与均为的最大值，故D 正确.故选：ABD【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的最值，重点考查等差数列的性质，属于基础题型. 29．BCD【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误.【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知0d >，{}n a 必是递增数列；C 选项：1a b c ===时，1111a b c===是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立； D 选项：数列{}n a 是等差数列公差为d ，所以11112(1)223(31)n n a a a n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列；故选：BCD【点睛】本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题. 30．ABC【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案.【详解】解：对于A.，若59S S =，则67890a a a a +++=，所以781140a a a a +=+=，所以()114141402a a S +==，故A 选项正确； 对于B 选项，若59S S =，则780+=a a ，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故780,0a a ><，所以7S 是n S 中最大的项；故B 选项正确；C. 若67S S >，则70a <，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故80a <，6a 的符号不定，故必有78S S >，56S S >无法确定；故C 正确，D 错误． 故选：ABC ．【点睛】本题考查数列的前n 项和的最值问题与等差数列的性质，是中档题．。

一、数列的概念选择题1．已知数列{}n a 的通项公式为()()211nn a n=--，则6a =（ ）A ．35B ．11-C ．35-D ．112．已知数列{}n a 满足: 12a =，111n na a +=-，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2017S =（ ） A ．1007B ．1008C ．1009.5D ．10103．在数列{}n a 中，10a =，1n a +，则2020a =（ ） A ．0B ．1C．D4．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知数列{}ij a 按如下规律分布（其中i 表示行数，j 表示列数），若2021ij a =，则下列结果正确的是（ ）A ．13i =，33j =B ．19i =，32j =C ．32i =，14j =D ．33i =，14j =6．已知数列{}n a ，若()12*Nn n n a a a n ++=+∈，则称数列{}na 为“凸数列”.已知数列{}nb 为“凸数列”，且11b =，22b =-，则数列{}n b 的前2020项和为（ ） A ．5B ．5-C ．0D ．1-7．已知数列{}n a 满足11a =，()*11nn n a a n N a +=∈+，则2020a =（ ） A ．12018B ．12019 C ．12020D ．120218．已知等差数列{}n a 中，13920a a a ++=，则574a a -=（ ） A ．30B ．20C ．40D ．509．已知数列{}n a 中，11a =，23a =且对*n N ∈，总有21n n n a a a ++=-，则2019a =（ ） A ．1B ．3C ．2D ．3-10．数列1,3,5,7,9,--的一个通项公式为（ ）A ．21n a n =-B ．()1(21)nn a n =--C ．()11(21)n n a n +=--D ．()11(21)n n a n +=-+11．已知数列{}n a满足112n a +=+112a =，则该数列前2016项的和为（ ） A ．2015B ．2016C ．1512D ．3025212．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．174B ．184C ．188D ．16013．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．184B ．174C ．188D ．16014．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*1n S n N n =∈，，则2a =（ ） A ．12-B ．16-C ．16D ．1215．已知数列265n a n n =-+则该数列中最小项的序号是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．616．已知数列{}n a 满足11a =，122n n a a n n+=++，则10a =（ ） A ．259B ．145 C ．3111D ．17617．已知数列{}n a 满足：113a =，1(1)21n n n a na n ++-=+，*n N ∈，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a +≥ B ．1n n a a +≤C ．数列{}n a 的最小项为3a 和4aD ．数列{}n a 的最大项为3a 和4a 18．数列1111,,,57911--，…的通项公式可能是n a =（ ） A ．1(1)32n n --+B ．(1)32n n -+C ．1(1)23n n --+D ．(1)23nn -+19．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……则此数列的第40项为（ ）． A ．648B ．722C ．800D ．88220．数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，则10a =（ ） A ．511B ．513C ．1025D ．1024二、多选题21．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 22．(多选题)已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的值不可能为（ ） A ．2B ．5C ．3D ．423．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =B ．733S =C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 24．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中正确的有（ ） A ．1:17:2a d =-B ．180S =C ．当0d >时，6140a a +>D ．当0d <时，614a a >25．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若30S =，46a =，则（ ） A ．23n S n n =- B ．2392-=n n nSC ．36n a n =-D ．2n a n =26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =C ．3430a a +=D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值27．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则（ ） A ．若59S >S ，则150S > B ．若59S =S ，则7S 是n S 中最大的项 C ．若67S S >， 则78S S >D ．若67S S >则56S S >.28．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ） A ．4B ．5C ．7D ．829．公差不为零的等差数列{}n a 满足38a a =，n S 为{}n a 前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．110S =B ．10n n S S -=（110n ≤≤）C ．当110S >时，5n S S ≥D ．当110S <时，5n S S ≥30．等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，151115,a S S ==，则以下正确的是（ ）A ．1d =-B ．413a a =C ．n S 的最大值为8SD ．使得0n S >的最大整数15n =31．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <32．在数列{}n a 中，若22*1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．{(1)}n -是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}()*,kn a k Nk ∈为常数)也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列33．已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 25,n S n n =-则下列说法正确的是（ ）A ．{}n a 为等差数列B ．0n a >C ．n S 最小值为214-D ．{}n a 为单调递增数列34．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为2135．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描述正确的有（ ） A ．14S 是唯一最小值 B ．15S 是最小值 C ．290S =D ．15S 是最大值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、数列的概念选择题 1．A 解析：A 【分析】直接将6n =代入通项公式可得结果. 【详解】因为()()211nn a n=--，所以626(1)(61)35a =--=.故选：A 【点睛】本题考查了根据通项公式求数列的项，属于基础题.2．D解析：D 【分析】根据题设条件，可得数列{}n a 是以3为周期的数列，且3132122S =+-=，从而求得2017S 的值，得到答案. 【详解】由题意，数列{}n a 满足: 12a =，111n na a +=-， 可得234111,121,1(1)2,22a a a =-==-=-=--=，可得数列{}n a 是以3为周期的数列，且3132122S =+-= 所以20173672210102S =⨯+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，其中解答中得出数列{}n a 是以3为周期的数列，是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.3．A解析：A 【分析】写出数列的前几项，找寻规律，求出数列的周期，问题即可解. 【详解】10a =，1n a +1n =时，2a 2n =时，3a 3n =时，4a ； ∴ 数列{}n a 的周期是320206733110a a a ⨯+∴===故选：A. 【点睛】本题考查周期数列. 求解数列的周期问题时，周期数列的解题方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n 项的和.4．A解析：A 【分析】根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和为n S ，充分性：1n n S S +>，则10n a +>对任意的n *∈N 恒成立，则20a >，0d ≠，若0d <，则数列{}n a 为单调递减数列，则必存在k *∈N ，使得当n k >时，10n a +<，则1n n S S +<，不合乎题意；若0d >，由20a >且数列{}n a 为单调递增数列，则对任意的n *∈N ，10n a +>，合乎题意.所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇒“{}n a 为递增数列”；必要性：设10n a n =-，当8n ≤时，190n a n +=-<，此时，1n n S S +<，但数列{}n a 是递增数列.所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇐/“{}n a 为递增数列”.因此，“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，属于中等题．5．C解析：C 【分析】可以看出所排都是奇数从小到大排起.规律是先第一列和第一行，再第二列和第二行，再第三列第三行，并且完整排完n 次后，排出的数呈正方形.可先算2021是第几个奇数，这个奇数在哪两个完全平方数之间，再去考虑具体的位置. 【详解】每排完n 次后，数字呈现边长是n 的正方形，所以排n 次结束后共排了2n 个数.20211110112-+=，说明2021是1011个奇数. 而22961311011321024=<<=，故2021一定是32行，而从第1024个数算起，第1011个数是倒数第14个，根据规律第1024个数排在第32行第1列，所以第1011个数是第32行第14列，即2021在第32行第14列. 故32,14i j ==. 故选：C. 【点睛】本题考查数列的基础知识，但是考查却很灵活，属于较难题.6．B解析：B 【分析】根据数列的递推关系可求得数{}n b 的周期为6，即可求得数列{}n b 的前2020项和. 【详解】()*21N n n n b b b n ++=-∈，且11b =，22b =-， ∴345673,1,2,3,1,b b b b b =-=-===∴{}n b 是以6为周期的周期数列，且60S =， ∴20203366412345S S b b b b ⨯+==+++=-，故选：B. 【点睛】本题考查数列的新定义、数列求和，考查运算求解能力，求解时注意通过计算数列的前6项，得到数列的周期.7．C解析：C 【分析】根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化，构造等差数列，结合等差数列的性质求出通项公式即可． 【详解】 解：11nn n a a a +=+， ∴两边同时取倒数得11111n n n na a a a ++==+， 即1111n na a ，即数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差1d =的等差数列，首项为111a ．则11(1)1nn n a =+-⨯=， 得1n a n=，则202012020a =， 故选：C 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，结合数列递推关系，利用取倒数法以及构造法构造等差数列是解决本题的关键．考查学生的运算和转化能力，属于基础题．8．B解析：B 【分析】利用等差数列{}n a 的通项公式代入可得574a a -的值. 【详解】由13920a a a ++=，得131020a d +=，则有5711144(4)631020a a a d a d a d -=+--=+=. 故选：B. 【点睛】考查等差数列通项公式的运用，知识点较为简单.9．C解析：C 【分析】根据数列{}n a 的前两项及递推公式,可求得数列的前几项,判断出数列为周期数列,即可求得2019a 的值.【详解】数列{}n a 中,11a =,23a =且对*n N ∈,总有21n n n a a a ++=- 当1n =时,321322a a a =-=-= 当2n =时,432231a a a =-=-=- 当3n =时,543123a a a =-=--=- 当4n =时,()654312a a a =-=---=- 当5n =时,()765231a a a =-=---= 当6n =时,()876123a a a =-=--= 由以上可知,数列{}n a 为周期数列,周期为6T = 而201933663=⨯+ 所以201932a a == 故选:C 【点睛】本题考查了数列递推公式的简单应用,周期数列的简单应用,属于基础题.10．C解析：C 【分析】分别观察各项的符号、绝对值即可得出． 【详解】数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式()()112nn a n =--． 故选C ． 【点睛】本题考查了球数列的通项公式的方法，属于基础题．11．C解析：C 【分析】通过计算出数列的前几项确定数列{}n a 是以2为周期的周期数列，进而计算可得结论． 【详解】 依题意，112a =，211122a =，3111222a =+=， ⋯从而数列{}n a 是以2为周期的周期数列， 于是所求值为20161(1)151222⨯+=， 故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是联想到数列的周期性并找到数列的周期.12．A解析：A 【分析】根据已知条件求得11n n n a a -=--，利用累加法求得19a . 【详解】 依题意：3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5,6,所以11n n n a a -=--（2n ≥），且13a =，所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()12213n n =-+-++++()()()11113322n n n n -+--=+=+.所以19191831742a ⨯=+=. 故选：A 【点睛】本小题主要考查累加法，属于中档题.13．B解析：B 【分析】根据高阶等差数列的知识，结合累加法求得数列的通项公式，由此求得19a . 【详解】3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5,6,所以()1112,3n n a a n n a --=-≥=，所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()1213n n =-+-+++()()()11113322n n n n -+⋅--=+=+.所以19191831742a ⨯=+=. 故选：B 【点睛】本小题主要考查数列新定义，考查累加法，属于基础题.14．A解析：A 【分析】令1n =得11a =，令2n =得21212S a a =+=可解得2a . 【详解】 因为1n S n =，所以11111a S ===， 因为21212S a a =+=，所以211122a =-=-. 故选：A15．A解析：A【分析】首先将n a 化简为()234n a n =--，即可得到答案。

一、等比数列选择题1．已知q 为等比数列{}n a 的公比，且1212a a =-，314a =，则q =（ ） A ．1- B ．4C ．12-D ．12±2．等比数列{}n a 中11a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则()*na n N n∈的最小值为（ ） A ．1625B ．49C ．12D ．13．已知数列{}n a 满足：11a =，*1()2nn n a a n N a +=∈+．则 10a =（ ） A ．11021B ．11022 C ．11023D ．110244．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足11130(2),3n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中错误的是（ ） A ．1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B ．13nS n = C ．13(1)n a n n =--D ．{}3n S 是等比数列5．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=7，S 6=63，则数列{na n }的前n 项和为（ ） A ．-3+(n +1)×2n B ．3+(n +1)×2n C ．1+(n +1)×2nD ．1+(n -1)×2n6．在等比数列{}n a 中，11a =，427a =，则352a a +=（ ） A ．45B ．54C ．99D ．817．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为30，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．2B ．4C ．8D ．168．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352a a +=，2454a a +=，则n n S =a （ ）A ．14n -B ．41n -C ．12n -D ．21n -9．已知数列{}n a 满足112a =，*11()2n n a a n N +=∈.设2n n n b a λ-=，*n N ∈，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞B ．3(1,)2-C ．3(,)2-∞D ．(1,2)-10．在流行病学中，基本传染数R 0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R 0个人，为第一轮传染，这R 0个人中每人再传染R 0个人，为第二轮传染，…….R 0一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数0 3.8R =，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M ，则当M >1000时需要的天数至少为（ ）参考数据：lg38≈1.58 A ．34 B ．35C ．36D ．3711．题目文件丢失！12．正项等比数列{}n a 满足：241a a =，313S =，则其公比是（ ） A ．14B ．1C ．12D ．1313．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，226598225a a a a ++=，则113a a 的最大值是（ ） A ．25B ．254C ．5D ．2514．已知1，a 1，a 2，9四个实数成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，9五个数成等比数列，则b 2（a 2﹣a 1）等于（ ） A ．8B ．﹣8C ．±8D ．9815．已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-，则22212n a a a +++=（ ）A ．()221n -B ．()1213n- C ．41n -D ．()1413n- 16．已知{}n a 为等比数列.下面结论中正确的是（ ） A ．1322a a a +≥B ．若13a a =，则12a a =C ．2221322a a a +≥D ．若31a a >，则42a a >17．数列{}n a 满足：点()1,n n a -(n N ∈，2n ≥)在函数()2x f x =的图像上，则{}n a 的前10项和为（ ） A ．4092B ．2047C ．2046D ．102318．已知数列{}n a 是等比数列，n S 为其前n 项和，若364,12S S ==，则12S =（ ） A ．50B ．60C ．70D ．8019．已知等比数列{}n a ，7a =8，11a =32，则9a =（ ） A ．16B ．16-C ．20D ．16或16-20．一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（ ）只蜜蜂. A ．55989B ．46656C ．216D ．36二、多选题21．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，则下列结论正确的是（ ） A ．数列|n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列 B ．数列{}2na 为等比数列C ．若,()m n a n a m m n ==≠，则0m n a +=D ．若,()m n S n S m m n ==≠，则0m n S += 22．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y ，都有()()()f x y f x f y +=，若112a =，()()*n a f n n N =∈，数列{}n a 的前n 项和n S 组成数列{}n S ，则有（ ） A ．数列{}n S 递增，且1n S < B ．数列{}n S 递减，最小值为12C ．数列{}n S 递增，最小值为12D ．数列{}n S 递减，最大值为123．数列{}n a 对任意的正整数n 均有212n n n a a a ++=，若22a =，48a =，则10S 的可能值为（ ） A ．1023B ．341C ．1024D ．34224．已知数列{}n a 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ） A ．1{}na B ．22log ()n aC ．1{}n n a a ++D ．12{}n n n a a a ++++25．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，781a a ⋅>，87101a a -<-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q << B ．791a a ⋅> C ．n S 的最大值为9SD ．n T 的最大值为7T26．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法正确的是（ ） A ．此人第六天只走了5里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C ．此人第二天走的路程比全程的14还多1.5里 D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍27．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，671a a >，67101a a -<-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<B ．8601a a <<C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T28．记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）A ．112n n n S S ++-=B ．12n naC ．21nn S =- D ．121n n S -=-29．已知数列{}n a 的首项为4，且满足()*12(1)0n n n a na n N ++-=∈，则（ ）A ．n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列 B ．{}n a 为递增数列C ．{}n a 的前n 项和1(1)24n n S n +=-⋅+D ．12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和22n n n T +=30．设数列{}n x ，若存在常数a ，对任意正数r ，总存在正整数N ，当n N ≥，有n x a r -<，则数列{}n x 为收敛数列.下列关于收敛数列正确的有（ ）A ．等差数列不可能是收敛数列B ．若等比数列{}n x 是收敛数列，则公比(]1,1q ∈-C ．若数列{}n x 满足sin cos 22n x n n ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则{}n x 是收敛数列D ．设公差不为0的等差数列{}n x 的前n 项和为()0n n S S ≠，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是收敛数列31．已知数列{}n a 为等差数列，11a =，且2a ，4a ，8a 是一个等比数列中的相邻三项，记()0,1na n nb a q q =≠，则{}n b 的前n 项和可以是（ ）A ．nB ．nqC ．()121n n n q nq nq q q ++---D ．()21121n n n q nq nq q q ++++---32．已知数列{}n a 满足11a =，()*123nn na a n N a +=∈+，则下列结论正确的有（ ） A ．13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列B ．{}n a 的通项公式为1123n n a +=-C ．{}n a 为递增数列D ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2234n n T n +=-- 33．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，781a a >，87101a a -<-.则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<B ．791a a <C ．n T 的最大值为7TD ．n S 的最大值为7S34．对于数列{}n a ，若存在正整数()2k k ≥，使得1k k a a -<，1k k a a +<，则称k a 是数列{}n a 的“谷值”，k 是数列{}n a 的“谷值点”，在数列{}n a 中，若98n a n n =+-，下面哪些数不能作为数列{}n a 的“谷值点”？（ ） A ．3B ．2C ．7D ．535．对于数列{}n a ，若存在数列{}n b 满足1n n nb a a =-（*n ∈N ），则称数列{}n b 是{}n a 的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（ ） A ．若数列{}n a 是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；B ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最大值；C ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最小值；D ．若112nn a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则其“倒差数列”有最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．C 【分析】利用等比通项公式直接代入计算，即可得答案； 【详解】()211142211111122211121644a a q a q q q q a q a q ⎧⎧=-=--⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⇒=-⎨⎨⎪⎪=⋅=⎪⎪⎩⎩， 故选：C. 2．D 【分析】首先设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠，根据14a ，22a ，3a 成等差数列，列出等量关系式，求得2q ，比较()*na n N n∈相邻两项的大小，求得其最小值. 【详解】在等比数列{}n a 中，设公比(0)q q ≠， 当11a =时，有14a ，22a ，3a 成等差数列，所以21344a a a =+，即244q q =+，解得2q，所以12n na ，所以12n n a n n-=， 12111n n a n n a n n++=≥+，当且仅当1n =时取等号， 所以当1n =或2n =时，()*n a n N n∈取得最小值1，故选：D. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，三个数成等差数列的条件，求数列的最小项，属于简单题目. 3．C 【分析】根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化得1121n na a +=+ ，构造11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，求解出通项，进而求出10a . 【详解】 因为12n n n a a a +=+，所以两边取倒数得12121n n n n a a a a ++==+，则111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，则11111122n n n a a -⎛⎫+=+⋅= ⎪⎝⎭，所以121n n a =-，故101011211023a ==-. 故选：C 【点睛】方法点睛：对于形如()11n n a pa q p +=+≠型，通常可构造等比数列{}n a x +（其中1qx p =-）来进行求解. 4．C 【分析】由1(2)n n n a S S n -=-≥代入得出{}n S 的递推关系，得证1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，可判断A ，求出n S 后，可判断B ，由1a 的值可判断C ，求出3n S 后可判断D ． 【详解】2n ≥时，因为130n n n a S S -+=，所以1130n n n n S S S S ---+=，所以1113n n S S --=， 所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，A 正确； 1113S a ==，113S =，公差3d =，所以133(1)3n n n S =+-=，所以13n S n =，B 正确； 113a =不适合13(1)n a n n =--，C 错误；1313n n S +=，数列113n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，D 正确． 故选：C ． 【点睛】易错点睛：本题考查由数列的前n 项和求数列的通项公式，考查等差数列与等比数列的判断，在公式1n n n a S S -=-中2n ≥，不包含1a ，因此由n S 求出的n a 不包含1a ，需要特别求解检验，否则易出错． 5．D 【分析】利用已知条件列出方程组求解即可得1,a q ，求出数列{a n }的通项公式，再利用错位相减法求和即可. 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠1，所以由题设得()()3136161711631a q S q a q S q ⎧-⎪==-⎪⎨-⎪==⎪-⎩， 两式相除得1+q 3=9，解得q =2， 进而可得a 1=1， 所以a n =a 1q n -1=2n -1， 所以na n =n ×2n -1.设数列{na n }的前n 项和为T n ， 则T n =1×20+2×21+3×22+…+n ×2n -1， 2T n =1×21+2×22+3×23+…+n ×2n ，两式作差得-T n =1+2+22+…+2n -1-n ×2n=1212n---n ×2n =-1+(1-n )×2n ， 故T n =1+(n -1)×2n . 故选：D. 【点睛】本题主要考查了求等比数列的通项公式问题以及利用错位相减法求和的问题.属于较易题. 6．C 【分析】利用等比数列的通项与基本性质，列方程求解即可 【详解】设数列{}n a 的公比为q ，因为341a a q =，所以3q =，所以24352299a a q q +=+=.故选C 7．C 【分析】根据等比数列的通项公式将53134a a a =+化为用基本量1,a q 来表示，解出q ，然后再由前4项和为30求出1a ，再根据通项公式即可求出3a ． 【详解】设正数的等比数列{}n a 的公比为()0q q >，因为53134a a a =+，所以4211134a q a q a =+，则42340q q --=，解得24q =或21q =-（舍），所以2q，又等比数列{}n a 的前4项和为30，所以23111130a a q a q a q +++=，解得12a =， ∴2318a a q ==．故选：C .8．D 【分析】根据题中条件，先求出等比数列的公比，再由等比数列的求和公式与通项公式，即可求出结果. 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352a a +=，2454a a +=，所以2413514522q a a a a =++==， 因此()()111111111221112n nnn n n n n na q S q q a a q q q ---⎛⎫- ⎪--⎝⎭====--⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：D. 9．C 【分析】 由*11()2n n a a n N +=∈可知数列{}n a 是公比为2的等比数列，12n n a =，得2(2)2n n nn b n a λλ-==-，结合数列{b n }是单调递增数列，可得1n n b b +＞对于任意的*n N ∈*恒成立，参变分离后即可得解．【详解】 由*11()2n n a a n N +=∈可知数列{}n a 是公比为2的等比数列， 所以1111()222n n n a -==， 2(2)2n n nn b n a λλ-==- ∵数列{n b 是单调递增数列， ∴1n n b b +＞对于任意的*n N ∈*恒成立， 即1(12)2(2)2n n n n λλ++->-，整理得：22n λ+<32λ∴＜ ，故选：C. 【点睛】本题主要考查了已知数列的单调性求参，一般研究数列的单调性的方法有：一、利用数列单调性的定义，由1n n a a +>得数列单增，1n n a a +<得数列单减； 二、借助于函数的单调性研究数列的单调性. 10．D 【分析】假设第n 轮感染人数为n a ，根据条件构造等比数列{}n a 并写出其通项公式，根据题意列出关于n 的不等式，求解出结果，从而可确定出所需要的天数. 【详解】设第n 轮感染人数为n a ，则数列{}n a 为等比数列，其中1 3.8a =，公比为0 3.8R =，所以 3.81000nn a =>，解得 3.8333log 1000 5.17lg3.8lg3810.58n >==≈≈-， 而每轮感染周期为7天，所以需要的天数至少为5.17736.19⨯=． 故选：D . 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个：（1）理解题意构造合适的等比数列；（2）对数的计算.11．无12．D 【分析】根据241a a =，由2243a a a =，解得31a =，再根据313S =求解.【详解】因为正项等比数列{}n a 满足241a a =，由于2243a a a =，所以231a =，31a =，211a q =.因为313S =， 所以1q ≠. 由()()31231111a q S a q q q-==++-得22131q q q =++， 即21210q q --=， 解得13q =，或14q =-（舍去）. 故选：D 13．B 【分析】由等比数列的性质，求得685a a +=，再结合基本不等式，即可求得113a a 的最大值，得到答案. 【详解】由等比数列的性质，可得()2222265986688682225a a a a a a a a a a ++=++=+=，又因为0n a >，所以685a a +=，所以268113682524a a a a a a +⎛⎫=≤=⎪⎝⎭， 当且仅当6852a a ==时取等号． 故选：B . 14．A 【分析】由已知条件求出公差和公比，即可由此求出结果. 【详解】设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 则有139d +=，419q ⋅=，解之可得83d =，23q =， ()22218183b a a q ∴-=⨯⨯=.故选：A. 15．D 【分析】由n a 与n S 的关系可求得12n n a ，进而可判断出数列{}2n a 也为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数式.【详解】已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-. 当1n =时，112a S a ==-；当2n ≥时，()()111222nn n n n n a S S a a ---=-=---=.由于数列{}n a 为等比数列，则12a a =-满足12n na ，所以，022a -=，解得1a =，()12n n a n N -*∴=∈，则()221124n n na --==，2121444n n n n a a +-∴==，且211a =，所以，数列{}2n a 为等比数列，且首项为1，公比为4， 因此，222121441143n n na a a --+++==-. 故选：D.方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或11n n a a q -=进行求解；（2）前n 项和法：根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第1n -项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法； （5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第1n -项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且1k ≠，0k ≠）.一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1bm k =-，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于()112,n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b-=+的式子；⑦1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用⑥中的方法求解即可. 16．C 【分析】取特殊值可排除A ，根据等比数列性质与基本不等式即可得C 正确，B ，D 错误. 【详解】解：设等比数列的公比为q ，对于A 选项，设1231,2,4a a a =-==-，不满足1322a a a +≥，故错误；对于B 选项，若13a a =，则211a a q =，则1q =±，所以12a a =或12a a =-，故错误； 对于C 选项，由均值不等式可得2221313222a a a a a +≥⋅=，故正确；对于D 选项，若31a a >，则()2110a q ->，所以()14221a a a q q -=-，其正负由q 的符号确定，故D 不确定.17．A 【分析】根据题中条件，先得数列的通项，再由等比数列的求和公式，即可得出结果. 【详解】因为点()1,n n a -(n N ∈，2n ≥)在函数()2x f x =的图像上， 所以()12,2nn a n N n -=∈≥，因此()12n n a n N ++=∈，即数列{}n a 是以4为首项，以2为公比的等比数列， 所以{}n a 的前10项和为()10412409212-=-.故选：A. 18．B 【分析】由等比数列前n 项和的性质即可求得12S . 【详解】 解：数列{}n a 是等比数列，3S ∴，63S S -，96S S -，129S S -也成等比数列，即4，8，96S S -，129S S -也成等比数列， 易知公比2q，9616S S ∴-=，12932S S -=，121299663332168460S S S S S S S S =-+-+-+=+++=.故选：B. 19．A 【分析】根据等比数列的通项公式得出618a q =，10132a q=且10a >，再由819a a q ==.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则618a q =，10132a q=且10a >则81916a q a ====故选：A 20．B 【分析】第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ，则数列{}n a 成等比数列．根据等比数列的通项公式，可以算出第6天所有的蜜蜂都归巢后的蜜蜂数量．设第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ，根据题意得 数列{}n a 成等比数列，它的首项为6，公比6q = 所以{}n a 的通项公式：1666n n n a -=⨯=到第6天，所有的蜜蜂都归巢后， 蜂巢中一共有66646656a =只蜜蜂． 故选：B ．二、多选题21．ABC 【分析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d , ()11n a a n d +-=，其前n 项和为()112n n n S na d -=+，结合等差数列的定义和前n 项的和公式以及等比数列的定义对选项进行逐一判断可得答案. 【详解】 设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d , ()11n a a n d +-= 其前n 项和为()112n n n S na d -=+ 选项A.112n S n a d n -=+，则+1111+1222n n S S n n d a d a d n n -⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（常数） 所以数列|n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，故A 正确.选项B. ()1122na n da +-=,则112222n n n na a a d a ++-==（常数），所以数列{}2n a为等比数列，故B正确.选项C. 由,m n a n a m ==，得()()1111m na a m d na a n d m ⎧=+-=⎪⎨=+-=⎪⎩ ，解得11,1a m n d =+-=-所以()()()111110m n a a n m d n m n m +=++-=+-++-⨯-=，故C 正确. 选项D. 由,m n S n S m ==，则()112n n n n S a d m -=+=，()112m m m m S a d n -=+=将以上两式相减可得：()()()2212dm n a m m n n n m ⎡⎤-+---=-⎣⎦()()()112dm n a m n m n n m -+-+-=-，又m n ≠所以()1112d a m n ++-=-，即()1112dm n a +-=-- ()()()()()()()111112m n m n m n dS m n a m n a m n a m n +++-=++=+++--=-+，所以D 不正确. 故选：ABC 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列和等比数列的定义的应用以及等差数列的前n 项和公式的应用，解答本题的关键是利用通项公式得出()()1111m na a m d na a n d m ⎧=+-=⎪⎨=+-=⎪⎩，从中解出1,a d ，从而判断选项C ，由前n 项和公式得到()112n n n n S a d m -=+=，()112m m m m S a d n -=+=，然后得出()1112dm n a +-=--，在代入m n S +中可判断D ，属于中档题. 22．AC 【分析】计算()f n 的值，得出数列{}n a 的通项公式，从而可得数列{}n S 的通项公式，根据其通项公式进行判断即可 【详解】 解：因为112a =，所以1(1)2f =， 所以221(2)(1)4a f f ===， 31(3)(1)(2)8a f f f ===，……所以1()2n n a n N +=∈，所以11(1)122111212n n n S -==-<-， 所以数列{}n S 递增，当1n =时，n S 有最小值1112S a ==， 故选：AC 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与数列的综合应用，解题的关键是由已知条件赋值归纳出数列{}n a 的通项公式，进而可得数列{}n S 的通项公式，考查计算能力和转化思想，属于中档题 23．AB 【分析】首先可得数列{}n a 为等比数列，从而求出公比q 、1a ，再根据等比数列求和公式计算可得； 【详解】解：因为数列{}n a 对任意的正整数n 均有212n n n a a a ++=，所以数列{}n a 为等比数列，因为22a =，48a =，所以2424a q a ==，所以2q =±， 当2q时11a =，所以101012102312S -==-当2q =-时11a =-，所以()()()101011234112S -⨯--==--故选：AB 【点睛】本题考查等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题. 24．AD 【分析】主要分析数列中的项是否可能为0，如果可能为0，则不能是等比数列，在不为0时，根据等比数列的定义确定． 【详解】1n a =时，22log ()0n a =，数列22{log ()}n a 不一定是等比数列， 1q =-时，10n n a a ++=，数列1{}n n a a ++不一定是等比数列，由等比数列的定义知1{}na 和12{}n n n a a a ++++都是等比数列． 故选AD ． 【点睛】本题考查等比数列的定义，掌握等比数列的定义是解题基础．特别注意只要数列中有一项为0，则数列不可能是等比数列． 25．AD 【分析】根据题意71a >，81a <，再利用等比数列的定义以及性质逐一判断即可. 【详解】因为11a >，781a a ⋅>，87101a a -<-， 所以71a >，81a <，所以01q <<，故A 正确.27981a a a =<⋅，故B 错误；因为11a >，01q <<，所以数列{}n a 为递减数列，所以n S 无最大值，故C 错误； 又71a >，81a <，所以n T 的最大值为7T ，故D 正确. 故选：AD 【点睛】本题考查了等比数列的性质、定义，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 26．BCD 【分析】设此人第n 天走n a 里路，则{}n a 是首项为1a ，公比为12q = 的等比数列，由6=378S 求得首项，然后逐一分析四个选项得答案. 【详解】解:根据题意此人每天行走的路程成等比数列， 设此人第n 天走n a 里路，则{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列. 所以661161[1()](1)2=3781112a a q S q --==--，解得1192a =. 选项A:5561119262a a q ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭,故A 错误, 选项B:由1192a =，则61378192186S a -=-=，又1921866-=，故B 正确. 选项C:211192962a a q ==⨯=,而6194.54S =，9694.5 1.5-=,故C 正确.选项D:2123111(1)192(1)33624a a a a q q ++=++=⨯++=, 则后3天走的路程为378336=42-, 而且336428÷=,故D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查等比数列的性质，考查等比数列的前n 项和，是基础题. 27．ABD 【分析】先分析公比取值范围，即可判断A ，再根据等比数列性质判断B,最后根据项的性质判断C,D. 【详解】若0q <，则67670,00a a a a <>∴<与671a a >矛盾；若1q ≥，则11a >∴671,1a a >>∴67101a a ->-与67101a a -<-矛盾； 因此01q <<，所以A 正确；667710101a a a a -<∴>>>-，因此2768(,1)0a a a =∈，即B 正确； 因为0n a >，所以n S 单调递增，即n S 的最大值不为7S ，C 错误；因为当7n ≥时，(0,1)n a ∈，当16n ≤≤时，(1,)n a ∈+∞，所以n T 的最大值为6T ，即D 正确； 故选：ABD 【点睛】本题考查等比数列相关性质，考查综合分析判断能力，属中档题. 28．BC 【分析】先求得3a ，然后求得q ，进而求得1a ，由此求得1,,n n n n a S S S +-，进而判断出正确选项. 【详解】由23464a a a =得3334a =，则34a =．设等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠，由2410a a +=，得4410q q+=，即22520q q -+=，解得2q或12q =．又因为数列{}n a 单调递增，所以2q，所以112810a a +=，解得11a =．所以12n na ，()1122112n n n S ⨯-==--，所以()1121212n n nn n S S ++-=---=.故选：BC 【点睛】本题考查等比数列的通项公式、等比数列的性质及前n 项和，属于中档题.29．BD 【分析】由12(1)0n n n a na ++-=得121n n a a n n +=⨯+，所以可知数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，从而可求出12n n a n +=⋅，可得数列{}n a 为递增数列，利用错位相减法可求得{}n a 的前n 项和，由于111222n n n n a n n +++⋅==，从而利用等差数列的求和公式可求出数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【详解】由12(1)0n n n a na ++-=得121n n a a n n +=⨯+，所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1141a a ==为首项，2为公比的等比数列，故A 错误；因为11422n n na n-+=⨯=，所以12n n a n +=⋅，显然递增，故B 正确；因为23112222n n S n +=⨯+⨯++⋅，342212222n n S n +=⨯+⨯++⋅，所以 231212222n n n S n ++-=⨯+++-⋅()22212212nn n +-=-⋅-，故2(1)24n n S n +=-⨯+，故C 错误；因为111222n n n n a n n +++⋅==，所以12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2(1)22n n n n n T ++==， 故D 正确. 故选：BD 【点晴】本题考查等差数列、等比数列的综合应用，涉及到递推公式求通项，错位相减法求数列的和，等差数列前n 项和等，考查学生的数学运算能力，是一道中档题. 30．BCD 【分析】根据等差数列前n 和公式以及收敛数列的定义可判断A ；根据等比数列的通项公式以及收敛的定义可判断B ；根据收敛的定义可判断C ；根据等差数列前n 和公式以及收敛数列的定义可判断D. 【详解】当0n S >时，取2111222222n d d dd d d S n a n n n a n a ⎛⎫⎛⎫=+-=+-≥+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 为使得1n S r >，所以只需要1122d d n a r+->1112222da ra dr rn N d dr -+-+⇒>==. 对于A ，令1n x =，则存在1a =，使0n x a r -=<，故A 错； 对于B ，11n n x x q-=，若1q >，则对任意正数r ，当11log 1q r n x ⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭时， 1n x r >+，所以不存在正整数N 使得定义式成立，若1q =，显然符合；若1q =-为摆动数列()111n n x x -=-，只有1x ±两个值，不会收敛于一个值，所以舍去；若()1,1q ∈-，取0a =，1log 11q r N x ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，当n N >时，11110n n rx x qx r x --=<=，故B 正确；对于C ，()1sin cos sin 0222n x n n n πππ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，符合； 对于D ，()11n x x n d =+-，2122n d d S n x n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 当0d >时，n S 单调递增并且可以取到比1r更大的正数，当n N >=时，110n nr S S -=<，同理0d <，所以D 正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：解题的关键是理解收敛数列的定义，借助等差数列前n 和公式以及等比数列的通项公式求解，属于中档题. 31．BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,根据2a ,4a ,8a 是一个等比数列中的相邻三项求得0d =或1,再分情况求解{}n b 的前n 项和n S 即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,又11a =,且2a ,4a ,8a 是一个等比数列中的相邻三项∴2428a a a =,即()()()211137a d a d a d +=++,化简得：(1)0d d -=,所以0d =或1,故1n a =或n a n =,所以n b q =或nn b n q =⋅,设{}n b 的前n 项和为n S ,①当n b q =时,n S nq =；②当nn b n q =⋅时,23123n n S q q q n q =⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯（1）, 2341123n n qS q q q n q +=⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯（2）,（1）-（2）得：()()2311111n n n n n q q q S q q q q n q n q q++--=+++-⨯=-⨯-+⋅⋅,所以121122(1)(1)1(1)n n n n n n q q n q q nq nq q S q q q ++++-⨯+--=-=---,故选：BD 【点睛】本题主要考查了等差等比数列的综合运用与数列求和的问题,需要根据题意求得等差数列的公差与首项的关系,再分情况进行求和.属于中等题型. 32．ABD 【分析】由()*123n n na a n N a +=∈+两边取倒数，可求出{}n a 的通项公式，再逐一对四个选项进行判断，即可得答案.【详解】 因为112323n nn n a a a a ++==+，所以11132(3)n n a a ++=+，又11340a +=≠， 所以13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以4为首项，2位公比的等比数列，11342n n a -+=⨯即1123n n a +=-，故选项A 、B 正确.由{}n a 的通项公式为1123n n a +=-知，{}n a 为递减数列，选项C 不正确. 因为1231n n a +=-，所以 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和23112(23)(23)(23)2(222)3n n n T n +=-+-++-=+++- 22(12)2312234n n n n +-⨯-=⨯-=--.选项D 正确， 故选：ABD【点睛】本题考查由递推公式判断数列为等比数列，等比数列的通项公式及前n 项和，分组求和法，属于中档题.33．ABC【分析】由11a >，781a a >，87101a a -<-，可得71a >，81a <．由等比数列的定义即可判断A ；运用等比数列的性质可判断B ；由正数相乘，若乘以大于1的数变大，乘以小于1的数变小，可判断C; 因为71a >，801a <<，可以判断D.【详解】11a >，781a a >，87101a a -<-， 71a ∴>，801a <<，∴A.01q <<，故正确；B.27981a a a =<，故正确； C.7T 是数列{}n T 中的最大项，故正确．D. 因为71a >，801a <<，n S 的最大值不是7S ，故不正确.故选：ABC ．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、递推关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．34．AD【分析】计算到12a =，232a =，32a =，474a =，565a =，612a =，727a =，898a =，根据“谷值点”的定义依次判断每个选项得到答案.【详解】 98n a n n =+-，故12a =，232a =，32a =，474a =，565a =，612a =，727a =，898a =. 故23a a <，3不是“谷值点”；12a a >，32a a >，故2是“谷值点”；67a a >，87a a >，故7是“谷值点”；65a a <，5不是“谷值点”.故选：AD .【点睛】本题考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.35．ACD【分析】根据新定义进行判断．【详解】A ．若数列{}n a 是单增数列，则11111111()(1)n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a ------=--+=-+， 虽然有1n n a a ->，但当1110n n a a -+<时，1n n b a -<，因此{}n b 不一定是单增数列，A 正确；B ．31n a n =-，则13131n b n n =---，易知{}n b 是递增数列，无最大值，B 错； C ．31n a n =-，则13131n b n n =---，易知{}n b 是递增数列，有最小值，最小值为1b ，C 正确； D ．若112n n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则111()121()2n n n b =-----， 首先函数1y x x=-在(0,)+∞上是增函数， 当n 为偶数时，11()(0,1)2n n a =-∈，∴10n n n b a a =-<，当n 为奇数时，11()2n n a =+1>，显然n a 是递减的，因此1n n nb a a =-也是递减的， 即135b b b >>>，∴{}n b 的奇数项中有最大值为13250236b =-=>， ∴156b =是数列{}(*)n b n N ∈中的最大值．D 正确． 故选：ACD ．【点睛】本题考查数列新定义，解题关键正确理解新定义，把问题转化为利用数列的单调性求最值．。

舒城中学2018—2019学年度第一学期第四次统考高二文数（总分：150分 时间：120分钟） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．在C ∆A B 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“a b ≤”是“sin sin A≤B ”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是（ ）ABCD ．23．ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，b A B c C B a 21cos sin cos sin =+，且b a > ，则B ∠=（ ）A ．6π B ．3πC ．32πD ．65π4．下列说法错误的是（ ）A ．如果命题“⌝p ”与命题“p ∨q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题B ．命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是：“若a ≠0，则ab ≠0”C ．若命题p ：∃x 0∈R ，x 02＋2x 0－3<0，则⌝p ：∀x ∈R ，x 2＋2x －3≥0D ．“sin θ＝12”是“θ＝30°”的充分不必要条件。

5．已知等差数列，若为的前项和 ，且，又构成公比为的等比数列，则（ ） A ． 2B ． -2C ．D ． -106．已知数列}{n a 为等差数列，若且它们的前n 项和n S 有最大值，则使得0n S >的n 的最大值为（ ）A ．16B ．17C ．18D ．197．已知双曲线()222:10y M x b b-=>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点P ，若点P 在焦点为()0,1的抛物线2y mx =上，则双曲线M 的离心率为（ ） ABCD8．已知函数()22xx f x -=-，,,a b c R ∈，且满足0a b +>，0b c +>，0c a +>，则()()()f a f b f c ++的值（ ）A.一定大于零B.一定小于零C.一定等于零D.都有可能9．设变量x, y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+,32,1,3y x y x y x 且目标函数z =ax+y 仅在点（2，1）处取得最小值，则实数a 的取值范围是（）A．(4,5) B．(-2,1) C．(-1,1) D．(-1,2)10．已知函数，若，则x的取值范围是（）A．（-∞，-1）∪（1，+∞）B．（-1，0）∪（0，1）C．（-∞，-1）∪（0，1）D．（-1，0）∪（1，+∞）11．已知球的半径为，，，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，，，则球的表面积为（）A．B．C．D．12．四棱维P ABCD-的底面是一个菱形且60DAB︒∠=，PA⊥平面ABCD，2PA AB==, E是棱PA的中点，则异面直线BE与AC所成角的余弦值是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，共20分.把答案填在答题纸的横线上）13．已知方程2240x mx-+=的两个实数根均大于1，则实数m的范围是．14．已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左右焦点为12(,0)(,0)F c F c-、，若存在动点Q，满足1||2FQ a=，且12F QF∆的面积等于2b，则椭圆离心率的取值范围是 .15．在三棱锥中，与共斜边，且与平面所成角正弦值为，，，则到平面的距离为________.16．已知(A ，O 为原点，点(),P x y的坐标满足0200y x y --+⎨⎪⎪⎩≤≥≥，则OA OP OA ⋅的最大值是________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置上）17．已知命题:p 函数()1xy a =-在R 上单调递增；命题:q 不等式31x x a +->的解集为R ，若p q ∨为真， p q ∧为假，求实数a 的取值范围.18．已知函数（）为奇函数．（1）求实数的值；（2）若，恒成立，求实数的取值范围．19．在四棱锥ABCD P -中， ⊥PA 平面ABCD ，ABC ∆是正三角形，AC 与BD 的交点M恰好是AC 中点，又4==AB PA ，︒=∠120CDA ，点N 在线段PB 上，且2=PN ．（Ⅰ）求证：//MN 平面PDC ；（Ⅱ）求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值．20．已知正项数列{}n a 满足：231=a ， 1323nn n a a a +=+（1）求通项n a ；（2）若数列{}n b 满足⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅n n n a b 2113，求数列{}n b 的前n 和.21．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()2241x y -+=，且圆C 与x 轴交于M ， N两点，设直线l 的方程为(0)y kx k =>． （1）当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程；（2）已知直线l 与圆C 相交于A ， B 两点．若AB ≤，求实数k 的取值范围；22．已知()4,0M ， ()1,0N ，曲线C 上的任意一点P 满足： 6MN MP PN ⋅=. （1）求点P 的轨迹方程；（2）过点()1,0N 的直线与曲线C 交于A ， B 两点，交y 轴于H 点，设1HA AN λ=，2HB BN λ=，试问12λλ+是否为定值？如果是定值，请求出这个定值，如果不是定值，请说明理由.参考答案1．A 根据正弦定理sin sin a bA B=，∴当a ≤b 时，有sinA ≤sinB ；当sinA ≤sinB 时，有a ≤b ，∴“a ≤b ”是“sinA ≤sinB ”的充要条件，故选A ． 2．B三棱锥的体积为：21323v =⋅⋅=； 3．A由正弦定理得1sin sin cos sin sin cos sin 2A B C C B A B+=，即11sin()sin 22A C B +=⇒=，又b a >，6B π∴=。