安徽省六安市舒城中学2019-2020学年高一下学期第一次月考数学(理)试题

安徽省六安中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题 理（无答案）满分：150分 时间：120分钟一． 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的.）1．下列各组的两个向量，平行的是（ ）A ． ()()=4,62,3a b →→=-，B ． ()()=3,22,3a b →→=， C ． ()()=1,27,14a b →→-=，D ． ()()=2,34,6a b →→-=-， 2.在ABC ∆中，150,6,10A b c =︒==，则ABC ∆的面积为（ ） A.156 B.153 C.15 D.30 3. 2,5,22,11,,…则25 ）A ．第6项B ． 第7项C ． 第10项D ．第11项4.在等比数列{}n a 中，11=28a q =，，则6=a （ ）A.4±B.4C.14±D.145.已知等差数列{}n a 的首项1=1a ,公差3d =，若=2020n a , ,则n 等于（ ） A ．674 B ．675 C ．672 D ．6736．在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c 如果sin :sin :sin 1:2:3A B C =，那么::a b c =（ ）A ．1∶3∶2 B. 1∶2∶3 C ．1∶4∶9 D ．1∶2∶37. 在等差数列{}n a 中，有67812a a a ++=，则该数列的前13项之和为（ ）A.24B.52C.56D.1048．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对9. 已知ABCDEF 是正六边形，且−→−AB ＝→a ，−→−AE ＝→b ，则−→−BC ＝（ ）A ． 1()2a b →→- B. 1()2b a →→- C ． 1+2a b →→ D ． 1()2a b →→+ 10．海事救护船A 在基地的北偏东060，与基地相距3100海里，渔船B 被困海面，已知B 距离基地503海里，而且在救护船A 正西方，则渔船B 与救护船A 的距离是（ ）A ．100海里B ．200海里C ．100海里或200海里D ．150海里11．《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一。

高一下学期第一次月考理科数学考试时间：120分钟；注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知△ABC中，a＝，b＝，B＝60°，那么角A等于（）A．45°B．60°C．120°或60°D．135°或45°2．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝5，a7＝1，则a1＝（）A．﹣B．﹣1C．D．3．在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则sin A＝（）A．B．C．D．4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．85．数列1，0，1，0，1，…的一个通项公式是（）A．B．C．D．6．△ABC中，AB＝，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积等于（）A．B．C．D．7．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5＝3，则S5＝（）A．5B．7C．9D．108．在△ABC中三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2﹣bc＝a2，bc＝a2，则角C的大小是（）A．或B．C．D．9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b（3﹣cos A）＝3a cos C+a cos B，则sin A＝（）A．B．C．D．10．把正整数1，2，3，4，5，6，…按某种规律填入下表：261014145891213…．371115按照这种规律继续填写，那么2015出现在（）A．第1行第1510列B．第3行第1510列C．第2行第1511列D．第3行第1511列11．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ac sin B＝10sin C，a+b＝7，且，则c＝（）A．4B．5C．D．712．若三角形ABC中，sin（A+B）sin（A﹣B）＝sin2C，则此三角形的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．在△ABC中，AB＝，AC＝1，∠B＝30°，△ABC的面积为，则∠C＝．14．已知等差数列{a n}，若a1+a3+a5＝9，则a2+a4＝．15．在等差数列{a n}中，已知log2（a5+a9）＝3，则等差数列{a n}的前13项的和S13＝．16．若数列{a n}为1，2，2，3，3，4，4，…，则该数列通项公式a n＝．三．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在等差数列{a n}中，a1＝1，前n项和S n满足条件＝，n＝1，2…，求数列{a n}的通项公式．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos B＝（3c﹣b）cos A．（1）求sin A；（2）若a＝2，且△ABC的面积为，求b+c的值．19．（12分）在△ABC，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2A＝3cos（B+C）+1（1）求角A的大小；（2）若a＝3，sin C＝2sin B，求b，c的值．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B＝，BC边上中线AM＝，求△ABC的面积．21．（12分）安庆市某棚户区改造，四边形ABPC为拟定拆迁的棚户区，测得，，AC＝4千米，AB＝2千米，工程规划用地近似为图中四边形ABPC的外接圆内部区域．（Ⅰ）求四边形ABPC的外接圆半径R；（Ⅱ）求该棚户区即四边形ABPC的面积的最大值．22．（12分）设数列{a n}中，S n是它的前n项和，a1＝4，na n+1＝S n+n（n+1）对任意n∈N*均成立．（I）求证：数列{a n}是等差数列；（II）设数列{b n}满足b n+1﹣b n＝a n，其中b1＝2，求数列{b n}的通项公式；（III）设，求证：c1+c2+…+c n＜1．。

2019-2020学年安徽省六安中学高一下学期期末数学（理）试题一、单选题1．已知向量(3,2)a =-，(1,)b m =，且()a b a +⊥，则m =（ ） A ．-8 B ．-6C ．6D ．8【答案】D【解析】利用向量的加法与数量积运算即可得到结果. 【详解】∵向量(3,2)a =-，(1,)b m =， ∴()4,2a b m +=-，又()a b a +⊥， ∴()12220m --=， ∴8m =， 故选：D 【点睛】本题考查平面向量的运算，考查向量垂直的等价条件，考查计算能力.2．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为A ．9B ．18C ．20D ．35【答案】B【解析】循环开始时，1224v =⨯+=，1i =；4219v =⨯+=，0i =；92018v =⨯+=，1i =-，符合退出循环的条件，输出18v =，故选B ．3．已知a ，b R ∈且0a b <<，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．11a b< B ．b a a b< C ．22a b < D ．2ab b <【答案】B【解析】结合0a b <<,对,a b 赋值，逐个分析选项即可得解. 【详解】由0a b <<，可令2,1a b =-=-对A:11a b >不成立； 对B: 122b aa b=<=成立；对C: 22a b >不成立； 对D: 222ab b =<=不成立. 故选：B 【点睛】本题考查了不等式比较大小，是基础题.4．某校1000名学生中, O 型血有400人, A 型血有250人, B 型血有250人, AB 型血有100人,为了研究血型与色弱的关系,要从中抽取一个容量为60人的样本,按照分层抽样的方法抽取样本,则O 型血、A 型血、B 型血、AB 型血的人要分别抽的人数为（ ） A ．24,15,15,6 B ．21,15,15,9C ．20,18,18,4D ．20,12,12,6【答案】A【解析】根据分层抽样中各层抽样比与总体抽样比相等可得出每种血型的人所抽的人数. 【详解】根据分层抽样的特点可知，O 型血的人要抽取的人数为40060241000⨯=， A 型血的人要抽取的人数为25060151000⨯=，B 型血的人要抽取的人数为25060151000⨯=，AB 型血的人要抽取的人数为1006061000⨯=，故答案为A. 【点睛】本题考查分层抽样，考查分层抽样中每层样本容量，解题时要充分利用分层抽样中各层抽样比与总体抽样比相等来计算，考查计算能力，属于基础题．5．设ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC 的形状为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【答案】B【解析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sin A 的值进而求得A ，判断出三角形的形状. 【详解】∵cos cos sin b C c B a A +=，由正弦定理得：()2sin cos sin cos sin sin sin B C C B B C A A +=+==，∵sin 0A ≠，∴sin 1A =，2A π=，故三角形为直角三角形，故选：B. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，解题的关键时利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦，属于基本知识的考查.6．已知非零向量,a b 满足4,2a b ==，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则a b -等于（ ） A ．1 B ．25C ．5D ．3【答案】B【解析】 因为a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，设这两个向量的夹角为θ，则cos cos 4cos 2cos 2a b πθθθθθ===⇒=，又由2()a b a b -=-且4,2a b ==，所以222()225a b a b a a b b -=-=-⋅+=，故选B.7．已知数列{}n a 为各项均不相等的等比数列，其前n 项和为n S ，且23a ，32a ，4a 成等差数列，则34S a =（ ） A ．3 B ．139C ．1D ．1327【答案】D【解析】由23a ，32a ，4a 成等差数列求出数列的公比q ，然后再表示出34,S a 后求值． 【详解】设数列公比为q ，则1q ≠，∵23a ，32a ，4a 成等差数列，∴32443a a a =+，即2311143a q a q a q =+，解得3q =，223111334113313327S a a q a q a a q ++++===． 故选：D. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式与前n 项和，利用等差数列的性质求出数列公比q ，然后可求得比值．8．函数()2f x x =，则对任意实数12x x 、,下列不等式总成立的是( )A ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭B ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫ ⎪⎝⎭＜C ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥⎪⎝⎭ D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫⎪⎝⎭＞【答案】A【解析】用差比较法，比较出()()1212,22f x f x x x f ++⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系. 【详解】 依题意()()121222f x f x x x f ++⎛⎫- ⎪⎝⎭222121222x x x x ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭()21204x x -=≥，故()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以A 选项正确.故选：A. 【点睛】本小题主要考查差比较法比较大小，考查运算求解能力，属于基础题. 9．如图，已知,,3,2AB a AC b DC BD AE EC ====，则DE =（ ）A ．1334a b →→-+B ．53124a b →→- C ．3143a b →→-D ．35412a b →→-+【答案】D【解析】将,AB AC 作为平面向量的一组基底，再结合3,2DC BD AE EC ==，运算即可得解． 【详解】因为3,2DC BD AE EC ==， 所以313135()4343412DE DC CE BC CA AC AB AC AB AC =+=+=--=-+， 又,,AB a AC b == 所以35412DE a b =-+， 故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量基本定理，重点考查了平面向量的线性运算，属于基础题．10．关于x 的不等式x 2﹣（a +1）x +a ＜0的解集中恰有两个正整数，则实数a 的取值范国是（ ） A ．[2，4） B ．[3，4]C ．（3，4]D ．（3，4）【答案】C【解析】结合因式分解法先求得两根，再结合解集中恰有两正根，可进一步判断a 的取值范围 【详解】()()()21010x a x a x a x -++<⇔--<，因解集中恰好有两个正整数，可判断解集为()1,x a ∈，两正整数为2,3，故(]3,4a ∈故选：C 【点睛】本题考查由解集分布情况来求解参数范围，一元二次不等式的解法，易错点为在端点处等号取不取，能不能精确判断的问题，要避免此类错误可采取试值法，把端点值代入检验即可，属于中档题11．如图所示茎叶图记录了甲乙两组各5名同学的数学成绩甲组成绩中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示若两个小组的平均成绩相同，则下列结论正确的是（ ）A ．2X =，22S S <甲乙B ．2X =，22S S >甲乙 C ．6X =，22S S <甲乙D ．6X =，22S S >甲乙【答案】A【解析】根据两个小组的平均成绩相同，得到甲乙两组的总和相同，建立方程即可解得X 的值，利用数据集中的程度，可以判断两组的方差的大小． 【详解】∵两个小组的平均成绩相同，∴8072747463X +++++8183706566=++++， 解得：2X =，由茎叶图中的数据可知，甲组的数据都集中在72附近，而乙组的成绩比较分散，∴根据数据分布集中程度与方差之间的关系可得22S S <甲乙，故选A ． 【点睛】本题主要考查茎叶图的应用，要求熟练掌握平均数和方差的定义和判断方法，比较基础． 12．已知正实数,a b 满足1a b +=，则11b a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值是（ ） A ．112B ．5C ．222+D ．32+【答案】C【解析】结合基本不等式转化求解即可． 【详解】解：22222111()22(222)()222b b a b b a ab abb a b ab ab abab+++++++====，当且仅当2a b =时取等号，即22a =21b =时等号成立，故选：C ． 【点睛】本题考查基本不等式在最值中的应用，考查计算能力，属于中档题。

2019-2020学年安徽省六安一中高一（下）第一次段考数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.从一群游戏的小孩中抽出k人，一人分一个苹果，让他们返回继续游戏，一段时间后，再从中任取m人，发现其中有n个小孩曾分过苹果，估计一共有小孩多少人A. B. C. D. 不能估计2.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为抽到的32人中，编号落入区间的人做问卷A，编号落入区间的人做问卷B，其余的人做问卷则抽到的人中，做问卷B的人数为A. 7B. 9C. 10D. 153.动点A在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是A. B.C. D.4.若直线与圆相加于M，N两点，且，则k的取值范围是A. B. C. D.5.x5y n若，计算得回归方程为，则n的值为A. 9B. 8C. 7D. 66.过点作圆O：的两条切线，切点分别为A和B，则弦长A. B. 2 C. D. 47.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的A. 0B. 2C. 4D. 148.如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱桥离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为A. 14米B. 15米C. 米D.9.某人5次上班途中所花的时间单位：分钟分别为x，y，10，11，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为A. 1B. 2C. 3D. 410.若曲线与曲线有三个不同的公共点，则实数m的取值范围是A. B.C. D.二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.在空间直角坐标系Oxyz中，y轴上有一点M到已知点3，和点5，的距离相等，则点M的坐标是______．12.如果框图所给的程序运行结果为，那么判断框中整数m的值为______．13.与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是________．14.生活中常用的十二进位制，如一年有12个月，时针转一周为12个小时，等等，就是逢12进1的计算制，现采用数字和字母A、B共12个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系十二进制0123456789A B十进制01234567891011例如用十二进位制表示，照此算法在十二进位制中运算______．15.已知实数x，y满足，则的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）16.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同．求m，n的值；通过定量计算，试比较甲、乙两组数据的分散程度．17.某校高二班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，且将全班25人的成绩记为2，，，由右边的程序运行后，输出据此解答如下问题：求茎叶图中破损处分数在，，各区间段的频数；利用频率分布直方图估计该班的数学测试成绩的众数，中位数，平均数分别是多少？18.已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上．求圆C的标准方程；设，，若圆C上存在点M，使得点M也在以PQ为直径的圆上，求实数m的取值范围．19.已知圆C：，点，直线l：．求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；设定点，问：对于圆C上任一点P，是否为一常数？若是，求出这个常数值；若不是，请说明理由．20.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费单位：千元对年销售量单位：和年利润单位：千元的影响，对近8年的年宣传费和年销售量2，，数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．563 1469表中，．根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？给出判断即可，不必说明理由根据的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；已知这种产品的年利润z与x、y的关系为根据的结果要求：年宣传费x为何值时，年利润最大？附：对于一组数据，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：由题意，k个小孩在总体中所点的比例是，故总体的人数是．故选：A．本题是一个情景问题，由问题描述知k个小孩在总体中所占的比例是，由此比例关系计算出总共多少人选出正确选项．本题考查随机抽样和概率知识的应用，理解题意，由题中描述得出k个小孩在总体中所点的比例是解题的关键，本题是实际背景的情景的问题，要注意与抽样中样本与总体这些术语的对应，从而得到计算方法．2.答案：C解析：解：，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为．由解得．再由n为正整数可得，且，故做问卷B的人数为10，故选：C．由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为，由求得正整数n的个数．本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题．3.答案：C解析：解：设中点，则动点，在圆上，，即．故选：C．根据已知，设出AB中点M的坐标，根据中点坐标公式求出点A的坐标，根据点A在圆上，代入圆的方程即可求得中点M的轨迹方程．此题是个基础题．考查代入法求轨迹方程和中点坐标公式，体现了数形结合的思想以及分析解决问题的能力．4.答案：B解析：【分析】由弦长公式得，当圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式即可求解斜率k的范围．本题考查圆心到直线的距离公式的应用，以及弦长公式的应用．【解答】解：由弦长公式得，圆心到直线的距离，即，．故选B．5.答案：D解析：解：由表中数据可得：，回归方程为，可得，，．故选：D．由表中数据可得：，回归方程为，可得，可由此求出n值．本题考查的知识点是线性回归方程，其中根据回归直线一定经过样本数据中心点，是解答的关键．属于基础题．6.答案：A解析：解：由圆的方程，得到圆心，半径，，、PB分别为圆的切线，，，，OP为的平分线，，，，在中，根据勾股定理得：，，，，为等边三角形，．故选A．由圆的方程找出圆心坐标和半径r，确定出与的长，由切线的性质得到OA与AP垂直，OB与PB垂直，且切线长相等，由P与O的坐标，利用两点间的距离公式求出的长，在直角三角形AOP中，利用勾股定理求出的长，同时得到，确定出三角形APB为等边三角形，由等边三角形的边长相等得到，可得出的长．本题考查了直线与圆的位置关系，直线与圆的位置关系由d与r的大小关系确定，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径．7.答案：B解析：【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当时不满足条件，输出a的值为2．本题主要考查了循环结构程序框图，属于基础题．依据框图判断并执行相应计算即可．【解答】解：模拟执行程序框图，可得，，满足条件，不满足条件，，满足条件，满足条件，，满足条件，满足条件，，满足条件，满足条件，，满足条件，不满足条件，，不满足条件，输出a的值为2．故选：B．8.答案：D解析：解：以圆拱拱顶为坐标原点，以过拱顶顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得：，设圆的半径为r，则，即圆的方程为，将A的坐标代入圆的方程可得，所以圆的方程是：则当水面下降1米后可设的坐标为代入圆的方程可得，所以当水面下降1米后，水面宽为米．故选：D．先根据题目条件建立适当的直角坐标系，得到各点的坐标，通过设圆的半径，可得圆的方程，然后将点的坐标代入确定圆的方程，设当水面下降1米后可设的坐标为根据点在圆上，可求得的值，从而得到问题的结果．本题考查了圆的方程的综合应用，以及点在圆上的条件的转化，圆的对称性的体现，是个基础题．9.答案：D解析：解：由题意这组数据的平均数为10，方差为2可得：，，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出，设，，由得；，故选：D．由题意知这组数据的平均数为10，方差为2可得到关于x，y的一个方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出，利用换元法来解出结果．本题是一个平均数和方差的综合题，根据所给的平均数和方差，代入方差的公式进行整理，本题是一个基础题，可以作为选择和填空出现．10.答案：D解析：解：由题意可知曲线：表示一个圆，化为标准方程得：，所以圆心坐标为，半径；表示两条直线和，由直线可知：此直线过定点，在平面直角坐标系中画出图象如图所示：当直线与圆相切时，圆心到直线的距离，化简得：．则直线与圆相交时，，故选D．把圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，直线过定点，当直线与圆相切时，根据圆心到直线的距离，求出m的值，数形结合求出实数m的取值范围．本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．11.答案：4，解析：解：设y，由题意得解得得故4，故答案为：4，．根据点M在y轴上，设出点M的坐标，再根据M到A与到B的距离相等，由空间中两点间的距离公式求得AM，BM，解方程即可求得M的坐标．考查空间两点间的距离公式，空间两点的距离公式和平面中的两点距离公式相比较记忆，利于知识的系统化，属基础题．12.答案：6解析：解：框图首先给累加变量S赋值1，给循环变量k赋值10．判断，执行，；判断，执行，；判断，执行，；判断，执行，；判断不成立，输出S的值为35，算法结束．所以判断框中的条件是？．故答案为6根据赋值框中对累加变量和循环变量的赋值，先判断后执行，假设满足条件，依次执行循环，到累加变量S的值为35时，再执行一次，此时判断框中的条件不满足，由此可以得到判断框中的条件．本题考查了程序框图中的循环结构，考查了当型循环，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时，算法结束，此题是基础题．13.答案：解析：解：曲线化为，其圆心到直线的距离为．所求的最小圆的圆心在直线上，其到直线的距离为，圆心坐标为．标准方程为．故答案为：．由题意可知先求圆心坐标，再求圆心到直线的距离，求出最小的圆的半径，圆心坐标，可得圆的方程．本题考查直线和圆的方程的应用，考查转化的数学思想，是中档题．14.答案：92解析：解：把十二进制数化为十进制数，则，，；故答案为：92．先把十二进制数化为十进制数，利用十进制数计算乘积，再把乘积化为十二进制即可．本题利用不同进制数之间的关系，考查了它们之间的换算，其算法通常是先化为十进制，利用十进制数计算，再把结果化为其他进制．15.答案：15解析：解：的几何意义是圆上的点到直线的距离减去半径后的5倍，即：，是圆心坐标，r是圆的半径．就是所以实数x，y满足，则的最小值．圆的圆心坐标，半径是1，所以圆心到直线的距离为：，所以的最小值为．故答案为：15．通过的几何意义，利用圆心到直线的距离减去半径求解即可．本题考查简单线性规划的应用，考查点到直线的距离，转化思想的应用，考查计算能力．16.答案：解：由题意可得：，，由解得，；计算，，，；，所以乙组数据的稳定性更强．解析：根据两组数据的中位数相同，平均数也相同，求出m、n的值；计算平均数与方差，比较即可得出结论．本题考查了利用茎叶图求平均数、方差的应用问题，是基础题．17.答案：解：由直方图知：在之间的频率为，在之间的频数为2；由程序框图知：在之间的频数为10，所以分数在之间的频数为；分数在之间的频率为；分数在之间的频率为；分数在之间的频率为；分数在之间的频率为；分数在之间的频率为；估计该班的测试成绩的众数75；分设中位数为x，则，解得；平均数为．解析：由直方图先求出在之间的频率及频数，由程序框图求出在之间的频数，用样本容量相减，可得答案；计算各段的频率，进而得到频率最大的组中值即为众数，求出频率的等分线，可得中位数，利用区间中点计算对应的平均数即可．本题考查了频率分布直方图，以及用样本估计整体，程序框图的应用问题，是综合性题目．18.答案：解：因为，AB的中点为所以AB的中垂线为：，即联立，解得圆心．又因为半径为，所以圆C：．以PQ为直径的圆的方程为，由已知，该圆与圆C有公共点即可，所以，解得．解析：求出圆心与半径，即可求圆C的标准方程；以PQ为直径的圆的方程为，由已知，该圆与圆C有公共点即可．本题考查圆的方程，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．19.答案：解：由题意，所求直线与直线l垂直，设所求直线方程为，即，直线与圆相切，，得，所求直线方程为．圆C上任一点为P，设，则，，从而为常数．解析：根据所求直线与直线l垂直，设所求直线方程为，即，利用直线与圆相切，距离可得b的值，可得直线方程．设出P点，利用两点之间的距离公式，求解BP和PA，化简可得结论．本题主要考查直线和圆的位置关系的运用，根据直线和圆相切距离是解决本题的关键．同时考查了两点之间的距离公式的运用和计算能力．属于中档题．20.答案：解：根据散点图判断，更适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；令，，由表可知：，；所以y关于x的回归方程为：；由可知：年利润；所以当，即时，年利润z最大．故年宣传费为千元时，年利润最大．解析：根据散点图的意义，即可判断出结论；先建立中间量，建立y关于w的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决；求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出年利润最大值对应的x值．本题主要考查了线性回归方程和散点图的应用问题，也考查了计算能力，是基础题．。

2019-2020学年安徽省六安市舒城中学高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知正四面体内接于一个球，某人画出四个过球心的平面截球与正四面体所得的图形如下，则（）A．以下四个图形都是正确的 B．只有②④是正确的C．只有④是正确的 D．只有①②是正确的参考答案：D略2. 奇函数y=f(x)在(－∞ ,0)上为减函数，且f(2)=0,则不等式（x－1）f(x－1)>0的解集为（）A．{x|－3＜x＜－1} B．{x|－3＜x＜1或x>2}C．{x|－3＜x＜0或x>3} D．{x|－1＜x＜1或1＜x＜3}参考答案：D略3. 圆C：x2+y2﹣4x+2y=0的圆心坐标和半径分别为（）A．C（2，1），r=5 B．C（2，﹣1），r=C．C（2，﹣1），r=5 D．C（﹣2，1），r=参考答案：B4. 设，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．参考答案：A略5. 已知互不重合直线与平面，下列条件中能推出的是（）A． B．C． D．参考答案：B6. 设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={2，4，6}则C U A=( )A．{1，3，5，6} B．{1，3，5} C．{2，3，4} D．{1，2，3，5}参考答案：B【考点】补集及其运算．【专题】计算题；定义法；集合．【分析】由A与全集U，求出A的补集即可．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，A={2，4，6}，∴?U A={1，3，5}，故选：B．【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．7. 函数的图象（）A．关于轴对称 B．关于轴对称C．关于原点对称 D．关于直线对称参考答案：B8. 坐标平面内，与点距离为，且与点距离为的直线共有（）A、条B、条C、条D、条参考答案：B9. 图中阴影部分表示的集合是( )A．A∩（?U B）B．（?U A）∩B C．?U（A∩B）D．?U（A∪B）参考答案：B【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】计算题；集合．【分析】由题意知，图中阴影部分表示的集合在集合B中不在集合A中，从而得到．【解答】解：图中阴影部分表示的集合在集合B中不在集合A中，故是（?U A）∩B；故选B．【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题．10. 设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（）A． B． C． D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若方程|2x﹣1|=a有唯一实数解，则a的取值范围是．参考答案：a≥1或a=0【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；作图题；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】作函数y=|2x﹣1|的图象，从而结合图象讨论方程的根的个数即可．【解答】解：作函数y=|2x﹣1|的图象如下，，结合图象可知，当a=0时，方程|2x﹣1|=a有唯一实数解，当0＜a＜1时，方程|2x﹣1|=a有两个实数解，当a≥1时，方程|2x﹣1|=a有唯一实数解，故答案为：a≥1或a=0．【点评】本题考查了函数的图象与方程的根的关系应用及数形结合方法的应用．12. （5分）已知f（x）=，则f（1）= ．参考答案：3考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：直线把f（x）中的x换为1，能求出f（1）的值．解答：∵f（x）=，∴f（1）==3．故答案为：3．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意函数性质的合理运用．13. 某小区拟对如图一直角△ABC区域进行改造，在三角形各边上选一点连成等边三角形,在其内建造文化景观。

2019-2020学年安徽省六安市一中高一下学期开学考试数学（理）试题一、单选题1．①0N ∈；②2Q ∉；③{}0∅⊆；④0∈∅；⑤直线3y x =+与26y x =-+的交点组成的集合为{}1,4，上述五个关系中，正确的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】 由题意得， 0N ∈是正确，所以①是正确的； 2Q ∉是正确的，所以②是不正确的；{}0φ⊆是正确的，所以③是正确的； 0φ∈是不正确的，所以④不正确；由3{ 26y x y x =+=-+，解得1{ 4x y ==，所以构成的集合为(){}1,4，所以⑤不正确，故选C. 2．设()32x f x x =-.则在下列区间中，使函数()f x 有零点的区间是( )A. ()1,0-B. ()0,1C. ()1,2D. ()2,3【答案】C【解析】 由函数()32x f x x =-，所以()()132312110,22240f f =-=>=-=-<， 所以()()120f f <，所以函数()f x 所在零点的区间为()1,2，故选C.3．右图是一个几何体的三视图，若该几何体的底面为直角梯形，则该几何体体积为（ ）（A ）8 （B ）10 （C ）12 （D ）24【答案】A【解析】试题分析：该几何体为四棱锥，底面为俯视图，高为2，其体积为()823533131=⨯+⨯==Sh V ,故选A.【考点】,1三视图；2.几何体的体积.4．过点()3,4P ，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( )A. 10x y -+=B. 10x y -+=或430x y -=C. 70x y +-=D. 70x y +-=或430x y -=【答案】D【解析】当直线过原点时，直线方程为y=43x ，即4x ﹣3y=0； 当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a ．则3+4=a ，得a=7． ∴直线方程为x+y ﹣7=0． ∴过点M （3，4）且在坐标轴上截距相等的直线方程为4x ﹣3y=0或x+y ﹣7=0． 故选：D 5．直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则有( )A. ，B. ，C.， D. ，【答案】A 【解析】 由直线，则直线的斜率为，即，则， 令，则，即直线在轴上的截距为，故选A.6．若m ， n 表示不重合的两条直线， α表示平面，则下列正确命题的个数是( ) ①m n P ， m n αα⊥⇒⊥ ②m α⊥， n m n α⊥⇒P③m α⊥， n αP m n ⇒⊥ ④m αP ， m n n α⊥⇒⊥A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】由①m α⊥，则m 垂直于α内的两条相交直线，因为m n P ，则n 垂直于α内的两条相交直线，所以n α⊥，所以是正确的；②由线面垂直的性质，垂直于同一平面的两条直线平行，结论正确；③由//n α，所以存在直线b α⊂，且//b n ，因为m α⊥，所以m b ⊥，所以m n ⊥，所以是正确的；④不正确，例如n 和m 确定的平面平行于α，则//n α，故选C.7．若f ： A B →能构成映射，则下列说法正确的有( )①A 中任意一个元素在B 中必有像且唯一②B 中的多个元素可以在A 中有相同的原像③B 中的元素可以在A 中无原像④像的集合就是集合BA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】 由映射概念，即给出,A B 两个非空集合及一个对应关系f ，在对应关系f 的作用下， 集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一确定的象与之对应，可知映射的实质就是对应，且是“一对一”或“多对一”，不能是“一对多”，由此可知命题（1）（2）正确，命题（3）错误，所以正确的命题个数是2个，故选B.8．若1a >，且11213log loglog 0a a ax x x +==<，则1x ， 2x ， 3x 的大小关系是( )A. 123x x x <<B. 231x x x <<C. 321x x x <<D. 312x x x <<【答案】C【解析】 因为11213log log log 0a a a x x x +==< ，所以()312lg lg lg 01lg lg 1lg x x x a a a==<+ 因1a >，则()1lg 0,lg 1lg 0a a a+> 所以123lg 0,lg 0,lg 0x x x ><<，且23lg lg x x >，所以1321,01x x x ><<<，所以321x x x <<，故选C.9．对空间两条无公共点的直线a 与b ，必存在平面α使得( )A. a α⊂， b α⊂B. a α⊂， b α⊥C. a α⊥， b α⊥D. a α⊂， b αP【答案】D【解析】 因为空间中两条无公共点的直线a 和b ，则//a b 或a 与b 是异面直线，所以一定存在平面α，使得,//a b αα⊂成立，故选D.10．函数()y f x =的图像如下图所示，则函数()0.2log y f x =的图像大致是( )A. B. C.D.【答案】C【解析】 因为()0.50.50,1,log y x ∈=是减函数，而()f x 在(]0,1上是减函数，在()1,2是增函数，由复合函数的单调性（同增异减）可知，函数()0.5log y f x =在(]0,1上是增函数，在()1,2是减函数，故选C.11．直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M ， N 两点，若23MN ≥，则k 的取值范围是( ) A. 2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. [)3,0,4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦ C. 33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】D【解析】试题分析：当23MN =时，圆心到直线MN 的距离为()2431d =-=，因此由23MN ≥，则1d ≤，所以232311k d k -+=≤+， 304k -≤≤．故选A ． 【考点】直线与圆的位置关系，直线与圆相交弦长，点到直线的距离公式．【名师点睛】.直线与圆相交求弦长有两种方法（1）代数方法:将直线和圆的方程联立方程组,消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ>0的前提下,利用根与系数的关系求弦长.弦长公式l=|x 1-x 2|=.其中a 为一元二次方程中的二次项系数.（2）几何方法:若弦心距为d,圆的半径长为r,则弦长l=2.代数法计算量较大,我们一般选用几何法.12．已知函数()232f x ax x =-的最大值不大于16，又当11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， ()18f x ≥，则a 的值为( )A. 1B. 1-C.34 D. 78【答案】A 【解析】 由()2223312236a f x ax x x a ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭， 则()2max 1166f x a =≤，得11a -≤≤，且 对称轴的方程为3a x =， 当314a -≤<时，在11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上函数()f x 单调递减，而()18f x ≥， 即()min 1312288a f x f ⎛⎫==-≥ ⎪⎝⎭，则1a ≥与314a -≤<矛盾，即不存在； 当314a ≤≤时，对称轴3a x =，而11433a ≤≤，且111342328+<=， 即()min 1312288a f x f ⎛⎫==-≥ ⎪⎝⎭，则1a ≥，而314a ≤≤，所以1a =，故选A. 点睛：本题主要考查了二次函数的综合应用问题，其中解答中涉及到一元二次函数的单调性，函数的的最值，以及一元二次函数的图象与性质等知识点的综合应用，同时着重考查了分类讨论思想和数形结合思想的应用，解答中熟记一元二次函数的图象与性质是解答的关键.13．计算： 1ln3327lg42lg5e ++-=_____________.【答案】2【解析】 由题意得()()11ln33ln33327lg42lg53lg4lg253232ee ++-=++-=+-=.二、填空题14．函数()()3log 3f x x +的定义域是_____________.(用集合或区间表示)【答案】(]3,1-【解析】 由题意得，函数满足10{ 30x x -≥+>，解得31x -<≤，即函数的定义域为(]3,1-. 15．Rt ABC V 中， 30A =︒，斜边4cm AC =，将边BC 绕边AB 所在直线旋转一周，所形成的几何体的表面积为_____________2cm .【答案】12π【解析】 在直角ABC ∆中， 030,4A AC cm ==，则2sin 4sin302BC AC A ==⨯= ， 将边BC 绕边AB 所在的直线旋转一周，得到一个底面半径为2，母线长为4的圆锥， 所以该圆锥的表面积为222412S S S πππ=+=⨯+⨯⨯=底面侧面.点睛：本题考查了旋转体的概念，以及圆锥的侧面积与表面积的计算问题，解答中根据圆锥的定义，绕直角三角形的一条直角边所在的直线旋转一周得到的几何体为一个圆锥，从而确定圆锥的底面半径和母线长是解答的关键，着重考查了学生的空间想象能力.16．已知动直线()()212430x y λλλ++-+-=与圆C ： ()2219x y -+=相交，则相交的最短弦的长度为_____________.【答案】2【解析】由()()212430x y λλλ++-+-=可得： ()2x y 4230x y λ+++--=,令240{ 230x y x y ++=--=，解得： 1{ 2x y =-=-，即动直线()()212430x y λλλ++-+-=过定点A ()12--，定点A 显然在圆内，故相交弦长最短时CA 垂直动直线， 即20211121λλ--+⨯=----，解得： 13λ=- 此时直线为： x y 30++=∴最短弦的长度为2=. 故答案为：2三、解答题17．已知全集U R =，集合{}|3 6 A x x =≤<， {}|2,2 3 x B y y x ==≤≤.①求A B ⋂和()U C B A ⋃；②已知{}|12 1 C a a x a =+≤≤-，若C B ⊆，求a 的取值范围.【答案】（1）[)4,6A B ⋂=， ()()(),68,U C B A ⋃=-∞⋃+∞；（2）()9,23,2⎡⎤-∞⋃⎢⎥⎣⎦. 【解析】试题分析：（1）由题意，根据指数函数的性质，得到集合B ，进而根据集合的运算，即可求解A B ⋂和()U C B A ⋃；（2）由C B ⊆，分C φ=和C φ≠，两种情况讨论，即可求解实数a 的取值范围.试题解析：(1) [)A 3,6=， []B 4,8=[)A B 4,6⋂=， ()()()U C B A ,68,∞∞⋃=-⋃+.(2)若C ∅=时，有a 12a 1+>-，即a 2<，此时有C B ⊆，若C ∅≠时，要使C B ⊆成立有2119{14 3a 2218a a a a -≥++≥⇒≤≤-≤ 综上所述，实数a 的取值范围为()9,23,2∞⎡⎤-⋃⎢⎥⎣⎦. 18．某城市出租车的收费标准是：3千米以内(含3千米)，收起步价8元；3千米以上至8千米以内(含8千米)，超出3千米的部分按1.5元/千米收取；8千米以上，超出8千米的部分按2元/千米收取.(1)计算某乘客搭乘出租车行驶7千米时应付的车费；(2)试写出车费y (元)与里程x (千米)之间的函数解析式并画出图像；(3)小陈周末外出，行程为10千米，他设计了两种方案：方案1：分两段乘车，先乘一辆行驶5千米，下车换乘另一辆车再行5千米至目的地 方案2：只乘一辆车至目的地，试问：以上哪种方案更省钱，请说明理由.【答案】（1）14元；（2）8,03{1.5 3.5,38 20.5,8x y x x x x <≤=+<≤->；（3）方案二更省钱.【解析】试题分析：（1）根据题意，某厂乘客搭乘出租车形式7千米时应付的车费为起步价加上超出本按1.5元/千米计算，即可求得结果；（2）利用分段函数，写出车费与里程之间的函数解析式即可；（3）求出两种方案下的各自费用，比较即可得到结论.试题解析：(1) 84 1.514+⨯=元.(2) 8,03y {1.5 3.5,38 20.5,8x x x x x <≤=+<≤->(3)方案一的费用为：22元.方案二的费用为： 19.5元.方案二更省钱.19．如图，在三棱柱111BCD B C D -与四棱锥11A BB D D -的组合体中，已知1BB ⊥平面BCD ，四边形ABCD 是平行四边形， 120ABC ∠=︒， 4AB =， 2AD =， 11BB =，设O 是线段BD 中点.(1)求证： 1C O P 平面11AB D ；(2)证明：平面11AB D ⊥平面1ADD ；(3)求四棱锥11A BB D D -的体积.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）11A B D DB V -=. 【解析】试题分析：取11B D 的中点E ，连接1,C E OA ，易证1C EAO 为平行四边形，从而得到1//C O EA ，再利用线面平行的判定定理即可；（2）根据0120,2,4ABC AB AD ∠===，证得2ADB π∠=，即BD AD ⊥，进一步可证1BD DD ⊥，从而证得BD ⊥面111,//ADD BD B D ，于是得1B D ⊥平面1ADD ，利用面面垂直的判定定理可得结论；（3）利用等体积法，即可求得点D 到平面1ABD 的距离.试题解析：(1)证明：取11B D 的中点E ，连结1C E ， AE ， OA ，则A 、O 、C 三点共线，∵111BCD B C D -为三棱柱，∴平面BCD P 平面111B C D ，故1C E OA P 且1C E OA =，∴四边形1C EAO 为平行四边形，∴1AE C O P ，又∵AE ⊂面11AB D ， 1OC ⊄面111AB D C O ⇒P 面11AB D .(2)证明：∵ABC 120∠=︒， AB 4=， AD 2=，作DM AB ⊥于M ，可得AM 1=， DM = BM 3=，则BD =∴222AB AD BD ADB 90∠=+⇒=︒，即BD AD ⊥，又1BB ⊥平面BCD ， BD ⊂平面BCD ， 1BB BD ⊥，在三棱柱111BCD B C D -中， 11BB D D P 而1DD AD D ⋂=，∴BD ⊥平面1ADD ，又11BD B D P ，得11B D ⊥平面1ADD ，而11B D ⊂平面11AB D ，∴平面11AB D ⊥平面1ADD .(3)由(2)知， BD AD ⊥，又1D D AD ⊥，∴AD ⊥平面11BB D D ，即AD 为四棱锥11A B D DB -的高， AD 2=，又11BB D D S =∴11A B D DB V -=20．已知函数()()()4log 41x f x kx k R =++∈是偶函数.(1)求实数k 的值；(2)判断()f x 在[)0,+∞上的单调性；(不必证明)(3)求函数()f x 的值域.【答案】（1）12k =-；（2）()f x 在[)0,+∞上是增函数；（3）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】试题分析：（1）由函数()f x 为偶函数，额()()f x f x -=，列出方程，即可求解k 的值；（2）可设2x t =，利用复合函数的单调性，即可判定函数()f x 的单调性；（3）由21222x +≥，根据对数函数的图象与性质，即可得到函数的值域. 试题解析：(1)由函数()f x 是偶函数，可以知道()()f x f x =-，∴()()x x 44log 41kx log 41kx -++=+-，即2kx x -=，对一切x R ∈恒成立， 1k 2=-. (2) ()x 4x 1f x log 22⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令x t 2=， t 1≥，则()1g t t t=+在[)1,∞+上是增函数， 所以()f x 在[)0,∞+上是增函数.(3)因为x x 1222+≥， 所以()x 4x 11f x log 222⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭. 则函数()f x 的值域为1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭. 21．已知圆()2222224004x y ax ay a a a ++-+-=<≤的圆心为C ，直线:l y x m =+.(1)求圆心C 的轨迹方程；(2)若4m =，求直线l 被圆C 所截得弦长的最大值；(3)若直线l 是圆心C 下方的切线，当a 在(]0,4上变化时，求m 的取值范围.【答案】（1）()040x y x +=-≤<；（2）3）1,8m ⎡∈--⎣.【解析】试题分析：（1）由圆的方程，可得圆的圆心坐标为(),(04)a a a -<≤，即可得到圆心的轨迹方程；（2）将圆的方程转化为圆的标准方程，得到圆心坐标和半径，再求得圆心C 到直线l 的距离，由圆的弦长公式，得到弦长的函数关系式，即可求解弦长的最大值；（3）由直线l 与圆C 相切，建立m 与a 的关系， 2m a -=，在由点C 在直线l 的上方，去掉绝对值，将m 转化为a 二次函数求解即可.试题解析：（1）圆的圆心坐标为()()a,a 0a 4-<≤.所以圆心的轨迹方程为()x y 04x 0+=-≤<.(2)已知圆的标准方程是()()()22x a y a 4a 0a 4++-=<≤.则圆心C 的坐标是()a,a -，半径为.直线l 的方程化为： x y 40-+=，则圆心C 到直线l a =-， 设直线l 被圆C 所截得弦长为L ，由圆弦长、圆心距和圆的半径之间关系是：L ===∵0a 4<≤，∴当a 3=时， L 的最大值为(3)因为直线l 与圆C =即m 2a -=.又点C 在直线l 上方，∴a a m >-+，即2a m >，∴2a m -=)2m 11=-.∵0a 4<≤，∴0<≤，∴m 1,8⎡∈--⎣.点睛：本题考查了直线与圆的位置关系及其圆的方程的应用，主要涉及到利用直线与圆相切构造函数模型，求解参数的范围，以及直线与圆相交，由圆心距、半径和圆的弦长构成的直角三角形，熟记直线与圆的位置关系的判定和应用，以及运算能力.22．如图1，在等腰直角三角形ABC 中， 90A ∠=︒， 6BC =， D 、E 分别是AC ， AB 上的点， 2CD BE ==， O 为BC 的中点，将ADE V 沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥'A BCDE -，其中'3A O =.(1)证明： 'A O ⊥平面BCDE ；(2)求二面角'A CD B --的平面角的余弦值；(3)求直线CB 与平面'A BE 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）155；（3）55. 【解析】试题分析：(1)在图1、2中，连接OD ， OE ，易得,,,,OC AC AD OE OE ，利用勾股定理得'A O OE ⊥，利用线面垂直的判定定理，即可证得'A O ⊥平面BCDE .(2)在图2中，得到'A MO ∠就是二面角'A CD B --的平面角，在A MO ∆'中，即可求解二面角的大小；(3)取BR 中点N ，连接'A N 和ON ，得到OBQ ∠就是直线BC 与平面'A BE 所成的角，即可求解线面角的大小.试题解析：(1)在图1、2中，连接OD ， OE ，易得OC 3=， AC 32= AD 22= OD OE 5==， 因为A'D A'E 22==222A'D A'O OD =+, 222A'E A'O OE =+，即A'O OD ⊥， A'O OE ⊥，所以A'O ⊥平面BCDE .(2)在图2中设CD ， BE 交于R 点，取CR 中点M ，连接OM ， A'M ，则OM CR ⊥， A'M CR ⊥，则A'MO ∠就是二面角A'CD B --的平面角，其中32OM =， 30A'M =，OM cos A'MO A'M ∠==. (3)取BR 中点N ，连接A'N 和ON ，作OQ A'N ⊥，则OQ ⊥平面A'BE ，所以OBQ ∠就是直线BC 与平面A'BE 所成的角，易得OQ =， OB 3=，所以OQ sin OBQ OB ∠==. 点睛：此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成，立体几何中角的计算问题，中往往可以利用几何法或空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力\转化与化归思想及基本运算能力等.。

2019-2020学年高三第二学期自测数学试卷（理科）一、选择题1．已知集合，集合B＝{x|x﹣x2＜0}，则A∩B＝（）A．∅B．{x|x＜1}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＜0}2．已知，若角α的终边经过点P（1，），则f（f（cosα））的值为（）A．B．C．4D．﹣43．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝3x﹣1，则使不等式f（e x ﹣3e﹣x）＜成立的x的取值范围是（）A．（ln3，+∞）B．（0，ln3）C．（﹣∞，ln3）D．（﹣1，3）4．声音的等级f（x）（单位：dB）与声音强度x（单位：W/m2）满足．喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB；一般说话时，声音的等级约为60dB，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（）A．106倍B．108倍C．1010倍D．1012倍5．设函数f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数6．函数的函数图象是（）A．B．C．D．7．已知a＝4ln3π，b＝3ln4π，c＝4lnπ3，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c8．已知函数，直线y＝﹣x+3与曲线y＝f（x）相切，则a＝（）A．1B．2C．3D．49．如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲y＝x2和曲线y＝围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（）A．B．C．D．10．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），且对任意的不相等的实数x1，x2∈[0，+∞）有＜0成立，若关于x的不等式f（2mx﹣lnx﹣3）≥2f（3）﹣f （﹣2mx+lnx+3）在x∈[1，3]上恒成立，则实数m的取值范围（）A．[，1+]B．[，2+]C．[，2+]D．[，1+] 11．设函数f（x）＝ax3+bx2+cx（a，b，c∈R，a≠0），若不等式xf′（x）﹣af（x）≤3对一切x∈R恒成立，则的取值范围为（）A．[，+∞）B．C．[﹣，+∞）D．12．已知函数f（x）＝，若方程f2（x）+bf（x）+2＝0有8个相异实根，则实数b的取值范围（）A．（﹣4，﹣2）B．C．（﹣3，﹣2）D．（﹣3，﹣2）二、填空题13．对数式lg25﹣lg22+2lg6﹣2lg3＝．14．已知x、y满足曲线方程，则x2+y2的取值范围是．15．已知f（x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，．g（x）＝f（x）﹣a．记S（a）为函数g（x）的所有零点之和．当﹣1＜a＜0时，S（a）的取值范围为．16．已知函数f（x）＝e x﹣lnx﹣2，下列说法正确的是．①f（x）有且仅有一个极值点；②f（x）有零点；③若f（x）极小值点为x0，则0＜f（x0）＜；④若f（x）极小值点为x0，则＜f（x0）＜1．三、解答题：共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．定义在[﹣3，3]上的奇函数f（x），已知当x∈[﹣3，0]时，．（1）求实数a的值；（2）求f（x）在（0，3]上的解析式；（3）若存在x∈[﹣2，﹣1]时，使不等式成立，求实数m的取值范围．18．2018年淮安新能源汽车厂计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，若生产100x辆时，需另投入成本C（x）万元，满足C（x）＝．由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完（其中x∈N*）（1）求出2018年的利润L（x）（万元）的函数关系式（利海＝销售额﹣成本）；（2）2018年产量为多少辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．19．已知f（x）＝kx﹣sin2x+a sin x（k，a为实数）．（1）当k＝0，a＝2时，求f（x）在[0，π]上的最大值；（2）当k＝4时，若f（x）在R上单调递增，求a的取值范围．20．已知函数f（x）＝（x+1）[ln（x+1）+m]+n，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝2x+1．（1）求m，n的值和f（x）的单调区间；（2）若对任意的x∈[0，+∞），f（x）＞kx恒成立，求整数k的最大值．21．设函数f（x）＝x﹣﹣tlnx，其中x∈（0，1），t为正实数．（1）若不等式f（x）＜0恒成立，求实数t的取值范围；（2）当x∈（0，1）时，证明x2+x﹣﹣1＜e x lnx．22．已知函数f（x）＝ax﹣lnx﹣1（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性并指出相应单调区间；（2）若，设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若，且g（x1）﹣g（x2）≥k恒成立，求实数k的取值范围．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，集合B＝{x|x﹣x2＜0}，则A∩B＝（）A．∅B．{x|x＜1}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＜0}【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x≤1}，B＝{x|x＜0或x＞1}，∴A∩B＝{x|x＜0}．故选：D．2．已知，若角α的终边经过点P（1，），则f（f（cosα））的值为（）A．B．C．4D．﹣4【分析】利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值，可得f（cosα）的值，再利用分段函数求得解：∵已知，若角α的终边经过点P（1，），∴cosα＝＝，f（f（cosα））的值．∴f（cosα）＝f（）＝＝﹣1，则f（f（cosα））＝f（﹣1）＝4﹣1＝，故选：A．3．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝3x﹣1，则使不等式f（e x ﹣3e﹣x）＜成立的x的取值范围是（）A．（ln3，+∞）B．（0，ln3）C．（﹣∞，ln3）D．（﹣1，3）【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．解：因为f（x）是定义在R上的奇函数且当x＜0时，f（x）＝3x﹣1，所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，根据奇函数的对称性可知，函数在[0，+∞）上单调递增，又f（2）＝﹣f（﹣2）＝，由f（e x﹣3e﹣x）＜＝f（2），可得e x﹣3e﹣x＜2，解可得，e x＜3，所以x＜ln3．故选：C．4．声音的等级f（x）（单位：dB）与声音强度x（单位：W/m2）满足．喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB；一般说话时，声音的等级约为60dB，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（）A．106倍B．108倍C．1010倍D．1012倍【分析】由函数f（x）的解析式，分别求出喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度，即可求出结果．解：∵喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB，∴10×lg＝140，解得x1＝102，又∵一般说话时，声音的等级约为60dB，∴10×lg＝60，解得x2＝10﹣6，∴喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍，故选：B．5．设函数f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．解：函数f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），函数f（﹣x）＝ln（1﹣x）﹣ln（1+x）＝﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]＝﹣f（x），所以函数是奇函数．排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x＝0时，f（0）＝0；x＝时，f（）＝ln（1+）﹣ln（1﹣）＝ln3＞1，显然f（0）＜f（），函数是增函数，所以B错误，A正确．故选：A．6．函数的函数图象是（）A．B．C．D．【分析】取特殊值验证即可．解：函数的定义域为{x|x≠0且x≠1}，当x＝3时，，故排除D；当x＝﹣3时，，故排除C；当时，，故排除B；故选：A．7．已知a＝4ln3π，b＝3ln4π，c＝4lnπ3，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c【分析】可以得出a＝ln34π，b＝ln43π，c＝lnπ12，显然43π＜π12＜34π，从而根据对数函数的单调性即可得出a，b，c的大小关系．解：a＝ln34π，b＝ln43π，c＝lnπ12，，且2π＜π2，∴，，且27π＞π3，∴，∴43π＜π12＜34π，∴b＜c＜a．故选：B．8．已知函数，直线y＝﹣x+3与曲线y＝f（x）相切，则a＝（）A．1B．2C．3D．4【分析】求出原函数的导函数，设出切点坐标，再由函数在切点处的导数值为﹣1，且切点在线y＝﹣x+3上，联立即可求得a值．解：由f（x）＝lnx+，得f′（x）＝，设直线y＝﹣x+3与曲线y＝f（x）相切于（），则，解得．故选：B．9．如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲y＝x2和曲线y＝围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（）A．B．C．D．【分析】欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图（阴影部分）平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解．解：可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量S（Ω）＝1，满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S（A）＝＝．所以P（A）＝．故选：C．10．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），且对任意的不相等的实数x1，x2∈[0，+∞）有＜0成立，若关于x的不等式f（2mx﹣lnx﹣3）≥2f（3）﹣f （﹣2mx+lnx+3）在x∈[1，3]上恒成立，则实数m的取值范围（）A．[，1+]B．[，2+]C．[，2+]D．[，1+]【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得0≤2mx﹣lnx≤6对x∈[1，3]恒成立，2m≥且2m≤对x∈[1，3]恒成立．求得相应的最大值和最小值，从而求得m 的范围．解：∴定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，∴函数f（x）为偶函数，∵函数数f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，若不等式f（2mx﹣lnx﹣3）≥2f（3）﹣f（﹣2mx+lnx+3）对x∈[1，3]恒成立，即f（2mx﹣lnx﹣3）≥f（3）对x∈[1，3]恒成立．∴﹣3≤2mx﹣lnx﹣3≤3对x∈[1，3]恒成立，即0≤2mx﹣lnx≤6对x∈[1，3]恒成立，即2m≥且2m≤对x∈[1，3]恒成立．令g（x）＝，则g′（x）＝，在[1，e）上递增，（e，3]上递减，∴g（x）max＝．令h（x）＝，h′（x）＝＜0，在[1，3]上递减，∴h（x）min＝．综上所述，m∈[，]．故选：D．11．设函数f（x）＝ax3+bx2+cx（a，b，c∈R，a≠0），若不等式xf′（x）﹣af（x）≤3对一切x∈R恒成立，则的取值范围为（）A．[，+∞）B．C．[﹣，+∞）D．【分析】利用导数运算性质可得f′（x）＝3ax2+2bx+c，不等式xf'（x）﹣af（x）≤3化为：（3a﹣a2）x3+（2b﹣ab）x2+（c﹣ac）x﹣3≤0．由三次函数的性质，3a﹣a2≠0时，上式不成立．因此必有3a﹣a2＝0，a≠0．解得a＝3．于是可得：bx2+2cx+3≥0，b ＝0时，必有c＝0．b≠0时，必有：b＞0，△≤0，化为：c2≤3b，b＞0．令＝k，代入上式进而得出范围．解：函数f（x）＝ax3+bx2+cx（a，b，c∈R，a≠0）．f′（x）＝3ax2+2bx+c，不等式xf'（x）﹣af（x）≤3化为：（3a﹣a2）x3+（2b﹣ab）x2+（c﹣ac）x﹣3≤0．（*）由三次函数的性质，3a﹣a2≠0时，上式不成立．因此必有3a﹣a2＝0，a≠0．解得a＝3．（*）化为：﹣bx2﹣2cx﹣3≤0，可得：bx2+2cx+3≥0，b＝0时，必有c＝0．b≠0时，必有：，化为：c2≤3b，b＞0．令，代入上式可得：c2﹣9c﹣9k≤0，必有△1＝81+36k≥0，解得k．因此的取值范围为为[﹣，+∞）（包括b＝c＝0的情况）．故选：D．12．已知函数f（x）＝，若方程f2（x）+bf（x）+2＝0有8个相异实根，则实数b的取值范围（）A．（﹣4，﹣2）B．C．（﹣3，﹣2）D．（﹣3，﹣2）【分析】作出函数f（x）的图象，利用换元法转化为一元二次方程根的分布情况，利用数形结合是解决本题的关键．解：令f（x）＝t，则方程f2（x）+bf（x）+2＝0⇔方程t2+bt+2＝0．如图是函数f（x）＝，的图象，根据图象可得：方程f2（x）+bf（x）+2＝0有8个相异实根⇔方程t2+bt+2＝0．有两个不等实数解t1，t2且t1，t2∈（1，2）．可得⇒﹣3＜b＜﹣2．故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卷相应位置上. 13．对数式lg25﹣lg22+2lg6﹣2lg3＝1．【分析】由对数加减运算，合理安排合并运算．解：原式＝（lg5+lg2）（lg5﹣lg2）+2lg2＝lg2.5+lg4＝lg10＝1故答案为：114．已知x、y满足曲线方程，则x2+y2的取值范围是[，+∞）．【分析】先求出y2的范围，再令y2＝t，t≥，则f（t）＝2+t﹣，根据函数的单调性即可求出范围．解：，则x2+y2＝2﹣+y2，∵∴y2≥设y2＝t，t≥，则f（t）＝2+t﹣，∴f′（t）＝1+＞0，∴f（t）在[，+∞）为增函数，∴f（t）≥f（）＝2+﹣2＝，故则x2+y2的取值范围是为[，+∞），故答案为：[，+∞）15．已知f（x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，．g（x）＝f（x）﹣a．记S（a）为函数g（x）的所有零点之和．当﹣1＜a＜0时，S（a）的取值范围为（﹣log23，0）．【分析】作出f（x）在y轴右边的图象，由奇函数图象关于原点对称，可得y轴左边的图象，再由﹣1＜a＜0时，f（x）＝a的实根的个数为6，由小到大设为x1，x2，x3，x4，x5，x6，由绝对值函数的对称性和指数方程的求解，即可得到所求范围．解：f（x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，，作出函数f（x）在y轴右边的图象，由图象关于原点对称可得y轴左边的图象，g（x）＝f（x）﹣a，记S（a）为函数g（x）的所有零点之和．当﹣1＜a＜0时，f（x）＝a的实根的个数为6，由小到大设为x1，x2，x3，x4，x5，x6，则由对称性可得x1+x2＝﹣10，x5+x6＝10，可得S（a）＝﹣10+10+（x3+x4）＝x3+x4，当﹣2＜x＜0时，f（x）＝2﹣2﹣x，令f（x）＝﹣1，可得x＝﹣log23，由图象可得x3+x4∈（﹣log23，0）．故答案为：（﹣log23，0）．16．已知函数f（x）＝e x﹣lnx﹣2，下列说法正确的是①③．①f（x）有且仅有一个极值点；②f（x）有零点；③若f（x）极小值点为x0，则0＜f（x0）＜；④若f（x）极小值点为x0，则＜f（x0）＜1．【分析】先求出导函数f'（x），∴，设g（x）＝xe x﹣1，x∈（0，+∞），利用导数得到函数g（x）＝xe x﹣1在（0，+∞）上单调递增，又∵，g（1）＝e﹣1＞0，故存在唯一x0，使得g （x0）＝0，所以f（x）有且仅有一个极值点，再利用x0，分析f（x0）的范围即可．解：f（x）＝e x﹣lnx﹣2，x∈（0，+∞），∴，设g（x）＝xe x﹣1，x∈（0，+∞），∴g'（x）＝e x+xe x＞0恒成立，∴函数g（x）＝xe x﹣1，在（0，+∞）上单调递增，又∵，g（1）＝e﹣1＞0，∴存在唯一x0，使得g（x0）＝0，∴f（x）有且仅有一个极值点，∵当x时，g（x）＜0，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（x0，1）时，g（x）＞0，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴x0是f（x）的极小值点，且满足x0，∵，∴，∴＝，∵对勾函数y＝x+在（，1）上单调递减，∴，∴，∴函数f（x）恒大于0，无零点，综上所述：正确的是①③，故答案为：①③．三、解答题：共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．定义在[﹣3，3]上的奇函数f（x），已知当x∈[﹣3，0]时，．（1）求实数a的值；（2）求f（x）在（0，3]上的解析式；（3）若存在x∈[﹣2，﹣1]时，使不等式成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据题意，由函数奇偶性的性质可得f（0）＝1+a＝0，解可得a的值，验证即可得答案；（2）当x∈（0，3]时，﹣x∈[﹣3，0]，求出f（﹣x）的解析式，结合函数的奇偶性分析可得答案；（3）根据题意，若存在x∈[﹣2，﹣1]，使得成立，即在x∈[﹣2，﹣1]有解，变形可得在x∈[﹣2，﹣1]有解．设，分析g（x）的单调性可得g（x）的最小值，分析可得答案．解：（1）根据题意，f（x）是定义在[﹣3，3]上的奇函数，则f（0）＝1+a＝0，得a＝﹣1．经检验满足题意；故a＝﹣1；（2）根据题意，当x∈[﹣3，0]时，，当x∈（0，3]时，﹣x∈[﹣3，0]，．又f（x）是奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝3x﹣4x．综上，当x∈（0，3]时，f（x）＝3x﹣4x；（3）根据题意，若存在x∈[﹣2，﹣1]，使得成立，即在x∈[﹣2，﹣1]有解，即在x∈[﹣2，﹣1]有解．又由2x＞0，则在x∈[﹣2，﹣1]有解．设，分析可得g（x）在x∈[﹣2，﹣1]上单调递减，又由x∈[﹣2，﹣1]时，，故m≥5．即实数m的取值范围是[5，+∞）．18．2018年淮安新能源汽车厂计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，若生产100x辆时，需另投入成本C（x）万元，满足C（x）＝．由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完（其中x∈N*）（1）求出2018年的利润L（x）（万元）的函数关系式（利海＝销售额﹣成本）；（2）2018年产量为多少辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．【分析】（1）根据年利润＝销售额﹣投入的总成本﹣固定成本，分0＜x＜40和当x≥40两种情况得到L与x的分段函数关系式；（2）当0＜x＜40时根据二次函数求最大值的方法来求L的最大值，当x≥40时，利用基本不等式来求L的最大值，最后综合即可．解：（1）当0＜x＜40时，L（x）＝500x﹣10x2﹣100x﹣2500＝﹣10x2+400x﹣2500；当x≥40时，L（x）＝500x﹣501x﹣+4500﹣2500＝2000﹣（x+）；∴L（x）＝．（2）当0＜x＜40时，L（x）＝﹣10（x﹣20）2+1500，∴当x＝20时，L（x）max＝L（20）＝1500；当x≥40时，L（x）＝2000﹣（x+）≤2000﹣2＝2000﹣200＝1800；当且仅当x＝，即x＝100时，L（x）max＝L（100）＝1800＞1500；∴当x＝100时，即2018年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800万元．19．已知f（x）＝kx﹣sin2x+a sin x（k，a为实数）．（1）当k＝0，a＝2时，求f（x）在[0，π]上的最大值；（2）当k＝4时，若f（x）在R上单调递增，求a的取值范围．【分析】（1）求导后，列表得x，f′（x），f（x）的变化情况，进而求得最大值；（2）依题意，4cos2x﹣a cos x﹣6≤0恒成立，换元后利用二次函数的图象及性质得解．解：（1）当k＝0，a＝2时，f（x）＝﹣sin2x+2sin xf′（x）＝﹣2cos2x+2cos x＝﹣4cos2x+2cos x+2＝2（2cos x+1）（1﹣cos x），则x，f′（x），f（x）的变化情况如下：xf′（x）+0﹣f（x）增函数极大值减函数∴＝．（2）f（x）在R上单调递增，则f′（x）＝4﹣2（cos2x﹣sin2x）+a cos x≥0对∀x∈R恒成立．得4cos2x﹣a cos x﹣6≤0，设t＝cos x∈[﹣1，1]，g（t）＝4t2﹣at﹣6，则g（t）≤0在[﹣1，1]上恒成立，由二次函数图象，得﹣2≤a≤2．20．已知函数f（x）＝（x+1）[ln（x+1）+m]+n，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝2x+1．（1）求m，n的值和f（x）的单调区间；（2）若对任意的x∈[0，+∞），f（x）＞kx恒成立，求整数k的最大值．【分析】（1）利用导数的几何意义，建立关于m，n的方程，即可求得m，n的值，进一步求得单调区间；（2）x＝0时显然成立，x＞0时可转化为对（0，+∞）恒成立，构造新函数即可求解．解：（1）f'（x）＝ln（x+1）+m+1，由切线方程，知f（0）＝m+n＝1，f'（0）＝m+1＝2，解得m＝1，n＝0．故f（x）＝（x+1）ln（x+1）+x+1，f'（x）＝ln（x+1）+2（x＞﹣1），由f'（x）＞0，得；由f'（x）＜0，得．所以f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）①当x＝0时，f（0）＝1＞k×0＝0恒成立，则k∈R．②当x＞0时，f（x）＞kx恒成立等价于对（0，+∞）恒成立．令，，x∈（0，+∞）．令u（x）＝x﹣ln（x+1）﹣1，x∈（0，+∞），则对x∈（0，+∞）恒成立，所以u（x）在（0，+∞）上单调递增．又u（2）＝1﹣ln3＜0，u（3）＝2﹣ln4＞0，所以∃x0∈（2，3），u（x0）＝0．当x∈（0，x0）时，h'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＞0．所以，又u（x0）＝x0﹣ln（x0+1）﹣1＝0，则＝，故k＜x0+1，整数k的最大值为3．21．设函数f（x）＝x﹣﹣tlnx，其中x∈（0，1），t为正实数．（1）若不等式f（x）＜0恒成立，求实数t的取值范围；（2）当x∈（0，1）时，证明x2+x﹣﹣1＜e x lnx．【分析】（1）记，则F（x）＞0在（0，1）上恒成立，求导后，容易得到以2为分界点讨论，进而得解；（2）熟悉不等式当x∈（0，1）时，，进而问题转化为证明e x﹣（x+1）2＜0，构造函数即可得证．解：（1）不等式f（x）＜0即，记，依题意，函数F（x）＞0在（0，1）上恒成立，，由x∈（0，1）可知，，①当0＜t≤2时，F′（x）＜0，此时函数F（x）在（0，1）上单调递减，故F（x）＞F（1）＝0满足条件；②当t＞2时，存在x0∈（0，1）使得F′（x0）＝0，由的性质知，x∈（0，x0）时，F′（x）＜0；x∈（x0，1）时，F′（x）＞0，则函数F（x）在（0，x0）上单减，在（x0，1）上单增，因为F（1）＝0，所以F（x0）＜0，则F（x）＞0不恒成立，即t＞2不满足条件．综上，实数t的取值范围为（0，2]；（2）证明：由常见不等式可知，当x∈（0，1）时，，∴要证，只需证，即证，又x∈（0，1），故只需证e x＜（x+1）2，即证e x﹣（x+1）2＜0，令h（x）＝e x﹣（x+1）2，x∈（0，1），则h′（x）＝e x﹣2x﹣2，h''（x）＝e x﹣2，易知当x∈（0，ln2）时，h''（x）＜0，h′（x）单减；当x∈（ln2，1）时，h''（x）＞0，h′（x）单增，∴h′（x）min＝h′（ln2）＝﹣2ln2，又h′（0）＝﹣1，h′（1）＝e﹣4＜0，∴h′（x）＜0在（0，1）上恒成立，即函数h（x）在（0，1）上为减函数，∴h（x）＜h（0）＝0，即e x﹣（x+1）2＜0，即得证．22．已知函数f（x）＝ax﹣lnx﹣1（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性并指出相应单调区间；（2）若，设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若，且g（x1）﹣g（x2）≥k恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，通过a与0的大小比较，判断导函数的符号，判断函数的单调性求出单调区间．（2））求出g'（x）＝，由g'（x）＝0得x2﹣（a+1）x+1＝0，推出x1+x2＝a+1，x1x2＝1，x2＝，利用g（x1）﹣g（x2），构造函数设h（x）＝2lnx﹣，求和函数的最小值，转化求解k的范围即可．解：（1）由f（x）＝ax﹣lnx﹣1，x∈（0，+∞），则f′（x）＝a﹣，当a≤0时，则f′（x）≤0，故f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，令f′（x）＝0⇒x＝，所以f（x）在上单调递减，在上单调递增．综上所述：当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增．（2）∵g（x）＝lnx+﹣（a+1）x，g'（x）＝，由g'（x）＝0得x2﹣（a+1）x+1＝0，∴x1+x2＝a+1，x1x2＝1，∴x2＝，∵a≥，∴，解得0＜x1≤，∴g（x1）﹣g（x2）＝ln，设h（x）＝2lnx﹣，则h′（x）＝＜0，∴h（x）在上单调递减；当x1＝时，﹣2ln2，∴k≤﹣2ln2，即所求k的取值范围为：（﹣∞，]．。