圆周角

圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

圆周角定理：同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。

这一定理叫做圆周角定理。

定理证明已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.证明：情况1：如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：图1∵OA、OC是半径解：∴OA=OC∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）∵∠BOC是△AOC的外角∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC情况2：如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时：连接AO，并延长AO交⊙O于D图2∵OA、OB、OC是半径解：∴OA=OB=OC∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC情况3：如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：图3连接AO，并延长AO交⊙O于D解：∵OA、OB、OC、是半径∴∠BAD=∠ABO（等边对等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC定理推论：1.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；2.圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半；3.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。

4.半圆（直径）所对的圆周角是直角。

5.90°的圆周角所对的弦是直径。

注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有两个，一个是优弧所对的角，一个是劣弧所对的角。

圆周角教学内容1．圆周角的概念．2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弦所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．教学目标1．了解圆周角的概念．2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径．4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．重难点、关键1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．3．关键：探究圆周角的定理的存在．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们口答下面两个问题．1．什么叫圆心角？2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角．（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对的其余各组量都分别相等．刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．二、探索新知问题：如图所示的⊙O ，我们在射门游戏中，设E 、F 是球门，•设球员们只能在所在的⊙O 其它位置射门，如图所示的A 、B 、C 点．通过观察，我们可以发现像∠EAF 、∠EBF 、∠ECF 这样的角，它们的顶点在圆上，•并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？（学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言．老师点评：1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个． 2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的．3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，•并且 它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”（1）设圆周角∠ABC 的一边BC 是⊙O 的直径，如图所示 EF∵∠AOC 是△ABO 的外角∴∠AOC=∠ABO+∠BAO∵OA=OB∴∠ABO=∠BAO∴∠AOC=∠ABO∴∠ABC=∠AOC （2）如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的两侧，那么∠ABC=∠AOC 吗？请同学们独立完成这道题的说明过程． 老师点评：连结BO 交⊙O 于D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是△BOC的外角，•那么就有∠AOD=2∠ABO ，∠DOC=2∠CBO ，因此∠AOC=2∠ABC ．（3）如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的同侧，那么∠ABC=∠AOC 吗？请同学们独立完成证明． 老师点评：连结OA 、OC ，连结BO 并延长交⊙O 于D ，那么∠AOD=2∠ABD ，∠COD=2∠CBO ，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=∠AOD-∠COD=∠AOC 现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB ′C ，•同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的．从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 进一步，我们还可以得到下面的推导：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．例1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD与CD 的大小有什么关系？为什么？分析：BD=CD ，因为AB=AC ，所以这个△ABC 是等腰，要证明D 是BC 的中点，•只要连结AD 证明AD 是高或是∠BAC 的平分线即可．解：BD=CD理由是：如图24-30，连接AD∵AB 是⊙O 的直径∴∠ADB=90°即AD ⊥BC又∵AC=AB∴BD=CD三、巩固练习1．教材P92 思考题．2．教材P93 练习．四、应用拓展例2．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别设为a ，b ，c ，⊙O 半径为R ，求证：===2R ． 分析：要证明===2R ，只要证明=2R ，=2R ，=2R ，即sinA=，sinB=，sinC=，因此，十分明显要在直角三角形中进行．证明：连接CO 并延长交⊙O 于D ，连接DB∵CD 是直径121212121212sin a A sin b B sin c Csin a A sin b B sin c C sin a A sin b B sin c C2a R 2b R 2cR∴∠DBC=90°又∵∠A=∠D在Rt △DBC 中，sinD=，即2R= 同理可证：=2R ，=2R ∴===2R 五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：1．圆周角的概念；2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所对的圆心角的一半；3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题．六、布置作业1．教材P95 综合运用9、10、 BC DC sin a Asin b B sin c Csin a A sin b B sin c C。

圆周角计算公式
圆周角是指圆的周长所对应的角度。

计算圆周角的公式是：圆周角的度数 = 弧
度 / 弧度制下的圆周角的弧度的弧长 = 弧度/ 2π x 半径。

其中，弧度是一个角度单位，定义为弧长等于半径的圆弧所对应的角度。

圆周角的度数通常用度（°）表示，弧度用弧度（rad）表示。

在数学中，圆周角的计算公式是非常重要的，因为它可以帮助我们计算圆的周长、面积以及其他相关的几何性质。

圆周角的计算公式是基于圆的弧长和半径的关系推导出来的。

根据圆的性质，圆的周长等于圆的直径乘以π，圆的弧长等于圆的
周长乘以圆周角的度数除以360。

因此，圆周角的计算公式是通过这些关系推导出
来的。

在实际的数学问题中，我们经常会遇到需要计算圆周角的情况，例如计算圆的
弧长、圆的面积、圆的弧度等。

通过圆周角的计算公式，我们可以轻松地解决这些问题，从而更好地理解和掌握圆的性质和相关的数学知识。

总的来说，圆周角的计算公式是数学中的重要概念，通过学习和掌握这个公式，可以帮助我们更好地理解圆的性质和解决与圆相关的数学问题。

希望以上内容能帮助您更好地理解圆周角的计算公式。

如果您还有其他问题或疑问，欢迎继续提问，我会尽力帮助解答。

谢谢！。

图1圆周角【知识要点】1．圆周角的概念：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫圆周角，两个条件缺一不可． 2．定理：一条弧所对的圆周角等于它所对弧所对的圆心角的一半．推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．②半圆（或直径）所对的圆周角是一直角，︒90的圆周角所对的弦是直径． ③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 圆周角的概念、定理及其推论在推理论证和计算中应用比较广泛，这是本章的重点内容．A一、填空题1．圆周角有两个特征① ，② ，二者缺一不可． 2．若直角三角形的两条直角边的长分别为8cm 和6cm ，则这个直角三角形外接圆的直径为 ．3．一条弦将圆分成两条弧，其中一条弧是另一条弧的4倍，则此弦所对的圆心角的度数 是 ，所对的圆周角的度数是 。

4．ABC ∆中，已知∠A=︒55，O 是它的外心，则∠BOC= ．5．在ABC ∆中，AB=AC ，以AB 为直径的圆交BC 、AC 于D 、E ，已知∠A=︒50，则BE 的度数= ．DE 的度数= ，AE 的度数= ．6．已知3cm 长的一条弦所对的圆周角是︒135，那么圆的直径是 ． 7．如图1，在⊙O 中，∠A=︒25，则=∠α 。

二、选择题1．下列说法正确的是（ ）A 、顶点在圆上的角是圆周角B 、两边都和圆相交的角是圆周角C 、圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半D 、圆心角是圆周角的2倍2．如图2，A 、B 、C 三点都在⊙O 上，点D 是AB 延长线上一点，∠AOC=︒140，则∠CBD 的度数为（ ）A 、︒40B 、︒50C 、︒70D 、︒110 3．在同圆中，同弦所对的圆周角（ ）A 相等B 、互补C 、相等或互补D 、互余 4．锐角三角形ABC 内接于⊙O ，若∠OBC=︒25，则∠A 的度数为（ ）A 、︒65B 、︒80C 、︒50D 、︒60 5．在⊙O 中，半径为r=1，弦AB=2，弦AC=3，则∠BAC 为（ ） A 、︒75 B 、︒15 C 、︒75或︒15 D 、︒90或︒606．如图3，已知A 、B 、C 、D 、Q 五点在⊙O 上，BD 的度数为︒80，则∠P+∠AQC 等于（ ） A 、︒40 B 、︒60 C 、︒80 D 、︒120三、解答题1．如图所示，BC 为直径，G 为半圆上任一点，A 为弧BG 中点，AP ⊥BC 于P ，求证：AE=BE=EF ．2.已知:如图所示A 、B 、C 、D 、E 为⊙O 上的点，且AB=BC=CD ，︒=∠50BAD ．求∠AED 的度数．·O ADB C 图2 D·Q B PA CO 图3· A B PE F G CO·A BCD EOB1．弦长等于半径，那么这条弦所对的圆周角度数为 ．2．以锐角为顶角的等腰三角形，其底为半圆的直径，半圆被两腰截得的三条弧之比为1:2:1，则这个等腰三角形顶角的度数为 ．3．已知AC 、BC 是⊙O 中的两条弦，且AC ⊥BC ，AC=12，BC=9，则⊙O 的直径等于 ，弦BC 的弦心距等于 ．4．如图1，AB 是⊙O 的直径，以OA 为直径的⊙O 1与⊙O 的弦AC 交于点D ，如果∠BAC=︒30，OD=5cm ，那么AB= ．5．已知AB 是半圆O 的直径，CD ⊥AB 于D ，交半圆O 于C ，且AD 、DB 的长是方程0452=+-x x 的两根，则CD= ．6．矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，P 为AD 上一点，BP=4.8，BP 交以BC 为直径的圆于点Q ，则QC= ．7．如图2，在A B C ∆中，∠B=︒80，⊙O 截ABC ∆三边所截得的线段长都相等，则∠AOC= ．C一．选择题1．如图所示，ABC ∆内接于⊙O ，AB=AC ，弦AD 和底边BC 交于点E ，AC=6，AE=4，则AD 等于（ ）A 、10B 、9C 、8D 、62 2．如图3、一副三角板ABC 和DEF 的顶点都在同一圆上，则与的度数 和为（ ）A 、︒90B 、︒120C 、︒135D 、︒150·· OO ' CBAD 图1图2· OBCA图23．在ABC Rt ∆中，∠=∠Rt C ，AC=6cm ，BC=8cm ，则它的外接圆面积为（ ） A 、252cm π B 、1002cm π C 、752cm π D 、642cm π 4．如图4BQ 和DQ 的度数分别是︒44和︒28，则Q P ∠+∠的度数为（ ） A 、︒72 B 、︒36 C 、︒40 D 、︒62二、解答题1．如图所示，ABC ∆中，AB 是⊙O 的直径，AC 和BC 分别和⊙O 相交于点D 和E ，在BD 上截取BF=AC ，延长AE 使AG=BC ．求证：CG=CF ，CG ⊥CF ．2．如图所示，AB 是⊙O 的直径，半径OC ⊥AB ，过OC 的中点M 作弦EF ∥AB ． 求证：CBE ABE ∠=∠21·AD BE FCO 图3·APCD QB O 图4· ABC E F M O。

圆的同一条弦对应的圆周角嘿，大家好！今天我们来聊聊一个关于圆的有趣的话题——圆的同一条弦对应的圆周角。

这不仅是数学中的一个基本概念，而且和我们平时看到的一些图形、设计都有关联呢。

希望你们听了之后，会对这块儿有更深的理解！1. 圆周角的基本概念1.1 圆周角是什么？简单来说，圆周角就是圆内任意一点形成的角度。

想象一下，你站在圆的边上，看着圆的某一部分，这时候你就能看到一个角度。

这个角度就是圆周角。

比如说，如果你看圆上的一段弦，连接这段弦两边的两条射线所形成的角度，就是圆周角。

1.2 圆的同一条弦好，聊完了圆周角，我们再看看“同一条弦”的意思。

简单来说，就是圆里有一条固定的线段（弦），它的两端都在圆的边上。

比如，你可以想象成圆上的一根木棍，它的两头都碰到圆的边。

无论你怎么转动这根木棍，它连接的圆周角都是一样的。

2. 圆周角的特点2.1 同一弦对应的圆周角相等这里有个小秘密：不管你在圆上选择什么点，只要这些点连起来形成的角度都对应于同一条弦，这些角度都是相等的。

说白了，就是圆周角的“忠诚度”特别高，它总是忠于它所对应的弦。

比如，你把一条弦固定在一个地方，然后用不同的点去看这条弦形成的角度，无论你选择哪个点，这个角度都是一样的。

这就是数学中的一个重要性质，叫做“圆周角定理”。

2.2 为何会这样？这个现象听起来可能有点神奇，但其实是有原因的。

当你站在圆周上的时候，形成的角度总是取决于你和弦的相对位置。

这种角度的稳定性，实际上和圆的对称性有关系。

你可以把它想象成圆的“守护神”，确保每一个圆周角都在弦的规则之下，绝不会搞什么花招。

3. 圆周角的应用3.1 生活中的例子生活中到处都有圆周角的身影。

例如，你看到的很多设计图案，特别是那些有圆形元素的图案，都遵循了圆周角的规则。

比如，钟表上的时间显示、车轮的设计，甚至一些圆形的装饰，都是因为圆周角的原理，让这些设计显得和谐而美观。

3.2 数学中的运用在数学里，圆周角的定理也是用得上大场面的。