圆周角和圆心角的关系(2)

课题名称3.3 圆周角和圆心角的关系（2）教学目标:(一)知识目标1、掌握圆周角定理几个推论的内容．2、会熟练运用推论解决问题．(二)能力目标1、培养学生观察、分析及理解问题的能力．2、在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式．(三)情感与价值观培养学生的探索精神和解决问题的能力.教学重点:圆周角定理几个推论的应用.教学难点:理解几个推论的”题设”和”结论”．教学方法:指导探索法.教学过程:一、回顾交流，拓展延伸：1、圆周角定理：_____________________________________。

2、观察下图，∠ABC，∠ADC，和∠AEC有什么共同特征？它们的大小有什么关系？为什么？结论：_____________________________________3、如下图，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是锐角、直角，还是钝角?你是如何判断的?结论：_____________________________________4、如下图，圆周角∠BAC=90°，弦BC经过圆心O吗？为什么？结论：_____________________________________二、例题讲解，知识应用：例1、如图示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系?为什么?解：（例2题图）例2、船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如下图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”．当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁．(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么?(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么?三、随堂练习：1、为什么有些电影院的座位排列（横排）呈圆弧形？说一说这种设计的合理性。

弦所对的圆周角和圆心角的关系大家好，今天咱们来聊聊一个有趣的几何问题：弦所对的圆周角和圆心角的关系。

听到这儿，不要慌，别以为这是数学的“噩梦”，其实这就是咱们在数学里碰到的那些小秘密。

想象一下，你在一个大圆圈里，有一个弦，哦，就是那种连接圆上两点的线段。

那么，这条弦所对的圆周角和圆心角之间，到底有什么秘密关系呢？让我给大家掀开这层神秘的面纱。

首先，咱们得从圆心角说起。

圆心角，顾名思义，就是从圆心出发的角度，它的顶点正好在圆心上。

这角度的意思就是从圆心看向圆上的两个点，形成的那个角度。

是不是有点像你在玩飞镖，瞄准一个靶心，然后投掷飞镖？那个角度就是你弯腰的角度，不同的角度，飞镖飞出去的轨迹就不一样，对吧？好了，咱们知道了圆心角的定义，接下来就是要谈谈圆周角了。

圆周角听起来有点像是圆心角的“小弟弟”，它的顶点不在圆心上，而是在圆周上。

简单来说，圆周角就是那些由弦所形成的角度。

想象一下，你站在圆的边缘，看看圆上的弦，然后对着这个弦产生的那个角度，这就是圆周角。

也许你会觉得，这个角度和圆心角之间好像没啥联系，但其实，它们之间有个绝对的关系，那就是圆心角是圆周角的两倍。

这就像你和你的小伙伴一起吃大餐，你吃的比他多，但他觉得也不差，因为他正好可以尝到你喜欢的那些美味，哇，这真是个绝妙的“吃货”组合。

接下来，让我们来个小实验。

假如你在一个大圆上选取两点A和B，然后画一条弦AB。

如果我们在圆心O画出两个线段OA和OB，就形成了一个圆心角，而弦AB对面的圆周角就是圆心角的一半。

这就像你把一个蛋糕切成两半，一半就是你的，一半就是你朋友的，你们分得均匀，不觉得这是个公平的交易吗？所以，你可以发现，无论圆心角多么大，圆周角永远只有圆心角的一半。

这就像你去参加生日派对，即使蛋糕有多大，你总是只能分到那一小块，别想太多。

更有趣的是，这种关系在不同的圆中都是适用的。

无论你走到哪儿，画个圆，选取一条弦，它对面的圆周角总是圆心角的一半。

(教案)圆周角与圆心角、弧的关系一、知识讲解：1．圆周角与圆心角的的概念：顶点在圆上，同时两边都和圆相交的角叫做圆周角。

2．在同圆或等圆中，假如两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。

3．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。

4．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。

5．圆的内接四边形对角之和是180度。

6．弧的度数确实是圆心角的度数。

解题思路：1．已知圆周角，能够利用圆周角求出圆心角2．已知圆心角，能够利用圆心角求出圆周角3．已知直径和弧度，能够求出圆周角与圆心角1.圆周角与圆心角的定义顶点在圆上，同时两边都和圆相交的角叫做圆周角。

注意圆周角定义的两个差不多特点：(1)顶点在圆上；(2)两边都和圆相交。

二、教学内容【1】圆心角：顶点在圆心的角。

利用两个错误的图形来强调圆周角定义的两个差不多特点：练习：判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由．【2】明白得圆周角定理的证明一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角度数的一半。

已知：⊙O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC，求证：∠BAC= 1/2∠BOC.分析：通过图形的演示指导学生进一步去查找圆心O与∠BAC的关系本题有三种情形：（1）圆心O在∠BAC的一边上 O（2）圆心O在∠BAC的内部（3）圆心O在∠BAC的外部 B D C●假如圆心O在∠BAC的边AB上,只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明●假如圆心O在∠BAC的内部或外部,那么只要作出直径AD,将那个角转化为上述情形的两个角的和或差即可证明:圆心O在∠BAC的一条边上 AOA=OC==>∠C=∠BAC∠BOC=∠BAC+∠C O==>∠BAC=1/2∠BOC. B C【3】圆周角与圆心角的关系（1）．在同圆或等圆中，假如两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。

圆心角与圆周角的关系证明要讨论圆心角与圆周角的关系，我们首先得了解这两个角的基本概念。

想象一下，我们站在一个圆的中心，眼前是一个大大的披萨（谁不喜欢披萨呢？），这个披萨的每一片都能代表一个圆心角。

圆心角就是从圆心出发，连接到圆的两边形成的那个角。

听起来是不是很简单？但别小看这个角，它可是有很多有趣的性质，尤其是与圆周角的关系。

接下来，我们聊聊圆周角。

圆周角就像是坐在披萨边缘的朋友，虽然离圆心远了一点，但它的工作同样重要。

简单来说，圆周角是圆周上某一段的端点与圆心之间形成的角。

这里面有个有趣的点：圆心角的度数和它对应的圆周角的度数是有关系的。

让我们用个小例子来说明吧：假设你有一个圆心角为60度的角，那么对应的圆周角就只有30度。

这是不是听起来很神奇？像是魔术一样，让人忍不住想要深入探讨。

在数学上，这种关系其实是有一定规律的。

我们可以用公式来简单地表示：圆周角= 1/2 × 圆心角。

也就是说，圆心角总是圆周角的两倍！如果你把这个关系想象成一对好朋友，那圆心角就像是个大嘴巴，总是说个不停，而圆周角则比较安静，时不时插一句。

这样的搭配，简直就是天生一对！要想彻底理解这个关系，我们可以借助几何图形来更直观地观察。

画个圆，标出圆心，接着在圆的边缘上找两个点。

用直线连接这两个点到圆心，再在这两个点之间的圆周上找一个点，看看你能形成什么样的角。

这时，你会发现无论你如何移动这些点，圆心角的度数永远是圆周角的两倍。

就像那句老话，“不怕慢，就怕站”，只要我们不停地探索，就总能找到答案。

当然，实际生活中，这个关系也会有很多应用，比如在建筑设计、机械工程等等领域。

想象一下，如果没有这个关系，建筑师们的设计图纸可能会变得乱七八糟，大家都搞不清楚哪个角应该怎么测量，最后建出来的房子可能会歪歪扭扭的，那可就闹笑话了。

可见，圆心角和圆周角的和谐关系在生活中是多么的重要！所以，朋友们，记住这段关系吧。

圆心角和圆周角就像是数学世界里的好搭档，无论走到哪里，它们都携手并进。

圆周角与圆心角的关系(1、2)一、弧与圆心角的关系当∠AOB= 1o 时， 则 1o= 360（） ，而此时AB的度数=360（）∴二、圆心角与圆周角的关系 1、圆周角的定义一个角的顶点在 ，角的两边 ，叫圆周角 练习：判断下列图形是否是圆周角2、圆周角与圆心角的关系圆周角与圆心角的关系：圆周角与弧的度数的关系：在等圆或同圆中，弧、圆周角、圆心角的关系：1、等弧所对的圆周角、圆心角 ；2、同弧所对的圆心角直径所对的圆周角是 ，90o 圆周角所对的弦是 1、已知圆中一条弧所对圆周角为75°，则这条弧的度数是 ________ 2、圆周角是24°，则它所对的弧是___________． 三、练习：1、在下列图形中找出相等的角D2、如图，已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC 的度数是2题 3题 4题3、如图，AB 是⊙O 的直径， BC=BD ，∠A=25°，则∠BOD= 。

4、如图，点A 、B 、C 、D 是圆O 上四点，且点D 是弧AB 的中点，CD 交OB 于E ，∠AOB=100°，∠OBC=55°，则∠OEC=__________度.5、如图,等边三角形ABC 的三个顶点都在⊙O 上,D 是 AC 上任一点(不与A 、C 重合),则∠ADC 的度数是________.5题7题8题6、在⊙O 中，∠AOB=72°则弦AB 所对的圆周角是 。

6.1已知⊙O 中的弦AB 长等于半径，求弦AB 所对的圆周角和圆心角的度数．7、如图AB 为直径，∠BED ＝40°则∠ACD ＝______．8、如图OA 、OB 是⊙O 的半径，∠AOB ＝40°，∠OBC ＝50°， 则∠ACB ＝______∠OAC ＝______． 9、如图,A 、B 、C 、D 四点都在⊙O 上,AD 是⊙O 的直径,且AD=6cm,若∠ABC= ∠CAD,求弦AC10、如图,AB 为半圆O 的直径,弦AD 、BC 相交于点P ,若CD=3,AB=4,求tan ∠BPD 的值.C11、如图，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A 、点B ，点A 的坐标为（0，3），M 是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙C 的半径长为12、如图，已知AB 为⊙O 的直径，∠CAB=30°，则∠D 的度数为13、如图，直径为10的⊙A 经过点C （0，5）和点O （0，0），B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为13、1如图，O 为原点，点A 的坐标为（3，0），点B 的坐标为（0，4），⊙D 过A 、B 、O 三点，点C 为上一点（不与O 、A 两点重合），则cosC 的值为14、如图，已知⊙O 的半径为1，锐角△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC 于点D ，OM ⊥AB 于点M ，则sin ∠CBD 的值等于OBABO。

圆心角和圆周角关系证明
圆心角和圆周角是极坐标系统中的两个重要概念，它们之间有着密切的关系。

圆心角是以圆心为原点，沿着圆的方向沿圆周方向指向任意点的有向角；而圆周角是从圆心到圆上任意点的半径矢量沿圆周方向旋转到另一个半径矢量的角度。

从图像上可以看出，圆心角和圆周角之间存在着一种紧密的关系。

圆心角的角度值等于圆周角的角度值，也就是说，任意点的圆心角和圆周角的角度值都是相同的。

可以用数学的方法来证明这一结论。

设圆的半径为R，圆上任意点的坐标为（x，y），则圆心角α和圆周角β的关系可以表示为：α＝arctan（y/x）β＝arctan（x/R）由此可以得出，
圆心角α和圆周角β之间是有关系的，其关系可以表示为：α
＝β由此可以看出，圆心角和圆周角之间是相等的，也就是说，任意点的圆心角和圆周角的角度值都是相同的。

证明结束。

从以上可以看出，圆心角和圆周角之间有着密切的关系，它们的角度值都是相等的。

圆心角的概念是以圆心为原点，沿着圆的方向沿圆周方向指向任意点的有向角；而圆周角是从圆心到圆上任意点的半径矢量沿圆周方向旋转到另一个半径矢量的角度。

圆心角和圆周角是极坐标系中的两个重要概念，它们之间的关系不仅体现在它们的角度值是相等的，还体现在它们可以用来描述圆心到任意点的位置关系，使圆的描述更加准确。

总之，圆心角和圆周角之间有着密切的关系，它们的角度值相等，可以帮助我们更准确地描述圆的位置关系，从而使得极坐标系统的应用变得更加方便。

圆周角和圆心角的关系证明某个物体绕某个圆周运动，便形成了一种运动角圆周角。

圆心角就是该物体在圆心起点绕圆周转过的角度大小，是相对于圆心处于一定角度之上的状态。

因此可以概括为：圆周角和圆心角具有某种关系。

首先，我们可以比较圆形的圆周角和圆心角的向量。

两个向量的长度可以相等，但其方向不同。

圆心角的方向与圆心起点的笛卡尔坐标轴正向重合，而圆周角的方向与与笛卡尔坐标轴的正向垂直。

其次，圆周角和圆心角之间的关系也可以用数学证明。

把夹角圆心角α和圆周角β，以及笛卡尔坐标系中相对应的半径r表示出来，建立圆形方程式：x2 + y2 = r2，其中：x = r cosα，y = r sen α。

将公式项展开：r2cos2α + r2sen2α = r2从而得出cos2α + sen2α = 1，记为：cos2α = 1 - sen2α。

它表明：圆心角α和圆周角β之间有一定的关系，即：cos2α = 1 - sen2β同时，将圆周角β和圆心角α之间的关系用另一种表示方式表示出来，即：cosβ = cosα - sinα从上面的公式可以看出，圆心角α和圆周角β之间存在一定的关系，可用cos2α = 1 - sen2β及cosβ = cosα - sinα来表示，经过数学的推理可得出圆心角α和圆周角β之间的关系，即：cos2α = 1 - sen2βcosβ = cosα - sinα从而得出，圆周角和圆心角之间存在一定的关系。

再次，我们可以通过几何图形来证明圆周角和圆心角之间的关系。

在一个平面上，以圆心O为原点，以半径r为长度的圆形上，可以建立一个等边三角形AOP，其中A为圆周上的一点，O为圆心，P为圆上的一点，半径为r，以O为起点，走过一个圆心角α后，必定会到达P点。

同时，从圆弧AP上可以看出这个圆心角α和圆周上的夹角β之间是相等的。

因此，根据等边三角形的各种性质，可以推出：圆心角α和圆周角β是相等的。

以上就是圆周角和圆心角之间关系的数学、向量和几何图形证明。

优弧的圆周角和圆心角
圆周角与圆心角的关系是同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。

优弧和劣弧与圆心角关系是优弧所对圆周角等于劣弧所对圆周角的补角，也就是圆心角的一半的补角。

圆周角是指顶点在圆上且角的两边是圆的弦，圆心角是指顶点是圆心，角的两边是这个圆的半径的角。

圆心角定义：
1、等弧对等圆心角。

2、把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角。

3、因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧。

4、圆心角的度数和它们对的弧的度数相等。