§24.1.4圆周角2
- 格式:ppt
- 大小:456.50 KB
- 文档页数:28
24.1.4 圆周角第1课时圆周角定理及推论教学内容1.圆周角的概念.2.圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,•都等于这条弦所对的圆心角的一半.推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用.教学目标1.了解圆周角的概念.2.理解圆周角的定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,•都等于这条弧所对的圆心角的一半.3.理解圆周角定理的推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90•°的圆周角所对的弦是直径.4.熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用.设置情景,给出圆周角概念,探究这些圆周角与圆心角的关系,运用数学分类思想给予逻辑证明定理,得出推导,让学生活动证明定理推论的正确性,最后运用定理及其推导解决一些实际问题.重难点、关键1.重点:圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题.2.难点:运用数学分类思想证明圆周角的定理.3.关键:探究圆周角的定理的存在.教学过程一、复习引入(学生活动)请同学们口答下面两个问题.1.什么叫圆心角?2.圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢?老师点评:(1)我们把顶点在圆心的角叫圆心角.(2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,•那么它们A所对的其余各组量都分别相等.刚才讲的,顶点在圆心上的角,有一组等量的关系,如果顶点不在圆心上,它在其它的位置上?如在圆周上,是否还存在一些等量关系呢?这就是我们今天要探讨,要研究,要解决的问题. 二、探索新知问题:如图所示的⊙O ,我们在射门游戏中,设E 、F 是球门,•设球员们只能在EF 所在的⊙O 其它位置射门,如图所示的A 、B 、C 点.通过观察,我们可以发现像∠EAF 、∠EBF 、∠ECF 这样的角,它们的顶点在圆上,•并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题. 1.一个弧上所对的圆周角的个数有多少个? 2.同弧所对的圆周角的度数是否发生变化? 3.同弧上的圆周角与圆心角有什么关系? (学生分组讨论)提问二、三位同学代表发言. 老师点评:1.一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个.2.通过度量,我们可以发现,同弧所对的圆周角是没有变化的. 3.通过度量,我们可以得出,同弧上的圆周角是圆心角的一半.下面,我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化,•并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.”(1)设圆周角∠ABC 的一边BC 是⊙O 的直径,如图所示 ∵∠AOC 是△ABO 的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ∵OA=OB ∴∠ABO=∠BAO ∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC=12∠AOC (2)如图,圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的两侧,那么∠ABC=12∠AOC 吗?请同学们独立完成这道题的说明过程.CC老师点评:连结BO 交⊙O 于D 同理∠AOD 是△ABO 的外角,∠COD 是△BOC 的外角,•那么就有∠AOD=2∠ABO ,∠DOC=2∠CBO ,因此∠AOC=2∠ABC .(3)如图,圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的同侧,那么∠ABC=12∠AOC 吗?请同学们独立完成证明.老师点评:连结OA 、OC ,连结BO 并延长交⊙O 于D ,那么∠AOD=2∠ABD ,∠COD=2∠CBO ,而∠ABC=∠ABD-∠CBO=12∠AOD-12∠COD=12∠AOC现在,我如果在画一个任意的圆周角∠AB ′C ,•同样可证得它等于同弧上圆心角一半,因此,同弧上的圆周角是相等的.从(1)、(2)、(3),我们可以总结归纳出圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 进一步,我们还可以得到下面的推导:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径. 下面,我们通过这个定理和推论来解一些题目.例1.如图,AB 是⊙O 的直径,BD 是⊙O 的弦,延长BD 到C ,使AC=AB ,BD 与CD 的大小有什么关系?为什么?分析:BD=CD ,因为AB=AC ,所以这个△ABC 是等腰,要证明D 是BC 的中点,•只要连结AD 证明AD 是高或是∠BAC 的平分线即可. 解:BD=CD理由是:如图24-30,连接AD ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB=90°即AD ⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD 三、巩固练习1.教材P92 思考题. 2.教材P93 练习. 四、应用拓展例2.如图,已知△ABC 内接于⊙O ,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别设为a ,b ,c ,⊙O 半径为R ,求证:sin a A =sin b B =sin c C=2R . 分析:要证明sin a A =sin b B =sin c C =2R ,只要证明sin a A =2R ,sin b B =2R ,sin cC=2R ,即sinA=2a R ,sinB=2b R ,sinC=2cR,因此,十分明显要在直角三角形中进行.证明:连接CO 并延长交⊙O 于D ,连接DB ∵CD 是直径∴∠DBC=90° 又∵∠A=∠D在Rt △DBC 中,sinD=BC DC ,即2R=sin aA同理可证:sin b B =2R ,sin cC =2R∴sin a A =sin b B =sin cC=2R五、归纳小结(学生归纳,老师点评) 本节课应掌握: 1.圆周角的概念;2.圆周角的定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,•都相等这条弧所对的圆心角的一半;3.半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.~。
人教版数学九年级上24.1.4.2圆周角(2)教学设计一、复习旧知1、还记得圆周角的定义吗?2、请你说出圆周角定理及推论。
圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.二、探究新知活动1,抢答:1.你能用三角尺画出下面这个圆的圆心吗?2.填空:如图,∠BAC=55°,∠CAD=45°,则∠DBC=_____°,∠BDC=_____°,∠BCD=______°3.如图,BD是⊙O的直径,∠ABC=130°则∠ADC=______°活动2:讨论请看我们做的抢答习题第2、3题,同学们有没有发现什么规律,请大家以小组为单位讨论后发言。
学生小组1回答:这个四边形的四个顶点,点A,点B,点C,点D都在⊙O上。
学生小组2回答:这个四边形的对角和是180°。
学生小组3回答:……学生小组4回答:……教师总结:同学们真是火眼金睛,找到的特点很多。
这个四边形有一个特点,四边形的四个顶点,点A,点B,点C,点D都在⊙O上,我们把这个四边形叫做圆内接四边形(板书:⊙O叫做四边形ABCD的外接圆)师:出示圆内接三角形图片,并指出:这是一个三角形,这个三角形的所有顶点都在这个圆上,我们把这个三角形叫做圆内接三角形,把这个圆叫做这个三角形的外接圆.师:出示圆内接五边形图片,并指出:这是五边形,这个五边形的所有顶点都在这个圆上,我们把这个五边形叫做圆内接五边形,把这个圆叫做这个五边形的外接圆.师:(出示圆内接六边形图片)归纳总结:现在,同学们能总结出“圆内接多边形”的定义了吗?一般地说,如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆.刚才有同学说习题中的四边形的对角和是180°,我们再来看圆内接四边形有什么性质。
问题1:请同学们观察这四个角,思考这些圆周角的大小关系.
这四个圆周角按位置可以分两类,角的顶点在弦的上方,或者在弦的下方.其中两对角的关系:∠B=∠F,∠D=∠E.
问题2:能否用学过的知识加以证明呢?
通过观察我们可以发现,∠B和∠F的顶点在弦的上方,它们都对着同一条弧:劣弧ADC,由圆周角定理的第一条推论可知,同弧所对的圆周角相等,所以∠B=∠F.
∠D和∠E的顶点在弦的下方,都对着同一条优弧ABC.所以同理可得:∠D=∠E.
问题3: ∠B与∠D的关系呢?也相等吗?
不一定相等.只有当弦AC是直径时,由圆周角定理的第二条推论:直径所对的圆周角都是直角,∠B与∠D相等.当弦AC不是直径时,∠B与∠D 不相等.
我们来研究此时∠B和∠D的数量关系.
问题就变成了研究这个四边形的一组对角之间的关系.在研究这个问题之前,我们先来观察四边形ABCD有什么特点?
它的四个顶点都在圆上,四个内角都是圆周角,四条边都是圆的弦.我们把这样的四边形叫做圆内接四边形.什么样的四边形呢?
引出圆内接四边形的定义:如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.。
一、复习旧知
1、圆周角的定义;
2、圆周角定理及推论。
(教师提出问题,学生思考作答)
二、探究新知
1。
例 4 :如图,⊙O直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交⊙O于D,求BC、AD、BD的长.
(教师引导学生独立思考,理清题意,整理思路,教师规范板书)
2.自学课本87、88页,注意理解蓝体字
回答:什么是圆内接多边形?什么叫多边形的外接圆?圆内接四边形的性质是什么?
(学生带着问题自学课本,同伴交流后,教师提问,师生共同评价)
三、当堂训练
1、完成课本88页,练习3、5
2、如图24-1-23,在⊙O 的内接四边形ABCD
中,∠BCD=130°,则∠BOD的度数是__________.
3、如图24—1-20,已知BD是⊙O 的直径,⊙O 的弦AC⊥BD于点E,若∠AOD=60°,则∠DBC 的度数
为:
4、如图 24-1—19 是中国共产主义青年团团旗上的图
案,点A,B,C,D,E五等分圆,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=
5、如图24-1-21,已知四边形ABCD内接于⊙O,∠BOD=80°,求∠BAD 和∠BCD 的度数.
四、课堂小结
1、定理:圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角
都等于它的内对角.
2、利用圆周角定理解题应注意哪些问题?
五、课后作业
习题24.1作业本:第5题、第8题
学案:P82、P85巩固训练。
ﻬ。
数学学科课时教学设计
课时
它是学生已经掌握圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题基础上,对圆内接四边形的性质进行探索,在圆的有关说理、作图、计算中有应用,是角度转换的重要方法。
学生已经掌握圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题
展知识应用、拓展迁移:投影展示,学生说出解
决问题方法、思路;拓展迁移:学生板书并讲
解
(教师不代讲、少干预,引导恰当,用短语激励
学生,对学生明显错误的地方可及时纠正)
各小组派代表发
言,组内补充。
其
他小组帮助解决
发言小组提出的
共同疑难,展示时
有补充、有纠错、
有质疑、有挑战。
评展示结束后,教师精讲。
1、强调圆内接四边形性质的几何语言描述。
2、圆内接四边形性质的应用。
全体学生认
真听讲,适时通过
红笔做好笔记,并
和老师一起思考
总结归纳
检
ppt投影出堂测两道题,教师留给学生足够的时
间进行思考,并简单加以点拨。
所有学生必做
堂测设计在⊙O中,点C为劣弧AB的中点,连接AC并延长至D,使CA=CD,连接DB 并延长交⊙O于点E,连接AE.
(1)求证:AE是⊙O的直径;
(2)求证:AE=DE
板书设计
教学反思
检查结果及修改意见:合格不合格
组长(签字):
检查日期:年月日。
24.1.4(2)圆周角---圆周角定理推论一.【知识要点】1.圆周角定理推论:(1)同弧或等弧所对的圆周角相等;(2)半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径。
二.【经典例题】,D,E分别是半径OA,OB的中点,求证:CD=CE.1.如图,AC BC2.已知A,B,C,D是☉O上的四个点.(1)如图1,若∠ADC=∠BCD=90°,AD=CD,求证:AC⊥BD;(2)如图2,若AC⊥BD,垂足为E,AB=2,DC=4,求☉O的半径.3.已知:如图,AC=BC=CD,过三点A,C,D的⊙O交AB于点F.求证:CF平分∠BCD.4.如图,AB 是⊙O 的直径,C ,P 是AB 上两点,AB=13,AC=5。
(1)如图(1),若点P 是AB 的中点,求PA 的长。
(2)如图(2),若点P 是BC 的中点,求PA 的长.5.如图,⊙O 的半径为1,A,P,B,C 是⊙O 上的四个点,∠APC=∠CPB=60°。
(1)试判断△ABC 的形状:_____ 。
(2)试探究线段PA 、PB 、PC 之间的数量关系,并证明你的结论。
(3)当点P 位于AB 的什么位置时,四边形APBC 的面积最大?求出最大面积。
6.如图,⊙C 经过原点O ,并与两坐标轴交于A 、D 两点,已知∠OBA =30°,点D 的坐标为(0,3),求点A 的坐标及圆心C 的坐标.7.如图,⊙O的直径AB的长为10,弦AC长为6,∠ACB的平分线交⊙O于D,则CD长为()A.7 B.C.D.98.(2020绵阳期末第24题)如图,圆的内接五边形ABCDE中,AD和BE交于点N,AB和EC 的延长线交于点M,CD∥BE,BC∥AD,BM=BC=1,点D是的中点.(1)求证:BC=DE;(2)求证:AE是圆的直径;(3)求圆的面积.三.【题库】【A】1.如图,若AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,∠ABD=58°,则∠BCD= ( )A.116°B.32°C.58°D.64°2.小王想用直角尺检查某些工件是否恰好是半圆形,下列几个图形是半圆形的是()A. B. C. D.【B 】1.如图,点O 是⊙O 的圆心,点A 、B 、C 在⊙O 上,∠ACB =30°,弦AB =3cm ,则△ABO 的周长是___________cm2.如图,AB 是⊙O 的一条弦,OD AB ⊥,垂足为C ,交⊙O 于点D ,点E 在⊙O 在上. (1)若52AOD ∠=,求DEB ∠的度数; (2)若3OC =,,求AB 的长.5OA =3.(2020绵阳期末第9题)如图,AB 是⊙O 的直径,点C ,D 在直径AB 一侧的圆上(异于A ,B 两点),点E 在直径AB 另一侧的圆上,若∠E =42°,∠A =60°,则∠B =( ) A .62° B .70°C .72°D .74°OCAB【C】1.(绵阳2019年第25题本题满分14分)如图,在以点O为中心的正方形ABCD中,AD =4,连接AC,动点E从点O出发沿O→C以每秒1个单位长度的速度匀速运动,到达点C停止.在运动过程中,△ADE的外接圆交AB于点F,连接DF交AC于点G,连接EF,将△EFG沿EF翻折,得到△EFH.求证:△DEF是等腰直角三角形;2.已知,如图所示,AB为⊙O的直径,AB=AC,BC交⊙O于点D,AC交⊙O于点E,∠BAC=45°。