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§24.1.4圆周角2

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踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
§24.1.4圆周角2
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。

24.1.4圆周角2

24.1.4圆周角2
24.1.4
圆周角
南寨中学：谢世明
回 忆
1.什么叫圆周角? 顶点在圆上，两边都和圆 相交的角叫圆周角 2. 圆心角、弧、弦、圆周角四个量之 间关系有个什么结论？ 在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦、圆周角有一 组量相等，那么它们所对应的其余三给量都分别相等。同 弧(或等弧）所对的圆周角等于圆心角的一半．
O
110
P
x
B
A
解：由题意得 2x =110o ∴x =55o
能力练习:
1、如图，在⊙O中，ABC=50°， 则∠AOC等于（ D ） A、50°； B、80°； C、90°； D、100°
A B O C
2、如图，△ABC与A、B重 合，则∠BPC等于（ B ） A、30°； B、60°； C、90°； D、45°
O
·
D
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
2 2 AD BD AB 10 5 2(cm) 2 2
1、在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求, ∠C和 ∠A的度数。
像四边形ABCD这样，所有的顶点都在同一个 圆上 的多边形，叫做圆内接多边形，这个圆叫做这 个多边形的外接圆。 圆内接四边形的对角互补
推
论
直径（或半圆）所对的圆周角是 直角， 90°的圆周角所对的弦是 直径．
巩固练习
1、判断： （1）等弧所对的圆周角相等. （ √ ） （2）相等的圆周角所对的弧也相等.（ X ） 。 （3）90 的角所对的弦是直径。 （ ）X （4）同弦所对的圆周角相等。 （X）
A
B C
C
O
A
O E
B
基础练习、
C
A P

人教版数学九年级上册24.1.4圆周角的概念和圆周角的定理课件_2

人教版数学九年级上册24.1.4圆周角的概念和圆周角的定理课件_2
证明如下： ∵∠APC=∠ABC=60°，∠CPB=∠BAC=60°， ∴∠ACB=180°- ∠ABC-∠BAC=60°， ∴△ABC是等边三角形.
名 人师 教课 版件 数免 学费 九课 年件 级下 上载 册2优4.秀1.公4圆开周课角课 的件概人念教 和版圆数周学 角九的年定级 理上课册件24._ 12.4 圆周角的概念和圆周角的定理课件_2
名 人师 教课 版件 数免 学费 九课 年件 级下 上载 册2优4.秀1.公4圆开周课角课 的件概人念教 和版圆数周学 角九的年定级 理上课册件24._ 12.4 圆周角的概念和圆周角的定理课件_2
展示交流
圆内接四边形的四个角之间有什么关系？
C
∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC =360° D O
展示交流
∵ CD 平分ACB，
∴ ACD=BCD，
∴ AOD=BOD ．
C
∴ AD=BD． 在 Rt△ABD 中， AD2+BD2=AB2 ，
8 6
O
A
10
B
∴ AD=BD= 2 AB 2
= 5 2 （cm）．
D
名 人师 教课 版件 数免 学费 九课 年件 级下 上载 册2优4.秀1.公4圆开周课角课 的件概人念教 和版圆数周学 角九的年定级 理上课册件24._ 12.4 圆周角的概念和圆周角的定理课件_2
证明：根据圆周角定理可知，
BAC 1 BOC , BDC 1 BOC .
2
2
∴ BAC BDC .
A
D
O
同弧所对的圆周角相等．
B
C
名师课件免费课件下载优秀公开课课 件人教 版数学 九年级 上册24. 1.4 圆周角的概念和圆周角的定理课件_2

24.1.4圆周角(2)

24.1.4圆周角(2)
接于⊙ ， 是 上的 接于⊙O，P是AB上的 ⌒ 一点， 一点，则∠APB= 。
A P B C
例 如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点， 如图⊙ 两点， 经过点A的直线CD与⊙O1 交于点C，与 ⊙O2 交于点D。经过点B的直线EF与⊙O1 交于点E，与⊙O2 交于点F。 求证：CE∥DF 求证：
D A 1 C E O1 B O 2 F
C
证明： 证明： 以AB为直径作⊙O， 为直径作⊙ ， 为直径作 ∵AO=BO， CO= 1AB, ，
2
A · O B
∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上. 在 上 为直径, 又∵AB为直径 为直径 ∴∠ACB=
1 ×180°= 90°. 2
为直角三角形. ∴ △ABC 为直角三角形
拓展练习
如图,点P是⊙O外一点,点A、B、Q是⊙O上 的点。（1）求证∠P＜ ∠AQB （2）如果点P在⊙O内， ∠P与∠AQB有 A 怎样的关系？为什么？
2.若ABCD为圆内接四边形，则下列 2.若ABCD为圆内接四边形， 为圆内接四边形 B ） 哪个选项可能成立（
（A）∠A∶∠ ∶∠ ∶∠ ＝ 1∶2∶3∶4 ∶∠B∶∠ ∶∠D ） ∶∠ ∶∠C∶∠ ∶ ∶ ∶ ∶∠B∶∠ ∶∠D （B）∠A∶∠ ∶∠ ∶∠ ＝ 2∶1∶3∶4 ） ∶∠ ∶∠C∶∠ ∶ ∶ ∶ ∶∠B∶∠ ∶∠D （C）∠A∶∠ ∶∠ ∶∠ ＝ 3∶2∶1∶4 ） ∶∠ ∶∠C∶∠ ∶ ∶ ∶ ∶∠B∶∠ ∶∠D （D）∠A∶∠ ∶∠ ∶∠ ＝ 4∶3∶2∶1 ） ∶∠ ∶∠C∶∠ ∶ ∶ ∶
课本 练 习
3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个 求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 求证 三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.） ．（提示 三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆 ） 1 已知： 边上的中线， 已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线， CO= AB 为 边上的中线 且 2 求证： 为直角三角形. 求证： △ABC 为直角三角形

24.1.4圆周角PPT

24.1.4圆周角PPT

圆内接四边形的对角互补。
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠C=1800
圆内接四边形的性质定理：
圆内接四边形的对角互补. 如图：圆内接四边形ABCD中，
∴∠A＋∠ C＝ 180°
同理∠B＋∠D＝180°
推论：
圆内接四边形任意一个外角 都等于它的内对角.
思考：延长BC到E，∠DCE 与 ∠A的数量关系？
A
O
BC AB AC 10 6 8
2 2 2 2
A
O
B
∵CD平分∠ACB，
ACD BCD.
∴AD=BD. 又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
D
2 2 AD BD AB 10 5 2(cm) 2 2
推论3
如果三角形一边上的中线等于这 条边的一半，那么这个三角形是直角三 角形。
该弧所对的圆心角的一半；
(3)四个推论： 同圆内，同弧或等弧所对的圆周角 相等；相等的圆周角所对的弧相等。 半圆或直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。
练 习
如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少 种方法？与同学交流一下．
方法三
方法一 A C O 方法二
O
B
方法四
D
· B
∠DCE＋∠1 ＝ 180° A
D
又 ∠A ＋∠1＝ 180° ∠ A 与∠ DCE 所以∠A＝∠DCE 为内对角
O
1
B
C
E
四、例题
例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平 分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长． 解：∵AB是直径， C ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°． 在Rt△ABC中，

人教版九年级数学上册教案-24.1.4 圆周角2带教学反思

人教版九年级数学上册教案-24.1.4 圆周角2带教学反思

24.1.4 圆周角第1课时圆周角定理及推论教学内容1．圆周角的概念．2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弦所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．教学目标1．了解圆周角的概念．2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径．4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．重难点、关键1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．3．关键：探究圆周角的定理的存在．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们口答下面两个问题．1．什么叫圆心角？2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角．（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们A所对的其余各组量都分别相等．刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题． 二、探索新知问题：如图所示的⊙O ，我们在射门游戏中，设E 、F 是球门，•设球员们只能在EF 所在的⊙O 其它位置射门，如图所示的A 、B 、C 点．通过观察，我们可以发现像∠EAF 、∠EBF 、∠ECF 这样的角，它们的顶点在圆上，•并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？ （学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言． 老师点评：1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的． 3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，•并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”（1）设圆周角∠ABC 的一边BC 是⊙O 的直径，如图所示 ∵∠AOC 是△ABO 的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ∵OA=OB ∴∠ABO=∠BAO ∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC=12∠AOC （2）如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的两侧，那么∠ABC=12∠AOC 吗？请同学们独立完成这道题的说明过程．CC老师点评：连结BO 交⊙O 于D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是△BOC 的外角，•那么就有∠AOD=2∠ABO ，∠DOC=2∠CBO ，因此∠AOC=2∠ABC ．（3）如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的同侧，那么∠ABC=12∠AOC 吗？请同学们独立完成证明．老师点评：连结OA 、OC ，连结BO 并延长交⊙O 于D ，那么∠AOD=2∠ABD ，∠COD=2∠CBO ，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=12∠AOD-12∠COD=12∠AOC现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB ′C ，•同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的．从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 进一步，我们还可以得到下面的推导：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．例1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？分析：BD=CD ，因为AB=AC ，所以这个△ABC 是等腰，要证明D 是BC 的中点，•只要连结AD 证明AD 是高或是∠BAC 的平分线即可． 解：BD=CD理由是：如图24-30，连接AD ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB=90°即AD ⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD 三、巩固练习1．教材P92 思考题． 2．教材P93 练习． 四、应用拓展例2．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别设为a ，b ，c ，⊙O 半径为R ，求证：sin a A =sin b B =sin c C=2R ． 分析：要证明sin a A =sin b B =sin c C =2R ，只要证明sin a A =2R ，sin b B =2R ，sin cC=2R ，即sinA=2a R ，sinB=2b R ，sinC=2cR，因此，十分明显要在直角三角形中进行．证明：连接CO 并延长交⊙O 于D ，连接DB ∵CD 是直径∴∠DBC=90° 又∵∠A=∠D在Rt △DBC 中，sinD=BC DC ，即2R=sin aA同理可证：sin b B =2R ，sin cC =2R∴sin a A =sin b B =sin cC=2R五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．圆周角的概念；2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所对的圆心角的一半；3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．~。

初中数学人教版九年级上册《24142圆周角(2)》教案

人教版数学九年级上24.1.4.2圆周角（2）教学设计一、复习旧知1、还记得圆周角的定义吗？2、请你说出圆周角定理及推论。

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.二、探究新知活动1，抢答：1.你能用三角尺画出下面这个圆的圆心吗？2.填空：如图，∠BAC=55°，∠CAD=45°，则∠DBC=_____°，∠BDC=_____°，∠BCD=______°3.如图，BD是⊙O的直径，∠ABC=130°则∠ADC=______°活动2：讨论请看我们做的抢答习题第2、3题，同学们有没有发现什么规律，请大家以小组为单位讨论后发言。

学生小组1回答：这个四边形的四个顶点，点A，点B，点C，点D都在⊙O上。

学生小组2回答：这个四边形的对角和是180°。

学生小组3回答：……学生小组4回答：……教师总结：同学们真是火眼金睛，找到的特点很多。

这个四边形有一个特点，四边形的四个顶点，点A，点B，点C，点D都在⊙O上，我们把这个四边形叫做圆内接四边形（板书：⊙O叫做四边形ABCD的外接圆）师：出示圆内接三角形图片，并指出：这是一个三角形，这个三角形的所有顶点都在这个圆上，我们把这个三角形叫做圆内接三角形，把这个圆叫做这个三角形的外接圆.师：出示圆内接五边形图片，并指出：这是五边形，这个五边形的所有顶点都在这个圆上，我们把这个五边形叫做圆内接五边形，把这个圆叫做这个五边形的外接圆.师：（出示圆内接六边形图片）归纳总结：现在，同学们能总结出“圆内接多边形”的定义了吗？一般地说，如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.刚才有同学说习题中的四边形的对角和是180°，我们再来看圆内接四边形有什么性质。

人教版数学九年级上册24.1.4圆周角(第2课时)教学设计

四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：
-利用多媒体展示生活中含有圆周角的物体，如时钟、风扇、自行车轮等，引导学生观察并思考这些物体上的圆周角特点。
-提问学生：“你们知道什么是圆周角吗？圆周角有哪些特点？”激发学生对圆周角的兴趣。
2.教学目的：
-通过生活中的实例，让学生感知圆周角的存在，为新课的学习做好铺垫。
2.自主探究，构建概念：
-让学生通过画圆、量角等活动，直观感受圆周角的特点。
-引导学生通过小组合作，探讨圆周角的定义，推导圆周角定理及推论。
-教师适时给予提示和引导，帮助学生理解圆周角的性质和定理。
3.实践应用，巩固知识：
-设计具有挑战性的练习题，让学生独立完成，巩固圆周角的知识。
-通过实际案例，如园林设计、道路规划等，让学生运用圆周角知识解决实际问题。
-对本节课学习的圆周角的定义、定理、推论进行梳理和归纳。
-总结圆周角知识在实际生活中的应用。
2.教学方法：
-学生分享学习体会，总结圆周角知识的关键点。
-教师点评学生的发言，强调重点知识，并对本节课进行总结。
五、作业布置
为了巩固学生对圆周角知识的掌握，提高学生的应用能力和思维能力，特布置以下作业：
1.基础知识巩固：
-激发学生的好奇心，引导学生积极思考，为新知的探究奠定基础。
（二）讲授新知
1.教学内容：
-圆周角的定义：从圆上任意两点分别向圆内引两条不重合的射线，所形成的角叫做圆周角。
-圆周角定理：ห้องสมุดไป่ตู้周角的度数等于它所对圆弧的度数的一半。
-圆周角推论：圆内接四边形的对角互补。
2.教学方法：
-采用讲解、演示、举例等教学方法，让学生理解圆周角的定义及性质。

24.1.4 第2课时 圆内接四边形 初中数学人教版数学九年级上册课件


∴ ∠C = 180°- ∠CBD - ∠BDC = 130°；
O
∴ ∠A = 180°- ∠C = 50°；
B
D
（圆内接四边形对角互补）
C
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
5. 已知 ∠OAB = 40°，求 ∠C 的度数.
解：延长 AO 至 D，交圆心于点 D，连接 BD；
D
O
∵ ∠OAB = 40°且 AD 是直径，
O B
( (
( (
∵ BCD 和BAD 所对的圆心角之和为 360°，
C
D
又 ∠BCD 和 ∠BAD 分别为 BCD 和BAD 所对的圆周角，
∴ ∠BCD + ∠BAD = 180°； 同理，∠ABC + ∠ADC = 180°.
总结：圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
学习目标
概念剖析
典型例题
形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
A 如图：
四边形 ABCD 为 ⊙ O 的内接四边形；
B
O
⊙ O 为四边形 ABCD 的外接圆.
C
D
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
问题 1：如图，圆内接四边形的四个角之间有什么关系？
A
猜想：∠A + ∠C = 1＿80＿°＿，∠B + ∠D = ＿1＿80＿°． B
当堂检测
课堂总结
（一）圆内接四边形的性质
例 1：如图所示，已知四边形 ABCD 为 ☉O 的内接四边形，∠ADE 为四
边形 ABCD 的一个外角. 求证：∠ABC = ∠ADE.

初三数学(人教版)24.1.4圆周角(2)-1教学设计

问题1:请同学们观察这四个角，思考这些圆周角的大小关系.
这四个圆周角按位置可以分两类，角的顶点在弦的上方，或者在弦的下方.其中两对角的关系：∠B=∠F，∠D=∠E.
问题2:能否用学过的知识加以证明呢？
通过观察我们可以发现，∠B和∠F的顶点在弦的上方，它们都对着同一条弧：劣弧ADC，由圆周角定理的第一条推论可知，同弧所对的圆周角相等，所以∠B=∠F.
∠D和∠E的顶点在弦的下方，都对着同一条优弧ABC.所以同理可得：∠D=∠E.
问题3: ∠B与∠D的关系呢？也相等吗？
不一定相等.只有当弦AC是直径时，由圆周角定理的第二条推论：直径所对的圆周角都是直角，∠B与∠D相等.当弦AC不是直径时，∠B与∠D 不相等.
我们来研究此时∠B和∠D的数量关系.
问题就变成了研究这个四边形的一组对角之间的关系.在研究这个问题之前，我们先来观察四边形ABCD有什么特点？
它的四个顶点都在圆上，四个内角都是圆周角，四条边都是圆的弦.我们把这样的四边形叫做圆内接四边形.什么样的四边形呢？
引出圆内接四边形的定义：如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆.。

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O
B
D
C
例题
例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平 分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长． 解：∵AB是直径， C ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，
BC AB AC 10 6 8
2 2 2 2
A
O
B
∵CD平分∠ACB，
ACD BCD.
例 如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点， 经过点A的直线CD与⊙O1 交于点C，与 ⊙O2 交于点D。经过点B的直线EF与⊙O1 交于点E，与⊙O2 交于点F。 求证：CE∥DF
D A 1
C
E
O1 B
O 2
F
连结AB ABEC是⊙O1 ABFD是⊙O2 的内接四边形 的内接四边形 ∠E＋∠1＝180°、∠1＝∠F ∠E＋∠F＝180°
B
100 O
D
C
4.四边形ABCD内接于⊙O, 45° ∠A:∠C=1:3,则∠A=_____,
5.若ABCD为圆内接四边形，则下列 哪个选项可能成立（ B ）
（A）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 1∶2∶3∶4 （B）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 2∶1∶3∶4
（C）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 3∶2∶1∶4
O
（1）如图，弧AB是⊙O半圆（AB是⊙O的直 径），那么∠C1、∠C2、∠C3的度数 是____ 90°
（2） 若∠C1、∠C2、∠C3是直角，那么∠AOB AB 是 180° 。点O在___上，弦AB是 直径 ___
九年级 数学
第24章 圆--（1）圆的概念
1°弧的概念.（圆心角的度数）
把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份这样的弧叫做1° 弧。
D
A
O
思考：⊙O的内 接四边形ABCD的 对角，在数量上 有什么关系？
C
B
圆内接四边形的性质定理：
圆内接四边形的对角互补. 如图：圆内接四边形ABCD中，
D
∵ B A + B CD =360 ° D
∴∠A＋∠ C＝ 180°
A
O
同理∠B＋∠D＝180° B
C
推论：
圆内接四边形任意一个外角 都等于它的内对角.
思考：延长BC到E，∠DCE 与 ∠A的数量关系？ A
∠DCE＋∠1 ＝ 180° ∠A与∠DCE 又 ∠A ＋∠1＝ 180°
O
D
1
为内对角 所以∠A＝∠DCE
B
C
E
几何表达式： ∵ ABCD是⊙O的内接四边形， ∴ ∠A+∠C=180° 且∠B=∠1 D A E 1
B
C
练习
1、如图(2)四边形ABCD中, ∠B与∠1互补,AD的延 0 , B 长线与DC所夹∠2=60 120° 60° 则∠1=_____,∠B=_____.
A D 1
2
C
E
2. 四边形ABCD内接于⊙O， 180° A 则∠A+∠C=______ 180° ∠B+∠ADC=_______;
80 B 若∠B=80°， 100° 80° 则∠ADC=____ ∠CDE=______
D
E
C
A
3.如图，四边形ABCD内接于 ⊙O，∠AOC=100°则 130° 50° ∠B=______∠D=______
那么每一份1° 弧。所对的圆心角的度数就是1°
结论：圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
判断正误： 1.同弧或等弧所对的圆周角相等（ √ ） 2.相等的圆周角所对的弧相等（ × ） 3.90°角所对的弦是直径（ × ） 4.直径所对的角等于90°（ × ） 5.长等于半径的弦所对的圆周角等于30°（ ×）
D
∴AD=BD. 又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
AD BD 2 2 AB 2 2 10 5 2(cm)
课本
练 习
1 2
3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个 三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.） 已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线， 且CO= 求证： △ABC 为直角三角形.
练一练
如图已知，∠A=50°， ∠ABC=60 ° BD是⊙O的直径，求∠AEB的度数
B A E D O C
[例1] 如图，⊙O直径AB 为10cm，弦AC为6cm， ∠ACB的平分线交⊙O于D，A 求BC、AD、BD的长．
C
O
B
D
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边 形；⊙O为四边形ABCD的外接圆。
证明： 以AB为直径作⊙O，
1
AB
C
∵AO=BO， CO= 2 AB, ∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上. 又∵AB为直径, ∴∠ACB=
1 2
A
· O
B
×180°= 90°.
∴ △ABC 为直角三角形.
练 习
如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少 种方法？与同学交流一下．
方法三
方法一 A C O 方法二
解：（1）AB=AC。 证明：连接AD ∵AB是直径，∴∠ADB=90°，
O
·
D
F C
又∵DC=BD，∴AB=AC∠C＜90 °
连接BF，则∠AFB=90 °，∴∠A＜90 ° ∴△ABC是锐角三角形
C
A 1 D
CE∥DF
O 1
E B
O 2
F
证明两条直线平行的方法很多，但常用的还是通 过证明同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等 方法。刚才我们通过同旁内角互补证明了CE ∥ DF，想一想还能否通过同位角相等或者内错角相 等证明结果？
1）延长EF,是否有 ∠E=∠BAD＝ ∠1 ？
D A C O1 E B O2 F
D A C O1 E B
2
1 M
2) 延长DF, 能否证明 3) ∠E＝∠２＝∠3？
O2 3 F
巩固练习：
1、如图，四边形ABCD为⊙O 的内接 四边形，已知∠BOD＝100°，求 ∠BAD及∠BCD的度数。 A
O
B
D
C
已知：如图，四边形ABCD是 圆的内接四边形并且ABCD是 平行四边形。 求证：四边形ABCD 是矩形。 A
O
B
方法四
D
· B
A
O
拓展练习
如图,点P是⊙O外一点,点A、B、Q是⊙O上的点 。（1）求证∠P＜ ∠AQB （2）如果点P在⊙O内， ∠P与∠AQB有怎样 的关系？为什么？
A
Q O B
p
练一练
5、如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到 点C，使DC=BD，连接AC交⊙O于点F，点F不与点A 重合。 （1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？ （2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三 角形，并说明理由。 A
思考：在同圆或等圆中，如果两个圆 周角相等，它们所对的弧相等吗？为 什么？
在圆
o 中，
A D
弧 BC 弧 EF
推论 在同圆或等圆中，如果两个圆周 角相等，它们所对的弧相等.
[推论] 半圆（或直径）所对的圆周角是 直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
C1
A C2 C3 B
探究与思考
（D）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 4∶3∶2∶1
6.梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC, ∠B=750,则∠C=_____ 75°
A D O B C
等腰 圆的内接梯形一定是＿＿＿＿＿梯形。
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1、如图，四边形ABCD内接于⊙O,如果 ∠BOD=130°,则∠BCD的度数是（ ） A A、115° B、130° O D C、65° D、50° B C 2、 如图，等边三角形ABC内 A
接于⊙O，P是AB上的 P ⌒ 一点，则∠APB= 。
B C
3、圆内接梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=75°, 则∠C= ° 4、已知四边形ABCD内接于⊙O,且 ∠A:∠B:∠C =2:3:4，求∠D的度数. 5、圆的内接四边形ＡＢＣＤ中,ＡＣ垂直 平分ＢＤ,∠ＢＡＣ=40 °， 则∠ＢＣＤ＝ ° 6、四边形ABCD内接于⊙O,BA、CD的 延长线交于P,AD=２cm,BC=３cm,ＰＡ ＝４cm，求ＰＣ的长.