第3章 正弦稳态电路的分析

(由此可知，C不是耗能元件。)
3. 无功功率
2 UC 2 Q UC IC IC X C XC
电容元件虽然不消耗能量，但它要不断地与电源往复地交换能量， 从瞬时功率的表达式可得到交换能量的最大值为：pCm=UCIC，这体 现了电容与电源交换能量的能力，为了描述这种能力的强弱，引入 37 了无功功率的概念。
正弦交流电压波形图
三要素：幅值、角频率、初相位
2 正弦函数
正弦函数
数学形式 Ｙ＝A· Sinωt 函数值Y是矢量

或
Ｙ＝A· Sin（ωt＋φ）
A 在纵轴上投影的变化规律
称左边的圆为“参考圆”
3 3.1.1 周期和频率
3.1.1 周期和频率
周期
1 T f
角频率
2π 2π f T

UR IR R
U R U R 0 0 U R
和
I R I R 00 I R
15

u～i的关系（5-4）
3. 纯电阻元件交流电路中相量形式的欧姆定律

∵
UR

IR

UR R IR
∴
U R I R R

数值关系:
UR IR R
16
u～i的关系（5-5）
j 30 o

44
例- 7

若 u 220 2 sin t (V )，i＝？； 0 2. 若 I 0.1 60 ( A) ，U ? ； 3. 画出⑴和⑵的相量图。 0 答：1. i 276 2 sin(100t 90 )(mA) U 80 1500 (V ) 2.
得



i2 3.566 2 sin t＋52.5 (A)



10
3.4 三种基本元件伏安关系的向量形式
纯电阻元件R 纯电感元件L 纯容元件C
举例
11
3.4.1 纯电阻元件的交流电路
u～i的关系 功率
12
u～i的关系（5-1）
uR iR R
根据欧姆定律：
设：
1.
将电容元件接正弦交流电路，已知Ｃ＝4uF，f＝ 50Hz，求：
45
复数表示法
复数简述


复数的概念 复数的四种表达形式 复数的基本运算
28
纯电容元件的交流电路
u～i的关系 功率
29
u～i的关系（6-1）
设：线性纯电容在两极板的电荷量为q，电容容量 参数为Ｃ，激励电压为：
uc 2UC sin( t )
由物理学得知：q=C uC，且C是一个与q和uC无 关的常数。另外，
iC du dq C C 2CU C cos t dt dt
26
功率（2-1）
1．瞬时功率
pL uL iL 2U L I L sin(t 900 ) sin(t )
2U L I L sin(t ) cos(t )
U L I L sin(2t )
27
功率（2-2）
2. 平均功率
1 T PL pL dt 0 T 0
↑
6
3.2 正弦量的相量表示
一个正弦量可由其最大值、角频率和初相位3个要素来确定，而
在平面坐标上的一个旋转有向线段（旋转矢量）可以表示正弦量 的三要素。因为有向线段可以用复数表示，所以，正弦量也可以 用复数表示。
正弦量的复数表示 ↑
7 正弦量的复数表示
正弦量的复数表示
称横轴为“实轴”，纵轴为“虚轴”，两轴构成的平
0
2U L sin( t 90 )
0
21
u～i的关系（7-3）
１. 相位关系
u i 90
0
（相位上电压超前电流900）
22
u～i的关系（7-4）
２. 数值关系 有效值：
U L LI L
相量式：
U L U L 90

0
和
I L I L 00 I L
举例
例- 1 例- 2 *例- 3
例- 4
例- 5 例- 6
例- 7
38
例- 1
【例】 在图中，电容两端的电压 u 6sin(3t )(A) ，电容 量为 0.5F ，求电流 i。
解
u U m 600 A

I m jC U m
I m CU m 9( A)
5 3.1.3 相位和相位差
3.1.3 相位和相位差
在正弦交流电的表达式中

(教材P67图3.1.2)； θ 表示正弦量在t=0时的角度，称为初相位角（-π≤ θ ≤ π ） 简称“初相”，它的值可以由参考圆来确定。 通常把两个同频率的正弦量的相位之差称为相位差，用 表示
t 表示正弦量变化的角度，称为相位角，简称相位
iR I R m sin(t ) 2I R sin(t )
则:
uR 2I R R sin(t ) 2U R sin(t )
13
u～i的关系（5-2）
１.相位关系：
u i 0
（电压与电流同相位）
14
u～i的关系（5-3）
２.数值关系：
有效值： 相量式：
2CUC sin(t 900 ) 2IC sin(t 900 )
30
u～i的关系（6-2）
１. 相位关系
u i 90
0
（相位上电压滞后电流900）
31
u～i的关系（6-3）
２. 数值关系 有效值：
IC UC C
0
相量 式： I C I C 90
i 0
I

0
Im 0

KVL的相量表示 1. 在任意瞬间，对电路中的任意回路有： u 0 2. 当所有的电流均为同频率的正弦量
U 0

U
m
0
9
【例】 图 (a)中，已知 i1 5 2 sin t (A) ，
i3 4 2 sin t 45 (A) ，求 i2
面为“复数平面”。 有向线段A在实轴上的投影为A的“实部”；在虚轴上 的投影为A的“虚部”。
a r cos b r sin r a 2 b2 arctan b a
A a jb
8
3.3 基尔霍夫定律的相量表示
KCL的相量表示 1. 在任意瞬间，对电路中的任意节点有： 2. 当所有的电流均为同频率的正弦量

42
例- 5
如下图所示是t＝０时刻电压和电流的相量图，并已知Ｕ＝220Ｖ，
I1＝10A，I2＝ Ａ，角频率为ω ，请分别写出电压和电流的四种 2 表达形式。
43
例- 6
已知正弦量 U 220 e (V) 和 I 4 j 3 (A)，请分别用解析式、波形法、相量图形式 表示它们。

25
u～i的关系（7-7）
5.讨论: X L L 2fL

f不变时，Ｌ越大（小），ＸＬ越大（小），说明自感 电动势对电流的阻碍作用越大（小）； Ｌ不变时，f越大，ＸＬ越大，说明电感对高频电流的 阻抗大（f＝０或→∞呢？） 电感线圈的瞬时值u、i不满足欧姆定律，但相量值ỦL 和ỈL、有效值UL和IL却满足欧姆定律。
t 1 t 2 1 2


Φ=0，称两正弦量同相位； Φ=±900，称两正弦量正交； Φ＞0，称正弦量1超前正弦量2； Φ＜0，称正弦量1滞后正弦量2； Φ= π ，称两正弦量反相位。
举例：教材P68[例3.1.1]、[例3.1.2]
4. 相量图
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
U RI


17
功率
1．瞬时功率
pR uR iR U R I R (1 cos2t )
2．平均功率
2 1 T UR 2 PR pR dt U R I R I R R 0 T 0 R
(由此可知，Ｒ只能是耗能元件。)
18
3.4.2 纯电感元件的交流电路

23
u～i的关系（7-5）
3. 纯电感元件交流电路中相量形式的欧姆定律

UL

IL

U L 900 UL j jL jX L 0 I L 0 IL
则
U L jX L I L

及
UL IL X L
24
u～i的关系（7-6）
4. 相量图
U j L I jX L I


i 9 sin(3t 90 )( A)
0
39
例- 2
有一个100Ω电阻（或0.1Ｈ的电感元件、或5uF的电容
元件）接到频率为50Ｈz、电压有效值为10v的正弦电 源上，问：电流是多少？如保持电压不变，电源频率 为5000Ｈz，这时电流将为多少？ 答：100mA，318mA，15.7mA；100mA，3.18mA， 1.57A。由此看出：频率越高，电感的感抗越大，电流 也越小；频率越高，电容的容抗越小，电流也越大。
和
U C U C 00 U C

32
u～i的关系（6-4）
3. 纯电容元件交流电路中相量形式的欧姆定律

UC

IC

U C 00 UC j jX C 0 I C 90 j I C C

则
U C jX C I C
及
UC IC X C
33
u～i的关系（6-5）