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思考：当 0 cos a , b 1 及 1 cos a , b 0
时，夹角在什么范围内？
三、应用举例
例1．已知 a (2, 3,5),b (3,1, 4) 求a b, a b,| a |,8a, a b
解: a b (2, 3,5) (3,1, 4) (1, 2,1) a b (2, 3, 5) (3,1, 4) (5, 4, 9) | a | 22 (3)2 52 38 8a 8(2, 3,5) (16, 24, 40)
又 A1(1 , 0 , 1) ， D(0 , 0 , 0) ，
所以 DA1 (1 , 0 , 1)
所以
EF
DA1
(
1 2
,
1 2
,
1) 2
(1
,
0
, 1)
0
，
因此 EF DA1 ，即 EF DA1
练习:
⑴已知 A（0, 2, 3)、B（ 2,1, 6),C(1, 1, 5),
则 △ABC 的面积 S=_____. 7 3
3)若A(x1, y1), B(x2, y2)则AB (x2 x1, y2 y1)
空间向量的坐标运算：若 a a1, a2 , a3 , b b1,b2 ,b3
a // b a b a1 b1,a2 b2,a3 b3( R) ;
a b a b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0 ;
a
a a
a12
a
2 2
a32
新课
平面向量的坐标运算：若
a
a1 ,
a2
,
b
b1 ,
b2
cos a, b
cos a b
ab
a1b1 a2b2
a12
a
2 2
b12 b22
空间向量的坐标运算：若 a a1, a2 , a3 , b b1,b2 ,b3
cos a, b
cos a b
ab
a1b1 a2b2 a3b3
a12
a
2 2
a32
b12 b22 b32
新课
平面向量的坐标运算：若
a
a1 ,
a2
,
b
b1 ,
b2
若Aa1,b1, Ba2,b2 ，则A, B两点间的距离
dAB AB a2 a1 2 b2 b1 2
空间向量的坐标运算：若 a a1, a2 , a3 , b b1,b2 ,b3
若Aa1,b1, c1 , Ba2 ,b2 , c2 ，则A, B两点间的距离
p
e3
e1
O e2
y
x
复习回顾
2．平面向量的坐标表示及运算律：
(1)若 p xi y j(i, j分别是x, y轴上同方向的两个单位向量) 则 p的坐标为(x, y)
(2)若a (a1, a2 ),b (b1,b2 )
则 a b (a1 b1,a2 b2),a b (a1 b1,a2 b2)
3.1.5 空间向量运算的坐标表示
复习回顾
1.空间向量的坐标表示：
给定一个空间坐标系和向
量 p,且设e1,e2,e3为坐标向量，
由空间向量基本定理，存在唯 z 一的有序实数组(x,y, z)使
p = xe1+ye2+ze3
有序数组( x, y, z)叫做p在空间 直角坐标系O--xyz中的坐标，
记作.P=(x,y,z)
注意：此公式的几何意义是表示长方体 的对角线的长度。
（2）空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，已知 A(x1 , y1 , z1) 、 B(xu2u,ury2 , z2 )，则
AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1)
dAB | AB | ( x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
若Ax1, y1, z1 , Bx2 , y2 , z2 则
AB
__(_x_2___x_1 _, _y_2___y_1_,_z_2___z_1_)______
新课
平面向量的坐标运算：若
a
a1 ,
a2
,
b
b1 ,
b2
a a a a12 a22
空间向量的坐标运算：若 a a1, a2 , a3 , b b1,b2 ,b3
新课
平面向量的坐标运算：若
a
a1 ,
a2
,
b
b1 ,
b2
a b a1 b1, a2 b2
a
a1 ,
a2
R
a
b
a1
b1, a2
b2
a b a1b1 a2b2
空间向量的坐标运算：若 a a1, a2 , a3 , b b1,b2 ,b3
a b a1 b1, a2 b2 , a3 b3
D1F1
z
A1B1 ，求
4
BE1 与 DF1 所成的角的余弦值.
解：设正方体的棱长为1，如图建
D1
F1
C1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
A1
D
O
A
E1 B1
C B
B(1 , 1 , 0)
,
E1
1
,
3 4
,
1
,
y
BE1
D(0 , 0 , 0)
,
F1
0
,
1 4
，1
.
1
,
3 4
,
1
(1
,
2.两个向量夹角公式
cos a,b a b | a || b |
注意：
a1b1 a2b2 a3b3
;
a12 a22 a32 b12 b22 b32
（1）当 cos a , b 1 时，a 与 b 同向； （2）当 cos a , b 1 时，a 与 b 反向； （3）当cos a , b 0 时，a b 。
a (a1, a2 )( R), a b a1b1 a2b2
a // b a1 b1, a2 b2( R),a b a1b1 a2b2 0
(3)若A(x1, y1), B(x2, y2)则AB (x2 x1, y2 y1)
类比平面向量的坐标运算，空间向量的运算 律怎样用坐标表示呢？
a b (2, 3,5) (3,1, 4) 2 (3) (3)1 5 (4) 29
三、应用举例
例2 已知A(3 , 3 ,1)、B(1, 0 , 5) ，求： 线段 AB 的长度；
dA,B (1 3)2 (0 3)2 (5 1)2 29 .
例3 如图, 在正方体ABCD A1B1C1D1中，B1E1
a b a1b1 a2b2 a3b3 ;
a // b a b a1 b1,a2 b2,a3 b3( R) ; a b a b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0 ;
二、距离与夹角
1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式
a a a a12 a22 a32
3.空间向量在立体几何中的简单运用。
2
⑵ a ( x, 2,1) , b (3, x2 , 5) 且 a 与 b 的夹角为
钝角，则 x 的取值范围为
. (1, 5 ) 2
⑶已知 A(3, 5, 7) , B(2, 4, 3) ,则 AB 在坐标平面
yOz 上的射影的长度为__1__0_1__.
小结
1.空间向量运算的坐标表示：加、减、数乘、 数量积、共线、垂直。 2.空间两点的距离公式、空间向量的夹角表示。
44
例例43.如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E ，F 分别是 BB1 ，D1B1
中点，求证： EF DA1
证明：如图，不妨设正方体的棱长为 1， 建立如图空间直角坐标系 O-xyz
则 E(1 , 1 , 1 ) ， F (1 , 1 , 1)
2
பைடு நூலகம்22
所以 EF ( 1 , 1 , 1 ) ， 2 22
d AB AB
a2 a1 2 b2 b1 2 c2 c1 2
一、空间向量的坐标运算
设a (a1, a2, a3),b (b1,b2,b3)则 a b (a 1b1,a2 b2 ,a3 b3 ) ; a b (a 1b1,a2 b2 ,a3 b3 ) ;
a (a1,a2,a3),( R) ;
a a1, a2 , a3 R
a b a1 b1, a2 b2 , a3 b3
a b a1b1 a2b2 a3b3
新课
平面向量的坐标运算：若
a
a1 ,
a2
,
b
b1 ,
b2
a// b a b a1 b1, a2 b2 R,
a b a b 0 a1b1 a2b2 0
1
,
0)
0
,
1 4
,
1
,
x
DF1
0
,
1 4
，1
(0
,
0
,
0)
0
,
1 4
，1
.
BE1
DF1
0 0
1 1 4 4
15
11 15 16
| BE1 |
17 4 , | DF1 |
17 . 4
cos
BE1
,
DF1
|
BE1•DF1 BE1 | | DF1
|
16 15 . 17 17 17
