指数与对数运算及大小比较教案

数学指数函数与对数函数的运算教案本教案的目标是帮助学生理解并掌握数学指数函数和对数函数的运算规则。

通过本教案的学习，学生将能够正确地进行指数函数和对数函数之间的运算，提高数学运算的能力。

以下是本教案的教学内容：一、引言在数学中，指数函数和对数函数是重要的数学概念和工具。

指数函数描述了指数增长的数学规律，而对数函数则是指数函数的逆运算。

理解和掌握指数函数和对数函数的运算规则对于解决实际问题和进一步深入学习数学都非常重要。

二、指数函数与对数函数的定义1. 指数函数的定义：指数函数是以常数e（约等于2.71828）为底的幂函数。

指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为正实数，x为自变量。

2. 对数函数的定义：对数函数是指数函数的逆运算。

对数函数的一般形式为f(x) = logₐx，其中a为正实数，x为正实数。

三、指数函数与对数函数的基本性质1. 指数函数的性质：- a^0 = 1，任何实数的零次方都等于1。

- a^m * a^n = a^(m+n)，指数之间的乘法等于底数不变的加法。

- (a^m)^n = a^(m*n)，指数的乘方等于底数不变的乘法。

- a^(-n) = 1/(a^n)，负指数等于倒数。

2. 对数函数的性质：- logₐ1 = 0，任何底数为正实数的对数1等于0。

- logₐ(a*b) = logₐa + logₐb，对数的乘法等于对数分解后的加法。

- logₐ(a^n) = n*logₐa，对数的乘方等于指数乘以对数底数。

- logₐ(1/a) = -logₐa，底数的倒数的对数等于对数的相反数。

四、指数函数与对数函数的运算规则1. 指数函数的运算规则：- a^m * a^n = a^(m+n)，指数相加等于底数不变的乘法。

- (a^m)/(a^n) = a^(m-n)，指数相减等于底数不变的除法。

- (a^m)^n = a^(m*n)，指数的乘方等于底数不变的乘法。

2. 对数函数的运算规则：- logₐ(a*b) = logₐa + logₐb，对数的乘法等于对数分解后的加法。

指数、对数、幂大小比较的方法利用图象与性质比较大小比较大小时，若题设涉及指数式、对数式，则应考虑指数函数、对数函数的图象与性质，此外，要特别注意数字“0”和“1”等在比较大小问题中的桥梁作用.例1若a＝(15)－0.3，b＝log52，c＝e－12，则()A.a＜b＜cB.c＜a＜bC.b＜c＜aD.c＜b＜a解析：C结合指数函数y＝(15)x的图象易知a＝(15)－0.3＞1；结合对数函数y ＝log5x在(0，＋∞)上单调递增可知b＝log52＜log55＝12；又c＝e－12＝1e∈(12，1)，所以b＜c＜a.故选C.尝试训练1设a＝5－0.7，b＝log2312，c＝lg34，则这三个数之间的大小关系是()A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.b＞c＞aD.b＞a＞c解析：D结合函数y＝5x，y＝log23x，y＝lg x的图象(图略)易知0＜a＝5－0.7＜50＝1，b＝log2312＞log2323＝1，c＝lg34＜lg1＝0，所以b＞a＞c.故选D.三元变量的比较大小问题比较大小时，若题设涉及三个指数式连等，或三个对数式连等，则可利用特例法求解，也可在设元变形的基础上，灵活运用相关函数的性质求解.例2设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z＞0，则x2，y3，z5的大小关系不可能是()A.x2＜y3＜z5B.y3＜x2＜z5C.x 2＝y3＝z5D.z5＜y3＜x2解析：B法一：取x＝2，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝3，z＝5，此时易知x2＝y3＝z5，此时选项C正确.取x＝4，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝9，z＝25，此时易知x2＜y3＜z5，此时选项A正确.取x＝2，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝3，z＝5，此时易知z5＜y3＜x2，此时选项D正确.综上，利用排除法可知本题应选B.法二：设log2x＝log3y＝log5z＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝5k，所以x2＝2k－1，y3＝3k－1，z5＝5k－1.又易知k＞0，接下来对k与1的大小关系加以讨论.若k＝1，则x2＝1，y3＝1，z5＝1，所以x2＝y3＝z5，所以选项C有可能正确.若0＜k＜1，则根据函数f(t)＝t k－1在(0，＋∞)上单调递减可得2k－1＞3k－1＞5k－1，所以z5＜y3＜x2，所以选项D有可能正确.若k＞1，则根据函数f(t)＝t k－1在(0，＋∞)上单调递增可得2k－1＜3k－1＜5k－1，所以x2＜y3＜z5，所以选项A有可能正确.综上，利用排除法可知应选B.尝试训练2设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()A.3y＜2x＜5zB.2x＜3y＜5zC.3y＜5z＜2xD.5z＜2x＜3y解析：A法一：中间值法令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z为正数，知k＞1，则x＝lg klg2，y＝lg klg3，z＝lg klg5.所以3y＝lg klg33，2x＝lg klg2，5z＝lg klg55.因为33＝69＞68＝2，2＝1032＞1025＝55，所以lg 33＞lg2＞lg55＞0.又k＞1，所以lg k＞0，所以3y＜2x＜5z.法二：特值法取z＝1，则由2x＝3y＝5得x＝log25，y＝log35，所以2x＝log225＜log232＝5z，3y＝log3125＜log3243＝5z，所以5z最大.取y＝1，则由2x＝3得x＝log23，所以2x＝log29＞3y.综上可得，3y＜2x＜5z，故选A.。

指数与对数的计算教案一、教学目标1. 理解指数的概念，能够计算指数运算；2. 理解对数的概念，能够计算对数运算；3. 能够应用指数和对数的计算方法解决实际问题。

二、教学内容1. 指数的定义和性质；2. 指数计算的基本规则；3. 对数的定义和性质；4. 对数计算的基本规则；5. 应用题训练。

三、教学过程第一节指数的定义和性质指数是数学中常用的一种运算符号，表示一个数自乘若干次。

例如，2³表示2自乘3次，即2×2×2=8。

1. 引入指数的概念指数运算可以用来表示重复乘法的简化形式，如何理解指数运算对求解问题的帮助？2. 指数的定义与性质指数的定义：aⁿ=a×a×a× ... ×a（n个a相乘）指数的性质：幂的乘法、幂的除法、幂的幂第二节指数计算的基本规则1. 同底数幂相乘和幂相除的规则2. 指数为零和指数为一的特殊情况第三节对数的定义和性质对数是指数运算的逆运算，它可以简化指数运算的计算过程。

1. 引入对数的概念对数运算可以帮助我们解决指数运算中的问题，如何理解对数运算对求解问题的帮助？2. 对数的定义与性质定义：例如，log₃9=2，表示3的几次方等于9。

性质：对数运算的乘法、对数运算的除法第四节对数计算的基本规则1. 换底公式2. 对数的乘法和除法规则第五节应用题训练将指数和对数的计算方法应用到实际问题中，例如：1. 求解指数方程2. 计算复利问题3. 解决科学计数法问题四、教学评价1. 在教学过程中，要通过合作学习的形式，让学生互相讨论解题思路，提高学生的合作与交流能力；2. 在教学结束前，可以布置一些练习题，检验学生对指数和对数计算的掌握程度；3. 在课后，搜集一些实际应用问题，让学生自主解决，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力。

五、教学反思本教案通过引入指数和对数的概念，系统地介绍了其定义、性质和计算规则，并结合应用题进行训练。

指数对数计算与比较大小一、考法解法指数与对数的计算以及比较大小题目，可以和集合函数的性质以及不等式的集合等知识点出题，也可以单独作为小题出现。

计算需要学生对公式的记忆及应用有很好的考核，比较大小需要的对公式及图像均有较好的理解才可以做出。

此处综合的知识点比较多，在计算的过程中容易出错。

解题方法荟萃在解决指数与对数比较大小的题目时，经常结合函数的性质以及选取中间变量来解决，有时结合函数的图像利用数形结合的思想解决问题。

因此，要熟练掌握基本初等函数的性质以及函数图像是解题的关键。

在做化简题目时，要牢记公式并熟练地利用公式解题。

二、真题剖析【例题1】662log 2log 9+=_____．【答案】原式=662log 2log 9+=2+2=2=2【例题2】满足122x >的x 的取值范围是_____． 【答案】{}|1x x >- 由题意可知：,∴1x >-,得出答案【例题3】已知2log 3a =，32b =，21log 3c =.将,,a b c 按从小到大排列为_____. 【答案】c b a <<由题意知：2log 31,a =>()3log 20,1,b =∈21log 03c =<故得出答案。

【例题4】已知函数()log (2)1a f x x =+-，其中1a >.（Ⅰ）若()f x 在[0,1]上的最大值与最小值互为相反数，求a 的值；（Ⅱ）若()f x 的图象不经过第二象限，求a 的取值范围.【答案】(1)a =2a ≥由题意可知：（Ⅰ）解：函数()log (2)1a f x x =+-的定义域是(2,)-+∞.因为1a >，所以 ()log (2)1a f x x =+-是[0,1]上的增函数.所以()f x 在[0,1]上的最大值是(1)log 31a f =-；最小值是(0)log 21a f =-.依题意，得log 31(log 21)a a -=--，解得a =（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，()log (2)1a f x x =+-是(2,)-+∞上的增函数.在()f x 的解析式中，令0x =，得(0)log 21a f =-，所以，()f x 的图象与y 轴交于点(0,log 21)a -.依题意，得(0)log 210a f =-≤，解得 2a ≥.三、考试圈题【题1】设10.52,e ,a b c -===e 2.71828≈，则,,a b c 的大小顺序为（ ）A.a b c >>B.a c b >>C.b a c >>D.b c a >>【答案】C由题可知:a=0.5,<b<,c<=0.5,因此得出答案C【题2】右图中有五个函数的图象，依据图象用“<”表示出以下五个量,,,,1a b c d 的大小关系，正确的是( )A. 1a c b d <<<<B. 1a d c b <<<<C. 1a c b d <<<<D. 1a c d b <<<<【答案】C由题意可得0<a<1 ,b>c>1 ,d>2故得答案C四、分层训练（10题）【题1】三个数60.70.70.76log 6，，的大小关系为（ ） A .60.70.70.7log 66<< B .60.70.70.76log 6<<C ．0.760.7log 660.7<< D .60.70.7log 60.76<<【答案】D 600.700.70.70.766log 60<><=1，=1，当,a b 范围一致时，log 0a b >；当,a b 范围不一致时，log 0a b <注意比较的方法，先和0比较，再和1比较.【题2】计算：(log )log log 2222545415-++=。

幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案第一章：幂函数1.1 幂函数的定义与性质学习幂函数的定义，了解幂函数的基本形式f(x) = x^a。

探讨幂函数的性质，包括奇偶性、单调性、周期性等。

1.2 幂函数的图像与性质绘制常见幂函数的图像，观察图像的特点。

分析幂函数的单调区间、极值等性质。

第二章：指数函数2.1 指数函数的定义与性质学习指数函数的定义，了解指数函数的基本形式f(x) = a^x。

探讨指数函数的性质，包括单调性、稳定性、特殊点等。

2.2 指数函数的图像与性质绘制常见指数函数的图像，观察图像的特点。

分析指数函数的单调性、渐近线等性质。

第三章：对数函数3.1 对数函数的定义与性质学习对数函数的定义，了解对数函数的基本形式f(x) = log_a(x)。

探讨对数函数的性质，包括单调性、反函数关系、对数规则等。

3.2 对数函数的图像与性质绘制常见对数函数的图像，观察图像的特点。

分析对数函数的单调性、渐近线等性质。

第四章：对数运算法则4.1 对数的基本运算法则学习对数的加法、减法、乘法、除法等基本运算法则。

探讨对数运算的性质，如对数的中项定律、对数的换底公式等。

4.2 对数的复合运算法则学习对数的复合运算，如对数的乘方、对数的开方等。

探讨复合运算的性质，如对数的乘方公式、对数的开方公式等。

第五章：对数函数的应用5.1 对数函数在求解方程中的应用学习使用对数函数求解指数方程、对数方程等。

探讨对数函数在求解方程时的性质，如对数函数的单调性、对数函数的零点等。

5.2 对数函数在解决实际问题中的应用学习使用对数函数解决实际问题，如人口增长、放射性衰变等。

探讨对数函数在解决实际问题时的应用方法和对数函数的近似计算等。

第六章：幂函数的应用6.1 幂函数在几何中的应用学习幂函数在几何中的作用，如计算体积、面积等。

探讨幂函数在几何问题中的解题方法。

6.2 幂函数在物理中的应用学习幂函数在物理中的作用，如温度、速度等。

幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案一、教学目标知识与技能：1. 理解幂函数、指数函数的定义和性质。

2. 掌握对数的定义和性质，了解对数函数的图像和应用。

3. 掌握对数的运算法则，并能应用于实际问题中。

过程与方法：1. 通过实例和图形，培养学生的观察和分析能力，提高学生对幂函数、指数函数和对数函数的理解。

2. 通过小组讨论和探究活动，培养学生的合作和沟通能力，提高学生对对数运算法则的掌握。

情感态度与价值观：1. 培养学生对数学的兴趣和好奇心，激发学生对幂函数、指数函数和对数函数的学习热情。

2. 培养学生的耐心和细心，提高学生在解决实际问题中的数学应用能力。

二、教学内容第一节：幂函数1. 幂函数的定义和性质2. 幂函数的图像和应用第二节：指数函数1. 指数函数的定义和性质2. 指数函数的图像和应用第三节：对数函数1. 对数的定义和性质2. 对数函数的图像和应用第四节：对数的运算法则1. 对数的加法和减法法则2. 对数的乘法和除法法则3. 对数的幂法则三、教学重点与难点重点：1. 幂函数、指数函数和对数函数的定义和性质。

2. 对数的运算法则。

难点：1. 对数函数的图像和应用。

2. 对数的幂法则的理解和应用。

四、教学方法与手段教学方法：1. 讲授法：讲解幂函数、指数函数和对数函数的定义和性质。

2. 案例分析法：分析实际问题中的应用，展示对数函数的图像。

3. 小组讨论法：分组讨论对数的运算法则，促进学生之间的交流和合作。

教学手段：1. 多媒体课件：展示幂函数、指数函数和对数函数的图像和实例。

2. 练习题：提供练习题，帮助学生巩固所学知识和技能。

1. 课堂参与度：观察学生在课堂中的积极参与和提问情况，评价学生的学习兴趣和主动性。

2. 练习题完成情况：检查学生完成练习题的正确率和解题思路，评价学生的理解和应用能力。

3. 小组讨论报告：评估学生在小组讨论中的表现和合作能力，以及对数运算法则的理解和应用。

幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案第一章：幂函数1.1 幂函数的定义与性质定义：幂函数是一种形式的函数，可以表示为y = x^a，其中x是变量，a是常数。

性质：幂函数的图像是一条曲线，取决于指数a的值。

当a为正整数时，函数在x轴的正半轴上递增。

当a为负整数时，函数在x轴的正半轴上递减。

当a为分数时，函数的图像呈现出特殊的变化规律。

1.2 幂函数的图像与性质绘制幂函数的图像，观察不同指数a对图像形状的影响。

分析幂函数的单调性、奇偶性、渐近线等性质。

第二章：指数函数2.1 指数函数的定义与性质定义：指数函数是一种形式的函数，可以表示为y = a^x，其中a是底数，x是变量。

性质：指数函数的图像是一条递增的曲线，底数a大于1时，曲线向上弯曲；底数a 小于1时，曲线向下弯曲。

指数函数的渐近线是y轴。

指数函数的值域是正实数集。

2.2 指数函数的应用分析指数函数的增长速度，比较不同底数的指数函数。

应用指数函数解决实际问题，如人口增长、放射性衰变等。

第三章：对数函数3.1 对数函数的定义与性质定义：对数函数是一种形式的函数，可以表示为y = log_a(x)，其中a是底数，x是变量。

性质：对数函数的图像是一条递减的曲线，底数a大于1时，曲线向下弯曲；底数a 小于1时，曲线向上弯曲。

对数函数的渐近线是x轴。

对数函数的定义域是正实数集。

3.2 对数函数的应用分析对数函数的单调性，比较不同底数的对数函数。

应用对数函数解决实际问题，如测量、数据压缩等。

第四章：对数运算法则4.1 对数的基本性质回顾对数的定义，巩固对数函数的基本性质。

学习对数的换底公式、对数的反对数等基本性质。

4.2 对数的运算法则学习对数的加法、减法、乘法、除法等运算法则。

运用对数的运算法则进行复杂对数表达式的化简和求值。

第五章：对数函数的应用5.1 对数函数在实际问题中的应用分析实际问题，识别可以用对数函数表示的关系。

应用对数函数解决实际问题，如人口增长、放射性衰变等。

指数与对数教案教案标题：指数与对数教案概述：本教案旨在帮助学生理解指数与对数的概念、性质和应用。

通过多种教学方法和活动，学生将能够掌握指数与对数的基本操作、计算规则以及在实际问题中的应用。

此外，教案还将培养学生的逻辑思维、问题解决和团队合作能力。

教学目标：1. 理解指数与对数的基本概念；2. 掌握指数与对数的基本运算规则；3. 能够在实际问题中应用指数与对数的知识；4. 发展学生的逻辑思维和问题解决能力；5. 培养学生的团队合作和沟通能力。

教学重点：1. 指数与对数的基本概念；2. 指数与对数的基本运算规则；3. 实际问题中的应用。

教学准备：1. 教师准备：a. 了解学生对指数与对数的基本了解程度；b. 准备相关教学资源，如教科书、练习册等；c. 设计教学活动和案例，以帮助学生理解和应用指数与对数的知识。

2. 学生准备：a. 提前预习指数与对数的基本概念；b. 准备相关学习材料和工具，如笔记本、计算器等。

教学过程：1. 导入（5分钟）：a. 引入指数与对数的概念，与学生一起回顾他们对这些概念的了解；b. 提出一个实际问题，引发学生思考指数与对数的应用场景。

2. 知识讲解与示范（15分钟）：a. 通过教师讲解和示范，介绍指数与对数的基本概念和符号表示；b. 讲解指数与对数的基本运算规则，并通过例题演示如何进行计算。

3. 合作探究（20分钟）：a. 将学生分为小组，每组选择一个实际问题，应用指数与对数的知识进行解决；b. 学生通过合作讨论、实际计算和推理，解决问题并展示解决过程。

4. 拓展应用（15分钟）：a. 提供更复杂的问题和案例，让学生进一步应用指数与对数的知识进行解决；b. 引导学生思考指数与对数在科学、工程等领域的应用，并展示相关案例。

5. 总结归纳（10分钟）：a. 与学生一起总结指数与对数的基本概念和运算规则；b. 强调指数与对数在实际问题中的重要性和应用。

6. 作业布置（5分钟）：a. 布置相关练习题，巩固学生对指数与对数的理解和运用能力；b. 鼓励学生自主学习和探索更多指数与对数的知识。

数学指数函数与对数函数教案教案内容：一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 理解指数函数与对数函数的基本概念；2. 掌握指数函数与对数函数的图像性质；3. 熟练运用指数函数与对数函数的性质解决实际问题。

二、教学重点1. 指数函数与对数函数的定义与性质；2. 指数函数与对数函数的图像；3. 指数函数与对数函数在实际问题中的应用。

三、教学内容1. 指数函数的定义与性质指数函数是指具有形如y=a^x的函数，其中a>0且a≠1。

在教学中，我们着重讲解指数函数的定义与性质，包括：1.1 指数函数的定义：y=a^x；1.2 指数函数的图像特点：与a、x的取值相关；1.3 指数函数的性质：a）同底数幂相乘，底数不变，指数相加；b）同底数幂相除，底数不变，指数相减；c）指数为0的幂等于1；d）若指数为正，函数单调递增；若指数为负，函数单调递减。

2. 对数函数的定义与性质对数函数是指具有形如y=loga(x)的函数，其中a>0且a≠1。

在教学中，我们重点介绍对数函数的定义与性质，包括：2.1 对数函数的定义：y=loga(x)；2.2 对数函数的图像特点：与a、x的取值相关；2.3 对数函数的性质：a）对数的底数不为0、不为1；b）对数与指数是互反运算；c）对数函数的增长特点：当x增大时，对数值增大；当x减小时，对数值减小；d）对数函数在坐标系中的对称性。

3. 指数函数与对数函数的图像通过绘制指数函数和对数函数的图像，让学生对其形态和性质进行直观感受。

3.1 指数函数的图像特点：a）当0<a<1时，函数图像经过点(0, 1)且单调递减；b）当a>1时，函数图像经过点(0, 1)且单调递增。

3.2 对数函数的图像特点：a）对数函数的图像都经过点(1, 0)；b）当0<a<1时，函数图像在y轴的正半轴上递减；c）当a>1时，函数图像在y轴的正半轴上递增。

4. 指数函数与对数函数的应用通过实际问题的讲解，让学生认识指数函数和对数函数在各个领域的应用。

指数(一)一、预习提纲1．整数指数幂的概念 *)(N n a a a a a an n ∈⋅⋅=43421Λ个 )0(10≠=a a ,0(1N n a a a nn∈≠=- 2．运算性质： )()(),()(),(Z n b a ab Z n m aa Z n m a a a n n n mnnm n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+3.根式的运算性质：当n 为任意正整数时，(n a )n =a.当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a|=⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a .2.根式的基本性质：n m npmp a a =，（a ≥0）. (1)nmnmnm aaa11==- (a ＞0，m ,n ∈N *,且n ＞1)(2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义.3．分数指数幂的运算性质： )()(),()(),(Q n b a ab Q n m aa Q n m a a a n n n mnnm n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+二、讲解新课：1．根式：一般地，若*),1(N n n a x n∈>= 则x 叫做a 的n 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数 例1求值① 33)8(-= ； ②2)10(-=; ②44)3(π-= ； ④)()(2b a b a >-=.例2求值：63125.132)2(;246347625)1(⨯⨯---++解：例3:求值：4332132)8116(,)41(,100,8---.例4：用分数指数幂的形式表示下列各式：a a a a a a ,,3232⋅⋅ (式中a ＞0)例5：计算：()[]91385256323075.0--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---三、课练试题： 1. 求下列各式的值(1)44100; (2)55)5.0(-; (3)2)4(-π; (4)).()(66y x y x >-2.比较63123,11,5的大小.3.用根式的形式表示下列各式.(1)51a ; (2)43a ; (3)53-a; (4)32-a.四、课后作业：1．用分数指数幂表示下列各式(其中各式字母均为正数)⑴43a a ⋅; ⑵a a a ; ⑶32)(b a -; ⑷322b a ab +.2.化简：()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2123( )。

第07讲 指数与对数函数一、指数与对数运算： （一）知识归纳： 1．根式的概念：①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根.即，若a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n .②性质：1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a a nn=；3）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n2．幂的有关概念：①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n ( N *， 2）)0(10≠=a a ， n 个 3）∈=-p aap p(1Q ，4）m a a a n m n m,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=⋅+、∈s Q ）， 2）r a a a s r s r ,0()(>=⋅、∈s Q ）， 3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a rr r ,0,0()( Q ） （注）上述性质对r 、∈s R 均适用. 3．对数的概念：①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b=，那么数b 称以a 为底N的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数. 1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ，2）以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log 记作N ln ②基本性质：1）真数N 为正数（负数和零无对数）， 2）01log =a ， 3）1log =a a ， 4）对数恒等式：N aNa =log③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M NMa a alog log log -=； 3）∈=n M n M a n a (log log R ）. ④换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=N m m a a aNN m m a1）1log log =⋅a b b a ， 2）.log log b mnb a na m = （二）学习要点：1．b N N a a N a bn ===log ,,（其中1,0,0≠>>a a N ）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底.2．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验.【例1】解答下述问题：（1）计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---[解析]原式=41322132)10000625(]102450)81000()949()278[(÷⨯÷+-922)2917(21]1024251253794[=⨯+-=÷⨯⨯+-=（2）计算1.0lg 21036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 23--+⋅.[解析]分子=3)2lg 5(lg 2lg 35lg 3)2(lg 3)2lg 33(5lg 2=++=++；分母=41006lg 26lg 101100036lg)26(lg =-+=⨯-+； ∴原式=43. （3）化简：.)2(2485332332323323134aa a a ab aaab b b a a ⋅⋅⨯-÷++--[解析]原式=51312121323131231313123133133131)()(2)2()2()(])2()[(a a a a ab a b b a a b a a ⋅⋅⨯-÷+⋅+- 23231616531313131312)2(a a a a aa ba ab a a =⨯⨯=⨯-⨯-=.（4）已知：36log ,518,9log 3018求==ba 值. [解析],5log ,51818b b=∴=ab a b -+-=-+-+=++=∴22)2(2)3log 18(log )9log 18(log 16log 5log 2log 18log 36log 181818181818181830.[评析]这是一组很基本的指数、对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧.【例2】解答下述问题：（1）已知1log 2log log ≠=+x x x x b c a 且， 求证：b a ac c log 2)(= [解析]0log ,1,log log 2log log log ≠∴≠=+x x bxc x x a a a a a a ，2log log )1(log log 2log 2log 11c b c c bc a a a a a a ⇒+=⇒=+∴=b b a a a a a ac c ac b ac log 2log )()(log log )(log =⇒=⋅（2）若0lg lg )][lg(lg lg lg lg lg lg 2=-++++yx y x y y x x y x ，求)(log 2xy 的值.[解析]去分母得0)][lg()lg (lg 22=-++y x y x⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=-=+∴110)lg(0lg lg y x xy y x y x ， x ∴、y -是二次方程012=--t t 的两实根，且y x y x y x >≠≠>>,1,1,0,0，解得251±=t ， 0)(log ,215,215,02=+∴-=+=∴>y x y x x [评析]例2是更综合一些的指数、对数运算问题，这种问题更接近考试题的形式，应多从这种练习中积累经验. 二、指数函数与对数函数（一）学习要点： 1．指数函数：①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x且称指数函数，1）函数的定义域为R ， 2）函数的值域为),0(+∞， 3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数.②函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限，2）指数函数都以x 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向左无限接近x 轴，当1>a 时，图象向右无限接近x 轴），3）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x x a y a y -==与的图象关于y 轴对称.③函数值的变化特征：2．对数函数：①定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数， 1）函数的定义域为),0(+∞， 2）函数的值域为R ， 3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数，4）对数函数x y a log =与指数函数)1,0(≠>=a a a y x且互为反函数.②1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限，2）对数函数都以y 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向上无限接近y 轴；当1>a 时，图象向下无限接近y 轴）.4）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x y x ya 1log log ==与的图象关于x 轴对称.③函数值的变化特征：（二）学习要点：1．解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识.2．指数、对数函数值的变化特点（上面知识结构表中的12个小点）是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析.3．含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类.4．在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力.【例1】已知11log )(--=x mxx f a 是奇函数 （其中)1,0≠>a a ， （1）求m 的值；（2）讨论)(x f 的单调性； （3）求)(x f 的反函数)(1x f-；（4）当)(x f 定义域区间为)2,1(-a 时，)(x f 的值域为),1(+∞，求a 的值.[解析]（1）011log 11log 11log )()(222=--=--+--+=+-xx m x mx x mx x f x f a a a 对定义域内的任意x 恒成立，10)1(11122222±=⇒=-⇒=--∴m x m xx m ， 当)1(0)(1≠==x x f m 时不是奇函数，1-=∴m ， （2）∴-+=,11log )(x x x f a 定义域为),1()1,(+∞--∞ ， 求导得e x x f a log 12)(2--='， ①当1>a 时，)(,0)(x f x f ∴<'在),1()1,(+∞--∞与上都是减函数； ②当10<<a 时，),1()1,()(,0)(+∞--∞∴>'与在x f x f 上都是增函数； （另解）设11)(-+=x x x g ，任取111221>>-<<x x x x 或， 0)1)(1()(21111)()(2112112212<----=-+--+=-∴x x x x x x x x x g x g ， )()(12x g x g <∴，结论同上；（3）111)1(1111log -+=⇒+=-⇒-+=⇒-+=y y yy y a a a x a x a x x a x x y ， )10,0(11)(,0,011≠>≠-+=∴≠∴≠--a a x a a x f y a x x y且（4）)2,1()(,3,21->∴-<<a x f a a x 在 上为减函数，∴命题等价于1)2(=-a f ，即014131log 2=+-⇒=--a a a a a， 解得32+=a .[评析]例1的各个小题概括了指数、对数函数的各种常见的基本问题，熟练掌握这些基本问题的解答程序及方法是很重要的能力训练，要认真总结经验.【例2】对于函数)32(log )(221+-=ax x x f ，解答下述问题：（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围； （3）若函数在),1[+∞-内有意义，求实数a 的取值范围； （4）若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞ ，求实数a 的值； （5）若函数的值域为]1,(--∞，求实数a 的值； （6）若函数在]1,(-∞内为增函数，求实数a 的取值范围. [解答]记2223)(32)(a a x ax x x g u -+-=+-==，（1）R x u ∈>对0 恒成立，33032min <<-⇒>-=∴a a u ，a ∴ 的取值范围是)3,3(-；（2）这是一个较难理解的问题。

幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案一、教学目标：1. 理解幂函数、指数函数和对数函数的概念及其性质。

2. 掌握对数的定义及其运算法则。

3. 能够运用幂函数、指数函数和对数函数解决实际问题。

二、教学内容：1. 幂函数：定义、性质及应用。

2. 指数函数：定义、性质及应用。

3. 对数函数：定义、性质及应用。

4. 对数的运算法则：乘法法则、除法法则、幂法则、对数换底公式。

三、教学重点与难点：1. 重点：幂函数、指数函数和对数函数的概念及其性质，对数的运算法则。

2. 难点：对数函数的应用，对数的运算法则的推导和应用。

四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解幂函数、指数函数、对数函数的定义、性质和对数运算法则。

2. 利用例题和练习题，让学生通过自主学习和合作交流，巩固所学知识。

3. 运用信息技术辅助教学，展示函数图像，增强学生对函数性质的理解。

五、教学过程：1. 导入：通过复习幂函数、指数函数的概念和性质，引出对数函数的概念。

2. 新课讲解：讲解对数函数的定义、性质和对数运算法则，结合实例进行解释。

3. 例题讲解：分析并解决有关对数函数的例题，让学生掌握对数函数的解题方法。

4. 练习与讨论：学生自主完成练习题，合作交流解题心得，教师进行点评和指导。

6. 课后作业：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。

六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对幂函数、指数函数、对数函数概念及其性质的掌握情况。

2. 练习题完成情况：检查学生对对数函数及其运算法则的应用能力。

3. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的巩固程度。

七、教学反思：2. 针对学生的薄弱环节，调整教学策略，提高教学效果。

3. 探索更多有效的教学方法，激发学生的学习兴趣。

八、拓展与延伸：1. 引导学生思考实际生活中的幂函数、指数函数和对数函数现象，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力。

2. 介绍对数函数在其他学科领域的应用，如物理学、生物学等，拓宽学生的知识视野。

指数与对数运算1.根式的性质（1）当n 为奇数时，有a a n n = （2）当n 为偶数时，有⎩⎨⎧<-≥==)0(,)0(,a a a a a a n n（3）负数没有偶次方根 （4）零的任何正次方根都是零 2.幂的有关概念(1)正整数指数幂：)(.............*∈⋅⋅=N n a a a a a nn(2)零指数幂)0(10≠=a a (3)负整数指数幂 ).0(1*∈≠=-N p a aa p p (4)正分数指数幂 )1,,,0(>*∈>=n N n m a a a n m nm 且 (5)负分数指数幂 nm nmaa1=-)1,,,0(>*∈>n N n m a 且(6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义 3.有理指数幂的运算性质(1)),,0(,Q s r a a a a s r s r ∈>=⋅+ (2)),,0(,)(Q s r a a a rs s r ∈>= (3)),0,0(,)(Q r b a a a ab s r r ∈>>⋅= 4.对数运算性质：如果0,1,0,0,a a N M >≠>>则1）()log log log a a a MN M N =+； 2）)(log log R n M n M a n a∈⋅=；3）log log log a a a M M N N ⎛⎫=- ⎪⎝⎭。

4）对数换底公式：常用对数换底公式：lg log (0,1,0)lg a NN a a N a =>≠>一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1、的值是（）A、B、1 C、D、22、设a，b，c都是正数，且3a=4b=6c，那么（）A、=+B、=+C、=+D、=+3、若a＞1，b＞1，p=，则a p等于（）A、1B、bC、log b aD、a log b a4、设x=+，则x属于区间（）A、（﹣2，﹣1）B、（1，2）C、（﹣3，﹣2）D、（2，3）5、若32x+9=10•3x，那么x2+1的值为（）A、1B、2C、5D、1或56、已知2lg（x﹣2y）=lgx+lgy，则的值为（）A、1B、4C、D、或47、方程log2（x+4）=2x的根的情况是（）A、仅有一根B、有两个正根C、有一正根和一个负根D、有两个负根8、如果方程lg2x+（lg7+lg5）lgx+lg7•lg5=0的两根为α、β，则α•β的值是（）A、lg7•lg5B、lg35C、35D、二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）9、（2n+1）2•2﹣2n﹣1÷4n=_________；=_________；=_________．10、（3+2）=_________；log89•log2732=_______；（lg5）2+lg2•lg50=_________．11、若f（x）=4x，则f﹣1（4x）=_______，若f（x）=，且f（lga）=，则a=_______．12、方程（4x +4﹣x ）﹣2（2x +2﹣x ）+2=0的解集是 _________． 13、方程x lgx =10的所有实数根之积是 _________ ．14、不查表，求值：lg5﹣lg +lg2﹣3log 32﹣1= _________ ．15、不查表求值：+﹣102+lg2= _________ ．三、解答题（共7小题，满分0分）16、若13a a -+=，求1122a a -- 及 442248a a a a --+-+-的值；17、（1）已知log 310=a ，log 625=b ，试用a ，b 表示log 445．（2）已知log 627=a ，试用a 表示log 1816．18、化简：+﹣．19、若α、β是方程lg 2x ﹣lgx 2﹣2=0的两根，求log αβ+log βα的值．20、解下列方程（1）log x+2（4x+5）﹣log 4x+5（x 2+4x+4）﹣1=0； （2）32x+5=5•3x+2+2；21、解关于x 的方程．（1）log （x+a ）2x=2．（2）log 4（3﹣x ）+log 0.25（3+x ）=log 4（1﹣x ）+log 0.25（2x+1）； （3）+=6； （4） lg （ax ﹣1）﹣lg （x ﹣3）=1．22、若方程log 2（x+3）﹣log 4x 2=a 的根在（3，4）内，求a 的取值范围．23、已知a ＞0，a≠1，试求使方程有解的k 的取值范围．答案与评分标准一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1、的值是（）A、B、1C、D、2考点：对数的运算性质。

指数与对数的运算【课标要求】(1)通过具体实例(如细胞的分裂，考古中所用的 14C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等)，了解指数函数模型的实际背景；(2 )理解有理指数幕的含义，通过具体实例了解实数指数幕的意义，掌握幕的运算。

(3)理解对数的概念及其运算性质， 知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；【命题走向】指数与对数的性质和运算，在历年的高考中一般不单独命题。

大多以指数函数、对数函数等基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。

为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算 理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。

【要点精讲】1、整数指数幕的概念。

(1)概念：a n a a a a(n N*)a 01(a 0)1a nn (a 0,n N*)an 个amn a ama i n(m, n Z) (2)运算性质：(a m )n mna (m, n Z)两点解释：①a m a n可看作ma a(ab)nna b n (n Z)•m n m…a a = a nm a =an② (a )n 可看作a n b n••• (-)n =a n b nnabbb n2、根式：(1 )定义：若x na(n 1, n N ) 则x 叫做a 的n 次方根。

mm定义,a 下是玄“的门次方根，即：a 7 n -a m(2)同样规定: 1 / cm (a 0, m,n a^N *且n 1) ； 0的正分数指数幕等于 0, 0的负分数指数幕没有意义。

(2 )求法：当n 为奇数时：正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数记作：x n a当n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个(互为相反数) 负数没有偶次方根0 的任何次方根为 0名称：n a 叫做根式n 叫做根指数a 叫做被开方数(3)公式：(叮a)n a ；当n 为奇数时 va na ；当n 为偶数时va naa(a 0) a(a 0)3、分数指数幕 (1)有关规定:事实上，(a k )na kn 若设 a >0, k m (n 1,nN*) ，(a k )n na m 由n 次根式r s r s / a a a (a 0 , r , s Q ) (a ) a ( a 0 , r , s Q )(ab ) ra rb r(a 0 , b 0 , rQ )(注)上述性质对 r 、s R 均适用。

教学备课如何引导学生掌握指数与对数的性质与运算指数与对数是数学中重要的概念，掌握它们的性质和运算方法对于学生建立数学思维，提高解决问题的能力至关重要。

本文将分享一些教学备课的方法，以便引导学生有效地掌握指数与对数的性质与运算。

一、整体规划备课内容在教学备课过程中，要明确教学目标，即学生应该掌握的知识及能力。

对于指数与对数的性质与运算，我们可以设置以下目标：1. 理解指数与对数的概念：学生应该清楚明了指数与对数的定义和基本概念。

2. 掌握指数与对数的性质：学生需要了解指数与对数的基本性质，比如指数与对数的运算法则和指数函数与对数函数的图像特征等。

3. 运用指数与对数进行计算：学生需要熟练掌握指数与对数的运算方法，包括指数与对数的运算法则、化简指数表达式等。

二、寻找合适的教学资源为了引导学生掌握指数与对数的性质与运算，我们需要寻找合适的教学资源，例如教科书、参考书以及相关的练习题。

在选择教材时，要确保其内容与教学目标相符，并且包含足够的练习题以帮助学生巩固所学知识。

此外，还可以利用互联网资源，如在线教学平台、教育视频以及在线练习题等。

这些资源能提供丰富的教学内容，帮助学生更好地理解与掌握指数与对数的性质与运算。

三、设置合理的教学策略在备课过程中，我们需要设计合理的教学策略以引导学生掌握指数与对数的性质与运算。

以下是一些建议的教学策略：1. 引导式教学：通过提出问题、引导讨论的方式，激发学生的学习兴趣，培养他们的自主学习能力。

例如可以提出一些实际问题，让学生通过运用指数与对数的知识解决。

2. 实例演示教学：通过实例演示的方式，帮助学生理解指数与对数的性质与运算。

以简单的例子开始，逐步引入更复杂的问题，培养学生的解决问题的能力。

3. 反思与总结：在教学过程中，及时与学生进行互动，帮助他们反思与总结所学内容。

通过提问、讨论等方式，促使学生思考并总结归纳指数与对数的性质与运算规则。

四、设计多样化的教学活动为了加强学生对指数与对数的掌握，备课时可以设计多样化的教学活动。

幂函数、指数函数和对数函数及其运算法则教案章节一：幂函数的概念与性质1. 引入幂函数的定义：一般形式为f(x) = x^a，其中a为常数，x 为自变量。

2. 讲解幂函数的性质：a) 当a为正整数时，函数在定义域内单调递增；b) 当a为负整数时，函数在定义域内单调递减；c) 当a为分数时，函数的单调性取决于分子和分母的大小关系；d) 当a为实数时，函数的定义域为全体实数。

章节二：指数函数的概念与性质1. 引入指数函数的定义：一般形式为f(x) = a^x，其中a为底数，x 为指数。

2. 讲解指数函数的性质：a) 当a > 1时，函数在定义域内单调递增；b) 当0 < a < 1时，函数在定义域内单调递减；c) 当a = 1时，函数为常值函数；d) 当a = 0时，函数无定义。

章节三：对数函数的概念与性质1. 引入对数函数的定义：一般形式为f(x) = log_a(x)，其中a为底数，x为真数。

2. 讲解对数函数的性质：a) 当a > 1时，函数在定义域内单调递增；b) 当0 < a < 1时，函数在定义域内单调递减；c) 当a = 1时，函数无定义；d) 当a = e（自然底数）时，函数为自然对数函数，其在定义域内单调递增。

章节四：对数运算法则1. 讲解对数的换底公式：log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)，其中a、b、c为任意正数，且a、c不为1。

2. 讲解对数的乘法法则：log_a(mn) = log_a(m) + log_a(n)。

3. 讲解对数的除法法则：log_a(m/n) = log_a(m) log_a(n)。

4. 讲解对数的幂法法则：log_a(m^n) = n log_a(m)。

章节五：指数函数与对数函数的关系1. 讲解指数函数与对数函数的反函数关系：如果y = f(x) = a^x，x = log_a(y)，即指数函数与对数函数互为反函数。

认识指数和对数大班数学教案一、教学目标1. 理解指数的概念，并能够在实际问题中灵活运用。

2. 掌握对数的定义及其性质，并能够运用对数求解相关问题。

3. 培养学生正确的数学思维方式，提高解决问题的能力。

二、教学重点1. 理解指数的概念及其性质。

2. 熟练运用指数运算。

3. 理解对数的概念及其性质。

4. 能够运用对数求解相关问题。

三、教学内容及教学方法1. 指数的概念与性质指数的定义：指数是数学中表示乘方运算的方法，通常用一个小的数字写在一个大的数字的右上角。

教学方法：通过实际生活中的例子引入指数的概念，如计算器的科学计数法表示等。

让学生能够理解指数的含义和作用。

指数的性质：包括乘方的基本性质、指数幂的乘法法则和指数幂的除法法则。

教学方法：通过具体的例子和练习题，让学生体会指数运算的规律和性质。

2. 对数的概念与性质对数的定义：对数是指反映指数运算的逆运算关系，是求解幂运算的方法。

教学方法：通过与指数的关联性介绍对数的定义，引导学生理解对数与指数之间的对应关系。

对数的性质：包括对数的基本性质、对数运算法则等。

教学方法：通过具体的例子和练习题，让学生熟练运用对数运算的法则。

3. 应用实例指数和对数在实际问题中的应用，如科学计数法、声音的强度、地震的震级等。

教学方法：通过真实的例子和实践操作，引导学生将指数和对数运用于实际问题解决中，培养学生的实际应用能力。

四、教学步骤1. 导入与概念引入通过生活中的例子引入指数和对数的概念，并与学生互动交流，激发学生的兴趣和思考。

2. 教师示范与学生跟随教师通过具体的运算步骤演示指数和对数的运算，并解释相关的性质和法则，引导学生跟随操作。

3. 学生独立解决问题提供一些简单的练习题和应用题，让学生独立解决问题，培养学生的解决问题的能力。

4. 学生展示和分享学生展示解决问题的方法和答案，并进行讨论和分享，促进相互学习和交流。

五、教学资源准备1. 教学课件：包括指数和对数的定义、性质及应用实例的介绍。

指数与对数的运算【课标要求】（1)通过具体实例(如细胞的分裂，考古中所用的14C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等）,了解指数函数模型的实际背景；（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

(3）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；【命题走向】指数与对数的性质和运算，在历年的高考中一般不单独命题。

大多以指数函数、对数函数等基本函数的性质为依托,结合运算推理,能运用它们的性质解决具体问题。

为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理.【要点精讲】1、整数指数幂的概念.(1）概念：*)(N n a a a a a n∈⋅⋅= )0(10≠=a a *),0(1N n a aa n n∈≠=- n 个a(2)运算性质： )()(),()(),(Z n b a ab Z n m a a Z n m a a a n n n mn n m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+ 两点解释：① nma a ÷可看作nmaa -⋅∴n m a a ÷=nm a a -⋅=nm a- ② n b a )(可看作nn b a -⋅ ∴n ba )(=n nb a -⋅=n n b a2、根式：（1）定义：若),1(+∈>=N n n a x n则x 叫做a 的n 次方根。

（2）求法：当n 为奇数时：正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数 记作：na x =当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个(互为相反数) 记作： n a x ±= 负数没有偶次方根 0的任何次方根为0名称：n a 叫做根式 n 叫做根指数 a 叫做被开方数（3）公式： a a n n =)( ；当n 为奇数时 a a n n =； 当n 为偶数时 ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(a a a a a a n n3、分数指数幂（1）有关规定： 事实上,knnka a =)( 若设a 〉0,*),1(N n n nm k ∈>= ，mn n mn k a a a ==)()(由n 次根式定义， n a a mnm 的是次方根，即：n m nm a a=（2）同样规定：)1*,,0(1>∈>=-n N n m a aa nm nm 且；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.（3）指数幂的性质：整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂.),0,0()(),,0()(),,0(Q r b a b a ab Q s r a a a Q s r a a a a r r r rs s r s r s r ∈>>=∈>=∈>=+(注）上述性质对r 、∈s R 均适用。

指数、对数及其运算知识点：1根式的概念一般地，如果X n =a ，那么x 叫做a 的n 次方根。

a 的n 次方根用符号n ,a 表示•式子n . a 叫做根式 (radical )，这里 n 叫做根指数(radical exponent )， a 叫做被开方数(radicand ).负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0。

2.分数指数幕规定：⑴零指数幕a 0 =1 (a =0)1⑵ 负整数指数幕a 』a = 0,n ・N”am⑶正分数指数幕a n =百7 8(a A 0, m,n ^ N ： n )；1 1 m 「- a 0,m,n N ,n 1 a 7上 (5)0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没有意义 3.有理指 数幕的运算性质(1) r r r 七 a ・ a = a (a >0,r,s wQ) (2) (a ) =a(a >0 ,r,s^ Q) 7(3) (ab) =a a (a >0,b> 0, r w =Q) . (4) (a)" = a(5) 当n 是奇数时， n ： r va =a 当n 是偶数时， n •' n Va =| a |= * a (a 工 0) —a (a < 0)4.无理指数幕般地，无理数指数幕a 〉(a .0,〉是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幕的运算性质同样适用于无 理数指数幕.5. 对数的概念一般地，如果a x = N (a >0, a 鼻1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数(Logarithm )，记作：x = log a N a —底数，N —真数，log a N — 对数式两个重要对数：® 常用对数(common logarithm ):以10为底的对数lg N ；② 自然对数(natural logarithm ):以无理数e =2.71828…为底的对数的对数ln N .6. 对数式与指数式的互化log a N = x a x = N对数式指数式 对数底数・ af 幕底数 对数 ・ x -指数 真数 - N f 幕7 对数的性质(1) 负数和零没有对数；(2) 1的对数是零：log a 1 =0 ；(3) 底数的对数是1： log a a =1 ；(4) 对数恒等式：a loga N 二 N,log a a b 二 b ；(5) log a a n = n .8 对数的运算性质(4)负分数指数幕 ma _n如果a .0,且a" , M 0 , N 0，那么：① log a (M • N) = log a M + log a N ；② log a M= log a M - log a N ; N@ log a M n =n log a M (n R).9. 换底公式log c b口 口log a b - ( a 0,且 a=1 ; c 0,且 c = 1; b 0). log c a利用换底公式可推导下面的结论(1)对数的降幕公式：log a m b n =丄log a b ； m“六法”比较指数幕大小对于指数幕的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幕的底数或指数不相同，不能 直接利用函数的单调性进行比较•这就必须掌握一些特殊方法.1.转化法-1 2例1 比较(3 2.2)三与0 2 -1)3的大小.解：••• 3 2、、2 =( .2 1)2 =(、2 -1)2，1 1二(3 2、2)三=[( & 一1十]方二.2-1.又••• 0 < .2 -1 <1，• ••函数y =(...2-1)X 在定义域R 上是减函数.2 1 2•- .2 -1 ：C ：2 -1)3，即(3 2 .2)三 < (■. 2 一1)1评注：在进行指数幕的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性 进行判断.2 .图象法例2 比较0.7a 与0.8a 的大小.解：设函数y =0.7x 与y =0.8x ，则这两个函数的图象关系如图.当 X 二a ，且 a 0 时，0.8a 0.7a ；当 x 二a ，且 a ：： 0 时，0.8a ：： 0.7a ；当 x = a =0 时，0.8a =0.7a . 评注：对于不同底而同指数的指数幕的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确.3. 媒介法log a blog b a1i a又••• a b 0 ,•••1, a -b 0.b 评注：当底数与指数都不同，中间量又不好找时，可采用作商比较法，即对两值作商，根据其值与 从而确定所比值的大小•当然一般情况下，这两个值最好都是正数.5. 作差法例5设m ・n -0 , a ・0 ,且a = 1，试比较a m ■ a 与a n ■ a 的大小.m _m n _n m _mn _n mn .m . n (a a ) -(a a ) =a a -a -a (a -a ) (a -a )n / m -n m m -n m -n n -m 、二 a (a -1) a (1「a ) = (a -1)(a 「a ).(1)当 a 1 时，T m 「n 0 ,• a mjn -1 0 .又••• a n 1 , a"叮，从而 a n -a 』0 .•- (a m " -1)(a n -a 』)0. • a m a 』■ a n ■ a（2） 当 0 a 1 时，••• a m 「：： 1，即 a m * -1 ：： 0 .又T m n 0, • a n ：1, a® 1，故 a n -a m :: 0 .• （a m * -1）（a n -a 知）0. • a m a^ ■ a n al综上所述，a m a^ a n a".评注：作差比较法是比较两个数值大小的最常用的方法，即对两值作差，看其值是正还是负，从而确定所比值的 大小.6. 分类讨论法比较4.1飞, 35.64, V 窃大小.3 解：5.64 5.60 =1 =4.1° -4.11(1祁 --I I 3丿 31 二 5.64 4.1^' ■评注：当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以从而可间接地比较出要比较的数的大小. 4. 作商法0”或“1”为媒介），分另U 与要比较的数比较,例4 比较a a b b 与a b b a ( a b 0 )的大小.解:a b 1，即 时1 - a b b. a a b a b .1的大小关系, 解: a. ba b b a a b分析：解答此题既要讨论幕指数2x2 1与x2 2的大小关系，又要讨论底数a与1的大小关系.例6比较a2八与a" 2（a 0，且a = 1 ）的大小.解：(1)令2x2 1 . x22，得x 1，或x ：：：-1 .①当a 1时，由2x2 1 . x2 2 ,2 2从而有a2x 1 .a x 2；2 2②当0 : a ：1 时，a2x 1：：：a x 2.2 2(2)令2x2^x22，得x =「1 , a2x 1=a x 2.(3)令2x2 x22，得-1 ：. x ：：1 .①当a 1时，由2x2x2 2 ,从而有a2x +<a x^2；2 2②当0 :: a ：1 时，a2x 1a x 2.评注：分类讨论是一种重要的数学方法，运用分类讨论法时，首先要确定分类的标准，涉及到指数函数问题时, 通常将底数与1的大小关系作为分类标准.。