指数式和对数式比较大小

第20讲 指对数比较大小8种常考题型总结【知识点梳理】指数和对数的比大小问题成为了高考和模拟题的一些拉档题，这里我们重点介绍几种比大小方法，让大家充分了解掌握一些指数对数大小比较的常用方法．（1）利用指数对数单调性比较大小；当底数一样或者可以化成一样，直接利用单调性比较即可 （2）利用指数对数函数图象关系比较大小（2）比较与0,1的大小关系，此类题目一般会放在单选第5题左右位置，比如12.02.0003.0=<<，12.0log 3.0log 1log 02.02.02.0=<<=（3）取中间值，比如遇到两个数都在0到1之间，我们可以比较它们与21的大小等 （4）去常数再比大小当底数和真数出现了倍数关系时候，需要将对数进行分离常数再比较．例如：log log 1log log n a a a a ma m ma m n =+=+；．（5）当真数一样我们考虑用换底公式，换为底数一样，再比较分母，如2ln =a 和2log 3=b ，e a 2log 12ln ==，3log 12log 23==b ，因为e 22log 3log >，所以b a > （6）乘倍数比较数的范围比较大小，比如3log 2=a 和4log 3=b ，则()5,427log 3log 3322∈==a ，()4,364log 4log 3333∈==b ，所以b a 33>，所以b a >（7）构造函数，利用函数的单调性比价大小 【题型目录】题型一：直接利用单调性比较大小 题型二：比较与1,0的大小关系 题型三：取中间值比较大小 题型四：利用换底公式比较大小 题型五：分离常数再比较大小 题型六：利用均值不等式比较大小题型七：乘倍数比较数的范围比较大小 题型八：构造函数比大小 【典型例题】题型一：直接利用单调性比较大小【例1】（2022·湖南邵阳·高一期末）已知222log 0.6,log 0.8,log 1.2a b c ===，则（ ） A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a b c >>【答案】A【分析】由对数函数得单调性即可得出结果. 【详解】∵2log y x =在定义域上单调递增， ∵222log 0.6log 0.8log 1.2<<，即c b a >>. 故选：A.【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知2log 3a =，4log 6b =，8log 9c =，则a 、b 、c 的大小顺序为（ ） A ．a b c << B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】C【分析】先利用对数运算法则进行化简，再用函数单调性比较大小.【详解】42log 6log 6b ==，又382log 9log 9c ==，因为3369>>，2log y x =单调递增，所以c b a <<. 故选：C 【题型专练】1.（2022·广东珠海·高一期末）下列选项正确的是（ ） A ．22log 5.3log 4.7< B ．0.20.2log 7log 9<C ．3πlog πlog 3>D ．log 3.1log 5.2(0a a a <>且1)a ≠【答案】C【分析】利用对数函数的单调性逐项判断可得答案.【详解】对于A ，因为2=log y x 是单调递增函数，所以22log 5.3log 4.7>，故A 错误； 对于B ，因为0.2=log y x 是单调递减函数，所以0.20.2log 7log 9>，故B 错误； 对于C ，因为33ππ3=1,1log πlog log 3log π><=，所以3πlog πlog 3>，故C 正确； 对于D ，当01a <<时，=log a y x 是单调递减函数，当1a >时，=log a y x 是单调递增函数， 所以当01a <<时，log 3.1log 5.2>a a ，当1a >时，log 3.1log 5.2<a a ，故D 错误. 故选：C.2．（2022·全国·高一单元测试）已知2log 3a =，ln 2b =，2log πc =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>【答案】B【分析】根据对数函数的单调性并借助1比较即可求解.【详解】解：因为()2log f x x =为单调递增函数，所以22log πlog 31>>. 因为ln 21<，所以c a b >>． 故选:B ．3.（2022·江西·上高二中模拟预测（文））已知1ln 3a=，33log 5log 2b =-，3c =a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．c b a >>【答案】C【分析】根据对数的运算及对数函数的性质计算可得；【详解】解：2ln 3ln 3c ==，21ln e ln 3ln e 2=<<=，即12c <<， 又1ln 3a =，所以31ln elog e ln 3ln 3a ===，所以112a <<， 3335log 5log 2log 2b =-=，33315log 3log log 3122=<<=，即112b <<， 又5e 2>，所以335log e log 2>，即a b >， 综上可得c a b >>； 故选：C4.（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高一期末）已知0.919x =，2log 0.1y =，2log 0.2z =，则（ ） A ．x y z >> B ．x z y >>C ．z x y >>D ．z y x >>【答案】B【分析】利用指数函数和对数函数的性质比较大小即可 【详解】因为9x y =在R 上为增函数，且0.910>， 所以0.910991>=，即1x >，因为2log y x =在(0,)+∞上为增函数，且0.10.21<<， 所以222log 0.1log 0.2log 10<<=，即0y z <<， 所以x z y >> 故选：B.题型二：比较与1,0的大小关系【例1】（2022·甘肃酒泉·高二期末（理））若1223a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1ln 2b =，0.20.6c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a >> B ．c a b >> C ．b a c >> D ．a c b >>【答案】B【分析】分别根据23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭、ln y x =、0.6x y =的单调性，比较a ，b ，c 与0、1的大小，即可比较【详解】23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),-∞+∞上是减函数，12220133a ⎛⎫⎛⎫<== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭< ； ln y x =在()0,+∞上是增函数，1lnln102b =<=； 0.6x y =在(),-∞+∞上是减函数，0.200.60.61c -=>=，故c a b >>， 故选：B【例2】（2022·全国·高一课时练习）已知0.3123log 2,log 3,2a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】D【分析】利用函数的单调性判断出0a <，1b >，01c <<，即可得到正确答案. 【详解】因为13log y x=为减函数，所以1133log 2log 10a =<=，即0a <；因为2log y x =为增函数，所以22log 321log b =>=，即1b >； 因为2x y =为增函数，所以0.300221c -<=<=，即01c <<； 所以b c a >>. 故选：D【例3】（2022·天津·高考真题）已知0.72a =，0.713b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 3c =，则（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>【答案】C【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】因为0.70.7221120log 1log 33⎛⎫>>=> ⎪⎝⎭，故a b c >>.故答案为：C. 【题型专练】1.（2022·黑龙江·鸡东县第二中学二模）若0.110a =，lg0.8b =，5log 3.5c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．a c b >>【答案】D【分析】根据指数函数以及对数函数的性质，判断a,b,c 的范围，即可比较大小，可得答案. 【详解】由函数10x y =为增函数可知0.1110a =>，由lg y x =为增函数可得lg0.80b =<，由由5log y x =为增函数可得50log 3.51c <=<，0.15101log 3.50lg0.8a c b ∴=>>=>>=，a cb ∴>>，故选:D2.（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知5lg 0.2,log 6,ln 2a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．a c b << D ．c b a <<【答案】C【分析】利用0,1分段法求得正确答案.【详解】55lg 0.20,log 6log 51,0ln 2ln e 1a b c =<=>=<=<=， 所以a c b <<. 故选：C3.（2022·陕西汉中·高一期末）已知0.60.622e log 0.6a b c -===，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】C【分析】根据指数函数和对数函数的性质判断0.60.622e log 0.6a b c -===，，的范围，即可判断大小，即得答案.【详解】由于0.60.602022e e >2log 0.6lo <0<g 1a b c -====<=1,0=1，，故a b c >>， 故选：C题型三：取中间值比较大小【例1】（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（文））已知32log 3a =，2log 3b =，139c =，则（ ） A ．c a b >> B ．b a c >> C ．b c a >> D ．c b a >>【答案】D【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】因为332log log 103a =<=，2221log 2log 3log 42b =<=<=，1133982c =>=， 因此，c b a >>. 故选：D.【例2】（2021·全国·高考真题）已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是（ ） A ．c b a << B ．b a c << C ．a c b << D ．a b c <<【答案】C【分析】对数函数的单调性可比较a 、b 与c 的大小关系，由此可得出结论. 【详解】55881log 2log 5log 22log 32a b =<==<=，即a c b <<. 故选：C.【例3】（2022·山东滨州·高二期末）已知6log 2a =，0.5log 0.2b =，0.30.6c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<【答案】A【分析】根据指数函数、对数函数的性质计算可得.【详解】解：110.5222log 0.2log 5log 5log 42--==>=，即2b >，66610log 1log 2log 62=<<=，即102a <<，00.30.31110.60.60.50.52=>>>=，即112c <<，所以b c a >>； 故选：A 【题型专练】1．（2022·河南濮阳·高一期末（文））已知3log 4a =，4log 5b =，32c =，则有（ ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．a c b >> D ．c a b >>【答案】D【分析】根据对数函数的单调性，借助中间值比较大小即可. 【详解】依题意，23043<<，3243∴< ，3log y x =是单调递增，32333log 4log 32∴<=，a c ∴<，23054<<，3254∴<，4log y x =是单调递增，32443log 5log 42∴<=，b c ∴<， 45430>>，5443∴> ，3log y x =是单调递增，54335log 4log 34∴>=，54a ∴>，45054<<，5454∴<，4log y x =是单调递增，54445log 5log 44∴<=，54b ∴<，综上所述，c a b >>. 故选：D.高二期末（理））设0.632log 8c =A ．b a c << B ．c b a << C ．a c b << D ．b c a <<【答案】D【分析】利用幂函数和对数函数的性质比较即可【详解】因为533223log 8log 20.60.615c ====<， 所以c a <，因为0.6y x =在(0,)+∞上为增函数，且910<， 所以0.60.6910<，因为lg y x =在(0,)+∞上为增函数， 所以0.60.6lg9lg100.6<=，所以b c <， 综上b c a <<，故选：D3．（2022·重庆九龙坡·高二期末）已知52log 4a =，31log 72b =，4log 52c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．a b c <<【答案】B【分析】根据对数得运算性质结合对数函数的性质，利用中间量法即可得出答案. 【详解】解：由552log 4log 16a ==，则12a <<， 3331log 7log 7log 912b ==<=， 42log 5log 52252c ===>，所以b a c <<. 故选：B.题型四：利用换底公式比较大小【例1】（2021·全国·高一期末）设x ，y ，z 为正数，且345x y z ==，则（ ） A ．x y z << B ．y x z << C ．y z x << D ．z y x <<【答案】D【分析】令3451x y z k ===>，用k 表示出x ，y ，z ，再借助对数函数的性质即可比较作答. 【详解】因x ，y ，z 为正数，令345x y z k ===，则1k >， 因此有：31log log 3k x k ==，41log log 4k y k ==，51log log 5k z k ==， 又函数()log k f t t =在(0,)+∞上单调递增，而1345<<<，则0log 3log 4log 5k k k <<<， 于是得111log 3log 4log 5k k k >>， 所以z y x <<. 故选：D【例2】（2022·全国·高三专题练习）设a =log 32，b =ln2，c 125=，则a ､b ､c 三个数的大小关系是（ ） A ．a >b >c B ．b >a >cC ．c >a >bD ．c >b >a【答案】D【分析】根据对数函数与指数函数性质，结合中间值0、1比较可得． 【详解】∵0<ln2<lne=1，ln3>1，∵log 32ln 2ln 3=<ln2， ∵a <b <1， ∵c 125=>50=1， ∵c >b >a ， 故选：D .【例3】（2022·全国·高三专题练习）设a =log 32，b =ln2，c 125=，则a ､b ､c 三个数的大小关系是（ ） A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．c >b >a【答案】D【分析】根据对数函数与指数函数性质，结合中间值0、1比较可得． 【详解】∵0<ln2<lne=1，ln3>1， ∵log 32ln 2ln 3=<ln2， ∵a <b <1， ∵c 125=>50=1， ∵c >b >a ， 故选：D . 【题型专练】1.（2022河南·高三开学考试（文））设0.1log 4a =，50log 4b =，则（ ） A ．()22ab a b ab <+< B ．24ab a b ab <+< C ．2ab a b ab <+< D ．2ab a b ab <+<【答案】D【分析】由对数函数性质得0,0a b <>，从而0ab <，由对数换底公式和对数运算法则计算得1112a b<+<，再由不等式性质可得结论．【详解】因为0.1log 4a =，50log 4b =，所以0,0a b <>，所以0ab <， ()44411log 0.1log 50log 51,2a b +=+=∈，即1112a b<+<，所以2ab a b ab <+<. 故选：D ．2.（2022·重庆八中高三阶段练习）设2log a π=，6log b π=，则（ ）A ．0a b ab -<<B ．0ab a b <<-C ．0ab a b <<-D ．0a b ab <-<【答案】D【分析】根据对数函数的性质可得>0>0a b ab -，，111b a-<，由此可判断得选项. 【详解】解：因为22log >log 21a π==，6660log 1log log 61b π=<=<=，所以>1,01a b <<，所以>0>0a b ab -，，故排除A 、B 选项；又11log 6log 2log 3log 1a bb a abπππππ--==-=<<，且>0ab ，所以0a b ab <-<， 故选：D.3.（2021·江苏·海安高级中学高一阶段练习）设0.20.3a =，20.3b =，则（ ） A ．0a b ab +<< B ．0ab a b <+< C ．0a b ab +<< D ．0ab a b <<+【答案】B【分析】根据指数式与对数式互化公式，结合对数的运算性质进行判断即可.【详解】由0.20.20.3log 0.3aa =⇒=，因为0.20.20.2log 1log 0.3log 0.2<<，所以01a <<，由220.3log 0.3bb =⇒=，因为22log 0.3log 0.51<=-，所以1b <-，因此0ab <，0a b +< 由0.20.31log 0.3log 0.2a a =⇒=，20.31log 0.3log 2b b=⇒=， 于是有：0.30.30.311log 0.2log 2log 0.4a b+=+=，因为0.30.3log 0.4log 0.31<=，所以1111b aa b ab++<⇒<，因为0ab <，所以b a ab +>， 即0ab a b <+<， 故选：B【点睛】关键点睛：利用对数函数的单调性，结合,a b 两数的倒数和与1之间的关系，进行判断是解题的关键.4．（2022·全国·高一课时练习多选题）已知正数x ，y ，z 满足346x y z ==，则下列说法中正确的是（ ） A ．1112x y z+= B ．346x y z >>C ．22xy z > D ．32x y z +>⎝【答案】ACD【分析】将已知条件转化为对数的形式，利用对数运算、商比较法、基本不等式等指数对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】正数x ，y ，z 满足346x y z ==，设()3461x y zt t ===>，则3log x t =，4log y t =，6log z t =．对于A ，1111log 3log 4log 622t t t x y z+=+==，故A 正确； 对于B ，333log x t =，444log y t =，666log z t =， ∵33433log 3log 4144log 4x t y t ==<，∵34x y <， ∵44644log 2log 6166log 3y t z t ==<，∵46y z <，∵346x y z <<，故B 错误； 对于C ，由1111222z x y xy=+>（2x y ≠），两边平方，可得22xy z >，故C 正确； 对于D ，由22xy z >，可得232222222x y xy z z z ⎛⎫+>>=>+ ⎪ ⎪⎝⎭（x y ≠），故D 正确． 故选：ACD题型五：分离常数再比较大小【例1】（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））已知6log 3a =，8log 4b =，10log 5c =，则（ ）． A ．b a c << B ．c b a << C ．a c b << D ．a b c <<【答案】D【分析】结合对数的运算公式以及对数函数的单调性进行转化求解即可． 【详解】由题意得， 666261log 3log 1log 212log 6a ===-=-， 888281log 4log 1log 212log 8b ===-=-， 1010102101log 5log 1log 212log 10a ===-=-， 因为函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增， 所以222log 6log 8log 10<<，则222111log 6log 8log 10>>， 所以a b c <<. 故选：D ．【题型专练】1.设6log 3=a ，10log 5=b ，14log 7=c ，则（ ）A. a b c >>B. b c a >>C. a c b >>D. a b c >> 【答案】D【详解】由题意得，()()()335577log 321log 2,log 521log 2,log 721log 2a b c =⨯=+=⨯=+=⨯=+357log 2log 2log 2>>，所以可得：a b c >>故选：D ．题型六：利用均值不等式比较大小【例1】（2022·黑龙江·绥化市第九中学高二期末）73a =，4log 20b =，33log 2log 6c =+，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】B【分析】根据对数函数的性质结合基本不等式分析比较即可 【详解】74133a ==+，4444log 20log 4log 51log 5b ==+=+，333log 2log 61log 4c =+=+， 因为433333334log 3log 81log 64log 43==>=，所以a c >，因为2423lg3lg5log 5lg5lg32log 4lg 4lg 4(lg 4)+⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅<222222lg15lg162lg 42221(lg 4)(lg 4)(lg 4)⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=<==，43log 51,log 41>>， 所以43log 5log 4<，所以c b >， 综上a c b >>， 故选：B【例2】（2022·安徽省临泉第一中学高二期末）若lg 2lg5a =⋅，ln 22b =，ln 33c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．b a c << D ．a c b <<【答案】A【分析】由基本不等式可判断14a <，由对数的性质可得14b >，再作差可判断,c b 大小.【详解】()2lg 2lg51lg 2lg544a +=⋅<=，2ln 2ln 41444b ==>，9ln ln 3ln 22ln 33ln 2803266c b --=-==>，则c b >.所以a b c <<. 故选：A ． 【题型专练】1．（2022·全国·高考真题（文））已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（ ） A ．0a b >> B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a >>【答案】A【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m =>，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m >，8log 9m >，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】由910m=可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=． 又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m >， 所以8log 989890m b =-<-=．综上，0a b >>． 故选：A.2.（2022·河南商丘·高二期末（文））已知log 5a =0.62b =，0.2log 6c =-，则实数a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b >> B ．a b c >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】C【分析】根据换底公式可得,1a c >，再根据换底公式与基本不等式可得c a <，再根据5532b ⎛⎫> ⎪⎝⎭可得b a >，进而求得大小关系【详解】24log 5log 51a =>=，0.25log 6log 61c =-=>，则()25224lg 4lg 6log 6lg 4lg 62log 5(lg 5)lg 5c a +⎛⎫ ⎪⋅⎝⎭==<()()2222lg 24lg 25221lg 5lg 5⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=<=，所以c a <； 243log 5log 52a ==<，()5550.63282b ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，所以32b >，则b a >.所以b a c >> 故选：C.题型七：乘倍数比较小【例1】（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A ．a <b <c B ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b【答案】A【分析】由题意可得a 、b 、()0,1c ∈，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b =，得85b =，结合5458<可得出45b <，由13log 8c =，得138c =，结合45138<，可得出45c >，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】由题意可知a 、b 、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<；由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <； 由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >.综上所述，a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题. 【题型专练】1.已知3log 2=a ，4log 3=b ，5log 4=c ，则实数a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a <b <c B ．a b c >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】B【详解】()5,427log 3log 3322∈==a ，()4,364log 4log 3333∈==b ，所以b a 33>，所以b a > 又因()6,5256log 4log 4433∈==b ，()5,4625log 5log 4444∈==c ，所以c b 44>，所以c b > 所以c b a >>，故选B 题型八：构造函数比大小【例1】（2022·全国·高一专题练习）设0a >，0b >，则下列叙述正确的是（ ） A ．若ln 2ln 2a b b a ->-，则a b > B ．若ln 2ln 2a b b a ->-，则a b < C ．若ln 2ln 2a a b b ->-，则a b > D ．若ln 2ln 2a a b b ->-，则a b < 【答案】A【分析】利用函数的单调性分析判断即可【详解】因为ln y x =和2y x =在(0,)+∞上均为增函数， 所以()ln 2f x x x =+在(0,)+∞上为增函数， 所以()()f a f b >时，得0a b >>，反之也成立， 即ln 2ln 2a a b b +>+时，0a b >>，反之也成立， 所以ln 2ln 2a b b a ->-时，0a b >>，反之也成立， 故选：A【例2】（2022·四川·树德中学高二阶段练习（文））若2e 2e x x y y ---<-，则（ ） A ．()ln 10y x -+< B ．()ln 10y x -+>C ．ln 0x y ->D ．ln 0x y -<【答案】B【分析】先构造函数()2e x xf x -=-，通过导函数得到单调性，从而得到x y <，故可通过函数单调性判断出()ln 1ln10y x -+>=，而x y 可能比1大，可能等于1，也可能()0,1x y -∈，故CD 均错误.【详解】令()2e x x f x -=-，则()2ln 2e 0x xf x -'=+>恒成立，故()2e x x f x -=-单调递增，由2e 2e x x y y---<-可得：x y <，故()ln 1ln10y x -+>=，A 错误，B 正确；x y 可能比1大，可能等于1，也可能()0,1x y -∈，故不能确定ln x y -与0的大小关系，CD 错误.故选：B【题型专练】1．（2021·江西·高二阶段练习（理））若1a b >>，且x y x y a a b b --->-，则（ ） A ．()ln 10x y -+> B ．()ln 10x y -+< C ．ln 0x y -> D ．ln 0x y -<【答案】A【分析】根据题意，构造函数()x xf x a b -=-，利用函数单调性，结合对数函数的性质，即可判断和选择.【详解】因为x y x y a a b b --->-，即x x y y a b a b --->-，故令()x xf x a b -=-，则上式等价于()()f x f y >因为1a b >>，,x x y a y b -==-都是R 上的单调增函数，故()f x 为R 上的单调增函数，则由()()f x f y >，可得x y >，即0x y ->； 则11x y -+>，故()ln 10x y -+>，则A 正确；B 错误； 因为0x y ->，故无法判断ln x y -的正负，故C ，D 错误. 故选：A .【点睛】本题考查对数函数的单调性，以及函数单调性的应用，属综合中档题；解决问题的关键是根据已知条件，构造函数()x xf x a b -=-，并利用其单调性判断,x y 的大小关系.2.（2022·全国·高一单元测试）已知正实数x ，y 满足21211log log 22x yx y ⎛⎫⎛⎫+<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．11x y< B ．33x y < C ．()ln 10y x -+> D ．122x y -<【答案】BC【分析】可以利用筛选法逐个检验选项或者构造函数，结合单调性求解.【详解】方法一（筛选法） 由题意，211log 22x yx y ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当x y >，即1x y >时，2log 0x y >，而1122x y ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11022x y ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故211log 22x yx y ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不成立．当x y =时，2log 0x y =，11022x y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，211log 22x yx y ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不成立，故0x y <<，所以11x y >，33x y <，故A 错误，B 正确．0y x ->，则11y x -+>，()ln 10y x -+>，故C 正确．0221x y -<=，故D 不一定正确．故选：BC ．方法二（构造函数法） 由题意，2211log log 22x y x y ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设函数()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，显然()f x 在区间()0,∞+上单调递增，故由()()f x f y <，得0x y <<，故11x y>，故A 错误．33x y <，B 正确；由x y <，得11y x -+>，故()ln 1ln10y x -+>=，C 正确；0221x y -<=，故D 不一定正确， 故选：BC ．。

对数指数幂函数比大小技巧1. 定义对数指数幂函数是由幂函数、指数函数和对数函数组合而成的一类特殊函数。

它们在数学中具有重要的应用，尤其在比较大小时，可以通过一些技巧简化计算。

常见的对数指数幂函数包括：•幂函数y=ax b，其中a和b是常数，x是变量。

•指数函数y=a x，其中a是常数，x是变量。

•对数函数y=log a(x)，其中a是底数，x是变量。

2. 用途对数指数幂函数比大小技巧主要用于比较各种复杂的函数关系。

通过转换为对数或指数形式，可以简化计算过程，并更容易理解和分析问题。

这些技巧在实际应用中具有广泛的应用场景，例如：•经济学中的边际效益分析：通过比较两个变量之间的增长率来确定最优决策。

•物理学中的衰减和增长模型：通过比较指数衰减或增长速度来预测系统行为。

•生物学中的生长模型：通过比较不同生物体的增长率来研究种群动态。

3. 工作方式对数指数幂函数比大小技巧的工作方式主要包括以下几个步骤：步骤1：转换为对数或指数形式首先，将需要比较的函数转换为对数或指数形式。

这可以通过以下公式实现：•对数形式：y=log a(f(x))•指数形式：y=a f(x)其中，f(x)是原始函数。

步骤2：确定底数和指数根据具体情况，确定底数和指数的取值。

通常情况下，选择底数和指数使得计算更加简单，并且能够满足问题的要求。

步骤3：比较大小通过比较转换后的对数或指数形式，确定原始函数之间的大小关系。

•对于两个对数形式y1=log a(f(x1))和y2=log a(f(x2))，若x1<x2，则y1<y2。

•对于两个指数形式y1=a f(x1)和y2=a f(x2)，若x1<x2，则y1<y2。

步骤4：反向转换根据比较结果，可以将对数或指数形式重新转换为原始函数形式，得到最终的大小关系。

4. 示例以下是一些常见的对数指数幂函数比大小技巧的示例：示例1：比较幂函数和指数函数考虑两个函数y1=2x和y2=3x2，我们想要比较它们之间的大小关系。

2021届高三一轮复习难点突破（3）——幂指对大小比较【方法点拨】方法1：单调性法：利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性比较大小．方法2：中间值法：既不同底又不同指的指数式、对数式比较大小，不能直接利用函数的单调性来比较，可利用特殊数值作为中间桥梁，进而可比较大小．（1）比较形如ma 与nb 的大小，一般找一个“中间值c ”，若m a c <且m c b <，则m na b <；若m a c >且n c b >，则m n a b >．（2）常用到的特殊值有0和1．(0log 1a =，1log a a =，01a =)（3）若 1a b >>，则0log 1a b <<，log 1b a >，如：5 0log 41<<，4log 51>； （4）若 01a b <<<，则0log log 1a a b a <<=，log log 1b b a b >=，如：0.3 l og 0.41<，0.3log 0.21>；（5）若 10a b >>>，则l og 0a b <， l og 0b a <，如：3 l og 0.20<，0.2log 30<． 方法3：特值代入法：对于在给定的区间上比较指数式和对数式的大小的问题，可在这个区间上取满足条件的特殊值，代入后通过计算化简或避免复杂的变形与讨论，使得问题能够获解．方法4：估值计算法：估值计算是指通过估值、合理猜想等手段，准确、迅速地选出答案 方法5：数形结合法：画出函数图像，利用直观的图像往往能得到更简捷的解法． 方法6：构造新函数法类型1：单调性法（化成同底、同指）例1（2016·新课标Ⅲ，理6文7）已知4213332,3,25a b c ===，则A ． b a c <<B ． a b c <<C ． b c a <<D ． c a b <<【分析】观察指数式的形式特征，底数均不同，可以考虑化成同指数的指数幂，再进行大小比较变式1．（2013·新课标Ⅱ，理8）设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．a b c >>变式2．（2013·新课标Ⅱ，文8）设3log 2a =，5log 2b =，2log 3c =，则（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>变式3．（多选题）已知a b c === ）A ．a b >B ．c b >C ．b c >D ．b a >类型2：中间值法例2 (2019·全国卷Ⅰ，文理3)已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则（ ） A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【总结】当发现指数式和对数式没有任何共同部分时，可以引入中间值进行比较，常见的指数式引入中间量1，对数式引入中间量1，0． 【一些常用的小结论】（1）若 1a b >>，则0log 1a b <<，log 1b a >，如：5 0log 41<<，4log 51>； （2）若 01a b <<<，则0log log 1a a b a <<=，log log 1b b a b >=，如：0.3 0log 0.41<<，0.3log 0.21>； （3）若 10a b >>>，则l og 0a b <， l og 0b a <，如：3 l og 0.20<，0.2log 30< 变式1：（2018·新课标Ⅲ，理12）设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（ ）A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+类型3：单调性法+中间值法例3 (2019·全国卷Ⅲ，理11文12))设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（ ）A ．233231(log )(2)(2)4f f f -->>B ．233231(log )(2)(2)4f f f -->>C ．233231(2)(2)(log )4f f f -->>D ．233231(2)(2)(log )4f f f -->>类型4：特殊值法例4 (2016·新课标Ⅰ，文8)若0a b >>，01c <<，则（ ）A ．log log a b c c <B ．log log c c a b <C ．c c a b <D ．a bc c > 类型5：估值比较法理5 (2020·全国卷Ⅲ，文10)设a =log 32，b =log 53，c =23，则（ ） A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b变式1．设3log a e =， 1.5b e =，131log 4c =，则（ ） A ．b a c << B ．c a b << C ．c b a << D ．a c b <<类型6：构造新函数，利用单调性求解例6 已知45a =，3log 4b =，1.52c =，则（ ）A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b变式1．（2016·新课标Ⅰ，8）若1>>b a ，10<<c ，则（ ） A ．c c b a <B ．c c ba ab <C ．c b c a a b log log <D ．c c b a log log <类型7：利用函数图象来比较大小例7．已知a ，b ，c >0且132log aa =，131()log 2b b =，31()log 2cc =，则A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．a >c >b类型8：综合法 例8 （2017·新课标Ⅰ，理11）设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则（ ）A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z巩固练习题1．已知a =21．3，b =40．7，c =log 38，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<2．已知156a =，23b =，32c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．c ＜a ＜b3．设实数a 、b 、c 满足0.20.3a -=，3log 2b =，0.5log 3c =，则实数a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．b c a <<4．已知log 45m =，log 98n =，0.8log 0.5p =，则m ，n ，p 的大小关系为（ ）A ．p m n >>B ．m n p >>C ．m p n >>D ．p n m >>5．若a b c 、、均为正数，且3545a b c ==，则（ ）A ．112a b c-=B ．112b c a-=C ．112c a b-=D ．112c b a-=6．已知函数()f x 在R上是增函数，设111,ln 3,3e a e bc ππ===，则下列不等式成立的是（ ）A ．()()()f b f a f c >>B ．()()()f c f a f b >>C ．()()()f c f b f a >>D ．()()()f a f c f b >>7．设0.213a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，131log 5b =，ln5c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．b c a >> D ．a c b >>8．设4log 3a =，5log 4b =，0.012c -=，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b c a <<9．已知144a =，133b =，5ln 2c =，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>10．已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>11．设,,x y z 为大于1的正数，且235log log log x y z ==，则12x，13y ，15z 中最小的是（ ）A ．12xB ．13yC ．15zD ．三个数相等12．设a ，b ，c 都是正数，且4a =6b =9c ，那么A ．111c a b=+ B ．221c a b =+ C ．121c b a =- D ．212c a b =+2021届高三一轮复习难点突破（3）——幂指对大小比较【方法点拨】方法1：单调性法：利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性比较大小．方法2：中间值法：既不同底又不同指的指数式、对数式比较大小，不能直接利用函数的单调性来比较，可利用特殊数值作为中间桥梁，进而可比较大小．（1）比较形如ma 与nb 的大小，一般找一个“中间值c ”，若m a c <且m c b <，则m na b <；若m a c >且n c b >，则m n a b >．（2）常用到的特殊值有0和1．(0log 1a =，1log a a =，01a =)（3）若 1a b >>，则0log 1a b <<，log 1b a >，如：5 0log 41<<，4log 51>； （4）若 01a b <<<，则0log log 1a a b a <<=，log log 1b b a b >=，如：0.3 l og 0.41<，0.3log 0.21>；（5）若 10a b >>>，则l og 0a b <， l og 0b a <，如：3 l og 0.20<，0.2log 30<． 方法3：特值代入法：对于在给定的区间上比较指数式和对数式的大小的问题，可在这个区间上取满足条件的特殊值，代入后通过计算化简或避免复杂的变形与讨论，使得问题能够获解．方法4：估值计算法：估值计算是指通过估值、合理猜想等手段，准确、迅速地选出答案 方法5：数形结合法：画出函数图像，利用直观的图像往往能得到更简捷的解法． 方法6：构造新函数法类型1：单调性法（化成同底、同指）例1（2016·新课标Ⅲ，理6文7）已知4213332,3,25a b c ===，则 A ． b a c << B ． a b c << C ． b c a << D ． c a b <<【分析】观察指数式的形式特征，底数均不同，可以考虑化成同指数的指数幂，再进行大小比较 解析：422123333324,3,255a b c =====，故c a b >>．变式1．（2013·新课标Ⅱ，理8）设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．a b c >>解析：根据公式变形，lg 6lg 21lg3lg3a ==+，lg10lg 21lg 5lg 5b ==+，lg14lg 21lg 7lg 7c ==+， 因为lg 7＞lg 5＞lg 3，所以lg 2lg 2lg 2lg 7lg 5lg 3<<，即c ＜b ＜a ． 故选D ． 变式2．（2013·新课标Ⅱ，文8）设3log 2a =，5log 2b =，2log 3c =，则（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>解析：因为321log 21log 3=<，521log 21log 5=<，又2log 31>，所以c 最大． 又221log 3log 5<<，所以2211log 3log 5>，即a b >，所以c a b >>，故选D ． 变式3．（多选题）已知a b c === ）A ．a b >B ．c b >C ．b c >D ．b a >【解析】a b c ===()()()7577035577570142722322128,5525a b ========， ()57010257749c ===，,a c a b ∴>>，又()()2270147270105255(78125),77(16807)b c ======，b c ∴>，a b c ∴>>．故选：AC ．类型2：中间值法例2 (2019·全国卷Ⅰ，文理3)已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【解析】2log 0.20a =<；0.221b =>，0.300.21c <=<，得a c b <<，选B ．【总结】当发现指数式和对数式没有任何共同部分时，可以引入中间值进行比较，常见的指数式引入中间量1，对数式引入中间量1，0． 【一些常用的小结论】（1）若 1a b >>，则0log 1a b <<，log 1b a >，如：5 0log 41<<，4log 51>； （2）若 01a b <<<，则0log log 1a a b a <<=，log log 1b b a b >=，如：0.3 0log 0.41<<，0.3log 0.21> （3）若 10a b >>>，则l og 0a b <， l og 0b a <，如：3 l og 0.20<，0.2log 30< 变式1：（2018·新课标Ⅲ，理12）设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（ ）A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+解析：∵0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，∴0.31log 0.2a =，0.31log 2b=， ∴0.311log 0.4a b +=，∴1101a b <+<即01a b ab +<<， 又∵0a >，0b <，∴0ab a b <+<，故选B ．类型3：单调性法+中间值法例3 (2019·全国卷Ⅲ，理11文12))设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（ ）A ．233231(log )(2)(2)4f f f -->>B ．233231(log )(2)(2)4f f f -->>C ．233231(2)(2)(log )4f f f -->>D ．233231(2)(2)(log )4f f f -->>【答案】C解析：因为()f x 是偶函数，所以331(log )(log 4)4f f =， 因为23323221log 4--<<<，且()f x 在(0,)+∞递减，所以23323(2)(2)(log 4)f f f -->>类型4：特殊值法例4 (2016·新课标Ⅰ，文8)若0a b >>，01c <<，则（ ）A ．log log a b c c <B ．log log c c a b <C ．cca b < D ．abc c > 【解析】方法1：作为选择题，本题可以用特殊值代入验证，如取4a =，2b =，12c =，可得答案B ． 方法2：由01c <<可知log c y x =是减函数，又0a b >>，所以log log c c a b <．故选B ． 方法3：对于A ，lg log lg a c c a =，lg log lg b cc b=，因为01c <<，所以lg 0c <． 又0a b >>，所以lg lg a b >，但正负性无法确定，所以A 无法判断． 对于C ，D ，可分别利用幂函数、指数函数的单调性判断其错误．类型5：估值比较法理5 (2020·全国卷Ⅲ，文10)设a =log 32，b =log 53，c =23，则（ ） A ．a <c <b B ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b【答案】A 【解析】因为333112log 2log 9333a c =<==，355112log 3log 25333b c =>==，所以a c b <<． 变式1．设3log a e =， 1.5b e =，131log 4c =，则（ ） A ．b a c << B ．c a b << C ．c b a << D ．a c b << 【解析】因为，所以，选D ．类型6：构造新函数，利用单调性求解例6 已知45a =，3log 4b =，1.52c =，则（ ）A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b【解析】方法1：因为4log 5a =，3log 4b =，令ln(1)()log (1)ln x x f x x x +=+=，1x >，则22ln ln(1)ln (1)ln(1)1()0ln (1)ln x x x x x x x x f x x x x x+--+++'==<+， 所以ln(1)()log (1)ln x x f x x x+=+=在(1,)+∞上为减函数，所以43(4)log 5log 4(3)a f f b ==<==， 因为34b =，1.52c =，所以2.254c =，因为1.52c =，所以 1.533log 222log 2log 4c b =>===，综上所述，a b c <<，选B ．方法2：因为4log 50a =>，3log 40b =>，222422223lg 5lg 5lg 3lg16()()log 5lg 5lg 3(lg 4)lg 4221lg 4log 4(lg 4)(lg 4)(lg 4)(lg 4)lg 3a b +⋅===<<==，所以1a b<，所以a b <，以下同方法1，略．变式1．（2016·新课标Ⅰ，8）若1>>b a ，10<<c ，则（ ）A ．c c b a <B ．c c ba ab <C ．c b c a a b log log <D ．c c b a log log <【答案】C 解析：由于01c <<，∴函数c y x =在R 上单调递增，因此1c c a b a b >>⇔>，A 错误； 由于110c -<-<，∴函数1c y x -=在()1,+∞上单调递减，∴111c c c c a b a b ba ab -->>⇔<⇔<，B 错误； 要比较log b a c 和log a b c ，只需比较ln ln a c b和ln ln b c a ，只需比较ln ln c b b 和ln ln ca a ，只需lnb b 和ln a a ， 构造函数()()ln 1f x x x x =>，则()'ln 110f x x =+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此()()110ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <， ∴ln ln log log ln ln a b c cb c a c a a b b<⇔<，C 正确； 要比较log a c 和log b c ，只需比较ln ln c a 和ln ln cb ，而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增，故111ln ln 0ln ln a b a b a b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c c c c a b>⇔>，D 错误；故选C ．类型7：利用函数图象来比较大小例7．已知a ，b ，c >0且132log aa =，131()log 2b b =，31()log 2cc =，则A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．a >c >b【解析】∵a ，b ，c >0，且132log aa =，131log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴0<a <1，0<b <1，c >1．分别画出函数y =2x ，y =12x⎛⎫ ⎪⎝⎭，y =13log x 的图象，则0<a <b <1．综上可得a <b <c ．故选C ．类型8：综合法例8 （2017·新课标Ⅰ，理11）设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则（ ）A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【解题思路】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小．【解析】方法1：令235x y zk ===（1k >），则2log x k =，3log y k =，5log z k =，所以22lg lg3lg913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >，22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <， 所以325y x z <<，故选D ．方法2：令2351x y z k ===>，求得2log x k =，3log y k =，5log z k =， 则122222log logx k k ==，133333log log y k k ==，155555log log z k k ==，由于1k >，只用比较底数122，133，155的大小即可， 因为116632(2)8(3)9=<=，11101052(2)32(5)25=<=，所以111532523<<，所以325y x z <<，故选D ．方法3：2351log log 212351log log 31log log 5m x y zm m x m m y m z m ⎧==⎪⎪⎪⎪===>⇒==⎨⎪⎪==⎪⎪⎩求得1112352131512,3,5log 2log 3log 5log 2log 3log 5m m m m m m x y z ======，分别对分母乘以30可得11151063230log 2log 2,30log 3log 3,30log 5m m m m m ==，故可得10156101561log 3log 2log 5325325m m m m y x z >⎧⇒>>⇒<<⎨>>⎩，选D 。

指数函数对数函数幂函数比较大小
1.指数函数比对数函数大：
指数函数 y=2^x （x 是正实数）增长速度非常快，因为它主要是在
增加底数，例如 2 的 x 次方在 x=10 时是 1024，而在 x=20 时是
1,048,576。

相反，对数函数 y=log2(x) 的增长速度非常缓慢，它只是寻
找 x 的幂次，使得给定底数 2 的该幂次等于 x。

因此，当 x 趋近于无
穷大时，指数函数比对数函数大得多。

2.幂函数与指数函数比对数函数大：
幂函数y=x^n（n是正整数）增长速度会随着n增大而变得非常快。

但是，它在不同的x值上增长的速度可能会有所不同。

相反，指数函数
y=b^x的增长速度只与指数的大小有关，而与底数b或x的值无关。

因此，在x趋近于无穷大时，指数函数比幂函数大。

综上所述，在大多数情况下，指数函数比对数函数和幂函数都要大。

『高考真题·母题解密』『分项汇编·逐一击破』专题06比较大小【母题来源】2020年高考数学天津卷【母题题文】设，则的大小关系为（）0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,,a b c A. B. C. D. a b c <<b a c <<b c a <<c a b<<【答案】D【试题解析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.,,a b c 【详解】因为，，，0.731a =>0.80.80.71333b a-⎛⎫==>= ⎪⎝⎭0.70.7log 0.8log 0.71c =<=所以.故选：D.1c a b <<<【命题意图】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点．考查对简单函数单调性的理解及不等式的有关知识；常见的命题角度有：与常用基础函数如：幂函数、指数函数、对数函数等知识结合.【方法总结】比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；x y a =1a >01a <<（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；log a y x =1a >01a <<（3）借助于中间值，例如：0或1等.1．【2020·天津九校高三下学期4月联考】设，，则（）．0.5log 0.8a = 1.10.8b log =0.81.1c =A. B. b a c <<b c a <<C. D. a b c <<a c b<<【答案】A 【解析】【分析】结合指数和对数函数的单调性分别与0和1比较，易得，，，所以.0a 1<<b 0<c 1>b<a<c 【详解】解：因为0.50.50.50log 1a log 0.8log 0.51=<=<=所以 故选A1.1 1.1b log 0.8log 10=<=0.80c 1.1 1.11=>=b<a<c 【点睛】本题考查了指数和对数函数性质的运用，在指数和对数比较大小过程中一般先比较与0,1的大小关系.2．【2020·天津市北辰区高三高考模拟】已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则三个数，，的大小关系为（）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据奇偶性得：，通过临界值的方式可判断出自变量之间的大小关系，再利用函数的单调性得到的大小关系.【详解】；，即：为偶函数又在上单调递增，即本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数单调性判断大小的问题，关键是能够利用奇偶性将自变量变到同一单调区间内，再通过指数、对数函数的单调性，利用临界值确定自变量的大小关系.3．【2020·天津市北辰区2020届高三第一次诊断测试】已知函数的定义域为，且函数()y f x =(),ππ-的图象关于直线对称，当时，（其中是()2y f x =+2x =-()0,x π∈()ln 'sin 2f x x f xππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()'f x 的导函数），若,,，则的大小关系是（ ）()f x ()log 3a f π=13log 9b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭13c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,,a b c A B. C. D. b a c >>a b c>>c b a>>b c a>>【答案】D 【解析】【分析】求出,可得的值，能确定的解析式，分类讨论可确定的符号，可得在()'f x '2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭()'f x ()'f x ()f x 上递增，再利用指数函数、对数函数的单调性比较的大小关系，结合函数的奇()0,π13log 32ππ、、()f x 偶性与单调性可得结果.【详解】，，()ln 'sin 2f x x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ()''cos 2f x f xx ππ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，，'2'cos 2222f f πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()'2cos f x xx π=-当时，；当时，，2x π≤<π()2cos 0,'0x f x ≤>02x π<<()2,2cos 2,'0x f x x π><∴>即在上递增，的图象关于对称，()f x ()0,π()2y f x =+ 2x =-向右平移2个单位得到的图象关于轴对称，()2y f x ∴=+()y f x =y 即为偶函数，，，()y f x =()()13log 922b f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭0log 1log 3log 1ππππ=<<=，即，，1103212πππ=<<<130log 32πππ<<<<()()132log 3f f f ππ⎛⎫∴>> ⎪⎝⎭即.故选D.b c a >>【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题. 在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，()1f x ()2f x ()n f x ()f x ()1f x ，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．()2f x ()n f x 4．【2020·天津市滨海新区三校2020届高三高考数学5月份模拟】已知奇函数f （x ）在R 上是减函数，若a ＝﹣f （1og 3），b ＝f （），c ＝f （2﹣0.8），则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b【答案】B【分析】结合函数的单调性及奇偶性进行比较函数值的大小．解：奇函数f （x ）在R 上是减函数，∵log 34∈（1，2），0，2﹣0.8∈（0，1），∵a ＝﹣f （1og 3）＝f （log 34），b ＝f （），c ＝f （2﹣0.8）＝f （），则a ＜c ＜b ，故选：B ．5．【2020·天津市部分区2020届高考二模】已知，，，则，，的大小3log 0.3a =0.3log 2b =0.23c =a b c 关系是（ ）A B. C. D. a b c >>b c a>>c b a >>c a b>>【答案】C 【解析】【分析】由题意结合指数函数、对数函数的单调性可知，即可得解.10a b c <-<<<【详解】由题意，，，331log 0.3log 13<=-0.30.30.3log log 2lo 1013g 10=<<-=0.20331>=所以.10a b c <-<<<故选：C.【点睛】本题考查了指数式、对数式的大小比较，考查了指数函数、对数函数单调性的应用，属于基础题.6．【2020·天津市第一百中学2020届高三高考模拟】已知函数是定义在上的偶函数，且在()f x R 上单调递增，则三个数，，的大小关系为[)0,∞+()3log 13a f =-121log 8b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()0.62c f =A. B. a b c >>a c b >>C. D. b a c >>c a b>>【答案】C 【解析】【分析】根据奇偶性得：，通过临界值的方式可判断出自变量之间的大小关系，再利用函数的单调()3log 13a f =性得到的大小关系.,,a b c 【详解】；，3332log 9log 13log 273=<<=1221log log 838==0.610222<<=即：为偶函数 0.6312102log 13log 8<<<()f x ()()33log 13log 13a f f ∴=-=又在上单调递增，即()f x [)0,+∞()()0.61321log log 1328f f f ⎛⎫∴>> ⎪⎝⎭b a c>>本题正确选项：C【点睛】本题考查利用函数单调性判断大小的问题，关键是能够利用奇偶性将自变量变到同一单调区间内，再通过指数、对数函数的单调性，利用临界值确定自变量的大小关系.7．【2020·天津市第一中学2020届高三下学期第四次月考】已知奇函数，且在()f x ()()g x xf x =上是增函数.若，，，则a ，b ，c 的大小关系为[0,)+∞2(log 5.1)a g =-0.8(2)b g =(3)c g =A. B. C. D. a b c <<c b a<<b a c<<b c a<<【答案】C【解析】【详解】因为是奇函数，从而是上的偶函数，且在上是增函数，()f x ()()g x xf x =R [0,)+∞，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，又，则，所以即，0.822<4 5.18<<22log 5.13<<0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<所以，故选C ．b ac <<【考点】指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.8．【2020·天津市东丽区耀华滨海学校高三年级上期第二次统练】已知，则0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===A. B. C. D. a b c <<a c b<<c a b<<b c a<<【答案】B 【解析】【分析】运用中间量比较，运用中间量比较0,a c 1,b c【详解】则．故选B ．22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=01,c a c b <<<<【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题.9．【2020·天津市和平区2020届高三高考二模】已知：，，，则a ，b ，c 的11ln 4a =113eb ⎛⎫= ⎪⎝⎭11log 3e c =大小关系为（ ）A. B. C. D. c a b >>c b a>>b a c>>a b c>>【答案】A 【解析】【分析】利用指数函数，对数函数的性质求解.【详解】因为，，11111ln ln log ln 343e e a c =<=<==1111033eb ⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<=所以a ，b ，c 的大小关系为.c a b >>故选：A【点睛】本题主要考查指数函数，对数函数的性质，还考查了转化问题的能力，属于基础题.10．【2020·天津市河北区高三高考数学一模】已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）单调递增，设a ＝f （），b ＝f （log 37），c ＝f （﹣0.83），则a ，b ，c 大小关系为（ ）A ．b ＜a ＜c B ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b【答案】C 【解析】根据题意，由偶函数的性质可得c ＝f （﹣0.83）＝f （0.83），又由指数、对数的性质可得0.83＜1log 3log 37，结合函数的单调性分析可得答案．根据题意，函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，则c ＝f （﹣0.83）＝f （0.83），又由f （x ）在[0，+∞）单调递增，且0.83＜1log 3log 37，则有c ＜a ＜b ，故选：C ．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数值的大小比较，属于基础题．11．【2020·天津市河北省区2019届高三总复习质量检测】.已知，则13241log 3log 72a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,，的大小关系为（ ）,,a b c A. B. C. D. a c b <<b a c<<c a b<<a b c<<【答案】A 【解析】【分析】容易得出，再根据对数函数的性质将b 化为与c 同底的对数，即可比较出大01,a <<12,12b c <<<<小.【详解】解：，，，所以.故选A.1312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 01a ∴<<244log 3log 9log 71b c ==>=>b c a >>【点睛】本题考查指数与对数大小的比较，考查对数换底公式以及对数函数的单调性，属于基础题.12．【2020·天津市红桥区2020届高三高考二模】已知，，，则（ ）131log 2a =121log 3b =32log 3c =A. B. C. D. b a c >>a b c>>c b a>>a c b>>【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数单调性得到，，，得到答案.01a <<l b >0c <【详解】，，，111333110log 1log log 123a =<=<=112211log log 132b =>=332log log 310c =<=故.b a c >>故选：A.【点睛】本题考查了利用对数函数单调性比较数值大小，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.13．【2020·天津高三一模】已知函数．若，，()25x f x x =+131log 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(3log b f =．则a ，b ，c 的大小关系为（）()0.26c f =A. B. C. D. a b c >>a c b>>c a b>>c b a>>【答案】D 【解析】【分析】先根据对数函数与指数函数的性质，得到，，再根据函数单调性，即可判13310log log 12<<<0.261>断出结果.【详解】因为，，113333310log 1log log log lo 2g 312=<=<<=0.261>函数与都是增函数，所以也是增函数，2xy =5y x =()25x f x x =+因此，即.故选：D.(()0.21331log log 62f f f ⎛⎫< ⎪<⎝⎭c b a >>【点睛】本题主要考查由函数单调性比较大小，熟记指数函数与对数函数的性质即可，属于常考题型.14．【2020·天津市六校高三上学期期初检测】已知，，，则，，的大ln a π=lg125b =0.31c e ⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c 小关系是（ ）A. B. a b c >>b a c >>C. D. 以上选项都不对c a b >>【答案】B 【解析】【分析】利用指数对数函数的图像和性质确定的范围即得它们的大小关系.,,a b c 【详解】由题得，2ln ln ln 2e a e π<=<=所以.12a <<,2lg125lg102b =>=,0.3011()1c e e ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭所以.b a c >>故选：B【点睛】本题主要考查指数函数和对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．【2020·天津市南开区南开中学高三下学期第一次月考】设，则0.231012143a b og c lg =-==，，a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. B. C. D. a c b<<b c a<<c a b<<c b a<<【答案】A 【解析】【分析】判断每个数的大致范围再分析即可.【详解】,,0.2221,0a >=∴< 331031,13log log b >=∴> ,,故选：A ．1410,01lg lg lg c <<∴<< a c b ∴<<【点睛】本题主要考查了函数值大小的关系,属于基础题型.16．【2020·天津高三一模】已知定义在上的函数满足，且函数在上是减函数，若 ，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】化简，根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出，的取值范围，结合的单调性与奇偶性即可得结果.【详解】，是偶函数，，，，，，，又因为在上递减，，，即，故选A.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，以及指数函数与对数函数的性质，属于综合题. 在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．17．【2020·天津南开中学高三月考】已知奇函数在上是增函数，若，()f x R 21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，则的大小关系为()()2log 4.1b f =()0.82c f =,,a b c A. B. C. D. a b c <<b a c<<c b a<<c a b<<【答案】C 【解析】由题意：，且：，()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭0.822log 5log 4.12,122>><<据此：，结合函数的单调性有：，0.822log 5log 4.12>>()()()0.822log 5log 4.12f f f >>即.本题选择C 选项.,a b c c b a >><<【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.18．【2020·天津市实验中学滨海分校2020届高三模拟考试（】已知定义在R 上的奇函数满足()f x ，且在区间[1，2]上是减函数，令，，，则(2)()f x f x +=-ln 2a =121(4b -=12log 2c =的大小关系为（ ）(),(),()f a f b f c A. B. ()()()f b f c f a <<()()()f a f c f b <<C. D. ()()()f c f b f a <<()()()f c f a f b <<【答案】C 【解析】【分析】由满足，且在区间[1，2]上是减函数，确定在上是增函数，再由奇函数()f x (2)()f x f x +=-()f x [1,0]-性质得在上递增，在上单调递增．然后把自变量的值都转化到上，比较大小．()f x [0,1][1,1]-[1,1]-【详解】设，则，又在上递减，1210x x -≤<≤121222x x ≤+<+≤()f x [1,2]∴，而，，∴，即12(2)(2)f x f x +>+11(2)()f x f x +=-22(2)()f x f x +=-12()()f x f x ->-，∴在是递增，12()()f x f x <()f x [1,0]-∵是奇函数，∴在上递增，从而在上单调递增，，()f x ()f x [0,1][1,1]-(0)0f =，，，，ln 2(0,1)a =∈121()24b -==12log 21c ==-()(2)(0)0(0)f b f f f ==-==∴由得，即．10ln 2-<<(1)(0)(ln 2)f f f -<<()()()f c f b f a <<故选：C ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性．解题关键是确定函数的单调性，难点在于由满足()f x ，且在区间[1，2]上是减函数，确定在上是增函数，然后就是这类问题的常(2)()f x f x +=-()f x [1,0]-规解法，确定出上单调性，转化比较大小[1,1]-19．【2020·天津和平区高三第三次质检】设正实数分别满足，则,,a b c 2321,log 1,log 1a a b b c c ⋅===的大小关系为( ),,a b c A. B. C. D. a b c >>b a c>>c b a>>a c b>>【答案】C 【解析】【分析】把看作方程的根，利用数形结合思想把方程的根转化为函数图象交点的横坐标，则可以利用图象比,,a b c 较大小.【详解】由已知可得231112,log ,log ,a b c ab c ===作出函数的图象，它们与函数图象的交点的横坐标分别为，232,log ,log xy y x y x ===1y x =,,a b c 如图所示，易得.故选C.c b a >>【点睛】本题考查函数与方程，基本初等函数的图象.对于含有指数、对数等的方程，若不能直接求得方程的根，一般可以利用数形结合思想转化为函数图象的交点问题.20．【2020·天津市芦台一中2020届高三年级第二次模拟】已知定义在R 上的函数的图象关于()f x 1-对称，且当时，单调递减，若，，，则x 1=x 0>()f x ()0.5a f log 3=()1.3b f 0.5-=()6c f 0.7=a ，b ，c 的大小关系是 ()A. B. C. D. c a b >>b a c>>a c b>>c b a>>【答案】A 【解析】【分析】先根据对称性将自变量转化到上，再根据时单调递减，判断大小.0x >0x >()f x 【详解】∵定义在上的函数的图像关于对称，∴函数为偶函数，R ()1f x -1x =()f x ∵，∴，∴，，0.50.5log 3log 10<=()()0.52log 3log 3f f =2221log 2log 3log 42=<<= 1.31.30.522-=>．∵当时，单调递减，∴，故选A ．600.71<<0x >()f x c a b >>【点睛】比较两个函数值或两个自变量的大小：首先根据函数的性质把两个函数值中自变量调整到同一单调区间，然后根据函数的单调性，判断两个函数值或两个自变量的大小。

指数函数、幂函数和对数函数是高中数学中的重要概念，它们在数学和现实生活中都有着重要的应用。

在本篇文章中，我们将深入探讨这三种函数的性质，以及它们之间的比较大小关系。

通过本文的阅读，你将能够更全面地理解这些函数的特点，并从中获得更深入的数学启发。

1. 指数函数指数函数是数学中常见的一种函数，其一般形式可表示为 y = a^x，其中a为常数且不等于1。

指数函数的特点是随着自变量x的增大，函数值y以指数方式增长或者下降。

指数函数在自然科学、工程技术以及金融领域都有着广泛的应用，例如放射性衰变、人口增长模型等都可以使用指数函数来描述。

在指数函数中，底数a的大小决定了函数的增长速度，当a大于1时，函数呈现增长趋势；当a在0和1之间时，函数呈现下降趋势。

2. 幂函数幂函数是指数函数的一种特殊形式，其一般形式可以表示为y = x^a，其中a为常数。

幂函数的特点是自变量x的次幂影响了函数值y的大小，不同的a值会导致函数曲线的形状发生变化。

当a为正数时，幂函数呈现增长趋势；当a为负数时，幂函数呈现下降趋势。

幂函数在物理学、生物学以及经济学中都有着重要的应用，例如牛顿定律中的物体受力情况、生物种群数量增长模型等都可以用幂函数来描述。

3. 对数函数对数函数是幂函数的逆运算，常见的对数函数有以10为底的常用对数函数和以e为底的自然对数函数。

对数函数的一般形式可以表示为 y= loga(x)，其中a为底数。

对数函数的特点是能够将幂函数转化为线性函数，便于进行求解和分析。

对数函数在科学领域、信息论以及计算机科学中有着广泛的应用，例如信噪比的计算、数据压缩算法等都离不开对数函数的运算。

指数函数、幂函数和对数函数各自具有独特的特点和应用，它们在数学领域和现实生活中都扮演着重要的角色。

在比较大小方面，一般来说，指数函数增长速度最快，其次是幂函数，对数函数增长速度最慢。

在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的函数来进行建模和求解。

问题背景指对数比较大小的基本策略近年来,指对数比较大小的题目风靡全国,不仅带火了泰勒展开,帕德逼近等所谓的大招,但是泰勒也好,帕德逼近也好,终究不是万能的,有的题目他用不上,有的题目用不起,所以泰勒展开,帕德逼近对于指对数比较大小或许是个好方法,但他不是通法,那么我们今天尝试从构造函数的角度来阐述指对数比较大小的一般方法(比较大小常见的有作差法,作商法等这些基础方法不在本文讨论范围).典型例题 构造相同函数及中间量比较大小1.(1)(2022·河南安阳·模拟(理))已知a =ln2.1,b =log 3e ,c =log 7.54,则( )A.a <b <cB.a <c <bC.c <a <bD.b <c <a (2)(2022·广西柳州·模拟(理))若a =lg0.3,b =log 32,c =log 54,则( )A.c >b >aB.b >c >aC.c >a >bD.a >b >c(3)(2022·河南安阳·模拟(理))已知a =log 20.3,b =12 0.3,c =15,则( )A.a <b <cB.b <c <aC.c <b <aD.a <c <b思路剖析分析问题 探究思路指对数比较大小的问题中,一般解决问题的思路是考查对应函数的单调性结合自变量的大小比较,但由于实际问题往往指对数混合,二是底数不一致,故一般来讲先考虑统一底数,指对混合考虑“0”与“1”的构造.1.对数同步升(降)幂法：nm log a b =log a m b n 可知log 23=log 49=log 827=log 1213;注意：在比较大小题型中出现底数与真数均可视为同幂指数的指数式,此时可由对数同步升降幂转化.2.由于指对数混合或者指对数底数不一致,此时无法直接比较,可以考虑“0”与“1”构造中间量比较大小：log a a =1；log a 1=0；a 0=1.解题过程真题剖析 还原本质例题解析步步为赢(1)a =ln2.1>ln2,c =log 7.54=ln4ln7.5=2ln2ln7.5,e 2≈7.39,ln2-2ln2ln7.5=ln21-2ln7.5 =ln2⋅ln7.5-2ln7.5=ln2⋅ln7.5-ln e 2ln7.5>0,即ln2>2ln2ln7.5,所以a >c ,换底公式统一底数,再借助于中间量ln2比较a ,c 大小；又e 3≈20.09,2.14≈19.45,所以34=ln e 34=ln 4e 3>ln 42.14=ln2.1,所以a <34,又e 4≈54.3,所以b =log 3e =log 34e 4>log 3433=34,所以b >a ,所以b >a >c ,故选：C .借“34”构造同底对数比较大小.(2)因为lg0.3<lg1=0,所以a <0；因为log 32>log 31=0,log 54>log 51=0,所以b >0,c >0,借助于中间量“0”得a ,b ,c 正负;1c =log 45=12log 25=log 25,1b =log 23,而log 23>log 25,所以1b>1c,即b <c .故选：A .构造分式转化b ,c 为同底对数比较大小.(3)函数y =log 2x 在(0,+∞)上单调递增,0<0.3<1,则a =log 20.3<借“log 21=0”得a 正负；log21=0,函数y=12 x在R上单调递减,0.3<1,b=12 0.3>12,而0<c=55 <2.55=12,所以a<c<b.故选：D.由指数函数的单调性借“1”比较大小,进而得三者关系.方法解读 归纳总结 理清思路对于对数不同底的比较,除了对数同步升降幂,还可以利用换底公式统一底数,本例(1)中的难点在于中间量的选取,a,c的比较突破口是2与4的构造,所以采取ln2作为中间量,而“34”这个中间量是a,b 比较中在利用对数运算法则统一形式后判断出来的.典型例题 构造不同函数,比较相同函数值2.(1)(2022·全国·高考真题)设a=0.1e0.1,b=19,c=-ln0.9,则( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b(2)(2021·河南·高三阶段练习(理))设a=ln1.1,b=0.21,c=e0.1-1,则( )A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a思路剖析 分析问题 探究思路此类问题虽然几个数的形式不一致,但是它们的特别之处在于可以视为不同函数取的同一函数值,因此问题的实质是在比较不同函数的差值或商值,本例(1)中a的结构我们可以构造y=xe x,此处自变量为0.1,显然后面两数均可以以0.1为自变量来构造出函数y=x1-x ,y=-ln(1-x),这样就将问题转化不同函数的差值比较,当然这种情况下由于自变量取值靠近麦克劳林公式的取值点,利用泰勒展开也是一种好方法.本例(2)中,a与c比较好看出来可以以0.1作为自变量构造,b比较难观察出来,显然如果是1.21就会出现1.1的平方,故直接作差来统一自变量构造不同函数的同一函数值比较.解题过程真题剖析 还原本质例题解析步步为赢(1)(法1:构造不同函数)设a=xe x,b=x1-x ,c=-ln(1-x),先比较a,b大小,转化为比较ln a-ln b=ln xe x-ln x1-x=ln x+x-ln x+ln(1-x)=x+ln(1-x),x∈(0,0.1],(ln a-ln b)'=-x1-x <0,ln a-ln b<0,∴b>a;观察式子特征以0.1为自变量构造函数,作差判断单调性比较大小；设g(x)=xe x+ln(1-x)(0<x<1),则g (x)=x+1e x+1x-1=x2-1e x+1x-1,令h(x)=e x(x2-1)+1,h (x)=e x(x2+2x-1),当0<x< 2-1时,h (x)<0,函数h(x)=e x(x2-1)+1单调递减,当2-1<x< 1时,h (x)>0,函数h(x)=e x(x2-1)+1单调递增,又h(0)=0,所以当0 <x<2-1时,h(x)<0,所以当0<x<2-1时,g (x)>0,函数g(x) =xe x+ln(1-x)单调递增,所以g(0.1)>g(0)=0,即0.1e0.1>-ln0.9,所以a>c.故选：C.比较a,c大小,此时结合两个式子自变量0.1与0.9特征,构造函数g(x) =xe x+ln(1-x)判断单调性,需二阶导,再比较大小.(法2:泰勒展开估值)构造函数f(x)=xe x,g(x)=x1-x ,h(x)=-ln(1-x),a=f(0.1);b≈0.1111;c=h(0.1);观察式子特征以0.1为自变量构造函数;由于0.1比较小,故依托泰勒三阶展开,f(x)=x+x2+x32+o(x2),g(x)=-[-x-x22+o(x2)].在x=0.1处显然b=0.1111>a=f(0.1)≈0.1105>c=h(0.1)≈0.105.由麦克劳林公式展开三阶,代入比较.(2)b-c=0.21-e0.1+1=1.21-e0.1=(1+0.1)2-e0.1,设m(x)=(1+观察式子特征,显然均可以以0.1为自变量构造函x )2-e x (x >0),所以m (x )=2x +2-e x =n (x ),所以n (x )=2-e x ,所以(0,ln2)单调递增,所以n (x )≤n (ln2)=2ln2,当x →0时,n (x )>0,所以m (x )=2x +2-e x >0在(0,ln2)上恒成立,所以函数m (x )在(0,ln2)单调递增,所以m (0.1)>m (0),∴(1+0.1)2-e 0.1>(1+0.1)0-e 0=0,所以(1+0.1)2>e 0.1.所以b >c .数,需要注意的是b 与c 之间比较直接作差构造,目的是自变量统一;(法1)a -c =ln1.1-e 0.1+1=ln (1+0.1)-e 0.1+1,设g (x )=ln (1+x )-e x +1(x >0),所以g (x )=1x +1-e x =1-xe x-e xx +1,设h (x )=1-xe x -e x,∴h (x )=-2e x -xe x <0,所以h (x )在0,+∞ 上单调递减,所以h (x )<h(0)=1-0-1=0,所以g (x )<0,所以函数g (x )在0,+∞ 上单调递减,所以g (x )<0,所以ln (1+x )<e x -1,∴ln1.1<e 0.1-1,∴a <c .故a <c <b .故选：B .(法2)a -c =ln1.1-e 0.1+1=ln (1+0.1)-e 0.1+1,设g (x )=ln (1+x )-e x +1(x >0),g (x )=-(x -ln (1+x )+e x -x -1)≤0,∴ln1.1<e 0.1-1,∴a <c .依然是以0.1为自变量构造函数,作差求导分析单调性得大小关系,或者直接构造切线放缩表达式判断正负.方法解读归纳总结 理清思路1.观察所给式子的特征,找出共性,即自变量统一;2.部分式子需要结合作差(商)再进行构造；3.求导分析单调性判断大小.典型例题不等式放缩比较大小3.(1)(2022·福建·莆田一中高二期末)设a =ln1.01,b =1.0130e ,c =1101,则( )A.a <b <c B.a <c <b C.c <b <a D.c <a <b (2)(2022·山东菏泽·高二期末)已知a =910,b =e -19,c =1+ln 1011,则a ,b ,c 的大小关系为( )A.a <b <c B.b <a <c C.c <b <aD.c <a <b (3)(2022·云南昆明·高二期末)设a =e 2,b =32e,c =21-ln2 ,则( )A.b <c <aB.c <b <aC.a <b <cD.c <a <b思路剖析分析问题 探究思路对于这一类问题我们可以理解为本质是构造不同函数比较不同函数值,这类问题不等式放缩就是首选了。

指数函数概念：一般地，函数y=a^x(a＞0，且a≠1）叫做指数函数,其中x是自变量，函数的定义域是R.注意:⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。

⒉指数函数的定义仅是形式定义.指数函数的图像与性质：规律:1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。

2。

当a＞1时,底数越大,图像上升的越快，在y轴的右侧,图像越靠近y轴；当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧,图像越靠近y轴.在y轴右边“底大图高"；在y轴左边“底大图低”。

3.四字口诀:“大增小减"。

即:当a＞1时,图像在R上是增函数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。

4。

指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

比较幂式大小的方法:1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论；3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较;4. 对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移;减去一个数,图像会向右平移。

在f(X)后加上一个数,图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。

对数函数1.对数函数的概念由于指数函数y=a x 在定义域(—∞,+∞)上是单调函数，所以它存在反函数,我们把指数函数y=a x （a ＞0，a ≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a ＞0，a ≠1）.因为指数函数y=a x 的定义域为（-∞,+∞）,值域为（0，+∞），所以对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞)，值域为（-∞，+∞）。

2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数,因此它们的图像对称于直线y=x 。

据此即可以画出对数函数的图像,并推知它的性质.为了研究对数函数y=log a x(a ＞0,a ≠1）的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数y=log 2x,y=log 10x ，y=log 10x ，y=log 21x ，y=log101x 的草图由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=log a x（a＞0，a≠1)的图像的特征和性质。

09 判断比较指数式、对数式大小的方法典型例题精选与变式典型例题例1【2021陕西省宝鸡市千阳中学适应模拟】设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a解：∵y=0.6x为减函数，∴0.60.6>0.61.5，且0.60.6<1.又c=1.50.6>1，∴1.50.6>0.60.6>0.61.5，即c>a>B.【方法】底数相同，指数(真数)不同例2设a=log 3π，b=log，c=log，则( ) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a解：∵a=log 3π>log 33=1，b=loglog 22=1， ∴a>B.又23132122log b c log ==(log 23)2>1，b>0， ∴b>c ，故a>b>C.【方法】底数不同，指数(真数)相同例3【2021广西五市联合模拟】若31311log ,,log cos 35a b e c πππ===，则（ ）A. b c a >>B. b a c >>C. a b c >>D. c a b >> 解：31110log log 31,1,0cos 135a b e ππππ><==<=<<， 31log cos 05c π=<，b ac ∴>>，【方法】底数与指数(真数)都不相同最新模拟精选与提高 精选练习自主解析 体会应用1.已知10a =3log 6b =，2log c =，则a ，b ，c ，则（ ）A. b a c <<B. a c b <<C. a b c <<D. b c a <<【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数的单调性判断a 的大小，再由对数函数的单调性和对数的运算可得出b 、c 的大小.【详解】因为001101a <==，又因为指数函数的值大于0，所以01a <<；因为3log x 在R 上单调递增，3333log 6log log 2>==，所以32b >，因为2log x 在R 上单调递增，2223log log log 2<<=，所以312c <<，所以a c b <<. 故选：B.【方法】底数与指数(真数)都不相同2. 已知0.31.2a =，0.3log 1.2b =， 1.20.3c =，则（ ） A. b c a >> B. c a b >> C. a c b >> D. a b c >>【答案】C 【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性求出,,a b c 的范围即可求解. 【详解】0.301.211.2>=，1a ∴>，0.30.3log 1.2log 10<=，0b ∴<，1.2000.30.31<<=，01c ∴<<， a c b ∴>>.故选：C.【方法】底数与指数(真数)都不相同3. 设0.980.89x =，0.890.98y =，0.98log 0.89z =，则（ ） A. z x y >> B. x z y >> C. z y x >> D. x y z >>【答案】C 【解析】【分析】首先根据指数函数以及幂函数的单调性比较,x y 的大小，再通过对数函数的单调性求得z 的范围，即可得解.【详解】由0.89x y =是减函数，0.89y x =在()0,∞+上是增函数，可得0.980.890.8900.890.890.981<<<<，由0.98log y x =是减函数，可得0.980.98log 0.89log 0.981>=，可得z y x >>， 故选：C.【方法】底数与指数(真数)都不相同 4. 设2log 0.3a =，0.32b =，sin 5c π=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. c b a <<B. b a c <<C. a c b <<D. a b c <<【答案】C 【解析】【分析】利用指数、对数三角函数的性质判定a ,b ,c 与0，1的大小关系，即可得到a ,b ,c 的大小关系.【详解】22log 0.3log 10a =<=，0.30221b =>=，sin (0,1)5c π=∈，所以a c b <<， 故选：C.【方法】底数与指数(真数)都不相同 5. 若3222log 33log 3log 2215,,5a b c ⎛⎫==⎪⎝⎭＝，则（ ） A. c a b ＞＞ B. b a c ＞＞C. a c b ＞＞D. a b c ＞＞【答案】D 【解析】【分析】根据指对数运算法则化简成相同真数，底数不同的对数式，然后根据指数函数的单调性求得数的大小关系.【详解】由指数、对数运算性质知，332423133log log log log 3222255,55b c -====， 则由234333log log log 222>>知 234333log log log 222555>>，即a b c >>【方法】底数相同，指数(真数)不同 6. 若133a -=，b ＝log 25，c ＝ln3，则（ ） A. b ＞a ＞c B. b ＞c ＞a C. c ＞a ＞b D. c ＞b ＞a【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断可得；【详解】解：103331-<=，2223log 8log 5log 42=>>=，21ln ln 3ln 2e e =<<= 所以()0,1a ∈，()2,3b ∈，()1,2c ∈，所以b c a >> 故选：B【方法】底数与指数(真数)都不相同7. 已知0.5log 3a =，30.5b -=，0.53c -=试比较a ，b ，c 的大小为（ ） A. a b c << B. a c b << C. c b a << D. c a b <<【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数和指数函数的单调性将a ､b ､c 与0､1相比较，即可得到结论. 【详解】解：∵0.52log 3log 30a ==-<，3300.5221b -==>=， 1020.51103133c -⎛⎫⎛⎫<==<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵a c b <<， 故选：B .【方法】底数与指数(真数)都不相同8. 已知2sin 5a π=，2tan 7b π=，4logc =，则（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. b c a >>D. a c b >>【解析】【分析】引入中间值根据2247352πππππ<<<<，即可判定大小 【详解】因为2247352πππππ<<<<，2sin 15π<<，2tan17π>.又4log =， 所以b a c >>. 故选：B【方法】底数与指数(真数)都不相同 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 20202019log 2021log 220210202020<<B. 20192020log 2020log 220210212020<<C.20202019log 2021lo 2021202002g 20<< D.20192020log 2020lo 2021202012g 20<< 【答案】A 【解析】【分析】构造函数()1lnxf x x =+，利用导数求出函数的单调性，再根据对数的运算及对数函数的性质计算可得；【详解】解：对于2(1)lg(1)lg(2)lg (1)lg lg(2)log (1)log (2)lg lg(1)lg lg(1)x x x x x x x x x x x x x ++++-++-+=-=++， 222lg(2)lg lg(2)()lg (1)2x x x x x +⋅+≤<+，所以当1x >时，(1)log (1)log (2)0x x x x ++-+>，故20192020log 2020log 2021>．根据函数ln ()1x f x x =+，(0)x >，则211ln ()(1)x x f x x +-'=+，()11ln g x x x =+-在定义域上单调递减，()111ln 0g e e e e =+-=>，()2222111ln 10g e e e e=+-=-<，所以存在()20,x e e ∈，使得()00g x =，所以()0,x x ∈+∞时()0f x '<，所以函数在()0,x +∞单调递减，所以ln2019ln202020202021>，所以2019ln 2020log 20202020ln 02019221>=， 所以20202019log 2021log 220210202020<< 故选：A【方法】底数与指数(真数)都不相同10. 已知sin3a =，3log sin 3b =，sin33c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c >> B. b a c >> C. c a b >> D. c b a >>【答案】C 【解析】【分析】利用指数函数、对数函数以及三角函数值即可得出选项. 【详解】因为32ππ<<，所以()sin30,1a =∈，33log sin 3log 10b =<=， sin30331c =>=， 所以c a b >>. 故选：C【方法】底数与指数(真数)都不相同。

“十大方法”，玩转指对幂比较大小目录一、重难点题型方法方法一：单调性法方法二：“媒介值”法方法三：作差法方法四：作商法方法五：构造函数法方法六：乘方法方法七：对数法方法八：零点法方法九：特殊值法方法十：放缩法二、针对性巩固练习重难点题型方法方法一：单调性法【典例分析】例1.(2023·全国·高三专题练习)设a=30.9，b=90.5，c=13-12，则( )．A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.b>c>a 【答案】C【分析】将三个指数幂化成同底指数幂，利用指数函数的单调性即可得解.【详解】因为a=30.8，b=90.5=(32)0.5=31，c=13-12=3-1 -12=312=30.5，又函数y=3x在R上单调递增，1>0.8>0.5，所以31>30.8>30.5所以b>a>c，故选：C例2.(2022秋·四川广安·高一统考期末)a=0.20.3，b=0.20.4，c=log0.20.1，则( )A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.c>a>b 【答案】D【分析】利用指数函数和对数函数的单调性来比较大小即可.【详解】根据函数y=0.2x在R上单调递减得1=0.20>a=0.20.3>0.20.4=b>0，根据函数y=log0.2x在0,+∞上单调递减得c=log0.20.1>log0.20.2=1，故c>a>b.故选：D.【方法技巧总结】1.指、对、幂大小比较的常用方法：①底数相同，指数不同时，如a x 1和a x 2，利用指数函数y =a x 的单调性；②指数相同，底数不同，如x a 1和x a 2利用幂函数y =x a单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如log a x 1和log a x 2利用指数函数log a x 单调性比较大小；2.除了指对幂函数，其他函数(比如三角函数，对勾函数等)也都可以利用单调性比较大小。

ʏ朱 梅指数㊁对数和幂的代数式的比较大小问题,是高考中的常考点,高考主要以选择题的形式出现,考查指数㊁对数㊁幂的基本运算,以及相关的基本初等函数的图像与性质的应用㊂一㊁单调性法例1 已知a =l o g 312,b =l nπ,c =b a,则a ,b ,c 的大小关系是( )㊂A .b >c >a B .b >a >cC .c >b >aD .c >a >b分析:根据题设条件,利用对数函数的单调性进行放缩处理,分别确定参数a ,b 的取值范围,在此基础上确定参数c 的取值范围,从而得到a ,b ,c 的大小关系㊂解:因为-1=l o g 313<l o g 312<l o g 31=0,所以-1<a <0㊂因为l n π>l n e =1,所以b >1㊂又0<b a<b 0=1,所以0<c <1㊂综上分析,可得b >c >a ㊂应选A㊂利用指数函数㊁对数函数,以及幂函数的单调性比较代数式的大小,首先要观察代数式形式的异同,底数相同时,可考虑指数函数的单调性,指数相同时,可考虑幂函数的单调性,当都不相同时,可分析代数式的大致范围,进行比较大小㊂比较代数式的大小的两个思路:一是判断出各个数值所在的区间(一般是三个区间(-ɕ,0),(0,1),(1,+ɕ)),二是利用函数的单调性比较大小㊂二㊁媒介法例2 若a =l o g 23,b =l o g 34,c =l o g 45,则a ,b ,c 的大小关系是( )㊂A .a <b <c B .b <c <aC .b <a <cD .c <b <a分析:根据题设条件,通过对数式的合理放缩处理,引入中间值32,54作为媒介进行过渡处理,合理 串联 起各参数a ,b ,c 所对应的关系式与对应 媒介值 之间的大小关系,进而加以正确分析与判断㊂解:依题意知,a =l o g 23>l o g 222=32,b =l o g 34<l o g 333=32,所以a >b ㊂由44>35,两边同取以3为底的对数可得4l o g 34>5,所以b =l o g 34>54㊂而c =l o g 45<l o g 442=54,所以b >c ㊂综上可知,a >b >c ㊂应选D ㊂指数㊁对数㊁幂的比较大小问题,要注意一些特殊值如0,1,12,e 等的应用,通常可以借助媒介这一特殊的 桥梁 合理构建不等关系,从而实现比较大小的目的㊂三㊁数形结合法例3 已知x ,y ,z 均为大于0的实数,且2x =3y=l o g 5z ,则x ,y ,z 的大小关系正确的是( )㊂A .x >y >z B .x >z >yC .z >x >yD .z >y >x 分析:根据题设条件,将所求问题转化为三个函数与对应直线的交点的横坐标的关系,作出函数的图像,利用数形结合法确定x ,y ,z 的大小关系㊂解:依题意可知x ,y ,z 均为大于0的实数,所以2x =3y=l o g 5z >1㊂图1所求问题可转化为函数y =2x ,y =3x,y =l o g 5x 与直线y =t >1的交点的横坐标的关系,从而可比较x ,y ,z 的大小㊂作出函数y =2x,y =3x,y =l o g 5x ,以及直线y =t >1的图像,如图1所示㊂结合图像可知,其4知识结构与拓展 高一数学 2023年11月横坐标的关系为z >x >y ㊂应选C㊂利用数形结合法进行代数式的比较大小时,通过观察相应的代数式的结构特征,画出对应的函数图像,观察函数图像的交点位置,从而确定所给指数㊁对数㊁幂的大小关系㊂四㊁特殊值法例4 已知a ,b ,c 满足a =l o g 5(2b+3b),c =l o g 3(5b-2b),则( )㊂A .|a -c |ȡ|b -c |,|a -b |ȡ|b -c |B .|a -c |ȡ|b -c |,|a -b |ɤ|b -c |C .|a -c |ɤ|b -c |,|a -b |ȡ|b -c |D .|a -c |ɤ|b -c |,|a -b |ɤ|b -c |分析:根据题设条件,利用特殊值法,选取特殊值b =2,代入相应的关系式,合理作差比较,从而结合对数运算,排除不满足特殊值的选项,进而得到正确的结果㊂解:令b =2,则a =l o g 5(2b+3b)=l o g 513,c =l o g 3(5b -2b)=l o g 321,此时a <b <c ,即c -a >c -b >0,也即|a -c |>|b -c |,排除C ㊁D ㊂因为b -a =2-l o g 513=l o g 52513,c -b =l o g 321-2=l o g 373,又5>3>1,2513<73,所以c -b >b -a >0,即|a -b |<|b -c |,排除A ㊂应选B㊂特殊值法是 小题小做 的重要策略,利用特殊值法进行合理排除,是一种常见的解题方法,这种方法既可以提高解题速度,又能提高解题的准确性㊂五㊁引入参数法例5 已知l o g 2x =l o g 3y =l o g 5z >1,则2x ,3y ,5z的大小排序为( )㊂A .2x <3y <5z B .3y <2x <5z C .5z <2x <3yD .5z <3y <2x分析:根据题设条件中的不定方程引入参数,结合对数式与指数式的互化,可得对应代数式的指数幂形式,利用幂函数的单调性即可判断大小关系,从而得到三个代数式的大小排序㊂解:依题意可设l o g 2x =l o g 3y =l o g 5z =k >1,则2x =22k =21-k ,3y =33k =31-k,5z =55k =51-k ㊂因为1-k <0,所以21-k >31-k>51-k,所以5z <3y <2x㊂应选D㊂当题目条件中出现连等式时,可通过引入参数把连等式设为一个常数,利用指数式与对数式的相互转化,进行大小比较㊂利用此方法解决问题的关键是熟悉指数㊁对数运算公式,以及指数函数与对数函数的图像与性质的应用㊂1.(多选题)已知l o g 3a >l o g 3b ,则下列不等式一定成立的是( )㊂A .0<1b <1a B .l o g 3(a -b )>0C .3a -b>1D .13a<12b提示:由l o g 3a >l o g 3b ,可得a >b >0,所以0<1a <1b,A 错误㊂a -b >1不一定成立,所以l o g 3(a -b )>0不一定成立,B 错误㊂3a -b>30=1,C 正确㊂13a<13b<12b,D 正确㊂应选C D ㊂2.(多选题)已知函数m (x )=2x,h (x )=3x,且m (a )=h (b ),则下列式子可能成立的是( )㊂A .a <0,b >0B .a <b <0C .a =bD .0<b <a提示:在同一坐标系下画出函数m (x )和h (x )的图像(图略)㊂结合图像得,当m (a )=h (b )时,a ,b 的关系可能为a <b <0,a =b =0,0<b <a ㊂应选B C D ㊂作者单位:江苏省高邮第一中学(责任编辑 郭正华)5知识结构与拓展高一数学 2023年11月。

高中数学指数式、对数式比较大小的问题--------太原市交通学校 郝志隆指数式、对数式这类比较大小的问题，在高考数学中常常可以和函数的单调性、奇偶性、周期性等性质甚至是和函数图像结合在一起来考察，知识点放到一起变成一道综合题时，难度就加大了很多，所以考察方式非常灵活，要顺利完成这样的題目，我们需要会应用函数的单调性，指数式对数式的化简变形，特殊值的变形应用，函数图象的运用，不等式性质的应用等等知识。

一般来说，常见的式子的比较大小有如下几种类型：一、同底数或者同指数的式子，直接应用指数函数、对数函数或是幂函数的单调性来解决。

比如：例1：已知，则三个数a ，b ，c 的大小关系是______A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c【解答】解：因为底数3015<<，所以指数函数y=在R 单调递减，而﹣＜0＜3，故a ＞b ＞c ，故选：B ．二、利用特殊值0、1灵活变形进行比较，把数字初步分为小于0，0到1和大于1三大类例2：比较1201020192020120192020log log log2020a b c d ====、的大小【解答】解：102019202020201a =>=；即a>112201920191log (2020)log 20202b ==，所以22019201911log 2019log 201922b << 故得：112b <<；12202020202020111log 2019log 2019log 2020222c ==<=又2020log 10c >=所以，102c <<；1120192019log2020log10d =<= 所以d<0. ，因此a>1>b>1/2>c>0>d ，故a>b>c>d 。

指数函数、对数函数比较大小
指数函数对数函数的比较大小问题，在教材上有大量的直接考察习题，而且考点层次要求高，因而高考中已经多次直接进行考察，这一点内容可以不合其他知识点发生关联的情况下直接进行命题，足以可见其重要性。

一般来说，指数、对数比较大小我们采取的思路是：
首先，尽量将不同底数的指数、对数或幂函数，通过公式化成同一底数的，底数相同的指数函数或者对数函数，然后根据底数相同情况下的单调性，进行比较大小；
其次，对于确实不能化成同一底数的，我们尽量将真数或指数化成相同的，然后我们做出图像，也就是说同取一个x值，看不同指数式或者对数式所对应的函数值的大小，主要依据是：
根据指数函数在第一象限内底数越大图像越高；
对数函数在第一象限内绕（1，0）点顺时针排序底数增大（水平向右底数增大）；
最后，如果全都不能化成相同的，我们一般先做出图像，观察图像，判断大小，如果图像仍然不能解决问题，那么我们就应该考虑找中间值进行比较，中间值一般取0，-1,1，比如能否确定所要进行比较的数的正负、与1或-1的大小关系。

通过上述方式一般能解决所有比较大小问题。

全国高考数学复习微专题：指对数比较大小在填空选择题中，我们经常会遇到一类比较大小的问题，其中包含三个指数和对数，需要进行排序。

若两两进行比较，则需要花费较多的时间。

因此，本文介绍处理此类问题的方法和技巧。

一、技巧和方法1、如何快速判断对数的符号？我们可以使用“同区间正，异区间负”的八字真言来判断对数的符号。

具体而言，需要关注底数和真数，将区间分为(0,1)和(1,+∞)两部分。

如果底数和真数均在(0,1)或者均在(1,+∞)中，则对数的值为正数。

如果底数和真数一个在(0,1)中，一个在(1,+∞)中，则对数的值为负数。

例如，log3 0.50，log2 3>0等。

2、要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系。

一旦作图，大小关系就会变得明显。

3、比较大小的两个理念：1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可以通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系。

因此，需要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况。

例如，比较3、4、5时，可以进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同。

从而只需比较底数的大小即可。

2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中，通常可以优先选择“0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较。

有时可以简化比较的步骤。

例如，对于log2 3，我们可以知道1=log2 2<log2 3<log2 4=2，从而可以估计log2 3是一个1点几的数，便于比较。

4、常用的指对数变换公式：1）m（1）a=anm2）loga M+loga N=loga MNloga M-XXX(M/N)3）loga N=nloga N(a>0,a≠1,N>0)4）换底公式：XXX a1n XXX二、典型例题：例1：设a=log3 π，b=log2 3，c=log3 2.请按照大小顺序排列a、b、c。

解：首先，我们需要将这三个对数转化为同底数的形式。

指数对数比大小及各种题型总结题型一：定义域的求解定义域是函数$y=f(x)$中的自变量$x$的范围，求函数的定义域需要从以下几个方面入手：1.分母不为零；2.偶次根式的被开方数非负；3.对数中的真数部分大于$0$；4.指数、对数的底数大于$0$，且不等于$1$；5.$y=\tan x$中$x\neq k\pi+\frac{\pi}{2}$；$y=\cot x$中$x\neq k\pi$等等；6.其他限制条件。

例如：2019江苏理4】函数$y=7+6x-x^2$的定义域是$[-1,7]$。

解析】由已知得$7+6x-x^2\geq 0$，即$x^2-6x-7\leq 0$，解得$-1\leq x\leq 7$，故函数的定义域为$[-1,7]$。

题型二：求解方程求解指数函数和对数函数的方程，需要注意以下几个步骤：1.化为同底；2.取对数；3.解方程。

例如：2018江苏理5】函数$f(x)=\log_2(x-1)$的定义域为$[1,+\infty)$，则方程$f(x-2)+f(3-x)=1$的解集为________。

解析】由已知得$x-2>1$，$3-x>1$，即$x\in (1,5)$。

将$f(x-2)$和$f(3-x)$化为同底，得$\log_2(x-3)+\log_2(4-x)=1$，即$(x-3)(4-x)=2$，解得$x=1$或$x=7$，但$x\notin [1,5]$，故方程无解。

题型三：求解不等式求解指数函数和对数函数的不等式，需要注意以下几个步骤：1.化为同底；2.取对数；3.解不等式。

例如：2014山东理3】函数$f(x)=\frac{1}{\log_2 x-1}-2$的定义域为$(\frac{1}{2},+\infty)$，则不等式$f(x)\geq 0$的解集为________。

解析】由已知得$\log_2 x-1>\frac{1}{2}$，即$x>\sqrt{2}$。

关于“指数函数、对数函数⼤⼩⽐较问题”的探索2019-07-15关于⼤⼩⽐较的问题，是⾼考不可缺少的⼀个考点，但是考⽣遇到这道题往往有点不知所措，即使能做出来，也要花上相当多的时间，这不仅会影响这类题⽬的得分率，还会在很⼤程度上影响学⽣的考试状态.为此在历年的⾼考前，我都要进⾏这类题⽬的专门训练，下⾯是我近些年为⾼三学⽣复习“⼤⼩⽐较”专题时总结出的⼀点经验，供⼴⼤⾼考学⼦学习借鉴.【问题⼀】设a=log54,b=(log53)2,c=log54,⽐较a、b、c的⼤⼩.解：因为y=logax(a＞0,且a≠1)在a＞1时为增函数，在0＜a＜1时为减函数,所以，0＝log51＜log53＜log54＜log55=1.⼜易知log53＞(log53)2，⼜因为log45＞log44=1，所以显然有c＞a＞b.⼩结：本题显然由对数性质可得.解题后反思本题还能否⽤其他⽅法来解决.【问题⼆】设a=log3π,b=log23,c=log32,⽐较a、b、c的⼤⼩.解：因为π＞3，⼜log3π＞log33=1，即a＞1,此题关键是处理好b、c的⼤⼩⽐较，由于b、c这两者间没有相同的底数，但是注意观察就发现，有b>c,所以有a>b>c.（引导学⽣看到有log23=12log23＞12log22=12，即b＞12,⽽对于c=log32=12log32＜12log33=12，即c＜12.由于看出b、c均⽐a⼩，且均为正数.故⽽可以⽤求商法来判断b、c的⼤⼩，即可得到a、b、c的⼤⼩）.⼩结：对性质的综合运⽤是解决问题的关键.【问题三】设a=(35)25,b=(25)35,c=(25)25,⽐较a、b、c的⼤⼩.解：引导学⽣观察发现，a、c的指数均是25，⽽且35＞25＞0，所以显然有a>c,⼜看到b、c的底数均是25，且0＜25＜1，所以显然有b⼩结：注意观察，找出特征，进⽽利⽤性质来完成⽐较.【问题四】若x∈(e-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3x⽐较a,b,c的⼤⼩.解：因为e是⼀个⼤于2的⽆理数，所以0＜1e＜1.易知，a＜0,b＜0,c＜0,很显然c＞a＞b.⼩结：关键是要掌握绝对值⼩于1的数经过乘⽅后与它原来的绝对的⼤⼩进⾏⽐较.【问题五】若a=logπ0.8,b=(12)0.2,c=2-0.5，⽐较a、b、c的⼤⼩.解：因为a是⼀个对数函数，且底数π＞1,所以显然有a＜0,b=(12)0.2=2-0.2＞2-0.5=c＞0，所以显然有b＞c＞a.⼩结：本题关键是考察对数和指数函数的性质，同时在⽐较⼤⼩时，合理的取值也是关键.【问题六】设a=log32,b=ln2,c=5-12，⽐较a,b,c的⼤⼩.解：易知a、b均为正数，且都介于0到1之间，所以可以通过求商来判断它们的⼤⼩.ba=log3e＞1，所以a＜b.现在关键是⽐较a、c的⼤⼩，所以可以考虑⽤估算法来判断得到c＜a，所以b＞a＞c.⼩结：估算法要求学⽣记住⼀些较为常⽤的数的近似数.有些题在按照常规法解答较慢时，⽤估算解近似值往往能起到事半功倍的效果.总之，⼤⼩⽐较是有规律可循的，但是在考场上要能做到快速准确地答题，仅靠基本理论和常规⽅法是不够的，还需要在平时积累⼀定的解题技巧，尤其是要把规律性与特殊性有效结合，才能做到解题快速、灵活⽽⼜⾼效.注：本⽂为⽹友上传，不代表本站观点，与本站⽴场⽆关。

一道比较大小问题的五种解法题目（2022年新高考全国1卷第7题）设a=0.1e0.1 ,b=19,c=−ln0.9 ,则（）A.a<b<cB. c<b<aC. c<a<bD. a<c<b从这道题看，命题者匠心独具，将指数、对数有机地联系在一起，编制出一道比较大小的选择题，全面考查了学生的数学素养和思维能力，是最近几年高考的热点，同时由于这道试题综合性强、复杂程度大，在高考选拔中有很好的区分度.本文将从不同视角入手分析进而给出五种不同解法，供大家参考.解法一：先比较a与b,构造函数f(x)=(1−x)e x−1 ,当x>0,则f′(x)=−xe x<0,故f(x)在[0,+∞)上单调递减，从而有f(0)>f(0.1),即0.9e0.1−1<0 .故a<b.同理，当x< 0时，则f′(x)=−xe x>0,故f(x)在(−∞,0]上单调递增，从而有f(ln0.9)<f(0),即(1−ln0.9)e ln0.9−1<0,化简得−ln0.9<19.故c<b .最后比较a与c的大小，构造定义在[0,0.1]上的函数g(x)=xe x+ln⁡(1−x),则g′(x)=(1−x2)e x−11−x,令ℎ(x)=(1−x2)e x−1,则ℎ′(x)=(1−2x−x2)e x>0,故ℎ(x)=(1−x2)e x−1在[0,0.1]上单调递增，因此，ℎ(x)>ℎ(0)=0,从而当x∈[0,0.1],⁡g′(x)=(1−x2)e x−11−x>0⁡.故函数g(x)=xe x+ ln⁡(1−x)在在[0,0.1]上单调递增，于是g(0.1)>g(0),即0.1e0.1+ln0.9>0 ,故a>c .综上，选择C.点评对于含有指数式，对数式比较大小问题，通常方法是结合函数的单调性及中间值来比较大小，但对这道比较复杂的题，则需要结合题目特征，构造几个合适的函数，通过导函数来研究其单调性，最终比较出大小.解法二令a=xe x,b=x1−x,c=−ln⁡(1−x),由lna−lnb=x+lnx−[lnx−ln(1−x)]=x+ln(1−x), 令y=x+ln(1−x),当x∈[0,0.1],y′=1−11−x<0,所以y<0,即a<b. 比较a与c的大小，利用做差法，以下与解法一方法类似.点评本解法利用了取对数运算后再构造函数，利用函数单调性，最后比较出大小，此种方法有种高屋建瓴的感觉.解法三由三个不等式e x>x+1,e x<11−x ⁡⁡⁡(x<1)⁡,lnx<12(x−1x)⁡⁡⁡⁡(x>1).在前两个式子中令x=0.1,得0.1+1<e0.1<11−0.1 ,化简得0.11<0.1e0.1<19.故0.11<a<b.在上面第三个式子中令x=109 ,得ln109<12(109−910) ,化简得−ln0.9<19180<0.11 ,故c<a<b .点评此种方法充分利用了几个不等式进行放缩，再进行赋值运算，最后比较大小.这几个不等式可以利用导数判断其单调性来证明，有兴趣者可以自行证明.其中c与b的大小比较，可以利用lnx<x−1 , 这个不等式. 同时，我们在平时训练中可以适当记住一些重要不等式，就能使我们从较高的角度把握全局，从而快捷准确的找到解决问题的路径，这样可以提高我们的解题速度.解法四由ab=0.9e0.1=e0.1+ln0.9<e0.1+(0.9−1)=1,又a>0,b>0,所以a<b.由ac =0.1e0.1−ln0.9=0.1e0.1×10−9ln10−ln9>0.1e0.1√10×9>0.1×(0.1+1)√90>1,又a>0,c>0,所以a>c.于是c<a<b.点评本解法先利用作商法，然后利用不等式进行放缩进行运算，最后得出答案.此解法中第一部分比较中应用不等式lnx<x−1,在第二部分中应用到a−blna−lnb>√ab和e x>x+ 1.解法五从泰勒展开式e x=1+x+x22!+⋯+x nn!+⋯ln(1−x)=−x−x22−x33−⋯−x nn−⋯因为a=0.1e0.1≈0.1×(1+0.1+0.122!)=0.1105,b=19≈0.1111,c=−ln(1−0.1)≈−(−0.1−0.122−0.133)=0.1053,因此c<a<b.点评本解法利用了高等数学中泰勒展开式求出它们的近似值，从而比较出其大小.学有余力的同学可以适当了解一些简单的高数知识，到时候可以秒杀一些压轴的客观小题，从而为取得高分添砖加瓦,但不能过分强求，本末倒置，反而得不偿失.在数学学习中，时时刻刻离不开解题，在解题时我们要充分挖掘题设中的条件、结构、数据之间的联系，多角度分析问题，把每道题研究透，总结出其所含的一些数学思想方法.同时把这些思想方法运用到解决其他题目上去，起到举一反三，不断提升自身的数学素养.。

函数比较大小1专项突破一指数式、对数式，幂式比较大小1已知a=log2e，b=ln2，c=1e，其中e为自然对数的底数，则()A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a【解析】∵log2e>log22=1=lne>ln2>ln2=12>1e，∴a>b>c.故选：A.2设a=325，b=253，c=log325，则()A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a 【解析】结合指数函数性质和对数函数性质可知a=325>30=1，0<b=25 3<25 0=1，c=log325<log31=0，∴a>b>c，故选：A.3已知a,b,c,d∈R,2a=3b=log12c=log13d=2，则()A.a<b,c<dB.a<b,c>dC.a>b,c<dD.a>b,c>d【解析】因为a,b,c,d∈R,2a=3b=log12c=log13d=2，所以a=1,b=log32<1，故a>b，c=122=14,d=13 2=19，所以c>d.故选：D.4若a=50.3，b=0.35，c=ln sin22020，则a，b，c的大小关系为()A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b 【解析】a=50.3>1，b=0.35∈0,1，0<sin22020<1，所以c=ln sin22020<0，所以a>b>c 故选：A5已知a=1213，b=53 12，c=log2352，则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c【解析】a=1213<12 0=1，b=53 12>53 0=1，c=log2352<log231=0，∴b>1>a>0>c.故选：C.6已知a=30.5，b=log32，c=tan 56π，则()A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b【解析】∵30.5>30=1=log33>log32>log31=0>-33=tan5π6，∴a>b>c.故选：A.7已知幂函数f x 的图象经过点A3,27与点B t,64，a=log0.1t，b=0.2t，c=t0.1，则() A.c<a<b B.a<b<c C.b<a<c D.c<b<a【解析】设幂函数f x =xα，因为点A3,27在f x 的图象上，所以27=3α，α=3，即f x =x3，又点B t,64在f x 的图象上，所以64=t3，则t=4，所以a=log0.14<0，0<b=0.24<1，c=40.1>1，所以a<b<c，故选：B8已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0(x 1≠x 2)，a =f log 1312，b =f log 213 ，c =f 512，则()A.a >b >cB.c >a >bC.b >a >cD.c >b >a【解析】因为对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0(x 1≠x 2)，所以f (x )在(0,+∞)上单调递增，又函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (x )=f (-x )因为log 1312=log 32，又0=log 31<log 32<log 33=1所以log 1312∈0,1 ，又1=log 22<log 23<log 24=2，512=5>2所以0<log 1312<log 23<512，所以f log 1312 <f log 23 =f -log 23 =f log 213 <f 512 所以c >b >a .故选：D .9已知定义在R 上的偶函数f x 满足f x +6 =f x ，且当x ∈0,3 时，f x =x e x ，则下面结论正确的是()A.f ln3 <f e 3 <f -eB.f -e <f ln3 <f e 3C.f e 3 <f -e <f ln3D.f ln3 <f -e <f e 3【解析】∵x ∈0,3 ，f x =x e x ，∴f x =e x x +1 ，∴x ∈0,3 时，f x 单调递增；∵f x +6 =f x ，∴x ∈18,21 ，f x 单调递增；∵2+3×6<e 3<e +3×6，∴f 2+3×6 <f e 3 <f e +3×6 ，∴f 2 <f e 3 <f e ，∵f -x =f x ∴f -e =f e ，∴0<ln3<lne 2=2，∴f ln3 <f 2 ，综上所述，f ln3 <f e 3 <f -e .故选：A .10已知定义在R 上的函数y =f (x -1)的图象关于点(1，0)对称，且函数y =f (x )在(0,+∞)上单调递增，a =0.23，b =30.2，c =log 0.20.3，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为()A.f (a )>f (b )>f (c )B.f (c )>f (a )>f (b )C.f (b )>f (c )>f (a )D.f (c )>f (b )>f (a )【解析】因为函数y =f (x -1)的图象关于点(1，0)对称，所以y =f (x )的图象关于点(0，0)对称,即函数y =f (x )为奇函数，所以a =0.23=0.008，b =30.2>30=1，c =log 0.20.3=log 0.20.09>log 0.20.2=12，故b >c >a >0，又函数y =f (x )在(0,+∞)上单调递增，所以f (b )>f (c )>f (a )，故选：C .11已知a =ln 12，b =ln lg2 ，c =lg ln2 则a ，b ，c 的大小关系是()A.c >a >bB.c >b >aC.a >b >cD.b >c >a【解析】先比较a ,b ，易知lg2<12,故ln (lg2)<ln 12，即b <a ，又e <10，故x >1时ln x >lg x ，0<x <1时ln x <lg x ，故lg 12>ln 12，而ln2>12，故lg (ln2)>lg 12>ln 12，有c >a ，故选：A ，12已知x ∈1,2 ，则下列说法正确的是()A.ln22x>2ln2x >x 2ln2 B.x 2ln2>ln22x>2ln2xC.2ln2x >x 2ln2>ln22xD.2ln2x >ln22x>x 2ln2【解析】∵x 2ln2=ln2x 2，2ln2x =ln 2x 2，∴比较2x 2，2x 2，22x的大小关系即可．1、当x ∈1,2 时，x 2<2x ，x 2<2x ，故2x 2<22x ，2x 2<2x 2，故x 2ln2<ln22x，x 2ln2<2ln2x ．2、令2x =t ∈2,4 ，则2x 2=t 2，22x=2t ．由2t <t 2，即22x<2x 2，则2ln2x >ln22x．综上，2ln2x >ln22x>x 2ln2.故选：D ．13(多选)已知a ,b ,c ∈R ，且ln a =e b =1-c ，则下列关系式中可能成立的是()A.a >b >cB.a >c >bC.c >a >bD.c >b >a【解析】设ln a =e b =1-c =t ,t >0，则a =e t ,b =ln t ,c =1-t ，在同一直角坐标系中分别画出函数y =e x ,y =ln x ,y =1-x 的图像，当0<t <1时，a >c >b ，当t =1时，a >c =b ，当t >1时，a >b >c ，故AB 正确.14(多选)若b >c >32，13<a <12，则()A.b log c a <c log b aB.bc a <cb aC.b a >c aD.log b a <log c a【解析】对于A 选项，因为b >c >32，13<a <12，则log c a <0，log b a <0，b b >b c >c c >1，b log c a c log b a =b lg a lg c ⋅lg b c lg a =lg b blg c c>1，所以，b log c a <c log b a ，A 对；对于B 选项，bc a cba =bc ⋅b c -a =b c 1-a >b c 0=1，则bc a >cb a ，B 错；对于C 选项，b a >c a ，C 对；对于D 选项，log b a log c a =lg a lg b ⋅lg c lg a =lg clg b<1，所以，log b a >log c a ，D 错.故选：AC .15已知a =2-13，b =log 213，c =log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为.【解析】因为y =2x 在R 上为增函数，且-13<0，所以0<2-13<20=1，即0<a <1，c =log 1213=log 23因为y =log 2x 在(0,+∞)上为增函数，且0<13<1<2<3，所以log 213<log 21<log 22<log 23，即log 213<0<1<log 23，即b <0<1<c ，所以b <a <c ，16若a =log 23，b =log 48，c =log 58，则a ,b ,c 的从大到小顺序为.【解析】由于b =log 48=12log 28=log 28<log 29=a ，即a >b .由b =log 48=1log 84>1log 85=c ，即b >c .所以a >b >c .17已知a =3525，b =25 35，c =2525，则a ，b ，c 的大小关系为.(用“<” 连接)【解析】由于函数y =25 x 在R 上是减函数，且35>25，∴c =25 25>b =25 35，由于函数y =x 25在0,+∞ 上是增函数，且35>25，∴a =35 25>c =25 25，故a ，b ，c 的大小关系是b <c <a .18 1.10.9，log 1.10.9，log 0.70.8的大小关系是.【解析】因为y =1.1x 单调递增，所以1.10.9>1.10=1；因为y =log 1.1x 在0,+∞ 上单调递增，所以log 1.10.9<log 1.11=0；因为y =log 0.7x 在0,+∞ 上单调递减，所以0=log 0.71<log 0.70.8<log 0.70.7=1；所以1.10.9>log 0.70.8>log 1.10.9.19已知a >b >0，且a +b =1，x =1a b ，y =log ab 1a +1b ，z =log b 1a ，则x ，y ，z 从大到小为.【解析】∵a >b >0，a +b =1，∴1>a >12>b >0，∴1<1a <1b，∴x =1ab >1a 0=1，y =log (ab )1a +1b =log (ab )1ab=-1，z =log b 1a >logb 1b =-1.∴x >z >y .20已知55<84，134<85，设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则a ，b ，c 的大小关系是.(用“<”连接)【解析】由题意，知a ,b ,c ∈0,1 .因为a b =log 53log 85=lg3lg5⋅lg8lg5<1lg52⋅lg3+lg822=lg3+lg82lg52=lg24lg252<1，所以a <b ，由b =log 85，得8b =5；由55<84，得85b <84，所以5b <4，可得b <45，由c =log 138，得13c =8；由134<85，得134<135c ，所以5c >4，可得c >45，综上所述，a ，b ，c 的大小关系是a <b <c .21已知x ,y ,z 分别满足下列关系：18x =19,19y =20,log 1918z =2019，则x ,y ,z 的大小关系(从小写到大).【解析】因为18x=19,19y=20,log 1918z =2019，所以x =log 1819,y =log 1920,z =1918 2019，x -y =log 1819-log 1920=ln19ln18-ln20ln19=ln19 2-ln20⋅ln18ln18⋅ln19ln20⋅ln18<ln20+ln182 2=ln3602 2<ln36122=ln19 2，所以x -y >0即x >y ，z =1918 2019>1918，z x >1918log 1819=1918⋅ln18ln19=ln1818÷ln1919>1所以z >x ，故有y <x <z 22设a ,b ,c 均为正数，且2a =12a log ,12b=12b log ,12c=2c log .则a ,b ,c 的大小关系为．【解析】a ,b ,c 分别是函数y =2x ,y =log 12x 的交点，函数y =12x,y =log12x 的交点，函数y =12x,y =log 2x 的交点，做出三函数图像，由图像可知a <b <c .23比较下列各组数中两个数的大小：(1)250.3与13 0.3；(2)-23 -1与-35-1；(3)250.3与0.325.【解析】(1)∵0<0.3<1，∴y =x 0.3在0,+∞ 上为增函数.又25>13，∴25 0.3>130.3；(2)∵y =x -1在-∞，0 上是减函数，又-23<-35，∴-23 -1>-35 -1；(3)∵y =x 0.3在0,+∞ 上为增函数，∴由25>0.3，可得250.3>0.30.3，①又y =0.3x 在(-∞,+∞)上为减函数，∴0.30.3>0.325，②由①②知250.3>0.325.24比较下列几组值的大小：(1)(-2.5)23和(-2.5)45；(2)25-12和(0.4)-32；(3)13-12和32-12；(4)0.4-2.5，2-0.2，2.51.6．【解析】(1)由于(-2.5)23=2.523，(-2.5)45=2.545．∵y =2.5x 在R 上为增函数，且45>23，∴2.545>2.523，即(-2.5)45>(-2.5)23；(2)由于(0.4)-32=25 -32．∵y =25 x 在R 上为减函数，且-12>-32，∴25-12<(0.4)-32；(3)∵y =13 x 在R 上为减函数，y =32 x 在R 上为增函数，且-12<0，∴13-12>1，32 -12<1，∴13 -12>32 -12；(4)∵0.4-2.5=2.52.5，y=2.5x在R上为增函数，且2.5>1.6>0>-0.2∴2.52.5>2.51.6>1>2.5-0.2，∴0.4-2.5>2.51.6>2-0.2．2专项突破二构造函数比较大小1已知f (x)是定义在R上的函数f(x)的导函数，且满足xf (x)+f(x)>0对任意的x∈R都成立，则下列选项中一定正确的是()A.f(1)>f(2)2B.f(1)2>f(2) C.f(1)<f(2)2D.f(1)2<f(2)【解析】令F x =xf x ，则F x =xf (x)+f(x)>0，故F x 为R上的增函数，所以F2 >F1 即2f2 >f1 ，故选：D.2若a=ln33，b=e-1，c=5ln2010(e为自然对数的底数)，则实数a，b，c的大小关系为()A.b<a<cB.c<a<bC.c<b<aD.b<c<a【解析】令f(x)=ln xx，则f(x)=1-ln xx2，故当x∈(0,e)时，f (x)>0；当x∈(e,+∞)时，f (x)<0；而a=ln33=ln33=f(3)，b=e-1=lnee=f(e)，c=5ln2010=ln2525=f25，而e<3<25，故b>a>c，故选：B3已知a=ln33，b=1e，c=ln55，则以下不等式正确的是()A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.b>c>a【解析】令f x =ln xx,则f x =1-ln xx2,当0<x<e时,f x >0,f x 单调递增,当x>e时,f x <0,f x 单调递减,因为e<3<5,所以f e >f3 >f5 ,所以b>a>c，故选:C4设a=3e2lne23，b=1e，c=ln22，则a，b，c的大小顺序为()A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c【解析】令f x =ln xxx>0，则f (x)=1-ln xx2，当x>e时，f (x)<0，函数单调递减，当0<x<e时，f (x)>0，函数单调递增，故当x=e时，函数取得最大值f e =1 e，因为a=3e2lne23=f e23，c=ln22=f2 ，b=1e=f e ，∵2<e23<e，当0<x<e时，函数f x 单调递增，可得f2 <fe23<f e ，即c<a<b．故选：B．5已知a=810，b=99，c=108，则a，b，c的大小关系为() A.b>c>a B.b>a>c C.a>c>b D.a>b>c【解析】构造f x =18-xln x，x≥8，f x =-ln x+18x-1，f x =-ln x+18x-1在8,+∞时为减函数，且f 8 =-ln8+94-1=54-ln8<54-lne2=54-2<0，所以f x =-ln x+18x-1<0在8,+∞恒成立，故f x =18-xln x在8,+∞上单调递减，所以f8 >f9 >f10，即10ln8>9ln9>8ln10，所以810>99>108，即a>b>c.故选：D 6已知实数a，b满足a=log23+log86，5a+12a=13b，则下列判断正确的是() A.a>2>b B.b>2>a C.b>a>2 D.a>b>2【解析】a=log23+log86=log23+13log22×3=43log23+13>43log222+13=43×32+13=73>2，所以a>2；由5a+12a=13b且a>2，所以5a+12a>25+144=169，所以b>2，令f x =5x+12x-13x，x>2，令t=x-2>0，则x=t+2，则f x =5x+12x-13x，x>2等价于g t =25×5t+144×12t-169×13t，t>0；又g t =25×5t+144×12t-169×13t<169×12t-169×13t<0，所以当x>2时，f x =5x+12x-13x<0，故5a+12a=13b<13a，所以a>b>2.故选：D.7设a=20202022，b=20212021，c=20222020，则() A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.c>b>a【解析】∵ln aln b=2022ln20202021ln2021=ln20202021ln20212022，构造函数f x =ln xx+1x≥e2，f x =x+1-x ln xx x+12，令g x =x+1-x ln x，则g x =-ln x<0，∴g x 在e2,+∞上单减，∴g x ≤g e2 =1-e2<0，故f x <0，∴f x 在e2,+∞上单减，∴f2020>f2021>0，∴ln aln b=f2020f2021>1∴ln a>ln b.∴a>b，同理可得ln b>ln c，b>c，故a>b>c，故选：A8设a=23e 1.5，b=23(4-ln2)，c=e33，则a,b,c的大小关系是()A.b<c<aB.c<b<aC.b<a<cD.a<b<c【解析】①先比较a,c：a=23e 1.5=e3232，c=e33，设函数f(x)=e xx2，则f (x)=e x(x-2)x3<0，得函数f(x)在(0,2)单调递减，f (x)=e x(x-2)x3>0得函数f(x)在(2,+∞)单调递增所以f(3)<f32即c<a；②再比较b,c：由①知f min(x)=f(2)=e 24<f(3)=c，而b=2232-12ln2=232+ln1212，设h(x)=23(ln x+2)x，h(x)=-23(ln x+1)x2当0<x<1e，h(x)>0，h(x)单调递增，当x>1e，h(x)<0，h(x)单调递减，所以b=h12<h max(x)=h1e =23e，而23e<e4.e=e24<f(3)=c，所以b<c，故选：A9已知a,b,c∈(0,1)，且a2-2ln a+1=e，b2-2ln b+2=e2，c2-2ln c+3=e3，其中e是自然对数的底数，则() A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a【解析】设f x =x2-2ln x,g x =e x-x，则f a =g1 ,f b =g2 ,f c =g3 ，又g x =e x-1>0x>0，所以g x 在0,+∞上单调递增，所以g3 >g2 >g1 ，即f c >f b >f a ，因为fx =2x -2x =2x 2-1 x<0x ∈0,1 ，所以f x 在0,1 上单调递减，所以a >b >c ，故选：A10设a =e 1.3-27,b =4 1.1-4,c =2ln1.1，则()A.a <b <cB.a <c <bC.b <a <cD.c <a <b【解析】∵e 1.3 2=e 2.6<e 3<33，(27)2=28>33，∴e 1.3<27，∴a <0；b -c =4 1.1-4-2ln1.1=22 1.1-2-ln1.1 ，令f x =2x -2-ln x ，∴f x =1x-1x =x -1x ，∴当0<x <1时，f x <0，f x 单调递减；当x >1时，f x >0，f x 单调递增；∴f (x )min =f 1 =0，∴f 1.1 >0，即2 1.1-2-ln1.1>0，∴c <b ，又c =2ln1.1>2ln1=0，∴a <c <b ．故选：B ．11已知定义在R 上的偶函数f x 满足f x +6 =f x ，且当x ∈0,3 时，f x =x e x ，则下面结论正确的是()A.f ln3 <f e 3 <f -eB.f -e <f ln3 <f e 3C.f e 3 <f -e <f ln3D.f ln3 <f -e <f e 3【解析】∵x ∈0,3 ，f x =x e x ，∴f x =e x x +1 ，∴x ∈0,3 时，f x 单调递增；∵f x +6 =f x ，∴x ∈18,21 ，f x 单调递增；∵2+3×6<e 3<e +3×6，∴f 2+3×6 <f e 3 <f e +3×6 ，∴f 2 <f e 3 <f e ，∵f -x =f x ∴f -e =f e ，∴0<ln3<lne 2=2，∴f ln3 <f 2 ，综上所述，f ln3 <f e 3 <f -e .故选：A .12设a =10099，b =e 0.01，c = 1.02，则()A.a >b >cB.a >c >bC.b >a >cD.c >a >b【解析】令f x =e x -x +1 ，则f x =e x -1，所以当x <0时f x <0，当x >0时f x >0，所以f x 在0,+∞ 上单调递增，在-∞,0 上单调递减，所以f x ≥f 0 =0，即e x -x +1 ≥0恒成立，即e x ≥x +1(当x =0时取等号)，所以e 0.02>1+0.02⇒e 0.01> 1.02，∴b >c ，又e -x ≥1-x (当x =0时取等号)，所以当x <1且x ≠0时，有1e x >1-x ⇒e x <11-x ，∴e 0.01<11-0.01=10099，∴a >b ．故选：A 13已知a =e 0.1-1，b =sin0.1，c =ln1.1，则()A.a <b <cB.b <c <aC.c <a <bD.c <b <a【解析】令f x =e x -1-sin x ，∴f x =e x -cos x ，当x >0时，e x >1，∴e x -cos x >0，∴f x >0，f x 单调递增，∴f 0.1 >f 0 ，即e 0.1-1-sin0.1>0，∴e 0.1-1>sin0.1，即a >b ，令g x =ln x +1 -sin x ，∴g x =1x +1-cos x =1-x +1 cos x x +1=1-x cos x -cos xx +1，令h x =1-x cos x -cos x ，∴h x =x +1 sin x -cos x令φx =x +1 sin x -cos x ，∴φ x =2sin x +x +1 cos x ，当0<x <π6时，φ x >0，∴h x 单调递增，∴h x <h π6 =π6+1 sin π6-cos π6=π+61-312<0∴h x 在x ∈0,0.1 上单调递减，∴h x <h 0 =0，∴g x <0，∴g x 在x ∈0,0.1 上单调递减，∴g 0.1 <g 0 =0，即ln1.1-sin0.1<0，∴c <b 综上：c <b <a .故选：D .14(多选)f x 是定义在非零实数集上的函数，f x 为其导函数，且x >0时，xf x -f x <0，记a =f 20.2 20.2，b =f 0.22 0.22，c =f log 25 log 25，则错误的有()A.a <b <cB.b <a <cC.c <a <bD.c <b <a【解析】令g x =f x x ，得gx =xf x -f x x 2，由x >0时，xf x -f x <0，得g x <0，g x 在0,+∞ 上单调递减，又log 25>log 24=2，1<20.2<2，0<0.22=0.04<1，可得log 25>20.2>0.22，故g log 25 <g 20.2 <g 0.22 ，故c <a <b ，故选：ABD 15(多选)若正实数a ,b 满足13a+log 13a =19b+2log 19b ，则下列结论正确的有()A.a >bB.a ≤bC.a <2bD.a ≥2b【解析】设f x =13x+log 13x ，则f x 在0,+∞ 为减函数，因为13a+log 13a =19b +2log 19b =19 b+log 13b ,所以f a -f b =13a+log 13a -13b +log 13b =19 b +log 13b -13 b+log 13b =19b-13b=132b-13b，因为2b >b >0,所以132b<13b，所以132b-13b<0，即f a <f b ，从而a >b ,所以A 正确，B错误；而f a -f 2b =13a +log 13a -13 2b +log 132b =13 2b +log 13b -13 2b +log 132b =log 13b -log 132b >0,所以f a >f 2b ,所以a <2b ，所以C 正确，D 错误.故选：AC .16(多选)已知定义在0,π2上的函数f (x )的导函数为f (x )，且f (0)=0，f (x )⋅cos x +f (x )sin x <0，则下列选项中正确的是()A.f π6<62f π4 B.f π3 >0 C.f π6 >3f π3 D.f π4 >2f π3 【解析】令g (x )=f (x )cos x ，x ∈0,π2 ，则g (x )=f (x )cos x +f (x )sin x cos 2x.因为f (x )cos x +f (x )sin x <0，所以g (x )=f (x )cos x +f (x )sin x cos 2x<0在0,π2 上恒成立，所以函数g (x )=f (x )cos x在0,π2 上单调递减，所以g π6 >g π4 ，即f π6 cos π6>f π4 cos π4，f π6 >62f π4，故A 错误；又f (0)=0，所以g (0)=f (0)cos0=0，所以g (x )=f (x )cos x≤0在0,π2 上恒成立，因为π3∈0,π2 ，所以f π3 ≤0，故B 错误；又g π6 >g π3 ，所以f π6cos π6>f π3 cos π3，即f π6 >3f π3，故C 正确；又g π4 >g π3 ，所以f π4 cos π4>f π3 cos π3，即f π4 >2f π3 ，故D 正确.故选：CD .17若a =2ln (ln1.01),b =ln ln3π2,c =23ln2，则a ，b ，c 的大小关系为．【解析】因为b =ln ln 3π2=2ln ln 3π =2ln ln π3 ，c =23ln2=2ln213，所以构造函数f x =2ln x ，由对数函数的性质知，f x 在0,+∞ 上单调递增，所以只需比较ln1.01，ln π3，213的大小，由于1.01×3=3.03<π，故π3>1.01,所以ln1.01<ln π3<1<213,所以a =2ln (ln1.01)<b =2ln ln π3<2ln213=23ln2=c ,故答案为：a <b <c18已知f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有x 2f x 1 -x 1f x 2x 1-x 2<0，记a =f 4.10.2 4.10.2，b =f 0.42.1 0.42.1，c =f log 0.24.1log 0.24.1，则a ，b ，c 的大小关系．【解析】设0<x 1<x 2，因为x 2f x 1 -x 1f x 2 x 1-x 2<0，则x 2f x 1 -x 1f x 2 >0，即f x 1 x 1>f x 2x 2，所以函数g x =f xx 在0,+∞ 上单调递减．因为f x 是定义在R 上的奇函数，所以g -x =f -x -x =-f x -x =f xx =g x ，所以g x 是定义在-∞,0 ∪0,+∞ 上的偶函数，因此a =f 4.10.24.10.2=g 4.10.2 <g 1 ，b =f 0.42.10.42.1=g 0.42.1 >g 0.42>g 0.5 ，c =f log 0.24.1 log 0.24.1=g log 0.24.1 =g log 54.1 ∈g 1 ,g 12 ，即a <c <b ．。