专题08 利用指数函数、对数函数、幂函数的性质解决大小比较问题-

指数函数幂函数对数函数的比较1. 引言嘿，大家好！今天我们来聊聊一些数学里的“明星”——指数函数、幂函数和对数函数。

这三位可不是普通的数学函数，它们在生活中扮演着重要的角色，像是在演一场大戏，各自有各自的风格和特点。

别看它们名字听起来很高大上，其实咱们可以用简单易懂的方式来理解它们，今天就让我们轻松愉快地把这些数学概念捋一捋！2. 指数函数的魅力2.1 指数函数是什么先来看看指数函数，简单来说，它的形式就是 ( f(x) = a^x )，其中 ( a ) 是一个正数，比如 2、3、甚至更大。

这个函数的特征就是，随着 ( x ) 的增加，函数值会迅速飞涨，简直就像是火箭发射！想象一下，当你用 ( a=2 ) 时，( x ) 从 1 增加到 10，结果就从 2 跑到了 1024，哇哦，真是个“数”字飞人！2.2 日常应用这玩意儿在哪用呢？比如说，利息计算就是个典型的例子。

银行给你存款利息，随着时间的推移，利息就像坐上了直升机，飞速增长。

这让人觉得，哦，时间就是金钱，没错！而且在科学和工程领域，指数函数也经常被用到，比如放射性衰变、人口增长等，简直无处不在。

3. 幂函数的风采3.1 幂函数是什么再说说幂函数，它的形式是 ( f(x) = x^n )，其中 ( n ) 是个常数。

你可以把它想象成在做一些小型的数学“杂技”，当 ( n ) 是正整数时，随着 ( x ) 的增加，函数值也是在慢慢上涨，但没那么快。

就像爬山一样，虽然一路上坡，但总有些缓冲。

3.2 常见场景幂函数在生活中也常常见到，比如说，物体的体积和边长的关系就是个典型的例子。

如果你有一个立方体，边长增加一倍，体积可是翻了八倍哦，真是让人惊掉下巴！而且在物理学中，许多公式，比如牛顿的引力定律，也都涉及到幂函数的运算，可以说是非常“靠谱”的小伙伴。

4. 对数函数的智慧4.1 对数函数是什么接下来我们要聊的是对数函数，形式为 ( f(x) = log_a(x) )。

指数函数、幂函数和对数函数是高中数学中的重要概念，它们在数学和现实生活中都有着重要的应用。

在本篇文章中，我们将深入探讨这三种函数的性质，以及它们之间的比较大小关系。

通过本文的阅读，你将能够更全面地理解这些函数的特点，并从中获得更深入的数学启发。

1. 指数函数指数函数是数学中常见的一种函数，其一般形式可表示为 y = a^x，其中a为常数且不等于1。

指数函数的特点是随着自变量x的增大，函数值y以指数方式增长或者下降。

指数函数在自然科学、工程技术以及金融领域都有着广泛的应用，例如放射性衰变、人口增长模型等都可以使用指数函数来描述。

在指数函数中，底数a的大小决定了函数的增长速度，当a大于1时，函数呈现增长趋势；当a在0和1之间时，函数呈现下降趋势。

2. 幂函数幂函数是指数函数的一种特殊形式，其一般形式可以表示为y = x^a，其中a为常数。

幂函数的特点是自变量x的次幂影响了函数值y的大小，不同的a值会导致函数曲线的形状发生变化。

当a为正数时，幂函数呈现增长趋势；当a为负数时，幂函数呈现下降趋势。

幂函数在物理学、生物学以及经济学中都有着重要的应用，例如牛顿定律中的物体受力情况、生物种群数量增长模型等都可以用幂函数来描述。

3. 对数函数对数函数是幂函数的逆运算，常见的对数函数有以10为底的常用对数函数和以e为底的自然对数函数。

对数函数的一般形式可以表示为 y= loga(x)，其中a为底数。

对数函数的特点是能够将幂函数转化为线性函数，便于进行求解和分析。

对数函数在科学领域、信息论以及计算机科学中有着广泛的应用，例如信噪比的计算、数据压缩算法等都离不开对数函数的运算。

指数函数、幂函数和对数函数各自具有独特的特点和应用，它们在数学领域和现实生活中都扮演着重要的角色。

在比较大小方面，一般来说，指数函数增长速度最快，其次是幂函数，对数函数增长速度最慢。

在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的函数来进行建模和求解。

指数函数幂函数对数函数比较大小指数函数、幂函数和对数函数是数学中常见的函数类型，它们在许多领域都有重要的应用。

在本文中，我们将对指数函数、幂函数和对数函数进行全面评估，比较它们之间的大小关系，并分享个人观点和理解。

1. 指数函数指数函数是以底数为常数的指数幂的形式表示的函数。

一般形式为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数，a>0且a≠1。

指数函数的特点是随着自变量x的增大而迅速增大或迅速减小。

当底数a大于1时，函数呈现增长趋势；当底数a在0和1之间时，则呈现衰减趋势。

指数函数具有许多重要的性质。

当指数为0时，函数的值为1；当指数为正无穷大时，函数的值趋近于无限大；当指数为负无穷大时，函数的值趋近于0。

指数函数的图像通常表现出一条平滑的曲线，上升或下降的趋势明显。

2. 幂函数幂函数是以自变量的某个常数次幂为形式的函数。

一般形式为f(x) = x^a，其中x为自变量，a为常数。

幂函数的特点是在低次幂下增长缓慢，在高次幂下增长迅速。

幂函数的性质取决于幂指数a的值。

当a为正数时，函数呈现增长趋势；当a为负数时，函数呈现衰减趋势；当a为奇数时，函数的值与自变量的正负关系一致；当a为偶数时，函数的值始终为正。

幂函数的图像通常是一个类似于开口塔尖或开口塔底的曲线，随着幂指数的变化，图像形状也会发生明显的改变。

3. 对数函数对数函数是指以一个正数为底数，对底数取幂后得到真数的函数。

一般形式为f(x) = log_ax，其中a为底数，x为真数。

对数函数的特点是将指数运算转化为对数运算，通过求解x在底数a下的幂指数得到结果。

对数函数的底数a通常选择为常见的数学常数e或者常用的底数10。

当底数a为e时，对数函数也称为自然对数函数，通常表示为ln(x)。

对数函数的性质包括：log_a1 = 0；log_aa = 1；对数函数与指数函数是互逆运算。

幂函数、指数函数与对数函数知识方法扫描一、指数函数及其性质形如y =a x (a >0,a ≠1)的函数叫作指数函数，其定义域为R ，值域为(0,+∞)．当0<a <1时，y =a x 是减函数，当a >1时，y =a x 为增函数，它的图像恒过定点(0,1)．二、分数指数幂a 1n=na ,a m n=n a m ,a -n=1an ,a -mn =1na m三、对数函数及其性质对数函数y =log a x (a >0,a ≠1)的定义域为(0,+∞)，值域为R ，图像过定点(1,0)．它是指数函数y =a x (a >0,a ≠1)的反函数，所有性质均可由指数函数的性质导出．当0<a <1时，y =log a x 为减函数，当a >1时，y =log a x 为增函数．四、对数的运算性质(M >0,N >0)(1)a log M a =M (这是定义)；(2)log a (MN )=log M a +log a N ；(3)log a MN=log a M -log a N ；(4)log a M n =n log a M ；(5)log a b =log c blog c a (a ,b ,c >0,a ,c ≠1)(换底公式)．由以上性质(4)、(5)容易得到以下两条推论：1)log a mb n =n m log a b ；2)log a b =1log b a．典型例题剖析1已知x 1是方程x +lg x =10的根，x 2是方程x +10x =10的根，求x 1+x 2的值．【解法1】由题意得lg x 1=10-x 110x 2=10-x 2，表明x 1是函数y =lg x 与y =10-x 的交点的横坐标，x 2是函数y =10x 与y =10-x 的交点的横坐标．因为y =lg x 与y =10x 互为反函数，其图像关于y =x 对称，由y =10-x y =x 得，x =5y =5 ，所以x 1+x 22=5，所以x 1+x 2=10．【解法2】构造函数f (x )=x +lg x ，由x 1+lg x 1=10知f x 1 =10，x 2+10x 2=10即10x 2+lg10x 2=10，则f 10x 2 =10，于是f x 1 =f 10x 2 ，又f (x )为(0,+∞)上的增函数，故x 1=10x 2，x 1+x 2=10x 2+x 2=10．【解法3】由题意得x 1=1010-x 110-x 2=10x 2，两式相减有x 1+x 2-10=1010-x 1-10x 2．若x 1+x 2-10>0，则1010-x 1-10x 2>0，得10-x 1>x 2，矛盾；若x 1+x 2-10<0，则1010-x 1-10x 2<0，得10-x 1<x 2，矛盾；而当x 1+x 2=10时，满足题意．【评注】解法1巧妙地利用了数形结合的方法，解法2巧妙地利用了函数的单调性，解法3巧妙地利用了反证法的技巧．2已知a >0，b >0，log9a =log 12b =log 16(a +b )，求ba的值．【解法1】设log 9a =log 12b =log 16(a +b )=k ，则a =9k ，b =12k ，a +b =16k ．由于9k ×16k =12k 2故(a +b )a =b 2，解得：b a =1+52(负根舍去)．【解法2】设log 9a =log 12b =log 16(a +b )=k ，则a =9k ，b =12k ，a +b =16k ．b a =12k 9k =43 k ，而9k +12k =16k，故1+12k 9k =16k 9k ，即43 k 2-43 k -1=0，故b a =43 k =1+52(负根舍去)．【评注】对数运算和指数运算互为逆运算，有关对数的运算和处理，往往可以转化为指数的运算和处理．3已知函数f (x )=1x +1+log 13x 2-x，试解不等式f x x -12 >12．【分析】本题为分式不等式与对数不等式混合．初看不易解决，但可以发现该函数在其定义域内单调递减，这是本题的解题关键．【解】易证函数y =f (x )在其定义域(0,2)内是单调减函数．并且f (1)=12，所以原不等式即为f x x -12 >f (1)等价于x x -12 <10<x x -12 <2⇒ x 12<x <1+174或1-174<x <0 ．【评注】利用函数单调性解决不易入手的不等式是一种常用方法．4设方程lg (kx )=2lg (x +1)仅有一个实根，求k 的取值范围．【分析】本题要注意函数的定义域．【解法1】当且仅当kx >0①x +1>0②x 2+(2-k )x +1=0③时原方程仅有一个实根，对方程③使用求根公式，得x 1,x 2=12k -2±k 2-4k ④Δ=k 2-4k ≥0⇒k <0或k ≥4．当k <0时，由方程③，得x 1+x 2=k -2<0,x 1x 2=1>0,所以x 1，x 2同为负根．又由方程程④知x 1+1>0,x 2+1<0,所以原方程有一个解x 1．当k =4时，原方程有一个解x =k2-1=1．当k >4时，由方程③，得x 1+x 2=k -2>0,x 1x 2=1>0. 所以x 1，x 2同为正根，且x 1≠x 2，不合题意，舍去．综上所述可得k <0或k =4为所求．【解法2】由题意，方程kx =(x +1)2，也即方程k =x +1x+2在满足关于x 的不等式kx >0x +1>0 的范围内有唯一实数根，以下分两种情况讨论：(1)当k >0时，k =x +1x +2在x >0范围内有唯一实数根，则有k =4；(2)当k <0时，k =x +1x+2在-1<x <0范围内有唯一实数根，则有k <0．综上可得k <0或k =4为所求．【评注】本题实质上是一道一元二次方程问题．5解不等式：log 12(x +3x )>log 64x ．【分析】若考虑到去根号，可设x =y 6(y >0)，原不等式变为log 12y 3+ y 2 >log 6446=log 2y ，即2log 12y +log 2(y +1)>log 2y ，陷入困境．原不等式即6log 12(x +3x )>log 2x ⇒2log 12x +log 121+x166>log 2x ，设t =log 2x ，则log 12x =1log x12=12log x 2+log x 3，同样陷入困境．下面用整体代换y =log 64x ．【解】设y =log 64x ，则x =64y，代人原不等式，有log 128y +4y >y ，8y +4y >12y，23 y +13 y >1，由指数函数的单调性知y =log 64x <1，则0<x <64．故原不等式的解集为(0,64)．6已知1<a ≤b ≤c 证明：log a b +log b c +log c a ≤log b a +log c b +log a c ．【证法1】注意到log a b +log b c +log c a -log b a +log c b +log a c=ln b ln a +ln c ln b +ln a ln c -ln a ln b+ln b ln c +ln c ln a =ln 2b ln c +ln 2c ln a +ln 2a ln b -ln 2b ln a +ln 2c ln b +ln 2a ln c ln a lnb ln c=-(ln a -ln b )(ln b -ln c )(ln c -ln a )ln a ln b ln c．【证法2】设log b a =x ，log c b =y ，则log a c =1xy ，于是原不等式等价于x +y +1xy ≤1x +1y+xy ，即x 2y +xy 2+1≤y +x +x 2y 2，即xy (x +y )-(x +y )+1-x 2y 2 ≤0，也即(x +y -1-xy )(xy -1)≤0也即(x -1)(y -1)(xy -1)≥0，由1<a ≤b ≤c 知x ≥1,y ≥1，所以(x -1)(y -1)(xy -1)≥0，得证．因为1<a ≤b ≤c ，所以ln a ln b ln c >0，(ln a -ln b )(ln b -ln c )(ln c -ln a )≥0所以log a b +log b c +log c a -log b a +log c b +log a c ≤0即log a b +log b c +log c a ≤log b a +log c b +log a c °【评注】若令x =ln a ，y =ln b ，z =ln c 则原不等式等价于：设0<x ≤y ≤z ，求证：x 2y +y 2z +z 2x ≤xy 2+yz 2+zx 2．7设函数f (x )=|lg (x +1)|，实数a ，b (a <b )满足f (a )=f -b +1b +2，f (10a +6b +21)=4lg2，求a 、b 的值．【分析】利用已知条件构建关于a 、b 的二元方程组进行求解．【解】因为f (a )=f -b +1b +2 ，所以|lg (a +1)|=lg -b +1b +2+1 =lg 1b +2=|lg (b +2)|所以，a +1=b +2或(a +1)(b +2)=1，又因为a <b ，所以a +1≠b +2，所以(a +1)(b +2)=1又由于0<a +1<b +1<b +2，于是0<a +1<1<b +2，所以(10a +6b +21)+1=10(a +1)+6(b +2)=6(b +2)+10b +2>1，从而f (10a +6b +21)=lg 6(b +2)+10b +2=lg 6(b +2)+10b +2，又f (10a +6b +21)=4lg2，所以lg 6(b +2)+10b +2 =4lg2，故6(b +2)+10b +2=16．解得b =-13或b =-1(舍去)．把b =-13代故(a +1)(b +2)=1，解得a =-25．所以，a =-25,b =-13．同步训练一、选择题1已知a 、b 是方程log 3x 3+log 27(3x )=-43的两个根，则a +b =()．A.1027B.481C.1081D.2881【答案】C ．【解析】原方程变形为log 33log 3(3x )+log 3(3x )log 327=-43，即11+log 3x +1+log 3x 3=-43．令1+log 3x =t ，则1t +t 3=-43，解得t 1=-1,t 2=-3．所以1+log 3x =-1或1+log 3x =-3，方程的两根分别为19和181，所以a +b =1081．故选C ．2已知函数f (x )=1a x -1+12x 2+bx +6(a ,b 为常数，a >1)，且f lglog 81000 =8，则f (lglg2)的值是()．A.8 B.4 C.-4 D.-8【答案】B ．【解析】由已知可得f lglog 81000 =f lg33lg2=f (-lglg2)=8，又1a -x -1+12=a x 1-a x +12=-1+11-a x +12=-1a x -1-12，令F (x )=f (x )-6，则有F (-x )=-F (x )．从而有f (-lglg2)=F (-lglg2)+6=-F (lglg2)+6=8，即知F (lglg2)=-2，f (lglg2)=F (lglg2)+6=4．3如果f (x )=1-log x 2+log x 29-log x 364，则使f (x )<0的x 的取值范围为()．A.0<x <1 B.1<x <83C.x >1D.x >83【答案】B ．【解析】显然x >0，且x ≠1．f (x )=1-log x 2+log x 29-log x 364=1-log x 2+log x 3-log x 4=log x 38x ．要使f (x )<0．当x >1时，38x <1，即1<x <83；当0<x <1时，38x >1，此时无解．由此可得，使得f (x )<0的x 的取值范围为1<x <83．应选B ．4若f (x )=lg x 2-2ax +a 的值域为R ，则a 的取值范围是()．A.0<a <1 B.0≤a ≤1 C.a <0或a >1 D.a ≤0或a ≥1【答案】D ．【解析】由题目条件可知，(0,+∞)⊆y |y =x 2-2ax +a ，故Δ=(-2a )2-4a ≥0，解得a ≤0或a ≥1．选D ．二、填空题5设f (x )=log 3x -4-x ，则满足f (x )≥0的x 的取值范围是．【答案】[3,4]．【解析】定义域(0,4]．在定义域内f (x )单调递增，且f (3)=0．故f (x )≥0的x 的取值范围为[3,4]．6设0<a <1，0<θ<π4，x =(sin θ)log asin θ，y =(cos θ)log atan θ，则x 与y 的大小关系为．【答案】x <y ．【解析】根据条件知，0<sin θ<cos θ<1，0<sin θ<tan θ<1，因为0<a <1，所以f (x )=log a x 为减函数，所以log a sin θ>log a tan θ>0，于是x =(sin θ)log a sin θ<(sin θ)log a tan θ<(cos θ)log a tan θ=y .7设f (x )=12x +5+lg 1-x 1+x ，则不等式f x x -12<15的解集为．【答案】1-174,0 ∪12,1+174．【解析】原不等式即为f x x -12<f (0)．因为f (x )的定义域为(-1,1)，且f (x )为减函数．所以-1<x x -12 <1x x -12 >0.解得x ∈1-174,0∪12,1+174．8设f (x )=11+2lg x +11+4lg x +11+8lg x ，则f (x )+f 1x =．【答案】3．【解析】f (x )+f 1x =11+2lg x +11+4lg x +11+8lg x +11+2-lg x +11+4-lg x +11+8-lg x =3．三、解答题9已知函数f (x )=a x +3a (a >0,a ≠1)的反函数是y =f -1(x )，而且函数y =g (x )的图像与函数y =f -1(x )的图像关于点(a ,0)对称．(1)求函数y =g (x )的解析式；(2)若函数F (x )=f -1(x )-g (-x )在x ∈[a +2,a +3]上有意义，求a 的取值范围．【解析】(1)由f (x )=a x +3a (a >0,a ≠1)，得f -1(x )=log a (x -3a )．又函数y =g (x )的图像与函数y =f -1(x )的图像关于点(a ,0)对称，则g (a +x )=-f -1(a -x )，于是，g (x )=-f -1(2a -x )=-log a (-x -a )，(x <-a )．(2)由(1)的结论，有F (x )=f -1(x )-g (-x )=log a (x -3a )+log a (x -a )．要使F (x )有意义，必须满足x -3a >0,x -a >0. 又a >0，故x >3a ．由题设F (x )在x ∈[a +2,a +3]上有意义，所以a +2>3a ，即a <1．于是，0<a <1．10设f (x )=log a (x -2a )+log a (x -3a )，其中a >0且a ≠1．若在区间[a +3,a +4]上f (x )≤1恒成立，求a 的取值范围．【解析】f (x )=log a x 2-5ax +6a 2=log a x -5a 2 2-a 24．由x -2a >0x -3a >0, 得x >3a ，由题意知a +3>3a ，故a <32，从而(a +3)-5a 2=-32(2-a )>0，故函数g (x )=x -5a 2 2-a 24在区间[a +3,a +4]上单调递增．若0<a <1，则f (x )在区间[a +3,a +4]上单调递减，所以f (x )在区间[a +3，a +4]上的最大值为f (a +3)=log a 2a 2-9a +9 ．在区间[a +3,a +4]上不等式f (x )≤1恒成立，等价于不等式loglog a 2a 2-9a +9 ≤1恒成立，从而2a 2-9a +9≥a ，解得a ≥5+72或a ≤5-72．结合0<a <1，得0<a <1．若1<a <32，则f (x )在区间[a +3,a +4]上单调递增，所以f (x )在区间[a +3,a +4]，上的最大值为f (a +4)=log a 2a 2-12a +16 ．在区间[a +3,a +4]上不等式f (x )≤1恒成立，等价于不等式log a 2a 2-12a +16 ≤1恒成立，从而2a 2-12a +16≤a ，即2a 2-13a +16≤0，解得13-414≤a ≤13+414．易知13-414>32，所以不符合．综上所述，a 的取值范围为(0,1)．11解方程组x x +y=y 12y x +y =x 3，(其中x ,y ∈R * ．【解析】两边取对数，则原方程组可化为(x +y )lg x =12lg y ①(x +y )lg y =3lg x ②把式①代入式②，得(x +y )2lg x =36lg x ，所以(x +y )2-36 lg x =0．由lg x =0，得x =1；代入式①，得y =1．由(x +y )2-36=0x ,y ∈R * 得x +y =6．代入式①得lg x =2lg y ，即x =y 2，所以y 2+y -6=0．又y >0，所以y =2,x =4．所以方程组的解为x 1=1y 1=1 ，x 2=4y 2=2 ．12已知f (x )=lg (x +1)-12log 3x ．(1)解方程f (x )=0；(2)求集合M =n f n 2-214n -1998 ≥0,n ∈Z 的子集个数．【解析】(1)任取0<x 1<x 2，则f x 1 -f x 2 =lg x 1+1 -lg x 2+1 -12log 3x 1-log 3x 2=lgx 1+1x 2+1-12log 3x 1x 2=lg x 1+1x 2+1-log 9x 1x 2，因为x 1+1x 2+1>x 1x 2，所以lg x 1+1x 2+1>lg x 1x 2．故f x 1 -f x 2 =lg x 1+1x 2+1-log 9x 1x 2>lg x 1x 2-lg x1x 2lg9，因为0<lg9<1，lg x 1x 2<0，所以f x 1 -f x 2 >lg x 1x 2-lg x1x 2=0，f (x )为(0,+∞)上的减函数，注意到f (9)=0，当x >9时，f (x )<f (9)=0；当<x <9时，f (x )>f (9)=0，所以f (x )=0有且仅有一个根x =9．(2)由f n 2-214n -1998 ≥0⇒f n 2-214n -1998 ≥f (9)所以n 2-214n -1998≤9n 2-214n -1998>0 ⇔n 2-214n -2007≤0n 2-214n -1998>0⇔(n -223)(n +9)≤0(n -107)2>1998+1072=13447>1152⇔-9≤n ≤223n >222或n <-8 ⇔⇔-9≤n ≤223n ≥223或n ≤-9 ，所以n =223或n =-9,M ={-9,223},M 的子集的个数是4．13已知a >0，a ≠1，试求使得方程log a (x -ak )=log a x 2-a 2 有解的k 的取值范围．【解析】由对数性质知，原方程的解x 应满足(x -ak )2=x 2-a 2x -ak >0x 2-a 2>0(1)(2)(3)若式(1)、式(2)同时成立，则式(3)必成立，故只需要解(x -ak )2=x 2-a 2x -ak >0.由式(1)可得2kx =a 1+k 2(4)当k =0时，式(4)无解；当k ≠0时，式(4)的解是x =a 1+k 2 2k ，代人式(2)，得1+k 22k>k ．若k <0，则k 2>1，所以k <-1；若k >0，则k 2<1，所以0<k <1．综上所述，当k ∈(-∞,-1)∪(0,1)时，原方程有解．14已知0.301029<lg2<0.301030，0.477120<lg3<0.477121，求20001979的首位数字．【解析】lg20001979=1979lg2000=1979(3+lg2)．所以6532.736391<lg20001979<6532.73837．故20001979为6533位数，由lg5=1-lg2,lg6=lg2+lg3，得0.698970<lg5<0.6989710.778149<lg6<0.778151⇒lg5<0.736391<0.73837<lg6,说明20001979的首位数字是5．15已知3a +13b =17a ，5a +7b =11b ，试判断实数a 与b 的大小关系，并证明之．【解析】令a =1，则13b =14,5+7b =11b ，可见b >1．猜想a <b ．下面用反证法证明：若a ≥b ，则13a ≥13b ,5a ≥5b ，所以17a =3a +13b ≤3a +13a ,11b =5a +7b ≥5b +7b ，即317 a +1317 a ≥1,511 b +711 b ≤1，而函数f (x )=317 x +1317 x和g (x )=511 x +711 x在R 上均为减函数，且f (1)=317+1317=1617<1≤f (a ),g (1)=511+711=1211>1≥g (b )．所以a <1,b >1．这与a ≥b 矛盾，故a <b ．16解不等式log 2x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1 <1+log 2x 4+1 ．【解析】原不等式等价于log 2x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1 <log 22x 4+2 ．由于y =log 2x 为单调递增函数，于是x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1<2x 4+2，两端同时除以x 6，并整理得2x2+1x 6>x 6+3x 4+3x 2+1+2x 4+2=x 2+1 3+2x 2+1 构造函数g (t )=t 3+2t ，则上述不等式转化为g1x2>g x 2+1 .显然g (t )=t 3+2t 在R 上为增函数．于是以上不等式等价于1x2>x 2+1，即x 2 2+x 2-1<0，解得x 2<5-12．故原不等式的解集为-5-12,5-12．。

专题02 指数、对数及幂的大小比较问题--------真题演练指数、对数及幂的大小比较问题方法灵活，常常给人以“乱花渐欲迷人眼”的感觉，而对其问题进行归纳总结，会发现这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻，即利用函数的性质及图象解答。

体现对数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算及直观想象等核心素养的考查，也是高考命题的热点。

本专题以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧。

希望大家以后解决此类问题时有“浅草才能没马蹄”的轻盈之感。

1.常用的指对数变换公式：（1）nm mn a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）log log log a a a M N MN += ； log log log a a a M M N N-=； （3）()log log 0,1,0na a N n N a a N =>≠>；（4）换底公式：log log log c a c bb a=； 进而有两个推论：1log log a b b a=（令c b =）； log log m n a a n N N m =；2.比较大小的基本思路：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性， 判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况 例如：1113423,4,5，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同()()()11111143634212121233,44,55===，从而只需比较底数的大小即可；（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如2log 3，可知2221log 2log 3log 42=<<=，进而可估计2log 3是一个1点几的数，从而便于比较；（3）利用函数单调性比较大小；例：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）；总之：比较数式的大小，若同底，考虑指数函数（或对数函数）；若同指，则考虑幂函数，再利用函数的单调性比较大小；若不同底，也不同指，则其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决，或者利用中间量法。

专题8 利用指数函数、对数函数、幂函数的性质解决大小比较问题一、选择题1．【山东寿光现代中学2018届高三开学考】已知实数，那么它们的大小关系是（）A. B. C. D.2．【安阳市第三十五中学2018届高三开学考】设，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.3．【山东省寿光现代中学2018届高三开学考】若，则下列不等式错误的是（）A. B. C. D.4．【南阳市一中2018届高三第一次考】设，则（）A. B. C. D.5．【河北省正定中学2016-2017学年月考】已知，，，则（）A. B. C. D.6．【安徽省亳州市2016—2017学年高一期中】如图①，②，③，④，根据图象可得a、b、c、d与1的大小关系为（）A. a＜b＜1＜c＜dB. b＜a＜1＜d＜cC. 1＜a＜b＜c＜dD. a＜b＜1＜d＜c7．【甘肃省天水市一中2016-2017学年期末】已知a0.3b＝0.32，0.2c ，则a，b，c三者的大0.3小关系是（）A . b >c >aB . b >a >cC . a >b >cD . c >b >a8．【赣州市2016-2017学年期末】设log a = 0.013b =，ln 2c =，则( ) A . c a b << B . a b c << C . a c b << D . b a c <<9．【宁夏石嘴山市三中2016-2017学年期末】已知ln x π=， 5log 2y =， 12z e -=，则（ ）A z x y <<B y z x <<C z y x <<D x y z << 10．【梅河口五中2016-2017学年期末】设0.13592,ln,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A . a b c >> B . a c b >> C . b a c >> D . b c a >>11．【山东寿光现代中学2016-2017学年模块监测】下列关系式中，成立的是（ ）．A . 03131log 4log 105⎛⎫>> ⎪⎝⎭B . 01331log 10log 45⎛⎫>> ⎪⎝⎭C . 03131log 4log 105⎛⎫>> ⎪⎝⎭D . 01331log 10log 45⎛⎫>> ⎪⎝⎭12．【烟台市2016-2017学年期末】已知1a b >>， 01c <<，则下列不等式正确的是（ ） A . c c a b < B . a b c c > C . log log a b c c > D . log log c c a b >13．【山东菏泽一中、单县一中2016-2017学年期末】若0.633log 0.6,3,0.6a b c ===，则（ ）A . c a b >>B . a b c >>C . b c a >>D . a c b >>14．【山东省潍坊寿光市2016-2017学年期末】若0.633log 0.6,3,0.6a b c ===，则（ ）A . c a b >>B . a b c >>C . b c a >>D . a c b >> 15．【河南南阳一中2018届第一次考】已知132a -=， 21log 3b =， 121log 3c =，则( )A . a b c >>B . a c b >>C . c a b >>D . c b a >> 16．【甘肃省天水一中2016-2017学年期末】已知a =， 0.32b =， 0.20.3c =，则,,a b c 三者的大小关系是（ ）A . b c a >>B . b a c >>C . a b c >>D . c b a >>17．【四川省南充高级中学2016-2017学年期末】设log a =， 0.013b =，c =( )A . c a b <<B . a b c <<C . a c b <<D . b a c << 18．【吉林省梅河口五中2016-2017学年期末】设0.13592,ln,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A . a b c >>B . a c b >>C . b a c >>D . b c a >> 19．【安徽亳州二中2017届检测】若1012a ⎛⎫=⎪⎝⎭， 1215b -⎛⎫= ⎪⎝⎭， 15log 10c =，则,,a b c 大小关系为（ ） A . a b c >> B . a c b >> C . c b a >> D . b a c >> 20．【2017新课标1】设xyz 为正数，且235x y z ==，则 A . 2x <3y <5z B . 5z <2x <3y C . 3y <5z <2x D . 3y <2x <5z 21．【山西三区八校2017届高三二模】设，，，则，，的大小关系为（ ）A .B .C .D .22．【山东省日照市2017届高三三模】已知0.21.2512,,2log 22a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为A . b a c <<B . c a b <<C . c b a <<D . b c a <<23．【广西南宁市马山县金伦中学2016-2017学年期末】设352log 2,log 2,log 3a b c ===，则（ ） A . a c b >> B . b c a >> C . c b a >> D . c a b >>24．【河北省邢台市2016-2017学年期末】若 1.2 1.155, 1.2,lg6a b c -=== 则下列结论正确的是（ ） A . a c b << B . c b a << C . 1ln 3b a ⎛⎫< ⎪⎝⎭ D . 132ba ⎛⎫< ⎪⎝⎭25．【广西桂林,百色,梧州,北海,崇左五市2017届高三5月联考】若1π1log 3a =， π3e b =， 31log cos π5c =，则（ ）A . b c a >>B . b a c >>C . a b c >>D . c a b >> 26．【福建省泉港一中2016-2017学年期中】实数20.2a = 2log b =， 0.22c =的大小关系正确的是( )A . a c b <<B . a b c <<C . b a c <<D . b c a <<27．【宁夏银川一中2017届高三二模】已知31log 2a =， 121log 3b =， 1312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A . c b a >>B . b c a >>C . b a c >>D . c a b >>二、填空题28．【河北省张家口市2016-2017学年期末】若1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设ln a x =， 1ln 2x b =， ln x c e =，把,,a b c 从大到小排列为________．学@科网29．【山西省孝义市2018届高三入学摸底考】已知 3.313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 3.913b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,a b 的大小关系是__________．(用“<”连接)30．【抚州市金溪一中等七校2016-2017学年联考】若，则大顺序是__________（由大到小）．。

指数函数对数函数大小比较的要点指数函数和对数函数是数学中常见的两种函数，了解它们之间的大小关系非常重要。

本文将介绍指数函数和对数函数大小比较的要点。

1. 指数函数的特点指数函数的一般形式为$y=a^x$，其中$a>0$且$a\ne1$。

指数函数以底数$a$为底，$x$为指数。

其特点如下：- 当$a>1$时，随着$x$的增大，$y$的值也会增大。

因此指数函数是递增的。

- 当$0<a<1$时，随着$x$的增大，$y$的值会减小且趋近于0。

因此指数函数在$x$增大时会趋近于0。

2. 对数函数的特点对数函数的一般形式为$y=\log_a{x}$，其中$a>0$且$a\ne1$。

对数函数以底数$a$为底，$x$为真数。

其特点如下：- 当$a>1$时，随着$x$的增大，$y$的值也会增大。

因此对数函数是递增的。

- 当$0<a<1$时，随着$x$的增大，$y$的值会减小且趋近于负无穷。

因此对数函数在$x$增大时会趋近于负无穷。

3. 指数函数和对数函数的对比指数函数和对数函数是互为反函数的。

因此，它们之间的大小比较可以通过比较指数函数和对数函数的值来进行。

- 当$a>1$时，$y=a^x$和$y=\log_a{x}$是递增的函数，且对于$x>0$，指数函数的值始终大于对数函数的值。

- 当$0<a<1$时，$y=a^x$和$y=\log_a{x}$是递减的函数，且对于$x>0$，指数函数的值始终小于对数函数的值。

4. 注意事项在比较指数函数和对数函数时，需要注意以下事项：- 确保指数函数和对数函数中的底数$a$不为1，且为正数。

- 函数的定义域和值域需要符合函数的特点和限制。

结论指数函数和对数函数在数值上是互为反函数，但在图像上呈现出不同的走势。

了解它们的特点及大小比较的要点，有助于在数学问题中使用和分析这两种函数。

精心整理指数函数概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。

注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。

时，图3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。

在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。

对数函数1.对数函数的概念由于指数函数y=a x在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数y=a x(a＞0，a≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a＞0，a ≠1).ax ax(a＞象限．② 11,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数．③ 1,1,22a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数．④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．①所有幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像都过点)1,1(；②当21,3,2,1=α时函数y x α=的图像都过原点)0,0(；③当1=α时，y x α=的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如2c ）；④当3,2=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1c ）⑤当21=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3c ）⑥当1-=α时，y x α=的的图像不过原点)0,0(，且在第一象限是“下滑”曲线（如4c ） 当0>α时，幂函数y x α=有下列性质： （1）图象都通过点)1,1(),0,0(； （2）在第一象限内都是增函数；（3（4当α（1（2（3 （4“√”xb ax =即a b x =时取等号），由此可得函数xbax y +=（a>0,b>0,x ∈R +）的性质: 当a b x =时，函数xbax y +=（a>0,b>0,x ∈R +）有最小值a b 2，特别地，当a=b=1时函数有最小值2。