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ac bc
数量积重要性质:
a·b=|a||b| cosθ
设 a，b都是非零向量，e 是与 b 方向相同的单 位向量，θ是 a与 b的夹角，则:
(1) e a a e |a| cosθ (2) a⊥ b a b 0
（3）当 a 与 b同向时，a ·b =
ab
当 a 与 b 反向时，a ·b = a b
例3. 已知a=(1, 0)，b=(2, 1)，当k为何实数时， 向量ka－b与a+3b （1）平行；（2）垂直。
解：ka－b=(k－2, －1), a+3b=(7, 3),
（1）由向量平行条件得3(k－2)+7=0,
所以k= 1 3
（2）由向量垂直条件得7(k－2) －3=0,
所以k=
17 7
1、数量积的坐标表示 设两个非零向量a ( x1, y1), b ( x2 , y2 ),则
a b x1x2 y1 y2
2、垂直的条件
设a ( x1, y1),b ( x2, y2 ),则 a b x1x2 y1 y2 0 a // b x1 y2 x2 y1 0
作业:三维设计以及小页
例4：求与向量 a ( 3 1, 3 1) 的夹角为45o的
单位向量.
分析：可再设利x用=（am ,xn(定 ),只义需)求ma,
n. 易知 m2 n2 1
x（数量积 的坐标
法）即可！
解：设所求向量为
x
(m, n)
,由定义知：
a
x
a
x
cos 45
8
22
2
另一方面
a x ( 3 1) m ( 3 1) n
……① ……②
∴由①，②知 ( 3 1) m ( 3 1) n 2
( 3 1) m ( 3 1) n 2
由
m2 n2 1
解得：
m1
3 2
1
或
∴
x
n1 (
2
3 , 1)
22
m2
1 2
3
n2 2
或
x
(
1
,
2
3) 2
说明：可设 x (cos,sin) 进行求解.
练习:已知a=(4,2) ，求与a 垂直的单位向量 。
解：设所求向量为(x, y), 则
4x 2y 0
x2
y2
1
解得
x
5 5
y
25 5
所求向量为 ( 5 , 2 5 )或( 5 , 2 5 )
55
55
四1、、若a演 (练3,4反), b馈则(5与,12)夹, 角的a 余弦b 值
为
（ B）
A. 63
B. 33
C. 33
D. 63
2
特别地，a a a
2
或a aa a
ab
（4）cosθ= a b （5）| a · b |≤
ab
(6)(a
b)2
2
a
2a
b
2
b
(7)(a b)(a b)
22
a -b
二、新课讲授
问题展示：已知 a (x1, y1),b (x2, y2), 怎样用 a, b
的坐标表示 a b 呢？请同学们看下
|a|= a a 32 (1)2 10
|b|= b b 12 (2)2 5 cos = a b 5 2 | a | | b | 10 5 2
所以 =45°
例2：已知A（1, 2）,B（2,3）,C（－2,5）,求证 △ABC是直角三角形.
证明：AB (2 1,3 2) (1,1)
65
2求、证已：知(a： ba)
65
⊥(co(as,bsi)n
),
b
65
(cos
,
sin
65
)
答案 ： (a b)(a b)
(cos cos,sin sin ) (cos cos,sin sin )
cos2
∴ (a
cos2
b) ⊥
sin2 (a b)
sin2
0
四、小结
结论2: AB ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ,
这就是A、B两点间的距离公式.
探讨合作3:非零向量 a (x1, y1),b (x2, y2), 它们的
夹角 ，如何用坐标表示cos .若 a b 你又能
得到什么结论？
结论3： 1)cos
x1 x2 y1 y2
x12 y12 x22 y22
复习与回顾
一、向量的数量积的定义:
a 0, b 0其夹角为，则a b
0 a
0
二、平面向量数量积的运算律:
向量a, b, c 和实数 ，则向量的数量积满足：
（1） 交换律:
ab
ba
(2) 数乘结合律: (a) b a (b) (a b) a b
（3） 分配律: (a b) c
课下思考：
(14.)已知向量a (2, x), b (3, 4) 且a，b的夹角为钝角, 则x的取值 范围是 ______________
2.已知△ABC的顶点坐标为A(2，-1),B(3，2) ,
x1x2i 2 x1 y2i j x2 y1i j y1 y2 j 2
x1x2 y1y2
这就是向量数量积的坐标表示。由此我 们得到：两个向量的数量积等于它们对坐 标的乘积之和。
探讨合作1: 已知a (x, y),如何将 a 用其坐标表示？
结论1:
a
x2 y2 .
探讨合作2:若设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 如何将 AB 用A、 B的坐标表示？
列问题.
设x轴上单位向量为 i ，Y轴上单位向量为 j
请计算下 列式子： ① i i = 1 ③ ij = 0
② j j = 1
④ j i = 0
那解么：如已a何知 b推：a导(x1出ix1iay1
y1j , b x2i y2 j , b的坐标公式?
j ) (x2i y2 j )
(2)a b x1 x2 y1 y2 0
: (2)a b x1x2 y1 y2 0 与 a // b x1y2 x2 y1 0 的区别。
例1.设a = (3, 1)，b = (1, 2)，求ab，|a|，|b|，
和a, b的夹角
解： ab = (3, 1) (1, 2)=3+2=5.
BC (2 2,5 3) (4,2)
AC (2 1,5 2) (3,3) AB AC 1 (3) 13 0
想一想：还 有其他证明 方法吗？
所以△ABC是直角三角形 变式：要使四边形ABDC是矩形，求D点坐标.
变变式形：:在ABC中,设 AB (2,3) AC (1, k),且ABC是直角三 角形,k的值.
