高考数学一轮复习(回扣主干知识+提升学科素养)第二章 第八节 函数与方程教案 文(1)

第8讲函数与方程板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 函数零点1．定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．2．三个等价关系3．存在性定理考点2 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点x1，x2x1无对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．[必会结论]1．若函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，则函数y ＝f (x )一定有零点．2.由函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上有零点不一定能推出f (a )·f (b )＜0，如图所示．所以f (a )·f (b )＜0是y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上有零点的充分不必要条件．事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶个零点)时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号．3．若函数f (x )在[a ，b ]上单调，且f (x )的图象是连续不断的一条曲线，则f (a )·f (b )＜0⇒函数f (x )在[a ，b ]上只有一个零点．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．( )(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在当b 2－4ac <0时没有零点．( )(3)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )＜0.( ) (4)若f (x )在区间[a ，b ]上连续不断，且f (a )·f (b )＞0，则f (x )在(a ，b )内没有零点．( )(5)函数f (x )＝kx ＋1在[1,2]上有零点，则－1≤k ≤－12.( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ 2．[课本改编]函数f (x )＝x －4x的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个答案 C解析 令f (x )＝0，解x －4x＝0，即x 2－4＝0，且x ≠0，则x ＝±2.3．[课本改编]方程2－x＋x 2＝3的实数解的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．1 D ．4答案 A解析 构造函数y ＝2－x 与y ＝3－x 2，在同一坐标系中作出它们的图象，可知有两个交点，故方程2－x＋x 2＝3的实数解的个数为2.故选A.4．[2018·西安模拟]设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)答案 B解析 函数f (x )的零点所在的区间转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出图象如图，可知f (x )的零点所在的区间为(1,2)．故选B.5．[2018·安徽模拟]在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________．答案 －12解析 函数y ＝|x －a |－1的大致图象如图所示，∴若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，只需2a ＝－1，可得a ＝－12.6．[2018·贵阳监测]用二分法求图象连续不断的函数f (x )在(1,5)上的近似解(精确度为0.1)，求解的部分过程如下：f (1)·f (5)<0，取(1,5)的中点x 1＝1＋52＝3，计算得f (1)·f (x 1)<0，f (x 1)·f (5)>0，则此时能判断函数f (x )一定有零点的区间为________．答案 (1,3)解析 因为函数f (x )为连续函数且f (1)·f (3)<0，所以函数f (x ) 在(1,3)内一定有零点．板块二 典例探究·考向突破 考向确定函数零点所在区间例 1 [2018·德州模拟]函数f (x )＝ln (x ＋1)－2x的零点所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(1，e －1) C ．(e －1,2) D ．(2，e)答案 C解析 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 32－4<0，f (1)＝ln 2－2<0，f (e －1)＝1－2e －1<0，f (2)＝ln 3－1>0，所以f (e －1)f (2)<0，故函数的零点所在的区间是(e －1,2)．【变式训练1】 函数f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 答案 C解析 易知函数f (x )＝e x＋4x －3在R 上为增函数，故f (x )＝e x＋4x －3至多有一个零点．∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝e 14 ＋1－3＝e 14 －2<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12 ＋2－3＝e 12 －1>0，∴函数f (x )＝ex＋4x －3的零点所在的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12.考向判断函数零点的个数例 2 函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数即为函数y ＝|log 0.5x |与y ＝12x 图象的交点个数.在同一直角坐标系中作出函数y ＝|log 0.5x |与y ＝12x 的图象如图．由图象易知有两个交点． 触类旁通判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【变式训练2】 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．答案 2解析 当x ≤0时，由x 2－2＝0得x ＝－2；当x >0时，f (x )＝2x －6＋ln x 在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3>0，所以f (x )在(0，＋∞)上有且只有一个零点．综上可知，f (x )的零点个数为2.考向与函数零点有关的求参问题例3 (1)[2018·嘉兴模拟]设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ，则x 0所在的区间是________．答案 (1,2)解析 设f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，则x 0是函数f (x )的零点，在同一坐标系下画出函数y ＝x3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象如图所示．因为f (1)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝－1＜0，f (2)＝8－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝7＞0，所以f (1)f (2)＜0，所以x 0∈(1,2)．(2)[2016·山东高考]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．答案 (3，＋∞)解析 函数f (x )的大致图象如图所示，根据题意知只要m >4m －m 2即可，又m >0，解得m >3，故实数m 的取值范围是(3，＋∞)．触类旁通已知函数有零点求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．【变式训练3】 (1)[2018·启东检测]若函数f (x )＝log 2x ＋x －k (k ∈Z )在区间(2,3)上有零点，则k ＝________.答案 4解析 函数f (x )＝log 2x ＋x －k 在(2,3)上单调递增，所以f (2)f (3)<0，即(log 22＋2－k )·(log 23＋3－k )<0，整理得(3－k )(log 23＋3－k )<0，解得3<k <3＋log 23，而4<3＋log 23<5，因为k ∈Z ，故k ＝4.(2)[2015·北京高考]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x <1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1.①若a ＝1，则f (x )的最小值为________；②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________．答案 ①－1 ②⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞)解析 ①若a ＝1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x <1，4(x －1)(x －2)，x ≥1，作出函数f (x )的图象如图所示．由图可得f (x )的最小值为－1.②当a ≥1时，要使f (x )恰有2个零点，需满足21－a ≤0，即a ≥2，所以a ≥2；当a <1时，要使f (x )恰有2个零点，需满足⎩⎪⎨⎪⎧a <1≤2a ，21－a >0，解得12≤a <1.综上，实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞)．核心规律1.判定函数零点的常用方法(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f (x )＝0.2.研究方程f (x )＝g (x )的解，实质就是研究G (x )＝f (x )－g (x )的零点．3.转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．满分策略1.函数f (x )的零点不是点，是一个实数，是方程f (x )＝0的根，也是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．2.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象来分析.板块三 启智培优·破译高考题型技法系列4——利用函数的零点比较大小[2018·武汉调研]已知x 0是函数f (x )＝2x ＋11－x 的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解题视点 构造函数y ＝2x和函数y ＝1x －1，并画出函数的图象，可根据函数的图象进行判断．解析 在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝2x和函数y ＝1x －1的图象，如图所示． 由图可知函数y ＝2x和函数y ＝1x －1的图象只有一个交点，即函数f (x )＝2x＋11－x只有一个零点x 0，且x 0>1.因为x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则由函数图象可知，f (x 1)<0，f (x 2)>0. 答案 B答题启示 借助函数零点比较大小.要比较f (a )与f (b )的大小，通常先比较f (a )、f (b )与0的大小.跟踪训练[2018·广东七校联考]已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x－log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且x 0<x 1，则f (x 1)的值( )A ．恒为负B ．等于零C ．恒为正D ．不大于零答案 A解析 由于函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x－log 3x 在定义域内是减函数，于是，若f (x 0)＝0，当x 0<x 1时，一定有f (x 1)<0.故选A.板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．[2018·北京丰台二模]函数f (x )＝x 12 －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 令f (x )＝0，得x12 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，在平面直角坐标系中分别画出函数y ＝x12 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，可得交点只有一个，所以零点只有一个．故选B.2．函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)答案 C解析 因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f (1)·f (2)＝(0－a )(3－a )<0，解得0<a <3.故选C.3．[2018·济南模拟]若f (x )是奇函数，且x 0是y ＝f (x )＋e x的一个零点，则－x 0一定是下列哪个函数的零点( )A ．y ＝f (－x )e x－1 B ．y ＝f (x )e －x＋1 C ．y ＝e xf (x )－1 D ．y ＝e xf (x )＋1答案 C解析 由已知可得f (x 0)＝－e x 0，则e-x 0·f (x 0)＝－1，e-x 0f (－x 0)＝1，故－x 0一定是y ＝e xf (x )－1的零点．4．设a 是方程2ln x －3＝－x 的解，则a 在下列哪个区间内( ) A ．(0,1) B ．(3,4) C ．(2,3) D ．(1,2)答案 D解析 令f (x )＝2ln x －3＋x ，则函数f (x )在(0，＋∞)上递增，且f (1)＝－2<0，f (2)＝2ln 2－1＝ln 4－1>0，所以函数f (x )在(1,2)上有零点，即a 在区间(1,2)内．5．用二分法研究函数f (x )＝x 5＋8x 3－1的零点时，第一次经过计算得f (0)<0，f (0.5)>0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( )A ．(0,0.5)，f (0.125)B ．(0.5,1)，f (0.875)C ．(0.5,1)，f (0.75)D ．(0,0.5)，f (0.25)答案 D解析 ∵f (x )＝x 5＋8x 3－1，f (0)<0，f (0.5)>0，∴f (0)·f (0.5)<0，∴其中一个零点所在的区间为(0,0.5)，第二次应计算的函数值应为f (0.25)．故选D.6．[2018·昆明模拟]若x 0是方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝x13 的解，则x 0属于区间( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 答案 B7．[2018·大连模拟]函数f (x )＝(x ＋1)ln x －1的零点有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个答案 B解析 由f (x )＝(x ＋1)ln x －1＝0，得ln x ＝1x ＋1，作出函数y ＝ln x ，y ＝1x ＋1的图象如图，由图象可知交点个数为1，即函数的零点个数为1.选B.8．[2018·孝感高级中学调考]函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点在区间(a ，a ＋1)(a ∈Z )内，则a ＝________.答案 2解析 因为函数f (x )＝ln x ＋2x －6的定义域为(0，＋∞)，所以a ≥0，函数f (x )＝lnx ＋2x －6在(0，＋∞)上是单调递增函数，f (1)＝－4<0，f (2)＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3>0，所以函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点在区间(2,3)内，故a ＝2.9．g (x )＝x ＋e2x－m (x >0，其中e 表示自然对数的底数)．若g (x )在(0，＋∞)上有零点，则m 的取值范围是________．答案 [2e ，＋∞)解析 由g (x )＝0，得x 2－mx ＋e 2＝0，x >0.由此方程有大于零的根，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2>0，Δ＝m 2－4e 2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m ≥2e或m ≤－2e ，故m ≥2e.10．[2018·安庆模拟]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x <1，log 12x ，x ≥1，若关于x 的方程f (x )＝k有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．答案 (－1,0)解析 关于x 的方程f (x )＝k 有三个不同的实根，等价于函数f (x )与函数y ＝k 的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k 的取值范围是(－1,0)．[B 级 知能提升]1．[2018·衡阳模拟]函数f (x )＝log 3x ＋x －2的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)答案 B解析 函数f (x )＝log 3x ＋x －2的定义域为(0，＋∞)，并且f (x )在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续曲线．又f (1)＝－1<0，f (2)＝log 32>0，f (3)＝2>0，根据零点存在性定理，可知函数f (x )＝log 3x ＋x －2有唯一零点，且零点在区间(1,2)内．2．[2018·大连一模]f (x )是R 上的偶函数，f (x ＋2)＝f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，则函数y ＝f (x )－|log 5x |的零点个数为( )A ．4B ．5C ．8D ．10答案 B解析 由零点的定义可得f (x )＝|log 5x |，两个函数图象如图，总共有5个交点，所以共有5个零点．3.[2017·唐山模拟]当x ∈[1,2]时，函数y ＝12x 2与y ＝a x(a >0)的图象有交点，求a 的取值范围________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 解析 当a ＝1时，显然成立．当a >1时，如图①所示，使得两个函数图象有交点，需满足12×22≥a 2，即1<a ≤2；当0<a <1时，如图②所示，需满足12×12≤a 1，即12≤a <1，综上可知，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12， 2. 4．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x . (1)写出函数y ＝f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围．解 (1)设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝x 2＋2x . 又∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x .∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.(2)方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，即y ＝f (x )与y ＝a 的图象有3个不同的交点，作出y ＝f (x )与y ＝a 的图象如图所示，故若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，只需－1<a <1，故a 的取值范围为(－1,1)．5．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g [f (1)]的值；(2)若方程g [f (x )]－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围． 解 (1)∵f (1)＝－12－2×1＝－3， ∴g [f (1)]＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象，如图所示，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，54.。

第八节函数与方程[考纲传真]结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x 轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系1．函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，则“f(a)·f(b)＜0”是函数f(x)在区间(a，b)内有零点的充分不必要条件．2．若函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点． ( )(2)函数y ＝f (x )，x ∈D 在区间(a ，b )⊆D 内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )＜0.( )(3)若函数f (x )在(a ，b )上单调且f (a )·f (b )＜0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点．( )(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在b 2－4ac ＜0时没有零点． ( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 B [∵f (－1)＝1e －3＜0，f (0)＝1＞0， ∴f (x )在(－1,0)内有零点，又f (x )为增函数，∴函数f (x )有且只有一个零点．] 3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln xD ．y ＝x 2＋1A [由于y ＝sin x 是奇函数，y ＝ln x 是非奇非偶函数，y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点，只有y ＝cos x 是偶函数又有零点．]4．函数f (x )＝3x －x 2的零点所在区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(－2，－1)D ．(－1,0)D [∵f (－2)＝－359，f (－1)＝－23， f (0)＝1，f (1)＝2，f (2)＝5， ∴f (0)f (1)＞0，f (1)f (2)＞0，f (－2)f (－1)＞0，f (－1)f (0)＜0，故选D.]5．函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 [∵函数f (x )的图象为直线， 由题意可得f (－1)f (1)＜0，∴(－3a ＋1)·(1－a )＜0，解得13＜a ＜1， ∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.]1．若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内A [∵a ＜b ＜c ，∴f (a )＝(a －b )(a －c )＞0， f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －a )(c －b )＞0，由函数零点存在性定理可知：在区间(a ，b )和(b ，c )内分别存在零点，又函数f (x )是二次函数，最多有两个零点，因此函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内，故选A.]2．设x 0是方程⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＝x 的解，则x 0所在的范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 B [构造函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －x ，因为f (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130－0＝1＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1313－13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1313－⎝ ⎛⎭⎪⎫1312＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1312－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1312－⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＜0.所以由零点存在性定理可得函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12上存在零点，即x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12，故选B.]3．设函数y 1＝x 3与y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ，则x 0所在的区间是________．(1,2) [设f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，则f (x )在R 上是增函数，又f (1)＝1－2＝－1＜0，f (2)＝8－1＝7＞0， 则x 0∈(1,2)．]4．已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数，g (x )＝[x ]为取整函数，x 0是函数f (x )＝ln x －2x的零点，则g (x 0)＝________.2 [f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3－23＞0，则x 0∈(2,3)，故g (x 0)＝2.]【例1】 (1)函数f (x )＝2x |log0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4(2)(2019·兰州模拟)已知函数f (x )满足： ①定义域为R ；②∀x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x )； ③当x ∈[－1,1]时，f (x )＝－|x |＋1.则方程f (x )＝12log 2|x |在区间[－3,5]内解的个数是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8(3)函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x －x 2＋2x ，x ＞0x 2－2，x ≤0的零点个数是________．(1)B (2)A (3)3 [(1)令f (x )＝2x |log 0.5x |－1＝0，可得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，在同一直角坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．(2)由f (x ＋2)＝f (x )知函数f (x )是周期为2的函数，在同一直角坐标系中，画出y 1＝f (x )与y 2＝12log 2|x |的图象，如图所示．由图象可得方程解的个数为5，故选A.(3)当x ＞0时，作函数y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 的图象，由图知，当x ＞0时，f (x )有2个零点；当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去) 所以在(－∞，0]上有一个零点，综上知f (x )有3个零点．](1)函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x ＞0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0(2)(2019·泰安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ＞0，3x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＋x－a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．(1)B (2)(1，＋∞) [(1)法一：由f (x )＝0得⎩⎨⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎨⎧x ＞0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e. 因此函数f (x )共有2个零点．法二：函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点．(2)问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，作出函数f (x )的图象(如图所示)，结合函数图象可知a ＞1.]►考法1 根据零点的范围求参数【例2】 若函数f (x )＝log 2x ＋x －k (k ∈Z )在区间(2,3)上有零点，则k ＝________.4 [函数f (x )＝log 2x ＋x －k 在(2,3)上单调递增，所以f (2)·f (3)＜0，即(log 22＋2－k )·(log 23＋3－k )＜0，整理得(3－k )(log 23＋3－k )＜0，解得3＜k ＜3＋log 23，而4＜3＋log 23＜5，因为k ∈Z ，故k ＝4.]►考法2 已知函数零点或方程根的个数求参数【例3】 (2019·青岛模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．(3，＋∞) [作出f (x )的图象如图所示．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.](1)函数f (x )＝2x－2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧0，x ≤0，e x ，x ＞0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，1]∪(2，＋∞)D ．(－∞，0]∪(1，＋∞)(1)C (2)D [(1)∵函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)＜0，∴(－a )(4－1－a )＜0，即a (a －3)＜0，∴0＜a ＜3，故选C.(2)函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＝m －x 的根，在同一坐标系中画出函数f (x )和y ＝m －x 的图象，如图所示，由图象知，当m ≤0或m ＞1时方程f (x )＝m －x 有根，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点，故选D.]1．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12 B.13 C.12D ．1C [法一：f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)＝(x －1)2＋a [e x －1＋e －(x －1)]－1， 令t ＝x －1，则g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋a (e t ＋e －t )－1. ∵g (－t )＝(－t )2＋a (e －t ＋e t )－1＝g (t )， ∴函数g (t )为偶函数．∵f (x )有唯一零点，∴g (t )也有唯一零点． 又g (t )为偶函数，由偶函数的性质知g (0)＝0， ∴2a －1＝0，解得a ＝12. 故选C.法二：f (x )＝0⇔a (e x －1＋e －x ＋1)＝－x 2＋2x .e x －1＋e －x ＋1≥2e x －1·e －x ＋1＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”． －x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”．若a >0，则a (e x －1＋e －x ＋1)≥2a ，要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，即a ＝12.若a ≤0，则f (x )的零点不唯一．故选C.]2．(2014·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)B [f ′(x )＝3ax 2－6x ，当a ＝3时，f ′(x )＝9x 2－6x ＝3x (3x －2)， 则当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0； x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23时，f ′(x )<0； x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )>0，注意f (0)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝59>0，则f (x )的大致图象如图(1)所示．图(1)不符合题意，排除A 、C.当a ＝－43时，f ′(x )＝－4x 2－6x ＝－2x (2x ＋3)，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32时，f ′(x )<0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0时，f ′(x )>0，x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )<0，注意f (0)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－54，则f (x )的大致图象如图(2)所示．图(2) 不符合题意，排除D.]。

第8讲函数与方程1．函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2．函数零点的判定如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点的交点零点个数两个一个零个判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( )(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac <0时没有零点．( )(4)若函数f (x )在(a ，b )上连续单调且f (a )·f (b )<0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点．( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ [教材衍化]1．(必修1P92A 组T5改编)函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致范围是( )A ．(1，2)B ．(2，3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1和(3，4) D ．(4，＋∞)解析：选B.易知f (x )为增函数，由f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3－23＞0，得f (2)·f (3)＜0.故选B.2．(必修1P88例1改编)函数f (x )＝e x＋3x 的零点个数是______．解析：由已知得f ′(x )＝e x＋3>0，所以f (x )在R 上单调递增，又f (－1)＝1e－3<0，f (0)＝1>0，因此函数f (x )有且只有一个零点．答案：1 [易错纠偏](1)错用零点存在性定理；(2)误解函数零点的定义； (3)忽略限制条件；(4)错用二次函数在R 上无零点的条件． 1．函数f (x )＝x ＋1x的零点个数是______．解析：函数的定义域为{x |x ≠0}，当x >0时，f (x )>0，当x <0时，f (x )<0，所以函数没有零点．答案：02．函数f (x )＝x 2－3x 的零点是______． 解析：由f (x )＝0，得x 2－3x ＝0， 即x ＝0和x ＝3. 答案：0和33．若二次函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在区间(0，4)上存在零点，则实数m 的取值范围是______．解析：二次函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝1.若在区间(0，4)上存在零点，只需f (1)≤0且f (4)>0即可，即－1＋m ≤0且8＋m >0，解得－8<m ≤1.答案：(－8，1]4．若二次函数f (x )＝x 2＋kx ＋k 在R 上无零点，则实数k 的取值范围是______．解析：由题意得Δ＝k 2－4k <0，解得0<k <4. 答案：(0，4)函数零点所在区间的判断设f (x )＝0.8x－1，g (x )＝ln x ，则函数h (x )＝f (x )－g (x )存在的零点一定位于下列哪个区间( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，e)D ．(e ，3)【解析】 h (x )＝f (x )－g (x )的零点等价于方程f (x )－g (x )＝0的根，即为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象的交点的横坐标，其大致图象如图，从图象可知它们仅有一个交点A ，横坐标的范围为(0，1)，故选A.【答案】 A判断函数零点所在区间的3种方法(1)解方程法：当对应方程f (x )＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．(2)定理法：利用函数零点的存在性定理，首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(3)图象法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．1．(2020·金华十校联考)函数f (x )＝πx ＋log 2x 的零点所在区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，14C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，18D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 解析：选A.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝π4＋log 214<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝π2＋log 212>0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，故函数f (x )＝πx ＋log 2x的零点所在区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12.2．(2020·杭州市严州中学高三模拟)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内解析：选A.因为f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )，所以f (a )＝(a －b )(a －c )，f (b )＝(b －c )(b －a )， f (c )＝(c －a )(c －b )，因为a <b <c ，所以f (a )>0，f (b )<0，f (c )>0，所以f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内． 函数零点个数的问题(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0的零点个数为()A ．3B ．2C ．1D ．0(2)已知函数f (x )满足f (x )＝f (3x )，且当x ∈[1，3)时，f (x )＝ln x ，若在区间[1，9)内，函数g (x )＝f (x )－ax 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 33，1e B.⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 39，13e C.⎝⎛⎭⎪⎫ln 39，12e D.⎝⎛⎭⎪⎫ln 39，ln 33 【解析】 (1)法一：由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e.因此函数f (x )共有2个零点． 法二：函数f (x )的图象如图所示， 由图象知函数f (x )共有2个零点． (2)因为f (x )＝f (3x )⇒f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，当x ∈[3，9)时，f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＝ln x3，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，1≤x <3，ln x 3，3≤x <9，而g (x )＝f (x )－ax 有三个不同零点⇔y ＝f (x )与y ＝ax 的图象有三个不同交点，如图所示，可得直线y＝ax应在图中两条虚线之间，所以可解得ln 39<a<13e.故选B.【答案】(1)B (2)B判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．1．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选C.由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y1＝|x－2|(x>0)，y2＝ln x(x>0)的图象，如图所示．由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.2．已知函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －1|－1，0<x ≤2，12f （x －2），x >2，则函数g (x )＝4f (x )－1的零点个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：选D.由f (x )为偶函数可得，只需作出x ∈(0，＋∞)上的图象，再利用对称性作另一半图象即可．当x ∈(0，2]时，可以通过y ＝2x的图象进行变换作出f (x )的图象，当x >2时，f (x )＝12f (x －2)，即自变量差2个单位，函数值折半，进而可作出f (x )在(2，4]，(4，6]，…的图象，如图所示．g (x )的零点个数即f (x )＝14的根的个数，也即f (x )的图象与y ＝14的图象的交点个数，观察图象可知，当x >0时，有5个交点，根据对称性可得当x <0时，也有5个交点，共计10个交点，故选D.函数零点的应用(高频考点)高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现．主要命题角度有：(1)利用函数零点比较大小；(2)已知函数的零点(或方程的根)的情况求参数的值或范围；(3)利用函数零点的性质求参数的范围．角度一利用函数零点比较大小(2020·台州模拟)已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝e x＋x－2的零点为a，函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为b，则下列不等式中成立的是( )A．f(a)<f(1)<f(b) B．f(a)<f(b)<f(1)C．f(1)<f(a)<f(b) D．f(b)<f(1)<f(a)【解析】由题意，知f′(x)＝e x＋1>0恒成立，所以函数f(x)在R上是单调递增的，而f(0)＝e0＋0－2＝－1<0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0，所以函数f(x)的零点a∈(0，1)；由题意，知g′(x)＝1x＋1>0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上是单调递增的，又g(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，g(2)＝ln 2＋2－2＝ln 2>0，所以函数g(x)的零点b∈(1，2)．综上，可得0<a<1<b<2.因为f(x)在R上是单调递增的，所以f(a)<f(1)<f(b)．故选A.【答案】A角度二已知函数的零点(或方程的根)的情况求参数的值或范围(1)设函数f(x)＝log2(2x＋1)，g(x)＝log2(2x－1)，若关于x的函数F(x)＝g(x)－f(x)－m在[1，2]上有零点，则m的取值范围为________．(2)(2018·高考浙江卷)已知λ∈R，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ，当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________．【解析】 (1)令F (x )＝0，即g (x )－f (x )－m ＝0. 所以m ＝g (x )－f (x )＝log 2(2x－1)－log 2(2x＋1)＝log 2 2x－12x ＋1＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1.因为1≤x ≤2，所以3≤2x＋1≤5. 所以25≤22x ＋1≤23，13≤1－22x ＋1≤35.所以log 2 13≤log 2⎝⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1≤log 2 35，即log 2 13≤m ≤log 2 35.所以m的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 2 13，log 2 35.(2)若λ＝2，则当x ≥2时，令x －4<0，得2≤x <4；当x <2时，令x 2－4x ＋3<0，得1<x <2.综上可知，1<x <4，所以不等式f (x )<0的解集为(1，4)．令x －4＝0，解得x ＝4；令x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3.因为函数f (x )恰有2个零点，结合函数的图象(图略)可知1<λ≤3或λ>4.【答案】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 2 13，log 2 35(2)(1，4) (1，3]∪(4，＋∞)角度三 利用函数零点的性质求参数的范围已知函数f (x )＝|ln x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是( )A ．(22，＋∞)B ．[22，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)【解析】 先作出f (x )的图象如图所示，通过图象可知，如果f (a )＝f (b )，则0<a <1<b ，设f (a )＝f (b )＝t ，即⎩⎪⎨⎪⎧|ln a |＝t ，|ln b |＝t (t >0)，由0<a <1<b可得ln a <0，ln b >0，从而⎩⎪⎨⎪⎧ln a ＝－t ，ln b ＝t ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e －t，b ＝e t，所以a ＋2b ＝1e t ＋2e t ，而e t>1，又y ＝2x ＋1x 在(1，＋∞)上为增函数，所以2e t＋1et ∈(3，＋∞)．故选C.【答案】 C已知函数的零点(或方程根)的情况求参数问题常用的三种方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．1．(2019·高考浙江卷)设a ，b ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <0，13x 3－12（a ＋1）x 2＋ax ，x ≥0.若函数y ＝f (x )－ax －b 恰有3个零点，则( )A ．a <－1，b <0B ．a <－1，b >0C ．a >－1，b <0D ．a >－1，b >0解析：选C.由题意可得，当x ≥0时，f (x )－ax －b ＝13x 3－12(a＋1)x 2－b ，令f (x )－ax －b ＝0，则b ＝13x 3－12(a ＋1)x 2＝16x 2[2x －3(a ＋1)]．因为对任意的x ∈R ，f (x )－ax －b ＝0有3个不同的实数根，所以要使满足条件，则当x ≥0时，b ＝16x 2[2x －3(a ＋1)]必须有2个零点，所以3（a ＋1）2>0，解得a >－1.所以b <0.故选C.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x ＋1），x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，转化为f (x )－m ＝0的根有3个，进而转化为y ＝f (x )，y ＝m 的交点有3个．画出函数y ＝f (x )的图象，则直线y ＝m 与其有3个公共点．又抛物线顶点为(－1，1)，由图可知实数m 的取值范围是(0，1)．答案：(0，1)3．(2020·杭州学军中学高三质检)若函数f (x )＝|2x －1|＋ax－5(a是常数，且a∈R)恰有两个不同的零点，则a的取值范围为________．解析：由f(x)＝0，得|2x－1|＝－ax＋5.作出y＝|2x－1|和y＝－ax＋5的图象，观察可以知道，当－2<a<2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，即函数y＝f(x)有两个不同的零点．故a的取值范围是(－2，2)．答案：(－2，2)[基础题组练]1．(2020·浙江省名校联考)已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：A．2个B．3个C．4个D．5个解析：选 B.依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个．2．(2020·温州十校联考(一))设函数f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)解析：选B.法一：因为f (1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f (2)＝ln 2>0，所以f (1)·f (2)<0，因为函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的，所以函数f (x )的零点所在的区间是(1，2)．法二：函数f (x )的零点所在的区间为函数g (x )＝lnx ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的区间，作出两函数的图象如图所示，由图可知，函数f (x )的零点所在的区间为(1，2)．3．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.作出g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与h (x )＝cos x的图象如图所示，可以看到其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0，2π]上的零点个数为3，故选C.4．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x －tan x ⎝⎛⎭⎪⎫－π2<x <π2，若实数x 0是函数y ＝f (x )的零点，且0<t <x 0，则f (t )的值( )A ．大于1B ．大于0C ．小于0D ．不大于0解析：选B.y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x是减函数，y 2＝－tan x在⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2上也是减函数，可知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x－tan x在⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递减．因为0<t <x 0，f (t )>f (x 0)＝0.故选B.5．(2020·兰州模拟)已知奇函数f (x )是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A.14 B.18 C ．－78D ．－38解析：选C.因为函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，所以方程f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0只有一个实数根，又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0⇔f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )⇔f (2x 2＋1)＝f (x －λ)⇔2x 2＋1＝x －λ，所以方程2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得 λ＝－78.故选C.6．(2020·宁波市余姚中学期中检测)已知函数f (x )＝|x |x ＋2－kx 2(k ∈R )有四个不同的零点，则实数k 的取值范围是( )A ．k <0B ．k <1C ．0<k <1D ．k >1解析：选D.分别画出y ＝|x |x ＋2与y ＝kx 2的图象如图所示，当k <0时，y ＝kx 2的开口向下，此时与y ＝|x |x ＋2只有一个交点，显然不符合题意；当k ＝0时，此时与y ＝|x |x ＋2只有一个交点，显然不符合题意，当k >0，x ≥0时，令f (x )＝|x |x ＋2－kx 2＝0，即kx 3＋2kx 2－x ＝0， 即x (kx 2＋2kx －1)＝0， 即x ＝0或kx 2＋2kx －1＝0，因为Δ＝4k 2＋4k >0，且－1k<0，所以方程有一正根，一负根，所以当x >0时，方程有唯一解．即当x ≥0时，方程有两个解．当k >0，x <0时，f (x )＝|x |x ＋2－kx 2＝0，即kx 3＋2kx 2＋x ＝0，kx 2＋2kx ＋1＝0，此时必须有两个解才满足题意，所以Δ＝4k 2－4k >0，解得k >1， 综上所述k >1.7．(2020·金丽衢十二校高三联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧tan[π2（x －1）]，0<x ≤1ln x ，x >1，则f (f (e))＝________，函数y ＝f (x )－1的零点为________．解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧tan[π2（x －1）]，0<x ≤1ln x ，x >1，所以f (e)＝ln e ＝1，f (f (e))＝f (1)＝tan 0＝0，若0<x ≤1，f (x )＝1⇒tan[π2(x －1)]＝1，方程无解；若x >1，f (x )＝1⇒ln x ＝1⇒x ＝e. 答案：0 e8．已知函数f (x )＝23x ＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为________．解析：由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12.答案：－129．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，|log 2x |，x >0，则函数g (x )＝f (x )－12的零点所构成的集合为________．解析：令g (x )＝0，得f (x )＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，2x ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，|log 2x |＝12，解得x ＝－1或x ＝22或x ＝2，故函数g (x )＝f (x )－12的零点所构成的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，22，2. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，22，2 10．(2020·杭州学军中学模拟)已知函数f (x )＝|x 3－4x |＋ax －2恰有2个零点，则实数a 的取值范围为________．解析：函数f (x )＝|x 3－4x |＋ax －2恰有2个零点即函数y ＝|x 3－4x |与y ＝2－ax 的图象有2个不同的交点．作出函数y ＝|x 3－4x |的图象如图，当直线y ＝2－ax 与曲线y ＝－x 3＋4x ，x ∈[0，2]相切时，设切点坐标为(x 0，－x 30＋4x 0)，则切线方程为y －(－x 30＋4x 0)＝(－3x 20＋4)(x －x 0)，且经过点(0，2)，代入解得x 0＝1，此时a ＝－1，由函数图象的对称性可得实数a 的取值范围为a <－1或a >1.答案：a <－1或a >111．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1.所以函数f (x )的零点为3和－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根，所以b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4×(4a )<0⇒a 2－a <0，解得0<a <1，因此实数a 的取值范围是(0，1)．[综合题组练]1．(2020·杭州市富阳二中高三质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －2（x ≤0）ln x （x >0），则下列关于函数y ＝f [f (kx )＋1]＋1(k ≠0)的零点个数的判断正确的是( )A ．当k >0时，有3个零点；当k <0时，有4个零点B ．当k >0时，有4个零点；当k <0时，有3个零点C ．无论k 为何值，均有3个零点D ．无论k 为何值，均有4个零点 解析：选C.令f [f (kx )＋1]＋1＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧f （kx ）＋1≤0，e f （kx ）＋1－2＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧f （kx ）＋1>0ln[f （kx ）＋1]＋1＝0， 解得f (kx )＋1＝0或f (kx )＋1＝1e ；由f (kx )＋1＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧kx ≤0，e kx －2＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧kx >0ln （kx ）＝－1； 即x ＝0或kx ＝1e ；由f (kx )＋1＝1e得，⎩⎪⎨⎪⎧kx ≤0，e kx－2＋1＝1e 或⎩⎪⎨⎪⎧kx >0ln （kx ）＋1＝1e ； 即e kx＝1＋1e (无解)或kx ＝e 1e－1；综上所述，x ＝0或kx ＝1e 或kx ＝e 1e －1；故无论k 为何值，均有3个解，故选C.2．(2020·宁波市高三教学评估)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R 且a >0)，则“f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0”是“f (x )与f (f (x ))都恰有两个零点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由已知a >0，函数f (x )开口向上，f (x )有两个零点，最小值必然小于0，当取得最小值时，x ＝－b2a ，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0，令f (x )＝－b2a ，则f (f (x ))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0，所以f (f (x ))<0，所以f (f (x ))必有两个零点．同理f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a <0⇒f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0⇒x ＝－b 2a ，因为x ＝－b2a 是对称轴，a >0，开口向上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0，必有两个零点所以C 选项正确．3．(2020·瑞安市龙翔高中高三月考)若关于x 的不等式x 2＋|x －a |<2至少有一个正数解，则实数a 的取值范围是________．解析：不等式为2－x 2>|x －a |，则0<2－x 2.在同一坐标系画出y ＝2－x 2(y ≥0，x ≥0)和y ＝|x |两个函数图象，将绝对值函数y ＝|x |向左移动，当右支经过(0，2)点时，a ＝－2；将绝对值函数y ＝|x |向右移动让左支与抛物线y ＝2－x 2(y ≥0，x ≥0)相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y －0＝－（x －a ）y ＝2－x 2，可得x 2－x ＋a －2＝0，再由Δ＝0解得a ＝94. 数形结合可得，实数a的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－2，94. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，94 4．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，g (x )＝log 12x ，记函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ），f （x ）≤g （x ），f （x ），f （x ）>g （x ），则函数F (x )＝h (x )＋x －5的所有零点的和为________．解析：由题意知函数h (x )的图象如图所示，易知函数h (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数F (x )所有零点的和就是函数y ＝h (x )与函数y ＝5－x 图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，因为两函数图象的交点关于直线y ＝x 对称，所以x 1＋x 22＝5－x 1＋x 22，所以x 1＋x 2＝5.答案：5。

2.8 函数与方程『考纲解读』1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．『考点预测』高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:函数与方程是历年来高考重点内容之一,选择题、填空题与解答题都有可能出现,还常与二次函数等知识相联系，以考查函数与方程知识的同时，又考查函数思想、数形结合思想和分类讨论思想解决问题的能力.『要点梳理』1.函数的零点：(1)一般地,如果函数y =f (x )在实数a 处的值等于0,即()0f a =,则a 叫做这个函数的零点.(2)对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.2.二分法(1)对于区间『a ,b 』上连续的,且()()0f a .f b <的函数y =f (x ),通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,从而得到零点近似值的方法,叫做二分法.(2)用二分法求函数零点的近似值.第一步：确定区间[]a,b ，验证()()0f a .f b <，给定精确度;第二步：求区间()a,b 的中点1x ;第三步：计算；①若f (x 1)=0,则x 1就是函数的零点,②若f (a ) ·f (x 1)<0,则令b =x 1,③若f (x 1)·f (b )<0,则令a = x 1.第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b -<ε，则得到零点近似值a 或b ，否则重复第二、三、四步.典例精析题型一 确定函数零点所在的区间『例1』已知函数f (x )＝x ＋log2x ，问方程f (x )＝0在区间『14，4』上有没有实根，为什么？『变式训练1』若x 0是函数f (x )＝x ＋2x －8的一个零点，则『x 0』(表示不超过x 0的最大整数)＝__________.题型二 判断函数零点的个数『例2』判断下列函数的零点个数.(1)f (x )＝x 2＋mx ＋(m －2)；(2)f (x )＝x －4＋log2x .『变式训练2』问a 为何值时，函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个零点，二个零点，一个零点？题型三 利用导数工具研究函数零点问题『例3』设函数f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋2a .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)关于x 的方程f (x )＝a 2在『－3,2』上有三个相异的零点，求a 的取值范围.『变式训练3』已知函数f (x )＝x33＋12ax 2＋2bx ＋c 的两个极值分别为f (x 1)和f (x 2)，若x 1和x 2分别在区间(0,1)与(1,2)内，则b －2a －1的取值范围为( ) A.(－1，－14) B.(－∞，14)∪(1，＋∞) C.(14，1) D.(14，2)总结提高函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与x 轴的交点的横坐标，注意零点不是“点”，并不是所有的函数都有零点，或者说不是所有的函数图象都与x 轴有交点.二分法是求一般函数零点的一种通法，但要注意使用二分法的条件.二分法是利用“逐步逼近”的数学思想得到零点的近似值，但二分法也存在局限性，一是二分法一次只能求一个零点，二是在(a ，b )内有零点时，未必f (a )f (b )＜0成立，三是二分法计算量较大，常要借助计算器完成. •答案『例1』『解析』因为f (14)＝14＋log214＝14－2＝－74＜0， f (4)＝4＋log24＝4＋2＝6＞0，f (14)f (4)＜0，又f (x )＝x ＋log2x 在区间『14，4』是连续的， 所以函数f (x )在区间『14，4』上有零点，即存在c ∈『14，4』，使f (c )＝0， 所以方程f (x )＝0在区间『14，4』上有实根. 『点拨』判断函数f (x )的零点是否在区间(a ，b )内，只需检验两条：①函数f (x )在区间(a ，b )上是连续不断的；②f (a )f (b )＜0.『变式训练1』『解析』因为函数f (x )＝x ＋2x －8在区间(－∞，＋∞)上是连续不间断的单调递增函数，且f (2)f (3)＜0，所以函数f (x )在区间(2,3)上存在唯一的零点x 0，所以『x 0』＝2.『例2』『解析』(1)由Δ＝m 2－4(m －2)＝(m －2)2＋4＞0，得知f (x )＝x 2＋mx ＋(m －2)＞0有两个不同的零点.(2)因为函数f (x )＝x －4＋log2x 在区间(0，＋∞)上是连续不间断的单调递增函数，且f (2)f (3)＜0，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上存在唯一的零点.『点拨』判断函数的零点个数有以下两种方法：(1)方程f (x )＝0的根的个数即为函数f (x )的零点个数；(2)函数f (x )与x 轴的交点个数，即为函数f (x )的零点个数；特殊情况下，还可以将方程f (x )＝0化为方程g (x )＝h (x )，然后再看函数y ＝g (x )与y ＝h (x )的交点个数.『变式训练2』『解析』f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x 1＝1，x 2＝－1，此时f (x )有极大值f (－1)＝2＋a ，极小值f (1)＝－2＋a .由图象(图略)得知：当－2＜a ＜2时，函数f (x )有三个零点；••••当a ＝－2或a ＝2时，函数f (x )有两个零点；当a ＜－2或a ＞2时，函数f (x )有一个零点.『例3』『解析』(1)f ′(x )＝3x 2＋4x －4.由f ′(x )＞0，得x ＜－2或x＞23；由f ′(x )＜0，得－2＜x ＜23. 故f (x )的递增区间为(－∞，－2)、(23，＋∞)， f (x )的递减区间为(－2，23). (2)由f (x )＝a 2⇔x 3＋2x 2－4x －a 2＋2a ＝0，令g (x )＝x 3＋2x 2－4x －a 2＋2a .所以g ′(x )＝3x 2＋4x －4.由(1)可知，g (x )在(－∞，－2)和(23，＋∞)上递增，在(－2，23)上递减，故g (x )在『－3，－2』和『23，2)上为增函数，在『－2， 23』上为减函数. 关于x 的方程f (x )＝a 2在『－3,2』上有三个不同的零点，则解得－2＜a ≤－1或3≤a ＜4.『点拨』(1)先求f ′(x )，由f ′(x )＝0求出极值点，再讨论单调性；(2)利用(1)及函数f (x )的大致图形，找到满足题设的a 的条件.『变式训练3』『解析』因为f ′(x )＝x 2＋ax ＋2b ，由题意可知，画出a ，b 满足的可行域，如图中的阴影部分(不包括边界)所示，b －2a －1表示可行域内的点与⎪⎩⎪⎨⎧>++=<++=>=.0224)2(',021)1('02)0('b a f b a f b f点D (1,2)的连线的斜率，记为k ，观察图形可知，kCD ＜k ＜kBD ，而kCD ＝2－11－(－3)＝14，kBD ＝2－01－(－1)＝1，所以14＜b －2a －1＜1，故选C.。

第八节函数与方程1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．知识点一函数的零点1．定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使________成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．2．函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与______有交点⇔函数y＝f(x)有______．3．函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有____________，那么函数y＝f(x)在区间________内有零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．答案1．f(x)＝0 2.x轴零点3．f(a)·f(b)<0 (a，b) f(c)＝01．(必修①P92习题3.1A组第2题改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x 1234 5f(x)－4－2147在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为( )A．(1,2) B．(2,3)C．(3,4) D．(4,5)解析：由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)<0，所以函数的零点在(2,3)内，故选B.答案：B2．(必修①P88例1改编)函数f(x)＝x 12－⎝⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3 解析：函数f(x)＝x 12－⎝⎛⎭⎪⎫12x的零点个数是方程x12－⎝⎛⎭⎪⎫12x＝0的解的个数，即方程x12＝⎝⎛⎭⎪⎫12x的解的个数，也就是函数y＝x 12与y＝⎝⎛⎭⎪⎫12x的图象的交点个数．在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得交点个数为1.答案：B3．已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是________．解析：∵函数f(x)＝x2＋x＋a在(0,1)上有零点．∴f(0)f(1)<0.即a(a＋2)<0，解得－2<a<0.答案：(－2,0)知识点二二分法1．二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且____________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间________，使区间的两个端点逐步逼近______，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间[a，b]，验证__________，给定精确度ε；第二步，求区间(a，b)的中点x1；第三步，计算f(x1)：①若____________，则x1就是函数的零点；②若____________，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；③若____________，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))；第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第二、三、四步．温馨提示：用二分法求一个方程的近似解时，选择的区间可大可小，在同一精确度下，最好在满足|a－b|<ε的同时，再保证区间(a，b)的两个端点a，b在精确度ε下的近似值相同．这样所选的区间不同，但所得结果相同．答案1．f(a)f(b)<0 一分为二零点2．f(a)f(b)<0 ①f(x1)＝0 ②f(a)f(x1)<0③f(x1)f(b)<04．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )答案：A5．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：f(1.600 0)＝0.200f(1.587 5)＝0.133f(1.575 0)＝0.067 f(1.562 5)＝0.003f(1.556 2)＝－0.029f(1.550 0)＝－0.060x解析：由题意知，函数零点在区间(1.556 2，1.562 5)内，又零点近似值保留三位有效数字，故零点近似值为1.56.答案：1.56热点一 零点所在区间的判断【例1】 (1)(2017·吉林长春监测)函数f (x )＝12ln x ＋x －1x －2的零点所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(e,3)(2)设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)【解析】 (1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－12＋1e －e －2<0，f (1)＝－2<0，f (2)＝12ln2－12<0，f (e)＝12＋e －1e －2>0，所以f (2)f (e)<0，所以函数f (x )＝12ln x ＋x －1x －2的零点所在的区间是(2，e)，故选C.(2)函数f (x )的零点所在的区间转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图，可知f (x )的零点所在的区间为(1,2)．故选B.【答案】 (1)C (2)B【总结反思】判断函数零点所在区间的方法方法解读适合题型定理法 利用函数零点的存在性定理进行判断能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负图象法画出函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断容易画出函数的图象(1)函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(3,4)(2)(2017·永州模拟)若x 0是函数f (x )＝2x－x －3的零点，则[x 0](表示不超过x 0的最大整数)的值为________．解析：(1)因为f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数，且f (1)＝ln2－2<0，f (2)＝ln3－1>0，所以函数的零点所在的大致区间是(1,2)，故选B.(2)函数f (x )＝2x－x －3的零点即函数y ＝2x与y ＝x ＋3的交点的横坐标．如图，因为f (－3)·f (－2)＝18×(14－1)<0，f (2)·f (3)＝(－1)×2＝－2<0.所以x 0∈(－3，－2)或x 0∈(2,3)， 所以[x 0]的值为－3或2.答案：(1)B (2)－3或2热点二 函数零点个数的判断【例2】 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．(2)函数f (x )＝cos x －log 8x 的零点个数为________．【解析】 (1)当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点．当x >0时，f ′(x )＝2＋1x>0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又因为f (2)＝－2＋ln2<0，f (3)＝ln3>0，所以f (x )在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f (x )的零点个数为2.(2)由f (x )＝0得cos x ＝log 8x ，设y ＝cos x ，y ＝log 8x ，作出函数y ＝cos x ，y ＝log 8x 的图象，由图象可知，函数f (x )的零点个数为3.【答案】 (1)2 (2)3 【总结反思】判断函数y ＝f (x )零点个数的常用方法(1)直接法．令f (x )＝0，则方程实根的个数就是函数零点的个数．(2)零点存在的判定方法．判断函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数． (3)数形结合法．转化为两个函数的图象的交点个数问题(画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数).(2017·佳木斯一模)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝e x＋x －3，则f (x )的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，所以0是函数f (x )的一个零点．当x >0时，令f (x )＝e x＋x －3＝0. 则e x＝－x ＋3.分别画出函数y ＝e x和y ＝－x ＋3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f (x )在(0，＋∞)上有一个零点．又根据对称性知，当x <0时函数f (x )也有一个零点． 综上所述，f (x )的零点个数为3.故选C. 答案：C热点三 函数零点的应用 考向1 二次函数的零点问题【例3】 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋2，a ∈R .(1)若不等式f (x )≤0的解集为[1,2]，求不等式f (x )≥1－x 2的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )＋x 2＋1在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a 的取值范围． 【解】 (1)因为不等式f (x )≤0的解集为[1,2]，所以a ＝－3，于是f (x )＝x 2－3x ＋2. 由f (x )≥1－x 2得，1－x 2≤x 2－3x ＋2，解得x ≤12或x ≥1，所以不等式f (x )≥1－x 2的解集为{x |x ≤12或x ≥1}．(2)函数g (x )＝2x 2＋ax ＋3在区间(1,2)上有两个不同的零点，则⎩⎪⎨⎪⎧g 1>0，g 2>0，1<－a4<2，a 2－24>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋5>0，2a ＋11>0，－8<a <－4，a <－26或a >26，解得－5<a <－2 6.所以实数a 的取值范围是(－5，－26). 【总结反思】解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组.已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围．解：设方程x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，则(x 1－1)(x 2－1)<0，即x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1<0，由根与系数的关系，得(a －2)＋(a 2－1)＋1<0，即a 2＋a －2<0，∴－2<a <1. 故实数a 的取值范围为(－2,1)．考向2 利用函数的零点求参数的取值范围 【例4】 (2016·天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4a －3x ＋3a ，x <0，log a x ＋1＋1，x ≥0，(a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 【解析】 要使函数f (x )在R 上单调递减，只需⎩⎪⎨⎪⎧3－4a 2≥0，0<a <1，3a ≥1，解之得13≤a ≤34，因为方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，所以直线y ＝2－x 与函数y ＝|f (x )|的图象有两个交点．如图所示．易知y ＝|f (x )|的图象与x 轴的交点的横坐标为1a －1，又13≤1a－1≤2，故由图可知，直线y ＝2－x 与y ＝|f (x )|的图象在x >0时有一个交点；当直线y ＝2－x 与y ＝x 2＋(4a －3)x ＋3a (x <0)的图象相切时，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2－x 0＝x 20＋4a －3x 0＋3a ，－1＝2x 0＋4a －3，整理可得4a2－7a ＋3＝0，解得a ＝1(舍)或a ＝34.而当3a ≤2，即a ≤23时，直线y ＝2－x 与y ＝|f (x )|的图象在y 轴左侧有一个交点，综合可得a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34.【答案】 C 【总结反思】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.(2017·南昌模拟)对于实数m ，n 定义运算“⊕”：m ⊕n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－m 2＋2mn －1m ≤n，n 2－mn m >n ，设f (x )＝(2x －1)⊕(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝a 恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是________．解析：由2x －1≤x －1，得x ≤0，此时f (x )＝－(2x －1)2＋2(2x －1)·(x －1)－1＝－2x ，由2x －1>x －1，得x >0，此时f (x )＝(x －1)2－(2x －1)(x －1)＝－x 2＋x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤0，－x 2＋x ，x >0，作出函数f (x )的图象如图所示，要使方程f (x )＝a 恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，不妨设x 1<x 2<x 3，则x 1<0,0<x 2<12<x 3<1，且x 2，x 3关于x ＝12对称，所以x 2＋x 3＝1，当－2x ＝14时，解得x ＝－18，∴－18<x 1<0，∴78<x 1＋x 2＋x 3<1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫78，11．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．2．函数零点的判定常用的方法有(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)＝0.3．研究方程f(x)＝g(x)的解，实质就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零点．4．转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．。

第八节函数与方程[考纲传真]结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系1．f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．2．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，且f(x)的图象连续不断，则f(a)·f(b)＜0⇒函数f(x)在区间[a，b]上只有一个零点．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( )(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.( )(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．( )(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0时没有零点．( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间是( )A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)C [由题意得f (1)＝ln 1＋2－6＝－4＜0，f (2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2＜0，f (3)＝ln 3＋6－6＝ln 3＞0， f (4)＝ln 4＋8－6＝ln 4＋2＞0，∴f (x )的零点所在的区间为(2,3)．]3．(教材改编)已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个B [∵f (2)·f (3)＜0，f (3)·f (4)＜0，f (4)·f (5)＜0， 故函数f (x )在区间[1,6]内至少有3个零点．]4．函数f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点有________个．1 [如图所示，函数f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点有1个．]5．函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 [∵函数f (x )的图象为直线， 由题意可得f (－1)·f (1)＜0，∴(－3a ＋1)·(1－a )＜0，解得13＜a ＜1，∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.]判断函数零点所在的区间1．函数f (x )＝ln x －2x2的零点所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)B [由题意知函数f (x )是增函数，因为f (1)＜0，f (2)＝ln 2－12＝ln 2－ln e ＞0，所以函数f (x )的零点所在的区间是(1,2)．故选B.]2．若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( ) A ．(a ，b )和(b ，c )内 B ．(－∞，a )和(a ，b )内 C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内 D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内A [∵a ＜b ＜c ，∴f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －a )(c －b )＞0，由函数零点存在性判定定理可知：在区间(a ，b )(b ，c )内分别存在一个零点； 又函数f (x )是二次函数，最多有两个零点，因此函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )，(b ，c )内，故选A.]3．已知函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2，k ＋12(k ∈Z)内，那么k ＝________.5 [∵f ′(x )＝1x ＋2＞0，x ∈(0，＋∞)，∴f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝ln52－1＜0，f (3)＝ln 3＞0，∴f (x )的零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫52，3内，则整数k ＝5.]解方程，当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上来判断利用零点存在性定理进行判断数形结合画出函数图象，通过观察图象与判断函数零点的个数【例1】 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x ＞0，2x ＋1，x ≤0的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝e x＋x －3，则f (x )的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(1)D (2)C [依题意，在考虑x ＞0时可以画出函数y ＝ln x 与y ＝x 2－2x 的图象(如图)，可知两个函数的图象有两个交点，当x ≤0时，函数f (x )＝2x ＋1与x 轴只有一个交点，综上，函数f (x )有3个零点．故选D. (2)因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，即x ＝0是函数f (x )的1个零点． 当x ＞0时，令f (x )＝e x＋x －3＝0，则e x＝－x ＋3，分别画出函数y＝e x和y ＝－x ＋3的图象，如图所示，两函数图象有1个交点，所以函数f (x )有1个零点．根据对称性知，当x ＜0时，函数f (x )也有1个零点．综上所述，f (x )的零点个数为3.]直接求零点，令x＝零点存在性定理，要求函数在区间a f b ＜再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.(1)0.5A ．1 B ．2 C ．3D ．4(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ＞0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．(1)B (2)3 [(1)令f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0，可得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．故选B.(2)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－2，－1－b ＋c ＝1，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝－2.由g (x )＝0得f (x )＋x ＝0，该方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0 ，－2＋x ＝0，①或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－x 2－4x －2＋x ＝0.②解①得x ＝2，解②得x ＝－1或x ＝－2.因此，函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为3.]函数零点的应用【例2】 (1)设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( ) A ．g (a )＜0＜f (b ) B ．f (b )＜0＜g (a ) C ．0＜g (a )＜f (b )D ．f (b )＜g (a )＜0(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________． (1)A (2)(3，＋∞) [(1)∵f (x )＝e x＋x －2， ∴f ′(x )＝e x＋1＞0， 则f (x )在R 上为增函数，又f (0)＝e 0－2＜0，f (1)＝e －1＞0，且f (a )＝0，∴0＜a ＜1.∵g (x )＝ln x ＋x 2－3， ∴g ′(x )＝1x＋2x .当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＞0， ∴g (x )在(0，＋∞)上为增函数，又g (1)＝ln 1－2＝－2＜0，g (2)＝ln 2＋1＞0，且g (b )＝0，∴1＜b ＜2，∴a ＜b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧f b ＞f a ＝0，g a ＜g b ＝0.故选A.(2)画出f (x )的草图如图所示，若存在实数b ，使得f (x )＝b 有3个不同的根，则4m －m 2＜m ，即m 2－3m ＞0， 又m ＞0，解得m ＞3.]直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解(1)c ，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c(2)函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)(1)A (2)C [(1)在同一坐标系中，画出函数y ＝e x，y ＝ln x 与y ＝－x ，y ＝－1的图象如图所示． 由图可知a ＜b ＜c ， 故选A.(2)∵函数f (x )＝2x－2x－a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)＜0，∴(－a )(4－1－a )＜0，即a (a －3)＜0，∴0＜a ＜3.]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,0) B ．[0，＋∞) C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)C [函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1，故选C.]2．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( ) A ．－12B.13C.12D ．1C [法一：f (x )＝x 2－2x ＋a (ex －1＋e－x ＋1)＝(x －1)2＋a [ex －1＋e－(x －1)]－1，令t ＝x －1，则g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋a (e t＋e －t)－1. ∵g (－t )＝(－t )2＋a (e －t＋e t)－1＝g (t )， ∴函数g (t )为偶函数．∵f (x )有唯一零点，∴g (t )也有唯一零点．又g (t )为偶函数，由偶函数的性质知g (0)＝0， ∴2a －1＝0，解得a ＝12.故选C.法二：f (x )＝0⇔a (e x －1＋e －x ＋1)＝－x 2＋2x .ex －1＋e－x ＋1≥2ex －1·e－x ＋1＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”．又－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”． 若a ＞0，则a (ex －1＋e－x ＋1)≥2a ，要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，即a ＝12.若a ≤0，则f (x )的零点不唯一． 故选C.]。

第八节 函数与方程[考纲传真] 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断 一元二次方程根的存在性与根的个数．1．函数的零点(1)定义：对于函数 y ＝f (x )(x ∈D )，把使 f (x )＝0 成立的实数 x 叫做函数 y ＝f (x )(x ∈D )的零点．(2)函数零点与方程根的关系：方程 f (x )＝0 有实根⇔函数 y ＝f (x )的图象与 x 轴有交点⇔函数 y ＝f (x )有零点．(3)零点存在性定理：如果函数 y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一 条曲线，并且有 f (a )·f (b )＜0，那么函数 y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在x 0∈(a ，b )，使得 f (x 0)＝0.2．二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象与零点的关系Δ＝b 2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象与 x 轴的交点(x 1,0)， (x 2,0) (x 1,0) (或(x 2,0)) 无交点零点个数21[常用结论]1．函数 f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，则“f (a )·f (b )＜0”是 函数 f (x )在区间(a ，b )内有零点的充分不必要条件．2．若函数 f (x )在区间[a ，b ]上是单调函数，且 f (a )·f (b )＜0，则函数 f (x )在区 间(a ，b )内只有一个零点．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．()(2)函数y＝f(x)，x∈D在区间(a，b)⊆D内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0. ()(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0 时没有零点．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)函数f(x)＝e x＋3x的零点个数是()A．0B．1C．2D．31B[∵f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0，e∴f(x)在(－1,0)内有零点，又f(x)为增函数，∴函数f(x)有且只有一个零点．]3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A．y＝cos x B．y＝sin xC．y＝ln x D．y＝x2＋1A[由于y＝sin x是奇函数，y＝ln x是非奇非偶函数，y＝x2＋1 是偶函数但没有零点，只有y＝cos x是偶函数又有零点．]4．函数f(x)＝3x－x2 的零点所在区间是()A．(0,1)B．(1,2) C．(－2，－1)D．(－1,0)35 2D[∵f(－2)＝－，f(－1)＝－，9 3f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，∴f(0)f(1)＞0，f(1)f(2)＞0，f(－2)f(－1)＞0，f(－1)f(0)＜0，故选D.]5．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．1，1)[∵函数f(x)的图象为直线，(3由题意可得f(－1)f(1)＜0，Earlybird1∴(－3a＋1)·(1－a)＜0，解得＜a＜1，31∴实数a 的取值范围是(，1).]3判断函数零点所在的区间1．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内A[∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)和(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A.]1 x2．设x0 是方程( ＝的解，则x0 所在的范围是()x3 )1 1 1A.(B.0，，3) ( 2)31 2 2C.(D. ，1)，3)( 231xB [构造函数 f (x )＝(－ ，x3)1因为 f (0)＝(－ ＝1＞0，3)111 1 1 1 1 1111 1f(＝－ ＝ 3－(2＞0，f(＝ － ＝ 323 ) (3 )3(3 ) 3) 2) (3 )21(3) 111 1x－＜0.所以由零点存在性定理可得函数 f (x )＝ － x在2(2(2) 3)Earlybird1 1 1 1，上存在零点，即x0∈，，故选B.]( 2) ( 2)3 31 x－23．设函数y1＝x3 与y2＝( 的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋2 )1)，n∈N，则x0 所在的区间是________．1 x－2(1,2)[设f(x)＝x3－( ，则f(x)在R上是增函数，2 )又f(1)＝1－2＝－1＜0，f(2)＝8－1＝7＞0，则x0∈(1,2)．]4．已知[x]表示不超过实数x 的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0 是函数f(x) 2＝ln x－的零点，则g(x0)＝________.x22[f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，则x0∈(2,3)，故g(x0)＝2.]3[规律方法]判断函数零点所在区间的3 种方法1解方程法：当对应方程f x＝0 易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上.2定理法：利用函数零点的存在性定理，首先看函数y＝f x在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f a·f b＜0.若有，则函数y＝f x在区间a，b内必有零点.3图象法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断.判断函数零点(或方程根)的个数【例1】(1)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1 的零点个数为()A．1B．2 C．3D．4(2)(2019·兰州模拟)已知函数f(x)满足：①定义域为R；②∀x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)；③当x∈[－1,1]时，f(x)＝－|x|＋1.Earlybird1则方程f(x)＝log2|x|在区间[－3,5]内解的个数是()2A．5B．6C．7D．8(3)函数f(x)＝Error!的零点个数是________．(1)B(2)A(3)3[(1)令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，1可得|log0.5x|＝( x.2 )1设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝( x，在同一直角坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)2 )的图象，可以发现两个函数图象一定有2 个交点，因此函数f(x)有2 个零点．(2)由f(x＋2)＝f(x)知函数f(x)是周期为2 的函数，在同一直角坐标系中，画1出y1＝f(x)与y2＝log2|x|的图象，如图所示．2由图象可得方程解的个数为5，故选A.(3)当x＞0 时，作函数y＝ln x和y＝x2－2x的图象，由图知，当x＞0 时，f(x)有2 个零点；当x≤0 时，令x2－2＝0，解得x＝－2(正根舍去)所以在(－∞，0]上有一个零点，综上知f(x)有3 个零点．][规律方法]判断函数零点个数的3 种方法1方程法：令f x＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点.Earlybird2零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f a·f b＜0，还必须结合函数的图象与性质如单调性、奇偶性、周期性、对称性才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质.3数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.(1)函数f(x)＝Error!的零点个数为()A．3B．2C．1D．0(2)(2019·泰安模拟)已知函数f(x)＝Error!若关于x 的方程f(x)＋x－a＝0 有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．(1)B(2)(1，＋∞)[(1)法一：由f(x)＝0 得Error!或Error!解得x＝－2 或x＝e.因此函数f(x)共有2 个零点．法二：函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2 个零点．(2)问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a 的图象有且只有一个交点，作出函数f(x)的图象(如图所示)，结合函数图象可知a＞1.]函数零点的应用►考法1根据零点的范围求参数【例2】若函数f(x)＝log2x＋x－k(k∈Z)在区间(2,3)上有零点，则k＝________.4[函数f(x)＝log2x＋x－k在(2,3)上单调递增，所以f(2)·f(3)＜0，即(log22＋2－k)·(log23＋3－k)＜0，整理得(3－k)(log23＋3－k)＜0，解得3＜k＜3＋log23，而4＜3＋log23＜5，因为k∈Z，故k＝4.]►考法2已知函数零点或方程根的个数求参数【例3】(2019·青岛模拟)已知函数f(x)＝Error!其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．(3，＋∞)[作出f(x)的图象如图所示．当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m2<m，即m2－3m>0. 又m>0，解得m>3.][规律方法]已知函数的零点或方程根，求参数问题的三种方法1直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.2分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.3数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.2(1)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取x值范围是()A．(1,3) B．(1,2)C．(0,3) D．(0,2)(2)已知函数f(x)＝Error!则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是()A．[0,1) B．(－∞，1)C．(－∞，1]∪(2，＋∞) D．(－∞，0]∪(1，＋∞)2(1)C(2)D[(1)∵函数f(x)＝2x－－a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)＝x22x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)＜0，∴(－a)(4－1－a)＜0，即a(a x－3)＜0，∴0＜a＜3，故选C.(2)函数g(x)＝f(x)＋x－m的零点就是方程f(x)＝m－x的根，在同一坐标系中画出函数f(x)和y＝m－x的图象，如图所示，由图象知，当m≤0 或m＞1 时方程f(x)＝m－x有根，即函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点，故选D.]1．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(e x－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a ＝()1 1A．－ B.2 31C. D．12C[法一：f(x)＝x2－2x＋a(e x－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[e x－1＋e－(x－1)]－1，令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(e t＋e－t)－1.∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋e t)－1＝g(t)，∴函数g(t)为偶函数．∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点．又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0，1∴2a－1＝0，解得a＝.2故选C.法二：f(x)＝0⇔a(e x－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.e x－1＋e－x＋1≥2 e x－1·e－x＋1＝2，当且仅当x＝1 时取“＝”．－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1 时取“＝”．若a>0，则a(e x－1＋e－x＋1)≥2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝1.若a≤0，则f(x)的零点不唯一．2故选C.]2．(2014·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是()A．(2，＋∞) B．(－∞，－2)C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)B[f′(x)＝3ax2－6x，当a＝3 时，f′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)，则当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；2x∈(0，时，f′(x)<0；3)2 2 5x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，注意f(0)＝1，f( ＝>0，则f(x)的大致图象3 93 )如图(1)所示．图(1)不符合题意，排除A、C.4 3当a＝－时，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，则当x∈－∞，－时，3 ( 2)3 3 f′(x)<0，x∈( ，0)时，f′(x)>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，注意f(0)＝1，f(－－2 )25＝－，则f(x)的大致图象如图(2)所示．4Earlybird图(2) 不符合题意，排除D.]。

【考纲解读】1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.函数与方程是历年来高考重点内容之一,选择题、填空题与解答题都有可能出现,还常与二次函数等知识相联系，以考查函数与方程知识的同时，又考查函数思想、数形结合思想和分类讨论思想解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查函数与方程,命题形式会更加灵活.【要点梳理】1.函数的零点：f a ,则a叫做这个函数的零点.(1)一般地,如果函数y=f(x)在实数a处的值等于0,即()0(2)对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.复第二、三、四步.【例题精析】考点求函数的零点例. (2012年高考北京卷文科5)函数xx x f )21()(21-=的零点个数为（ ） （A ）0 （B ）1（C ）2 （D ）3 【变式训练】(2012年高考湖北卷文科3) 函数f(x)=xcos2x 在区间[0,2π]上的零点个数为( ) A 2 B 3 C 4 D 5 【易错专区】问题：函数的零点定义及定理理解不透例. 函数3()233f x x x =+-的零点所在的区间为( ) A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 【课时作业】1. （2010年高考天津卷文科4）函数f （x ）=2xe x +-的零点所在的一个区间是 ( ) (A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2）2．（2010年高考福建卷文科7）函数2x +2x-3,x 0x)=-2+ln x,x>0f ⎧≤⎨⎩（的零点个数为 ( ) A.3 B.2 C.1 D.03．（2010年高考上海卷文科17）若0x 是方程式 lg 2x x +=的解，则0x 属于区间 （ ） （A ）（0，1）. （B ）（1，1.25）. （C ）（1.25，1.75） （D ）（1.75，2）4. (北京市西城区2012年4月高三第一次模拟) 已知函数122,09,(),20.x x f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩ 则()f x 的零点是__ ___.5. （2009年高考山东卷理科第14题）若函数f(x)=xa x a -- (0a >且1a ≠)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .6．(山东省济南市2012年2月高三定时练习)函数x x x f lg cos )(-=零点的个数为 .【考题回放】1.（2011年高考海南卷文科10)在下列区间中,函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为( )A.1(,0)4- B.1(0,)4 C. 11(,)42 D.13(,)242. (2010年高考浙江卷文科9)已知x 是函数f(x)=2x+11x-的一个零点.若1x ∈（1，0x ）， 2x ∈（0x ，+∞），则( )（A ）f(1x )＜0，f(2x )＜0 （B ）f(1x )＜0，f(2x )＞0 （C ）f(1x )＞0，f(2x )＜0 （D ）f(1x )＞0，f(2x )＞03. (2012年高考湖南卷文科9)设定义在R 上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，()f x '是f(x)的导函数，当[]0,x π∈时，0＜f(x)＜1；当x ∈（0，π） 且x ≠2π时 ，()()02x f x π'->，则函数y=f(x)-sinx 在[-2π，2π] 上的零点个数为( )A .2B .4 C.5 D. 84. （2011年高考山东卷文科16)已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .5.（2011年高考辽宁卷文科16)已知函数f （x ）=e x-2x+a 有零点，则a 的取值范围是___________。