2019年秋九年级数学上册 第3章 3.1 比例线段 3.1.1 比例的基本性质同步练习

第3章图形的相似31 比例线段311 比例线段的基本性质【教学目标】1、（理解）能熟记比例的基本性质．2、（掌握）能够运用比例的性质进行简单的计算和证明【教学重点】比例的基本性质及其应用【教学过程】一、知识链接：1、小学里已经学过了比例的有关知识，下面请同学们口答下列问题：（1）如果a与b的比值和c与d的比值相等，应记为：。

（2）已知2：3＝4：，则= 。

2、上节课教学了两条线段的比，成比例线段（1）比例线段及其相关概念“成比例线段”的概念：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做。

（2）“成比例线段”和“线段的比”这两个概念有什么区别？线段的比是指条线段的比的关系，成比例线段是指条线段之间的关系。

（3）注意：概念的有序性线段的比有顺序性，ab和ba相等吗？请举例说明。

成比例线段也有顺序性，如dc b a =能说成是b 、a 、c 、d 成比例吗？请举例说明。

二、 预习交流： （1） 比例的基本性质是： 。

请写出推理过程： ∵d c b a =，在两边同乘以bd 得，a b ⨯ =c d⨯ ∴ =（2） 合比性质如果d c b a =，那么a b b+= 请写出推理过程：∵d c b a =，在两边同时加上1得，a b + =c d + 两边分别通分得： a b c d b d++= 思考：请仿照上面的方法，证明“如果d c b a =，那么d d c b b a -=-”． （3） 等比性质： 猜想n m f e d c b a =⋅⋅⋅===（0≠+⋅⋅⋅+++n f d b ），与nf d b m e c a +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++相等吗？能否证明你的猜想？（引导学生从上述实例中找出证明方法）等比性质：如果n m d c b a =⋅⋅⋅==（0≠+⋅⋅⋅++n d b ），那么nd b m c a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++＝b a ． 思考：等比性质中，为什么要0≠+⋅⋅⋅++n d b 这个条件？三、 巩固练习：1在相同时刻的物高与影长成比例，如果一建筑在地面上影长为50米，高为15米的测竿的影长为25米，那么，该建筑的高是多少米？2．若:2(4):4x x =-则x =3．若2x =0234x y z ==≠，则2x y z x--=四、 本课小结：1．比例的基本性质：ab =cd ⇔ ；2 合比性质：如果dc b a =，那么 ； 3 等比性质：如果n md c b a =⋅⋅⋅==（0≠+⋅⋅⋅++n d b ）， 五、 布置作业：。

3。

1。

2 成比例线段1．掌握比例线段的概念及其性质，会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例．（重点）2．知道黄金分割的定义,会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点．阅读教材P64～66，自学，能够灵活运用比例线段的性质解决问题．（一）知识探究1．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫作____________，简称比例线段．2．将一条线段AB分成不相等的两部分,使较短线段CB与较长线段AC的比等于线段AC与原线段AB的比,即使得________，那么称线段AB被点C________，点C叫作线段AB的____________,较长线段AC与原线段AB的比叫作________．1．两线段是几何图形,可用它的长度比来确定．2．度量线段的长，单位有多种，但求比值必须在同一长度单位下,比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关．3．表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB∶CD.（二)自学反馈1．如图，线段AB∶BC＝1∶2，那么AC∶BC等于( ）A．1∶3 B．2∶3 C．3∶1 D．3∶22．下列各组中的四条线段成比例的是（)A．1 cm,2 cm，20 cm，40 cmB．1 cm，2 cm，3 cm，4 cmC．4 cm，2 cm，1 cm,3 cmD．5 cm，10 cm,15 cm，20 cm活动1 小组讨论例1已知线段a,b,c，d的长分别为0.8 cm，2 cm，1.2 cm，3 cm，问a,b,c，d是比例线段吗？解：∵错误!＝错误!＝0.4,错误!＝错误!＝0。

4，∴错误!＝错误!，即a，b，c，d是比例线段．例2已知线段AB,求作线段AB的黄金分割点C，使AC＞BC。

解：作法:(1）延长线段AB至F,使AB＝BF，分别以A，F为圆心，以大于等于线段AB的长为半径作弧，两弧相交于点G，连接BG,则BG⊥AB，在BG上取点D，使BD＝错误!AB；（2）连接AD,在AD上截取DE＝DB；(3)在AB上截取AC＝AE。

湘教版数学九年级上册3.1《比例线段》说课稿1一. 教材分析湘教版数学九年级上册3.1《比例线段》是整个初中数学的重要内容，是对比例的基本概念和性质的进一步延伸。

本节内容通过比例线段的概念，引入了线段之间的比例关系，让学生体会数学与实际生活的联系，培养学生的抽象思维能力。

教材从生活实例出发，引出比例线段的概念，然后通过大量的例题和练习，使学生掌握比例线段的性质和运用。

教材在编写上注重引导学生主动探究，培养学生的动手操作能力和合作意识。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了比例的基本概念和性质，对数学知识有一定的积累。

但是，对于比例线段的理解和运用，还需要进一步的引导和培养。

因此，在教学过程中，我将以学生为主体，注重启发式教学，引导学生主动探究，提高学生的数学素养。

三. 说教学目标根据新课程标准的要求，本节课的教学目标如下：1.知识与技能：让学生理解比例线段的概念，掌握比例线段的性质，并能运用比例线段解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、讨论等数学活动，培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：让学生感受数学与实际生活的联系，培养学生的合作意识，激发学生学习数学的兴趣。

四. 说教学重难点1.教学重点：比例线段的概念及其性质。

2.教学难点：比例线段的运用和解决实际问题。

五. 说教学方法与手段为了实现本节课的教学目标，我将以学生为主体，采用启发式教学法、讨论法、案例教学法等多种教学方法，引导学生主动探究，提高学生的数学素养。

同时，利用多媒体课件和教具，辅助教学，使抽象的数学概念形象化、直观化。

六. 说教学过程1.导入：从生活实例出发，引出比例线段的概念，激发学生的学习兴趣。

2.新课导入：介绍比例线段的性质，引导学生主动探究，培养学生的抽象思维能力。

3.案例分析：分析实际问题，引导学生运用比例线段解决问题，提高学生的动手操作能力。

4.课堂练习：设计具有针对性的练习题，巩固所学知识，提高学生的应用能力。

比例线段错解诊断比例线段是相似三角形的基础，是勾通代数与几何计算的桥梁,初学这部分内容，有的同学由于对比例线段的概念、比例的基本性质等理解不深，掌握不扎实，或缺乏慎重考虑，时常出现各种各样的错误,现将同学们作业中常见的错例归类剖析,望能对大家的学习有所帮助.一、忽视单位的统一例1A、B两地的实际距离AB=300 m，画在图上的距离A′B′=5 cm，求图上距离与实际距离的比。

错解:图上距离与实际距离的比是A′B′∶AB=5∶300=1∶60.诊断:出现症状的原因是没有先统一单位。

事实上,求两条线段的比,就是求出这两条线段用同一单位量得的线段长度之比，这里要注意两点：如果给出的线段长度单位不同，则必须先化成同一长度单位后再求线段的比；二是两条线段的比总是正数，如在运用中出现负数，必须舍去，结果一般化为最简整数比.正解：因为AB=300 m=30000 cm，所以图上距离与实际距离的比是A′B′∶AB=5∶30000=6000。

二、忽视成比例线段的顺序性例2 已知三条线段的长分别为1 cm、2 cm、2cm,如果另外一条线段与它们是成比例线段，试求出另外一条线段的长.错解:设另一条线段的长为x cm,则1∶2=2∶x,解得x=22.诊断:在题目中并没有明确成比例线段的排列顺序,就要考虑到所求的线段可能在不同的位置上，所以要分类讨论。

本题也可以按照等积式求解,在这三个数中仍选两个数相乘,等于剩余的一个与的乘积.即.利用它们求出的值.正解:设另一条线段的长为x cm ，有下列三种情况：① 1∶2=2∶x ，解得x=22；② x ∶1=2∶2，解得x=2；③ 2∶1=2∶x ，解得x=22.综上所述，另外一条线段的长是22cm 或2cm 或22cm.三、忽视等比性质的条件例3 已知c a b c b a b a c x +=+=+=，求x 的值。

错解：因为c a b c b a b a c x +=+=+=，所以.21)(2)()()(=++++=+++++++=c b a c b a c a c b b a b a c x 诊断：运用等比性质的条件是分母之和不能等于0,而这里并没有说明a+b+c≠0,所以应分情况讨论.正解：（1）当a+b+c≠0时,21)(2=++++=+=+=+=c b a c b a c a b c b a b a c x ；(2）当a+b+c=0时，有c=—(a+b)，所以b a b a b a c x ++=+=-=—1.所以x 的值为21或-1。

3.1 比例线段3.1.1 比例的基本性质1.理解比例的定义并能熟练运用.2.掌握比例的基本性质.（重点，难点）一、情境导入数学来源于生活，数学中很多定理都可以用生活中的常识来解释.例如配制糖水的问题，通过确定糖和水的比例来确保配制糖水的浓度.试着举出更多利用比例的生活实例.二、合作探究探究点一：比例的基本性质已知3x ＝2y，那么下列式子成立的是（ ） A.3x ＝2y B.xy ＝6C.x y ＝23D.y x ＝23解析：根据比例的基本性质可知3y ＝2x ，所以可得x y ＝32，y x ＝23即得A 、C 项错误，B 项“xy ＝6”无法由“3x ＝2y”变化得到，故选D. 方法总结：本题考查的知识点为比例的基本性质，解题时从基本性质出发进行变化.探究点二：比例基本性质的拓展【类型一】根据给定条件，求简单比值若3m －n n ＝13，求m n 的值. 解析：根据比例的基本性质，将比例式变为等积式，然后化简，变形得出答案. 解：∵3m －n n ＝13，∴3（3m －n ）＝n ，∴9m －3n ＝n ，9m ＝4n ，∴m n ＝49. 方法总结：解题时首先运用比例的基本性质对已知条件进行转化，化简，最后再利用比例的基本性质求比值.【类型二】根据给定条件，求复杂比值已知a b ＝c d ＝e f …＝m n ＝3，且b ＋a ＋f …＋n ≠0，求a ＋c ＋e ＋…＋m b ＋d ＋f ＋k …＋n的值. 解析：把比例式化为等积式，可得a ＝3b ，c ＝3d ，…，m ＝3n 代入即可求解.解：∵a b ＝c d ＝e f ＝…＝m n＝3，∴a ＝3b ，c ＝3d ，e ＝3f ，…，m ＝3n ，又∵b ＋d ＋f ＋…＋n ≠0，∴a ＋c ＋e ＋…＋m b ＋d ＋f ＋…＋n ＝3b ＋3d ＋3f ＋…＋3n b ＋d ＋…＋n ＝3（b ＋d ＋f ＋…＋n ）b ＋d ＋f ＋…＋n＝3. 方法总结：本题考查比例的等比性质，需要用到等值替换的解题思想，在解答此类题目时，要充分运用题设条件，将复杂问题简单化求解.三、板书设计比例⎩⎪⎨⎪⎧概念性质：如果a b ＝c d ，那么ad ＝bc .在教学过程中，通过情景导入引导学生进入一个全新的数学情景，学生经过自主探究，发现事物间存在的规律，在激发学生学习兴趣的同时，适时引入新的知识，类比学习.本课时注重对学生创新思维的培养.。

第3章 图形的相似3.1 比例线段 3.1.1 比例的基本性质知识点 1 四个数a ，b ，c ，d 成比例 1．下列四个数中，成比例的是( ) A ．3，6，8，9 B ．3，5，6，9 C ．3，6，7，9 D ．3，6，9，182．已知a ＝0.4，b ＝3.2，c ＝8，d ＝1，下列各式中，一定正确的是( )A.a b ＝c dB.a c ＝dbC.a b ＝d cD.d c ＝b a3．写出一个与16∶115相等的式子，组成一个比例式：________．4．已知四个数a ，b ，c ，d 成比例． (1)若a ＝－5，b ＝10，c ＝3，求d ；(2)若a ＝－7，b ＝6，d ＝－42，求c .知识点 2 比例的基本性质5．如果ad ＝bc ，那么下列比例式正确的是( )A.b c ＝a dB.b a ＝cdC.a b ＝c dD.c b ＝ad6．已知3x ＝7y，则下列式子成立的是( )A ．7x ＝3yB ．xy ＝21C.x y ＝73D.x 7＝y37．若a ∶b ＝5∶3，则下列关于a 与b 关系的叙述，正确的是( ) A ．a 为b 的53倍 B ．a 为b 的35倍C ．a 为b 的58倍D ．a 为b 的85倍8．已知5m －8n ＝0，则m n＝________．9．若a b ＝12，则a ＋bb＝________．10．2016·衡阳校级期中若aa ＋b ＝37，则a b＝________．11．求下列各式中x 的值：(1)x ∶14＝6∶28； (2)7∶x ＝4.8∶9.6；(3)x ∶23＝12∶67； (4)11∶8＝4x ＋2.12．若a ∶3＝b ∶4，则( ) A ．a ∶b ＝3∶4 B ．a ∶b ＝4∶3C ．b ∶a ＝3∶4D ．4∶b ＝a ∶313．若x y ＝32，则下列各式中成立的是( )A .x ＋y y ＝5B .y x －y ＝13C .x ＋3y ＋2＝23D .x －y x ＋y ＝1514．若a b ＝cd ，则下列式子正确的是( )A .a b ＝c 2d 2B .a ＋b b ＝c ＋d dC .a d ＝c bD .a b ＝c ＋m d ＋m15．若2a ＝3b ＝4c ，且abc ≠0，则a ＋bc －2b的值是( )A ．2B ．－2C ．3D ．－316．已知c4＝b 5＝a 6≠0，则b ＋ca 的值为________．17．若x ＋y x －y ＝73，则xy ＝________．18．已知x y ＝4，求x －y y ，xx ＋y 的值．19．求下列各式中x的值：(1)(－3)∶x＝2∶(－6)；(2)x∶(x＋1)＝(1－x)∶3.20．已知ab ＋c ＋d ＝ba ＋c ＋d ＝ca ＋b ＋d ＝da ＋b ＋c ＝k ，求k 的值．21．2017·祁阳下马渡期中已知a b ＝c d ，求证：a ＋b a ＝c ＋dc .22．阅读下面的一段文字：设ab ＝cd ＝…＝m n ＝k ，则有a ＝bk ，c ＝dk ，…，m ＝nk ，当b ＋d ＋…＋n ≠0时，a ＋c ＋…＋mb ＋d ＋…＋n＝bk＋dk＋…＋nkb＋d＋…＋n＝（b＋d＋…＋n）kb＋d＋…＋n＝k＝ab.(1)你得到的结论是：______________________________________________；(2)利用(1)中的结论完成下题：已知△ABC和△A′B′C′中，ABA′B′＝BCB′C′＝CAC′A′＝34，且A′B′＋B′C′＋C′A′＝20厘米，求△ABC的周长．1．D 2.C3．答案不唯一，如16∶115＝10∶44．解：(1)∵四个数a ，b ，c ，d 成比例，∴a b ＝cd.∵a ＝－5，b ＝10，c ＝3，∴－510＝3d ，∴－5d ＝30，∴d ＝－6.(2)∵四个数a ，b ，c ，d 成比例，∴a b ＝cd.∵a ＝－7，b ＝6，d ＝－4 2，∴－76＝c－42，∴6c ＝(－7)×(－42)，∴c ＝2833.5．C [解析] 由比例的基本性质可知C 正确． 6．A [解析] 由3x ＝7y得3y ＝7x ，故选A.7．A 8.859.32 [解析] ∵a b ＝12，∴a ＝b 2， ∴a ＋b b ＝b 2＋bb ＝32. 10.34 [解析] ∵a a ＋b ＝37，∴7a ＝3a ＋3b ， ∴4a ＝3b ，∴a b ＝34.11．解：(1)根据比例的基本性质，得28x ＝14×6， 解得x ＝3.(2)根据比例的基本性质，得4.8x ＝7×9.6， 解得x ＝14.(3)根据比例的基本性质，得67x ＝12×23，解得x ＝913.(4)根据比例的基本性质，得11×(x ＋2)＝8×4，11x ＋22＝32，解得x ＝1011.12．A [解析] 由a ∶3＝b ∶4可得a 3＝b 4，即a b ＝34，所以a ∶b ＝3∶4.13． D14．B [解析] 在a b ＝c d 两边同时加上1，可得a ＋b b＝c ＋d d.15． B [解析] 由题意，得a ＝2c ，b ＝43c ，将它们代入原式，得a ＋bc －2b＝2c ＋43cc －2×43c ＝103c－53c＝－2.16．32 [解析] 由比例的基本性质，得c ＝23a ，b ＝56a ，则b ＋c a ＝56a ＋23a a ＝96＝32.17.52[解析] 由已知得3x ＋3y ＝7x －7y ， ∴4x ＝10y ，∴x y＝104＝52. 18．由已知得x ＝4y ，∴x －y y ＝4y －y y＝3y y＝3，xx ＋y ＝4y4y ＋y ＝4y 5y ＝45. 19．解：(1)根据比例的基本性质，得 2x ＝(－3)×(－6)，∴2x ＝18，∴x ＝9. (2)根据比例的基本性质，得 3x ＝(x ＋1)(1－x )，∴x 2＋3x －1＝0，∴x ＝－3±132，∴x 1＝－3＋132，x 2＝－3－132.20．解：①当a ＋b ＋c ＋d ＝0时，k ＝－1； ②当a ＋b ＋c ＋d ≠0时，a ＋b ＋c ＋d （b ＋c ＋d ）＋（a ＋c ＋d ）＋（a ＋b ＋d ）＋（a ＋b ＋c ）＝a ＋b ＋c ＋d3（a ＋b ＋c ＋d ）＝13. 又a ＋b ＋c ＋d（b ＋c ＋d ）＋（a ＋c ＋d ）＋（a ＋b ＋d ）＋（a ＋b ＋c ）＝（b ＋c ＋d ）k ＋（a ＋c ＋d ）k ＋（a ＋b ＋d ）k ＋（a ＋b ＋c ）k（b ＋c ＋d ）＋（a ＋c ＋d ）＋（a ＋b ＋d ）＋（a ＋b ＋c ）＝k [（b ＋c ＋d ）＋（a ＋c ＋d ）＋（a ＋b ＋d ）＋（a ＋b ＋c ）]（b ＋c ＋d ）＋（a ＋c ＋d ）＋（a ＋b ＋d ）＋（a ＋b ＋c ）＝k ，∴k ＝13. 综上可知，k 的值为－1或13. 21．证明：∵a b ＝c d ，可设a b ＝c d＝k ， ∴a ＝bk ，c ＝dk ，∴a ＋b a ＝bk ＋b bk＝k ＋1k ，c ＋d c ＝dk ＋d dk ＝k ＋1k ， ∴a ＋b a ＝c ＋d c. 22．解：(1)如果a b ＝c d ＝…＝m n (b ＋d ＋…＋n ≠0)，那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b(2)因为AB A ′B ′＝BC B ′C ′＝CA C ′A ′＝34， 所以AB ＋BC ＋CA A ′B ′＋B ′C ′＋C ′A ′＝ABA ′B ′＝34， 所以△ABC 的周长＝AB ＋BC ＋CA ＝34(A ′B ′＋B ′C ′＋C ′A ′)＝34×20＝15(厘米)． 故△ABC 的周长为15厘米．。