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两直线的交点坐标、两点间的距离【知识梳理】1．两直线的交点坐标23．(1)公式：点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.(2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．【常考题型】题型一、两条直线的交点问题【例1】 判断下列各组直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： (1)l 1：5x ＋4y －2＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0； (2)l 1：2x －6y ＋3＝0，l 2：y ＝13x ＋12；(3)l 1：2x －6y ＝0，l 2：y ＝13x ＋12.【类题通法】判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．(1)解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值．(2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． (3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． 【对点训练】1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标： (1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0.题型二、直线恒过定点问题【例2】 求证：不论m 为何实数，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5都过某一定点．【类题通法】解含有参数的直线恒过定点的问题(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0解得．若整理成y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x 0，y 0)．【对点训练】2．求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．题型三、两点间距离公式的应用【例3】已知点A(1,1)，B(5,3)，C(0,3)，求证：△ABC为直角三角形．【类题通法】1．计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．2．解答本题还要注意构成三角形的条件．【对点训练】3．已知点A(－1,2)，B(2，7)，在x轴上求一点P，使|P A|＝|PB|，并求|P A|的值．【练习反馈】1．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点的坐标为()A．(－4，－3)B．(4,3)C．(－4,3) D．(3,4)2．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为()A．1 B．－5C．1或－5 D．1－或53．设Q(1,3)，在x轴上有一点P，且|PQ|＝5，则点P的坐标是________．4．若p，q满足p－2q＝1，直线px＋3y＋q＝0必过一个定点，该定点坐标为________．5．分别求经过两条直线2x＋y－3＝0和x－y＝0的交点，且符合下列条件的直线方程．(1)平行于直线l1：4x－2y－7＝0；(2)垂直于直线l2：3x－2y＋4＝0.题型一、两条直线的交点问题【例1】 判断下列各组直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： (1)l 1：5x ＋4y －2＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0； (2)l 1：2x －6y ＋3＝0，l 2：y ＝13x ＋12；(3)l 1：2x －6y ＝0，l 2：y ＝13x ＋12.[解] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－103，y ＝143.所以l 1与l 2相交，且交点坐标为⎝⎛⎭⎫－103，143. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＋3＝0，①y ＝13x ＋12，②②×6整理得2x －6y ＋3＝0.因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l 1与l 2重合．(3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＝0，①y ＝13x ＋12，②②×6－①得3＝0，矛盾．方程组无解，所以两直线无公共点，l 1∥l 2. 【类题通法】判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．(1)解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值．(2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． (3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． 【对点训练】1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标：(1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0.解：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋3＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，所以直线l 1与l 2相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，①2x ＋2y ＋3＝0，②①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l 1与l 2无公共点，即l 1∥l 2.题型二、直线恒过定点问题【例2】 求证：不论m 为何实数，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5都过某一定点． [证明] 法一：取m ＝1时，直线方程为y ＝－4；取m ＝12时，直线方程为x ＝9.两直线的交点为P (9，－4)，将点P 的坐标代入原方程左边＝(m －1)×9＋(2m －1)×(－4)＝m －5.故不论m 取何实数，点P (9，－4)总在直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5上， 即直线恒过点P (9，－4)．法二：原方程化为(x ＋2y －1)m ＋(－x －y ＋5)＝0. 若对任意m 都成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－4.所以不论m 为何实数，所给直线都过定点P (9，－4)． 【类题通法】解含有参数的直线恒过定点的问题(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0解得．若整理成y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x 0，y 0)．【对点训练】2．求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程．解：法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)．∵直线过坐标原点，所以其斜率k ＝2－2＝－1，直线方程为y ＝－x ，一般式为x ＋y ＝0.法二：∵l 2不过原点，∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )， 即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0. 将原点坐标(0,0)代入上式，解得λ＝1， ∴l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.题型三、两点间距离公式的应用【例3】 已知点A (1,1)，B (5,3)，C (0,3)，求证：△ABC 为直角三角形． [证明] 法一：∵|AB |＝(5－1)2＋(3－1)2＝25，|AC |＝(0－1)2＋(3－1)2＝5， 又|BC |＝(5－0)2＋(3－3)2＝5，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2， ∴△ABC 为直角三角形．法二：∵k AB ＝3－15－1＝12，k AC ＝3－10－1＝－2，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∴△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形．【类题通法】1．计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)，则|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解． 2．解答本题还要注意构成三角形的条件． 【对点训练】3．已知点A (－1,2)，B (2，7)，在x 轴上求一点P ，使|P A |＝|PB |，并求|P A |的值． 解：设所求点P (x,0)，于是由|P A |＝|PB |得(x ＋1)2＋(0－2)2＝(x －2)2＋(0－7)2，即x 2＋2x ＋5＝x 2－4x ＋11，解得x ＝1. 所以，所求P 点坐标为(1,0)，|P A |＝(1＋1)2＋(0－2)2＝2 2.【练习反馈】1．直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点的坐标为( ) A ．(－4，－3) B ．(4,3) C ．(－4,3)D ．(3,4)解析：选C 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＋6＝0，2x ＋5y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3.2．已知点A (－2，－1)，B (a,3)，且|AB |＝5，则a 的值为( ) A ．1 B ．－5 C ．1或－5 D ．1－或5解析：选C ∵|AB |＝(a ＋2)2＋(3＋1)2＝5，∴a ＝－5或a ＝1.3．设Q (1,3)，在x 轴上有一点P ，且|PQ |＝5，则点P 的坐标是________． 解析：由题意设P (a,0)，则|PQ |＝(a －1)2＋(0－3)2＝5，解得a －1＝±4，即a ＝5或－3.故点P 的坐标是(5,0)或(－3,0)．答案：(5,0)或(－3,0)4．若p ，q 满足p －2q ＝1，直线px ＋3y ＋q ＝0必过一个定点，该定点坐标为________． 解析：因为p ＝2q ＋1代入整理：(2x ＋1)q ＋3y ＋x ＝0对q 为一切实数恒成立，即2x ＋1＝0，且3y ＋x ＝0，所以x ＝－12，y ＝16.答案：⎝⎛⎭⎫－12，16 5．分别求经过两条直线2x ＋y －3＝0和x －y ＝0的交点，且符合下列条件的直线方程． (1)平行于直线l 1：4x －2y －7＝0； (2)垂直于直线l 2：3x －2y ＋4＝0.解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3＝0，x －y ＝0，得交点P (1,1)．(1)若直线与l 1平行， ∵k 1＝2， ∴斜率k ＝2，∴所求直线方程为y －1＝2(x －1) 即：2x －y －1＝0. (2)若直线与l 2垂直， ∵k 2＝32，∴斜率k ＝－1k 2＝－23，∴y －1＝－23(x －1)即：2x ＋3y －5＝0.。
直线的交点坐标与距离公式——教材解读一、要点点拨 1．两条直线的交点坐标〔1〕根本知识——点与坐标的一一对应关系一般地，将两条直线的方程联立，得方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩。
假设方程组有唯一解，那么两直线相交，此解就是交点的坐标；假设方程组无解，那么两条直线无公共点，此时两直线平行。
说明：①判断两条直线的位置关系，除了用直线的斜率外，还可以利用直线的方程进行判断。
②当两条直线的方程组成的方程组无解时，两条直线无交点，所以两直线平行；当两条直线的方程组成的方程组有唯一解时，两条直线有一个交点，所以两直线相交；当两条直线的方程组成的方程组有无数个解时，两条直线有无数个交点，所以两直线重合。
③求两条直线的交点坐标，就是将直线的方程联立，解方程组即可，表达了用方程思想研究曲线，用代数研究几何的思想。
④1l 与2l 相交的条件是12210A B A B -≠或1122A B A B ≠。
2．两点间距离公式设111(,)P x y 、222(,)P x y ，那么两点间的距离公式为12PP =。
说明：〔1〕特别地，原点(0,0)O 与任一点(,)P x y 的距离OP =。
〔2〕公式中，1P 、2P 的位置没有先后之分。
〔3〕当12PP x ⊥轴时，1221PP y y =-；当12PP y ⊥轴时，1221PP x x =-。
假设能确定111(,)P x y 、222(,)P x y 的次序，可直接去掉绝对值。
3．点到直线的距离点000(,)P x y 到直线l ：0Ax By C ++=的距离为d =。
说明：〔1〕使用点到直线的距离公式的前提条件是把直线方程化为一般式方程。
〔2〕点到直线的距离是点与直线上点的最短距离。
〔3〕假设直线平行于x 轴，即0A =时，直线方程为Cy B=-，所以0C d y B ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；假设直线平行于y 轴，即0B =时，直线方程为C x A =-，所以0C d x A ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭。
一、学习目标：1．会判断两条直线相交、平行、重合，会求两条直线的交点． 2．理解两条直线垂直的条件，并能熟练地判断两条直线是否垂直． 3．掌握点到直线的距离公式、平行线间的距离公式．二、重点、难点：重点是两条直线位置关系的判定，点到直线的距离公式的应用．难点是用代数方法推导两条直线平行和垂直条件的思路，点到直线距离公式的推导．三、考点分析：两条直线平行或垂直的关系是两条直线位置关系中的重点．点到直线的距离公式是解题中经常用的公式．这两部分内容同学们一定要熟练掌握．一、设两条直线222111:,:b x k y l b x k y l +=+= 1．两条直线相交1l ，2l 相交21k k ≠⇔ 2．两条直线平行212121,//b b k k l l ≠=⇔注：若21,k k 均不存在时，很容易判断出两条直线是否平行． 3．两条直线垂直12121-=⋅⇔⊥k k l l注：若21,k k 中有一个不存在时，则另一个为0． 4．两条直线重合21,l l 重合2121,b b k k ==⇔注：若21,k k 均不存在时，很容易判断出两条直线是否重合．二、设两条直线0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 0(2121≠+B A )0,2222≠+B A 1．1l 与2l 相交1221B A B A ≠⇔2．)(,//12211221122121C A C A C B C B B A B A l l ≠≠=⇔ 3．0212121=+⇔⊥B B A A l l4．21,l l 重合)0(,,212121≠===⇔m mC C mB B mA A三、点到直线的距离公式1．点),(00y x P 到直线B A C By Ax l ,(0:=++均不为零）的距离2200BA CBy Ax d +++=2．两条平行线）不同时为0,(0:,0:2211B A C By Ax l C By Ax l =++=++的距离为2221BA C C d +-=知识点一：两条直线的位置关系 例1．已知0102:),1,2(=-+y x l A求：（1）过点A 与l 平行的直线方程； （2）过点A 与l 垂直的直线方程．思路分析：题意分析：根据两条直线平行或垂直时方程系数的特点，用待定系数法求解．解题思路：与已知直线平行的直线方程可设为02=++C y x ，与已知直线垂直的直线方程可设为02=+-D y x解答过程：（1）设所求直线方程为02=++C y x ，因为点A 在所求直线上，代入直线方程得C=－5，所以所求直线方程为052=-+y x ；（2）设所求直线方程为02=+-D y x ，因为点A 在所求直线上，代入直线方程得D=0，所以所求直线方程为02=-y x ．题后思考：与直线0=++C By Ax 平行的直线方程可设为01=++C By Ax ； 与直线0=++C By Ax 垂直的直线方程可设为02=+-C Ay Bx ，例2．m 为何值时，直线432:,0:,44:321=-=+=+my x l y mx l y x l 不能构成三角形．思路分析：题意分析：三条直线中任何两条直线平行或三条直线相交于同一点都不能构成三角形． 解题思路：分别求出有两条直线平行时m 的值，以及三条直线相交于同一点时m 的值． 解答过程：（1）若21//l l ，则4=m（2）若31//l l ，则61-=m （3）若32//l l ，则232=-m ，m 无解（4）当三条直线相交于同一点时由⎩⎨⎧=+=+044y mx y x 得交点坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=m my mx 4444，代入直线3l 的方程得0232=-+m m ，解得32=m 或1-=m 132614--=∴或或或m 时三条直线均不能构成三角形． 题后思考：本题主要考查两条直线平行的等价条件；本题的易错点是容易忽略三条直线交于同一点的情况．知识小结：本知识点的两道题主要考查当两条直线平行或垂直时方程系数的特点在解题中的应用．知识点二：关于点线的对称问题例3．求直线043:=--y x l 关于点)1,2(-P 对称的直线的方程．思路分析：题意分析：利用关于某点对称的两条直线的特征及中点坐标公式求解．解题思路：（1）所求直线与已知直线平行，可设为03=+-C y x ，在已知直线上取一点A （0，－4），求出点A 关于点P 的对称点坐标，代入所设方程求出C 的值； （2）在已知直线上取两点A （0，－4），B （2，2），分别求出这两点关于点P 的对称点坐标，用直线的两点式方程可求出所求直线方程；（3）用轨迹法求解．解答过程：解法一：所求直线与已知直线平行，可设为03=+-C y x ，点A （0，－4）在已知直线上，点A 关于点P 的对称点为（4，2），代入03=+-C y x 得C=－10，故所求直线方程为0103=--y x ；解法二：点A （0，－4），B （2，2）在已知直线上，点A 、B 关于点P 的对称点坐标分别为（4，2），（2，－4），由直线的两点式方程可得所求直线方程为0103=--y x ； 解法三：设点D ),(y x 为所求直线上的任意一点，则点D 关于点P 的对称点（y x ---2,4）在已知直线上，04)2()4(3=-----∴y x ． 整理得：0103=--y x 为所求．题后思考：这里介绍了三种解决关于点、线的对称问题的解法，其实质是点关于点对称的问题，主要用中点坐标公式来解决．解法三用到了轨迹法，即把所求直线看作一个动点的轨迹，利用动点关于点P 的对称点在已知直线上，求得其轨迹方程即为所求直线方程．例4．求直线0112:1=+-y x l 关于直线01:=++y x l 对称的直线2l 的方程． 思路分析：题意分析：把线关于线对称的问题转化为点关于线对称的问题．解题思路：（1）在直线1l 上取两个特殊点，求这两个点关于对称轴的对称点的坐标，由直线的两点式方程可得所求直线方程．（2）将l l ,1的方程联立解得交点坐标，则此交点也在所求直线上，故只需求一个对称点的坐标即可． （3）用轨迹法求解解答过程：解法一：点A （－11，0）在1l 上，设点A 关于l 的对称点为),('b a A则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-+=---01202)11(1)11(0b a a b ，解得)10,1('-A同理可求得1l 上的点B （1，6）关于l 的对称点为)2,7('--B ， 因为','B A 在所求直线上，由直线的两点式方程可得所求直线方程为 0122=+-y x解法二：由⎩⎨⎧=++=+-010112y x y x 得到两条直线的交点C 为)310,313(-，由点C 和解法一中的点'A 可求得所求直线方程解法三：设点),(y x P 为所求直线上的任意一点，则点P 关于l 的对称点Q )','(y x 在1l 上由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=--012'2'1''y y x x x x y y ，可得⎩⎨⎧--=--=x y y x 1'1'代入1l 的方程得：011)1(2)1(=+-----x y ，即0122=+-y x 为所求． 【题后思考】本题介绍了三种解决轴对称问题的解法，其中的关键是掌握求已知点关于直线对称的点的坐标的方法．例5．在△ABC 中，A （4，－1），C B ∠∠,的平分线所在的直线方程分别为02:,01:21=++=--y x l y x l ，求BC 边所在的直线方程．思路分析：题意分析：本题是点关于直线对称的问题，由已知条件分析可知点A 关于21,l l 的对称点都在直线BC 上．解题思路：分别求出点A 关于21,l l 的对称点的坐标，由直线的两点式方程即可求出BC 边所在的直线方程．解答过程：设点A 关于1l 的对称点的坐标为),(1b a A ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---+-=-+012124141b a a b ，解得)3,0(1A ，同理可求得点A 关于2l 的对称点的坐标为)6,1(2--A ，由直线的两点式方程得：039=+-y x ．题后思考：解本题的关键是分析出点A 关于直线21,l l 的对称点都在直线BC 上，实际上是对角平分线的性质的应用．知识小结：本知识点中的例题介绍了中心对称问题、轴对称问题的解法．解决中心对称问题时，主要利用中点坐标公式；解决轴对称问题时，应利用两点的连线与对称轴垂直及两点的中点在对称轴上，列出方程组求解．知识点三：点到直线距离公式的应用例6．求两条直线057:,03:21=+-=-+y x l y x l 所成的两组对顶角的平分线所在的直线方程．思路分析： 题意分析：利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，用轨迹法求解．解题思路：设所求直线上任意一点的坐标为P ),(y x ，则点P 到21,l l 的距离相等，代入点到直线的距离公式中，化简整理方程即可．解答过程：设点P ),(y x 为所求直线上的任意一点，则有21l P l P d d →→=∴2715723++-=-+y x y x ，化简整理可得：053=-+y x 或053=--y x 即为所求．题后思考：本题结合角平分线的性质，利用轨迹法求解比较方便．例7．在直线01=+-y x 上求一点，使它到直线:1l 012=-+y x 和:2l 023=+-y x 的距离的平方和最小． 思路分析：题意分析：本题是几何与代数中函数问题的综合． 解题思路：由点到直线的距离公式写出所求的距离的平方和，将已知直线的方程转化为二次函数，再用配方法求出最小值．解答过程：设P ),(00y x 为直线01=+-y x 上的点 则有0100=+-y x ，()10235)12(2002002221+-+-+=+y x y x d d 把100+=x y 代入上式，得：]119)111(22[10110)12(592020202221++=++=+x x x d d1110-=∴x 时，距离的平方和最小，所求的点P 的坐标为)1110,111(-． 题后思考：本题求距离的平方和的最小值，需要先把距离的平方和表示为某个变量的函数，再结合函数求最值的方法求解．知识小结：本讲中，我们讲解了如何判断两条直线的位置关系，点到直线的距离公式以及平行线间的距离公式的应用，解决关于点、线对称问题的几种方法．本讲内容中，直线的平行、垂直关系在考题中经常出现．关于点、线的对称问题，点到直线的距离公式也是本讲内容的重点．一、预习新知：圆的定义是什么？二、预习点拨：反思探究：反思与探究任务一：阅读教材：圆的标准方程 【反思】1．如何由圆的定义写出圆的标准方程？ 2．如何判断点与圆的位置关系？反思与探究任务二：阅读教材：圆的一般方程【反思】1．圆的一般方程的结构特点是什么？ 2．圆的标准方程与一般方程之间如何互化？ 3．如何由圆的一般方程求圆心坐标和圆的半径？（答题时间：45分钟）一、选择题1．直线410Ax y +-=和30x y C -+=重合的条件是（ ）A ．12,0A C =≠B ．112,4A C =-=C ．112,4A C =-≠-D ．112,4A C =-=-2．下列命题中，正确的有（ ）（1）若两直线12,l l 的斜率相等，则12//l l ； （2）若直线12//l l ，则两直线的斜率相等；（3）若直线1l 和2l 中，一条的斜率存在，另一条的斜率不存在，则21,l l 相交； （4）若直线12,l l 的斜率都不存在，则12//l l A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．点P 在直线350x y +-=上，且P 到直线10x y --=，则点P 的坐标为（ ）A ．（1，2）B ．（2，1）C ．（1，2）或（2，－1）D ．（2，1）或（－1，2）4．已知点P （m ，n ）在直线210x y ++=上运动，则22m n +的最小值为（ ）A B C ．15D ．5 5．过点P （0，1）且和点A （3，3）． B （5，－1）距离相等的直线方程为（ ） A ．1y = B ．210x y +-=C ．1y =或210x y +-=D ．210x y +-=或210x y ++=6．直线390ax y +-=与直线30x y b -+=关于原点对称，则,a b 的值分别为（ ） A ．1，9B ．－1，－9C ．1，－9D ．－1，9二、填空题7．若直线1:(1)3l ax a y +-=与直线2:(1)(23)2l a x a y -++=互相垂直，则实数a 的值为____________．8．在直线34270x y --=上到点P （2，1）的距离最近的点的坐标是 ．9．已知直线l 与两直线1:230l x y -+=，2:210l x y --=的距离相等，则直线l 的方程为 ．10．点P （2，－1）关于直线230x y ++=对称的点的坐标为 ．三、解答题11．两条互相平行的直线分别过点A （6，2），B （－3，－1），当两条平行线间的距离最大时，求这两条直线的方程．12．已知△ABC 中，A （1，1），),(m m B ，C （4，2），（41<<m ），求m 为何值时，△ABC 的面积最大．13．已知直线:310l x y --=，在l 上求一点P ，使得： （1）点P 到点A （4，1）和B （0，4）的距离之差最大； （2）点P 到点A （4，1）和C （3，4）的距离之和最小．一、选择题：1．B 解析：两条直线重合的条件是对应项的系数比相同．2．A 解析：①两条直线的斜率相等，则这两条直线可能平行也可能重合． ②两条直线的斜率都不存在时，这两条直线也可能平行． ③这个命题是正确的．④两条直线的斜率都不存在时，这两条直线也可能重合．3．C 解析：设P （m ，n ），则有350P l d m n →⎧==⎪⎨⎪+-=⎩4．C 解析：2222221210,(21)5()55m n m n m m m ++=∴+=++=++ 15≥．5．C 解析：分两种情况（1）过点P 与线段AB 的中点的直线满足条件，可用直线的两点式方程求解或由图象直接写出所求直线方程；（2）过点P 且与AB 的连线平行的直线满足条件，求出AB 的斜率，后可用直线的点斜式方程求解．6．B 解析：由关于原点对称可知两条直线互相平行，所以1a =-，两条直线与y 轴的交点关于原点对称，所以9b =-．二、填空题7．1a =或3a =-解析：两条直线互相垂直，则有(1)(1)(23)0a a a a -+-+=．8．（5，－3）解析：过点P 作已知直线的垂线，垂足即为所求，写出垂线的方程，与已知直线的方程联立，即可解得垂足的坐标． 9．210x y -+=解析：设直线:20l x y C -+=1C =∴=．10．1417(,)55-- 解析：设对称点的坐标为(,)a b ，则有11222123022b a a b +⎧=⎪⎪-⎨+-+⎪++=⎪⎩，解得145175a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．三、解答题11．解：当线段AB 与这两条直线垂直时，两平行线间的距离最大，211633AB k +==+，∴两条直线的斜率为－3所以所求的直线方程分别为23(6),13(3)y x y x -=--+=-+整理得：3200x y +-=或3100x y ++=．12．解：三角形ABC 的边B 到直线AC 的距离最大时△ABC 的面积取得最大值，1:1(1)3AC l y x -=-即320x y -+=B ACd →∴==9144m m <<∴= 时B AC d →取得最大值，此时三角形ABC 的面积取得最大值．13．解：（1）设点B 关于直线l 的对称点为B'（,a b ），则4103431022b a a b -⎧=-⎪⎪-⎨+⎪⨯--=⎪⎩，解得33a b =⎧⎨=⎩即'B （3，3），所以直线'AB 的方程为143134y x --=--即290x y +-=， 解290310x y x y +-=⎧⎨--=⎩得25x y =⎧⎨=⎩，所以所求点P 的坐标为（2，5）．（2）设点C 关于直线l 的对称点为'C ，同理可求得324'(,)55C ，所以直线'AC 的方程为1917930x y +-=，解方程组⎩⎨⎧=--=-+0130931719y x y x 可得直线'AC 与l 的交点1126(,)77P 即为所求．。
