知识讲解_直线的交点坐标与距离公式_基础

第二节直线的交点坐标与距离公式直线的交点坐标与距离公式是平面解析几何中非常基础的内容。

它们可以帮助我们确定两条直线的交点坐标以及一个点到直线的距离，是解决许多几何问题的重要工具。

在本篇文章中，我将详细介绍直线的交点坐标与距离公式。

一、直线的交点坐标公式假设有两条直线L1和L2，分别表示为:L1:y=m1x+c1L2:y=m2x+c2其中m1、m2分别是L1和L2的斜率，c1、c2分别是L1和L2的截距。

我们可以通过解以上两个方程组来求解直线L1和L2的交点的坐标(x0,y0)。

解法一：代入法将L1的方程代入L2的方程中，得到：y=m2x+c2m1x+c1=m2x+c2整理得到：x=(c1-c2)/(m2-m1)将x的值带入L1或L2的方程中，即可得到y的值。

根据这个方法，我们可以求得两条直线的交点坐标。

解法二：消元法将L1和L2的方程相减，可以消去y，得到：m1x+c1-(m2x+c2)=0整理得到：(m1-m2)x+(c1-c2)=0解方程可以得知：x=(c2-c1)/(m1-m2)将x的值带入L1或L2的方程中，即可得到y的值。

通过以上两种解法，我们可以求得直线L1和L2的交点的坐标(x0,y0)。

二、点到直线的距离公式同时，我们也可以通过公式求解一个点P(x1,y1)到直线L1: y = mx+ c的距离。

有一种基本的方法是绘制垂线。

首先，我们可以找到点P到直线L1的垂线的方程，将其表示为L2、L2的斜率是m的相反数(-1/m)，并且通过点P(x1,y1)。

垂线L2的方程为：L2:y=(-1/m)x+(y1+x1/m)我们可以通过求解L1和L2的交点坐标来确定点P到直线L1的距离。

交点的坐标为(x0,y0)。

距离点P到直线L1的距离利用勾股定理可以得到：d=√((x0-x1)²+(y0-y1)²)将交点的坐标(x0,y0)带入上式即可求得点P到直线L1的距离。

总结：直线的交点坐标与距离公式是解析几何中重要的工具。

两直线的交点坐标和距离公式直线是平面几何中最基本的图形之一，计算两条直线的交点坐标和距离是解决许多几何问题的基础。

在本文中，我们将详细介绍如何计算两条直线的交点坐标和距离的公式和方法。

首先，我们需要了解什么是直线。

在平面几何中，直线是由一组点组成的，这些点在同一条直线上，且直线上的任意两点可以确定直线的一条直线是由两个不同的点定义。

那么，如何计算两条直线的交点坐标呢？要计算两条直线的交点，我们需要利用直线的方程。

在平面几何中，直线可以由一般方程、点斜式方程和两点式方程表示。

1.一般方程：Ax+By+C=0。

其中A、B、C是常数。

2.点斜式方程：y-y1=m(x-x1)。

其中m是斜率，(x1,y1)是直线上的一个点。

3.两点式方程：(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)。

其中(x1,y1)和(x2,y2)是直线上的两个点。

像这样，当我们有两条直线的方程时，我们可以通过求解方程组，找到两条直线的交点坐标。

解方程组的方法有多种，比如代入法、消元法和克莱姆法则等。

让我们通过一个具体的例子来说明如何计算两条直线的交点坐标。

例1：已知直线L1的方程为y=2x-1，直线L2的方程为y=-x+3，求两条直线的交点坐标。

解：将L1和L2的方程联立起来，得到方程组：y=2x-1y=-x+3通过消元法，我们可以先将方程组中的y消去。

将L1中的y代入L2的方程中，得到：2x-1=-x+3整理方程，得到：3x=4解方程，得到：x=4/3将x的值代入L1的方程中，得到：y=2*(4/3)-1y=8/3-1y=5/3所以，两条直线的交点坐标为(4/3,5/3)。

接下来，我们将介绍如何计算两条直线的距离。

两条直线的距离是两条直线之间最短的直线距离，也就是垂直于两条直线的连线段的长度。

计算两条直线的距离，我们可以利用点到直线的距离公式来求解。

点到直线的距离公式:d=，Ax+By+C，/√(A^2+B^2)其中，A、B、C是直线的方程中的常数。

第7讲直线的交点坐标与距离公式新课标要求1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标。

2.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。

知识梳理一、直线的交点与直线的方程组解的关系1．两直线的交点(l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0)2.两直线的位置关系二、两点间的距离公式三、点到直线的距离1．概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离． 2．公式：点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2．四、两平行直线间的距离1．概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离． 2．公式：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2．名师导学知识点1 两直线的交点问题【例1-1】（宜昌期末）已知两直线1:3420l x y +-=，2:220l x y ++=，则1l 与2l 的交点坐标为 ． 【分析】联立3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩，解得即可．【解答】解：联立3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩，解得22x y =-⎧⎨=⎩．1l ∴与2l 的交点坐标为(2,2)-．故答案为：(2,2)-．【例1-2】（雅安期末）过直线1:240l x y -+=与直线2:10l x y ++=的交点，且过原点的直线方程为( ) A ．20x y -=B ．20x y +=C ．20x y -=D ．20x y +=【分析】联立24010x y x y -+=⎧⎨++=⎩，求出两条直线1:240l x y -+=与直线2:10l x y ++=的交点(2,2)-．利用两点式方程能求出过点(2,1)P -且过原点(0,0)的直线方程． 【解答】解：联立24010x y x y -+=⎧⎨++=⎩，解得两条直线1:240l x y -+=与直线2:10l x y ++=的交点(2,1)-．∴过点(2,1)P -且过原点(0,0)的直线方程为：12y x =-，即20x y +=．【例1-3】（芜湖期末）若三条直线2380x y ++=，10x y --=和0x ky +=交于一点，则k 的值为( ) A ．2-B ．12-C ．2D ．12【分析】通过解方程组可求得其交点，将交点坐标代入0x ky +=，即可求得k 的值． 【解答】解：依题意，238010x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，∴两直线2380x y ++=和10x y --=的交点坐标为(1,2)--．直线0x ky +=，2380x y ++=和10x y --=交于一点， 120k ∴--=，12k ∴=-．故选：B ．【变式训练1-1】（阎良区期末）直线5y x =-+与直线1y x =+的交点坐标是( ) A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,2)D ．(2,1)【分析】联立51y x y x =-+⎧⎨=+⎩，能求出直线5y x =-+与直线1y x =+的交点坐标．【解答】解：联立51y x y x =-+⎧⎨=+⎩，得23x y =⎧⎨=⎩，∴直线5y x =-+与直线1y x =+的交点坐标是(2,3)．故选：B ．【变式训练1-2】（安庆期末）直线210x y ++=与直线20x y -+=的交点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】联立21020x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得x ，y ．即可判断出结论．【解答】解：联立21020x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得1x =-，1y =．∴交点(1,1)-在第二象限．【变式训练1-3】（庐江县期中）直线230x y k +-=和直线120x ky -+=的交点在x 轴上，则k 的值为() A ．24-B ．24C ．6D ．6±【分析】联立230120x y k x ky +-=⎧⎨-+=⎩，由直线230x y k +-=和直线120x ky -+=的交点在x 轴上，得到24032k y k+==+，由此能求出k ． 【解答】解：联立230120x y k x ky +-=⎧⎨-+=⎩，解得236322432k x k k y k ⎧-=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， 直线230x y k +-=和直线120x ky -+=的交点在x 轴上， 24032k y k+∴==+， 解得24k =-． 故选：A ．知识点2 直线过定点问题【例2-1】（宿迁期末）设直线2(3)260x k y k +--+=过定点P ，则点P 的坐标为( ) A ．(3,0)B ．(0,2)C ．(0,3)D ．(2,0)【分析】对于任意实数k ，直线2(3)260x k y k +--+=恒过定点，则与k 的取值无关，则将方程转化为(2)(236)0y k x y -+-+=．让k 的系数和常数项为零即可．【解答】解：解：方程2(3)260x k y k +--+=可化为(2)(236)0y k x y -+-+=， 对于任意实数k ，当202360y x y -=⎧⎨-+=⎩时，直线2(3)260x k y k +--+=恒过定点，由当202360y x y -=⎧⎨-+=⎩，得0x =，2y =．故定点坐标是(0,2)． 故选：B ．【例2-2】（江阴市期中）直线:1(2)l y k x -=+必过定点( ) A ．(2,1)-B ．(0,0)C ．(1,2)-D ．(2,1)--【分析】由已知可得直线l 过两直线20x +=与10y -=的交点，联立求解得答案． 【解答】解：由直线:1(2)l y k x -=+， 得2010x y +=⎧⎨-=⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩．∴直线:1(2)l y k x -=+必过定点(2,1)-．故选：A ．【变式训练2-1】（黄浦区期末）已知a R ∈，若不论a 为何值时，直线:(12)(32)0l a x a y a -++-=总经过一个定点，则这个定点的坐标是( ) A ．(2,1)-B ．(1,0)-C ．21(,)77-D ．12(,)77-【分析】先变形解析式得到关于a 的不定方程(321)(2)0a y x x y --++=，由于a 有无数个解，则3210y x --=且20x y +=，然后求出x 和y 的值即可得到定点坐标．【解答】解：由直线:(12)(32)0l a x a y a -++-=，知(321)(2)0a y x x y --++=． 不论a 为何值时，直线:(12)(32)0l a x a y a -++-=总经过一个定点，即a 有无数个解， 3210y x ∴--=且20x y +=， 27x ∴=-，17y =，∴这个定点的坐标是21(,)77-．故选：C ．【变式训练2-2】（慈溪市期末）直线1(y kx k k =++为常数）经过定点( ) A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)--【分析】令参数k 的系数等于零，求得x 、y 的值，可得结论．【解答】解：对于直线1(1)1y kx k k x =++=++，令10x +=，可得1y =，可得它经过的定点坐标为(1,1)-， 故选：B ．知识点3 两点间距离公式的应用【例3-1】（南充期末）已知点(1A ，0，2)与点B (1，3-，1)，则||(AB = )A ．2B C ．3D 【分析】根据题意，由点的坐标结合空间两点间距离的计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，点(1A ，0，2)与点B (1，3-，1)，则||AB 故选：D ．【例3-2】（临川区校级一模）已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(3,4)A ，(5,2)B ，(1,4)C --，则这个三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形【分析】由三角形的三个顶点的坐标分别求出三边长，再由勾股定理的逆定理能得到这个三角形是直角三角形．【解答】解：ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(3,4)A ，(5,2)B ，(1,4)C --，||AB ∴=，||BC ，||AC =，222AC BC AB ∴=+， ABC ∴∆是直角三角形．故选：B ．【变式训练3-1】（琼山区校级期末）已知ABC ∆的顶点坐标为(7,8)A ，(10,4)B ，(2,4)C -，则BC 边上的中线AM 的长为( )A ．8B ．13C ．D 【分析】由中点坐标公式求得BC 中点的坐标，再由两点间的距离公式求得AM 的长． 【解答】解：由(10,4)B ，(2,4)C -，得10262M x +==，4402M y -==， 即M 坐标为(6,0)．又(7,8)A ，||AM ∴= 故选：D ．【变式训练3-2】（雁江区校级月考）如图，已知等腰梯形ABCD ，用坐标法证明：AC BD =．【分析】根据题意，建立坐标系，设出A、B的坐标，分析可得C、D的坐标，由两点间距离公式计算AC、BD的值，分析可得答案．【解答】证明：根据题意，如图以BC为x的轴建立坐标系，BC的中点为坐标原点建立坐标系，设(,0)B a-，A，(,)b c-，则(,0)C a，(,)D b c，则ACBD，则有AC BD=．知识点4 点到直线的距离【例4-1】（金凤区校级期末）已知点(2,1)P-．（1）若一条直线经过点P，且原点到直线的距离为2，求该直线的一般式方程；（2）求过点P且与原点距离最大的直线的一般式方程，并求出最大距离是多少？【分析】（1）当l的斜率k不存在时，直接写出直线方程；当l的斜率k存在时，设:1(2)l y k x+=-，即210kx y k---=．由点到直线的距离公式求得k值，则直线方程可求；（2）由题意可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，求出OP所在直线的斜率，进一步得到直线l的斜率，得到直线l的方程，再由点到直线的距离公式得最大距离．【解答】解：（1）①当l的斜率k不存在时，l的方程为2x=；②当l的斜率k存在时，设:1(2)l y k x+=-，即210kx y k---=．2=，34k⇒=；得:34100l x y--=．故所求l 的方程为：20x -= 或34100x y --=；（2）由题意可得过P 点与原点O 距离最大的直线是过P 点且与PO 垂直的直线， 由l OP ⊥，得1l OP k k =-，12l OPk k =-=， 由直线方程的点斜式得12(2)y x +=-，即250x y --=．即直线250x y --=是过P 点且与原点O．【例4-2】（韶关期末）已知点(1,3)A 和点(5,2)B 到直线l 的距离相等，且l 过点(3,1)-，则直线l 的方程为()A ．410x y ++=或3x =B ．410x y +-=或3x =C ．410x y ++=D ．410x y +-=【分析】先求出直线AB 的斜率，由点(1,3)A 和点(5,2)B 到直线l 的距离相等，且l 过点(3,1)-，得到直线l 与直线AB 平行，且直线l 过点(3,1)-，或直线l 的方程为3x =，由此能求出直线l 的方程． 【解答】解：点(1,3)A 和点(5,2)B ，231514AB k -∴==--， 点(1,3)A 和点(5,2)B 到直线l 的距离相等，且l 过点(3,1)-，∴直线l 与直线AB 平行，且直线l 过点(3,1)-，或直线l 的方程为3x =， ∴直线l 的方程为：11(3)4y x +=--，或3x =，整理得：410x y ++=或3x =． 故选：A ．【变式训练4-1】（保山期末）若直线l 过点，倾斜角为120︒，则点(1,到直线l 的距离为( )A B C D 【分析】先求出直线的斜率，再利用点斜式求直线的方程，点到直线的直线间的距离公式求得结果．【解答】解：直线l 过点，倾斜角为120︒，故直线的斜率为tan120︒=故直线l 的方程为2)y x -=-0y +-．则点(1,到直线l =， 故选：C ．【变式训练4-2】（新课标Ⅲ）点(0,1)-到直线(1)y k x =+距离的最大值为( )A ．1BCD ．2【分析】直接代入点到直线的距离公式，结合基本不等式即可求解结论．【解答】解：因为点(0,1)-到直线(1)y k x =+距离d == 要求距离的最大值，故需0k >；可得212kdk+=1k =时等号成立； 故选：B ．知识点5 两平行线间距离公式及其应用【例5-1】（张家界期末）直线3430x y +-=与直线690x my ++=平行，则它们的距离为( ) A ．65B ．32C ．125D ．2【分析】由题意利用两条直线平行的性质求得m ，再利用两条平行直线间的距离公式，求得它们的距离． 【解答】解：直线3430x y +-=，即6860x y +-=， 它与直线690x my ++=平行，∴66689m -=≠，求得8m =， 32=， 故选：B ．【例5-2】（广州期末）若两平行直线20(0)x y m m ++=>与30x ny --=，则(m n +=) A ．0B ．1C ．1-D ．2-【分析】两直线20(0)x y m m ++=>与30x ny --=平行，可得20n --=，解得n ，再利用平行线之间的距离公式即可得出．【解答】解：两直线20(0)x y m m ++=>与30x ny --=平行， 20n ∴--=，解得2n =-．又两平行直线20(0)x y m m ++=>与30x ny --=，∴=2m =．0m n ∴+=．故选：A ．【变式训练5-1】（靖远县期末）已知直线240x y +-=与直线230x my m +++=平行，则它们之间的距离为( ) ABCD【分析】根据题意，由直线平行的判断方法可得m 的值，进而由平行线间距离公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，直线240x y +-=与直线230x my m +++=平行，则有224m =⨯=， 则两直线的方程为240x y +-=与直线2470x y ++=，则它们之间的距离d ==； 故选：C ．【变式训练5-2】（连云港期末）两条平行直线6450x y -+=与32y x =的距离是( )ABCD【分析】把已知两直线方程变形，再由两平行线间的距离公式求解． 【解答】解：由6450x y -+=，得53202x y -+=， 由32y x =，得320x y -=，则两条平行直线6450x y -+=与32y x =5|0|-=． 故选：D ．【变式训练5-3】（广东期末）已知直线1:(1)2l x m y m ++=-与2:24160l mx y ++=，若12//l l ，则实数m 的值为( ) A ．2或1-B ．1C ．1或2-D ．2-【分析】由2(1)40m m +-=，解得m ．经过验证即可得出． 【解答】解：由2(1)40m m +-=，解得1m =或2-． 经过验证可得：2m =-时重合，舍去． 故选：B ．【变式训练5-4】（崇左期末）已知直线1:20l x y n ++=，2:440l x my +-=互相平行，且1l ，2l 之间的距离(m n += )A ．3-或3B ．2-或4C ．1-或5D ．2-或2【分析】由240m -=，解得m ．利用平行线之间的距离公式即可得出． 【解答】解：由240m -=，解得2m =．满足12//l l ．2l 的方程为220x y +-=，则|2|3n +=， 解得1n =或5-， 故3m n +=±． 故选：A ．知识点6 运用距离公式解决最值问题【例6-1】（北碚区校级期末）已知ABC ∆的三个顶点(1,2)A ，(2,1)B ，(3,3)C ，若ABC ∆夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线的距离的最小值是( )A B C D【分析】分别过A 、B 、C 三个点，作斜率为1的三条直线，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结果．【解答】解：分别过A 、B 、C 三个点，作斜率为1的三条直线： 1:21l y x -=-，即10x y -+=． 2:12l y x -=-，即10x y --=． 3:33l y x -=-，即0x y -=．显然，ABC ∆夹在两条斜率为1的平行直线1l 和3l 之间，且直线1l 和3l 之间的距离为d =，故选：B ．【例6-2】（鼓楼区校级期中）已知直线1:4270l x y +-=和2:210l x y +-=，直线m 分别与1l ，2l 交于A ，B 两点，则线段AB 长度的最小值为 ．【分析】利用平行线之间的距离公式即可得出． 【解答】解：由题知，2:4220l x y +-=，两直线间的距离d ==．【变式训练6-1】（闵行区校级模拟）过点(1,2)-且与原点的距离最大的直线方程是 ． 【分析】过点(1,2)P -且与原点的距离最大的直线l 满足：l OP ⊥．则1l OP k k =-，即可得出． 【解答】解：过点(1,2)P -且与原点的距离最大的直线l 满足：l OP ⊥． 1l OP k k ∴=-，12l k ∴=． ∴直线l 的方程 为：12(1)2y x -=+，化为250x y -+=． 故答案为：250x y -+=．【变式训练6-2】（和平区校级期末）已知点(2,5)A 和点(4,7)B ，点P 在y 轴上，若||||PA PB +的值最小，则点P 的坐标为 ．【分析】点(2,5)A 关于y 轴的对称点为(2,5)A '-，直线A B '的方程为得755((2))4(2)y x --=----，令0x =，解得y 即可得出．【解答】解：点(2,5)A 关于y 轴对称的点(2,5)A '-， 连接A B '与y 轴交于点P ，此时||||PA PB +的值最小， 设直线A B '的解析式得755((2))4(2)y x --=----，即11733y x =+，令0x =，得173y =， 所以17(0,)3P ． 故答案为：17(0,)3． 名师导练A 组-[应知应会]1．（辽源期末）点(3,1)到直线3420x y -+=的距离是( ) A ．45B ．75C ．425D ．254【分析】根据题意，由点到直线的距离公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，点(3,1)到直线3420x y -+=的距离75d ==； 故选：B ．2．（宁波期末）直线6820x y +-=与6830x y +-=间的距离为( ) A ．1B ．3C ．110D ．25【分析】由题意利用两条平行直线直线间的距离公式，求得结果． 【解答】解：直线6820x y +-=与6830x y +-=110=， 故选：C ．3．（内江期末）已知点(1,3)M 到直线:10l mx y +-=的距离等于1，则实数m 等于( ) A ．34B ．43C ．43-D ．34-【分析】根据题意，由点到直线的距离公式可得1d ==，解可得m 的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，点(1,3)M 到直线:10l mx y +-=的距离等于1， 则有1d =，解可得34m =-；故选：D ．4．（兴庆区校级期末）设有直线(3)1y k x =-+，当k 变动时，所有直线都经过定点( ) A ．(0,0)B ．(0,1)C ．(3,1)D ．(2,1)【分析】根据直线恒过定点的求法，直接求出定点． 【解答】解：当3x =时，不论k 为何值，1y =，即过(3,1)， 故选：C ．5．（沙坪坝区校级期中）已知直线1:10l x ay +-=与2:210l x y -+=平行，则1l 与2l 的距离为( )A ．15B C ．35D 【分析】直线1:10l x ay +-=与2:210l x y -+=平行，即可得到a ，然后利用平行线之间的距离公式求解即可．【解答】解：直线1:10l x ay +-=与2:210l x y -+=平行，可得12a =-，则由两平行直线的距离公式可得d ，则1l 与2l ， 故选：D ．6．（包头期末）点(,)P x y 在直线20x y +-=上，O 是坐标原点，则||OP 的最小值是( )A ．1BC ．2D ．【分析】||OP ∴的最小值是点O 到直线20x y +-=的距离，利用点到直线的距离公式能求出||OP 的最小值． 【解答】解：点(,)P x y 在直线20x y +-=上，O 是坐标原点， ||OP ∴的最小值是点O 到直线20x y +-=的距离，∴则||OP 的最小值是d ==故选：B ．7．（河池期末）点2(2,)P m m 到直线70x y ++=的距离的最小值为( )A ．4B ．C ．D ．【分析】利用点到直线的距离公式可得：点2(2,)P m m 到直线70x y ++=的距离22d ==【解答】解：点2(2,)P m m 到直线70x y ++=的距离22632d ==故选：D ．8．（江阴市期中）直线l 过(1,2)P ，且(2,3)A ，(4,5)B -到l 的距离相等，则直线l 的方程是( ) A ．460x y +-=B ．460x y +-=C ．2370x y +-=或460x y +-=D ．3270x y +-=或460x y +-=【分析】由条件可知直线平行于直线AB 或过线段AB 的中点，当直线//l AB 时，利用点斜式求出直线方程；当直线经过线段AB 的中点(2,3)时，易得所求的直线方程．【解答】解：设所求直线为l ，由条件可知直线l 平行于直线AB 或过线段AB 的中点， （1）AB 的斜率为35424+=--，当直线//l AB 时，直线l 的方程是24(1)y x -=--，即460x y +-=， （2）当直线l 经过线段AB 的中点(3,1)-时，l 的斜率为213132+=--，直线l 的方程是32(1)2y x -=--，即3270x y +-=，故所求直线的方程为3270x y +-=，或460x y +-=． 故选：D ．9．（平顶山期末）已知(1,2)P -，(2,4)Q ，直线:3l y kx =+．若P 点到直线l 的距离等于Q 点到直线l 的距离，则(k = ) A ．2.3或6B ．23C ．.0D ．.0或23【分析】由已知结合点到直线的距离公式即可求解．=，解得0k=或23．故选：D．10．（昆山市期中）已知(2,3)M-，(6,2)N，点P在x轴上，且使得PM PN+取最小值，则点P的坐标为( )A．(2,0)-B．12(5，0)C．14(5，0)D．(6,0)【分析】根据点M、N在x轴的同侧，求出点M关于x轴的对称点M'，得出PM PN+的最小值是||M N'，再利用直线M N'求得点P的坐标．【解答】解：点(2,3)M-，(6,2)N在x轴的同侧，如图所示；则点M关于x轴的对称点M'的坐标为(2,3)--，此时||PM PN M N+='的值最小，此时直线M N'的方程为26 3226y x--=----，令0y=，解得145 x，所以PM PN+取最小值时，点14(5P，0)．故选：C．11．（宝安区校级模拟）已知0x<<，0y<<M M的最小值为( )A ．B ．C ．2D ．【分析】本题要根据M 表达式的特点联系两点间的距离公式，然后运用数形结合法可得到M 取最小的点(,)x y 的情况，即可计算出M 的最小值．【解答】解：根据题意，可知(,)x y 与点A 0)的距离；(,)x y 与点B 的距离；(,)x y 与点C 的距离；(,)x y 与点D 的距离．M 表示点(,)x y 到A 、B 、C 、D 四个点的距离的最小值．则可画图如下：(,)x y 在线段AC 上，(,)x y 在线段BD 上，∴点(,)x y 既在线段AC 上，又在线段BD 上， ∴点(,)x y 即为图中点P ．M ∴的最小值为||||AC BD +=故选：D ．12．（多选）（江阴市期中）若两条平行直线1:20l x y m -+=与2:260l x ny +-=之间的距离是则m n +的可能值为( ) A ．3B ．17-C ．3-D ．17【分析】利用两条直线平行的性质求出n ，再利用两条平行直线间的距离求出m ，可得m n +的值．【解答】解：直线1:20l x y m -+=与2:260l x ny +-=平行， 则122n-=，解得4n =-； 所以2:230l x y --=；所以直线1l 与2l 间的距离是d ==所以|3|10m +=， 解得13m =-或7m =；当13m =-时，13417m n +=--=-； 当7m =时，743m n +=-=； 所以m n +的可能值为3或17-． 故选：AB ．13．（多选）（山东模拟）若三条直线1:10l ax y ++=，2:10l x ay ++=，3:0l x y a ++=不能围成三角形，则a 的取值为( ) A ．1a =B ．1a =-C ．2a =-D ．2a =【分析】1l 和3l 平行，或2l 和3l 平行，1l 和2l 平行以及三线交于同一个点，分类讨论，利用两条直线平行的条件分别求得m 的值，综合可得结论．【解答】解：由于1l 的斜率a -，3l 的斜率为1-， 则由题意可得1l 和3l 平行，或2l 和3l 平行，1l 和2l 平行． 若1l 和3l 平行，则111a =，求得1a =； 若2l 和3l 平行，则111a=，求得1a =．若1l 和2l 平行，则11a a=，求得1a =±． 当三条直线1:10l ax y ++=，2:10l x ay ++=，3:0l x y a ++=交于同一个点时，2a =-； 综上可得，实数a 所有可能的值为1-，1，2-， 故选：ABC ．14．（田家庵区校级期末）原点(0,0)到直线:20l x y -+=的距离是 ． 【分析】由题意利用点到直线的距离公式，求得结果．【解答】解：原点(0,0)到直线:20l x y -+==15．（尖山区校级期末）两条平行直线110l y -+=与2:230l ax y +-=之间的距离为 ． 【分析】利用平行线，求解a ，然后利用平行线之间的距离公式求解即可．【解答】解：两条平行直线110l y -+=与2:230l ax y +-=，可得a =-所以2302l y -+=，所以两条平行直线110l y -+=与2:230l ax y +-=3|1|14-+=．故答案为：14． 16．（嘉兴期末）直线1:0l x y m --=与直线2:30l mx y -+=平行，则m = ；1l 与2l 之间的距离为 ． 【分析】由题意利用两条直线平行的性质求出m 的值，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结果． 【解答】解：直线1:0l x y m --=与直线2:30l mx y -+=平行， 0m ∴≠，1311m m-=≠--，则1m =．=故答案为：1；17．（金华期末）已知直线:(1)2l x m y m ++=-，则当0m =时，直线l 的倾斜角为 ；当m 变化时，直线l 过定点 ．【分析】取0m =化简直线方程，求得直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求直线的倾斜角；利用直线系方程的逆用求直线所过定点．【解答】解：当0m =时，直线:(1)2l x m y m ++=-化为2x y +=， 直线的斜率1k =-，设倾斜角为(0)θθπ<， 由tan 1θ=-，得34πθ=； 化直线:(1)2l x m y m ++=-为2(1)0x y m y +-++=． 联立2010x y y +-=⎧⎨+=⎩，解得31x y =⎧⎨=-⎩．∴当m 变化时，直线l 过定点(3,1)-．故答案为：34π；(3,1)-． 18．（镇江期末）已知直线1:0l x y a ++=与直线2:0l x y +=a 的值为 ． 【分析】利用平行线之间的距离公式即可得出．2a =±．故答案为：2±．19．（珠海期末）已知平面直角坐标系xOy 中，点(4,1)A ，点(0,4)B ，直线:31l y x =-，则直线AB 与直线l 的交点坐标为 ．【分析】先利用两点式方程求出直线AB 的方程，再联立方程组能求出两直线的交点坐标． 【解答】解：平面直角坐标系xOy 中，点(4,1)A ，点(0,4)B ，直线:31l y x =-， 直线AB 的方程为：040414x y --=--，整理得：34160x y +-=， 联立3134160y x x y =-⎧⎨+-=⎩，得433x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩．∴直线AB 与直线l 的交点坐标为4(3，3)．故答案为：4(3，3)．20．（苏州期末）已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线20x y -=和5x ay +=上，且线段AB 的中点为(0,5)P ，则||AB = ．【分析】由两直线互相垂直可得2a =，AB 为直角三角形AOB 的斜边，直角三角形斜边的中线PO 的长为斜边AB 的一半，且||5PO =，由此能求出||AB ．【解答】解：由已知两直线互相垂直可得：21(1)0a ⨯+-⨯=， 解得2a =，线段AB 中点为(0,5)P ，且AB 为直角三角形AOB 的斜边， 联立2025x y x y -=⎧⎨+=⎩，得(1,2)O ，||OP ∴直角三角形斜边的中线PO 的长为斜边AB的一半，且||PO =||2||AB PO ∴==，故答案为：21．（昆山市期中）在平面直角坐标xOy 中，已知(4,3)A ，(5,2)B ，(1,0)C ，平面内的点P 满足PA PB PC ==，则点P 的坐标为 ．【分析】设出点(,)P x y ，利用两点间的距离公式列方程求出x 、y 的值． 【解答】解：设点(,)P x y ，由PA PB PC ==， 得22222222(4)(3)(5)(2)(4)(3)(1)x y x y x y x y ⎧-+-=-+-⎨-+-=-+⎩， 化简得24x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩，所以点P 的坐标为(3,1)． 故答案为：(3,1)．22．（新余期末）已知直线:2(2)l y ax a =+-过一、三、四象限，其中a Z ∈，则点(1,3)A -到直线l 的距离为 ．【分析】由直线:2(2)l y ax a =+-过一、三、四象限得到02a <<，又a Z ∈，所以1a =，所以直线l 的方程为：21y x =-，即210x y --=，再利用点到直线距离公式即可求出结果． 【解答】解：直线:2(2)l y ax a =+-过一、三、四象限，∴2020a a >⎧⎨-<⎩，02a ∴<<，又a Z ∈，1a ∴=，∴直线l 的方程为：21y x =-，即210x y --=，∴点(1,3)A -到直线l==． 23．（乐山期末）已知两条直线1:420l mx y +-=和2:10l x my ++=． （1）当12//l l 时，求m 的值；（2）在（1）的条件下，求1l 、2l 间的距离．【分析】（1）根据题意，分析可得240m -=，解可得2m =±，分别验证2m =和2m =-时，两直线是否平行，即可得答案；（2）由（1）的结论，结合平行线间距离公式计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，直线1:420l mx y +-=和2:10l x my ++=．若12//l l ，必有240m -=，解可得2m =±，当2m =时，直线1:210l x y +-=，直线2:210l x y ++=，两直线平行，符合题意，当2m =-时，直线1:210l x y -+=，直线2:210l x y -+=，两直线重合，不符合题意，故2m =；（2）由（1）的结论，直线1:210l x y +-=，直线2:210l x y ++=，直线1l 、2l 间的距离d == 24．（宁德期末）已知直线:260l x y --=与x 轴的交点为A ，且点A 在直线m 上．（1）若m l ⊥，求直线m 的方程；（2）若点(1,1)B 到直线m 的距离等于2，求直线m 的方程．【分析】（1）求出A 的坐标，求出直线m 的斜率，从而求出直线m 的方程即可；（2）通过讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式，求出直线方程即可．【解答】解：（1）依题意得(3,0)A ，2l k =，若m l ⊥，则12m K =-， ∴直线AB 的方程为10(3)2y x -=--， 即230x y +-=（或13)22y x =-+ （2）当直线斜率不存在时，3x =符合题意，当直线斜率存在时，设其方程为(3)y k x =-，点(1,1)B 到直线m 的距离等于2， ∴2=，解得：34k =， 综上，所求直线方程为3490x y --=或3x =．25．（新都区期末）已知ABC ∆的三个顶点坐标为(3,1)A -，(3,3)B -，(1,7)C ．（1）求BC 边的中线所在直线方程的一般式方程；（2）求ABC ∆的面积．【分析】（1）利用中点坐标公式、两点式即可得出．（2）三角形的面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）设BC 的中点M 的坐标为(,)x y ， 所以3122x +==，3722y -+==，即点M 的坐标为(2,2)．由两点式得：580x y-+=．所以BC边的中线所在直线方程的一般式方程为：580x y-+=；（2）直线BC的方程为：5120x y+-=．A BCd-==||BC11||2622ABC A BCS BC d∆-==⨯．26．（沭阳县期中）已知直线:(12)(1)720l m x m y m++-++=．（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；（2）过定点M作一条直线1l，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线1l的方程．【分析】（1）根据题意，将直线的方程整理得：(2)(27)0x y m x y-++++=，令20270x yx y-+=⎧⎨++=⎩，解可得x、y的值，即可得直线恒过定点的坐标，分析可得答案；（2）根据题意，设直线1l，与x轴的交点为(,0)a，与y轴的交点为(0,)b，分析可得M为AB的中点，由中点坐标公式分析AB的坐标，进而分析可得答案．【解答】解：（1）证明：直线l整理得：(2)(27)0x y m x y-++++=，令20270x yx y-+=⎧⎨++=⎩解得：31xy=-⎧⎨=-⎩，则无论m为何实数，直线l恒过定点(3,1)--，（2）根据题意，设直线1l，与x轴的交点为(,0)a，与y轴的交点为(0,)b，过定点(3,1)M--作一条直线1l，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，即M为AB的中点，则有3212ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解可得6a=-，2b=-，即直线1l过(6,0)-，(0,2)-，则直线1l的方程为123y x=--，即360x y++=．27．（宁城县期末）已知点ABC∆三顶点坐标分别是(1,0)A-，(1,0)B，(0,2)C，（1）求A到BC边的距离d；（2）求证AB边上任意一点P到直线AC，BC的距离之和等于d．【分析】（1）求出直线BC 的方程，利用点到直线的距离公式求出即可；（2）设(,0)P t ，11t -，求出直线AC 的方程，由点到直线的距离公式，证明即可．【解答】解：（1）直线BC 的方程为：12y x +=，即220x y +-=，A 到BC 边的距离d ==， （2）设(,0)P t ，11t -，直线AC 的方程是12y x -+=，即220x y -+=，∴则P 到直线AC 的距离为11)d t ==+，则P 到直线BC 的距离为2)d t -，∴12d d +=故原命题成立．B 组-[素养提升]1．（尖山区校级期末）已知在ABC ∆中，顶点(4,2)A ，点B 在直线:20l x y -+=上，点C 在x 轴上，则ABC ∆的周长的最小值 ．【分析】设点(4,2)，点A 关于直线:20l x y -+=对称的点为(,)D x y ，则点(,)D a b 与点(4,2)A 的中点在直线20x y -+=上，且直线AD 一定垂直于直线20x y -+=，列方程组求出(0,6)D 根据对称原理，ABC ∆的周长的最小值为：AC BA BC DC CD CA DB BA ++=++=+，即DB BA +的最小值，设点(0,6)D 关于x 轴的对称为点(0,6)E -，直线EA 与x 轴交于一点，当点B 处在这个点时，DB BA +取得最小值此时DB BA EA +=，由此能求出ABC ∆的周长的最小值．【解答】解：在ABC ∆中，顶点(4,2)A ，点B 在直线:20l x y -+=上，点C 在x 轴上， 设点(4,2)，点A 关于直线:20l x y -+=对称的点为(,)D x y则点(,)D a b 与点(4,2)A 的中点在直线20x y -+=上且直线AD 一定垂直于直线20x y -+=，∴422022214a bba++⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，解得0a=，6b=，D∴点坐标为(0,6)D根据对称原理，ABC∆的周长的最小值为：AC BA BC DC CD CA DB BA++=++=+，即DB BA+的最小值，设点(0,6)D关于x轴的对称为点(0,6)E-，直线EA与x轴交于一点，当点B处在这个点时，DB BA+取得最小值此时DB BA EA+=ABC ∴∆的周长的最小值为故答案为：2．（兰州期末）已知点(2,1)P-．（1）求过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？（2）是否存在过P点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．【分析】（1）过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由l OP⊥，得1l OPk k=-，即可得出．（2）只需比较“过P点与原点距离最大的直线l中最大距离”与6的大小，即可判断是否存在．【解答】解：（1）过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由l OP⊥，得11 OPk k=-，所以12 OPk k==．由直线方程的点斜式得12(2)y x+=-，即250x y--=．即直线250x y--=是过P点且与原点O．（2）过P的直线，因此不存在过点P点且到原点距离为6的直线．。

直线的交点坐标与距离公式1、两直线相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应.相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解.2、距离公式（1）两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为21221221)()(||y y x x P P -+-=特别地，原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2. （2）点到直线的距离公式平面上任意一点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.（3）两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.题型一 交点问题例 1 直线230x y k +-=和120x ky -+=的交点在y 轴上，则k 的值为（ ） A ．-24 B ．6C ．6±D ．-6【答案】C知识梳理知识典例【分析】通过直线的交点代入两条直线方程，然后求解k 即可． 【详解】解：因为两条直线230x y k +-=和120x ky -+=的交点在y 轴上， 所以设交点为(0,)b ， 所以30120b k kb -=⎧⎨-+=⎩，消去b ，可得6k =±．故选：C ．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B 【分析】解方程组12kx y k ky x k-=-⎧⎨-=⎩得两直线的交点坐标，由102k <<，判断交点的横坐标、纵坐标的符号，得出结论.【详解】解方程组12kx y k ky x k -=-⎧⎨-=⎩,得两直线的交点坐标为21,11k k k k -⎛⎫ ⎪--⎝⎭, 1210,0,0211k k k k k -<<∴--， 所以交点在第二象限，故选B.题型二 两点的距离例 2 已知点()2,1A --，(),3B a ，且5AB =，则a 的值为( ) A ．1 B ．5-C ．1或5-D ．1-或5【答案】C 【分析】巩固练习利用两点间距离公式构造方程求得结果. 【详解】 由题意知：()()222315AB a =+++=，解得：1a =或5-本题正确结果：C（多选）对于225x x ++，下列说法正确的是（ ） A ．可看作点(),0x 与点()1,2的距离 B ．可看作点(),0x 与点()1,2--的距离 C ．可看作点(),0x 与点()1,2-的距离 D ．可看作点(),1x -与点()1,1-的距离 【答案】BCD 【分析】化简225x x ++=()()()()2222102111x x ++±=++--，结合两点间的距离公式，即可求解.【详解】由题意，可得()222514x x x ++=++=()()()()2222102111x x ++±=++--，可看作点(),0x 与点()1,2--的距离，可看作点(),0x 与点1,2的距离，可看作点(),1x -与点()1,1-的距离，故选项A 不正确， 故答案为：BCD.题型三 点到直线的距离例 3 已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值等于( )A ．79B ．13-C ．79-或13-D ．79-或13【答案】C 【分析】直接根据点到直线的距离公式列出关于a 的方程，求出方程的解,得到a 的值. 【详解】巩固练习因为A 和B 到直线l 的距离相等， 由点A 和点B 到直线的距离公式， 可得2234163111a a a a --+++=++，化简得3364a a +=+|，()3364a a +=±+,解得实数79a =-或13-，故选C.（多选）已知直线l 经过点(3,4)，且点(2,2),(4,2)A B --到直线l 的距离相等，则直线l 的方程可能为（ ） A ．23180x y +-= B ．220x y --= C ．220x y ++= D ．2360x y -+=【答案】AB 【分析】由题可知直线l 的斜率存在，所以设直线l 的方程为4(3)y k x -=-，然后利用点到直线的距离公式列方程，可求出直线的斜率，从而可得直线方程 【详解】当直线l 的斜率不存在时，显然不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为4(3)y k x -=-，即430kx y k -+-=．由已知得2211k k =++，所以2k =或23k =-， 所以直线l 的方程为220x y --=或23180x y +-=． 故选：AB题型四 平行线间的距离例 4 已知直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行，则它们之间的距离是（ ）巩固练习A ．4B ．21313C ．51326D ．71326【答案】D 【解析】因为3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，所以3∶2=6∶m，所以m=4. 直线6x+4y+1=0可以转化为3x+2y+12=0， 由两条平行直线间的距离公式可得：d=()2213232--+=7213=71326.若直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行，则1l 与2l 间的距离为 【答案】823【分析】根据两直线平行求出a 的值，得出两条直线方程，再求直线之间的距离. 【详解】由题：直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行， 则()32a a =-，即2230a a --=，解得3a =或1a =-， 当3a =时，直线1:360l x y ++=与2:360l x y ++=重合； 当1a =-时，直线1:60l x y -+=与22:03l x y -+=平行， 两直线之间的距离为2682332-=.题型五 三角形的面积求解巩固练习例 5 已知直线l 过点()2,3P 且与定直线0:2l y x =在第一象限内交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，记AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，点(),0B a . （1）求实数a 的取值范围；（2）求当S 取得最小值时，直线l 的方程. 【答案】（1）12a >（2）33y x =- 【分析】（1）求出直线l 与直线0:2l y x =平行时，直线l 的斜率，由斜率公式以及题设条件确定实数a 的取值范围；（2）当直线l 的斜率不存在时，求出点,A B 坐标，得出4S =；当直线l 的斜率存在时，设出方程，求出斜率的范围，联立直线l 与直线0l 的方程求出点A 坐标，由三角形面积公式结合判别式法，得出S 取得最小值时直线l 的斜率，进而得出直线l 的方程. 【详解】（1）当直线l 与直线0:2l y x =平行时，如下图所示322BP k a==-，解得12a =，此时不能形成AOB ，则12a ≠又点(),0B a 在x 轴正半轴上，且直线l 与定直线0l 在第一象限内交于点A12a ∴>（2）当直线l 的斜率不存在时，即(2,0)B ，(2,4)A ，此时12442S =⨯⨯= 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(2)3y k x =-+ 由于斜率存在，则12a >且2a ≠ 又32BP k a=-，2k ∴>或k 0< 由(2)32y k x y x =-+⎧⎨=⎩，得3264,22k k A k k --⎛⎫⎪--⎝⎭则22123644129222k k k k S k k k k---+=⨯⨯=-- 即2(4)(122)90S k S k ---+=由2(122)36(4)0S S ∆=---≥，整理得(3)0S S -则3S ≥，即S 的最小值为3 此时2690k k -+=，解得3k =则直线l 的方程为3(2)333y x x =-+=-已知△ABC 的两条高线所在直线方程为2x －3y ＋1＝0和x ＋y ＝0，顶点A (1,2)． 求：(1)BC 边所在的直线方程； (2)△ABC 的面积．【答案】(1) 2x ＋3y ＋7＝0;(2)452. 【分析】（1）先判断A 点不在两条高线上，再利用垂直关系可得AB 、AC 的方程，进而通过联立可得解； （2）分别求|BC |及A 点到BC 边的距离d ，利用S △ABC ＝12×d ×|BC |即可得解. 【详解】(1)∵A 点不在两条高线上，由两条直线垂直的条件可设k AB ＝－，k AC ＝1． ∴AB 、AC 边所在的直线方程为3x ＋2y －7＝0，x －y ＋1＝0． 由得B (7，－7)． 由得C (－2，－1)．∴BC 边所在的直线方程2x ＋3y ＋7＝0． (2)∵|BC |＝，A 点到BC 边的距离d ＝，∴S △ABC ＝×d ×|BC |＝××＝．巩固练习巩固提升1、直线5y x =-+与直线1y x =+的交点坐标是（ ） A ．()1,2 B ．()2,3C ．()3,2D ．()2,1【答案】B 【分析】联立两直线方程，求出公共解，即可得出两直线的交点坐标. 【详解】联立两直线的方程51y x y x =-+⎧⎨=+⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，因此，两直线的交点坐标是()2,3.故选：B.2、两平行直线12,l l 分别过点()()1,3,2,1P Q --，它们分别绕,P Q 旋转，但始终保持平行，则12,l l 之间的距离的取值范围是（ ） A ．()0,∞+ B ．[]0,5C ．(]0,5D．(【答案】C 【分析】先判断当两直线1l ，2l 与直线PQ 垂直时，两平行直线1l ，2l 间的距离最大，计算得到最大值，进而得到范围. 【详解】5PQ ==当1PQ l ⊥时，1l 与2l 的最大距离为5， 因为两直线平行，则两直线距离不为0， 故选：C.3、“C ＝5”是“点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：由题意知点(2,1)到直线340x y C ++=的距离为33=，解得5C =或25C =-，所以“5C =”是“点(2,1)到直线340x y C ++=的距离为3”的充分不必要条件，故选B.4、两直线3x +y -3=0与6x +my +1=0平行，则它们之间的距离为（ ） A ．4 B．13C．26D．20【答案】D 【分析】由两直线平行，可求得m 的值，代入两平行线距离公式，即可求解. 【详解】因为两直线平行，所以361m ⨯=⨯，解得m =2， 将6x +2y +1=0化为3x +y +12=0， 由两条平行线间的距离公式得d===20， 故选：D .5、直线l 经过原点，且经过另两条直线2380x y ++=，10x y --=的交点，则直线l 的方程为（ ） A ．20x y += B ．20x y -=C ．20x y +=D ．20x y -=【答案】B 【分析】联立方程可解交点，进而可得直线的斜率，可得方程，化为一般式即可. 【详解】联立方程238010x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得：12x y =-⎧⎨=-⎩所以两直线的交点为()1,2--，所以直线的斜率为20210--=--，则直线l 的方程为：2y x =，即20x y -=. 故选：B6、若直线0kx y -=和直线2360x y +-=的交点在第一象限，则k 的取值范围为__________．【答案】⎫+∞⎪⎪⎝⎭【分析】由0,2360,kx y x y ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩解得交点坐标为x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩根据交点位置得到0,0,>>解出即可. 【详解】由0,2360,kx y x y ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又∵直线0kx y --=和直线2360x y +-=的交点在第一象限，∴60,230,k ⎧+>⎪⎪+>解得3k >．故答案为3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭. 7、已知直线1:l 3250x y +-=与直线2:l 4110x ay +-=，且12l l ⊥，则直线1l 与直线2l 的交点坐标是______． 【答案】12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由12l l ⊥得3420a ⨯+=，求出a ，再解方程组求交点坐标． 【详解】因为12l l ⊥，所以3420a ⨯+=，所以6a =-．联立3250,46110,x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得2,1,2x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，故直线1l 与直线2l 的交点坐标是12,2⎛⎫-⎪⎝⎭． 故答案为：12,2⎛⎫-⎪⎝⎭8、点(,6)P m 到直线3420x y --=的距离不大于4，则m 的取值范围是________．【答案】462,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据点到直线的距离公式即可列出不等式，解出即可．【详解】 依题意可知，()223462434m -⨯-≤+-，解得4623m ≤≤． 故答案为：462,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 9、已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且P （4，3）到直线l 的距离为3，求直线l 的方程．【答案】y=x ，或x +y ﹣1=0，或 x +y ﹣13=0． 【解析】 试题分析：当直线经过原点时，设直线方程为y=kx ，再根据P （4，3）到直线l 的距离为3，求得k 的值，可得此时直线的方程．当直线不经过原点时，设直线的方程为x+y ﹣a=0，由P （4，3）到直线l 的距离为3，求得a 的值，可得此时直线方程，综合可得结论．解：当直线经过原点时，设直线方程为y=kx ，再根据P （4，3）到直线l 的距离为3， 可得 =3，求得k=，故此时直线的方程为 y= x ．当直线不经过原点时，设直线的方程为x+y ﹣a=0，由P （4，3）到直线l 的距离为3， 可得 =3，求得a=1，或a=13，故此时直线的方程为x+y ﹣1=0或x+y ﹣13=0．综上可得，所求直线的方程为y=x ，或x+y ﹣1=0，或x+y ﹣13=0．10、已知直线方程为()()221340m x m y m -++++=.（1）证明：直线恒过定点；（2）m 为何值时，点()3,4Q 到直线的距离最大，最大值为多少？（3）若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于,A B 两点，求AOB 面积的最小值及此时直线的方程.【答案】（1）证明见解析（2）47=m ；2133）最小值为4；此时直线的方程240x y ++= 【分析】（1）证明：利用直线是直线系求出直线恒过定点，即可；（2）点(3,4)Q 到直线的距离最大，转化为两点间的距离，求出距离就是最大值．（3）若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于A ．B 两点，设出直线的方程，求出A ，B ，然后求出AOB ∆面积，利用基本不等式求出的最小值及此时直线的方程．【详解】（1）证明：直线方程为()()221340m x m y m -++++=，可化为()()24230x y m x y +++-++=，对任意m 都成立，所以230240x y x y -++=⎧⎨++=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，所以直线恒过定点()1,2--； （2）解：点()3,4Q 到直线的距离最大，可知点Q 与定点()1,2P --的连线的距离就是所求最大值，=423312PQ k +==+， ()()221340m x m y m -++++=的斜率为23-， 可得22321m m --=-+，解得47=m . （3）解：若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于,A B 两点，直线方程为()21y k x +=+，k 0<，则21,0A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,2B k -，()121221212224222AOB k S k k k k k -⎛⎫⎛⎫=--=--=++≥+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭△，当且仅当2k =-时取等号，面积的最小值为4.此时直线的方程240x y ++=.。

《直线的交点坐标与距离公式》知识拓展知识要点1.两条直线的交点坐标已知两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=相交,设这两条直线的交点为P ,则点P 既在直线1l 上,也在直线2l 上.所以点P 的坐标既满足直线1l 的方程1A x +110B y C +=,也满足直线2l 的方程2220A x B y C ++=,即点P 的坐标是方程组1112220,0A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解.解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. 2.两点间的距离公式()()111222,,,P x y P x y 两点间的距离公式12PP =.特别地,原点(0,0)O 与任一点(,)P x y 间的距离||OP =3.点到直线的距离公式平面上任意一点()00,P x y 到直线:0(,l Ax By C A B ++=不同时为0)的距离d =.4.两条平行直线间的距离两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长.一般地,两条平行直线(1122:0,:0,l Ax By C l Ax By C A B ++=++=不同时为0,且1C ≠)2C 的距离d =.问题探究问题1,如何求两直线的交点坐标?求过两直线交点的直线方程的方法?提示(1)求两条直线的交点坐标,一般思路是解由这两条直线方程组成的方程组,以方程组的解为坐标的点即为交点.(2)求过两直线交点的直线方程,一般思路是先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.也可借助直线系方程,利用待定系数法求出直线方程,这样能简化解题过程.问题2两直线方程构成的方程组的解的个数与两直线的位置关系怎样对应?提示方程组有唯一解⇔两直线相交;方程组无解⇔两直线平行;方程组有无数组解⇔两直线重合.这样可以把两直线的位置关系问题转化为方程组解的个数问题,从而用代数的方法解决几何问题.问题3如果已知直线的斜率为k ,那么直线上的两点()()111222,,,P x y P x y 之间的距离可以怎么表示?提示1212PP x ==-,或1212(0)PP y y k =-≠,这也是以后经常会用到的弦长公式. 问题4利用距离公式应注意的问题有哪些?提示(1)点()00,P x y 到直线x a =的距离0d x a =-,,到直线y b =的距离0d y b '=-;(2)已知点到直线的距离求直线方程时,一般考虑用待定系数法,此时必须讨论直线斜率是否存在;(3)利用两平行线间的距离公式时,两条直线方程中,x y 的系数要相等.。

直线的交点坐标与距离公式在平面几何中，直线是直角坐标系中的基本图形之一、直线的交点坐标和距离公式在解决直线的相关问题时非常有用。

接下来，我将详细介绍直线的交点坐标和距离公式。

1.直线的交点坐标公式：设直线L1的方程为y=k1x+b1，直线L2的方程为y=k2x+b2、若L1和L2有交点，则交点的坐标(x0,y0)满足以下等式：k1x0+b1=k2x0+b2解上述等式可以得到交点的横坐标x0。

将x0带入其中一个直线的方程，可以求得交点的纵坐标y0。

如果两条直线平行，则它们没有交点。

2.直线的距离公式：设点P到直线L的距离为d。

L的一般方程为Ax+By+C=0。

点P的坐标为(x0,y0)。

则点P到直线L的距离d可以由以下公式计算：d=，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)以上就是直线的交点坐标和距离公式的基本内容。

下面我们将通过具体的例子来进一步理解和应用这些公式。

例1：求直线y=2x+3和y=-x+4的交点坐标。

解：将两个方程相等，得到：2x+3=-x+43x=1x=1/3将x=1/3带入其中一个方程，可以求得y的值：y=2*(1/3)+3=7/3因此，这两条直线的交点坐标为(1/3,7/3)。

例2：求点(1,-2)到直线3x-4y+5=0的距离。

解：由于A=3，B=-4，C=5，将这些值代入距离公式中，可以得到：d=，3*1-4*(-2)+5，/√(3^2+(-4)^2)=，3+8+5，/√(9+16)=16/√25=16/5因此，点(1,-2)到直线3x-4y+5=0的距离为16/5通过以上两个例子，我们可以看到直线的交点坐标和距离公式在解决直线相关问题时的重要性。

它们能够帮助我们简单、快速地求解直线的交点和距离，为我们的几何计算提供便利。

除了直线的交点坐标和距离公式，还有其他的直线相关的公式和定理，如直线的斜率公式、两直线垂直的判定等等。

通过深入学习和理解这些公式和定理，我们将能够更好地应用它们解决各种几何问题，提高我们的数学能力。

直线的交点坐标与距离公式知识点总结直线是数学中重要的几何概念之一，我们经常会遇到需要求两直线交点坐标或者计算直线间距离的问题。

为了解决这类问题，学习直线的交点坐标与距离公式是非常必要的。

本文将对这些知识点进行总结。

直线方程的表示形式在讨论直线的交点坐标与距离公式之前，我们首先需要了解直线可以用哪些形式表示。

1. 斜截式一条直线可以通过截距和斜率来表示。

斜截式一般形式为：y=kx+b，其中k是斜率，b是截距。

2. 一般式一条直线也可以用一般式表示，一般形式为：Ax+By+C=0，其中A、B、C是实数。

3. 点斜式直线还可以用点和斜率来表示。

点斜式的一般形式为：y−y1=k(x−x1)，其中(x1,y1)是直线上的一点，k是斜率。

直线交点坐标的计算当我们需要求两条直线的交点坐标时，可以利用直线的方程进行计算。

假设有两条直线L1和L2，它们分别由以下方程表示：L1:y=m1x+c1L2:y=m2x+c2交点的坐标可以通过以下步骤计算：1.将两条直线的方程联立，得到方程组。

m1x+c1=m2x+c22.将方程组中的未知数消去，求解出x的值。

3.将求得的x值代入任意一条直线方程中，求解出y的值。

4.得到交点的坐标(x,y)。

直线间距离的计算当我们需要求两条直线之间的距离时，可以使用以下公式计算。

假设有两条直线L1和L2，它们的方程分别为：L1:Ax+By+C1=0L2:Ax+By+C2=0直线L1和L2之间的距离可以通过以下公式计算：$d = \\frac{|C_2 - C_1|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}$这个公式的推导过程比较复杂，在此不做详细说明。

只需记住这个公式，我们就可以计算两直线间的距离了。

举例说明为了更好地理解直线的交点坐标与距离公式，让我们通过一个具体的例子来说明。

假设有两条直线L1:y=2x+1和 $L_2: y = -\\frac{1}{2}x + 3$，我们想要求它们的交点坐标和距离。

2.3直线的交点坐标与距离公式2．3.1两条直线的交点坐标2．3.2两点间的距离公式知识梳理知识点一两条直线的交点1．两直线的交点已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.点A (a ，b )．(1)若点A 在直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0上，则有A 1a ＋B 1b ＋C 1＝0.(2)若点A 是直线l 1与l 2的交点，则有A 1a ＋B 1b ＋C 1＝0，A 2a ＋B 2b ＋C 2＝0.2．两直线的位置关系方程组A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一组无数组无解直线l 1与l 2的公共点的个数一个无数个零个直线l 1与l 2的位置关系相交重合平行知识点二两点间的距离公式：点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.特别提醒：(1)此公式与两点的先后顺序无关．(2)原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2.题型探究题型一、求相交直线的交点坐标1．过两条直线1:30l x y -+=与2:20l x y +=的交点，倾斜角为π3的直线方程为()A ．3320x y -++=B ．33360x y -++=C ．3340x y ---=D ．333120x y ---=【答案】A【详解】由3020x y x y -=⎧⎨=⎩＋＋解得12x y =-⎧⎨=⎩，故两直线交点为(－1，2)，故直线方程是：()231y x -=＋，即3230x y -=＋＋．故选：A ．2．经过两条直线2310x y ++=和2330x y -+=的交点，并且平行于直线y x =的直线的一般式方程为______．【答案】3340x y -+=【详解】由23102330x y x y ++=⎧⎨-+=⎩解得113x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，故交点坐标为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，由平行于直线y x =可得斜率为1，故方程为113y x -=+，化为一般方程为3340x y -+=.故答案为：3340x y -+=.3．经过两条直线1:40l x y ++=和22:0x y l --=的交点，且与直线210x y --=垂直的直线方程为_______．【答案】270x y ++=【详解】由4020x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得13x y =-⎧⎨=-⎩，即直线1:40l x y ++=和22:0x y l --=的交点坐标为()1,3--，设与直线210x y --=垂直的直线方程为20x y n ++=，则()1230n -+⨯-+=，解得7n =，所以直线方程为270x y ++=；故答案为：270x y ++=4．设三直线1:3420l x y +-=；2:220l x y ++=；3:340l kx y +-=交于一点，则k 的值为______．【答案】1【详解】联立3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩，解得22x y =-⎧⎨=⎩，即1l 与2l 交于点(2,2)-，依题意可知，23240k -+⨯-=，解得1k =.故答案为：1.题型二、方程组解的个数与直线位置关系1．两条直线1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点坐标就是方程组1112220,{0A xB yC A x B y C ++=++=的实数解，给出以下三种说法：①若方程组无解，则两直线平行；②若方程组只有一解，则两直线相交；③若方程组有无数多解，则两直线重合．其中说法正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．0【答案】C【详解】①若方程组无解，则两条直线无交点，两直线平行；正确；②若方程组只有一解，说明两条直线只有一个交点，则两直线相交；正确；③若方程组有无数多解，说明两条直线有无数多个交点，则两直线重合．正确.故答案为C.【点睛】在同一平面内，两条直线有三种位置关系，即相交、平行、重合．相应地由直线的方程组成的二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、有无数解．当1112220,0A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解只有一组时，这两条直线1l 和2l 有一个公共点，它们的位置关系为相交．当1112220,0A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解有无数组时，这两条直线1l 和2l 有无数个公共点，它们的位置关系为重合．当1112220,0A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩无解时，这两条直线1l 和2l 没有公共点，它们的位置关系为平行．2．若关于x 、y 的方程组46132x y ax y +=⎧⎨-=⎩无解，则实数=a ________【答案】2-【详解】由题意关于x 、y 的方程组46132x y ax y +=⎧⎨-=⎩无解，即直线461x y +=和直线32ax y -=平行，故4612603D a a ==--=-，所以2a =-，此时直线32ax y -=即464x y +=-，确实与461x y +=平行，故满足题意，所以实数2a =-.故答案为：-2.3．若关于x ，y 的方程组2436x y x ay +=⎧⎨+=⎩有唯一解，则实数a 满足的条件是________.【答案】6a ≠【详解】由2436x y x ay +=⎧⎨+=⎩，可得()660a y -+=，由关于x ，y 的方程组2436x y x ay +=⎧⎨+=⎩有唯一解，可得方程()660a y -+=有唯一解，则6a ≠故答案为：6a ≠4．若关于x 的二元一次方程组4200x my m mx y m +-+=⎧⎨++=⎩有无穷多组解，则m =______．【答案】2-【详解】依题意二元一次方程组4200x my m mx y m +-+=⎧⎨++=⎩有无穷多组解，即两个方程对应的直线重合，由41m m ⨯=⨯，解得2m =或2m =-.当2m =时，二元一次方程组为42020220220x y x y x y x y +=+=⎧⎧⇒⎨⎨++=++=⎩⎩，两直线不重合，不符合题意.当2m =-时，二元一次方程组为4240220220220x y x y x y x y -+=-+=⎧⎧⇒⎨⎨-+-=-+=⎩⎩，两直线重合，符合题意.综上所述，m 的值为2-.故答案为：2-题型三、由直线交点的个数求参数1．已知两定点()2,3M -，()3,2N --，直线l 过()1,2P 且与线段MN 相交，则l 的斜率k 的取值范围是（）A ．1k ³B ．5k ≤-C ．51k -≤≤D ．1k ³或5k ≤-【答案】D【详解】如图所示：()()()23225,11213PM PN k k ----==-==---，因为直线l 过()1,2P 且与线段MN 相交，所以l 的斜率k 的取值范围是1k ³或5k ≤-.故选：D2．设点()2,3A -,()3,2B ,若直线20ax y -++=与线段AB 没有交点,则a 的取值范围是()A ．45,32⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．54,,23⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．54,23⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．45,,32⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】C 【详解】直线20ax y -++=与线段AB 没有交点即直线2y ax =-与线段AB 没有交点对于直线2y ax =-,令0x =,则2y =-,则直线恒过点()0,2C -根据题意,作出如下图像:(0,2)C -,()2,3A -∴根据两点求斜率公式可得:直线AC 的斜率为32522AC k +==--(0,2)C -,()3,2B ∴根据两点求斜率公式可得:直线BC 的斜率为224303BC k +==-直线20ax y -++=的斜率为a若直线20ax y -++=与线段AB 没有交点，则5423a -<<故选:C.题型四、两点间的距离1．已知点()2,4A ，()5,4B ，那么A ，B 两点之间的距离等于（）A ．8B ．6C ．3D ．0【答案】C【详解】因点()2,4A ，()5,4B ，则22||(25)(44)3AB =-+-=，所以A ，B 两点之间的距离等于3.故选：C2．已知点(1,2),(3,4),(5,0)A B C ，求证：ABC 是等腰三角形．【详解】∵22(31)(42)8AB =-+-=，22(53)(04)20BC =-+-=，22(51)(02)20AC =-+-=，∴AC BC =，∵421,31AB k -==-021512AC k -==--，∴AB AC k k ≠，∴,,A B C 三点不共线，∴ABC 是等腰三角形．3．已知点(1,3)A -，(2,6)B ，若在x 轴上存在一点P 满足PA PB =，则点P 的坐标为___________．【答案】()5,0【详解】设(),0P x ，则22(1)9(2)36x x ++=-+，解得5x =，∴点P 的坐标为()5,0，故答案为：()5,0．跟踪训练1．判断下列各对直线的位置关系.若相交，求出交点坐标：（1）l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0；（2）l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0.【答案】（1）相交，(－1，－1)；（2）平行.【详解】（1）解方程组230210x y x y ++=⎧⎨--=⎩得11x y =-⎧⎨=-⎩所以直线l 1与l 2相交，交点坐标为(－1，－1).（2）解方程组202230x y x y ++=⎧⎨++=⎩①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解.所以直线l 1与l 2无公共点，即l 1//l 2.2．若直线2100x y --=经过直线43100x y +-=和280ax y ++=的交点，则=a ___________.【答案】1-【详解】由题意，直线2100x y --=，43100x y +-=，280ax y ++=交于一点，所以210043100x y x y --=⎧⎨+-=⎩，得42x y =⎧⎨=-⎩，所以直线280ax y ++=过点()4,2-，得()42280a +⨯-+=，求解得1a =-.故答案为：1-3．已知直线l ：120()kx y k k R -++=∈，若直线l 与直线10x y -+=，2380x y +-=三线共点，求k 的值.【答案】13【详解】由102380x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，所以直线10x y -+=，2380x y +-=的交点为()1,2，将()1,2代入()120R kx y k k -++=∈，解得13k =.4．若关于x ，y 的二元一次方程组96mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩无解，则实数m =__________．【答案】3-【详解】因为关于x ，y 的二元一次方程组96mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩无解，所以直线96mx y m +=+与直线+=x my m 平行，所以290m -=，解得3m =±，当3m =时，两直线重合，故答案为：3-.5．已知关于,x y 的方程组()222(1)1,(1)1a x a y a a x a y a ⎧--+=+⎪⎨-+=-⎪⎩有唯一解，则实数a 的取值范围是__________.【答案】1()a a R ≠-∈【详解】由方程组()222(1)1(1)1a x a y a a x a y a ⎧--+=+⎪⎨-+=-⎪⎩中的两个方程对应两条直线，则方程组的解就是两直线的交点，要使得两直线只有一个交点，则满足22(2)(1)(1)0a a a a -+-+≠，即2(1)0a -+≠，解得1()a a R ≠-∈.故答案为：1()a a R ≠-∈.6．关于x ､y 的二元一次方程组7352x by ax y -=⎧⎨+=⎩有无穷多组解，则a 与b 的积是_____.【答案】-35【详解】因为x ､y 的二元一次方程组7352x by ax y -=⎧⎨+=⎩有无穷多组解，所以直线73x by -=与直线52ax y +=重合，所以7352b a -==，解得1415,32a b ==-，所以35ab =-，故答案为：-357．已知直线l 过定点()1,2P -，且与以()2,3A --，()4,5B -为端点的线段（包含端点）没．有．交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A ．()(),15,-∞-+∞B ．(][),15,-∞-⋃+∞C ．()1,5-D ．[]1,5-【答案】A【详解】如图，要使直线l 以()2,3A --，()4,5B -为端点的线段（包含端点）没有．．交点，则PA k k >或PB k k <,因为23255,11214PA PB k k +-====--+-+，所以直线l 的斜率k 的取值范围是()(),15,-∞-+∞；故选：A8．已知线段AB 两端点的坐标分别为()2,3A -和()4,2B ，若直线:10l x my m ++-=与线段AB 有交点，则实数m 的取值范围是（）A ．()3,1,4⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．31,4⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．31,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(]3,1,4⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【详解】直线:10l x my m ++-=恒过的定点()1,1P -，4,13AP BP k k =-=.当0m =时，直线l 方程为1x =，与线段AB 有交点，符合题意.当0m ≠时，直线l 的斜率为1m-，则[)14,1,3m ⎛⎤-∈-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦，解得10m -≤<或304m <≤，综上，31,4m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故选：C9．已知三条直线1:440l x y +-=，2:0l mx y +=，3:2340l x my --=.（1）若直线1l ，2l ，3l 交于一点，求实数m 的值；（2）若直线1l ，2l ，3l 不能围成三角形，求实数m 的值.【答案】（1）1m =-或23；（2）1m =-或23或4或16-.【详解】（1）∵直线1l ，2l ，3l 交于一点，∴1l 与2l 不平行，∴4m ≠，由4400x y mx y +-=⎧⎨+=⎩，得4444x mm y m ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，即1l 与2l 的交点为44,44m m m -⎛⎫ ⎪--⎝⎭，代入3l 的方程，得8434044m m m m--⋅-=--，解得1m =-或23.（2）若1l ，2l ，3l 交于一点，则1m =-或23；若12//l l ，则4m =；若13//l l ，则16m =-；若23//l l ，则不存在满足条件的实数m .综上，可得1m =-或23或4或16-.10．直线l 的倾斜角为135°，且过点(1,1)，则这条直线被坐标轴所截得的线段长是（）A ．2B ．2C ．22D ．4【答案】C【详解】由题设，直线:1(1)l y x -=--，整理得:20+-=l x y ，所以，直线l 与坐标轴交点为(2,0),(0,2)，故直线被坐标轴所截得的线段长是22(20)(02)22-+-=.故选：C11．已知(1,2),(,6)A B a ，且||5AB =，则a 的值为（）A ．4B ．4-或2C ．2-D ．2-或4【答案】D【详解】易知22(1)(62)5a -+-=，∴4a =或2a =-.故选：D.12．已知三角形ABC 的顶点坐标为A （－1，5）、B （－2，－1）、C （4，3），M 是BC 边上的中点。

直线的交点坐标与距离公式首先，我们来看两条直线的交点坐标公式。

假设有两条直线L1和L2，它们的方程分别是：L1: ax + by = cL2: dx + ey = f其中a、b、c、d、e、f为已知常数，x和y为未知变量。

为了求解L1和L2的交点坐标(x0,y0)，我们可以通过以下步骤进行计算：1.将L1和L2的方程联立，得到以下方程组：ax + by = cdx + ey = f2.使用消元法或代入法解方程组，求解出x和y的值。

-对于消元法，我们可以通过消去x或y来求解另一个变量。

例如，可以通过将L1的方程乘以e，将L2的方程乘以b，然后将它们相减，得到可解的方程。

-对于代入法，我们可以先求解出一个变量，然后将它代入到另一个方程中求解另一个变量。

3.将求解得到的x和y的值代入L1或L2中，验证它们是否满足直线的方程。

通过上述步骤，我们可以求解出直线L1和L2的交点坐标(x0,y0)。

接下来，我们来看点到直线的距离公式。

假设有一条直线L，它的方程为：L: ax + by + c = 0其中a、b、c为已知常数，x和y为未知变量。

设点P的坐标为(x1,y1)，我们希望求出点P到直线L的距离d。

为了求解点到直线的距离d = ，ax1 + by1 + c，/ √(a^2 + b^2)使用上述公式，我们可以按照以下步骤来计算点到直线的距离：1. 将点P的坐标代入直线L的方程，计算得到ax1 + by1 + c的值。

2.将步骤1中计算得到的值代入到距离公式中，计算得到点P到直线L的距离d。

通过上述步骤，我们可以求解出点P到直线L的距离d。

总结起来，直线的交点坐标与距离公式是数学和几何问题求解的基本工具。

对于直线的交点坐标，我们通过联立直线的方程，并使用消元法或代入法来求解变量的值，从而得到交点的坐标。

对于点到直线的距离，我们使用距离公式，将点的坐标代入直线的方程，并进行运算，最后得到点到直线的距离。

这两个公式广泛应用于解决直线相关的几何和数学问题，例如计算两条直线的交点、判断点是否在直线上以及计算点到直线的最短距离等。

1.14直线的交点坐标与距离公式一、知识结构二、重难点1.会用代数方法求出两条直线的交点坐标2.理解两点间的距离公式，会求平面内两点间的距离，并掌握两点间距离公式的应用3.会用坐标法解决一些简单的几何问题知识点1两直线的交点坐标两直线的交点坐标求法：⎪⎩⎪⎨⎧⇒⎩⎨⎧=++=++.3.2.100222111C y B x A C y B x A 交点直线系方程：求两直线的交点坐标例1.1判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出相应的交点坐标.()⎩⎨⎧=-+=-+0420941y x y x ()⎪⎩⎪⎨⎧+==+-213103622x y y x ()⎪⎩⎪⎨⎧+==-21310623x y y x过两直线交点的直线系方程例1.2求过两直线0243=-+y x 与022=++y x 的交点且垂直于直线0376=--y x 的直线的方程.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→→→应用公式两点间的距离平行无解重合无数解相交一解方程组的解两直线的交点坐标即为两点间的距离两条直线的交点坐标与知识点2两点间的距离已知平面内两点()()222111,,,y x P y x P ，则两点间的距离=21P P_______________. 特别地，原点()0,0与任一点()y x P ,间的距离=OP _____________.当21P P 所在直线与x 轴平行时，______________；当21P P 所在直线与y 轴平行时，______________；当21P P 在直线b kx y +=上时，______________.例2.1在直线02=-y x 上求一点P ，使它到点()8,5M 的距离为5，并求直线PM 的方程.例2.2已知直线l 过点()1,3P ，且被两平行直线06:01:21=++=++y x l y x l ，截得的线段长为5，求直线l 的方程.坐标法的应用例2.3已知长为3m ，宽为2m 且缺一角的长方形木板（如图所示），长缺2.0m ，宽缺5.0m ，EF 是线段，木工师傅要在BC 的中点M 处作EF 的垂线（直角曲尺长度不够），应如何画线？专题一 对称问题1.点关于点对称点关于点对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题.设()00,y x P 关于点()b a M ,的对称点为()y x P ,'，则有________________，所以⎩⎨⎧-=-=0022y b y x a x ，即点()002,2y b x a P --'.2.点关于直线对称常用方法：中垂线点()00,y x A 关于直线l ：0=++C By Ax 的对称点()y x B ,的求法： ⎪⎩⎪⎨⎧=+∙++∙+-=∙02210021C B y y A x x k k 中点在直线上：垂直：3.直线关于点的对称直线设点()n m P ,，直线l P C By Ax l ∉=++,0:，直线l 关于点P 的对称直线为l '.方法一（特殊点）：在直线l 上任取两点F E ，，求出关于点()n m P ,对称的对称点F E ''，，则F E ''，均在直线l '上，由点F E ''，的坐标即可得到l '的方程.方法二（几何方法）：由几何意义可知：①直线l 与l '平行，可设l '的方程为0='++C By Ax②点P 到直线l 的距离与到直线l '的距离相等.（下节课学习）例3.2已知点A 的坐标为()1,1-，直线l 的方程为03=+y x ，求直线l 关于点A 的对称直线l '的方程.4.直线关于直线的对称直线设直线0:1111=++C y B x A l ，直线0:=++C By Ax l ，直线1l 关于l 的对称直线为2l .（1）若l l //1，则l l //2，可设2l 的方程为02=++C By Ax ；因为直线l 到21,l l 的距离相等，所以21C C C C -=-，可得122C C C -=()式下节课平行间的距离公（2）若P l l = 1，则2l P ∈①方法一：在l 上取异于P 点的另外一点1P ，则点1P 到直线21,l l 的距离相等；②方法二：在1l 上取异于P 点的另外一点2P ，则点2P 关于直线l 的对称点在直线2l 上； ③方法三：夹角公式：221111kk k k kk k k +-=+-，到角公式：21121tan k k k k +-=θ例3.1已知直线33:+=x y l()()()()()().134232,325,4121的方程对称的直线关于直线求直线的方程；对称的直线关于直线求直线对称的直线的方程；关于点求直线的对称点的坐标；关于直线求点l l x y l l x y A l l P +=-=专题二 两点间距离公式的逆用由两点坐标可以求两点间的距离，反之，形如()()221221y y x x -+-的式子可以表示平面内两点()()222111,,,y x P y x P 间的距离.例4.1求函数1122++-+-=x x x x y 的值域.例4.2求函数()()22224822+-++-=x x y 的最小值.专题三 利用函数求最值例5.1当20<<a 时，直线422:1-=-a y ax l 与422:222+=+a y a x l 和两坐标轴围成一个四边形，问a 取何值时，这个四边形面积最小？并求出这个最小值.课堂练习1.直线()()()()R k k y k x k ∈=--+--011312所经过的定点是（ ）A.()25，B.()3,2C.⎪⎭⎫ ⎝⎛-321，D.()9,5B A AB P AC AB ABC ，上异于是边，点中，形如图，在等腰直角三角湖南4.2==>< 的重经过若光线反射后又回到原点，出发，经的一点，光线从点ABC QR P CA BC P ∆. 等于心，则AP （ ）A.2B.1C.38D.343.ABC ∆的顶点A 的坐标为()1,4，B C ∠∠，平分线的方程分别为20x y -=和10x y +-=，求BC 所在直线的方程。

2024年新高二数学提升精品讲义直线的交点坐标与距离公式（原卷版）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系；3．会求两点间的距离、点到直线的距离、两条平行直线间的距离.知识点1两条直线的交点坐标1、点与坐标的一一对应关系几何元素及关系代数表示点P (,)P a b 直线l:0l Ax By C ++=点P 在直线l 上Aa Bb C ++=直线1l 与2l 的交点是P方程组11122200A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解是x ay b =⎧⎨=⎩2、直线的交点与方程的解求两直线1111110(0)++=≠A x B y C A B C 与2222220(0)++=≠A x B y C A B C 的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组1112220++=⎧⎨++=⎩A x B y C A x B y C 的解即可．若有111222==A B C A B C ，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有111222=≠A B C A B C ，则方程组无解，此时两直线平行；若有1122≠A B A B ，则方程组由唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标．3、判断两直线的位置关系关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．（1）解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值．（2）解题过程中注意对其中参数进行分类讨论．（3）最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系．4、过两条直线交点的直线系方程一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有,x y 以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．经过两直线1111:0++=l A x B y C ，2222:0++=l A x B y C 交点的直线方程为111222()0+++++=A x B y C A x B y C λ，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到2220++=A x B y C ，因此它不能表示直线2l ．知识点2两点间的距离1、距离公式：平面内两点()111,P x y ，()222,P x y 间的距离公式为：12=PP 【注意】公式中1P 和2P位置没有先后之分，也可以表示为：12=PP 2、三种特殊距离：（1）原点O 到任意一点(),P x y 的距离为=OP ；（2）当12PP 平行于x 轴时，1221=-PPx x ；（3）当12PP 平行于y 轴时，1221=-PP y y ．3、坐标法解题的基本步骤（1）建立适当的坐标系，用坐标表示有关的量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系．知识点3点到直线的距离1、定义：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离，即垂线段的长度．2、距离公式：点()00,P x y 到直线:0++=l Ax By C 的距离=d ．【注意】（1）直线方程应用一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．（2）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离．（3）点到直线的距离公式适用任何情况，当点P 在直线l 上时，它到直线的距离为0．3、点到几种特殊直线的距离（1）点()00,P x y 到x 轴的距离0d y =；（2）点()00,P x y 到y 轴的距离0d x =；（3）点()00,P x y 到直线y a =的距离0d y a =-；（4）点()00,P x y 到直线x b =的距离0d x b =-．知识点4两条平行线间的距离1、定义：两条平行线间的距离是指夹在这两条平行线间的公垂线段的长．2、距离公式：两条平行直线11:0++=l Ax By C ，()2212:0++=≠l Ax By C C C ，它们之间的距离为：=d 【注意】在使用公式时，两直线方程为一般式，且x 和y 的系数对应相等．3、两平行线间的距离另外一种解法：转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上的特殊点），此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离．考点一：两条直线的交点问题例1．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·月考）直线1:3450l x y -+=与21:4303l x y --=的交点坐标为（）A ．(2,3)B ．7,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．73,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,37⎛⎫ ⎪⎝⎭【变式1-1】（23-24高二上·重庆长寿·期末）直线260x y -+=与直线3x y +=的交点坐标是（）A ．(30)，B ．(1,4)-C ．(3,6)-D ．(4,)1-【变式1-2】（23-24高二上·江苏·单元测试）已知直线250x y ++=与直线20kx y +=互相垂直，则它们的交点坐标为（）A ．()1,3--B ．()2,1--C ．1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()1,2--【变式1-3】（2023高二上·江苏·专题练习）分别判断下列直线l 1与l 2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标.(1)12:230,:210l x y l x y ++=--=；(2)12:310,:2620l x y l x y +-=+-=；(3)12:6230,:320l x y l x y -+=-+=.考点二：根据两直线交点求参数例2.（23-24高二上·北京·期中）已知直线420mx y +-=与250x y n -+=互相垂直，垂足为()1,P p ，则m n p -+的值是（）A ．24B ．0C ．20D ．4-【变式2-1】（23-24高二上·福建莆田·月考）若直线1:40l ax y +-=与直线22:0x y l --=的交点位于第一象限，则实数a 的取值范围是（）A ．()1,2-B ．()1,-+∞C ．(),2-∞D ．()(),12,-∞-+∞ 【变式2-2】（2023·海南海口·二模）若直线24y x =-+与直线y kx =的交点在直线2y x =+上，则实数k =（）A ．4B ．2C ．12D ．14【变式2-3】（23-24高二上·全国·课后作业）直线210x my ++=与直线1y x =+相交，则m 的取值范围为．考点三：三条直线的相交问题例3.（23-24高二上·安徽·月考）已知三条直线240,30,20x y kx y x y +-=-+=--=交于一点，则实数k =（）A ．1-B ．1C ．32-D ．14【变式3-1】（22-23高二上·山东聊城·月考）若三条直线370x y ++=，10x y --=，20x ny n ++=能围成一个三角形，则n 的值可能是（）A ．32B ．1C ．13-D ．12-【变式3-2】（23-24高二下·上海·期中）直线123:7210,:0,:10l x y l mx y l x my ++=+=+-=，若三条直线无法构成三角形，则实数m ）A ．3B ．4C ．5D ．6【变式3-3】（23-24高二上·湖南·期末）若三条不同的直线1:20l ax y ++=，2:10l x y +-=，3:30l x y -+=不能围成一个三角形，则a 的取值集合为（）A ．{1,1}-B ．{4,1}C ．1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．{4,1,1}-考点四：过两直线交点的直线方程例4.（23-24高二上·湖北武汉·月考）过两直线2023202210x y --=和2022202310x y ++=的交点且过原点的直线方程为．【变式4-1】（23-24高二上·全国·课后作业）经过点(1,0)P 和两直线1:220l x y +-=；2:3220l x y -+=交点的直线方程为.【变式4-2】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系xOy 中，过直线1:7310l x y -+=与2:430l x y +-=的交点，且在y 轴上截距为1的直线l 的方程为．（写成一般式）【变式4-3】（23-24高二·全国·假期作业）求过直线220x y -+=和10x y ++=的交点，且斜率为3的直线方程．考点五：两点间的距离公式例5.（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·月考）已知()()3,6,2,4A B ，则A ，B 两点间的距离为（）A ．5B C ．3D【变式5-1】（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知过(,2),(,1)A m B m m --两点的直线的倾斜角是45 ，则,A B 两点间的距离为（）A ．2B C ．D ．【变式5-2】（23-24高二上·天津·期末）三角形的三个顶点为()()()3,2,3,4,5,4A B C --，D 为AC 中点，则BD 的长为（）A ．3B ．5C ．9D ．25【变式5-3】（23-24高二上·海南·期中）在平面直角坐标系xOy 中，原点O 到直线1l ：240x y -+=与2l ：390x y +-=的交点的距离为（A B ．C D考点六：点到直线的距离公式例6.（23-24高二下·浙江·开学考试）已知点()0,3A 及直线:10l x y +-=上一点B ，则AB 的值不可能是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式6-1】（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）已知()3,4A --，()6,3B 两点到直线:10l ax y ++=的距离相等，求a 的值（）A ．13B ．97-C ．13-或79-D ．13或79-【变式6-2】（22-23高二上·云南临沧·月考）若点()3,1P 到直线:340(0)l x y a a ++=>的距离为4，则=a （）A ．2B ．3C ．5D ．7【变式6-3】（23-24高二上·广西南宁·月考）已知(4,0)A 到直线430x y a -+=的距离等于3，则a 的值为.考点七：平行线间的距离公式例7.（23-24高二上·河北石家庄·月考）两平行直线1:10l x y +-=和2:30l x y +-=之间的距离为（）A ．2B ．2C ．22D ．3【变式7-1】（23-24高二上·湖北孝感·期末）两条平行直线3420x y --=与6810x y -+=间的距离为（）A ．35B ．1C ．310D ．12【变式7-2】（23-24高二上·贵州铜仁·月考）（多选）已知两条平行直线m ，n ，直线:3420m x y ++=，直线:680n x y a ++=，直线m ，n 之间的距离为1，则a 的值可以是（）A ．8-B ．6-C ．12D ．14【变式7-3】（23-24高二上·广东茂名·期末）（多选）已知两条平行直线,m n ，直线:10m x y +-=，直线:220n x y a ++=，直线,m n 之间的距离为2，则a 的值可以是（）A ．-8B ．-6C ．2D ．4考点八：点与直线的对称问题例8.（22-23高二·全国·课堂例题）已知不同的两点(),P a b -与()1,1Q b a +-关于点()3,4对称，则ab =（）A ．5-B ．14C ．14-D ．5【变式8-1】（23-24高二上·安徽怀宁·月考）直线2360x y +-=关于点(1,1)对称的直线方程为（）A ．3220x y -+=B ．2370x y ++=C ．32120x y --=D ．2340x y +-=【变式8-2】（23-24高二下·四川雅安·开学考试）点()3,0关于直线30x y -+=对称的点的坐标为（）A ．()3,6B ．()6,3-C ．()6,3-D ．()3,6-【变式8-3】（23-24高二上·河北石家庄·月考）直线1y x =+关于直线2y x =对称的直线方程为（）A ．310x y --=B ．420x y --=C ．530x y --=D ．750x y --=一、单选题1．（23-24高二上·新疆喀什·期中）已知(6,0),(2,0)A B -，则||AB =（）A ．3B ．4C ．6D ．82．（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）原点到直线912100x y +-=间的距离是（）A ．23B ．13C ．1D ．253．（23-24高二上·福建三明·期末）两条平行线1:220l x y +-=，2:690l ax y +-=间的距离等于（）ABCD4．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知1212//,:240,:620l l l x y l x ay ++=++=,则它们的距离为（）A．15BCD．35．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知()2,0A -，()4,B m 两点到直线l ：10x y -+=的距离相等，则m =（）A ．2-B ．6C ．2-或4D ．4或66．（23-24高二上·湖南·期中）已知()111,P x y ，()222,P x y 是直线2023y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩的解的情况，下列说法正确的是（）A ．无论k ，1P ，2P 如何，总是无解B ．无论k ，1P ，2P 如何，总有唯一解C ．存在k ，1P ，2P ，使12x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解D ．存在k ，1P ，2P ，使之有无穷多解二、多选题7．（22-23高二上·全国·期中）若直线1:32l y kx k =+-与直线2:30l x y +-=的交点在第四象限，则实数k 的取值可以是（）A ．0B ．13C ．12-D ．1-8．（23-24高二上·河南商丘·月考）（多选）平面上有三条直线250,10,0x y x y x ky -+=++=-=，将平面划分为六个部分，则实数k 的所有可能取值为（）A ．12B ．1-C ．2-D ．1三、填空题9．（22-23高二上·云南昆明·期中）在△ABC 中，点(1,1)A ，(4,2)B ，(4,1)C -，则ABC 的面积为．10．（2023高二上·全国·专题练习）直线230x y -=与321x y -=上任意两点最小距离为.11．（23-24高二下·上海黄浦·期中）已知直线1:40l x y +=，2:1l mx y +=，3:234l x my -=，若它们不能围成三角形，则实数m 的取值所构成的集合为．四、解答题12．（23-24高二上·山西大同·月考）已知直线:2310l x y -+=，点()1,2--A ．求：(1)点A 关于直线l 的对称点A '的坐标；(2)直线:3260m x y --=关于直线l 的对称直线m '的方程；(3)直线l 关于点()1,2--A 对称的直线l '的方程．13．（22-23高二上·云南临沧·月考）已知直线12:340,:3220l x y l x y --=-+=，设直线12,l l 的交点为P .(1)求点P 的坐标；(2)若直线l 过点P 且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.。

直线的交点坐标与距离公式（讲义）➢ 知识点睛一、两条直线的交点坐标二、对于方程A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0：当λ取不同值时，该方程表示直线，这些直线经过同一个点，这个点是__________________与_________________的交点．三、距离公式 1. 两点间的距离如图1，两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式：12||PP=．2. 点到直线的距离（1）如图2，点P 0(x 0，y 0)到直线Ax +By +C =0（A ，B 不同时为0）的距离：d =．图1 图2（2）使用点到直线的距离公式的前提条件：把直线方程化为一般式方程．3.两条平行直线间的距离（1）两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离为：d=．➢ 精讲精练1. 已知直线l 1：Ax +3y +C=0，l 2：2x -3y +4=0，若l 1，l 2的交点在y 轴上，则C的值为_____________．2. 已知点M (0，-1)，若点N 在直线x -y +1=0上，且直线MN 垂直于直线则N 点的坐标为（ ）A ．(-2，-1)B ．(2，3)C ．(2，1)D ．(-2，1)3. （1）直线(2k -1)x -(k +3)y -(k -11)=0（k ∈R ）所经过的定点是____________．（2）不论m 取任何实数，直线(3m +2)x -(2m -1)y +5m +1=0必过定点_____________．4. （1）已知点A (5，12)，若点P 在x 轴上，且|P A |=13，则点P到原点的距离为_____________．（2）若点P (x ，y )到两点M (2，3)和N (4，5)的距离相等，则 x +y =_____________．5. 点(-3，6)到直线y =3x 的距离为_________，到直线4x -3y +2=0的距离为_________，到直线134x y+=的距离为_________．6.已知点()+=x yM a b，在直线3415是_________．7.到直线3x-4y+5=0与5x-12y+13=0的距离相等的点P(x，y)必定满足方程（）A．x-4y+4=0 B．7x+4y=0C．x-4y+4=0或4x-8y+9=0 D．7x+4y=0或32x-56y+65=08.①两平行线y=kx+b1与y=kx+b2之间的距离是______________．②直线3x+y-3=0与直线6x+my+1=0平行，则两直线之间的距离为______________．9.①到直线3x-4y+1=0的距离为3且与此直线平行的直线方程为______________________________．②已知两条平行线3x+2y-6=0与6x+4y-3=0，则与它们等距离的平行线的方程为___________________．10.求函数y 的最小值．11. 直线1l 过点A (0，1)，l 2过点B (5，0)，如果l 1∥l 2，且l 1与l 2求l 1，l 2的方程．12.已知正方形的中心为点M(-1，0)，一条边所在直线的方程为x+3y-5=0，求正方形其他三边所在的直线的方程．【参考答案】 ➢ 知识点睛二、11122200A x B y C A x B y C ++=++=，➢ 精讲精练1. -42. B3. （1）(2，3)；（2）(-1，1)4. （1）0或10；（2）75.28655， 6. 3 7. D8.；②209. ①34160x y -+=或34140x y --= ②128150x y +-=10.11. 12:0:5l x l x ==，或12:12550:125600l x y l x y -+=--=， 12. 370390330x y x y x y ++=-+=--=，，直线的交点坐标与距离公式（随堂测试）1. 方程(14)(23)(214)0k x k y k +--+-=所确定的直线必经过点___________．2. 若经过点(2，1)的直线l 到A (1，1)，B (3，5)两点的距离相等，则直线l 的方程为____________________．3. 若两条平行直线l 1：x -2y +m =0（0m >）与l 2：x +ny -3=0则m +n =___________．【参考答案】1.(2，2)2.x=2或2x-y-3=03. 2。

跟踪练习1
• 已知直线l经过点P(3,1)，且被两平行直 线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得 的线段之长为5，求直线l的方程． [分析] 如右图，由点斜式得l方程，分别 与l1、l2联立，求得两交点A、B的坐标 (用k表示)，再利用|AB|＝5可求出k的值， 从而求得l的方程．
• [解析] 解法1：若直线l的斜率不存在， 则直线l的方程为x＝3，此时与l1、l2的交 点分别为A′(3，－4)、B′(3，－9)，截得 的线段A′B′的长|A′B′|＝|－4＋9|＝5，符 合题意. • 若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y ＝k(x－3)＋1(k≠－1)．
若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，有： 2 | x0 y0 1| ＝ 5 5 2 即| 2x0－y0＋3 | ＝| x0＋y0－ 1| ，所以x0－2y0＋4＝0， 或3x0＋2＝0，由P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能， 13 x0 3 2x0－y0＋ 0 由方程组： 2 1 (舍去)， y0 x － 2 y ＋ 4 ＝ 0 0 0 2 1 11 x 1 37 2x0－y0＋ 0 0 9 由 得 ，所以P ( ， )， 2 37 9 18 x － 2 y ＋ 4 ＝ 0 y 0 0 0 18 即为同时满足三个条件的点． | 2 x0 y0 3 |
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【解析】 (1)如图所示,设点B关于l的对称点B′的坐标
b-4 为(a,b),则kBB′ · kl=-1,即3· =-1.∴a+3b-12=0 ① a α b-4 又由于线段BB′的中点坐标为( , ),且在直线l上, 2 a ∴3× α - b - 4 -1=0.即3a-b-6=0 ② a ∴B′(3,3). 2 a=3,b=3, 解①②得

内容：直线的交点坐标与距离公式教学目的1、会求两直线的交点坐标2、掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式3、会求两条平行直线间的距离重难点1、重点：交点坐标的求解，点到点、点到直线的距离公式的运用2、难点：涉及交点和距离，求解直线方程教学过程1两条直线的交点坐标设两条直线的方程是l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0两条直线的交点坐标就是方程组的解若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行。

反之亦成立。

例题：1、判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标。

（1）l1：5x—2y=3 l2：3x+y=4（2）l1：2x—6y+5=0 l2：y=31（x+1）2、已知直线l1 ：（m+3）x+4y=5-3m l2:2x+(m+5)y=8问：m为何值时1）l1‖l2 2）l1与l2重合 3）l1与l2垂直3、求满足下列两个条件的直线l ：(1)过直线y=-x+1和y=2x+4的交点；(2)与直线x-3y+2=0 垂直。

2两点之间的距离平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式原点O(0,0)与任一点P(x ，y)的距离|OP|＝22y x +例题：1、已知点A （a ，—2）与B （0,13）间的距离是17，求a 的值。

2、在直线2x-y=0 上求一点P ，使它到点 M(5，8) 的距离为５，并求直线PM 的方程。

3点到直线的距离点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离例题：1、求点P(3，-2)到下列直线的距离：2、已知点P (2，－1)(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；(2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？22122121)()(y y x x P P -+-=2200B A CBy Ax d +++=4两条平行直线间的距离两条平行线Ax ＋By ＋C1＝0与Ax ＋By ＋C2＝0间的距离例题：1、求两条平行线间的距离。

高中数学-直线的交点坐标与距离公式一、知识导学：1、理解求两条直线交点的方法思想，能正确地通过解方程组确定交点坐标并通过求交点坐标判断两条直线的位置关系；2、通过沟通方程组的解的情况与相应两条直线的交点个数（位置关系） 情况，进一步渗透数形结合、坐标法思想。

3、掌握直角坐标系中两点间、点到直线和两条平行线的距离公式的推导 及应用，会用坐标法证明简单的几何问题。

二、基础知识：1、点的坐标与直线方程的关系：已知两条直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=相交。

几何元素及关系代数表示 点A A （a ，b ）直线l l ：0=++C By Ax 点A 在直线l 上0Aa Bb C ++=直线1l 、2l 的交点是A 点A 的坐标是方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解2、判断两条直线1l 、2l 的位置关系：通过解方程组确定交点坐标。

已知两条直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A ， 将方程联立，得⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A ，对于这个方程组解的情况有三种：（1）若方程组有唯一解⎩⎨⎧==00y y x x ，则1l 、2l 有___________的公共点，此解就是交点坐标),(00y x P ，即1l 与2l 相交。

1l 与2l 相交111221220A B A B A B A B ⇔≠⇔-≠ （2）若方程组无解，则1l 、2l _________公共点，即_________，1l 与2l 平行1221111122122200A B A B A B C B C B C A B C -=⎧⇔=≠⇔⎨-≠⎩ （3）若方程组有_________解，则1l 、2l 有_______公共点，即重合。

1l 与2l 重合1221111122122200A B A B A B C B C B C A B C -=⎧⇔==⇔⎨-=⎩ 例1、判断下列各对直线的位置关系。

两条直线的交点坐标与距离公式一、平面直线的交点坐标计算方法在平面几何中，两条直线的交点即为它们的方程组的解。

假设有两条直线，直线1的方程为a1x+b1y+c1=0，直线2的方程为a2x+b2y+c2=0。

其中a1、b1、c1、a2、b2和c2都是已知的常数。

要求两条直线的交点坐标，可以使用消元法和代入法进行计算。

1.消元法消元法是通过将一个方程乘以适当的系数，使得方程的其中一项系数与另一个方程的对应系数相等，以消去一个未知数。

然后将消去后的方程代入到另一个方程中解得另一个未知数，从而求得交点坐标。

首先选择一个方程，例如直线1的方程a1x+b1y+c1=0作为基准，通过乘以a2和b1使得两个方程的x系数相等，即a1*a2*x+b1*a2*y+c1*a2=a2*a1*x+b2*a1*y+c2*a1，然后再乘以b2和b1使得两个方程的y系数相等，即a1*a2*x*b2+b1*a2*y*b2+c1*a2*b2=a2*a1*x*b2+b2*a1*y*b2+c2*a1*b2、通过将两个方程相减消去x的系数，即得到一个只含有y的方程，然后通过解这个方程来求得y的值。

将求得的y的值代入到任意一个方程中，即可求得x的值。

进而得到交点坐标。

2.代入法代入法是通过将一个方程的未知数表示为另一个方程的函数，再将其代入到另一个方程中，求得另一个方程的解。

从而求得未知数的值。

假设直线1的方程为a1x+b1y+c1=0，直线2的方程为a2x+b2y+c2=0，选择其中一个方程（例如直线1的方程）中未知数x表示为y的函数，即x=(c1-b1y)/a1、将这个式子代入到另一个方程（例如直线2的方程）中，得到一个只含有y的方程。

然后解这个方程可以得到y的值。

将求得的y的值代入到x=(c1-b1y)/a1中，即可求得x的值。

从而得到交点坐标。

以上就是求解两条直线交点坐标的两种方法。

二、两条直线之间的距离公式两条直线之间的距离可以使用点到直线的距离公式进行计算。

直线的交点坐标与距离公式【学习目标】1.掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标.2.掌握两点间距离公式，点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离. 【要点梳理】【高清课堂：两直线的交点与点到直线的距离381525 知识要点1】 要点一、直线的交点求两直线1111110(0)A x B y C A B C ++=≠与2222220(0)A x B y C A B C ++=≠的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组11122200A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解即可.若有111222A B CA B C ==，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有111222A B C A B C =≠，则方程组无解，此时两直线平行；若有1122A BA B ≠，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标.要点诠释：求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数. 要点二、过两条直线交点的直线系方程一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有,x y 以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．过两直线的交点的直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=交点的直线方程为111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到2220A x B y C ++=，因此它不能表示直线2l ．要点三、两点间的距离公式两点111222()()P x y P x y ，，，间的距离公式为12PP =要点诠释：此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握.要点四、点到直线的距离公式点00()P x y ，到直线0Ax By C ++=的距离为d =要点诠释：（1）点00()P x y ，到直线0Ax By C ++=的距离为直线上所有的点到已知点P 的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；（3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等. 要点五、两平行线间的距离本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线10Ax By C ++=与直线20Ax By C ++=的距离为d =要点诠释：(1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；(2)利用两条平行直线间的距离公式2221||BA C C d +-=时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中x ，y 的系数分别是相同的以后，才能使用此公式.【典型例题】类型一、判断两直线的位置关系例1．是否存在实数a ，使三条直线1:10l ax y ++=，2:10l x ay ++=，3:0l x y a ++=能围成一个三角形？请说明理由．【解析】 要使三条直线能围成一个三角形，则它们中任意两条都不平行，且三条直线不相交于同一点．（1）当12//l l 时，1a a-=-，即a=±1． （2）当13//l l 时，―a=―1，即a=1． （3）当23//l l 时，11a-=-，即a=1． （4）当1l 与2l 、3l 相交于同一点时，由10x ay x y a ++=⎧⎨++=⎩得交点（―1―a ，1），将其代入ax+y+1=0中，得a=―2或a=1．故当a ≠1且a ≠－1且a ≠―2时，这三条直线能围成一个三角形． 【总结升华】 本例分类讨论时容易疏忽某种情况，特别是三条直线相交于同一点这种情况更要注意． 举一反三：【变式1】直线5x+4y ―2m ―1=0与直线2x+3y ―m=0的交点在第四象限，求m 的取值范围．【答案】3,22⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】54210,230,x y m x y m +--=⎧⎨+-=⎩解得23727m x m y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩所以23727mm+⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，解得3,22m⎛⎫∈-⎪⎝⎭．类型二、过两条直线交点的直线系方程例2．求经过两直线2x―3y―3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y―1=0平行的直线方程．【答案】15x+5y+16=0【解析】可先求出交点坐标，再根据点斜式求出所要求的直线方程；也可利用直线系（平行系或过定点系）求直线方程．解法一：设所求的直线为l，由方程组233020x yx y--=⎧⎨++=⎩得3575xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．∵直线l和直线3x+y―1=0平行，∴直线l的斜率k=―3．∴根据点斜式有73355y x⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=---⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即所求直线方程为15x+5y+16=0．解法二：∵直线l过两直线2x―3y―3=0和x+y+2=0的交点，∴设直线l的方程为2x―3y―3+λ(x+y+2)=0，即(λ+2)x+(λ―3)y+2λ―3=0．∵直线l与直线3x+y－1=0平行，∴2323311λλλ+--=≠-，解得112λ=．从而所求直线方程为15x+5y+16=0．【总结升华】直线系是直线和方程的理论发展，是数学符号语言中一种有用的工具，是一种很有用的解题技巧，应注意掌握和应用．举一反三：【变式1】求证：无论m取什么实数，直线(2m―1)x+(m+3)y―(m―11)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．证法一：对于方程(2m―1)x+(m+3)y―(m―11)=0，令m=0，得x―3y―11=0；令m=1，得x+4y+10=0．解方程组31104100x yx y---⎧⎨++=⎩，得两直线的交点为（2，―3）．将点（2，―3）代入已知直线方程左边，得(2m―1)×2+(m+3)×(―3)―(m―11)=4m―2―3m―9―m+11=0．这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点（2，―3）．证法二：将已知方程以m为未知数，整理为(2x+y―1)m+(―x+3 y+11)=0．由于m取值的任意性，有2103110x yx y+-=⎧⎨-++=⎩，解得23xy=⎧⎨=-⎩．所以所给的直线不论m取什么实数，都经过一个定点（2，―3）．类型三、对称问题例3．已知直线l1：2x+y―4=0，求l1关于直线l：3x+4y―1=0对称的直线l2的方程．【答案】2x+11y+16=0 【解析】 解法一：由2403410x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得直线l 1与l 的交点为P （3，―2），显然P 也在直线l 2上．在直线l1上取一点A （2，0），又设点A 关于直线l 的对称点为B （x 0，y 0），则0000042320341022y x x y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪⋅+⋅-=⎪⎩，解得48,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故由两点式可求得直线l 2的方程为2x+11y+16=0．解法二：设直线l 2上一动点M （x ，y ）关于直线l 的对称点为'(',')M x y ，则'4'3''341022y y x x x x y y -⎧=⎪⎪-⎨++⎪⋅+⋅-=⎪⎩，解得7246'252478'25x y x x y y -+⎧=⎪⎪⎨--+⎪=⎪⎩． 显然'(',')M x y 在l 1上，故724624782402525x y x y -+--+⋅+-=，即2x+11y+16=0，这便是所求的直线l 2的方程．【总结升华】 求一条直线关于另一条直线的对称直线的基本途径是把它转化为点关于直线对称的问题，即在其上取一点（或两点），求出它们关于直线的对称点坐标，再由两点式即可求得所求的直线方程．一般地，当对称轴的斜率为±1时，求P （x 0，y 0）的对称点Q ，只需由对称轴方程解出x ，再用y 0代替y ，即得到对称点的横坐标，类似地，可得到纵坐标．举一反三： 【变式1】（1）求点P （x 0，y 0）关于直线x ―y+C=0的对称点坐标；（2）求直线l 1：Ax+By+C=0关于直线l 2：x+y ―3=0的对称直线l 3的方程． 【答案】（1）（y 0―C ，x 0+C ）；（2）Bx+Ay ―3A ―3B ―C=0． 例4．在直线l ：3x ―y ―1=0上求一点P ，使得： （1）P 到A （4，1）和B （0，4）的距离之差最大； （2）P 到A （4，1）和C （3，4）的距离之和最小．【答案】（1）（2，5）（2）1126,77⎛⎫⎪⎝⎭ 【解析】 设B 关于l 的对称点为B ＇，AB ＇与l 的交点P 满足（1）；设C 关于l 的对称点为C ＇，AC ＇与l 的交点P 满足（2）．事实上，对（1），若P ＇是l 上异于P 的点，则|'||'||'||''||'|P A P B P A P B AB -=-<||PA = |'|||||PB PA PB -=-；对于（2），若P ＇是l 上异于P的点，则|'||'||'||'||'|P A P C P A P C AC +=+>||PA = ||PC +．（1）如图1所示，设点B 关于l 的对称点B ＇的坐标为（a ，b ），'1BB l k k ⋅=-，即431b a-⋅=-， ∴a+3b －12=0． ①又由于BB ＇的中点坐标为4,22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭，且在直线l 上， ∴431022a b +⋅--=，即3a ―b ―6=0． ② 解①②得a=3，b=3，∴B ＇（3，3）． 于是直线AB ＇的方程为143134y x --=--，即2x+y －9=0． 解由l 的直线方程与AB ＇的直线方程组成的方程组得x=2，y=5，即l 与AB ＇的交点坐标为（2，5），所以P （2，5）．（2）如图2所示，设C 关于l 的对称点为C ＇，求出C ＇的坐标为324,55⎛⎫⎪⎝⎭．∴AC ＇所在直线的方程为19x+17y ―93=0． AC ＇和l 交点坐标为1126,77P ⎛⎫⎪⎝⎭． 故P 点坐标为1126,77⎛⎫⎪⎝⎭． 【总结升华】 由平面几何知识（三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边）可知，要在直线l 上求一点，使这点到两定点A 、B 的距离之差最大的问题，若这两点A 、B 位于直线l 的同侧，则只需求出直线AB 的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A 、B 两点位于直线l 的异侧，则先求A 、B 两点中某一点（如A ）关于直线l 的对称点A ＇，再求直线A ＇B 的方程，再求它们与直线l 的交点即可．对于在直线l 上求一点P ，使P 到平面上两点A 、B 的距离之和最小的问题可用类似方法求解．举一反三：【变式1】已知点M （3，5），在直线l ：x ―2y+2=0和y 轴上各找一点P 和Q ，使△MPQ 周长最小．【答案】59,24P ⎛⎫⎪⎝⎭、70,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由点(3,5)M 及直线l ，可求得点M 关于l 的对称点1(5,1)M ．同样容易求得点M 关于y 轴的对称点2(3,5)M -．据1M 及2M 两点可得到直线1M 2M 的方程为270x y +-=，解方程组270220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，得交点59,24P ⎛⎫⎪⎝⎭，令0x =，得到1M 2M 与y 轴的交点7(0,)2Q ．类型四、两点间的距离例5．已知直线l 过点P （3，1），且被两平行直线l 1：x+y+1=0，l 2：x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l 的方程．【答案】y=1或x=3【解析】 设直线l 与直线l 1、l 2分别交于点A （x 1，y 1）、B （x 2、y 2），则11221060x y x y ++=⎧⎨++=⎩，两方程相减，得(x 1―x 2)+(y 1―y 2)=5， ①由已知及两点间距离公式，得(x 1―x 2)2+(y 1―y 2)2=25， ② 由①②解得121250x x y y -=⎧⎨-=⎩或121205x x y y -=⎧⎨-=⎩，又点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在直线l 上，因此直线l 的斜率为0或不存在，又直线l 过点P （3，1），所以直线l 的方程为y=1或x=3．【总结升华】 从交点坐标入手，采用“设而不求”“整体代入”或“整体消元”的思想方法优化了解题过程．这种解题思想方法在解析几何中经常用到，是需要掌握的技能．另外，灵活运用图形中的几何性质，如对称，线段中垂线的性质等，同样是很重要的．举一反三：【变式1】如图，直线l 上有两点A 、B ，A 点和B 点的横坐标分别为x 1，x 2，直线l 方程为y=kx+b ，求A 、B 两点的距离．【答案】2222121||(1)()1||AB k x x k x x =+-=+- 例6．已知函数22()2248f x x x x x =-++-+，求()f x 的最小值，并求取得最小值时x 的值．【答案】43，10 【解析】 将函数表达式变形为：2222()(1)(01)(2)(02)f x x x =-+-+-+-，可以看作P （x ，0）到点A （1，1）与到点B （2，2）的距离之和，即在x 轴上求一点P ，使|PA|+|PB|最小．∵22()2248f x x x x x =-++-+2222(1)(01)(2)(02)x x =-+-+-+-．它表示点P （x ，0）到点A （1，1）的距离加上点P （x ，0）到点B （2，2）的距离之和，即在x 轴上求一点P （x ，0）与点A （1，1）、B （2，2）的距离之和的最小值．由下图可知，可转化为求两点A ＇（1，―1）和B （2，2）间的距离，其距离为函数()f x 的最小值．∴()f x 的最小值为22(12)(12)10-+--=．再由直线方程的两点式得'A B 的方程为3x ―y ―4=0．令y=0，得43x =．∴当43x =时，()f x 的最小值为10．【总结升华】本例中，由“22222(1)(01)x x x -+=-+-”与两点间距离公式结构相似，因而可得到“()f x ”的几何意义，利用图形的形象直观，使问题得到简捷的解决．举一反三：【变式1】试求22()(1)1(2)4f x x x =+++-+的最小值． 【答案】32【解析】2222()(1)(01)(2)(02)f x x x =++-+-+-，它表示点P （x ，0）到点A （―1，1）的距离加上点P （x ，0）到点B （2，2）的距离之和，即在x 轴上求一点P （x ，0）与点A （―1，1）、B（2，2）的距离之和的最小值．可转化为求两点A ＇（―1，―1）和B （2，2）间的距离，其距离为函数()f x 的最小值．∴()f x =．类型五、点到直线的距离例7．已知在△ABC 中，A （1，1），(B m ，C （4，2）（1＜m ＜4），求m 为何值时，△ABC 的面积S 最大？【答案】94【解析】 以AC 为底，则点B 到直线AC 的距离就是AC 边上的高，求出S 与m 之间的函数关系式． ∵A （1，1），C （4，2），∴||AC == 又直线AC 的方程为x ―3y+2=0，∴点(B m 到直线AC 的距离d =∴11|||2|22S AC d m =⋅=-2131224⎛⎫=- ⎪⎝⎭．∵1＜m ＜4，∴13112222<<⇒-<<，∴231024⎫≤<⎪⎭，∴2113242S ⎡⎤⎫=-⎢⎥⎪⎭⎢⎥⎣⎦，302=，94m =时，S 最大．故当94m =时，△ABC 的面积最大．【总结升华】 利用两点间距离公式求出三角形的一边长，再利用点到直线的距离公式求出这边上的高，从而求出三角形的面积，这是在解析几何中求三角形面积的常规方法，应熟练掌握，但应注意的是点到直线的距离公式中带有绝对值符号，因此在去掉绝对值符号时必须对它的正负性进行讨论．举一反三：【高清课堂：两直线的交点与点到直线的距离381525 知识点（二）中的例1】 【变式1】l 过点M(-2,1)，且与点A(-1,2)，B(3,0)的距离相等，求直线l 的方程．【答案】1y = 20x y += 【解析】法一：直线l 过AB 的中点（1，1），所以l 的方程为1y =． 直线//l AB ，则设l 的方程为1(2)y k x -=+则12k =-，所以l 的方程为：20x y += 法二：由题意知直线l 的斜率存在，设l 的方程为1(2)y k x -=+，则A 、B 两点到直线l 的距离2211kk=++解得：10,2k k ==-所以l 的方程为：1y =和20x y +=【变式2】若点P （a ，b ）在直线x+y+1=0上，求22222a b a b +--+的最小值． 【答案】322类型六、两平行直线间的距离例8．两条互相平行的直线分别过点A （6，2）和B （―3，―1），并且各自绕着A 、B 旋转，如果两条平行直线间的距离为d ．（1）求d 的变化范围；（2）当d 取最大值时，求两条直线的方程．【答案】（1）(0,310]；（2）3x+y ―20=0和3x+y+10=0【解析】 （1）①当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为x=6和x=－3，则它们之间的距离为9．②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为l 1：y ―2=k(x ―6)，l 2：y+1=k(x+3)，即l 1：kx ―y ―6k+2=0，l 2：kx ―y+3k ―1=0．∴2211d k k ==++，即(81―d 2)k 2―54k+9―d 2=0．∵k ∈R ，且d ≠0，d ＞0，∴Δ=542―4(81―d 2)(9―d 2)≥0，即0310d <≤且d ≠9．综合①②可知，所求的d 的变化范围为(0,310]． （2）由右图可知，当d 取最大值时，两直线垂直于AB ． 而2(1)16(3)3AB k --==--，∴所求的直线的斜率为―3．故所求的直线方程分别为y ―2=―3(x ―6)和y+1=―3(x+3)，即3x+y ―20=0和3x+y+10=0．【总结升华】在寻求问题的解的过程中，作图是非常重要的，它既可以给人以直观的感觉，又是解题的方法的再现，这说明数形结合可优化思维过程．举一反三：【变式1】已知直线l 1：2x ―y+a=0（a ＞0），直线l 2：―4x+2y+1=0和直线l 3：x+y ―1=0，且l 1与l 2的距离是10． （1）求a 的值；（2）能否找到一点P ，使得P 点同时满足下列三个条件：①P 是第一象限的点；②P 点到l 1的距离是P 点到l 2的距离的12；③P 点到l 1的距离与P 点到l 2若能，求P 点坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）a=3 （2）137,918P ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】（1）直线l 2即1202x y --=， ∴l 1与l 2的距离1|()|10a d --== 解得3a =．（2）能找到点P ，使得P 点同时满足三个条件． 设点P 00(,)x y ，若P 点满足条件②，则P 点在l 1、l 2平行的直线':20l x y c -+=，1||c +=，即132c =或116c =∴0013202x y -+=或0011206x y -+=； 若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式，=，∴00240x y -+=或0320x +=由P 在第一象限，所以0320x +=不可能．联立方程000013202240x y x y ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩，解得0013,2x y =-=，应舍去． 由000011206240x y x y ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩，解之得00137,918x y ==137(,)918P 即为同时满足三个条件的点．。