1 6 asin B 2 1. 当a=6时，由正弦定理sinA= b 3
所以A=90°，C=60°.
方法二：由b<c，B=30°，b>csin30°=3 3× 1 = 3 3
2
2
知本题有两解.
由正弦定理sinC= csin B
b
3 3
1 2 3， 3 2
所以C=60°或120°.
2+c2-2accosB 2 a b =_____________， 2+b2-2abcosC 2 a c =_____________.
3.变形
b2 c2 a 2 a 2 c2 b2 a 2 b2 c2 cosA=_________ ；cosB=_________ ；cosC=_________. 2bc 2ac 2ab
3.(变换条件、改变问法)典例1中若将“c= 13 ”改为 “C= ”，其他条件不变，则最大角的余弦值为多少？
6
【解析】由余弦定理得：
c2=a2+b2-2abcosC
=72+(4 3 )2-2×7×4 3 cos
6
=49+48-84
=13，
所以，c= 13 ，所以c<b<a. 所以最大角为A，由余弦定理
b 2 c 2 a 2 (4 3) 2 ( 13) 2 7 2 得：cosA= 2bc 2 4 3 13 48 13 49 39 . 26 8 39 故△ABC的最大角的余弦值为 39 . 26
【方法技巧】已知三边解三角形的方法及注意事项 (1)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正， 角为锐角；值为负，角为钝角，思路清晰，结果唯一.
b 5， c 3.
【补偿训练】
1.在△ABC中，边a，b的长是方程x2-5x+2=0的两个 根，C=60°，则c=__________.
【解析】由题意：a+b=5，ab=2.
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab =(a+b)2-3ab=52-3×2=19.
当C=60°时，A=90°，
由勾股定理 a b 2 c2 32 (3 3)2 6，
当C=120°时，A=30°，△ABC为等腰三角形，
则a=3.
类型二
已知三边解三角形
【典例】1.在△ABC中，若a=7，b=4 3 ，c= 13 ，则 △ABC的最小角为________.
2.已知△ABC的三边长为a=2 3 ，b=2 2 ，c= 6 2,
2 2 2 a b c ab 1 【解析】由余弦定理得：cosC= . 2ab 2ab 2 1 答案： 2
【知识探究】
知识点 余弦定理பைடு நூலகம்
观察图形，回答下列问题：
问题1：图(1)中，已知△ABC的两边a，c及夹角B，如 何求b？ 问题2：图(2)中，已知△ABC的三边长，能否确定三个 内角的大小？ 问题3：余弦定理的适用范围及结构特征是什么？
1.1.2
余弦定理
【知识提炼】 余弦定理 1.文字表述 其他两边的平方的和 减 三角形中任何一边的平方等于___________________ 夹角的余弦的积 的两倍. 去这两边与它们的_______________
2.公式表达 b2+c2-2bccosA ， a2=_____________
(2)由余弦定理的推论求一个内角的余弦值，确定角的 大小；由正弦定理求第二个角的正弦值，结合“大边 对大角、大角对大边”法则确定角的大小，最后由三 角形内角和为180°确定第三个角的大小. (3)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质 引入k，从而转化为已知三边求解.
2 2 2 a b c 49 48 13 3 ，所以C= 所以cosC= . 6 2ab 2 2 7 4 3 答案： 6
2 2 2 b c a 2.由余弦定理得： cos A 2bc (2 2) 2 ( 6 2) 2 (2 3) 2 1 ， 2 2 2 2 ( 6 2)
【方法技巧】 1.已知两边及其中一边的对角解三角形的方法 (1)先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的
内角和定理求出第三角，再用正弦定理求出第三边.要
注意判断解的情况.
(2)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，
运用解方程的方法求出此边长.这样可免去取舍解的麻 烦.
2.已知两边及其夹角解三角形的方法 方法一：首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理 和三角形内角和定理求出其他两角. 方法二：首先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理 和三角形内角和定理求出其他两角.
所以A=60°.
a 2 c2 b 2 (2 3) 2 ( 6 2) 2 (2 2) 2 2 cosB= ， 2ac 2 2 2 3 ( 6 2)
所以B=45°，所以C=180°-A-B=75°.
【延伸探究】
1.(变换条件)若将典例1中“a=7”改为“cosA= 其他条件不变，那么如何求△ABC的最小角？
2 a 2 c，因为 b2 2ac
0<B<π ，所以B唯一，从而A也唯一.所以三角形其他元 素唯一确定.
2.在△ABC中，已知a=4，b=6，C=120°，则边c的值 是(
A.8
)
B.2 17 C.6 2 D.2 19
【解析】选D.由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC
1 =16+36-2×4×6×( )=76， 2
【变式训练】在△ABC中，已知A=120°，a=7，b+c=8，
求b，c.
【解析】由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA =(b+c)2-2bc(1+cosA)，
所以49=64-2bc(1- 1 )，即bc=15，
2 b c 8， b 3，或 由 解得 bc 15 ， c 5
所以c= 19 .
答案：19
2.在△ABC中，已知b=3，c=3 3 ，B=30°，试解此三
角形.
【解析】方法一：由余弦定理b2=a2+c2-2accosB， 得32=a2+(3 3 )2-2a×3 3 ×cos30°， 所以a2-9a+18=0，得a=3或6. 当a=3时，A=30°，所以C=120°.
4.在△ABC中，AB=4，BC=3，B=60°，则AC等于 __________.
【解析】由条件已知三角形的两边及其夹角，故可以
直接利用余弦定理求得边AC，即AC2=AB2+BC22AB·BC·cosB=16+9-2×4×3× 1 =13.
2
所以AC= 13.
答案： 13
5.在△ABC中，若a2-c2+b2=ab，则cosC=__________.
2.(改变问法)若典例1条件不变，如何求最大角的余弦 值呢？
【解析】因为c<b<a，所以最大角为角A，所以由余弦
2 2 2 2 2 2 b c a (4 3) ( 13) 7 定理可得：cosA= 2bc 2 4 3 13 48 13 49 39 . 26 8 39 故△ABC的最大角的余弦值为 39 . 26
所以c= 2 19.
3.若三角形的三条边长分别为4，5，7，则这个三角形 是( ) B.直角三角形 D.钝角或锐角三角形
A.锐角三角形 C.钝角三角形
【解析】选C.边长为7的边所对的角为最大角，不妨设
42 52 72 1 为C，由余弦定理得cosC= ＜0 2 45 5
所以C为钝角，此三角形为钝角三角形.
39 ”， 26
【解析】由余弦定理，
a2=b2+c2-2bccosA =(4 3 )2+( 13 )2-2×4 3 13 39
26
=48+13-12
=49，
所以，a=7，所以c<b<a，所以最小角为角C.
a 2 b 2 c2 49 48 13 3 所以cosC= ， 2ab 2 27 4 3 所以C= . 6
提示：由余弦定理得到关于b的方程，解方程求解. 2.典例2中已知角C是已知边a，b的夹角，如何求边c？
提示：利用余弦定理直接求c.
【解析】1.选B.由余弦定理得： a2=b2+c2-2bccosA，所以 22=b2+(2 3 )2-2×b×2 3 × 3 ，
2
即b2-6b+8=0，解得：b=2或b=4，
b2 c2 a 2 3 所以cosA= . 2bc 2
又0°<A<180°，所以A=30°， 所以B=180°-A-C=180°-30°-15°=135°.
【延伸探究】若典例2中条件变为“a= 3 ，b= 2 ，
B=45°”，则如何解三角形？ 【解析】方法一：由余弦定理知
b2=a2+c2-2accosB，所以 2 3 c2 2 3 2 c，
【即时小测】 1.思考下列问题:
(1)在△ABC中，若a2<b2+c2，则△ABC是锐角三角形吗？
提示：不一定.因为△ABC中a不一定是最大边，所以 △ABC不一定是锐角三角形.
(2)已知三角形的两边及其夹角，三角形的其他元素是 否唯一确定？ 提示：由余弦定理可知：不妨设a，b边和其夹角C已知， 则c2=a2+b2-2abcosC，c唯一，cosB=
因为0°<A<90°， 所以A=30°，所以B=180°-A-C=180°-30°15°=135°.
方法二：cos15°=cos(45°-30°)= 6 2 ，
4
由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcosC
