高二数学最新教案-【数学】2018-14《高次不等式与分式

课 题：1.5一元二次不等式（二）―― 高次不等式、分式不等式解法教学目的：1．巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握掌握简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法；2．培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力； 3．激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想教学重点：简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法教学难点：正确串根（根轴法的使用）授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：1．本小节首先对照学生已经了解的一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的图象，找出一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进而得到利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法说明一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组，由此引出简单的分式不等式的解法2．本节课学习简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法，这是这小节的重点，关键是弄清简单的分式不等式和特殊的高次不等式解法的根轴法的使用 教学过程：一、复习引入：1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系2．一元二次不等式的解法步骤一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：(课本第19页)一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根ab x x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅引言：今天我们来研究一元二次不等式的另外解法，以及特殊的高次不等式、分式不等式的解法二、讲解新课：⒈ 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法 例1 解不等式0)1)(4(<-+x x . 分析一：利用前节的方法求解；分析二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，∴原不等式的解集是下面两个不等式组：⎩⎨⎧<+>-0401x x 与⎩⎨⎧>+<-0401x x 的解集的并集，即{x|⎩⎨⎧<+>-0401x x }∪⎩⎨⎧>+<-0401|{x x x }=φ∪{x|-4<x<1}={x|-4<x<1}.书写时可按下列格式：解二：∵(x-1)(x+4)<0⇔⎩⎨⎧<+>-0401x x 或⎩⎨⎧>+<-0401x x⇔x ∈φ或-4<x<1⇔-4<x<1，∴原不等式的解集是{x|-4<x<1}. 小结：一元二次不等式)0()0(022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的代数解法：设一元二次不等式)0(02≠>++a c bx ax 相应的方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，则0))((0212>--⇔>++x x x x a c bx ax ； ①若⎩⎨⎧>>⎩⎨⎧<<⇒⎩⎨⎧>->-⎩⎨⎧<-<->.,,,.0,0,0,0,021212121x x x x x x x x x x x x x x x x a 或或则得 当21x x <时，得1x x <或2x x >；当21x x =时，得1,x x R x ≠∈且.②若⎩⎨⎧><⎩⎨⎧><⇒⎩⎨⎧>-<-⎩⎨⎧>-<-<.,,,.0,0,0,0,021212121x x x x x x x x x x x x x x x x a 或或则得 当21x x <时，得21x x x <<；当21x x =时，得∅∈x .分析三：由于不等式的解与相应方程的根有关系，因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集.解：①求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x （从小到大排列）分别为-4，1，这两根将x 轴分为三部分：（-∞，-4）（-4，1）（1，+∞）； ②分析这三部分中原不等式左边各因式的符号③由上表可知，原不等式的解集是{x|-4<x<1}.例2：解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0； 解：①检查各因式中x 的符号均正； ②求得相应方程的根为：-2，1，3； ③列表如下：④由上表可知，原不等式的解集为：{x|-2<x<1或x>3}. 小结：此法叫列表法，解题步骤是：例2图练习图①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式（各项x的符号化“+”），令(x-x1)(x-x2)…(x-xn)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，n个分界点把数轴分成n+1部分……；②按各根把实数分成的n+1部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）；③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号；④看下面积的符号写出不等式的解集.练习：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0. {x|-1<x<0或2<x<3}.思考：由函数、方程、不等式的关系，能否作出函数图像求解直接写出解集：{x|-2<x<1或x>3}. {x|-1<x<0或2<x<3}在没有技术的情况下：可大致画出函数图形求解，称之为根轴法（零点分段法）①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.注意：奇过偶不过例3解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.解：①检查各因式中x的符号均正；②求得相应方程的根为：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始奇过偶不过），如下图：④∴原不等式的解集为：{x|-1<x<2或2<x<3}.说明：∵3是三重根，∴在C处过三次，2是二重根，∴在B处过两次，结果相当于没过.由此看出，当左侧f(x)有相同因式(x-x1)n时，n为奇数时，曲线在x1点处穿过数轴；n为偶数时，曲线在x1点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇过偶不过”.练习：解不等式：(x-3)(x+1)(x2+4x+4)≤0.解：①将原不等式化为：(x-3)(x+1)(x+2)2≤0；②求得相应方程的根为：-2（二重），-1，3； ③在数轴上表示各根并穿线，如图：④∴原不等式的解集是{x|-1≤x ≤3或x=-2}.说明：注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿过-2点，但x=-2满足“=”的条件，不能漏掉. 2．分式不等式的解法例4 解不等式：073<+-x x . 错解：去分母得03<-x ∴原不等式的解集是{}3|<x x .解法1：化为两个不等式组来解： ∵073<+-x x ⇔⎩⎨⎧>+<-⎩⎨⎧<+>-07030703x x x x 或⇔x ∈φ或37<<-x ⇔37<<-x ， ∴原不等式的解集是{}37|<<-x x . 解法2：化为二次不等式来解：∵073<+-x x ⇔⎩⎨⎧≠+<+-070)7)(3(x x x ⇔37<<-x ， ∴原不等式的解集是{}37|<<-x x说明：若本题带“=”，即(x-3)(x+7)≤0，则不等式解集中应注意x ≠-7的条件，解集应是{x| -7<x ≤3}.小结：由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数，不等号方向要变；分母中有未知数x ，不等式两边同乘以一个含x 的式子，它的正负不知，不等号方向无法确定，无从解起，若讨论分母的正负，再解也可以，但太复杂.因此，解分式不等式，切忌去分母. 解法是：移项，通分，右边化为0，左边化为)()(x g x f 的形式. 例5 解不等式：0322322≤--+-x x x x . 解法1：化为不等式组来解较繁.解法2：∵0322322≤--+-x x x x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠--≤--+-0320)32)(23(222x x x x x x ⇔⎩⎨⎧≠+-≤+---0)1)(3(0)1)(3)(2)(1(x x x x x x ，∴原不等式的解集为{x| -1<x ≤1或2≤x<3}.也可以直接用根轴法（零点分段法）求解：练习：1.课本P21练习：3⑴⑵；2.解不等式253>+-x x . 答案：1.⑴{x|-5<x<8}；⑵{x|x<-4,或x>-1/2}；2.{x|-13<x<-5}.2解不等式：123422+≥+--x x x x.（答：{x|x ≤0或1<x<2}）三、小结：1．特殊的高次不等式即右边化为0，左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式，一般用区间法解，注意：①左边各因式中x 的系数化为“+”，若有因式为二次的（不能再分解了）二次项系数也化为“+”，再按我们总结的规律作；②注意边界点（数轴上表示时是“0”还是“.”）.2．分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为)()(x g x f >0(或)()(x g x f <0)的形式，转化为：)0)(0)()((0)(0)()(⎩⎨⎧≠<⎩⎨⎧≠>x g x g x f x g x g x f 或，即转化为一次、二次或特殊高次不等式形式 . 也可以直接用根轴法（零点分段法）求解3．一次不等式，二次不等式，特殊的高次不等式及分式不等式，我们称之为有理不等式.4．注意必要的讨论.5．一次、二次不等式组成的不等式组仍要借助于数轴. 四、、布置作业 五、思考题：1． 解关于x 的不等式：(x-x 2+12)(x+a)<0.解：①将二次项系数化“+”为：(x 2-x-12)(x+a)>0，②相应方程的根为：-3，4，-a ，现a 的位置不定，应如何解？ ③讨论：ⅰ当-a>4，即a<-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x| -3<x<4或x>-a}.ⅱ当-3<-a<4，即-4<a<3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x| -3<x<-a 或x>4}.ⅲ当-a<-3，即a>3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x| -a<x<-3或x>4}.ⅳ当-a=4，即a=-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x| x>-3}.ⅴ当-a=-3，即a=3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x| x>4}.2．若不等式13642222<++++x x kkx x 对于x 取任何实数均成立，求k 的取值范围.(提示：4x 2+6x+3恒正)（答：1<k<3） 六、板书设计（略） 七、课后记：最新文件 仅供参考 已改成word 文本 。

高中数学《不等式》教案教学内容：不等式
教学目标：
1. 理解不等式的概念和性质。

2. 掌握不等式的解法和解集表示法。

3. 能够根据不等式的性质解决实际问题。

教学重点：
1. 掌握不等式的基本概念和性质。

2. 能够利用不等式解决实际问题。

教学难点：
1. 熟练掌握各种不等式的解法。

2. 能够根据实际问题建立并解决不等式。

教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 引入不等式的概念，并和等式做比较，引发学生思考。

二、讲解不等式的性质和解法（15分钟）
1. 讲解不等式的符号表示及性质。

2. 讲解不等式的解法，包括加减法、乘法、除法等。

三、练习与讨论（20分钟）
1. 练习不等式的基本运算和解法。

2. 让学生在小组讨论中解决不等式问题。

四、实际问题应用（10分钟）
1. 列举一些实际问题，让学生通过建立不等式解决。

五、总结与展望（5分钟）
1. 总结不等式的性质和解法。

2. 展望下节课内容，讲解高级不等式的解法。

六、作业布置（5分钟）
1. 布置练习题，巩固不等式的知识。

教学板书：
不等式
1. 定义：比较两个数的大小关系的代数式。

2. 符号表示：大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）。

3. 特性：加减法、乘除法性质。

教学反思：
通过本节课的教学，学生对不等式的概念和性质有了初步了解，并能够熟练解决基本的不等式问题。

下一步可以引入更复杂的不等式，挑战学生的解题能力。

.课题： 1.5 一元二次不等式（二）――高次不等式、分式不等式解法教课目标：1．稳固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握掌握简单的分式不等式和特别的高次不等式的解法；2．培育数形联合的能力，一题多解的能力，培育抽象归纳能力和逻辑思想能力；3．激发学习数学的热忱，培育勇于探究的精神，勇于创新精神，同时领会从不一样侧面察看同一事物思想教课要点：简单的分式不等式和特别的高次不等式的解法教课难点：正确串根（根轴法的使用）讲课种类：新讲课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪内容剖析：1．本小节第一比较学生已经认识的一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的图象，找出一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，从而获得利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法说明一元二次不等式能够转变为一元一次不等式组，由此引出简单的分式不等式的解法2．本节课学习简单的分式不等式和特别的高次不等式的解法，这是这小节的要点，要点是弄清简单的分式不等式和特别的高次不等式解法的根轴法的使用教课过程：一、复习引入：1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系2．一元二次不等式的解法步骤一元二次不等式 ax 2bx c 0或 ax2bx c 0 a0 的解集：设相应的一元二次方程 ax2bx c 0 a0 的两根为 x1、 x2且 x1x2，b24ac ，则不等式的解的各样状况以下表：(课本第19 页)000二次函数y ax2bx c y ax 2bx c y ax 2bx c y ax2bx c（ a0 ）的图象.一元二次方程有两相异实根 有两相等实根ax 2 bx c 0x 2 )x 1 x 2b a 0 的根 x 1, x 2 (x 1无实根2aax 2 bx c 0x 1或 x x 2x xb(a 0)的解集 x x 2aRax 2 bx c 0x x 2( a 0)的解集 x x 1前言：今日我们来研究一元二次不等式的此外解法，以及特别的高次不等式、分式不等式的解法二、解说新课：⒈ 一元二次不等式与特别的高次不等式解法例 1 解不等式 ( x 4)( x 1) 0.剖析一：利用前节的方法求解；剖析二：由乘法运算的符号法例可知，若原不等式建立，则左侧两个因式一定异号，x 1 0 x 1 0 ∴原不等式的解集是下边两个不等式组：4与4的解集的并集，x xx 1 0 x 1 0即 {x|4 }∪ { x |x4}= φ∪{x|-4<x<1}={x|-4<x<1}.书写时可按以下格x式：解二：∵ (x-1)(x+4)<0x 1 0 x 1 0x4 0或4 0xx ∈φ或-4<x<1 -4<x<1 ，∴原不等式的解集是 {x|-4<x<1}.小结：一元二次不等式 ax 2 bx c 0 ( 或 ax 2 bx c 0 ) (a0 ) 的代数解法： 设一元二.次不等式 ax2bx c0 (a0) 相应的方程ax2 bx c 0(a0) 的两根为 x1、x2且 x1x2，则 ax2bx c 0a(x x1 )( x x2 ) 0 ；①若 a 0 , 则得x x10,或xx10,xx1,或x x1,x x20,x x20.x x2 ,x x2 .当 x1x2时，得 x x1或 x x2；当 x1x2时，得 x R , 且 x x1.②若 a 0 , 则得x x10,或x x10,xx1,或x x1, x x20,x x20.x x2 ,x x2 .当 x1x2时，得 x1x x2；当 x1 x2时，得x.剖析三：因为不等式的解与相应方程的根相关系，所以可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集.解：①求根：令(x-1)(x+4)=0 ，解得x（从小到大摆列）分别为-4 ， 1，这两根将x 轴分为三部分：（ -，-4）（-4，1）（1，+）；②剖析这三部分中原不等式左侧各因式的符号（-，-4）（-4，1）（1，+）x+4-++x-1--+(x-1)(x+4)+-+③由上表可知，原不等式的解集是{x|-4<x<1}.例 2 ：解不等式： (x-1)(x+2)(x-3)>0 ；解：①检查各因式中 x 的符号均正；②求得相应方程的根为： -2 ， 1， 3；③列表以下：-213x+2-+++x-1--++x-3---+各因式积-+-+④由上表可知，原不等式的解集为：{x|-2<x<1或 x>3}.小结：此法叫列表法，解题步骤是：.①将不等式化 (x-x1)(x-x2) ⋯(x-xn)>0(<0)形式（各 x 的符号化“+ ”，）令 (x-x1)(x-x2)⋯(x-xn)=0 ，求出各根，不如称之分界点，一个分界点把（数）数分红两部分，n 个分界点把数分红n+1 部分⋯⋯；②按各根把数分红的 n+1 部分，由小到大横向摆列，相各因式向摆列（由小根的因式开始挨次自上而下摆列）；③算各区内各因式的符号，下边是乘的符号；④看下边的符号写出不等式的解集.：解不等式： x(x-3)(2-x)(x+1)>0.{x|-1<x<0或 2<x<3}.思虑：由函数、方程、不等式的关系，可否作出函数像求解直接写出解集： {x|-2<x<1或 x>3}.{x|-1<x<0或2<x<3}在没有技的状况下：可大概画出函数形求解，称之根法练习图（零点分段法）例 2 图①将不等式化 (x-x1)(x-x2) ⋯(x-xn)>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+ ”；(了一方便 )②求根，并在数上表示出来；③由右上方穿，数上表示各根的点（什么？）；④若不等式（ x 的系数化“+”后）是“>0 ”,找“ ”在x 上方的区；若不等式是“<0 ”, 找“ ”在x 下方的区 .注意：奇偶不2 3例 3 解不等式： (x-2) (x-3) (x+1)<0.解：① 各因式中x 的符号均正；②求得相方程的根：-1 ， 2， 3（注意： 2 是二重根， 3 是三重根）；③在数上表示各根并穿，每个根穿一次（自右上方开始奇偶不），以下：④∴原不等式的解集：{x|-1<x<2或2<x<3}.明：∵ 3 是三重根，∴在 C 三次， 2 是二重根，∴在 B 两次，果相当于没 .由此看出，当左f(x)有同样因式 (x-x1) n， n 奇数，曲在x1点穿数； n 偶数，曲在x1点不穿数，不如“奇偶不”.：解不等式： (x-3)(x+1)(x2+4x+4)0..解：①将原不等式化为：(x-3)(x+1)(x+2)2 0；②求得相应方程的根为：-2 （二重）， -1 ， 3；③在数轴上表示各根并穿线，如图：④∴原不等式的解集是{x|-1 x 3 或 x=-2}.说明：注意不等式若带“ = ”号，点画为实心，解集界限处应有等号；此外，线虽不穿过-2 点，但 x=-2知足“= ”的条件，不可以遗漏 .2．分式不等式的解法例 4x 30 .解不等式：7x错解：去分母得 x3 0∴原不等式的解集是x | x 3 .解法 1：化为两个不等式组来解：x 3 x 3 0 x 3 037 x 3，∵x 7或7 x ∈φ或 7 xx7x∴原不等式的解集是 x | 7x3 .解法 2：化为二次不等式来解：x 3 ( x 3)( x 7)7 x 3，∵x 7 0x7∴原不等式的解集是 x | 7 x3说明：若此题带“ = ”，即(x-3)(x+7)0 ，则不等式解集中应注意 x -7 的条件，解集应是 {x| -7<x 3}.小结：由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数，不等号方向要变；分母中有未知数 x ，不等式两边同乘以一个含 x 的式子，它的正负不知，不等号方向没法确立，无从解起，若议论分母的正负，再解也能够，但太复杂 .所以，解分式不等式，切忌去分母 .f ( x) 解法是：移项，通分，右侧化为0，左侧化为的形式 .g (x)例 5 解不等式：x 23x 2x 20 .2x 3解法 1：化为不等式组来解较繁 .x 2 3x 2 ( x 2 3x 2)( x 22x 3) 0解法 2：∵.(x1)( x2)( x3)(x 1)0(x3)( x1)0，∴原不等式的解集为 {x| -1<x 1 或 2 x<3}.-1 1 23也能够直接用根轴法（零点分段法）求解：练习： 1.课本 P21 练习： 3⑴⑵； 2.解不等式x3x 2 .5答案： 1.⑴{x|-5<x<8} ；⑵ {x|x<-4, 或 x>-1/2}；2.{x|-13<x<-5}.2 解不等式：2 4 x0 或 1<x<2} ）2x 1.（答：{x|xx3x 2三、小结：1．特别的高次不等式即右侧化为0，左侧可分解为一次或二次式的因式的形式不等式，一般用区间法解，注意：①左侧各因式中 x 的系数化为“+ ”，如有因式为二次的（不可以再分解了）二次项系数也化为“ + ”，再按我们总结的规律作；②注意界限点（数轴上表示时是“ 0 ”仍是“.”）.f ( x)>0( 或f ( x)2．分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为<0) 的形式，转变g( x)g( x)f (x) g( x) 0 f ( x) g(x)0为：(或) ，即转变g (x) 0g( x) 0为一次、二次或特别高次不等式形式.也能够直接用根轴法（零点分段法）求解3．一次不等式，二次不等式，特别的高次不等式及分式不等式，我们称之为有理不等式 .4．注意必需的议论.5．一次、二次不等式构成的不等式组仍要借助于数轴.四、、部署作业五、思虑题：21．解对于 x 的不等式： (x-x +12)(x+a)<0.2解：①将二次项系数化“ + ”为：(x -x-12)(x+a)>0，②相应方程的根为：-3 ，4，-a ，现 a 的地点不定，应怎样解？③议论：ⅰ当 -a>4 ，即 a<-4时，各根在数轴上的散布及穿线以下：-34-a x∴原不等式的解集为 {x| -3<x<4或 x>-a}..ⅱ当 -3<-a<4，即-4<a<3时，各根在数轴上的散布及穿线以下：-3-a4x∴原不等式的解集为{x| -3<x<-a或x>4}.ⅲ当 -a<-3 ，即 a>3 时，各根在数轴上的散布及穿线以下：-a-34x∴原不等式的解集为 {x| -a<x<-3或 x>4}.ⅳ当 -a=4 ，即 a=-4时，各根在数轴上的散布及穿线以下：-3 4 -a x∴原不等式的解集为 {x| x>-3}.ⅴ当 -a=-3，即 a=3 时，各根在数轴上的散布及穿线以下：-3-a4x∴原不等式的解集为 {x| x>4}.2x 22kx kk 的取值范围 .(提示：2．若不等式26x 1 对于x取任何实数均建立，求4x324x +6x+3 恒正 )（答： 1<k<3 ）六、板书设计（略）七、课后记：。

课 题：1.5一元二次不等式（二）――高次不等式、分式不等式解法教学目的：1．巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握掌握简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法；2．培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力； 3．激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想教学重点：简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法教学难点：正确串根（根轴法的使用）授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 容分析：1．本小节首先对照学生已经了解的一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的图象，找出一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进而得到利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法说明一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组，由此引出简单的分式不等式的解法 2．本节课学习简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法，这是这小节的重点，关键是弄清简单的分式不等式和特殊的高次不等式解法的根轴法的使用 教学过程：一、复习引入：1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系2．一元二次不等式的解法步骤一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：(课本第19页)一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根ab x x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅引言：今天我们来研究一元二次不等式的另外解法，以及特殊的高次不等式、分式不等式的解法二、讲解新课：⒈ 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法 例1 解不等式0)1)(4(<-+x x . 分析一：利用前节的方法求解；分析二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，∴原不等式的解集是下面两个不等式组：⎩⎨⎧<+>-0401x x 与⎩⎨⎧>+<-0401x x 的解集的并集，即{x|⎩⎨⎧<+>-0401x x }∪⎩⎨⎧>+<-0401|{x x x }=φ∪{x|-4<x<1}={x|-4<x<1}.书写时可按下列格式：解二：∵(x-1)(x+4)<0⇔⎩⎨⎧<+>-0401x x 或⎩⎨⎧>+<-0401x x⇔x ∈φ或-4<x<1⇔-4<x<1，∴原不等式的解集是{x|-4<x<1}. 小结：一元二次不等式)0()0(022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的代数解法：设一元二次不等式)0(02≠>++a c bx ax 相应的方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，则0))((0212>--⇔>++x x x x a c bx ax ； ①若⎩⎨⎧>>⎩⎨⎧<<⇒⎩⎨⎧>->-⎩⎨⎧<-<->.,,,.0,0,0,0,021212121x x x x x x x x x x x x x x x x a 或或则得 当21x x <时，得1x x <或2x x >；当21x x =时，得1,x x R x ≠∈且.②若⎩⎨⎧><⎩⎨⎧><⇒⎩⎨⎧>-<-⎩⎨⎧>-<-<.,,,.0,0,0,0,021212121x x x x x x x x x x x x x x x x a 或或则得 当21x x <时，得21x x x <<；当21x x =时，得∅∈x .分析三：由于不等式的解与相应方程的根有关系，因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集.解：①求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x （从小到大排列）分别为-4，1，这两根将x 轴分为三部分：（-∞，-4）（-4，1）（1，+∞）； ②分析这三部分中原不等式左边各因式的符号③由上表可知，原不等式的解集是{x|-4<x<1}.例2：解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0； 解：①检查各因式中x 的符号均正； ②求得相应方程的根为：-2，1，3； ③列表如下：④由上表可知，原不等式的解集为：{x|-2<x<1或x>3}. 小结：此法叫列表法，解题步骤是：例2图练习图①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式（各项x的符号化“+”），令(x-x1)(x-x2)…(x-xn)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，n个分界点把数轴分成n+1部分……；②按各根把实数分成的n+1部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）；③计算各区间各因式的符号，下面是乘积的符号；④看下面积的符号写出不等式的解集.练习：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0. {x|-1<x<0或2<x<3}.思考：由函数、方程、不等式的关系，能否作出函数图像求解直接写出解集：{x|-2<x<1或x>3}. {x|-1<x<0或2<x<3}在没有技术的情况下：可大致画出函数图形求解，称之为根轴法（零点分段法）①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.注意：奇过偶不过例3解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.解：①检查各因式中x的符号均正；②求得相应方程的根为：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始奇过偶不过），如下图：④∴原不等式的解集为：{x|-1<x<2或2<x<3}.说明：∵3是三重根，∴在C处过三次，2是二重根，∴在B处过两次，结果相当于没过.由此看出，当左侧f(x)有相同因式(x-x1)n时，n为奇数时，曲线在x1点处穿过数轴；n为偶数时，曲线在x1点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇过偶不过”.练习：解不等式：(x-3)(x+1)(x2+4x+4)≤0.解：①将原不等式化为：(x-3)(x+1)(x+2)2≤0；②求得相应方程的根为：-2（二重），-1，3； ③在数轴上表示各根并穿线，如图：④∴原不等式的解集是{x|-1≤x ≤3或x=-2}.说明：注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿过-2点，但x=-2满足“=”的条件，不能漏掉. 2．分式不等式的解法例4 解不等式：073<+-x x . 错解：去分母得03<-x ∴原不等式的解集是{}3|<x x .解法1：化为两个不等式组来解： ∵073<+-x x ⇔⎩⎨⎧>+<-⎩⎨⎧<+>-07030703x x x x 或⇔x ∈φ或37<<-x ⇔37<<-x ， ∴原不等式的解集是{}37|<<-x x . 解法2：化为二次不等式来解：∵073<+-x x ⇔⎩⎨⎧≠+<+-070)7)(3(x x x ⇔37<<-x ， ∴原不等式的解集是{}37|<<-x x说明：若本题带“=”，即(x-3)(x+7)≤0，则不等式解集中应注意x ≠-7的条件，解集应是{x| -7<x ≤3}.小结：由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数，不等号方向要变；分母中有未知数x ，不等式两边同乘以一个含x 的式子，它的正负不知，不等号方向无法确定，无从解起，若讨论分母的正负，再解也可以，但太复杂.因此，解分式不等式，切忌去分母. 解法是：移项，通分，右边化为0，左边化为)()(x g x f 的形式. 例5 解不等式：0322322≤--+-x x x x . 解法1：化为不等式组来解较繁.解法2：∵0322322≤--+-x x x x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠--≤--+-0320)32)(23(222x x x x x x ⇔⎩⎨⎧≠+-≤+---0)1)(3(0)1)(3)(2)(1(x x x x x x ，∴原不等式的解集为{x| -1<x ≤1或2≤x<3}.也可以直接用根轴法（零点分段法）求解：练习：1.课本P21练习：3⑴⑵；2.解不等式253>+-x x . 答案：1.⑴{x|-5<x<8}；⑵{x|x<-4,或x>-1/2}；2.{x|-13<x<-5}.2解不等式：123422+≥+--x x x x.（答：{x|x ≤0或1<x<2}）三、小结：1．特殊的高次不等式即右边化为0，左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式，一般用区间法解，注意：①左边各因式中x 的系数化为“+”，若有因式为二次的（不能再分解了）二次项系数也化为“+”，再按我们总结的规律作；②注意边界点（数轴上表示时是“0”还是“.”）.2．分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为)()(x g x f >0(或)()(x g x f <0)的形式，转化为：)0)(0)()((0)(0)()(⎩⎨⎧≠<⎩⎨⎧≠>x g x g x f x g x g x f 或，即转化为一次、二次或特殊高次不等式形式 . 也可以直接用根轴法（零点分段法）求解3．一次不等式，二次不等式，特殊的高次不等式及分式不等式，我们称之为有理不等式.4．注意必要的讨论.5．一次、二次不等式组成的不等式组仍要借助于数轴. 四、、布置作业 五、思考题：1． 解关于x 的不等式：(x-x 2+12)(x+a)<0. 解：①将二次项系数化“+”为：(x 2-x-12)(x+a)>0，②相应方程的根为：-3，4，-a ，现a 的位置不定，应如何解？ ③讨论：ⅰ当-a>4，即a<-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x| -3<x<4或x>-a}.ⅱ当-3<-a<4，即-4<a<3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x| -3<x<-a 或x>4}.ⅲ当-a<-3，即a>3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x| -a<x<-3或x>4}.ⅳ当-a=4，即a=-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x| x>-3}.ⅴ当-a=-3，即a=3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x| x>4}.2．若不等式13642222<++++x x kkx x 对于x 取任何实数均成立，求k 的取值围.(提示：4x 2+6x+3恒正)（答：1<k<3） 六、板书设计（略） 七、课后记：。

高次不等式与分式不等式教学目标：能熟练地运用标根法解分式不等式和高次不等式教学重点：分式不等式和高次不等式的解法教学过程：一、分式不等式与高次不等式例一 解不等式0322322<--+-x x x x 略解一（分析法）3211312103202322<<<<-⇒⎩⎨⎧<<-><⇒⎩⎨⎧<-->+-x x x x x x x x x 或或 或φ⇒⎩⎨⎧>-<<<-⇒⎩⎨⎧>--<+-312103202322x x x x x x x 或 ∴3211<<<<-x x 或 解二：（列表法）原不等式可化为0)1)(3()2)(1(<+---x x x x 列表 注意：按根的由小到大排列解三：（标根法）作数轴；标根；画曲线，定解小结：在某一区间内，一个式子是大于0（还是小于0）取决于这个式子的各因式在此区间内的符号；而区间的分界线就是各因式的根；上述的列表法和标根法，几乎可以使用在所有的有理分式与高次不等式，其中最值得推荐的是“标根法” -1 0 1 2 3 4 -2例二 解不等式 62323+>+x x x解：原不等式化为 0)2)(2)(3(>-++x x x ∴原不等式的解为232-<<->x x 或 例三 解不等式 0)2)(54(22<++--x x x x 解：∵022>++x x 恒成立∴原不等式等价于0542<--x x 即-1<x <5 例四 解不等式 0)2)(1()1()2(32<-+-+x x x x 解：原不等式等价于0)2)(1)(1(<-+-x x x 且 1,2≠-≠x x ∴原不等式的解为}21221|{-<-<<-<<x x x x 或或 若原题目改为0)2)(1()1()2(32≤-+-+x x x x 呢？ 例五 解不等式80)4)(1)(2)(5(-≤--++x x x x解：原不等式等价于080)2)(20(22≤+-+-+x x x x 即：0120)(22)(222≤++-+x x x x0)10)(12(22≤-+-+x x x x0)2411)(2411)(3)(4(≤---+---+x x x x ∴3241124114≤≤+-+-≤≤-x x 或例六 解不等式1116-<-x x 解：原不等式等价于01)3)(5(>-+-x x x ∴原不等式的解为：513><<-x x 或例七 k 为何值时，下式恒成立：13642222<++++x x k kx x 解：原不等式可化为：0364)3()26(222>++-+-+x x k x k x 而03642>++x x∴原不等式等价于0)3()26(22>-+-+k x k x 由0)3(24)26(2<-⨯⨯--=∆k k 得1<k <3二、小结：列表法、标根法、分析法三、作业：P 19 练习 P 20 习题6.4 3、4补充：1．k 为何值时，不等式6163022≤+-++<x x kx x 对任意实数x 恒成立 )6(-=k2．求不等式)2()2()23()1()2(22334+--+-+x x x x x x 的解集 })2132|({±≠>-<x x x x 且或 3．解不等式31615141+++>+++x x x x )3,4()29,5()6,(--⋃--⋃--∞∈x。

分式和高次不等式（5篇）第一篇：分式和高次不等式第四课时：一元二次不等式的解法一、高考要求：会解可化为一元二次不等式的一些不等式问题。

二、考点：（1）简单的高次不等式；（要注重对重因式的处理）高次不等式解法：尽可能进行因式分解，分解成一次因式后，再利用数轴标根法求解(注意每个因式的最高次项的系数要求为正数)；（2）简单的分式不等式；（要注意大于等于或小于等于的情况中，分母要不为零；）分式不等式的解法：解分式不等式要使一边为零,转化为整式不等式.要注意使分母不为0的条件,可用数轴标根法进行解答.（3）、转化为整式不等式1、f(x)g(x)>0⇔2、f(x)g(x)<0⇔3、f(x)g(x)≥0⇔4、f(x)g(x)≤0⇔三、例题讲解1、高次不等式的解法例1解不等式（1）(x+4)(x-1)<0（2）(x+3)(x-2)(x-4)>0(3)(1-2x)(x-1)(x+2)< 0(4)(x+1)(-2x+3)(3x+1)> 0（5）(x-2)2(x-3)3(x+1)<0（6）(x-3)(x+1)(x2+4x+4)≤02．分式不等式的解法例2 解不等式：（1）x-3x-3xx+7<0.（2）x+7≤0(3)-3x+7<1(4)x(x+2)x-3≥0（5）1x<11-x（6）5-xx2-2x-3<-1.3．简单应用例3、解不等式（1）log1(x-3x-4)>log1(2x+10)+5（2）2x2-5x>13四、巩固练习： 1解下列不等式：（1）x+3)(x+1)(x-2)(x-4)≥0（2）x3+2x2-x≥0（3）(x+1)2(2-x)x(4+x)≥0（4）x2-4x+13x2-7x+2≥12.已知U=R,A={x|x2-16<0},B={x|x-1≤1}，求：（1）A I B；（2）A Y B；（3）CU(A I B)；（4）(CUA)Y(CUB).解不等式－1<3x-1x+2<2第二篇：不等式第三讲--高次不等式和分式不等式高次不等式和分式不等式一、高次不等式1、高次不等式的定义：不等式中自变量x次数大于2的不等式叫做高次不等式。

教案 201 年 课题 2.4分式不等式与高次不等式上课时间 第 周星期 第 节课时 教学目的 1.理解分时不等式的意义，能将分时不等式转化为整式不等式求解.2.掌握高次不等式的解法.教学重点 分式不等式的解法教学难点 高次不等式的解法 教具准备教学方法 课型 课时分配 导入新课 讲授新课 课堂小结 课堂练习 合计 分钟教 学 过 程例1：解不等式0132<+-x x （两种原理，两种解法）分析1：这是一类分式与零比较大小的不等式，也就是研究左边分式的取值符号，而分式的取值符号是由其分子，分母的取值符号决定的，这样，我们可以用解一元二次不等式所用的分析各因式符号的方法来解分式不等式.分析2：对于分式不等式，可以两边同乘以一个正数去掉分母，这个正数是什么呢？1.解分式不等式的一般步骤：（1）将分式不等式移项通分化为标准形式：0)(0)(≤≥<>BA B A 或者. （2）再所得到的分式不等式转化为整式不等式：0)(0)(<>⋅⇔<>B A BA 00)(0)(≠≤≥⋅⇔≤≥B B A BA 且 （3）最后将所得的整式不等式化为标准的一元二次不等式（)0(02>>++a c bx ax ）进行求解.例2：解不等式2213≤+-x x练习：解下列分式不等式：11)1(>x 1231)2(-≤++-x x 14)1)(1()3(2>--++x x x x常见的恒为正的多项式：12+x ，12++x x ，532+-x x 等（0<∆）例3：解不等式0)1)(4)(3)(2(>-++-x x x x （两种原理，两种解法）分析1：根据不等式左右的符号来解不等式.分析2：利用对应的函数图像来解不等式.练习：解不等式0)6)(127(22≥-++-x x x x2.解高次不等式的步骤：（1）移项整理，分解因式，将不等式化为标准形式：0)())()((321>-⋅⋅⋅⋅⋅⋅---n x x x x x x x x（2）作等价变形，如12+x ，12++x x ，532+-x x 等恒为正的项可以化掉.（3）在x 轴上，从小到大，从左到右，依次标出其对应方程的根.（4）从右上角起，穿针引线，作出对应函数的图像（奇过偶不过）.（5）根据图像，从左到右写出不等式的解.例4：解不等式0)4)(3)(2)(12(2≥--++-x x x x x练习：解下列不等式x x>1)1( 0)1)(2)(1)(12)(3)(2(22≤++--+++x x x x x x x 012723)3(22≥+-+-x x x x 127314)4(22<+-+-x x x x作业布置：课后小结：。

第七节 分式不等式与简单的高次不等式教学目标：掌握分式不等式与简单的高次不等式的解法教学重点：分式不等式与简单的高次不等式的化简与计算教学难点: 分式不等式与简单的高次不等式的化简与计算教学过程:一．新知引入：1.分式不等式的解法：（1）0()()0ax b ax b cx d cx d +<⇔++<+；0()()0ax b ax b cx d cx d+>⇔++>+ （2）()()000ax b cx d ax b cx d cx d ++≤⎧+≤⇔⎨+≠+⎩；()()000ax b cx d ax b cx d cx d ++≥⎧+≥⇔⎨+≠+⎩ 2．简单的高次不等式的解法定义：根号下含有未知数的方程，叫做无理方程也叫根式方程．根式方程的解法：（1）列表法：（2）数轴标根法（穿针引线），解题步骤是：①将不等式化为12()()()0(0)n x x x x x x --⋅⋅⋅-><)形式，并将各因式x 的系数化“+”；②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”，则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“<0”，则找“线”在x 轴下方的区间．注意：奇穿偶不穿二．例题分析：例1. 解不等式：073<+-x x变式1 解下列不等式：(1) 2301x x -<+ (2) 2301x x x +≥-+例2.解不等式132x ≤+（1）51x > （2）2132x x -≥+例3. 解不等式：(1)(2)(3)0x x x -+->变式3 解不等式（1）32x x-<（2）22(712)(6)0x x x x -+--<（3）310(2)(3)x x x -≥+- *（4）23(2)(3)(1)0x x x --+<三．课堂巩固练习：1．解下列不等式：（1）2(2)(3)01x x x --<+ （2）2(2)(3)01x x x --≤+ （3）23(2)(3)01x x x --<+(1)22231372x xx x++>-+（2）3113xx+>--四．课后作业解下列不等式：（1）2(2)(5)4x xx--≤-（2）22(5)(3)(1)(2)x xx x--≤--（3）2223712x xx x+-≥--（4）1111x xx x-+<+-。