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第一章习题解答1． 设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k ===。
求X 的特征函数，EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是已知参数。
解()()jtxjtkk X k f t E eepq ∞===∑()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑222()()[()]q D X E X E X P =-=（其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑）令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰202201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰）2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。
解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 10(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰ （2）'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b +== 222()()()PD XE X E X b∴===（4） 若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+同理可得：()()iiP X b f t b jt∑=∑-3、设X 是一随机变量，()F x 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。
![[应用随机过程][习题][01]](https://img.taocdn.com/s1/m/6168bc18964bcf84b9d57b20.png)
课题：第一章随机事件与概率总复习教学目的：使学生系统的掌握第一章得重点内容重点：知识点的回顾难点：应用混合知识点做题基本能力：可以分清楚不同类型概率的计算方法课的类型：复习课教学过程一、组织教学检查出席，相互问好二、讲新课第一章习题课一、知识点归纳1、事件之间的关系与事件的运算（包含、并、交、差、互斥、互逆）2、事件的运算法则2、古典概型的概率定义及计算3、概率的性质4、条件概率及其计算公式5、与条件概率有关的三个公式:乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。
6、事件的独立性7、贝努力概型详细讲解：1、事件之间的关系有7种：（1）包含关系--如果事件A的发生必然导致事件B的发生，则称事件B包含事件A，或称事件A是事件B的子事件，记作A⊂B或B⊃A。
（2）相等关系—如果A B=。
⊂同时成立，则称事件A与B相等，记为A B⊂和B A（3）事件的和（并）--“二事件A与B中至少有一个事件发生”，这样的一个事件称为事件A与B的和（或并），记作A B（或A+B）。
（4）事件的积（交）--“二事件A与B同时发生”这样的事件称为事件A与B的积（或交），记作A B（或AB）。
AB是由既包含在A中又包含在B中的试验结果构成。
（5）事件的差—“事件A发生而事件B不发生”这样的事件称为事件A与B的差，记作A-B 。
A-B 是由所有包含在A 中而不包含在B 中的试验结果构成，即A-B=A-AB 。
（6）事件的互不相容（互斥）--如果事件A 与事件B 不能同时发生，即AB=φ，则称事件A 与B 互不相容（或互斥）。
互不相容事件A 与B 没有公共的样本点。
（7）事件的对立（互逆）--若A 是一个事件，令A A -Ω=，称A 是A 的逆事件（或对立事件）。
这说明A 与A 中必然有一个发生，且仅有一个发生，即事件A 与A 满足条件：A A =φ，A ⋃A =Ω。
2、（a ）交换率：A ⋃B=B ⋃A ，AB=BA ；（b ）结合率：（A ⋃B ）⋃C=A ⋃（B ⋃C ），（AB ）C=A （BC ） （c ）分配率：A （B ⋃C ）=AB ⋃AC ，A ⋃（BC ）=（A ⋃B ）（A ⋃C ） （d ）德·摩根（De Morgan ）律：B A ⋃ =A B ，AB =A ⋃B3、古典概型：具有（1）全部基本事件的个数是有限的；（2）每个基本事件发生的可能性是相等的。
