空间向量运算的坐标表示练习题

高中数学人教A 版（2019）选择性必修一第一章空间向量及运算的坐标表示同步练习一、单选题(共8题；共16分)1．（2分）空间直角坐标系中，已知 A(1,−2,3) ， B(3,2,−5) ，则线段 AB 的中点为（ ）A ．(−1,−2,4)B ．(−2,0,1)C ．(2,0,−2)D ．(2,0,−1)2．（2分）已知 a ⃗ =(1,1,0),b ⃗ =(0,1,1),c ⃗ =(1,0,1) ， p ⃗ =a ⃗ −b ⃗ ,q ⃗ =a ⃗ +2b ⃗ −c ⃗ ，则 p⃗ ⋅q ⃗ = （ ） A ．-1 B ．1 C ．0 D ．-23．（2分）已知向量 a ⃗ =(3,5,−1) ， b ⃗ =(2,2,3) ， c ⃗ =(1,−1,2) ，则向量 a ⃗ −b ⃗ +4c ⃗ 的坐标为（ ）.A ．(5,−1,4)B ．(5,1,−4)C ．(−5,1,4)D ．(−5,−1,4)4．（2分）已知向量 a ⃗ =（1，1，0），则与 a⃗ 共线的单位向量 e ⃗ =（ ） A ．(√22,−√22,0)B ．(0, 1， 0)C ．(√22,√22,0)D ．(1, 1， 1)5．（2分）在空间直角坐标系中，向量 a ⃗ =(2,−3,5) ， b ⃗ =(−2,4,5) ，则向量 a ⃗ +b⃗ = （ ） A ．(0,1,10) B ．(−4,7,0) C ．(4,−7,0)D ．(−4,−12,25)6．（2分）已知向量 a ⃗ =(2,3,1) ， b ⃗ =(1,2,0) ，则 |a +b⃗ | 等于（ ） A ．√3 B ．3 C ．√35D ．97．（2分）已如向量 a ⃗ =(1，1，0) ， b ⃗ =(−1，0，1) ，且 ka +b⃗ 与 a ⃗ 互相垂直，则 k = （ ）． A ．13B ．12C ．−13D ．−128．（2分）已知空间向量 m ⃗⃗⃗ =(3,1,3) ， n ⃗ =(−1,λ,−1) ，且 m⃗⃗⃗ //n ⃗ ，则实数 λ= （ ） A ．−13B ．-3C ．13D ．6二、多选题(共4题；共12分)9．（3分）以下命题正确的是（ ）A ．若 p → 是平面 α 的一个法向量，直线 b 上有不同的两点 A ，B ，则 b//α 的充要条件是 p →⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0B ．已知 A ， B ，C 三点不共线，对于空间任意一点 O ，若 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =25OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +15OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +25OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 P ， A ， B ， C 四点共面C ．已知 a →=(−1,1,2) ， b →=(0,2,3) ，若 ka →+b →与 2a →−b →垂直，则 k =−34D ．已知 △ABC 的顶点坐标分别为 A(−1,1,2) ， B(4,1,4) ， C(3,−2,2) ，则 AC 边上的高 BD 的长为 √1310．（3分）下列四个结论正确的是（ ）A ．任意向量 a ⃗ ， b →，若 a ⃗ ⋅b ⃗ =0 ，则 a →=0→或 b →=0→或 〈a →,b →〉=π2 B ．若空间中点 O ， A ， B ， C 满足 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 A ， B ， C 三点共线C ．空间中任意向量 a →,b →,c →都满足 (a →⋅b →)⋅c →=a →⋅(b →⋅c →)D ．已知向量 a →=(1,1,x) ， b →=(−2,x,4) ，若 x <25，则 〈a →,b →〉 为钝角 11．（3分）如图，在长方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中， AB =5 ， AD =4 ， AA 1=3 ，以直线 DA ，DC ， DD 1 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，则（ ）A ．点B 1 的坐标为 (5,4,3)B ．点C 1 关于点 B 对称的点为 (8,5,−3)C ．点 A 关于直线 BD 1 对称的点为 (0,5,3) D ．点 C 关于平面 ABB 1A 1 对称的点为 (8,−5,0)12．（3分）已知向量 a⃗ =(1,1,0) ，则与 a ⃗ 共线的单位向量 e ⃗ = （ ） A ．(−√22,−√22,0)B ．(0,1,0)C ．(√22,√22,0) D ．(−1,−1,0)三、填空题(共4题；共5分)13．（1分）已知向量 a⃗ =(1,2,3) ， b ⃗ =(x,x 2+y −2,y) ，并且 a ⃗ ， b ⃗ 同向，则 x ， y 的值分别为 ．14．（1分）若向量 a ⃗ = （1，λ，2）， b ⃗ = （﹣2，1，1）， a⃗ ， b ⃗ 夹角的余弦值为 16，则λ= . 15．（2分）已知 a ⃗ =(3，2λ−1，1) ， b ⃗ =(μ+1，0，2μ) ．若 a ⃗ ⊥b ⃗ ，则μ＝ ；若 a ⃗ //b⃗ ，则λ+μ＝ ．16．（1分）已知向量 a ⇀=(0,−1,1),b ⇀=(4,1,0),|λa ⇀+b ⇀|=√29 ，且 λ>0 ，则 λ= ．四、解答题(共4题；共45分)17．（10分）如图，建立空间直角坐标系 Oxyz .单位正方体 ABCD −A ′B ′C ′D ′ 顶点A 位于坐标原点，其中点B(1,0,0) ，点 D(0,1,0) ，点 A ′(0,0,1) .（1）（5分）若点E 是棱 B ′C ′ 的中点，点F 是棱 B ′B 的中点，点G 是侧面 CDD ′C ′ 的中心，则分别求出向量 OE⇀,OG ⇀,FG ⇀ 的坐标； （2）（5分）在（1）的条件下，分别求出 (OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OG ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅FG⃗⃗⃗⃗⃗ ， |EG ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的值. 18．（10分）已知点 A(0,1,2) ， B(1,−1,3) ， C(1,5,−1) ．（1）（5分）若D 为线段 BC 的中点，求线段 AD 的长；（2）（5分）若 AD ⇀=(2,a,1) ，且 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1 ，求a 的值，并求此时向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值． 19．（20分）已知点 A(0,1,−1) , B(2,2,1) ，向量 a ⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,b ⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,计算： （1）（5分）求向量 b ⃗ 的单位向量 b 0⃗⃗⃗⃗ ；（2）（5分）求 |2a −b ⃗ | ， |−3a | ； （3）（5分）cos <a ,b⃗ > ； （4）（5分）求点 B 到直线 OA 的距离.20．（5分）已知正方形ABCD 的边长为2， PA ⊥ 平面 ABCD ，且PA=2，E 是PD 中点．以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 A −xyz ．（Ⅰ）求点 A,B,C,D,P,E 的坐标； （Ⅱ）求 |CE⃗⃗⃗⃗⃗ | ．答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】根据中点坐标公式，中点坐标为(2,0,−1).故答案为：D.【分析】由空间直角坐标系中点的公式代入数值计算出结果即可。

专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示11种常见考法归类（98题）考点一 空间中点的坐标表示（一）根据向量关系求坐标（二）建坐标系求坐标考点二 空间点的对称问题考点三 空间向量的坐标表示考点四 空间向量的坐标运算考点五 空间向量的平行问题考点六 利用坐标运算解决数量积问题考点七 利用坐标运算求空间向量数量积的最值范围问题考点八 利用坐标运算解决垂直问题考点九 利用坐标运算解决夹角问题（一）求空间向量的夹角（二）根据空间向量的夹角求参数（三）求空间向量的夹角的最值考点十 利用坐标运算解决距离问题（一）利用坐标求空间向量的模（二）利用坐标求空间向量的模的最值（三）根据空间向量的模求参数考点十一 利用坐标运算求投影向量(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：在空间选定一点O 和一个单位正交基底{i ，j ，k }，以O 为原点，分别以i ，j ，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O -xyz .②相关概念：O 叫做原点，i ，j ，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy 平面、Oyz 平面、Ozx 平面，它们把空间分成八个部分．(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．2、空间向量的坐标表示（1）空间一点的坐标：在空间直角坐标系Oxyz 中，,,ij k为坐标向量，对空间任意一点A ，对应一个向量OA ，且点A 的位置由向量OA唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi y j zk =++ .在单位正交基底{,,}i j k 下与向量OA对应的有序实数组(,,)x y z 叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记作(,,)A x y z ，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标．（2）空间向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz 中，给定向量a ，作OA a =.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使a xi y j zk =++ .有序实数组(,,)x y z 叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作(,,)a x y z =.3、几类特殊位置的点的坐标（1）x 轴上的点的坐标为(),0,0x （2）y 轴上的点的坐标为()0,,0y （3）z 轴上的点的坐标为()0,0,z （4）Oxy 平面内的点的坐标为(),,0x y （5）Ozx 平面内的点的坐标为(),0,x z （6）Oyz 平面内的点的坐标为()0,,y z 考点一 空间中点的坐标表示解题策略：1．建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．充分利用几何图形的对称性．注：同一几何图形中，由于空间直角坐标系建立的不同，从而各点的坐标在不同的坐标系中也不一定相同．但其实质是一样的．建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征，尽量先找到三条互相垂直且交于一点的线段，如若找不到，就要想办法构造．2.确定空间中一点的坐标的一般步骤第一步：观察空间直角坐标系（若没有空间直角坐标系，应建立合适的空间直角坐标系，使所求点尽可能多地在坐标轴上或坐标平面内）的特点，确定所求点的坐标的位置，即判断点是在坐标轴上、坐标轴内，还是在空间中的其他位置；第二步：根据几何图形求出所需要的相关线段的长度；第三步：写出点的坐标．3.求某点M 的坐标的方法作MM ′垂直于平面Oxy ，垂足为M ′，求M ′的横坐标x ，纵坐标y ，即点M 的横坐标x ，纵坐标y ，再求M 点在z 轴上射影的竖坐标z ，即为M 点的竖坐标z ，于是得到M 点的坐标(x ，y ，z )．（一）根据向量关系求坐标1．（2024·北京西城·高二北师大二附中校考期中）已知点 ()4,1,2A -，()2,3,0B -，点 C 满足AC CB =，则点C 的坐标是______．2．（2024·全国·高二专题练习）已知点()1,0,2M ，()1,1,0N -，2MN MP =，则点P 的坐标为______．3．（2024·高二课时练习）若△ABC 顶点()2,5,3A -，且()4,1,2AB = ，()3,2,5BC =-，则点C 坐标是___________.4．（2024·高二课时练习）若()3,2,4A ､()1,2,8B -，点C 在线段AB 上，且23AC AB =，则点C 的坐标是___________.5．（2024·高三课时练习）若ABCD 为平行四边形，且已知点()4,1,3A 、()2,5,1B -、()3,7,5C --，则顶点D 的坐标为______．（二）建坐标系求坐标6.（2024·高三课时练习）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的顶点坐标分别为(0A ，0，0)，(2B ，0，)O ，(0D ，2，0)，1(0A ，0，5)，则1C 的坐标为 ．7.（2024·高三课时练习）在如图所示的坐标系中，已知P ABCD -是正四棱锥，1111ABCD A B C D -是正方体．其中2AB =，PA =P 的坐标为 ．8.（2024·高三课时练习）如图点(0A ，0，)a ，在四面体ABCD 中，AB ^平面BCD ，BC CD =，90BCD Ð=°，30ADB Ð=°，E ，F 分别是AC ，AD 的中点，求D ，C ，E ，F 这四点的坐标．考点二 空间点的对称问题解题策略：空间中点的对称点的坐标：设点(,,)P x y z 为空间直角坐标系中的点，则（1）与点P 关于原点对称的点是1(,,)P x y z ---（2）与点P 关于x 轴对称的点是2(,,)P x y z --（3）与点P 关于y 轴对称的点是3(,,)P x y z --（4）与点P 关于z 轴对称的点是4(,,)P x y z --（5）与点P 关于Oxy 平面对称的点是5(,,)P x y z -（6）与点P 关于Ozx 平面对称的点是6(,,)P x y z -（7）与点P 关于Oyz 平面对称的点是7(,,)P x y z -【注意】对称点问题常常采用“关于谁对称，谁就保持不变，其余坐标相反”这个结论．（1）关于原点对称的点，三个坐标均变为原数的相反数；（2）关于哪条坐标轴对称，相应坐标不变，另两个坐标变为原数的相反数；（3）关于哪个坐标平面对称，点在这个平面的坐标不变，另一个坐标变为原数的相反数．简记为：关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反．9．（2024·高二课时练习）在空间直角坐标系中，点(2,1,4)-关于x 轴对称的点坐标是（ ）A ．(2,1,4)--B ．(2,1,4)-C ．(2,1,4)---D ．(2,1,4)-10．（2024·全国·高二专题练习）已知点1M ，2M 分别与点(1,2,3)M -关于x 轴和z 轴对称，则12M M =（ ）A ．(2,0,6)-B ．(2,0,6)-C ．(0,4,6)-D ．(0,4,6)-11.（23-24高二上·浙江宁波·期末）在空间直角坐标系O-xyz 中，点()2,3,4P --关于平面yOz 对称的点的坐标为（ ）A ．()2,3,4---B ．()2,3,4-C ．()2,3,4-D ．()2,3,412．（2024·江苏常州·高二校联考阶段练习）已知点()1,2,3A 关于Oxy 平面的对称点为B ，而点B 关于x 轴的对称点为C ，则BC =（ ）A ．B ．C ．D ．8考点三 空间向量的坐标表示解题策略：1.空间向量的坐标与其起点、终点坐标的关系向量的坐标即终点坐标减去起点坐标．求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点，在原点时，向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标．2.向量坐标的求法（1）点A 的坐标和向量OA →的坐标形式完全相同．（2）起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得．13．（2024·高二课时练习）已知点()3,8,5A -，()2,0,8B -，则向量AB的坐标为________．14．（2024·高二课时练习）已知{},,i j k 是空间的一个单位正交基底，向量52b i k =-+用坐标形式可表示为________．15．（2024·广东广州·高二校联考期末）如图，正方体1111OABC O A B C -的棱长为2，1E B B Î，且12EB EB =，则OE =（ ）A ．(2,2,1)B ．(2,2,2)C ．22,2,3æöç÷èøD ．42,2,3æöç÷èø16.（2023秋·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，111114B E A B =，则1BE 等于A ．10,,14æö-ç÷èøB ．1,0,14æö-ç÷èøC ．10,,14æö-ç÷èøD ．1,0,14æö-ç÷èø17.（23-24高二·全国·课后作业）如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，B 1C 1的中点，若以{}1,,AB AD AA 为基底，则向量AE的坐标为 ，向量AF 的坐标为 ，向量1AC 的坐标为 .18．（2024·全国·高二专题练习）已知空间直角坐标系中，点()1,1,2A -，()3,0,4B -，若6c = ，c 与AB同向，则向量c的坐标为______.19．【多选】（2024·黑龙江大庆·高二大庆二中校考阶段练习）已知四边形ABCD 的顶点分别是()3,1,2A -，()1,2,1B -，()1,1,3C --，()3,5,3D -，那么以下说话中正确的是（ ）A ．()2,3,3AB =--B ．()4,6,6CD =--C ．AC 的中点坐标为()2,0,1--D ．四边形ABCD 是一个梯形20.（2024·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）在空间直角坐标系中，已知三点(0,0,0),(1,2,1),(1,1,0)O A B -，若点C 在平面OAB 内，则点C 的坐标可能是（ ）A ．(1,1,3)--B ．(3,0,1)C ．(1,1,2)D ．(1,1,2)-21.【多选】（2023·全国·高二专题练习）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知ABC V 的边长为2，三棱柱的高为111,,BC B C 的中点分别为1,D D ，以D 为原点，分别以1,,DC DA DD的方向为x 轴､y 轴､z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（ ）A ．()1A B ．()11,0,1CC ．()10,AD =D ．)11B A =-设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，有向量运算向量表示坐标表示加法a ＋b a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)减法a －b a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)数乘λa λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)，λ∈R 数量积a ·ba ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3考点四 空间向量的坐标运算解题策略：1.空间向量坐标运算的规律及注意点(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定．已知空间点的坐标、A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)向量AB ―→ 的坐标等于终点坐标减起点坐标．即AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)．(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算．(3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标．2.空间向量的加法、减法、数量积及数乘运算的方法(1)根据已知向量的坐标，代入空间向量的加、减、数量积和数乘运算的坐标表示公式进行计算．(2)熟练应用有关的公式①(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2；②(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2；③(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2.(3)空间向量的坐标运算法则和平面向量的坐标运算法则类似，可类比记忆．计算(2a )·(－b )，既可以利用运算律把它化成－2(a ·b )，也可先求出2a ，－b ，再求数量积．3.空间向量坐标运算的规律及注意点（1）由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定；（2）直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算．（3）由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标．22．（2024·北京丰台·高二统考期末）已知(1,0,1)a =- ，b =(2，1，1)，则2a b -= ________．23.（23-24高二·全国·课堂例题）已知(2,3,5),(3,3,2)a b =-=-，求下列向量的坐标：(1)a b - ；(2)2a b + ；(3)5b - ．24．（2024·全国·高二专题练习）向量()1,1,0a = ，()0,1,1b = ，()1,0,1c =，()1,0,1d =- 中，共面的三个向量是（ ）A ．,，a b cB ．,,b c dC ．,,c d aD ．,,d a b25．（2024·湖北·高二统考期末）已知向量()2,0,2a = ，()0,2,1b =- ，()3,4,c m = ，若向量a ，b ，c共面，则实数m 的值为________．26．（2024·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）在空间直角坐标系中，已知三点(0,0,0),(1,2,1),(1,1,0)O A B -，若点C 在平面OAB 内，则点C 的坐标可能是（ ）A ．(1,1,3)--B ．(3,0,1)C ．(1,1,2)D ．(1,1,2)-27．【多选】（2024·辽宁葫芦岛·高二统考期末）已知在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，且(1,0,2),(1,1,1),(3,1,2)A B C -，则下列结论正确的是（ ）A ．||3AB = B ．()1AB AC BC +×=-C ．AB AC^ D ．若111236OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面28．（2024·重庆·高一重庆一中校考期中）下列几组空间向量中，不能作为空间向量基底的是（ ）A ．()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1a b c ===B ．()()()1,1,0,1,0,1,0,1,1a b c ===C ．()()()1,1,2,1,1,0,1,0,1a b c ===D ．()()()1,1,1,1,0,1,1,2,1a b c ===29．（2024·高二课时练习）在ABC V 中，若(2,2,0)AB =-，(4,2,1)AC =- ，则ABC V 是（ ）A ．顶角为锐角的等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．顶角为钝角的等腰三角形30.（2023春·高二课时练习）如图，在长方体OABC D A B C ¢¢¢¢-中，3OA =，4OC =，2OD ¢=，以111,,342OA OC OD ìüíýîþ¢为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ．(1)写出D ¢，C ，A ¢，B ¢四点的坐标；(2)写出向量A B ¢¢ ，B B ¢ ，A C ¢¢ ，AC ¢的坐标．()()a a a ab b b b 123123=，，,=，，平行（a b ）(0)a b b ≠ ()112233a b a b a b R a bλλλλλ=ì⎪⇔=⇔=Îí⎪=î 垂直（a b ^）a b ^⇔11223300a b a b a b a b ×=⇔++= （,a b 均非零向量）特别提醒：在(0)a b b ≠ ()112233a b a b R a bλλλλ=ì⎪⇔=Îí⎪=î中，应特别注意，只有在b与三个坐标平面都不平行时，才能写成312123a a a b b b ==.例如，若b与坐标平面xOy 平行，则30b =，这样33a b 就没有意义了.2、向量平行与垂直问题的三种题型题型1：空间向量平行与垂直的判断，利用空间向量平行与垂直的条件进行判断．题型2：利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用，解题时要注意：①适当引入参数(比如向量a ，b 平行，可设a ＝λb )，建立关于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的．题型3：利用向量的坐标处理空间中的平行与垂直：①向量化：即将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；②向量关系代数化：即写出向量的坐标；③求解：利用向量的坐标运算列出关系式求解．3、向量长度的坐标计算公式若()a a a a 123 =，，，则||a === ||a = 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度4、两个向量夹角的坐标计算公式设()()a a a a b b b b 123123 =，，,=，，，则cos ,a b <>=a b |a ||b |×=【注意】（1）夹角公式可以根据数量积的定义推出：，其中θ的范围是（2）（3）用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。

2022版人教A版高中数学选择性必修第一册--1.3空间向量及其运算的坐标表示1.3.1空间直角坐标系1.3.2空间向量运算的坐标表示基础过关练题组一空间向量的坐标表示1.(2020安徽阜阳三中高二上期中)已知点A(-3,1,-4),点A关于x轴的对称点的坐标为()A.(-3,-1,4)B.(-3,-1,-4)C.(3,1,4)D.(3,-1,-4)2.(2020山西晋中高一上期末)已知点A(1,1,-3),B(3,1,-1),则线段AB的中点M 关于平面Oyz对称的点的坐标为()A.(-2,1,-2)B.(2,1,-2)C.(2,-1,-2)D.(2,1,2)3.(2021首都师范大学附属中学高二上月考)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=4,|AA1|=5,|AD|=3,N为棱CC1的中点,分别以AB、AD、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.(1)求点A,B,C,D,A1,B1,C1,D1的坐标;(2)求点N的坐标.题组二空间向量线性运算的坐标表示4.(2020山东滨州十二校高二上联考)已知向量a=(1,-2,1),a-b=(-1,2,-1),则向量b= ()A.(2,-4,2)B.(-2,4,-2)C.(-2,0,-2)D.(2,1,-3)5.(2021辽宁辽阳高二上检测)若向量a=(2,0,-1),b=(0,1,-2),则2a-b= ()A.(-4,1,0)B.(-4,1,-4)C.(4,-1,0)D.(4,-1,-4)6.(2020上海徐汇高二下期末)如图,以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点,过D的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若DB1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为(4,3,2),则AC1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为.题组三空间向量数量积的坐标表示7.(2021山东师范大学附属中学高二上月考)已知a=(1,2,2),b=(-2,1,1),则向量b在a上的投影向量为()A.(-29,-49,-49)B.(29,49,49)C.(-23,13,13)D.(23,-13,-13)8.(2020福建莆田第七中学高二上期末)若向量a,b的坐标满足a+b=(-2,-1,2),a-b=(4,-3,-2),则a·b等于()A.5B.-5C.7D.-19.(2021天津静海高二上检测)若向量a=(1,1,2),b=(1,2,1),c=(1,1,1),则(c-a)·2b=.题组四利用空间向量的坐标运算解决平行和垂直问题10.(2021福建南平高二上期中)已知a=(sin θ,cos θ,tanθ),b=(cosθ,sinθ,1tanθ),且a⊥b,则θ为()A.-π4B.π4C.2kπ-π2(k∈Z) D.kπ-π4(k∈Z)11.若在△ABC中,∠C=90°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则k的值为()A.√10B.−√10C.2√5D.±√1012.(2020北京中央民族大学附属中学高二上期末)已知a=(x,-4,2),b=(3,y,-5),若a⊥b,则x2+y2的取值范围为()A.[2,+∞)B.[3,+∞)C.[4,+∞)D.[5,+∞)题组五利用空间向量的坐标运算求夹角和模13.(2021山东师范大学附属中学高二上月考)若向量a=(x,-4,-5),b=(1,-2,2),且a与b的夹角的余弦值为-√26,则实数x的值为()A.-3B.11C.3D.-3或1114.(2020四川绵阳中学高二上期中)空间直角坐标系中的点A(3,3,1)关于平面Oxy的对称点A'与点B(-1,1,5)间的距离为()A.6B.2√6C.4√3D.2√1415.(2020北京十二中高二上期中)已知点A (0,1,2),B (1,-1,3),C (1,5,-1). (1)若D 为线段BC 的中点,求线段AD 的长;(2)若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,a ,1),且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,求a 的值,并求此时向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值.16.(2020山西太原第五中学高二上月考)如图,以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz ,点P 在线段AB 上,点Q 在线段DC 上. (1)当PB =2AP ,且点P 关于y 轴的对称点为M 时,求|PM |;(2)当点P 是面对角线AB 的中点,点Q 在面对角线DC 上运动时,探究|PQ |的最小值. 深度解析能力提升练题组一利用空间向量解决平行、垂直问题1.(2021江西新余一中、宜春一中高二上联考,)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线NO,AM的位置关系是()A.平行B.相交C.异面垂直D.异面不垂直2.(2020辽宁盘锦高二上期末,)如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PDPD,则平面PQC与平面DCQ的位置关系为 ()∥QA,QA=AB=12A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.位置关系不确定3.(2020中国人民大学附属中学高一下期末,)三棱锥V-ABC中,侧面VBC⊥底面ABC,∠ABC=45°,VA=VB,AC=AB,则 ()A.AC⊥BCB.VB⊥ACC.VA⊥BCD.VC⊥AB4.(2020云南师大附中高三下月考,)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,M,N,H,R是各条棱的中点.①直线AD1∥平面MNP;②HD1⊥CQ;③P,Q,H,R四点共面;④A1C1⊥平面AB1D1.其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.45.(多选)(2020海南海口海南中学高三下月考,)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并且总是保持AP⊥BD1,则以下四个结论正确的是()A.V P-AA1D =13B.点P必在线段B1C上C.AP⊥BC1D.AP∥平面A1C1D6.(2020浙江绍兴高二上期末阶段测试,)如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1,AA1⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,点E在线段A1D上,且A1E=2ED.(1)证明:BD1⊥AC;(2)证明:BD1∥平面ACE.题组二利用空间向量的坐标运算解决长度和夹角问题7.(2020安徽芜湖高二上期末,)如图,在三棱锥P-ABC中,△ABC为等边三角形,△PAC为等腰直角三角形,PA=PC=4,平面PAC⊥平面ABC,D为AB的中点,则异面直线AC与PD所成角的余弦值为 (深度解析)A.14B.√24C.√34D.128.(2020四川内江高三三模,)如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成,半圆柱体底面直径BC=4,AB=AC,∠BAC=90°,D为半圆弧的中点,若异面直线BD和AB1所成角的余弦值为23,则该几何体的体积为()A.16+8πB.32+16πC.32+8πD.16+16π 9.(2020湖北武汉高二期末联考,)在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,P 是底面ABCD (含边界)上一动点,满足A 1P ⊥AC 1,则线段A 1P 长度的取值范围是( ) A.[√62,√2]B.[√62,√3] C.[1,√2]D.[√2,√3]10.(多选)(2020山东莱州第一中学高二上期末,)正方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 的棱长为2,M 为B 1C 1的中点,下列命题中正确的是 ( ) A.AB 1与BC 1成60°角B.若CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =13NC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,面A1MN 交CD 于点E,则CE =13C.P 点在正方形ABB 1A 1边界及内部运动,且MP ⊥DB 1,则P 点的轨迹长等于√2D.E ,F 分别在DB 1,A 1C 1上,且DE EB 1=A 1F FC 1=2,直线EF 与AD1,A1D 所成角分别是α,β,则α+β=π211.(2021山东滕州一中高二上月考,)如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成),正方形ABCD 是上底面正中间的一个正方形,正方形A 1B 1C 1D 1是下底面最大的正方形,已知点P 是线段AC 上的动点,点Q 是线段B 1D 上的动点,则线段PQ 长度的最小值为 .深度解析12.(2020青海西宁五中高二期末,)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,CA =CB =1,AA 1=2,∠BCA =90°,M ,N 分别是A 1B 1,A 1A 的中点. (1)求BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模; (2)求cos<BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >的值; (3)求证:A 1B ⊥C 1M.答案全解全析 基础过关练1.A ∵在空间直角坐标系中关于x 轴对称的点的横坐标不变,纵坐标和竖坐标变为原来的相反数,∴点A (-3,1,-4)关于x 轴对称的点的坐标是(-3,-1,4). 故选A .2.A ∵点A (1,1,-3),B (3,1,-1),∴线段AB 的中点M (2,1,-2), ∴点M 关于平面Oyz 对称的点的坐标为(-2,1,-2). 故选A .3.解析 (1)由已知,得A (0,0,0),由于点B 在x 轴的正半轴上,|AB |=4,故B (4,0,0),同理可得D (0,3,0),A 1(0,0,5),由于点C 在坐标平面Axy 内,BC ⊥AB ,CD⊥AD ,故C (4,3,0),同理可得B 1(4,0,5),D 1(0,3,5),与点C 的坐标相比,点C 1的坐标中只有竖坐标不同,|CC 1|=|AA 1|=5,则C 1(4,3,5).(2)由(1)知,C (4,3,0),C 1(4,3,5),则C 1C 的中点坐标为N (4,3,52).4.A b =(1,-2,1)-(-1,2,-1)=(2,-4,2). 故选A .5.C 因为向量a =(2,0,-1),所以2a =(4,0,-2),又向量b =(0,1,-2), 所以2a -b =(4,0,-2)-(0,1,-2)=(4,-1,0),故选C .6.答案 (-4,3,2)解析 因为点D (0,0,0),DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,3,2),所以B 1(4,3,2),即AD =4,CD =3,DD 1=2,所以A (4,0,0),C 1(0,3,2),因此AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,3,2).7.B ∵a =(1,2,2),b =(-2,1,1),∴a ·b =1×(-2)+2×1+2×1=2, ∴向量a 方向上的单位向量e =a |a |=(13,23,23), ∴向量b 在a 上的投影向量m =|a ·b ||a |e =√22+22+12(13,23,23) =(29,49,49).故选B .8.B ∵a +b =(-2,-1,2),a -b =(4,-3,-2), ∴两式相加得2a =(2,-4,0), 解得a =(1,-2,0),∴b =(-3,1,2),∴a ·b =1×(-3)+(-2)×1+0×2=-5,故选B . 9.答案 -2解析 ∵c -a =(0,0,-1),2b =(2,4,2), ∴(c -a )·2b =0+0-2=-2.10.D ∵a =(sin θ,cos θ,tan θ),b =(cosθ,sinθ,1tanθ),且a ⊥b ,∴sin θcos θ+cos θsin θ+1=0, 即sin 2θ=-1, ∴2θ=-π2+2k π,k ∈Z,∴θ=-π4+k π,k ∈Z .故选D .11.D ∵在△ABC 中,A (1,2,-3k ),B (-2,1,0),C (4,0,-2k ), ∴CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-6,1,2k ),CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,2,-k ), 又∠C =90°,∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-6)×(-3)+1×2+2k ×(-k ) =-2k 2+20=0, ∴k =±√10. 故选D .12.C ∵a =(x ,-4,2),b =(3,y ,-5),a ⊥b , ∴a ·b =3x -4y -10=0,∴y =34x −52,∴x 2+y 2=x 2+(34x -52)2=2516(x -65)2+4≥4,∴x 2+y 2的取值范围为[4,+∞). 故选C .13.A 根据公式cos<a ,b >=a ·b |a ||b |=√x 2+16+25×√1+4+4=−√26, ∴√x 2+41=−√22,且x <2,解得x =11(舍)或x =-3. 故选A .14.D 由题意得,A'(3,3,-1),所以A 'B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,-2,6),所以|A 'B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√16+4+36=2√14,故选D .15.解析 (1)由题意得,D (1,2,1),∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,-1),∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+1+1=√3,即线段AD 的长为√3.(2)易知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2,1),∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2-2a +1=1,解得a =1,∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,1). ∴cos<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6×√6=16,即向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值为16.16.解析 由题意知A (1,0,1),B (1,1,0),C (0,1,0),D (1,1,1). (1)由PB =2AP 得P (1,13,23),所以M (-1,13,-23),所以|PM|=2√133. (2)当点P 是面对角线AB 的中点时,P (1,12,12),点Q 在面对角线DC 上运动,设点Q (a ,1,a ),a ∈[0,1],则|PQ |=√(a -1)2+(1-12)2+(a -12)2=√2a 2-3a+32=√2(a -34)2+38, 所以当a =34时,|PQ|取得最小值√64,此时点Q (34,1,34). 方法归纳 利用向量坐标求空间中线段长度的一般步骤:(1)建立适当的空间直角坐标系;(2)求出线段端点的坐标(或线段对应向量的坐标);(3)利用两点间的距离公式求出线段的长(或利用向量模的坐标公式求出对应向量的模).能力提升练1.C 建立空间直角坐标系,如图所示.设正方体的棱长为2,则A (2,0,0),M (0,0,1),O (1,1,0),N (2,1,2),∴NO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,-2),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,1).∵NO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴直线NO ,AM 的位置关系是异面垂直.故选C .2.B 由已知可得PD ⊥DC ,PD ⊥DA ,DC ⊥DA ,如图,以D 为原点建立空间直角坐标系.设QA =1,则D (0,0,0),C (0,0,1),Q (1,1,0),P (0,2,0), ∴DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1),PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,0), ∴DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴PQ ⊥DQ ,PQ ⊥DC ,∵DQ ∩DC =D , ∴PQ ⊥平面DCQ ,又PQ ⊂平面PQC , ∴平面PQC ⊥平面DCQ.3.C ∵AC =AB ,∠ABC =45°,∴∠ACB =45°,∴AC ⊥AB ,故选项A 错误; 设BC 的中点为D ,AB 的中点为E ,连接AD 、VE 、VD 、DE , 易得,AD ⊥BC ,VE ⊥AB ,DE ∥AC.又平面VBC ⊥平面ABC ,且平面VBC ∩平面ABC =BC ,AD ⊂平面ABC ,∴AD ⊥平面VBC , 又VD ⊂平面VBC ,∴AD ⊥VD.∵DE ∥AC ,AB ⊥AC ,∴DE ⊥AB ,又VE ⊥AB ,VE ∩DE =E ,∴AB ⊥平面VDE ,∴AB ⊥VD , 又AB ∩AD =A ,∴VD ⊥平面ABC ,∴VD ⊥BC ,VD ⊥AD.以D 为坐标原点,DA ,DB ,DV 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系.设VD =b ,BD =DA =DC =a ,则A (a ,0,0),B (0,a ,0),C (0,-a ,0),V (0,0,b ), 则VA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,0,-b ),VB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a ,-b ),VC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-a ,-b ),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,a ,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,-a ,0),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-2a ,0),∴VA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,VB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-a 2≠0,VC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-a 2≠0,∴VA ⊥BC ,故选项B 、D 错误,选项C 正确. 故选C .4.B 因为M ,N 分别为A 1B 1,C 1D 1的中点,所以MN ∥A 1D 1, 又因为MN ⊄平面ADD 1A 1,A 1D 1⊂平面ADD 1A 1,所以MN ∥平面ADD 1A 1, 同理可得NP ∥平面ADD 1A 1,又MN ∩NP =N ,所以平面MNP ∥平面ADD 1A 1, 又AD 1⊄平面MNP ,所以AD 1∥平面MNP ,①正确; 设棱长为2,如图建立空间直角坐标系,所以D 1(0,0,2),H (2,0,1),C (0,2,0),Q (1,0,0),所以HD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,1),CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2,0),所以HD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2+0+0≠0,②错误; 连接AC ,HR ,因为H ,R 分别是AA 1,CC 1的中点,所以HR ∥AC , 又因为Q ,P 分别为AD ,DC 的中点,连接QP ,所以QP ∥AC , 所以PQ ∥HR ,故P ,Q ,H ,R 四点共面,③正确;A (2,0,0),B 1(2,2,2),D 1(0,0,2),A 1(2,0,2),C 1(0,2,2),所以AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,2),A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,0),A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠0,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠0,所以直线A 1C 1不垂直于平面AB 1D 1,④不正确. 所以正确的是①③,故选B .5.BD 对于A,∵P 在平面BCC 1B 1上,平面BCC 1B 1∥平面AA 1D 1D ,∴P 到平面AA 1D 1D 的距离即为C 到平面AA 1D 1D 的距离,即为正方体棱长, ∴V P -AA 1D =13S △AA 1D ·CD =13×12×1×1×1=16,故A 中结论错误;对于B,以D 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系,则A (1,0,0),P (x ,1,z ),B (1,1,0),D 1(0,0,1),B 1(1,1,1),C (0,1,0), ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x -1,1,z ),BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,1),B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,-1), ∵AP ⊥BD 1,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1-x -1+z =0, ∴x =z ,即P (x ,1,x ),∴CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,0,x ),∴CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =-x B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即B 1,P ,C 三点共线,∴P 必在线段B 1C 上,故B 中结论正确;对于C,∵C 1(0,1,1),∴BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1), 又∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x -1,1,x ),∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1-x +x =1, ∴AP 与BC 1不垂直,故C 中结论错误;对于D,∵A 1(1,0,1),D (0,0,0),∴A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0),DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1),又AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x -1,1,x ),∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (其中0≤x ≤1),∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面,又AP ⊄平面A 1C 1D ,∴AP ∥平面A 1C 1D ,故D 中结论正确.故选BD .6.证明 (1)设AC 与BD 交于点O ,A 1C 1与B 1D 1交于点O 1,连接OO 1,设AB =a ,AA 1=b.如图,建立空间直角坐标系,则O (0,0,0),A (0,-√22a ,0),B (√22a ,0,0),C (0,√22a ,0),D (-√22a ,0,0), A 1(0,-√22a ,b),D1(-√22a ,0,b), ∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2a ,0,b ),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2a ,0), ∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴BD 1⊥AC.(2)设E (x ,y ,z ),∵A 1E =2ED ,∴A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即x,y +√22a,z −b =2−√22a -x ,-y ,-z ,解得x =-√23a,y =−√26a,z =b3,即E (-√23a ,-√26a ,13b), ∴AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√23a ,√23a ,13b). 设BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAE ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R),则(-√2a,0,b)=λ(0,√2a,0)+μ(-√23a ,√23a ,13b),即{-√2a =0-√23μa ,0=√2λa +√23μa ,b =0+13μb ,解得{λ=-1,μ=3,即BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 共面.又BD 1⊄平面ACE , ∴BD 1∥平面ACE.7.B 取AC 的中点O ,连接OP ,OB , ∵PA =PC ,∴AC ⊥OP ,∵平面PAC ⊥平面ABC ,平面PAC ∩平面ABC =AC , ∴OP ⊥平面ABC , 又∵AB =BC ,∴AC ⊥OB ,以O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,∵△PAC 是等腰直角三角形,PA =PC =4,△ABC 为等边三角形, ∴A (2√2,0,0),C(−2√2,0,0),P(0,0,2√2),D(√2,√6,0), ∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4√2,0,0),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,√6,−2√2), ∴cos<AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,PD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√2×4=−√24. ∴异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为√24. 故选B .解题反思 用坐标法求解立体几何问题,关键是建立适当的空间直角坐标系.建系时,关键是寻找线面垂直的条件,将垂线所在直线作为z 轴,利用底面的图形特点建立x 轴和y 轴.8.A 设D 在底面半圆上的射影为D 1,连接AD 1交BC 于O ,连接A 1D 交B 1C 1于点O 1. 依题意知半圆柱体底面直径BC =4,AB =AC ,∠BAC =90°,D 为半圆弧的中点, 所以AD 1⊥BC ,A 1D ⊥B 1C 1,O ,O 1分别是下底面、上底面半圆的圆心.连接OO 1, 则OO 1与上下底面垂直,所以OO 1⊥OB ,OO 1⊥OA ,OA ⊥OB ,以OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,设几何体的高为h (h >0),则B (2,0,0),D (0,-2,h ),A (0,2,0),B 1(2,0,h ),所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,h ),AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-2,h ),由于异面直线BD 和AB 1所成的角的余弦值为23,所以|cos<BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√8+ℎ2·√8+ℎ2=23,即ℎ28+ℎ2=23,所以h =4(负值舍去).所以几何体的体积为12×π×22×4+12×4×2×4=16+8π.故选A .9.A 如图,建立空间直角坐标系,则A (0,0,0),A 1(0,0,1),C 1(1,1,1), ∵P 是底面ABCD (含边界)上一动点, ∴设P (x ,y ,0)(0≤x ≤1,0≤y ≤1), 则A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,-1),AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1),∵A 1P ⊥AC 1,∴A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y -1=0,∴A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=x 2+y 2+1=x 2+(1-x )2+1=2x 2-2x +2=2(x -12)2+32,∴当x =12时,A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2取最小值32,此时线段A1P 的长度为√62; 当x =0或x =1时,A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2取最大值2,此时线段A1P 的长度为√2, ∴线段A 1P 长度的取值范围是[√62,√2]. 故选A .10.ACD 如图,建立空间直角坐标系,则A (2,0,2),B (2,2,2),C (0,2,2),D (0,0,2),A 1(2,0,0),B 1(2,2,0),C 1(0,2,0),D 1(0,0,0),M (1,2,0).对于A,AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-2),BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,-2),cos<AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2×2√2=12,∴AB 1与BC 1成60°角,A 对;对于B,∵CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =13NC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴N (0,2,32),设E (0,m ,2),则A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,0),A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,32),A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-2,m ,2),由已知得A 1,M ,N ,E 四点共面, ∴∃λ,μ∈R,使得A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λA 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μA 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,得{-1=-2λ-2μ,2=2λ+mμ,0=32λ+2μ,解得{λ=2,μ=-32,m =43,∴E (0,43,2),∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-23,0),|CE⃗⃗⃗⃗⃗ |=23,B 错; 对于C,设P (2,y ,z )(0≤y ≤2,0≤z ≤2),则MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,y -2,z ),DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,-2), 由MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2+2y -4-2z =0,得y -z =1.∴点P 的轨迹长为线段y -z =1(1≤y ≤2)的长度,为√2,C 对; 对于D,∵E ,F 分别在DB 1,A 1C 1上,且DE E y 1=A 1F FC 1=2,∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(2,2,−2)=(43,43,-43),A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(−2,2,0)=(-43,43,0),则E (43,43,23),F (23,43,0),则EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(-23,0,-23), 则cos α=|cos<EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >| =|-43-43√(-3)2+(-3)2×√4+4|=832√23×2√2=1,故α=0,cos β=|cos<EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >| =|-43+43√(-23)2+(-23)2×√4+4|=0,故β=π2,即α+β=π2,故D 正确.11.答案3√3434解析 以B 1为坐标原点,B 1C 1、B 1A 1所在直线分别为x ,y 轴建立如图空间直角坐标系,则B 1(0,0,0),A (1,2,3),C (2,1,3),D (2,2,3),设B 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λB 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP⃗⃗⃗⃗⃗ =μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,λ,μ∈[0,1],则B 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(2,2,3)=(2λ,2λ,3λ),B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3)+μ(1,-1,0)=(1+μ,2-μ,3),∴QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -B 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+μ-2λ,2-μ-2λ,3-3λ).∴|QP⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(1+μ-2λ)2+(2-μ-2λ)2+(3-3λ)2 =17λ2-30λ+2μ2-2μ+14=17(λ-1517)2+2(μ-12)2+934. 当λ=1517且μ=12时,|QP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2取得最小值934,∴线段PQ 长度的最小值为3√3434. 思路点拨 本题主要考查空间向量的应用,利用空间向量求解距离的最值问题时,一般是把目标式表示出来,结合目标式的特征,选择合适的方法求最值. 12.解析 以C 为原点,CA ,CB ,CC 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.(1)依题意,B (0,1,0),N (1,0,1),∴BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,1),∴|BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3. (2)依题意A 1(1,0,2),B (0,1,0),C (0,0,0),B 1(0,1,2),∴BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,2),CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2),BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×0-1×1+2×2=3,|BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6,|CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√5, ∴cos<BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3010. (3)证明:∵C 1(0,0,2),M (12,12,2),∴C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,12,0),又由(2)可得A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,-2),∴A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12+12+0=0, ∴A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴A 1B ⊥C 1M.。

1.3 空间向量及其运算的坐标表示题型一：空间向量的坐标运算1．已知空间点(3,1,4)P --，则点P 关于y 轴对称的点的坐标为（ ） A ．(3,1,4)--- B ．(3,1,4)-- C ．(3,1,4)- D ．(3,1,4)【答案】D【点拨】利用空间直角坐标系点关于坐标轴对称的特点求解作答. 【详解】依题意，点(3,1,4)P --关于y 轴对称的点的坐标为(3,1,4). 故选：D2．平行六面体1111ABCD A B C D -中，()()11,2,3,1,2,4AC C =-，则点1A 的坐标为（ ） A ．()0,4,7 B ．()2,0,1- C ．()2,0,1- D ．()2,0,1【答案】B【点拨】利用空间向量的坐标表示，即得. 【详解】设()1,,A x y z ，∵()()11,2,3,1,2,4AC C =-，又11AC AC =， ∴()()1,2,31,2,4x y z =----， 解得2,0,1x y z =-==，即()12,0,1A -. 故选：B.3．如图所示的空间直角坐标系中，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，且2PB AB ==，若3PC PQ =，则点Q 的空间直角坐标为（ ）一维练基础A ．()3,2,1B ．44,2,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2,3D ．()1,2,1【答案】B【点拨】根据空间向量的坐标运算直接计算.【详解】由题意得()0,2,0C ，()2,2,2P ，所以()2,0,23PC PQ =--=，所以()22,0,33PQ =--，所以Q 的坐标为()()()2244,0,2,2,2,2,3333--+=．故选：B ．4．已知向量a ＝（3，0，1），b ＝（﹣2，4，0），则3a +2b 等于（ ）A ．（5，8，3）B ．（5，﹣6，4）C ．（8，16，4）D ．（16，0，4）【答案】A【点拨】直接根据空间向量的线性运算，即可得到答案； 【详解】32(9,0,3)(4,8,0)(5,8,3)a b +=+-=，故选：A5．若(2,0,1),(3,1,1),(1,1,0)a b c ==--=，则22a b c -+=（ ） A ．()2,4,1- B ．()10,0,3--C ．()2,4,1--D ．()10,0,3【答案】D【点拨】直接利用向量的坐标运算求解即可 【详解】因为(2,0,1),(3,1,1),(1,1,0)a b c ==--=， 所以22(2,0,1)2(3,1,1)2(1,1,0)(10,0,3)a b c -+=---+=， 故选：D题型二：空间向量模长的坐标表示1．已知向量()1,2,1a =-，()2,2,0b =-，则a 在b 的方向上的数量投影为（ ） A ．6-B ．a - C ．32D ．34-b【答案】C【点拨】直接由数量投影的公式求解即可. 【详解】由题意知：a 在b 的方向上的数量投影为()22122232a b b-⨯⋅==+-. 故选：C.2．若向量()1,2,3a =-，()2,3,1b =--，则2a b +=（ ） A ．27B ．5 C 26D ．42【答案】C【点拨】求出2a b +的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果. 【详解】由已知可得()23,4,1a b +=-，故()222234126a b +=-++=．故选：C.3．在空间直角坐标系Oxyz 中，点(345)A ，，在坐标平面Oxy ，Oxz 内的射影分别为点B ，C ，则BC →=（ ）A ．5B 34C 41D ．52【答案】C【点拨】写出点A 在坐标平面Oxy ，Oxz 内的射影分别为点B ，C ，再计算BC →的值．【详解】解：在空间直角坐标系Oxyz 中，点(3A ，4，5)在坐标平面Oxy ，Oxz 内的射影分别为点B ，C ，则(3B ，4，0)，(3C ，0，5)， ∴(0BC →=，4-，5)，||0162541BC →∴++故选：C ．4．已知()1,1,0a t =-，()2,,b t t =，则b a -的最小值是（ ） A ．1 B 2C 3D 5【答案】B【点拨】利用空间向量坐标的减法求出b a -，然后利用求模公式求出b a -. 【详解】解：()()1,1,0,2,,a t b t t =-= (1,1,)b a t t t -=+-∴2222(1)(1)32b a t t t t ∴-=++-+=+∴当0=t 时，b a -取最小值2故选：B5．已知向量()1,21a →=-，，()3,,1b x =，且a b →→⊥，那么b →等于（ ）A 10B 11C ．3D ．5【答案】B【详解】解：因为向量()1,21a →=-，，()3,,1b x =，且a b →→⊥，所以13210x -⨯++=，解得1x =， 所以()3,1,1b =，所以22231111b →=++故选：B题型三：空间向量平行的坐标表示1．已知()1,4,4a =--，(),2,21b m m =-+，若a b ∥，则m 的值为（ ） A ．－2 B ．2C ．12-D ．12【答案】C【点拨】根据向量共线的性质即可求解. 【详解】因为a b ∥，所以221144m m -+==--，解得12m =-， 故选：C.2．已知()1,2,a y =，(),1,2b x =，且//a b ，则x y ⋅=（ ） A ．1 B ．1-C ．2-D ．2【答案】D【点拨】利用空间向量共线的坐标表示可求得x 、y 的值，即可得解.【详解】因为//a b ，则214x y =⎧⎨=⎩，所以，12x =，4y =，因此，2x y ⋅=.故选：D.3．已知空间三点()0,1,2A ，()2,3,1B ，()1,2,C m ，若,,A B C 三点共线，则m =（ ）． A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】C【点拨】求出向量AB 与向量AC 的坐标，根据,,A B C 三点共线，可得向量AB 与向量AC 共线，由此即可求出结果.【详解】因为()2,2,1AB =-，()1,1,2AC m =-，且,,A B C 三点共线， 所以向量AB 与向量AC 共线， 所以1221m -=-，得32m =．故选：C.4．已知()2,1,3A ，()1,3,1B ，()4,,C y z ，若AB AC ∥，则2y z -=（ ） A ．20- B ．17- C ．11 D ．4【答案】B【点拨】根据空间向量共线的性质进行求解即可. 【详解】()1,2,2AB =--，()2,1,3AC y z =--， 因为AB AC ∥，所以122213y z --==--， 解得3y =-，7z =，故217y z -=-. 故选：B5．已知两个向量()2,1,3a =-，(),2,b s t =，且//a b ，则s t -的值为（ ） A ．-2 B ．2C ．10D ．-10【答案】C【点拨】根据向量共线可得,s t 满足的关系，从而可求它们的值，据此可得正确的选项. 【详解】因为//a b ，故存在常数λ，使得a b λ=，所以2123s t λλλ=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，故4,6s t ==-，所以10s t -=，故选：C.题型四：空间向量垂直的坐标表示1．已知向量(2,1,3),(,2,6)a b x →→=-=-，若a b →→⊥，则实数x 的值为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【答案】D【点拨】解方程2123(6)0x -⨯+⨯-=即得解.【详解】解：因为a b →→⊥，所以2123(6)0,10x x -⨯+⨯-=∴=. 故选：D2．设,x y ∈R ，向量(,1,1),(1,,1),(2,4,2)a x b y c ===-，且,a c b c ⊥∥，则||x y +=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A【点拨】根据向量平行和垂直的坐标表示求出y 和x 即可． 【详解】024201a c a c x x ⊥⇒⋅=⇒-+=⇒=， b ∥1224y c y ⇒=⇒=--， ∴1x y +=. 故选：A.3．已知()1,2,1u =是直线l 的方向向量，()2,,2v y =为平面α的法向量，若l ∥α，则y 的值为（ ） A ．2- B ．12-C ．4D ．14【答案】A【点拨】由l ∥α，可得u v ⊥，再计算即可求解.【详解】由题意可知u v ⊥，所以=0u v ⋅，即12+21202y y ⨯+⨯=⇒=-. 故选：A4．已知点()1,1,2A -在平面α上，其法向量()2,1,2n =-，则下列点不在平面α上的是（ ） A ．()2,3,3B ．()3,7,4C ．()1,7,1--D ．()2,0,1-【答案】D【点拨】根据法向量的定义，利用向量垂直对四个选项一一验证即可. 【详解】()1,1,2A -对于A ：记()12,3,3A ,则()11,4,1AA =.因为()()11,4,12,1,22420AA n =-=-+=，所以点()12,3,3A 在平面α上 对于B ：记()3,7,4B ,则()2,8,2AB =.因为()()2,8,22,1,24840AB n =-=-+=，所以点()3,7,4B 在平面α上 对于C ：记()1,7,1C --,则()2,6,1AC =---.因为()()2,6,12,1,24620AC n =----=-+-=，所以点()1,7,1C --在平面α上 对于D ：记()2,0,1D -,则()3,1,1AD =--.因为()()3,1,12,1,26120AD n =---=---≠，所以点()2,0,1D -不在平面α上. 故选：D5．已知()1,1,3a =-，(),,1b x y =，若a b ⊥，则x y +=（ ） A ．9 B ．6 C ．5 D ．3【答案】D【点拨】根据空间向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】0303a b a b x y x y ⊥⇒⋅=⇒+-=⇒+=. 故选：D.题型五：空间向量夹角余弦的坐标表示1．若向量()1,,0a λ=，(2,1,2)b =-且a 与b 的夹角余弦值为23，则实数λ等于（ ） A ．0 B ．－43C ．0或－43D ．0或43【答案】C【点拨】由空间向量夹角余弦的坐标表示直接计算可得. 【详解】由题知，22cos ,31414a b a b a bλ⋅<>===+++即2340λλ+=，解得0λ=或43λ=-.故选：C2．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成3π夹角的是（ ） A ．()1,1,0- B ．()1,1,0- C ．()0,1,1- D ．()1,0,1--【答案】B【点拨】利用空间向量夹角公式进行逐一判断即可.【详解】A ：因为向量()1,0,1a =-与向量()1,1,0-2222121(1)(1)1=-+-⨯-+， 所以向量()1,0,1a =-与向量()1,1,0-夹角为23π，故不符合题意； B ：因为向量()1,0,1a =-与向量()1,1,0-2222121(1)1(1)=+-⨯+-，所以向量()1,0,1a =-与向量()1,1,0-夹角为3π，故符合题意； C ：因为向量()1,0,1a =-与向量()0,1,1-2222121(1)(1)1=-+-⨯-+，所以向量()1,0,1a =-与向量()0,1,1-夹角为23π，故不符合题意； D ：因为向量()1,0,1a =-与向量()1,0,1--夹角的余弦值为222201(1)(1)(1)=+-⨯-+-，所以向量()1,0,1a =-与向量()1,0,1--夹角为2π，故不符合题意，故选：B4．若()1,,2a λ=，()2,1,2b =-，且a ，b 的夹角的余弦值为89，则λ等于（ ）A ．2B ．2-C ．2-或255D ．2或255-【答案】C【点拨】根据8cos ,9a b a b a b⋅==，解得即可得出答案.【详解】解：因为()1,,2a λ=，()2,1,2b =-， 所以2248cos ,935a b a b a bλλ⋅-+===+，解得：=λ2-或255. 故选：C.4．已知空间向量()()2,3,63,1,,4a b ==-，则,a b =（ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π【答案】A【点拨】求得0a b ⋅=，即可得出. 【详解】()()2,3,63,1,,4a b ==-，()2334610a b ∴⋅=⨯+⨯-+⨯=，a b ∴⊥，,2a b π∴=.故选：A.5．已知空间向量()1,0,1a =，()1,1,b n =，3a b ⋅=则向量a 与b λ（0λ≠）的夹角为（ ） A ．6πB ．6π或56π C ．3π D ．3π或23π 【答案】B【详解】,13a b a b cos a b n ⋅==+=解得2n =，222,?3n cos a b ⨯+= 代入得32cos a b ⋅=，又向量夹角范围：[]0,π 故,a b 的夹角为6π，则a 与b λ的夹角， 当0λ>时为6π；0λ<时为56π. 故选：B.1．已知向量()(),1,1,1,2,0a k b ==，且a 与b 互相垂直，则k 的值为（ ）二维练能力A ．－2B ．－12C ．12D ．2【答案】A【点拨】由题意0a b ⋅=，由空间向量的数量积运算可得答案. 【详解】由a 与b 互相垂直，则20a b k ⋅=+=，解得2k =- 故选：A2．已知(2,2,3)a =--，(2,0,4)=b ，则cos ,a b 〈〉=（ ） A 485B ．485C ．0D ．1【答案】B【点拨】利用空间向量的夹角余弦值公式cos ,||||a ba b a b ⋅<>=⋅即可求得.【详解】解：(2,2,3)a =--，(2,0,4)=b ，40485cos ,||||1725a b a b a b ⋅+-∴<>===⋅⋅故选：B.3．已知向量()1,0,a m =，(2,0,23b =-，若a b ∥，则a =（ ） A ．1 B 2C 3D ．2【答案】D【点拨】由空间平行向量，先求出m 的值，再由模长公式求解模长. 【详解】由//a b ，则λa b ，即(1,0,)(2,0,23)m λ=-， 有1223m λλ==-，， 所以1123322m λ==-=-， 所以(1,0,3a =-，则()2221032a =++-故选：D4．下列四个结论正确的是 （ ）A ．任意向量,a b ，若0a b ⋅=，则0a =或0b =B ．若空间中点O ，A ，B ，C 满足1233OC OA OB =+，则A ，B ，C 三点共线C ．空间中任意向量,,a b c 都满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ D ．已知向量()()1,1,,2,,4a x b x ==-，若25x <，则,a b 为钝角 【答案】B【点拨】A 选项，0a b ⋅=也可以是0,0a b ≠≠，a b ⊥；B 选项，利用向量线性运算得到2AC CB =，从而得到三点共线；C 选项可以举出反例；D 选项，求出,a b 为钝角时x 的取值范围，从而得到答案. 【详解】0a b ⋅=则0a =或0b =或0,0a b ≠≠，a b ⊥，故A 错误； 若空间中点O ，A ，B ，C 满足1233OC OA OB =+，即()()1233OC OA OB OC -=-， 所以1233AC CB =，化简得：2AC CB =，则A ，B ，C 三点共线，B 正确；设()()()1,1,1,2,2,1a b c ===。

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表⽰练习题含详细答案3.1.5空间向量运算的坐标表⽰（11⽉26⽇）⼀、选择题1．对于向量a ，b ，c 和实数λ，下列命题中真命题是( )A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c2．下列说法中正确的是( )A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的⼀个基底B ．空间的基底有且仅有⼀个C ．两两垂直的三个⾮零向量可构成空间的⼀个基底D ．基底{a ，b ，c}中基向量与基底{e ，f ，g}中基向量对应相等3．已知向量{a ，b ，c }是空间的⼀个基底，p ＝a ＋b ，q ＝a －b ，⼀定可以与向量p ，q 构成空间的另⼀个基底的是( )A ．aB ．bC ．cD ．⽆法确定4．给出下列两个命题：①如果向量a ，b 与任何向量不能构成空间的⼀个基底，那么a ，b 的关系是不共线；②O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不构成空间的⼀个基底，那么点O ，A ，B ，C ⼀定共⾯．其中正确的命题是( ) A ．仅① B ．仅② C ．①② D ．都不正确5．已知i 、j 、k 是空间直⾓坐标系O －xyz 的坐标向量，并且AB →＝－i ＋j －k ，则B 点的坐标为( )A ．(－1,1，－1)B ．(－i ，j ，－k )C ．(1，－1，－1)D ．不确定6．如果向量a ，b 与任何向量都不能构成空间的⼀个基底，则⼀定有( )A ．a 与b 共线B ．a 与b 同向C ．a 与b 反向D ．a 与b 共⾯7．对于空间的四个向量a ，b ，c ，d 最多能构成的基底个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．48. m ＝｛8，3，a ｝，n ＝｛2b,6,5｝，若m ∥n ，则a+b 的值为( ) A.0 B.25C.221 D.89. a ＝｛1,5,-2｝，b ＝｛m,2,m+2｝，若a ⊥b ，则m 的值为( ) A.0 B.6 C.-6 D.±610. A(2，-4，-1)，B(-1，5，1)，C(3，-4，1)，令a ＝CA ，b ＝CB ，则a +b 对应的点为( ) A.(5，-9，2) B.(-5，9，-2) C. (5，9，-2) D.(5，-9，2)⼆、填空题1、在空间直⾓坐标系中，已知点A(1，0，2)，B(1，-3，1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是________2、已知向量a =(1，1，0)，b =(-1，0，2)，且向量ka+b 与2a-b 互相垂直，则k 的值是3、已知空间三点A(1，1，1)、B(-1，0，4)、C(2，-2，3)，则AB →与CA →的夹⾓θ的⼤⼩是_____4、已知向量a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，|λa ＋b |＝29且λ>0，则λ＝ ________.⼩组：组号：姓名：__________⼀、选择题（本题共10⼩题，每题5分，共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案⼆、填空题（共6⼩题，每题5分，共30分）请把正确答案填写在相应的位置上.1、______________2、_______3、________4、_____________ 三、解答题1、若a ＝(1，5，－1)，b ＝(－2，3，5)． (1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k ． (2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k ．2、在正⽅体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点E 1，F 1分别是A 1B 1，C 1D 1的⼀个四等分点，求BE 1与DF 1所成⾓的余弦值。

空间向量运算的坐标表示（北京习题集）（教师版）一．选择题（共8 小题）1．（2019 秋•东城区期末）在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且AF 2FD ，E 为BC 中点，则EF 等于 ( ) u u u r u u u r u u u r u u u r 1 1 2u u u r u u u r u u u r u u u r1 1 2A．EF AC AB AD B．EF AC AB AD2 23 2 2 3u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1 u u u r 1 u u u r 2 u u u r1 1 2C．EF AC AB AD D．EF AC AB AD2 23 2 2 32．（2014 秋•大兴区校级期中）若向量(1，，，，，．，夹角的余弦值是，则的值为 (a 2)b (2 1 2) a b 89 )A．2 B． 2 C． 3 D．33．（2013•宣武区校级模拟）如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点在线段上，且，现用基向量，，表示向量，设，G MN MG 2GN OA OB OC OG xOA yOB zOC则x 、y 、z 的值分别是 ( )A．，，B．，，zx 1 1 z x 1 y 1 1y 13 3 3 3 3 6C．，，D．，，zx 1 1 z x 1 1y 1 y 13 6 3 6 3 34．（2019 秋•丰台区期末）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz 中的坐标分别是 (0 ，0， 0) ， (0 ，0，1) ，(1 ，1， 0) ， (1 ，0，1) ，则此四面体在xOy 坐标平面上的正投影图形的面积为 ( )1 1 3A．B．C．D．14 2 45．（2008 秋•怀柔区期末）已知(2 ，，，，5，，，，，若，，则A 4 1)B ( 1 1)C (3 4 1) a r CA b CB ab第1页（共8页）对应的点为 ( )A． (5 ，9 ， 2) B． ( 5 ，9，2) C． (5 ，9，2) D． (5 ，9 ，2)6．（2008 秋•西城区期末）已知a ，3，5) ，b (3 ，x ，y)，若a / /b ，则 ( )(29 15A．B．，C．x y D．x 9 ，y 15 x y x 9 y 15 9 , 15,2 2 21 7．（2017 秋•东城区期末）结晶体的基本单位成为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为的小正2 方体堆积成的正方体），其中白点〇代表钠原子，黑点●代表氯原子．建立空间直角坐标系后，图中最上O xyz 层中心的钠原子所在位置的坐标是 ( )1 1 1 1 A． ( ，，1) B． (0 ，0，1) C． (1 ，，1) D． (1 ，，2 2 2 2 1 2 )8．（2017 秋•丰台区期末）已知AB (2 ，3，1) ，AC (4 ，5，3) ，那么向量BC ( ) A． ( 2 ， 2 ，2) B． (2 ，2， 2) C． (6 ，8， 4) D． (8 ，15，3)二．填空题（共3 小题）9．（2017 秋•海淀区校级期中）已知单位正方形ABCD A B C D ，点E 为B D 中点．1 1 1 1 1 1设，，．以、、为基底．AD a r AB b AC c r{a b c}1 1表示：（1）AE（2）AC ．110．（2015 秋•昌平区期末）已知a (1，3，1) ，b (1，1，3) ，则| a b |．11．（2010 秋•西城区期末）已知平面的一个法向量是n (1，1，1) ，且平面经过点A(1，2， 0) ．若P(x ，y ，z) 是平面上任意一点，则点P 的坐标满足的方程是．第2页（共8页）空间向量运算的坐标表示（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共8 小题）1．（2019 秋•东城区期末）在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且AF 2FD ，E 为BC 中点，则EF 等于 ( ) u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1 u u u r 1 u u u r 2 u u u r1 1 2A．EF AC AB AD B．EF AC AB AD2 23 2 2 3u u u r u u u r u u u r u u u r 1 1 2u u u r u u u r u u u r u u u r1 1 2C．EF AC AB AD D．EF AC AB AD2 23 2 2 3【分析】直接利用向量的线性运算的应用求出结果．【解答】解：在四面体中，点在上，且，为中点，ABCD F AD AF 2FD E BCu u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2 1 1 1 1 2所以EF AF AE AD ( AB AC) AC AB AD ．3 2 2 2 2 3故选：．B【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．2．（2014 秋•大兴区校级期中）若向量(1，，，，，．，夹角的余弦值是，则的值为 (a 2)b (2 1 2) a b 89 )A．2 B． 2 C． 3 D．36 8【分析】设向量，的夹角为，可得，解这个关于的方程即可．a b cos3 529【解答】解：设向量，的夹角为，则a bQ a (1 2) b (2 1 2)向量，，，，，，，2 4 68cos1 4g 4 1 4 3 52 29解得 2 ，故选：B ．【点评】本题考查空间向量的夹角与距离公式，属基础题．第3页（共8页）3．（2013•宣武区校级模拟）如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点在线段上，且，现用基向量，，表示向量，设，G MN MG 2GN OA OB OC OG xOA yOB zOC则、、的值分别是x y z ( )1 y 1A．，，B．，，zx 1 z x 1 y 1 13 3 3 3 3 6C．，，D．，，zx 1 y 1 1z x 1 y 1 13 6 3 6 3 3【分析】利用向量的三角形法则及平行四边形法则和向量形式的中点公式即可得出．u u u u r u u u r u u u r 1 u u u r u u u r1【解答】解：Q M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，OM OA ，ON (OB OC) ．2 2u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r2 2 1 2OG OM MG OM MN OM (ON OM ) OM ON3 3 3 3u u u r u u u r u u u r1 12 1OA (OB OC)3 2 3 2u u u r u u u r u u u r，1 1 1OA OBOC6 3 31因此，y z ．x 16 3故选：D ．【点评】熟练掌握向量的三角形法则及平行四边形法则是解题的关键．4．（2019 秋•丰台区期末）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz 中的坐标分别是 (0 ，0， 0) ， (0 ，0，1) ，(1 ，1， 0) ， (1 ，0，1) ，则此四面体在xOy 坐标平面上的正投影图形的面积为 ( )1 1 3A．B．C．D．14 2 4【分析】如图，此四面体在xOy 坐标平面上的正投影图形是ABD ，由此能求出此四面体在xOy 坐标平面上的正投影图形的面积．【解答】解：一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz 中的坐标分别是 (0 ，0， 0) ， (0 ，0，1) ， (1 ，1， 0) ，(1 ，0，1) ，如图，此四面体在xOy 坐标平面上的正投影图形是ABD ，第4页（共8页）xOy此四面体在坐标平面上的正投影图形的面积为：．1 1S11ABD2 2故选：B ．【点评】本题考查四面体在xOy 坐标平面上的正投影图形的面积的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．（2008 秋•怀柔区期末）已知(2 ，，，，5，，，，，若，，则A 4 1)B ( 1 1)C (3 4 1) a r CA b CB ab对应的点为 ( )A． (5 ，9 ， 2) B． ( 5 ，9，2) C． (5 ，9，2) D． (5 ，9 ，2)【分析】利用向量的坐标运算，求出的坐标．再根据向量坐标与以为起点的有向线段的终点的坐标相同，解a b O出结果．【解答】解：( 1 ，0，，，9，；a r CA 2)b CB ( 4 0)a b ( 5 ，9，2)a b ( 5 2)对应的点，9，故选：B ．【点评】本题考查向量的坐标运算．以及向量与坐标平面内点得对应关系．6．（2008 秋•西城区期末）已知a (2 ，3，5) ，b (3 ，x ，y)，若a / /b ，则 ( )9 15A．, B．，C．x y D．x 9 ，y 15x y x 9 y 15 9 , 152 2 2【分析】轨迹题意可得与共线，即，结合向量的有关运算即可得到答案．a b a b【解答】解：由题意可得：a (2 ，3，5) ，b (3 ，x ，y)，并且a / /b ，所以，a b第5页（共8页）2所以，，y ．x 9 153 2 2故选：．A【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握空间向量的有关运算，即共线、垂直等问题．1 7．（2017 秋•东城区期末）结晶体的基本单位成为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为的小正2 方体堆积成的正方体），其中白点〇代表钠原子，黑点●代表氯原子．建立空间直角坐标系后，图中最上O xyz 层中心的钠原子所在位置的坐标是 ( )1 1 1 1 A． ( ，，1) B． (0 ，0，1) C． (1 ，，1) D． (1 ，，2 2 2 2 1 2 )【分析】设图中最上层中间的钠原子所在位置为B 点，以O 、B 为相对顶点，作出长方体ABCD OEFG ，分别找出点在轴、轴和轴上射影点及其坐标，即可得出点的坐标．B x y z B【解答】解：设图中最上层中间的钠原子所在位置为B 点，以O 、B 为相对顶点，作出长方体ABCD OEFG ，如图所示：Q BFGD B x平面经过点与轴垂直，1 1点B 在x 轴上的射影为G 点，结合G( ，0， 0) 得B 的横坐标为；2 21 1同理可得，点B 在y 轴上的射影为E 点，结合E(0 ，， 0) 得B 的纵坐标为；2 2点B 在z 轴上的射影为D 点，结合D(0 ，0，1) 得B 的竖坐标为 1；1 1由此可得点B 的坐标为 ( ，，1) ．2 2故选：A ．第6页（共8页）【点评】本题考查了空间坐标系的定义和点的坐标表示法的应用问题，是基础题目．8．（2017 秋•丰台区期末）已知AB ，3，1) ，AC (4 ，5，3) ，那么向量BC ( )(2A． ( 2 ， 2 ，2) B． (2 ，2， 2) C． (6 ，8， 4) D． (8 ，15，3)【分析】利用向量即可得出．BC AC AB【解答】解：向量BC AC AB (4 ，5，3) (2 ，3，1) (2 ，2， 2) ，故选：．B【点评】本题考查了向量三角形法则、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二．填空题（共3 小题）9．（2017 秋•海淀区校级期中）已知单位正方形ABCD A B C D ，点E 为B D 中点．1 1 1 1 1 1设，，．以、、为基底．AD a r AB b AC c r{a b c}1 1表示：rr（1） a bAE 1 12 2（2）AC ．1【分析】根据向量的基本运算计算即可．【解答】解：（1）在△AB D 中，1 1设，AB b ，E 为中点，AD a rB D1 1 1 1u u u r u u u u r u u u u r r r1 1 1AE (AB AD ) a b；1 12 2 2 u u u u ru u u r u u u u r u u u r u u u u r1（2）AC AE EC AE A C1 1 1 12u u u r u u u r r r r，1 1 1 1AE AC a bc2 2 2 2第7页（共8页）r r1 r 1 1 r 1 1 r故答案为： a b ； a b c ．2 2 2 2 2【点评】本题考查了向量的基本运算，考查基本的向量知识，是一道常规题．10．（2015 秋•昌平区期末）已知a (1，3，1) ，b (1，1，3) ，则| a b |6．【分析】根据空间向量的坐标运算，求出a b ，再求它的模长．【解答】解：Q a (1，3，1) ，b (1，1，3) ，a b (2 4 4)，，，．r| a b | 2 ( 4) 4 62 2 2故答案为：6．【点评】本题考查了空间向量的坐标运算与求模长的应用问题，是基础题目．11．（2010 秋•西城区期末）已知平面的一个法向量是n (1，1，1) ，且平面经过点A (1，2， 0) ．若P(x ，y z ) P x y z 3 0，是平面上任意一点，则点的坐标满足的方程是．【分析】求出向量AP ，利用平面的一个法向量是n (1，1，1) ，通过向量的数量积为 0，求解即可．【解答】解：由题意可知AP (x, y, z) (1, 2, 0) (x 1，y 2 ，z) ；平面的一个法向量是，1，，所以，n (1 1) AP g n r 0即： (x 1，y 2 ，z)(1，1，1) 0 ；x 1y 2 z 0 x y z 3 0，即，所求点的坐标满足的方程是．P x y z 3 0故答案为：x y z 3 0 ．【点评】本题是基础题，考查点的轨迹方程的求法，注意向量的数量积的应用，考查计算能力．第8页（共8页）。

高二数学空间向量基本定理与坐标运算试题1.已知向量，，则以，为邻边的平行四边形的面积为( )A．B．C．4D．8【答案】B．【解析】首先由向量的数量积公式可求与夹角的余弦值，然后根据同角三角函数的关系得，最后利用正弦定理表示平行四边形的面．【考点】向量模的运算；利用正弦定理表示三角形的面积．2.点关于原点对称的点的坐标是．【答案】【解析】空间直角坐标系中点的对称关系:,可得.【考点】空间直角坐标系中点的对称关系.3.在空间直角坐标系中，点P（1,3，-5）关于平面xoy对称的点的坐标是（ )A．（-1,3，-5）B．（1,3，5）C．（1,-3，5）D．（-1,-3，5）【答案】B【解析】根据空间直角坐标系坐标的对称的结论：点（x，y，z）关于平面xoy对称的点坐标为（x，y，-z），可知答案是B.【考点】空间直角坐标系点的对称问题.4.已知向量，且∥，则实数的值为．【答案】.【解析】由已知得=（k+1,2k+2，k+2），=（-1，-2，-3），再由两向量共线的充要条件知=，建立方程解得k=.【考点】（1）向量的坐标运算；（2）向量共线的充要条件.5.已知向量，，且，那么等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，所以，解得，所以，选答案A.【考点】空间向量平行的坐标关系.6.已知空间四边形，其对角线为，分别是边的中点，点在线段上，且使，用向量表示向量是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：因为,选A7.已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】由已知中△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，-3，7），C（0，5，1），利用中点公式，求出BC边上中点D的坐标，代入空间两点间距公式，即可得到答案.解：∵B（4，-3，7），C（0，5，1），则BC的中点D的坐标为（2，1，4）则AD即为△ABC中BC边上的中线故选B.【考点】空间中两点之间的距离点评：本题考查的知识点是空间中两点之间的距离，其中根据已知条件求出BC边上中点的坐标，是解答本题的关键．8.为空间的两个不同的点，且，空间中适合条件的点的集合表示的图形是 .【答案】经过点且与垂直的平面【解析】设点M（x,y,z），那么可知设A（0，0，0），B（0，0，1），，由则可知（x,y,z）（0，0，1）=1，z=1，可知表示的图形为过点B的与AB垂直的平面。

《1.2空间向量及其运算的坐标表示》同步练习一、单选题1．已知向量，，则向量（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知向量，向量，若，则实数（ ）A ．B ．C ．D ．3．若向量，且，则实数的值是（ ）A ．B ．0C ．D ．14．已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ）A ．BC ．D ． 5．已知，，且，则（ ）A ．-4B ．-5C ．5D ．-26．若，则的最小值是（ ）ACD7．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则( ) A ． B ． C ． D ．8．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知，， ，若、、三个向量共面，则实数( )A ．3B ．5C ．7D ．910．如图，在边长为的正方体中，为的中点，点在底面(1,2,1)a =-(1,2,1)a b -=--b =(2,4,2)-(2,4,2)--(2,0,2)--(2,1,3)-()3,2,a x =()2,0,1b =a b ⊥x =33-66-(0,1,1),(1,1,0)a b =-=()a b a λ+⊥λ1-2-()1,,2a n =()2,1,2b =-2a b -b a 222()2,1,2a =-()4,2,b x =-//a b x =(1,21,0),(2,,)a m m b m m =--=b a -(2,1,3)A -xOz B OA OB ⋅=10-1012-12),4(4,2a =--)6,(3,2b =-)10,,6(5a b +=--()2,1,6a b -=--10a b ⋅=6a =()2,1,3a =-()1,4,4b =--()7,7,c λ=a b c λ=21111ABCD A B C D -E BC P ABCD上移动，且满足，则线段的长度的最大值为（ ）A ．B ．C ．．二、多选题11．已知向量，则与共线的单位向量（ ）A ．B ．C ．D ．12．对于任意非零向量，，以下说法错误的有( )A ．若，则B ．若，则C ．D．若，则为单位向量13．若，，与的夹角为，则的值为（）A ．17B ．－17C ．－1D ．1三、填空题 11B P D E ⊥1B P 523(1,1,0)a =a e =(22--(0,1,0)(1,1,1)()111,,a x y z =()222,,b x y z =a b ⊥1212120x x y y z z ++=//a b 111222x y z x y z ==cos ,a b =><1111===x y z a ()1,,2a λ=--()2,1,1b =-a b 120︒λ14．已知，，则______.15．已知向量，，则____；若，则______16．已知，，，，，则______.17如图，棱长为2的正方体中，是棱的中点，点P 在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为__________.四、解答题18．已知，，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.19．已知向量，，.（1）若，求的值；（2）若、、、四点共面，求的值.20.已知向量，，.（Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值；（Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值.21．已知空间三点，设. ()3,2,5a =-()1,5,1b =-a b ⋅=(1,2,2)a (2,,1)b x a =a b ⊥x =()1,1,0a =()0,1,1b =()1,0,1c =p a b =-2q a b c =+-p q ⋅=1111ABCD A B C D -M 1AA 11ABB A 1D P CM PBC ∆()2,1,3a =-()4,2,b x =-()1,,2c x =-//a b x ()a b c +⊥x ()1,1,1AB =()1,2,1AC =-()3,,1AD y =AD AC ⊥y A B C D y (2,1,2)=--a (1,1,2)b =-(,2,2)x =c ||22c =ka b +c x k c a b x ()()()2,0,2,1,1,2,3,0,4A B C ---,a AB b AC ==（1）求和的夹角的余弦值；（2）若向量与互相垂直，求的值.22．已知向量.（1）求与共线的单位向量；（2）若与单位向量垂直，求m ，n 的值.23．已知空间中三点，，，设，.（1）若，且，求向量；（2）已知向量与互相垂直，求的值；（3）求的面积.答案解析一、单选题1．已知向量，，则向量（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由已知可得.故选：A.2．已知向量，向量，若，则实数（ ）A ．B ．C ．D ． a b θka b +2ka b -k ()1,2,2a =-a b a ()0,,c m n =()2,0,2A -()1,1,2B --()3,0,4C -a AB =b AC =3c =//c BC c ka b +b k ABC ∆(1,2,1)a =-(1,2,1)a b -=--b =(2,4,2)-(2,4,2)--(2,0,2)--(2,1,3)-()()()1,2,11,2,12,4,2b =----=-()3,2,a x =()2,0,1b =a b ⊥x =33-66-【答案】D【解析】，，，，解得.故选：D.3．若向量，且，则实数的值是（ ）A ．B ．0C ．D ．1【答案】C【解析】由已知，由得：，，故选：C.4．已知空间向量，，若与垂直，则等于（）ABC．【答案】A【解析】由空间向量，，若与垂直，则，即，即，即，即，即， 故选：A. ()3,2,a x =()2,0,1b =a b ⊥60a b x ∴⋅=+=6x =-(0,1,1),(1,1,0)a b =-=()a b a λ+⊥λ1-2-(0,1,1)(1,1,0)(,1,1)a bλλλλ+=-+=+-()a b a λ+⊥()(,1,1)(0,1,1)110a b a λλλλ+⋅=+-⋅-=++=2λ∴=-()1,,2a n =()2,1,2b =-2a b -b a 2()1,,2a n =()2,1,2b =-2a b -b (2)0a b b -⋅=22a b b ⋅=249n +=52n =51,,22a ⎛⎫= ⎪⎝⎭251a =+=5．已知，，且，则（ ）A ．-4B ．-5C ．5D ．-2【答案】A【解析】因为，，且，所以存在实数，使得，即解得 故选：6．若，则的最小值是（ ）ACD【答案】C【解析】，所以故选C7．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则( ) A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】由题意，空间直角坐标系中，点关于平面的对称点， 所以,则，故选 D. 8．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D()2,1,2a =-()4,2,b x =-//a b x =()2,1,2a =-()4,2,b x =-//a b λb a λ=4222x λλλ-=⎧⎪=-⎨⎪=⎩24x λ=-⎧⎨=-⎩A (1,21,0),(2,,)a m m b m m =--=b a -(1,1,)b a m m m -=+-(1)b a m -=+=≥(2,1,3)A -xOz B OA OB ⋅=10-1012-12(2,1,3)A -xOz (2,1,3)B =(2,1,3),(2,1,3)OA OB -=22(1)13312OA OB ⋅=⨯+-⨯+⨯=),4(4,2a =--)6,(3,2b =-)10,,6(5a b +=--()2,1,6a b -=--10a b ⋅=6a =【解析】因为，所以，，故选：9．已知，， ，若、、三个向量共面，则实数( )A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】A【解析】，， ， 、、三个向量共面，存在实数，，使得，即有：，解得，，实数．故选：．10．如图，在边长为的正方体中，为的中点，点在底面上移动，且满足，则线段的长度的最大值为（ ）),4(4,2a =--)6,(3,2b =-)10,,2(5a b +=--()2,1,6a b -=--()()()46234222a b =⨯+-⨯-+-⨯=(246a =+=D ()2,1,3a =-()1,4,4b =--()7,7,c λ=a b c λ=()2,1,3a =-()1,4,4b =--()7,7,c λ=a b c ∴m n c ma nb =+727434m n m n m n λ=-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩5m =3n =∴35433λ=⨯-⨯=A 21111ABCD A B C D -E BC P ABCD 11B P D E ⊥1B PA． C ．． 【答案】D【解析】如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则点、、，设点，，， ，，得， 由，得，得，23D DA DC 1DD x y z D xyz -()12,2,2B ()10,0,2D ()1,2,0E ()(),,002,02P x y x y ≤≤≤≤()11,2,2D E =-()12,2,2B P x y =---11D E B P ⊥()112224220B P D E x y x y ∴⋅=-+-+=+-=22x y =-0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩022202y y ≤-≤⎧⎨≤≤⎩01y ≤≤，当时，取得最大值. 故选：D.二、多选题 11．已知向量，则与共线的单位向量（ ）A． B ． C ．D ． 【答案】AC【解析】设与共线的单位向量为，所以，因而，得到． 故，而或． 故选：AC ． 12．对于任意非零向量，，以下说法错误的有( )A ．若，则B ．若，则 C．D ．若，则为单位向量【答案】BD【解析】 对于A 选项，因为，则，A 选项正确； 对于B 选项，若，且，，若，但分式无意义，B 选项错误； ()124B P x ∴=+=01y ≤≤1y =1B P 3(1,1,0)a =a e =(22--(0,1,0)(22(1,1,1)a e a e λ=a e λλ==a λ=±ae a =±11a =+=2(,22e =2(,2e =-()111,,a x y z =()222,,b x y z =a b ⊥1212120x x y y z z ++=//a b 111222x y z x y z ==cos ,a b =><1111===x y z a a b ⊥1212120a b x x y y z z ⋅=++=20x =20y ≠20z ≠//a b 12x x对于C 选项，由空间向量数量积的坐标运算可知，C 选项正确；对于D 选项，若，则，此时，不是单位向量，D 选项错误.故选：BD.13．若，，与的夹角为，则的值为（ ）A ．17B ．－17C ．－1D ．1【答案】AC【解析】由已知，， ，解得或， 故选：AC.三、填空题 14．已知，，则______.【答案】 【解析】，故答案为：15．已知向量，，则_____；若，则_______ 【答案】3 0【解析】∵向量，， ∴. cos ,a b =><1111===x y z 2211a =+=a ()1,,2a λ=--()2,1,1b =-a b 120︒λ224a b λλ⋅=---=--22145,4116a b λλ=++=+=++=1cos12025a b a b λλ⋅-∴===-⋅+17λ=1λ=-()3,2,5a =-()1,5,1b =-a b ⋅=2()3,2,5a =-()1,5,1b =-()3125512a b ∴=-⨯+⨯+⨯-=2(1,2,2)a(2,,1)b x a =a b ⊥x =(1,2,2)a (2,,1)b x ||143a =++=若，则，解得.故答案为：3，0.16．已知，，，，，则______.【答案】-1【解析】依题意，所以.故答案为：17．如图，棱长为2的正方体中，是棱的中点，点P 在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为__________.【解析】以D 点为空间直角坐标系的原点，以DC 所在直线为y 轴，以DA 所在直线为x 轴，以 为z 轴，建立空间直角坐标系.则点， 所以.因为，所以,因为,所以，所以，因为B(2，2，0)，所以，所以因为，所以当时，. a b ⊥2220a b x ⋅=+-=0x=()1,1,0a =()0,1,1b =()1,0,1c =p a b =-2q a b c =+-p q ⋅=()()1,0,1,0,3,1p a b q =-=-=0011p q ⋅=+-=-1-1111ABCD A B C D -M 1AA 11ABB A 1D P CM PBC ∆1DD 1(2,,),(0,0,2)P y z D 1(2,,2)D P y z =-(0,2,0),(2,0,1)C M (2,2,1)CM =-1D P CM ⊥4220y z -+-=22z y =-(0,2,)BP y z =-BP ===02y ≤≤65y =min BP =因为BC ⊥BP,所以. 四、解答题18．已知，，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）-6；（2）-4.【解析】（1）， ∴，∴. （2），∵，∴，∴，∴.19．已知向量，，.（1）若，求的值；（2）若、、、四点共面，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），得，，，，解得；min 1()22PBC S ∆=⨯=()2,1,3a =-()4,2,b x =-()1,,2c x =-//a b x ()a b c +⊥x b a λ=2423x λλλ=-⎧⎪-=⎨⎪=⎩6x =-()2,1,3a b x +=-+()a b c +⊥()0a b c +⋅=()2230x x --++=4x =-()1,1,1AB =()1,2,1AC =-()3,,1AD y =AD AC ⊥y A B C D y 1y =-4y =AD AC ⊥AD AC ⊥0AD AC ∴⋅=()()3,,11,2,10y ∴⋅-=3210y ∴+-=1y =-（2）由、、、四点共面，得，，使得，，，，解得.20.已知向量，，.（Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值； （Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值.【答案】（Ⅰ）实数和的值分别为和.（Ⅱ） 【解析】 (Ⅰ)因为,.且.因为向量与垂直,所以.即.所以实数和的值分别为和.(Ⅱ)因为向量与向量，共面,所以设（）. 因为, 所以 所以实数的值为. 21．已知空间三点，设.（1）求和的夹角的余弦值； A B C D λ∃R μ∈AD AB AC λμ=+()()()1,1,11,2,13,,1y λμ∴+-=321y λμλμλμ+=⎧⎪∴+=⎨⎪-=⎩4y =(2,1,2)=--a (1,1,2)b =-(,2,2)x =c ||22c =ka b +c x k c a b x x k 03-12-||22c =0x ==ka b =+(21,1,22)k k k ---+ka b +c ()0ka b c =+⋅260k +=x k 03-c a b c a b λμ=+,R λμ∈(,2,2)(2,1,2)(1,1,2)x λμ=--+-2,2,222,x λμμλλμ=--⎧⎪=-⎨⎪=+⎩1,21,23.2x λμ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩x 12-()()()2,0,2,1,1,2,3,0,4A B C ---,a AB b AC ==a b θ（2）若向量与互相垂直，求的值.【答案】（1）；（2）或. 【解析】 ，．（1）所以与的夹角的余弦值为. （2），，所以, 即，所以或. 22．已知向量.（1）求与共线的单位向量； （2）若与单位向量垂直，求m ，n的值.【答案】（1）或.（2）或 【解析】（1）设=(λ,2λ,-2λ)，而为单位向量，∴||=1，即λ2+4λ2+4λ2=9λ2=1，∴λ=±. ka b +2ka b -k 52k =-2k =(1,1,2)(2,0,2)(1,1,0)a AB ==---=(3,0,4)(2,0,2)(1,0,2)b AC ==---=-10cos ||||2a b a b θ⋅-+===⨯a b θ,,01,)0,21,,()()(2ka b k k k k +=+-=-2,,02,)0,42,,()()(4ka b k k k k -=--=+-()()21,,22,,(4)()1280k k k k k k k -⋅+-=-++-=22100k k +-=52k =-2k =()1,2,2a =-a b a ()0,,c m n =122,,333b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭122,,333b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,2m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩b b b 13∴=或=. （2）由题意，知，且故可得 解得或 23．已知空间中三点，，，设，.（1）若，且，求向量；（2）已知向量与互相垂直，求的值；（3）求的面积.【答案】（1）或；（2）；（3）【解析】（1）空间中三点，，，设，， 所以，，，，且，设，，，或．（2）， 且向量与互相垂直， b 122,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭b 122,,333⎛⎫-- ⎪⎝⎭0a c ⋅=1c=10220,1,m n ⨯+-=⎧⎪=2m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩()2,0,2A -()1,1,2B --()3,0,4C -a AB =b AC =3c =//c BC c ka b +b k ABC ∆()2,1,2c =-()2,1,2c =--532()2,0,2A -()1,1,2B --()3,0,4C -a AB =b AC =()()()1,1,22,0,21,1,0a AB =--=--=--()()()3,0,42,0,21,0,2b AC ==---=-∴(3,0,4)(1,1,2)(2,1,2)BC =----=-3c =//c BC c mBC =∴()()2,1,22,,2c mBC m m m m ==-=-(233c m m ∴=-==1m ∴=±∴()2,1,2c =-()2,1,2c =--()()()1,0,21,,21,1,0ka b k k k -++=---=--()1,0,2b =-ka b +b，解得． 的值是．（3）因为，， ，，，． ()140ka b b k ∴+=-+=5k =k ∴5()1,1,0AB =--()1,0,2AC =-()2,1,2BC =-1AB AC ∴=-(AB =-21AC ==11cos ,||||2510AB AC AB AC AB AC -∴<>===-sin ,1AB AC ∴<>==1sin ,2ABC S AB AC AB AC ∆∴=⨯⨯⨯<>12=32=。

空间向量及其运算(习题及答案)例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为上底面A1B1C1D1的中心，若AE=AA1+xAB+yAD，则x，y的值分别为（）。

解析：由于E为上底面A1B1C1D1的中心，所以AE的长度为A1E的长度的一半，即AE=1/2A1E。

又因为A1E的方向向量为1/2(AB+AD)，所以AE=1/2(AA1+AB+AD)。

将AE=AA1+xAB+yAD代入，得到x=1/2，y=1/2，故选D。

例2：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=2，AD=1，且AB，AD，AA1两两之间的夹角都是60°，则AC1·BD1=（）。

解析：由于AB，AD，AA1两两之间的夹角都是60°，所以它们构成一组正交基底。

设AB=a，AD=b，AA1=c，则AC1=AB+BC1+CA1=a+b/2+c/2，BD1=BD=AD+DC1+CB1=b+a/2+c/2.将AC1·BD1代入，得到AC1·BD1=(a+b/2+c/2)·(b+a/2+c/2)=ab+ac/2+bc/2+a^2/4+b^2/4+c^2/4+ac/4+bc/4，化简得到AC1·BD1=ab+ac+bc+1/4(a^2+b^2+c^2)，代入数值计算得到AC1·BD1=5/2，故选B。

例3：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，C1D1的一个四等分点，求BE与DF所成角的余弦值。

解析：以DA，DC。

设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则B(1，1，0)，E(1，1/2，1)，D(0，0，0)，F(0，1/2，1)。

由于BE的方向向量为(0,-1,1)，DF的方向向量为(0,1,1)，所以BE·DF=0*(-1)+(-1)*1+1*1=0，即BE与DF所成角的余弦值为0，故选A。

1.在三棱锥O-ABC中，设OA=a，OB=b，OC=c，用a，b，c表示MN，则MN=1/2√(2a^2+2b^2-2c^2)。