当前位置：文档之家 › 第二课时、极坐标系

第二课时、极坐标系

  • 格式：ppt
  • 大小：420.50 KB
  • 文档页数：16

下载文档原格式

  / 16

合集下载

极坐标系 课件

极坐标系 课件
所以 θ＝34π，所以直角坐标(－2,2)化为极坐标为2 2，34π.
(2)ρ＝ 22＋－2 32＝4，tan θ＝－22 3＝－ 3， θ∈[0,2π)，由于点(2，－2 3)
在第四象限，所以 θ＝53π，所以直角坐标(2，－2 3)化为极坐标为4，53π.
(3)ρ ＝
－ 23π2＋－32π2 ＝
【例题 2】 写出下列各点的直角坐标．
(1)4，23π；(2)2，56π；(3)4，－π3.
思维导引：由公式yx＝＝ρρscions
θ， θ
结合点的极坐标(ρ，θ)求解．
解析：(1)由x＝4cos23π＝4×－12＝－2， y＝4sin23π＝4× 23＝2 3，
得4，23π的直角坐标为(－2,2 3)．
(2)由x＝2cos56π＝2×－ 23＝－ 3， y＝2sin56π＝2×12＝1，
得2，56π的直角坐标为(－ 3，1)． (3)由yx＝＝44scions－－π3π3＝＝44××12－＝223，＝－2 3， 得4，－π3的直角坐标为(2，－2 3)．
•考点三 将点的直角坐标化为极坐标
• (1)牢记将直角坐标化为极坐标的公式； • (2)注意极径和极角的取值范围．
1＋4－4×cosπ3＝ 3.
【例题 3】 分别将下列各点的直角坐标化为极坐标(限定 ρ≥0，0≤θ<2π)． (1)(－2,2)；(2)(2，－2 3)；(3)－ 23π，－32π.
借助ρ＝ x2＋y2求ρ 思维导引：由已知―由―t―an―θ―＝―yx―x≠―0―求―θ→转化为极坐标． 解析：(1)ρ＝ －22＋22＝2 2，tan θ＝－22＝－1，θ∈[0,2π)，由于点(－2,2)在第 二象限，
【例题 1】 在极坐标系中，设点 A4，π6，直线 l 为过极点且垂直于极轴的直线，

极坐标系 课件

极坐标系 课件

自我 校对
1.极点 极轴 2.极径 极角 3.ρsinθ x2＋y2
思考探究 1 极坐标系与平面直角坐标系有什么区别和联系？ 提示 平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景，而 极坐标系以角这一平面图形为几何背景；极坐标系和平面直角坐标 系都由两个量构成，都是平面坐标系．
思考探究 2 把直角坐标化为极坐标时，如何确定极角 θ？ 提示 先由 tanθ＝xy(x≠0)，求出 tanθ 的值，再根据点(x，y)所 在的象限取最小正角 θ.
典例剖析
【例 1】 在极坐标系中作出下列各点，并说明每组中各点间 的位置关系．
(1)A(2,0)，B(2，π6)，C(2，4π)，D(2，π2)，E(2，32π)，F(2，54π)， G(2，161π)．
(2)A(0，π4)，B(1，4π)，C(2，54π)，D(3，54π)，E(3，94π)．
【解】 (1)如下图所示，这些点都在以极点为圆心，半径为 2 的圆上．
பைடு நூலகம்
【解】 如下图所示 关于极轴的对称点为 B(2，－3π)．
关于直线 l 的对称点为 C(2，23π)． 关于极点 O 的对称点为 D(2，－23π)．
规律技巧 点(ρ，θ)关于极轴的对称点是(ρ，－θ)，关于直线 l 的对称点是(ρ，π－θ)，关于极点 O 的对称点是(ρ，π＋θ)．
【例 3】 (1)把点 M 的极坐标(2，23π)化为直角坐标形式； (2)把点 M 的直角坐标(－ 3，－1)化成极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．
3．极坐标与直角坐标的互化 我们把极轴与平面直角坐标系 xOy 的 x 轴的正半轴重合，且两 种坐标系取相同的长度单位，设 P(x，y)是平面上的任意一点，如 下图：
则有换算公式：

极坐标系教案

极坐标系教案

极坐标系教案一、教学目标：1.了解极坐标系的概念和基本性质。

2.掌握在极坐标系中表示点的方法。

3.了解极坐标系与直角坐标系之间的转换关系。

二、教学重点：1.极坐标系的概念和基本性质。

2.在极坐标系中表示点的方法。

三、教学难点：1.极坐标系与直角坐标系之间的转换关系。

四、教学准备：1.教师准备黑板、彩色粉笔和教学课件。

2.学生准备铅笔和笔记本。

五、教学过程：Step 1 引入新课教师通过引导学生回忆直角坐标系的表示方法，让学生了解到直角坐标系的局限性，引出极坐标系的概念和意义。

Step 2 讲解极坐标系的概念和基本性质教师通过板书和课件向学生讲解极坐标系的概念和基本性质：极坐标系是以原点O和极轴为基准建立的坐标系，点P的位置用距离r和角度θ来表示。

极半径r是点P到原点O的距离，极角θ是以极轴的正方向为起点，逆时针旋转到点P所过的角。

Step 3 示范和练习教师通过示范和练习帮助学生掌握在极坐标系中表示点的方法。

首先，教师示范在极坐标系中表示一个点的步骤：先确定点的位置，然后确定点的极坐标。

随后，教师让学生在极坐标系中表示给定的点，进行练习。

Step 4 讲解极坐标系与直角坐标系的转换教师通过板书和课件向学生讲解极坐标系与直角坐标系之间的转换关系：在直角坐标系中，点P的坐标是( x，y)，在极坐标系中，点P的坐标是( r，θ )。

直角坐标系到极坐标系的转换公式为： r = sqrt( x^2 + y^2 )，θ = arctan( y / x )。

Step 5 示范和练习教师通过示范和练习帮助学生掌握直角坐标系和极坐标系之间的转换关系。

首先，教师示范将直角坐标系中的点转换为极坐标，然后将极坐标系中的点转换为直角坐标。

随后，教师让学生进行练习，巩固转换关系的理解和运用。

Step 6 小结和作业布置教师通过让学生回答问题和归纳总结的方式对本节课的内容进行小结，然后布置作业：完成课后练习题，做好笔记。

六、板书设计：极坐标系1.概念：以原点O和极轴为基准建立的坐标系，点P的位置用距离r和角度θ来表示。

极坐标系

极坐标系

极坐标系知识点：1．极坐标系：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系．2．极坐标：设M 是平面内一点，OM 的长叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对()ρθ，叫做点M 的极坐标． 在直角坐标系内平面点集与有序实数对的集合{ (x,y )|x 、y ∈R}一一对应，而在极坐标系内平面点集与有序实数对的集合{ (ρ,θ)|ρ、θ∈R}不是一一对应的，()()(),,2,2()k k k Z ρθρθπρθππ+-++∈、、表示同一个点.3．极坐标与直角坐标的互化：把直角坐标的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标为()x y ，，极坐标为()ρθ，， 有cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，也有222tan (0)x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩，这就是极坐标与直角坐标的互化公式． 若0ρ<时，则0ρ->，我们规定点()M ρθ，与点()P ρθ-，关于极点对称．4.极坐标中的弦长公式：1122A(,),B(,)AB ρθρθ=设，三角形的面积公式12121sin()2AOB S ρρθθ∆=-.5.常用的极坐标方程： 直线方程：圆的方程：一、极坐标的概念知识精讲：（1）极坐标系：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系． （2）极坐标：设M 是平面内一点，OM 的长叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对()ρθ，叫做点M 的极坐标． 在直角坐标系内平面点集与有序实数对的集合{ (x,y )|x 、y ∈R}一一对应，而在极坐标系内平面点集与有序实数对的集合{ (ρ,θ)|ρ、θ∈R}不是一一对应的，()()(),,2,2()k k k Z ρθρθπρθππ+-++∈、、表示同一个点.1.__________________.(1),,(2),,(3)0,[0,2),ρθπ>∈（一星）下列判断正确的有在极坐标平面中给定一个点的极坐标则能确定该点的位置在极坐标平面中一个点的位置确定则其极坐标唯一确定若规定可使极坐标与平面内的点一一对应答案：（1）（3）2.(3,)(,)4M R πρθ∈写出点的所有极坐标规定答案：略4.2,3,32.A B O AOB ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（二星）已知两点的极坐标，，为极点，求两点间的距离及三角形的面积2.(5,),(5,),(),623.ABC A B C πππ∆-已知的三顶点的极坐标分别为判断三角形的形状并求出面积 备注：套距离公式就可以了.二、极坐标与直角坐标互化()2:2,0:1.1,3)2(32,5)1.(3πθπθπρπ≤≤<-≥--⎪⎭⎫⎝⎛若限定；变若限定变化成极坐标的直角坐标将点化为直角坐标；的极坐标将点M M答案：略3.（二星）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为()1,1-，若取原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则在下列选项中，不是点P 极坐标的是（ ）A ．3π,4⎫⎪⎭ B．5π,4⎫-⎪⎭ C．11π,4⎫⎪⎭ D．π,4⎫-⎪⎭备注：极坐标的多种表示方法5.（一星）将极坐标方程2cos ρθ=化成直角坐标方程为． 备注：圆的极坐标的应用6.（一星）圆的极坐标方程为sin 2cos ρθθ=+，将其化成直角坐标方程为，圆心的直角坐标为．27.4sin 5.2θρ=（三星）判断极坐标方程表示的曲线，求其准线极坐标方程 备注：抛物线方程互化、直线化极坐标221cos 4sin 54522cos 522252555()455cos .22x x y x x θθρρρρθρθ-=∴=-==+=+=-=-解：由，，即：平方整理：，表示抛物线准线方程：，即2.（二星）（2015广东理）已知直线的极坐标方程为，点的极坐标为，则点到直线的距离为 .解：依题已知直线：可化为：和，所以点与直线的距离为，故应填入．9.（二星）（2015江苏）已知圆C的极坐标方程为222sin()404πρρθ+--=，求圆C的半径.1.（二星）（2016北京）在极坐标系中，直线与圆交于A ，B 两点，则______. 解：转化成直角坐标做，答案为2.l 24sin(2=-）πθρA 74A π⎛⎫⎪⎝⎭A l l 2sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭74A π⎛⎫ ⎪⎝⎭l 10x y -+=()2,2A -A l 2d ==cos sin 10ρθθ-=2cos ρθ=||AB =三、常用的直线与圆的极坐标4.（一星）已知圆的极坐标方程为2cos ρθ=，则圆心的直角坐标是 ；半径长为 ． 备注：圆的极坐标的应用7.cos sin .ρθρθ==求极坐标方程分别为和的两个圆的圆心距离10.（二星）（2012陕西）直线与圆相交的弦长为 . 备注：极坐标的简单应用解：是过点且垂直于极轴的直线，是以为圆心，1为半径的圆，则弦长=.4．（二星）（2013安徽理）在极坐标系中,圆=2cos ρθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）A ．0()cos 2R θρρθ=∈=和B ．()cos 22R πθρρθ=∈=和C ．()cos 12R πθρρθ=∈=和D ．0()cos 1R θρρθ=∈=和备注：极坐标系的直接应用2cos 1ρθ=2cos ρθ=2cos 1ρθ=⎪⎭⎫⎝⎛0,212cos ρθ=()0,1321122=⎪⎭⎫⎝⎛-四、极坐标的应用(1)2cos (2)2cos()(3)2cos()66(4)sin 1(5)sin()1(6)sin() 1.66ππρθρθρθππρθρθρθ==-=+=-=+=9.（三星）画出以下图形：；备注：注意常用的旋转技巧答案：（1）略；（2）（1）的图形逆时针旋转6π；（3）（1）的图形顺时针旋转6π；（4）略；（5）（4）的图形逆时针旋转6π；（6）（4）的图形顺时针旋转6π.10.()sin().4πρθ+三星直线的极坐标方程为求极点到该直线的距离解：sin 2ρθ=绕极点顺时针旋转4π单位即可.答案：25.极坐标系中(3)6P π-，，若规定0,[,)ρθππ>∈-，（1）求点P 关于极点对称的点的极坐标；（2）求点P 关于极轴对称的点的极坐标；（3）过极点作垂直于极轴的直线l ，求点P 关于直线l 对称的点的极坐标. 答案：略.)(43sin 2cos 4.6对称的曲线方程关于极点、极轴、直线分别写出曲线R ∈=+=ρπθθθρ备注：代入转移法10.（二星）已知曲线1C ，2C 的极坐标方程分别为πcos 34cos 0,02ρθρθρθ⎛⎫==< ⎪⎝⎭，≥≤，则曲线1C 、2C 交点的极坐标为． 备注：极坐标的直接应用23.（三星）(2015全国1卷)在直角坐标系xOy 中.直线1C :2x ＝－，圆2C ：22(1)(2)1x y －＋－＝，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C ，2C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求△C 2MN的面积.备注：极坐标的简单应用解：（1）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=。

高中数学—极坐标系

高中数学—极坐标系

5
6
).
E(2.5, ).
F (5,
4
3
).
G(4,
5
3
).
2
C
DB
E
A
4
x
G
4 F
5
3
3
2. 中央气象台在 2004 年 7 月 15 日 10:30 发布的 一则台风消息: 今年第 9 号热带风暴 “圆规” 的中 心今天上午八点钟已经移到了广东省汕尾市东南方大 约440 公里的南海东北部海面上, 中心附近最大风力 有 9 级. 请建立适当的坐标系, 用坐标表示出该台风 中心的位置.
解: 以广东省汕尾市为极
点, 正东方向为极轴的正方向,
建立极坐标系.
则台风中心的极坐标为
(440,
7
4
).
O 45
x
汕尾市 440 km
P
台风中心
求
3. 在极坐标系中, A, B 两点间的距离.
已知两点 A(3,
3
),
B(1,
2
3
).
解: 如图, A, B 与极点在同一直线上,
所以 A, B 两点间的距离是
角坐标与极坐标的关系是
x=rcosq, y=rsinq.
r2 = x2 y2,
tanq
=
y x
(
x
0).
例3.
将点 M 的极坐标 (5,
2
3
)化成直角坐标.
解:
∵r =5,
q
=
2
3
,
∴x=rcosq
=
5cos
2
3
=
5 2
,
y=rsinq

1.2 极坐标系坐标的互化(第二课时)

1.2 极坐标系坐标的互化(第二课时)

2、平面直角坐标化为极坐标
x cos y sin
x y y tan ( x 0) x
2 2 2
课后作业
1.课本12页第3，4，5题；
M（ ，）


XXBiblioteka 注意：极角一般是用弧度来表示
思考
平面内的一个点既可以用直角坐标
表示，也可以用极坐标表示，那么，这
两种坐标之间有什么关系呢？
问题情境
把直角坐标系的原点作为极点, x轴的正半 轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度 单位.
y ρ
y
θ
x
x
问题情境
把直角坐标系的原点作为极点, x轴的正半 轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度 单位. 设M是平面内任意一点, 它的直角坐标 是( x , y ), 极坐标是(ρ,θ). 则
ρ
y
θ
x
x
公式与结论
极坐标与直角坐标的互化公式。
x cos y sin
x y y tan ( x 0) x
2 2 2
问题解析
2 例1 (1) 将点M的极坐标 (5, )化成直角坐标; 3 (2) 将点M的直角坐标 ( 3 ,1) 化成极坐标.
2 5 解: (1) x cos 5 cos , 3 2 2 5 3 y sin 5 sin . 3 2 5 5 3 ). 所以, 点M的直角坐标为 ( , 2 2
问题解析
(2) 将点M的直角坐标 ( 3 ,1) 化成极坐标.
解: (2) x 2 y 2 ( 3 ) 2 (1) 2 2
7π 练习：1. (1)把点 A 的极坐标(2， )化成直角坐标； 6 (2)把点 P 的直角坐标(1，－ 3)化成极坐标．(ρ>0，0≤θ<2π)．

极坐标系的概念 课件


4．点与极坐标的关系 一般地，极坐标(ρ，θ)与__(ρ_， ___θ_＋__2_k_π_)_(k_∈__Z__)表示同一个点．特别地，极点 O 的坐标为 (0，θ)(θ∈R)．和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标有 无数 种表示． 如果规定 ρ＞0， 0≤θ＜2π ，那么除 极点 外，平面内的点可用 唯一 的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一 确定的．
极坐标系的概念
1．平面内点的位置 在平面直角坐标系中，点的位置用有序实数对确定，平面内的点的位置也可以用距离 和角度确定． 2．极坐标系 如图所示，在平面内取一个 定点 O，叫作极点，自极点 O 引一条 射线 Ox，叫作极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其 正方向(通常取 逆时针 方向)，这样就建立了一个极坐标系．
2．设点 A2，π3，直线 l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点 A 关于极轴， 直线 l，极点的对称点的极坐标(限定 ρ＞0，－π＜θ≤π)． 解析：如图所示，
C2，23π. 关于极点 O 的对称点为 D2，－23π. 四个点 A，B，C，D 都在以极点为圆心，2 为半径的圆上．
D300
2，34π，E(300，π)，F150
2，34π.…………………………………12 分
[规律探究] 在极坐标系中，由点的位置求极坐标时，随着极角的范围的不同， 点的极坐标的表示也会不同，只有在 ρ≥0，θ∈[0,2π)的限定条件下，点的极坐 标才是唯一的．
3．极坐标 设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫作点 M 的 极径 ，记为 ρ；以极
轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫作点 M 的 极角 ，记为 θ.有序数对_(_ρ_，__θ_)_ 叫作点 M 的极坐标，记为 M(ρ，θ) ． 一般地，不作特殊说明时，我们认为 ρ ≥ 0，θ 可取 任意实数 ． 特别地，当点 M 在极点时，它的极坐标为 (0，θ) ，θ 可以取 任意实数 ．

人教A版高中数学选修4-4 第一讲第二节 极坐标系教学课件


办公 楼E
45°
50m
120m 60°
A教学楼 60m
B体育馆
我来试一试：
请大家类比直角坐标系的建立过 程，试着建立一个用距离与角度 确定平面上一点位置的坐标系.
一、极坐标系：
1.在平面内取一个定点O，叫做极点。 2.引一条射线OX，叫做极轴。 3.再选定一个长度单位。
4.一个角度单位及它的正方向
（通常取逆时针方向）。

O
X
这样就建立了一个极坐标系。以 上四点称为极坐标系的“四要素”
二、极坐标系下：点的极坐标的表示
设M是平面内任意一点：
1.极点O与M的距离 OM ，叫做
M
点M的极径，记作。

2.以极轴ox为始边，射线OM为

终边的XOM ，叫做点M的极 O
X
角，记作。
3.有序数对（，），叫做点 M的极坐标。
选修4-4 第一讲 极坐标系
莱州市第六中学数学组
教学目标：
1.理解极坐标系及其概念，会求点的极坐标 2.能建立极坐标系，由点的极坐标确定位置 3.掌握点的极坐标与直角坐标的互化公式
情景感知
从这向北偏西 45 o走 200 米。
你好 请问：去第六 中学怎么走？
好心人
问路人
情景分析
这句话中，哪些地方是需要我们从数学 角度去关注的？
那么,平面内的点和极坐标就可以一一对应.
(极点除外）
课堂跟踪练习
（小擂台）
1.已知极坐标 M (5, 4 ),下列所给出的 不能表示点M的坐3标的是( C )
A、(5, 10 )
3
B、(5, 2 )
3
C、(5, )
3
D(5, 8 )

人教版数学选修2-2《极坐标系》教学设计

人教版数学选修2-2《极坐标系》教学设计《人教版数学选修2-2《极坐标系》教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！【教学目标】(1)知识目标：理解极坐标的概念，会根据具体问题建立适当的极坐标系。

(2)能力目标：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别。

(3)德育目标：通过观察、探索、发现、类比的创造性过程，培养创新意识。

【教学重点】认识极坐标系的重要性，能用极坐标刻画点的位置。

【教学难点】理解用极坐标刻画点的位置的基本思想，认识点与极坐标的对应关系。

【学情分析】学生的兴趣：从指路的问题背景开始，激发学生学习兴趣。

学生的知识基础：通过直角坐标学习,可以类比学习极坐标系。

3、学生的认识特点：有了比较抽象和感知性的认识，但理性认知和逻辑还有待提高，知识点的应用还需加强。

【教学策略设计(教学模式)】PPT课件，小组合作，师生合作教学过程一、情景引入，思疑激趣问题1：我们知道，平面直角坐标系是一个常用的数学工具。

平面直角坐标系中的点与数对(x,y)是一一对应的关系，也是最简单最常用的一种坐标系。

但它不是唯一的一种坐标系，有时用别的坐标系更加方便。

还有什么坐标系呢?问题2：如图，某校园的平面示意图.假设某同学在教学楼A处，请回答下列问题：(1)他向东偏北600方向走120m后到达什么位置?该位置惟一确定吗?(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述?[教师活动]教师运用动画片的形式，提出问题。

[学生活动]学生先独立思考，然后可以全班进行讨论。

[设计意图]引入学习极坐标系概念的必要性。

形成用距离和角度来刻画点位置关系的直觉。

二、抽象概括，形成概念在上述问题中，你认为确定一个位置需要哪些要素呢?在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置：如台风预报、地震预报、测量、航空、航海等.这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想.思考：你认为建立一个极坐标系需要哪些要素呢?1、极坐标系的建立：(1)在平面内取一个定点O，叫做极点;(2)引一条射线Ox，叫做极轴;(3)选定1个长度单位、1个角度单位(常取弧度);(4)规定角度的正方向(通常取逆时针方向).这样建立的坐标系叫做极坐标系.2、极坐标系内点的极坐标的规定对于平面内任意一点M，用r表示极点与点M的距离，叫做点M 的极径,q表示以Ox为始边,OM为终边的角，叫做点M的极角,有序数对(r，q)就叫做M的极坐标。

极坐标系的概念课件

极坐 标系
点的表示方法 点与对应坐标
(x，y)，其中x 表示点的水平 位置，y表示点 的垂直高度
点与有序实数对， 即(x，y)是一一对 应的
(ρ，θ)，其中ρ 表示该点到原 点的距离，θ表 示从x轴正半轴 开始逆时针旋 转的角度
一个有序实数对 (ρ，θ)对应着一个 点，而一个点却可 与无数多个(ρ，θ) 对应
(2)对称的点： (ρ，θ)关于极轴的对称点为(ρ，2π－θ)，关于极点的对称点为(ρ，π＋θ)，关于过极点且垂直于极轴
的直线的对称点为(ρ，π－θ)． (3)共线的点： 如果极坐标为(ρ，θ)，其中θ为常数，ρ>0，则表示与极轴成θ角的射线．
6．极坐标系与平面直角坐标系有什么区别和联系？
直角 坐标 系
作 OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为 D、E、F. 则 D、E、F 分别是△ABC 的各边的中点，依题意，得 D1，23π，E1，43π，F(1,0)． (2)△ABC 绕中心 O(0,0)逆时针旋转π6后所得对应三角形为 △A′B′C′，依题意，得 A′2，π2，B′2，76π，C′2，116π.
对舰 B 而言，A、C 两舰位置如图所 示．为方便起见，取 A、B 所在直线为 x 轴，AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系， 则 A、B、C 三舰的坐标分别为(3,0)、(－3,0)、 (－5,2 3)．
由于 B、C 同时发现动物信号，记动物所处位置为 P，则|PB| ＝|PC|.
于是 P 在 BC 的中垂线 l 上，易求得其方程为 3x－3y＋7 3 ＝0.
设点 B3，π4，D3，74π关于极点的对称点分别为 E(ρ1，θ1)， F(ρ2，θ2)，
且 ρ1＝ρ2＝3. 当 θ∈[0,2π)时，θ1＝54π，θ2＝34π， ∴E3，54π，F3，34π为所求．
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

例2. 在图中，用点A，B，C，D，E 分别表示教学楼，体育馆，图书馆， 实验楼，办公楼的位置.建立适当的 极坐标系，写出各点的极坐标.
D
E
C
120m 60 3m
o
45 50m
o
60 A(O) 60m B
x
例3. 已知点A的一个极坐标是 (5,

3
),写出
符合条件的A的极坐标： 0,2 0
3
E
B A D
6
2
11 6

7 6
2
11 6

7Байду номын сангаас6
C 4
3
3 2
5 3
C 4
3
F
3 2
5 3
思考：
在极坐标系中， (4,

6
)，(4,

6
2 )，
(4,

6
4 )，(4,

6
2 ) 表示的点有什么
关系？你能从中体会极坐标与直角坐标 在刻画点的位置时的区别吗？
3
3 2
5 3
4 3
C
3 2
5 3
E (4,
5 6
例1. 如图，在极坐标系中，写出点A， B，C的极坐标，并标出点 D( 2, )， 6 3 5 所在的位置？
4 )，F ( 3.5,
2
3
6
)
2 3
B A
3
5 6
2 3
2
3
E
B A D
6
2
11 6
例 5：
在极坐标系中，已知两点A(3, ), 3 5 B(1, )，求A，B两点间的距离. 6

例6：
设点 A( 2, )，直线l为过极点且垂直于极轴的 直线，分别求点A关于极轴、直线l、极点的 对称点的极坐标(限定>0，－＜≤ ).
3

第一讲 坐标系
1.2.1 极坐标系
问题探究
下图是某校园的平面示意图.假设某 同学在教学楼处，请回答下列问题： o (1)他向东偏北60 方向走120m后到达 什么位置？该位置惟一确定吗？ 实验楼 图书馆 (2)如果有人打听 D C 体育馆和办公楼的位 置，他应如何描述？
办公楼
E 45o o 50m 60 A

7 6
2
11 6

7 6
C 4
3
3 2
5 3
4 3
C
3 2
5 3
E (4,
5 6
例1. 如图，在极坐标系中，写出点A， B，C的极坐标，并标出点 D( 2, )， 6 3 5 所在的位置？
4 )，F ( 3.5,
2
3
6
)
2 3
B A
3
5 6
2 3
2
问题探究
平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可以 用极坐标表示.那么，这两种坐标之间有什么关系 呢？
y
把直角坐标系的原点作为极点， x轴的正半轴作为极轴，并在两 种坐标系中取相同的长度单位. 设M是平面内任意一点，它的直 角坐标是(x,y)极坐标是(,).

O
x
( x , y ) M ( , )
x cos , y sin .
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
这就是极坐标与直角坐标的互化公式.
2 例3. 将点M的极坐标(5, )化成直角坐标 . 3 例4. 将点M的直角坐标 ( 3， 1)化成极坐标 .
变式：
将点M的直角坐标( 3， 1)化成极坐标. 限制： 0，
120m
教学楼 60m 体育馆
B
实验楼 图书馆
D
C
办公楼
o 60 50m B A 60m 体育馆 教学楼 从本例可以看出，如果以A为基点，射线AB为参 照方向，利用与A的距离、与AB所成的角，就可 以刻画平面上点的位置。 有时它比直角坐标更方便，如在台风预报、地震 预报、测量、航空、航海中就主要采用这种方法
y N x

从右图可以得出它们之间的关系：
x cos , y sin .
①
x cos , y sin .
由①又可得到下面的关系式：
①
y
O
x

M y
N x
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
二. 极坐标与直角坐标的互化
极坐标(,)与(,＋2k)(k∈Z)表示同一个点. 在直角坐标系中，点与直角坐标是“一对一”的关系。
在极坐标系中，点与直角坐标是“一对多”的关系。 因此，多值性是极坐标与直角坐标的重要区别 为了使平面内的点（除极点外）和极坐标形成“一对一” 的关系，我们通常限定一个范围，如＞0，0＜≤2，那 么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标(,)表示； 同时，极坐标表示的点(,)也是惟一确定的.

E (4,
5 6
例1. 如图，在极坐标系中，写出点A， B，C的极坐标，并标出点 D( 2, )， 6 3 5 所在的位置？
4 )，F ( 3.5,
2
3
6
)
2 3
B A
3
5 6
2 3
2
3
B A D
6
2
11 6

7 6
2
11 6

7 6
C 4
E 45o
120m
思考：类比建立平面直角坐标系的过程，怎样建立 用距离与角度确定平面上点的位置的坐标系呢？
在平面内取一个定点O，叫做极点； 自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；
( , ) M
再选定一个长度单位、一个角度单 O 位（通常取弧度）及其正方向（通 常取逆时针方向），这样就建立了 x 一般地，不作 一个极坐标系. 特殊说明时， 设M是平面内一点，极点O与点M的 我们认为： 距离|OM|叫做点M的极径， 记为： 0 以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM 可取任意实数 叫做点M的极角， 记为： 有序实数对(,)叫做点M的极坐标，记作M(, ).