(完整版)高二数学圆专项训练

高二圆与方程基础练习题1. 已知圆心坐标为O(2, 3)，半径为r = 5。

求圆的方程。

解答:设圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。

代入已知数据，得到方程为(x-2)²+(y-3)²=5²。

2. 已知圆心坐标为M(-2, 4)，圆上一点的坐标为A(3, -1)。

求圆的方程。

解答:设圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。

代入已知数据，得到方程为(x+2)²+(y-4)²=6²。

3. 已知圆心坐标为N(0, -5)，半径为r = 7。

求圆的方程。

解答:设圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。

代入已知数据，得到方程为(x-0)²+(y+5)²=7²。

4. 已知圆心坐标为P(-3, 2)，过点Q(4, 5)的直线交圆于两点。

求交点坐标。

解答:设直线方程为y=mx+c，其中m为斜率，c为截距。

将直线方程代入圆的方程，得到(x+3)²+(mx-2m+c)²=5²。

代入点Q的坐标，得到(4+3)²+(4m-2m+c)²=25。

化简为49+25m²-20m+c²=25。

化简后得到25m²-20m+c²=-24。

由于过点Q的直线交圆于两点，可以设两个交点的坐标为(x₁, y₁)和(x₂, y₂)。

根据交点的性质，有以下方程组：(x₁+3)²+(mx₁-2m+c)²=5²,(x₂+3)²+(mx₂-2m+c)²=5².解方程组得到交点坐标为(x₁, y₁)≈(-1.26, 6.37)和(x₂, y₂)≈(-5.42, -2.37)。

高二数学圆的方程练习【同步达纲练习】A 级一、选择题1.若直线4x-3y-2=0与圆x 2+y 2-2ax+4y+a 2-12=0总有两个不同交点，则a 的取值范围是( )A.-3＜a ＜7B.-6＜a ＜4C.-7＜a ＜3D.-21＜a ＜192.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.使圆(x-2)2+(y+3)2=2上点与点(0，-5)的距离最大的点的坐标是( ) A.(5，1) B.(3，-2)C.(4，1)D.(2 +2，2-3)4.若直线x+y=r 与圆x 2+y 2=r(r ＞0)相切，则实数r 的值等于( ) A.22B.1C.2D.25.直线x-y+4=0被圆x 2+y 2+4x-4y+6=0截得的弦长等于( ) A.8B.4C.22D.42二、填空题6.过点P(2，1)且与圆x 2+y 2-2x+2y+1=0相切的直线的方程为 .7.设集合m={(x,y)x 2+y 2≤25,N={(x,y)｜(x-a)2+y 2≤9}，若M ∪N=M ，则实数a 的取值范围是 .8.已知P(3，0)是圆x 2+y 2-8x-2y+12=0内一点则过点P 的最短弦所在直线方程是 ，过点P 的最长弦所在直线方程是 .三、解答题9.已知圆x 2+y 2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P 、Q 两点，若OP ⊥OQ(O 是原点)，求m 的值.10.已知直线l:y=k(x-2)+4与曲线C ：y=1+24x 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围.AA 级一、选择题1.圆(x-3)2+(y+4)2=2关于直线x+y=0的对称圆的标准方程是( )A.(x+3)2+(y-4)2=2B.(x-4)2+(y+3)2=2C.(x+4)2+(y-3)=2D.(x-3)2+(y-4)2=22.点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y 2=1的内部，则实数a 的取值范围是( )A.｜a ｜＜1B.｜a ｜＜51 C.｜a ｜＜121D.｜a ｜＜1313.关于x,y 的方程Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示一个圆的充要条件是( )A.B=0，且A=C ≠0B.B=1且D 2+E 2-4AF ＞0C.B=0且A=C ≠0，D 2+E 2-4AF ≥0D.B=0且A=C ≠0,D 2+E 2-4AF ＞0 4.过点P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是( ) A.(314，5) B.(5，1) C.(0，0)D.(5，-1)5.若两直线y=x+2k 与y=2x+k+1的交点P 在圆x 2+2=4的内部，则k 的范围是( )A.-51＜k ＜-1 B.-51＜k ＜1 C.- 31＜k ＜1D.-2＜k ＜2二、填空题6.圆x 2+y 2+ax=0(a ≠0)的圆心坐标和半径分别是 .7.若方程a 2x 2+(2a+3)y 2+2ax+a+1=0表示圆，则实数a 的值等于 .8.直线y=3x+1与曲线x 2+y 2=4相交于A 、B 两点，则AB 的中点坐标是 . 三、解答题9.求圆心在直线2x-y-3=0上，且过点(5，2)和(3，-2)的圆的方程.10.光线l 从点P(1，-1)射出，经过y 轴反射后与圆C ：(x-4)2+(y-4)2=1相切，试求直线l 所在的直线方程.【素质优化训练】一、选择题1.直线3x+y-23=0截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角为(全国高考题)( )A.6πB.4π C.3π D.2π 2.对于满足x 2+(y-1)2=1的任意x,y ，不等式x+y+d ≥0恒成立，则实数d 的取值范围是( )A.［2-1，+∞］B.(-∞，2-1)C.［2 +1,+∞］D.(-∞, 2 +1)3.若实数x ，y 满足x 2+y 2=1,则12--y y 的最小值等于( )A.41 B.43C.23 D.24.过点P(1，2)的直线l 将圆x 2+2-4x-5=0分成两个弓形，当大、小两个弓形的面积之差最大时，直线l 的方程是( )A.x=1B.y=2C.x-y+1=0D.x-2y+3=05.一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过( )A.1.8米B.3米C.3.6米D.4米 二、填空题6.若实数x,y 满足x 2+y 2-2x+4y=0，则x-2y 的最大值是 .7.若集合A={(x 、y)｜y=-｜x ｜-2}，B={(x,y)｜(x-a)2+y 2=a 2}满足A ∩B= ，则实数a 的取值范围是 .8.过点M(3，0)作直线l 与圆x 2+y 2=16交于A 、B 两点，当θ= 时，使△AOB 的面积最大，最大值为 (O 为原点).三、解答题9.令圆x 2+y 2-4x-6y+12=0外一点P(x,y)向圆引切线，切点为M ，有｜PM ｜=｜PO ｜,求使｜PM ｜最小的P 点坐标.10.已知圆C ：(x+4)2+y 2=4和点A(-23，0)，圆D 的圆心在y 轴上移动，且恒与圆C外切，设圆D 与y 轴交于点M 、N ，求证：∠MAN 为定值.11.已知直角坐标平面内点Q(2，0)，圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与｜MQ ｜的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.12.自点A(-3，3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线m 所在直线与圆x 2+y 2-4x-4y+7=0相切，求光线l 与m 所在直线方程.13.AB 是圆O 的直径，且｜AB ｜=2a,M 是圆上一动点，作MN ⊥AB ，垂足为N ，在OM 上取点P ，使｜OP ｜=｜MN ｜，求点P 的轨迹.参考答案：【同步达纲练习】A 级1.B2.C3.B4.D5.C6.x=2或3x-4y-2=07.-2≤a ≤28.x+y-3=0，x-y-3=09.m=3 10.(125,43) AA 级1.B2.D3.D4.D5.B6.(- 2a ,0), 2a7.-18.(- 103，101)9.(x-2)2+(y-1)2=10 10.3x+4y+1=0或4x+3y-1=0【素质优化训练】1.C2.A3.B4.D5.C6.107.-2(2+1)＜a ＜2(2+1)8.θ=arccot22 或π-arccot22, 89.P(1312,1318) 10.60° 11.M 的轨迹方程为(λ2-1)(x 2+y 2)-4λ2x+(1+4x 2)=0，当λ=1时，方程为直线x=45. 当λ≠1时，方程为(x-1222-λλ)2+y 2=222)1(31-+λλ它表示圆，该圆圆心坐标为(1222-λλ,0)半径为13122-+λλ12.l 的方程为：3x+4y-3=0或4x+3y+3=0 M 的方程为3x-4y-3＝0或4x-3y+3＝0 13.x 2+(y ±2a )2=(2a )2轨迹是分别以CO ，CD 为直径的两个圆.。

第二章直线和圆的方程专题测试(原卷版+解析版) (人教A版)高二数学选择性必修一第二章直线和圆的方程专题测试注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。

2.请将答案正确填写在答题卡上。

第I卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1.（2020·福建高二学业考试）已知直线 $ $l_1\parallell_2$，则实数 $k=$（）。

A。

$-2$B。

$-1$C。

$1$D。

$2$2.（2020·XXX高一月考）直线$l_1:(a-2)x+(a+1)y+4=0$，$l_2:(a+1)x+ay-9=0$ 互相垂直，则 $a$ 的值是（）。

A。

$-0.25$B。

$1$C。

$-1$D。

$1$ 或 $-1$3.（2020·XXX高一月考）直线 $l:(m-1)x-my-2m+3=0$（$m\in R$）过定点 $A$，则点 $A$ 的坐标为（）。

A。

$(-3,1)$B。

$(3,1)$C。

$(3,-1)$D。

$(-3,-1)$4.（2020·广东高二期末）设 $a\in R$，则“$a=1$”是“直线$ax+y-1=0$ 与直线 $x+ay+1=0$ 平行”的（）。

A。

充分不必要条件B。

必要不充分条件C。

充分必要条件D。

既不充分也不必要条件5.（2020·黑龙江高一期末）若曲线 $y=4-x^2$ 与直线$y=k(x-2)+4$ 有两个交点，则实数 $k$ 的取值范围是（）。

A。

$\left[\frac{3}{4},1\right]$B。

$\left[\frac{3}{4},+\infty\right)$C。

$(1,+\infty)$D。

$(1,3]$6.（2020·XXX高三其他）已知直线 $x+y=t$ 与圆$x+y=2t-t^2$（$t\in R$）有公共点，则 $\frac{t(4-t)}{9}$ 的最大值为（）。

2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：圆的方程考点必刷题一、单选题1．（2022·全国高二课时练习）下列说法正确的是（）A ．圆22(1)(2)5x y -+-=的圆心为(1,2)，半径为5B ．圆222(2)(0)x y b b ++=≠的圆心为(2,0)-，半径为bC ．圆((222x y ++=的圆心为D ．圆22(2)(2)5x y +++=的圆心为(2,2)2．（2022·全国高二课时练习）已知圆C 经过两点(0,2)A ，(4,6)B ，且圆心C 在直线:230l x y --=上，则圆C 的方程为（）A ．2266160x y x y +---=B ．222280x y x y +-+-=C ．226680x y x y +--+=D ．2222560x y x y +-+-=3．（2022·全国高二课时练习）已知方程()()2224232141690x y m x m y m +-++-++=表示一个圆，则实数m 的取值范围是（）A ．1,17⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,17⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,17⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．[)1,1,7⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ 4．（2020·张家口市第一中学高二月考）点()2,1P 的直线中，被圆22:240C x y x y +-+=截得的最长弦所在的直线方程为（）A ．350x y --=B ．370x y +-=C ．350x y +-=D ．310x y -+=5．（2020·青海湟川中学高二期中）经过圆22440x y x y +-+=的圆心，且和直线210x y -+=垂直的直线方程为（）A ．260x y --=B ．220x y ++=C ．220x y +-=D ．260x y --=6．（2020·安徽立人中学高二期中（理））已知点(7,3)P ，Q 为圆22:210250M x y x y +--+=上一点，点S 在x 轴上，则||||SP SQ +的最小值为（）A ．7B ．8C ．9D ．107．（2021·江西省铜鼓中学高二开学考试（文））已知圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线()10kx y k +-=∈Z 的距离为若112k a b+=，且,0a b >，则a b +的最小值为（）A ．32B ．32+C ．322+D ．328．（2021·江苏高二专题练习）若点()1,1P 在圆22:0C x y x y k ++-+=的外部，则实数k 的取值范围是（）A ．()2,-+∞B ．12,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()2,2-9．（2021·全国高二专题练习）已知直线210x y +-=与圆22(1)(2)4x y -++=相交于,A B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程是（）A ．230x y ++=B ．250x y -+=C ．230x y +-=D ．250x y --=10．（2021·全国高三专题练习（文））圆2240x y y ++=的圆心到经过点()3,3M --的直线ll 的方程为（）A ．290x y +-=或230x y -+=B ．290x y ++=或230x y -+=C ．290x y ++=或230x y --=D ．290x y -+=或230x y -+=二、多选题11．（2022·全国高二课时练习）圆上的点(2,1)关于直线0x y +=的对称点仍在圆上，且圆）A ．225x y +=B ．22(1)5x y -+=C ．22(1)5x y ++=D ．22(1)(1)5x y -++=12．（2021·全国高二专题练习）(多选)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝4，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则（）A ．圆心C 1到直线x －y －1＝0的距离为2B ．圆心C 1到直线x －y －1＝0的距离为2C ．圆C 2的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝4D ．圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝413．（2020·重庆市万州第三中学高二期中）已知圆C 0y -=及x 轴都相切，且过点(3,0)，则该圆的方程是（）A ．()(2233x y -+=B ．()(22327x y -++=C ．()(2233x y ++-=D ．()(22327x y -+-=14．（2021·全国）已知曲线22:0C Ax By Dx Ey F ++++=（）A ．若1AB ==，则C 是圆B ．若0A B =≠，22 40D E AF +->，则C 是圆C ．若0A B ==，220DE +>，则C 是直线D ．若0A ≠，0B =，则C 是抛物线三、填空题15．（2022·全国高二课时练习）已知三点(3,2)A ，(5,3)B -，(1,3)C -，以(2,1)P -为圆心作一个圆，使得A ，B ，C 三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，则这个圆的标准方程为______.16．（2022·全国高二课时练习）已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=，直线:148310l x y +-=，则圆1C 关于直线l 对称的圆2C 的标准方程为______.17．（2021·河南焦作·高一期中）已知圆C 的圆心在直线1y x =+上，圆C 经过点()1,0，且与直线3x y +=相切，则圆C 的标准方程为______．18．（2021·江苏高二专题练习）圆()()22:3681C x y -++=关于点()1,2A -中心对称的圆的方程为___________.x y-=，19．（2021·全国）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，且圆心到直线20若点(M在圆C上，则圆C的方程为______________________．四、解答题20．（2021·江苏高二专题练习）已知方程22242(3)2(14)1690+-++-++=表示一个圆．x y t x t y t（1）求t的取值范围；（2）求圆的圆心和半径；（3）求该圆的半径r的最大值及此时圆的标准方程．21．（2020·江西上高二中高二月考（理））已知点()1,0P ，圆22:6440C x y x y +-++=.（1）若直线l 过点P 且到圆心C 的距离为2，求直线l 的方程；（2）设过点()0,1Q -的直线m 与圆C 交于A 、B 两点（m 的斜率为负），当||4AB =时，求以线段AB 为直径的圆的方程.22．（2022·全国高二课时练习）如图所示，某隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成.已知隧道总宽度AD为，行车道总宽度BC为，侧墙高EA，FD为2m，弧顶高MN为5m.（1）以EF所在直线为x轴，MN所在直线为y轴，1m为单位长度建立平面直角坐标系，求圆弧所在的圆的标准方程；（2）为保证安全，要求隧道顶部与行驶车辆顶部（设为平顶）在竖直方向上的高度之差至少为0.5m，问车辆通过隧道的限制高度是多少？23．（2022·全国高二课时练习）已知曲线C ：()()2211480a x a y x ay +++-+=．（1）当a 取何值时，方程表示圆？（2）求证：不论a 为何值，曲线C 必过两定点．（3）当曲线C 表示圆时，求圆面积最小时a 的值．24．（2021·全国高二专题练习）已知圆C 与y 轴相切，圆心点C 在直线30x y -=上，且直线x y =被圆C 所截得的线段长为（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与y 轴正半轴相切，从()1,2M --点发出的光线经过直线4y x =+反射，反射光线刚好通过圆C 的圆心，求反射光线所在直线的方程.25．（2018·全国）已知圆1C 的方程为222422210x y x my m m +-++-+=．（1）求实数m 的取值范围；（2）求当圆的面积最大时圆1C 的标准方程；（3）求当圆的面积最大时，圆1C 关于直线l ：10x y -+=对称的圆2C 的方程．26．（2020·全国高二课时练习）已知圆22:(6)16M x y +-=，点P 是直线:20l x y -=上的一动点，过点P 作圆M 的切线,PA PB ，切点为,A B .(1)当切线PA 的长度为PM 长度.(2)若PAM △的外接圆为圆N ，试问：当P 在直线l 上运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；(3)求线段AB 长度的最小值．2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：圆的方程考点必刷题参考答案1．C【详解】圆22(1)(2)5x x -+-=的圆心为(1,2)A 错误；圆222(2)(0)x y b b ++=≠的圆心为(2,0)-，半径为b ，B 错误；易知C 正确；圆22(2)(2)5x y +++=的圆心为(2,2)--D 错误.故选：C 2．C 【详解】线段AB 的中点坐标为(2,4)，直线AB 的斜率62140AB k -==-，则线段AB 的垂直平分线的方程为4(2)y x -=--，即60x y +-=.由60230x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得33x y =⎧⎨=⎩.所以圆C 的圆心为(3,3)，半径r ==，所以圆C 的方程为22(3)(3)10x y -+-=，即226680x y x y +--+=.故选：C.3．A 【详解】根据题意，方程()()2224232141690x y m x m y m +-++-++=，变形为()()2222314761x m y m m m ⎡⎤--++-=-++⎡⎤⎣⎦⎣⎦，当且仅当27610m m -++>，即27610m m --<时，原方程表示圆，解得117m -<<，则m 的取值范围为1,17⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：A.4．A 【详解】由题意，圆22240x y x y +-+=，可得圆心坐标为(1,2)C -，要使得直线被圆C 截得的弦长最长，则直线必过圆心，可得直线的斜率为21312k --==-，所以直线的方程为13(2)y x -=-，即所求直线的方程为350x y --=.故选：A.【详解】由题设，圆的方程可化为22(2)(2)8x y -++=，即圆心为(2,2)-，∴过圆心且垂直于210x y -+=的直线方程为12(2)2y x +=--，整理得220x y ++=.故选：B 6．C 【详解】将圆方程化为标准方程为：()()22151x y -+-=，如下图所示：作点(7,3)P 关于x 轴的对称点'(7,3)P -，连接'MP 与圆相交于点Q ，与x 轴相交于点S ，此时，||||SP SQ +的值最小，且'''||||||||SP SQ SP SQ P QP M r +=+==-，由圆的标准方程得：M 点坐标为()1,5，半径1r =，所以'10P M ==，'9P M r -=，所以||||SP SQ +最小值为9故选：C 7．D 【详解】由题意，知圆心坐标为(1，4)，圆心到直线()10kx y k +-=∈Z 的距离为=17k =-或 1.k =因为k ∈Z ，所以 1.k =所以1112a b+=，且,0a b >，则()11133122222a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++++= ⎪⎝⎭2a 22b =时取“="，即a b +的最小值为32．故选：D【详解】解：由题意得111101140k k ++-+>⎧⎨+->⎩，解得122k -<<，故选：C ．9．D 【详解】因为直线AB ：210x y +-=的斜率为2-，可知垂直平分线的斜率为12，又圆22(1)(2)4x y -++=的圆心为(1,2)-，所以弦AB 的垂直平分线方程为()1212y x +=-，化简得250x y --=，故选：D 10．B 【详解】当直线l 的斜率存在时，设经过点()3,3M --的直线l 的方程为()33y k x +=+，即330kx y k -+-=，所以圆2240x y y ++=的圆心()0,2-到直线l 的距离为d =12k =-或2k =，所以直线l 的方程为290x y ++=或230x y -+=当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3x =-，此时圆心()0,2-到直线的距离为3，不满足题意；综上，直线l 的方程为290x y ++=或230x y -+=.故选：B 11．AD 【详解】圆上的点(2,1)A 关于直线0x y +=的对称点仍在这个圆上，∴圆心在直线0x y +=上，设圆心坐标为(,)a a -，则由22(2)(1)5a a -++=，解得0a =或1a =，∴所求圆的方程为22(1)(1)5x y -++=或225x y +=.故选：AD 12．AD【详解】根据题意，设圆C 2的圆心为(a ，b )，圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝4，其圆心为(－1，1)，半径为2，所以圆心C 1到直线x －y －1＝0的距离d＝2.若圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 1与圆C 2的圆心关于直线x －y －1＝0对称，且圆C 2的半径为2，则有11,11110,22b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪--=⎪⎩解得2,2,a b =⎧⎨=-⎩则圆C 2的方程为(x －2)2＋(y＋2)2＝4.故选：AD.13．AB解：由题意设所求圆的方程为222()()x a y b b -+-=，则有222(3)||a b b b ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩，解得3a b =⎧⎪⎨=⎪⎩3a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩所以该圆的方程为()(2233x y -+-=或()(22327x y -++=，故选：AB 14．BC 【详解】已知曲线22:0C Ax By Dx Ey F ++++=.对于A ，当1A B ==时，22:0C x y Dx Ey F ++++=，若2240D E F +->，则C 是圆；若2240D E F +-=，则C 是点,22D E ⎛⎫- ⎪⎝⎭；若2240D E F +-<，则C 不存在.故A 错误.对于B ，当0A B =≠时，22:0C Ax Ay Dx Ey F ++++=，且22 40D E AF +->，则C 是圆，故B 正确.对于C ，当0A B ==时，:0C Dx Ey F ++=，且220D E +>，则C 是直线，故C 正确.对于D ，当0A ≠，0B =时，2:0C Ax Dx Ey F +++=，若0E =，则2:0C Ax Dx F ++=表示一元二次方程，若0E ≠，则2:0C Ax Dx Ey F +++=表示抛物线，故D 错误.故选：BC15．22(2)(1)13x y -++=【详解】PA =，PB 5PC =，PA PB PC ∴<<，故所求圆以PB 为半径，方程为22(2)(1)13x y -++=.故答案为：22(2)(1)13x y -++=16．22(4)(5)4x y -+-=【详解】设圆2C 的圆心坐标为 (,)m n .因为直线l 的斜率74k =-，圆221:(3)(1)4C x y ++-=的圆心坐标为(3,1)-，半径2r =，所以由对称性知14373114831022n m m n -⎧=⎪⎪+⎨-++⎪⨯+⨯-=⎪⎩，解得4 5m n =⎧⎨=⎩.所以圆2 C 的方程为22(4)(5)4x y -+-=.故答案为:22(4)(5)4x y -+-=.17．()2212x y +-=【详解】设圆心(,)C a b ，圆心在直线1y x =+上，那么1b a =+，圆与直线3x y +=相切且圆C 经过点()1,0=，两边平方得()()222321a b a b ⎡⎤+-=-+⎣⎦，那么222292662(21)a b ab a b a a b +++--=-++化简得80a =，即0a =，1b =，圆心为(0,1)，=，那么圆的方程为()2212x y +-=.故答案为：()2212x y +-=18．()()2251081x y ++-=圆心()3,6C -关于点()1,2A -中心对称点的坐标为()5,10C '-，故所求圆的方程为()()2251081x y ++-=.故答案为：()()2251081x y ++-=.19．()2214x y -+=【详解】由题意，设圆C 的圆心为()(),00C a a >，因为圆心到直线20x y -=，5=，解得1a =，即圆心坐标为()1,0；又点(M 在圆C 上，所以半径为2r ==，因此圆C 的方程为()2214x y -+=.故答案为：()2214x y -+=.20．（1）117t -<<；（2）()23,41t t +-（3）7max r =；2224134()()7497x y -++=.【详解】（1）由圆的一般方程22242(3)2(14)1690x y t x t y t +-++-++=得：222[2(3)]4(14)4t t -++--4(169)0t +>，即：27610t t -++>，解得：117t -<<．（2）圆心为：2(3)(2t -+-，22(14))2t --即圆心为：2(3,41)t t +-（3）r ==，所以当37t =时，7max r =，故圆的标准方程为：2224134()(7497x y -++=．21．（1）1x =或0y =；（2）()()22134x y -++=.（1）由题意知，圆C 的标准方程为()()22329x y -++=，∴圆心()3,2C -，半径3r =，①当直线l 的斜率k 存在时，设直线的方程为()01y k x -=-，即kx y k 0--=，则圆心到直线l的距离为2d =，0k ∴=.∴直线l 的方程为0y =；②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，此时圆心C 到直线l 的距离为2，符合题意.综上所述，直线l 的方程为1x =或0y =；（2）依题意可设直线m 的方程为1y kx =-，即()100kx y k --=<，则圆心()3,2C -到直线m的距离d =，22320k k ∴+-=，解得12k =或2k =-，又0k < ，2k ∴=-，∴直线m 的方程为210x y ---=即210x y ++=，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线m 与圆C 的方程得()()22210329x y x y ++=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，消去y 得251010x x -+=，122x x ∴+=，则线段AB 的中点的横坐标为1212x x +=，把1x =代入直线m 中得3y =-，所以，线段AB 的中点的坐标为()1,3-，由题意知，所求圆的半径为：122AB =，∴以线段AB 为直径的圆的方程为：()()22134x y -++=.22．（1）22(3)36x y ++=；（2）3.5m .【详解】（1）由题意，有()E -，()F ，(0,3)M .所求圆的圆心在 y 轴上，∴设圆的方程为222 (0)()x y b r -+-=（b ∈R ，0r >），()F ，(0,3)M都在圆上，(()222222 03b r b r⎧+=⎪∴⎨⎪+-=⎩，解得2336b r =-⎧⎨=⎩.∴圆的标准方程是22(3)36x y ++=.（2）设限高为h ，作CP AD ⊥，交圆弧于点P ，则0.5CP h =+.将点P的横坐标x =代入圆的方程，得()22336++=y ，得2y =或8y =-（舍去）.0.5(22)0.5 3.5(m)h CP ∴=-=+-=.故车辆通过隧道的限制高度为3.5m.23．（1）1a ≠-；（2）证明见解析；（3）14a =．【详解】解：（1）当1a =-时，方程为20x y +=表示一条直线．当1a ≠-时，22(1)(1)480a x a y x ay +++-+=，整理得222224416((11(1)a a x y a a a +-++=+++，由于224160(1)a a +>+，所以1a ≠-时方程表示圆．（2）证明：方程变形为()2222480x y x a x y y +-+++=．由于a 取任何值，上式都成立，则有222240,80,x y x x y y ⎧+-=⎨++=⎩．解得0,0x y =⎧⎨=⎩或16,58,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以曲线C 必过定点()0,0A ，168,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即无论a 为何值，曲线C 必过两定点.（3）由（2）知曲线C 过定点A ，B ，在这些圆中，以AB 为直径的圆的面积最小（其余不以AB 为直径的圆的直径大于AB 的长，圆的面积也大），从而以AB 为直径的圆的方程为228416555x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以222815441541616(1)5a a a a a ⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪+=⎪+⎩，解得14a =．24．（1）圆()()22:319C x y -+-=或()()22319x y +++=；（2）29150x y +-=.【详解】（1）设圆()()222:C x a y b r -+-=，由题意得：30a b -=…①，r a =…②，227r +=…③，由①得3a b =，则3r b =，代入③得：21b =；当1b =时，3a =，3r =，∴圆()()22:319C x y -+-=；当1b =-时，3,3a r =-=，∴圆()()22:319C x y ++=+；综上所述：圆()()22:319C x y -+-=或()()22319x y +++=.（2） 圆C 与y 轴正半轴相切，∴圆()()22:319C x y -+-=，设()1,2M --关于4y x =+的对称点(),M x y '，则21121422y x y x +⎧=-⎪⎪+⎨--⎪=+⎪⎩，解得：63x y =-⎧⎨=⎩，()6,3M '∴-，∴反射光线所在直线的斜率132369k -==-+，∴反射光线所在直线方程为：()2369y x -=-+，即29150x y +-=.25．（1）13m -<<；（2）()()22214x y -++=；（3）()()22234x y ++-=（1）由题意得，()2222416442210D E F m m m +-=+--+>，即2230m m --<，∴()()310m m -+<，∴13m -<<．故所求实数m 的取值范围是13m -<<．（2）圆的面积最大，即圆的半径最大．∵圆的半径r ====1m =时，圆的半径最大且为2．故圆1C 的方程为224210x y x y +-++=，标准方程为()()22214x y -++=．（3）由（2）可得圆1C 的圆心坐标为()2,1-，半径等于2．设圆2C 的圆心坐标为(),a b ，则12C C 的中点坐标为21,22a b +-⎛⎫⎪⎝⎭，且12C C 的斜率为12b k a +=-．由题意可得，直线l 垂直平分线段12C C ，∴2110,2211,2a b b a +-⎧-+=⎪⎪⎨+⎪=-⎪-⎩解得2,3,a b =-⎧⎨=⎩故所求的圆2C 的方程为()()22234x y ++-=．26．（1）8（2）126(0,6),()55（3）163（1）由题意知，圆M 的半径r=4，圆心M(0，6)，设()2,P a a PA 是圆的一条切线，90MAP ∴∠=︒8PM ∴=(2)设()2,P a a ，90MAP ∠=︒∴经过A,P,M 三点的圆N 以MP 为直径，圆心6,2a N a +⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为2PM 得圆N 的方程为()22265123624a a a x a y +-+⎛⎫-+-=⎪⎝⎭即222660x y ax ay y a +---+=，有()226260x y y a x y +-+--+=由2226060x y x y y --+=⎧⎨+-=⎩，解得06x y =⎧⎨=⎩或12565x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴圆过定点()1260,6,,55⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)圆N 的方程()22265123624a a a x a y +-+⎛⎫-+-=⎪⎝⎭，即222660x y ax ay y a +---+=①圆()22:616M x y +-=即2212200x y y +-+=②②-①得：圆M 与圆N 相交弦AB 所在直线方程为：()262060ax a y a +-+-=圆心M(0,6)到直线AB 的距离d =弦长AB==当65a=时，线段AB长度有最小值163.第21页共21页。

高二直线和圆的方程单元测试卷班级： 姓名：一、选择题： 本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线 l 经过 A （2， 1）、B （ 1，m 2） (m ∈ R)两点，那么直线 l 的倾斜角的取值范围是A ． [0, )B ． [ 0, ] [3 C ． [0, ], )444D ． [0, ](, ) 422. 如果直线 (2a+5) x+( a － 2)y+4=0 与直线 (2－ a)x+(a+3)y － 1=0 互相垂直，则 a 的值等于 A ． 2 B ．－ 2C ． 2,－ 2D ．2,0,－ 2 3.已知圆 O 的方程为 x 2＋ y 2＝ r 2，点 P （ a ，b ）（ ab ≠ 0）是圆 O 内一点，以P为中点的弦所在的直线为 m ，直线 n 的方程为 ax ＋by ＝ r 2，则A ．m ∥n ，且 n 与圆 O 相交B ． m ∥ n ，且 n 与圆 O 相 离C ． m 与 n 重合，且 n 与圆 O 相离D ．m ⊥ n ，且 n 与圆 O 相离4. 若直线 ax2by 2 0( a,b 0) 始终平分圆 x 2y 2 4x 2 y8 0 的周长，则12a b的最小值为A ．1B ． 5 C．4 2D ． 3 225. M (x 0 , y 0 ) 为 圆 x 2 y 2a 2 ( a 0) 内 异 于 圆 心 的 一 点 ， 则 直 线x 0 x y 0 y a 2 与该圆的位置关系为A ．相切 B．相交C．相离 D ．相切或相交6. 已知两点 M （ 2，－ 3）， N （－ 3，－ 2），直线 L 过点 P （ 1， 1）且与线段 MN 相交，则直线 L 的斜率 k 的取值范围是A ．3≤k ≤ 4B ． k ≥ 3或 k ≤－ 4C ． 3≤ k ≤ 4D ．－34444≤ k ≤45) 2 1)27. 过直线 y x 上的一点作圆 (x ( y 2 的两条切线 l 1， l 2 ，当直 线 l 1， l 2 关于 yx 对称时，它们之间的夹角为A ． 30oB ． 45oC ． 60oD ． 90ox y 1 01x 、yy1 0，那么 xy8满足条件4()的最大值为．如果实数2xy 1 0A ． 2B． 1C．1D．19 (0, a),1x 2 y224其斜率为 ，且与圆2相切，则 a 的值为．设直线过点Ａ．4Ｂ． 2 2Ｃ．2Ｄ．210．如图， l 1 、 l 2 、 l 3 是同一平面内的三条平行直线，l 1 与 l 2 间的距离是 1，l 2 与 l 3 间的距离是 2，正三角形 ABC 的三顶点分别在 l 1 、l 2 、l 3 上，则⊿ ABC的边长是A. 23 4 63 172 21B.3 C.4D.3一、选择题答案123 45 678910二、填空题： 本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．答案填在题中横线上．11．已知直线 l 1 : x y sin 1 0 ， l 2 : 2x siny 1 0 ，若 l 1 // l 2 ，则．12．有下列命题：①若两条直线平行，则其斜率必相等；②若两条直线的斜率乘积为－ 1, 则其必互相垂直；③过点（－ 1，1），且斜率为 2 的直线方程是y 1 2 ；x1④同垂直于 x 轴的两条直线一定都和 y 轴平行 ;⑤若直线的倾斜角为 ，则 0 .其中为真命题的有 _____________( 填写序号 ).13．直线 Ax ＋ By ＋C ＝ 0 与圆 x 2＋ y 2＝ 4 相交于两点 M 、 N ，若满足 C 2＝ A 2＋ uuuuruuurB 2，则 OM · ON （ O 为坐标原点）等于 _ .14．已知函数 f ( x) x 22x 3 ，集合 Mx, y f ( x) f ( y) 0 ， 集 合 N x, y f ( x) f ( y) 0 ， 则 集 合 MN 的 面 积是；15．集合P ( x, y) | x y 5 0，x N*，y N*｝，Q ( x, y) | 2x y m 0 ，M x, y) | z x y ， ( x, y) ( P Q)，若z 取最大值时，M(3,1) ，则实数m的取值范围是；三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12 分）已知ABC 的顶点A为（3，－1），AB边上的中线所在直线方程为6x 10 y 59 0， B 的平分线所在直线方程为x 4y 10 0 ，求BC 边所在直线的方程．17．（本小题满分12 分）某厂准备生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为 3 千元， 2 千元。

高二圆练习题圆是我们数学学习中的重要概念，掌握圆的性质和运用方法对于解决各种几何问题至关重要。

为了提高高二学生的圆的练习能力，下面将为大家提供几道高二圆练习题，请认真仔细解答。

练习题一：已知正方形ABCD的边长为8cm，P是AB的中点，求圆O的面积，其中O为以PD为直径的圆。

解答：首先，我们可以利用正方形的性质求出直径PD的长度。

由于P是AB的中点，所以PD的长度等于正方形边长的一半，即PD=8cm/2=4cm。

接下来，我们可以利用圆的面积公式求解圆O的面积。

圆的面积公式为S=πr²，其中r为圆的半径。

已知PD为直径，所以圆的半径r等于PD的一半，即r=4cm/2=2cm。

代入圆的面积公式，得到圆O的面积S=π(2cm)²=4π cm²。

这就是圆O的面积。

练习题二：已知圆O的半径为r，点P是圆上一点，且OP的长度为r，点Q是OP的中点，求PQ的长度。

根据题意，我们可以推断出OP与PQ构成了正方形。

正方形的性质告诉我们，正方形的对角线互相平分。

因此，点Q是OP的中点，所以PQ的长度等于OP的一半，即PQ=r/2。

练习题三：已知圆O的周长为10π cm，求圆O的半径和面积。

解答：我们可以利用圆的周长公式解决这道题。

圆的周长公式为C=2πr，其中C为周长，r为半径。

已知圆O的周长为10π cm，代入周长公式，得到10π=2πr。

通过简单计算，我们可以得出圆的半径r=5 cm。

接下来，我们可以利用圆的面积公式求解圆O的面积。

圆的面积公式为S=πr²，代入半径r=5 cm，得到圆O的面积S=π(5 cm)²=25π cm²。

综上所述，圆O的半径为5 cm，面积为25π cm²。

练习题四：已知圆O的直径为16 cm，求圆O的周长和面积。

我们可以利用圆的直径求解这道题。

已知圆O的直径为16 cm，代入周长公式C=πd（其中d为直径），得到圆O的周长C=π×16 cm=16π cm。

圆训练题一、选择题1、过点（1，1）的直线与圆相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A. B.4 C. D.52、若点和点到直线的距离依次为和，则这样的直线有（）A.条B.条C.条D.条3、已知点P（x，y）在直线x+2y=3上移动，当2x+4y取最小值时，过P点（x，y）引圆C：=1的切线，则此切线长等于（）4、若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离为1，则半径r的取值范围是( )A．(4,6) B．[4,6) C．(4,6] D．[4,6]5、已知x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则x2＋y2的最大值为( )A．9 B．14 C．14－6 D．14＋6[6、若曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上相异两点P、Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为( )A．1 B．－1 C. D．27、设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )A．6 B．4 C．3 D．28、一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路程是( )A．4 B．5 C．3－1 D．29、已知圆C的方程为x2＋y2＋2x－2y＋1＝0，当圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大时，k的值为( )A. B. C．－ D．－10、已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为( )A. B.C．1 D．311、已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M、N分别是圆C1、C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )A．5－4 B.－1 C．6－2 D.12、已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25，则圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为( )A. B. C. D.二、填空题13、由直线y=x+1上的一点向圆引切线，求切线长的最小值.14、已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为______________.15、已知直线ax＋by＝1(a，b是实数)与圆O：x2＋y2＝1(O是坐标原点)相交于A，B两点，且△AOB是直角三角形，点P(a，b)是以点M(0,1)为圆心的圆M上的任意一点，则圆M的面积的最小值为________．16、已知点P是圆C：x2＋y2＋4x－6y－3＝0上的一点，直线l：3x－4y－5＝0.若点P到直线l的距离为2，则符合题意的点P有________个．17、已知点P在圆x2+y2=1上运动,则点P到直线3x+4y+15=0的距离的最小值为.18、已知圆C：x2＋y2－6x－6y＋17＝0，过原点的直线l被圆C所截得的弦长最长，则直线l的方程是_______________．19、已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为______．20、如果圆(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是_____ ___．21、圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是_______ .22、 (文)设M是圆上的点，则M到直线的最长距离是___________三、简答题23、在平面直角坐标系xOy中,已知圆上有且只有四个点到直线的距离为1，求实数c的取值范围.24、在平面直角坐标系xOy中，己知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．25、已知矩形ABCD的对角线交于点P(2,0)，边AB所在直线的方程为x－3y－6＝0，点(－1,1)在边AD所在的直线上．(1)求矩形ABCD的外接圆的方程；(2)已知直线l：(1－2k)x＋(1＋k)y－5＋4k＝0(k∈R)，求证：直线l与矩形ABCD 的外接圆恒相交，并求出相交弦长最短时的直线l的方程．26、已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.27、已知圆O：x2＋y2＝1和定点A(2,1)，由圆O外一点P(a，b)向圆O引切线PQ，切点为Q，|PQ|＝|PA|成立，如图．(1)求a、b间关系；(2)求|PQ|的最小值；(3)以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程．28、已知圆经过第一象限，与轴相切于点，且圆上的点到轴的最大距离为2，过点作直线．⑴求圆的标准方程；⑵当直线与圆相切时，求直线的方程；⑶当直线与圆相交于、两点，且满足向量，时，求的取值范围．参考答案一、选择题1、B【解析】弦心距最大为，此时|AB|的最小值为．2、C3、D.【解析】∵x+2y=3，2x+4y =2x+22y≥2x+2y=23=8，当且仅当 x=2y=时，等号成立，∴当2x+4y取最小值8时，P点的坐标为（，），点P到圆心C的距离为CP==，大于圆的半径1，故切线长为==2，故选：D．4、A[解析] 因为圆心(3，－5)到直线4x－3y－2＝0的距离为5，所以当半径r＝4时，圆上有1个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，当半径r＝6时，圆上有3个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，所以圆上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1时，4<r<6.5、D[解析] 方程表示以(－2,1)为圆心，半径r＝3的圆，令d＝，则d为点(x，y)到(0,0)的距离，，∴x2＋y2的最大值为(＋3)2＝14＋6.6、D[解析] 由条件知直线kx＋2y－4＝0是线段PQ的中垂线．∴直线过圆心(－1,3)，∴k＝2.7、B[解析] 如图所示，要使|PQ|最小，则过圆心作直线x＝－3的垂线分别与圆及直线交于点P、Q，此时|PQ|最小，圆心到直线x＝－3的距离为6，则|PQ|min＝6－2＝4.故选B.8、A9、 D[解析] 圆C的方程可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，所以圆心C的坐标为(－1,1)，又直线kx＋y＋4＝0恒过点A(0，－4)，所以当圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大时，直线CA应垂直于直线kx＋y＋4＝0，直线CA的斜率为－5，所以－k＝，k＝－.10、A11、 A12、 B二、填空题13、14、【解析】圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0化为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25．圆心坐标（3，4），半径是5．最长弦AC是直径，最短弦BD的中点是E．S ABCD=15、(3－2)π16、217、218、x－y＝019、20、21、22、（文） 8__三、简答题23、24、(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题意知y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，从而得y2＋2＝x2＋3.∴点P的轨迹方程为y2－x2＝1.(2)设与直线y＝x平行且距离为的直线为l：x－y＋c＝0，由平行线间的距离公式得c＝±1. ∴l：x－y＋1＝0或x－y－1＝0.与方程y2－x2＝1联立得交点坐标为A(0,1)，B(0，－1)．即点P的坐标为(0,1)或(0，－1)，代入y2＋2＝r2得r2＝3.∴圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3或x2＋(y－1)2＝3.25、(1)∵l AB：x－3y－6＝0且AD⊥AB，∴k AD＝－3，∵点(－1,1)在边AD所在的直线上，∴AD所在直线的方程是y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0.由得A(0，－2)．∴|AP|＝＝2，∴矩形ABCD的外接圆的方程是(x－2)2＋y2＝8.(2)证明：直线l的方程可化为k(－2x＋y＋4)＋x＋y－5＝0，l可看作是过直线－2x＋y＋4＝0和x＋y－5＝0的交点(3,2)的直线系，即l恒过定点Q(3,2)，由|QP|2＝(3－2)2＋22＝5<8知点Q在圆P内，所以l与圆P恒相 (d为P 到l的距离) 交，设l与圆P的交点为M，N，|MN|＝2，设PQ与l的夹角为θ，则d＝|PQ|²sinθ＝sinθ，当θ＝90°时，d最大，|MN|最短．此时l的斜率为PQ的斜率的负倒数，即－，故l的方程为y－2＝－(x－3)，即l：x＋2y－7＝0.26、解(1)设圆P的半径为r，则|PM|＝1＋r，|PN|＝3－r，∴|PM|＋|PN|＝4>|MN|，∴P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆(左顶点除外)，且2a＝4,2c＝2，∴a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.∴P的轨迹曲线C的方程为＋＝1(x≠－2)．(2)由(1)知2r＝(|PM|－|PN|)＋2≤|MN|＋2＝4，∴圆P的最大半径为r＝2.此时P的坐标为(2,0)．圆P的方程为(x－2)2＋y2＝4.①当l的倾斜角为90°，方程为x＝0时，|AB|＝2，②当l的倾斜角不为90°，设l的方程为y＝kx＋b(k∈R)，∴l的方程为y＝x＋，y＝－x－.联立方程化简得7x2＋8x－8＝0，∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，∴|AB|＝＝.当k＝－时，由图形的对称性可知|AB|＝.综上，|AB|＝2或.27、解：(1)连接OQ、OP，则△OQP为直角三角形，又|PQ|＝|PA|，所以|OP|2＝|OQ|2＋|PQ|2＝1＋|PA|2，所以a2＋b2＝1＋(a－2)2＋(b－1)2，故2a＋b－3＝0.(2)由(1)知，P在直线l：2x＋y－3＝0上，所以|PQ|min＝|PA|min，为A到直线l的距离，所以|PQ|min＝＝.(或由|PQ|2＝|OP|2－1＝a2＋b2－1＝a2＋9－12a＋4a2－1＝5a2－12a＋8＝5(a－1.2)2＋0.8，得|PQ|min＝.) (3)以P为圆心的圆与圆O有公共点，半径最小时为与圆O相切的情形，而这些半径的最小值为圆O到直线l的距离减去圆O的半径，圆心P为过原点与l垂直的直线l′与l的交点P0，所以r＝－1＝－1，又l′：x－2y＝0，联立l：2x＋y－3＝0得P0(，)．所以所求圆的方程为(x－)2＋(y－)2＝(－1)2.28、解：⑴因为圆经过第一象限，与轴相切于点，得知圆的圆心在的正半轴上；…………1分由圆上的点到轴的最大距离为2，得知圆的圆心为，，半径为2．……2分所以圆的标准方程为．………………4分⑵若直线的斜率存在，设的斜率为，则直线的方程为，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径得，解得，直线的方程：；若直线的斜率不存在，由直线与圆相切得直线的方程：………………6分所以，直线的方程为或．…………………8分⑶由直线与圆相交于、两点知，直线的斜率存在，设直线的斜率为，点、，则直线的方程为，由得，即，，，由向量，得，由，，消去、得，即，，化简得．…11分且，即．………………………13分所以的取值范围是．。

高二数学圆试题答案及解析1.圆的圆心坐标和半径分别是（）A．（0，2）2B．（2，0）4C．（－2，0）2D．（2，0）2【答案】D【解析】由，配方得，所以圆心和半径分别为，选D.【考点】圆的标准方程.2.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为。

（1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点。

若点的坐标为（3，），求。

【答案】（1）（2）【解析】（Ⅰ）由得即（Ⅱ）将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，即由于，故可设是上述方程的两实根，所以故由上式及t的几何意义得：|PA|+|PB|==。

【考点】直线的参数方程、圆的极坐标方程点评：本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力3.若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设圆心坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），由圆与直线4x-3y=0相切，可得圆心到直线的距离d=，化简得：|4a-3b|=5①，又圆与x轴相切，可得|b|=r=1，解得b=1或b=-1（舍去），把b=1代入①得：4a-3=5或4a-3=-5，解得a=2或a=-（舍去），∴圆心坐标为（2，1），则圆的标准方程为：（x-2）2+（y-1）2=1．故选A【考点】圆的方程的求解点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，若直线与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，要求学生灵活运用点到直线的距离公式，以及会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程。

4.圆C1: 与圆C2:的位置关系是（）A．外离B．外切C．内切D．相交【答案】B【解析】因为|C1C2|= =5，R=1，r=4，|C1C2|=R+r，所以两圆外切，选B。

【考点】本题主要考查两圆的位置关系。

点评：简单题，研究圆与圆的位置关系，由几何法和代数法两种，较常用的是几何法，研究半径之和差与圆心距之间的关系。

第二章 直线和圆的方程专题测试注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1．（2020·福建高二学业考试）已知直线1l ：2y x =-，2l ：y kx =，若12//l l ，则实数k =（ ） A ．－2B ．－1C ．0D ．12．（2020·洮南市第一中学高一月考）直线()()1:2140l a x a y -+++=与()2:190l a x ay ++-=互相垂直，则a 的值是（ ）. A ．-0.25B ．1C ．-1D ．1或-13．（2020·江苏省海头高级中学高一月考）直线:l (1)230m x my m ---+=（m R ∈）过定点A ，则点A 的坐标为（ ） A ．(3,1)-B ．(3,1)C ．(3,1)-D ．(3,1)--4．（2020·广东高二期末）设a R ∈，则“a =1”是“直线ax+y -1=0与直线x+ay+1=0平行”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件,5．（2020·黑龙江高一期末）若曲线y 与直线y ＝k （x ﹣2）+4有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．3,14⎛⎤⎥⎝⎦B ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．（1，+∞）D ．（1，3]6．（2020·浙江柯城。

衢州二中高三其他）已知直线x y t +=与圆()2222x y t tt R +=-∈有公共点，则()4t t -的最大值为（ ）A ．4B ．289C ．329D ．3277．（2020·广东高一期末）若两平行直线20,(0)x y m m ++=>与30x ny --=则m +n ＝（ ） A ．0B ．1C ．1-D ．2-8．（2020·北京市第五中学高三其他）过直线y ＝x 上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线l 1，l 2，当直线l 1，l 2关于y ＝x 对称时，它们之间的夹角为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°二、多选题（每题不止有一个选项为正确答案，每题5分，共20分）9．（2020·江苏省苏州第十中学校高一期中）圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（ ）A ．公共弦AB 所在直线方程为0x y -= B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 距离的最大值为12+ 10．（2020·江苏徐州.高一期末）已知直线12:10,:(2)330l x my l m x y +-=-++=，则下列说法正确的是（ ）A ．若12l l //，则m =-1或m =3B ．若12l l //，则m =3C ．若12l l ⊥，则12m =-D ．若12l l ⊥，则12m =11．（2020·江苏扬州.高一期末）已知直线l 与圆22:240C x y x y a ++-+=相交于,A B 两点，弦AB 的中点为()0,1M ，则实数a 的取值可为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．（2020·江苏省江阴高级中学高一期中）下列说法正确的是（ ） A ．直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2) B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2-C 10y ++=的倾斜角为60°D ．过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为20x y +=第II 卷（非选择题）三、填空题(每题5分，共20分）13．（2020·湖南张家界。

专题09与圆有关的定值问题1．已知圆C 的圆心在直线2y x =-上，并且经过点(2,1)A -，与直线1x y +=相切．（1）试求圆C 的方程；（2）若圆C 与直线:2l y kx =-相交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点．求证：1211x x +为定值．【解答】解：（1）由题意知：过(2,1)A -且与直线1x y +=垂直的直线方程为：3y x =-， 圆心在直线：2y x =-上，∴由23y x y x =-⎧⎨=-⎩⇒12x y =⎧⎨=-⎩即(1,2)M -，且半径1||r AO ==，∴所求圆的方程为：22(1)(2)2x y -++=．（2）将l 的方程与圆C 的方程联立得22(1)210k x x +--=，由韦达定理得12122221,11x x x x k k -+==++ ，故121212112x x x x x x ++==-．【点睛】本题主要考查了圆的方程的求解及直线与圆的位置关系的简单应用，方程的根与系数关系的应用是证明（2）的关键．2．动圆C 与x 轴交于1(A x ，0)，2(B x ，0)两点，且1x ，2x 是方程2240x mx +-=的两根．（1）若线段AB 是动圆C 的直径，求动圆C 的方程；（2）证明：当动圆C 过点(0,1)M 时，动圆C 在y 轴上截得弦长为定值．【解答】解：（1）1x ，2x 是方程2240x mx +-=的两根，122x x m ∴+=-，124x x =-． 动圆C 与x 轴交于1(A x ，0)，2(B x ，0)两点，且线段AB 是动圆C 的直径，∴动圆C 的圆心C 的坐标为(,0)m -，半径为21||||22x x AB -==．∴动圆C 的方程为222()4x m y m ++=+；（2）证明：设动圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=， 动圆C 与y 轴交于(0,1)M ，1(0,)N y ，令0y =则20x Dx F ++=，由题意可知2D m =，4F =-，又动圆C 过点(0,1)M ，140E ∴+-=，解得3E =．令0x =，则2340y y +-=，解得1y =或4y =-，14y ∴=-．∴动圆C 在y 轴上截得弦长为1|1|5y -=．故动圆C 在y 轴上截得弦长为定值．【点睛】本题主要考查圆的方程及被坐标轴截得的弦长的问题，属于定值问题中的基础题．3．如图，在直角坐标系xOy 中，圆22:4O x y +=与x 轴负半轴交于点A ，过点A 的直线AM 、AN 分别与圆O 交于M 、N 两点．（1）若2AM k =，12AN k =-，求AMN ∆的面积；（2）若直线MN 过点(1,0)，证明：AM AN k k为定值，并求此定值．【解答】解：（1）根据题意，圆22:4O x y +=的圆心为(0,0)，半径为2，(2,0)A -，若2AM k =，则直线AM 的方程为02(2)y x -=+，即24y x =+，12AN k =-，直线AN 的方程为10(2)2y x -=-+，即112y x =--，由题知1AM AN k k =- ，所以AN AM ⊥，MN 为圆O 的直径，所以圆心到直线AM的距离455d ==，则2AM =，又由中位线定理知，2AN d =，即855AN =，则AMN ∆的面积1116225S AM AN =⨯⨯=⨯；（2）证明：设1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y ，①当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，代入圆的方程中有：222(1)40x k x +--=，整理得：2222(1)240k x k x k +-+-=，则有212221k x x k +=+，212241k x x k -=+，此时2212121212121212121212(1)(1)()1122(2)(2)(2)(2)2()43AM AN y y y y k x x x x x x k k k x x x x x x x x x x ---++=⨯===⨯=-+++++++++ ，②当直线MN 斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =，代入圆的方程可得M，(1,N ；此时13AM AN k k =- ，综合可得：AM AN k k 为定值，且此定值为13-．【点睛】本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，以及弦长公式的运用，属于定值问题中的基础题．4．已知过点M (0,2)且斜率为k 的直线l 与圆22:(1)1C x y -+=交于A ，B 两点．（1）求斜率k 的取值范围；（2）以点M 为圆心，r 为半径的圆与圆C 总存在公共点，求r 的取值范围；（3）O 为坐标原点，求证：直线OA 与OB 斜率之和为定值．【解答】解：（1）根据题意可得，直线l 的方程为：2(0)y k x -=-，即20kx y -+=，圆C 的方程为22(1)1x y -+=，则其圆心(1,0)C ，半径1r =，若直线与圆相交，必有d r <，即1<，解得34k <-，所以斜率k 的取值范围为34k <-．（2）若以点M 为圆心，r 为半径的圆与圆C 总存在公共点，则|1|||1r MC r -+，即|1|1r r -+，11r-+．（3）证明：联立直线与圆的方程：222(1)1y kx x y =+⎧⎨-+=⎩，消去y 整理得22(1)(42)40k x k x ++-+=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，根据韦达定理得12212242141k x x k x x k +⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，则121212121222222OA OB y y kx kx k k k x x x x x x +++=+=+=++212122842()122221141k x x k k k k k x x k --++=+=+=-+=+，故直线OA 与直线OB 的斜率之和为定值1．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，斜率，属于中档题．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在x 轴上的圆C 经过点(3,0)A ，且被y 轴截得的弦长为，经过坐标原点O 的直线l 与圆C 交于M ，N 两点．（1）求当满足20OM ON += 时对应的直线l 的方程；（2）若点(3,0)P -，直线PM 与圆C 的另一个交点为R ，直线PN 与圆C 的另一个交点为T ，分别记直线l 、直线RT 的斜率为1k 、2k ，求证：12k k +为定值．【解答】解：因为圆C 被y轴截得的弦长为，所以OC =，又圆心在x 轴上的圆C 经过点(3,0)A ，所以3OC r +=，即3r +=，解得2r =，所以圆心(1,0)C ，所以圆C 方程为22(1)4x y -+=．设直线l 方程为：1y k x =，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 联立圆的方程得，221(1)230k x x +--=，122121x x k +=+③，122131x x k -=+④，（1）因为20OM ON += ，所以1(x ，12)(2y x +，22)(0y =，0)即121220,20,x x y y +=⎧⎨+=⎩①②①-③得22121x k =-+，代入③得12141x k =+，代入④得，222111243()()111k k k --=+++解得1k =，所以直线l 的方程为：153y =±．（2）直线PT l 方程为：2200(3)3y y x x --=++，联立圆的方程得：2222222222[1(][26()]9()30333y y y x x x x x ++-++-=+++，所以22222222222222222222226()26()332(3)6(3)1()1()33T y y x x x y x x y y x y x x -+-+++-+=-==++++++，所以2222222222222222222(3)62(3)6[4(1)](3)(3)[4(1)]T x y x x x x x x y x x +-+---=-=-++++--，22222222222222121824612669426x x x x x x x x x ++-+-+=-+++-+-，22228812x x x =-+，2222228812812x x x x --=+22323x x -=+，12212212222223393(3)32332323T k x x k x x k x y x x x x x -+=+==+++++ ，所以223(23x T x -+，122323k x x +，同理可得113(23x R x -+，1113)23k x x +，所以1211211211122212112213323233(23)3(23)333(23)3(23)2323k x k x x x k x x k x x k x x x x x x x x -+++-+==--++++++11212112111269699()k x x k x k x x k x x x +--=-1211219()9()k x x k x x -=-=--，所以120k k +=，所以120k k +=为定值．【点睛】本题考查圆的方程，向量，直线与圆相交问题，还考查运算能力，属于中档题．6．已知圆心C 在第一象限，半径为54的圆与y 轴相切，且与x 轴正半轴交于A ，B 两点(A 在B 左侧），||||1(OA OB O ⋅=为坐标原点）．（1）求圆C 的标准方程；（2）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于P ，Q 两点．①证明：||||||||PA QB PB QA +为定值；②求||2||PB PC +的最小值．【解答】（1）解：因为圆心C 在第一象限，半径为54的圆与y 轴相切，故设圆心5(,)4C b ，则225||216AB b =-，所以51||||42OA AB =-，51||||42OB AB =+，所以22251||||||1164OA OB AB b ⋅=-==，解得1b =，所以圆C 的方程为22525((1)416x y -+-=；（2）①证明：由（1）可得，1(,0),(2,0)2A B ，设0(P x ，0)y ，则22001x y +=，所以222200000222200000115()()1||1224||542(2)(2)1x y x x x PA PB x x y x y -+-+--====--+-+-，同理可得||2||QB QA =，所以||||||||PA QB PB QA +为定值52；②解：因为||2||PB PA =，所以5||2||2(||||)2||2PB PC PA PC AC +=+==，故||2||PB PC +的最小值为52．【点睛】本题考查了圆的标准方程的求解与应用，直线与圆位置关系的应用，圆中弦长公式的应用以及圆中最值问题的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．7．已知圆C 经过坐标原点O ，圆心在x 轴正半轴上，且与直线3480x y +-=相切．（1）求圆C 的标准方程．（2）直线:2l y kx =+与圆C 交于A ，B 两点．（ⅰ）求k 的取值范围；（ⅱ）证明：直线OA 与直线OB 的斜率之和为定值．【解答】解：（1）设圆C 的圆心坐标为(,0)C a ，其中0a >，半径为r ，圆C 经过坐标原点O ，圆心在x 轴正半轴上，r a ∴=，又 圆C 与直线3480x y +-=相切，∴r a ==，解得1a =或4a =-（舍去），∴圆心(1,0)C ，1r =，故圆C 的标准方程为22(1)1x y -+=．（2）()i 联立直线与圆的方程222(1)1y kx x y =+⎧⎨-+=⎩，可得22(1)(42)40k x k x ++-+=， 直线l 交圆C 与A ，B 两点，∴△2224(42)16(1)0b ac k k =-=--+>，解得34k <-，故k 的取值范围为3(,4-∞-．()ii 证明：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由韦达定理，可得122421k x x k -+=+，12241x x k =+，又 2121212121212284222()122221141OA OB k y y kx kx x x k k k k k k k x x x x x x k --+++++=+=+=+=+=-+=+，∴直线OA 与直线OB 的斜率之和为定值，即得证．【点睛】本题考查了直线与圆的综合应用，并考查了点到直线的距离公式和韦达定理，需要学生较强的综合能力，属于中档题．8．在平面直角坐标系xOy 中，设圆22(2)4x y -+=的圆心为M ，(0,4)P -．（1）若PA ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 是切点，M 为圆心，求四边形PAMB 的面积；（2）若过点P 且斜率为k 的直线与圆M 相交于不同的两点A ，B ．设直线OA 、OB 的斜率分别为1k ，2k ，问12k k +是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．【解答】解：（1）圆心M 的坐标为(2,0)，半径2r = 圆心(2,0)M 到直线0x =的距离2d =，∴直线0x =是圆的一条切线，无妨设切点为A ，则||2MA d ==，||PM ==||4PA ∴==，∴四边形PAMB 的面积为1||||282PA MA ⨯⨯⨯=．（2）过点P 的直线方程为4y kx =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立得224(2)4y kx x y =-⎧⎨-+=⎩，整理得22(1)(84)160k x k x +-++=，直线与圆相交，∴△2216(21)64(1)0k k =+-+>，34k ∴>，则122841k x x k ++=+，122161x x k ⋅=+，于是121221122112121212(4)(4)y y y x y x kx x kx x k k x x x x x x +++++=+==12124()84224()116x x k k k x x ++=-=-⨯=-，12k k ∴+为定值1-．【点睛】本题考查直线与圆的方程的综合应用，用联立法求解是解决问题的关键，属于中档题．9．已知圆22:(3)(4)4C x y +++=，直线l 过定点(1,0)A -．（1）若l 与圆相切，求l 的方程；（2）若l 与圆相交于P 、Q 两点，PQ 线段中点为M ，又l 与0:220l x y +-=交点为N ，求证：||||AM AN ⋅为定值．【解答】（1）解：由题意知直线的斜率不为0，设直线l 的方程为1x ty =-，10x ty -+=，则由l与圆相切得：2d ==，解得：0t =或43，故l 的方程为1x =-或3430x y -+=．（2）证明：l 与圆相交于PQ 两点，故l 斜率存在且不为0．设直线l 的方程为1x ty =-，联立122x ty x y =-⎧⎨+=⎩得31232t x t y t ⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，故33(1,)22t N t t -++；PQ 线段中点为M ，CM PQ ∴⊥，设直线CM 的方程为4(3)y t x +=-+，联立14(3)x ty y t x =-⎧⎨+=-+⎩，得2222411241t t x t t y t ⎧--=-⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩，故2222424(1,)11t t t M t t -----++；∴2222424(,11t t t AM t t ----=++ ，33(,22t AN t t =++ ，∴6AM AN ⋅=- ，又由于A ，M ，N 三点共线，||||6AM AN ∴⋅=得证，||||AM AN ⋅为定值．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力．10．已知O 为坐标原点，圆C 的方程为：22(1)1x y -+=，直线l 过点(0,3)M ．（1）若直线l 与圆C 有且只有一个公共点，求直线l 的方程；（2）若直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，试问：直线OA 与OB 的斜率之和是否为定值，若是，求出该定值：若不是，说明理由．【解答】解：（1）①当直线l 斜率不存在时，l 的方程为0x =，符合题意．②当直线l 斜率存在时，设l 的方程为3y kx =+，由22(1)1x y -+=，得圆心(1,0)C ，半径1r =．直线与圆有一个公共点，∴1d ==，解得43k =-．l ∴的方程为433y x =-+，即4390x y +-=．综上所述，直线l 的方程为0x =或4390x y +-=；（2）直线OA 与OB 的斜率之和为定值．证明：由（1）知直线l 斜率存在，设l 的方程为3y kx =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线与圆的方程：223(1)1y kx x y =+⎧⎨-+=⎩，消去y 得22(1)(62)90k x k x ++-+=．根据韦达定理得12212262191k x x k x x k -⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩．则1212121233OA OB y y kx kx k k x x x x +++=+=+212121221863()33221222229331k x x k k k k k k x x x x k --++=++=+=+=-+=+ ．∴直线OA 与OB 的斜率之和为定值23．【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．11．若圆221:C x y m +=与圆222:68160C x y x y +--+=相外切．（1）求m 的值；（2）若圆1C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，P 为第三象限内一点且在圆1C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．【解答】解：（1）圆1C 的圆心坐标(0,0)圆2C 的圆心坐标(3,4)，半径为3，35+=，4m ∴=．（2）证明：点A 坐标为(2,0)，点B 坐标为(0,2)，设P 点坐标为0(x ，0)y ，由题意得点M 的坐标为002(0,)2y x -；点N 的坐标为002(2x y -，0)，四边形ABNM 的面积20000000022(422)11(2)(2)2222(2)(2)x y y x S y x y x --=--=---- ，由P 点在圆1C 上，有22004x y +=，∴四边形ABNM 的面积4S =，即四边形ABNM 的面积为定值4．【点睛】本题考查圆的标准方程，考查了圆与圆的位置关系，考查计算能力与推理论证能力，是中档题．12．已知圆C 和y 轴相切于点(0,2)T ，与x 轴的正半轴交于M 、N 两点(M 在N 的左侧），且3MN =；（1）求圆C 的方程；（2）过点M 任作一条直线与圆22:4O x y +=相交于点A 、B ，连接AN 和BN ，记AN 和BN 的斜率为1k ，2k ，求证：12k k +为定值．【解答】解：（1） 圆C 与y 轴相切于点(0,2)T ，可设圆心的坐标为(m ，2)(0)m >，则圆C 的半径为m ，又||3MN =，∴223254()24m =+=，解得52m =，∴圆C 的方程为22525((2)24x y -+-=；证明：（2）由（1）知(1,0)M ，(4,0)N ，当直线AB 的斜率为0时，知0AN BN k k ==，即120k k +=为定值．当直线AB 的斜率不为0时，设直线:1AB x ty =+，将1x ty =+代入224x y +=，整理得，22(1)230t y ty ++-=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，∴12221t y y t +=-+，12231y y t -=+，则12121212124433y y y y k k x x ty ty +=+=+----22121212126623()110(3)(3)(3)(3)t tty y y y t t ty ty ty ty -+-+++===----．综上可知，120k k +=为定值．【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．13．平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,4)P ，圆22:4O x y +=与x 轴的正半轴交于点Q ．（1）若过点P 的直线1l 与圆O 相切，求直线1l 的方程；（2）若过点P 的直线2l 与圆O 交于不同的两点A ，B ．①设直线QA ，QB 的斜率分别是1k ，2k ，问12k k +是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由；②设线段AB 的中点为M ，点(1,0)N ，若14MN OM =，求直线AB的方程．【解答】解：（1）当1l 的斜率不存在时，易得1l 的方程为2x =适合题意；当1l 的斜率存在时，设1:4(2)l y k x -=-，即420kx y k -+-=，由题设知：圆心O 到直线1l的距离324d r k ===⇒=，此时1:34100l x y -+=，∴直线1l 的方程为2x =或34100x y -+=；（2）①2:4(2)l y k x -=-，联立224(2)4y k x x y -=-⎧⎨+=⎩，可得222(1)4(2)(24)40k x k k x k +--+--=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则1224(2)1k k x x k -+=+，2122(24)41k x x k--=+，∴121212121212(2)4(2)4442222222y y k x k x k k k x x x x x x -+-++=+=+=++------21221212224(2)4(4)4(4)4(84)12221(24)44(2)2()4162411k k x x k k k k k k k k x x x x k k --+-++=+=+=-=-----++-+++；②设0(M x ，0)y ，由①知，12022(2)21x x k k x k +-==+，代入直线方程，可得022(2)1k y k --=+，由14MN OM =，得222200001(1)()16x y x y -+=+，化简为22000151532160x y x +-+=，把0x ，0y 代入，可得222222(2)2(2)2(2)15()15(32160111k k k k k k k k ----+-+=+++，解得4k =或163k =．∴直线AB 的方程为44(2)y x -=-或164(4)3y x -=-，即440x y --=或163520x y --=．【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，体现了“设而不求”的解题思想，考查计算能力，是中档题．14．平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆被直线20x --=截得弦长为．（1）求圆O 的方程；（2）过点(0,1)P 的直线与圆O 交于A ，B 两点，与x 轴交于点Q ，设QA PA λ= ，QB PB μ=，求证：λμ+为定值．【解答】解：（1）设圆O 的半径为r，圆心到直线20x --=的距离为d ，则1d ==，则2r =．∴圆O 的方程为224x y +=；证明：（2）当AB 与x 轴垂直时（不妨设A 在x 轴上方），此时Q 与O 重合，从而2λ=，23μ=，83λμ+=；当点Q 与点O 不重合时，直线AB 的斜率存在，设:1AB y kx =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则1(Q k -，0)，由QA PA λ= ，QB PB μ= ，得：111x x k λ+=，221x x kμ+=，即12121211112x x kx kx kx x λμ++=+++=+．联立2214y kx x y =+⎧⎨+=⎩，得22(1)230k x kx ++-=．则△222412(1)16120k k k =++=+>．12221k x x k -+=+，12231x x k -=+，1212282233x x k kx x k λμ+-∴+=+=+=-．综上，λμ+为定值83．【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．15．已知圆C 的圆心在y 轴上，半径5r <，过点(0,4)且与直线32y x =-相切．（1）求圆C 的方程；（2）若过点(,0)P t 的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，且与直线240x y --=交于点M ，若A ，B 中点为N ，问是否存在实数t ，使PM PN为定值，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设圆心(0,)m ，圆心到直线32y x =-的距离等于半径，∴|4|31m =-+，解得2m =或10m =，又半径5r <，2m ∴=，则圆C 的方程为22(2)4x y +-=；（2）()PM PN PM PC CN PM PC PM CN PM PC =+=+= ．①当直线l 的斜率k 存在时，设:()l y k x t =-，联立()240y k x t x y =-⎧⎨--=⎩，解得4212412kt x kk kt y k -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，424(,1212kt k kt M k k --∴--，∴4244(4)(,)(,12121212kt k kt t k t PM t k k k k----=-=---- ，(,2)PC t =-，∴4(4)(4)2(4)(4)(2)(,)(,2)1212121212t k t t t k t t t k PM PC t k k k k k-------+=-=+=----- ，要使PM PN 为定值，则1t =，此时3PM PN =-；②当l 的斜率不存在时，4(,)2t M t -，(,0)P t ，(,2)N t ，∴4(0,)(0,2)42t PM PN t -==- ，1t =时满足3PM PN =- ；又当M 与P 重合时，0PM PN =也为的值．综上，当1t =或4时，PM PN为定值．【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的方程为2230x y x y +-+=，点(1,1)P 是圆C 上一点．（1）若M ，N 为圆C 上两点，若四边形MONP 的对角线MN 的方程为20x y m ++=，求四边形MONP 面积的最大值；（2）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B 两点，若直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，且120k k +=，试判断直线AB 的斜率是否为定值，并说明理由．【解答】解：（1）由圆C 的方程为2230x y x y +-+=，可知31(,)22C -，半径r =则C 到MN 距离31|1|||22m m d -++==所以MN ==12m =-时取等号，由d r <，解得1521522222m --<<-+；由O ，P 在MN 两侧，(12)0m m ++<，30m -<<，所以30m -<<．O 到MN距离1d ==，P 到MN距离2d =，所以四边形MONP的面积12132()22MNO MNP S S S MN d d ∆∆=+=+=，所以12m =-时，四边形MONP 面积最大为322；（2）由题意可设1:(1)1PA y k x =-+，由122(1)130y k x x y x y =-+⎧⎨+-+=⎩，可得22221111(1)(233)320k x k k x k k +--++-+=，设1(A x ，1)y ，则2111213211k k x k -+⨯=+，所以211121321k k x k -+=+，2111112121(1)11k k y k x k -++=-+=+，所以22111122113221(,)11k k k k A k k -+-++++，同理22222222223221(,)11k k k k B k k -+-++++，因为120k k +=，所以22111122113221(,)11k k k k B k k ++--+++，所以22111122111221111122112121112132326311ABk k k k k k k k k k k k k k k -++--+-++===--+++--++为定值．【点睛】本题考查圆的方程，直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．17．已知圆22:1O x y +=与x 轴的正半轴交于点P ，直线:30l kx y k --+=与圆O 交于不同的两点A ，B ．（1）求实数k 的取值范围；（2）设直线PA ，PB 的斜率分别是1k ，2k ，试问12k k +是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由；（3）设AB 的中点为N ，求点N 到直线3100x y +-=的距离的最大值．【解答】解： 圆22:1O x y +=与x 轴的正半轴交于点P ，∴圆心(0,0)O ，半径1r =，(1,0)P ．（1） 直线:30l kx y k --+=与圆O 交于不同的两点A 、B ，∴圆心O 到直线l的距离1d =<，即|3|k -<43k >；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立22301kx y k x y --+=⎧⎨+=⎩，可得2222(1)(26)680k x k k x k k +--+-+=，∴2122261k k x x k -+=+，2122681k k x x k-+=+，∴121212121212(1)3(1)3332111111y y k x k x k k k x x x x x x -+-++=+=+=++------221222212123(2)3[262(1)]22()168(26)1x x k k k k k x x x x k k k k k +---+=+=+-++-+--++1862293k k --=+=-为定值．12k k ∴+是定值，定值为23-；（3）（方法一）AB 的中点为N ，∴2122321N x x k k x k +-==+，23(1)31N Nky k x k -=-+=+，∴22233(,)11k k kN k k--++．记点N 到直线3100x y +-=的距离为d ，则22222393|10|2(34)11]1k k k k k k d k --+--=++，令34m k =-，则0m >，∴22181818))]255825818m d m m m m =+=+=+++++-+18)18+=（当且仅当5m =，即3k =时取等号）．∴点N 到直线3100x y +-=（方法二）直线l 的方程为30kx y k --+=，即(1)3y k x =-+，∴直线恒过定点(1,3)M ．AB 的中点为N ，ON AB ∴⊥，∴点N 在以OM 为直径的圆上（在圆O 内的部分）．∴以OM 为直径的圆的方程为2221310()()()222x y -+-=．∴点N 到直线3100x y +-=的距离的最大值为13|310|10222+⨯-=（此时N 为(0,0))．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查逻辑思维能力与推理运算能力，考查化归与转化思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．18．平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,4)P ，圆22:4O x y +=与x 轴的正半轴的交于点Q ．（1）若过点P 的直线1l 与圆O 相切，求直线1l 的方程；（2）若过点P 的直线2l 与圆O 交于不同的两点A ，B ．①设线段AB 的中点为M ，求点M 纵坐标的最小值；②设直线QA ，QB 的斜率分别是1k ，2k ，问：12k k +是否为定值，若是，则求出定值，若不是，请说明理由．【解答】解：（1）当直线1l 的斜率不存在时，则直线1l 的方程为：2x =，圆心O 到直线1l 的距离2d r ==，显然2x =符合条件，当直线1l 的斜率存在时，由题意设直线1l 的方程为4(2)y k x -=-即240kx y k --+=，圆心O 到直线1l 的距离为2|24|21d k ==+，解得34k =，所以切线方程为3324044x y --+= ，即34100x y -+=，综上所述：过P 点的切线方程为2x =或34100x y -+=；（2）①设点(,)M x y ，因为M 是弦AB 的中点，所以MO MP ⊥，又因为(,)OM x y = ，(2,4)PM x y =--，所以(2)(4)0x x y y -+-=，即22240x y x y +--=，联立22224240x y x y x y ⎧+=⎨+--=⎩解得20x y =⎧⎨=⎩或6585x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又因为M 在圆O 的内部，所以点M 的轨迹是一段圆22240x y x y +--=以6(5-，8)5和(2,0)为端点的一段劣弧（不包括端点），在圆22240x y x y +--=方程中，令1x =，得25y =±根据点(1,25)在圆O 内部，所以点M 的纵坐标的最小值为25；②联立224(2)4y k x x y -=-⎧⎨+=⎩，整理可得222(1)4(2)(24)40k x k k x k +--+--=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 则12221224(2)1(24)410k k x x k k x x k -⎧+=⎪+⎪--⎪=⎨+⎪>⎪⎪⎩，所以21212121221212121212224(2)4[4](2)4(2)44(4)444(84)122221(24)44(2)2222222()4162411k k y y k x k x x x k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x k k ---+-++-+++=+=+=++=+=+=-=-----------++-+++ ，所以12k k +为定值1-．【点睛】本题考查求过某点的切线方程的方法，及直线与圆的位置关系的应用，属于中档题．19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2225x y +=，圆222:(1)(03)C x y r r +-=<<，点(3,4)P -，M ，N 为圆O 上的不同于点P 的两点．（1）已知M 坐标为(5,0)，若直线PM 截圆C所得的弦长为5，求圆C 的方程；（2）若直线MN 过(0,4)，求CMN ∆面积的最大值；（3）若直线PM ，PN 与圆C 都相切，求证：当r 变化时，直线MN的斜率为定值．【解答】解：（1）(3,4)P - ，(5,0)M 可得401352PM k -==---，故直线PM 的方程为：250x y +-=，∴点C 到直线PM的距离为=直线PM 截圆C，∴2224r =+=，∴圆C 的方程为：22(1)4x y +-=；（2）由题意可知直线MN 的斜率存在，故可设直线MN 的方程为40kx y -+=，所以点C 到直线MN的距离d =，可得MN =12CMN S MN d ∆∴=⋅=，令2t =，(0t ∈，16]，CMN S ∆=252t =时，即k =时，CMN ∆面积的最大值为758；（3）03r << ，所以过P 与圆相切的直线的斜率存在设为430kx y k -++=．由直线430kx y k -++=与圆222:(1)(03)C x y r r +-=<<相切，∴r =．整理可得222(9)1890r k k r -++-=，∴1221201891k k r k k >⎧⎪⎪+=⎨-⎪=⎪⎩ ，联立43kx y k -++，2225x y +=，可得211213831M k k x k --=+，222223831N k k x k --=+，∴22121212212221(3)4[(3)4]3()8()46()3M N M N MNM N M N k x k x k x k x k k k k k x x x x k k ++-++-+--====---，所以，当r 变化时，直线MN 的斜率为定值．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想、计算能力，属于中档题．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的圆心在y 轴右侧，原点O 和点(1,1)P 都在圆C 上，且圆C 在x 轴上截得的线段长度为3．（1）求圆C 的方程；（2）若M ，N 为圆C 上两点，若四边形MONP 的对角线MN 的方程为20x y m ++=，求四边形MONP 面积的最大值；（3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B 两点，若直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，且120k k +=，试判断直线AB 的斜率是否为定值，并说明理由．【解答】解：（1）由题意，圆C 过点(0,0)，(1,1)，(3,0)，设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=．则0110930F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪++=⎩，解得310D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩．∴圆C 的方程为2230x y x y +-+=，即22315()()222x y -++=；（2）由（1）可知，3(2C ，12-，半径2r =，C 到MN 的距离31|1|||22m m d -++==．MN∴==，当且仅当12m=-时取等号．由d r<，解得1122m-<-+．由O，P在MN的两侧，得(12)0m m++<，即30m-<<．O到MN的距离1d==，P到MN的距离2d=∴四边形MONP的面积121()22MNO MNPS S S MN d d∆∆=+=+=．12m∴=-时，四边形MONP 的面积有最大值为322；（3）由题意可设1:(1)1PA y k x=-+．联立122(1)130y k xx y x y=-+⎧⎨+-+=⎩，得222211111(1)(233)320k x k k x k k+--++-+=．设1(A x，1)y，则2111213211k kxk-+⨯=+，∴211121321k kxk-+=+，2111112122(1)11k ky k xk-++=-+=+．2112132(1k kAk-+∴+，2112121)1k kk-+++，结合12k k+=，同理2112132(1k kBk+++，21121211k kk--++．22111122111221111122112121112132326311ABk k k kk k kkk k k k kk k-++--+-++∴===--+++--++．【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21．在直角坐标系xOy中，曲线22y x mx=+-与x轴交于A、B两点，点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC BC⊥的情况？说明理由；（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．【解答】解：（1）曲线22y x mx=+-与x轴交于A、B两点，可设1(A x，0)，2(B x，0)，由韦达定理可得122x x=-，若AC BC ⊥，则1AC BC k k =- ，即有121010100x x --=--- ，即为121x x =-这与122x x =-矛盾，故不出现AC BC ⊥的情况；（2）证明：设过A 、B 、C 三点的圆的方程为22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->，由题意可得0y =时，20x Dx F ++=与220x mx +-=等价，可得D m =，2F =-，圆的方程即为2220x y mx Ey +++-=，由圆过(0,1)C ，可得01020E +++-=，可得1E =，则圆的方程即为2220x y mx y +++-=，另解：设过A 、B 、C 三点的圆在y 轴上的交点为(0,)H d ，则由相交弦定理可得||||||||OA OB OC OH = ，即有2||OH =，再令0x =，可得220y y +-=，解得1y =或2-．即有圆与y 轴的交点为(0,1)，(0,2)-，则过A 、B 、C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值3．【点睛】本题考查直线与圆的方程的求法，注意运用韦达定理和直线的斜率公式，以及待定系数法，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于中档题．22．如图，已知圆C 与y 轴相切于点(0,2)T ，与x 轴的正半轴交于M ，N 两点（点M 在点N 的左侧），且||3MN =．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）过点M 任作一条直线与圆22:4O x y +=相交于A ，B 两点，连接AN ，BN ，求证：AN BN k k +为定值．【解答】解：（Ⅰ）因为圆C 与y 轴相切于点(0,2)T ，可设圆心的坐标为(m ，2)(0)m >，则圆C 的半径为m ；又||3MN =，所以223254(24m =+=，解得52m =；所以圆C 的方程为22525()(2)24x y -+-=；（Ⅱ）证明：由（1）知，(1,0)M ，(4,0)N ，当直线AB 的斜率为0时，易知0AN BN k k ==，即0AN BN k k +=；当直线AB 的斜率不为0时，设直线:1AB x ty =+，将1x ty =+代入2240x y +-=，整理得22(1)230t y ty ++-=；设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，所以1221222131t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，则121244AN BN y y k k x x +=+--121233y y ty ty =+--12121223()(3)(3)ty y y y ty ty -+=--22126611(3)(3)t t t t ty ty -+++=--0=；综上，可得0AN BN k k +=．【点睛】本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了直线斜率的计算问题，是综合题．23．已知圆22:(3)(4)4C x y -+-=，直线1l 过定点(1,0)A （1）若直线1l 与圆相切，切点为B ，求线段AB 的长度；（2）若1l 与圆相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又1l 与2:220l x y ++=的交点为N ，判断AM AN 是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）圆22:(3)(4)4C x y -+-=，圆心为(3,4)，半径为2，直线1l 过定点(1,0)A ；直线1l 与圆C 相切，切点为B ，连接AB ，BC 与AC ，则BC AB ⊥，且2BC =，所以AC =4AB =，即线段AB 的长度为4；（2）易知，若斜率不存在，则1l 与圆相切，若斜率为0，则1l 与圆相离，故直线的斜率存在，可设1l 的方程：(1)y k x =-，由220(1)x y y k x ++=⎧⎨=-⎩，解得223(,)2121k k N k k --++，再由1CM l ⊥，解得22224342(,)11k k k k M k k +++++，又直线1CM l ⊥，所以14(3)(1)y x k y k x ⎧-=--⎪⎨⎪=-⎩，解得22224342(,11k k k k M k k +++++，所以6|21|AM AN k ==+ 为定值．⋯（12分）【点睛】本题考查了直线与圆的综合应用问题，考查了数形结合思想与方程的应用问题，是综合性题目．。