上海迎园中学数学圆几何综合专题练习（解析版）
一、初三数学圆易错题压轴题（难）
1．如图，抛物线的对称轴为轴，且经过(0，0)，
()两点，点P在抛物线上运动，以P为圆心的⊙P经过定点A(0，2)，
(1)求的值；
(2)求证：点P在运动过程中，⊙P始终与轴相交；
(3)设⊙P与轴相交于M，N(＜)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．
【答案】（1）a=，b=c=0；（2）证明见解析；（3）P的纵坐标为0或4+2或4﹣
2．
【解析】
试题分析：（1）根据题意得出二次函数一般形式进而将已知点代入求出a，b，c的值即可；
（2）设P（x，y），表示出⊙P的半径r，进而与x2比较得出答案即可；
（3）分别表示出AM，AN的长，进而分别利用当AM=AN时，当AM=MN时，当AN=MN 时，求出a的值，进而得出圆心P的纵坐标即可．
试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过
（0，0）和（，）两点，
∴抛物线的一般式为：y=ax2，
∴=a（）2，
解得：a=±，
∵图象开口向上，∴a=，
∴抛物线解析式为：y=x2，
故a=，b=c=0；
（2）设P（x，y），⊙P的半径r=，
又∵y=x2，则r=，
化简得：r=＞x2，
∴点P在运动过程中，⊙P始终与x轴相交；
（3）设P（a，a2），∵PA=，
作PH⊥MN于H，则PM=PN=，
又∵PH=a2，
则MH=NH==2，
故MN=4，
∴M（a﹣2，0），N（a+2，0），
又∵A（0，2），∴AM=，AN=，当AM=AN时，=，
解得：a=0，
当AM=MN时，=4，
解得：a=2±2（负数舍去），则a2=4+2；
当AN=MN时，=4，
解得：a=﹣2±2（负数舍去），则a2=4﹣2；
综上所述，P的纵坐标为0或4+2或4﹣2．
考点：二次函数综合题．
2．在直角坐标系中，A（0，4），B（4，0）．点C从点B出发沿BA方向以每秒2个单位的速度向点A匀速运动，同时点D从点A出发沿AO方向以每秒1个单位的速度向点O 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点C、D运动的时间是t秒(t>0)．过点C作CE⊥BO于点E，连结CD、DE．
⑴当t为何值时，线段CD的长为4；
⑵当线段DE与以点O为圆心，半径为的⊙O有两个公共交点时，求t的取值范围；
⑶当t为何值时，以C为圆心、CB为半径的⊙C与⑵中的⊙O相切？
【答案】(1); (2) 4-＜t≤; (3)或．
【解析】
试题分析：（1）过点C作CF⊥AD于点F，则CF，DF即可利用t表示出来，在Rt△CFD中利用勾股定理即可得到一个关于t的方程，从而求得t的值；
（2）易证四边形ADEC是平行四边形，过点O作OG⊥DE于点G，当线段DE与⊙O相切
时，则OG=，在直角△OEG中，OE可以利用t表示，则OG也可以利用t表示出来，当
OG＜时，直线与圆相交，据此即可求得t的范围；
（3）分两圆外切与内切两种情况进行讨论，当外切时，圆心距等于两半径的和，当内切时，圆心距等于圆C的半径减去圆O的半径，列出方程即可求得t的值．
（1）过点C作CF⊥AD于点F，
在Rt△AOB中，OA=4，OB=4，
∴∠ABO=30°，
由题意得：BC=2t，AD=t，
∵CE⊥BO，
∴在Rt△CEB中，CE=t，EB=t，
∵CF⊥AD，AO⊥BO，
∴四边形CFOE是矩形，
∴OF=CE=t，OE=CF=4-t，
在Rt△CFD中，DF2+CF2=CD2，
∴（4-t-t）2+（4-t）2=42，即7t2-40t+48=0，
解得：t=，t=4，
∵0＜t＜4，
∴当t=时，线段CD的长是4；
（2）过点O作OG⊥DE于点G（如图2），
∵AD∥CE，AD=CE=t
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴DE∥AB
∴∠GEO=30°，
∴OG=OE=（4-t）
当线段DE与⊙O相切时，则OG=，
∴当（4-
t ）＜，且t≤4-时，线段DE 与⊙O 有两个公共交点．
∴当 4-
＜t≤时，线段DE 与⊙O 有两个公共交点；
（3）当⊙C 与⊙O 外切时，t=；
当⊙C 与⊙O 内切时，t=；
∴当t=
或
秒时，两圆相切．
考点：圆的综合题．
3．如图，以A （0，3）为圆心的圆与x 轴相切于坐标原点O ，与y 轴相交于点B ，弦BD 的延长线交x 轴的负半轴于点E ，且∠BEO ＝60°，AD 的延长线交x 轴于点C ．
（1）分别求点E 、C 的坐标；
（2）求经过A 、C 两点，且以过E 而平行于y 轴的直线为对称轴的抛物线的函数解析式； （3）设抛物线的对称轴与AC 的交点为M ，试判断以M 点为圆心，ME 为半径的圆与⊙A 的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）点C 的坐标为（－3，0）（2）2343333
y x x =++3）⊙M 与⊙A 外切 【解析】
试题分析：（1）已知了A 点的坐标，即可得出圆的半径和直径，可在直角三角形BOE 中，根据∠BEO 和OB 的长求出OE 的长进而可求出E 点的坐标，同理可在直角三角形OAC 中求出C 点的坐标；
（2）已知了对称轴的解析式，可据此求出C 点关于对称轴对称的点的坐标，然后根据此点坐标以及C ，A 的坐标用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（3）两圆应该外切，由于直线DE ∥OB ，因此∠MED=∠ABD ，由于AB=AD ，那么
∠ADB=∠ABD ，将相等的角进行置换后可得出∠MED=∠MDE ，即ME=MD ，因此两圆的圆心距AM=ME+AD ，即两圆的半径和，因此两圆外切.
试题解析：（1）在Rt△EOB 中，3
cot602323
EO OB =??==，
∴点E 的坐标为（－2，0）．
在Rt△COA 中，tan tan60333OC OA CAO OA =?∠=??=?=， ∴点C 的坐标为（－3，0）．
（2）∵点C 关于对称轴2x =-对称的点的坐标为F （－1，0）， 点C 与点F （－1，0）都在抛物线上． 设()()13y a x x =++，用()
03A ，代入得
()()30103a =++，
∴3
a =． ∴()()3
133
y x x =
++，即 234333
y x x =
++． （3）⊙M 与⊙A 外切，证明如下： ∵ME ∥y 轴，
∴MED B ∠=∠．
∵B BDA MDE ∠=∠=∠， ∴MED MDE ∠=∠． ∴ME MD =．
∵MA MD AD ME AD =+=+， ∴⊙M 与⊙A 外切．
4．如图所示，CD 为⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，连接BC 、BD ，过点B 的切线AE 与CD 的延长线交于点A ，OE//BD ，交BC 于点F ，交AB 于点E. （1）求证：∠E=∠C ；
（2）若⊙O 的半径为3，AD=2，试求AE 的长； （3）在（2）的条件下，求△ABC 的面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）10；（3）485
. 【解析】
试题分析：（1）连接OB ，利用已知条件和切线的性质证明：OE∥BD，即可证明：
（2）根据题意求出AB的长，然后根据平行线分线段定理，可求解；
（3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解.
试题解析：（1）如解图，连接OB，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠CBD＝∠CBO＋∠OBD＝90°，
∵AB是⊙O的切线，
∴∠ABO＝∠ABD＋∠OBD＝90°，
∴∠ABD＝∠CBO.
∵OB、OC是⊙O的半径，
∴OB＝OC，∴∠C＝∠CBO.
∵OE∥BD，∴∠E＝∠ABD，
∴∠E＝∠C；
（2）∵⊙O的半径为3，AD＝2，
∴AO＝5，∴AB＝4.
∵BD∥OE，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝6，AE=6+4=10
（3）S △AOE==15，然后根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得
S△ABC= S△AOE==
5．如图，△ABC内接于⊙O，点D在AB边上，CD与OB交于点E，∠ACD＝∠OBC；
（1）如图1，求证：CD⊥AB；
（2）如图2，当∠BAC＝∠OBC+∠BCD时，求证：BO平分∠ABC；
（3）如图3，在（2）的条件下，作OF⊥BC于点F，交CD于点G，作OH⊥CD于点H，连接FH并延长，交OB于点P，交AB边于点M．若OF＝3，MH＝5，求AC边的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AC＝48 5
【解析】
（1）根据直径所对的圆周角是直角，得出∠FCB=90°，再根据“同弧所对的圆周角相等”得出∠A=∠F，再根据已知条件得∠3=90°，得CD⊥AB；
（2）延长BO交AC于K，由已知可得∠A=∠5，由∠A+∠2=90°得∠5+∠2=90°，根据三角形的内角和定理及外角定理得出∠9=∠1得出BO平分∠ABC；
（3）延长BO交AC于点K，延长CD交⊙O于点N，联结BN，由条件可得CH=NH，BF=CF，从而HF是△CBN的中位线，HF∥BN，得出∠OEH=∠EHM又由
∠OEH+∠EOH=∠EHM+∠OHP=90°可得HM=OB=5，在Rt△OBF中，根据勾股定理可得
BF=4，解出BC=8，sin∠OBC=3
5
，所以可得AC=2CK，CK=BC?sin∠OBC=
24
5
得
AC=48 5
.
【详解】
解：（1）如图1，令∠OBC＝∠1，∠ACD＝∠2
延长BO交⊙O于F，连接CF．
∵BF是⊙O的直径，∴∠FCB＝90°
∴∠1+∠F＝90°，
∵弧BC＝弧BC，
∴∠A＝∠F
又∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠A＝90°，
∴∠3＝90°，
∴CD⊥AB
（2）如图2，令∠OBC＝∠1，∠BCD＝∠4
延长BO交AC于K
∵∠A＝∠1+∠4，∠5＝∠1+∠4，
∴∠A＝∠5，
∵∠A+∠2＝90°，
∴∠5+∠2＝90°，
∴∠6＝90°
∵∠7＝180°﹣∠3＝90°，
∴∠6＝∠7，
又∵∠5＝∠8，∴∠9＝∠2
∵∠2＝∠1，∴∠9＝∠1，
∴BO平分∠ABC
（3）如图3，延长BO交AC于点K，延长CD交⊙O于点N，联结BN
∵OH⊥CN，OF⊥BC
∴CH＝NH，BF＝CF
∴HF是△CBN的中位线，HF∥BN
∴∠FHC＝∠BNC＝∠BAC
∵∠BAC＝∠OEH，∠FHC＝∠EHM
∴∠OEH＝∠EHM
设EM、OE交于点P
∵∠OEH+∠EOH＝∠EHM+∠OHP＝90°∴∠EOH＝∠OHP
∴OP＝PH
∵∠ADC＝∠OHC＝90°
∴AD∥OH
∴∠PBM＝∠EOH，∠BMP＝∠OHP
∴PM＝PB
∴PM+PH＝PB+OP
∴HM＝OB＝5
在Rt△OBF中，根据勾股定理可得BF＝4
∴BC＝8，sin∠OBC＝3 5
∵∠A+∠ABO＝∠DEB+∠ABO＝90°
∴∠AKB +∠CKB ＝90° ∴OK ⊥AC
AC ＝2CK ，CK ＝BC ?sin ∠OBC ＝
245
∴AC ＝
485
【点睛】
此题主要考查了圆的综合应用以及三角形的内角和定理及外角定理和勾股定理、三角函数等知识，理解同弧所对的圆周角相等是解题关键．
6．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠CAB=30°，AB=10，点D 在线段AB 上，AD=2．点P ，Q 以相同的速度从D 点同时出发，点P 沿DB 方向运动，点Q 沿DA 方向到点A 后立刻以原速返回向点B 运动．以PQ 为直径构造⊙O ，过点P 作⊙O 的切线交折线AC ﹣CB 于点E ，将线段EP 绕点E 顺时针旋转60°得到EF ，过F 作FG ⊥EP 于G ，当P 运动到点B 时，Q 也停止运动，设DP=m ．
（1）当2＜m≤8时，AP=，AQ=．（用m 的代数式表示） （2）当线段FG 长度达到最大时，求m 的值； （3）在点P ，Q 整个运动过程中，
①当m 为何值时，⊙O 与△ABC 的一边相切？ ②直接写出点F 所经过的路径长是．（结果保留根号）
【答案】（1）2+m ，m ﹣2;（2）m=5.5;（3）①当m=1或4或104
33
与△ABC 的边相切．②点F 11365
72
【解析】
试题分析：（1）根据题意可得AP =2+m ，AQ =m ?2.
（2）如图1中在Rt △EFG 中, 30,90EFG A EGF ∠=∠=∠=， 推出3
cos30cos302
FG EF PE EP =?=?=，所以当点E 与点C 重合时，PE 的值最大，求出此时EP 的长即可解决问题．
（3）①当02t <≤ (Q 在往A 运动)时，如图2中，设O 切AC 于H ，连接OH .
当28m <≤(Q 从A 向B 运动)时,则PQ =(2+m )?(m ?2)=4，如图3中，设
O 切AC 于H .连接
OH .如图4中，设O 切BC 于N ，连接ON .
分别求解即可．
②如图5中,点F 的运动轨迹是F 1→F 2→B .分别求出122F F F B ，即可解决问题． 试题解析：(1)当28m <≤时，AP =2+m ，AQ =m ?2. 故答案为2+m ，m ?2. (2)如图1中，
在Rt △EFG 中, 30,90EFG A EGF ∠=∠=∠=，
3
cos30cos30FG EF PE EP ∴=?=?=
， ∴当点E 与点C 重合时，PE 的值最大， 易知此时53553
AC BC EP AB ??=
==，
3
tan30(2)3
EP AP m =?=+?， 533
(2)23
m ∴
=+?，
∴m =5.5
(3)①当02t <≤ (Q 在往A 运动)时，如图2中，设
O 切AC 于H ，连接OH .
则有AD =2DH =2， ∴DH =DQ =1，即m =1.
当28m <≤(Q 从A 向B 运动)时,则PQ =(2+m )?(m ?2)=4， 如图3中，设
O 切AC 于H .连接OH .
则AO =2OH =4，AP =4+2=6， ∴2+m =6， ∴m =4. 如图4中，设
O 切BC 于N ，连接ON .
在Rt △OBN 中, 43
sin60OB ON ==
43
10AO ∴=- 43
12AP ∴=-
43
212m ∴+= 3
103
m ∴=-
综上所述,当m =1或4或43
10O 与△ABC 的边相切。 ②如图5中,点F 的运动轨迹是F 1→F 2→B .
易知122353
,,53AF CF AC =
==，
122353113
53F F ∴=-
-=，
60,30FEP PEB ∠=∠=，
90FEB ∴∠=，
tan EF EP EBF EB EB
∴∠=
=为定值， ∴点F 的第二段的轨迹是线段2BF ， 在2Rt BF C 中, 222222535
5(
)722
BF BC F C =+=+=，
∴点F 的运动路径的长为
115
37.62
+
7．已知ABD △内接于圆O ，点C 为弧BD 上一点，连接BC AC AC 、，交BD 于点E ，CED ABC ∠=∠．
（1）如图1，求证：弧AB =弧AD ；
（2）如图2，过B 作BF AC ⊥于点F ，交圆O 点G ，连接AG 交BD 于点H ，且
222EH BE DH =+，求CAG ∠的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，圆O 上一点M 与点C 关于BD 对称，连接ME ，交
AB 于点N ，点P 为弧AD 上一点，PQ BG ∥交AD 于点Q ，交BD 的延长线于点R ，AQ BN =，ANE 的周长为20，52DR =O 半径．
【答案】（1）见解析；（2）∠CAG=45°；（3）r=62 【解析】
【分析】
（1）证∠ABD=∠ACB可得；
（2）如下图，△AHD绕点A旋转至△ALE处，使得点D与点B重合，证△ALE≌△AHE，利用勾股定理逆定理推导角度；
（3）如下图，延长QR交AB于点T，分别过点N、Q作BD的垂线，交于点V，I，取QU=AE，过点U作UK垂直BD.先证△AEN≌△QUD，再证△NVE≌△RKU，可得到
NV=KR=DK，进而求得OB的长.
【详解】
（1）∵∠CED是△BEC的外角，∴∠CED=∠EBC+∠BCA
∵∠ABC=∠ABD+∠EBC
又∵∠CED=∠ABC
∴∠ABD=∠ACB
∴弧AB=弧AD
（2）如下图，△AHD绕点A旋转至△ALE处，使得点D与点B重合
∵△ALB是△AHD旋转所得
∴∠ABL=∠ADB，AL=AH
设∠CAG=a，则∠CBG=a
∵BG⊥AC
∴∠BCA=90°-a，∴∠ADB=∠ABD=90°-a
∴在△BAD中，BAE+∠HAD=180-a-(90°-a)-(90°-a)=a
∴∠LAE=∠EAH=a
∵LA=AH，AE=AE
∴△ALE≌△AHE，∴LE=EH
∵HD=LB，222
=+
EH BE DH
∴△LBE为直角三角形
∴∠LBE=(90°-a)+(90°-a)=90°，解得：a=45°
∴∠CAG=45°
（3）如下图，延长QR交AB于点T，分别过点N、Q作BD的垂线，交于点V，I，取QU=AE，过点U作UK垂直BD
由（2）得∠BAD=90°
∴点O在BD上
设∠R=n，则∠SER=∠BEC=∠MEB=90°-n ∴∠AEN=2n
∵SQ⊥AC
∴∠TAS=∠AQS=∠DQR，AN=QD
∵QU=AE
∴△AEN≌△QUD
∴∠QUD=∠AEN=2n
∴UD=UR=NE，
∵△ANE的周长为20
∴QD+QR=20
在△DQR中，QD=7
∵∠ENR=∠UDK=∠R=n
∴△NVE≌△RKU
∴NV=KR=DK=
2 2
∴BN=5
∴22r
=
【点睛】
本题考查了圆的证明，涉及到全等、旋转和勾股定理，解题关键是结合图形特点，适当构造全等三角形
8．已知：AB为⊙O直径，弦CD⊥AB，垂足为H，点E为⊙O上一点，AE BE
=，BE与CD交于点F．
（1）如图1，求证：BH ＝FH ；
（2）如图2，过点F 作FG ⊥BE ，分别交AC 、AB 于点G 、N ，连接EG ，求证：EB ＝EG ； （3）如图3，在（2）的条件下，延长EG 交⊙O 于M ，连接CM 、BG ，若ON ＝1，△CMG 的面积为6，求线段BG 的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）210 ． 【解析】 【分析】
（1）连接AE ，根据直径所对圆周角等于90°及弧与弦的关系即可得解； （2）根据题意，过点C 作CQ FG CS FB ⊥⊥，，连接CE BC 、，通过证明
Rt CGQ Rt CBS ???，CBE CGE ???即可得解；
（3）根据题意，过点G 作GT CD ⊥于T ，连接CN ，设CAB α∠＝，证明
()CMG CNG AAS ???，再由面积法及勾股定理进行计算求解即可.
【详解】
解：（1）如下图，连接AE
∵AB 为直径 ∴90AEB =?∠
∵
AE BE = ∴AE BE = ∴45B ∠=? 又∵CD AB ⊥于H
∴45HFB ∠=? ∴HF HB =；
（2）如下图，过点C 作CQ FG CS FB ⊥⊥，，连接CE BC 、
AB 为直径，∴90ACB QCS ∠=∠=? ∴GCQ BCS ∠=∠
∴()Rt CGQ Rt CBS AAS ??? ∴CG CB =
同理()CBE CGE SAS ??? ∴EG EB =；
（3）如下图，过点G 作GT CD ⊥于T ，连接CN
设CAB α∠=由（2）知：CM CB = ∴CM CB = ∵HB HF =
∴45HBF HFB ∠=∠=? ∵GF BE ⊥
∴45NFH NH BH CN BC ∠=?∴=∴=，， ∴CM CB CN == 则：2MEB α∠=
902AEG α∠=?-
∴45EAG EGA α∠=∠=?+ ∴45M MGC α∠=∠=?+ ∴()CMG CNG AAS ??? ∵CMG ?面积为6 ∴6CAN
GAN
S
S
-=
设2122BH NH x OA OB x AN x ====+=+，， 则()CGT BCH AAS ??? ∴C BH x ==
∴6AN CH AN TH ?-?=
∴
1
(22)62
x CT +?= 解得：2x = ∵2BC BH BA =?
∴2210BC =?，则25BC ＝ ∴2210BG BC ＝＝． 【点睛】
本题主要考查了圆和三角形的综合问题，熟练掌握圆及三角形的各项重要性质及判定方法是解决本题的关键.
9．如图①②，在平面直角坐标系中，边长为2的等边CDE ?恰好与坐标系中的OAB ?重合，现将CDE ?绕边AB 的中点(G G 点也是DE 的中点），按顺时针方向旋转180?到△1C DE 的位置． （1）求1C 点的坐标；
（2）求经过三点O 、A 、1C 的抛物线的解析式； （3）如图③，
G 是以AB 为直径的圆，过B 点作G 的切线与x 轴相交于点F ，求切
线BF 的解析式；
（4）抛物线上是否存在一点M ，使得:16:3AMF OAB S S ??=．若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）13)C ；（2）2323y x x =
；（3）323
y x =；（4）128383,M M ??- ????
． 【解析】 【分析】
（1）利用中心对称图形的性质和等边三角形的性质，可以求出． （2）运用待定系数法，代入二次函数解析式，即可求出．
（3）借助切线的性质定理，直角三角形的性质，求出F ，B 的坐标即可求出解析式． （4）当M 在x 轴上方或下方，分两种情况讨论． 【详解】
解：（1）将等边CDE ?绕边AB 的中点G 按顺时针方向旋转180?到△1C DE ， 则有，四边形'OAC B 是菱形，所以1C 的横坐标为3， 根据等边CDE ?的边长是2，
利用等边三角形的性质可得1C ； （2）
抛物线过原点(0,0)O ，设抛物线解析式为2y ax bx =+，
把(2,0)A
，C '
代入，得420
93a b a b +=???+=??
解得3
a =
，b =
∴
抛物线解析式为233
y x x =
-；
（3）
90ABF ∠=?，60BAF ∠=?，
30AFB ∴∠=?， 又2AB =， 4AF ∴=， 2OF ∴=， (2,0)F ∴-，
设直线BF 的解析式为y kx b =+，
把B ，(2,0)F -
代入，得20
k b k b ?+=?
?
-+=??，
解得k =
3
b =， ∴直线BF
的解析式为y x =
+
；
（4）①当M 在x
轴上方时，存在2()M x ，
211
:[4)]:[216:322
AMF OAB S S ??=???=，
得2280x x --=，解得14x =，22x =-， 当14x =
时，244y ， 当12x =-
时，2(2)(2)y =--=
1. 过点M o （1，1-，1）且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程． 39．02=+-z y 3． 在平面02=--z y x 上找一点p ，使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离 相等． 7．)5 1,1,57 (． 5．已知：→ → -AB prj D C B A CD ，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= （ ） A ．4 B ．1 C ． 2 1 D ．2 7．设平面方程为0=-y x ，则其位置（ ） A ．平行于x 轴 B ．平行于y 轴 C ．平行于z 轴 D ．过z 轴． 8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D ．重合 9．直线 3 7423z y x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．直线在平面内 10．设点)0,1,0(-A 到直线?? ?=-+=+-0 720 1z x y 的距离为（ ） A ．5 B ． 6 1 C ． 51 D ．8 1 5．D 7．D 8．B 9．A 10．A ． 3．当m=_____________时，532+-与m 23-+互相垂直． 4 ． 设 ++=2， 22+-=， 243+-=，则 )(b a p r j c += ． 4． 过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________． 10．曲面方程为：442 2 2 =++z y x ，它是由曲线________绕_____________旋转而成的． 3．34-=m ； 4．29 19 9．332212--=+=-x y x ； 10．曲线 1422 =+z y 绕z 轴
近四年上海高考解析几何试题 近四年上海高考解析几何试题一(填空题:只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分. 5221 ( 2005春季7 ) 双曲线的焦距是 . 9x,16y,162 (2005年3) 直角坐标平面中，若定点与动点满足，则点P的A(1,2)P(x,y)xoyOP,OA,4轨迹方程是 __________。解答:设点P的坐标是(x,y)，则由知OP,OA,4 x，2y,4,x，2y,4,0 3 (2005年5) 若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是，，y,,3x10,0 b__________。解答:由双曲线的渐近线方程为，知，它的一个焦点是，知，，y,,3x,310,0a 2y222，因此双曲线的方程是 a,1,b,3x,,1a，b,109 ,,，x12cos,4 (2005年6) 将参数方程(为参数)化为普通方程，所得方程是 __________。 ,,y,2sin,, 22解答: (x,1)，y,4 2225 (2006春季5) 已知圆和直线. 若圆与直线没l:3x，y，5,0C:(x，5)，y,r(r,0)Cl有公共 r 点，则的取值范围是 . (0,10) 6 (2006春季11) 已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐 P(2,1)yxlA、BO标原 点，则三角形面积的最小值为 . 4. OAB 227 (2006年2) 已知圆,4,4，,0的圆心是点P，则点P到直线,,1,0的距离yxxyx
是 ; |201|,,2 解:由已知得圆心为:，由点到直线距离公式得:; P(2,0)d,,211，8 (2006年7) 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(,2，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则3 该椭圆的标准方程是 ; 2b,4, 2,abc,,2,23,2y,,x2解:已知为所 求; ,,,,，,a161,,222164abc,,,,,F(23,0),,, ,5,9 (2006年8)在极坐标系中，O是极点，设点A(4，)，B(5，,)，则?OAB的面积是 ; 36 ,,,55 解:如图?OAB中， ,,，,,,,,OAOBAOB4,5,2(()),366 15, (平方单位); ,,,S45sin5,AOB26 210 (2006年11) 若曲线,||，1与直线,，没有公共点，则、分别应满足的条件yyxkxbkb
解析几何练习题 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.） 1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行，则实数a 等于（ ） A 、12 B 、12 - C 、13 D 、13 - 3．若直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为 （ ） A ． B ． C ． D ． 4.在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1) D ．y －3＝－3(x －1) 5.直线对称的直线方程是 （ ） A ． B ． C ． D ． 6.若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点( ) 32:1+=x y l 2l 1l x y -=2l 2 1 2 1-22-02032=+-=+-y x y x 关于直线032=+-y x 032=--y x 210x y ++=210x y +-=()1:4l y k x =-2l )1,2(2l
A ． B ． C ． D ． 7．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距为3 1，则m ，n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（ ） A 相切 B 直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 9．圆x 2+y 2－2y －1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是（ ） A.（x －2)2 +(y+3)2 =1 2 B.（x －2)2+(y+3)2=2 C.（x ＋2)2 +(y －3)2 =1 2 D.（x ＋2)2+(y －3)2=2 10．已知点在直线上移动，当取得最小值时，过点引圆的切线，则此切线段的长度为( ) A ． B ． C ． D ． 11．经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则 弦AB 所在直线方程为（ ） A ．50x y --= B ．50x y -+= C ．50x y ++= D ．50x y +-= 0,40,22,44,2(,)P x y 23x y +=24x y +(,)P x y 22111()()242 x y -++ =2 321 22
空间解析几何试卷 一、填空题（本大题共计30分，每空3分。请把正确答案填在横线上） 1. 设向量{}{}1,1,2,0,1,1=--=→→b a ，则→→b a 在上的射影是_____________,→ a 是_______________. 2. 设向量{}3,5,4-=→a ,向量225共线，反向且模为与→→a b ,那么向量→ b 的坐标是 ________________. 3. 已知向量{}{}3,2,,1,1,1x b a ==→→, 如果→ →b a ,垂直, 那么x =_________. 4. 已知向量{}{},0,3,2,1,0,1=-=→→b a {}2,1,0=→c ，则由这3个向量张成的平行六面体的体积是_________. 5. 直线z y x -=-+=-3212与直线2 112-+=-=z y x 间的距离是_____________. 6. 若直线1 23z y a x ==- 与平面x-2y+bz=0平行，则a,b 的值分别是______________. 7. 经过直线???=-+-=-+0 201z y x y x 且与直线z y x 2==平行的平面的方程是_________________. 8. 空间曲线? ??+==-+1022x z z y x 在y x 0坐标面上的射影曲线和射影柱面的
方程分别是_____________________________. 9. 顶点在原点、准线为抛物线???==1 22z x y 的锥面方程是 ________________(请用x y x ,,的一个方程表示). 10.曲线?????==-0 19422y z x 绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__________________,此曲面表示______________曲面. 二、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若=?-+=+-=→ →→→→→→→→→b a k j i b k j i a 则,23,532( ) A. 7 B. -7 C. -1 D. 0 2. 已知→→b a ,不共线, 与→→b a ,同时垂直的单位向量是( ) A. →→?b a B. →→?a b C. ||→→→ →??±b a b a D. ||→→→→??b a b a 3. 在空间右手直角坐标系下，点P(-1,2,-3)在第( )卦限. A. II B. III C. V D. VI 4. 若两个非零向量→→b a ,满足|→→+b a |=|→→-b a |，则一定有( ) A. →→⊥b a B. →→b a // C. →→b a 与同向 D. → →b a 与反向 5. 点M(1,-3,-2)关于y 轴的对称点N 的坐标是( )
习题一 空间解析几何 一、填空题 1、过两点(3,-2)和点(-1,0)的直线的参数方程为 。 2、直线2100x y --=方向向量为 。 3、直角坐标系XY 下点在极坐标系中表示为 。 4、平行与()6,3,6a =-的单位向量为 。 5、过点(3,-2,1)和点(-1,0,2)的直线方程为 。 6、过点(2,3)与直线2100x y +-=垂直的直线方程为 。 7、向量(3,-2)和向量(1,-5)的夹角为 。 8、直角坐标系XY 下区域01y x ≤≤≤≤在极坐标系中表示为 。 9、设 (1,2,3),(5,2,1)=-=-a b , 则(3)?a b = 。 10、点(1,2,1)到平面2100x y z -+-=的距离为 。 二、解答题 1、求过点(3,1,1)且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程。 2、求过点(4,2,3) 且平行与直线 31215 x y z --==的直线方程。 3、求过点(2,0,-3) 且与直线247035210x y z x y z -+-=??+-+=? 垂直的平面方程。 4、一动点与两定点(2,3,2)和(4,5,6)等距离, 求这动点的方程。
5、求222,01z x y z =+≤≤在XOZ 平面上的投影域。 6、求222 19416 x y z ++=在XOY 平面上的投影域。 7、求2z z =≤≤在XOZ 平面上的投影域。 8、求曲线222251x y z x z ?++=?+=? 在XOY 平面上的投影曲线。 9、求曲线 22249361x y z x z ?++=?-=? 在XOY 平面上的投影曲线。 10、求由曲面22z x y =+与曲面2222x y z ++=所围成的区域在柱面坐标系下的表示。
《曲线的方程和性质》专题 一、《考试大纲》要求 ⒈直线和圆的方程 （1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．掌握直线方 程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程． （2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． （3）了解二元一次不等式表示平面区域． （4）了解线性规划的意义，并会简单的应用． （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法． （6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程． ⒉圆锥曲线方程 （1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程． （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． （4）了解圆锥曲线的初步应用． 二、高考试题回放 1．（福建）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直 的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ） A ． 33 B ．32 C ．2 2 D ．23
2．(福建)直线x +2y=0被曲线x 2+y 2－6x －2y －15=0所截得的弦长等于 . 3．（福建）如图，P 是抛物线C ：y=2 1x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求 | || |||||SQ ST SP ST +的取值范围. 4．（湖北）已知点M （6，2）和M 2（1，7）.直线y=mx —7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段M 1M 2的比为3：2，则m 的值为 （ ） A ．2 3 - B ．3 2- C ．4 1 D ．4 5.（湖北）两个圆0124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的 公切线有且仅有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．（湖北）直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两 点A 、B. （Ⅰ）求实数k 的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 7．（湖南）如果双曲线112 132 2 =-y x 上一点P 到右焦点的距离为13, 那么 点 P 到右准线 的 距 离 是 （ ）
1．(本小题满分12分)已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0. (1)当a为何值时，直线l与圆C相切； (2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝22时，求直线l的方程． 2．设椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A、B两点，点C是AB的中点，若|AB|＝22，OC的斜 率为 2 2 ，求椭圆的方程． 3．(本小题满分12分)(2010·南通模拟)已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线l：y＝－2相切． (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q， 证明：AQ⊥BQ . 4．已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝20 3 ，椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的离心率为 2 2 ，若圆与椭圆相交于A、B， 且线段AB是圆的直径，求椭圆的方程．
5．已知m 是非零实数，抛物线)0(2:2 >=p px y C 的焦点F 在直线2 :02 m l x my --=上. （I ）若m=2，求抛物线C 的方程 （II ）设直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，F AA 1?，F BB 1?的重心分别为G,H. 求证：对任意非零实数m,抛物线C 的准线与x 轴的焦点在以线段GH 为直径的圆外。 6． (本小题满分14分)(2010·东北四市模拟)已知O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴，y 轴上运动，且|AB | ＝8，动点P 满足AP u u u r ＝35 PB u u u r ，设点P 的轨迹为曲线C ，定点为M (4,0)，直线PM 交曲线C 于另外一 点Q . (1)求曲线C 的方程； (2)求△OPQ 面积的最大值． 7．(文)有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量各自都是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，若40分钟后只放水不进水，求y 与x 的函数关系．
新课标立体几何解析几何常考题汇总 1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形 （2） 若BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。 证明：在ABD ?中，∵,E H 分别是,AB AD 的中点∴1 //,2 EH BD EH BD = 同理，1 //,2 FG BD FG BD =∴//,EH FG EH FG =∴四边形EFGH 是平行四边形。 (2) 90° 30 ° 考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 证明：（1）BC AC CE AB AE BE =??⊥?=? 同理， AD BD DE AB AE BE =? ?⊥?=? 又∵CE DE E ?= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE 又∵AB ?平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定 A H G F E D C B A E D B C
3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。 证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC 又EO 在平面BDE 内，1A C 在平面BDE 外 ∴1//A C 平面BDE 。 考点：线面平行的判定 4、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 证明：90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥ 又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥ 又,SC AD SC BC C ⊥?=AD ∴⊥面SBC 考点：线面垂直的判定 5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1 AC ⊥面11AB D ． 证明：（1）连结11A C ，设 11111 A C B D O ?=，连结1AO ∵ 1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形 ∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC = 又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11O C AO = 11AOC O ∴是平行四边形 111,C O AO AO ∴? ∥面11AB D ，1C O ?面11AB D ∴C 1O ∥面11AB D （2）1CC ⊥面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 又1111 A C B D ⊥∵， 1111B D A C C ∴⊥面 1 11AC B D ⊥即 同理可证11A C AD ⊥， 又 1111 D B AD D ?= A 1 E D 1 C 1 B 1 D C B A S D C B A D 1O D B A C 1 B 1 A 1 C
解析几何专项训练 姓名 班级 学号 成绩 （一）填空题 1、若直线m my x m y mx 21=++=+与平行，则m =_-1____． 2、若直线2+=kx y 与抛物线x y 42 =仅有一个公共点，则实数=k 1,02 3、若直线l 的一个法向量为()2,1n =，则直线l 的倾斜角为 arctan2π- （用反三角函数值表示） 4、已知抛物线2 0x my +=上的点到定点(0,4)和到定直线4y =-的距离相等，则 m = -16 5、已知圆C 过双曲线 116 92 2=-y x 的一个顶点和一个焦点，且圆心C 在此双曲线上，则圆心C 到双曲线中心的距离是 16 3 6、已知直线1l ：210x y +-=，另一条直线的一个方向向量为(1,3)d =，则直线1l 与2l 的夹角是 4 π 7、已知直线:0l ax by c ++=与圆1:2 2 =+y x O 相交于A 、B 两点，3||=AB ， 则OA ·OB = 12 - 8、若直线m 被两平行线1:10l x y -+=与2:30l x y -+=所截得线段的长为22则 直线m 的倾斜角是 0015,75 . 9、若经过点(0,2)P 且以()1,d a =为方向向量的直线l 与双曲线132 2 =-y x 相交于 不同两点A 、B ，则实数a 的取值范围是 2215,3a a <≠ .
10、（理科）设曲线C 定义为到点)1,1(--和)1,1(距离之和为4的动点的轨迹．若将曲线 C 绕坐标原点逆时针旋转 45，则此时曲线C 的方程为__22 142 y x +=___________． 11、等腰ABC ?中，顶点为,A 且一腰上的中线长为3,则 三角形ABC 的面积的最大值 2 12、如图，已知OAP ?的面积为S ，1OA AP ?=． 设||(2)OA c c =≥，3 4 S c =，并且以O 为中心、A 为焦点的椭 圆经过点P ．当||OP 取得最小值时，则此椭圆的方程为 22 1106 x y += . （二）选择题 13、“2a =”是“直线210x ay +-=与直线220ax y +-=平行”的（ B ）条件 （A ）充要；（B ）充分不必要；（C ）必要不充分；（D ）既不充分也不必要 14、如果i +2是关于x 的实系数方程02 =++n mx x 的一个根，则圆锥曲线 12 2=+n y m x 的焦点坐标是（ D ）(A))0,1(±； (B))1,0(±； (C))0,3(± ；(D))3, 0(± 15、已知：圆C 的方程为0),(=y x f ，点),(00y x P 不在圆C 上，也不在圆C 的圆心上， 方程0),(),(:'00=-y x f y x f C ，则下面判断正确的是……( B ) (A) 方程'C 表示的曲线不存在； (B) 方程'C 表示与C 同心且半径不同的圆； (C) 方程'C 表示与C 相交的圆； (D) 当点P 在圆C 外时，方程'C 表示与C 相离的圆。 16、若双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和双曲线22 2222222 :1(0,0)x y C a b a b -=>>的 焦点相同，且12a a >给出下列四个结论：①2222 1221a a b b -=-； ②1221 a b a b >； ③双曲线1C 与双曲线2C 一定没有公共点； ④2121b b a a +>+；其中所有正确的结论 序号是（ B ）A. ①② B, ①③ C. ②③ D. ①④ y P x o A
解析几何测试题 一、选择题 1．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（ ） A ．4 B C D 2．若直线1:10l ax y +-=与2:3(2)10l x a y +++=平行，则a 的值为（ ） A 、－3 B 、1 C 、0或－ 2 3 D 、1或－3 3．直线经过点A （2，1），B （1，m 2 ）两点（m ∈R ），那么直线l 的倾斜角取值范围是 （ ） A ．),0[π B ．),2(]4, 0[πππ ? C ．]4 ,0[π D ．),2 ()2,4[ ππ π π? 4． 过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是（ ） A 、052=-+y x B 、042=--y x C 、073=-+y x D 、0 53=-+y x 5．若直线42y kx k =++ k 的取值范围是 A ．[1,+∞) B ． [-1,-． ．(-∞,-1] 6．椭圆1322=+ky x 的一个焦点坐标为)10(，， 则其离心率等于 （ ） A. 2 B. 2 1 C. 332 D. 23 7．一动圆与圆O ：x 2 ＋y 2 ＝1外切，与圆C ：x 2 ＋y 2 －6x ＋8＝0内切，那么动圆的圆心的 轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一支 （D ）抛物线 8．如右图双曲线122 22=-b y a x 焦点1F ,2F , 过点1F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于P 点，且2130PF F ∠=?，则双曲线的渐近线是（ ） A x y ±= B x y 2±= C x y 2±= D x y 4±= 9．设抛物线 x y 82 =的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的
第七章 向量代数与空间解析几何 （一） 空间直角坐标系、向量及其线性运算 一、判断题 1． 点（-1，-2，-3）是在第八卦限。 （ ） 2． 任何向量都有确定的方向。 （ ） 3． 任二向量, =.则a =b 同向。 ( ) 4． 若二向量, + ,则,同向。 （ ） 5． 若+=+,则= ( ) 6． 向量b a , b a ,同向。 （ ） 7．若={ z y x a a a ,,}，则平行于向量的单位向量为| |a a x a | |a z }。（ ） 8．若一向量在另一向量上的投影为零，则此二向量共线。 ( ） 二、填空题 1． 点（2，1，-3）关于坐标原点对称的点是 2． 点（4，3，-5）在 坐标面上的投影点是M （0，3，-5） 3． 点（5，-3，2）关于 的对称点是M （5，-3，-2）。 4． 设向量a 与b 有共同的始点，则与,共面且平分a 与b 的夹角的向量为 5． 已知向量与方向相反，且||2||a b =，则由表示为= 。 6． ，与轴l 的夹角为 6 π，则a l prj = 7． 已知平行四边形ABCD 的两个顶点A （2，-3，-5）、B （-1，3，2）。 以及它的对角线 交点E （4，-1，7），则顶点C 的坐标为 ，则顶点D 的坐标为 。 8． 设向量与坐标轴正向的夹角为α、β、γ，且已知α =ο 60，β=ο 120。则γ= 9． 设a 的方向角为α、β、γ，满足cos α=1时，a 垂直于 坐标面。 三、选择题
1．点（4，-3，5）到oy 轴的距离为 （A ）2225)3(4+-+ （B ） 225)3(+- （C ）22)3(4-+ （D ）2254+ 2 ． 已 知 梯 形 OABC 、 2 12 1 -21--2121-, ⊥ b + + - + < - +>-yoz 2AOB ∠42222)(b a b a ?=?a ?b a ???2 a b ??a ??b ωc a ρρ?0??≠a c b ??=b a ??=b a ?? ?22 2b b a a +?+??a b b a ???ρ?=?c b a ???、、a c b c b a ???????=?=,c b a ???、、b a ??,111,,γβα2 22,,γβαb a ∧ (2 12121cos cos cos cos cos cos γγββαα++) (b a ?∧3 π,8,5==b a ??b a ??-24,19,13=+==b a b a ??ρ?a b -v v 32)(π=∧b ?2 ,1==b a ??a b ?v v 72,26,3=?==b a b a ????b a ???}1,2,2{},4,3,4{=-=b a ??a }4,6,4{},2,3,2{--=-=b a ?? )(b ?∧b a ??,λb a P ???5+=λb a Q ???-=3MNP ∠π 4 3π2π 4π2a =0=?b a ??0??=a 0??=b c a b a c b a ???????-=-)(0??≠a c a b a ????=c b ??=}. 4,4,1{},2,3,{-==b x a ?? b a ??//}1,3,1{1},1,1,2{-=-= b a ?? b a ??、}2,1,2{}3,2,1{}1,3,2{=-=-=c b a ? ??、、d ?b a ??,. 14d c ?? ，求向量上的投影是312123 a a a b b b == 2222222 123123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++=++?..a C B c A B ????= =c a c a S ABD ρ?????= ?l l πππ⊥πππθ2 π πππ5πd 2 2212C B A D D ++-5 1 232-==-z y x { 7 421 253=+--=-+z y x z y x 1 3241z y x =+=-300 { x y z x y z ++=--={ 1240 322=+--=+-+z y x z y x 2 33211+=+=-z y x 1 0101z y x =-=+{ 0440 4=--=--y x z x ?? ? ??==+=4321z t y t x { 7 27 2=-+=++-z y x z y x
空间解析几何与矢量代数小练习 一 填空题 5’x9=45分 1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________. 2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模_________________， 方向余弦_________________和方向角_________________ 3、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________. 4、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 5、方程22x y z +=表示______________曲面. 6、222x y z +=表示______________曲面. 7、 在空间解析几何中2x y =表示______________图形. 二 计算题 11’x5=55分 1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程. 2、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 3、求过点(1,2,3)且平行于直线51 132-=-=z y x 的直线方程. 4、求过点(2,0,-3)且与直线???=+-+=-+-012530 742z y x z y x 垂直的平面方 5、已知：k i 3+=，k j 3+=，求OAB ?的面积。
参考答案 一 填空题 1、?????? -±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22 cos ,21 cos ==-=γβα,3 ,43,32π γπ βπ α=== 3、14)2()3()1(222=++-+-z y x 4、以(1,-2,-1)为球心,半径为6的球面 5、旋转抛物面 6、 圆锥面 7、 抛物柱面 二 计算题 1、04573=-+-z y x 2、029=--z y 3、53 1221-=-=-z y x 4、065111416=---z y x 5 219 ==?S
专题九 解析几何 第二十七讲 双曲线 2019年 1.（2019全国III 理10）双曲线C ：22 42 x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐进线 上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为 A B C ． D ．2.（2019江苏7）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2 2 21(0)y x b b -=>经过点（3，4)， 则该双曲线的渐近线方程是 . 3.（2019全国I 理16）已知双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为F 1， F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =uuu r uu u r ，120F B F B ?=uuu r uuu r ，则 C 的离心率为____________． 4.（2019年全国II 理11）设F 为双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点，O 为坐标 原点，以OF 为直径的圆与圆222 x y a +=交于P ，Q 两点.若PQ OF =，则C 的离心率 为 A B C ．2 D 5．（2019浙江2）渐近线方程为±y =0的双曲线的离心率是 A B ．1 C D ．2 6.（2019天津理5）已知抛物线2 4y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线 22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为 C.2
2010-2018年 一、选择题 1．(2018浙江)双曲线2 213 x y -=的焦点坐标是 A ．(， B ．(2,0)-，(2,0) C ．(0,， D ．(0,2)-，(0,2) 2．(2018全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：2 213 -=x y ，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N ．若?OMN 为直角三角形，则||MN = A ． 3 2 B ．3 C ． D ．4 3．(2018全国卷Ⅱ)双曲线22 221(0,0)-=>>x y a b a b A ．=y B ．=y C ．2=± y x D ．2 =±y x 4．(2018全国卷Ⅲ)设1F ，2F 是双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，O 是 坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1|||PF OP =，则C 的离心率为 A B ．2 C D 5．(2018天津)已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴 的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和 2d ， 且126d d +=，则双曲线的方程为 A ． 221412x y -= B ．221124x y -= C ．22139x y -= D ．22 193 x y -=
1. 过点Ｍo （１,1-，１)且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程. 3９．02=+-z y 3． 在平面02=--z y x 上找一点p ,使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离 相等. 7.)5 1,1,57(. ５.已知：→ →-AB prj D C B A CD ，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= ( ） Ａ.4 B ．1 C. 2 1 D ．2 ７.设平面方程为0=-y x ,则其位置( ） Ａ．平行于x 轴 B.平行于y 轴 Ｃ．平行于z 轴 Ｄ.过z 轴. 8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系( ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D.重合 9．直线 3 7423z y x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系( ) Ａ.平行 Ｂ.垂直 C ．斜交 D.直线在平面内 1０．设点)0,1,0(-A 到直线?? ?=-+=+-0 720 1z x y 的距离为（ ) Ａ.5 B ． 6 1 C. 51 D.8 1 5.Ｄ 7．D ８.B 9．A 10．A. 3．当m=_____________时，532+-与m 23-+互相垂直． 4 ． 设 ++=2, 22+-=, 243+-=，则 )(prj c += . 4． 过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________． 1０．曲面方程为:442 2 2 =++z y x ,它是由曲线___＿____绕____＿_______＿旋转而成的.
解析几何测试题（椭圆、双曲线、抛物线） 姓名 一. 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 抛物线x y 42 =的焦点坐标是( ) A ．（1，0） B ．（0，1） C ．（0，2） D ．（2，0） 2. 若椭圆长轴长为8，且焦点为F 1(－2,0),F 2(2,0)，则这个椭圆的离心率等于（ ） A.22 B. 13 C. 12 D.4 1 3. 已知方程01 22 2=+-+m y m x 表示双曲线，则m 的取值范围是（ ） A ．m<-2 B ．m>-1 C ．-2
第六章 要求与练习 一、学习要求 1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示. 2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），两个向量垂直、平行的条件.掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法. 3、掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题. 7、了解空间曲线在坐标平面上的投影，会求其方程. 二、练习 1、一向量起点为A （2，－2，5），终点为B （－1，6，7），求 （1）AB u u u r 分别在x 轴、y 轴上的投影，以及在z 轴上的分向量； （2）AB u u u r 的模；（3）AB u u u r 的方向余弦；（4）AB u u u r 方向上的单位向量. 解：（1）()3,8,2AB =-u u u r ，AB u u u r 分别在x 轴的投影为-3，在y 轴上的投影为8，在z 轴上的 分向量2k r ；（2）AB =u u u r ；（3）AB u u u r （4）AB u u u r 382) i j k -++r r r . 2、设向量a r 和b r 夹角为60o ，且||5a =r ，||8b =r ，求||a b +r r ，||a b -r r . 解：||a b +==r r ||a b -= =r r =7. 3、已知向量{2,2,1}a =r ，{8,4,1}b =-r ，求 （1）平行于向量a r 的单位向量； （2）向量b r 的方向余弦. 解（1）3a = =r 平行于向量a r 的单位向量221{,,}333 ±； （2）9b ==r ，向量b r 的方向余弦为：841,,999 -. 4、一向量的终点为B （2，－1，7），该向量在三个坐标轴上的投影依次为4、－4和7.求该向量的起点A 的坐标. 解：AB u u u r =(4，-4，7)=(2，-1，7)-(x ，y ，z),所以(x ，y ，z)=（－2，3，0）；