湖北省百校大联盟届高三月联考数学理

2024年湖北云学部分重点高中联盟高三年级10月联考数学试卷（答案在最后）命题学校：考试时间：2024年10月8日15：00-17：00时长：120分钟满分：150分一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}2log 1A xy x ==-∣，集合{}2xB y y -==∣，则A B ⋂=（）A.()0,1 B.()1,2 C.()1,∞+ D.()2,∞+2.若tan 2θ=，则sin cos2sin cos θθθθ=+（）A.65-B.25-C.25D.653.数列{}n a 是公差不为零的等差数列，它的前n 项和为n S ，若918S =且346,,a a a 成等比数列，则3a =（）A.13B.23C.53D.24.已知函数()()π3sin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，对任意的x ∈R ，都有()()30f x f x ++=成立，则ω的可能取值是（）A.π4B.π2C.π6D.π35.对于平面凸四边形ABCD ，若()()4,3,1,2AC BD ==，则四边形ABCD 的面积为（）A.52B.53C.2D.大小不确定6.已知函数()cos f x x ax =-在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，则实数a 的取值范围是（）A.1,2∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦ B.3,2∞⎛- ⎝⎦C.1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭D.3,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎪⎣⎭7.在平面直角坐标系中，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,,F F A 为双曲线右支上一点，连接1AF 交y 轴于点B ，若2AB AF =，且12AF AF ⊥，则双曲线的离心率为（）8.已知函数()1ln f x x a x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭有两个极值点12,x x ，则()12f x x +的取值范围是（）A.30,ln24⎛⎫-⎪⎝⎭B.3ln2,2∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭C.30,2ln22⎛⎫-⎪⎝⎭D.3ln2,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知事件,A B 发生的概率分别为()()11,23P A P B ==，则下列说法正确的是（）A.若A 与B 互斥，则()23P A B +=B.若A 与B 相互独立，则()23P A B +=C.若()13P AB =，则A 与B 相互独立D.若B 发生时A 一定发生，则()16P AB =10.已知a b c >>，且20a b c ++=，则（）A.0,0a c >< B.2c aa c+<-C.0a c +> D.21a ca b+<-+11.设,αβ是锐角三角形的两个内角，且αβ>，则下列不等式中正确的有（）A.sin sin 1αβ+>B.tan tan 1αβ⋅<C.cos cos αβ+<D.()1tan tan 22αβαβ-->三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若复数z 满足2i izz =-+，则z =__________.13.若()ππsin 3sin 63f x a x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数，则实数a 的值为__________.14.在如图所示的直角梯形ABCD 中，AB ∥,1,2,.CD AB BC CD AB BC P ===⊥为梯形ABCD 内一动点，且1AP =，若AP AB AD λμ=+ ，则2μλ+的最大值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知数列{}n a 的前n 项和为2,1n S a =且()*12n n S S n n +=+∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足()2log 1n n b a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T .求2341111n T T T T ++++ .16.（15分）在ABC 中，三个内角A B C ､､所对的边分别为a b c ､､.设向量()()2,cos ,,cos m a c C n b B =-=，且m ∥n.（1）求角B 的大小；（2）设D 是边AC 上的一点，使得ABD 的面积是DBC 面积的2倍，且sin sin 14ABD DBC a c ∠∠+=，求线段BD 的长.17.（15分）已知,a b 为实数，函数()e 1xf x ax b =-+-（其中e 2.71828= 是自然对数的底数）.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若对任意的(),0x f x ∈≥R 佰成立，求a b +的最小值.18.（17分）如图，在四棱锥P ABCD -中，1,AD AC BC AP PA ====⊥底面ABCD ，90CAD ACB ∠∠== ，平面PBC 与平面PAD 的交线为l .（1）求证：l ⊥平面PAC ；（2）设M 为PCD 内一动点，且79MC MD ⋅=- ，求线段PM 长度的最小值；（3）在（2）的条件下，当线段PM 的长最小时，求直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值.19.（17分）在信息论中，熵（entropy ）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵.若把信息熵定义为概率分布的对数的相反数，设随机变量X 的所有取值为()()*1,2,3,,,i n n P X i p ∈==N ，定义信息熵：()12211(),,,log ,1,1,2,,nnn n i i i i i H X H p p p p p p i n====-==∑∑ （1）若2n =，且12p p =，求随机变量X 的信息熵；（2）若121111,,2,2,3,,222k k n n p p p p k n +=+=== ，求随机变量X 的信息熵；（3）设X 和Y 是两个独立的随机变量，求证：()()()H XY H X H Y =+.参考答案：题号1234567891011答案CA DA DABBABABDAD12.312-13.314.96.解析：4,PA PB PC PQ ===⊥ 面ABC 且Q 是ABC 外心，222464π232,(23)4,,4π33PQ QA QB QC R R R S R ====-+====7.解析：四边形ACBM 面积21||12S MC AB MA AC MC ==⋅=-，222||1121||MC AB MC MC -==-，()()()222222||(1)e ,(1)e ,212e x x x MC x f x x f x x =-+=--+'+=单增，又()()2min min min 00,()02,|2,|2f f x f MC AB ====='，2min2ππ22S ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭8.解析：11223311,11,11x x x x x x =+≥=+≥=+≥'''，则1233,4,.15x x x ++=⋯⋯'''，所以有22232232314331415C C C C C C C 455++⋯⋯+=++⋯⋯+==9.解析：函数()sin f x x x =的定义域为R ，有()()()()sin sin f x x x x x f x -=-+-=+=∣，即函数()f x 是偶函数，又()()()()πsin ππsin f x x x x x f x +=+++=+=，则π是函数()f x 的一个周期，也是最小正周期，A 正确当π02x ≤≤时，()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，显然函数()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，π02x -≤≤时，由偶函数的性质知，函数()f x 在ππ,26⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上递增，在π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减，即当π02x ≤≤时max min ππ()2,()162f x f f x f ⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的取值集合为[]1,2，从而函数()f x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的取值集合为[]1,2，即在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2，因此函数()f x 在R 上的值域为[]1,2，B 正确；如图：()f x 不关于直线π6x =对称，所以不关于直线7π6x =对称，故C 错()f x 在5ππ,62⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调性同ππ,62⎡⎤⎢⎣⎦，所以递减，故D 对.11.解析：对()()2221fx f x =+两边求导得()()()422f x f x f x ''=即()()()22f x g x g x =，故A 对()()()22210,21g x f x f x =-≥≥，即恒成立，()()()()212001,01,02f f f f =+==-（舍），故B 错.()g x 是奇函数，()f x 是偶函数，()()()1,1,f x g x g x ≥'≥为增函数，()f x '为增函数，又()00f '=，故C 错.()()36x F x g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()()()221122x x F x g x f x ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝'⎭'，()()()F x f x x g x x -'=='-'为增函数，()()()()()()00,00,00F x F F x F F x F '>'=>=>'='，故D 对.14.解析：如图示，先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度AB.设π,02BAQ ∠θθ⎛⎫=<<⎪⎝⎭，则π2ABQ ∠θ=-.过A 作AC 垂直内侧墙壁于C ，B 作BD 垂直内侧墙壁于D ，则π3,,2AC BD CPA BAQ DPB ABQ ∠∠θ∠∠θ======-.在直角三角形ACP 中，sin sin ACCPA AP∠θ==，所以3sin sin AC AP θθ==.同理：3πcos sin 2BD BP θθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以33π,0sin cos 2AB AP BP U θθ⎛⎫=+=+<< ⎪⎝⎭.因为333sin cos AB θθ=+≥⨯（当且仅当sin cos θθ=且π4θ=时等号成立）.所以AB ≥.因为走廊的宽度与高度都是3米，所以把硬管倾斜后能通过的最大长度为9m ===15.解析：（1）在ABCD 中，π2,4AB BC ABC ∠===，由余弦定理得2222cos 2AC AB BC AB BC ABC ∠=+-⋅=，则222AB AC BC +=，有AB AC ⊥，又平面ACEF ⊥平面ABCD ，平面ACEF ⋂平面ABCD AC =，,AF AC AF ⊥⊂平面ACEF ，则AF ⊥平面ABCD ，直线,,AB AC AF 两两垂直，以点A 为原点，直线,,AB AC AF 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则())()0,0,0,,A BC ，()()(),,0,0,1D E F设()0,,1,0M t t ≤≤则()),AE DM t ==，由AE DM ⊥，得10AE DM t ⋅=+=，解得2t =，即12FM FE =，所以当AE DM ⊥时，点M 为线段EF 的中点.（2）由（1）可得(),1,2BM BC ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，设平面MBC 的法向量为(),,m x y z =，则02m BM y z mBC ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，取2y =，得(m = ，平面ECD 的法向量为()0,1,0n =，设平面MBC 与平面ECD 的夹角为θ，则cos cos ,5m n m n m nθ⋅=<>==，所以平面MBC 与平面ECD 的夹角的余弦值为105.16.解析：（1）易知函数()()0e x axf x a =≠的定义域为R .所以()()1e xa x f x -='，当0a >时，由()0f x '>，得1x <，由()0f x '<，得1x >.所以()f x 的单调增区间为(),1∞-，单调减区间为()1,∞+；当0a <时，由()0f x '>，得1x >，由()0f x '<，得1x <.所以()f x 的单调增区间为()1,∞+，单调减区间为(),1∞-.（2）()ln 1xf x x mx ++≤即31ln e x x x m x x≥++在()0,x ∞∈+上恒成立，令()31ln e x x xh x x x=++，易知函数()h x 的定义域为()0,∞+.所以()()2222313e 3e 11ln ln .e e x x x xx x x xh x x x x'---=-+=-当01x <<时，()231ln 0,0e x x x x -><，故()0h x '>；（11分）当1x >时，()231ln 0,0e x x x x -<>，故()0h x '<.（13分）所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，所以1x =时，()h x 在()0,∞+上取得最大值()311e h =+.所以31e m ≥+，所以实数m 的取值范围是31,e ∞⎡⎫++⎪⎢⎣⎭.17.解析：（1）由m n‖可得，()()()sin sin sin b a A b c B C -=+-，由正弦定理该式化为()()()b a a b c b c -=+-，整理得：222b ac ab +-=，即：222122b ac ab +-=，即1cos 2C =，因为C 为三角形的内角，所以π3C =.（2）令CD x = ，由题意：2CD CA CB =+，平方得：2224x b a ab =++，由正弦定理sin sin sin 3a b C A B C ===，则：sin ,33a Ab B ==，代入上式得：2224444sin sin sin sin 333x B A A B=++⋅2242π442πsin sin sin sin 33333A A A A ⎛⎫⎛⎫=-++⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4π1cos 2441cos242π3sin sin 323233A A A A ⎛⎫-- ⎪-⎛⎫⎝⎭=⋅++⋅ ⎪⎝⎭42π5cos 2333A ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为三角形是锐角三角形，所以π0πππ2ππ222ππ62333032A A A A ⎧<<⎪⎪⇒<<⇒-<-<⎨⎪<-<⎪⎩，2π142π57cos 2,1,cos 2,3323333A A ⎛⎫⎛⎤⎛⎫⎛⎤∴-∈∴-+∈ ⎪ ⎪ ⎥⎥⎝⎭⎝⎦⎝⎭⎝⎦，即274,33x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，,62x ⎛∴∈ ⎝⎦，因此，CD的取值范围为,62⎛ ⎝⎦.18.解析：（1）由题意，有2233a b a c ⎧=⋅⎪⎨⎪+=⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩221143x y +=（2）设过点R 的切线方程为()()122y k x kx k =-+=+-()222222(2)y k x k k x k =+-+-联立2234120x y +-=，有()()22243824(2)120k x k k x k ++-+--=由于想切，令Δ0=，()(222224(2)43,(2)343k k k k k -=+--+()223433(2)k k +=-23410k k +-=即求得1213k k =-（3）设()()000,0,R x y y RK >延长线交x 轴于K '点，P Q ､两点处切线斜率分别是1k 和2k ，有0022x IK AK JK BK x +=='-'，设椭圆上P 或Q 两点切线方程为()00y k x x y =-+联立有，()()000022143y k x x y kx kx y x y ⎧=-+=--⎪⎨+=⎪⎩()()()22200004384120k x k kx y x kx y +--+--=()()()22220000Δ0,64443412k kx y k kx y ⎡⎤=-=+--⎣⎦有()22200004230x k x y k y --+-=20001212220023,44x y y k k k k x x -+==--()()10020022I J y k x y y k x y ⎧=--+⎪⎨=-+⎪⎩要证明IK AI JK BJ=，需证明()()100002002222k x y x x k x y --++=--+即要证()()()()22200010004242k x y x k x y x -++=-+-，()()212001042k k x y k k x ++=+()()21200042k k x x y +-=其中，00122024x y k k x +=-显然，即证IK AI JK BJ=（17分）19.（1）①()()(),1,,1,,3a c c ②处于位置(),3c 时，得3分，21124⎛⎫= ⎪⎝⎭，处于位置(),1a 时，得1分，21124⎛⎫= ⎪⎝⎭，处于位置(),1c 时，得分1分，211222⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以最终得分的分布列为：得分X 的期望()31313 1.5442E X =⨯+⨯==.X13P 3414（2）将棋盘按如图所示编号：123456789123456789将棋子可以去的区域用箭头连接起来，如从3可以连接4或8，记做：438--；从8可以连接3或1，记做：381--；然后将他们串联起来：4381---.依次类推，可以串联出环状回路：438167294----------，如下图所示：则棋子等价于在这个环状回路中运动，问题（2）可以转化为将两个棋子放在环形回路中的3号､7号位置，每回合3号､7号棋子有四种运动模式：（顺，顺），（顺，逆），（逆，顺），（逆，逆），发生概率各为14为了转化问题，现规定d =“两棋子之间的最短节点数”，例如：特别规定两棋子重合时，0d =.并统计四种运动模式下d 会如何改变假设3号棋子顺时针走过x 个节点可以与7号棋子重合；或逆时针走过y 个节点也可以与之重合.为了简化问题，不妨假设x y ≤，于是有下表：（顺，顺）（顺，逆）（逆，顺）（逆，逆）d =0d =1d =1d =0d =1d =1d =0d =3d =1d =3d =3d =1d =1d =3d =设n p =“n 回合后，0d =的概率”，n q =“n 回合后，1d =的概率”，n R =“n 回合后，3d =的概率”，则有111111111241111,22221142n n n n n n n n n n p p q q p q R R q R -------⎧=+⎪⎪⎪=++=⎨⎪⎪=+⎪⎩1111111,28424n n n n p p p p --⎛⎫∴=+-=- ⎪⎝⎭显然，11110,44p p =-=-，所以1111442n n p -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，所以解得：11142n n p +=-.。

湖北省高中名校联盟2025届高三第二次联合测评数学试卷（答案在最后）命题单位：武汉外国语学校数学备课组审题单位：圆创教育教研中心宜昌市第一中学本试卷共4页，19题.满分150分.考试用时120分钟.考试时间：2024年11月7日下午15：00—17：00★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区战均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区城内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{0},{12}A xx a B x x =<<=<∣∣，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（）A.()2,∞+ B.[)2,∞+ C.()0,2 D.(]0,22.已知()()2,3,4,3A B -，点P 在线段AB 的延长线上，且2AP PB =，则点P 的坐标为（）A.10,13⎛⎫-⎪⎝⎭B.101,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C.()6,9-D.()9,6-3.已知,p q 为实数，1i -是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，则p q -=（）A.2- B.2C.4D.4-4.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为53，则该双曲线的渐近线方程为（）A.2y x=± B.12y x =±C.43y x =±D.34y x =±5.若关于x 的函数()()2lg log 2a f x x ax ⎡⎤=++⎣⎦的定义域为R ，则实数a 的取值范围为（）A.()()0,11,2⋃B.()(0,11,⋃C.()1,2 D.(1,6.如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形ABCD ，点E 在下底面圆周上，且CE =，点F 在母线AB 上，点G 是线段AC 上靠近点A 的四等分点，则EF FG +的最小值为（）A.4B.4C.6D.927.在正三棱柱每条棱的中点中任取2个点，则这两点所在直线平行于正三棱柱的某个侧面或底面所在平面的概率为（）A.14 B.13C.512D.128.已知函数()()sin (0,0,02π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，若所在平面不等式()()20f x f x a +-在π0,3x ⎡⎤∈⎢⎣⎦上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.,12∞⎛-+⎝⎦B.1,2∞⎛+- ⎝⎦C.,2∞⎛- ⎝⎦D.,12∞⎛--⎝⎦二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某老师想了解班上学生的身高情况，他随机选取了班上6名男同学，得到他们的身高的一组数据（单位：厘米）分别为167,170,172,178,184,185，则下列说法正确的是（）A.若去掉一个最高身高和一个最低身高，则身高的平均值会变大B.若去掉一个最高身高和一个最低身高，则身高的方差会变小C.若去掉一个最高身高和一个最低身高，则身高的极差会变小D.这组数据的第75百分位数为18110.已知抛物线2:4E y x =，过点()2,0M 的直线l 与E 交于,A B 两点，直线,OA OB 分别与E 的准线l '交于,C D 两点.则下列说法正确的是（）A.4OA OB ⋅=-B.直线,OA OB 的斜率分别记为12,k k ，则12k k ⋅为定值C.CD 的取值范围为)∞+D.AOB 面积的最小值为11.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,4,AB AA AD E ===为棱AD 上一点，且3AE =，平面1A BE上一动点Q 满足0,EQ AQ P ⋅=是该长方体外接球（长方体的所有顶点都在该球面上）上一点，设该外接球球心为O ，则下列结论正确的是（）A.长方体1111ABCD A B C D -外接球的半径为2B.点A 到平面1A BEC.球心O 到平面1A BE 的距离为3 D.点Q 的轨迹在1A EB 内的长度为6π3三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

高三数学考试注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：集合，逻辑，函数，导数，不等式，数列，向量，三角函数(不含解三角形)。

密封线内不要答题一、单选题(本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项),则其共轭复数z=1.复数D .1—2iC .1+2iA .2+iB .2-i },则A N (@B )=2.已知全集U =R ,A ={x |x ²+2x <3},B .{x |-3<x ≤0}A .{x |-3<x <0}D .{x |O ≤x <1}C .{x |-3<r <2}3.命题“Vx∈(1,2),α²-a>0”为真命题的一个必要不充分条件是D .a <2C .a <0A .a ≤1B .a <14.如图所示，向量O A =a ,O B =b ,式=c ,A ,B ,C 在一条直线上，且A B =-2 C B ,则5.已知曲线y =x +k l n (1+x )在x =1处的切线与直线z +2y =0垂直，则k 的值为C .-3D .-6A .4B .26.设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x+2)=-f(x),当1<r<2时，f(x)=logzx+1,则D .-l o g z 3-1A .l o g z 3B .l o g z 3-1C .-l o g 237.已知),化简√2-2sin 2a-√1+cos 2a的结果是B .-√2s i n D .一√2c os aa A .√2s i n a 【高三数学“第1页(共4页)C .√2 c os a 】3在(0,π)上8.已知向量m =(2s in x,V3cos²x),n=(cosx,-2),若关于x 的方程的两根为x ),X 2(x i <x₂),则s i n (x i -x 2)的值为C .A .D .二、多选题(本大题共4小题，共20分.每小题有多项符合题目要求)9.在公比q 为整数的等比数列(a ,}中，S ,是数列(a n }的前n 项和，若a 1·a s =32,a z +a y =12,则下列说法正确的是B .q =2A.数列Sz,S,S6,…是等比数列 D.数列(lg (S,+2)}是等差数列C .S ₆=12610.已知实数x ,y ,z 满足2⁴=3,3⁹=4,4*=5,则下列结论正确的是D .x +y >2√2C .y <x B .x y z >2A .11.函数f (x )=A s i n (w x +p )(其中A >0,w >0,l y l <x)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是A .B .函数f (x )的零点为(,0),k ∈ZC .若I f (x i )·f (x ₂)I =4,则,k ∈Z,则D .若12.已知数列{a n }的前n 项和S ,=n ²,b ,=(-1)°a ,a n +l ,数列(b n )的前n 项和T 。

百师联盟2023届高三上学期数学1月联考试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若()12i i 1i a b +=-，其中,a b ∈R ，则1i a b ++=（）AB C D 2．设集合{2A xx =<∣或{}4},1x B x a x a ≥=≤≤+∣，若()A B =∅R ð，则a 的取值范围是（）A ．1a ≤或4a >B ．1a <或4a ≥C ．1a <D ．4a >3．:sin 0,:p q θθ>是第一象限角或第二象限角，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4S ，2S ，3S 成等差数列，23418a a a ++=-，则5a =（）A ．96-B ．48-C ．48D ．965．已知函数()2sin 4cos f x x x =+在x ϕ=处取得最大值，则cos ϕ=（）A B C ．D ．6．在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为（）A ．14B ．4C ．12D ．27．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点()5,0P 的直线l 交C 于,A B 两点，O 为坐标原点，记ABO 与AFO V 的面积分别为1S 和2S ，则123S S +的最小值为（）A ．B ．C ．D ．8．设1111,ln ,sin 595a b c ===，则（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a<<D ．c a b <<二、多选题9．若0>>>a b c ，则下列结论正确的是（）A ．a ac b>B ．22a a b c >C ．a b ba c c->-D ．a c -≥10．已知()10,0A -，()2,0B ，动点P 满足20AP BP ⋅=-．设点P 的轨迹为曲线C ，直线l ：10x ay a -++=与曲线C 交于D ，E 两点，则下列结论正确的是（）A ．曲线C 的方程为()22416x y ++=B ．PA 的取值范围为[]2,10C ．当DE 最小时，3a =-D ．当DE 最大时，3a =11．已知函数()22sin 3sin 1f x x x =-+，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 在区间,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在[]π,π-上有4个零点D ．()f x 的值域是[]0,612．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1112,1,AA A B AD O ===是11B D 的中点，直线1AC 交平面11AB D 于点M ，则（）A ．,,A M O 三点共线B ．1A M 的长度为1C ．直线AO 与平面11BCC BD ．1A MO △三、填空题13．已知函数()44,0log ,0x x f x x x ≤⎧=⎨>⎩则14f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______．14．已知向量()()4,3,2,1a b m =--=--，若()2a b a +⊥ ，则m =__________.15．已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数a ，b 都有()()()1a a b b f f f +=+-，且当0x >时，()1f x >．若()23f =，则不等式()212f x x --<的解集为______．16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，虚轴的上端点为,,A M N 是C 上的两点，P 是MN 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为12-，若AF MN ∥，则C的两条浙近线的斜率之积为__________.四、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2cos 2sin sin C Ca b b A=+．(1)求B ；(2)若8b =，D 为边AC的中点，且BD =，求ABC 的面积．18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，且12n n a n S n+=（*n ∈N ）．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()23n n n b n a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：512n T <．19．如图，在三棱锥-P ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC，PA =，PB =AB =，AC PC ⊥，D 是棱PC的中点．(1)求证：BC AC ⊥；(2)若AC =BC 与平面ADB 所成角的正弦值．20．如图，为了测量某条河流两岸两座高塔底部A ，B 之间的距离，观测者在其中一座高塔的顶部D 测得另一座高塔底部B 和顶部C 的视角的正切值为43（即4tan 3BDC ∠=），已知两座高塔的高AD 为30m ，BC 为60m ，塔底A ，B 在同一水平面上，且AD AB ⊥，BC AB ⊥．(1)求两座高塔底部A ，B 之间的距离；(2)为庆祝2023年春节的到来，在两座高塔顶部各安装了一个大型彩色灯饰．政府部门为了方便市民观赏这两个彩色灯饰，决定在A ，B 之间的点P 处（点P 在线段AB 上）搭建一个水上观景台，为了达到最佳的观赏效果，要求DPC ∠最大，问：在距离A 点多远处搭建，才能达到最佳的观赏效果?21．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>过1,2A ⎛ ⎝⎭，2B ⎭两点．(1)求椭圆E 的方程；(2)已知()4,0Q ，过()1,0P 的直线l 与E 交于M ，N 两点，求证：MP MQ NPNQ=．22．已知函数()e (ln 1)()xf x x a ax x a =--+∈R .(1)若1a =-，证明：()()e 2xf x x ≥+；(2)若()0f x >对任意的()0,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围.参考答案：1．C【分析】通过复数的运算及复数相等，求得,a b ，计算复数的模可得结果.【详解】()1112i i 2i 1i,,1,1i i 22a a b a b a b +=-+=-∴=-=-∴++=-= .故选：C.2．B【分析】先求出A R ð，根据()A B =∅R ð，可求得结果.【详解】由集合{2A xx =<∣或4}x ≥，得{24}A x x =≤<R ∣ð，又集合{}1B x a x a =≤≤+∣且()A B =∅Rð，则1a +<2或4a ≥，即1a<或4a ≥.故选：B.3．B【分析】由题可得sin 0θ>时θ的范围，再根据充分必要条件的概念即得．【详解】由sin 0θ>，可得θ是第一象限角或第二象限角或终边在y 轴非负半轴，所以由p 推不出q ，而由θ是第一象限角或第二象限角，可得sin 0θ>，所以由q 可推出p ，所以p 是q 的必要不充分条件．故选：B ．4．C【分析】根据题意，由条件得到关于1a 与q 的方程，即可得到1,a q ，从而得到结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为423,,S S S 成等差数列，所以2432S S S =+，即3420a a +=，又23418a a a ++=-，所以()23112312018a q a q a q q q ⎧+=⎪⎨++=-⎪⎩，解得132a q =⎧⎨=-⎩所以()44513248a a q ==⨯-=故选:C5．A【分析】根据题意，由辅助角公式即可得到sin ,cos θθ的值，然后由诱导公式化简即可得到结果.【详解】因为()()2sin 4cos f x x x x θ=+=+，其中sin ,cosθθ=当x ϕ=时，()f x 取得最大值，即π2π,2k k ϕθ+=+∈Z ，所以π2π,2k k ϕθ=-+∈Z ，所以πcos cos 2πsin2k ϕθθ⎛⎫=-+==⎪⎝⎭故选：A 6．D【分析】设圆柱和圆锥底面半径分别为r ，R ，由圆柱表面积等于圆锥侧面积建立方程，求半径比.【详解】设圆柱和圆锥底面半径分别为r ，R ，因为圆锥轴截面顶角为直角，所以圆锥母线，设圆柱高为h ，则h R rR R-=，=-h R r ，由题，()2π2π2πR r r R r ⨯=+⨯-，得2r R =.故选：D.7．B【分析】设出直线:5l x my =+，联立2:4C y x =，得到两根之和，两根之积，得()11252S y y =-，2112S y =，11215043S y S y =++，利用基本不等式即可求出最值.【详解】由题意得：()1,0F ，设直线:5l x my =+，联立2:4C y x =得：20042my y --=，设()()1122,,,A x y B x y ，不妨令120,0y y ><，则12124,20y y m y y +==-，故()112121522S OP y y y y =⋅-=-，2111122S OF y y =⋅=，则()12112121153550442223S y y y y y y y S -+=-==≥=++当且仅当11504y y =，即12y =时，等号成立.故选：B 8．D【分析】根据已知条件构造函数()()21ln ,01x f x x x x -=->+，()sin ,0g x x x x =->，再利用导数法研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即可求解.【详解】令()()21ln ,01x f x x x x -=->+，所以()()()()222114011x f x x x x x -=-=+'≥+在()0,∞+上恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，又()()2111ln1011f -=-=+，所以()1110,9f f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭所以1121119ln 011919⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭->+，即111ln 95>，所以a b <.令()sin ,0g x x x x =->，所以()1cos 0g x x '=-≥在()0,∞+上恒成立，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()()00sin 00g x g >=-=，所以111sin 0555g ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，即11sin 55>，所以c a <，综上，c a b <<.故选：D.【点睛】解决此题的关键是构造函数()()21ln ,01x f x x x x -=->+，()sin ,0g x x x x =->，然后利用导函数研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即可.9．ACD【分析】由不等式的性质判断.【详解】∵0>>>a b c ，则0b c ->，0bc >，∴()a a abc c b bc --=0>，即a a c b>，A 正确；例如1a =，2b =-，3c =-，22(2)4a b =-=，22(3)9a c =-=，显然49<，B 错误；由0>>>a b c 得0c b -<，0a c ->，∴()0()a b b a c b a c c c a c ---=>--，即a b ba c c ->-，C 正确；易知0a c ->，0a b ->，0b c ->，2()()0a c a b b c --=-+--=≥，∴a c -≥D 正确；故选：ACD ．10．ABD【分析】根据给定条件，求出曲线C 的方程判断A ；再利用曲线C 的性质计算判断B ，C ，D 作答.【详解】设点(,)P x y ，则(10,),(2,)AP x y BP x y =+=- ，由20AP BP ⋅=-得：2(10)(2)20x x y +-+=-，整理得：2280x y x ++=，即()22416x y ++=，所以曲线C 的方程为()22416x y ++=，A 正确；显然曲线C 是以点(4,0)C -为圆心，4为半径的圆，||6AC =，点A 在圆C 外，min max ||||42,||||410PA AC PA AC =-==+=，所以PA 的取值范围为[]2,10，B 正确；直线l ：(1)(1)0x a y +--=恒过定点(1,1)M -，显然点(1,1)M -在圆C 内，线段DE 是经过点M 的圆C 的弦，直线CM 的斜率13k =，由圆的性质知，当DE 最小时，CM l ⊥，则有11k a⋅=-，解得13a =-，C 错误；当DE 最大时，线段DE 是经过点M 的圆C 的直径，则410a -++=，解得3a =，D 正确.故选：ABD 11．AB【分析】根据偶函数的定义、复合函数的单调性、零点的定义以及复合函数的值域，可得答案.【详解】对于A ，函数()y f x =的定义域为R ，且()()()222sin 3sin 12sin 3sin 1f x x x x x f x -=---+=-+=，所以函数()y f x =是偶函数，A 正确；对于B ，当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()22310sin 2sin 3sin 12sin 48x f x x x x ⎛⎫<<=-+=-- ⎪⎝⎭.令sin t x =，由于函数231248y t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在t ⎛ ⎝⎭∈时单调递减，函数sin t x =在π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时单调递增，所以函数()y f x =在区间π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故函数()y f x =在区间π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，B 正确；对于C ，当[]0,πx ∈时，由()22sin 3sin 10f x x x =-+=，得1sin 2x =或sin 1x =，所以π6x =或π2x =或5π6x =，所以偶函数()y f x =在[]π,π-上有6个零点，C 不正确；对于D ，当[)0,x ∈+∞时，()22312sin 3sin 12sin 48f x x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭.因为1sin 1x -≤≤，所以当3sin 4x =时，min 1()8f x =-，当sin 1x =-时，max ()6f x =.由于函数()y f x =是偶函数，因此，函数()y f x =的值域为1,68⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D 不正确.故选：AB.12．ABD【分析】对于A ，利用公理3，分别证明点同时在两个平面上即可；对于B ，利用长方体的性质，以及中位线定理，可得答案；对于C ，利用线面角的定义，根据长方体的几何性质，结合三角函数定义，可得答案；对于D ，利用三角形之间的关系，可得答案.【详解】对于A ，连结11,AC AC ，则1111,,,,AC AC A C A C ∴∥四点共面，1AC ∴⊂平面111,,ACC A M AC M ∈∴∈ 平面11ACC A，又M ∈平面11,AB D M ∴在平面11ACC A 与平面11AB D 的交线上，同理,A O 也在平面11ACC A 与平面11AB D 的交线上.,,A M O ∴三点共线，故A 正确：对于B ，设直线1AC 与平面1BC D 的交点为N ，易证平面11AB D 平面1C BD ，从而得到1OM C N ∥，因为O 为11A C 中点，所以M 为1A N 中点，同理可得N 为CM 的中点，所以11113A M A C ==，故B 正确；对于C ，取11A D 中点E ，连接,AE OE ，因为平面11ADD A 平面11BCC B ，则OAE ∠即为直线AO 与平面11BCC B 所成角，tan OE OAE AE ∠==C 错误；对于D ，因为1111111,23A O A C A M A C ==，所以11111111662A OM A C S S A C ==⨯ •16CC =，故D 正确.故选：ABD.13．4-【分析】根据题意，直接代入计算即可得到结果.【详解】因为411log 144f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则()()114144f f f ⎛⎫⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为:4-14．476##576【分析】根据向量坐标运算及垂直关系的向量表示求解即可.【详解】解：因为()()4,3,2,1a b m =--=--，所以()()()24,34,228,25a b m m +=--+--=--，因为()2a b a +⊥ ，所以()2326150a b a m +⋅=-+= ，解得476m =故答案为：47615．()1,2-【分析】根据抽象函数的条件，结合函数单调性的定义证明函数的单调性，结合函数单调性将不等式进行转化求解即可．【详解】解：对任意实数a ，b 都有()()()1a a b b f f f +=+-，且当0x >时，()1f x >．设12x x >，则120x x ->，()121f x x ->．所以()()()()()1212221210f x f x f x x x f x f x x ⎡⎤-=-+-=-->⎣⎦，即()()12f x f x >，所以()f x 是增函数．因为()23f =，即()()()21113f f f =+-=，所以()12f =.所以原不等式化为()212f x x --<等价为()()211f x x f --<，则211x x --<，即220x x --<，则()()210x x -+<，得12x -<<，故不等式的解集是()1,2-.故答案为：()1,2-16．12【分析】设()()()001122,,,,,P x y M x y N x y ，进而根据点差法得2202202MN b x b k a y a==-，再根据AF MN ∥得22a bc =，进而得2212b a=，再求渐近线的斜率之积即可得答案.【详解】解：设()()()001122,,,,,P x y M x y N x y ，因为,M N 是C 上的两点，P 是MN 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为12-，所以0012y x =-①，2211221x y a b -=②，2222221x y a b-=③，1201202,2x x x y y y +=+=④，所以，②-③得22221221220x x y y a b ---=，整理得()()22212002122221120022b x x b x b x y y x x a y y a y a y +-===-+所以2202202MNb x b k a y a==-，因为双曲线C 的右焦点为F ，虚轴的上端点为A ，所以()()0,,,0A b F c ，AF bk c=-，因为AF MN ∥，所以MN AF k k =，即222b b c a-=-，整理得：22a bc =，所以()42222244a b c b b a ==+，整理得4224440b a b a +-=，所以42244442b a b a a ++=，即()222422b a a +=，所以2222b a +=，整理得2212b a =，因为C 的两条浙近线分别为,b by x y x a a==-，所以，C的两条浙近线的斜率之积为2212b a --=17．(1)2π3(2)【分析】（1）将条件中的角向边进行转化，然后由余弦定理可得答案；（2）由cos cos 0ADB BDC ∠+∠=可得2248a c +=，然后可得ac 的值，然后可得答案.【详解】（1）因为2cos 2sin sin C C a b b A=+，所以2cos 2C ca b ba =+，所以2cos 2b C a c ⋅=+，所以222222a b c b a c ab+-⋅=+，即222a c b ac +-=-，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +--===-，又()0,πB ∈，所以2π3B =．（2）因为8b =，D 为边AC 的中点，所以4AD CD ==，且BD =，在ABD △中，22222cos 2BD AD AB BDA BD AD +-∠==⋅同理，在BDC中，2cos BDC ∠=，因为πADB BDC ∠+∠=，所以cos cos 0ADB BDC ∠+∠=，所以2248a c +=，在ABC 中，2222cos b c a ac B =+-，即2264c a ac =++，所以16ac =，所以ABC的面积112πsin 16sin 223ABC S ac B ==⨯⨯=△18．(1)()12nn a n =+(2)证明见解析【分析】（1）根据题意，由n a 与n S 的关系可得1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以2为首项，2为公比的等比数列，从而求得结果；（2）根据题意，由裂项相消法即可求得n T ，从而证明.【详解】（1）由12n n a n S n +=，得21nn na S n =+．当2n ≥时，()1121n n n a S n---=，所以()12121n n n n a na a n n --=-+，所以()()12111n n n a n a n n ---=+，由于2n ≥，所以121n n a an n-=⋅+，因为122a =，所以1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以2为首项，2为公比的等比数列，所以1221n na n -=⨯+，所以()12n n a n =+．（2）由（1）知，()()()21111313213n n nb n a n n n n ⎛⎫==- ⎪+++++⎝⎭，1111111111111224354657213n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111122323n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭，511112223n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭，因为*n ∈N ，所以512n T <．19．(1)证明见解析【分析】（1）根据题意，由线面垂直的判定定理证得PB ⊥平面ABC ，再得到AC ⊥平面PBC ，从而即可得证；（2）根据题意，以C 为坐标原点，CB ，CA ，BP方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正A 方向，建立空间直角坐标系，再由空间向量的坐标运算结合线面角的计算公式，即可得到结果.【详解】（1）证明：在PAB中，PA =PB =AB =，所以222PA PB AB =+，所以PB AB ⊥，又平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PB ⊂平面PAB ，所以PB ⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，所以PB AC ⊥，又AC PC ⊥，PB PC P ⋂=，PB ，PC ⊂平面PBC ，所以AC ⊥平面PBC ，又BC ⊂平面PBC ，所以BC AC ⊥．（2）在ABC 中，BC AC ⊥，AC =AB =BC =以C 为坐标原点，CB ，CA ，BP方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正A 方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0C，()A，)B，P，所以22D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22DA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，22DB ⎫=⎪⎪⎝⎭，)0,0CB = ，设平面ADB 的一个法向量为(),,n x y z =r，则02022DA n z DB n x z ⎧⋅=+-=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩取x =，则==y zn =．设直线BC 与平面ADB 所成的角为θ，则sin cos ,CB n CB n CB nθ⋅=〈〉===⋅所以直线BC 与平面ADB所成角的正弦值是7．20．(1)60m(2)在距离A处()60米处搭建，才能达到最佳的观赏效果【分析】（1）由二倍角的正切公式与三角比的定义求解；（2）由两角和的正切公式表达为关于AP 的函数后求解最值.【详解】（1）由题知，AD AB ⊥，BC AB ⊥，60BC =，30AD =，如图，作DE BC ⊥，垂足为E ，则四边形ABED 为矩形，所以30BE CE ==．所以BDE CDE ≌，所以CDE BDE ∠=∠，设CDE BDE θ∠=∠=，则22tan 4tan tan 21tan 3BDC θθθ∠===-，解得1tan 2θ=或tan 2θ=-（舍去），所以3060tan AB DE θ===，所以两座高塔底部A ，B 之间的距离为60m ．（2）设()060AP t t =≤≤，则60BP t =-．所以30tan DPA t∠=，60tan 60BPC t ∠=-，所以()tan tan DPC DPA BPC π∠=-∠-∠()tan DPA BPC =-∠+∠tan tan 1tan tan DPA BPC DPA BPC∠+∠=--∠⋅∠2306060603003060601800160t t t t t t t++-=-=>-+-⋅-．设()6060120t m m +=≤≤，则60t m =-，所以()()2tan 306060601800mDPC m m ∠=---+309000180m m =≤=+-当且仅当9000m m=即m =又因为在锐角范围内，tan DPC ∠越大，DPC ∠越大，所以当m =DPC ∠取得最大值，此时60AP =．所以在距离A处()60米处搭建，才能达到最佳的观赏效果．21．(1)22142x y +=(2)证明见解析【分析】（1）将两点坐标代入，求出椭圆方程；（2）依据斜率是否为零，分类讨论，斜率为零时易得结论，斜率不为零时证明QP 平分MQN ∠，可得结论.【详解】（1）由题知，椭圆E过2A ⎛ ⎝⎭，2B ⎭，所以222213123112a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，22b =，所以椭圆E 的方程为22142x y +=．（2）证明：当直线l 的斜率为0时，直线l 的方程为0y =，所以()2,0M ，()2,0N -或()2,0M -，()2,0N ．所以MP MQ NPNQ=．当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，由221421x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222230m y my ++-=，所以12222my y m +=-+，12232y y m =-+，()()222212216240m m m ∆=++=+>，所以114MQ y k x =-，224NQ y k x =-，所以121212124433MQ NQy y y y k k x x my my +=+=+----()()()()()()12211212212121233233339y my y my my y y y my my m y y m y y -+--+==---++222223223220323922m m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以QP 平分MQN ∠，因为sin sin M MP M PM QQ PQ∠∠=，sin sin N NP N P N Q Q PQ ∠∠=，所以MP NPMQ NQ=，即MP MQ NP NQ =．22．(1)证明见解析(2)11e ,e -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】(1)证明不等式()()e 2xf x x ≥+成立，即证明1ln 10x x+-≥，建立新的函数，求导判断函数的单调性，求出最值即可判断.(2)对a 的正负分类讨论，当0a <时，可以直接去绝对值.当0a >时，转化为分段函数求导，求函数的最值即可解决.【详解】（1）证明：因为()f x 的定义域为()0,∞+，所以若1a =-，()e 1(ln 1)x f x x x x =+++.要证()()e 2xf x x ≥+，即证1(ln 1)2x x x ++≥，即证1ln 10x x+-≥.令1()ln 1h x x x =+-，所以'22111()x h x x x x-=-=，令()'0h x >，解得1x >，令()'0h x <，解得01x <<，所以()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()(1)0h x h ≥=，所以()()e 2xf x x ≥+.（2）若()0f x >对任意的()0,x ∈+∞恒成立，即e (ln 1)0x x a a x x--+>对任意的()0,x ∈+∞恒成立.令e ()(ln 1)x x a g x a x x-=-+.若0a ≤，则1()e ln 1xg x a x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.由（1）知1ln 10x x +-≥，所以1ln 12x x ++≥，又0a ≤，所以1ln 10a x x ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭，又e 0x >，所以1()e ln 10xg x a x x ⎛⎫=-++> ⎪⎝⎭，符合题意；若0a >，令()e (0)x u x x a x =->，'()(1)e 0x u x x =+>在()0,x ∈+∞上恒成立，所以()u x 在()0,∞+上单调递增，又(0)0u a =-<，()()e 10au a a =->，所以存在唯一的()00,x a ∈，使得()00u x =，且00e x a x =，所以()00e ln ,0e ln ,xx a a x a x x x g x a a x a x xx ⎧---<≤⎪⎪=⎨⎪--->⎪⎩，当00x x <≤时，()e ln xa g x a x a x =---，所以'2()e 0xa a g x x x=---<，所以()g x 在(]00,x 上单调递减.当0x x >时，()e ln xa g x a x a x =---，所以'2()e x a ag x x x=-+，当0x x >时，e xa y x=-在()0,x +∞上单调递增，所以000000e e e e 0x x x xx a a x x x ->-=-=，所以当0x x >时，'2()e 0xa ag x x x=-+>，所以()g x 在()0,x +∞上单调递增，所以()()min 00()ln 10g x g x a x ==-+>，解得010ex <<.设e x y x =，10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ，所以'(1)e 0x y x =+>在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，所以e x y x =在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以01e 01e 0,e e x a x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，即11e 0,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.综上所述，a 的取值范围为11e,e -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.【点睛】不等式的恒成立问题通常都转化为函数最值问题，通过求导，判断单调性，即可求得函数的最值.当参数范围不确定时，需要进行分类讨论，求导求函数的最值.。

2025届湖北省百校大联盟高三第二次诊断性检测数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．运行如图所示的程序框图，若输出的i 的值为99，则判断框中可以填（ ）A ．1S ≥B ．2S >C ．lg99S >D ．lg98S ≥2．如图，圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM xBA yBD =+(,)x y ∈R ，则2x y +的最大值为（ ）A 2B 3C ．2D ．223．若()()()20192019012019111x a a x a x -=+++++，x ∈R ，则22019122019333a a a ⋅+⋅++⋅的值为（ ）A ．201912--B ．201912-+C ．201912-D ．201912+4．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．50,6⎛⎤⎥ ⎝⎦ B ．5,15⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ C ．250,5⎛⎤⎥ ⎝⎦D ．25,15⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭5．若双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线与圆()2222x y +-=至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．)2,⎡+∞⎣B ．[)2,+∞C ．(1,2⎤⎦D ．(]1,26．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（ ）A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-7．已知3ln 3a =，1b e -=，3ln 28c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >>8．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．9．函数sin (3sin 4cos )y x x x =+()x R ∈的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对(,)M T 为（ ） A ．(5,)πB ．(4,)πC ．(1,2)π-D ．(4,2)π10．给出下列三个命题：①“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”的否定；②在ABC 中，“30B ︒>”是“3cos B <的充要条件； ③将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象． 其中假命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．311．2021年部分省市将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为 A ．18B ．14C ．16D ．1212．已知函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当1x ≥时，()2f x x x=-，则()}{21x f x +>=（ ） A ．{3x x <-或}0x > B ．{0x x <或}2x > C ．{2x x <-或}0x >D ．{2x x <或}4x >二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省百校大联盟2020届高三10月联考数学（理）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容，集合与常用逻辑用语，函数与导致，三角函数。

一、选择题：本大题共12小题，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合求的。

、 1.若集合{}121M x x =--≤＜，{}2680M x x x =-+＜则，M N ⋃=A. (]2,3B. ()2,3C. [)1,4D. ()1,42.命题“存在一个偶函数，其值域为R ”的否定为A.所有的偶函数的值域都不为RB.存在一个偶函数，其值域不为RC.所有的奇函数的值域不为RD.存在一个奇函数，其值域不为R3.函数()ln f x x =的定义域为A. [)1,-+∞B. [)()1,00,-⋃+∞C. [),1-∞-D.[)()1,00,-⋃+∞4.若10b a =，且a 为整数，则“b 能被 5整除”是“a 能被 5整除的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.将曲线2sin 45y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的曲线的对称轴方程为A. ()3808k x k ππ=-+∈Z B. ()3202k x k ππ=-+∈Z C. ()3808k x k ππ=+∈ZD. ()3808k x k ππ=+∈Z6.图中的4片中叶子由曲线2y x =与曲线2y x =围成，则每片叶子的面积为A.16B.C. 13D.237.下列不等式正确的是A. 3sin130sin 40log 4＞＞B. tan 226ln 0.4tan 48＜＜C. ()cos 20sin 65lg11-＜＜D. 5tan 410sin 80log 2＞＞8.函数()22cos xx x f x e-=在上的图象大致为[],ππ-A. B.C. D.9.已知cos 270.891≈)cos72cos18+的近似值为A.1.77B.1.78C.1.79D.1.8110.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x =-，且()f x 的图象关于点（3，0）对称，当12x ≤≤时，()()32log 43f x x x =++，则16092f ⎛⎫=⎪⎝⎭A.-4B.4C.-5D.511.函数()f x =的值域为A. ()2,2-B. ()1,1-C. [)2,0-D. (),2-∞-12.若函数()()3220f x x axa =-＜在6,23a a +⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值，则a 的取值范围 A. [)4,0-B. (],4-∞-C. [)2,0-D. [),2-∞-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在答题卡的相应位置。

2025届湖北省百校大联盟高三（最后冲刺）数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知抛物线C ：()220y px p =>，直线()02p y k x k ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭与C 分别相交于点A ，M 与C 的准线相交于点N ，若AM MN =，则k =（ ）A ．3B ．223C ．22D ．132．如图，2AB =是圆O 的一条直径，,C D 为半圆弧的两个三等分点，则()AB AC AD ⋅+=（ ）A ．52B ．4C ．2D ．13+3．数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1，2]，且a 4+λa 10+a 16＝15，则实数λ的最大值为（ ） A ．72B ．5319C ．2319-D ．12-4．如图，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别是()()12,0,,0,F c F c -直线2bc y a =与双曲线C 的两条渐近线分别相交于,A B 两点.若12,3BF F π∠=则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．423 C ．2D ．2335．在边长为1的等边三角形ABC 中，点E 是AC 中点，点F 是BE 中点，则AF AB ⋅=（ ） A ．54B ．34C ．58D ．386．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．7．已知0a b >>，则下列不等式正确的是（ ） A a b b a <B a b b a >C ．abe b e a -<- D ．abe b e a ->-8．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为（ ）A ．36B ．26C ．5D ．5349．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且80S =，33a =-，则9S =( ) A ．9B ．12C ．15-D ．18-10．双曲线2212y x -=的渐近线方程为（ ）A ．32y x =±B ．y x =±C ．2y x =±D ．3y x =±11．在平行四边形ABCD 中，113,2,,D,32AB AD AP AB AQ A ====若CP C 12,Q ⋅=则ADC ∠=( ) A ．56πB ．34π C ．23π D ．2π 12．如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( )A ．23B ．163C ．6D ．与点O 的位置有关二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。