五月月考试卷解析

高一第四次单元检测数学试题第Ⅰ卷（共60分）一､单选题1. 下列说法正确的是（ ） A. 单位向量均相等 B. 单位向量1e =C. 零向量与任意向量平行D. 若向量，满足，则a b ||||a b = a b =± 【答案】C 【解析】【分析】对于A ：由方向不一定相同否定结论；对于B ：单位向量.否定结论； 1e =对于C ：零向量与任意向量平行.即可判断；对于D ：，的方向可以是任意的. 否定结论. ab【详解】对于A ：单位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A 错误； 对于B ：单位向量.故B 错误； 1e =对于C ：零向量与任意向量平行.正确；对于D ：若向量，满足，但是，的方向可以是任意的. ab||||a b =ab故选：C2. 已知（为虚数单位），则的虚部为（ ） ()()23i 4i 7z =+-i z A. -13 B. 13C. -26D. 26【答案】A 【解析】【分析】根据复数的概念与运算法则化简即可.【详解】∵，的虚部为-13. ()()23i 4i 72613i z =+-=--z 故选：A3. 已知向量，若与共线，则等于（ ）()()2,3,1,2==- a b ma nb + 2a b - m nA. B. C. D. 212-122-【答案】A 【解析】【分析】先得出与的坐标，由共线得出，进而得出答案.ma nb +2a b -147m n =-【详解】解：易得，()()2,32,24,1ma nb m n m n a b +=-+-=-因为与共线， ma nb +2a b -所以， ()()()21324m n m n -⨯-=+⨯即，所以. 147m n =-12m n =-故选：.A 4. 已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（ ） A .B.C.D.12【答案】C 【解析】【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式求解即可. 【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为，r 因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为， 2l r =则圆锥和圆柱的高为， h ==所以圆锥的侧面积为，2112π2π2S r l r =⨯⨯=圆柱的侧面积为，222πS r h r =⨯=所以圆锥和圆柱的侧面积之比为, 12S S =故选:C.5. 已知向量，满足，，则向量，的夹角为（ ）a b ||2||2b a == |2|2a b -=a b A. B.C.D.30︒45︒60︒90︒【答案】C 【解析】【分析】对等式两边平方即可求得夹角. 22a b -= 【详解】，，|2|2a b -=224a b∴-=即，22444a a b b -⋅+=即， 2244cos 4a a b b θ-+=又， 21b a ==，，48cos 44θ∴-+=解得，， 1cos 2θ=[0,]θπ∈所以. 60θ=︒故选：C6. 已知函数在时取得最大值，则（ ） ()sin f x x x =+x θ=πcos 24θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A. B. C.D.12-【答案】C 【解析】【分析】化简函数，利用正弦函数的性质可得到，然后用两角和的余弦公式即()f x π2π,Z 6k k θ=+∈可求解【详解】因为在时取得最大值， ()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭x θ=所以，即， ππ2π,Z 32k k θ+=+∈π2π,Z 6k k θ=+∈所以ππππcos 2cos 4πcos 43434k πθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππcos cos sin sin Z 3434k =⨯-⨯=∈故选：C7. 已知三棱锥的所有棱长均为2，球为三棱锥的外接球，则球的表面积为A BCD -O A BCD -O （ ） A. B.C.D.π2π4π6π【答案】D 【解析】【分析】把正四面体放置在正方体中，转化为正方体外接球问题，求出半径，代入球的表面积公式求解即可.【详解】三棱锥的所有棱长均为2，A BCD -故可把三棱锥放置在正方体中， A BCD -1111A BC D AB CD -如图设正方体的棱长为a ，则，解得2222a a +=a =三棱锥的外接球就是正方体的外接球，A BCD -故球的半径的表面积. O R ==O 24π6πS =⋅=故选：D8. 已知正方体的棱长为分别为的中点，则下列结论： 1111ABCD A B C D -2,,E F 1,AB AC ①；11B C A E ∥②点到平面； E 11A B C ③三棱锥的体积为； 11A B CE -43④与AFCE 其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】对于①，利用线线平行的判定即可；对于②③利用三棱锥的体积公式及等体积法转化即可；对于④利用余弦定理即可. 【详解】如图所示，对于①，在正方体中易知,而,∴不平行，故①错误； 11//B C A D 111A D A E A ⋂=11B C A E ，对于②③，设点到平面的距离为，则E 11A B C d，111111111122223232E A B C C A B E A B CE V d V V ---=⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯=∴，②③正确；d =1143A B CE V -=对于④，取中点,连接，∥，即易知与的夹角可化为与的1A E H ,AH FH FH ∴CE AFCE AF HF夹角， 111,22AF A C HF EC AH =====由余弦定理可得 222cos sin 2AF HF AH AFH AFH AF HF +-∠==∠=⋅故⑤正确.综上正确的结论有三个， 故选:C二､多选题9. 对于任意两个向量，下列命题正确的是（ ）,a bA. B.a b a b +≤+ a b a b -≤- C.D. 若，则a b a b ⋅≤⋅ a b > a b > 【答案】AC 【解析】【分析】由向量的概念、加法、减法和数量积运算依次判断4个选项即可.【详解】对于A ，显然正确；对于B ，当为非零向量，且时，显然a b a b +≤+ ,a b a b =-r r，B 错误；20a b a a b -=>-=对于C ，，C 正确；对于D ，向量无法比较大小，D 错误.cos cos a b a b a b a b θθ⋅=⋅=⋅≤⋅故选：AC.10. 在棱长为2的正方体中，与交于点，则（ ） 1111ABCD A B C D -AC BD O A. 平面 1AD //1BOC B. 平面BD ⊥1COC C. 与平面所成的角为 1C O ABCD 45 D. 三棱锥的体积为 1C BOC -23【答案】ABD 【解析】【分析】根据线面平行判定定理判断A ，利用线面垂直判定定理判断B ，利用线面夹角的定义判断C ，根据等体积法判断D.【详解】∵平面平面111//,AD BC AD ⊄11,BOC BC ⊂1,BOC 平面，A 对；1∴AD //1BOC因为又平面，平面， ,BD CO ⊥1CC ⊥ABCD BD ⊂ABCD 所以平面11,,BD CC CD CC C ⊥= 1,CD CC ⊂1,COC 平面，B 对；BD ∴⊥1COC 因为平面与平面所成角为 1C C ⊥1,ABCD C O ABCD 1,C OC ∠因为，C 错； 1tan 1C OC ∠=≠145,C OC ∠∴≠ 因为，D 对. 11112212323C BOC C BOC V V --==⨯⨯⨯⨯= 故选：. ABD11. 已知函数的图象为，则下列结论中正确的是（ ） ()3sin22f x x x =C A. 图象关于直线对称 C 5π12x =B. 图象的所有对称中心都可以表示为（） C ππ,062k ⎛⎫+⎪⎝⎭k ∈ZC. 函数在上的最小值为()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 函数在区间上单调递减 ()f x ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】ABC 【解析】【分析】化简的解析式，根据三角函数的对称性、最值、单调性等知识确定正确答案. ()f x【详解】， ()3πsin23sin 223f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭A 选项，，所以图象关于直线对称，A 选项正确.5ππ5πππ2123632⨯-=-=C 5π12x =B 选项，由，解得， π2π3x k -=ππ26k x =+所以图象的所有对称中心都可以表示为（），B 选项正确. C ππ,062k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭k ∈Z C 选项，， πππ2π0,22333x x ≤≤-≤-≤所以当时，取得最小值C 选项正确. ππ2,033x x -=-=()f x 3⎛⨯= ⎝D 选项，， ππππ,2012623x x -≤≤-≤-≤所以函数在区间上单调递增，D 选项错误. ()f x ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：ABC12. 在中，角所对的边分别为，已知，则下列结ABC ,,A B C ,,a b c ()()()::4:5:6b c c a a b +++=论正确的是（ ）A. B.sin :sin :sin 7:5:3A B C =0CA CB ⋅<C. 若，则的面积是15D. 若，则外接圆半径是6c =ABC 8+=b c ABC 【答案】AD 【解析】【分析】设，，，，求出，，，根据正弦定4b c t +=5c a t +=6a b t +=0t >72a t =52b t =32c t =理可判断A 正确；根据平面向量数量积和余弦定理可判断B 不正确；根据余弦定理和三角形面积公式可判断C 不正确；根据余弦定理和正弦定理可判断D 正确. 【详解】设，，，， 4b c t +=5c a t +=6a b t +=0t >则，，， 72a t =52b t =32c t =对于A ，，故A 正确； 753sin :sin :sin ::::222A B C a b c t t t ==7:5:3=对于B ，，故B 不正CA CB ⋅ cos b a C =⋅⋅2222a b c ab ab+-=⋅222214925965()24448t t t t =+-=0>确；对于C ，若，则，，，6c =4t =14a =10b =所以，所以， 22219610036cos 221410a b c C ab +-+-==⨯⨯1314=sin C ===所以的面积是，故C 不正确； ABC11sin 141022ab C =⨯⨯=对于D ，若，则，则，则，，， 8+=b c 53822t t +=2t =7a =5b =3c =所以，， 2224925913cos 227514a b c C ab +-+-===⨯⨯sin C ===所以外接圆半径为.故D 正确. ABC2sin cC==故选：AD第II 卷（共90分）三､填空题13. 设i 为虚数单位，若复数，则z 的实部与虚部的和为______． 12iiz +=【答案】1 【解析】【分析】利用复数的四则运算化简复数，根据实部和虚部的概念即可求得结果. z 【详解】因为， ()()()12i i 12i 2i i i i z +⨯-+===-⨯-因此，复数的实部与虚部之和为. z 2(1)1+-=故答案为：114. 已知向量，则向量在向量的方向上的投影向量为__________.()()2,3,5,1a b == b a【答案】 (2,3)【解析】【分析】根据投影向量的定义结合题意直接求解即可.【详解】因为向量，()()2,3,5,1a b ==所以向量在向量的方向上的投影向量为b a，(2,3)a b a a a ⋅⋅== 故答案为：(2,3)15. 如图所示，CD 是某校园内一标志性雕像，小明同学为了估算该雕像的高度，在学校教学楼AB （高为米）与雕像之间的地面上的点M 处（B ，M ，D 三点共线）测得楼顶A 及雕像顶C的仰角分20)别是15°和60°，在楼顶A 处又测得雕塑顶C 的仰角为30°，假设AB ､CD 和点M 在同一平面内，则小明估算该雕像的高度为___________米．【答案】【解析】【分析】结合正弦定理、三角恒等变换等知识计算出正确答案.【详解】在中，，解得Rt ABM sin15AB AM=sin15AB AM == 其中()sin15sin 454o 534530sin cos 0c s sin 30=-=-， 12==在中，，ACM △301545,1801560105CAM AMC ∠∠=+==--=所以，由正弦定理得，，1804510530ACM ∠=--=sin sin AM CMACM CAM∠∠=故．sin 80sin CAM CM AM ACM ∠∠=⋅=在中，，所以Rt CDM △60CMD ∠=sin6080CD CM === 估算该雕像的高度为故答案为：16. 如图，在棱长为1的正方体中，点P 是线段上一动点（不与，B 重合），则下列命题中： 1A B 1A ①平面平面； 1AA P ⊥11D A P ②一定是锐角； 1APD ∠③；11DC D P ⊥④三棱锥的体积为定值． 11B D PC -其中真命题的有__________．【答案】①③④ 【解析】【分析】根据正方体特征可知平面，利用面面垂直的判定定理即可求得①正确；当是11A D ⊥1AA P P 的中点时是直角，即②错误；易知平面，利用线面垂直的性质即可得1A B 1APD ∠1DC ⊥11A BCD ，所以③正确；根据等体积法和线面平行判定定理可得三棱锥的体积为定值，即11DC D P ⊥11B D PC -可知④正确.【详解】对于①，由正方体性质可得平面，又平面，所以平面平面11A D ⊥1AA P 11A D ⊂11D A P 1AA P ⊥，即①正确；11D A P对于②，当是的中点时，P 1A B易得， 11AP AD D P =====满足，此时是直角，所以②错误；22211AP D P AD +=1APD ∠对于③，连接，如下图所示;11,D C DC由正方体可知，且平面，平面，11DC D C ⊥BC⊥11DCC D 1DC ⊂11DCC D 所以， 1BC DC ⊥又，平面，所以平面；1D C BC C = 1,D C BC ⊂11A BCD 1DC ⊥11A BCD 又平面，所以，即③正确；1D P ⊂11A BCD 11DC D P ⊥对于④，三棱锥的体积，又因为的面积是定值，11B D PC -1111B D PC P B D C V V --=11B D C 平面，所以点到平面的距离是定值，1//A B 11B D C P 11B D C 所以三棱锥的体积为定值,即④正确.11B D PC -故答案为：①③④四､解答题17. 已知两个非零向量与不共线，a b （1）若，证明：三点共线； (),28,3AB a b BC a b CD a b =+=+=- ,,A B D （2）若，且，求实数的值． ()()1,21,1,a b c a b λ===+ ，b c ⊥ λ【答案】（1）证明见解析（2） 32λ=-【解析】【分析】（1）根据条件，得到，再证明三点共线即可； 5BD AB =（2）根据向量坐标运算公式得到，根据进行坐标运算即可.c 0b c ⋅= 【小问1详解】根据条件可知，，555BD a b BC CD AB +===+ 所以，共线， AB BD又因为，有公共点B ，AB BD 所以A ，B ，D 三点共线．【小问2详解】因为， ()()1,21,1a b == ，所以，()()()1,2,1,2c a b λλλλλ=+=+=++ 因为，所以，解得， b c ⊥ 120b c λλ⋅=+++= 32λ=-所以实数的值为. λ32-18. 已知复数，.12i z =+223i z =-（1）计算.12z z ⋅（2）若，且复数的实部为复数的虚部，求复数.5z =z 12z z -z 【答案】（1）74i -（2）或.43i z =+43i z =-【解析】【分析】（1）由复数的乘法运算法则，即可求解；（2）设，由和，根据题意求得的值，即可求得复数.i z a b =+5z =124i z z -=,a b z 【小问1详解】由题意，复数，122,23i i z z =+=-可得212(2i)(23i)46i 2i 3i 74i z z ⋅=+-=-+-⋅=-【小问2详解】设，i(,R)z a b a b =+∈因为，所以，5z =2225a b +=由复数，所以复数的虚部为，12(2i)(23i)4i z z -=+--=12z z -4又因为复数的实部为复数的虚部，所以，z 12z z -4a =又由，解得，所以或.2225a b +=3b =±43i z =+43i z =-19. 已知函数． ()2cos 222x x x f x =（1）求的最小正周期；()f x （2）求在区间上的最大值． ()f x ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】（1）2π（2） 1-【解析】【分析】（1）根据二倍角的正弦公式、降幂公式以及两角和的正弦公式化简解析式，即可求得周期； （2）由的范围得到的范围，再根据正弦函数的图象可得结果. x π4x +【小问1详解】， 2()cos 222x x x f x =-1cos 2x x x x -=-=-πsin(4x =+所以的最小正周期.()f x 2πT =【小问2详解】 ∵，∴， ππ22x -≤≤4π4π3π4x -≤+≤当，即时，ππ42x +=π4x =()max 1f x =-20. 如图，是圆柱的一条母线，是圆柱的底面直径，在圆柱下底面圆周上，是线段的1AA AB C M 1AC 中点．已知，.14AA AC ==3BC =（1）求圆柱的体积；（2）求证：.BC AM ⊥【答案】（1）25π（2）证明见解析【解析】【分析】（1）计算出圆柱的底面半径，再利用柱体的体积公式可求得该圆柱的体积；（2）推导出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立. BC⊥1AAC 【小问1详解】解：设圆柱的底面半径为，r 因为，是圆柱的底面直径，在圆柱下底面圆周上，且，，则， AB C 4AC =3BC =ACBC ⊥由勾股定理可得，所以，， 25r AB ====52r =因此，该圆柱的体积为. 2215ππ425π2r AA ⎛⎫⋅=⨯⨯= ⎪⎝⎭【小问2详解】证明：因为平面，平面，所以，，1AA ⊥ABC BC ⊂ABC 1BC AA ⊥又因为，，、平面，所以，平面. AC BC ⊥1AC AA A =∩AC 1AA ⊂1AAC BC ⊥1AAC 因为平面，所以，. AM ⊂1AAC BC AM ⊥21. 已知直棱柱的底面ABCD 为菱形，且，为1111ABCD A B C D -2AB AD BD ===1AA =E 的中点．11B D（1）证明：平面；//AE 1BDC （2）求三棱锥的体积．1E BDC -【答案】（1）证明见解析（2）1【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定定理和性质，结合菱形的性质、线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据菱形的性质、直棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式进行求解即可.【小问1详解】连接AC 交BD 于点，连接，F 1C F 在直四棱柱中，，1111ABCD A B C D -11//AA CC 11=AA CC 所以四边形为平行四边形，即，，11AAC C 11//AC AC 11=AC A C 又因为底面ABCD 为菱形，所以点为AC 的中点，F 点为的中点，即点为的中点，所以，，E 11B D E 11AC 1//C E AF 1C E AF =即四边形为平行四边形，所以，1AFC E 1//AE C F 因为平面，平面，，所以平面；1C F ⊂1BDC AE ⊄1BDC //AE 1BDC 【小问2详解】在直棱柱中平面，平面，1111ABCD A B C D -1BB ⊥1111D C B A 11A C ⊂1111D C B A 所以，111BB AC ⊥又因为上底面为菱形，所以，1111D C B A 1111B D AC ⊥因为平面，1111111,,B D BB B B D BB =⊂I 11BB D D 所以平面，11A C ⊥11BB D D 因为在中，， ABD △2AB AD BD ===且点为BD 的中点，所以，即， F AF ==1C E =所以． 11111121332E BDC C BDE BDE V V S C E --==⋅=⨯⨯=△22. 的内角的对边分别为，已知，． ABC ,,A B C ,,a b c sin 0A A =2a b ==（1）求；c （2）设为边上一点，且，求的面积．D BC AD AC ⊥ABD △【答案】（1）4c =（2【解析】【分析】（1）先由求得，再由余弦定理求得即可； sin 0A A +=23A π=c（2）先由余弦定理求得，再求出，最后由面积公式求解即可. cos C =AD 【小问1详解】因为，所以，所以．在中，由余弦定理得sin 0A A =tan (0,)=∈A A π23A π=ABC ， 222844cos 3c c π=+-即，解得（舍去），．22240c c +-=6c =-4c =【小问2详解】因为，由余弦定理得，又，即是直2,4b a c ===222cos 2a b c C ab +-==AD AC ⊥ACD 角三角形，所以，cos AC DC C =则，又，则，所以的面积===DC AD 23A π=2326DAB πππ∠=-=ABD △为． 1sin 26S AB AD π=⋅⋅=。

高一学科素养测评数学注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名､考号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.5.考试时间120分钟，满分150分，考试结束后，只将答题卡交回.一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（智能题卡第67页9题改编）1. 复数的模为（ ）11i z =-A.B. 1C.D.12【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.z 【详解】因为，因此，()()1i 11i 1i 1i 211i 2z +==+-=-+z ==故选：A.（导学讲义第69页随堂演练3改编） 2. 下列说法正确的是（ ） A. 棱台的侧棱长都相等B. 棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台C. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形D. 棱台的两个底面相似 【答案】D 【解析】【分析】对于AD ，根据棱台的定义判断，对于B ，由棱锥的性质判断，对于C ，由棱柱的性质判断. 【详解】由棱台的定义知棱台的侧棱长不一定都相等，而棱台的两个底面相似，所以不正确，正A D确；若平面沿棱锥的高去截，则棱锥被平面截成的两部分可能都是棱锥，不正确； B 棱柱的侧棱都相等且相互平行，且侧面是平行四边形，但侧面并不一定全等，不正确， C 故选：D3. 如图所示，点为的边的中点，为线段上靠近点B 的三等分点，则（ ）E ABC ACF BE AF =A.B.C.D.1233BA BC +4233BA BC +5166BA BC -+2133BA BC -+【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算结合图像将用、表示，即可得出答案.AF BABC【详解】解：112()22323AF AE EF AC EB AC AB AE =+=+=+-1211223336AC AB AC AC BA =+-=-. 1251()6366BC BA BA BA BC =--=-+故选：C.4. 若的直观图如图所示，，，则顶点到轴的距离是（ ） OAB π2B A O '''∠=2B A ''=B xA. 2B. 4C.D.【答案】D 【解析】【分析】过点作轴交于点，求得到B '//B D y '''x 'D ¢B D ''=B x的距离即为，即可求解.2BD B D ''=【详解】如图（1）所示，在的直观图中，过点作轴交于点，OAB B '//B D y '''x 'D ¢又因为且，可得， π,22B B A O A ''''∠'==4B D A π'''∠=B D ''=作出直角坐标系中，作出的图形，如图（2）所示，OAB根据斜二测画法的规则，可得轴，即点到的距离即为. BD x ⊥B x 2BD B D ''==故选：D.（导学讲义第10页跟踪训练3改编）5. 设两个非零向量不共线，且，，，则（ ）21,e e 122AB e e =+ 1227BC e e =+()123CD e e =+ A. 三点共线 B. 三点共线 ,,A C D ,,A B C C. 三点共线 D. 三点共线,,B C D ,,A B D 【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量共线定理依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，，，1239AC AB BC e e =+=+ ()123CD e e =+不存在实数，使得成立，三点不共线，A 错误；∴λAC CD λ=,,A C D ∴对于B ，，，122AB e e =+ 1239AC AB BC e e =+=+不存在实数，使得成立，三点不共线，B 错误；∴λAB AC λ=,,A B C ∴对于C ，，，1227BC e e =+ ()123CD e e =+不存在实数，使得成立，三点不共线，C 错误；∴λBC CD λ=,,B C D ∴对于D ，，，122AB e e =+ 12510BD BC CD e e =+=+，三点共线，D 正确.15AB BD ∴=,,A B D ∴故选：D.6. 将一个大圆锥截去一个小圆锥得到圆台，圆台的上、下底面圆的半径之比为1:3，若大圆锥的高为15，则圆台的高为（ ）A. 10B.154C.D. 5454【答案】A 【解析】【分析】画出轴截面，利用圆锥与圆台的特征，列出关系式，求解即可． 【详解】由题意画出轴截面如下所示，可知，， 13CD SC AB SA ==15SA =可得，所以圆台的高为．5SC =15510CA SA SC =-=-=故选：A7. 在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，且ABC ()2tan tan c b B b A -=，则的形状为（ ） 23cos cos cos 24A C A C --=ABC A. 等腰或直角三角形 B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】B 【解析】【分析】根据同角关系以及正弦定理边角互化可得，由余弦二倍角公式以及和差角公式可得60A = ，即可判断三角形形状.60B = 【详解】由得, ()2tan tan c b B b A -=()2cos sin cos sin c b B A b A B -=由正弦定理得,()2sin sin cos sin sin i c s s n o C B B A B A B -=由于,所以， sin 0B ≠()2sin cos sin cos cos sin sin sin C A A B A B A B C =+=+=sin 0C ≠ 所以,由于为三角形的内角，所以, 1cos 2A =A 60A = 又得23coscos cos 24A C A C --=, ()()111cos 2cos cos cos cos sin sin cos 222A C A C A C A C A C --=⇒-=-⇒+=-进而可得,而为三角形内角，故， 1cos 2B -=-B 60B = 进而，故三角形为等边三角形， 60C = 故选：B8. 如图，已知圆锥的顶点为S ，AB 为底面圆的直径，点M ，C 为底面圆周上的点，并将弧AB 三等分，过AC 作平面，使，设与SM 交于点N ，则的值为（ ） α//SB ααSNSMA.B.C.D.13122334【答案】C 【解析】【分析】连接交于点，连接，根据线面平行得性质证明，再根据MB AC D ,,ND NA NC SB DN ∥可得，进而可得出答案. //MC AB DM MCDB AB=【详解】连接交于点，连接，则平面即为平面， MB AC D ,,ND NA NC NAC α因为，平面，平面， //SB αSMB DN α⋂=SB ⊂SMB 所以，//SB DN 因为AB 为底面圆的直径，点M ，C 将弧AB 三等分，所以，， 30ABM BMC MBC BAC ∠=∠=∠=∠=︒12MC BC AB ==所以且， //MC AB 12MC AB =所以， 12DM MC DB AB ==又，所以， //SB DN 12MN DM SN DB ==所以. 23SN SM =故选：C .【点睛】关键点点睛：根据线面平行得性质及平行线分线段成比例定理得到是解决本题得关MN DMSN DB=键.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（智能题卡第129页第10题）9. 一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，则下列结论正确的是（ ）A. 圆柱的侧面积为 22πRB. 圆锥的侧面积为22πR C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱､圆锥､球的体积之比为 3:1:2【答案】CD 【解析】【详解】根据圆柱，圆锥，球体的侧面积，表面积，和体积公式依次判断选项即可. 【点睛】对选项A ，圆柱的侧面积为，故A 错误； 22π24πR R R ⨯=对选项B ，=圆锥的侧面积为，故B 错误. 212π2R R ⨯=对选项C ，球的表面积为，故C 正确.24πR 对选项D ，圆柱的体积，231π22πV R R R =⨯=圆锥的体积，球的体积， 23212π2π33V R R R =⨯⨯=334π3V R =所以圆柱､圆锥､球的体积之比为，故D 正确.333242π:π:π3:1:233R R R =故选：CD（智能题卡第113页第2题改编）10. 设是不同的直线，是不同的平面，则下列命题不正确的是（ ） ,m n ,a βA. ，则 ,//m n n α⊥m α⊥B. ，则 //,m ββα⊥m α⊥C. ，则 ,ααβ⊥⊥m //m βD. ，则 ,m m αβ⊥⊥//αβ【答案】ABC 【解析】【分析】举例说明判断ABC ；利用线面垂直的性质判断D. 【详解】对于A ，在长方体中， 1111ABCD A B C D -平面为平面分别为直线，ABCD 1111,,A B B C α,m n 显然满足，而，此时不成立，A 不正确； ,//m n n α⊥//m αm α⊥对于B ，在长方体中，1111ABCD A B C D -平面，平面分别为平面为直线， ABCD 11CDD C 11,,A B αβm 显然满足，而，此时不成立，B 不正确；//,m ββα⊥//m αm α⊥对于C ，在长方体中，1111ABCD A B C D -平面，平面分别为平面为直线，ABCD 11CDD C 1,,CC αβm显然满足，而，此时不成立，C 不正确； ,ααβ⊥⊥m m β⊂//m β对于D ，因为，由线面垂直的性质知，，D 正确. ,m m αβ⊥⊥//αβ故选：ABC.11. 已知平面向量，，与的夹角为，则（ ）||1a =r ||2b =r a b π3A. ·= 1B.a b()a b b -⊥C.D. 在上的投影向量的模为||a b -=b a 32【答案】AC 【解析】【分析】根据平面向量的数量积的定义及数量积的运算律逐项判断.【详解】对于A ：，故A 正确；π1cos 12132a b a b ⋅=⋅=⨯⨯= 对于B ：∵，()21430a b b a b b -⋅=⋅-=-=-≠r r r r r r ∴与不垂直，故B 错误；a b - b对于C ：∵，222||21243a b a a b b -=-⋅+=-+=r r r r r r∴C 正确；||a b -=对于D ：在上的投影向量的模为，故D 错误.b a π1cos 2132b =⨯=r 故选：AC.12. 如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点，则以1111ABCD A B C D -S 11B D ,,E F G ,,BC DC SC 下结论正确的是（ ）A. 直线//平面 EG 11BDD BB. 平面//平面EFG 11BDD BC. 平面平面 EFG ⊥ABCDD. 与不垂直 SC BD 【答案】ABC 【解析】【分析】A 选项，连接，利用中位线可得出//，从而得到线面平行；B 选项，根据面面平行SB EG SB 的判定并结合A 选项，只需要再证一次线面平行即可；C 选项，根据B 选项的结论容易得出；D 选项，通过证明平面得出矛盾.BD ⊥SOC 【详解】如图，连接分别是的中点，//，又平面平面,,SB E G ,BC SC EG ∴SB SB ⊂ 11,BDD B EG ⊄，直线/平面，所以A 正确；11BDD B ∴EG 11BDD B 连接，分别是的中点，//. 又平面平面，SD ,F G ,DC SC FG ∴SD SD ⊂ 11,BDD B FG ⊄11BDD B //平面，又//平面，且平面平面，FG ∴11BDD B EG 11BDD B EG ⊂,EFG FG ⊂,EFG EG FG G ⋂=平面//平面，故B 正确；∴EFG 11BDD B 在正方体中显然侧棱底面，又平面，故平面平面，根1BB ⊥ABCD 1BB ⊂11BDD B 11BDD B ⊥ABCD 据B 选项：平面//平面，故平面平面，C 选项正确；EFG 11BDD B EFG ⊥ABCD 所以平面平面，故C 正确；，，所以平面EFG ⊥ABCD ,AC BD BD SO ⊥⊥AC SO O = BD ⊥，平面，故，故D 错误.SOC SC ⊂SOC SC BD ⊥故选：ABC三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.（课本第132页第4题（3）问）13. 已知两条相交直线a ，b ，且a //平面，则b 与的位置关系是____________. αα【答案】b //平面或b 与平面相交 αα【解析】 【分析】画出图形不难看出直线与平面的位置关系，平行或相交.b α【详解】由题意画出图形，当所在平面与平面平行时，与平面平行， ,a b αb α当所在平面与平面相交时，与平面相交. ,a b αb α故答案为: b //平面a 或b 与平面相交.α【点睛】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力，是基础题.14. 已知向量满足，且，则与的夹角为__________.,,a b c 3250a b c ++=||2,||4,||2a b c === a b 【答案】##90° π2【解析】【分析】利用向量数量积的运算律可得，结合已知、向量数量积定义求夹角即222912425a a b b c+⋅+=可.【详解】由题设，则，325a b c +=- 2222(32)912425a b a a b b c +=+⋅+= 所以，则，3696cos ,64100a b ++= cos ,0a b =又，则.,],0π[a b ∈ π,2a b = 故答案为：π2（智能题卡第124页15题）15. 正四棱锥S -ABCD ，点S 、A 、B 、C 、D 都在同一个球面上，则该球的体积为______． 【答案】 43π【解析】【详解】如图，过S 作SO 1⊥平面ABCD ，由已知=1.在Rt △SO 1C 中， 1112O C AC =∵ SC ，∴ ，∴ O 1S ＝O 1A ＝O 1B ＝O 1C ＝O 1D ，故O 1是过S ，A ，B ，11SO ==C ，D 点的球的球心，∴ 球的半径为r ＝1，∴ 球的体积为. 34433r π=π点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.（智能题卡第100页15题改编）16. 如图，在棱长为2的正方体中，点､分别是棱，的中点，是侧面1111ABCD A B C D -E F BC 1CC P 内（不含边界）一点，若平面，则线段长度的最小值是___________.11BCC B 1//A P AEF 1A P【解析】【分析】分别取棱的中点、，连接，易证平面平面，由题意知111,BB B C M N 1,MN BC 1//A MN AEF 点必在线段上，由此可判断P 位于线段中点处时最短，通过解直角三角形即可求出结P MN MN 1A OM 果．【详解】如下图所示，分别取棱的中点、，连接，111,BB B C M N 1,MN BC ∵分别为所在棱的中点，则，,,,M N E F 11//,//MN BC EF BC ∴，又平面， 平面，//MN EF MN ⊄AEF EF ⊂AEF ∴平面．//MN AEF ∵， ，∴四边形为平行四边形，1//AA NE 1AA NE =1AENA ∴，1//A N AE 又平面，平面，1A N ⊄AEF AE ⊂AEF ∴平面，又，1//A N AEF 1A N MN N = ∴平面平面．1//A MN AEF ∵是侧面内一点，且平面，P 11BCC B 1//A P AEF ∴点必在线段上．P MN在中，11Rt A B M 1A M ===同理，在中，可得，11Rt A B N 1A N =∴为等腰三角形． 1A MN 当点为中点时，即 ，此时最短；P MN O 1A P MN ⊥1A P又 1A O ===∴线段． 1A P．四､解答题：本题共6小题.共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （导学讲义第59页7题改编）17. 已知复数. ()()()222762i R z m m m m m =-++--∈（1）若复数为纯虚数，求实数的值；z m （2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围.z m 【答案】（1）32（2） 312m -<<【解析】【分析】（1）直接根据实部为零，虚部不为零列式计算即可；（2）直接根据实部大于零，虚部小于零列不等式计算即可；【小问1详解】，且复数为纯虚数， ()()()222762i R z m m m m m =-++--∈ z ， 22276020m m m m ⎧-+=∴⎨--≠⎩解得； 32m =【小问2详解】复数在复平面内对应的点在第四象限，z ， 22276020m m m m ⎧-+>∴⎨--<⎩解得. 312m -<<（课本第138页2题改编）18. 如图：在正方体中，为的中点.1111ABCD A B C D -M 1DD（1）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；1BD AMC（2）若为的中点，求证：平面平面.N 1CC //AMC 1BND 【答案】（1）直线平面，理由见解析1//BD AMC （2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用三角形中位线性质可得，由线面平行的判定可证得结论；1//OM BD （2）根据四边形为平行四边形可得，由线面平行判定可得平面，结合1CMD N 1//CM D N 1//D N AMC （1）中结论，由面面平行的判定可证得结论. 【小问1详解】直线平面，理由如下：1//BD AMC 连接，交于点，连接，BD AC O OM四边形为正方形，为中点，又为中点，，ABCD O ∴BD M 1DD 1//OM BD ∴平面，平面，平面.OM ⊂ AMC 1BD ⊄AMC 1//BD ∴AMC 【小问2详解】分别为中点，，又，,M N 11,DD CC 1D M CN ∴=1//D M CN 四边形为平行四边形，，∴1CMD N 1//CM D N ∴平面，平面，平面，CM ⊂ AMC 1D N ⊄AMC 1//D N ∴AMC 由（1）知：平面，又，平面，1//BD AMC 111BD D N D = 11,BD D N ⊂1BND 平面平面.∴//AMC 1BND19. 在中，内角，，所对的边分别为，，，． ABC A B C a b c 2ABC AC S ⋅=△8+=b c （1）求角的大小；A （2）求的最小值． a【答案】（1）3A π=（2）4【解析】【分析】（1，对其进行1cos 2sin 2A bc A =⨯化简、整理，即可求出结果. （2）由余弦定理可得，再结合，并利用基本不等式，即可求出结果.()222a b c bc bc =+--8+=b c 【小问1详解】， 2ABC AC S ⋅= △1cos 2sin 2A bc A =⨯整理得，所以 sin A A =tan A =又，所以． ()0,A π∈3A π=【小问2详解】解：因为，， 2222cos3a b c bc π=+-8+=b c 所以，()222643a b c bc bc bc =+--=-故，即， 22643162b c a +⎛⎫≥-⨯= ⎪⎝⎭4a ≥当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4． 4b c ==a 20. 如图，在中，点D 为边的中点，． ABC AB 14BE BC =（1）若，求；3,1,60AC BC ACB ==∠=︒||CD （2）若，求的值．CO CD λ= λ【答案】（1； （2）. 67【解析】【分析】（1）将用表示，再利用平面向量数量积的运算律以及定义求解作答. CD CA CB,（2）取平面向量的基底，再利用平面向量基本定理求解作答.{,}CA CB 【小问1详解】在中，点D 为边的中点，则， ABC AB 1()2CD CA CB =+ 因此 222221113||(2(31231cos 60444))CD CA CB CA CB =++⋅=++⨯⨯⨯︒= 所以||CD = 【小问2详解】在中，不共线，ABC CA CB ,因为，则，而在上，即有，14BE BC = 34CE CB = O AE ,R EO EA μμ=∈ ()CO CE CA CE μ-=- ，于是，而， 3(1)(1)4CO CA CE CA CB μμμμ-=+-=+ 22CO CD CA CB λλλ==+ 因此，解得， ()23124λμλμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩6737λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以的值为. λ67（导学讲义第98页4题改编）21. 如图，已知正方体.1111ABCD A B C D -（1）求证：直线平面；1BD ⊥1AB C （2）若正方体的棱长为2，求点到平面的距离.1111ABCD A B C D -B 1AB C 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）连接，由正方体的结构特征结合线面垂直性质，证得平面，再由线1,BD BC AC ⊥1BDD 面垂直性质和判定推理作答；（2）利用等体积法求解即可.【小问1详解】在正方体中，连接，如图，1111ABCD A B C D -1,BD BC因为四边形为正方形，则，ABCD AC BD ⊥而平面平面，即有， 1DD ⊥,ABCD AC ÌABCD 1DD AC ⊥又平面，11,,BD DD D BD DD =⊂ 1BDD 则平面，而平面，因此， AC ⊥1BDD 1BD ⊂1BDD 1BD AC ⊥同理平面，又平面，1B C ⊥11BC D 1BD ⊂11BC D 即有，因为平面， 11BD B C ⊥11,,AC B C C AC B C ⋂=⊂1AB C 所以平面；1BD ⊥1AB C 【小问2详解】在三棱锥中，，1B AB C -11AC AB CB ===则的面积， 1AB C V 111sin6022AB C S AC AB =⋅=⨯= 的面积， ABC 122ABC S AB BC =⋅=△设点到平面的距离为，B 1ABC h 由得：， 11B AB C B ABC V V --=111133AB C ABC S h S BB ⋅=⋅于是11ABC AB C S BB h S ⋅===所以点到平面. B 1AB C 22. 已知正方体的棱长为3，，分别为棱，上的动点，1111ABCD A B C D -E F BC CD ．若直线与平面所成角为．::CF DF CE EB =1CC 1EFC π6（1）求二面角的平面角的大小．1C EF C --（2）求线段的长度．EF （3）求二面角平面角的余弦值．11C BD A --【答案】（1） π3（2） （3） 13【解析】【分析】（1）确定是二面角的平面角，是直线与平面所成的1C MC ∠1C EF C --1CC M ∠1CC 1C EF 角，计算得到答案.（2）在中，，，得到答案. CEF △CM =2EF CM =（3）确定为二面角的一个平面角，再利用余弦定理计算得到答案.11AOC ∠11C BD A --【小问1详解】如图，作，垂足为，连接，作于，CM EF ⊥M 1C M 1CH MC ⊥H平面，平面，故，，， 1CC ⊥ABCD EF ⊂ABCD 1CC EF ⊥CM EF ⊥1CM CC C ⋂=平面，故平面，平面，故， 1,CM CC ⊂1MCC EF ⊥1MCC 1MC ⊂1MCC 1C M EF ⊥是二面角的平面角，1C MC ∠1C EF C --平面，故，，，平面， CH ⊂1MCC EF CH ⊥1CH MC ⊥1EF MC M = 1,EF MC ⊂1EFC 故平面，CH ⊥1EFC 是直线与平面所成的角，1CC M ∠1CC 1C EF 是直角三角形，由已知，所以． 1C CM 1π6CC M ∠=1π3C MC ∠=【小问2详解】在中，，CEF △CM =2EF CM ==【小问3详解】连接交于点，连接， AC BD O 11,AO C O在中，，在中，， 1B DC 1C O DB ⊥1A DB △1AO DB ⊥故即为二面角的一个平面角，11AOC ∠11C BD A --在中，，， 11AOC △11AO C O ==11A C =，即二面角平面角的余弦值为．222111111111cos 23AO C O AC AOC AO C O +-∠==⋅11C BD A --13。

高一数学试题说明：1．本试卷共4页，满分150分．2．请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效．一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知复数满足，则的虚部为（ ）z 3i 12i z ⋅=-z A . B. C. D.11-22-【答案】A【解析】【分析】由复数运算可求得，根据虚部定义可得结果.2i z =+【详解】由得：，的虚部为. 3i 12i z ⋅=-()3212i i 12i 12i 2i i i i z -⋅--====+--z ∴1故选：A.2. 某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：91 89 90 92 94 87 93 96 91 85 89 93 88 98 93则这组数据的40%分位数、70%分位数分别为（ ）A. 90，94B. 91，93C. 90.5，93D. 90.5，94.2 【答案】C【解析】【分析】将数据从小到大依次排列，而且15×40%=6，15×70%=10.5，故这组数据的40%分位数是第6、7个数的平均数，70%分位数是第11个数．【详解】将数据从小到大依次排列如下：85，87，88，89，89，90，91，91，92，93，93，93，94，96，98，而15×40%=6，15×70%=10.5，故这组数据的40%分位数是， 1(9091)90.52⨯+=这组数据的70%分位数是93，故选：D ．3. 设向量，，若与不共线，且点在线段上，，则1OA e = 2OB e = 1e 2e P AB :2AP PB = OP =（ ）A. B. C. D. 121233e e - 122133e e + 121233e e + 122133e e - 【答案】C【解析】 【分析】根据向量线性关系的几何意义得到的线性关系，即可知正确选项.,,OP OA OB 【详解】由， 2,,3OP OA AP AP AB AB OB OA =+==- ∴. 121122212()()3333OP OA OB OA e e e e e =+-=+-=+ 故选：C4. 已知，是两个互相垂直的单位向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） a b 2a b - bA.B. C. D. b 2b - 12b - b -【答案】B【解析】 【分析】依题意可得，根据数量积的运算律求出，最后根据投影向量的定义计算可0a b ⋅= ()2a b b -⋅ 得.【详解】解：因为，是两个互相垂直的单位向量，a b 所以，且，0a b ⋅= 1a b ==r r 所以，()222222a b b a b b a b b -⋅=⋅-=⋅-=- 所以向量在向量上的投影向量为. 2a b -r r b ()22a b b b b b b-⋅⋅=- 故选：B5. 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，则等于（ ）ABC A 22()a c b ac +-=BA.B. C. D.120︒60︒45︒30︒【答案】A【解析】 【分析】由题得，进而根据余弦定理求解即可.222a c b ac +-=-【详解】解：依题意，即，22()a c b ac +-=2222a c ac b ac ++-=所以， 222a c b ac +-=-所以，由于， 2221cos 22a cb B ac +-==-0180B <<︒所以．120B =︒故选：A6. 为了研究某种病毒与血型之间的关系，决定从被感染的人群中抽取样本进行调查，这些感染人群中O 型血、A 型血、B 型血、AB 型血的人数比为4:3:3:2，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本量为的样本，已知样本中O 型血的人数比AB 型血的人数多20，则（ ）n n =A. 100B. 120C. 200D. 240 【答案】B【解析】 【分析】由题知，再解方程即可得答案. 422043324332n n -=++++++【详解】解：因为感染人群中O 型血、A 型血、B 型血、AB 型血的人数比为4:3:3:2， 所以，抽取样本量为的样本中，O 型血的人数为， AB 型血的人数为， n 44332n +++24332n +++所以，，解得 422043324332n n -=++++++120n =故选：B7. 定义：24小时内降水在平地上积水厚度（）来判断降雨程度.其中小雨（），中雨（mm 10mm <），大雨（），暴雨（），小明用一个圆锥形容器接了24小时的10mm 25mm -25mm 50mm -50mm 100mm -雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ）A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨【答案】B【解析】 【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解. 【详解】由题意，一个半径为的圆面内的降雨充满一个底面半径为()200100mm 2=，高为的圆锥， ()20015050mm 2300⨯=()150mm 所以积水厚度，属于中雨. ()22150150312.5mm 100d ππ⨯⨯==⨯故选：B.8. 设，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题中正确的是（ ）m n αβA. 若，，，则m n ∥m α∥n β∥αβ∥B. 若，，，则m n ⊥m α∥n β∥αβ∥C. 若，，，则m n ∥m α∥n β⊥αβ⊥D. 若，，，则αβ⊥m α∥n β∥m n ∥【答案】C【解析】【分析】根据空间线面位置关系依次判断各选项即可得答案.【详解】解：对于A 选项，若，则有，，，故A 选项错误； //.//r l m l n l αβ⋂=m n ∥m α∥n β∥对于B 选项，若，，，则或相交，故B 选项错误；m n ⊥m α∥n β∥αβ∥对于C 选项，若，，，则，故C 选项正确；m n ∥m α∥n β⊥αβ⊥对于D 选项，若，，，则或相交，或异面，故D 选项错误.αβ⊥m α∥n β∥m n ∥故选：C二、多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，又选错的得0分，部分选对的得2分．）9. 已知，则下列命题正确的是（ ）z C ∈A. 若，则为纯虚数z z =z B. 若，则的虚部为1()i 12i z =-zC. （）且，则i z a =+a ∈R z =1a =D. 若，则的最大值为21z =1z +【答案】BD 【解析】【分析】根据复数的定义，以及复数的运算，以及复数的几何意义，分别判断选项.【详解】A.若，则是实数，故A 错误；z z =z B.若，则的虚部为1，故B 正确；()i 12i i 2z =-=+zC.，故C 错误；z ==1a =±D.若，则其复数对应的向量的终点在以原点为圆心的单位圆上，的几何意义表示，单1z =z OZ1z +位圆上的点与定点的距离，很显然，点与的距离最大，最大值是2，故D 正确. ()1,0-()1,0()1,0-故选：BD10. 某保险公司为客户定制了个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿5险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对个险种参保客户进行抽5样调查，得到如图所示的统计图．则以下说法正确的是（ ）A. 周岁以上的参保人数最少54B. 周岁人群参保的总费用最少1829～C. 丁险种更受参保人青睐D. 周岁及以上的参保人数占总参保人数的3020%【答案】AC【解析】【分析】根据统计图表逐个选项进行验证即可.【详解】由参保人数比例图可知，周岁以上参保人数最少，周岁以上的人群约占参保人群的543080%，故A 正确，D 错误;由参保险种比例图可知，丁险种更受参保人青睐，故 C 正确;由不同年龄段人均参保费用图可知，周岁人群人均参保费用最少，但是这类人所占比例为1829~20%，所以总费用不一定最少，故B 错误．故选：AC ．11. 如图，在棱长均相等的正四棱锥中，M 、N 分别为侧棱、的中点，O 是底面四边P ABCD -PA PB 形对角线的交点，下列结论正确的有（ ）ABCDA. 平面B. 平面平面 //PC OMN //PCD OMNC.D. 平面OM PA ⊥PD ⊥OMN 【答案】ABC【解析】 【分析】A 选项，由中位线证明线线平行，推导出线面平行；B 选项，在A 选项的基础上证明面面平行；从而推导出D 错误；由勾股定理的逆定理得到，从而得到.PA PC ⊥OM PA ⊥【详解】因为O 为底面四边形对角线的交点，ABCD 所以O 为的中点，由M 是的中点，可得，AC PA ∥PC MO 因为在平面，平面，PC ⊄OMN OM ⊂OMN 所以平面，A 正确；//PC OMN 同理可推得平面，//PD OMN 而，PC PD P ⋂=所以平面平面，B 正确；//PCD OMN 因为平面，故不可能垂直平面，D 错误；PD ⊂PCD PD OMN 设该正四棱锥的棱长为a ，则，,===PA PC a AC 所以，PA PC ⊥因为，∥PC MO 所以，C 正确. OM PA ⊥故选ABC ．12. 在棱长为1的正方体中，点为底面的中心，点是正方形内1111ABCD A B C D -O 1111D C B A E 11ABB A （含边界）一个动点，则下列结论正确的是（ ）A.BO AC ⊥B. 点存在无数个位置满足平面E OE A 1ACDC. 直线与平面 1CC 1ACDD. 三棱锥体积的最大值为1A ECD -13【答案】ABD【解析】 【分析】根据题意，分别作图，利用图象，根据线面垂直、面面平行、线面角定义、三棱锥的体积公式，可得答案.【详解】对于选项A ，根据题意作图如下：在正方体中，易知，1111ABCD A B C D -',OO AC AC BD ⊥⊥因为，所以平面，即，故A 正确； ''OO BD O = AC ⊥'OO B AC OB ⊥对于选项B ，根据题意作图如下：在正方体中，易知，1111ABCD A B C D -11//AD BC 因为平面，平面，所以平面，1BC ⊄1ACD 1AD ⊂1ACD 1//BC 1ACD 同理可得：平面，因为，所以平面平面， 1//BA 1ACD 11BA BC B = 11//BAC 1D AC 易知平面，当时，平面，故B 正确；OB ⊂11BAC 1E BA ∈//OE 1D AC 对于选项C ，根据题意作图如下：在正方体中，易知，1111ABCD A B C D -1,AC BD BB AC ⊥⊥因为，所以平面，即，同理可得：， 1BD BB B ⋂=AC ⊥1BDB 1AC B D ⊥11B D D C ⊥因为，所以平面，连接，易知， 1AC CD C = 1B D ⊥1ACD 1'D O 11'D O B D F = 则为直线与平面所成角，1DD F ∠1DD 1ACD 在中，， 1'Rt DD OA 111cos 'DD DD F D O ∠===因为，所以直线与平面.故C 错误； 11//CC DD 1CC 1ACD 对于选项D ，根据题意作图如下：在正方体中，1111ABCD A B C D -易知当点与点重合时，三棱锥体积取最大值，E 1B 1A ECD -设点到平面的距离为，则，1B 1ACD h 11sin 'h B D DD DDO =-∠由选项B 可知，可得 1cos 'DD O ∠=1sin 'DD O ∠=h =则三棱锥体积取最大值：1A ECD -，故D 正确. 1111333ACD V S h =⋅⋅==A 故选：ABD三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 已知复数（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于第_____象限． 32i 1i z +=-i z 【答案】一【解析】【分析】利用复数除法法则计算出，得到其在复平面内对应的点所在象限. 15i 22z =+【详解】，复数在复平面内对应的点的坐标为， ()()()(32i)1i 32i 15i 1i 1i 1i 22z +++===+--+z 15(,)22故复数在复平面内对应的点位于第一象限．z 故答案为：一．14. 已知一组样本数据x 1，x 2，…，x 10，且++…+=2020， 平均数 ，则该组数据的标准21x 22x 210x 11x =差为_________.【答案】9【解析】【分析】根据题意，利用方差公式计算可得数据的方差，进而利用标准差公式可得答案．【详解】根据题意，一组样本数据，且，1210,,...,x x x 22212102020x x x ++⋯+=平均数，11x =则其方差 ()()()()22221210110S x x x x x x =-+-+⋯+-， ()()222221210111020201011811010x x x x =++⋯+-=-⨯=则其标准差，9S ==故答案为：9.15. 已知向量，向量，若，则的值为______．()4,2a = ()2,1b k k =-+ a b a b +=- k 【答案】5【解析】【分析】由条件求得，再根据数量积的坐标表示求. 0a b ⋅=k 【详解】，两边平方后得，a b a b +=- 0a b ⋅= 即，解得：.()()42210k k -++=5k =故答案为：516. 三棱锥中，平面，，，则三棱锥的外接-P ABC PA ⊥ABC 2PA BC ==30BAC ∠= -P ABC 球表面积为__________．【答案】20π【解析】 【分析】先求出求出到平面的距离，由正弦定理求出的外接圆半径，即可求出球半径，得出表面积.ABC ABC A 【详解】如图，设外接球的球心为O ，设的外接圆圆心为，ABC A 1O 平面，， PA ⊥ABC 1112OO PA ∴==设的外接圆半径为，ABC A R 则由正弦定理可得，即， 224sin sin 30BC R BAC ===∠2R =则在中，1Rt OO A △OA ==则三棱锥的外接球表面积为.-P ABC 2420ππ⨯=故答案为：.20π四、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知一个圆锥的底面半径为2，母线长为4.（1）求圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角；（2.【答案】（1）π（2）S =侧【解析】【分析】（1）根据弧长公式计算可得；（2）设圆锥的底面半径为R ，圆柱的底面半径为，根据三角形相似求出，即可得解.r r 【小问1详解】因为圆锥的底面半径，母线长，2R =4l =设圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角为，则. α2π4ππ4R l α===【小问2详解】设圆锥的底面半径为R ，圆柱的底面半径为，r则，，2R OC ==4AC =AO ==易知 A A ∽AEB AOC，，圆柱的侧面积. ∴C AE EB AO O =2r =∴1r =∴S =侧18. 已知向量.,a b 满足||1,||2a b ==（1）若，求的值； ||a b += |23|a b -（2）若，求的夹角.()0a a b ⋅-= ,a b【答案】（1） （2） π3【解析】【分析】（1）将条件平方后，利用向量的数量积的运算求得向量的数量积，进而求得，从,a b 223a b - 而得到的值；|23|a b - （2）根据条件利用向量的数量积的运算求得，进而得解. 1cos ,2a b =【小问1详解】由两边平方得，又，||a b += 2225a b a b ++⋅= ||1,||2a b == 代入得，所以， 0a b ⋅= 222234912a ba b a b -=+-⋅ 4194040=⨯+⨯-=所以. |23|a b -=【小问2详解】 ，∴， 2()cos ,12cos ,0a a b a a b a b a b ⋅-=-⋅=-= 1cos ,2a b =又∵，∴. [],0,π∈ a b π,3a b = 19. 的内角的对边分别为，向量，，且.ABC A ,,A B C ,,a b c (1,)m a = (,cos cos )n a b C c B =+ m n ∥（1）求；a（2）若，求的周长. π,3A ABC =A ABC A 【答案】（1）1（2）3 【解析】【分析】(1)根据向量平行，再结合正弦定理，即可求出a.(2)先根据面积公式求出，再结合余弦定理，即可求解.1bc =解：因为，所以，根据正弦定理得， m n∥2cos cos b C c B a +=,即，即,sin cos sin cos sin B C C B a A +=()sin sin B C a A +=sin sin A a A =又，所以.()0,π,sin 0A A ∈≠1a =【小问2详解】,所以 1πsin 23ABC S bc ==A 1bc =根据余弦定理得，,即， 2222cos a b c bc A =+-()()2222133b c bc b c bc b c =+-=+-=+-所以，所以的周长为.2b c +=ABC A 3a b c ++=20. 社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用．某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在内，将笔试成200[]40,100绩按照、、、分组，得到如图所示频率分布直方图．[)40,50[)50,60L []90,100（1）求频率分布直方图中的值；a （2）求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数（每组数据以区间中点值为代表）；（3）若计划面试人，请估计参加面试的最低分数线．150【答案】（1）0.020a =（2）众数为，平均数为7574.5（3）65【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得的值；1a （2）利用频率分布直方图中最高矩形底边的中点值为众数，将矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全加可得应聘者笔试成绩的平均数；（3）计算出百分位数，可得结果.25%解：由题意有，解得.()0.0050.0100.0300.015101a a +++++⨯=0.020a =【小问2详解】 解：应聘者笔试成绩的众数为， 7080752+=应聘者笔试成绩的平均数为．450.05550.1650.2750.3850.2950.1574.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=【小问3详解】解：，所以，面试成绩的最低分为百分位数， 1500.75200= 25%前两个矩形面积之和为，前三个矩形的面积之和为，0.050.10.15+=0.150.20.35+=设百分位数为，则，解得.25%m ()0.15600.020.25m +-⨯=65m =因此，若计划面试人，估计参加面试的最低分数线为.1506521. 如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为平行四边形．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，M 、N 、Q 分别为PC 、CD 、AB 的中点．（1）求证：平面MNQ ∥平面PAD ；（2）求证：BC ∥l ．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由三角形的中位线定理、平行四边形的性质，结合线面平行和面面平行的判定，可得证明；（2）由线面平行的判定和性质，可得证明．【小问1详解】证明：因为M 、N 、Q 分别为PC 、CD 、AB 的中点，底面ABCD 为平行四边形，所以MN ∥PD ，NQ ∥AD ，又MN ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，则MN ∥平面PAD ，同理可得NQ ∥平面PAD ，又平面MNQ,,MN NQ N MN NQ =⊂ 所以平面MNQ ∥平面PAD .【小问2详解】证明：因为BC ∥AD ，BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以BC ∥平面PAD ，又BC ⊂平面PBC ，平面PBC ∩平面PAD ＝l ，所以BC ∥l ．22. 四边形ABCD 为正方形，平面，，． PD ⊥ABCD PD//QA 12QA AB PD ==（1）证明：平面PQ ⊥DCQ （2）求二面角的正切值．B PQC --【答案】（1）证明见解析（2． 【解析】【分析】（1）利用直线和平面垂直的判定定理证明即可；（2）二面角的大小等于二面角与二面角的差，利用二面角的定义B PQ C --B PQ D --C PQ D --分别求出二面角与二面角的大小，最后利用两角差的正切公式即可求解.B PQ D --C PQD --【小问1详解】证明：∵平面ABCD ，,平面，∴面面ABCD ,PD ⊥PD ⊂PQAD PQAD ⊥∵平面平面，面，,PQAD ABCD AD =CD ⊂ABCD CD AD ⊥∴平面，∴,CD ⊥PQAD CD PQ ⊥设，则，，四边形PQAD 是直角梯形，1AB =2PD =1QA AD ==则，∵，∴．PQ QD ==222PQ QD PD +=PQ QD ⊥又∵，平面,平面,且， PQ CD ⊥QD ⊂DCQ CD ⊂DCQ CD QD D ⋂=∴平面DCQ ；PQ ⊥【小问2详解】由（1）平面，∴，，PQ ⊥DCQ PQ DQ ⊥PQ CQ ⊥∴就是二面角的平面角,CQD ∠C PQ D --记，则CQD α∠=tan α==过作交延长线于，连接、,A AE PQ ⊥PQ E BE CE ∵,,,平面,平面, AB AD ⊥DP AB ⊥AD DP D = AD ⊂ADPQ DP ⊂ADPQ ∴平面,BA ⊥ADPQ ∵平面，∴,同理可证平面,PE ⊂ADPQ BA PE ⊥PE ⊥BAE ∴为二面角的平面角，记，则BAE ∠B PQ D --BEA β∠=tan β==于是就是二面角的平面角的大小，βα-B PQ C --则，tan tan tan()1tan tan βαβαβα--===+⋅∴二面角． B PQ C --。

参考答案1．C 2．B【解析】试题分析1．北半球纬度越向北度数越大，南半球越向南纬度数越大，向东增大的东经，向西增大的为西经，图所在的纬度向南增大，为南纬，经度向东增大，为东经，故甲所在纬度为30°S，110°E，答案选C。

2．首先判读出甲、乙、丙、丁四点的地理坐标分别是（110°E，30°S）、（105°E，30°N）、（120°W，40°N）、（120°W，50°S），再将这四点绘制到同一幅图中，根据劣弧定向法，判断出甲在乙的东南、乙在丙的西南、丙在丁的正北、丁在甲的东南。

故答案选B项。

【考点定位】经纬网的应用3．C 4．D【解析】3．根据大洲的经纬度范围，既位于北半球又位于西半球的大洲是北美洲，C对。

亚洲位于东半球，A错。

非洲、南美洲跨南北两半球，B、D错。

4．北回归线穿过的大洲有非洲、大洋洲、北美洲、亚洲，D对。

欧洲纬度较高，没有穿过，南美洲有南回归线穿过，A、B、C错。

【考点定位】世界七大洲的经纬度范围，世界重要纬线特征。

【名师点睛】了解东西半球、南北半球的划分界线。

根据世界七大洲所跨的经纬度范围，判断所在的半球。

了解世界重要纬线穿过的大洲名称。

5．B 6．D 【解析】5．图中通过纬度位置及地形剖面图则判断甲地位于印度半岛，印度半岛为热带季风气候，夏季盛行西南风，西坡为迎风坡，降水多；冬季盛行东北风，东坡为迎风坡，降水较多。

全区降水主要集中在夏季夏季盛行西南风，西南风从印度洋刮来携带大量水汽降水比冬季多。

故B正确。

6．问题是乙地区综合自然地理特征，应该从整体把握和分析。

乙地区最突出的综合自然地理特征是垂直差异显著，A、B、C为地形地势特征。

故D正确。

【考点定位】本题旨在考查东南亚自然地理特征，考查区域定位的能力7．D【解析】试题分析：中亚深居内陆，受海洋影响小，降水稀少，大多数河流属于内流河，如锡尔河、乌拉尔河、阿姆河；但有少数发源于高山冰雪融水的河流外流如海成为外流河，如额尔齐斯河，D正确。

七年级第二学期5月份月考数学试题含解析一、选择题1．二元一次方程组22x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解是（ ）A ．02x y =⎧⎨=-⎩B ．02x y =⎧⎨=⎩C ．2x y =⎧⎨=⎩D ．20x y =-⎧⎨=⎩2．某校七年级1班学生为了参加学校文化评比买了22张彩色的卡纸制作如下图形（每个图形由两个三角形和一个圆形组成），已知一张彩色卡纸可以剪5个三角形，或3个圆形，要使圆形和三角形正好配套，需要剪三角形的卡纸有x 张，剪圆形的卡纸有y 张，可列式为（ ）A ．2256x y x y +=⎧⎨=⎩B ．2265x y x y +=⎧⎨=⎩C ．22310x y x y +=⎧⎨=⎩D ．22103x y x y +=⎧⎨=⎩3．阅读理解：a ，b ，c ，d 是实数，我们把符号a b c d称为22⨯阶行列式，并且规定：a b a d b c c d=⨯-⨯，例如，323(2)2(1)62412=⨯--⨯-=-+=---．二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解可以利用22⨯阶行列式表示为xy D x DD y D⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，其中1122a D a b b =，1122x b a D c b =，1122y a c D a c =．问题：对于用上面的方法解二元一次方程组3137x y x y -=⎧⎨+=⎩时，下面的说法错误．．的是（ ）．A ．311013D -==B ．10x D =C ．方程组的解为12x y =⎧⎨=⎩D ．20y D =-4．如图，已知直线AB 、CD 被直线AC 所截，AB ∥CD ，E 是平面内任意一点（点E 不在直线AB 、CD 、AC 上），设∠BAE=α，∠DCE=β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC 的度数可能是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④5．8块相同的长方形地砖拼成面积为2400 cm 2的矩形ABCD （如图），则矩形ABCD 的周长为（ ）A ．200cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm6．小敏和小捷两人玩“打弹珠”游戏，小敏对小捷说：“把你珠子的一半给我，我就有30颗珠子”．小捷却说：“只要把你的12给我，我就有 30 颗”，如果设小捷的弹珠数为 x 颗，小敏的弹珠数为 y 颗，则列出的方程组正确的是( )A ．230260x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．230230x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．260230x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．260260x y x y +=⎧⎨+=⎩7．甲、乙两人共同解关于x ，y 的方程组，甲正确地解得乙看错了方程②中的系数c ，解得，则的值为（ ） A ．16B ．25C ．36D ．498．“若方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩，则方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是（ ）A ．48x y =⎧⎨=⎩B ．912x y =⎧⎨=⎩C ．1520x y =⎧⎨=⎩D ．9585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩9．为了节省空间，食堂里的饭碗一般是摆起来存放的，如果6只饭碗（注：饭碗的大小形状都一样，下同）摆起来的高度为15cm ，9只饭碗摆起来的高度为21cm ，食堂的碗橱每格的高度为35cm ，则一摞碗最多只能放( )只． A ．20B ．18C ．16D ．1510．有若干只鸡和兔关在一个笼子里，从上面数，有30个头，从下面数，有84条腿﹐问笼中各有几只鸡和兔？若设笼中有x 只鸡，y 只兔，则列出的方程组为（ ） A ．30284x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．302484x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．304284x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．30284x y x y +=⎧⎨+=⎩二、填空题11．方程组251036238x y z x z ⎧+-=⎪⎨⎪-=⎩__________________三元一次方程组（填“是”或“不是”）．12．将108个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，一种可以装9个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，则不同的装法总数为_____．13．已知a 、b 、c 分别是一个三位数的百位、十位、个位上的数字，且a 、b 、c 满足（|a ﹣2|+|a ﹣4|）（|b |+|b ﹣3|）（|c ﹣1|+|c ﹣6|）＝60，则这个三位数的最大值为_____． 14．某科技公司推出一款新的电子产品，该产品有三种型号.通过市场调研后，按三种型号受消费者喜爱的程度分别对A 型、B 型、C 型产品在成本的基础上分别加价20%，30%，45%出售(三种型号的成本相同).经过一个季度的经营后，发现C 型产品的销量占总销量的37，且三种型号的总利润率为35%.第二个季度，公司决定对A 型产品进行升级，升级后A 产品的成本提高了25%，销量提高了20%；B 、C 产品的销量和成本均不变，且三种产品在二季度成本基础上分别加价20%，30%，45%出售，则第二个季度的总利润率为______. 15．小明、小红和小光共解出了100道数学题目，每人都解出了其中的60道题目，如果将其中只有1人解出的题目叫做难题，2人解出的题目叫做中档题，3人都解出的题目叫做容易题，那么难题比容易题多________道.16．一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是24x y =⎧⎨=⎩和24x y =-⎧⎨=-⎩，试写出符合要求的方程组________（只要填写一个即可）． 17．如图，在长方形ABCD 中，放入六个形状，大小相同的长方形（即空白的长方形），AD ＝12cm ，FG ＝4cm ，则图中阴影部分的总面积是 __________2cm .18．王虎用100元买油菜籽、西红柿种子和萝卜籽共100包.油菜籽每包3元，西红柿种子每包4元，萝卜籽1元钱7包，问王虎油菜籽、西红柿、萝卜籽各买了_______包. 19．如图，三个全等的小矩形沿“横﹣竖﹣横”排列在一个边长分别为5.7，4.5的大矩形中，图中一个小矩形的周长等于_____．20．若方程123x y -=的解中，x 、y 互为相反数，则32x y -=_________ 三、解答题21．阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想． （1）解方程组321327x y x y -=-⎧⎨+=⎩，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为 ； （2）如何解方程组()()()()3523135237m n m n ⎧+-+=-⎪⎨+++=⎪⎩呢？我们可以把m +5，n +3看成一个整体，设m +5＝x ，n +3＝y ，很快可以求出原方程组的解为 ； （3）由此请你解决下列问题： 若关于m ，n 的方程组722am bn m bn +=⎧⎨-=-⎩与351m n am bn +=⎧⎨-=-⎩有相同的解，求a 、b 的值．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(,)A a b ，(,)B m n 分别是第三象限与第二象限内的点，将A ，B 两点先向右平移h 个单位，再向下平移1个单位得到C ，D 两点（点A 对应点C ）．（1）写出C ，D 两点的坐标；（用含相关字母的代数式表示）（2）连接AD ，过点B 作AD 的垂线l ，E 是直线l 上一点，连接DE ，且DE 的最小值为1．①若1b n =-，求证：直线l x ⊥轴；②在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，这条直线上有无数个点，每一个点的坐标(,)x y 都是这个方程的一个解．在①的条件下，若关于x ，y 的二元一次方程px qy k +=（0pq ≠）的图象经过点B ，D 及点(,)s t ，判断s t +与m n +是否相等，并说明理由．23．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（a,a ），点B 的坐标（b,c ），且a 、b 、c 满足34624a b c a b c +-=⎧⎨-+=-⎩.(1)若a 没有平方根，判断点A 在第几象限并说明理由.(2)连AB 、OA 、OB ，若△OAB 的面积大于5而小于8，求a 的取值范围；(3)若两个动点M （2m,3m-5），N(n-1,-2n-3)，请你探索是否存在以两个动点M 、N 为端点的线段MN ∥AB ，且MN=AB ．若存在，求出M 、N 两点的坐标；若不存在，请说明理由. 24．a 取何值时(a 为整数），方程组2420x ay x y +=⎧⎨-=⎩的解是正整数，并求这个方程组的解．25．已知：平面直角坐标系中，A (a ，3)、B (b ，6)、C (c ，1)，a 、b 、c 都为实数，并且满足3b －5c ＝－2a －18，4b －c ＝3a ＋10 (1) 请直接用含a 的代数式表示b 和c(2) 当实数a 变化时，判断△ABC 的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围(3) 当实数a 变化时，若线段AB 与y 轴相交，线段OB 与线段AC 交于点P ，且S △PAB ＞S △PBC ，求实数a 的取值范围.26．善于思考的小军在解方程组2534115x y x y +=⎧⎨+=⎩①②时,采用了一种“整体代换”的解法:将方程②变形:4105x y y ++=，即()2255x y y ③++=把方程①代入③,得2351y y ⨯+=∴=-，把1y =-代入①,得4x =，∴原方程组的解为41x y =⎧⎨=-⎩请你解决以下问题:模仿小军的“整体代换法”解方程组3259419x y x y ；-=⎧⎨-=⎩(2)已知x y 、满足方程组22223212472836x xy y x xy y ⎧-+=⎨++=⎩①，②求224x y +与xy 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】分析：方程组利用加减消元法求出解即可． 详解：22x y x y +⎧⎨--⎩＝①＝②，①+②得：2x=0， 解得：x=0，把x=0代入①得：y=2， 则方程组的解为02x y ⎧⎨⎩＝＝， 故选B ．点睛：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．2．A解析：A【分析】设需要剪三角形的卡纸有x张，剪圆形的卡纸有y张，根据彩色卡纸的总张数为22张其剪出三角形的数量为圆的2倍，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解．【详解】设需要剪三角形的卡纸有x张，剪圆形的卡纸有y张，根据题意得：22 56x yx y+=⎧⎨=⎩．故选：A．【点睛】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．3．D解析：D【分析】分别根据行列式的定义计算可得结论．【详解】A、3113D-==3×3-（-1）×1=10，计算正确，不符合题意；B、D x=1×3-（-1）×7=10，计算正确，不符合题意；C、方程组的解：x=102011010y==，=2，计算正确，不符合题意．D、D y=3×7-1×1=20，计算错误，符合题意；故选：D．【点睛】此题考查二元一次方程组的解，理解题意，直接运用公式计算是解题的关键．4．D解析：D【分析】根据E点有4中情况，分四种情况讨论分别画出图形，根据平行线的性质与三角形外角定理求解.【详解】E点有4中情况，分四种情况讨论如下：由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，∴∠AE 1C=β-α过点E 2作AB 的平行线，由AB ∥CD ， 可得∠1=∠BAE 2=α,∠2=∠DCE 2=β ∴∠AE 2C=α+β由AB ∥CD ，可得∠BOE 3=∠DCE 3=β ∵∠BAE 3=∠BOE 3+∠AE 3C ， ∴∠AE 3C=α-β 由AB ∥CD ，可得∠BAE 4+∠AE 4C+∠DCE 4=360°， ∴∠AE 4C=360°-α-β∴∠AEC 的度数可能是①α+β，②α﹣β，③β-α，④360°﹣α﹣β，故选D.【点睛】此题主要考查平行线的性质与外角定理，解题的关键是根据题意分情况讨论.5．A解析：A 【分析】设长方形地砖的长为xcm ，宽为ycm ，依据图形中所示的小长方形的长与宽之间的关系，长＝3×宽，以及长方形的面积＝24008cm 2，可以列出方程组，解方程组即可求得x ，y 的值，再求矩形ABCD 的周长． 【详解】解：设长方形地砖的长为xcm ，宽为ycm ，根据题意得x 324008yxy =⎧⎨=÷⎩， 解之得x 3010y =⎧⎨=⎩，则矩形ABCD 的周长为2×（60+40）＝200cm ． 故选A ． 【点睛】本题考查了图形与二元一次方程组，正确找到数量关系列出方程组是解题的关键.6．D解析：D 【解析】 【分析】根据题中的等量关系：①把小捷的珠子的一半给小敏，小敏就有30颗珠子； ②把小敏的12给小捷，小捷就有30颗.列出二元一次方程组即可. 【详解】解：根据把小捷的珠子的一半给小敏，小敏就有30颗珠子，可表示为y+2x=30，化简得2y+x=60；根据把小敏的12给小捷，小捷就有30颗.可表示为x+y2=30，化简得2x+y=60. 故方程组为：260260x y x y +=⎧⎨+=⎩故选：D. 【点睛】本题首先要能够根据题意中的等量关系直接表示出方程，再结合答案中的系数都是整数，运用等式的性质进行整理化简.7．B解析：B 【解析】 【分析】将x =2，y =﹣1代入方程组中，得到关于a 与b 的二元一次方程与c 的值，将x =3，y =1代入方程组中的第一个方程中得到关于a 与b 的二元一次方程，联立组成关于a 与b 的方程组，求出方程组的解得到a 与b 的值，即可确定出a ，b 及c 的值． 【详解】 把代入得：，解得：c =4，把代入得：3a +b =5，联立得：，解得：，则（a +b +c ）2=（2﹣1+4）2=25．故选B ． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．8．D解析：D 【解析】∵方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩ 的解是34x y =⎧⎨=⎩，∴111222985985a b c a b c +=⎧⎨+=⎩，两边都除以5得：11122298559855a b c a b c ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 对照方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩可得，方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为9585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故选D ．【点睛】本题主要考查了方程组的解法，正确观察已知方程的系数之间的关系是解题的关键．9．D解析：D 【解析】 【详解】试题分析：设1个碗的高度为xcm ，没加一个碗的高度增加的高度为ycm ，列方程组515{821x y x y +=+= ，解得52x y =⎧⎨=⎩，设可摆k 个碗，则5+2k≤35，解得：k≤15， 故选D ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是根据题意，找出合适的等量关系，列方程组求解．10．B解析：B 【分析】设这个笼中的鸡有x 只，兔有y 只，根据“从上面数，有30个头；从下面数，有84条腿”列出方程组即可． 【详解】解：若设笼中有x 只鸡，y 只兔，根据题意可得：30 2484 x yx y+=⎧⎨+=⎩，故选：B．【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用；根据题意列出方程组是解决问题的关键．二、填空题11．是【分析】根据三元一次方程组的定义可知，由两个或两个以上方程组成，该如果方程组内含有三个未知数，且未知数的次数都是一次的，就是三元一次方程组，由此判断作答即可．【详解】解：如果方程组中含有三解析：是【分析】根据三元一次方程组的定义可知，由两个或两个以上方程组成，该如果方程组内含有三个未知数，且未知数的次数都是一次的，就是三元一次方程组，由此判断作答即可．【详解】解：如果方程组中含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是一，并且方程组中一共有两个或两个以上的方程，这样的方程组叫做三元一次方程组．所以251036238x y zx z⎧+-=⎪⎨⎪-=⎩是三元一次方程组；故填：是．【点睛】本题主要考查三元一次方程组的定义．12．【分析】先列出方程10x+9y+6z＝108，再根据x，y，z是正整数，进行计算即可得出结论．【详解】解：设装10个苹果的有x盒，装9个苹果的有y盒，装6个苹果的有z盒，∵每种规格都要有且解析：【分析】先列出方程10x+9y+6z＝108，再根据x，y，z是正整数，进行计算即可得出结论．【详解】解：设装10个苹果的有x盒，装9个苹果的有y盒，装6个苹果的有z盒，∵每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，∴0＜x＜10，0＜y≤11，0＜z≤15，且x，y，z都是整数，则10x+9y+6z＝108，∴x＝1089610--y z＝3(3632)10--y z，∵0＜x＜10，且为整数，∴36﹣3y﹣2z是10的倍数，即：36﹣3y﹣2z＝10或20或30，当36﹣3y﹣2z＝10时，y＝2623-z，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴26﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，∴z＝232（舍）或z＝10或z＝172（舍）或z＝7或z＝112（舍）或z＝4或z＝52（舍）或z＝1，当z＝10时，y＝2，x＝3，当z＝7时，y＝4，x＝3，当z＝4时，y＝8，x＝3当z＝1时，y＝8，x＝3，当36﹣3y﹣2z＝20时，y＝1623-z，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴16﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，∴z＝132（舍）或z＝5或z＝72（舍）或z＝2或z＝12（舍）当z＝5时，y＝2，x＝6，当z＝2时，y＝4，x＝6，当36﹣3y﹣2z＝30时，y＝623-z，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴6﹣2z＝3，∴z＝32（舍）即：满足条件的不同的装法有6种，故答案为6．【点睛】此题主要考查了三元一次方程，整除问题，分类讨论时解本题的关键．13．536【分析】由绝对值的性质可得|a﹣2|+|a﹣4|≥2，|b|+|b﹣3|≥3，|c﹣1|+|c﹣6|≥5，因为a、b、c是整数，且(|a﹣2|+|a﹣4|)(|b|+|b﹣3|)(|c﹣1解析：536【分析】由绝对值的性质可得|a﹣2|+|a﹣4|≥2，|b|+|b﹣3|≥3，|c﹣1|+|c﹣6|≥5，因为a、b、c是整数，且(|a﹣2|+|a﹣4|)(|b|+|b﹣3|)(|c﹣1|+|c﹣6|)=60，分三种情况讨论：①|a﹣2|+|a﹣4|=4，|b|+|b﹣3|=3，|c﹣1|+|c﹣6|=5；②|a﹣2|+|a﹣4|=2，|b|+|b﹣3|=6，|c ﹣1|+|c﹣6|=5；③|a﹣2|+|a﹣4|=2，|b|+|b﹣3|=3，|c﹣1|+|c﹣6|=10，求出a、b、c的值，即可得出最大三位数.【详解】∵|a﹣2|+|a﹣4|≥2，|b|+|b﹣3|≥3，|c﹣1|+|c﹣6|≥5，∴(|a﹣2|+|a﹣4|)(|b|+|b﹣3|)(|c﹣1|+|c﹣6|)≥30.∵a、b、c是整数，(|a﹣2|+|a﹣4|)(|b|+|b﹣3|)(|c﹣1|+|c﹣6|)=60，∴有三种情况：①|a﹣2|+|a﹣4|=4，|b|+|b﹣3|=3，|c﹣1|+|c﹣6|=5；②|a﹣2|+|a﹣4|=2，|b|+|b﹣3|=6，|c﹣1|+|c﹣6|=5；③|a﹣2|+|a﹣4|=2，|b|+|b﹣3|=3，|c﹣1|+|c﹣6|=10.∴要使三位数最大，首先要保证a尽可能大.当|a﹣2|+|a﹣4|=4时，解得：a=1或a=5；当|a﹣2|+|a﹣4|=2时，解得：2≤a≤4；∴a=5.当a=5时，|b|+|b﹣3|=3，|c﹣1|+|c﹣6|=5.解得：0≤b≤3，1≤c≤6，∴由a、b、c组成的最大三位数为536.故答案为：536.【点睛】本题考查了三元一次方程、绝对值的意义以及绝对值方程；熟练掌握绝对值的几何意义，利用不等式和数轴解题是关键.14．34%【分析】由题意得出A型、B型、C型三种型号产品利润率分别为20%，30%，45%，设A型、B型、C型三种型号产品原来的成本为a，A产品原销量为x，B产品原销量为y，C产品原销量为z，由题意解析：34%【分析】由题意得出A型、B型、C型三种型号产品利润率分别为20%，30%，45%，设A型、B 型、C型三种型号产品原来的成本为a，A产品原销量为x，B产品原销量为y，C产品原销量为z，由题意列出方程组，解得13x zy z⎧=⎪⎨⎪=⎩；第二个季度A产品成本为(1+25%)a＝54a，B、C的成本仍为a，A产品销量为(1+20%)x＝65x，B产品销量为y，C产品销量为z，则第二个季度的总利润率为：5620%30%45%455645a x ay aza x ay az⨯⨯++⨯++＝34%.【详解】解：由题意得：A型、B型、C型三种型号产品利润率分别为20%，30%，45%，设A型、B型、C型三种型号产品原来的成本为a，A产品原销量为x，B产品原销量为y，C产品原销量为z，由题意得：20%ax30%ay45%az35%a(x y z)3(x y z)z7++=++⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得：13x zy z⎧=⎪⎨⎪=⎩，第二个季度A产品的成本提高了25%，成本为：(1+25%)a＝54a，B、C的成本仍为a，A产品销量为(1+20%)x＝65x，B产品销量为y，C产品销量为z，∴第二个季度的总利润率为：5620%30%45%455645a x ay aza x ay az⨯⨯++⨯++＝0.30.30.451.5x y zx y z++++＝10.30.30.45311.53z z zz z z⨯++⨯++＝34%，故答案为：34%.【点睛】本题考查了利用二元一次方程组解实际问题，正确理解题意，设出未知数列出方程组是解题的关键.15．【分析】本题可设x道难题，y道中档题，z道容易题，因为小明、小林和小颖共解出100道数学题，所以x+y+z=100①，又因每人都解出了其中的60道，只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档解析：【分析】本题可设x 道难题，y 道中档题，z 道容易题，因为小明、小林和小颖共解出100道数学题，所以x+y+z =100①，又因每人都解出了其中的60道，只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，所以有x+2y+3z =180②，①×2-②，得x-z =20，所以难题比容易题多20道．【详解】设x 道难题，y 道中档题，z 道容易题。

智才艺州攀枝花市创界学校上杭一中二零二零—二零二壹第二学期5月月考高一数学试卷一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.每一小题给出的四个选项里面，有且只有一个是正确的，请将你认为正确答案序号填涂在答题卡相应位置上〕21x >的解集是〔〕A.{}1x xB.{}|1x x >±C.{}|11x x -<<D.{1x x 或者}1x <- 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次不等式求解即可 【详解】不等式x 2>1， 移项得：x 2﹣1>0，因式分解得：〔x +1〕〔x ﹣1〕>0， 那么原不等式的解集为{x |x ＜-1或者x>1}． 应选：D ．【点睛】此题考察了一元二次不等式的解法，考察了转化的思想，是一道根底题，也是高考中常考的计算题．ABC ∆中，2a =，那么cos cos b C c B +=〔〕A.1 C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】通过余弦定理把cos,cosC B用三边表示出来代入待求值式化简即可．【详解】b cos C＋c cos B＝b·2222a b cab+-＋c·2222c a bac+-＝222aa＝a＝2.【点睛】在边角混合出现的式子中，可用正弦定理或者余弦定理化边为角或者化角为边，然后用相应的公式化简变形．3.在明朝程大位算法统宗中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，一共灯三百八十一，请问尖头〔最少一层〕几盏灯？〞〔〕A.6B.5C.4D.3【答案】D【解析】【分析】设塔顶的a1盏灯，由题意{a n}是公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式列出方程，能求出结果．【详解】设塔顶的1a盏灯，由题意{a n}是公比为2的等比数列，∴S7=381=71121-2a，解得13a=．应选：D．【点睛】此题考察等比数列的首项的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意等比数列的求和公式的合理运用．l 是直线，α，β是两个不同的平面〔〕A.假设l α，l β，那么αβB.假设l α，l β⊥，那么αβ⊥C.假设αβ⊥，lα⊥，那么l β D.假设αβ⊥，lα，那么l β⊥【答案】B 【解析】【分析】.【详解】对于A ．假设l∥α，l∥β，那么α∥β或者α，β相交，故A 错；对于B ．假设l∥α，l⊥β，那么由线面平行的性质定理，得过l 的平面γ∩α＝m ，即有m∥l，m⊥β，再由面面垂直的断定定理，得α⊥β，故B 对；对于C ．假设α⊥β，l⊥α，那么l∥β或者l ⊂β，故C 错；对于D ．假设α⊥β，l∥α，假设l 平行于α，β的交线，那么l∥β，故D 错． 应选:B ． 【点睛】5.圆心和圆上任意两点可确定的平面有〔〕 A.0个 B.1个C.2个D.1个或者无数个 【答案】D 【解析】 【分析】按三点是否一共线讨论，利用平面的根本性质及推论能求出结果． 【详解】假设圆心和圆上两点一共线，那么可确定无数个平面假设圆上任意三点不一共线，∴由不一共线三点确定一个平面，得圆上任意三点可确定的平面有且只有1个． 应选：D ．【点睛】此题考察平面个数确实定，是根底题，解题时要认真审题，注意平面的根本性质及推论的合理运用．{}n a 中，12a =，11ln 1n n a a n+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，那么10a =〔〕A.2ln10+B.29ln10+C.210ln10+D.11ln10+【答案】A 【解析】 【分析】由得a n +1﹣a n ＝ln 1n n ⎛+⎫⎪⎝⎭由此利用累加法能求出a n ,那么10a 可求 【详解】在数列{a n }中，a 1＝2，11ln 1n n a a n +⎛⎫=++⎪⎝⎭∴a n +1﹣a n ＝ln 1n n ⎛+⎫⎪⎝⎭∴a n ＝a 1+〔a 2﹣a 1〕+〔a 3﹣a 2〕+…+〔a n ﹣a n ﹣1〕＝2+ln 2+33lnln2ln 22121n n n n ⎛⎫++=+⨯⨯⨯⎪--⎝⎭＝2+lnn ，故10a =2+ln10应选：A【点睛】此题考察数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．ABC ∆中，假设22cos 2Ab bc =+，那么ABC ∆为〔〕 A.等边三角形B.等腰直角三角形C.等腰或者直角三角形D.直角三角形【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式化简整理后表示出cos A ，再利用余弦定理表示出cos A ，整理后得到a 2+c 2＝b 2，根据勾股定理的逆定理即可判断出此三角形为直角三角形．【详解】∵22cos2A b c b += ∴1cos 1cA b+=+,∴cos A=c b，又根据余弦定理得：cos A=2222b c a bc+-，∴b 2+c 2﹣a 2＝2c 2，即a 2+c 2＝b 2， ∴△ABC 为直角三角形． 应选：D ．【点睛】此题考察了三角形形状的判断，考察二倍角的余弦公式，余弦定理，以及勾股定理的逆定理；纯熟掌握公式及定理是解此题的关键．x ，y 满足211x y+=，且不等式2220x y m m +--<有解，那么实数m 的取值范围为〔〕 A.(,2)(4,)-∞-⋃+∞ B.(,4)(2,)-∞-+∞C.(2,4)-D.(4,2)-【答案】B 【解析】 【分析】 由题222x ym m <++有解，利用根本不等式求x+2y 的最小值即可求解【详解】由题222x ym m <++有解()21422448y xx y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当y=2,x=4等号成立那么228m m +>，解得实数m 的取值范围为(,4)(2,)-∞-+∞应选：B【点睛】此题考察根本不等式的应用，考察不等式有解问题，二次不等式解法，准确计算是关键，是根底题A 点，两个观察所分别位于C ，D 两点，ACD ∆为等边三角形，且DC =，当目的出如今B 点〔A ，B 两点位于CD 两侧〕时，测得45CDB ∠=︒，75BCD ∠=︒，那么炮兵阵地与目的的间隔约为〔〕 A.1.1km B.2.2kmC.2.9kmD.3.5km【答案】C 【解析】 【分析】由三角形内角和定理得出∠CBD ＝60°，在△BCD 中，由正弦定理得出BD ，再在△ABD 中利用余弦定理解出AB 即可． 【详解】如下列图：∠CBD ＝180°﹣∠CDB ﹣∠BCD ＝180°﹣45°﹣75°＝60°，在△BCDsin 75BD ︒=故BD=2sin 75 在△ABD 中，∠ADB ＝45°+60°＝105°， 由余弦定理，得AB 2＝AD 2+BD 2﹣2AD •BD cos105° ∴5232.9km ．故炮兵阵地与目的的间隔为2.9km 应选：C【点睛】此题考察解三角形的实际应用，考察正余弦定理的灵敏运用，准确运算是关键，是中档题P ABCD -中，2PA =，直线PA 与平面ABCD 所成的角为60，E 为PC 的中点，那么异面直线PA 与BE 所成角为〔〕A.90B.60C.45D.30【答案】C 【解析】 试题分析：连接AC BD ，交于点O ，连接OE OP ，.因为E 为PC 中点，所以OE PA ，所以OEB∠即为异面直线PA与BE 所成的角．因为四棱锥CDP -AB 为正四棱锥，所以PO ABCD ⊥平面，所以AO 为PA 在面ABCD 内的射影，所以PAO ∠即为PA 与面ABCD 所成的角，即60PAO ∠=︒，因为2PA =，所以11OA OB OE===，．所以在直角三角形EOB 中45OEB ∠=︒，即面直线PA 与BE 所成的角为45应选C ．考点：直线与平面所成的角，异面直线所成的角【名师点睛】此题考察异面直线所成角，直线与平面所成的角，考察线面垂直，比较根底连接AC ，BD 交于点O ，连接OE ，OP ，先证明∠PAO 即为PA 与面ABCD 所成的角，即可得出结论．1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点E ，F ，G 分别为棱AB ，1AA ，11C D 的中点，以下结论中，正确结论的序号是____〔把所有正确结论序号都填上〕. ①过E ，F ，G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形； ②11B D ∥平面EFG ； ③1BD ⊥平面1ACB ；④二面角1D AC D --；⑤四面体11ACB D 的体积等于312a .A.①④B.①③C.③④D.③⑤【答案】B 【解析】 【分析】 逐项分析即可【详解】对①，截面为如下列图的正六边形，故正确；对②11B D 与平面1ACB 相交，故错误；对③，由题1BD ⊥,AC 又1AB ⊥面11A D B ，故1BD ⊥1AB ，所以1BD ⊥平面1ACB ，正确；对④，取AC 中点O,连接11,,,,D O DO D OAC DO AC ⊥⊥故1D OD ∠为二面角的平面角，又112,,tan 22D D a DO D OD ==∴∠=，故错误 对⑤，四面体11ACB D 的体积V=1111111123314323A AB DC CBD D CAD B CAB a a V V V V V a a 正方体--------=-⨯⨯=，故错误应选：B【点睛】此题考察空间几何体的性质，线面平行与垂直的断定，考察推理与计算才能，是中档题{}n a 满足：12a =，111n na a+=-，记数列{}n a 的前n 项之积为n P .，那么2021P =〔〕A.12-B.12C.1D.-1【答案】D 【解析】根据递推公式，考虑数列的周期性，通过详细计算前几项，发现周期性并利用．【详解】12a =，111n na a +=-,得2341,1,22a a a ==-= 数列的项开场重复出现，呈现周期性，周期为3． 且31P =-，2021＝3×673+2，所以2021P =〔﹣1〕673121a a ⨯=-应选：D ．【点睛】此题考察数列的递推公式，数列的函数性质﹣﹣周期性．发现周期性并利用是此题的关键． 二.填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，请将最简答案填写上在答题卡相应位置上〕ABD 中，60A ∠=︒，3AB =，2AD =，那么sin ABD ∠=______【答案】7【解析】 【分析】由余弦定理可得BD 的值，由正弦定理可得sin∠ABD 的值．【详解】由余弦定理可得：BD ==∴由正弦定理可得：sin∠ABD AD sin DAB BD ⋅∠==【点睛】此题主要考察了余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考察了计算才能和转化思想，属于根底题．{}n a 的前n 项2nSn n =+，假设(5)n n b n a =-，那么n b 的最小值为______【解析】 【分析】先由2n S n n =+求得n a ，再利用二次函数求n b 的最小值【详解】当12,2n n n n a S S n -≥=-=，当n=1,12a =满足上式，故n a =2n,(5)n n b n a =-=()25n n -,对称轴为n=52,故n=2或者3时，n b 最小值为-12故答案为-12【点睛】此题考察由n S 求数列通项，考察数列最值，考察计算才能，是根底题，注意n 为正整数，是易错题P 的线段PA ，PB ，PC 两两垂直，P 在平面ABC 外，PH ⊥平面ABC 于H ，那么垂足H 是三角形ABC 的__心【答案】垂直 【解析】 【分析】根据PA ，PB ，PC 两两垂直得线面垂直，最后由线面垂直可证明线线垂直，得垂足H 是△ABC 的垂心．从而选出答案．【详解】∵PH ⊥平面ABC 于H ， ∴PH ⊥BC ， 又PA ⊥平面PBC ， ∴PA ⊥BC ， ∴BC ⊥平面PAH ，∴BC ⊥AH ，即AH 是三角形ABC 的高线， 同理，BH 、CH 也是三角形ABC 的高线，∴垂足H 是△ABC 的垂心．故答案为垂【点睛】此题主要考察了三角形五心，以及空间几何体的概念、空间想象力，线面垂直的判断，属于根底题．P ABC -，4PA PB BC AC ====，3PC AB ==，那么它的外接球的外表积为______. 【答案】412π 【解析】【分析】构造长方体，使得面上的对角线长分别为4,4,3，那么长方体的对角线长等于三棱锥P ﹣ABC 外接球的直径，即可求出三棱锥P ﹣ABC 外接球的外表积．【详解】∵三棱锥P ﹣ABC 中，4PA PB BC AC ====，3PC AB ==，∴构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，4，3，那么长方体的对角线长等于三棱锥P ﹣ABC 外接球的直径．设长方体的棱长分别为x ，y ，z ，那么x 2+y 2＝16，y 2+z 2＝16，x 2+z 2＝9，∴x 2+y 2+z 2＝412∴三棱锥P ﹣ABC 外接球的直径为2R== ∴三棱锥P ﹣ABC 外接球的外表积为24142R ． 故答案为：412π． 【点睛】此题考察球内接多面体，考察学生的计算才能，构造长方体，利用长方体的对角线长等于四面体外接球的直径是关键．二、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤.〕 1111ABCD A B C D -.〔1〕假设1AD AA =，求异面直线1BD 和1B C 所成角的大小；〔2〕假设三个相邻侧面的对角线长分别为1，求外接球的外表积. 【答案】〔1〕2π；〔2〕3π 【解析】【分析】〔1〕连接1BC 证明1B C ⊥面11BD C 即可求解〔2〕利用长方体外接球心在体对角线中点求解即可【详解】〔1〕连接1BC ，因为1AD AA =，那么1B C ⊥1BC ，又11C D ⊥面11BCC B 故11C D ⊥1B C ，又1111C D BC C ⋂=，故1B C ⊥面11BD C ，所以1B C ⊥1BD∴异面直线1BD 和1B C 所成角的大小为2π； 〔2〕设长方体的棱长分别为a,b,c,那么222222123a b c b a c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩那么2223a b c ++=，那么2R=，那么外接球的外表积为243R ππ=【点睛】此题考察异面直线的夹角，线面垂直的断定，长方体的外接球，考察空间想象才能，是根底题 〔1〕解关于x 的不等式()42f x a ≤-；〔2〕假设对任意的[1,4]x ∈，()10f x a ++≥恒成立，务实数a 的取值范围. 【答案】〔Ⅰ〕答案不唯一，详细见解析.〔Ⅱ〕4a ≤【解析】【分析】〔Ⅰ〕将原不等式化为()20x a x （）--≤，分类讨论可得不等式的解.〔Ⅱ〕假设1x =那么a R ∈；假设(]1,4x ∈，那么参变别离后可得411a x x ≤-+-在(]1,4恒成立，利用根本不等式可求411x x -+-的最小值，从而可得a 的取值范围. 【详解】〔Ⅰ〕()24f x a ≤-+即()2220x a x a -++≤，∴()20x a x （）--≤，〔ⅰ〕当2a <时，不等式解集为{}2x a x ≤≤；〔ⅱ〕当2a=时，不等式解集为{}2x x =； 〔ⅲ〕当2a >时，不等式解集为{}2x x a ≤≤，综上所述，〔ⅰ〕当2a <时，不等式解集为{}2x a x ≤≤； 〔ⅱ〕当2a=时，不等式解集为{}2； 〔ⅲ〕当2a >时，不等式解集为{}2x x a ≤≤.〔Ⅱ〕对任意的[]()1410x f x a ，，∈++≥恒成立，即()2250x a x a -+++≥恒成立，即对任意的[]1,4x ∈，()2125a x x x -≤-+恒成立.①1x =时，不等式为04≤恒成立，此时a R ∈；②当](1,4x ∈时，2254111x x a x x x -+≤=-+--，14x <≤，∴013x <-≤，∴4141x x -+≥=-， 当且仅当411x x -=-时，即12x -=，3x =时取“=〞,4a ∴≤. 综上4a ≤. 【点睛】含参数的一元二次不等式，其一般的解法是：先考虑对应的二次函数的开口方向，再考虑其判别式的符号，其次在判别式于零的条件下比较两根的大小，最后根据不等号的方向和开口方向得到不等式的解．含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变别离，把恒成立问题转化为不含参数的新函数的最值问题，后者可用函数的单调性或者根本不等式来求.ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3cos 22cos 2A A +=. 〔1〕求角A 的大小；〔2〕假设1a =，求ABC ∆的周长l 的取值范围.【答案】〔1〕3A π=；〔2〕(2,3]l ∈【解析】【分析】〔1〕运用二倍角公式以及特殊角的三角函数值，即可得到A ；〔2〕运用正弦定理，求得b ，c ，再由两角差的正弦公式，结合正弦函数的图象和性质，即可得到范围．【详解】〔1〕根据二倍角公式及题意得212cos 2cos 2A A +=，即24cos 4cos 10A A -+=， ∴2(2cos 1)0A -=，.∴1cos 2A =.又∵0A π<<，∴3A π=. 〔2〕根据正弦定理，sin sin sin a b c A B C ==，得b B =，c C =. ∴11sin )l b c B C =++=++，∵3A π=，∴23B C π+=， ∴21sin sin3l B B π⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎦12sin 6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ∵203B π<<，∴5666B πππ<+<， ∴1sin 126B π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，∴(2,3]l ∈. 【点睛】此题考察三角函数的化简和求值，考察正弦定理和二倍角公式及两角和差的正弦公式，考察正弦函数的图象和性质，考察运算才能，属于中档题．20.如图，ABC ∆1AE =，AE ⊥平面ABC ，平面BCD ⊥平面ABC ，BD CD =，且BD CD ⊥.〔1〕求证：AE 平面BCD ；〔2〕求证：平面BDE ⊥平面CDE .【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕取BC 的中点M ，连接DM ，由平面BCD ⊥平面ABC ，得DM ⊥平面ABC ，再证AE DM 即可证明〔2〕证明CD ⊥平面BDE ，再根据面面垂直的断定定理从而进展证明．【详解】〔1〕取BC 的中点M ，连接DM ，因为BD CD =，且BD CD ⊥，2BC=. 所以1DM=，DM BC ⊥.又因为平面BCD ⊥平面ABC ， 所以DM⊥平面ABC ，又AE ⊥平面ABC ，所以AE DM 又因为AE ⊄平面BCD ，DM ⊂平面BCD ，所以AE平面BCD . 〔2〕连接AM ，由〔1〕知AE DM ， 又1AE =，1DM =，所以四边形DMAE 是平行四边形，所以DE AM .又ABC ∆是正三角形，M 为BC 的中点，∴AM BC ⊥， 因为平面BCD ⊥平面ABC ，所以AM ⊥平面BCD ，所以DE ⊥平面BCD .又CD ⊂平面BCD ，所以DE CD ⊥.因为BD CD ⊥，BD DE D ⋂=，所以CD⊥平面BDE . 因为CD ⊂平面CDE ，所以平面BDE ⊥平面CDE .【点睛】此题考察了线面平行的证明，线面垂直，面面垂直的断定定理，考察空间想象和推理才能，熟记定理是关键，是一道中档题．{}n a 的前项n 和为n S ，假设对于任意的正整数n 都有23n n S a n =-.〔1〕求数列{}n a 的通项公式.〔2〕求数列13n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【答案】〔1〕323n na =⋅-；〔2〕1(1)(1)222n n n n S n ++=-⋅+- 【解析】【分析】〔1〕利用a n +1＝S n +1﹣S n 即可得到a n +1＝2a n +3，转化为a n +1+3＝2〔a n +3〕，利用等比数列的通项公式即可得出其通项；〔2〕由123n n na n n =⋅-，利用错位相减法求{}2n n ⋅的和即可求解 【详解】〔1〕∵23nn S a n =-，∴1123(1)n n S a n ++=-+ 两式相减，得1123(1)23n nn n S S a n a n ++-=-+-+ ∴11223n n n a a a ++=--，即123n n a a +=+，∴()1323n n a a ++=+， 即1323n n a a ++=+1123S a =-即1123a a =-，∴13a = ∴首项136a +=，公比2q .∴1623323n n n a -=⋅-=⋅- 〔2〕∵123n n na n n =⋅-， ∴()231222322(123)n n S n n =⋅+⋅+⋅++⋅-++++，()2341212223222(123)n n S n n +=⋅+⋅+⋅++⋅-++++， ()23122222(123)n n n S n n +-=++++-⋅+++++， ∴1(1)(1)222n n n n S n ++=-⋅+-. 【点睛】此题综合考察了递推关系求等比数列的通项公式及其前n 项和公式、“错位相减法〞、“分组求和〞、等差数列求和，准确计算是关键，属于中档题．22.如图，四边形ABCD 是正方形，PAB ∆与PAD ∆均是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，点F 是PB 的中点，点E 是边BC 上的任意一点.〔1〕求证：AF EF ⊥： 〔2〕在平面AEF 中，是否总存在与平面PAD 平行的直线？假设存在，请作出图形并说明：假设不存在，请说明理由.【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕证明AF ⊥平面PBC 即可证明〔2〕取AB ，CD 的中点G ，H ，连接FG ，GH ，FH ，得平面FGH平面PAD ，由线面平行的性质定理可求 【详解】〔1〕证明：∵F 是PB 的中点，且PA AB =，∴AF PB ⊥. ∵PAB ∆与PAD ∆均是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，∴PA AD ⊥，PA AB ⊥. ∵AD AB A =，AD ⊂平面ABCD ，AB 平面ABCD ，∴PA ⊥平面ABCD∵BC⊂平面ABCD ，∴PA BC ⊥.∵四边形ABCD 是正方形， ∴BCAB ⊥.∵PA AB A =，PA ⊂平面PAB ，AB 平面PAB ，∴BC ⊥平面PAB .∵AF ⊂平面PAB ，∴BC AF ⊥. ∵PB BCB ⋂=，PB ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴AF ⊥平面PBC . ∵EF ⊂平面PBC ，.∴AF EF ⊥.AB ，CD 的中点G ，H ，连接FG ，GH ，FH ，那么平面FGH平面PAD 设AE GH M ⋂=，连接MF ，因为平面FGH 平面PAD ，那么PD ∥平面FGH ，那么PD MF那么直线MF 即为所求直线.【点睛】此题考察线面垂直的断定定理及性质，面面平行的断定及性质定理，熟记定理，准确推理是关键，是根底题。

七年级数学第二学期5月份月考测试卷含解析一、选择题1．若21x y =⎧⎨=⎩是关于x 、y 的方程组27ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解，则(a+b)(a ﹣b)的值为( )A ．15B ．﹣15C ．16D ．﹣162．某校七年级1班学生为了参加学校文化评比买了22张彩色的卡纸制作如下图形（每个图形由两个三角形和一个圆形组成），已知一张彩色卡纸可以剪5个三角形，或3个圆形，要使圆形和三角形正好配套，需要剪三角形的卡纸有x 张，剪圆形的卡纸有y 张，可列式为（ ）A ．2256x y x y+=⎧⎨=⎩B ．2265x y x y +=⎧⎨=⎩C ．22310x y x y+=⎧⎨=⎩D ．22103x y x y+=⎧⎨=⎩3．把方程23x y -=改写成用含x 的式子表示y 的形式，正确的是（ ） A ．23x y =+B ．32y x +=C ．23y x =-D ．32y x =-4．为了迎接体育中考，体育委员到体育用品商店购买排球和实心球，若购买2个排球和3个实心球共需95元，若购买5个排球和7个实心球共需230元，若设每个排球x 元，每个实心球y 元，则根据题意列二元一次方程组得（ ） A ．329557230x y x y +=⎧⎨+=⎩ B ．239557230x y x y +=⎧⎨+=⎩ C ．329575230x y x y +=⎧⎨+=⎩ D ．239575230x y x y +=⎧⎨+=⎩5．12312342345345145125x x x a x x x a x x x a x x x ax x x a ++=⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪++=⎪⎩，其中1a ，2a ，3a ，4a ，5a 是常数，且12345a a a a a >>>>，则1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的大小顺序是( )A ．12345x x x x x >>>>B ．42135x x x x x >>>>C ．31425x x x x x >>>>D ．53142x x x x x >>>>6．已知二元一次方程3x-y=5,给出下列变形①y=3x+5②53y x +=③-6x+2y=-10,其中正确的是（ ） A ．②B ．②③C ．①③D ．①②7．新运算“△”定义为(a ，b )△(c ，d )＝(ac +bd ，ad +bc )，如果对于任意数a ，b 都有(a ，b )△(x ，y )＝(a ，b )，则(x ，y )＝（ ） A ．(0，1)B ．(0，﹣1)C ．(﹣1，0)D ．(1，0)8．小明去买2元一支和3元一支的两种圆珠笔（一种圆珠笔至少买一支），恰好花掉30元，则购买方案有（ ） A ．4种B ．5种C ．6种D ．7种9．已知方程组222x y kx y +=⎧⎨+=⎩的解满足x+y=2，则k 的算术平方根为（ ）A ．4B ．﹣2C ．﹣4D ．210．由方程组71x m y m +⎧⎨-⎩＝＝可得出x 与y 的关系式是（ ）A ．x+y=8B ．x+y=1C ．x+y=-1D ．x+y=-8二、填空题11．三位先生A 、B 、C 带着他们的妻子a 、b 、c 到超市购物，至于谁是谁的妻子现在只能从下列条件来推测：他们6人，每人花在买商品的钱数（单位：元）正好等于商品数量的平方，而且每位先生都比自己的妻子多花48元钱，又知先生A 比b 多买9件商品，先生B 比a 多买7件商品．则先生C 购买的商品数量是________．12．2018年10月21日，重庆市第八届中小学艺术工作坊在渝北区空港新城小学体育馆开幕，来自全重庆市各个区县共二十多个工作坊集中展示了自己的艺术特色．组委会准备为现场展示的参赛选手购买三种纪念品，其中甲纪念品5元/件，乙纪念品7元/件，丙纪念品10元/件．要求购买乙纪念品数量是丙纪念品数量的2倍，总费用为346元．若使购买的纪念品总数最多，则应购买纪念品共_____件． 13．已知x m y n =⎧⎨=⎩是方程组20234x y x y -=⎧⎨+=⎩的解，则3m +n ＝_____． 14．小明、小红和小光共解出了100道数学题目，每人都解出了其中的60道题目，如果将其中只有1人解出的题目叫做难题，2人解出的题目叫做中档题，3人都解出的题目叫做容易题，那么难题比容易题多________道. 15．关于x ，y 的方程组223321x y m x y m +=+⎧⎨-=-⎩的解满足不等式组5030x y x y ->⎧⎨-<⎩，则m 的取值范围_____．16．我校团委组织初三年级50名团员和鲁能社区36名社区志愿者共同组织了义务植树活动，为了便于管理分别把50名同学分成了甲、乙两组，36名志愿者分成了丙、丁两组.甲、丙两组到A 植树点植树，乙、丁两组到B 植树点植树，植树结束后统计植树成果得知：甲组人均植树量比乙组多2棵，丙、丁两组人均植树量相同，且是乙组人均植树量的2.5倍，A 、B 两个植树点的人均植树量相同，且比甲组人均植树量高25%.已知人均植树量为整数，则我校学生一共植树________棵.17．在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植中药材川香、贝母、黄连增加经济收人，经过一段时间，该村已种植的川香、贝母、黄连面积之比4:3:5，是根据中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量，将在该村余下土地上继续种植这三种中药材，经测算需将余下土地面积的916种植黄连，则黄连种植总面积将达到这三种中药材种植总面积的1940．为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到3:4，则该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是____．18．有甲、乙、丙三种货物，若购买甲3件、乙7件、丙1件，共315元；若购买甲4件、乙10件、丙1件，共420元，现在购买甲、乙、丙各1件，共需_____元．19．已知关于x 、y 的方程组343x y ax y a +=-⎧-=⎨⎩，其中31a -≤≤，有以下结论：①当2a =-时，x 、y 的值互为相反数；②当1a =时，方程组的解也是方程4x y a +=-的解；③若1x ≤，则 4.l y ≤≤其中所有正确的结论有______(填序号)20．端午节是中华民族的传统节日，节日期间大家都有吃粽子的习惯．某超市去年销售蛋黄粽、肉粽、豆沙粽的数量比为3：5：2．根据市场调查，超市决定今年在去年销售量的基础上进货，肉粽增加20%、豆沙粽减少10%、蛋黄粽不变．为促进销售，将全部粽子包装成三种礼盒，礼盒A 有2个蛋黄粽、4个肉粽、2个豆沙粽，礼盒B 有3个蛋黄粽、3个肉粽、2个豆沙粽，礼盒C 有2个蛋黄粽、5个肉粽、1个豆沙粽，其中礼盒A 和C 的总数不超过200盒，礼盒B 和C 的总数超过210盒．每个蛋黄粽、肉粽、豆沙粽的售价分别为6元、5元、4元，且A 、B 、C 三种礼盒的包装费分别为10元、12元、9元（礼盒售价为粽子价格加上包装费）．若这些礼盒全部售出，则销售额为_____元．三、解答题21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(,)A a b ，(,)B m n 分别是第三象限与第二象限内的点，将A ，B 两点先向右平移h 个单位，再向下平移1个单位得到C ，D 两点（点A 对应点C ）．（1）写出C ，D 两点的坐标；（用含相关字母的代数式表示）（2）连接AD ，过点B 作AD 的垂线l ，E 是直线l 上一点，连接DE ，且DE 的最小值为1．①若1b n =-，求证：直线l x ⊥轴；②在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，这条直线上有无数个点，每一个点的坐标(,)x y 都是这个方程的一个解．在①的条件下，若关于x ，y 的二元一次方程px qy k +=（0pq ≠）的图象经过点B ，D 及点(,)s t ，判断s t +与m n +是否相等，并说明理由．22．如图①，在平面直角坐标系中，点A 在x 轴上，直线OC 上所有的点坐标(,)x y ，都是二元一次方程40x y -=的解，直线AC 上所有的点坐标(,)x y ，都是二元一次方程26x y +=的解，过C 作x 轴的平行线，交y 轴与点B ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）如图②，点M 、N 分别为线段BC ，OA 上的两个动点，点M 从点C 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点N 从点O 以每秒1．5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t 秒，且0＜t ＜4，试比较四边形MNAC 的面积与四边形MNOB 的面积的大小．23．平面直角坐标系中，A （a ，0），B （0，b ），a ，b 满足2(25)220a b a b ++++-=，将线段AB 平移得到CD ，A ，B 的对应点分别为C ，D ，其中点C 在y 轴负半轴上．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）如图1，连AD 交BC 于点E ，若点E 在y 轴正半轴上，求BE OEOC-的值； （3）如图2，点F ，G 分别在CD ，BD 的延长线上，连结FG ，∠BAC 的角平分线与∠DFG 的角平分线交于点H ，求∠G 与∠H 之间的数量关系．24．规定:二元一次方程ax by c +=有无数组解，每组解记为(),P x y ,称(),P x y 为亮点，将这些亮点连接得到一条直线，称这条直线是亮点的隐线，答下列问题：(1) 已知()()()1,2,4,3,3,1A B C ---，则是隐线326x y +=的亮点的是 ; (2) 设()10,2,1,3P Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭是隐线26t x hy +=的两个亮点，求方程()22144265t x t h y ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭中,x y 的最小的正整数解; (3)已知,m n 是实数， 且27m n +=,若(),P m n 是隐线23x y s -=的一个亮点，求隐线s 中的最大值和最小值的和.25．学校捐资购买了一批物资120吨打算支援山区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆）400500600（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？（2）若该学校决定用甲、乙、丙三种汽车共15辆同时参与运送，你能求出参与运送的三种汽车车辆数吗？（甲、乙、丙三种车辆均要参与运送） 26．（1）阅读下列材料并填空：对于二元一次方程组4354{336x y x y +=+=，我们可以将x ，y 的系数和相应的常数项排成一个数表4354()1336，求得的一次方程组的解{x a y b== ，用数表可表示为10)01ab （．用数表可以简化表达解一次方程组的过程如下，请补全其中的空白：从而得到该方程组的解为x= ，y= ．（2）仿照（1）中数表的书写格式写出解方程组236{2x y x y +=+=的过程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】把方程组的解代入方程组可得到关于a、b的方程组，解方程组可求a，b，再代入可求（a+b）（a-b）的值．【详解】解：∵21xy=⎧⎨=⎩是关于x、y的方程组27ax bybx ay+=⎧⎨+=⎩的解，∴2227a bb a＝，＝+⎧⎨+⎩解得14ab-⎧⎨⎩＝，＝∴（a+b）（a-b）=（-1+4）×（-1-4）=-15．故选B．【点睛】本题考查方程组的解的概念，掌握方程组的解满足方程组中的每一个方程是解题关键．2．A解析：A【分析】设需要剪三角形的卡纸有x张，剪圆形的卡纸有y张，根据彩色卡纸的总张数为22张其剪出三角形的数量为圆的2倍，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解．【详解】设需要剪三角形的卡纸有x张，剪圆形的卡纸有y张，根据题意得：22 56x yx y+=⎧⎨=⎩．故选：A．【点睛】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．3．C解析：C【分析】将x看做常数移项求出y即可得．【详解】由2x-y=3知2x-3=y，即y=2x-3，故选C．【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x 看做已知数求出y ．4．B解析：B 【解析】分析：根据题意，确定等量关系为：若购买2个排球和3个实心球共需95元，若购买5个排球和7个实心球共需230元，根据所设未知数列方程，构成方程组即可. 详解：设每个排球x 元，每个实心球y 元， 则根据题意列二元一次方程组得：239557230x y x y +=⎧⎨+=⎩，故选B ．点睛：此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是确定问题中的等量关系，列方程组.5．C解析：C 【分析】本方程组涉及5个未知数1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，如果直接比较大小关系很难，那么考虑方程①②，②③，③④，④⑤，⑤①均含有两个相同的未知数，通过12345a a a a a >>>>可得1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的大小关系．【详解】方程组中的方程按顺序两两分别相减得1412x x a a -=-，2523x x a a -=-，3134x x a a -=-，4245x x a a -=-．∵12345a a a a a >>>>∴14x x >，25x x >，31x x >，42x x >， 于是有31425x x x x x >>>>． 故选C ． 【点睛】本题要注意并不是任何两个方程都能相减，需要消去两个未知数，保留两个未知数的差，这才是解题的关键．6．B解析：B 【分析】根据等式基本性质进行分析即可. 【详解】用x 表示y 为y=3x-5，故①不正确；用y 表示x 为53y x +=，故②正确；方程两边同乘以-2可得-6x+2y=-10，故③正确. 故选B. 【点睛】考核知识点：二元一次方程.7．D解析：D 【解析】 【分析】根据新定义运算法则列出方程 {ax by a ay bx b +=+=①②，由①②解得关于x 、y 的方程组，解方程组即可. 【详解】由新定义，知： (a,b)△(x,y)=(ax+by,ay+bx)=(a,b)，则 {ax by a ay bx b +=+=①②由①+②，得:(a+b)x+(a+b)y=a+b ， ∵a ，b 是任意实数，∴x+y=1，③ 由①−②，得(a−b)x−(a−b)y=a−b ，∴x−y=1，④ 由③④解得，x=1，y=0， ∴(x,y)为(1,0)； 故选D.8．A解析：A 【分析】根据题意列出二元一次方程，再结合实际情况求得正整数解． 【详解】解：设买x 支2元一支的圆珠笔，y 支3元一支的圆珠笔， 根据题意得：2330x y ，且,x y 为正整数，变形为：3023xy，由x 为正整数可知，302x 必须是3的整数倍， ∴当3023x ，即1y =时，13.5x =不是整数，舍去；当3026x ，即2y =时，12x =是整数，符合题意； 当3029x，即3y =时，10.5x =不是整数，舍去；当30212x ，即4y =时，9x =是整数，符合题意； 当30215x ，即5y =时，7.5x =不是整数，舍去； 当30218x ，即6y =时，6x =是整数，符合题意； 当30221x ，即7y =时， 4.5x =不是整数，舍去； 当30224x ，即8y =时，3x =是整数，符合题意； 当30227x，即9y =时， 1.5x =不是整数，舍去；故共有4种购买方案， 故选：A ． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解题定关键是根据题意列出不定方程，然后根据实际问题对解得要求，逐一列举出来舍去不符合题意的即可．9．D解析：D 【解析】试题分析：把两个方程相加可得3x+3y=2+k ，两边同除以3可得x+y=23k+=2，解得k=4，因此k 的算术平方根为2. 故选D.10．A解析：A 【分析】将第二个方程代入第一个方程消去m 即可得． 【详解】71x m y m +⎧⎨-⎩＝①＝②，将②代入①，得：x+y-1=7，则x+y=8，故选A ． 【点睛】本题考查了解一元一次方程和二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．二、填空题11．7件． 【分析】设一对夫妻，丈夫买了x 件商品，妻子买了y 件商品，列出关于x 、y 的二元二次方程，再根据x 、y 都是正整数，且x+y 与x-y 有相同的奇偶性，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，求出x 、y解析：7件． 【分析】设一对夫妻，丈夫买了x 件商品，妻子买了y 件商品，列出关于x 、y 的二元二次方程，再根据x 、y 都是正整数，且x+y 与x-y 有相同的奇偶性，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，求出x 、y 的值，再找出符合x-y=9和x-y=7的情况即可进行解答． 【详解】解：设一对夫妻，丈夫买了x 件商品，妻子买了y 件商品． 则有x 2-y 2=48，即（x 十y ）（x-y ）=48．∵x 、y 都是正整数，且x+y 与x-y 有相同的奇偶性，又∵x+y＞x-y，48=24×2=12×4=8×6，∴242x yx y+⎧⎨-⎩＝＝或124x yx y+⎧⎨-⎩＝＝或86x yx y+⎧⎨-⎩＝＝．解得x=13，y=11或x=8，y=4或x=7，y=1．符合x-y=9的只有一种，可见A买了13件商品，b买了4件．同时符合x-y=7的也只有一种，可知B买了8件，a买了1件．∴C买了7件，c买了11件．故答案为：7件．【点睛】此题考查了非一次不定方程的性质．解题的关键是理解题意，根据题意列方程，还要注意分类讨论思想的应用．12．62【分析】设购买甲纪念品x件，丙纪念品y件，则购进乙纪念品2y件，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为非负整数，即可求出x，y的值，进而可得出（x+y+2y）解析：62【分析】设购买甲纪念品x件，丙纪念品y件，则购进乙纪念品2y件，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为非负整数，即可求出x，y的值，进而可得出（x+y+2y）的值，取其最大值即可得出答案.【详解】设购买甲纪念品x件，丙纪念品y件，则购进乙纪念品2y件，依题意，得：5x+7×2y+10y＝346，∴x＝346245y-，∵x，y均为非负整数，∴346﹣24y为5的整数倍，∴y的尾数为4或9，∴504xy=⎧⎨=⎩，269xy=⎧⎨=⎩，214xy=⎧⎨=⎩，∴x+y+2y＝62或53或44．∵62＞53＞44，∴最多可以购买62件纪念品．故答案为：62．【点睛】本题主要考查二元一次方程的实际应用，根据题意，求出x，y的非负整数解，是解题的关键.13．4【分析】将方程组的解代入得的新的二元一次方程，然后观察发现，运用作差法即可完成解答.【详解】解：把代入方程组得： ，①+②得：3m+n ＝4，故答案为4【点睛】本题考查了方程组的解解析：4【分析】将方程组的解代入20234x y x y -=⎧⎨+=⎩得的新的二元一次方程，然后观察发现，运用作差法即可完成解答.【详解】解：把x m y n =⎧⎨=⎩代入方程组得： 20234m n m n -=⎧⎨+=⎩①②， ①+②得：3m +n ＝4，故答案为4【点睛】本题考查了方程组的解的作用.将方程组的解代入方程组的解后，可以求出未知数，然后进行计算；但认真观察整体变换求得的结果，准确率更高.14．【分析】本题可设x 道难题，y 道中档题，z 道容易题，因为小明、小林和小颖共解出100道数学题，所以x+y+z=100①，又因每人都解出了其中的60道，只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档解析：【分析】本题可设x 道难题，y 道中档题，z 道容易题，因为小明、小林和小颖共解出100道数学题，所以x+y+z =100①，又因每人都解出了其中的60道，只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，所以有x+2y+3z =180②，①×2-②，得x-z =20，所以难题比容易题多20道．【详解】设x 道难题，y 道中档题，z 道容易题。

高一年段五月月考数学科试题（考试时间：120分钟；满分：150分）一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量，若，则（）()()2,4,6,a b m ==-()a a b⊥+ m =A. B.C. 0D. 32-1-【答案】A 【解析】【分析】求出，利用向量垂直列出方程，求出答案.()4,4a b m +=-+【详解】因为，由，得，所()()()2,4,6,,4,4a b m a b m ==-+=-+()a ab ⊥+ ()8440m -+⨯+=以． 2m =-故选：A ．2. 已知函数是定义在上的单调减函数：若，则的取值范围是（ ） ()f x [)0,∞+()1213f a f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭a A. B. C. D.2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭12,23⎛⎫⎪⎝⎭2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭12[,23【答案】D 【解析】【分析】根据函数的单调性即可解不等式． 【详解】由已知，解得， 10213a ≤-<1223a ≤<故选：D3. 已知复数是关于的方程的一个根，则 （ ）2i -x ()20,x px q p q R ++=∈pi q +=A. 25B. 5C.D. 41【答案】C 【解析】【分析】将代入原方程，然后根据复数相等求解出的值，则可求.2i -,p q pi q +【详解】因为复数是关于的方程的一个根， 2i -x 20x px q ++=所以，所以， ()()2220i p i q -+-+=423pi q i p +=+-所以，所以， 4,23p q p ==-4,5p q ==则，45pi q i +=+=故选：C .4. 设有两条不同的直线和两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） m n 、αβ、A. 若，则,m n αα∥∥m n ∥B. 若，则 ,,,m n m n ααββ⊂⊂∥∥αβ∥C. 若，则 ,m n m α⊂∥n α∥D. 若，则 ,m αβα⊂∥//m β【答案】D 【解析】【分析】根据线面平行的性质与判定逐个选项分析即可.【详解】若，则可以平行､相交或异面，故A 错误； ,m n αα∥∥,m n 若与相交，则，故B 错误； ,,,,m n m n m ααββ⊂⊂∥∥n αβ∥若，则或，故C 错误； ,m n m α⊂∥n α∥n ⊂α若，则，故D 正确. ,m αβα⊂∥//m β故选：D.5. 如图是底面半径为的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆3S 锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了周，则该圆锥的表面积为（ ）3A. B.C.D.36π27π9π【答案】A 【解析】【分析】设圆锥的母线长为，题意可知，再利用圆锥的表面积公式进行计算． l 2π33πl l =⨯【详解】设圆锥的母线长为，以为圆心，母线为半径的圆的面积为， l S l 2πS l =又圆锥的侧面积，π3πS rl l ==圆锥侧因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了周，所以，解得，32π33πl l =⨯9l =所以圆锥的表面积，23π9π336πS S S =+=⨯⨯+⨯=圆锥侧底故选：A ． 6. 函数的图象大致是（ ） ()21sin 1e xf x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据奇偶性和的符号，使用排除法可得. ()2f 【详解】的定义域为R ，()f x 因为 ()e 12122e e 1sin()1sin sin 11e e x x xx x f x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪++++⎭⎝-⎝⎝⎭⎭，所以为偶函数，故CD 错误；1sin 1sin ()e e 2211x x x x f x ⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()f x 又因为，，所以，故B 错误. ()2221sin 21e f ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭2210,sin 201e -<>+()20f <故选：A7. 正方体的棱长为2，点分别是棱中点，则过点三点1111ABCD A B C D -,,P Q R 1111,,A D C D BC ,,P Q R 的截面面积是（ ）A.B.C. D. 【答案】D 【解析】【分析】作图作出过点三点的截面，说明截面为正六边形，求得边长皆可求得截面面积. ,,P Q R 【详解】如图，设AB 的中点为H ，连接HR 并延长，交DA 延长线于E ,交DC 延长线于F ，连接PE 交于G ,连接QF 交 于I ，连接GH,RI ,则六边形PQIRHG 为过点三点的截面，1A A 1C C ,,P Q R由题意可知， ,则 ,AHE BHR A A ≌1AE BR ==故,可知 ,即G 为的中点， 1AGE AGP A A ≌1AG A G =1A A 同理可证I 为的中点，故可知六边形PQIRHG 为正六边形， 1C C，故其面积为 ，即过点三点的截面面积是， 26=,,P Q R 故选：D8. 将边长为2的正沿着高折起，使，若折起后四点都在球的ABC ∆AD 120BDC ∠= A B C D 、、、O 表面上，则球的表面积为（ ）OA.B. C.D.72π7π132π133π【答案】B 【解析】【分析】通过底面三角形BCD 求出底面圆的半径DM ，判断球心到底面圆的距离OM ，求出球O 的半径，即可求解球O 的表面积．【详解】△BCD 中，BD=1，CD=1，∠BDC=120°，底面三角形的底面外接圆圆心为M ，半径为：r,由余弦定理得到，再由正弦定理得到2 1.r r =⇒=见图示：AD 是球的弦，，将底面的圆心M 平行于AD 竖直向上提起，提起到AD 的高度的一半，即为球心的位置O ，∴在直角三角形OMD 中，应用勾股定理得到OD ，OD 即为球的半径.∴球的半径． 该球的表面积为：4π×OD 2=7π； 故选B ．【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知向量，，则（ ）()2,1a = ()1,3b =-A.B.1a b ⋅= 2-=a b C. 与同向的单位向量是D. 向量在上的投影向量是aa b 110b 【答案】ABD 【解析】【分析】由向量的数量积的坐标运算可判断A ；由向量的坐标减法运算和模长计算可判断B ；由单位向量的定义可判断C ；由投影向量的定义可判断D.【详解】对于A ，由题意可得，则A 正确．()21131⋅=⨯-+⨯=a b 对于B ，因为，，所以，所以，则B正确．()2,1a = ()1,3b =-()25,1-=-ab2-=a b 对于C ，与同向的单位向量是，则C 错误．a )2,1==对于D ，向量在上的投影向量是，则D 正确． a b110a b b b bb ⋅⋅=故选：ABD.10. 若函数图象的一个最高点为，且相邻两条对()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭π,26⎛⎫⎪⎝⎭称轴间的距离为，则下列各选项正确的是（ ） π2A.π2,2,6A ωϕ===B. 在上单调递增()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.是的一个零点 5π12()f x D. 的图象向右平移个单位得到的图象()f x π62sin2y x =【答案】AC 【解析】【分析】根据已知可求出，，进而得出，.代入点的坐标，结合2A =πT =2ω=()()2sin 2x x f ϕ=+的范围即可得出，，得出A 项；求出，根据正弦函数ϕπ6ϕ=()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ7π2666x ≤+≤的单调性，即可判断B 项；将代入解析式，即可判断C 项；根据图象平移变换得出解析式，即可判5π12断D 项.【详解】对于A 项，由已知可得，，，所以，，，2A =π22T =πT =2π2πω==所以，. ()()2sin 2x x f ϕ=+又， πππ2sin 22sin 2663f ϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，，所以，sin 13πϕ⎫⎛+= ⎪⎝⎭ππ2π,32k k ϕ+=+∈Z 所以，. π2π,6k k ϕ=+∈Z 因为，所以，，故A 项正确； π02ϕ<<π6ϕ=()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于B 项，因为，所以， π02x ≤≤ππ7π2666x ≤+≤函数在上单调递增，在上单调递减，故B 项错误； sin y x =ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦π7π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦对于C 项，因为，所以是的一个零点，故C 项正5π5ππ2sin 22sin π012126f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5π12()f x 确；对于D 项，将的图象向右平移个单位，可以得到的图()f x π6πππ2sin 22sin 2666y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦象，故D 错误. 故选：AC.11. 对于，角所对的边分别为，下列说法正确的有（ ） ABC A ,,A B C ,,a b c A. 若，则一定为等腰三角形 sin2sin2A B =ABC A B. 若，则一定为等腰三角形 sin sin A B =ABC A C. 若，则有两解 ,5π6,4A b a ===ABC A D. 若，则一定为锐角三角形 tan tan tan 0A B C ++>ABC A 【答案】BD 【解析】【分析】根据已知可得或，即可判断A 项；根据正弦定理可得，即可判断22A B =22πA B +=a b =B 项；根据已知可推得只有一解，即可判断C 项；根据两角和的正切公式，可推得B ，即可得出D 项.tan tan tan 0A B C ⋅⋅>【详解】对于A 项，由可知，或， sin2sin2A B =22A B =22πA B +=所以，或， A B =π2A B +=所以，为等腰三角形或直角三角形，故A 错误； ABC A 对于B 项，根据正弦定理可得，，所以， sin sin a bA B =sin 1sin a A b B==a b =所以一定为等腰三角形，故B 正确； ABC A 对于C 项，因为，所以，又， a b >A B >sin 20sin 15b A B a <==<所以只有一解，所以，有一解，故C 错误； B ABC A 对于D 项，因为， ()πC A B =-+所以，，()tan tan tan tan 1tan tan A B C A B A B+=-+=--整理可得，. tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅因为，所以，tan tan tan 0A B C ++>tan tan tan 0A B C ⋅⋅>所以，都是锐角，所以一定为锐角三角形，故D 正确. ,,A B C ABC A 故选：BD .12. 已知点O 为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（）ABC A 230AO OB OC ++=u u u r u u u r u u u r rA.1324AO AB AC =+u u u r u u u r u u u rB. 直线必过边的中点 AO BCC.:3:2AOB AOC S S =△△D. 若，且，则1OB OC ==u u u r u u u r OB OC ⊥OA =u u r 【答案】ACD 【解析】【分析】根据题设条件，化简得到，可判定A 是正确的；根据向量的线性运算法423AO AB AC =++u u u r u u u r u u u r则，化简得到，可判定B 不正确；根据，得到，结2()4OB OC AC OD +=-=- 4AC OD =- 32BE EC =合三角形的面积公式，可判定C 正确；根据向量的数量积和模的运算公式，可判定D 是正确的.【详解】如图所示，点O 为所在平面内一点，且，ABC A 230AO OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r可得，即，223350AO OB OA OC OA OA +-+-+=u u u r u u u r u u r u u u r u u r u u r r()()23AO OB OA OC OA =-+- 即，所以，所以A 是正确的；423AO AB AC =+1324AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r 在中，设为的中点，ABC A D BC 由，可得，230AO OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r()2()0AO OC OB OC +++=u u u r u u u r u u u r u u u r r 所以，所以直线不过边的中点，所以B 不正确；2()4OB OC AC OD +=-=-AO BC 由，可得且，4AC OD =-4AC OD = //AC OD 所以，所以，可得，所以 14DE OD EC AC ==14DE EC =25EC BC =32BE EC =所以，所以C 正确； 1sin 3212sin 2AOB AOC AD BE AEB S BE S EC AD EC OEC ⨯∠===⨯∠△△由，可得230AO OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r 23OA OB OC =+u u r u u u r u u u r 因为，且，1OB OC ==u u u r u u u r OB OC ⊥ 可得， 222223412913OA OB OC OB OB OC OC =+=+⋅+=u u r u u u r u u u r u uu r u u u r u uu r u u u r 所以D 是正确的.OA =u u r故选：ACD.【点睛】本题主要考查了平面向量的基本概念，向量的线性运算，以及向量的数量积和向量的模的运算及应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及平面向量的数量积和模的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知复数满足（是虚数单位），则 ．z ()117i z i +=-i z =【答案】5 【解析】【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【详解】由（1+i ）z=1﹣7i ， 得， ()()()()1711768341112i i i iz i i i i -----====--++-则． 5=故答案为5．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题． 14. 如图是用斜二测画法画出的直观图，则的面积是________.AOB A AOB A【答案】. 16【解析】 【分析】根据斜二测法，所得直观图中三角形的高为4，即有的高为8，而底边为4不变，根据三角形面积AOB A 公式即可求的面积.AOB A 【详解】由斜二测法画图原则：横等纵半， ∴的高为8，即， AOB A 184162AOB S =⨯⨯=A 故答案为：.16【点睛】本题考查了根据斜二测法所得直观图求原图面积，属于基础题. 15. 图（1）阴影部分是由长方体和抛物线围成，图（2）阴影部分是由半径为3的半圆ABCD 213y x =和直径为3的圆围成的，这两个阴影部分高度相同，利用祖暅原理，可得出图（1）阴影部分绕轴O P y 旋转而成的几何体的体积为______．【答案】## 272π13.5π【解析】【分析】分析图一与图二旋转后的几何体的结构特征，根据祖暅原理，求几何体一的体积. 【详解】图一绕轴旋转一周可得一圆柱挖去中间的部分， y 将图二以小圆的直径为轴旋转一周可得一个半球挖去一个小球，将两个几何体放在同一水平面上，用与圆柱下底面距离为的平面截两个几何体，可得截面都(03)t t <<为圆环，纵截面图如下，几何体一的截面面积为223=93t ππππ⨯--几何体二的截面面积为，22=93t ππππ⨯--又两几何体等高，由祖暅原理可得两几何体的体积相等，又几何体二的体积332144327323322V πππ⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯=⎪⎝⎭所以几何体一的体积, 1272V π=故答案为：272π16. 如图，在Rt △AOC 中，，圆O 为单位圆．3AO CO ==（1）若点P 在圆O 上，，则______________60AOP ∠=︒AP =（2）若点P 在△AOC 与圆O 的公共部分的圆弧上运动，则的取值范围为__________14PA PC ⋅ 【答案】 ①.②.12⎡⎤--⎣⎦【解析】【分析】（1）根据结合数量积的运算律即可求出；AP =AP （2）法一：根据，结合余弦函数的性()()1,PA PC PO OA PO OC PO OA OC ⋅=+⋅+=++质即可得解.法二：以O 为原点，OA 所在直线为y 轴，OC 所在直线为x 轴建立坐标系，设，再根据数量积的坐标运算结合三角函数的性质即可得解.()πcos ,sin ,0,2P θθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【详解】（1）在△AOP 中，，，，3AO =1OP =60AOP ∠=︒，AP OP OA =- 则，AP ====即AP =（2）法一：()()()2PA PC PO OA PO OC PO PO OA OC OA OC ⋅=+⋅+=+⋅++⋅()11cos ,PO OA OC PO OA OC PO OA OC =+⋅+=+++，1,PO OA OC =++因为，所以，3,π,π4PO OA OC ⎡⎤+∈--⎢⎥⎣⎦cos ,1,PO OA OC ⎡+∈-⎢⎣ 故的取值范围为．PA PC ⋅12⎡⎤--⎣⎦法二：以O 为原点，OA 所在直线为y 轴，OC 所在直线为x 轴建立坐标系， 设，，，()πcos ,sin ,0,2P θθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()0,3A ()3,0C 所以，，()cos ,3sin PA θθ=-- ()3cos ,sin PC θθ=--则 ()()22cos cos 3sin sin 3cos sin 3cos 3sin PA PC θθθθθθθθ⋅=-+-=+--，()π13cos sin 14θθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭∵，则，∴， π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ3π,444θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦πsin 4θ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦， π1124θ⎛⎫⎡⎤-+∈-- ⎪⎣⎦⎝⎭即．12PA PC ⎡⎤⋅∈--⎣⎦故答案为：（1；（2）.12⎡⎤--⎣⎦【点睛】方法点睛：求向量模的常见思路与方法：（1）求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用，勿忘记开方； 22a a =（2）或，此性质可用来求向量的模，可实现实数运算与向量运算的相互转化； 22a a a a ⋅== = a （3）一些常见的等式应熟记：如，等.()2222a ba ab b ±=±⋅+()()22a b a b a b +⋅-=- 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为（1）求圆锥的表面积；（2）如图，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体AO 1O 积．【答案】（1）；9π（2）. 158π【解析】【分析】（1）设圆锥的底面半径为r ，高为h ，分别求出侧面积和底面积即可得到答案.（2）先求出圆锥的体积，为的中点，利用相似比求出圆柱的底面半径，即可求出圆柱的体积，剩1O AO 下几何体的体积为圆锥体积减去圆柱体积，即可得到答案. 【小问1详解】设圆锥的底面半径为r ，高为h由题意，得：，∴，∴2r π=r =3h =∴圆锥的侧面积 16S rl ππ===圆锥的底面积 223S r ππ==∴圆锥的表面积 129S S S π=+=【小问2详解】由（1）可得：圆锥的体积为 211133333V r h πππ==⨯⨯=又圆柱的底面半径为，高为 2r =322h =∴圆柱的体积为 2233922428r hV πππ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭∴剩下几何体的体积为 12915388V V V πππ=-=-=18. 如图，在平面内将两块直角三角板接在一起，已知，记.45,60ABC BCD ∠=∠= ,AB a AC b →→→→==（1）试用表示向量; ,a b →→,AD CD →→（2）若，求.1b →=AB CD →→⋅【答案】（1），；（2.AD a →→=+)1CD a b →→→=+-1+【解析】【分析】（1）由题易知，再结合即可得，进而即CB a b →→→=-BD →=AD a →→=CD AD AC →→→=-可得答案；（2）由题知，，进而根据向量数量积运算求解即可.1a b →→⋅=a →=【详解】（1）因为，所以，,AB a AC b →→→→==CB AB AC a b →→→→→=-=-由题意可知， ，//,AC BD BD ==所以，则，BD →=AD AB BD a →→→→=+=)1CD AD AC a b →→→→→=-=+（2）因为，所以， ，1b →=a →=cos 114a b a b π⋅=⋅==所以))211211AB CD a a b a a b →→→→→→→→⎡⎤⋅=⋅+=+-⋅==+⎢⎥⎣⎦19. 某学校开展“测量故宫角楼高度”的综合实践活动.如图1所示，线段表示角楼的高，为AB ,,C D E 三个可供选择的测量点，点在同一水平面内，与水平面垂直.从以下六个几何量中选择三个进行,B C CD 测量，并根据所选择的几何量测量故宫角楼高度，请写出选择的编号（只需写出一种方案）①D ，E 两点间的距离； ②C ，E 两点间的距离； ③由点观察点A 的仰角； C α④由点观察点A 的仰角； D β⑤和； ACE ∠AEC ∠⑥和.ADE ∠AED ∠【答案】①③④（答案不唯一，也可选择②③⑤） 【解析】【分析】要想求出角楼的高，应该知道其中一边的长度，即应选择①②中的一个，然后在对应的三角形中，找寻其他的量，逐步求解，即可得出答案.【详解】若要求角楼的高即长，必要知道一边长，若知，两点间的距离长，在梯形AB C D CD ABCD 中解和即可，此时可选①③④；若知，两点间的距离即长，则解和ACD A ABC A C E CE ACE △即可得解，此时可选②③⑤.ABC A 若选①③④，由已知可得，， π2ABC BCD ∠=∠=在中，，，， ACD A π2ACD α∠=-π2ADC β∠=+CAD αβ∠=-所以， πsin()sin 2AC CDαββ=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以，cos sin()AC CD βαβ=⋅-所以，其中各个量均已知；cos sin sin sin()AB AC CD βαααβ=⋅=⋅-若选②③⑤，已知和，则，ACE ∠AEC ∠πCAE ACE AEC ∠=-∠-∠由，sin sin sin()AC CE CEAEC CAE ACE AEC ==∠∠∠+∠所以，sin sin()AECAC CE ACE AEC ∠=⋅∠+∠所以 其中各个量均已知.sin sin sin sin()AEC AB AC CE ACE AEC αα∠⋅==⋅∠+∠其他选择方案均不可求得长.AB 20. 如图：在正方体中，，为的中点.1111ABCD A B C D -2AB =M 1DD（1）求证：平面；1//BD AMC （2）若为的中点，求证：平面平面. N 1CC //AMC 1BND 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，由已知可证明，再根据线面平行的判定BD AC O OM 1//OM BD 定理即可得证；（2）证明四边形为平行四边形，从而可得，即可证得平面，再根据1CND M 1//D N CM 1//D N AMC 面面平行的判定定理即可得证. 【小问1详解】如图1，连接，交于点，连接， BD AC O OM 根据正方体的性质可知，是中点. O BD 因为是的中点，M 1DD 所以在中，有.1DBD △1//OM BD 因为平面，平面， 1BD ⊄AMC OM ⊂AMC 所以，平面. 1//BD AMC 【小问2详解】如图2，连接，1,D N BN 因为为的中点，为的中点， N 1CC M 1DD 所以.1CN D M =根据正方体的性质可知，，所以. 11//CC DD 1//CN D M 所以，四边形为平行四边形， 1CND M 所以.1//D N CM 因为平面，平面，1D N ⊄AMC CM ⊂AMC 所以，平面.1//D N AMC 因为，平面，平面， 111D N BD D = 1D N ⊂1BND 1BD ⊂1BND 所以，平面平面.//AMC 1BND 21. 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知. ABC A sin sin (sin sin )bA CBC a c-=-+（1）求角A ；（2）从三个条件：①；②；③的面积为周3a =3b =ABC A ABC A长的取值范围. 【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析.3A π=【解析】【分析】（1）利用正弦定理将角化边，可得，然后利用余弦定理，可得. 222b c a bc +-=A （2）若选①，使用正弦定理以及辅助角公式可得，根据的范围可得结果；选6sin 36π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭l B B ②，利用正弦定理可得，可得结果.选③结合不等式可得结果. 92=+l 【详解】（1）因为， sin sin (sin sin )bA CBC a c-=-+所以，得， ()ba cbc a c-=-+222b c a bc +-=所以，因为，所以. 2221cos 22b c a A bc +-==(0,)A π∈3A π=（2）分三种情况求解： 选择①，因为，3a =,33Aa π==由正弦定理得sin sin sin b c aB CA===即的周长ABC A 3=++=++l ab c B C233π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭l B B3cos 3B B =++，6sin 36B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为，所以， 20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭51,sin 166626B B ππππ⎛⎫<+<<+ ⎪⎝⎭…即周长的取值范围是. ABC A (6,9]选择②,因为，3b=,33A b π==由正弦定理得=a23sin 3sin 33sin sin 2π⎛⎫- ⎪⎝⎭===+B C c B B 即的周长ABCA 92=++=+l a b c992222B B =+=+，92=+因为，所以，所以20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭023B π<<0tan 2B <<即周长的取值范围是.ABC A (6,)+∞选择③. ABC S =A 因为，得， 1,sin 32ABC A S bc A π====A 12bc =由余弦定理得， 22222()3()36a b c bc b c bc b c =+-=+-=+-即的周长，ABCAl a b c b c =++=++因为，当且仅当时等号成立，b c +=…b c ==所以l +=…即周长的取值范围是.ABC A )+∞【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式的应用，熟练掌握公式，边角互化化繁为简，考查分析问题的能力，属中档题.22. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向O ()sin cos f x a x b x =+(),OM a b =()f x 量，同时称函数为向量的伴随函数.()f x OM（1）设函数，试求的伴随向量；()2π3πsin cos 32g x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x OM（2）记向量的伴随函数为，求当且时，的值；(ON = ()f x ()65f x =ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭sin x （3）当向量时，伴随函数为，函数，求在区间OM = ()f x ()()2h x f x =()h x π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上最大值与最小值之差的取值范围.【答案】（1）12OM ⎛= ⎝ （2）sin x =（3）【解析】【分析】（1）化简的解析式，从而求得伴随向量.()g x OM （2）先求得，由求得，进而求得，从而求得. ()f x ()65f x =πsin 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭πcos 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin x （3）先求得，然后根据三角函数的最值求得正确答案.()h x 【小问1详解】()2π3πsin cos 32g x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11sin sin sin 22x x x x x =-++=所以.12OM ⎛= ⎝ 【小问2详解】依题意， ()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由得， ()65f x =π6π32sin ,sin 3535x x ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以， ππππ,,0,3632x x ⎛⎫⎛⎫∈-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π4cos 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以ππ1ππsin sin sin 33233x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦【小问3详解】的函数解析式， ()f x ()πsin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以 ()sin 24h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭区间的长度为，函数的周期为， ,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦4π()sin 24h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π若的对称轴在区间内， ()h x π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦不妨设对称轴在内，最大值为1， 8x π=,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦当即在区间上的最大值与最小值之差取得()π4h t h t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()π04h h ⎛⎫== ⎪⎝⎭()h x ,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦最小值为； 1=其它的对称轴在， ,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦若的对称轴不在区间内，则在区间内单调，在两端点处取得最大值与最()h x ,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()h x ,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦小值，则最大值与最小值之差为：()sin 2sin 24244h t h t t t ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()cos 2sin 2224π⎛⎫⎛⎛=+-+≤ ⎪ ⎝⎭⎝⎝t t t t故函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为 ()sin 24h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【点睛】方法点睛：求解新定义函数有关的问题，关键点在于理解新的定义，解题过程中，要将“新”问题，转化为所学的知识来进行求解，体现了化归与转化的数学思想方法.。

高二质量检测联合调考数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A 版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册，必修第一册第一、二章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（ ）{}1A x x =>{}2230B x x x =-->A B ⋃=A.B. （1，3）()3,+∞C. D.()(),11,-∞-⋃+∞()(),13,-∞-⋃+∞【答案】C 【解析】【分析】先求出集合B ，然后再求两集合的并集即可.【详解】由，得，解得或， 2230x x -->(1)(3)0x x +->1x <-3x >所以或，{}{22301B x x x x x =-->=<-}3x >因为，{}1A x x =>所以， A B ⋃=()(),11,-∞-⋃+∞故选：C2. “”是“”的（ ）0b a >>()21a b a +>A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若，则，所以，故充分性成立；0b a >>1b a +>()21a b a +>若，不妨令，，此时，，满足， ()21a b a +>1a =12b =()312a b +=21a =()21a b a +>但是，故必要性不成立；a b >故“”是“”的充分不必要条件．0b a >>()21a b a +>故选：B3. 现有4道填空题，学生张三对其中3道题有思路，1道题思路不清晰．有思路的题做对的概率为，34思路不清晰的题做对的概率为，张三从这4道填空题中随机选择1题，则他做对该题的概率为（ ） 14A.B.C.D.14345818【答案】C 【解析】【分析】根据全概率公式即可求得答案.【详解】设张三从这4道填空题中随机选择1题，该题有思路为事件, 1A 该题思路不清晰为事件,2A 张三从这4道填空题中随机选择1题，则他做对该题为事件B ， 则,, 1231(),()44P A P A ==1231(|),(|)44P B A P B A ==由全概率公式可得，张三做对该题的概率为121122()()()()(|)()(|)P B P A B P A B P A P B A P A P B A ==+, 3311544448=⨯+⨯=故选：C4. 小明收集了五枚不同的铜钱，准备将其串成精美的挂件（如图），根据不同的排放顺序，不同的串法有（ ）A. 20种B. 25种C. 60种D. 120种【答案】D 【解析】【分析】利用排列数公式可求不同的串法总数.【详解】不同的串法总数即为5个不同铜钱的全排列，其大小为，55A 120=故选：D.5. 已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且(),(1,2,3,,10)i i x y i = ˆ20.4yx =-，去除两个样本点和后，新得到的回归直线方程斜率为3，则样本的残差为2x =(3,1)-(3,1)-(4,8)（ ） A. 0 B.C. 1D. 21-【答案】B 【解析】【分析】由回归方程求出，再求出新样本的平均数，，从而求出回归直线方程，再求出预测值，y x 'y 即可得到残差.【详解】将代入，， 2x =ˆ20.4yx =-220.4 3.6y =⨯-=去除两个样本点和后，所以，，， (3,1)-(3,1)-210582x ⨯'== 3.610982y ⨯'==95ˆ3322a=-⨯=-故去除样本点和后的回归直线方程为． (3,1)-(3,1)-ˆ33yx =-当时，，则样本的残差为． 4x =ˆ3439y=⨯-=(4,8)891-=-故选：B6. 已知函数在处取得极大值1，则的极小值为（ ） ()24ax bf x x +=+=1x -()f x A. 0 B. C. D.12-14-18-【答案】C 【解析】【分析】由题意可得，求出，从而可求出和的解析式，再由的正负()()1011f f ⎧-=='⎪⎨⎪⎩,a b ()f x ()f x '()f x '求出函数的单调区间，从而可求出函数的极小值. 【详解】的定义域为，()f x R 由，得， ()24ax bf x x +=+()()222244ax bx a f x x --+'=+因为函数在x ＝－1处取得极大值1， ()24ax bf x x +=+所以，解得，()()()22410141114a b a f a b f -++⎧-='=⎪+⎪⎨-+⎪==⎪+⎩23a b =-⎧⎨=⎩所以，． ()2324x f x x -=+()()()()()2222221426844x x x x f x x x +---'==++令．解得或，令，解得， ()0f x ¢>>4x 1x <-()0f x '<14x -<<所以在和上单调递增，在上单调递减， ()f x (),1-∞-()4,+∞(1,4)-即在处取得极大值，在处取得极小值， ()f x =1x -4x =所以的极小值为． ()f x ()144f =-故选：C7. 流感病毒分为甲、乙、丙三型，甲型流感病毒最容易发生变异，流感大流行就是甲型流感病毒出现新亚型或旧亚型重现引起的．根据以往的临床记录，某种诊断甲型流感病毒的试验具有如下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有甲型流感”，则有，A C (|)0.9P A C =．现对自然人群进行普查，设被试验的人患有甲型流感的概率为0.005，即(|0.9P A C =()0.005P C =，则（ ） (|)P C A =A.B.C.D.9208192181227108【答案】A 【解析】【分析】求出，,，，由条件概率公式和全概率公式可得答案. ()|P A C ()|P A C ()P C ()P C 【详解】因为，所以, ()|0.9P A C =()()|1|0.1P A C P A C =-=因为，所以， ()0.005P C =()0.995P C =所以,()()()()()()()()()||||P AC P A C P C P C A P A P A C P C P A C P C ⋅==⋅+⋅．0.90.00590.90.0050.10.995208⨯==⨯+⨯故选：A.8. 已知函数恒成立，则的最小值为（ ） ()()2ln 310f x x ax bx =--+≤ba A.B.C. D. 1e1e-12e-13e-【答案】D 【解析】【分析】通过变形得到恒成立，构造函数和，将问题()ln 31x ax b x +≤+()()ln 31x g x x+=y ax b =+转化成直线恒不在图像的下方，用直线的横截距来表示，再结合图形即可得y ax b =+()g x bay ax b =+出结果.【详解】易知，因为恒成立，即恒成立， 0x >()()2ln 310f x x ax bx =--+≤()ln 31x ax b x+≤+令函数，则， ()()ln 31x g x x +=()()2ln 3x g x x-'=当时，，所以在区间上单调递增，10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g x '>()g x 1(0,3当时，，所以在区间上单调递减，且当时，，所以1,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0g x '<()g x 1(,)3+∞13x >()0g x >的图像如图所示，()g x因为恒成立，故当时，直线恒不在图像的下方，很明显()ln 31x ax b x+≤+,()0x ∈+∞y ax b =+()g x 当时不符合题意， a<0当时，令，得，所以当取得最小值时，直线y ＝ax ＋b 在x 轴上的截距最大， 0a >0ax b +=b x a =-ba令，得，如下图，当与在点处相切时，()0g x =13e x =()b y a x a =+()g x1,03e ⎛⎫⎪⎝⎭()ln 31x ax b x+≤+成立，且此时直线y ＝ax ＋b 的横截距最大，故的最小值是． b a 13e-故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 在以下4幅散点图中，所对应的成对样本数据呈现出线性相关关系的是（ ）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】根据数据点的分布情况直观判断是否有线性相关关系即可.【详解】A、B中各点都有线性拟合趋势，其中A样本数据正相关，B样本数据负相关；C中各点有非线性拟合趋势，D中各点分布比较分散，它们不具有线性相关.故选：AB10. 若随机变量X服从两点分布，且，则（）()14P X==A. B.()34E X=(23)3E X+=C. D.()316D X=()413216D X+=【答案】AC【解析】【分析】利用X服从两点分布，根据期望和方差的定义，可判断出AC的正误；再利用期望和方差的运算性质即可判断出BD的正误.【详解】因为随机变量X服从两点分布，且，故，()14P X==()314P X==所以，，故AC正确，()13301444E X=⨯+⨯=()221333301444416D X⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又，，故BD错误．()()3923232342E X E X+=+=⨯+=()()32732991616D X D X+==⨯=故选：AC.11. 已知函数，非零实数，，，满足，()1e xf xx=-0x1x2x3x123x x x<<()()()123f x f x f x⋅⋅<，，则下列结论可能成立的是（）()f x=A. B.123001x x x x<<<<<1230x x x x<<<<C. D.120301x x x x <<<<<10230x x x x <<<<【答案】ABD 【解析】【分析】利用函数的定义域、特殊点的函数以及导数、零点存在定理研究函数的大致图象，根据已知结合图象进行判断.【详解】因为f （x ）的定义域为，， ()(),00,∞-+∞U ()21e 0xf x x '=+>所以f （x ）在上单调递增，在上单调递增， (),0∞-()0,∞+当时，f （x ）>0，且，f （1）＝e －1>0， (),0x ∈-∞1202f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭所以存在，使得．故C 错误． 01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭()00f x =f （x ）的图象如图所示：因为，所以或 ()()()1230f x f x f x ⋅⋅<123001x x x x <<<<<12300x x x x <<<<或或．故ABD 正确. 12030x x x x <<<<10230x x x x <<<<故选：ABD.12. 已知定义在上的函数和的导函数分别为和，若，且R ()f x ()g x ()f x '()g x '1()2x f x g x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x 为偶函数，为奇函数，则（ ） (1)g x '+A. B. (1)1f '=142g ⎛⎫'=⎪⎝⎭C. D.322g ⎛⎫'=⎪⎝⎭(2)4g '=【答案】ACD 【解析】【分析】根据，故，利用的对称性结合赋值法可求1()2x f x g x +⎛⎫=+⎪⎝⎭11()122x f x g +⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭()g x '及，故可判断A 的正误，又我们可以得到，赋值后可求(1)0g '=(1)1f '=()2(21)2g x f x ''=--，故可判断B 的正误，最后再结合的对称性可得的值，故可判断CD 的正误. 12g æö¢ç÷ç÷èø()g x '3((2)2g g ''【详解】因为为奇函数，所以 ①，(1)g x '+(1)(1)0g x g x ''-+++=的图象关于点对称，则．()g x '(1,0)(1)0g '=而，则，A 正确． 11()122x f x g +⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭1(1)(1)112f g ''=+=因为为偶函数，所以，则，即，()f x ()()f x f x -=()()f x f x ''--=()()0f x f x ''+-=故的图象关于原点对称，．()f x '(0)0f '=因为，所以， 11()122x f x g +⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭()2(21)2g x f x ''=--，B 错误．112212222g f ⎛⎫⎛⎫''=⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为的图象关于点对称，所以，C 正确．()g x '(1,0)31222g g ⎛⎫⎛⎫''=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又， []11()2(2)(2)4422g x g x f x f x ⎛⎫''''-++=+--=-⎪⎝⎭故的图象关于点对称，所以 ②． ()g x '1,22⎛⎫-⎪⎝⎭(1)()4g x g x ''++-=-由①②可得即， (1)(2)4g x g x ''+-+=-(1)()4g x g x ''+-=所以，D 正确． (2)4(1)4g g ''=+=故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.的最小值为______． +【答案】 3【解析】【分析】整理式子利用基本不等式求解即可.，10+>， 1113=++-≥=当且仅当a ＝1时，等号成立． 故答案为：314. 在一次高二数学联考中，某校数学成绩．已知，则从全校学()2~80,X N σ(6080)0.25P X ≤≤=生中任选一名学生，其数学成绩小于100分的概率为________．【答案】0.75## 34【解析】【分析】利用正态分布的对称性以及给定的概率可求解. 【详解】因为，()2~80,X N σ所以，， (6080)(80100)0.25P X P X ≤≤=≤≤=(80)0.5P X <=所以. (100)0.50.250.75P X <=+=故答案为：0.75.15. 已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线重合，则()y f x =(0,0)()f x y x=(2,1)(2)f '=________． 【答案】 2【解析】【分析】由点在曲线上得出，切线过点，，得出切线的斜率为，(2,1)()f x y x=(2)2f =(0,0)(2,1)12即，继而得出结果. 22(2)(2)1(2)22f fg '-'==【详解】因为点在曲线上， (2,1)()f x y x=所以，即． (2)12f =(2)2f =因为切线过点，， (0,0)(2,1)所以这条切线的斜率为． 12设，则，()()f x g x x=2()()()xf x f x g x x '-'=，解得． 22(2)(2)1(2)22f fg '-'==(2)2f '=故答案为：216. 中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得荣誉．现有6支救援队（含甲、乙）前往A ，B ，C 三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中A 受灾点至少需要2支救援队，且甲、乙2支救援队不能去同一个受灾点，则不同的安排方法种数是______． 【答案】266 【解析】【分析】这是一道有限制的分配问题，先将6支救援队分成三组，再分到A ，B ，C 三个受灾点，利用排列、组合进行计算求解，再减去不满足的情况数.【详解】若将6支救援队分成1，1，4三组，再分到A ，B ，C 三个受灾点，共有种不同的安排方法， 1142654222C C C A 30A ⋅=其中甲、乙去同一个地方的有种，2242C A 12⋅=所以有N 1＝30－12＝18种不同的安排方法；若将6支救援队分成1，2，3三组，再分到A ，B ，C 三个受灾点，共有种不同的安排方法，1231265322C C C C A 240=其中甲、乙去同一个地方的有种， ()1111244322C +C C C A 64=所以有N 2＝240一64＝176种不同的安排方法；若将6支救援队分成2，2，2三组，再分到A ，B ，C 三个受灾点，共有种不同的安排方法， 1223642333C C C A 90A ⋅=其中甲、乙去同一个地方的有种， 22342322C C A 18A ⋅=所以有N 3＝90－18＝72种不同的安排方法． 故共有N ＝N 1＋N 2＋N 3＝266种不同的安排方法． 故答案为：266.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知二项式展开式中只有第6项的二项式系数最大． ()na b +（1）求n ；（2）若a ＋b ＝4，求除以3的余数． ()7na b ++【答案】（1）10 （2）2【解析】【分析】（1）根据二项式定理中二项式系数的单调性与最值进行判断求解. （2）利用第（1）的结论以及二项式定理的展开式计算求解. 【小问1详解】由题意可得，展开式中有11项，所以n ＝10． 【小问2详解】由（1）得：n ＝10，又a ＋b ＝4，所以()()101019289101010101073173C 3C 3C 3C 7na b ++=++=+⨯+⨯++⨯++ ．10192891010103C 3C 3C 38=+⨯+⨯++⨯+ 故所求的余数为2．18. 保护知识产权需要将科技成果转化为科技专利，这样就需要大量的专利代理人员从事专利书写工作，而物理方向的研究生更受专利代理公司青睐．通过培训物理方向的研究生，他们可以书写化学、生物、医学等方面的专利，而其他方向的研究生只能写本专业方面的专利．某大型专利代理公司为了更好、更多地招收研究生来书写专利，通过随机问卷调查的方式对物理方向的研究生进行了专利代理方向就业意向的调查，得到的数据如下表：喜欢专利代理方向就业不喜欢专利代理方向就业男研究生 60 40女研究生8020（1）用频率近似概率，估计从物理方向的研究生中任选人，求至少有人喜欢专利代理方向就业的概32率；（2）根据的独立性检验，能否认为物理方向的研究生专利代理方向就业意向与性别有关联？ 0.005α=附临界值表及参考公式：α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001x α2.7063.8416.6357.87910.828，．()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++【答案】（1）98125（2）物理方向的研究生专利代理方向就业意向与性别有关联 【解析】【分析】（1）计算出物理方向的研究生中每人喜欢专利代理方向就业的概率，再结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）提出零假设为物理方向的研究生专利代理方向就业意向与性别没有关联，计算出的观测0:H 2χ值，结合临界值表可得出结论. 【小问1详解】解：由调查问卷知，名物理方向的研究生中有名喜欢专利代理方向就业， 200140所以估计物理方向的研究生喜欢专利代理方向就业的概率为． 710从物理方向的研究生中任选人，设喜欢专利代理方向就业的人数为，3X 则， ()2323737982C 101010125P X ⎛⎫⎛⎫≥=⨯⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即估计从物理方向的研究生中任选人，至少有人喜欢专利代理方向就业的概率为． 3298125【小问2详解】解：零假设为物理方向的研究生专利代理方向就业意向与性别没有关联．0:H ，()22200408020602009.5247.8791406010010021χ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以根据的独立性检验，可以推断不成立，0.005α=0H 所以物理方向的研究生专利代理方向就业意向与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于．0.00519. 已知函数．()24x f x =（1）求曲线y ＝f （x ）在点处的切线方程； (4,(4))f （2）若恒成立，求a 的取值范围． ()f x a ≥【答案】（1）7x －4y －20＝0（2）．3,4∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率即可得解；（2）利用导数求出函数的单调性得出最小值，即可求出的取值范围. a 【小问1详解】()2x f x '=- ，f （4）＝2． ()744f '∴=则曲线y ＝f （x ）在点处的切线方程为， (4,(4))f ()7244y x -=-即7x －4y －20＝0． 【小问2详解】，()f x '=令函数，． ()1g x =()0g x '=≥所以g （x ）在上单调递增．()0,∞+因为，所以当时，，即， (1)0g =1x >10>()0f x ¢>当时，，即，01x <<10<()0f x '<所以f （x ）在上单调递减，在上单调递增，(0,1)()1,+∞则． ()()314f x f ≥=-因为恒成立，所以． ()f x a ≥34a ≤-故a 的取值范围为．3,4∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦20. 某商家为了促销某商品，制作了一些卡片，卡片共有3种不同的颜色，顾客每次消费满额都随机赠送1张某种颜色的卡片，集齐3张相同颜色的卡片即可兑换该商品一件． （1）求某顾客消费满额4次后仍未集齐3张相同颜色的卡片的概率；（2）设某顾客消费满额次后刚好集齐3张相同颜色的卡片，求的分布列及期望． X X 【答案】（1）23（2）分布列见解析， 409()81E X =【解析】【分析】（1）用古典概型的方法求解；（2）按求分布列的步骤进行求解，进而可求期望. 【小问1详解】顾客消费满额4次后仍未集齐3张相同颜色的卡片包括两种情况： ①4张卡片中有两张同颜色，另外两张各一种颜色； ②4张卡片中有两张同颜色，另外两张也同另一种颜色，故所求概率为． 12122342344C C C C C 233+=【小问2详解】的取值可能为3，4，5，6，7．X ，，331(3)39P X ===1113234C C C 2(4)39P X ===， 1211213423425C C C C C C 8(5)327P X +===，． 112135426C C C C 20(6)381P X ===2216437C C C 10(7)381P X ===的分布列为XX 3 4 5 6 7P 19 29827 20811081．1282010409()345679927818181E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=21. 高尔顿板又称豆机、梅花机等，是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．如图所示的高尔顿板为一块木板自上而下钉着6层圆柱形小木块，最顶层有2个小木块，以下各层小木块的个数依次递增，各层小木块互相平行但相互错开，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块透明玻璃．让小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或者向右滚下，最后落入高尔顿板下方从左至右编号为1，2，…，6的球槽内．（1）某商店将该高尔顿板改良成游戏机，针对某商品推出促销活动．凡是入店购买该商品一件，就可以获得一次游戏机会．若小球落入号球槽，该商品可立减元，其中．若该商品的成本价X Y 205Y X =-是10元，从期望的角度考虑，为保证该商品总体能盈利，求该商品的最低定价．（结果取整数） （2）将79个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问3号球槽中落入多少个小球的概率最大？附：设随机变量，则的分布列为，．~(,)B n p ξξ()C (1)k k n kn P k p p ξ-==-0,1,2,,k n =L ．111C (1)()(1)1(1)C (1)(1)k k n k n k k n k n p p P k n p k P k p p k p ξξ----+-=+-==+=---【答案】（1）15元 （2）3号球槽中落入24或25个小球的概率最大．【解析】【分析】（1）确定的可能取值，利用独立事件乘方公式求对应概率，根据确定的可能X |205|Y X =-Y 取值，进而求对应概率，然后求的期望，即可得最低定价． Y （2）由题意知小球落入3号球槽的个数，利用不等式法求最大概率对应值即可. 5~79,16B ξ⎛⎫⎪⎝⎭ξ【小问1详解】的取值可能为1，2，3，4，5，6．X ，， 511(1)(6)232P X P X ⎛⎫===== ⎪⎝⎭415115(2)(5)C 2232P X P X ⎛⎫====⨯⨯= ⎪⎝⎭．2325115(3)(4)C 2216P X P X ⎛⎫⎛⎫====⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以的取值可能为0，5，10，15．|205|Y X =-Y，， 5(0)(4)16P Y P X ====15(5)(3)(5)32P Y P X P X ===+==，． 3(10)(2)(6)16P Y P X P X ===+==1(15)(1)32P Y P X ====的分布列为YY 0 5 10 15P 516 1532 316 132， 5153175()051015 4.71632163216E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=≈则顾客玩一次游戏，立减金额的均值约为4.7元，又该商品成本价是10元， 所以该商品的最低定价约为15元． 【小问2详解】 由（1）得． 5(3)16P X ==进行79次试验，设小球落入3号球槽的个数为，则．ξ5~79,16B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 5(791)()251611115(1)11616kP k k k P k k ξξ+⨯-=-=+=+=-⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，，即；25k <()1(1)P k P k ξξ=>=-()(1)P k P k ξξ=>=-当时，，即； 25k =()1(1)P k P k ξξ===-()(1)P k P k ξξ===-当时，，即． 25k >()1(1)P k P k ξξ=<=-()(1)P k P k ξξ=<=-所以当时，，此时这两项概率均为最大值． 25k =(25)(24)P P ξξ===故3号球槽中落入24或25个小球的概率最大．22. 已知函数.e 1()x f x x-=（1）求函数的单调区间；()f x （2）证明：当时，. 0x >()()ln 1f x x x >+【答案】（1）单调递增区间是和(,0)-∞(0,)+∞（2）证明见解析【解析】【分析】（1）确定函数定义域，求导得到导函数，构造新函数，求导得到单调区间，计算最值确定恒成立，得到答案.()0f x ¢>（2）构造函数，求导得到导函数，将导函数设为新函数，再次求导，将导函数设为2e 1()14x x h x x -=--新函数，再次求导，利用隐零点代换得到的单调区间，计算最值得到，再构造函数()h x 2e 114x xx ->+，同理得到，得到证明. ()ln(1)14x F x x =+--ln(1)14xx +<+【小问1详解】函数的定义域为，. ()f x (,0)(0,)-∞+∞ ()2(1)e 1x x f x x-+'=令函数，.()(1)e 1xg x x =-+()e xg x x '=当时，，在上单调递减； 0x <()0g x '<()g x (,0)-∞当时，，在上单调递增， 0x >()0g x '>()g x (0,)+∞所以，即恒成立， ()(0)0g x g ≥=()0f x ¢>故的单调递增区间是和. ()f x (,0)-∞(0,)+∞【小问2详解】当时，，即当时，. 0x >()ln(1)f x x x >+0x >2e 1ln(1)x x x ->+令，， 2e 1()14x xh x x -=--331(2)e 24()x x x h x x -+-'=令，， 31()(2)e 24xx x x μ=-+-23()(1)e 4x x x x μ'=--令，.23()(1)e 4x x x x ϕ=--3()e 2x x x ϕ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭当时，，在上单调递减；30ln 2x <<()0x ϕ'<()ϕx 30,ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，，在上单调递增，3ln2x >()0x ϕ'>()ϕx 3ln ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭又，， (0)10ϕ=-<2(2)e 30ϕ=->所以存在，使得.0(0,2)x ∈0()0x ϕ=当时，；当时，， 00x x <<()0x ϕ<0x x >()0x ϕ>所以在上单调递减，在上单调递增.()x μ0(0,)x 0(,)x +∞，故当时，；当时，，(0)(2)0μμ==02x <<()0x μ<2x >()0x μ>即当时，；当时，， 02x <<()0h x '<2x >()0h x '>故在上单调递减，在上单调递增.()h x (0,2)(2,)+∞于是，所以.22e 7 2.77()(2)044h x h --≥=>>2e 114x xx ->+令函数，.()ln(1)14xF x x =+--3()4(1)x F x x -'=+当时，；当时，， 03x <<()0F x '>3x >()0F x '<所以在上单调递增；在上单调递减， ()F x (0,3)(3,)+∞则. 7()(3)ln 44F x F ≤=-因为，所以，故，7342e e 4>>=>7ln 44>()(3)0F x F ≤<得. ln(1)14x x +<+综上所述：当时，.0x >()ln(1)f x x x >+【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，证明不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将不等式的证明转化为和是解题的关键，证明不等式2e 114x xx ->+ln(1)14x x +<+引入中间函数是一个重要技巧，需要熟练掌握.。