2017-2018学年江西省上饶市上饶县中学高二(上)第一次月考数学试卷(理科)

2017-2018学年江西省上饶市上饶县中学高二（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）某校期末考试后，为了分析该校高一年级1000名学生的学习成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，就这个问题来说，下面说法正确的是（）A．1000名学生是总体B．每个学生是个体C．100名学生的成绩是一个个体D．样本的容量是1002．（5分）已知等差数列a n中，a2+a4=6，则a1+a2+a3+a4+a5=（）A．30 B．15 C．D．3．（5分）从区间[﹣1，1]内随机取出一个数a，使3a+1＞0的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）如图，程序的循环次数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）△ABC中，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）A．150°B．60°C．120° D．30°6．（5分）如图是从甲、乙两品种的棉花中各抽测了10根棉花的纤维长度（单位：mm）所得数据如图茎叶图，记甲、乙两品种棉花的纤维长度的平均值分别为与，标准差分别为s甲与s乙，则下列说法不正确的是（）A．B．s 甲＞s乙C．乙棉花的中位数为325.5mm D．甲棉花的众数为322mm7．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的取值范围为（）A．[﹣2，0]B．[﹣3，0]C．[﹣2，3]D．[﹣3，3]8．（5分）若实数x、y满足|x|≤y≤1，则x2+y2+2x的最小值为（）A．B．﹣ C．D．﹣19．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果S=（）A．B．C．D．10．（5分）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞0 11．（5分）在△ABC中，已知（a2+b2）sin（A﹣B）=（a2﹣b2）sin（A+B），则△ABC的形状（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形12．（5分）（B组题）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，最著名的属普丰实验和查理实验．受其启发，小彤同学设计了一个算法框图来估计π的值（如图）．若电脑输出的j的值为43，那么可以估计π的值约为（）A．B．C． D．二、填空题（每小5分，满分20分）13．（5分）经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是．14．（5分）某程序框图如图所示，若输出的S=26，则判断框内应填入：k＞；15．（5分）若x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+3y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围为．16．（5分）若a，b是正常数，a≠b，x，y∈（0，+∞），则，当且仅当时上式取等号．利用以上结论，可以得到函数（）的最小值为，取最小值时x的值为．三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余每小题10分.解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤.）17．（10分）从某次知识竞赛中随机抽取100名考生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图，分数落在区间[55，65），[65，75），[75，85）内的频率之比为4：2：1．（Ⅰ）求这些分数落在区间[55，65]内的频率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2个分数，求这2个分数都在区间[55，75]内的概率．18．（12分）为了解某地房价环比（所谓环比，简单说就是与相连的上一期相比）涨幅情况，如表记录了某年1月到5月的月份x（单位：月）与当月上涨的百比率y之间的关系：（1）根据如表提供的数据，求y关于x的线性回归方程y=x+；（2）预测该地6月份上涨的百分率是多少？（参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式=，=﹣）19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A≠，且3sinAcosB+bsin2A=3sinC．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若A=，求△ABC周长的最大值．20．（12分）（1）设函数f（x）=，求不等式f（x）≤1的解集（2）已知a＞b＞c且恒成立，求实数m的最大值．21．（12分）已知袋子中装有红色球1个，黄色球1个，黑色球n个（小球大小形状相同），从中随机抽取1个小球，取到黑色小球的概率是．（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）若红色球标号为0，黄色球标号为1，黑色球标号为2，现从袋子中有放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．（ⅰ）记“a+b=2”为事件A，求事件A的概率；（ⅱ）在区间[0，2]内任取2个实数x，y，求事件“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”的概率．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n是S n与2的等差中项，数列{b n}中，b1=1，点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上，n∈N*．（1）求数列{a n}，{b n}的通项a n和b n；（2）求证：；（3）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．2017-2018学年江西省上饶市上饶县中学高二（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）某校期末考试后，为了分析该校高一年级1000名学生的学习成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，就这个问题来说，下面说法正确的是（）A．1000名学生是总体B．每个学生是个体C．100名学生的成绩是一个个体D．样本的容量是100【分析】根据有关的概念可得：此题的总体、个体、样本这三个概念考查的对象都是学生成绩，而不是学生，再结合题中选项即可得到答案．【解答】解：根据有关的概念并且集合题意可得：此题的总体、个体、样本这三个概念考查的对象都是学生成绩，而不是学生，根据答案可得：而选项（A）（B）表达的对象都是学生，而不是成绩，所以A、B 都错误．（C）100名学生的成绩是一个个体也是错的，应是100名学生第一个人的成绩是一个个体．D：样本的容量是100正确．故选：D．【点评】本题主要考查总体、个体与样本的概念，解决成立问题的关键是明确考查的对象，根据有关的概念可得总体、个体与样本的考查对象是相同的，此题属于基础题．2．（5分）已知等差数列a n中，a2+a4=6，则a1+a2+a3+a4+a5=（）A．30 B．15 C．D．【分析】根据等差数列的性质，利用p+q=m+n时，a p+a q=a m+a n，求出a3的值，进而即可得到a1+a2+a3+a4+a5的值．【解答】解：∵等差数列a n中，a2+a4=6，∴a3=3，则a1+a2+a3+a4+a5=5•a3=15故选：B．【点评】本题考查的知识点是等差数列的性质，其中利用p+q=m+n时，a p+a q=a m+a n，是解答本题的关键．3．（5分）从区间[﹣1，1]内随机取出一个数a，使3a+1＞0的概率为（）A．B．C．D．【分析】本题利用几何概型求概率，首先解得的区间长度以及与区间[﹣1，1]的长度，求比值即得．【解答】解：由3a+1＞0，解得：a＞﹣，故满足条件的概率p==，故选：C．【点评】本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．4．（5分）如图，程序的循环次数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】模拟执行程序，由循环语句的功能分析程序即可得解．【解答】解：模拟执行程序，可得：x=0第一次执行循环体，x=1，x=1满足循环的条件x＜20，第二次执行循环体，x=2，x=4满足循环的条件x＜20，第三次执行循环体，x=5，x=25不满足循环的条件x＜20，退出循环，输出x的值为25．故程序的循环次数为3．故选：C．【点评】本题考查了程序语言的应用问题，解题的关键是理解题设中语句的意义，是基础题．5．（5分）△ABC中，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）A．150°B．60°C．120° D．30°【分析】由条件利用正弦定理求得c=b，代入a2﹣b2=bc得a2=7b2，再由余弦定理求得cosA的值，从而求得A的值．【解答】解：∵sinC=2sinB，∴由正弦定理得，c=b，又∵a2﹣b2=bc，∴a2=7b2，由余弦定理得，=，∵0°＜A＜180°，∴A=30°，故选：D．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．6．（5分）如图是从甲、乙两品种的棉花中各抽测了10根棉花的纤维长度（单位：mm）所得数据如图茎叶图，记甲、乙两品种棉花的纤维长度的平均值分别为与，标准差分别为s甲与s乙，则下列说法不正确的是（）A．B．s 甲＞s乙C．乙棉花的中位数为325.5mm D．甲棉花的众数为322mm【分析】根据茎叶图中的数据，得出甲、乙两组数据的分布特征与数字特征，再判断选项是否正确．【解答】解：由茎叶图可知，甲组数据集中在300～331之间，且成双峰分布，波动性大；乙组数据集中在312～335之间，也成双峰分布，波动性小；估计它们的平均数是＜，标准差是S甲＞S乙；∴A、B正确；又乙组数据按大小排列，中位数是=325.5（mm），C正确；甲组数据的众数是302（mm）和322（mm），D错误．故选：D．【点评】本题考查了茎叶图以及数据的数字特征分析问题，是基础题．7．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的取值范围为（）A．[﹣2，0]B．[﹣3，0]C．[﹣2，3]D．[﹣3，3]【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得：，B（1，2）．化目标函数z=x﹣2y为直线方程的斜截式．由图可知，当直线过B（1，2）时，直线在y轴上的截距最大，z最小，最小值为1﹣2×2=﹣3；当直线过A（3，0）时，直线在y轴上的截距最小，z最大，最大值为3﹣2×0=3．∴z=x﹣2y的取值范围为[﹣3，3]．故选：D．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8．（5分）若实数x、y满足|x|≤y≤1，则x2+y2+2x的最小值为（）A．B．﹣ C．D．﹣1【分析】画出约束条件表示的可行域，通过表达式的几何意义，求出表达式的最小值．【解答】解：x，y满足|x|≤y≤1，表示的可行域如图：x2+y2+2x=（x+1）2+y2﹣1它的几何意义是可行域内的点到（﹣1，0）的距离的平方减去1．显然D（﹣1，0）到直线x+y=0的距离最小，最小值为：=，所求表达式的最小值为：=，故选：B．【点评】本题考查线性规划的简单应用，注意约束条件表示的可行域，以及所求表达式的几何意义是解题的关键．9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果S=（）A．B．C．D．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值，用裂项法即可计算求值得解．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值．而S=++…+=（1﹣）+（）+…+（）1﹣=．故选：B．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．10．（5分）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞0【分析】由a3，a4，a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a1d和dS4的符号．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，则a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，由a3，a4，a8成等比数列，得，整理得：．∵d≠0，∴，∴，=＜0．故选：B．【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．11．（5分）在△ABC中，已知（a2+b2）sin（A﹣B）=（a2﹣b2）sin（A+B），则△ABC的形状（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【分析】利用两角和与差的正弦将已知中的弦函数展开，整理后利用正弦定理将“边”化角的“正弦”，利用二倍角的正弦公式即可求得答案．【解答】解：∵（a2+b2）（sinAcosB﹣cosAsinB）=（a2﹣b2）（sinAcosB+cosAsinB），∴a2sinAcosB﹣a2cosAsinB+b2sinAcosB﹣b2cosAsinB=a2sinAcosB+a2cosAsinB﹣b2sinAcosB﹣b2cosAsinB，整理得：a2cosAsinB=b2sinAcosB，在△ABC中，由正弦定理==2R得：a=2RsinA，b=2RsinB，代入整理得：sinAcosA=sinBcosB，∴2sinAcosA=2sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴2A=2B 或者2A=180°﹣2B，∴A=B或者A+B=90°．∴△ABC是等腰三角形或者直角三角形．故选：D．【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与二倍角的正弦，属于中档题．12．（5分）（B组题）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，最著名的属普丰实验和查理实验．受其启发，小彤同学设计了一个算法框图来估计π的值（如图）．若电脑输出的j的值为43，那么可以估计π的值约为（）A．B．C． D．【分析】由试验结果知150对0～1之间的均匀随机数a，b，满足，满足a2+b2≤1，且|a+b|≥1的点的面积为：﹣，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是﹣比正方形的面积，二者相等即可估计π的值．【解答】解：由题意，150对0～1之间的均匀随机数a，b，满足，满足a2+b2≤1，且|a+b|≥1的点的面积为：﹣，因为共产生了150对[0，1]内的随机数（a，b），其中能使a2+b2≤1，且|a+b|≥1的有j=43对，所以=﹣，所以π=．故选：D．【点评】本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，是综合题．二、填空题（每小5分，满分20分）13．（5分）经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是0.74．【分析】由互斥事件的概率公式可得．【解答】解：由表格可得至少有2人排队的概率P=0.3+0.3+0.1+0.04=0.74故答案为：0.74【点评】本题考查互斥事件的概率公式，属基础题．14．（5分）某程序框图如图所示，若输出的S=26，则判断框内应填入：k＞3；【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=1，k=1执行循环体，k=2，S=4不满足条件，执行循环体，k=3，S=11不满足条件，执行循环体，k=4，S=26由题意，此时应该满足条件，退出循环，输出S的值为26，可得判断框内应填入k＞3？故答案为：3．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．15．（5分）若x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+3y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围为（﹣6，3）．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义结合数形结合进行判断即可．【解答】解：作出x，y满足约束条件的可行域如图所示，将z=ax+3y化成y=﹣+，当﹣1＜﹣＜2时，y=﹣x+仅在点（1，0）处取得最小值，即目标函数z=ax+3y仅在点A（1，0）处取得最小值，解得﹣6＜a＜3．故答案为：（﹣6，3）．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．16．（5分）若a，b是正常数，a≠b，x，y∈（0，+∞），则，当且仅当时上式取等号．利用以上结论，可以得到函数（）的最小值为25，取最小值时x的值为．【分析】依据题设中的条件的形式，可推知当函数f（x）有最小值，求得x，进而最小值也可求．【解答】解：依题意可知=≥=25，当且仅当时，即x=时上式取等号，最小值为25，故答案为：25，【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生通过已知条件，解决问题的能力．三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余每小题10分.解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤.）17．（10分）从某次知识竞赛中随机抽取100名考生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图，分数落在区间[55，65），[65，75），[75，85）内的频率之比为4：2：1．（Ⅰ）求这些分数落在区间[55，65]内的频率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2个分数，求这2个分数都在区间[55，75]内的概率．【分析】（I）由题意，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之和，利用之比为4：2：1，即可求出这些产品质量指标值落在区间[55，65]内的频率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本，利用列举法确定基本事件，从而求出概率．【解答】解：（Ⅰ）设区间[75，85）内的频率为x，则区间[55，65），[65，75）内的频率分别为4x和2x．…（1分）依题意得（0.004+0.012+0.019+0.030）×10+4x+2x+x=1，…（3分）解得x=0.05．所以区间[55，65]内的频率为0.2．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，区间[45，55），[55，65），[65，75）内的频率依次为0.3，0.2，0.1．用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本，则在区间[45，55）内应抽取件，记为A1，A2，A3．在区间[55，65）内应抽取件，记为B1，B2．在区间[65，75）内应抽取件，记为C．…（6分）设“从样本中任意抽取2件产品，这2件产品都在区间[55，75]内”为事件M，则所有的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，C}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，C}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，C}，{B1，B2}，{B1，C}，{B2，C}，共15种．…（8分）事件M包含的基本事件有：{B1，B2}，{B1，C}，{B2，C}，共3种．…（10分）所以这2件产品都在区间[55，75]内的概率为．…（12分）【点评】本题考查概率分布在实际问题中的应用，结合了统计的知识，综合性较强，属于中档题．18．（12分）为了解某地房价环比（所谓环比，简单说就是与相连的上一期相比）涨幅情况，如表记录了某年1月到5月的月份x（单位：月）与当月上涨的百比率y之间的关系：（1）根据如表提供的数据，求y关于x的线性回归方程y=x+；（2）预测该地6月份上涨的百分率是多少？（参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式=，=﹣）【分析】（1）直接利用已知条件求出x和y的平均值，进一步利用关系式求出回归直线．（2）直接利用回归直线方程求出结果．【解答】解：（1）由题意，=3，=0.2…12+22+32+42+52=55，…1×0.1+2×0.2+3×0.3+4×0.3+5×0.1=3.1…所以=，∴回归直线方程为y=0.01x+0.17（2）当x=6时，y=0.01×6+0.17=0.23预测该地6月份上涨的百分率是0.23【点评】本题考查的知识要点：线性回归直线方程的应用．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A≠，且3sinAcosB+bsin2A=3sinC．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若A=，求△ABC周长的最大值．【分析】（I）利用和角的正切公式，结合正弦定理求a的值；（Ⅱ）若A=，b=2sinB，c=2sinC，△ABC周长=3+2（sinB+sinC）=3+2[sin（﹣C）+sinC]=3+2sin（+C），即可求△ABC周长的最大值．【解答】解：（I）∵3sinAcosB+bsin2A=3sinC，∴3sinAcosB+bsin2A=3sinAcosB+3cosAsinB，∴bsinAcosA=3cosAsinB，∴ba=3b，∴a=3；（Ⅱ）由正弦定理可得==，∴b=2sinB，c=2sinC∴△ABC周长=3+2（sinB+sinC）=3+2[sin（﹣C）+sinC]=3+2sin（+C）∵0＜C＜，∴＜+C＜，∴＜sin（+C）≤1，∴△ABC周长的最大值为3+2．【点评】本题考查正弦定理，和角的正切公式，辅助角公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（12分）（1）设函数f（x）=，求不等式f（x）≤1的解集（2）已知a＞b＞c且恒成立，求实数m的最大值．【分析】（1）分段求解不等式的解集，可得答案；（2）分离参数，构造基本不等式的性质即可求解；【解答】解：（1）当x≥1时，则log4x≤1，解得：x≤4，故x∈[1，4]，当x＜1时，则2﹣x≤1，解得：x≥0，故x∈[0，1），综上，不等式的解集是[0，4]．（2）由题意，a﹣b＞0，b﹣c＞0，a﹣c＞0，∴转化为：可得：即2+≥m∵，．（当且仅当（a﹣b）=（b﹣c）时取等号）∴m≤3+，∴实数m的最大值为3+2．【点评】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，基本不等式的性质的运用．21．（12分）已知袋子中装有红色球1个，黄色球1个，黑色球n个（小球大小形状相同），从中随机抽取1个小球，取到黑色小球的概率是．（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）若红色球标号为0，黄色球标号为1，黑色球标号为2，现从袋子中有放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．（ⅰ）记“a+b=2”为事件A，求事件A的概率；（ⅱ）在区间[0，2]内任取2个实数x，y，求事件“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”的概率．【分析】（Ⅰ）从中随机抽取1个小球，取到黑色小球的概率是，列出方程．求解n的值；（Ⅱ）（ⅰ）求出从袋子中现从袋子中有放回地随机抽取2个小球的所有事件个数，满足“a+b=2”为事件A的个数，然后求解概率；（ⅱ）直接利用几何概型，求解全部结果的区域面积与所求结果的区域面积，求解概率即可．【解答】解：（Ⅰ）依题意，得n=1（Ⅱ）（ⅰ）记标号为0的小球为s，标号为1的小球为t，标号为2的小球为k，则取出2个小球的可能情况有：（s，t），（s，k），（t，s），（t，k），（k，s），（k，t），（s，s），（t，t），（k，k），共9种，其中满足“a+b=2”的有3种：（s，k），（k，s）（t，t）．所以所求概率为（ⅱ）记“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”为事件B．则事件B等价于“x2+y2＞4恒成立”，（x，y）可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω={（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R}，而事件B构成的区域为B={（x，y）|x2+y2＞4，（x，y）∈Ω}．所以所求的概率为P（B）==1﹣．【点评】本题考查古典概型以及几何概型的概率的求法，基本知识的考查，属于中档题．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n是S n与2的等差中项，数列{b n}中，b1=1，点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上，n∈N*．（1）求数列{a n}，{b n}的通项a n和b n；（2）求证：；（3）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（1）利用a n=s n﹣s n﹣1，可得，由点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上，可得b n+1﹣b n=2，（2）利用裂项求和，（3）利用错位相减求和．【解答】解：（1）∵a n是S n与2的等差中项，∴S n=2a n﹣2，∴S n﹣1=2a n﹣1﹣2，∴a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1，又a1=2，∴a n≠0，（n≥2，n∈N*），即数列{a n}是等比数列，，∵点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上，∴b n﹣b n+1+2=0，b n+1﹣b n=2，即数列{b n}是等差数列，又b1=1，∴b n=2n﹣1．（2）∵，∴==．（3）∵，∴T n=a1b1+a2b2+…+a n b n=1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）2n，∴，因此，，即，∴．【点评】本题考查了数列的递推式的应用，及常见的非等差、等比数列求和，属于基础题．。