2018年江西省上饶县中学高中奥林匹克数学竞赛训练试题195Word版缺答案

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（180）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 2014把椅子排成一圈，有n 个人坐在椅子上，使得再有一人坐入时，总与原来的n 个人中的一人坐在相邻的椅子上.则n 的最小值为.2. 在ABC ∆中，已知2,3,4A B A CB C ===.设O 为ABC ∆的内心，且A O A B B C λμ=+.则λμ+=.3. 已知一个球与棱长为a 的正四面体的六条棱均相切.则此球的体积为.4. 设函数233()(1)(1)f x k x x x x =-+--.若对任何[]0,1x ∈，均有()0f x ≥，则k 的最小值为.5. 在直角坐标平面上，若一个过原点且半径为r 的圆完全落在区域4y x ≥内，则r 的最大值为.6. 已知数列{}n a 满足211()n n n a a a n ++=-∈Z ，且1a =.7. 已知x y z +∈R 、、，且6x y z ++=.则x . 8. 将“马”“上”“成”“功”这四个字填在一个55⨯的方格表中，每个小方格内至多填1个字，“马”“上”始终按从左往右的顺序填写，“成”“功”也始终按从左往右的顺序填写，且“马”“上”必须在同一行或按从上往下的顺序在同一列，或者“成”“功”必须在同一行或按从上往下的顺序在同一列.则不同的填法种数为（用数字作答）.二、解答题（共56分）9.（16分）设{}12,,,n A a a a =⊂+Z .对所有不同的子集B C A ⊆、，有x B x C x x ∈∈≠∑∑.证明：121112na a a +++<.10.（20分）已知函数2()2f x x ax =-与2()1g x x =--的图像有两条公切线，且由这四个切点组成的四边形的周长为6.求实数a 的值.11.（20分）椭圆1C 与双曲线2C 有公共焦点(,0)(0)c c ±>，1C 与2C 的离心率之差不超过1，且2C 有一条渐近线斜率不小于34，12C C 、与x 轴正半轴分别交于A B 、，且两曲线在第一象限的交点为D .问：ABD ∆的面积是否有最大值？若有，求出最大值并给出12C C 、的方程；若没有，请说明理由.加 试一、（40分）将ABC ∆的边BC BA 、分别延长到点E F 、，使,A E B EB F C F ==，EA 与FC 交于点D ，设H O 、分别是ABC ∆的垂心、外心.证明：直线HO 过点D .二、（40分）设(3)n n ≥是给定的自然数，对于个给定的实数12,,,n a a a ，记(1)i j a a i j n -≤<≤的最小值为m .若222121n a a a +++=，求m 的最大值.三、（50分）证明：存在无数个满足如下条件的整数组(,,,)a b c d ：（1）0,(,)1a c a c >>=；（2）对任意给定的正整数k ，恰有k 个正整数n ，使得()()an b cn d ++.四、（50分）对给定自然数2n ≥，求满足下列条件的最大的N ：无论怎样21,2,,n 将填入一个n n ⨯的方格表，总存在同一行或同一列的两个数，它们的差不小于N .。

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（185）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 标号依次为1,2,,2015L 的2015个人排成一列，在他们之间做换位游戏，规定每次换位只能在相邻两人间进行.现把标号为100号与编号为1000的两人交换位置，最少要进行次换位.2. 已知长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别为123、、，P 为平面1A BD 内的一点.则AP 长的最小值为.3. 不等式sin sin cos cos x x x x >g g 的解集为.4. 设I 为ABC ∆的内心，且3450IA IB IC ++=u u r u u r u u r .则C ∠的大小为.5. 在平面直角坐标系中，已知O 为原点，点(1,0),A B -，动点C 在圆22(3)4x y -+=上运动.则OA OB OC ++u u u r u u u r u u u r 的最大值为. 6. 已知2015个正整数122015,,,a a a L 满足121,8a a ==，1132(2,)n n n a a a n n +-=-≥∈N 且.则20152014a a -的所有正因子之和为.7. 设n 为正整数.从集合{}1,2,,2015L 中任取一个正整数n 恰为方程236n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦的解的概率为（[]x 表示不超过实数的最大整数）. 8. 已知αβγ、、为方程3256780x x x -+-=的三个不同的根.则222222()()()ααββββγγγγαα++++++的值为.二、解答题（共56分）9.（16分）已知0x y z >、、.求(,,)f x y z =的最小值.10.（20分）已知数列{}n a 满足11212,(2)n n a a a a a n -==≥L ，且1(1)log 216()k n n a k T k k f n =⎡⎤=-=-⎣⎦∑.求()f n 的表达式.11.（20分）已知离心率为12的椭圆的左焦点1F 为抛物线24(0)y px p =>的准线与x 轴的交点,右焦点2F 也为抛物线的焦点,椭圆与抛物线在x 轴上方的交点为P ,延长1PF ,与该抛物线交于点,Q M 为抛物线上一个动点,且M 在点P 与Q 之间运动若12PF F ∆的边长恰为三个连续的正整数,求MPQ ∆面积的最大值.加试一、（40分）如图1，圆内接四边形ABCD的对角线AC与BD交于点N，AC的中点为M.若22BC BNCD DN=，证明：22221MN DNMC DM+=.二、（40分）在ABC ∆中，证明：cos cos cos cos cos cos 222222cos cos cos 222B C C A A B A B C ++≥g g g ，当且仅当ABC ∆为正三角形时，上式等号成立.三、（50分）求最小的两个正整数m ，使得247(46713)m m ++为完全平方数.四、(50分)已知A是由2015个不同正整数组成的集合,并且A中任意三个不同的数均为一个S A表示由A确定的非钝角三角形的三边长,此时称该三角形为集合A确定的一个三角形,()S A的最小值.所有三角形的周长的和(全等三角形只计算一次)求()。

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（190）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 已知函数211x y x -=-的图像与函数2y kx =-的图像恰有两个交点.则实数k 的取值范围是. 2. 在三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长均相等，01160BAA CAA ∠=∠=.则异面直线1AB 与1BC 所成的角为.3. 已知椭圆224()4x y a +-=与抛物线22x y =有公共点.则a 的取值范是.4. 如图1，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD （含 端点）上运动，P 为Q 上及内部的动点，设向量()AP mAB nAF m n =+∈R 、.则 m n +的取值范围是.5. 计算：10112k k n n k C k +=⎡⎤⎛⎫=⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑.6. 设1234(1,2,3),(2,4,1),(1,,5),(4,1,3)P P P k P k +是空间中体积为1的一个四面体的四个 顶点.则k =.7. 已知数列{}n a满足0180,0,)5n n a a a n n +==≥∈N .则10a =. 8. 将正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点用四种不同的颜色染色，要求同一条棱的两个 端点颜色不相同，一共有种染法.二、解答题（共56分）9.（16分）在ABC ∆中，若cos cos 2sin sin A B B A+=，证明：090A B ∠+∠=.10.（20分）已知双曲线1y x =上有一点1,(0)A a a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，点A 关于原点的对称点为B ，以AB 长为半径作A 与双曲线交于P Q R 、、三点.证明：PQR ∆为正三角形.11.（20分）已知a b c +∈R 、、，且2223a b c ++=.证明：1113222a b c++≥---.加 试一、（40分）如图2，在ABC ∆中，090ABC ∠=，M 为边AC 的中点，AT AC ⊥，TM 的延长线与BC 交于点D ，联结TB .证明：ABT CAD ∠=∠.二、（40分）求方程!!y x y x +=的全部正整数解(,)x y .三、（50分）已知n 为给定的不小于2的正整数.对于所有的非负数组(1,2,,)i a i n =，求 1121n n i i i i n ii a ia i a ===⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭∑∑∑的最大值.四、(50分)有座城市，任意两座城市之间可以建设单向的航线.问：是否可以找到一种构建航线的方法，使得从一座城市至多转机一次就可以到达另外任何一座城市？。

数学奥林匹克高中训练题(182)第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 已知集合{}{}2,0,1,4,tan 0A B x A x ==∈≥.则集合B 的所有元素之和为.2. 若[)335(sincos )0,2θθθπ<-∈，则θ的取值范围是.3. 已知1010log sin log cos 1x x +=-.则102log (sin cos )x x +=.4. 在四面体ABCD 中，已知3ADB BDC CDA π∠=∠=∠=，ADB BDC CDA ∆∆∆、、的21、.则此四面体体积为. 5. 小明、小红分别独立重复投掷均匀的色子，直到第一次出现6点为止.则小明和上红投掷的次数相差不超过1的概率为.6. 已知2223x y z ++=.则xy yz zx ++的最小值为.7. 在平面直角坐标系中，已知1O 与2O 交于(3,2)P Q 、两点，两圆半径之积为132.若两圆均与直线:l y kx =和x 轴相切，则直线l 的方程为. 8. 将具有如下性质的33⨯方格表称为“T -网格”：（1）五个格填1，四个格填0；（2）三行、三列以及两条对角线共八条线上至多有一条，其中三个数两两相等.则不同的T -网格共有个. 二、解答题（共56分）9.（16分）已知函数2()(0)f x ax bc c a =++>且3460a b c ++=.证明：()f x 在区间(0,1)上必有零点.10.（20分）已知双曲线222x y -=的左、右焦分别为点12F F 、，过定点(2,3)P 作双曲线222x y -=的切线，切点分别为A B 、，且点A 的横坐标小于点B 的横坐标.（1）求直线AB 的方程； （2）证明：12F PA F PB ∠=∠.11.（20分）已知实数x y 、满足3399xyxy+=+.求2727xyU =+的取值范围.加 试一、（40分）如图1，已知AB 为凸四边形ABCD 的最长边，点M N 、分别在AB BC 、上，且AN CM 、均平分四边形ABCD 的面积.证明：线段MN 平分对角线BD .二、（40分）已知正数数列{}{}n n a b 、满足对于任意的正整数n ，有222121,n n n n n n a a a b b b ++++=+=+，且12121,1,1,1a a b b >>>>.证明：（1）对于任意的正整数(2)n n ≥有42n n a a +>；（2）从某一个正整数n 开始均有n n a b >.三、（50分）设k I 表示k 个数字均为1的十进制数（如131,111I I ==），定义{}1!nkk n I==∏.（1）对于任意正整数m n 、令{}{}{}!(,)!!m n f m n m n +=，写出一个关于(,)f m n 的递推关系式，并证明之；（2）证明：对于任意正整数{},!m n m n +、均可以被{}{}!!m n 整除.四、(50分)某国有53座城市,任意两座城市之间要么有一条双向公路直达,要么没有直接相连的公路.已知这53座城市之间共有312条公路,并且由任何一座城市出发通过公路均能到达其余各城市.每一座城市至多向其余12座城市引出公路,且每走一条公路需要缴纳10元路费.现甲在城市A,且身上仅有120元.甲是否一定能到达任意一座城市?证明你的结论.。

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(220)(无答案)第一试一、填空题1函数f(x}=(兀-兀3)(1-6〒+〒)的值域为。

(1 + x2)4 ------------------2.设复数ZH1,Z“ =1,则z + z3 + z4 + z5 + z9= _____________________ o3.设x、y、z 为正整数，集合A=^3(x- y)(y- z)(z- 2 2 * , B={(x-刃‘+(y-z)‘+(z-x)',x+y + + z*。

若A二B,则x3 4-y3 4-z3 = _______2 24.设P为椭圆缶+ * = l(a〉b〉O)上任意一点，两焦点为斤(一。

,0),恥,0),卩片、PF/*别与椭圆交于点A、B,若/、戻、疋成等差数列，则旦1 + 竺.=AF}\ \BF25.有六根细棒，长度依次为3、2血、2、2、2、2,用它们搭成三棱锥。

则其屮两根较长的棱所在的直线所成角的余弦值为_________ 。

6.设兀、ywR+，则函数/(x, y) = yjx2 -xy + y2 + \/x2 -9x + 27 + ^/y2 -15^ + 75 的最小值为__________ 。

7.设UD，…,D“为RtAABC的斜边BC ±的2/? /(> 个点，记ADt = at(z = 1,2,• • •, In +1),满足= £>£>+1(z = 1,2,• • •, 2n, D o =B, D2z/+1 = C),则sine sin6Z3---sin6Z2/;+1_________________ Qsincr2 sin 也…sin 纭8. _________________________________________________________ 三位数dbc满足ahc = a + h2+c3,则满足条件的三位数dbc共有___________________________ 个。

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（180）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 2014把椅子排成一圈，有n 个人坐在椅子上，使得再有一人坐入时，总与原来的n 个人中的一人坐在相邻的椅子上.则n 的最小值为.2. 在ABC ∆中，已知2,3,4A B A CB C ===.设O 为ABC ∆的内心，且A O A B B C λμ=+.则λμ+=.3. 已知一个球与棱长为a 的正四面体的六条棱均相切.则此球的体积为.4. 设函数233()(1)(1)f x k x x x x =-+--.若对任何[]0,1x ∈，均有()0f x ≥，则k 的最小值为.5. 在直角坐标平面上，若一个过原点且半径为r 的圆完全落在区域4y x ≥内，则r 的最大值为.6. 已知数列{}n a 满足211()n n n a a a n ++=-∈Z ，且1a =.7. 已知x y z +∈R 、、，且6x y z ++=.则x . 8. 将“马”“上”“成”“功”这四个字填在一个55⨯的方格表中，每个小方格内至多填1个字，“马”“上”始终按从左往右的顺序填写，“成”“功”也始终按从左往右的顺序填写，且“马”“上”必须在同一行或按从上往下的顺序在同一列，或者“成”“功”必须在同一行或按从上往下的顺序在同一列.则不同的填法种数为（用数字作答）.二、解答题（共56分）9.（16分）设{}12,,,n A a a a =⊂+Z .对所有不同的子集B C A ⊆、，有x B x C x x ∈∈≠∑∑.证明：121112na a a +++<.10.（20分）已知函数2()2f x x ax =-与2()1g x x =--的图像有两条公切线，且由这四个切点组成的四边形的周长为6.求实数a 的值.11.（20分）椭圆1C 与双曲线2C 有公共焦点(,0)(0)c c ±>，1C 与2C 的离心率之差不超过1，且2C 有一条渐近线斜率不小于34，12C C 、与x 轴正半轴分别交于A B 、，且两曲线在第一象限的交点为D .问：ABD ∆的面积是否有最大值？若有，求出最大值并给出12C C 、的方程；若没有，请说明理由.加 试一、（40分）将ABC ∆的边BC BA 、分别延长到点E F 、，使,A E B EB F C F ==，EA 与FC 交于点D ，设H O 、分别是ABC ∆的垂心、外心.证明：直线HO 过点D .二、（40分）设(3)n n ≥是给定的自然数，对于个给定的实数12,,,n a a a ，记(1)i j a a i j n -≤<≤的最小值为m .若222121n a a a +++=，求m 的最大值.三、（50分）证明：存在无数个满足如下条件的整数组(,,,)a b c d ：（1）0,(,)1a c a c >>=；（2）对任意给定的正整数k ，恰有k 个正整数n ，使得()()an b cn d ++.四、（50分）对给定自然数2n ≥，求满足下列条件的最大的N ：无论怎样21,2,,n 将填入一个n n ⨯的方格表，总存在同一行或同一列的两个数，它们的差不小于N .。

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（190）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 已知函数211x y x -=-的图像与函数2y kx =-的图像恰有两个交点.则实数k 的取值范围是. 2. 在三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长均相等，01160BAACAA ∠=∠=.则异 面直线1AB 与1BC 所成的角为.3. 已知椭圆224()4x y a +-=与抛物线22x y =有公共点.则a 的取值范是. 4. 如图1，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD （含 端点）上运动，P 为Q 上及内部的动点，设向量()AP mAB nAF m n =+∈R 、.则 m n +的取值范围是.5. 计算：10112k k n n k C k +=⎡⎤⎛⎫=⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑.6. 设1234(1,2,3),(2,4,1),(1,,5),(4,1,3)P P P k P k +是空间中体积为1的一个四面体的四个 顶点.则k =.7. 已知数列{}n a满足0180,0,)5n n a a a n n +==≥∈N .则10a =. 8. 将正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点用四种不同的颜色染色，要求同一条棱的两个 端点颜色不相同，一共有种染法.二、解答题（共56分）9.（16分）在ABC ∆中，若cos cos 2sin sin A B B A+=，证明：090A B ∠+∠=.10.（20分）已知双曲线1y x =上有一点1,(0)A a a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，点A 关于原点的对称点为B ，以AB 长为半径作A 与双曲线交于P Q R 、、三点.证明：PQR ∆为正三角形.11.（20分）已知a b c +∈R 、、，且2223a b c ++=.证明：1113222a b c++≥---.加 试一、（40分）如图2，在ABC ∆中，090ABC ∠=，M 为边AC 的中点，AT AC ⊥，TM 的延长线与BC 交于点D ，联结TB .证明：ABT CAD ∠=∠.二、（40分）求方程!!yx y x +=的全部正整数解(,)x y .三、（50分）已知n 为给定的不小于2的正整数.对于所有的非负数组(1,2,,)i a i n =，求 1121n n i i i i n ii a ia i a ===⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭∑∑∑的最大值.四、(50分)有座城市，任意两座城市之间可以建设单向的航线.问：是否可以找到一种构建航线的方法，使得从一座城市至多转机一次就可以到达另外任何一座城市？。

数学奥林匹克高中训练题（202）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1.设3331110201620162016x y z x y z y z x >+=+=++++、、，且则333x y z xyz ++的取值集合为 。

2.多项式32()2242016p x x x x d =-+-的三个根成等比数列，则d 的值为 。

3.若曲线229x y -=上的点P 到直线y x =-的距离为2016，则点P 到第一、三象限角平分线的距离为 。

4.设ABC ∆的边长分别为62x x 、、。

则其面积S 的最大值为 .5.在四面体ABCD 中，1,5,7,5,7AB BC CD DA AC BD ======.则其体积为 。

6.连续掷三次色子，所得点数的乘积被6整除的概率为 。

7.在方程141010z z ++=的所有复根中，模长为1的有 个。

8.设100101102103A =…798799为2100位的正整数，其由100到799的三位数顺序连接而成，则A 被126除的余数为二、解答题（共56分）9.（16分）数列{}n a 满足1232,2a a ==， 211111120(2)n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n +-+-+---++--=≥证明：20166a >10.（20分）已知点(1,2)P -在抛物线2y mx =上，问：是否存在定点Q ，经过点Q 而与抛物线交于点A 、B 的任意直线均使得APB ∠的外角平分线为抛物线的切线？11.（20分）求函数()f x =加试一、（40分）设整数2n ≥，证明：111318k k n n k k k n C C -=-<∑二、（40分）求所有的自然数n ，使111nn +为五次方数。

三、（50分）如图1，ABC ∆的内切圆与边BC CA AB 、、分别切于点D 、E 、F ，BF 、BD 、CE 、CD 的中点分别为M 、N 、P 、Q ，MN 与PQ 交于点X ，证明：XBC ∆的外接圆与ABC ∆的内切圆相切。

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（195）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 设p q ∈+R 、，且满足91216log log log ()p q p q ==+.则q p=. 2. 已知函数2()cos sin 2f x x a x =-+的最大值为5.则实数a 的值为.3. 设数列{}n a 满足[]{}111n n n a a a a +==+，其中，[]{}n n a a 、分别表示正数n a 的整数部分、小数部分.则2015a =. 4. 在三棱椎P ABC -中，已知3,4,5BC CA AB ===.若三个侧面与底面所成的二面角均 为045，则三棱椎P ABC -的体积为.5. 已知双曲线221:21C x y -=，椭圆222:41C x y +=.若M N 、分别为双曲线1C 、椭 圆2C 上的动点，O 为坐标原点，且OM ON ⊥，则点O 到直线MN 的距离 为.6. 设a b 、均为正整数，且2015(1a +=+.则ab 的个位数字为.7. 设椭圆22221x y m n+=经过定点(1,2)P .则m n +的最小值为. 8. 一道数学竞赛题，甲、乙、丙单独解出的概率分别为111a b c 、、，其中，a b c 、、均为个位数.现甲、乙、丙同时独立解答此题，若他们中恰有一人解出此题的概率为715，则他们三人均未解出此题的概率为.二、解答题（共56分）9.（16分）已知正项数列{}n a 满足1=且121,8a a ==.求{}n a 的通项公式.10.（20分）设2()(2)f x ax bc c a =++>.证明：集合{}1()1x f x -≤≤中至多包含两个整数.11.（20分）求内接于抛物线22y px =的正三角形中心的轨迹方程.加 试一、（40分）给定正整数()n k n k >、，及12,,,0k x x x >.求出12,,,0k k n x x x ++>，使得1i i j n jx x ≤≤∑、取最小值.二、（40分）如图1，半径为1212r r r r <、（）的两圆交于A B 、两点，R 是半径为1r 的圆上任意一点（不在另一圆内），RA RB 、与另一圆分别交于点P Q 、.（1）用12r r 、及ARB ∠表示PQ 的长度；（2）证明：两圆正交（即交点处切线互相垂直）的充分必要条件为22PQ r =.、：三、（50分）试确定平面上是否存在满足下述条件的两个不相交的无限点集X Y（1）在X Y中，任何三点不共线，且任何两点的距离至少为1；（2）任何一个顶点在Y中的三角形，其内部均存一个X中的点，任何一个顶点在X中的三角形，其内部均存在一个Y中的点.四、(50分)已知n 为正整数.证明：1210nnn n l n l i C C -+-+=∑为奇数.。

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（193）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 复数z 满足12015z i z z -=-=-.则z =.2. 函数()5)f x x =>的最大值为.3. 002(2sin 362sin 72)=. 4. 圆锥曲线210x xy -+=的离心率为. 5. 已知实数x y 、满足22222015)(2015)2x y ++=（.则x y +的最大值为. 6. 设M 为正四面体ABCD 的高1DD 的中点.则二面角A MB C --的弧度数为. 7. 从集合{}1,2,,100中任取元素m n 、（可以相同）.则23m n +的个位数字是3的概率为. 8. 甲、乙、丙三人的年龄数x y z 、、之和为120，且2060x y z ∈、、（，）.则有序数组(,,)x y z 的个数为.二、解答题（共56分）9.（16分）求方程22280x x --=的所有实数解.10.（20分）证明：（1）对任意正整数n ，均有15123n n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭； （2）对任意正整数1n >，均有111nn k n n k k n e k n =-=⎛⎫ ⎪⎝⎭>⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑.11.（20分）设椭圆221169x y +=上有三个动点P Q R 、、，且P Q 、两点关于坐标原点对称.求RP RQ +的最大值.加 试一、（40分）如图1，已知动点D 在圆Γ的劣弧AB 上，C 为优弧AB 的中点，过点D 的切线分别与过点A B 、的切线交于点E F 、，联结EC FC 、，与弦AB 分别交于点G H 、.证明：2AB GH =.二、（40分）已知正实数a b c d 、、、满足1a b c d +++=.证明：216117a a ≤+∑，其中，“∑”表示轮换对称和.三、（50分）求满足(22)p q pq +的素数p q 、.四、(50分)给凸多面体的每个顶点定义一个曲解.将项点所有面角之和关于2π的补角称为该顶点的曲角（如正方体顶点的曲角为2π，正四面体顶点的曲角为π）.证明：凸多面体所有顶点的曲角之和等于4π.。

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（210）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1.设函数()x x f 2log =，实数a 、b ()＜b a 满足()()＋2＋1b f a f =，()4＋6b＋2210=a f ，则ab = 。

2.已知数列{}n a 满足2＋10-1＋345,0nn n aa a a ==()N n ∈，记,0∑==ni i n a S 则51S = 。

3.已知椭圆15y ＋922=x 的右焦点为F ，P 为椭圆上一点，点()32,0A ，当APF ∆的周长最大时，APF ∆的面积为 。

4.已知AB 是以()1,0C 为圆心且与函数11-=x y 图像有公共点的所有圆中半径R 最小的圆的一条直径，O 为原点，则OA OB = .5.抽屉中装有红、蓝两种颜色的短袜，总数不超过2016只，随机取出两只短袜，其同色的概率为21，则抽屉中红袜数量的最大值为 。

6.在ABC ∆中，,3B AC π∠==点D 在边AB 上，BD=1，且DA=DC,则=∠DCA7.已知半径为222的球的球心O 为正四面体Γ的中心，且球O 的球面被四面体Γ的四个面截得的曲线总长度为8π，则四面体Γ的体积为 。

8.已知非负整数数列{}n a 满足n n a a a ≤=＋11,2016，且若项数不少于2，则其中任意两项均不相等，那么，这样的数列{}n a 的个数为 。

二、解答题9.设321x x x 、、为方程0＋17163=-x x 的三个根，证明123arctan arctan arctan 4x x x π++=10.已知抛物线C ∶x y 42=的焦点为F ，M 为圆Γ∶()8＋322=-y x 上一点，以F 为圆心、FM 为半径作F ，直线l 与F 切于点M ，与抛物线C 交于A 、B 两点，直线21、l l （异于直线l ）分别过点A 、B 且与F 相切，证明∶21//l l11.对任意2016个复数201621,…,,z z z ，均有{}2016221120161mink k kk k z z z λ≤≤=≥-∑，其中12017z z=，求λ的最大值。

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(无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分)1. 设p q ∈+R 、，且满足91216log log log ()p q p q ==+。

则qp=。

2. 已知函数2()cos sin 2f x x a x =-+的最大值为5.则实数a 的值为.3. 设数列{}n a 满足[]{}111n n n a a a a +==+,其中，[]{}n n a a 、分别表示正数n a 的整 数部分、小数部分.则2015a =.4. 在三棱椎P ABC -中，已知3,4,5BC CA AB ===。

若三个侧面与底面所成的二面角均 为045，则三棱椎P ABC -的体积为。

5. 已知双曲线221:21C x y -=，椭圆222:41C x y +=。

若M N 、分别为双曲线1C 、椭 圆2C 上的动点,O 为坐标原点，且OM ON ⊥，则点O 到直线MN 的距离 为.6. 设a b 、均为正整数，且2015(1a +=+.则ab 的个位数字为.7. 设椭圆22221x y m n+=经过定点(1,2)P .则m n +的最小值为。

8. 一道数学竞赛题，甲、乙、丙单独解出的概率分别为111a b c、、，其中，a b c 、、均为个位数。

现甲、乙、丙同时独立解答此题，若他们中恰有一人解出此题的概率为715，则他们三人均未解出此题的概率为.二、解答题（共56分)（16分）已知正项数列{}n a=129。

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（220）（无答案）第一试一、填空题1函数32424()(16)()(1)x x x x f x x --+=+的值域为 。

2.设复数111,1z z ≠=，则3459z z z z z ++++= 。

3.设x y z 、、为正整数，集合{}222222=3()()(),,2()A x y y z z x xyz y z z x x y ---++，{}333444B=()()(),,x y y z z x x y z x y z -+-+-++++。

若A=B ，则333x y z ++=4.设P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点，两焦点为1212(,0),(,0),F c F c PF PF -、分别与椭圆交于点A 、B ，若222a b c 、、成等差数列，则1212PF PF AF BF += .5.有六根细棒，长度依次为3、2222、、、，用它们搭成三棱锥。

则其中两根较长的棱所在的直线所成角的余弦值为 。

6.设x y R +∈、，则函数(,)f x y =为 。

7.设122,,,n D D D …为Rt ABC ∆的斜边BC上的2(1n n ≥个点，记1(1,2,,21)i i i D AD i n α-∠==+…，满足1+1i i i i D D D D -=021(1,2,,2,=,)n i n D B D C +==…，则1321242sin sin sin sin sin sin n nαααααα+……= 。

8.三位数abc 满足23abc a b c =++，则满足条件的三位数abc 共有 个。

二、解答题9.设[]0,2x π∈，求函数()f x =最大值。

10.设532()3236f x x x x x =-+++，记1(43)(43)(41)(41)nn k k f k A k f k =--=--∏，求25A 的值。

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（212）（无答案）第一试一、填空题1.已知圆心均在直线1y x =-上的两圆12O O 、交于A 、B 两点，(7,9)A -，则点B 的坐标为 。

2.方程组2220,2240x y x y xy x y -+-=⎧⎨++-=⎩①②的实数解(,)x y 为 。

3.已知点集{}(,)123x y x y T =++-≤，数集{}2(,)M x y x y =+∈T ，则集合M 中最大元素与最小元素之和为 。

4.当n 为正整数时，函数f 满足()1(3),(1)0,(1)1()1f n f n f f f n -+=≠≠±+且。

则(1)(202f f = 。

5.在直角坐标系xOy 中，有50条不同抛物线2y ax bx c =++和另50条不同抛物线2111x a y b y c =++，这100条抛物线把坐标平面最多分成 个部分。

6.已知三内角成等差数列的三角形的最长、最短两边之差为第三边上的最高的4倍，则最大内角比最小内角大 （用反三角函数表示）。

7.滨螺最初位于点（0，1），每天其从点(,)x y 爬到点（2，1），则第2017天其位于 。

8.如图1，P 为ABC ∆内一点，ABC ∆的周长、面积分别为l s 、，点P 到AB 、BC 、CA 的垂线段分别为PD 、PE 、PF ，且22AB BC CA l PD PE PF s++≤，则P 为ABC ∆的“五心”中的 心。

二、解答题9.已知x 为实数，求函数32()4sin sin 4sin 8f x x x x =+-+的值域。

10.已知P 过点(3,1)A ，且与22:(2)4M x y +-=及直线311:44l y x =--均相切。

求P 的半径。

11.设2018个实数122018,,,a a a …满足201820182110,2018i i i i aa ====∑∑。

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（210）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1.设函数()x x f 2log =，实数a 、b ()＜b a 满足()()＋2＋1b f a f =，()4＋6b＋2210=a f ，则ab = 。

2.已知数列{}n a 满足2＋10-1＋345,0nn n aa a a ==()N n ∈，记,0∑==ni i n a S 则51S = 。

3.已知椭圆15y ＋922=x 的右焦点为F ，P 为椭圆上一点，点()32,0A ，当A P F ∆的周长最大时，APF ∆的面积为 。

4.已知AB 是以()1,0C 为圆心且与函数11-=x y 图像有公共点的所有圆中半径R 最小的圆的一条直径，O 为原点，则OA OB = .5.抽屉中装有红、蓝两种颜色的短袜，总数不超过2016只，随机取出两只短袜，其同色的概率为21，则抽屉中红袜数量的最大值为 。

6.在ABC ∆中，,3B AC π∠==点D 在边AB 上，BD=1，且DA=DC,则=∠DCA7.已知半径为222的球的球心O 为正四面体Γ的中心，且球O 的球面被四面体Γ的四个面截得的曲线总长度为8π，则四面体Γ的体积为 。

8.已知非负整数数列{}n a 满足n n a a a ≤=＋11,2016，且若项数不少于2，则其中任意两项均不相等，那么，这样的数列{}n a 的个数为 。

二、解答题9.设321x x x 、、为方程0＋17163=-x x 的三个根，证明123arctan arctan arctan 4x x x π++=10.已知抛物线C ∶x y 42=的焦点为F ，M 为圆Γ∶()8＋322=-y x 上一点，以F 为圆心、FM 为半径作F ，直线l 与F 切于点M ，与抛物线C 交于A 、B 两点，直线21、l l （异于直线l ）分别过点A 、B 且与F 相切，证明∶21//l l11.对任意2016个复数201621,…,,z z z ，均有{}2016221120161mink k kk k z z z λ≤≤=≥-∑，其中12017z z=，求λ的最大值。

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（194）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 如图1，平行于y 轴的直线分别与函数12log y x =及22log 2y x =+的图像交于点 B C 、，点(,)A m n 为 函数2y 图像上一点.若ABC ∆为正三角形，则2n m =. 2. 在ABC ∆中，已知A B C ∠∠∠、、所对的边长分别为a b c 、、，边BC 上的高 12AD a =.则2()2b c bc+的取值范围是. 3. 从0001,2,,179中选出三个不同的角度使其松成某个三角形的三个内角，一共有 种不同的选法. 4. 已知复数12z z 、满足125arg 6z z π=，且112z z z =+.则1222z tz z +的最小值 为. 5. 方程423423(sin sin )(cos cos )2cos2x x x x x +-+=的解集为. 6. 已知实数x y 、满足2221x xy y --=.则222x y +的最小值为.7. 如图2，已知A B C 、、为椭圆 22221(0)x y a b a b+=>>上三点，AB 为原点O ， AC 过右焦点F .若BF AC ⊥，且2AF FC =则 椭圆的离心率为.8. 设01()2015,()()1()n n f x x f x f x n -+=-=-∈Z .则函数2015()y f x =的零点个数为.二、解答题（共56分）9.（16分）已知二次函数()f x 满足(0)2,(2)2,(2)2f f f ≤≤-≤.当[]2,2x ∈-时，求 ()y f x =的最大值.10.（20分）如图3，中心在坐标原点和焦点分别在x 轴、y 轴上的椭圆12C C 、均过点(0,M ，且椭圆12C C 、的离心率均为2.过点M 作两条斜率分别为k k '、的直线，分别与椭圆12C C 、交于点P Q 、.当4k k '=时，直线PQ 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.11.（20分）已知数列{}n a 满足[]0101,2()1()nn n kk a a a n k a n +==-=-+∈∑N .证明：当1n ≥时，有12111710n a a a +++<.加 试一、（40分）如图4，已知O 为锐角ABC ∆内一点，O 在BC CA AB 、、上的投影分别为111A B C 、、，过点A B 、分别作1111B C AC 、的垂线交于点P ，P 在AB 上的投影为H .证明： （1）11CP A B ⊥；（2）111A B C H 四点共圆.二、（40分）已知正实数a b c 、、满足a b c abc ++<.证明：32+<.三、（50分）在空间直角坐标系中，若一个点的三个坐标均为整数，则称该点为“格点”.若两个格点有两个对应的坐标相等，剩下的一个坐标恰相差1，则称这两个格点是“相邻”的.最初在原点(0,0,0)O 处放置一枚棋子，进行如下操作：若一枚棋子所在的格点有三个未放置棋子的相邻的格点，则可以将该棋子取走并在那三个未放置棋子的相邻的格点处各放上一枚棋子.问：能否经过有限次操作，使得所有棋子的坐标(,,)x y z 满足6x y z ++≥？四、(50分)给定素数p 以及正整数()k k p <.求所有的正整数(1)n n p ≥-，满足11,,,(1,2,,1)i i i p n n n C C C i n p ++-=-+中恰有k 个数被p 整除.。

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（211）（无答案）第一试一、填空题1.已知x 的最大值为 。

2.顺次联结2210x y +=与4y x=的交点，得到一个凸四边形，则此四边形的面积为 3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若6726,2S a ==，则n nS 的最大值为 。

4.若关于x 的复系数方程2(12)120i x mx i +++-=有实根，则复数m 的模的最小值为5.空间一点P 到正四面体ABCD 的顶点A 、B 的距离分别为2、3，当正四面体的棱长位置变化时，点P 到CD 所在直线的最大距离为 。

6.在一次无平局的比赛中，当比赛进行到其中一人比另一人多胜2场时结束，且胜场多者获胜，已知在第奇数场时，甲获胜的概率为35；在第偶数场时，乙获胜的概率为35，则比赛结束时进行场数的数学期望为 。

7.设[)21()ln 2(1,0)2f x x ax x a =--∈-，且()f x b <在区间(]0,1上恒成立，则实数b 的取值范围是 。

8.若周长为1的ABC ∆三条边上的高可作为一个三角形的三条边长，则{}min ,,AB BC CA 的取值范围是 。

二、解答题9.当[]1,2017x ∈时，求20171()i f x i x i ==-∑的最小值。

10.求函数()22sin f x x x x =++的最大值。

11.设ABC ∆为椭圆22:14x y Γ+=的内接三角形，其中，A 为椭圆Γ与x 轴正半轴的交点，直线AB 、AC 斜率的乘积为14-，G 为ABC ∆的重心，求GA GB GC ++的取值范围。

加试一、求所有的素数p q 、，使得231p p q -+=。

二，已知一个2016×2016方格表，试求最小的正整数M ，使得可以在方格表中画出M 个矩形（其边在网格线上），且方格表中的每个小方格的边均包含在上述M 个矩形之一的边上。

江西省上饶县中学2017—2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（190）（无答案）第一试一、填空题(每小题8分，共64分）1. 已知函数211x y x -=-的图像与函数2y kx =-的图像恰有两个交点.则实数k 的取值范 围是。

2. 在三棱柱111ABC A B C -中,底面边长和侧棱长均相等，01160BAA CAA ∠=∠=.则异 面直线1AB 与1BC 所成的角为。

3. 已知椭圆224()4x y a +-=与抛物线22x y =有公共点。

则a 的取值范是。

4. 如图1，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1,圆心在线段CD （含 端点)上运动,P 为Q 上及内部的动点,设向量()AP mAB nAF m n =+∈R 、.则 m n +的取值范围是。

5.计算:10112k k n n k C k +=⎡⎤⎛⎫=⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑.6. 设1234(1,2,3),(2,4,1),(1,,5),(4,1,3)P P P k P k +是空间中体积为1的一个四面体的四个 顶点。

则k =.7. 已知数列{}n a满足0180,0,)5n n a a a n n +==+≥∈N 。

则10a =。

8. 将正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点用四种不同的颜色染色，要求同一条棱的两个端点颜色不相同，一共有种染法。

二、解答题（共56分）9。

(16分)在ABC ∆中，若cos cos 2sin sin A B B A+=,证明：090A B ∠+∠=.10。

（20分）已知双曲线1y x =上有一点1,(0)A a a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，点A 关于原点的对称点为B ,以AB 长为半径作A 与双曲线交于P Q R 、、三点.证明：PQR ∆为正三角形。

11.（20分）已知a b c +∈R 、、，且2223a b c ++=。

证明：1113222a b c++≥---。

江西省上饶县中学2017—2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（193）（无答案）第一试一、填空题(每小题8分，共64分）1. 复数z 满足12015z i z z -=-=-。

则z =。

2. 函数()5)f x x =>的最大值为。

3. 002(2sin362sin72)=。

4. 圆锥曲线210x xy -+=的离心率为。

5. 已知实数x y 、满足22222015)(2015)2x y ++=（.则x y +的最大值为.6. 设M 为正四面体ABCD 的高1DD 的中点.则二面角A MB C --的弧度数为. 7. 从集合{}1,2,,100中任取元素m n 、（可以相同）.则23m n +的个位数字是3的概率为。

8. 甲、乙、丙三人的年龄数x y z 、、之和为120，且2060x y z ∈、、（，）.则有序数组 (,,)x y z 的个数为。

二、解答题（共56分）9.（16分)求方程22280x x --=的所有实数解.10。

(20分）证明：(1）对任意正整数n ，均有15123n n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭; (2）对任意正整数1n >，均有111nn k n n k k n e k n =-=⎛⎫ ⎪⎝⎭>⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑.11。

（20分)设椭圆221169x y +=上有三个动点P Q R 、、,且P Q 、两点关于坐标原点对称。

求RP RQ +的最大值。

加 试一、（40分）如图1,已知动点D 在圆Γ的劣弧AB 上，C 为优弧AB 的中点，过点D 的切线分别与过点A B、的切线交于点E F 、，联结EC FC 、，与弦AB 分别交于点G H 、.证明：2AB GH =.二、(40分）已知正实数a b c d 、、、满足1a b c d +++=。

证明：216117a a ≤+∑，其中，“∑”表示轮换对称和。

三、（50分）求满足(22)p q pq 的素数p q 、。