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自动控制原理第二章PPT课件

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自动控制原理第二章.ppt

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i 特征式中，将与第i条前向通路相接触的回
路各项全部去除后剩下的余子式。
例2－27 已知两级RC网络的结构图如图所示，
试用梅逊公式法求取传递函数。
解（1）独立回路L，3个 （2）写出互不接触回路乘积，L1,L2不接触，
（3）写出梅逊公式特征式 （4）写出前向通路 pi，仅一个 （5）写出各项余子式 i ，仅一个
2、化简原则： 保证化简前后的代数等价关系不变
（1）化简前后，前向通路传递函数的乘积 不变。
（2）化简前后，回路传递函数的乘积不变。
等效变换法则
（1）环节串联 减少方块
（2）环节并联 减少支路
（3）反馈回路化简
减少回路
证明 如果是正反馈：
G(s)
Y(s)
X (s)
1 G(s) H(s)
得到输出信号的拉氏变换
定义控制系统的传递函数为
二、传递函数的性质
只适用于线性定常系统。 基于线性常系数微分方程。
是在零初始条件之下定义的。 可以有量纲的。 只表示系统的端口关系。
输入————输出关系 是描述线性定常系统的参数模型。 传递函数的信息关系
多项式表示
参数为ai,i=1,2,…n，bj,j=1,2,…,m， m≤n
§2.6 一般反馈控制系统
一、一般系统
1、单位反馈系统 今后除了个别 情况之外，只 考虑单位化后 的系统结构。
2、开环传递函数 3、闭环传递函数 4、系统的输出 5、误差信号
6、误差传递函数
则误差传递函数为 闭环传递函数
二、一般控制作用 串联控制方式：
G0(s)——固有对象 Gc(s)——控制作用
n
i pi
P i1
pi从输入到输出的第i条前向通路总增益； 梅逊公式特征式；

自动控制原理第二章 胡寿松ppt课件

自动控制原理第二章 胡寿松ppt课件
—线性定常二阶微分方程式
4、消去中间变量i(t),整理后得整：理版课件
22
第二章 控制系统数学模型
例2、 设一弹簧、质量块、阻
尼器组成的系统如图所示，
当外力F(t)作用于系统时，系 F(t) 统将产生运动。试写出外力
F(t)与质量块的位移y(t)之间
m
的微分方程。
解：
f
1、确立入-出，入-F(t),出—y(t)； 2、根据牛顿定律，∑F=ma；
limsF(s)存在 f(0)lifm (t)lism (F s)
s
t 0
s
（6）终值定理
若: L[f(t)]F(s)
f( )lifm (t)lism (F s)
t
s 0
整理版课件
7
第二章 控制系统数学模型
例2、求下列函数的拉氏变换。
（1）f(t)2(1cot)（s2）f(t)sin5(t（) 3）f (t)tnet
L[
d
2
dt
f (t) 2
]
s
2
F
(s)
L [ d n f ( t ) ] s n F ( s )整理版课件
5
dt n
第二章 控制系统数学模型
（2）积分性质
若: L[f(t)]F(s)
L [ f(t)d] t1 sF (s)1 s f(t)dt t0
当初始条件为0，则有：
L[
f
(t )dt ]
1 - 311 1 14 s 2s 1s 2 s 1s 2
f(t) L 1 [f(t) ](t) e t 4 e 2 t
整理版课件
16
第二章 控制系统数学模型
例 6 求F(s)s(s2ss11)的拉氏反变换

自动控制原理课件2

自动控制原理课件2

Tm

GD 2 R 375 cecm
uf Kfn
K f 反馈电压和转速之间的 比例系数
（3）消去中间变量得直流调速系统的动态微分方程
1 T d T K m kd d 2 n 2t 1 T m K kd d n tn ( 1 K K r k )C eU g
其中 Kr K1K 为s正向通道电压放大系数
R(S)
E(S)
G(S)
-
B(S)
H(S)
Y(S)
2.结构图的组成： （1）信号线：带箭头的直线，箭头表示信号传递方向。 （2）引出点（分离点）：表示信号引出或测量的位置。 （3）比较点（相加点）：对两个以上信号加减运算。 （4）方框：方框图内输入环节的传递函数。
3 .动态结构图的绘制步骤： （1）确定系统输入量与输出量。 （2）将复杂系统划分为若干个典型环节。 （3）求出各典型环节对应的传递函数。 （4）作出相应的结构图。 （5）按系统各变量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来。
二、结构图的简化法则 常用的结构图变换方法可归纳为两类：一类是环节的合并，另一类是信号的分支点或相
加点的移动。 结构图的变换必须遵循的原则是：变换前后的数学关系保持不变，因而也称为结构图的
等效变换。
（一）环节的合并 法则一 环节串联，传递函数相乘。
法则二 环节并联，传递函数相加。
法则三 反馈连接的等效传递函数。
（6）延迟环节 （时滞环节、滞后环节） 特点：输出信号经过一段延迟时间τ 后，可完全复现输入信号。
y(t)/r(t)
0τ
r(t) y(t)
t
G(s) es R(s) e s Y(s)
2.4 系统动态结构图
一、概念 1.动态结构图：是描述系统各组成元件之间信号传递关系的数学图形，它 表示了系统的输入输出之间的关系。

自动控制原理第二章梅森公式-信号流图课件

自动控制原理第二章梅森公式-信号流图课件

ABCD
然后，通过分析梅森公式 的各项系数，确定系统的 极点和零点。
最后，将梅森公式的分析 结果转换为信号流图，进 一步明确系统各变量之间 的传递关系。
梅森公式在信号流图中的应用实例
假设一个控制系统的传递函数为 (G(s) = frac{s^2 + 2s + 5}{s^2 + 3s + 2})
在信号流图中，将极点和零点表示为相 应的节点，并根据梅森公式的各项系数 确定各节点之间的传递关系。
02
信号流图基础
信号流图定义与构成
信号流图定义
信号流图是一种用于描述线性动 态系统数学模型的图形表示方法 ，通过节点和支路表示系统中的 信号传递和转换过程。
信号流图构成
信号流图由节点和支路组成，节 点表示系统的动态方程，支路表 示输入输出之间的关系。
信号流图的绘制方法
确定系统动态方程
根据系统描述，列出系统的动态方程。
2
梅森公式与信号流图在描述和分析线性时不变系 统时具有互补性，二者可以相互转换。
3
信号流图能够直观地表示系统各变量之间的传递 关系，而梅森公式则提供了对系统频率特性的分 析手段。
如何使用梅森公式进行信号流图分析
首先，将系统的传递函数 转换为梅森公式的形式。
根据极点和零点的位置， 判断系统的稳定性、频率 响应特性等。
在未来研究中的可能发展方向
随着科技的不断进步和应用需求的不断变化，控制系统面临着越来越多的 挑战和机遇。
在未来研究中，可以利用梅森公式和信号流图进一步探索复杂系统的分析 和设计方法，提高系统的性能和稳定性。
同时，随着人工智能和大数据技术的应用，可以结合这些技术对控制系统 进行智能化分析和优化设计，提高系统的自适应和学习能力。

自动控制原理课件 第二章 线性系统的数学模型

自动控制原理课件 第二章 线性系统的数学模型



c(t ) e
dt Leabharlann t

c( s )
g ( ) r ( ) d e s ( ) d 0 0 g ( )e s r ( )e s d d 0 0





0
g ( )e
5) 闭环系统传递函数G(s)的分母并令其为0，就是系统的特征方 程。
• 涉及的是线性系统 非线性系统必须 进行线性化处理
§2-6 信号流程图
系统很复杂，为方便研究，也为了与 实际对应，通常将复杂系统分解为 若干典型环节的连接
数学模型的定义 数学模型： 描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程 建立数学模型的方法：
解析法: 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相 应的数学关系式，建立模型。 自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压的，气动的等等，然 而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研 究自动控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关系而抓住这些系统的 共同运动规律，控制系统的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定 律来描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系统的克希霍夫定律等都是 用来描述系统模型的基本定律。 实验法: 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当 的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。 数学模型的形式 时间域： 复数域： 频率域： 微分方程 差分方程 传递函数 结构图 频率特性 状态方程
1 例1 : F ( s) ( s 1)(s 2)(s 3) c c c 1 2 3 s 1 s 2 s 3
1 1 c1 [ ( s 1)]s 1 ( s 1)(s 2)(s 3) 6 1 1 c2 [ ( s 2)]s 2 ( s 1)(s 2)(s 3) 15 1 1 c3 [ ( s 3)]s 3 ( s 1)(s 2)(s 3) 10 1 1 1 1 1 1 F ( s) 6 s 1 15 s 2 10 s 3 1 1 1 f (t ) e t e 2t e 3t 6 15 10

《自动控制原理》课件第二章

《自动控制原理》课件第二章

Cen idRd
Ld
d id dt
ud
(2-4)
当略去电动机的负载力矩和粘性摩擦力矩时，机械运动
微分方程式为
M GD2 d n 375 d t
(2-5)
式中，M为电动机的转矩(N·m)； GD2为电动机的飞轮矩
(N·m2)。当电动机的励磁不变时，电动机的转矩与电枢电
流成正比，即电动机转矩为
M=Cmid
称为相似量。如式(2-1)中的变量ui、uo分别与式(2-3)中的变
量f(t)、y(t)为对应的相似量。
2.1.2 线性定常微分方程求解及系统运动的模态 当系统微分方程列写出来后，只要给定输入量和初始条
件，便可对微分方程求解，并由此了解系统输出量随时间变 化的特性。
若线性定常连续系统的微分方程模型的一般表示形式为 y(n)(t)+a1y(n－1)(t)+···+any(t)=b0u(m)(t)+b1u(m－1)(t)+…+bmu(t)
x0
( x x0 )2
当增量x－x0很小时，略去其高次幂项，则有
y
y0
f (x)
f (x0)
d f (x) dx
x0
(x x0)
令Δy=y－y0=f(x)－f(x0)，Δx=x－x0，K=(df(x)/dx)|x0，则线性
化方程可简记为Δy=KΔx。这样，便得到函数y=f(x)在工作
点A附近的线性化方程为y=Kx。
图2-4 小偏差线性化示意图
对于有两个自变量x1、x2的非线性函数f(x1，x2)，同样 可在某工作点(x10，x20)附近用泰勒级数展开为
y
f (x1 ，x2 )
f

自动控制原理第2章PPT课件

自动控制原理第2章PPT课件
经上述处理后，输出与输入之间就成为线性关系。
27
第27页/共122页
注意:
(1)小偏差法只适用于不太严重的非线性系统。 (2)实际运行情况是在某个平衡点附近，变量只能 在小范围内变化。 (3)线性化方程中的系数k与工作点有关。 (4)严重的非线性不能用小偏差法，用第7章的方法。
28
第28页/共122页
d mr(t)
d m1r(t)
dr(t)
bm dtm bm1 dtm1 b1 dt b0r(t)
21
第21页/共122页
2.1.3 线性系统的基本特性
叠加原理=叠加性+均匀性（或叫齐次性）。 1、叠加性：两个外作用同时加于系统所产生的总输出，等于各个外作用单独 作用时分别产生的输出之和；
2、均匀性：若外作用的数值增大若干倍，其输出亦相应增大同样的倍数。
量关系的微分方程。
标准化微分方程，惯例把与输入量有关各项写在方
程右边,把输出量有关各项写在方程左边,方程两边
各导数项均按降幂排列。
8
第8页/共122页
2.1.2 线性系统微分方程的建立实例
例1. 列写如图所示RLC网络的微分方程。
9
第9页/共122页
解:
A 确定输入输出量:
ur(t) ----输入量, uc(t) ----输出量 B 分析电路
零初始条件：输入r(t)和输出c(t)及其各阶系数在t=0时的值 均为零，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令C(s)＝ L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代数方程为
30
第30页/共122页
传递函数的描述方法
[a0sn a1sn1 an1s an ]C(s) [b0sm b1sm1 bm1s am ]R(s)

《自动控制原理》PPT课件_OK

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例如对一个微分方程，若已知初值和输入值，对 微分方程求解，就可以得出输出量的时域表达式。 据此可对系统进行分析。所以建立控制系统的数学 模型是对系统进行分析的第一步也是最重要的一步。
控制系统如按照数学模型分类的话，可以分为线 性和非线性系统，定常系统和时变系统。
2021/7/21
2
自动控制原理
[线性系统]：如果系统满足叠加原理，则称其为线性系 统。叠加原理说明，两个不同的作用函数同时作用于 系统的响应，等于两个作用函数单独作用的响应之和。
[解]速度控制系统微分方程为：
a2 a1 a0 b1ug b0ug 对上式各项进行拉氏变换，得：
(s)(a2s2 a1s a0) Ug (s)(b1s b0)
即：
(s)
(b1s (a2s2
b0 ) a1s
a0 )
U
g
(s)
当输入已知时，求上式的拉氏反变换，即可求得输出
的时域解。
2021/7/21
2021/7/21
20
自动控制原理
[关于传递函数的几点说明]
❖ 传递函数的概念适用于线性定常系统，与线性常系 数微分方程一一对应。与系统的动态特性一一对应。
❖ 传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性 质。物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有 完全相同的传递函数。而研究某传递函数所得结论 可适用于具有这种传递函数的各种系统。
将上式求拉氏变化，得(令初始值为零）
(ansn an1sn1 a1s a0)Y(s) (bmsm bm1sm1 b1s b0)X (s)
G(s)
Y (s) X (s)
bm s m an s n
bm1sm1 b1s b0 an1sn1 a1s a0

自动控制原理第2章ppt课件

自动控制原理第2章ppt课件

1 2 f 2! r12
(r1 r10)2
2 f r22
(r2
r20)2
yK1r1K2r2
函数变化与自变量变化成线性比例关系。
EXIT
第2章第21页
2.2.3 系统线性化的条件及步骤 1.条件 ① 系统工作在正常的工作状态，有一个稳定的工作 点; ② 在运行过程中偏离且满足小偏差条件; ③ 在工作点处，非线性函数各阶导数均存在，即函 数属于单值、连续、光滑的非本质非线性函数。
EXIT
第2章第14页
2.1.3 机电系统
图示为一他激直流电动机。 +
图中，ω为电动机角速度
〔rad/s ） ，Mc 为折 算到电
ua _
动机轴上的总负载力矩 +
〔N·m ） ， ua 为 电 枢 电 压 〔V）。设激磁电流恒定， _
并忽略电枢反应。
ia La
ea Ra
Mc
负载
取ua为给定输入量， ω为输出量，Mc为扰动量，忽略电枢电感， 得:
因而，对于不太严重的非线性系统，可以在一定的工 作范围内线性化处理。工程上常用的方法是将非线性函数 在平衡点附近展开成泰勒级数，去掉高次项以得到线性函 数。
EXIT
第2章第19页
2.2.2 举例
y
① 一个自变量 y=f(r)
y0+△y
y0
r—元件的输入信号，y—元件的输出
AB
设信原号运行于某平衡点〔静态工作点）
频率特性
同一个系统，可以选用不同的数学模型， 如研究时域响应时可以用传递函数， 研究频域响应时则要用频率特性。
EXIT
第2章第5页
4.建立方法
a.分析计算法
分析计算法是根据支配系统的内在运动规律以 及系统的结构和参数，推导出输入量和输出量之间 的数学表达式，从而建立数学模型——适用于简单 的系统。

自动控制原理02PPT课件

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感谢您的观看！
第32页/共32页
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微分方程式的解
a、 A、B、
指数函数 Aeat 正弦函数 Bsin(t+)
微分方程式的各系数
外部条件
起始条件
✓应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始条件已自动地 包含在微分方程的拉氏变换式中，因此，不需要根据初始 条件求积分常数的值就可得到微分方程的全解。
✓如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏变换可以简单 地用sn代替dn/dtn得到。
正弦函数是控制系统中常用的一种典型外作用，很多实 际
的随动系统就是常工作在此外作用下。 更为重要的是系统在正弦函数作用下的响应，即频率
响应是自动控制理论中研究系统性能的重要依据。
4
第4页/共32页
Part 2.2 拉氏变换及其反变换
2.2.1 拉氏变换的定义 2.2.2 拉氏变换的计算 2.2.3 拉氏变换求解方程
2
第2页/共32页
(3)、脉冲函数
A
为强脉度冲为函A数的定脉义冲为函：。数在f可(tt表)0时示tl0im刻0 f出(t(0tt[)现1(tt的0)A)单1((tt)位 t脉0 )]冲
函数为
。
注意：脉冲函数仅用于分析研究，现实中并 不存在。
3
第3页/共32页
(4)、正弦函
正弦数函数的数学表达式为： f (t) Asin( t )
.... bm1s .... an1s
bm bn
,m
n
L-1[F(s)] = L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)] = f1(t) + f2(t) + … + fn(t)

自动控制原理_胡寿松_第二章ppt

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实验法：对系统或元件输入一定形式的信 号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号 等），根据系统或元件的输出响应，经过数 据处理而辨识出系统的数学模型。
第二章 自动控制系统的数学模型
第一节控制系统的时域数学模型
第一节控制系统的时域数学模型
一、建立系统微分方程的一般步骤
系统通常由一些环节连接而成，将系统中 （3 ）消除中间变量，将式子标准化 的每个环节的微分方程求出来，便可求出整个系 将与输入量有关的项写在方程式等号右 统的微分方程。 边，与输出量有关的项写在等号的左边。 列写系统微分方程的一般步骤： （1） 确定系统的输入变量和输出变量 下面举例说明常用环节和系统的微分方 （2） 建立初始微分方程组 程的建立
第二节控制系统的复数域数学模型
一、 传递函数的定义和性质
输入
输入拉氏 变换
设一控制系统 c(t) r(t) 系统 G(S)
R(S)
输出 输出拉氏 变换
C(S)
传递函数的定义：
零初始条件下，系统输出量拉氏变换与系 统输入量拉氏变换之比。
C(s) 将微分方程拉氏变换便 表示为： G(s) = R(s) 可求得传递函数。
-at 单位斜坡函数 t
f(t) f(t) f(型
3．拉氏变换的定理
(2)线性定理 微分定理 (1) df(t)] L1 [(t)+bf = sF(s)-f(0) L[af (t) ] = aF1(s)+bF2(s) 2 dt 例 求正弦函数 f(t)=Sin ω t 的拉氏变换． d2f(t) = 2 '(0) s F(s)-sf(0)-f L[ 2 ] dt -jωt jωt e -e 例 求阶跃函数 f(t)=I(t) 的拉氏变换． 解： Sinωt = 2j d[ t] 1 1 1 1 解： =I(t) - L[t]=] s2 [ L[已知 Sinωt]= dt 2j s-jω s+jω d[t]ω 1 1 L[I(t)]=L(= dt2 ) =s = s +ω2 s2 -0 s

自动控制原理(经典控制论)课程ppT

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自动控制原理
第二章 线性系统的数学模型
单摆(非线性)
是未知函数 的非线性函数，
所以是非线性模型。
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自动控制原理
第二章 线性系统的数学模型
液面系统(非线性)
是未知函数h的非线性函数，所以是非线性模型。
浙江省精品课程
自动控制原理
第二章 线性系统的数学模型
2.2.2 线性化问题的提出 线性系统优点：
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自动控制原理
第二章 线性系统的数学模型
单变量函数泰勒级数法
函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近的泰勒级数展开式为：
略去含有高于一次的增量∆x=x-x0的项，则：
注：非线性系统的线性化 模型，称为增量方程。
注：y = f (x0)称为系统的 静态方程
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自动控制原理
增量方程 增量方程的数学含义
将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上， 对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始 点，这时，系统所有的初始条件均为零。
注：导数根据其定义是一线性映射，满足叠加原理。
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自动控制原理
第二章 线性系统的数学模型
多变量函数泰勒级数法
增量方程 静态方程
第二章 线性系统的数学模型
微分定理
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自动控制原理
第二章 线性系统的数学模型
多重微分
原函数的高阶导数 像函数中s的高次代数式
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自动控制原理
第二章 线性系统的数学模型
积分定理
浙江省精品课程
自动控制原理
第二章 线性系统的数学模型
多重积分
原函数的n重积分像函数中除以sn

自动控制原理_第2章 ppt课件

自动控制原理_第2章 ppt课件
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
与非线性系统相比，线性系统有如下特点：
叠加性
r1 ( t )
r2 (t )
线性系统
y1(t)
线性系统
y 2 (t)
r1(t) r2(t)
dy(t)ky(t)F(t) dt
设系统的工作点为 ( y 0 , F0 )
y(t)y0y(t) F(t)F0F(t)
m 20d 202 /[ 12y /10 7d t2 y ( t) ] fd [ y 0 d t py pt( 课t 件) ] k [ y 0 y ( t) ] F 0 F 9( t)
2020/12/17
线性系统
y1(t) y2(t)
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5
齐次性 （比例性）
r (t)
y (t)
线性系统
r(t)
线性系统
y(t)
2020/12/17
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6
非线性系统的线性化
在一定条件下，把非线性系统近似地处理成线性 系统的过程。
非线性特性的线性化
缩小问题的研究范围，把非线性方程近似地化为 线性方程的过程。
简记为：
y fx0x fx0x fx0x
2020/12/17
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15
[例2-31] 将非线性方程式
yx1x2xx2 2
在原点附近线性化。
[解] 线性化后的方程式应该为：
y fx0x fx0x fx0x
2020/12/17
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16
yx1x2xx2 2

自动控制原理课件第二章

自动控制原理课件第二章

延滞环节
传递函数：
G(s) X c (s) es Xr (s)
运动方程式：
xc (t) xr (t )
—环节的时间常数
近似处理
es 1s 2s2 3s3 .... 1s
2! 3!
es
1 es
1
s
2
s
1
2
3s3
1
.... 1s
2! 3!
第28页/共97页
水箱进水管的延滞
第29页/共97页
j 1
k 1
传递函数： G(s) X c (s) K ( 2s2 2 s 1)
X r (s)
运动方程式：xc (t) K[ 2
d
2 xr (t dt 2
)
2
dxr (t) dt
xr
(t)]
1 两个串联的一阶微分环节
K ——环节的放大系数 T ——环节的时间常数 ——环节的阻尼比
第27页/共97页
j 1
k 1
纯微分环节
s
es
积分环节
惯性环节
振荡环节
延迟环节
第13页/共97页
放大环节/比例环节
b
c
K
(is 1)
(
2 l
s
2
2
l
l
s
1)
G(s)
i 1 d
l 1 e
sv (Tjs 1) (Tk2s2 2 kTk s 1)
j 1
k 1
传递函数： G(s) X c (s) K X r (s)
运动方程式： xc (t) Kxr (t)
K ——环节的放大系数
第14页/共97页
齿轮传动
第15页/共97页

自动控制原理第二章

自动控制原理第二章

2
?
t2 t dt
2 11
L t22 Ltdts s2
1t2 s2
1 s3
t0
2-1 控制系统的时域数学模型
〔4〕实位移定理 L f ( t 0 ) e τ 0 s F ( s )
证明：左 0 f(t0)etsdt
令 t0
f()es(0)d
e0s
f()esd
右
0
0
0 t0
例6 求 L (t)?
解. t1 t
L δ t L 1 ts1δ0 101 s
例7 求 L co t)s ? (
解. cots 1snit
L c
o ts 1L sn it 1ss2 2
s2
s
2
2-1 控制系统的时域数学模型
〔3〕积分定理 L ftd 1 t sF s 1 sf-1 0
零初始条件下有： Lftd t1 sF s
2-1 控制系统的时域数学模型
非线性函数的线性化:将非线性函数在工作点附近展 开成泰勒级数，忽略二次以上高阶无穷小量及余项， 得到近似的线性化方程。
例5：某元件的输出与输入之间的关系的曲线如下图， 元件的工作点为(x0，y0)。
y
y0
x
0
x0
2-1 控制系统的时域数学模型
y
将非线性函数y=f(x)在工作点(x0，y0)附近
那么系统的微分方程为
Jd2f
d2t
ddtMi
2-1 控制系统的时域数学模型
例４ 电枢控制直流电动机如图，电枢电压 u为a 输入
量，电动机转速 m为输出量， R是a 电枢电路的电
阻, 为M负L 载转矩。
2-1 控制系统的时域数学模型
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(2)实验法
.
4
解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的
物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并 实验验证。
实验法：对系统或元件输入一定形式的信号
（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根 据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识
出系统的数学模型。
.
5
总结： 解析方法适用于简单、典型、
常见的系统，而实验方法适用于复杂、 非常见的系统。实际上常常是把这两 种方法结合起来建立数学模型更为有 效
Mc转(t)矩-电（动N机·m和/ra负d载/s）折合到电动机轴上的等效负载
.
18
将式①-④联立求解：
T lT m d 2 d t ( t) T m d d t ( t) ( t) K u U r ( t) K m [ T ld M d c t( t) M c ( t) ]⑤
Tl
L R
——电动机电磁时间常数（s）
m
F2阻尼器的阻力
整 理 得 到 ： m d 2x(t)fd x(t) k x(t)F (t)
d t2
d t
.
11
d2x(t) dx(t) mdt2 f dt ky(t)F(t)
式中：x——m的位移（m）； f——阻尼系数（N·s/m); k ——弹簧刚度（N/m)。
将上式的微分方程标准化
m kdd 2x t2 (t)kf dx d(tt)x(t)k 1F(t)
F(t) f
.
k M x(t)
10
输入F(t)，输出x(t)理论依据:牛顿第二定律, 物体所受的合外力等于物体质量与加速度的
乘积. Fma
F1kx(t),F2
f
dx(t) dt
F(t)外力
a
d2x(t) dt2
F(t)
F1
F2
ma
得F(t)kx(t) f
dx(t) dt
d2x(t) m dt2
F1(弹簧 的拉力)
M(t)
x(t)
k1
解：输入转பைடு நூலகம்要克服
J θ
f1
1.弹簧与角位移成正比的弹性扭矩 J1 k1(t)
2.阻尼器与角速度成正比的摩擦阻力矩
J2
f1
d (t)
dt
由牛顿第二运动定律
d2(t)
M(t)J1 J2 J dt2
.
M(t) k1(t)
f1
d(t) J
dt
d2(t)
dt2
14
例4 图中L、R分别为电枢回路的总电感和总电 阻。假设励磁电流恒定不变，试建立在ur(t) 作用下 电动机转轴角速度的运动方程
L
R
+ ia
+
ur(t)
Ea
-
-
负 Jm
ω 载 fm
+
if
-
电枢控制的他励直流电动机原理图
.
15
解： 电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转 换为机械能，也就是由输入的电枢电压Ua(t)在电枢回路 中产生电枢电流ia(t)，再由电流ia(t)与激磁磁通相互作 用产生电磁转矩M(t)，从而拖动负载运动。
第二章 自动控制系统的数学模型
.
1
主要内容
控制系统微分方程的建立 非线性数学模型线性化 传递函数 系统动态结构图 系统传递函数和结构图的变换 信号流图 小结
.
2
基本要求
了解建立系统动态微分方程的一般方法 熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉氏变换形式 掌握用拉氏变换求解微分方程的方法 掌握传递函数的概念及性质 掌握典型环节的传递函数形式 掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方法 掌握用动态结构图等效变换求传递函数和用梅森公式
.
12
令 T m/ k ， 2T f /k 即 f /2 mk
k 1/ k ， 则上式可写成
T2dd 2x t2 (t)2Tdx d(tt)x(t)kF(t)
T称为时间常数， 为阻尼比。显然，
上式描述了m－k－f系统的动态关系，它是一个二阶 线性定常微分方程。
.
13
例3. 图为弹簧、质量、阻尼器机械旋转运动单元，试 写出在输入转矩M(t)作用下转动惯量为J的物体的运 k 动方程，输出量为角位移。
L C d2 d u tc 2 (t)R C du d ct(t)uc(t)ur(t)
.
9
例2. 设有一弹簧•质 量• 阻尼动力系统如 图所示，当外力F(t)作 用于系统时，系统将
产生运动，试写出外 力F(t)与质量块的位移 x(t)之间的动态方程。 其中弹簧的弹性系数 为k，阻尼器的阻尼系 数为f，质量块的质量 为m。
.
6
控制系统微分方程的建立
基本步骤： 分析各元件的工作原理，明确输入、 输出量 建立输入、输出量的动态联系 消去中间变量 标准化微分方程
.
7
第一节 线性连续系统微分方程的建立
一、线性元件单元的微分方程
例1. 图所示电路是由三个理想电路元件组成的简单
电网络单元，试列写该网络在输入量ur(t)作用下输出 量uc(t)的微分方程。
Ua(t)相反，即
Ea=Ceω(t)
②
Ce－电动机反电势系数（v/rad/s）
.
17
(2)电磁转矩方程：
M(t)Cmia(t)
③
C m -电动机转矩系数 （N·m/A）
M ( t ) -是由电枢电流产生的电磁转矩（N·m）
(3)电动机轴上的转矩平衡方程：
Jddt(t)M(t)Mc(t)
④
J－电动机和负载折合到电动机轴上的等效转动惯 量（ kg·m）·
RJ Tm C mC e
——电动机机电时间常数（s）
Ku
1 Ce
R
F(t)
u(r t) i(t)
C
uc(t)
f
.
8
R
u(r t) i(t)
C
uc(t)
解：由基尔霍夫定
律得: Ld d i(tt)R i(t) u c(t)ur(t) 式中: i(t)为流经电感L、电阻R和电容C的电流
i(t) C duc(t) dt
消去中间变量i(t)，得到输出量关于输入量满足的 二阶微分方程：
求传递函数的方法
.
3
分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统 的数学模型
控制系统的数学模型，就是描述系统输入、输出以及 内部变量之间动态关系的数学表达式，也称为动态数 学模型。常用的动态数学模型有：
微分方程
传递函数
动态结构图
信号流图
建立数学模型的方法: (1)理论推演法(解析法)
因此，直流电动机的运动方程可由以下三部分组成：
(1)电枢回路电压平衡方程 (2)电磁转矩方程 (3)电动机轴上的转矩平衡方程
.
16
（1）电枢回路电压平衡方程：
Ua(t)Ladd a(it)tRaia(t)Ea
①
Ea是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势， 其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压