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3.1 不等关系与不等式(第1课时)一、设计问题,创设情境问题1:请大家阅读下列问题,说出下列问题中蕴含着怎样的数量关系.(1)下面左图是某品牌牛奶盒子背面的图片,成分表传达了怎样的信息?(2)下面右图中的“100”“80”表示什么意思?(3)某天的天气预报报道,最高气温32℃,最低气温26℃．二、信息交流,揭示规律问题2:问题1中的三个问题,蕴含着怎样的数量关系?与等量关系一样,不等关系也是自然界中存在着的基本的数量关系,它们在现实世界和日常生活中大量存在,那么你能举出一些与不等关系有关的现实生活的例子吗?问题3:在数学中用什么来表示不等关系?什么是不等式?不等号有哪些?三、运用规律,解决问题你能用刚才所学的知识来解决一些问题吗?你敢于接受挑战吗?请大家看下面的问题: 【例1】用不等式表示下列情况:(1)a与b的和是负数;(2)x的平方加上x的2倍大于10;(3)实数a的绝对值不超过3;(4)x不小于y的2倍,且x与y的差不大于 6.四、变式训练,深化提高【例2】某种杂志原以每本 2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就相应减少2000本.若把提价后杂志的定价设为x元,怎样用不等式表示销售的总收入不低于20万元呢?问题4:不等式(组)表示数量关系中的什么关系?既然不等式表示数量之间的不等关系,那么我们在用不等式解答实际问题时,应从哪些角度分析实际问题呢?问题5:例2中的不等关系是什么?销售收入由哪个量来决定?请大家列出相应的不等式.问题6:本题中,若不用“定价”表示题中的不等关系,你能否选取其他的变量来表示这个不等关系呢?【例3】某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种,按照生产的要求,600mm 钢管的数量不能超过500mm钢管的数量的3倍.写出满足上述所有不等关系的不等式.问题7:这个问题中涉及哪些不等关系呢?这些不等关系中涉及的量最少能用几个变量表示呢?问题8:用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时,有哪些步骤?五、反思小结,观点提炼问题9:同学们,通过这节课的学习我们学到了什么知识、方法以及数学思想?参考答案一、设计问题,创设情境问题1:(1)花生含量>3%,乳粉含量>0.8%;(2)“小客车行驶速度≤100km/h”“除小客车外的其他车辆行驶速度≤80km/h”；(3)26℃≤这一天的气温≤32℃．二、信息交流,揭示规律问题2:不等关系;学生举例:高矮、胖瘦、长短、轻重等.问题3:不等式;用不等号将两个代数式连接起来的式子叫不等式;<、>、≠、≤、≥．三、运用规律,解决问题【例1】(1)a+b<0;(2)x2+2x>10;(3)|a|≤3;(4)四、变式训练,深化提高问题4:不等关系;找出不等关系以及不等关系中涉及的量,并用合理的字母表示这些量.问题5:“销售的总收入≥20万元”;定价.若杂志的定价为x元,则销售量就减少万本.销售量为万本,则总收入为x万元.即“销售的总收入不低于20万元”的不等式表示为x≥20.问题6:可设杂志的单价提高了0.1n元(n∈N*),那么销售量减少了0.2n万本,单价为(2.5+0.1n)元,则也可得“销售的总收入不低于20万元”的不等式,表示为(2.5+0.1n)(8-0.2n)≥20.【例3】问题7:①“500mm钢管总长度+600mm钢管总长度≤4000mm”；②“600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的数量的3倍”；③“两种钢管的数量都不能为负”．两个,即两种钢管的数量.解:假设截得500mm和600mm钢管的数量分别为x,y根.同时满足上述不等关系,可以用下面的不等式组来表示:问题8:(1)找出问题中的不等关系,必要时用文字、符号等表示出来;(2)分析不等关系中涉及的量,并分析这些量之间的数量关系;(3)用最少的变量(字母)表示不等关系中涉及的量;(4)列出与不等关系对应的不等式(组).五、反思小结,观点提炼问题9:(1)生活中存在着大量的不等关系;(2)用不等式(组)表示不等关系时,应遵循“一找(不等关系);二析(涉及的量);三设(设出合理的未知数);四列(不等式(组))”．(3)本节课的学习过程中,重点渗透了数学建模思想和函数思想.。
明目标、知重点 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大小.3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．1．比较实数a，b大小的文字叙述(1)如果a－b是正数，那么a>b；(2)如果a－b等于零，那么a＝b；(3)如果a－b是负数，那么a<b，反之也成立．2．比较实数a，b大小的符号表示(1)a－b>0⇔a>b；(2)a－b＝0⇔a＝b；(3)a－b<0⇔a<b.3．常用的不等式的基本性质(1)a>b⇔b<a(对称性)；(2)a>b，b>c⇒a>c(传递性)；(3)a>b⇒a＋c>b＋c(可加性)；(4)a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；(5)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(6)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(7)a>b>0，n∈N，n≥1⇒a n>b n；(8)a>b>0，n∈N，n≥2⇒na>nb.[情境导学]现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系．如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边等．人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系．那么，数学中，如何表示不等关系呢？探究点一 用不等式(组)表示不等关系思考1 限速40 km /h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km/h ，用不等式如何表示？ 答 v ≤40.思考2 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，如何用不等式组表示上述关系？答 ⎩⎪⎨⎪⎧f ≥2.5%，p ≥2.3%.思考3 设点A 与平面α的距离为d ，B 为平面α上的任意一点，则d 与|AB |的大小关系如何？ 答 d ≤|AB |.例1 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解 设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x ≥20.反思与感悟 数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系．思维要严密、规范．跟踪训练1 某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种．按照生产的要求，600 mm 的钢管数量不能超过500 mm 钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？解 设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根．根据题意，应有如下的不等关系： (1)截得两种钢管的总长度不超过4 000 mm ；(2)截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管数量的3倍； (3)截得两种钢管的数量都不能为负．要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：⎩⎪⎨⎪⎧500x ＋600y ≤4 000，3x ≥y ，x ≥0，y ≥0.探究点二 实数大小的比较思考1 在数轴上不同的点A 与点B 分别表示两个不同的实数a 与b .如果a －b 分别是正数、零、负数，那么a ，b 之间具有怎样的大小关系？ 答 a ，b 之间的大小关系分别为a >b ，a ＝b ，a <b .思考2 如果a ，b 之间的大小关系分别为a >b ，a ＝b ，a <b ，那么a －b 分别是怎样的数？ 答 a －b 分别是正数、零、负数．小结 a >b ⇔a －b >0；a ＝b ⇔a －b ＝0；a <b ⇔a －b <0.例2 已知a ，b 均为正实数．试利用作差法比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小． 解 ∵a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝(a 3－a 2b )＋(b 3－ab 2) ＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )2(a ＋b )． 当a ＝b 时，a －b ＝0，a 3＋b 3＝a 2b ＋ab 2； 当a ≠b 时，(a －b )2>0，a ＋b >0，a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 综上所述，a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2.反思与感悟 比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．作差法比较实数的大小一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式． 跟踪训练2 已知x ＜1，试比较x 3－1与2x 2－2x 的大小． 解 ∵(x 3－1)－(2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2 ＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)[(x －12)2＋34]，∵(x －12)2＋34＞0，x －1＜0，∴(x －1)[(x －12)2＋34]＜0，∴x 3－1＜2x 2－2x .探究点三 不等式的基本性质思考1 初中已经学习过不等式的一些性质，请同学们回忆初中不等式的基本性质有哪些？ 答 (1)不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变，即若a >b ⇒a ±c >b ±c . (2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变，即若a >b ，c >0⇒ac >bc ，a c >b c. (3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，即若a >b ，c <0⇒ac <bc ，ac ＜b c. 思考2 从实数的基本性质出发，如何证明下列常用的不等式的基本性质？ (1)a >b ，b >c ⇒a >c ；(2)a >b ⇒a ＋c >b ＋c ； (3)a >b ，c >0⇒ac >bc ；(4)a >b ，c <0⇒ac <bc .答 (1)a >b ，b >c ⇒a －b >0，b －c >0⇒a －b ＋b －c >0⇒a －c >0⇒a >c ； (2)(a ＋c )－(b ＋c )＝a －b >0⇒a ＋c >b ＋c ； (3)a >b ，c >0⇒a －b >0，c >0⇒(a －b )c ＝ac －bc >0 ⇒ac >bc ；(4)a >b ，c <0⇒a －b >0，c <0⇒(a －b )c ＝ac －bc <0 ⇒ac <bc .例3 已知a >b >0，c <0，求证：c a >cb .证明 因为a >b >0，所以ab >0，1ab >0.于是a ×1ab >b ×1ab ，即1b >1a .由c <0，得c a >cb.反思与感悟 有关不等式的证明最基本的依据是不等式的8条基本性质，在解不等式时，对不等式进行有关变形的依据也是8条基本性质． 跟踪训练3 如果a >b >0，c >d >0，证明：ac >bd . 证明⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎬⎫a >b >0c >0⇒ac >bc >0⎭⎬⎫c >d >0b >0⇒bc >bd >0⇒ac >bd .1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式表示就是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y ≥380，z >45. B.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95，y >380，z ≥45. C.⎩⎪⎨⎪⎧ x >95，y >380，z >45. D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95，y >380，z >45.答案 D解析 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x ≥95，y >380，z >45. 2．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >bC ．a >－b >b >－aD ．a >b >－a >－b答案 C解析 由a ＋b >0知a >－b ，∴－a <b <0. 又b <0，∴－b >0，∴a >－b >b >－a . 3．比较(a ＋3)(a －5)与(a ＋2)(a －4)的大小； 解 ∵(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4) ＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7<0. ∴(a ＋3)(a －5)<(a ＋2)(a －4)．4．某市政府准备投资1 800万元兴办一所中学．经调查，班级数量以20至30个为宜，每个初高中班硬件配置分别需要28万元与58万元，该学校的规模(初高中班级数量)所满足的条件是什么？解 设该校有初中班x 个，高中班y 个，则有⎩⎪⎨⎪⎧20≤x ＋y ≤30，28x ＋58y ≤1 800. [呈重点、现规律]1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了． a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b . 2．作差法比较的一般步骤 第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论) 最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然．一、基础过关1．设x <a <0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．x 2<ax <a 2 B ．x 2>ax >a 2 C ．x 2<a 2<ax D ．x 2>a 2>ax答案 B解析 ∵x <a <0，∴x 2>a 2. ∵x 2－ax ＝x (x －a )>0，∴x 2>ax . 又ax －a 2＝a (x －a )>0，∴ax >a 2. ∴x 2>ax >a 2.2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( ) A ．a >a b >a b 2B.a b 2>ab >a C.a b >a >a b 2 D.a b >a b 2>a 答案 D解析 取a ＝－2，b ＝－2，则a b ＝1，a b 2＝－12，∴a b >ab2>a . 3．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1bB ．a 2>b 2 C.a c 2＋1>b c 2＋1 D ．a |c |>b |c | 答案 C解析 对A ，若a >0>b ，则1a >0，1b<0，此时1a >1b，∴A 不成立；对B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，∴B 不成立； 对C ，∵c 2＋1≥1，且a >b ， ∴a c 2＋1>bc 2＋1恒成立，∴C 成立； 对D ，当c ＝0时，a |c |＝b |c |，∴D 不成立．4．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( ) A ．ab >ac B ．ac >bc C ．a |b |>c |b | D ．a 2>b 2>c 2答案 A解析 由a >b >c 及a ＋b ＋c ＝0知a >0，c <0，⎩⎨⎧a >0b >c⇒ab >ac .5．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围是________． 答案 [－1,6]解析 ∵－1≤b ≤2，∴－2≤－b ≤1，又1≤a ≤5. ∴－1≤a －b ≤6.6．b 克糖水中有a 克糖(b >a >0)，若再添上m 克糖(m >0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式：____________. 答案a ＋mb ＋m >ab解析 变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了． 7．比较大小：(x ＋5)(x ＋7)与(x ＋6)2.解 因为(x ＋5)(x ＋7)－(x ＋6)2＝x 2＋12x ＋35－(x 2＋12x ＋36)＝－1<0. 所以(x ＋5)(x ＋7)<(x ＋6)2.8．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x 个、y 个、z 个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的13，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式组将题中的不等关系表示出来．解 列不等式组，涉及到至少、至多问题，要用到“≥”或“≤”，那么在处理“＝”问题时要注意“＝”成立的条件，据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x 3≥z ≥y 2，y ＋z ≥55(x ，y ，z ∈N )．二、能力提升9．已知a 、b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( ) A ．a 2<b 2 B ．a 2b <ab 2 C.1ab 2<1a 2b D.b a <a b答案 C解析 对于A ，在a <b 中，当a <0，b <0时，a 2<b 2不成立； 对于B ，当a <0，b >0时，a 2b >0，ab 2<0，a 2b <ab 2不成立； 对于C ，∵a <b ，1a 2b 2>0，∴1ab 2<1a 2b ；对于D ，当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝ab＝－1.10．若a >0且a ≠1，M ＝log a (a 3＋1)，N ＝log a (a 2＋1)，则M ，N 的大小关系为( ) A ．M <N B ．M ≤N C ．M >N D ．M ≥N 答案 C解析 当a >1时，a 3＋1>a 2＋1，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的增函数，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)； 当0<a <1时，a 3＋1<a 2＋1，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的减函数，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)， ∴当a >0且a ≠1时，总有M >N . 11．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________． 答案x 1＋x 2≤12解析 x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0. ∴x 1＋x2≤12. 12．设x ，y ，z ∈R ，比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小． 解 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2) ＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0， ∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2， 当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取等号．三、探究与拓展13．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A 、B 含量及成本如下表：含有56 000单位维生素A 和63 000单位维生素B .试用x 、y 表示混合食物成本c 元，并写出x 、y 所满足的不等关系． 解 依题意得c ＝11x ＋9y ＋4z ， 又x ＋y ＋z ＝100，∴c ＝400＋7x ＋5y ，由⎩⎪⎨⎪⎧600x ＋700y ＋400z ≥56 000，800x ＋400y ＋500z ≥63 000，及z ＝100－x －y ， 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130.∴x ，y 所满足的不等关系为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130，x ≥0，y ≥0.。
3.1 不等关系与不等式3.1.1 不等关系与不等式（一）从容说课通过本节课的学习让学生从一系列的具体问题情境中感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用，这是学习本章的基础，也是不等关系在本章内容的地位与作用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较的过程，即能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，这是学习本章第三节的基础.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的学生易于处理的问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，这也是学生学习本章的情感基础根据本节课教学内容，应用观察、抽象归纳、思考、交流、探究，得出数学模型，进行启发式教学并使用投影仪辅助教学重点1.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性；2.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题；3.理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值教学难点1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系；2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题教具准备投影仪、胶片、三角板、刻度尺三维目标一、知识与技能1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系；2.了解不等式或不等式组的实际背景；3.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题二、过程与方法1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.设计较典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性三、情感态度与价值观1.通过具体情境，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度；2.学习过程中，通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有实际意义问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的简洁美，激发学生的学习兴趣.教学过程导入新课师日常生活中,同学们发现了哪些数量关系.你能举出一些例子吗？生实例1：某天的天气预报报道，最高气温32℃，最低气温生实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则x a＜x b(老师协助画出数轴草图)生实例3:若一个数是非负数，则这个数大于或等于零实例4:两点之间线段最短实例5:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边(学生迫不及待地说出这么多,说明课前的预习量很充分,学习数学的兴趣浓,此时老师应给以充分的肯定和表扬推进新课师同学们所举的这些例子联系了现实生活，又考虑到数学上常见的数量关系,非常好.而且大家已经考虑到本节课的标题不等关系与不等式,所举的实例都是反映不等量关系,这将暗示我们这节课的效果将非常好(此时，老师用投影仪给出课本上的两个实例)实例6:限时的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过实例7:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%.［过程引导］师能够发现身边的数学当然很好,这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说,能用数学的眼光、数学的观点、进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程,这是我们每个研究数学的人来说必须要做的,那么,我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢生可以用不等式或不等式组来表示师什么是不等式呢生用不等号将两个解析式连结起来所成的式子叫不等式（老师给出一组不等式-7＜-5；3+4＞1+4；2x≤6；a+2≥0;3≠4.目的是让同学们回忆不等式的一些基本形式，并说明不等号“≤，≥”的含义，是或的关系.回忆了不等式的概念，不等式组学生自然而然就清楚了）师能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，通过对不等式数学模型的研究，反过来作用于我们的现实生活，这才是我们学习数学的最终目的（此时，同学们已经迫不及待地想说出自己的观点.）［合作探究］生我们应该先像实例2那样用不等式或不等式组把上述实例中的不等量关系表示出来师说得非常好，下面我们就把上述实例中的不等量关系用不等式或不等式组一一表示出来.那应该怎么样来表示呢（学生轮流回答，老师将答案相应地写在实例后面）生上述实例中的不等量关系用不等式表示应该为生可以表示为（此时，学生有疑问，老师及时点拨，可以画出图形.让学生板演）（老师顺便画出三角形草画）生 |AC |+|BC |＞|AB |(只需结合上述三角形草图生 |AB |+|BC |＞|AC |、|AC |+|BC |＞|AB |、|AB |+|AC |＞|BC生 |AB |-|BC |＜|AC |、|AC |-|BC |＜|AB |、|AB |-|AC |＜|BC |.交换被减数与减数的位置也可以生 如果用v 表示速度，则生 f≥2.5%或(此时,一片安静,同学们在积极思考生 这样表达是错误的,因为两个不等量关系要同时满足，所以应该用不等式组来表示此实际问题中的不等量关系，即可以表示为⎩⎨⎧≥≥%.3.2%,5.2p f生 也可表示为f≥2.5%且师 同学们看这两位同学的观点是否正确生 (齐答)大家齐声说，都可以师 同学们的思考很严密,很好!应该用不等式组来表示此实际问题中的不等量关系，也可以用“且”的形式来表达课堂练习教科书第83页练习1、(老师让学生轮流回答，学生回答很好.此时，同学们已真正进入了本节课的学习状态,老师再用投影仪给出课本上的三个问题.问题是数学研究的核心，以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识）【问题1】 设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点 ［活动与探究］师 请同学们用不等式或不等式组来表示出此问题中的不等量关系(此时,教室一片安静,同学们在积极思考,时间较长,老师应该及时点拨) ［方法引导］师 前面我们借助图形来表示不等量关系,这个问题是否可以(可以让学生板演，结合三角形草图来表达)过点A 作AC ⊥平面α于点C ，则d=|AC |≤|AB 师 这位同学做得很好,我们在解决问题时应该贯穿数形结合的思想,以形助数,以数解形 师 请同学们继续来处理问题［合作探究］【问题2】 某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后杂志的定价设为x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢生 可设杂志的定价为x 元，则销售量就减少2.01.05.2⨯-x 万本师 那么销售量变为多少呢？如何表示？生 可以表示为)2.01.05.28(⨯--x 万本，则总收入为x x )2.01.05.28(⨯--万元〔老师板书，即销售的总收入为不低于20万元的不等式表示为)2.01.05.28(⨯--xx≥20〕师 是否有同学还有其他的解题思路？生 可设杂志的单价提高了0.1n 元，(n∈N *)， （下面有讨论的声音，有的同学存在疑问，此时老师应密切关注学生的思维状况） 师为什么可以这样设？生我只考虑单价的增量师 很好，请继续讲生 那么销售量减少了0.2n 万本，单价为(2.5+0.1n)元，则也可得销售的总收入为不低于20万元的不等式，表示为(2.5+0.1n)(8-师 这位同学回答得很好，表述得很准确.请同学们对两种解法作比较（留下让学生思考的时间）师 请同学们继续思考第三个问题 ［合作探究］【问题3】 某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种,按照生产的要求,600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式师 假设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根.根据题意，应当有什么样的不等量关系呢？生截得两种钢管的总长度不能超过生 截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍生截得两种钢管的数量都不能为负师上述的三个不等关系是“或”还是“且”的关系呢？生 它们要同时满足条件，应该是且的关系生由实际问题的意义，还应有师 这位同学回答得很好，思维很严密.那么我们该用怎样的不等式组来表示此问题中的不等关系呢？生 要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥≥≥≤+.,,0,0,3,40000600500N y x y x y x y x 师 这位同学回答很准确.通过上述三个问题的探究，同学们对如何用不等式或不等组把实际问题中所隐含的不等量关系表示出来，这一点掌握得很好.请同学们再完成下面这个练习 课堂练习练习：若需在长为4 000 mm 的圆钢上，截出长为698 mm 和518 mm 两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组分析：设截出长为698 mm 的毛坯x 个和截出长为518 mm 的毛坯y 个，把截取条件数学化地表示出来就是：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥≥≤+.,,0,0,4000518698N y x y x y x （练习可让学生板演，老师结合学生具体完成情况作评析，特别应注意x≥0,y≥0,x,y∈N）课堂小结师通过今天的学习，你学到了什么知识，有何体会？生我感到学习数学可以帮助我们解决生活中的实际问题生 数学就在我们的身边，与我们的生活联系非常紧密，我更加喜爱数学了生 本节课我们还进一步巩固了初中所学的二元一次不等式及二元一次不等式组，并且用它来解决现实生活中存在的大量不等量关系的实际问题师 我来补充一下，在用二元一次不等式及二元一次不等式组表示实际问题中的不等关系时，思维要严密、规范，并且要注意数形结合等思想方法的综合应用（慢慢培养学生学会自己来归纳总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.进而培养学生的概括能力和语言表达能力） 布置作业第84页习题3.1A 组4、 板书设计不等关系与不等式（一） 实例 方法引导 方法归纳 如何用不等式或不等式组表示 实例剖析（知识方法应用） 小结 实际问题中不等量关系？ 示范解题备课资料一、备用习题1.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨.现有库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上进行生产.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来分析：设x,y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,661518,104y x y x y x2.某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难.为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（小李除外）决定承担这笔费用.若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上.问该班共有多少人？这笔开学费用共多少元？请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来，不必解答分析：设该班共有x 人，这笔开学费用共y 元，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=-=-.,4011,10,8412*N x y x y x y x＜3.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙项目可能的最大亏损分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来分析：设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意，知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,8.11.03.0,10y x y x y x 4.某企业生产A 、B 两种产品，A 产品的单位利润为60元，B 产品的单位利润为80元，两种产品都需要在加工车间和装配车间进行生产，每件A 产品在加工车间和装配车间各需经过0.8 h 和2.4 h ，每件B 产品在两个车间都需经过1.6 h ，在一定时期中，加工车间最大加工时间为240 h ，装配车间最大生产时间为288 h.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来分析：设该企业分别生产A 产品x 件、B 产品y 件，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥≤+≤+.,0,,2886.14.2,2406.18.0Z y x y x y x y x 二、课外探究 开放性问题已知：不等式组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥≥=+≥+,,,1,1,100,50N y x y x y x y x 你能举出符合此不等式组的实际问题吗？3.1.2不等关系与不等式（二）从容说课本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.为了利用不等式更好地研究不等关系，也能够让学生在以后的解不等式以及对不等式的证明奠定一定的理论基础.在本节课的学习过程中将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.了解不等式的一些基本性质并能给出严格的理论证明，能用不等式的基本性质进行一些简单的不等式证明，进而更深一层次地从理性角度建立不等观念.这是学习本节课的目的也是本节课的内容安排在本章的地位与作用.对实数基本理论的复习，教师应作好点拨，利用数轴数形结合，做好归纳总结.对不等式的基本性质，教师应指导学生用数学观点与等式的基本性质作类比、归纳、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析量与量的比较的过程，进而能利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.在本节课的学习过程中，课外作业仍安排了一些简单的学生易于处理的实际问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并进一步让学生体会研究不等式基本性质的必要性，这也是学生学习本学时的情感基础根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小和证明不等式的一些性质.应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、交流、探究，得出不等式的基本性质，并能利用不等式的基本性质进行一些简单的不等式证明.进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助教学重点1.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小；2.了解不等式性质研究的必要性及不等式的一些基本性质；3.能用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式教学难点1.用实数的基本理论来比较两个代数式的大小时对差的合理变形；2.利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式教具准备投影仪、胶片、三角板、刻度尺三维目标一、知识与技能1.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小与用实数的基本理论来证明不等式的一些性质2.通过回忆与复习学生所熟悉的等式性质类比得出不等的一些基本性质3.在了解不等式一些基本性质的基础之上能利用它们来证明一些简单的不等式二、过程与方法1.采用探究法，按照联想、类比、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣三、情感态度与价值观1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.教学过程导入新课师上一节课我们通过具体的问题情景，体会到现实世界存在大量的不等量关系，并且研究了用不等式或不等式组来表示实际问题中的不等关系.为了利用不等式更好地研究不等量关系及用不等式或不等式组研究含有不等关系的问题.我们需要对不等式的性质有必要的了解推进新课师我们已学习过等式、不等式，同学们还记得等式的性质吗？生等式有这样的性质：等式两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式师 很好！当我们开始研究不等式的时候，自然会联想到，是否有与等式相类似的性质，也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，结果将会如何呢？（此时很快能让学生进入对初中所学过的不等式三条基本性质的回忆与复习） 师 一般地说，不等式的基本性质有三条：性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向_________.（让同学回答）性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向________.（让同学回答）性质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向________.（让同学回答） ［过程引导］师 不等式的这三条基本性质，都可以用数学的符号语言表达出来.（让三位同学板演） 性质1：a ＜b a +c ＜b +c （或a -c ＜b -c ）；a ＞b a +c ＞b +c （或a -c ＞b -c ）性质2：a ＜b 且c ＞0⇒ac ＜bc (或cbc a ＜)；a ＞b 且c ＞ac ＞bc (或c b c a ＞ 性质3：a ＜b 且c ＜0⇒ac ＞bc (或c b c a ＞)；a ＞b 且c ＜ac ＜bc (或c b c a ＜（用数学符号表达不等式的性质，目的是为下面用符号进行不等式性质与证明打基础，给学生也有一适应过程.老师对学生的板演作点评）师 性质2、性质3两条性质中，对a 、b 、c 有什么要求？生 对a 、b 没什么要求，特别要注意c 是正数还是负数师 很好，c 可以为零吗？生 c 不能为零.因为c 为零时，任何不等式两边都乘以零就变成等式了.若是“≤”或“≥”则可以师 这位同学回答的非常好，思维既严谨又周到师 对于不等式的这三条基本性质，我们不仅要理解这三条性质，还要能灵活运用.在初中，我们对这三条性质只是作了感性的归纳，现在我们应对它给出严格的证明，只有这样应用这些性质才能有理有据 （学生已迫不及待）生（齐声）那我们来给出严格的证明吧（此处，说明老师点拨很到位.真正体现了课堂上教师的主导地位与学生的主体地位） 师 为了对不等式的基本性质给出严格证明，我们还有必要回忆实数的基本性质 （此时学生对这一名词肯定感到生疏，老师在黑板上应很快给出数轴）［教师精讲］师 若点Ａ对应的实数为a ，点Ｂ对应的实数为b ，因为点Ａ在点Ｂ的左边，所以可得a ＞b .a ＞b 表示a 减去b 所得的差是一个大于０的数即正数，即a ＞b ⇒a -b ＞0.它的逆命题是否正确？生 显然正确师 类似地，如果a ＜b ，则a 减去b 是负数，如果a =b ，则a 减去b 等于０，它们的逆命题也正确.一般地a ＞b ⇒a -b ＞0;a =b ⇒a -b =0;a ＜b ⇒a -b ＜师 这就是实数的基本性质的一部分，还有任意两个正数的和与积都是正数等.等价符号左边不等式反映的是实数的大小顺序，右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系，它是不等式这一章的理论基础，是证明不等式以及解不等式的主要依据师 由实数的基本性质可知，我们如何比较两个实数的大小呢？生只要考察它们的差就可以了师 很好.请同学们思考下面这个问题(此时，老师用投影仪给出问题 ［合作探究］【问题1】 已知x≠0，比较(x 2+1)2与x 4+x 2+1的大小（问题是数学研究的核心，此处以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识 （让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）解：(x 2+1)2－x 4-x 2-1=x 4+2x 2+1-x 4-x 2-1=x 2，由x≠0，得x 2＞0，从而(x 2+1)2＞x 4+x2（学生对x≠0，得x 2＞0在说理过程中往往会忽略）师 下面我们来看一组比较复杂的问题，请大家都来开动脑筋，认真审题，仔细分析 （让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）【例1】 比较下列各组数的大小（a ≠b ） (1)2b a +与ba 112+ (a ＞0,b＞ （2）a 4－b 4与4a 3（a －b ）师 比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定解：（1）)(2)()(24)(22112222b a b a b a ab b a b a ab b a ba b a +-=+-+=+-+=+-+， ∵a ＞0,b ＞0且a ≠b ,∴a +b ＞0,(a -b )2＞ ∴ba b a b a b a 11220,)(2)(2+++-＞即＞ （2）a 4-b 4-4a 3(a -b=(a -b )(a +b )(a 2+b 2)-4a 3(a -b=(a -b )(a 3+a 2b +ab 2+b 3-4a3=(a -b )［(a 2b -a 3)+(ab 2-a 3)+(b 3-a 3)］=-(a -b )2(3a 2+2ab +b2=-(a -b )2［2a 2+(a +b )2］∵2a 2+(a +b )2≥0(当且仅当a =b =0时取等号又a ≠b ,∴(a -b )2＞0,2a 2+(a +b )2＞∴-(a -b )2［2a 2+(a +b )2］＜∴a 4-b 4＜4a 3(a -b师 同学们完成得很好，证明不等式时，应注意有理有据、严谨细致，还应条理清晰.比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用(此时，老师用投影仪给出下列问题［合作探究］【问题2】 求证：（1）a ＞b 且c ＞0 ac ＞bc ；（2）a ＞b a +c ＞b +c师 请同学们思考第一小问该如何证明？生 可用实数的基本性质，∵a ＞b ,∴a -b ＞0.又∵c ＞0，由任意两个正数的积都是正数可得(a -b )c ＞0，即ac ＞bc师 这位同学证明的思路很好，很严密.同学们还有其他的证明思路吗？生 ac -bc =(a -b )c ，∵a ＞b ，∴a -b ＞0.又∵c ＞0，由任意两个正数的积都是正数可得(a -b )c＞0，所以得证师 这位同学证明得是否正确？生 正确师 这两位同学的证明都正确，请同学们认真地审视一下，比较这两位同学证题思路的区别与联系生 第一位同学的证明是由条件到结论，第二位同学的证明是由结论到条件，即寻找结论成立的条件师回答得非常好，这位同学看出了两种证明方法的本质.由条件到结论，由结论到条件，这是我们证明问题经常采用的思路（按照教材对不等式的证明要求，此处对不等式证明的分析法与综合法没有点明，只是让学生通过具体的问题了解不等式证明的分析法与综合法的证题思路）师 请同学继续思考第二小问该如何证明？生 可由结论到条件，a +c -(b +c )=a -b ，∵a ＞b ，∴a -b ＞0，∴a +c ＞b +c师 这位位同学回答得很好，有理有据，严谨细致，也很有条理清晰.别的同学有问题吗？ 生（齐声）没问题师 这说明同学们对不等式的证明思路掌握得很好师 下面我们再来看一个比较复杂的问题，请大家继续开动脑筋，认真审题，仔细分析 （此处，老师再一次这样说的目的是能够激发起同学们克服难题的欲望，进而增强学习的积极性与主动性）(此时，老师用投影仪给出本课时的例［例题剖析］已知a ＞b ＞0,c ＜0，求证：b c a c ＞师 前面我们已经利用不等式及实数的基本性质证明了一些简单的不等式.请同学思考此该如何证明？生 可由条件到结论.∵a ＞b ＞0，两边同乘以正数ab 1，得b 1＞a 1，即a 1＜b 1b .又∵c ＜0，∴b c a c ＞师 这位同学回答得很好.通过此例的解答可以看出，本课时，同学们对简单不等式的证明掌握得非常好.希望同学们课后进一步探究，对不等式的基本性质和实数的性质应用既要严密、。
3.1不等关系与不等式第一课时三维目标一、知识与技能1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系；2.了解不等式或不等式组的实际背景；3.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题.4.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小二、过程与方法1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.设计较典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性.三、情感态度与价值观1.通过具体情境，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度；2.学习过程中，通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有实际意义问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的简洁美，激发学生的学习兴趣.教学过程导入新课：(1)中国“神舟七号”宇宙飞船的飞行速度不小于第一宇宙速度,且小于第二宇宙速度(2)《铁路旅行常识》规定:旅客每人免费携带物品------杆状物不超过200cm,重量不得超过20kg(3)我们班的数学成绩高于平行班的成绩问题:上面的不等关系是用什么不等词表示的?思考一下什么是不等式？推进新课：我们用数学符号“≠”，“>”，“<”，“≥”，“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不等式.师能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，通过对不等式数学模型的研究，反过来作用于我们的现实生活，这才是我们学习数学的最终目的.［合作探究］用不等式或不等式组把上述实例中的不等量关系表示出来(1)右图是限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h .(2)中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度( v )不小于第一宇宙速度(记作v1 ),且小于第二宇宙速度(记v2 ).(3)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.［合作探究］ 【问题2】 某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后杂志的定价设为x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢?生 可设杂志的定价为x 元，则销售量就减少2.01.05.2⨯-x 万本. 师 那么销售量变为多少呢？如何表示？生 可以表示为)2.01.05.28(⨯--x 万本，则总收入为x x )2.01.05.28(⨯--万元. 〔老师板书，即销售的总收入为不低于20万元的不等式表示为)2.01.05.28(⨯--x x≥20〕师 是否有同学还有其他的解题思路？生 可设杂志的单价提高了0.1n 元，(n ∈N *)，（下面有讨论的声音，有的同学存在疑问，此时老师应密切关注学生的思维状况） 师 为什么可以这样设？ 生 我只考虑单价的增量. 师 很好，请继续讲.生 那么销售量减少了0.2n 万本，单价为(2.5+0.1n)元，则也可得销售的总收入为不低于20万元的不等式，表示为(2.5+0.1n)(8-0.2n)≥20.师 这位同学回答得很好，表述得很准确.请同学们对两种解法作比较. （留下让学生思考的时间）师 请同学们继续思考第三个问题. ［合作探究］【问题3】 某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种,按照生产的要求,600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式?师 假设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根.根据题意，应当有什么样的不等量关系呢？生 截得两种钢管的总长度不能超过4 000 mm.生 截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍. 生 截得两种钢管的数量都不能为负.师 上述的三个不等关系是“或”还是“且”的关系呢？ 生 它们要同时满足条件，应该是且的关系. 生 由实际问题的意义，还应有x,y ∈N. 师 这位同学回答得很好，思维很严密.那么我们该用怎样的不等式组来表示此问题中的不等关系呢？生 要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥≥≥≤+.,,0,0,3,40000600500N y x y x y x y x 师 这位同学回答很准确.通过上述三个问题的探究，同学们对如何用不等式或不等组把实际问题中所隐含的不等量关系表示出来，这一点掌握得很好.请同学们再完成下面这个练习. 课堂练习（练习可让学生板演，老师结合学生具体完成情况作评析，特别应注意x≥0,y≥0,x,y ∈N ）［教师精讲］师 若点Ａ对应的实数为a ，点Ｂ对应的实数为b ，因为点Ａ在点Ｂ的左边，所以可得a ＞b .a ＞b 表示a 减去b 所得的差是一个大于０的数即正数，即a ＞b ⇒a -b ＞0.它的逆命题是否正确？生 显然正确.师 类似地，如果a ＜b ，则a 减去b 是负数，如果a =b ，则a 减去b 等于０，它们的逆命题也正确.一般地,a ＞b ⇒a -b ＞0;a =b ⇒a -b =0;a ＜b ⇒a -b ＜0. 师 这就是实数的基本性质的一部分，还有任意两个正数的和与积都是正数等.等价符号左边不等式反映的是实数的大小顺序，右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系，它是不等式这一章的理论基础，是证明不等式以及解不等式的主要依据.师 由实数的基本性质可知，我们如何比较两个实数的大小呢？ 生 只要考察它们的差就可以了.师 很好.请同学们思考下面这个问题. (此时，老师用投影仪给出问题) ［合作探究］【问题1】 已知x≠0，比较(x 2+1)2与x 4+x 2+1的大小.（问题是数学研究的核心，此处以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识) （让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评） 解：(x 2+1)2－x 4-x 2-1=x 4+2x 2+1-x 4-x 2-1=x 2， 由x≠0，得x 2＞0，从而(x 2+1)2＞x 4+x 2+1.（学生对x≠0，得x 2＞0在说理过程中往往会忽略）师 下面我们来看一组比较复杂的问题，请大家都来开动脑筋，认真审题，仔细分析. （让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评） 【例1】 比较下列各组数的大小（a ≠b ）. (1)2b a +与ba 112+ (a ＞0,b ＞0); （2）a 4－b 4与4a 3（a －b ）.师 比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.解：（1）)(2)()(24)(22112222b a b a b a ab b a b a ab b a ba b a +-=+-+=+-+=+-+， ∵a ＞0,b ＞0且a ≠b ,∴a +b ＞0,(a -b )2＞0.∴ba b a b a b a 11220,)(2)(2+++-＞即＞.（2）a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)［(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)］=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2［2a2+(a+b)2］,∵2a2+(a+b)2≥0(当且仅当a=b=0时取等号),又a≠b,∴(a-b)2＞0,2a2+(a+b)2＞0.∴-(a-b)2［2a2+(a+b)2］＜0.∴a4-b4＜4a3(a-b).师同学们完成得很好，证明不等式时，应注意有理有据、严谨细致，还应条理清晰.比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.课堂小结师通过今天的学习，你学到了什么知识，有何体会？生我感到学习数学可以帮助我们解决生活中的实际问题.生数学就在我们的身边，与我们的生活联系非常紧密，我更加喜爱数学了.生本节课我们还进一步巩固了初中所学的二元一次不等式及二元一次不等式组，并且用它来解决现实生活中存在的大量不等量关系的实际问题.师我来补充一下，在用二元一次不等式及二元一次不等式组表示实际问题中的不等关系时，思维要严密、规范，并且要注意数形结合等思想方法的综合应用.（慢慢培养学生学会自己来归纳总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.进而培养学生的概括能力和语言表达能力）布置作业第84页习题3.1A组4、5.板书设计不等关系与不等式（一）实例方法引导方法归纳如何用不等式或不等式组表示实例剖析（知识方法应用）小结实际问题中不等量关系？示范解题第二课时授课类型：新授课【三维目标】1．知识技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.【教学重点】掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；【教学难点】利用不等式的性质证明简单的不等式。
3.1 不等关系与不等式（第一课时）【教课目的】1. 经过详细情境让学生感觉和体验现实世界和平时生活中存在着大批的不等关系，鼓舞学生用数学看法进行察看、概括、抽象，使学生感觉数学、走进数学、改变学生的数学学习态度。
2．成立不等看法，并能用不等式或不等式组表示不等关系。
3．认识不等式或不等式组的实质背景。
4.能用不等式或不等式组解决简单的实质问题。
【要点难点】要点 :１. 经过详细的问题情形，让学生领会不等量关系存在的广泛性及研究的必需性。
２.用不等式或不等式组表示实质问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题。
3.理解不等式或不等式组关于刻画不等关系的意义和价值。
难点 :1.用不等式或不等式组正确地表示不等关系。
2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实质问题。
【方法手段】1.采纳研究法，依据阅读、思虑、沟通、剖析，抽象概括出数学模型，从详细到抽象再从抽象到详细的方法进行启迪式教课。
2.教师供给问题、素材，并实时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用。
3.设计教典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和踊跃性。
【教课过程】教学教师活动学生活动设计企图环节导平时生活中，同学们发现了哪些实例 1. 某天的天气预告报导，最指引学生想生入数目关系。
你能举出一些例子高气温 35℃，最低气温 29℃。
活中的例子和新吗？实例 2. 若一个数是非负数，则这学过的数学中课个数大于或等于零。
的例子。
在老师实例 3. 两点之间线段最短。
的指引下，学生实例 4. 三角形两边之和大于第一定会迫不及三边，两边之差小于第三边。
待的能说出很多个例子来。
即活跃了讲堂气氛，又激发了学生学习数学的兴趣。
推同学们所举的这些例子联系了同学们仔细观看显示屏幕上老让学生们边看进现实生活，又考虑到数学上常有师所举的例子。
边思虑：生活中新的数目关系，特别好。
并且大家有很多的事情课已经考虑到本节课的标题《不等的描绘能够采关系与不等式》，所举的实例都用不等的数目是反应不等量的关系。
3.1不等关系和不等式（一）教学目标1．知识与技能:使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的有关内容。
2.过程与方法:以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系；3．情态与价值：通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量。
（二）教学重、难点重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。
（三）教学设想[创设问题情境]问题1：设点A 与平面α的距离为d ，B 为平面α上的任意一点，则d ≤AB 。
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？分析：若杂志的定价为x 元，则销售的总收入为 2.580.20.1x x -⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭万元。
那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式 2.580.20.1x x -⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭≥20 问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种，按照生产的要求，600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍。
怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？分析：假设截得500mm 的钢管x 根，截得600mm 的钢管y 根..根据题意，应有如下的不等关系：（1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm ；（2）截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍；（3）解得两钟钢管的数量都不能为负。
3.1不等关系与不等式( 第 2 课时 )学习目标1.掌握常用不等式的基天性质 .2.会将一些基天性质联合起来应用 .3.学习怎样利用不等式的相关基天性质研究不等关系.合作学习一、设计问题 , 创建情境问题 1: 等式的性质有哪些?请大家用符号表示出来.问题 2: 依据等式的这些性质, 你能猜想不等式的近似性质吗?请大家加以研究.二、信息沟通 , 揭露规律问题3: 上边获得的结论能否正确, 需要我们给出证明. 需要证明的不等式, 是描绘两个数之间的大小关系, 能够用什么方法比较呢?其原理是什么呢?问题 4: 请大家用作差法证明性质(4).问题 5: 利用上边的性质, 证明不等式的以下性质:性质 5假如a>b,c>d,那么a+c>b+d;性质 6假如a>b>0,c>d>0,那么ac>bd;性质 7假如a>b>0,那么a n>b n(n∈ N,n≥1);性质 8假如a>b>0,那么(n∈N,n≥2).三、运用规律 , 解决问题【例题】已知a>b>0,c<0, 求证 .问题6: 察看条件和结论中的不等式有什么差别?用不等式的哪些性质能够将条件向结论转变 ?问题 7: 请大家思虑还有其余证明方法吗?请大家试试试看.问题 8: 用作差法比较两个数的大小, 一般经历哪几个步骤?四、变式训练 , 深入提升变式训练1: 以下结论的正误, 正确的打“√” , 错误的打“×”.①若 b<a<0, 则 .()②若 a>b, 则. ()③若 , 则 a>b. ()④若 a+c>b+d, 则 a>b,c>d.()⑤若 a2>b2>0, 则 a>b>0. ()⑥若 , 则 a>b. ()变式训练2: 设 x<y<0, 试比较 (x 2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大小.变式训练3: 设α∈ , β∈ , 那么 2α - 的取值范围是()A. B. C.(0, π) D.五、反省小结 , 看法提炼参照答案一、设计问题 , 创建情境问题1: ①对称性 :a=b ? b=a; ②传达性a=b,b=c ? a=c; ③加法法例:a=b ? a±c=b±c; ④乘法法例 :a=b,c ≠0? ac=bc.问题 2:(1)假如a>b,那么b<a;假如b<a,那么a>b.即a>b? b<a.(2)假如 a>b,b>c, 那么 a>c. 即 a>b,b>c ? a>c.(3)假如 a>b, 那么 a+c>b+c.(4)假如 a>b,c>0, 那么 ac>bc; 假如 a>b,c<0, 那么 ac<bc.二、信息沟通 , 揭露规律问题 3: 能够用作差法比较.a-b>0 ? a>b;a-b=0 ? a=b;a-b<0 ? a<b.问题 4: 证明 : 由于 a>b,c>0,因此 ac-bc=c(a-b)>0,因此 ac>bc.同理可证假如a>b,c<0, 那么 ac<bc.问题 5: 证明 :(5) 由于 a>b,因此 a+c>b+c.①由于 c>d,因此 b+c>b+d.②由①②得 ,a+c>b+d.(6)? ac>bd;(7)由于 a>b>0, 由性质 (6) 可得 a n>b n,(n ∈ N,n ≥1);(8)( 反证法 ) 假定 ,若这都与a>b 矛盾 ,因此 .三、运用规律 , 解决问题【例题】证明 : 由于 a>b>0, 因此 ab>0,>0.于是 a×>b×, 即 .由 c<0, 得 .问题 6: 结论中的a,b 在分母上 , 且结论中a,b,c在同一个不等式中; 性质 (4).问题 7: 有, 用作差法 .证明: 由于,又由于 a>b>0, 因此 b-a<0,ab>0.又 c<0, 因此 >0, 因此 .问题 8: 作差—变形—定号—结论, 四个步骤 .四、变式训练 , 深入提升变式训练1: 答案 : √、×、×、×、×、√变式训练2: 解 : 方法一 :(x 2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y) =(x-y)=-2xy(x-y),∵x<y<0, ∴xy>0,x-y<0, ∴ -2xy(x-y)>0,2222∴(x +y )(x-y)>(x-y )(x+y).方法二 : ∵ x<y<0, ∴ x-y<0,x 2>y2,x+y<0.∴(x 2+y2)(x-y)<0,(x2-y2)(x+y)<0,∴0<<1,∴(x 2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).变式训练3: 分析 : 由题设得0<2α <π,0 ≤,-≤- ≤0, 因此 - <2α - <π.答案 :D五、反省小结 , 看法提炼略。
3.1 不等关系与不等式3.1.1 不等关系与不等式（一）从容说课通过本节课的学习让学生从一系列的具体问题情境中感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用，这是学习本章的基础，也是不等关系在本章内容的地位与作用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较的过程，即能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，这是学习本章第三节的基础.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的学生易于处理的问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，这也是学生学习本章的情感基础.根据本节课教学内容，应用观察、抽象归纳、思考、交流、探究，得出数学模型，进行启发式教学并使用投影仪辅助.教学重点 1.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性；2.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题；3.理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值.教学难点 1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系；2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题.教具准备投影仪、胶片、三角板、刻度尺三维目标一、知识与技能1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系；2.了解不等式或不等式组的实际背景；3.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题.二、过程与方法1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.设计较典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性.三、情感态度与价值观1.通过具体情境，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度；2.学习过程中，通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有实际意义问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的简洁美，激发学生的学习兴趣.教学过程导入新课师日常生活中,同学们发现了哪些数量关系.你能举出一些例子吗？生实例1：某天的天气预报报道，最高气温32℃，最低气温26℃.生实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则x a＜x b.(老师协助画出数轴草图)生实例3:若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.实例4:两点之间线段最短.实例5:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.(学生迫不及待地说出这么多,说明课前的预习量很充分,学习数学的兴趣浓,此时老师应给以充分的肯定和表扬)推进新课师同学们所举的这些例子联系了现实生活，又考虑到数学上常见的数量关系,非常好.而且大家已经考虑到本节课的标题不等关系与不等式,所举的实例都是反映不等量关系,这将暗示我们这节课的效果将非常好.(此时，老师用投影仪给出课本上的两个实例)实例6:限时40 km∈N *)，（下面有讨论的声音，有的同学存在疑问，此时老师应密切关注学生的思维状况）师为什么可以这样设？生我只考虑单价的增量.师很好，请继续讲.生那么销售量减少了0.2n万本，单价为(2.5+0.1n)元，则也可得销售的总收入为不低于20万元的不等式，表示为(2.5+0.1n)(8-0.2n)≥20.师这位同学回答得很好，表述得很准确.请同学们对两种解法作比较.（留下让学生思考的时间）师请同学们继续思考第三个问题.［合作探究］【问题3】某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种,按照生产的要求,600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式?师假设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根.根据题意，应当有什么样的不等量关系呢？生截得两种钢管的总长度不能超过4 000 mm.生 截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍.生 截得两种钢管的数量都不能为负.师 上述的三个不等关系是“或”还是“且”的关系呢？生 它们要同时满足条件，应该是且的关系.生 由实际问题的意义，还应有x,y∈N. 师 这位同学回答得很好，思维很严密.那么我们该用怎样的不等式组来表示此问题中的不等关系呢？生 要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥≥≥≤+.,,0,0,3,40000600500N y x y x y x y x 师 这位同学回答很准确.通过上述三个问题的探究，同学们对如何用不等式或不等组把实际问题中所隐含的不等量关系表示出来，这一点掌握得很好.请同学们再完成下面这个练习.课堂练习练习：若需在长为4 000 mm 的圆钢上，截出长为698 mm 和518 mm 两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组?分析：设截出长为698 mm 的毛坯x 个和截出长为518 mm 的毛坯y 个，把截取条件数学化地表示出来就是： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥≥≤+.,,0,0,4000518698N y x y x y x （练习可让学生板演，老师结合学生具体完成情况作评析，特别应注意x≥0,y≥0,x,y∈N）课堂小结师通过今天的学习，你学到了什么知识，有何体会？生我感到学习数学可以帮助我们解决生活中的实际问题.生数学就在我们的身边，与我们的生活联系非常紧密，我更加喜爱数学了.生本节课我们还进一步巩固了初中所学的二元一次不等式及二元一次不等式组，并且用它来解决现实生活中存在的大量不等量关系的实际问题.师我来补充一下，在用二元一次不等式及二元一次不等式组表示实际问题中的不等关系时，思维要严密、规范，并且要注意数形结合等思想方法的综合应用.（慢慢培养学生学会自己来归纳总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.进而培养学生的概括能力和语言表达能力）布置作业第84页习题3.1A组4、5.板书设计不等关系与不等式（一）实例方法引导方法归纳如何用不等式或不等式组表示实例剖析（知识方法应用）小结实际问题中不等量关系？示范解题备课资料一、备用习题1.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨.现有库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上进行生产.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来.分析：设x,y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,661518,104y x y x y x2.某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难.为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（小李除外）决定承担这笔费用.若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上.问该班共有多少人？这笔开学费用共多少元？请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来，不必解答.分析：设该班共有x 人，这笔开学费用共y 元，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=-=-.,4011,10,8412*N x y x y x y x ＜. 3.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙项目可能的最大亏损分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来.分析：设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意，知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,8.11.03.0,10y x y x y x 4.某企业生产A 、B 两种产品，A 产品的单位利润为60元，B 产品的单位利润为80元，两种产品都需要在加工车间和装配车间进行生产，每件A 产品在加工车间和装配车间各需经过0.8 h 和2.4 h ，每件B 产品在两个车间都需经过1.6 h ，在一定时期中，加工车间最大加工时间为240 h ，装配车间最大生产时间为288 h.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来.分析：设该企业分别生产A 产品x 件、B 产品y 件，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥≤+≤+.,0,,2886.14.2,2406.18.0Z y x y x y x y x 二、课外探究 开放性问题已知：不等式组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥≥=+≥+,,,1,1,100,50N y x y x y x y x 你能举出符合此不等式组的实际问题吗？3.1.2 不等关系与不等式（二）从容说课本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.为了利用不等式更好地研究不等关系，也能够让学生在以后的解不等式以及对不等式的证明奠定一定的理论基础.在本节课的学习过程中将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.了解不等式的一些基本性质并能给出严格的理论证明，能用不等式的基本性质进行一些简单的不等式证明，进而更深一层次地从理性角度建立不等观念.这是学习本节课的目的也是本节课的内容安排在本章的地位与作用.对实数基本理论的复习，教师应作好点拨，利用数轴数形结合，做好归纳总结.对不等式的基本性质，教师应指导学生用数学观点与等式的基本性质作类比、归纳、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析量与量的比较的过程，进而能利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.在本节课的学习过程中，课外作业仍安排了一些简单的学生易于处理的实际问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并进一步让学生体会研究不等式基本性质的必要性，这也是学生学习本学时的情感基础.根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小和证明不等式的一些性质.应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、交流、探究，得出不等式的基本性质，并能利用不等式的基本性质进行一些简单的不等式证明.进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.教学重点 1.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小；2.了解不等式性质研究的必要性及不等式的一些基本性质；3.能用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.教学难点 1.用实数的基本理论来比较两个代数式的大小时对差的合理变形；2.利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.教具准备投影仪、胶片、三角板、刻度尺三维目标一、知识与技能1.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小与用实数的基本理论来证明不等式的一些性质;2.通过回忆与复习学生所熟悉的等式性质类比得出不等的一些基本性质;3.在了解不等式一些基本性质的基础之上能利用它们来证明一些简单的不等式.二、过程与方法1.采用探究法，按照联想、类比、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学;2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用;3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.三、情感态度与价值观1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯;2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量;3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.教学过程导入新课师上一节课我们通过具体的问题情景，体会到现实世界存在大量的不等量关系，并且研究了用不等式或不等式组来表示实际问题中的不等关系.为了利用不等式更好地研究不等量关系及用不等式或不等式组研究含有不等关系的问题.我们需要对不等式的性质有必要的了解.推进新课师我们已学习过等式、不等式，同学们还记得等式的性质吗？生等式有这样的性质：等式两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式.师很好！当我们开始研究不等式的时候，自然会联想到，是否有与等式相类似的性质，也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，结果将会如何呢？（此时很快能让学生进入对初中所学过的不等式三条基本性质的回忆与复习）师一般地说，不等式的基本性质有三条：性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向_________.（让同学回答）性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向________.（让同学回答）性质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向________.（让同学回答） ［过程引导］师 不等式的这三条基本性质，都可以用数学的符号语言表达出来.（让三位同学板演）性质1：a ＜b a +c ＜b +c （或a -c ＜b -c ）；a ＞b a +c ＞b +c （或a -c ＞b -c ）.性质2：a ＜b 且c ＞0⇒ac ＜bc (或c b c a ＜)；a ＞b 且c ＞0ac ＞bc (或c b c a ＞).性质3：a ＜b 且c ＜0⇒ac ＞bc (或c b c a ＞)；a ＞b 且c ＜0ac ＜bc (或c b c a ＜). （用数学符号表达不等式的性质，目的是为下面用符号进行不等式性质与证明打基础，给学生也有一适应过程.老师对学生的板演作点评）师 性质2、性质3两条性质中，对a 、b 、c 有什么要求？生 对a 、b 没什么要求，特别要注意c 是正数还是负数.师 很好，c 可以为零吗？生 c 不能为零.因为c 为零时，任何不等式两边都乘以零就变成等式了.若是“≤”或“≥”则可以.师 这位同学回答的非常好，思维既严谨又周到.师 对于不等式的这三条基本性质，我们不仅要理解这三条性质，还要能灵活运用.在初中，我们对这三条性质只是作了感性的归纳，现在我们应对它给出严格的证明，只有这样应用这些性质才能有理有据.（学生已迫不及待）生（齐声）那我们来给出严格的证明吧.（此处，说明老师点拨很到位.真正体现了课堂上教师的主导地位与学生的主体地位）师为了对不等式的基本性质给出严格证明，我们还有必要回忆实数的基本性质.（此时学生对这一名词肯定感到生疏，老师在黑板上应很快给出数轴）［教师精讲］师若点Ａ对应的实数为a，点Ｂ对应的实数为b，因为点Ａ在点Ｂ的左边，所以可得a＞b.a＞b表示a减去b所得的差是一个大于０的数即正数，即a＞b⇒a-b＞0.它的逆命题是否正确？生显然正确.师类似地，如果a＜b，则a减去b是负数，如果a=b，则a减去b等于０，它们的逆命题也正确.一般地,a＞b⇒a-b＞0;a=b⇒a-b=0;a＜b⇒a-b＜0.师这就是实数的基本性质的一部分，还有任意两个正数的和与积都是正数等.等价符号左边不等式反映的是实数的大小顺序，右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系，它是不等式这一章的理论基础，是证明不等式以及解不等式的主要依据.师由实数的基本性质可知，我们如何比较两个实数的大小呢？生只要考察它们的差就可以了.师很好.请同学们思考下面这个问题.(此时，老师用投影仪给出问题)［合作探究］【问题1】已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.（问题是数学研究的核心，此处以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识)（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）解：(x2+1)2－x4-x2-1=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2，由x≠0，得x 2＞0，从而(x 2+1)2＞x 4+x 2+1.（学生对x≠0，得x 2＞0在说理过程中往往会忽略）师 下面我们来看一组比较复杂的问题，请大家都来开动脑筋，认真审题，仔细分析.（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）【例1】 比较下列各组数的大小（a ≠b ）. (1)2b a +与b a 112+ (a ＞0,b ＞0); （2）a 4－b 4与4a 3（a －b ）.师 比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.解：（1）)(2)()(24)(22112222b a b a b a ab b a b a ab b a ba b a +-=+-+=+-+=+-+， ∵a ＞0,b ＞0且a ≠b ,∴a +b ＞0,(a -b )2＞0.∴b a b a b a b a 11220,)(2)(2+++-＞即＞. （2）a 4-b 4-4a 3(a -b )=(a -b )(a +b )(a 2+b 2)-4a 3(a -b )=(a -b )(a 3+a 2b +ab 2+b 3-4a 3)=(a -b )［(a 2b -a 3)+(ab 2-a 3)+(b 3-a 3)］=-(a -b )2(3a 2+2ab +b 2)=-(a -b )2［2a 2+(a +b )2］,∵2a 2+(a +b )2≥0(当且仅当a =b =0时取等号),又a ≠b ,∴(a -b )2＞0,2a 2+(a +b )2＞0.∴-(a -b )2［2a 2+(a +b )2］＜0.∴a4-b4＜4a3(a-b).师同学们完成得很好，证明不等式时，应注意有理有据、严谨细致，还应条理清晰.比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.(此时，老师用投影仪给出下列问题)［合作探究］【问题2】求证：（1）a＞b且c＞0 ac＞bc；（2）a＞b a+c＞b+c.师请同学们思考第一小问该如何证明？生可用实数的基本性质，∵a＞b,∴a-b＞0.又∵c＞0，由任意两个正数的积都是正数可得(a-b)c＞0，即ac＞bc.师这位同学证明的思路很好，很严密.同学们还有其他的证明思路吗？生ac-bc=(a-b)c，∵a＞b，∴a-b＞0.又∵c＞0，由任意两个正数的积都是正数可得(a-b)c＞0，所以得证.师这位同学证明得是否正确？生正确.师这两位同学的证明都正确，请同学们认真地审视一下，比较这两位同学证题思路的区别与联系.生第一位同学的证明是由条件到结论，第二位同学的证明是由结论到条件，即寻找结论成立的条件.师回答得非常好，这位同学看出了两种证明方法的本质.由条件到结论，由结论到条件，这是我们证明问题经常采用的思路.（按照教材对不等式的证明要求，此处对不等式证明的分析法与综合法没有点明，只是让学生通过具体的问题了解不等式证明的分析法与综合法的证题思路） 师 请同学继续思考第二小问该如何证明？生 可由结论到条件，a +c -(b +c )=a -b ，∵a ＞b ，∴a -b ＞0，∴a +c ＞b +c .师 这位位同学回答得很好，有理有据，严谨细致，也很有条理清晰.别的同学有问题吗？生（齐声）没问题.师 这说明同学们对不等式的证明思路掌握得很好.师 下面我们再来看一个比较复杂的问题，请大家继续开动脑筋，认真审题，仔细分析.（此处，老师再一次这样说的目的是能够激发起同学们克服难题的欲望，进而增强学习的积极性与主动性）(此时，老师用投影仪给出本课时的例2) ［例题剖析］已知a ＞b ＞0,c ＜0，求证：b c a c ＞.师 前面我们已经利用不等式及实数的基本性质证明了一些简单的不等式.请同学思考此该如何证明？生 可由条件到结论.∵a ＞b ＞0，两边同乘以正数ab 1，得b 1＞a 1，即a 1＜b 1b .又∵c ＜0，∴b c a c＞.师 这位同学回答得很好.通过此例的解答可以看出，本课时，同学们对简单不等式的证明掌握得非常好.希望同学们课后进一步探究，对不等式的基本性质和实数的性质应用既要严密、规范，又要灵活，才能达到要求.课堂小结常用的不等式的基本性质及证明：（1）a ＞b ,b ＞c a ＞c ;a＞b,b＞c ⇒a-b＞0,b-c＞0⇒ (a-b)+(b-c)＞0⇒a-c＞0a＞c.（2）a＞b a+c＞b+c;a＞b⇒a-b＞0⇒ (a-b)+(c-c)＞0⇒ (a+c)-(b+c)＞0⇒a+c＞b+c.（3）a＞b,c＞0⇒ac＞bc;a＞b,c＞0⇒a-b＞0,c＞0⇒ (a-b)c＞0⇒ac-bc＞0⇒ac＞bc.（4）a＞b,c＜0⇒ac＜bc.a＞b,c＜0⇒a-b＞0,c＜0⇒ (a-b)c＜0⇒ac-bc＜0⇒ac＜bc.布置作业课本第84页习题3.1A组3,Ｂ组1.（3）（4）、2.板书设计不等关系与不等式（二）引入方法引导方法归纳不等式和实数的基本性质实例剖析（知识方法应用）小结示范解题。
§3.1 不等关系与不等式（1）1. 了解现实世界和日常生活中存在着的不等关系；2. 会从实际问题中找出不等关系，并能列出不等式与不等式组._________复习2：用不等式表示，某地规定本地最低生活保障金x不低于400元______________________二、新课导学※学习探究探究2：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是_______________某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量p 应不少于2.5%，蛋白质的含量q应不少于2.3%，写成不等式组就是_________________※典型例题例1 设点A与平面α的距离为d，B为平面α上的任意一点，则其中不等关系有______________ 例2 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本. 据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本. 若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？例3某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm 和600mm两种．按照生产的要求，600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍．怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？※动手试试练1．用不等式表示下面的不等关系：（1）a与b的和是非负数_________________（2）某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”_____________________(3)如图(见课本74页)，在一个面积为350的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长L 大于宽W的4倍练2．有一个两位数大于50而小于60，其个位数字比十位数大2．试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数(用a和b分别表示这个两位数的十位数字和个位数字)．三、总结提升※学习小结1．会用不等式（组）表示实际问题的不等关系；2．会用不等式（组）研究含有不等关系的问题．※知识拓展“等量关系”和“不等量关系”是“数学王国”的两根最为重要的“支柱”，相比较其它一些科学王国来说，“证明精神”可以说是“数学王国”的“血液和灵魂”．学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下列不等式中不成立的是（）.A．12-≤ B．12-<C．11-≤- D．12-≥2. 用不等式表示，某厂最低月生活费a不低于300元（）.A．300a≤ B．300a≥C．300a> D．300a<3. 已知0a b+>，0b<，那么,,,a b a b--的大小关系是（）.A．a b b a>>->- B．a b a b>->->C．a b b a>->>- D．a b a b>>->-4. 用不等式表示：a与b的积是非正数___________5. 用不等式表示：某学校规定学生离校时间t在16点到18点之间_______________________课后作业1. 某夏令营有48人，出发前要从A、B两种型号的帐篷中选择一种．A型号的帐篷比B型号的少5顶．若只选A型号的，每顶帐篷住4人，则帐篷不够；每顶帐篷住5人，则有一顶帐篷没有住满．若只选B型号的，每顶帐篷住3人，则帐篷不够；每顶帐篷住4人，则有帐篷多余．设A型号的帐篷有x顶，用不等式将题目中的不等关系表示出来．2. 某正版光碟，若售价20元/本，可以发行10张，售价每体高2元，发行量就减少5000张，如何定价可使销售总收入不低于224万元?§3.1 不等关系与不等式（2）1. 掌握不等式的基本性质；2. 会用不等式的性质证明简单的不等式；3. 会将一些基本性质结合起来应用.d，B为平面α上任意一点，则点A与平面α的距离小于或等于A、B 两点间的距离，请将上述不等关系写成不等式.2．在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质. 请同学们回忆初中不等式的的基本性质.（1）,___a b b c a c>>⇒（2）____a b a c b c>⇒++（3）,0____a b c ac bc>>⇒（4）,0____a b c ac bc><⇒二、新课导学※学习探究问题1：如何比较两个实数的大小.问题2：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？并利用以上基本性质，证明不等式的下列性质：(1),;(2)0,0;(3)0,,1n na b c d a c b da b c d ac bda b n N n a b>>⇒+>+>>>>⇒>>>∈>⇒>>※典型例题例1 比较大小：（1）26+（2）221)；（3；（4）当0a b>>时，12log a_______12log b.变式：比较(3)(5)a a+-与(2)(4)a a+-的大小. 例2 已知0,0,a b c>><求证c ca b>.变式： 已知0a b >>，0c d >>，>例3已知1260,1536,aa b a b b <<<<-求及的取值范围.变式：已知41,145a b a b -≤-≤--≤-≤，求9a b -的取值范围.※ 动手试试练1. 用不等号“>”或“<”填空： （1）,____a b c d a c b d ><⇒--； （2）0,0____a b c d ac bd >><<⇒； （3）0a b >>⇒；（4）22110___a b a b>>⇒.练2. 已知x >012x +.三、总结提升 ※ 学习小结本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其目标应是n 个因式之积或完全平方式或常数的形式； 第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论； 第三步：得出结论. ※ 知识拓展 “作差法”、“作商法”比较两个实数的大小 （1）作差法的一般步骤： 作差——变形——判号——定论 （2）作商法的一般步骤：1比较大小——定论 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 若2()31f x x x =-+，2()21g x x x =+-，则()f x 与()g x 的大小关系为（ ）.A ．()()f x g x >B ．()()f x g x =C ．()()f x g x <D ．随x 值变化而变化 2. 已知0x a <<，则一定成立的不等式是（ ）. A ．220x a << B ．22x ax a >> C ．20x ax << D ．22x a ax >>3. 已知22ππαβ-≤<≤，则2αβ-的范围是（ ）.A ．(,0)2π-B ．[,0]2π-C ．(,0]2π-D ．[,0)2π-4. 如果a b >，有下列不等式：①22a b >，②11a b<，③33a b >，④lg lg a b >，其中成立的是 .5. 设0a <，10b -<<，则2,,a ab ab三者的大小关系为 .1. 比较51125+与1237+的大小.2. 某市环保局为增加城市的绿地面积，提出两个投资方案：方案A为一次性投资500万元；方案B 为第一年投资5万元，以后每年都比前一年增加10万元．列出不等式表示“经n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”．§3.2 一元二次不等式及其解法（1）学习目标1. 正确理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法；2. 理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象及一元二次方程解一元二次不等式.学习过程一、课前准备（预习教材P76~ P78，找出疑惑之处）复习1：解下列不等式：①112x>-；②112x->；③1102x-+>.复习2：写出一个以前所学的一元二次不等式_____________，一元二次函数________________，一元二次方程___________________二、新课导学※学习探究探究一：某同学要上网，有两家公司可供选择，公司A每小时收费1.5元(不足1小时按1小时收费);公司B的收费原则为:在第1小时内(含恰好1小时，下同)收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若一次上网时间超过17小时按17小时计算). 如何选择?归纳：这是一个关于x的一元二次不等式，最终归结为如何解一元二次不等式.新知：只含有____个未知数，并且未知数的最高次数是_______的不等式，称为_______________.探究二：如何解一元二次不等式？能否与一元二次方程与其图象结合起来解决问题呢？∆>0∆=0∆<二次函数2y ax bx c=++（0a>）的图象一元二次方程()20ax bx ca++=>的根20(0)ax bx ca++>>的解集20(0)ax bx ca++<>的解集归纳：解不等式时应先将二次项系数化为正，再根据图象写出其解集.※典型例题例1 求不等式2230x x-+->的解集.变式：求下列不等式的解集.（1）2230x x+->；（2）2230x x-+-≤.例2 求不等式24410x x-+>的解集.小结：解一元二次不等式的步骤：（1）将原不等式化为一般式.（2）判断∆的符号.（3）求方程的根.（4）根据图象写解集.※动手试试练1. 求不等式24415x x->的解集. 练2. 求不等式21340x->的解集.三、总结提升※学习小结解一元二次不等式的步骤：（1）将原不等式化为一般式（0a>）.（2）判断∆的符号.（3）求方程的根.（4）根据图象写解集.※知识拓展（1）20ax bx c++>对一切x R∈都成立的条件为0a>⎧⎨∆<⎩（2）20ax bx c++<对一切x R∈都成立的条件为0a<⎧⎨∆<※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 已知方程20ax bx c++=的两根为12,x x，且12x x<，若0a<，则不等式20ax bx c++<的解为（）.A．R B．12x x x<<C．1x x<或2x x> D．无解2. 关于x的不等式20x x c++>的解集是全体实数的条件是（）.A．14c< B．14c≤ C．14c> D．14c≥3. 在下列不等式中，解集是∅的是（）.A．22320x x-+> B．2440x x++≤C．2440x x--< D．22320x x-+->4. 不等式230x x-<的解集是 .5. y=的定义域为 .1.求下列不等式的解集（1）23100x x-->；（2）2450x x-+<.2. 若关于x的一元二次方程2(1)0x m x m-+-=有两个不相等的实数根，求m的取值范围.§3.2 一元二次不等式及其解法（2）1. 巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；2. 进一步熟练解一元二次不等式的解法.1.____________________2.________________3.____________________4._______________复习2：解不等式.（1）23710x x-≤；（2）2250x x-+-<.二、新课导学※典型例题例1 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车的速度x km/h有如下的关系：21120180s x x=+.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h）例 2 一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：22220y x x=-+若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？例3 产品的总成本y（万元）与产量x之间的函数关系式是23000200.1y x x=+-，(0,240).x∈若每台产品的售价为25万元，求生产者不亏本时的最低产量.※动手试试练1．在一次体育课上，某同学以初速度2 m以上的位置最多停留多长时间？（注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h与时间x满足关系212h v t gt=-，其中29.8/g m s=）练2．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏. 为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？三、总结提升※学习小结进一步熟练掌握一元二次不等式的解法、一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系．※知识拓展（1）连结三个“二次”的纽带是：坐标思想：函数值y是否大于零等价于为P(,)x y是否在x轴的上方.（2）三个“二次”关系的实质是数形结合思想：20ax bx c++=的解2y ax bx c⇔=++图象上的点(,0)x；20ax bx c++>的解2y ax bx c⇔=++图象上的点(,)x y在x轴的上方的x的取值范围.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1.函数y =的定义域是（ ）.A ．{|4x x <-或3}x >B ．{|43}x x -<<C ．{|4x x ≤-或3}x ≥D ．{|43}x x -≤≤2. 不等式2223931711()()33x x x x --+-≤的解集是（ ）.A ．[2，4]B ．(,2][4,)-∞+∞C ．RD ．(,2][4,)-∞-+∞ 3. 集合A ={2|540}x x x -+≤，B =2{|560}x x x -+≥，则A B =（ ）.A ．{|12x x ≤≤或34}x ≤≤B ．{|12x x ≤≤且34}x ≤≤C ．{1，2，3，4}D ．{|41x x -≤≤-或23}x ≤≤4. 不等式(5)(2)0x x --<的解集为 .5. 已知两个圆的半径分别为1和5，圆心距满足210240d d -+<，则两圆的位置关系为 .1. 求下列不等式的解集：（1）23100x x --+>； （2）(9)0x x ->.2. 据气象部门预报，在距离某码头O 南偏东45︒方向600km 处的热带风暴中心A 在以20km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450km 以内的地区都将受影响. 从现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴影响，影响时间为多长？ §3.2一元二次不等式及其解法（3）1. 掌握一元二次不等式的解法；2. 能借助二次函数的图象及一元二次方程解决相应的不等式问题._____________复习2：不等式20ax bx c ++>(0)a ≠的解集.二、新课导学 ※ 学习探究探究任务：含参数的一元二次不等式的解法 问题：解关于x 的不等式： 22(21)0x m x m m -+++<分析：在上述不等式中含有参数，因此需要先判断参数对的解的影响.先将不等式化为方程22(21)0x m x m m -+++= 此方程是否有解，若有，分别为__________，其大小关系为________________试试：能否根据图象写出其解集为_____________※ 典型例题例1设关于x 的不等式210ax bx ++>的解集为1{|1}3x x -<<，求a b .小结：二次不等式给出解集，既可以确定对应的二次函数图象开口方向（即a 的符号），又可以确定对应的二次方程的两个根，由此可根据根与系数关系建立系数字母关系式，或通过代入法求解不等式.变式：已知二次不等式20ax bx c ++<的解集为1{|3x x <或1}2x >，求关于x 的不等式20cx bx a -+>的解集.例2 2{|430}A x x x =-+<，2{|280}B x x x a =-+-≤，且A B ⊆，求a 的取值范围.小结：（1）解一元二次不等式含有字母系数时，要讨论根的大小从而确定解集.（2）集合间的关系可以借助数轴来分析，从而确定端点处值的大小关系.例3 若关于m 的不等式2(21)10mx m x m -++-≥的解集为空集，求m 的取值范围.变式1：解集为非空.变式2：解集为一切实数.小结：m 的不同实数取值对不等式的次数有影响，当不等式为一元二次不等式时，m 的取值还会影响二次函数图象的开口方向，以及和x 轴的位置关系. 因此求解中，必须对实数m 的取值分类讨论.※ 动手试试练 1. 设2280x x a -+-≤对于一切(1,3)x ∈都成立，求a 的范围.练 2. 若方程2280x x a -+-=有两个实根12,x x ，且13x ≥，21x ≤，求a 的范围.三、总结提升 ※ 学习小结对含有字母系数的一元二次不等式，在求解过程中应对字母的取值范围进行讨论，其讨论的原则性一般分为四类：（2） 若二次项系数不为零，再按其符号分类； （3） 按判别式∆的符号分类； （4） 按两根的大小分类. ※ 知识拓展解高次不等式时，用根轴法：就是先把不等式化为一端为零，再对另一端分解因式，并求出它的零点，把这些零点标在数轴上，再用一条光滑的曲线，从x 轴的右端上方起，依次穿过这些零点，则大于零的不等式的解对应着曲线在x 轴上方的实数x 的取值集合；小于零的不等式的解对应着曲线在.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 若方程20ax bx c ++=（0a <）的两根为2，3，那么20ax bx c ++>的解集为（ ）.A ．{|3x x >或2}x <-B ．{|2x x >或3}x <-C ．{|23}x x -<<D ．{|32}x x -<< 2. 不等式220ax bx ++>的解集是11{|}23x x -<<，则a b +等于（ ）.A ．-14B ．14C ．-10D ．103. 关于x 的不等式2(1)10x a x ---<的解集为∅，则实数a 的取值范围是（ ）. A ．3(,1]5- B ．(1,1)- C ．(1,1]- D ．3(,1)5- 4. 不等式2524x x -<的解集是 .5. 若不等式220ax bx +->的解集为1{|1}4x x -<<-，则,a b 的值分别是 . 1. m 是什么实数时，关于x 的一元二次方程 2(1)0mx m x m --+=没有实数根.2. 解关于x 的不等式2(2)20x a x a +--<（a ∈R ）.§3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域（1） 1．了解二元一次不等式的几何意义和什么是边界，会用二元一次不等式组表示平面区域；2．经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力. _______________二元一次不等式定义________________________二元一次不等式组的定义_____________________复习2：解下列不等式： （1）210x -+>； （2）2232041590x x x x ⎧+-≥⎪⎨-+>⎪⎩ .二、新课导学 ※ 学习探究探究1：一元一次不等式（组）的解集可以表示为数轴上的区间，例如，3040x x +>⎧⎨-<⎩的解集为 . 那么，在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形呢？探究2：你能研究：二元一次不等式6x y -<的解集所表示的图形吗？（怎样分析和定边界？）从特殊到一般：先研究具体的二元一次不等式6x y -<的解集所表示的图形.如图：在平面直角坐标系内，x -y =6表示一条直线.平面内所有的点被直线分成三类：第一类：在直线x -y =6上的点；第二类：在直线x -y =6左上方的区域内的点； 第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点.设点1(,)P x y 是直线x-y=6上的点，选取点2(,)A x y ，使它的坐标满足不等式6x y -<，请同学们完成以下的表格，横坐标x -3 -2 -1 0 1 2 3点P 的纵坐标1y 点A 的纵坐标2y并思考：当点A 与点P 有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？_______________根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式6x y -<有什么关系？______________ 直线x-y=6右下方点的坐标呢？在平面直角坐标系中，以二元一次不等式6x y -<的解为坐标的点都在直线x-y=6的_____；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式6x y -<.因此，在平面直角坐标系中，不等式6x y -<表示直线x-y=6左上方的平面区域；如图:类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图:直线叫做这两个区域的边界结论：1. 二元一次不等式0Ax By c ++>在平面直角坐标系中表示直线0Ax By c ++=某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2. 不等式中仅>或<不包括 ；但含“≤”“≥”包括 ； 同侧同号，异侧异号.※ 典型例题例1画出不等式44x y +<表示的平面区域. 分析：先画 ___________（用 线表示），再取 _______判断区域，即可画出．归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法.特殊地，当0C ≠时，常把原点作为此特殊点.变式：画出不等式240x y -+-≤表示的平面区域. 例2用平面区域表示不等式组3122y x x y <-+⎧⎨<⎩的解集归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.变式1：画出不等式(21)(4)0x y x y ++-+<表示的平面区域.变式2：由直线20x y ++=，210x y ++=和210x y ++=围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为 .※ 动手试试练1. 不等式260x y -+>表示的区域在直线260x y -+=的 __练 2. 画出不等式组36020x y x y -+≥⎧⎨-+<⎩表示的平面区域.三、总结提升※ 学习小结由于对在直线0Ax By C ++=同一侧的所有点(,x y )，把它的坐标（,x y )代入Ax By C ++，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点00(,)x y ，从00Ax By C ++的正负即可判断0Ax By C ++>表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点） ※ 知识拓展含绝对值不等式表示的平面区域的作法：（1）去绝对值符号，从而把含绝对值的不等式转化为普通的二元一次不等式．（2）一般采用分象限讨论去绝对值符号． （3）采用对称性可避免绝对值的讨论．（4）在方程()0f x y =或不等式()0f x y >中，若将x y 换成()()x y --，方程或不等式不变，则这个方程或不等式所表示的图形就关于()y x 轴对称．学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 不等式260x y -+>表示的区域在直线260x y -+=的（ ）.A ．右上方B ．右下方C ．左上方D ．左下方 2. 不等式3260x y +-≤表示的区域是（ ）.3.不等式组36020x y x y -+≥⎧⎨-+<⎩表示的平面区域是（ ）.4. 已知点(3,1)--和(4,6)-在直线320x y a -++=的两侧，则a 的取值范围是 .5. 画出11x y ≥⎧⎨<⎩表示的平面区域为：课后作业 1. 用平面区域表示不等式组32326x y x x y <⎧⎪≥⎨⎪+≥⎩的解集.2. 求不等式组6003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示平面区域的面积.§3.3.1二元一次不等式（组）与 平面区域（2）学习目标 1． 巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域； 2．能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件. 学习过程一、课前准备x +y-6＜0表示的平面区域.复习2：画出不等式组23122360x y x y x +≤⎧⎪+>-⎨⎪≥⎩所示平面区域.二、新课导学 ※ 典型例题例1 要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数用数学关系式和图形表示上述要求.例2 一个化肥厂生产甲乙两种混合肥料，生产1车皮甲肥料的主要原料是磷酸盐4t ，硝酸盐18t ；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t ，硝酸盐15t. 现库存磷酸盐10t ，硝酸盐66t ，在此基础上生产这两种混合肥料. 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.※ 动手试试练 1. 不等式组(5)()003x y x y x -++≥⎧⎨≤≤⎩所表示的平面区域是什么图形？练2. 某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格三、总结提升 ※ 学习小结根据实际问题的条件列出约束不等式组与目标函数. 反复的读题，读懂已知条件和问题，边读边摘要，读懂之后可以列出一个表格表达题意. 然后根据题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，完成实际问题向数学模型的转化.※ 知识拓展求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点，它为线性规划中求最优整数解作铺垫. 常有两种处理方法，一种是通过打出网络求整点；另一种是先确定区域内点的横坐标的范围，确定x 的所有整数值，再代回原不等式组，得出y 的一元一次不等式组，再确定y 的所有整数值，即先固定x ，再用x 制约.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 不在326x y +<表示的平面区域内的点是（ ）.A ．（0，0）B ．（1，1）C ．（0，2） Ｄ．（2，0）2. 不等式组5003x y x -+≥⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域是一个（ ）.A ．三角形 Ｂ．直角梯形 Ｃ．梯形 Ｄ．矩形 3. 不等式组13y xx y y <⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的区域为Ｄ，点1(0,2)P -，点2(0,0)P ，则（ ）. A ．12,P D P D ∉∉ B ．12,P D P D ∉∈ C ．12,P D P D ∈∉ D ．12,P D P D ∈∈4. 由直线20,210x y x y ++=++=和210x y ++=的平围成的三角形区域（不包括边界）用不等式可表示为 .5. 不等式组438000x y x y ++>⎧⎪<⎨⎪<⎩表示的平面区域内的整点坐标是 .A 和B . 每类桌子都要经过打磨、着色、上漆三道工序.桌子A 需要10min 打磨，6min 着色，6min 上漆；桌子B 需要5min 打磨，12min 着色，9min 上漆.如果一个工人每天打磨和上漆分别至多工作450min ，着色每天至多480min ，请你列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出相应的平面区域.2. 某服装制造商现有10m 2的棉布料，10 m 2的羊毛料，6 m 2的丝绸料. 做一条裤子需要棉布料1 m 2， 2 m 2的羊毛料，1 m 2的丝绸料，一条裙子需要棉布料1 m 2， 1m 2的羊毛料，1 m 2的丝绸料.一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元. 为了使收益达到最大，需要同时生产这两种服装，请你列出生产这两种服装件数所需要满足的关系式，并画出图形.§3.3.2 简单的线性规划问题(1) 1． 巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；找出约束条件. ８７８８找出目标函数，线性目标函数，线性规划，可行解，可行域的定义．二、新课导学 ※ 学习探究 在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，如：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？（1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组：（2）画出不等式组所表示的平面区域：注意：在平面区域内的必须是整数点．（3）提出新问题：进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？（4）尝试解答：（5）获得结果：新知：线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解(,)x y叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．※典型例题例1 在探究中若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利2万元，问如何安排生产才能获得最大利润？※动手试试练1. 求2z x y=+的最大值，其中x、y满足约束条件11y xx yy≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩三、总结提升※学习小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解※知识拓展寻找整点最优解的方法：1. 平移找解法：先打网格，描整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应用于充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解.2. 调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛先出整点最优解.3. 由于作图有误差，有时仅由图形不一定就能准确而迅速地找到最优解，此时可将数个可能解逐一※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 目标函数32z x y=-，将其看成直线方程时，z 的意义是（）.A．该直线的横截距B．该直线的纵截距C．该直线的纵截距的一半的相反数D．该直线的纵截距的两倍的相反数2. 已知x、y满足约束条件503x yx yx-+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则24z x y=+的最小值为（）.A． 6 B．-6 C．10 D．-103. 在如图所示的可行域内，目标函数z x ay=+取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值是（）.A. -3B.3C. -1D.14. 有5辆6吨汽车和4辆5吨汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为 .5. 已知点（3，1）和（-4，6）在直线320x y a-+=的两侧，则a的取值范围是 .1. 在ABC∆中，A（3，-1），B（-1，1），C（1，3），写出ABC∆区域所表示的二元一次不等式组.2. 求35z x y=+的最大值和最小值，其中x、y满足约束条件5315153x yy xx y+≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩.§3.3.2简单的线性规划问题(2)1. 从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决；2. 体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题.1）。
3.1不等关系与不等式（1）教学目标：1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式．2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法．3．情感、态度与价值观：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯．重点：理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式．难点：利用不等式的性质证明简单的不等式．教学过程：一、不等关系在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系．如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等．人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系．在数学中，我们用不等式来表示不等关系．下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系．问题1：设点A与平面α的距离为d，B为平面α上的任意一点，则d≤AB．问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？分析：若杂志的定价为x元，则销售的总收入为2.580.20.1xx-⎛⎫-⨯⎪⎝⎭万元．那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式2.580.20.1xx-⎛⎫-⨯⎪⎝⎭≥20问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm 钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？分析：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根..根据题意，应有如下的不等关系：（1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm；（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；（3）解得两钟钢管的数量都不能为负．由以上不等关系，可得不等式组：5006004000 3x yx yxy+≤⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩二、数运算性质与大小顺序之间的关系baba>⇔>-0；baba=⇔=-0；baba<⇔<-0．三、不等式的性质定理1：（对称性）如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b；即 a>b⇔b<a．证明：说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向．定理2：（传递性）如果a>b，b>c，那么a>c．即 a>b，b>c⇒a>c．证明：说明：由定理1，可知定理2还可以表示为：a c a b b c <⇒<<,．定理3：（加法保序性）若a>b ，则a+c>b+c ，即a>b ⇒a+c>b+c ．证明：推论1：（移项法则）不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边．推论2：（加法法则）a>b ，c>d ⇒a+c>b+d ．证明：推广：两个或几个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向．定理4：（乘法保序性）若a>b ，c>0，则ac>bc ；若a>b ，c<0，则ac<bc ．即a>b ，c>0⇒ac>bc ；a>b ，c<0⇒ac<bd ．证明：推论1：（乘法法则）a>b>0，c>d>0⇒ac>bc ．证明：推广：两个或几个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向． 推论2：（乘方法则）a>b>0⇒n n b a >(n ∈N,且n>1)定理5：（开方法则）若,0>>b a 则n n b a >()1,>∈n N n 且． 即 .0n n b a b a >⇒>>证明：练习：课本：P74．小结：1．不等式的性质是进行不等式的证明和解不等式的依据．2．在运用不等式的性质时，一定要严格掌握它们成立的条件．四、应用举例例1．已知,a b c d ><，求证a c b d ->-．证明：例2．已知0,0a b c >><，求证：c c a d>． 证明： 例3．已知0>≥d c b a ，求证0>+≥+dc c b a a ． 证明：cd a b d c b a ≤∴>≥,0 ．c d a b +≤+∴11，c d c a b a +≤+<∴0 故 0>+≥+dc c b a a ． 例4．设3612,208<<<<b a ，求ba b a b a ,2,-+的取值范围． 解：由56203612208<+<⇒⎩⎨⎧<<<<b a b a ；242723612-<-<-⇒<<b b ，且128<<a ，4264-<-<-∴b a ．由35921211361208<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<<<b a b a ． 例5．设bx ax x f +=2)(，2)1(1≤-≤-f 且4)1(2≤≤f ．求(2)f 的取值范围．解：(1),(1),(2)42f a b f a b f a b -=-=+=+．设)1()1()2(nf mf f +-=-，即42()()()()a b m a b n a b m n a n m b +=-++=++-．4123m n m n m n =+=⎧⎧∴⇒⎨⎨=-=⎩⎩．(2)(1)3(1)f f f ∴=-+． 由2)1(1≤-≤-f 得，63(1)12f ≤≤．5(2)(1)3(1)14f f f ∴≤=-+≤．小结：1．应用不等式的性质证明不等式，一般是从已知的不等式出发，应用不等式的性质进行变形，直至变换出所要证的不等式．2．根据不等式的性质，同向不等式可以相加，同向且两边均为正数的不等式可以相乘；同向不等式不能相减和相除，异向不等式的相减或相除应转化继同向不等式后用相加或相乘来进行．3．同号两数的顺序关系与其倒数的顺序相反．4．用不等式的性质求变量的范围时，是通过同向不等式相加或相乘来完成的，如果是有等号的还应注意两端能否取得等号．五、课堂练习：六、作业：七、补充题：1．设a<b<0，下列命题：①b a 11>；②ab a 11>-；③b a >；④22b a >中，假命题的个数是（ ）(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D)0 答：选 (C)．2．若a,b 是任意实数，且a>b ，四个不等式22b a >，,1<a b ba b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛>-2121,0)lg(中，能成立的不等式的个数是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 答：选（A ）．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
