2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第二章 第九节函数的图象及其变换 理

第九节函数的图象及其变换1．掌握图象变换的规律，如平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等．2．会运用函数图象理解和研究函数的性质．基础自测1．(2013·福建卷)函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是()解析：函数的解析式满足f(x)＝f(－x)，即函数为偶函数，排除C；又f(0)＝0，即函数图象过(0,0)点，排除B，D.故选A.答案：A2．(2012·大连模拟)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)，若f(x)的图象如右图所示，则函数g(x)＝a x＋b 的图象是()解析：由图知，b＜－1,0＜a＜1，∴g(x)是减函数，排除C，D.又g(0)＝b＋1＜0.故选A.答案：A3．(2012·中山桂山中学月考)设函数y＝f(x)是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0,1]上的图象为如下图所示的线段，则在区间[1,2]上，f(x)＝________.解析：依题意，函数在区间[1,2]上的图象与线段AB关于直线x＝1对称，∴点A(0,2)关于直线x＝1的对称点A′(2,2)在所求函数的图象上，易求得f(x)＝x.答案：x4．(2013·湖北宜昌质检)函数y＝f(x)在x∈[－2,2]的图象如图所示，则f(x)＋f(－x)等于________．解析：由函数图象知f(x)为奇函数，则f(x)＋f(－x)＝0.答案：0知识梳理函数图象的作图方法有两种：描点法和利用基本函数图象变换作图． 一、描点法作图用描点法作函数图象的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即______________(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．二、图象变换法作图1．要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的图象及性质．2．识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等． 3．四种图象变换：________________________. (1)平移变换．①水平平移：函数y ＝f (x ＋h )的图象可以把函数y ＝f (x )的图象沿x 轴方向向左(h >0)或向右(h <0)平移|h |个单位长度得到，即y ＝f (x )――→h >0，左移h <0，右移y ＝f (x ＋h )； ②竖直平移：函数y ＝f (x )＋k 的图象可以把函数y ＝f (x )的图象沿y 轴方向向上(k >0)或向下(k <0)平移|k |个单位长度得到，即y ＝f (x )―――→k >0，上移k <0，下移y ＝f (x )＋k . (2)对称变换．①函数y ＝－f (x )的图象可以将函数y ＝f (x )的图象关于x 轴对称得到； ②函数y ＝f (－x )的图象可以将函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称得到； ③函数y ＝－f (－x )的图象可以将函数y ＝f (x )的图象关于原点对称得到； ④函数y ＝f －1(x )的图象可以将函数y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称得到；⑤函数y ＝f (2a －x )的图象可以将函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称得到，即 y ＝f (x )关于x 轴,y ＝－f (x )， y ＝f (x )关于y 轴,y ＝f (－x )， y ＝f (x )关于原点,y ＝－f (－x )， y ＝f (x )关于直线y ＝x,y ＝f －1(x )，y ＝f (x )关于直线x ＝a,y ＝f (2a －x )． (3)翻折变换．①函数y ＝|f (x )|的图象可以将函数y ＝f (x )的图象(如图①)的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留y ＝f (x )的x 轴上方部分即可得到(如图②)； ②函数y ＝f (|x |)的图象可以将函数y ＝f (x )的图象(如图①)右边沿y 轴翻折到y 轴左边，替代原y 轴左边部分并保留y ＝f (x )在y 轴右边部分即可得到(如图③)．即y ＝f (x )――――――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. y ＝f (x )――――――――――――――――――――→去掉y 轴左边图象保留y 轴右边图象，并作关于y 轴对称图象y ＝f (|x |)． (4)伸缩变换．①函数y ＝f (ax )(a >0)的图象可以将函数y ＝f (x )的图象中的每一点纵坐标不变，横坐标缩短(a >1)或伸长(0<a <1)为原来的1a 倍得到；②函数y ＝af (x )(a >0)的图象可以将函数y ＝f (x )的图象中的每一点横坐标不变，纵坐标伸长(a >1)或缩短(0<a <1)为原来的a 倍得到，即y ＝f (x ) y ＝f (ax )，y ＝f (x )――→a >1，纵向伸长为原来的a 倍0<a <1，纵向缩短为原来的a 倍y ＝af (x )．1．(2013·四川卷)函数y ＝x 2 3x －1的图象大致是( )a ＞1,横向缩短为原来的 a1 倍0＜a ＜1，横向伸长为原来的 倍 一、(3)单调性、奇偶性、周期性、最值 二、3.平移变换、对称变换、翻折变换和伸缩变换解析：对于函数y ＝x 23x －1定义域为{x ∈R ，且x ≠0}，去掉A ，当x <0时，3x －1<0，x 2>0，∴y <0，去掉C 、D ，选B.答案：B2．(2012·湖北卷)已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图象如下图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )解析：y ＝f (x )→y ＝f (－x )→y ＝f [－(x －2)]→y ＝－f (2－x )，即将y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，再向右平移2个单位长度，然后关于x 轴对称，即为B 图象．答案：B1．(2013·广东茂名一模)函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －1x 的图象是( )解析：因为x －1x＞0，解得x ＞1或－1＜x ＜0，所以函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －1x 的定义域为：(－1,0)∪(1，＋∞)，所以选项A 、C 不正确．当x ∈(－1,0)时，g (x )＝x －1x是增函数，因为y ＝ln x 是增函数，所以函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －1x 是增函数．故选B. 答案：B2.已知函数y ＝1x，将其图象向左平移a (a ＞0)个单位，再向下平移b (b ＞0)个单位后图象过坐标原点，则ab 的值为________．解析：图象平移后的函数解析式为y ＝1x ＋a－b ，由题意知1a －b ＝0，∴ab ＝1.答案：1。

第二节 函数的单调性与最大小值知识梳理一、函数单调性的定义基础自测1．(2013·珠海二模)下列函数在其定义域上是增函数的是( ) A ．y ＝tan x B ．y ＝－3x C ．y ＝3xD ．y ＝ln |x |1.理解函数的单调性及其几何意义.2.会运用函数图象理解和研究函数的性质.3.会求一些简单函数的值域.4.理解函数的最大值、最小值及其几何意义.解析：y ＝tan x 只在其周期内单调递增，y ＝－3x 在R 上单调递减，y ＝3x 在R 上单调递增，y ＝ln |x |在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．答案：C2．(2013·海淀区一模)已知a ＞0，下列函数中，在区间(0，a )上一定是减函数的是( ) A ．f (x )＝ax ＋b B ．f (x )＝x 2－2ax ＋1 C ．f (x )＝a x D ．f (x )＝log a x解析：a ＞0时，函数f (x )＝ax ＋b ，为增函数；对于函数f (x )＝a x ，当0＜a ＜1时，在R 上为减函数，当a ＞1时，在R 上为增函数；对于f (x )＝log a x,0＜a ＜1时，在(0，＋∞)上为减函数；当a ＞1时在(0，＋∞)上为增函数；对于函数f (x )＝x 2－2ax ＋1，图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝a ，所以该函数在区间(0，a )上一定是减函数，所以选项B 对. 故选B.答案：B3．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为_________________________________________．解析：∵f (x )＝(x －1)2＋m －1在[3，＋∞)上为单调增函数，且f (x )在[3，＋∞)上的最小值为1，∴f (3)＝1，即22＋m －1＝1，m ＝－2. 答案：－24．(2012·温州市第一次适应性测试)一个矩形的周长为l ，面积为S ，给出：①(4，1)，②(8,6)，③(10,8)，④⎝⎛⎭⎫3，12.其中可作为(l ，S )取得的实数对的序号是__________．解析：设矩形一边长为x ，则S ＝(l －2x )x 2＝－x 2＋l2x ＝－⎝⎛⎭⎫x －l 42＋l216⎝⎛⎭⎫0<x <l 2， 检验知，①④满足． 答案：①④二、证明函数单调性的一般方法1．定义法．用定义法判断、证明函数单调性的一般步骤是：(1)设x1，x2________________，且x1<x2；(2)作差______________；(3)将差式变形(要注意变形的程度，一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负能清楚地判断出)；(4)判断______________(要注意说理的充分性)；(5)根据f(x1)－f(x2)的符号确定其增减性，即下结论．概括为：取值—作差—变形—定号—下结论．2．导数法．设f(x)在某个区间(a，b)内有导数，若f(x)在区间(a，b)内，总有f′(x)>0[f′(x)<0]，则f(x)在区间(a，b)上为增函数(减函数)；反之，若f(x)在区间(a，b)内为增函数(减函数)，则f′(x)≥0[f′(x)≤0]．请注意两者的区别所在．三、求函数单调区间的方法定义法、导数法、图象法．四、函数的最大值、最小值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果∃M∈R，满足：(1)对∀x∈A，恒有f(x)≤M[或f(x)≥M]；(2)∃x0∈A，使得f(x0)＝M，则称M是函数y＝f(x)的___________________________．五、求函数值域(最值)的各种方法因为函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的，故其类型依解析式的特点可分为三类：(1)求常见函数的值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域．无论用什么方法求函数的值域，都必须首先考虑函数的定义域．具体的方法有：①直接法；②配方法；③分离常数法；④换元法；⑤三角函数有界法；⑥基本不等式法；⑦单调性法；⑧数形结合法；⑨导数法(对于具体函数几乎都可以用导数法去解决)．1．(2013·重庆卷)y ＝(3－a )(a ＋6) (－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92C ．3D.322解析：因为y ＝(3－a )(a ＋6)＝18－3a －a 2＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋814，所以当a ＝－32时，y ＝(3－a )(a ＋6)的值最大，最大值为92. 答案：B2．(2013·大纲全国卷)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞是增函数，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[－1，＋∞)C ．[0,3]D ．[3，＋∞)解析： f ′(x )＝2x ＋a －1x 2≥0在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上恒成立，即a ≥1x2－2x 在⎝⎛⎭⎫12 ，＋∞上恒成立，由于y ＝1x2－2x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递减，所以y <3，故只要a ≥3. 答案：D一、f (x 1)＜f (x 2) f (x 1)>f (x 2) 逐渐上升 逐渐下降 二、1.(1)是给定区间内的任意两个值(2)f (x 1)－f (x 2) (4)f (x 1)－f (x 2)的正负 四、1.复合函数 y ＝f (g (x )) 五、最大值(或最小值)1．已知函数f(x)＝－x2＋4x在区间[m，n]上的值域是[－5,4]，则m＋n的取值范围是() A．[1,7] B．[1,6] C．[－1,1] D．[0,6]解析：f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，∴f(2)＝4.又由f(x)＝－5，得x＝－1或5.由f(x)的图象知：－1≤m≤2,2≤n≤5.因此1≤m＋n≤7.答案：A2．(2012·宁波期末)已知f(x)是定义在实数集R上的增函数，且f(1)＝0，函数g(x)在(－∞，1]上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，且g(4)＝g(0)＝0，则集合{x|f(x)g(x)≥0}＝() A．{x|x≤0或1≤x≤4}B．{x|0≤x≤4}C．{x|x≤4}D．{x|0≤x≤1或x≥4}解析：由题，结合函数性质可得x＞1时，f(x)＞0；x＜0时，f(x)＜0；x＜0或x＞4时，g(x)＜0；0＜x＜4时，g(x)＞0，故f(x)g(x)≥0的解集为{x|x≤0或1≤x≤4}．故选A.答案：A。