多元函数可微的判定

浅析多元函数的持续及可微
摘要：在学习多元函数以前，咱们关于一元函数的熟悉都是超级熟悉的，对一元函数持续、可微之间的关系也都超级清楚.而多元函数是一元函数的推行，它具有比一元函数更复杂的性质.就一样的二元函数来讲，学习数学分析以后，咱们明白当二元函数的两个偏导数都持续时，函数可微.第一证明了当二元函数的一个偏导数存在，另一个偏导数持续时，函数可微.然后考虑了一样的多元函数的情形，取得了当多元函数的某个偏导数持续，而其余偏导数存在时，函数可微.由此可见可微性与偏导存在性间的关系是复杂的.本文通过具体实例对多元微分学中的几个重要概念间的进行分析讨论，要紧研究二元函数的持续性，偏导存在性，可微性等概念和它们之间因果关系.在了解本文以后，读者会对多元函数有更深刻的熟悉！
关键词：可微; 偏导数; 持续。

多元函数的连续性与可微性多元函数的连续性与可微性是微积分的重要概念。

在解析几何中，我们经常需要研究多元函数的性质，而连续性与可微性是我们理解和分析多元函数的基础。

在本文中，我将讨论多元函数的连续性与可微性的概念、定义以及它们在实际问题中的应用。

首先，我们来定义多元函数的连续性。

假设有一个定义在某个区域D上的多元函数f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn为自变量。

我们称函数f在某点(a1, a2, ..., an)处连续，如果当自变量x1, x2, ..., xn逐渐接近(a1, a2, ..., an)时，函数值f(x1, x2, ..., xn)也逐渐接近f(a1, a2, ..., an)。

用数学语言表达，即：lim┬(x→a) ⁡f(x) = f(a)其中，lim表示极限的概念。

如果函数f在集合D的每个点都连续，我们称函数f在D上连续。

那么，多元函数的可微性又是什么意思呢？我们称多元函数f(x1,x2, ..., xn)在某点(a1, a2, ..., an)处可微，如果该函数在该点附近的某个区域内有一个线性逼近函数。

这个线性逼近函数被称为多元函数的导数。

用数学语言表达，即：f(x1, x2, ..., xn) ≈ f(a1, a2, ..., an) + ∑┬(i=1)ⁿ ∂f/∂xi (a1, a2, ..., an)(xi - ai)其中，∂f/∂xi表示函数f对自变量xi的偏导数，xi - ai表示自变量与其对应的变化量。

连续性与可微性是密切相关的，一般来说，可微性是连续性的强化形式。

根据数学定义，若一个函数在某点可微，那么它在该点也是连续的。

而连续函数并不一定可微。

多元函数的连续性与可微性在数学中具有广泛的应用。

例如，在物理学中，我们经常需要利用多元函数来描述物体的运动轨迹、能量分布等。

通过研究函数的连续性，我们可以了解物体在不同时刻的位置、速度以及加速度等信息。

多元函数连续,可导,可微之间的关系
函数在数学研究中有重要的作用，是数学的基础，也是理解数学模型的关键。

本文讨论的是多元函数的连续性、可导性和可微性之间的关系。

首先，要弄清楚什么是多元函数。

多元函数是关于多个变量的函数，变量可以是实数或者复数。

例如，函数f(x,y)=x2+y2是一个多元函数，它有两个变量：x和y。

其次，多元函数的连续性是指函数值对于变量的任意改变都没有突然变化的性质。

函数的连续性可以用专业术语称为可接受范围内的可极限性。

任意一个连续函数，其可极限性可以由Rolle定理和哥廷尔不等式来表示。

第三，多元函数的可导性是指函数对变量的改变可以产生新的函数值，该新函数值会受到多个变量变化的影响。

对于可导函数，可以利用微积分来计算其变化，这是一种求解多元函数的重要方法。

最后，多元函数的可微性是指函数的变化率可以用一阶导数或二阶导数来表示。

通过求解多元函数的一阶导数和二阶导数，可以分析函数的变化规律，并进行灵活的应用。

综上所述，多元函数连续、可导、可微之间存在着密切的联系，都是求解多元函数的关键。

可连续性具有可接受范围内的可极限性，可导性要求函数对变量改变可以产生新函数值，可微性则需要求解多元函数的一阶导数和二阶导数。

因此，只有当多元函数具备这三项基本性质时，才能够分析函数的变化规律，并进行有效的求解。

以上就是本文讨论的多元函数连续、可导、可微之间关系的内容，从而更好地了解多元函数的概念及其特征。

文档说明：本文档为作者自己整理的微积分（下）有关多元函数微分学的复习笔记，包含三部分——反例总结（基于自己的做题经验）、基本公式（基于华中科技大学微积分课本）和题型汇总（基于华中科技大学微积分学习辅导），请勿用作商用，若文中有打错的字还请多多包涵。

反例总结1.在（0,0）不连续，但fx和fy都存在且为0，所以用它可以组很多反例。

，在（0,0）。

满足以下命题：1）一元函数f(x,y0)与f(x0,y)分别在x0与y0连续，但f(x,y)在(x0,y0)不连续。

2）偏导数存在但原函数不连续。

3）偏导数存在但不可微。

4）偏导数存在，但除了沿坐标轴的正负方向，其余方向导数均不存在。

2.f(x,y)=|x+y|在（0,0）连续，但是偏导数不存在。

可以满足以下命题：1）原函数连续但偏导不存在。

2）沿任意方向的方向导数均存在，但偏导数不存在。

3.其他反例：1）f(x,y)在(x0,y0)连续，则一元函数f(x,y0)与f(x0,y)分别在x0与y0连续，但反过来不成立。

，在(0,0)点不成立。

2）可微推不出偏导数连续。

复杂式子比较记1.在f(x0,y0)连续f(x0,y0)- f(x0,y0)=02.偏导数f x(x0,y0)===3.验证在定点可微, - f(x0,y0)4.复合函数相关公式1）求导链式法则：全导数；比如z=(x,y),y=(x),2）微分的链规则：df(u1,u2 … u n)=…;比如z=f(u1(x,y),u2(x,y))，dz=z x dx+z y dy=z u1du1+z u2du25.方向导数和梯度1）方向导数a.几何意义：指的是函数在n方向上切线的斜率，即描述了在n方向上函数的增长速度。

b.条件：f在P。

点可微c.公式：其中，此事梯度指向函数值增长最快的方向，也指向法矢的方向。

d.定义公式：e.特殊地，梯度方向的方向导数是2）梯度a.几何意义：本质是一个向量，在这个方向上方向导数取最大，即梯度指向函数增长最快的方向，也即法矢。

多元函数偏导数连续和可微的关系一、前言多元函数是数学中的重要概念，它在物理、经济学、工程学等众多领域都有广泛的应用。

而多元函数偏导数连续和可微的关系是多元函数研究中的一个重要问题，本文将详细介绍这个问题。

二、多元函数偏导数的定义在介绍多元函数偏导数连续和可微的关系之前，我们需要先了解多元函数偏导数的定义。

对于一个二元函数$f(x,y)$，它在点$(x_0,y_0)$处对$x$求偏导数，记为$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)$，表示当$y$固定在$y_0$时，$f(x,y)$对$x$的变化率。

同理，它在点$(x_0,y_0)$处对$y$求偏导数，记为$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$，表示当$x$固定在$x_0$时，$f(x,y)$对$y$的变化率。

对于一个$n(n\geqslant3)$元函数$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，它在点$(x_{10},x_{20},\cdots,x_{n0})$处对$x_i(i=1,2,\cdots,n)$求偏导数，记为$\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_{10},x_{20},\cdots,x_{n0})$，表示当$x_j(j\neq i)$固定在$x_{j0}(j\neq i)$时，$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$对$x_i$的变化率。

三、多元函数偏导数连续的定义在介绍多元函数偏导数连续和可微的关系之前，我们需要先了解多元函数偏导数连续的定义。

对于一个$n(n\geqslant2)$元函数$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，如果它在点$(x_{10},x_{20},\cdots,x_{n0})$处对$x_i(i=1,2,\cdots,n)$求偏导数存在且连续，那么称$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$在点$(x_{10},x_{20},\cdots,x_{n0})$处对$x_i(i=1,2,\cdots,n)$求偏导数连续。

多元函数偏导数连续和可微的关系引言在数学中，我们常常需要研究多元函数的性质和特点。

其中，多元函数的偏导数是一个重要的概念，它在数学分析以及应用数学中有着广泛的应用。

本文将探讨多元函数偏导数的连续性和可微性之间的关系。

多元函数的偏导数定义考虑一个二元函数f(x,y)，其中x和y是自变量，f是因变量。

我们可以将x或y视为定值，而将另一个变量作为独立变量进行求导。

这样得到的导数就称为偏导数。

具体而言，函数f(x,y)的对x的偏导数记作∂f∂x，表示在y固定的情况下，f对x的变化率。

同样地，函数f(x,y)的对y的偏导数记作∂f∂y，表示在x固定的情况下，f对y的变化率。

对于多元函数，我们可以类似地定义更多的偏导数。

例如，对于三元函数f(x,y,z)，我们可以求得∂f∂x 、∂f∂y和∂f∂z。

连续性和可微性在研究多元函数的性质时，连续性和可微性是两个重要的概念。

下面我们将分别讨论偏导数的连续性和可微性。

偏导数的连续性定义首先，我们来定义多元函数偏导数的连续性。

偏导数连续的定义如下：若函数在某一点处的偏导数存在且连续，则称该函数在该点处的偏导数连续。

定理根据多元函数的连续性的定义，我们可以得到以下定理：如果在某区域内，函数的偏导数连续，那么函数在该区域内是连续的。

证明如下：假设函数在某一点处的偏导数连续，即∂f∂x 和∂f∂y在该点处连续。

那么根据偏导数的定义，我们有：∂f ∂x =limΔx→0f(x+Δx,y)−f(x,y)Δx∂f ∂y =limΔy→0f(x,y+Δy)−f(x,y)Δy由于偏导数连续，我们可以将极限与连续性交换，即：∂f∂x=f x(x,y)∂f∂y=f y(x,y)由此可见，在函数的偏导数连续的情况下，函数在该点处是连续的。

因此，我们可以得出结论：函数的偏导数连续是函数连续的充分条件。

偏导数的可微性定义接下来我们来定义多元函数偏导数的可微性。

偏导数可微的定义如下：如果函数在某一点的所有偏导数都存在且连续，那么函数在该点处可微。

多元函数可微分的判断方法如下：
设函数f(x,y) 在点(x0,y0) 的某邻域内有定义，且对于该邻域内的任意一点(x,y)，
f(x,y) 在(x0,y0) 处与偏导数fxx(x0,y0) 和fxy(x0,y0) 在(x0,y0) 处都存在，则称f(x,y) 在点(x0,y0) 处可微分。

用数学公式表示为：
f(x,y) 在(x0,y0) 处可微分，当且仅当
lim (h→0) [f(x0+h, y0+h)-f(x0, y0)-fxx(x0,y0)*h-fxy(x0,y0)*h] / h = 0
其中，fxx(x0,y0) 和fxy(x0,y0) 分别表示函数f(x,y) 对于x 和y 的偏导数，h 为任意小的数。

因此，要判断一个多元函数是否在某点处可微分，需要先求出该点处各个偏导数的值，然后判断上述极限是否为零。

如果为零，则函数在该点处可微分，否则不可微分。

需要注意的是，在实际应用中，通常需要用到微分的性质和定理来简化判断过程，例如链式法则、复合函数求导法则等等。

一元函数与多元函数连续可微的区别和关系.doc一元函数与多元函数的连续可微性是微积分学中的重要概念，本文将从两个方面介绍这两种函数的连续可微性的区别和关系。

一、区别1.1 定义一元函数的连续可微性是指函数在某个点c处连续且在c的邻域内可导。

即在c点处存在一阶导数，并且导数是连续的。

而多元函数的连续可微性则是指函数在某个点(c1,c2, …, cn)处连续且在该点各个方向上存在偏导数，且偏导数在(c1, c2, …, cn)处连续。

1.2 导数的概念一元函数的导数是该函数在某一点处的切线斜率，即函数在该点的瞬时变化率。

而多元函数的偏导数则是在某个点处，函数在该点沿着某一个自变量方向的变化率，它只描述了函数在一个坐标轴方向上的变化率，对于整个函数的变化率并不能完全描述。

1.3 极值的判断一元函数的极值可以通过导函数的零点来求得，即函数在极值点处导函数为零。

而对于多元函数，因为存在多个自变量，导数的零点不能完全刻画函数的极值，需要通过求解函数的二阶偏导数来判断。

如果函数的二阶偏导数在该点处为正，则该点为函数的极小值；如果二阶偏导数在该点处为负，则该点为函数的极大值；如果二阶偏导数为零，则需要进行进一步的判断。

二、关系2.1 链式法则链式法则是一元函数和多元函数求导的基本方法之一。

在一元函数中，链式法则表示函数的复合导数可以通过一阶导数相乘得到；在多元函数中，链式法则表示函数对某个变量求导可以通过对该变量的偏导数进行求导得到。

2.2 梯度2.3 牛顿法牛顿法是一种在求解多元函数极值时广泛应用的方法，在一元函数中也能应用。

在一元函数中，牛顿法通过对函数的导数进行迭代，每次更新迭代点直到导数趋于零来求得函数的零点。

在多元函数中，牛顿法则需要求出函数的梯度和海森矩阵，通过对海森矩阵的求逆和梯度的相加来迭代求得函数的极值。

总之，一元函数和多元函数的连续可微性是微积分学中的重要概念。

它们在定义、导数的概念、极值判断、链式法则、梯度和牛顿法等方面都有一定的区别和联系，对于学习微积分和应用数学都有重要意义。

B1多元函数微分学中几个概念之间的关系一、有连续偏导与可微的关系有连续偏导⇒可微。

定理2（P23,同济大学） 可微⇒有连续偏导? 例1函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin),(22y x y x yx xy y x f 在)0,0(点连续且偏导数存在，但偏导数在点)0,0(不连续，而),(y x f 在)0,0(点可微。

证明：令θρcos =x ，θρsin =y ，则有).,0,0(01sinsin cos lim 1sinlim222)0,0(),(f yx xy y x ===+→→ρθθρρ故，),(y x f 在)0,0(点连续。

000lim)0,0()0,(lim)0,0(00=∆-=∆-∆=→∆→∆x xf x f f x x x ，同理，0)0,0(=y f 。

当)0,0(),(≠y x 时，223222221cos)(1sin ),(yx y x y x yx y y x f x ++-+=。

当),(y x P 沿直线xy =趋于)0,0(时，||21c o s ||22||21si n lim ),(lim33)0,0(),(x x x x x y x f x x y x -=→→不存在。

所以，),(y x f x 在点)0,0(不连续。

同理，),(y x f y 在点)0,0(不连续。

))()(()()(1sin)0,0(),(2222y x o y x y x f y x f f ∆+∆=∆+∆⋅∆⋅∆=-∆∆=∆，故，),(y x f 在)0,0(点可微，且0|)0,0(=df 。

二、可微与偏导数存在的关系可微⇒偏导数存在。

定理1（P22,同济大学）B2偏导数存在⇒?可微 例2函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x yx xy y x f 在)0,0(点偏导数存在，但在)0,0(点不可微。