多元凸函数的判定

多元凸函数判据是数学中的一个重要概念，它在优化理论、机器学习等领域有着广泛的应用。

下面我将简要介绍多元凸函数判据的基本概念和性质。

首先，我们需要了解什么是多元函数。

在n个变量中的实值函数就是n元函数。

在数学上，多元函数是一个集合，其中的元素是一个二元有序数组，代表一个变量和该变量对应的函数值。

凸函数是一种特殊的函数，它在定义域的某个子集上是凸的。

对于多元函数，如果它在定义域的某个子集上的所有点处的导数都存在，且满足一定的条件（如对所有的点都成立），则这个多元函数被称为凸函数。

多元凸函数判据是一种判断多元函数是否为凸函数的准则。

它的基本思想是利用函数的几何性质来判断函数的导数性质。

在多元函数的几何学习中，我们知道函数的局部性态常常反映了全局的性质，因此可以通过研究局部性质来判断全局性质。

多元凸函数判据的主要内容包括：1. 定义域和值域：多元凸函数的定义域是一个凸集，值域是一个凸集。

这意味着函数的定义域和值域都满足一定的凸性条件。

2. 梯度：多元函数的梯度是一个向量场，它描述了函数在某一点处的变化趋势。

如果一个多元函数的梯度在某个子集上是存在的，且具有某些特定的性质（如线性或恒等性），则这个多元函数被称为是可微分的。

3. 拉格朗日函数：在多元函数中，拉格朗日函数是一个非常重要的工具。

它可以用来表示多元函数的泛函关系，并且可以借助它来推导函数的性质。

综上所述，多元凸函数判据是数学中的一个重要概念，它提供了一种判断多元函数是否为凸函数的简便方法。

通过定义域、梯度、拉格朗日函数等概念和性质的研究，我们可以更深入地了解多元函数的性质，为解决实际问题提供更有价值的工具和方法。

函数的凹凸性定义函数的凹凸性是描述函数曲线在图像上的弯曲程度和凸出程度的性质。

在数学中，凹（concave）和凸（convex）是两个相对的概念，用于描述一条曲线或曲面的形状。

具体来说，凹函数表示曲线向下弯曲，凸函数表示曲线向上弯曲。

凹凸性在优化问题和最优化理论中具有重要的应用。

在函数的凹凸性中，凸函数有许多优良的性质，例如在最优化问题中，任何凸函数的局部极小值就是全局极小值，这为优化问题的求解提供了有效的方法。

一元函数的凹凸性：凹凸性的定义可以通过一元函数的二阶导数来描述。

对于一个二次可导的一元函数f(x)，函数的凹凸性可以通过函数的二阶导数f''(x)的符号来判定。

若f''(x)>0，则函数f(x)在区间内上凸，在该区间内的任意两个点x1和x2，有f(x1)<f(x2)；若f''(x)<0，则函数f(x)在区间内下凸，在该区间内的任意两个点x1和x2，有f(x1)>f(x2)；若f''(x)=0，则函数f(x)在该点的凹凸性无定义，需要通过其他方法来判定。

总结起来，根据函数的二阶导数的符号，可以确定函数的凹凸性。

当f''(x)大于零时，函数是凸的；当f''(x)小于零时，函数是凹的。

多元函数的凹凸性：对于多元函数 f(x1, x2, ..., xn)，凹凸性的定义和判定需要通过二阶偏导数来描述。

定义：对于定义在凸集上的连续可微函数，如果对于集合上的任意两点x和y，有f(λx+(1-λ)y)≤λf(x)+(1-λ)f(y)，其中0≤λ≤1，则函数f(x)是凸函数。

根据多元函数的定义和凸函数的性质，可以确定一个多元函数的凹凸性：1. 凸函数：如果多元函数的 Hessian 矩阵（二阶偏导数矩阵）是半正定的，则函数是凸的。

即，对于函数的 Hessian 矩阵 H，如果对于任意的向量 v，有v^THv ≥ 0，则函数是凸的。

凸函数三元函数
我们要证明一个三元函数是凸函数，首先需要了解凸函数的定义。

凸函数的定义：对于一个定义在某个开集上的函数f，如果对于该集合中的任意两点x1和x2，以及任意λ∈(0,1)，都有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)，那么我们称f为凸函数。

现在，我们假设有一个三元函数f(x,y,z)，我们要证明它是凸函数。

我们可以按照以下步骤进行：
第一步，假设有两个点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)在函数的定义域内。

第二步，根据凸函数的定义，我们需要找到一个λ∈(0,1)，使得f(λA+(1-λ)B)≤λf(A)+(1-λ)f(B)。

第三步，根据凸函数的性质，如果一个函数在某一点的一阶导数大于0，那么该函数在该点是凸的。

因此，我们可以计算f的一阶偏导数，并检查其是否大于0。

如果所有的偏导数都大于0，那么函数是凸的。

第四步，通过计算一阶偏导数，我们可以得到一个不等式系统。

如果这个不
等式系统对于所有的x, y, z都成立，那么我们可以说f是一个凸函数。

综上所述，为了证明一个三元函数是凸函数，我们需要证明对于所有的x, y, z，该函数的一阶偏导数都大于0。

2008年9月第28卷第5期天水师范学院学报J our nal of Ti ans h ui N or m al U ni ve r si t yS e p．，2008V01．28N o．5凸函数的性质及判定刘开生，王贵军(天水师范学院数学与统计学院，甘肃天水741001)摘要：给出了凸函数的一些重要性质及判定定理，研究了函数的凸性与函数奇偶性、单调性之问的关系。

关t词：凸函数；性质；关系中图分类号：0174．6文献标识码：A文章编号：1671—1351(2008)05—0012—021预备知识文献【1】中给出凸函数的定义如下：设触)为定义在区间I上的函数，若对任意两点菇I，X2和实数O<A<I，总军￡“A戈l+(1一A)z2)≤。

讹1)+(1一A批2)，则镌触)为定义在I上的凸函数。

若锹从，+(10k：)≥讹1)+(1_A掀2)，则镌舷)为定义在I上的凹函数。

其次，文献还给出了判别触)为I上的凸函数的四个等价命题；同时也给出了利用二阶导数判别厂0)为I上凸(凹)函数的判断命题。

定理1．1设，b)为定义在区间I上的可导函数。

则下述命题等价(1)．肭为I上的凸函数；(2)厂0)为I上的增函数；(3)对I上任意两点名，，互：有m2)≥触，)矿@t)02．略t)；(4)．尸@)≥0，茗∈I．定理1．2f11设M为定义在区间I上的二阶可导函数，则在I上触)为凸(凹)函数的充要条件是厂0)≥O(尸G)≤0)，茗∈I定理1．掣l若触)为区间I上的凸函数．则慨。

，戈：∈I，欹华)≤世屿监2主要结果及其证明定理2．1勘∞石@)均为【a，b】上的凸函数，贝岍G)坼仁)也是【a'b】上的凸函数。

定理2．2蝴∽为【a，bl上的凸函数，j}为正常数，则坼)也为【a，b】上的凸函数。

注2．1：定理2．1和定理2．2利用文献f11中所给的定义可直接证明。

定理2．3设u吡)为[a，hi I-I拘凸函数，g(∞在【a，bl t-单调递增，且也为[a，b】上的凸函数，则复合函数的讧))也是【a，b】上的凸函数。

凸函数判定方法的研究鸡冠山九年一贯制学校张岩2013年12月15日目录摘要 (ii)关键词 (ii)Abstract (ii)Key words (ii)前言 (iii)一、凸函数的基本理论 (1)1、预备知识 (1)2、凸函数的概念及性质 (2)二、凸函数的判定方法 (4)（一）一元函数凸性的判定方法 (4)1、利用作图判断函数凸性 (4)2、其它判定方法 (5)（二）多元函数凸性的判定方法 (8)1、多元凸函数的有关概念 (8)2、多元函数凸性的判定方法 (9)三、凸函数几个其他判定方法 (12)四、总结 (14)参考文献 (14)致谢 (15)凸函数判定方法的研究摘要:凸函数是一类非常重要的函数，借助它的凸性可以科学准确地描述函数图像，而且可以用于不等式的证明。

同时，凸函数也是优化问题中重要的研究对象，研究的内容非常丰富，研究的结果已在许多领域得到广泛的应用，因此凸函数及其性质以及凸性判定的充要条件的研究就显得尤为重要。

本文首先给出了凸函数的一些基本概念和结论，然后针对一元和多元函数，对凸函数的判定做了研究和讨论，本文最后也给出几种新的判定凸函数的方法。

关键词：凸函数；梯度；Hesse 矩阵；泰勒定理Abstract: Convex function is a kind of very important functions, with the help of its convexity we can accurately describe the graph of functions and it can also be used to prove the inequalities. As the significant object in optimization problems, the contents about convex functions we study are very abundant, the results obtained so far has been applied to many fields. Therefore, the topic we concern about is deserved to be discussed. In this paper, we firstly present some basic definitions and properties of convex functions, then aiming at the univariate function and multi-variable functions we give several criterions for determining the convexity of functions. Finally, some new principles are also given.Key words：Convex function; Gradient; Hesse matrix; Taylor Theorem前言提起凸函数,人们都会想起它的许多良好性质和在数学中的重要作用。

函数凹凸性的应用什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例,从直观上看一看何谓函数的凸性.如函数y =所表示的曲线是向上凸的,而2y x =所表示的曲线是向下凸的,这与我们日常习惯上的称呼是相类似的.或更准确地说：从几何上看,若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凸的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凹的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方.如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？设函数()f x 在区间I上是凸的（向下凸）,任意1x ,2x I∈（12x x <）.曲线()y f x =上任意两点11(,())A x f x ,11(,())B x f x 之间的图象位于弦AB的下方,即任意12(,)x x x ∈,()f x 的值小于或等于弦AB 在x 点的函数值,弦AB 的方程211121()()()()f x f x y x x f x x x -=-+-.对任意12(,)x x x ∈有,整理得21122121()()()x x x x f x f x f x x x x x --≤+--.令221()x x t x x -=-,则有01t <<,且12(1)x tx t x =+-,易得1211x x tx x -=--,上式可写成1212[(1)]()(1)()f tx t x tf x t f x +-≤+-1.1凸凹函数的定义凸性也是函数变化的重要性质。

通常把函数图像向上凸或向下凸的性质，叫做函数的凸性。

图像向下凸的函数叫做凸函数，图像向上凸的函数叫做凹函数。

设[]()()()()()211212:,,,0,1,11f I R I f ff x x x x x x λλλλλ→∀∈∀∈+-≤+-若不等式成立，（1）则称f为I 上的凸函数。

若()120,1,,x x λ∀∈≠()()()()()121211f ff x x x x λλλλ+-+-不等式 （2）则称f 为I 上的严格凸函数。

函数凹凸性的判定性质及应用曹阳数学计算机科学学院摘要：函数的凹凸性在数学研究中具有重要的意义。

本文从凸函数的多种定义入手，引出凹凸函数的性质，介绍了凹凸函数的性质及判定定理。

在此基础上，将一元函数的凹凸性进行推广，推广到二元函数上，讨论了二元函数凹凸性的性质，判定方法及其应用。

一元到二元，即增加了一个变量，那么对于ｎ元的情况是否有相似的函数存在呢？本文层层深入，将二元函数进行再次推广，至ｎ元的情形，给出ｎ元凹凸函数的定义，判定方法及性质。

本文主要讨论了一元，二元，多元凹凸函数的定义，性质，及判定方法，并介绍了它们应用。

关键词：凹凸性；一元函数；二元函数；多元函数；判别法；应用；Convex function of Judge Properties and Applications Abstract: The function of convexity in mathematical research is of great significance. In this paper, the definition of convex function of a variety of start, leads to uneven nature of the function, describes the properties of convex functions and decision theorem. On this basis, the concave and convex functions of one variable to promote, promote to the binary function, discusses the uneven nature of the nature of the binary function, determine the method and its application. One to a binary, an increase of a variable, then for n-whether it is a similar function exist? This layers of depth, the binary function tore-promote, to the case of n-given definition of n-convex function, determine the methods and properties. This article focuses on one element, binary, multiple convex function definition, nature, and judging methods, and describes their application.Keywords: Convexity; One Function; Binary function; Multiple functions; Criterion; Applications;1.引言凸函数是数学中一类极其重要的函数，它在最优化，运筹与控制理论，模具设计等方面具有重要的理论和实践意义。

本科生毕业论文题目凸函数的几个等价定义系别班级姓名学号答辩时间年月学院目录摘要 (4)1凸函数的定义 (6)2凸函数的等价定义和性质 (6)2.1凸函数的等价定义 (6)2.2凸函数的性质 (7)3凸函数等价定义和性质的应用举例 (10)3.1一些集合上的凸函数举例 (10)3.2运用凸函数等价定义证明不等式 (11)总结 (16)参考文献 (17)谢辞 (18)凸函数的几个等价定义摘要凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen在1905年的著述中。

它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具。

为了理论上的突破，加强它们在实践中的应用，产生了广义凸函数。

本文主要归纳了凸函数的几个常见定义和性质以及它们在不等式证明等几个方面的应用。

关键词：凸函数；等价性；不等式Several equivalent of convex function definedAbstractConvex function is a kind of important function, it is the concept of the earliest Jensen in 1905 in the works. It in pure mathematics and applied mathematics of many fields has wide application, it has become the mathematical programming, the game theory and mathematical economics, variational learn and optimal control subjects such as theoretical basis and powerful tools. In order to theoretical breakthrough, strengthen them in practical application, produced the generalized convex function. This paper mainly summarizes the convex function of several common definition and characteristics and their inequation and so on several aspects in the application. [Key wards]Convex functions; Equivalence; Inequality.凸函数是一种性质特殊的函数，在许多数学分支中，经常可以看到有关的应用，例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中。