【三维设计】(新课标)高考数学大一轮复习 第八章 解析几何精品讲义 理(含解析)

[考纲传真] 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用．1．椭圆的定义把平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ＞0，c ＞0，且a ，c 为常数： (1)若a ＞c ，则集合P 为椭圆； (2)若a ＝c ，则集合P 为线段； (3)若a ＜c ，则集合P 为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质1．点P (x 0，y 0)和椭圆的位置关系(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2＜1.(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b2＝1.(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2＞1.2．焦点三角形椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中：(1)当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；(2)S ＝b 2ta n θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc .(3)a －c ≤|PF 1|≤a ＋c .3．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边长，a 2＝b 2＋c 2. 4．已知过焦点F 1的弦AB ，则△ABF 2的周长为4a . 5．椭圆中点弦的斜率公式若M (x 0，y 0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点，则有k AB ·k OM ＝－b 2a 2，即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0. 6．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝1＋1k2|y 1－y 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2y 1＋y 22－4y 1y 2](k 为直线斜率)．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( )(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( )(4)关于x ，y 的方程mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )表示的曲线是椭圆． [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标为( )A ．(±3,0)B ．(0，±3)C ．(±9,0)D ．(0，±9)B [由题意可知a 2＝25，b 2＝16，∴c 2＝25－16＝9，∴c ＝±3， 又焦点在y 轴上，故焦点坐标为(0，±3)．]3．已知动点M 到两个定点A (－2,0)，B (2,0)的距离之和为6，则动点M 的轨迹方程为( )A.x 29＋y 2＝1 B ．y 29＋x 25＝1C.y 29＋x 2＝1 D ．x 29＋y 25＝1D [由题意有6＞2＋2＝4，故点M 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆，则2a ＝6，c ＝2，故a 2＝9，所以b 2＝a 2－c 2＝5，故椭圆的方程为x 29＋y 25＝1，故选D ．]4．若一个椭圆长轴的长、短轴的长和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是( ) A.5－12 B ．1＋52C.－1＋52D ．－1±52C [由题意有b 2＝ac .又b 2＝a 2－c 2，则a 2－c 2＝ac ，即1－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝c a ，则e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52.因为0＜e ＜1，所以e ＝－1＋52.故选C.]5．(教材改编)椭圆C ：x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，则△F 1AB 的周长为________．20 [由椭圆的定义可知，△F 1AB 的周长为4a ＝4×5＝20.]第1课时 椭圆的定义、标准方程及其性质椭圆的定义及其应用【例1】 (1)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1 B ．x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1 D ．x 264＋y 248＝1 (2)F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7B ．74 C.72D ．752(1)D (2)C [(1)设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16，又|C 1C 2|＝8＜16，∴动圆圆心M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，则a ＝8，c ＝4，∴b 2＝48，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.(2)由题意得a ＝3，b ＝7，c ＝2， ∴|F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6.∵|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|cos 45°＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8， ∴(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8.∴|AF 1|＝72，∴S △AF 1F 2＝12×72×22×22＝72.](1)如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆(2)(2019·徐州模拟)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.(1)A (2)3 [(1)由题意可知，CD 是线段MF 的垂直平分线， ∴|MP |＝|PF |，∴|PF |＋|PO |＝|PM |＋|PO |＝|MO |(定值)． 又|MO |＞|FO |，∴点P 的轨迹是以F ，O 为焦点的椭圆，故选A. (2)设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2，所以2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，所以S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，所以b ＝3.]椭圆的标准方程【例2】 (1)在△ABC 中，A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 225＋y 29＝1(y ≠0) B ．y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D ．y 216＋x 29＝1(y ≠0)(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程为________．(3)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．(1)A (2)y 210＋x 26＝1 (3)y 220＋x 24＝1 [(1)由|AC |＋|BC |＝18－8＝10＞8知，顶点C 的轨迹是以A ，B为焦点的椭圆(A ，B ，C 不共线)．设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则a ＝5，c ＝4，从而b ＝3.由A ，B ，C不共线知y ≠0.故顶点C 的轨迹方程是x 225＋y 29＝1(y ≠0)．(2)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n ＞0，m ≠n )． 由⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫－322m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110.∴椭圆方程为y 210＋x 26＝1.(3)法一：椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义知， 2a ＝3－2＋－5＋2＋3－2＋－5－2，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4，∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.法二：∵所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同，∴其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∵c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2， 故a 2－b 2＝16.①又点(3，－5)在所求椭圆上， ∴－52a 2＋32b 2＝1，则5a2＋3b2＝1.②由①②得b 2＝4，a 2＝20，∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.]直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B ．x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1 D ．x 212＋y 24＝1 (2)椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E 的标准方程为( )A.x 22＋y 22＝1 B ．x 22＋y 2＝1C.x 24＋y 22＝1 D ．y 24＋x 22＝1(3)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．(1)A (2)C (3)x 2＋32y 2＝1 [(1)△AF 1B 的周长是4a ＝43，所以a ＝3，e ＝c a ＝33， 所以c ＝1， 那么b 2＝a 2－c 2＝2，所以方程是x 23＋y 22＝1.故选A.(2)由条件可知b ＝c ＝2，a ＝2，所以椭圆方程为x 24＋y 22＝1，故选C.(3)不妨设点A 在第一象限，如图所示．∵AF 2⊥x 轴，∴A (c ，b 2)(其中c 2＝1－b 2,0＜b ＜1，c ＞0)． 又∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴由AF 1→＝3F 1B →得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c3，－b 23，代入x 2＋y 2b 2＝1得25c 29＋b49b2＝1.又c 2＝1－b 2，∴b 2＝23.故椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.]椭圆的几何性质►考法1 求离心率或范围【例3】 (1)(2019·深圳模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36B ．13 C.12D ．33(2)(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)(1)D (2)A [(1)法一：如图，在R t △PF 2F 1中， ∠PF 1F 2＝30°，|F 1F 2|＝2c ， ∴|PF 1|＝2c cos 30°＝43c3，|PF 2|＝2c ·ta n 30°＝23c3.∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， 即43c 3＋23c3＝2a ，可得3c ＝a . ∴e ＝c a ＝33. 法二：(特殊值法)在R t △PF 2F 1中 ，令|PF 2|＝1， ∵∠PF 1F 2＝30°， ∴|PF 1|＝2，|F 1F 2|＝ 3.∴e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝33.故选D ．(2)由题意知，当M 在短轴顶点时，∠AMB 最大． ①如图1，当焦点在x 轴，即m ＜3时，a ＝3，b ＝m ，ta n α＝3m≥ta n 60°＝3，∴0＜m ≤1.图1 图2 ②如图2，当焦点在y 轴，即m ＞3时，a ＝m ，b ＝3，ta n α＝m3≥ta n 60°＝3，∴m ≥9.综上，m ∈(0,1]∪[9，＋∞)，故选A.] ►考法2 与椭圆的几何性质有关的最值问题【例4】 (2019·合肥质检)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b2＝1的离心率e＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·PA →的最大值为________．4 [由题意知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.设P 点坐标为(x 0，y 0)．所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3. 因为F (－1,0)，A (2,0)， PF →＝(－1－x 0，－y 0)，PA →＝(2－x 0，－y 0)， 所以PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2.则当x 0＝－2时，PF →·PA →取得最大值4.](1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－32B ．2－ 3 C.3－12D ．3－1(2)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8(1)D (2)C [(1)由题设知∠F 1PF 2＝90°，∠PF 2F 1＝60°，|F 1F 2|＝2c ，所以|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c .由椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即3c ＋c ＝2a ，所以(3＋1)c ＝2a ，故椭圆C 的离心率e ＝c a＝23＋1＝3－1.故选D ．(2)由椭圆x 24＋y 23＝1可得F (－1,0)，点O (0,0)，设P (x ，y )(－2≤x ≤2)，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，－2≤x ≤2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.]1.(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23 B ．12 C.13D ．14D [由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|＝2c ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c .∵|OF 2|＝c ，∴点P 坐标为(c ＋2c cos 60°，2c sin 60°)，即点P (2c ，3c )．∵点P 在过点A ，且斜率为36的直线上，∴3c 2c ＋a ＝36，解得c a ＝14，∴e ＝14，故选D ．] 2．(2016·全国卷Ⅰ)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13 B ．12 C.23D ．34B [如图，|OB |为椭圆中心到l 的距离，则|OA |·|OF |＝|AF |·|OB |，即bc ＝a ·b 2，所以e ＝c a ＝12.]。

坐标系与参数方程第一节坐_标_系基础盘查一 平面直角坐标系中的伸缩变换 (一)循纲忆知理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况． (二)小题查验 1．判断正误(1)在伸缩变换下，直线仍然变成直线，圆仍然变成圆( ) (2)在伸缩变换下，椭圆可变为圆，圆可变为椭圆( ) 答案：(1)× (2)√2．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，则在这一坐标变换下正弦曲线y ＝sin x 的方程变为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝13y ′.代入y ＝sin x 中得y ′＝3sin 2x ′. 答案：y ′＝3sin 2x ′基础盘查二 极坐标系的概念及极坐标和直角坐标的互化 (一)循纲忆知能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化⎝⎛x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0).(二)小题查验1．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为________．解析：因为点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为－π3，所以点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3.答案：⎝⎛⎭⎪⎫2，－π32．曲线ρ＝4sin θ与ρ＝2的交点坐标是________________．对应学生用书P166解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝4sin θ，ρ＝2，∴sin θ＝12，∴θ＝π6或5π6.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6或⎝⎛⎭⎪⎫2，5π6 基础盘查三 简单曲线的极坐标方程 (一)循纲忆知能在极坐标系中给出简单的图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义．(二)小题查验 1．判断正误(1)过极点，做斜角为α的直线的极坐标方程可表示为θ＝α或 θ＝π＋α( ) (2)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O 的圆的极坐标方程为ρ＝2a sin θ( ) 答案：(1)√ (2)×2．在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为________． 解析：如图，O 为极点，OB 为直径，A (ρ，θ)，则∠ABO ＝θ－90°，OB ＝22＝ρθ－，化简得ρ＝－22cos θ. 答案：ρ＝－22cos θ 3．在极坐标系中，曲线C 1：ρ()2cos θ＋sin θ＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.解析：曲线C 1的直角坐标方程为2x ＋y ＝1，曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝a 2，曲线C 1与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，0，此点也在曲线C 2上，代入解得a ＝22.答案：22考点一 平面直角坐标系下图形的伸缩变换|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]对应学生用书P166设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，λ＞，y ′＝μ·y ，μ＞的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．[题组练透]1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .求点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过φ变换所得的点A ′的坐标．解：设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y ，由于点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2，于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，∴A ′(1，－1)为所求．2．求直线l ：y ＝6x 经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，变换后所得到的直线l ′的方程．解：设直线l ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入y ＝6x 得2y ′＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ′，∴y ′＝x ′，即y ＝x 为所求． 3．求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，变换后所得曲线C ′的焦点坐标．解：设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x2－y 264＝1得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)为所求．[类题通法]平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，λy ′＝μ·y ，μ下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．考点二 极坐标与直角坐标的互化|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]设M 为平面上的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面的关系式成立：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x (θ与(x ，y )所在象限一致)．[提醒] (1)在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)．(2)在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2k π)，(－ρ，π＋θ＋2k π)(k ∈Z )表示同一点的坐标．[典题例析]在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ： ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． 解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.[类题通法]极坐标方程与普通方程互化技巧(1)巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有ρcosθ，ρsin θ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．(2)巧借两角和差公式，转化ρsin(θ±α)或ρ＝cos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．(3)将直角坐标方程中的x 转化为ρcos θ，将y 换成ρsin θ，即可得到其极坐标方程．[演练冲关](2014·广东高考改编)在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C 1和C 2的交点的直角坐标．解析：由ρsin 2θ＝cos θ⇒ρ2sin 2θ＝ρcos θ⇒y 2＝x ，又由ρsin θ＝1⇒y ＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.故曲线C 1和C 2交点的直角坐标为(1,1)．考点三 曲线的极坐标方程|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．圆的极坐标方程(1)圆心在极点，半径为R 的圆的极坐标方程为ρ＝R .(2)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O 的圆的极坐标方程为ρ＝2a cos θ.(3)圆心在点⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2处，且过极点O 的圆的极坐标方程为ρ＝2a sin θ.2．直线的极坐标方程(1)过点(a,0)与极轴垂直的直线的极坐标方程为ρcos θ＝a .(2)过点⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2与极轴平行的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a . [提醒] (1)确定极坐标方程时要注意极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可．(2)研究曲线的极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化．当条件涉及“角度”和“到定点距离”时，引入极坐标系将会给问题的解决带来很大的方便．[典题例析](2015·唐山模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x ＋y ＝2.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆C 和直线l 的方程化为极坐标方程；(2)P 是l 上的点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程．解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入圆C 和直线l 的直角坐标方程得其极坐标方程为C ：ρ＝2，l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.(2)设P ，Q ，R 的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)， 则由|OQ |·|OP |＝|OR |2得ρρ1＝ρ22. 又ρ2＝2，ρ1＝2cos θ＋sin θ，所以2ρcos θ＋sin θ＝4，故点Q 轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．[类题通法]求曲线方程，常设曲线上任意一点P (ρ，θ)，利用解三角形的知识，列出等量关系式，特别是正、余弦定理用的较多．求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．[演练冲关](2014·江西高考)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4解析：选A 因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，且y ＝1－x ，所以ρsin θ＝1－ρcos θ，所以ρ(sin θ＋cos θ)＝1，ρ＝1sin θ＋cos θ.又0≤x ≤1，所以0≤y ≤1，所以点(x ，y )都在第一象限及坐标轴的正半轴上，则0≤θ≤π2.对应B 本课时跟踪检测（六十四）1．在极坐标系中，求直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标．解：ρ(3cos θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程为3x －y ＝2，即y ＝3x －2. ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ， 把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即x 2－23x ＋3＝0， 所以x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标(3，1)，化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6.2．在极坐标系中，求曲线ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3上任意两点间的距离的最大值．解：由ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3可得ρ2＝4ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝2ρcos θ＋23ρsinθ，即得x 2＋y 2＝2x ＋23y ，配方可得(x －1)2＋(y －3)2＝4，该圆的半径为2，则圆上任意两点间距离的最大值为4.3．若直线3x ＋4y ＋m ＝0与曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0没有公共点，求实数m 的取值范围．解：曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0的直角坐标方程是x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋2)2＝1.要使直线3x ＋4y ＋m ＝0与该曲线没有公共点，只要圆心(1，－2)到直线3x ＋4y ＋m ＝0的距离大于圆的半径即可， 即|3×1＋－＋m |5＞1，|m －5|＞5，解得，m ＜0或m ＞10.4．求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4经伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝12y 后的解析式．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝12y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝2y ′.将其代入y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，得2y ′＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·12x ′＋π4，即y ′＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ′＋π4.5．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4. 因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2.所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.6．在极坐标系中，曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ＝－2cos θ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1.(1)求曲线C 1和C 2的公共点的个数；(2)过极点作动直线与曲线C 2相交于点Q ，在OQ 上取一点P ，使|OP |·|OQ |＝2，求点P 的轨迹，并指出轨迹是什么图形．解：(1)C 1的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝1，它表示圆心为(－1,0)，半径为1的圆，C 2的直角坐标方程为x －3y －2＝0，所以曲线C 2为直线，由于圆心到直线的距离为d ＝|－1－2|2＝32＞1，所以直线与圆相离，即曲线C 1和C 2没有公共点．(2)设Q (ρ0，θ0)，P (ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ρρ0＝2，θ＝θ0，即⎩⎪⎨⎪⎧ρ0＝2ρ，θ0＝θ.①因为点Q (ρ0，θ0)在曲线C 2上， 所以ρ0cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π3＝1，②将①代入②，得2ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1，即ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3为点P 的轨迹方程，化为直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1，因此点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32为圆心，1为半径的圆．7．(2015·济宁模拟)已知直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝4和圆C ：ρ＝2k cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4(k ≠0)，若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.求实数k 的值并求圆心C 的直角坐标．解：∵ρ＝2k cos θ－2k sin θ， ∴ρ2＝2k ρcos θ－2k ρsin θ，∴圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2kx ＋2ky ＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －22k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋22k 2＝k 2， ∴圆心的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22k ，－22k .∵ρsin θ·22－ρcos θ·22＝4， ∴直线l 的直角坐标方程为x －y ＋42＝0， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪22k ＋22k ＋422－|k |＝2.即|k ＋4|＝2＋|k |， 两边平方，得|k |＝2k ＋3，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，k ＝2k ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，－k ＝2k ＋3，解得k ＝－1，故圆心C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22. 8．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)因为M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233. 所以P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33， 则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫233，π6， 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．第二节参数方程基础盘查一 参数方程与普通方程的互化 (一)循纲忆知了解参数方程，了解参数的意义，会进行参数方程与普通方程的互化.⎝ ⎛⎭⎪⎫⎩⎪⎨⎪⎧x＝f t ，y ＝g t t 为参数(二)小题查验 1．判断正误 (1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2－t(t ≥1)表示的曲线为直线( )(2)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋m ，y ＝sin θ－m ，当m 为参数时表示直线，当θ为参数时表示的曲线为圆( )答案：(1)× (2)×对应学生用书P1682．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 21＋t2，y ＝4－2t21＋t2(t 为参数)化为普通方程为________．解析：∵x ＝2t21＋t 2，y ＝4－2t 21＋t2＝＋t 2－6t21＋t2＝4－3×2t21＋t ＝4－3x .又x ＝2t21＋t2＝＋t 2－21＋t2＝2－21＋t 2∈[0,2)，∴x ∈[0,2)．∴所求的普通方程为3x ＋y －4＝0(x ∈[0,2))． 答案：3x ＋y －4＝0()x ∈[0，基础盘查二 常见曲线的参数方程 (一)循纲忆知1．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．2．掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题．过点P (x 0，y 0)且倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)(二)小题查验 1．判断正误(1)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 30°，y ＝1＋t sin 150°(t 为参数)的倾斜角α为30°.( )(2)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝5sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数且θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2表示的曲线为椭圆( )答案：(1)√ (2)×2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0≤θ≤π2和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t (t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．解析：由C 1得x 2＋y 2＝5，且⎩⎨⎧0≤x ≤5，0≤y ≤5，① 由C 2得x ＝1＋y,②∴由①②联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝5，x ＝1＋y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.答案：(2,1)3．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋at ，y ＝bt(t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)相切，则切线的倾斜角为________．解析：直线的普通方程为bx －ay －4b ＝0，圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝3，因为直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为3，从而有 3＝|2b －a ·0－4b |a 2＋b 2，即3a 2＋3b 2＝4b 2，所以b ＝±3a ，而直线的倾斜角α的正切值tan α＝ba，所以tan α＝±3，因此切线的倾斜角π3或2π3.答案：π3或2π3考点一 参数方程和普通方程的互化|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．参考方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．将参数方程化为普通方程需消去参数．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ft ，y ＝g t就是曲线的参数方程．对应学生用书P169[提醒] 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． 2．几种常见的参数方程 (1)圆的参数方程若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r ，则圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(2)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(3)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b tan θ(θ为参数)．(4)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．[题组练透]1．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3k1＋k2，y ＝6k21＋k 2；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ.解：(1)两式相除，得k ＝y2x ，将其代入得x ＝3·y2x1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2x 2， 化简得所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(y ≠6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ) 得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0,2]． 2．求曲线⎩⎨⎧x ＝23cos θ，y ＝32sin θ(θ为参数)中两焦点间的距离．解：曲线化为普通方程为y 218＋x 212＝1，∴c ＝6，故焦距为2 6.3．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t (t 为参数，t >0)，求曲线C 的普通方程．解：因为x 2＝t ＋1t －2，所以x 2＋2＝t ＋1t ＝y 3，故曲线C 的普通方程为3x 2－y ＋6＝0.[类题通法]参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形．考点二 直线的参数方程|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法 经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝t 1＋t 22；(2)|PM |＝|t 0|＝t 1＋t 22；(3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|.[提醒] 直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |＝|t |.[典题例析]设直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)．(1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率；(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围． 解：(1)由已知得直线l 经过的定点是P (3,4)，而圆C 的圆心是C (1，－1)， 所以，当直线l 经过圆C 的圆心时，直线l 的斜率为k ＝52.(2)法一：由圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ得圆C 的圆心是C (1，－1)，半径为2.由直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，知直线l 的普通方程为y －4＝k (x －3)(斜率存在)，即kx －y ＋4－3k ＝0.当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径， 即|5－2k |k 2＋1＜2，由此解得k ＞2120.即直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫2120，＋∞.法二：将圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ，化成普通方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝4，① 将直线l 的参数方程代入①式，得t 2＋2(2cos α＋5sin α)t ＋25＝0.②当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，方程②有两个不相等的实根，即Δ＝4(2cos α＋5sin α)2－100＞0，即20sin αcos α＞21cos 2α，两边同除以cos 2α，由此解得tan α＞2120，即直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫2120，＋∞.[类题通法]1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．2．对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt(t 为参数)．当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．[演练冲关]已知直线l ：x ＋y －1＝0与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点，求线段AB 的长度和点M (－1,2)到A ，B 两点的距离之积．解：因为直线l 过定点M ，且l 的倾斜角为3π4，所以它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos 3π4，y ＝2＋t sin 3π4(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，把它代入抛物线的方程，得t 2＋2t －2＝0，解得t 1＝－2＋102，t 2＝－2－102.由参数t 的几何意义可知|AB |＝|t 1－t 2|＝10，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝2.考点三 极坐标、参数方程的综合应用|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]极坐标与参数方程的综合应用规律1．化归思想的应用，即对于含有极坐标方程和参数的题目，全部转化为直角坐标方程后再求解．2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．[典题例析](2014·辽宁高考)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝34sin θ－2cos θ.[类题通法]涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．[演练冲关]1．(2015·大同调研)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t y ＝－1－35t (t为参数)，若以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)求直线l 被曲线C 所截得的弦长；(2)若M (x ，y )是曲线C 上的动点，求x ＋y 的最大值． 解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t y ＝－1－35t (t 为参数)，消去t ，可得3x ＋4y ＋1＝0.由于ρ＝ 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ－22sin θ， 即有ρ2＝ρcos θ－ρsin θ，则有x 2＋y 2－x ＋y ＝0， 其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，半径为r ＝22，圆心到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2＋19＋16＝110， 故弦长为2r 2－d 2＝212－1100＝75. (2)可设圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋22cos θy ＝－12＋22sin θ(θ为参数)，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋22cos θ，－12＋22sin θ，则x ＋y ＝22cos θ＋22sin θ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，由于θ ∈R ，则x ＋y 的最大值为1.2．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a ＞0)，过点P (－2，－4)的直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)与曲线C 相交于M ，N 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值．解：(1)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入ρsin 2θ＝2a cos θ，得y 2＝2ax (a ＞0)， ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)，消去t 得x －y －2＝0，∴曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程分别是y 2＝2ax (a ＞0)，x －y －2＝0. (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)代入y 2＝2ax ，整理得t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0. 设t 1，t 2是该方程的两根，则t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1·t 2＝8(4＋a )， ∵|MN |2＝|PM |·|PN |，∴(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝t 1·t 2， ∴8(4＋a )2－4×8(4＋a )＝8(4＋a )，∴a ＝1.1．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－3t ，y ＝4＋t(t 为参数)．以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的方程为ρ＝4sin θ，曲线C 1与C 2交于M ，N 两点，求线段MN 的长．对应A 本课时跟踪检测（六十五）解析：由题意得，C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝－3t ，y ＝4＋t转化为直角坐标方程为x ＋3y －43＝0，C 2的极坐标方程ρ＝4sin θ转化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝22，圆心(0,2)到直线x ＋3y －43＝0的距离为d ＝|0＋23－43|12＋32＝3， 所以|MN |＝222－32＝2.2．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．解：(1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标得P (0,4)， ∵P (0,4)满足方程x －y ＋4＝0，∴点P 在直线l 上．(2)法一：因为点Q 是曲线C 上的点，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，所以点Q 到直线l 的距离d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42(α∈R )所以当cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值 2.3．(2015·河南实验中学模拟)直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，M 是C 1上的动点，P 点满足OP ＝2OM ，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.解：(1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2.由于M 点在曲线C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，从而曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)．(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.4．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.5．(2014·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. 6．(2014·福建高考)已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． 解：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.故实数a 的取值范围为[－25，25]7．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.8．(2015·洛阳模拟)以平面直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α是参数)，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝2 3. (1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)设点P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值． 解：(1)∵直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝23，∴ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π6－sin θsin π6＝23，∴32x －12y ＝2 3. 即直线l 的直角坐标方程为3x －y －43＝0.由⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α得x 24＋y 23＝1. 即曲线C 的普通方程为x 24＋y 23＝1.(2)设点P (2cos α，3sin α)，则点P 到直线l 的距离d ＝|23cos α－3sin α－43|2＝|15α＋φ－43|2，其中tan φ＝12.当cos(α＋φ)＝－1时，d max ＝15＋432， 即点P 到直线l 的距离的最大值为15＋432.。

数学思想专项训练(一) 函数与方程思想一、选择题1．已知函数f (x )＝ln x －x －a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．(－∞，－1) C ．[－1，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：选B 函数f (x )＝ln x －x －a 的零点即关于x 的方程ln x －x －a ＝0的实根，将方程化为ln x ＝x ＋a ，令y 1＝ln x ，y 2＝x ＋a ，由导数知识可知当两曲线相切时有a ＝－1.若函数f (x )＝ln x －x －a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为(－∞，－1)．2．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)＜0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，则a 等于( )A ．2B ．－2C ．－12D.12解析：选B 根据不等式与对应方程的关系知－1，－12是一元二次方程ax 2＋(a －1)x －1＝0的两个根，所以－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1a ，所以a ＝－2，故选B. 3．(2015·天津六校联考)若等差数列{a n }满足a 21＋a 2100≤10，则S ＝a 100＋a 101＋…＋a 199的最大值为( )A ．600B ．500C ．400D ．200解析：选 B S ＝a 100＋a 101＋…＋a 199＝100a 100＋100×992d ＝100(a 1＋99d )＋100×992d ，即99d ＝S 150－23a 1，因为a 21＋a 2100≤10，即a 21＋(a 1＋99d )2≤10，整理得a 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 1＋S 1502≤10，即109a 21＋S 225a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1502－10≤0有解，所以Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 2252－4×109⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1502－10≥0，解得－500≤S ≤500，所以S max ＝500，故选B.4．已知f (x )＝log 2x ，x ∈[2,16]，对于函数f (x )值域内的任意实数m ，则使x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立的实数x 的取值范围为( )A ．(－∞，－2]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：选D ∵x ∈[2,16]，∴f (x )＝log 2x ∈[1,4]，即m ∈[1,4]．不等式x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立，即为m (x －2)＋(x －2)2＞0恒成立，设g (m )＝(x －2)m ＋(x －2)2，则此函数在[1,4]上恒大于0，所以⎩⎪⎨⎪⎧g ＞0，g ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋x －2＞0，x －＋x －2＞0，解得x ＜－2或x ＞2.5．(2015·黄冈质检)已知点A 是椭圆x 225＋y 29＝1上的一个动点，点P 在线段OA 的延长线上，且OA ·OP ＝48，则点P 的横坐标的最大值为( )A ．18B ．15C ．10D.152解析：选C 当点P 的横坐标最大时，射线OA 的斜率k ＞0，设OA ：y ＝kx ，k ＞0，与椭圆x 225＋y 29＝1联立解得x A ＝159＋25k 2.又OA ·OP ＝x A x P ＋k 2x A x P ＝48，解得x P ＝48＋k 2x A＝169＋25k 2＋k 2＝1659＋25k 2＋k 22，令9＋25k 2＝t ＞9，即k 2＝t －925，则x P ＝165t⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋16252＝165×25tt 2＋162＋32t＝801t ＋162t＋32≤80× 164＝10，当且仅当t ＝16，即k 2＝725时取等号，所以点P 的横坐标的最大值为10，故选C.6．(2015·杭州二模)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *)．若a 8a 7＜－1，则( )A ．S n 的最大值是S 8B ．S n 的最小值是S 8C ．S n 的最大值是S 7D ．S n 的最小值是S 7解析：选 D 由(n ＋1)S n ＜nS n ＋1得(n ＋1)n a 1＋a n2＜nn ＋a 1＋a n ＋12，整理得a n ＜a n ＋1，所以等差数列{a n }是递增数列，又a 8a 7＜－1，所以a 8＞0，a 7＜0，所以数列{a n }的前7项为负值，即S n 的最小值是S 7.故选D.二、填空题7．已知f (x )为定义在R 上的增函数，且对任意的x ∈R ，都有f [f (x )－2x]＝3，则f (3)＝________.解析：设f (x )－2x ＝t ，则f (t )＝3，f (x )＝2x＋t ， 所以2t ＋t ＝3，易得方程2t＋t ＝3有唯一解t ＝1， 所以f (x )＝2x＋1，所以f (3)＝9. 答案：98．已知奇函数f (x )的定义域为R ，当x ＞0时，f (x )＝2x －x 2.若x ∈[a ，b ]时，函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1b ，1a ，则ab ＝________.解析：由题意知a ＜b ，且1a ＞1b，则a ，b 同号，当x ＞0时，f (x )＝2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，若0＜a ＜b ，则1a≤1，即a ≥1.因为f (x )在[1，＋∞)上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f a ＝2a －a 2＝1a ，f b ＝2b －b 2＝1b，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1＋52，所以ab ＝1＋52.由f (x )是奇函数知，当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ，同理可知，当a ＜b ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝2a ＋a 2＝1a，fb ＝2b ＋b 2＝1b，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，a ＝－1－52，所以ab ＝1＋52.综上，ab ＝1＋52.答案：1＋529．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．解析：设5个班级的样本数据从小到大依次为0≤a ＜b ＜c ＜d ＜e .由平均数及方差的公式得a ＋b ＋c ＋d ＋e5＝7，a －2＋b －2＋c －2＋d －2＋e －25＝4.设a－7，b －7，c －7，d －7，e －7分别为p ，q ，r ，s ，t ，则p ，q ，r ，s ，t 均为整数，且⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＋r ＋s ＋t ＝0，p 2＋q 2＋r 2＋s 2＋t 2＝20.设f (x )＝(x －p )2＋(x －q )2＋(x －r )2＋(x －s )2＝4x 2－2(p ＋q ＋r ＋s )x ＋(p 2＋q 2＋r 2＋s 2)＝4x 2＋2tx ＋20－t 2，由(x －p )2，(x －q )2，(x －r )2，(x －s )2不能完全相同知f (x )＞0，则判别式Δ＜0，即4t 2－4×4×(20－t 2)＜0，解得－4＜t ＜4，所以－3≤t ≤3，故e 的最大值为10.答案：1010．(2015·东城期末)若函数f (x )＝m －x ＋3的定义域为[a ，b ]，值域为[a ，b ]，则实数m 的取值范围是________．解析：易知f (x )＝m －x ＋3在[a ，b ]上单调递减，因为函数f (x )的值域为[a ，b ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝b ，f b ＝a ，即⎩⎨⎧m －a ＋3＝b ，m －b ＋3＝a ，两式相减得，a ＋3－b ＋3＝a －b ＝(a ＋3)－(b＋3)＝(a ＋3)2－(b ＋3)2，所以a ＋3＋b ＋3＝1，因为a ＜b ，所以0≤a ＋3＜12，而m＝b ＋3＋a ＝a －a ＋3＋1，所以m ＝(a ＋3)－a ＋3－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋3－122－94，又0≤a ＋3＜12，所以－94＜m ≤－2. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2二、解答题11.如图，在平行四边形ABCD 中，BC ＝2，BD ⊥CD ，四边形ADEF为正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD .记CD ＝x ，V (x )表示四棱锥F ­ABCD 的体积．(1)求V (x )的表达式； (2)求V (x )的最大值．解：(1)∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD 且FA ⊥AD ，∴FA ⊥平面ABCD . ∵BD ⊥CD ，BC ＝2，CD ＝x . ∴FA ＝2，BD ＝4－x 2(0＜x ＜2)，S ▱ABCD ＝CD ·BD ＝x 4－x 2，∴V (x )＝13S ▱ABCD ·FA ＝23x 4－x 2(0＜x ＜2)．(2)V (x )＝23x 4－x 2＝23－x 4＋4x 2＝23－x 2－2＋4.∵0＜x ＜2，∴0＜x 2＜4，∴当x 2＝2，即x ＝2时，V (x )取得最大值，且V (x )max ＝43.12．设P 是椭圆x 2a2＋y 2＝1(a >1)短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求|PQ |的最大值．解：依题意可设P (0,1)，Q (x ，y )，则 |PQ |＝x 2＋y －2.又因为Q 在椭圆上，所以x 2＝a 2(1－y 2)．|PQ |2＝a 2(1－y 2)＋y 2－2y ＋1＝(1－a 2)y 2－2y ＋1＋a 2＝(1－a 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫y －11－a 22－11－a 2＋1＋a 2，因为|y |≤1，a >1，若a ≥2，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪11－a 2≤1，当y ＝11－a 2时，|PQ |取最大值a 2a 2－1a 2－1； 若1<a <2，则当y ＝－1时，|PQ |取最大值2，综上，当a ≥2时，|PQ |的最大值为a 2a 2－1a 2－1；当1<a <2时，|PQ |的最大值为2.数学思想专项训练(二) 转化与化归思想一、选择题1．已知函数f (x )＝ln x ＋2x，若f (x 2－4)＜2，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(2，5)C ．(－5，－2)D ．(－5，－2)∪(2，5)解析：选D 因为函数f (x )＝ln x ＋2x在定义域上单调递增，且f (1)＝ln 1＋2＝2，所以由f (x 2－4)＜2得f (x 2－4)<f (1)，所以0＜x 2－4＜1，解得－5＜x ＜－2或2＜x ＜ 5.2．已知函数f (x )＝a x和函数g (x )＝b x都是指数函数，则“f (2)＞g (2)”是“a ＞b ”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由于函数f (x )＝a x和函数g (x )＝b x都是指数函数，则a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，f (2)＞g (2)等价于a 2＞b 2，等价于a ＞b ，所以“f (2)＞g (2)”是“a ＞b ”的充要条件．故选C.3．如图所示，在棱长为5的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，EF 是棱AB 上的一条线段，且EF ＝2，点Q 是A 1D 1的中点，点P 是棱C 1D 1上的动点，则四面体PQEF 的体积( )A ．是变量且有最大值B ．是变量且有最小值C ．是变量有最大值和最小值D ．是常量解析：选D 点Q 到棱AB 的距离为常数，所以△EFQ 的面积为定值．由C 1D 1∥EF ，可得棱C 1D 1∥平面EFQ ，所以点P 到平面EFQ 的距离是常数．于是四面体PQEF 的体积为常数．4．已知点P在直线x ＋y ＋5＝0上，点Q 在抛物线y 2＝2x 上，则|PQ |的最小值为( ) A.924 B ．2 2 C.322D. 2解析：选A 设与直线x ＋y ＋5＝0平行且与抛物线y 2＝2x 相切的直线方程是x ＋y ＋m ＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋m ＝0，y 2＝2x消去x 得y 2＋2y ＋2m ＝0，令Δ＝4－8m ＝0，得m ＝12，因此|PQ |的最小值为直线x ＋y ＋5＝0与直线x ＋y ＋12＝0之间的距离，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－122＝924.5．在平面直角坐标系中，若与点A (1,1)的距离为1，且与点B (2，m )的距离为2的直线l 恰有两条，则实数m 的取值范围是( )A ．[1－22，1＋22]B ．(1－22，1＋22)C ．[1－22，1)∪(1,1＋22]D ．(1－22，1)∪(1,1＋22)解析：选D 由题意可得，以点A (1,1)为圆心、1为半径的圆与以点B (2，m )为圆心、2为半径的圆相交，则1＜1＋(m －1)2＜9，得1－22＜m ＜1＋2 2 且m ≠1.6．若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，4] C ．(0，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：选B 2x ln x ≥－x 2＋ax －3恒成立，即a ≤2ln x ＋x ＋3x恒成立．设h (x )＝2ln x＋x ＋3x，则h ′(x )＝x ＋x －x2(x ＞0)．当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.所以a ≤h (x )min ＝4.二、填空题7．已知f (x )是定义域为实数集R 的偶函数，对任意的x 1≥0，x 2≥0，若x 1≠x 2，则f x 2－f x 1x 2－x 1＜0.如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝34，4f ⎝⎛⎭⎫log 18x ＞3，那么x 的取值范围为________．解析：依题意得，函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数，又f (x )是定义域为实数集R 的偶函数，所以函数f (x )在(－∞，0)上是增函数，则4f ⎝⎛⎭⎫log 18x ＞3等价于f ⎝⎛⎭⎫log 18x ＞34，即f ⎝⎛⎭⎫log 18x ＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，所以⎪⎪⎪⎪log 18x ＜13，解得12＜x ＜2.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，28．已知tan(α＋β)＝1，tan(α－β)＝2，则sin 2αcos 2β＝________.解析：sin 2αcos 2β＝α＋β＋α－βα＋β－α－β＝α＋βα－β＋α＋βα－βα＋βα－β＋α＋βα－β＝α＋β＋α－β1＋α＋βα－β＝1.答案：19．(2015·西城期末)已知命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋x 0＋12≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：因为命题p 是假命题，所以綈p 为真命题，即∀x ∈R ，ax 2＋x ＋12＞0恒成立．当a ＝0时，x ＞－12，不满足题意；当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1－4×12×a ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0a ＞12，所以a ＞12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞10．若椭圆C 的方程为x 25＋y 2m＝1，焦点在x 轴上，与直线y ＝kx ＋1总有公共点，那么m的取值范围为________．解析：由椭圆C 的方程及焦点在x 轴上，知0＜m ＜5. 又直线y ＝kx ＋1与椭圆总有公共点，直线恒过点(0,1)， 则定点(0,1)必在椭圆内部或边界上． 则025＋12m ≤1，即m ≥1. 故m 的取值范围为[1,5)． 答案：[1,5) 三、解答题11．(2015·潍坊二检)设奇函数f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (－1)＝－1，若函数f (x )≤t 2－2at ＋1(其中t ≠0)对所有的x ∈[－1,1]都成立，当a ∈[－1,1]时，求t 的取值范围．解：因为奇函数f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (－1)＝－1，所以最大值为f (1)＝1，要使f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，则1≤t 2－2at ＋1，即t 2－2at ≥0.令g (a )＝－2ta ＋t 2，可知⎩⎪⎨⎪⎧g －，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧2t ＋t 2≥0，－2t ＋t 2≥0，解得t ≥2或t ≤－2.故t 的取值范围为(－∞，－2]∪[2，＋∞)12．设P 是双曲线x 23－y 2＝1右支上的一个动点，F 是双曲线的右焦点，已知A 点的坐标是(3,1)，求|PA |＋|PF |的最小值．解：设F ′为双曲线的左焦点， 则|PF ′|－|PF |＝23， |PF |＝|PF ′|－23，∴|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PF ′|－23，原问题转化成了求|PA |＋|PF ′|的最小值问题，(如图)(|PA |＋|PF ′|)min ＝|AF ′|＝26.∴(|PA |＋|PF |)min ＝(|PA ＋|PF ′|)min －2 3 ＝26－2 3.数学思想专项训练(三) 分类讨论思想一、选择题1．已知集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |－a ＜x ≤a ＋3}．若B ∩A ＝B ，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，－1 B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32C.(]－∞，－1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞解析：选C 因为B ∩A ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，即a ≤－32；②当B ≠∅时，要使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＜a ＋3，－a ≥1，a ＋3＜5，解得－32＜a ≤－1.由①②可知，a 的取值范围为(－∞，－1]．2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c x ，x ＞，若f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，则方程f (x )＝x 的解集为( )A.{}－2B.{}2C.{}－2，2D.{}－2，1，2解析：选 C 当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c ，因为f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，则⎩⎪⎨⎪⎧－2－2b ＋c ＝c ，－2－b ＋c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝－2，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －x ，x ＞当x ≤0时，由f (x )＝x ，得x 2＋2x －2＝x ，解得x＝－2或x ＝1(舍去)．当x ＞0时，由f (x )＝x ，得x ＝2.所以方程f (x )＝x 的解集为{－2,2}．3.(2015·成都一诊)如图，函数y ＝f (x )的图象为折线ABC ，设g (x )＝f [f (x )]，则函数y ＝g (x )的图象为( )解析：选A 由题意可知函数f (x )为偶函数，由A (－1，－1)，B (0,1)，C (1，－1)可知，直线BC 的方程为y ＝－2x ＋1，直线AB 的方程为y ＝2x ＋1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋x ，2x ＋－1≤x讨论x ≥0的情况，若0≤x ≤12，解得0≤f (x )≤1，则g (x )＝f [f (x )]＝－2(－2x ＋1)＋1＝4x －1；若12＜x ≤1，解得－1≤f (x )＜0，则g (x )＝f [f (x )]＝2(－2x ＋1)＋1＝－4x ＋3， 所以当x ∈[0,1]时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤12，－4x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜x ≤1，故选A.4．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋2，n 为奇数，－n ＋2，n 为偶数，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100的值为( )A ．100B ．－100C ．102D ．101解析：选A 当n 为奇数时，a n ＝(n ＋1)2－(n ＋2)2＝－(2n ＋3)；当n 为偶数时，a n ＝－(n ＋1)2＋(n ＋2)2＝2n ＋3，所以a n ＝(－1)n(2n ＋3)．所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝－5＋7－9＋11－…－201＋203＝50×2＝100.5．关于x 的不等式x －a x ＋1＞0的解集为P ，不等式log 2(x 2－1)≤1的解集为Q .若Q ⊆P ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．[－1,1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选B 对a 进行分类讨论，当a ≥－1时，P ＝(－∞，－1)∪(a ，＋∞)；当a ＜－1时，P ＝(－∞，a )∪(－1，＋∞)．对于log 2(x 2－1)≤1，有⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≤2，x 2－1＞0解得⎩⎨⎧－3≤x ≤3，x ＜－1或x ＞1，所以Q ＝[－3，－1)∪(1，3]．因为Q ⊆P ，所以P ＝(－∞，－1)∪(a ，＋∞)，从而－1≤a ≤1.6．三棱柱底面内的一条直线与棱柱的另一底面的三边及三条侧棱所在的6条直线中，能构成异面直线的条数的集合是( )A ．{4,5}B ．{3,4,5}C ．{3,4,6}D ．{3,4,5,6}解析：选D 如图所示，当直线l 在图(1)、(2)、(3)、(4)中所示的位置时，与l 异面的直线分别有3条、4条、5条、6条，故能构成异面直线的条数的集合是{3,4,5,6}．二、填空题7．若函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为________． 解析：∵f ′(x )＝1＋a cos x ，∴要使函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上单调递增，则1＋a cosx ≥0对任意实数x 都成立．∵－1≤cos x ≤1，①当a ＞0时，－a ≤a cos x ≤a ，∴－a ≥－1，∴0＜a ≤1； ②当a ＝0时，显然成立；③当a ＜0时，a ≤a cos x ≤－a ，∴a ≥－1，∴－1≤a <0. 综上，－1≤a ≤1. 答案：[－1,1]8．已知在等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是_____________． 解析：因为a 2＝1，所以S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋q ＋1q ＝1＋q ＋1q，所以当公比q ＞0时，S 3＝1＋q ＋1q≥1＋2q ·1q ＝3；当公比q ＜0时，S 3＝1－⎝⎛⎭⎪⎫－q －1q ≤1－2－q⎝ ⎛⎭⎪⎫－1q ＝－1，所以S 3的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，－1]∪[3，＋∞)9．定义运算：a b ＝a2－b ，若关于x 的不等式xx ＋1－m )＞0的解集是[－3,3]的子集，则实数m 的取值范围是________．解析：由xx ＋1－m )＞0知，x 2－x ＋1－m＞0，即x (x －m －1)＜0.分类讨论得，当原不等式的解集为空集时，m ＋1＝0，即m ＝－1；当m ＋1＞0，即m ＞－1时，原不等式的解集(0，m ＋1)⊆[－3,3]，则m ＋1≤3，解得m ≤2，所以m ∈(－1,2]；当m ＋1＜0，即m ＜－1时，原不等式的解集(m ＋1,0)⊆[－3,3]，则m ＋1≥－3，解得m ≥－4，所以m ∈[－4，－1)．综上所述，实数m 的取值范围是[－4,2]．答案：[－4,2]10．已知函数f (x )＝4x 2－4ax ，x ∈[0,1]，关于x 的不等式|f (x )|＞1的解集为空集，则满足条件的实数a 的取值范围是________．解析：由题意知函数f (x )的对称轴为x ＝a2.①当a 2≤0，即a ≤0时，函数f (x )的取值范围为[0,4－4a ]，当4－4a ≤1，即a ≥34时，不等式|f (x )|＞1的解集为空集，a 不存在；②当a 2≥1，即a ≥2时，函数f (x )的取值范围为[4－4a,0]，当4－4a ≥－1，即a ≤54时，不等式|f (x )|＞1的解集为空集，a 不存在；③当0＜a 2≤12，即0＜a ≤1时，函数f (x )的取值范围为[－a 2,4－4a ]，当－a 2≥－1,4－4a ≤1，即34≤a ≤1时，不等式|f (x )|＞1的解集为空集，所以34≤a ≤1；④当12＜a 2＜1，即1＜a ＜2时，函数f (x )的取值范围为[－a 2,0]，当－a 2≥－1，即－1≤a ≤1时，不等式|f (x )|>1的解集为空集，a 不存在．综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 三、解答题11．在公差d ＜0的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |的值．解：由已知可得(2a 2＋2)2＝5a 1a 3，即4(a 1＋d ＋1)2＝5a 1(a 1＋2d )⇒(11＋d )2＝25(5＋d )⇒121＋22d ＋d 2＝125＋25d ⇒d 2－3d －4＝0⇒d ＝4(舍去)或d ＝－1，所以a n ＝11－n ，当1≤n ≤11时，a n ≥0，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝n＋11－n2＝n－n2；当n ≥12时，a n ＜0，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11－(a 12＋a 13＋…＋a n )＝2(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11)－(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )＝2×－2－n－n 2＝n 2－21n ＋2202.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧n －n 2，1≤n ≤11，n 2－21n ＋2202，n ≥12.12．(2015·唐山统一考试)已知函数f (x )＝exx e x ＋1.(1)证明：0＜f (x )≤1； (2)当x ＞0时，f (x )＞1ax ＋1，求a 的取值范围． 解：(1)证明：设g (x )＝x e x ＋1，则g ′(x )＝(x ＋1)e x. 当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减； 当x ∈(－1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增． 所以g (x )≥g (－1)＝1－e －1＞0. 又e x＞0，故f (x )＞0. f ′(x )＝ex－e xx e x ＋2.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． 所以f (x )≤f (0)＝1. 综上，有0＜f (x )≤1.(2)①若a ＝0，则x >0时，f (x )＜1＝1ax 2＋1，不等式不成立． ②若a ＜0，则当0＜x ＜1－a时，1ax 2＋1＞1，不等式不成立． ③若a ＞0，则f (x )＞1ax 2＋1等价于(ax 2－x ＋1)e x－1＞0.(*) 设h (x )＝(ax 2－x ＋1)e x －1，则h ′(x )＝x (ax ＋2a －1)e x.若a ≥12，则当x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，h (x )>h (0)＝0.若0<a <12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－2a a 时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，h (x )＜h (0)＝0.不等式不恒成立．于是，若a ＞0，不等式(*)成立当且仅当a ≥12.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.数学思想专项训练(四) 数形结合思想一、选择题1．已知函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，且f(x＋1)为奇函数，当x＞1时，f(x)＝2x2－12x＋16，则直线y＝2与函数f(x)的图象的所有交点的横坐标之和为( ) A．5 B．4C．2 D．1解析：选A 由于f(x＋1)为奇函数，其图象向右平移1个单位长度后得到f(x)的图象，因此函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，如图所示，由对称性可得x2＋x3＝6，易知x1＝－1，故x1＋x2＋x3＝5.故选A.2．(2015·揭阳一模)设点P是函数y＝－4－x－2的图象上的任意一点，点Q(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为( )A.855－2 B. 5C.5－2D.755－2解析：选C 如图所示，点P在半圆C(实线部分)上，且由题意知，C(1,0)，点Q在直线l：x－2y－6＝0上．过圆心C作直线l的垂线，垂足为A，则|CA|＝5，|PQ|min＝|CA|－2＝5－2.3．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )A．1 B．2C. 2D.22解析：选C 因为(a －c )·(b －c )＝0， 所以(a －c )⊥(b －c )．如图所示，设OC ＝c ，OA ＝a ，OB ＝b ，CA ＝a －c ，CB ＝b －c ， 即AC ⊥BC ，又OA ⊥OB ， 所以O ，A ，C ，B 四点共圆．当且仅当OC 为圆的直径时，|c |最大， 且最大值为 2.4．已知y ＝f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝－x 2＋2x ，则满足f (f (a ))＝12的实数a的个数为( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：选A 由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0，其图象如图所示，令t ＝f (a )，则t ≤1，令f (t )＝12，解得t ＝1－22或t ＝－1±22，即f (a )＝1－22或f (a )＝－1±22，由数形结合得，共有8个交点．故选A.5．若直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且仅有两个公共点，则实数b 的取值范围是( ) A ．(－2，2) B ．(－2，1]C ．(－2，－1]D ．(－2，－1)解析：选C 作出曲线x ＝1－y 2的图形，如图所示，由图形可得，当直线y ＝x ＋b 在直线a 和c 之间变化时，满足题意，同时，当直线在a 的位置时也满足题意，所以b 的取值范围是(－2，－1]．6．(2015·温州十校联考)已知点A ∈平面α，点B ，C 在α的同侧，AB ＝5，AC ＝22，AB 与α所成角的正弦值为0.8，AC 与α所成角的大小为45°，则BC 的取值范围是( )A ．[5，29 ]B ．[37，61 ]C ．[5，61 ]D ．[5，29 ]∪[37，61 ]解析：选A 作BB1⊥α于点B 1，CC 1⊥α于点C 1，当点A ，B 1，C 1不在一条直线上时，如图所示，在Rt△ABB 1中，∵AB ＝5，sin ∠BAB 1＝0.8，∴BB 1＝4，AB 1＝3，在Rt△ACC 1中，∵AC ＝22，∠CAC 1＝45°，∴AC 1＝CC 1＝2，过点C 作CD ⊥BB 1于点D ，则CD ＝B 1C 1.在△AB 1C 1中，∵AB 1＝3，AC 1＝2，∴B 1C 1∈(1,5)，∴CD ∈(1,5)，则BC ＝BD 2＋CD 2∈(5，29)．当B 1在AC 1的延长线上时，B 1C 1＝1，BC ＝5；当B 1在C 1A 的延长线上时，B 1C 1＝5，BC ＝29，∴BC ∈[5，29 ]．二、填空题7．已知函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x ＋1.设函数g (x )＝f (t －x )－f (x )的零点为x 0，且x 0∈[1,2]，则非零实数t 的取值范围是________．解析：由题意知只需函数y ＝f (x )与函数y ＝f (t －x )的图象的交点的横坐标x 0∈[1,2]即可，由于函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x ＋1，所以y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，而函数y ＝f (t －x )的图象可由函数y ＝f (x )的图象平移得到，数形结合得2≤t ≤4.答案：[2,4]8．(2015·合肥二模)设|AB |＝2，|AC |＝3，∠BAC ＝60°，CD ＝2BC ，AE ＝x AD ＋(1－x )AB ，x ∈[0,1]，则AE 在AC 上的投影的取值范围是________．解析：由AE ＝x AD ＋(1－x )AB ，x ∈[0,1]，可知B ，D ，E 三点共线，且E 点在线段BD 上，如图所示．因为E 点在线段BD 上，所以AE 在AC 上的投影d 的取值范围|AF |≤d ≤|AG |，而|AF |＝|AB |·cos60°＝2×12＝1，|CG |＝2|CF |＝2·(3－1)＝4，|AG |＝|CG |＋|AC |＝4＋3＝7，所以d ∈[1,7]．答案：[1,7]9．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，以点O 为圆心，a为半径作圆M .若过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，0作圆M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为________． 解析：设切点为A ，如图所示，切线AP ，PB 互相垂直，又半径OA垂直于AP ，所以△OPA 为等腰直角三角形，可得2a ＝a 2c ，所以e ＝c a ＝22.答案：2210．已知函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[a ，b ]的值域为[－1,3]，则b －a 的取值范围是________． 解析：作出函数f (x )＝x 2－2x 的图象如图所示，因为f (x )的值域为[－1,3]，所以①a ＝－1，b ∈[1,3]，此时b －a ∈[2,4]；②b ＝3，a ∈[－1,1]，此时b －a ∈[2,4]．综上所述，b －a 的取值范围是[2,4]．答案：[2,4] 三、解答题11．求y ＝1＋sin x 3＋cos x的值域．解：1＋sin x3＋cos x 可理解为点P (－cos x ，－sin x )与点C (3,1)连线的斜率，点P (－cos x ，－sin x )在单位圆上，如图所示．故t ＝1＋sin x 3＋cos x 满足k CA ≤t ≤k CB ，设过点C (3,1)的直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k |k 2＋1≤1，解得0≤k ≤34.从而值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34.12．某校高一(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图．(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；(2)求分数在[80,90)之间的频率，并计算频率分布直方图中[80,90)间矩形的高； (3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90,100]之间的概率．解：(1)分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为20.08＝25. (2)分数在[80,90)之间的频数为25－22＝3；频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为325÷10＝0.012. (3)将[80,90)之间的3个分数编号为a 1，a 2，a 3，[90,100]之间的2个分数编号为b 1，b 2，在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，共10个，其中，至少有一个在[90,100]之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是710＝0.7.多题一法专项训练(一) 配方法一、选择题1．在正项等比数列{a n }中，a 1·a 5＋2a 3·a 5＋a 3·a 7＝25，则a 3＋a 5为( ) A ．5 B ．25 C ．15D ．10解析：选A ∵a 1a 5＝a 23，a 3a 7＝a 25， ∴a 23＋2a 3·a 5＋a 25＝25.即(a 3＋a 5)2＝25. 又a n >0，∴a 3＋a 5＝5.2.已知菱形ABCD 的边长为233，∠ABC ＝60°，将菱形ABCD 沿对角线AC 折成如图所示的四面体，点M 为AC 的中点，∠BMD ＝60°，P 在线段DM 上，记DP ＝x ，PA ＋PB ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )解析：选D 由题意可知AM ＝12AB ＝33，BM ＝MD ＝1，∵DP ＝x ，∴MP ＝1－x ，在Rt △AMP中，PA ＝AM 2＋MP 2＝13＋－x2，在△BMP 中，由余弦定理得PB ＝BM 2＋MP 2－2BM ·MP cos 60°＝1＋－x 2－－x ＝x 2－x ＋1，∴y ＝PA ＋PB ＝13＋x －2＋x 2－x ＋1＝13＋x －2＋34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122(0≤x ≤1)，∵当0≤x ≤12时，函数y 单调递减，当x ≥1时，函数y 单调递增，∴对应的图象为D.3．定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0,1]时，f (x )＝x 2－x ，则当x ∈(－1,0]时，f (x )的值域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，0B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，－14D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 解析：选A 若x ∈(－1,0]，则x ＋1∈(0,1]，所以f (x ＋1)＝(x ＋1)2－(x ＋1)＝x 2＋x .又f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝12(x 2＋x )＝12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122－18，所以当x ＝－12时，f (x )min ＝－18；当x ＝0时，f (x )max ＝0.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，log 2x ，x ＞0，若对任意给定的y ∈(2，＋∞)，都存在唯一的x 0∈R ，满足f (f (x 0))＝2a 2y 2＋ay ，则正实数a 的最小值是( )A.14 B.12 C ．2D ．4解析：选A 当x ≤0时，f (x )＝2x，值域为(0,1]，所以f (f (x ))＝log 22x＝x ；当0＜x ≤1时，f (x )＝log 2x ，值域为(－∞，0]，所以f (f (x ))＝2log 2x ＝x ；当x ＞1时，f (x )＝log 2x ，值域为(0，＋∞)，所以f (f (x ))＝log 2 (log 2x )，故f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤1，log 22x ，x ＞1，当x ≤1时，f (f (x ))的值域为(－∞，1]；当x ＞1时，f (f (x ))的值域为R ，因为a ＞0，令g (y )＝2a 2y 2＋ay ＝2a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋14a 2－18，对称轴y ＝－14a ＜0＜2，所以g (y )在(2，＋∞)上是增函数，则g (y )在(2，＋∞)上的值域为(g (2)，＋∞)，即(8a 2＋2a ，＋∞)，则8a 2＋2a ≥1，解得a ≥14，所以正实数a 的最小值是14.故选A.5．数列{a n }中，如果存在a k ，使得a k ＞a k －1且a k ＞a k ＋1成立(其中k ≥2，k ∈N *)，则称a k为数列{a n }的峰值．若a n ＝－3n 2＋15n －18，则{a n }的峰值为( )A ．0B ．4 C.133D.163解析：选A 因为a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，且n ∈N *，所以当n ＝2或n ＝3时，a n 取最大值，最大值为a 2＝a 3＝0.故选A.6．已知sin 4α＋cos 4α＝1，则sin α＋cos α的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1D ．0解析：选C ∵sin 4α＋cos 4α＝1， ∴(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α＝1. ∴sin αcos α＝0.又(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1， ∴sin α＋cos α＝±1. 二、填空题7．(2015·合肥一模)若二次函数f (x )＝－x 2＋4x ＋t 图象的顶点在x 轴上，则t ＝________.解析：由于f (x )＝－x 2＋4x ＋t ＝－(x －2)2＋t ＋4图象的顶点在x 轴上，所以f (2)＝t ＋4＝0，故t ＝－4.答案：－48．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是________________．解析：由于对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，则f (x )的对称轴为x ＝1，所以a ＝2，f (x )＝－x 2＋2x ＋b 2－b ＋1＝－(x －1)2＋b 2－b ＋2，则f (x )在区间[－1,1]上单调递增，当x ∈[－1,1]时，要使f (x )＞0恒成立，只需f (－1)＞0，即b 2－b －2＞0，则b ＜－1或b ＞2.答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)9．在等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－12，用T n 表示它的前n 项之积，即T n ＝a 1·a 2·…·a n ，则T 1，T 2，…，T n 中最大的是________．解析：由题意知a n ＝a 1qn －1＝29·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·210－n，所以T n ＝a 1·a 2·…·a n ＝(－1)0＋1＋2＋…＋(n －1)·29＋8＋…＋(10－n )＝(－1)12n n (-)·2192n n(-)，因为－n n2＝－12(n 2－19n )＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1922＋1928，n ∈N *，所以当n ＝9或10时，－n n2取得最大值，要使T n 最大，则需(－1)12n n (-)＞0，所以n ＝9时，T n 最大．答案：T 910．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP ·BP 有最小值，则P 点的坐标是________．解析：设P 点坐标为(x,0)，则AP ＝(x －2，－2)，BP ＝(x －4，－1)． AP ·BP ＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1. 当x ＝3时，AP ·BP 有最小值1. ∴此时点P 坐标为(3,0)． 答案：(3,0) 三、解答题11.过点P (－2,1)作两条斜率互为相反数的直线，分别与抛物线x2＝4y 交于A ，B 两点，若直线AB 与圆C ：x 2＋(y －1)2＝1交于不同两点M ，N ，求|MN |的最大值．解：设直线PA 的斜率为k ，A (x A ，y A )，则直线PA 的方程为y －1＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y －1＝kx ＋得x 2－4kx －8k －4＝0，所以x A －2＝4k ，则x A ＝4k ＋2，所以点A (4k ＋2，(2k ＋1)2)，同理可得B (－4k ＋2，(－2k ＋1)2)，所以直线AB 的斜率k AB ＝k ＋2－－2k ＋24k ＋2－－4k ＋＝1，设直线AB 的方程为y ＝x ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y －2＝1，y ＝x ＋b 得2x 2＋2(b －1)x ＋b 2－2b ＝0，由于AB 与圆C 交于不同的两点，所以Δ＞0，即1－2＜b ＜2＋1.则|MN |＝2·b －2－b 2－2b＝2·－b 2＋2b ＋1＝2·－b －2＋2≤2，故|MN |的最大值是2.12．(2015·湖北三校联考)已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(sin B,1－cos B )与向量n ＝(2,0)的夹角θ的余弦值为12.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的范围．解：(1)∵m ＝(sin B,1－cos B )，n ＝(2,0)， ∴m·n ＝2sin B ， 又|m |＝sin 2B ＋1－cos B2＝2－2cos B＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin B 2，∵0＜B ＜π，∴0＜B 2＜π2，∴sin B 2＞0，∴|m |＝2sin B2.而|n |＝2， ∴cos θ＝m·n |m||n|＝2sin B 4sinB 2＝cos B 2＝12，∴B 2＝π3，∴B ＝2π3. (2)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac≥(a ＋c )2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝34(a ＋c )2，当且仅当a ＝c 时取等号，∴(a ＋c )2≤4，a ＋c ≤2，又a ＋c ＞b ＝3， ∴a ＋c ∈(3，2]．多题一法专项训练(二) 换元法一、选择题1．若f (ln x )＝3x ＋4，则f (x )的表达式为( ) A ．f (x )＝3ln x B ．f (x )＝3ln x ＋4 C ．f (x )＝3e xD ．f (x )＝3e x＋4解析：选D 令ln x ＝t ，则x ＝e t，故f (t )＝3e t＋4， 得f (x )＝3e x＋4，故选D.2．函数y ＝sin x cos x ＋sin x ＋cos x 的最大值为( ) A.12＋ 2 B.2－12C ．2 2D.22解析：选A 令t ＝sin x ＋cos x ，t ∈[－2，2]， 则y ＝12t 2＋t －12＝12(t ＋1)2－1，t ＝2时，y max ＝12＋ 2.3．已知函数f (x )＝4x－2xt ＋t ＋1在区间(0，＋∞)上的图象恒在x 轴上方，则实数t 的取值范围是( )A ．(2＋22，＋∞)B ．(－∞，2＋22)C ．(0,2＋22)D ．(2＋22，8)解析：选B 令m ＝2x (m >1)，则问题转化为函数f (m )＝m 2－mt ＋t ＋1在区间(1，＋∞)上的图象恒在x 轴的上方，即Δ＝t 2－4(t ＋1)<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，t2<1，1－t ＋t ＋1>0，解得t <2＋2 2.即实数t 的取值范围是(－∞，2＋22)．4．函数y ＝3x ＋2－42－x 的最小值为( ) A ．－8 B ．8 C ．－10D ．10解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，2－x ≥0，解得－2≤x ≤2，所以函数的定义域为[－2,2]．因为(x ＋2)2＋(2－x )2＝4，故可设⎩⎨⎧x ＋2＝2sin θ，2－x ＝2cos θ，⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 则y ＝3×2sin θ－4×2cos θ＝6sin θ－8cos θ＝10sin(θ－φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos φ＝35，sin φ＝45.因为θ∈0，π2，所以θ－φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－φ，π2－φ.所以当θ＝0时，函数取得最小值10sin(－φ)＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－8. 5．(2015·天津六校联考)对于函数f (x )＝4x－m ·2x ＋1，若存在实数x 0，使得f (－x 0)＝－f (x 0)成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)解析：选B 若存在实数x 0，使得f (－x 0)＝－f (x 0)成立，即4－x 0－m ·2－x 0＋1＝－4x 0＋m ·2x＋1，所以14x 0＋4x 0＝2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＋2x 0，令t ＝2x 0(t ＞0)，则1t 2＋t 2＝2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋t ，令λ＝1t ＋t (λ≥2)，所以2m ＝λ－2λ，令g (λ)＝λ－2λ(λ≥2)，易知g (λ)在区间[2，＋∞)上单调递增，所以2m ≥2－22＝1，故m ≥12.故选B.6．已知向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2α)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m2＋sin α，其中λ，m ，α为实数．若a ＝2b ，则λm的取值范围是( )A ．[－6,1]B ．[4,8]C ．(－6,1]D ．[－1,6]解析：选A 由题知，2b ＝(2m ，m ＋2sin α)，所以λ＋2＝2m ，且λ2－cos 2α＝m ＋2sin α，于是2λ2－2cos 2α＝λ＋2＋4sin α，即2λ2－λ＝－2sin 2α＋4sin α＋4＝－2(sin α－1)2＋6，故－2≤2λ2－λ≤6，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ2－λ≤6，2λ2－λ≥－2，解得－32≤λ≤2，则λm ＝λλ2＋1＝2－4λ＋2∈[－6,1]．选A.二、填空题7．已知不等式x >ax ＋32的解集是(4，b )，则a ＝________，b ＝________.解析：令x ＝t ，则t >at 2＋32，即at 2－t ＋32<0.其解集为(2，b )，故⎩⎪⎨⎪⎧2＋b ＝1a，2·b ＝32a.解得a ＝18，b ＝36.答案：18368．(2015·苏锡常镇二调)已知a 为正的常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x 2a对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值为________．解析：原不等式即x 2a ≥1＋x 2－1＋x (*)，令1＋x ＝t ，t ≥1，则x ＝t 2－1，所以(*)即t 2－2a≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝t －22对t ≥1恒成立，所以t ＋2a≥12对t ≥1恒成立，又a 为正的常数，所以a ≤[2(t ＋1)2]min ＝8，故a 的最大值是8.答案：89．若实数a ，b ，c 满足2a＋2b＝2a ＋b,2a＋2b ＋2c ＝2a ＋b ＋c，则c 的最大值是________．解析：由基本不等式得，2a＋2b≥22a·2b＝2×22a b +，即2a ＋b≥2×22a b +，所以2a ＋b≥4.令t ＝2a ＋b，由2a ＋2b ＝2a ＋b，2a ＋2b ＋2c ＝2a ＋b ＋c可得，2a ＋b＋2c＝2a ＋b 2c，所以2c＝tt －1＝1＋1t －1，由t ≥4得，1＜tt －1≤43，即1＜2c≤43，所以0＜c ≤log 243＝2－log 23，所以c 的最大值是2－log 23.答案：2－log 2310.如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD ，它的下底AB 为圆O的直径，上底CD 的端点在圆周上，若双曲线以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形ABCD 的周长最大时，双曲线的实轴长为________．解析：连接OD ，DB ，作DH ⊥AB ，设∠AOD ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则CD ＝4cos θ，在△AOD中，由余弦定理可得AD ＝8－8cos θ，所以梯形的周长为l ＝28－8cos θ＋4cos θ＋4＝42·1－cos θ＋4cos θ＋4，令1－cos θ＝t ∈(0,1)，则cos θ＝1－t 2，l ＝42t ＋4(1－t 2)＋4＝4(－t 2＋2t ＋2)，当t ＝22，即cos θ＝12时周长取得最大值，此时AD ＝2，DB ＝23，所以实轴长为DB －DA ＝23－2.答案：23－2 三、解答题11．已知函数y ＝－sin 2x ＋a sin x －a 4＋12的最大值为2，求a 的值．解：令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，所以y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋14(a 2－a ＋2)，对称轴为t ＝a 2.(1)当－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2时，y max ＝14(a 2－a ＋2)＝2，得a ＝－2或a ＝3(舍去)．(2)当a 2>1，即a >2时，函数y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋14(a 2－a ＋2)在[－1,1]上单调递增，所以由y max ＝－1＋a －14a ＋12＝2，得a ＝103.(3)当a 2<－1，即a <－2时，函数y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋14(a 2－a ＋2)在[－1,1]上单调递减，所以由y max ＝－1－a －14a ＋12＝2，得a ＝－2(舍去)．综上，可得a ＝－2或a ＝103.12．(2015·济南期末)已知函数f (x )＝4x＋m2x 是R 上的奇函数．(1)求m 的值； (2)设g (x )＝2x ＋1－a .若函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点．求实数a 的取值范围．解：(1)由函数f (x )是R 上的奇函数可知，f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1. (2)函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点． 即方程4x－12x ＝2x ＋1－a 至少有一个实根，方程4x －a ·2x＋1＝0至少有一个实根．令t ＝2x ＞0，则方程t 2－at ＋1＝0至少有一个正根． 令h (t )＝t 2－at ＋1，由于h (0)＝1＞0， 所以只需⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，a2＞0，解得a ≥2.所以实数a 的取值范围为[2，＋∞)．多题一法专项训练(三) 待定系数法一、选择题1．(2014·山东高考)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为 π6，则实数m ＝( )A ．2 3 B. 3 C ．0D ．－ 3解析：选B 根据平面向量的夹角公式可得1×3＋3m 2×9＋m 2＝32，即3＋3m ＝3×9＋m 2，两边平方并化简得63m ＝18，解得m ＝3，经检验符合题意.2．在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝8，a 4＝7，则a 5＝( ) A ．11 B ．10 C ．7D ．3解析：选B 设数列{a n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋4d ＝8，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3，所以a 5＝－2＋4×3＝10.故选B.3．如果函数f (x )＝log a x (a ＞1)在区间[a,2a ]上的最大值是最小值的3倍，那么实数a 的值为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3。

解答题专项突破(五) 圆锥曲线的综合问题圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必有一道解答题，常以求圆锥曲线的标准方程、研究直线与圆锥曲线的位置关系为主，涉及题型有定点、定值、最值、X 围、探索性问题等，此类命题起点较低，但在第(2)问中一般都有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常以压轴题的形式呈现．热点题型1 圆锥曲线中的定点问题典例1(2019·高考)抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)． (1)求抛物线C 的方程及其准线方程．(2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y ＝－1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．解题思路 (1)根据抛物线C 过点(2，－1)，列方程求p ，得抛物线C 的方程，进而得出其准线方程．(2)设直线l 的方程，与抛物线C 的方程联立，用根与系数的关系推出关于M ，N 两点坐标的等量关系，设所求定点坐标为(0，n )，利用DA →·DB →＝0列方程式求n的值．规X 解答 (1)由抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)，得22＝－2p (－1)，解得p ＝2.所以抛物线C 的方程为x 2＝－4y ，其准线方程为y ＝1. (2)证明：抛物线C 的焦点为F (0，－1)． 设直线l 的方程为y ＝kx －1(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＝－4y ，得x 2＋4kx －4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，那么x 1x 2＝－4. 直线OM 的方程为y ＝y 1x 1x .令y ＝－1，得点A 的横坐标x A ＝－x 1y 1.同理得点B 的横坐标x B ＝－x 2y 2.设点D (0，n )，那么DA→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1y 1，－1－n ， DB→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2y 2，－1－n ， DA →·DB→＝x 1x 2y 1y2＋(n ＋1)2 ＝x 1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 214⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 224＋(n ＋1)2 ＝16x 1x 2＋(n ＋1)2 ＝－4＋(n ＋1)2.令DA →·DB →＝0，即－4＋(n ＋1)2＝0，得n ＝1或n ＝－3. 综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0，－3)．典例2(2019·某某模拟)Q 为圆x 2＋y 2＝1上一动点，Q 在x 轴，y 轴上的射影分别为点A ，B ，动点P 满足BA→＝AP →，记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－35的直线与曲线C 交于M ，N 两点，判断以MN 为直径的圆是否过定点？假设是，求出定点的坐标；假设不是，请说明理由．解题思路 (1)设Q (x 0，y 0)，P (x ，y )，利用所给条件建立两点坐标之间的关系，利用Q 在圆上可得x ，y 的方程，即为所求．(2)设定点为H ，及直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，及HM →·HN→＝0，得出恒等式，求得定点的坐标． 规X 解答 (1)设Q (x 0，y 0)，P (x ，y )，那么x 20＋y 20＝1，由BA →＝AP →，得⎩⎨⎧x 0＝x2，y 0＝－y ，代入x 20＋y 20＝1，得x 24＋y 2＝1，故曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)假设存在满足条件的定点，由对称性可知，该定点在y 轴上，设定点为H (0，m )，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx －35， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －35，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－245kx －6425＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 那么x 1＋x 2＝24k 51＋4k 2，x 1x 2＝－64251＋4k 2，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－65＝－651＋4k2，y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1－35⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 2－35＝k 2x 1x 2－35k (x 1＋x 2)＋925＝9－100k 2251＋4k 2， ∵HM →＝(x 1，y 1－m )，HN →＝(x 2，y 2－m )， ∴HM →·HN →＝x 1x 2＋y 1y 2－m (y 1＋y 2)＋m 2＝100m 2－1k 2＋25m 2＋30m －55251＋4k2＝0，∵对任意的k 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧100m 2－1＝0，25m 2＋30m －55＝0，解得m ＝1，即定点为H (0,1)，当直线l 的斜率不存在时，以MN 为直径的圆也过定点(0,1)． 综上，以MN 为直径的圆过定点(0,1)． 热点题型2 圆锥曲线中的定值问题典例1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线l ：x ＝－12，点P 在直线l 上移动，R 是线段FP 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹C 的方程；(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是否为定值？请说明理由．解题思路 (1)R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP →RQ 是线段PF 的垂直平分线→|PQ |＝|QF |→点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线→确定焦准距，根据抛物线的焦点坐标，求出抛物线的方程．(2)①求|TS |的依据：a ＝2r 2－d 2，其中a 为弦长，r 为圆的半径，d 为圆心到弦所在直线的距离．②策略：设曲线C 上点M (x 0，y 0)，用相关公式求r ，d ；用x 0，y 0满足的等量关系消元．规X 解答 (1)依题意知，点R 是线段FP 的中点， 且RQ ⊥FP ，∴RQ 是线段FP 的垂直平分线． ∵点Q 在线段FP 的垂直平分线上， ∴|PQ |＝|QF |，又|PQ |是点Q 到直线l 的距离，故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为y 2＝2x (x >0)． (2)弦长|TS |为定值．理由如下：取曲线C 上点M (x 0，y 0)，M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0，圆的半径r ＝|MA |＝x 0－12＋y 20， 那么|TS |＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1，∵点M 在曲线C 上， ∴x 0＝y 202，∴|TS |＝2y 20－y 20＋1＝2，是定值．典例2(2019·某某三模)给定椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，称圆心在原点O ，半径为a2＋b2的圆为椭圆C的“准圆〞．假设椭圆C的一个焦点为F(2，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为 3.(1)求椭圆C的方程和其“准圆〞方程；(2)假设点P是椭圆C的“准圆〞上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆〞于点M，N.证明：l1⊥l2，且线段MN的长为定值．解题思路(1)根据椭圆的几何性质求a，c，再用b2＝a2－c2求b，可得椭圆C 的方程，进而可依据定义写出其“准圆〞方程．(2)分以下两种情况讨论：①l1，l2中有一条斜率不存在；②l1，l2斜率存在．对于①，易知切点为椭圆的顶点；对于②，可设出过P与椭圆相切的直线，并与椭圆方程联立后消元，由Δ＝0推出关于椭圆切线斜率的方程，利用根与系数的关系进行证明．规X解答(1)∵椭圆C的一个焦点为F(2，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为 3.∴c＝2，a＝3，∴b＝a2－c2＝1，∴椭圆方程为x23＋y2＝1，∴“准圆〞方程为x2＋y2＝4.(2)证明：①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，那么l1：x＝±3，当l1：x＝3时，l1与“准圆〞交于点(3，1)，(3，－1)，此时l2为y＝1(或y＝－1)，显然直线l1，l2垂直；同理可证当l 1：x ＝－3时，直线l 1，l 2垂直． ②当l 1，l 2斜率存在时，设点P (x 0，y 0)，其中x 20＋y 20＝4.设经过点P (x 0，y 0)与椭圆相切的直线为 y ＝t (x －x 0)＋y 0，∴由⎩⎨⎧y ＝t x －x 0＋y 0，x 23＋y 2＝1，得(1＋3t 2)x 2＋6t (y 0－tx 0)x ＋3(y 0－tx 0)2－3＝0.由Δ＝0化简整理，得(3－x 20)t 2＋2x 0y 0t ＋1－y 20＝0，∵x 20＋y 20＝4，∴有(3－x 20)t 2＋2x 0y 0t ＋(x 20－3)＝0.设l 1，l 2的斜率分别为t 1，t 2，∵l 1，l 2与椭圆相切，∴t 1，t 2满足上述方程(3－x 20)t 2＋2x 0y 0t ＋(x 20－3)＝0，∴t 1·t 2＝－1，即l 1，l 2垂直． 综合①②知，l 1⊥l 2.∵l 1，l 2经过点P (x 0，y 0)，又分别交其“准圆〞于点M ，N ，且l 1，l 2垂直． ∴线段MN 为“准圆〞x 2＋y 2＝4的直径，|MN |＝4， ∴线段MN 的长为定值．热点题型3 圆锥曲线中的证明问题典例1抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，过焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点．(1)假设AB ∥l ，且△ABD 的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M 为AB 的中点，过M 作l 的垂线，垂足为N .证明：直线AN 与抛物线相切．解题思路 (1)判断△ABD 的形状，求|FD |，|AB |.由△ABD 的面积为1，列方程求p ，得抛物线的方程．(2)将直线AB 的方程与抛物线C 的方程联立，消去y 并整理，结合根与系数的关系用k ，p 表示M ，N 的坐标．求k AN ：①斜率公式，②导数的几何意义，两个角度求斜率相等，证明相切．规X 解答 (1)∵AB ∥l ，∴△ABD 为等腰三角形，且FD ⊥AB ，又|FD |＝p ，|AB |＝2p .∴S △ABD ＝p 2＝1.∴p ＝1，故抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)证明：显然直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋p 2，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 212p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 222p .由⎩⎨⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py消去y 整理得，x 2－2kpx －p 2＝0.∴x 1＋x 2＝2kp ，x 1x 2＝－p 2. ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫kp ，k 2p ＋p 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫kp ，－p 2.∴k AN ＝x 212p ＋p 2x 1－kp＝x 212p ＋p 2x 1－x 1＋x 22＝x 21＋p 22px 1－x 22＝x 21－x 1x 22p x 1－x 22＝x 1p .又x 2＝2py ，∴y ′＝xp .∴抛物线x 2＝2py 在点A 处的切线的斜率k ′＝x 1p . ∴直线AN 与抛物线相切．典例2(2019·某某二模)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(1<a <5)上，该椭圆的左顶点A 到直线x －y ＋5＝0的距离为322.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)假设线段MN 平行于y 轴，满足(ON →－2OM →)·MN →＝0，动点P 在直线x ＝23上，满足ON →·NP→＝2.证明：过点N 且垂直于OP 的直线过椭圆C 的右焦点F . 解题思路 (1)根据椭圆的左顶点A 到直线x －y ＋5＝0的距离为322，列关于a 的等量关系求解，得椭圆C 的方程．(2)设出M ，N ，P 的坐标(注意M 与N 的横坐标相同，P 的横坐标)．先用(ON →－2OM →)·MN →＝0和ON →·NP →＝2推出坐标之间的关系，再利用这些等量关系证明NF →·OP→＝0. 规X 解答 (1)设左顶点A 的坐标为(－a,0)， ∵|－a ＋5|2＝322，∴|a －5|＝3，解得a ＝2或a ＝8(舍去)， ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：由题意，设M (x 0，y 0)，N (x 0，y 1)，P (23，t )，且y 1≠y 0，由(ON →－2OM →)·MN →＝0，可得(x 0－2x 0，y 1－2y 0)·(0，y 1－y 0)＝0，整理可得y 1＝2y 0，由ON →·NP →＝2，可得(x 0,2y 0)·(23－x 0，t －2y 0)＝2，整理，得23x 0＋2y 0t ＝x 20＋4y 20＋2＝6，由(1)可得F (3，0)， ∴NF →＝(3－x 0，－2y 0)， ∴NF →·OP →＝(3－x 0，－2y 0)·(23，t )＝6－23x 0－2y 0t ＝0， ∴NF ⊥OP ，故过点N 且垂直于OP 的直线过椭圆C 的右焦点F . 热点题型4 圆锥曲线中的最值与X 围问题典例1(2019·某某二模)设F 为抛物线C ：y 2＝2px 的焦点，A 是C 上一点，F A 的延长线交y 轴于点B ，A 为FB 的中点，且|FB |＝3.(1)求抛物线C 的方程；(2)过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于M ，N 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，求四边形MDNE 面积的最小值．解题思路(1)由题意画出图形，结合条件列式求得p ，那么抛物线C 的方程可求．(2)由直线l 1的斜率存在且不为0，设其方程为y ＝k (x －1)，与抛物线方程联立，求出|MN |，同理可求|DE |⎝ ⎛⎭⎪⎫实际上，在|MN |的表达式中用－1k 代替k 即可，可得四边形MDNE 的面积表达式，再利用基本不等式求最值．规X 解答 (1)如图，∵A 为FB 的中点，∴A 到y 轴的距离为p4， ∴|AF |＝p 4＋p 2＝3p 4＝|FB |2＝32，解得p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)由直线l 1的斜率存在且不为0， 设其方程为y ＝k (x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.∵Δ>0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2＋4k 2，那么|MN |＝x 1＋x 2＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2； 同理设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，∴x 3＋x 4＝2＋4k 2， 那么|DE |＝x 3＋x 4＋2＝4(1＋k 2)．∴四边形MDNE 的面积S ＝12|MN |·|DE |＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋k 2＋1k 2≥32.当且仅当k ＝±1时，四边形MDNE 的面积取得最小值32.典例2 如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (2，0)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过点A 且斜率为12的直线与y 轴交于点P ，与椭圆交于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为点F 1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P 且斜率大于12的直线与椭圆交于M ，N 两点(|PM |>|PN |)，假设S △P AM ∶S △PBN ＝λ，某某数λ的取值X 围．解题思路 (1)求点B 的坐标→根据k AB ＝12列方程→由题意得a ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解方程组求a ，b ，c ，写出椭圆C 的标准方程．(2)S △P AM ∶S △PBN ＝λ――→面积公式PM →与PN →的关系→点M ，N 坐标之间的关系→直线MN 的方程与椭圆C 的方程联立，消去y 整理→用根与系数的关系得出点M ，N 的坐标之间的关系式→推出λ与k 的关系，并根据k >12求X 围，找到λ所满足的不等式，求出λ的取值X 围．规X 解答 (1)因为BF 1⊥x 轴，所以点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b 2a a ＋c＝12，a 2＝b 2＋c2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1. (2)因为S △P AM S △PBN＝12|P A |·|PM |·sin ∠APM12|PB |·|PN |·sin ∠BPN＝2·|PM |1·|PN |＝λ⇒|PM ||PN |＝λ2(λ>2)， 所以PM→＝－λ2PN →. 由(1)可知P (0，－1)，设直线MN ：y ＝kx －1⎝ ⎛⎭⎪⎫k >12，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程，得⎩⎨⎧y ＝kx －1，x 24＋y 23＝1，化简得，(4k 2＋3)x 2－8kx －8＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 4k 2＋3，x 1x 2＝－84k 2＋3.(*)又PM →＝(x 1，y 1＋1)，PN →＝(x 2，y 2＋1)， 有x 1＝－λ2x 2，将x 1＝－λ2x 2代入(*)可得，2－λ2λ＝16k 24k 2＋3.因为k >12，所以16k 24k 2＋3＝163k 2＋4∈(1,4)，那么1<2－λ2λ<4且λ>2⇒4<λ<4＋2 3.综上所述，实数λ的取值X 围为(4,4＋23)． 热点题型5 圆锥曲线中的探索性问题典例1(2019·某某一模)抛物线E ：y 2＝4x ，圆C ：(x －3)2＋y 2＝1.(1)假设过抛物线E的焦点F的直线l与圆C相切，求直线l的方程；(2)在(1)的条件下，假设直线l交抛物线E于A，B两点，x轴上是否存在点M(t,0)使∠AMO＝∠BMO(O为坐标原点)？假设存在，求出点M的坐标；假设不存在，请说明理由．解题思路(1)求得抛物线的焦点，设出直线l的方程，运用直线l和圆C相切的条件：d＝r，解方程可得所求直线方程．(2)设出A，B的坐标，联立直线l的方程和抛物线E的方程，运用根与系数的关系和直线的斜率公式，依据∠AMO＝∠BMO，即k AM＋k BM＝0列方程化简整理，解方程可得t，即得点M的坐标，从而得到结论．规X解答(1)由题意，得抛物线的焦点F(1,0)，当直线l的斜率不存在时，过F的直线不可能与圆C相切，所以直线l的斜率存在．设直线l的斜率为k，方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，由圆心(3,0)到直线l的距离为d＝|3k－k|1＋k2＝2|k|1＋k2，当直线l与圆C相切时，d＝r＝1，解得k＝±3 3，即直线l的方程为y＝±33(x－1)．(2)由(1)，当直线l的方程为y＝33(x－1)时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立抛物线E的方程可得x2－14x＋1＝0，那么x 1＋x 2＝14，x 1x 2＝1，x 轴上假设存在点M (t,0)使∠AMO ＝∠BMO ， 即有k AM ＋k BM ＝0， 得y 1x 1－t＋y 2x 2－t ＝0， 即y 1(x 2－t )＋y 2(x 1－t )＝0， 由y 1＝33(x 1－1)，y 2＝33(x 2－1)， 可得2x 1x 2－(x 1＋x 2)－(x 1＋x 2－2)t ＝0，即2－14－12t ＝0，即t ＝－1，M (－1,0)符合题意；当直线l 的方程为y ＝－33(x －1)时，由对称性可得M (－1，0)也符合条件． 所以存在定点M (－1,0)使∠AMO ＝∠BMO .典例2(2019·某某模拟)点A (0，－1)，B (0,1)，P 为椭圆C ：x 22＋y 2＝1上异于点A ，B 的任意一点．(1)求证：直线P A ，PB 的斜率之积为－12；(2)是否存在过点Q (－2,0)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，使得|BM |＝|BN |？假设存在，求出直线l 的方程；假设不存在，请说明理由．解题思路(1)设点P (x ，y )(x ≠0)，代入椭圆方程，由直线的斜率公式，即可得证． (2)假设存在直线l 满足题意．显然当直线斜率不存在时，直线与椭圆C 不相交，讨论直线的斜率是否为0，联立直线方程和椭圆方程，运用根与系数的关系和两直线垂直的条件：由|BM |＝|BN |想到在△BMN 中，边MN 所在直线的斜率与MN边上的中线所在直线的斜率之积为－1，可得所求直线方程．规X 解答 (1)证明：设点P (x ，y )(x ≠0)， 那么x 22＋y 2＝1，即y 2＝1－x 22， ∴k P A ·k PB ＝y ＋1x ·y －1x ＝y 2－1x 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 22－1x 2＝－12，故得证．(2)假设存在直线l 满足题意．显然当直线斜率不存在时，直线与椭圆C 不相交．①当直线l 的斜率k ≠0时，设直线l 为y ＝k (x ＋2)，联立椭圆方程x 2＋2y 2＝2，化简得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－2＝0， 由Δ＝64k 4－4(1＋2k 2)(8k 2－2)>0， 解得－22<k <22(k ≠0)， 设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k2，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4k ＝k ·－8k 21＋2k 2＋4k ＝4k 1＋2k 2， 取MN 的中点H ，即H ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，那么y1＋y22－1x1＋x22·k＝－1，即2k1＋2k2－1－4k21＋2k2·k＝－1，化简得2k2＋2k＋1＝0，无实数解，故舍去．②当k＝0时，M，N为椭圆C的左、右顶点，显然满足|BM|＝|BN|，此时直线l的方程为y＝0.综上可知，存在直线l满足题意，此时直线l的方程为y＝0.。

第八章 解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程对应学生用书P115基础盘查一 直线的倾斜角与斜率 (一)循纲忆知1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素(定点、斜率、倾斜角)．2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式． (二)小题查验 1．判断正误(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率( ) (2)过点M (a ，b )，N (b ，a )(a ≠b )的直线的倾斜角是45°( ) (3)倾斜角越大，斜率越大( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．(人教A 版教材习题改编)若过两点A (－m,6)，B (1,3m )的直线的斜率为12，则m ＝________.答案：－23．直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是________． 解析：设直线的倾斜角为θ，依题意知，k ＝－33cos α； ∵cos α∈[－1,1]，∴k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33， 即tan θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 又θ∈[0，π)，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π 基础盘查二 直线的方程 (一)循纲忆知掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．(二)小题查验 1．判断正误(1)经过点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示( )(2)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示( )(3)直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离( )(4)若直线在x 轴，y 轴上的截距分别为m ，n ，则方程可记为x m ＋y n＝1( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×2．(人教A 版教材习题改编)已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为____________．答案：x ＋13y ＋5＝03．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为__________________． 解析：①若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点，设直线方程为x a ＋y a＝1，即x ＋y ＝a . 则a ＝3＋(－4)＝－1， 所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0对应学生用书P115考点一 直线的倾斜角与斜率(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做直线的倾斜角． (2)范围：[0，π)． 2．直线的斜率(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.(2)范围：全体实数R .(3)斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为kP 1P 2＝y 2－y 1x 2－x 1. [提醒] (1)任意一条直线都有倾斜角，但只有与x 轴不垂直的直线才有斜率． (2)α＝0时k ＝0；α是锐角时k >0；α是钝角时k <0.(3)已知倾斜角θ的范围，求斜率k 的范围时注意下列图象的应用：当k ＝tan α，α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时的图象如图：[题组练透]1．若经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y 等于( )A ．－1B ．－3C ．0D ．2解析：选B 由k ＝－3－2y －12－4＝tan 3π4＝－1.得－4－2y ＝2，∴y ＝－3.2．(2015·常州模拟)若ab <0，则过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1b 与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是________．解析：k PQ ＝－1b －00－1a＝ab <0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ 的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫π2，π.答案：⎝⎛⎭⎪⎫π2，π3．(2015·沈阳联考)已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1，1)和Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．解析：如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k QA ＝32，k PA ＝－2，k l ＝－1m.∴－1m ≤－2或－1m ≥32.解得0<m ≤12或－23≤m <0；当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点． ∴实数m 的取值范围为－23≤m ≤12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，12[类题通法]1．求倾斜角的取值范围的一般步骤： (1)求出斜率k ＝tan α的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． 2．求倾斜角时要注意斜率是否存在．考点二 直线的方程(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．点斜式过点(x 0，y 0)，斜率为k 的直线方程为y －y 0＝k (x －x 0)． 局限性：不含垂直于x 轴的直线． 2．斜截式斜率为k ，纵截距为b 的直线方程为y ＝kx ＋b . 局限性：不含垂直于x 轴的直线． 3．两点式过两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1≠x 2，y 1≠y 2)的直线方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 局限性：不含垂直于坐标轴的直线． 4．截距式在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b (a ≠0，b ≠0)的直线方程为x a ＋y b＝1. 局限性：不含垂直于坐标轴和过原点的直线． 5．一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)．[提醒] 当直线与x 轴不垂直时，设直线的斜率为k ，则方程为y ＝kx ＋b ；当不确定直线的斜率是否存在时，可设直线的方程为ky ＋x ＋b ＝0.[典题例析]已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2，1)，C (－2,3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )， 则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2. 由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)， 即2x －y ＋2＝0.[类题通法]1．在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件． 2．对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用．[演练冲关]求直线过点(5,10)且到原点的距离为5的直线方程． 解：当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0，适合题意； 当斜率存在时，设斜率为k ， 则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0. 由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.考点三 直线方程的综合应用(常考常新型考点——多角探明)[多角探明]1．已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程． 解：(1)设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)．设直线l 的方程为x a ＋y b＝1，则1a ＋1b＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a≥2＋2a b ·ba＝4， 当且仅当“a ＝b ＝2”时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. (2)设直线l 的斜率为k ，则k ＜0， 直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫1－1k，0，B (0,1－k ),所以|MA |2＋|MB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k2≥2＋2k 2·1k2＝4，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时，|MA |2＋|MB |2取得最小值4，此时直线l 的方程为x ＋y－2＝0.角度二：与导数几何意义相结合的问题2．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y ′＝－e xx ＋2＝－1e x＋1ex ＋2，因为e x >0，所以e x＋1e x ≥2e x·1ex ＝2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)，所以e x＋1e x ＋2≥4，故y ′＝－1e x＋1ex ＋2≥－14(当且仅当x ＝0时取等号)．所以当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.该切线在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×2×12＝12.答案：12[类题通法]1．含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．2．求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.对应A 本课时跟踪检测四十五一、选择题1．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B. 3C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)解析：选D 因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)．3．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1解析：选D 由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2. 当y ＝0时，x ＝a ＋2a.∴a ＋2a＝a ＋2， 解得a ＝－2或a ＝1.4．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )解析：选A 取特殊值法或排除法，可知A 正确．5．(2015·哈尔滨模拟)函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4，则直线l ：ax－by ＋c ＝0的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°解析：选D 由函数y ＝f (x )＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4知，f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即－b ＝a ，∴直线l 的斜率为－1，∴倾斜角为135°.6．(2014·安徽高考)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 解析：选D 法一：如图，过点P 作圆的切线PA ，PB ，切点为A ，B .由题意知OP ＝2，OA ＝1，则sin α＝12，所以α＝30°，∠BPA ＝60°.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.选D.法二：设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线和圆有公共点知|3k －1|1＋k 2≤1，解得0≤k ≤ 3.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.二、填空题7．若ab >0，且A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________． 解析：根据A (a,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y b＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号．即ab 的最小值为16.答案：168．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________． 解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x＋b 过点A (－1，0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]． 答案：[－2,2]9．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，则k 的取值范围是________________．解析：∵k ＝tan α，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π∴－3≤k <0或33≤k ≤1. 答案：[－3，0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1 10．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为______________________________________．解：设直线的斜率为k (k ≠0)， 则直线方程为y －2＝k (x ＋2)， 由x ＝0知y ＝2k ＋2. 由y ＝0知x ＝－2k －2k.由12|2k ＋2|⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k －2k ＝1. 得k ＝－12或k ＝－2.故直线方程为x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0.答案：x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0 三、解答题11．已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA |·|MB |取得最小值时，直线l 的方程．解：设A (a,0)，B (0，b )，则a ＞0，b ＞0，直线l 的方程为x a ＋y b＝1，所以2a ＋1b＝1.故|MA |·|MB |＝－MA ·MB ＝－(a －2，－1)·(－2，b －1)＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2a b≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号， 此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.12.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)． 又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32， 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB的方程为(3＋3)x－2y－3－3＝0.第二节两直线的位置关系对应学生用书P117基础盘查一两直线平行与垂直(一)循纲忆知能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．(二)小题查验1．判断正误(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2( )(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1( )(3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0( )答案：(1)×(2)×(3)√2．(人教B版教材习题改编)过点(1,2)与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为____________．答案：x－2y＋3＝0基础盘查二两直线的交点(一)循纲忆知能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(二)小题查验1．判断正误(1)l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，当k1≠k2时，l1与l2相交( )(2)过l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x ＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)( )答案：(1)√(2)×2．(人教A版教材习题改编)经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且平行于直线4x－3y－7＝0的直线方程为____________．答案：4x－3y－6＝0基础盘查三距离公式(一)循纲忆知掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． (二)小题查验 1．判断正误(1)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2( ) (2)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离( )(3)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k，且线段AB的中点在直线l 上( )答案：(1)× (2)√ (3)√2．(北师大版教材习题改编)两平行直线l 1，l 2分别过A (1,0)，B (0,5)，若l 1与l 2的距离为5，则l 1与l 2的方程分别为l 1：________________，l 2：________________.答案：y ＝0或5x －12y －5＝0y ＝5或5x －12y ＋60＝0对应学生用书P117考点一 两直线的位置关系(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．判定两直线平行的方法(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k 1＝k 2，且b 1≠b 2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合．(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论： 设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0.2．判定两直线垂直的方法(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k 1·k 2＝－1，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则两直线也垂直．(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.3．求两条直线的交点对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，它们的交点可由⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0求解．[题组练透]1．(2015·北京海淀区期末)已知直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：mx －y ＝0平行，则实数m 的取值为( )A ．－12B.12 C ．2D ．－2解析：选A 因为直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：mx －y ＝0平行，所以m 1＝－12≠0，解得m ＝－12，故选A.2．(2015·浙江名校联考)已知直线l 1：x ＋(a －2)y －2＝0，l 2：(a －2)x ＋ay －1＝0，则“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若a ＝－1，则l 1：x －3y －2＝0，l 2：－3x －y －1＝0，显然两条直线垂直；若l 1⊥l 2，则(a －2)＋a (a －2)＝0，∴a ＝－1或a ＝2，因此，“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件，故选A.3．(2015·浙江温州十校联考)过两直线2x －y －5＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为________________．解析： 联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －5＝0，x ＋y ＋2＝0，得交点P (1，－3)．设过点P 且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为3x ＋y ＋m ＝0，则3×1－3＋m ＝0，解得m ＝0.答案：3x ＋y ＝0[类题通法]1．充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本类题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1和l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．2．两直线交点的求法求两直线交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．3．常见的三大直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )． (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )．(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.考点二 距离问题(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.2．点到直线的距离公式点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3．两平行直线间的距离公式两条平行直线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.[提醒] 在解题过程中，易忽略点到直线与两平行直线间的距离公式中要求直线方程必须是一般式，导致出现错解．特别是两平行直线间的距离公式中，两直线方程的一般式中的x ，y 的系数要对应相等．[典题例析]已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程．(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解：(1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2. 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0.由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34. 此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)， 即2x －y －5＝0.所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．[类题通法]解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．[演练冲关]已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是__________________________．解析：当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝0考点三 对称问题(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]1．中心对称(1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)与N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解．(2)直线关于点对称问题的主要解法：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l 1∥l 2，由点斜式得到所求的直线方程．2．轴对称(1)点关于直线的对称若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则线段P 1P 2的中点在对称轴l 上，且连接P 1P 2的直线垂直于对称轴l ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，A y 1－y 2＝B x 1－x 2，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中A ≠0，x 1≠x 2)．特别地，若直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0满足|A |＝|B |，则P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)坐标关系为⎩⎪⎨⎪⎧Ax 1＋By 2＋C ＝0，Ax 2＋By 1＋C ＝0.(2)直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[多角探明]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．归纳起来常见的命题角度有：(1)点关于点对称； (2)点关于线对称； (3)线关于线对称； (4)对称问题的应用. 角度一：点关于点的对称1．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上， 代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0， 解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以由两点式得直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 角度二：点关于线对称2．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，求点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标．解：设A ′(x ，y )，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.角度三：线关于线对称3．在[角度二]的条件下，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． 解：在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 角度四：对称问题的应用4．已知光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －6－4－6＝x －1－2－1，即10x －3y ＋8＝0.[类题通法]对称问题的解题策略解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．对应B 本课时跟踪检测四十六一、选择题1．与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：选A 与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程是3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0.2．已知平面内两点A (1,2)，B (3,1)到直线l 的距离分别是2，5－2，则满足条件的直线l 的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 由题知满足题意的直线l 在线段AB 两侧各有1条，又因为|AB |＝ 5，所以还有1条为过线段AB 上的一点且与AB 垂直的直线，故共3条．3．(2015·广元模拟)若直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离是5，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：选A ∵直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离为5，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－2，|m ＋3|5＝5，∴n ＝－2，m ＝2(负值舍去)．∴m ＋n ＝0.4．(2015·济南模拟)“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( )A. 充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由l 1⊥l 2，得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0， ∴m ＝3或m ＝－2.∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件.5．(2015·云南统考)已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭⎪⎫0，10a ，则线段AB 的长为( )A ．11B ．10C ．9D ．8解析：选B 依题意，a ＝2，P (0,5)，设A (x,2x )，B (－2y ，y )，故⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x ＋y ＝10，则A (4,8)，B (－4,2)，∴|AB |＝＋2＋－2＝10.6．已知曲线|x |2－|y |3＝1与直线y ＝2x ＋m 有两个交点，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B ．(－4,4)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3,3)解析：选A 曲线|x |2－|y |3＝1的草图如图所示．由该曲线与直线y ＝2x ＋m 有两个交点，可得m >4或m <－4.二、填空题7．(2015·重庆检测)已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为________．解析：直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，即3x ＋4y ＋12＝0，∴直线l 1与l 2的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋732＋42＝32. 答案：328．(2015·河北秦皇岛检测)直线l 1：y ＝2x ＋3关于直线l ：y ＝x ＋1对称的直线l 2的方程为________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x ＋1，解得直线l 1与l 的交点坐标为(－2，－1)， ∴可设直线l 2的方程为y ＋1＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k －1＝0.在直线l 上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l 1，l 2的距离相等， 由点到直线的距离公式得|k －2＋2k －1|k 2＋1＝|2－2＋3|22＋1， 解得k ＝12(k ＝2舍去)， ∴直线l 2的方程为x －2y ＝0.答案：x －2y ＝09．若在平面直角坐标系内过点P (1，3)，且与原点的距离为d 的直线有两条，则d 的取值范围为________．解析：因为原点到点P 的距离为2，所以过点P 与原点的距离都不大于2，故d ∈(0,2)． 答案：(0,2)10．如图，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，E (－1,0)，F (1,0)，一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上(不含端点)，则直线FD 的斜率的取值范围为________．解析：从特殊位置考虑．如图，∵点A (－2,0)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为A 1(2,4)，∴kA 1F ＝4.又点E (－1,0)关于直线AC ：y ＝x ＋2的对称点为E 1(－2，1)，点E 1(－2,1)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为E 2(1,4)，此时直线E 2F 的斜率不存在，∴k FD >k A 1F ，即k FD ∈(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)三、解答题11．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值：(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解：(1)由已知可得l 2的斜率存在，且k 2＝1－a .若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0.又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)． ∴此种情况不存在，∴k 2≠0.即k 1，k 2都存在，∵k 2＝1－a ，k 1＝ab，l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，即a b(1－a )＝－1.①又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.②由①②联立，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在， k 1＝k 2，即a b＝1－a .③ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2，∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b ，④ 联立③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2. 12．(2015·东营模拟)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )．(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；(2)若a >－1，直线l 与x 、y 轴分别交于M 、N 两点，O 为坐标原点，求△OMN 面积取最小值时，直线l 的方程．解：(1)当直线l 经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时a ＋2＝0，解得a ＝－2，此时直线l 的方程为－x ＋y ＝0，即x －y ＝0；当直线l 不经过坐标原点，即a ≠－2且a ≠－1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得2＋a a ＋1＝2＋a ， 解得a ＝0，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.所以直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0.(2)由直线方程可得M ⎝⎛⎭⎪⎫2＋a a ＋1，0，N (0,2＋a )， 因为a >－1，所以S △OMN ＝12×2＋a a ＋1×(2＋a )＝12×a ＋＋1]2a ＋1 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋＋1a ＋1＋2≥12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋1a ＋1＋2＝2， 当且仅当a ＋1＝1a ＋1，即a ＝0时等号成立． 此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.第三节圆的方程对应学生用书P120基础盘查一 圆的定义及标准方程(一)循纲忆知1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．2．初步了解用代数方法处理几何问题．(二)小题查验1．判断正误(1)确定圆的几何要素是圆心与半径( )(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0( )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0( )答案：(1)√ (2)√ (3)√2．(人教A 版教材例题改编)已知圆心为C 的圆过点A (1,1)，B (2，－2)且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上，则圆的标准方程为________________．答案：(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝253. (2015·金华十校联考)已知圆C 的半径为1，圆心在第一象限，与y 轴相切，与x 轴相交于点A 、B ，且AB ＝3，则该圆的标准方程是____________________．解析：依题可设圆C ：(x －1)2＋(y －b )2＝1(b ＞0)，且⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋b 2＝1，可解得b ＝12， 所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1. 答案：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1 基础盘查二 点与圆的位置关系(一)循纲忆知了解点与圆的位置关系(点在圆上、点在圆内、点在圆外)．(二)小题查验1．判断正误(1)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0( )(2)已知圆的方程为x 2＋y 2－2y ＝0，过点A (1,2)作该圆的切线只有一条( )答案：(1)√ (2)×2．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，所以(1－a )2＋(1＋a )2<4.即a 2<1，故－1<a <1.答案：(－1,1)对应学生用书P120考点一 圆的方程(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，其中(a ，b )为圆心，r 为半径．2．圆的一般方程 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.当D 2＋E 2－4F >0时表示圆，其中⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，12D 2＋E 2－4F 为半径． [提醒] 方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件：⎩⎪⎨⎪⎧ B ＝0，A ＝C ≠0，D 2＋E 2－4AF >0.[题组练透]1．(2015·潍坊一模)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( )A ．(x －2)2＋(y ±2)2＝3B ．(x －2)2＋(y ±3)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ±2)2＝4 D ．(x －2)2＋(y ±3)2＝4 解析：选D 因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径r ＝2，设圆心坐标为(2，b )，则(1－2)2＋b 2＝4，b 2＝3，b ＝±3，选D.2．(2015·温州十校联考)已知抛物线C 1：x 2＝2y 的焦点为F ，以F 为圆心的圆C 2交C 1于A ，B 两点，交C 1的准线于C ，D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则圆C 2的方程为( ) A ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝3 B ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝4 C ．x 2＋(y －1)2＝12 D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：选B 如图，连接AC ，BD ，由抛物线的定义与性质可知圆心坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，而|FA |＝|AD |＝|FB |为圆的半径r ，于是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32r ，12＋12r ，而A 在抛物线上，故⎝ ⎛⎭⎪⎫32r 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12r ，∴r ＝2，故选B. 3．圆C 通过不同的三点P (k,0)，Q (2,0)，R (0,1)，已知圆C 在点P 处的切线斜率为1，则圆C 的方程为______________．解析：设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则k,2为x 2＋Dx ＋F ＝0的两根，∴k ＋2＝－D,2k ＝F ，即D ＝－(k ＋2)，F ＝2k ，又圆过R (0,1)，故1＋E ＋F ＝0.∴E ＝－2k －1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－(k ＋2)x －(2k ＋1)y ＋2k ＝0，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋22，2k ＋12. ∵圆C 在点P 处的切线斜率为1，∴k CP ＝－1＝2k ＋12－k，∴k ＝－3. ∴D ＝1，E ＝5，F ＝－6.∴所求圆C 的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0.答案：x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0[类题通法]解题时选择设标准方程还是一般方程的一般原则是：如果由已知条件易得圆心坐标、半径或可用圆心坐标、半径列方程，则通常选择设圆的标准方程，否则选择设圆的一般方程．考点二 与圆有关的最值、范围问题(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]1．与圆的几何性质有关的最值(1)记O 为圆心，圆外一点A 到圆上距离最小为|AO |－r ，最大为|AO |＋r ；(2)过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为以该点为中点的弦；(3)记圆心到直线的距离为d ，直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为d ＋r ，最小距离为d －r ；(4)过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆．2．与圆上点(x ，y )有关的最值 (1)形如μ＝y －b x －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； (2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．[多角探明] 与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．归纳起来常见的命题角度有：(1)斜率型最值问题；(2)截距型最值问题；(3)距离型最值问题；(4)利用对称性求最值、范围等；(5)建立目标函数求最值问题.角度一：斜率型最值问题1．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求y x的最大值和最小值． 解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设y x ＝k ，即y ＝kx .如图所示，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝ 3，解得k ＝± 3. 所以y x的最大值为3，最小值为－ 3.角度二：截距型最值问题2．在[角度一]条件下求y －x 的最大值和最小值．解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝ 3，解得b ＝－2± 6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.角度三：距离型最值问题3．在[角度一]条件下求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最。

第八章 平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程对应学生用书P1061．直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围为[0，π)． 2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率． (2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k ＝y2－y1x2－x1＝y1－y2x1－x2.1．利用两点式计算斜率时易忽视x1＝x2时斜率k 不存在的情况．2．用直线的点斜式求方程时，在斜率k 不明确的情况下，注意分k 存在与不存在讨论，否则会造成失误．3．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式．4．由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时易忽视判断B 是否为0，当B ＝0时，k 不存在；当B≠0时，k ＝－AB .[试一试]1．若直线(2m2＋m －3)x ＋(m2－m)y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 的值是________． 解析：当2m2＋m －3≠0时，即m≠1或m≠－32时，在x 轴上截距为4m －12m2＋m －3＝1，即2m2－3m －2＝0， 故m ＝2或m ＝－12.答案：2或－122．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为________． 解析：∵kMN ＝m －4－2－m＝1，∴m ＝1.答案：13．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________． 解析：①若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点． 设x a ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a. 则a ＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝01．求斜率可用k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”． 2．求直线方程的一般方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论． (2)待定系数法，具体步骤为： ①设所求直线方程的某种形式； ②由条件建立所求参数的方程(组)； ③解这个方程(组)求出参数； ④把参数的值代入所设直线方程． [练一练]1．直线xsin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________．解析：设倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α其中sin α∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，∴0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π2．过点(5,10)且到原点的距离是5的直线的方程为________． 解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k(x －5)， 即kx －y ＋(10－5k)＝0.由点到直线的距离公式，得|10－5k|k2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. 答案：x －5＝0或3x －4y ＋25＝0 对应学生用书P107直线的倾斜角与斜率1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是________． 解析：由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，又α∈[0，π)，所以α＝5π6.答案：5π62．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π则k 的取值范围是________．解析：当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4时，k ＝tan α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1；当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π时，k ＝tan α∈[)－3，0. 综上k ∈[)－3，0∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1.答案：[)－3，0∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1[备课札记][类题通法]1．求倾斜角的取值范围的一般步骤 (1)求出斜率k ＝tan α的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图像或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． 2．求倾斜角时要注意斜率是否存在．直线方程[典例] 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12. [解] (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0＜α＜π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1，又因为直线过点(－3,4)，所以－3a ＋412－a＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.[备课札记] [类题通法]1．在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件． 2．对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用． [针对训练]经过点P(－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是________． 解析：由题意设所求方程为y ＋4＝k(x ＋5)， 即kx －y ＋5k －4＝0.由12·|5k－4|·|4k －5|＝5得，k ＝85或k ＝25. 答案：8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0直线方程的综合应用直线方程的综合应用是常考内容之一，它与函数、向量、不等式相结合，命题多为客观题.归纳起来常见的命题角度有：与基本不等式相结合求最值问题； 直线方程与平面向量的综合应用.角度一 与基本不等式相结合求最值问题 1．已知直线l 过点M(1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求： (1)当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l 的方程；(2)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l 的方程． 解：(1)设A(a,0)，B(0，b)(a ＞0，b ＞0)． 设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，则1a ＋1b＝1，所以|OA|＋|OB|＝a ＋b ＝(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·ba＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.(2)设直线l 的斜率为k ，则k ＜0，直线l 的方程为 y －1＝k(x －1)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ，0，B(0,1－k), 所以|MA|2＋|MB|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k)2＝2＋k2＋1k2≥2＋2k2·1k2＝4，当且仅当k2＝1k2，即k ＝－1时，|MA|2＋|MB|2取得最小值4，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. 角度二 直线方程与平面向量的综合 2．已知直线l 过点M(2,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求当|MA·||MB 取得最小值时，直线l 的方程．解：设A(a,0)，B(0，b)则a ＞0，b ＞0，直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，所以2a ＋1b＝1.故MA ·||MB ＝－MA ·MB ＝－(a －2，－1)·(－2，b －1)＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5＝(2a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2ab≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.[备课札记] [类题通法]1．含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过两条定直线交点的直线系，即能够看出“动中有定”．2．求解与直线方程有关的最值问题，选设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．对应学生用书P108[课堂练通考点]1．直线x ＝π3的倾斜角等于________．解析：直线x ＝π3，知倾斜角为π2.答案：π22．直线l ：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是________． 解析：设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.答案：333．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0,0)，A(1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为________．解析：因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以kAB ＝－kOA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)． 答案：3x ＋y －6＝0 4．若过点P(1－a,1＋a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________． 解析：k ＝tan α＝2a －＋3－－＝a －1a ＋2. ∵α为钝角，∴a －1a ＋2＜0，即(a －1)(a ＋2)＜0，故－2＜a ＜1.答案：(－2,1)5．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程： (1)过定点A(－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k(x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋3＝±6， 解得k1＝－23或k2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，已知，得|－6b·b|＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0. [课下提升考能] 第Ⅰ组：全员必做题1．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为________．解析：设P(xP,1)，由题意及中点坐标公式得xP ＋7＝2，解得xP ＝－5，即P(－5,1)，所以k ＝－13.答案：－132．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足ab________0，bc________0.(填写“>”或“<”)解析：由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b ＜0且－cb＞0，故ab ＞0，bc ＜0.答案：> <3．若实数a ，b 满足a ＋2b ＝3，则直线2ax －by －12＝0必过定点________． 解析：a ＋2b ＝3⇒4a ＋8b －12＝0，又2ax －by －12＝0，比较可知x ＝2，y ＝－8. 答案：(2，－8)4．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线的方程为________．解析：将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13.答案：x ＋3y －1＝05．已知两点M(2，－3)，N(－3，－2)，直线l 过点P(1,1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是________．解析：如图所示，∵kPN ＝1－－1－－＝34，kPM ＝1－－1－2＝－4，∴要使直线l 与线段MN 相交，当l 的倾斜角小于90°时，k≥kPN；当l 的倾斜角大于90°时，k≤kPM，由已知得k≥34或k≤－4.答案：(－∞，－4]∪[34，＋∞)6．已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)三点共线，则x ＝________. 解析：因为kAB ＝7－54－3＝2，kAC ＝x －5－1－3＝－x －54.A ，B ，C 三点共线，所以kAB ＝kAC ，即－x －54＝2，解得x ＝－3. 答案：－37．已知两点A(0,1)，B(1,0)，若直线y ＝k(x ＋1)与线段AB 总有公共点，则k 的取值范围是________．解析：y ＝k(x ＋1)是过定点P(－1,0)的直线，kPB ＝0，kPA ＝1－00－－＝1.∴k 的取值范围是[0,1]． 答案：[0,1]8．过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________． 解析：(1)当过原点时，直线方程为y ＝－53x ，(2)当不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a.代入点(－3,5)，得a ＝－8. 即直线方程为x －y ＋8＝0.答案：y ＝－53x 或x －y ＋8＝09．已知两点A(－1,2)，B(m,3)． (1)求直线AB 的方程；(2)已知实数m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1； 当m≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)．(2)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m≠－1时，m ＋1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪(0， 3 ]， ∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3.综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.10．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围； (3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：法一：直线l 的方程可化为y ＝k(x ＋2)＋1， 故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．法二：设直线l 过定点(x0，y0)，则kx0－y0＋1＋2k ＝0对任意k ∈R 恒成立，即(x0＋2)k －y0＋1＝0恒成立，∴x0＋2＝0，－y0＋1＝0，解得x0＝－2，y0＝1，故直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k≥0，1＋2k≥0，解得k 的取值范围是[0，＋∞)．(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B(0,1＋2k)．又－1＋2k k <0且1＋2k>0，∴k>0.故S ＝12|OA||OB|＝12×1＋2k k (1＋2k)＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·哈尔滨模拟)函数y ＝asin x －bcos x 的一条对称轴为x ＝π4，则直线l ：ax －by＋c ＝0的倾斜角为________．解析：由函数y ＝f(x)＝asin x －bcos x 的一条对称轴为x ＝π4知，f(0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即－b ＝a ，∴直线l 的斜率为－1，∴倾斜角为135°.答案：135°2．已知直线l1：ax －2y ＝2a －4，l2：2x ＋a2y ＝2a2＋4，当0＜a ＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________.解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1的纵截距为2－a ，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a)＋12×2×(a2＋2)＝a2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，当a ＝12时，面积最小．答案：12第二节两直线的位置关系对应学生用书P1081．两直线的位置关系2．两直线的交点设两条直线的方程是l1：A1x ＋B1y ＋C1＝0，l2：A2x ＋B2y ＋C2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A1x ＋B1y ＋C1＝0，A2x ＋B2y ＋C2＝0的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．3．几种距离(1)两点间的距离：平面上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式 d(A ，B)＝|AB|＝－＋－.(2)点到直线的距离：点P(x1，y1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax1＋By1＋C|A2＋B2.(3)两条平行线间的距离：两条平行线Ax ＋By ＋C1＝0与Ax ＋By ＋C2＝0间的距离d ＝|C1－C2|A2＋B2.1．在判断两直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错． [试一试]1．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________． 解析：∵63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.答案：2 2．已知p ：直线l1：x －y －1＝0与直线l2：x ＋ay －2＝0平行，q ：a ＝－1，则p 是q 的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不必要也不充分”)． 解析：由于直线l1：x －y －1＝0与直线l2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a－(－1)×1＝0，即a ＝－1. 答案：充要1．与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A2＋B2≠0)垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx －Ay ＋m ＝0；(2)平行：Ax ＋By ＋n ＝0.2．转化思想在对称问题中的应用对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法． [练一练]1．点(2,3)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是________．解析：设对称点为(a ，b)，则⎩⎨⎧b －3a －2＝1，a ＋22＋b ＋32＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－3.答案：(－4，－3)2．已知直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程为________． 解析：由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－32，由点斜式可得直线l的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.答案：3x ＋2y －1＝0 对应学生用书P109两直线平行与垂直1．(2014·镇江期末)与直线l2：2x ＋1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________.解析：直线l1：A1x ＋B1y ＋C1＝0，l2：A2x ＋B2y ＋C2＝0，l1⊥l2的充要条件是A1A2＋B1B2＝0，所以有2a ＋3(a －1)＝0，所以a ＝35.答案：352．(2014·苏锡常镇、连云港、徐州六市调研(一))已知m 为实数，直线l1：mx ＋y ＋3＝0，l2：(3m －2)x ＋my ＋2＝0，则“m＝1”是“l1∥l2”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析：由两直线平行可得m2－(3m －2)＝0，解得m ＝1或m ＝2.将m ＝1代入可得l1：x ＋y ＋3＝0，l2：x ＋y ＋2＝0，易知l1与l2不重合；将m ＝2代入可得l1：2x ＋y ＋3＝0，l2：4x ＋2y ＋2＝0，易知l1与l2不重合，故两直线平行的充要条件为m ＝1或m ＝2，故m ＝1是其成立的充分不必要条件． 答案：充分不必要3．经过两直线l1：x －2y ＋4＝0和l2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________．解析：法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P(0,2)．∵l ⊥l3，∴直线l 的斜率k1＝－43，∴直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.法二：∵直线l 过直线l1和l2的交点，∴可设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0， 即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0. ∵l 与l3垂直，∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0， ∴λ＝11，∴直线l 的方程为12x ＋9y －18＝0，即4x ＋3y －6＝0. 答案：4x ＋3y －6＝0[备课札记] [类题通法]充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．距离问题[典例] 已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|PA|＝|PB|，且点P 到直线l 的距离为2. 解：设点P 的坐标为(a ，b)． ∵A(4，－3)，B(2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)． 而AB 的斜率kAB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为 y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0.∵点P(a ，b)在直线x －y －5＝0上， ∴a －b －5＝0. ①又点P(a ，b)到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， ∴|4a ＋3b －2|5＝2， 即4a ＋3b －2＝±10， ②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫277，－87.[备课札记][类题通法]1．点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式． 2．动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|PA|＝|PB|这一条件的转化处理． [针对训练]与直线7x ＋24y －5＝0平行，并且到它的距离等于3的直线方程是__________________． 解析：设所求直线方程为7x ＋24y ＋m ＝0，由3＝|m ＋5|72＋242，∴m ＝70或－80.答案：7x ＋4y －80＝0对称问题角度一 点关于点的对称 1．过点P(0,1)作直线l 使它被直线l1：2x ＋y －8＝0和l2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解：设l1与l 的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B(－a,2a －6)在l2上， 代入l2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0， 解得a ＝4，即点A(4,0)在直线l 上， 所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 角度二 点关于线对称2．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A(－1，－2)，求点A 关于直线l 的对称点A′的坐标． 解：设A′(x，y)，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型.归纳起来常见的命题角度有：点关于点的对称； 点关于线对称； 线关于线对称； 对称问题的应用.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，故A′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. 角度三 线关于线对称3．在[角度二]的条件下，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m′的方程． 解：在直线m 上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l 的对称点M′必在直线m′上． 设对称点M′(a，b)，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M′⎝⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N(4,3)．又∵m′经过点N(4,3)，∴由两点式得直线m′的方程为9x －46y ＋102＝0. 角度四 对称问题的应用4．光线从A(－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1,6)，求BC 所在的直线方程． 解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A′，D 关于y轴的对称点为D′，则易得A′(－2，－4)，D′(1,6)．由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B 与C.故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0.[备课札记] [类题通法]处理对称问题的方法 (1)中心对称①点P(x ，y)关于O(a ，b)的对称点P′(x′，y′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2a －x ，y′＝2b －y.②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．(2)轴对称①点A(a ，b)关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B≠0)的对称点A ′(m ，n)，则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，A·a ＋m 2＋B·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．对应学生用书P110[课堂练通考点]1．已知直线l1：x ＋ay ＋6＝0和l2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l1∥l2的充要条件是a ＝________.解析：由题意知，l1∥l2⇔1a －2＝a 3≠62a， 即a ＝－1. 答案：－12．若直线l1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l2：x ＋(a －1)y ＋a2－1＝0垂直，则实数a ＝________. 解析：由a×1＋(a －1)×2＝0 ∴a ＝23.答案：233．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是________． 解析：由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＝1的交点坐标为(1,1)． 又直线x －2y ＋1＝0上的点(－1,0)关于直线x ＝1的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得y －01－0＝x －31－3，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝04. 已知点P(4，a)到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________． 解析：由题意得，点P 到直线的距离为 |4×4－3×a－1|5＝|15－3a|5.又|15－3a|5≤3，即|15－3a|≤15， 解之得，0≤a≤10， 所以a ∈[0,10]． 答案：[0,10]5．已知两条直线l1：ax －by ＋4＝0，l2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求分别满足下列条件的a ，b 的值．(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等． 解：(1)∵l1⊥l2，∴a(a －1)＋(－b)·1＝0，即a2－a －b ＝0. ①又点(－3，－1)在l1上， ∴－3a ＋b ＋4＝0 ② 由①②得a ＝2，b ＝2.(2)∵l1∥l2，∴a b ＝1－a ，b ＝a1－a ，故l1和l2的方程可分别表示为： (a －1)x ＋y ＋－a＝0，(a －1)x ＋y ＋a1－a ＝0，又原点到l1与l2的距离相等． ∴4⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1－a ，∴a ＝2或a ＝23，∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.[课下提升考能] 第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·镇江模拟)若直线l1：x ＋2y －4＝0与l2：mx ＋(2－m)y －1＝0平行，则实数m ＝________.解析：由直线平行的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧－－2m ＝0，－＋4m≠0，解得m ＝23.答案：232．(2014·南京学情调研)已知直线l 经过点P(2,1)，且与直线2x ＋3y ＋1＝0垂直，则直线l 的方程是________． 解析：法一：设直线l 的方程为3x －2y ＋c ＝0.因为直线l 经过点P(2,1)，所以6－2＋c ＝0，即c ＝－4，从而所求直线的方程为3x －2y －4＝0.法二：k1＝－1－23＝32，故所求直线方程为y －1＝32(x －2)，即3x －2y －4＝0.答案：3x －2y －4＝0 3. 已知直线l1：y ＝2x ＋3，直线l2与l1关于直线y ＝－x 对称，则直线l2的斜率为________． 解析：∵l2，l1关于y ＝－x 对称， ∴l2的方程为－x ＝－2y ＋3.即y ＝12x ＋32.∴l2的斜率为12.答案：124．(2013·盐城二模)若直线y ＝kx ＋1与直线2x ＋y －4＝0垂直，则k ＝________. 解析：因为直线2x ＋y －4＝0的斜率为－2， 故由条件得k ＝12.答案：125. 设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为3，且|PA|＝|PB|，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是________．解析：由|PA|＝|PB|知点P 在AB 的垂直平分线上．由点P 的横坐标为3，且PA 的方程为x －y ＋1＝0，得P(3，4)．直线PA ，PB 关于直线x ＝3对称，直线PA 上的点(0,1)关于直线x ＝3的对称点(6,1)在直线PB 上， ∴直线PB 的方程为x ＋y －7＝0. 答案：x ＋y －7＝06. 在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴，y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上，若折痕所在直线的斜率为k(k≠0)，则折痕所在直线的方程为________．解析：设将矩形折叠后A 点落在线段CD 上对应的点为G(a,1)(0≤a≤2)，所以A 与G 关于折痕所在的直线对称，设所求直线的斜率为k ，则有kAG·k＝－1，即1a·k＝－1，得a ＝－k ，故G 点的坐标为(－k,1)(－2≤k<0)，从而折痕所在的直线与OG 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，12 ，折痕所在直线的方程为y －12＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 2，即y ＝kx ＋k22＋12(－2≤k<0)．答案：y ＝kx ＋12k2＋12(－2≤k<0)7．已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为________．解析：由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a2＋1＝|6a ＋3＋1|a2＋1，解得a ＝－13或－79.答案：－13或－798. 创新题在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0，－1)，B(－3，－4)．若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC |＝10，则点C 的坐标是________．解析：法一：设点C 的坐标是(x ，y)，且x<0，y<0，直线OB 的方程为y ＝43x ，因为点C 在∠AOB 的平分线上，所以点C 到直线OB 与y 轴的距离相等，从而|4x －3y|5＝|x|，又x2＋y2＝10，联立解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－3，所以点C 的坐标是(－1，－3)．法二：设点C 的坐标是(x ，y)，且x<0，y<0.因为点C 在∠AOB 的平分线上，所以由cos OC ，OA ＝OC ，OB 得－y 1×10＝－3x －4y 510.又x2＋y2＝10，联立解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－3.所以点C 的坐标是(－1，－3)．答案：(－1，－3) 9．(2013·南京二模)过点(1,2)的直线l 与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积最小时，直线l 的方程是________． 解析：设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a>1，b>2)．又点(1,2)在l 上，所以1a ＋2b ＝1.而1＝1a ＋2b≥21a ·2b ，所以ab≥8，当且仅当1a ＝2b ＝12，即a ＝2，b ＝4时，等号成立，此时△AOB 的面积S ＝12ab 最小．因此l 的方程为x 2＋y4＝1，即2x ＋y －4＝0.答案：2x ＋y －4＝010．(2013·无锡调研)不过原点的直线l 是曲线y ＝ln x 的切线，且直线l 与x 轴、y 轴的截距之和为0，则直线l 的方程为________．解析：由题意可知，l 的斜率k ＝1，所以f′(x)＝1x ＝1，所以x ＝1.即切点坐标为(1,0)，所以直线l 的方程为y ＝x －1. 答案：x －y －1＝0 第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·南通一调)若a1x≤sin x≤a2x 对任意的x ∈[0，π2]都成立，则a2－a1的最小值为________．解析：当过原点的直线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1时，a1取得最大值2π；当过原点的直线为点(0,0)处的切线时，a2取得最小值1.所以a2－a1的最小值为1－2π.答案：1－2π2．(2013·镇江三调)已知过点P(9，3)的直线l 与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，则A ，B 之间距离的最小值为________．解析：依题意设∠BAO ＝α，则α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以AB ＝PA ＋PB ＝3sin α＋9cos α.令f(α)＝3sin α＋9cos α，则 f′(α)＝－3·cos αsin2α＋9·sin αcos2 α＝－3cos3 α－9sin3 αsin2 α·cos2 α.令f′(α)＝0，得3cos3α－9sin3α＝0，得tan3 α＝133，解得tan α＝13＝33.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＝π6. 当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6时，f′(α)<0，f(α)在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6上单调递减；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2时，f′(α)>0，f(α)在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上单调递增．从而当α＝π6时，f(α)取极小值即为最小值，所以AB ＝f(α)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝3sin π6＋9cosπ6＝23＋63＝8 3. 答案：8 3第三节圆_的_方_程对应学生用书P1101．圆的定义及方程2．点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x －a)2＋(y －b)2＝r2的位置关系： (1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2. (2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2. (3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.对于方程x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F ＞0这一成立条件． [试一试]若方程x2＋y2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆，则m 的取值范围是________． 解析：由(4m)2＋4－4×5m＞0知m ＜14或m ＞1.答案：(－∞，14)∪(1，＋∞)1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数． 2．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． [练一练]1．圆心在y 轴上且通过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是________． 解析：设圆心为(0，b)，半径为r ，则r ＝|b|， ∴圆的方程为x2＋(y －b)2＝b2. ∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b)2＝b2，解得：b ＝5. ∴圆的方程为x2＋y2－10y ＝0. 答案：x2＋y2－10y ＝02．以直线3x －4y ＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为______________． 解析：法一：直线3x －4y ＋12＝0与两坐标轴的交点分别为A(－4,0)，B(0,3)， 所以线段AB 的中点为C ⎝⎛⎭⎪⎫－2，32，|AB|＝5. 故所求圆的方程为(x ＋2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522. 法二：易得圆的直径的两端点为A(－4,0)，B(0,3)， 设P(x ，y)为圆上任一点，则PA ⊥PB. ∴kPA·kPB＝－1得y x ＋4·y －3x＝－1(x≠－4，x≠0)， 即x(x ＋4)＋y(y －3)＝0.化简得(x ＋2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522. 答案：(x ＋2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝254对应学生用书P111圆的方程1．(2014·苏北四市摸底)轴上，半径为2的圆y 轴的右侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆C 的标准方程为________．解析：设圆心为(a,0)(a>0)，由题意得|a|2＝2，所以a ＝2(a ＝－2舍去)，即圆C 的圆心为(2,0)，所以圆C 的标准方程为(x －2)2＋y2＝2.答案：(x －2)2＋y2＝22．经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1.答案：(x －1)2＋(y －1)2＝13. 过直线2x ＋y ＋4＝0和圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的交点，并且面积最小的圆的方程为________．解析：设所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2－4＋k(2x ＋y ＋4)＝0， 即x2＋y2＋2(k ＋1)x ＋(k －4)y ＋1＋4k ＝0，化为圆的标准方程得[x ＋(k ＋1)]2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤y ＋12－2＝(k ＋1)2＋14(k －4)2－(4k ＋1)，由(k ＋1)2＋14(k －4)2－(1＋4k)＞0，得5k2－16k ＋16＞0， 此时，所求圆的半径 r ＝ ＋＋14－－＋＝125k2－16k ＋16. 显然，当k ＝－－1610，即k ＝85时，5k2－16k ＋16有最小值165，此时，圆的半径最小，从而面积最小．故所求的圆的方程为x2＋y2＋265x －125y ＋375＝0.答案：x2＋y2＋265x －125y ＋375＝0[备课札记][类题通法]1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组．2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想.归纳起来常见的命题角度有：斜率型最值问题； 截距型最值问题； 距离型最值问题； 利用对称性求最值.角度一 斜率型最值问题1．已知实数x ，y 满足方程x2＋y2－4x ＋1＝0.求yx 的最大值和最小值．解：原方程可化为(x －2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx＝k ，即y ＝kx.当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k2＋1＝ 3，解得k ＝± 3.(如图)所以yx的最大值为3，最小值为－ 3.角度二 截距型最值问题2.在[角度一]条件下求y －x 的最大值和最小值．解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝ 3，解得b ＝－2± 6.(如图)所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. 角度三 距离型最值问题3．在[角度一]条件下求x2＋y2的最大值和最小值．解：x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．(如图) 又圆心到原点的距离为－＋－＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是()2－32＝7－4 3. 角度四 利用对称性求最值4．(2013·重庆高考改编)已知圆C1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C1，C2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为________． 解析：两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作点C1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)，则(|PC1|＋|PC2|)min ＝|C ′1C2|＝52，所以(|PM|＋|PN|)min ＝52－(1＋3)＝52－4. 答案：52－4[备课札记][类题通法]数形结合法求解与圆有关的最值问题(1)形如t ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如t ＝(x －a)2与圆有关的轨迹问题[典例] 中，已知圆P x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3. (1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． [解] (1)设P(x ，y)，圆P 的半径为r.由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，从而y2＋2＝x2＋3. 故P 点的轨迹方程为y2－x2＝1. (2)设P(x0，y0)．由已知得|x0－y0|2＝22. 又P 点在双曲线y2－x2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x0－y0|＝1，y20－x20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x0－y0＝1，y20－x20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝0，y0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧x0－y0＝－1，y20－x20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝0，y0＝1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.故圆P 的方程为x2＋(y －1)2＝3或x2＋(y ＋1)2＝3.[备课札记] [类题通法]求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下做法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． [针对训练]已知OP ＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，α∈R ，O 为坐标原点，向量OQ 满足OP ＋OQ ＝0，则动点Q 的轨迹方程是________．解析：设Q(x ，y)，由OP ＋OQ ＝(2＋2cos α＋x,2＋2sin α＋y)＝(0,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2cos α，y ＝－2－2sin α，∴(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝4. 答案：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝4 对应学生用书P112[课堂练通考点]1．若点(2a ，a ＋1)在圆x2＋(y －1)2＝5的内部，则a 的取值范围是________． 解析：∵点(2a ，a ＋1)在圆x2＋(y －1)2＝5的内部， ∴(2a)2＋a2＜5，解得－1＜a ＜1. 答案：(－1,1)2. 若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是________．解析：由于圆心在第一象限且于x 轴相切，故设圆心为(a,1)，又圆与直线4x －3y ＝0相切可得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1. 答案：(x －2)2＋()y －12＝13．(2014·无锡期末)已知圆C1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C2的方程为________． 解析：由题意得C1(－1,1)，圆心C2与C1关于直线x －y －1＝0对称，且半径相等，则C2(2，－2)，所以圆C2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 答案：(x －2)2＋(y ＋2)2＝14. 已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C 是圆x2＋y2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________．解析：lAB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的距离d ＝32，则AB 边上的高的最小值为32－1.故△ABC 面积的最小值是12×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝3－ 2.答案：3－ 25. 已知以点P 为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD|＝410. (1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)． 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)， 即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P(a ，b)，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①又∵直径|CD|＝410，∴|PA|＝210， ∴(a ＋1)2＋b2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)．∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40 或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40. [课下提升考能] 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2013·盐城一调)已知点P(a ，b)关于直线l 的对称点为P′(b＋1，a －1)，则圆C ：x2＋y2－6x －2y ＝0关于直线l 对称的圆C′的方程为________．解析：圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝10，圆关于直线的对称圆半径相等，圆心关于直线对称．又由题意知，点(3,1)关于直线l 的对称点为(2,2)，即得圆C′的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝10.答案：(x －2)2＋(y －2)2＝102. (2013·东城二模)已知圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝1上一点P 到直线3x －4y －3＝0距离为d ，则d 的最小值为________．解析：∵圆心C(－1,1)到直线3x －4y －3＝0距离为－－4－3|5＝2，∴dmin ＝2－1＝1. 答案：13. 已知点P(x ，y)是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x2＋y2－2y ＝0的两条切线，A ，B 为切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为________．解析：圆C 的方程可化为x2＋(y －1)2＝1，因为四边形PACB 的最小面积是2，且此时切线长为2，故圆心(0,1)到直线kx ＋y ＋4＝0的距离为5，即51＋k2＝5，解得k ＝±2，又k ＞0，所以k ＝2. 答案：24．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为________．解析：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π，设圆心(0，a), 半径为r ，则rsin π3＝1，rcos π3＝|a|，解得r ＝23，即r2＝43，|a|＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y±332＝43. 答案：x2＋⎝⎛⎭⎪⎫y±332＝43 5．(2013·苏锡常镇二调)若圆(x －2a)2＋(y －a －3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是________．解析：动点到原点距离为1，故动点轨迹方程为x2＋y2＝1，由题意知两个圆总相交，即1<－＋＋3－<3，。

第二节 两条直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2.(2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2.2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．三种距离公式 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点之间的距离 |P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间距离 d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 21．(2018·金华四校联考)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx＋3y －2＝0平行，则m ＝( )A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－3解析：选C ∵直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，∴2m ＝m ＋13≠4－2，解得m ＝2或－3. 2．“a ＝14”是“直线(a ＋1)x ＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)x ＋(a ＋1)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由直线(a ＋1)x ＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)x ＋(a ＋1)y －3＝0相互垂直，得(a ＋1)(a －1)＋3a (a ＋1)＝0，即4a 2＋3a －1＝0，解得a ＝14或－1，∴“a ＝14”是“直线(a ＋1)x ＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)x ＋(a ＋1)y －3＝0相互垂直”的充分不必要条件，故选A.3．(2018·浙江五校联考)已知动点P 的坐标为(x,1－x )，x ∈R ，则动点P 的轨迹方程为________，它到原点距离的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则y ＝1－x ，即动点P 的轨迹方程为x ＋y －1＝0.原点到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝|0＋0－1|1＋1＝22，即为所求原点到动点P 的轨迹的最小值．答案：x ＋y －1＝0 221．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．[小题纠偏]1．已知P ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，Q ：a ＝－1，则P 是Q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由于直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a －(－1)×1＝0，即a ＝－1.所以P 是Q 的充要条件．2．(2018·安庆模拟)若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( )A ．7B.172 C ．14 D ．17解析：选B 直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，解得m ＝172. 考点一 两条直线的位置关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知a ≠0，直线ax ＋(b ＋2)y ＋4＝0与直线ax ＋(b －2)y －3＝0互相垂直，则ab 的最大值为( )A ．0B ．2C ．4 D.2解析：选B 若b ＝2，两直线方程分别为y ＝－a 4x －1和x ＝3a，此时两直线相交但不垂直．若b ＝－2，两直线方程分别为x ＝－4a和y ＝a 4x －34，此时两直线相交但不垂直．若b ≠±2，两直线方程分别为y ＝－a b ＋2x －4b ＋2和y ＝－a b －2x ＋3b －2，此时两直线的斜率分别为－a b ＋2，－a b －2，由－ab ＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b －2＝－1，得a 2＋b 2＝4.因为a 2＋b 2＝4≥2ab ，所以ab ≤2，且当a ＝b ＝2或a ＝b ＝－2时取等号，故ab 的最大值为2.2．(2018·诸暨模拟)已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0平行，则2a ＋3b 的最小值为________．解析：由两直线平行可得，a (b －3)＝2b ，即2b ＋3a ＝ab ，2a＋3b ＝1.又a ，b 为正数，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ＝13＋6a b＋6b a ≥13＋2 6a b ·6b a＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，故2a ＋3b 的最小值为25.答案：253．已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使(1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)；(2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－8＋n ＝0，2m －m －1＝0，解得m ＝1，n ＝7.即m ＝1，n ＝7时，l 1与l 2相交于点P (m ，－1)．(2)∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，－m －2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－4，n ≠2.即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2.(3)当且仅当2m ＋8m ＝0，即m ＝0时，l 1⊥l 2.又－n8＝－1，∴n＝8.即m＝0，n＝8时，l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.[谨记通法]1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.[提醒] 当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况．2．由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B21≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)l1与l2垂直的充要条件A1A2＋B1B2＝0l1与l2平行的充分条件A1A2＝B1B2≠C1C2(A2B2C2≠0)l1与l2相交的充分条件A1A2≠B1B2(A2B2≠0)l1与l2重合的充分条件A1A2＝B1B2＝C1C2(A2B2C2≠0)[提醒] 在判断两直线位置关系时，比例式A1A2与B1B2，C1C2的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答．考点二距离问题重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2018·衢州模拟)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A. 2 B.823C. 3D.833解析：选B 因为l 1∥l 2，所以1a －2＝a 3≠62a，解得a ＝－1，所以l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232＝823. 2．直线3x ＋4y －3＝0上一点P 与点Q(2，－2)的连线的最小值是________．解析：∵点Q 到直线的距离即为P ，Q 两点连线的最小值，∴|P Q|min ＝|3×2＋4×－2－3|32＋42＝1. 答案：13．若直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为________．解析：法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13. ∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0. 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意．故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.法二：当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13， ∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0. 当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1,4)．∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.答案：x ＋3y －5＝0或x ＝－1[由题悟法]处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而使计算简便．[即时应用]1．已知P 是直线2x －3y ＋6＝0上一点，O 为坐标原点，且点A 的坐标为(－1,1)，若|PO |＝|PA |，则P 点的坐标为________．解析：法一：设P (a，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －3b ＋6＝0，a 2＋b 2＝a ＋12＋b －12， 解得a ＝3，b ＝4.∴P 点的坐标为(3,4)．法二：线段OA 的中垂线方程为x －y ＋1＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＋6＝0，x －y ＋1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝4，则P 点的坐标为(3,4)．答案：(3,4)2．已知直线l ：ax ＋y －1＝0和点A (1,2)，B (3,6)．若点A ，B 到直线l 的距离相等，则实数a 的值为________．解析：法一：要使点A ，B 到直线l 的距离相等，则AB ∥l ，或A ，B 的中点(2,4)在直线l 上．所以－a ＝6－23－1＝2或2a ＋4－1＝0， 解得a ＝－2或－32. 法二：要使点A ，B 到直线l 的距离相等，则|a ＋1|a 2＋1＝|3a ＋5|a 2＋1，解得a ＝－2或－32. 答案：－2或－32考点三 对称问题题点多变型考点——多角探明[锁定考向]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．常见的命题角度有：(1)点关于点对称；(2)点关于线对称；(3)线关于线对称．[题点全练]角度一：点关于点对称1．过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x －3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．解析：设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0.答案：x＋4y－4＝02．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程为________．解析：法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如M(1,1)，N(4，3)，则M ，N 关于点A 的对称点M ′，N ′均在直线l ′上．易知M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0.法二：设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，∵P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0.答案：2x －3y －9＝0角度二：点关于线对称3．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求：(1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． 解：(1)设A ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013. 设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0.得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.角度三：线关于线对称4．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是( )A ．x －2y ＋3＝0B ．x －2y －3＝0C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选A 设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－y －y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上，∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0.[通法在握]1．中心对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．2．轴对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于直线的对称：若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)．(2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[演练冲关]1．已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－2，－4)C ．(2,4)D ．(2，－4)解析：选C 设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝－2，∴BC 所在直线的方程为y －1＝－2－14－3(x －3)，即3x ＋y －10＝0. 同理可得点B (3,1)关于直线y ＝2x 的对称点为(－1,3)，∴AC 所在直线的方程为y －2＝3－2－1－－4(x ＋4)，即x －3y ＋10＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y －10＝0，x －3y ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4，可得C (2,4)．2．已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b －4a －－3·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0. 又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1， 即6x －y －6＝0.答案：6x －y －6＝0 3．已知△ABC 中，顶点A (4,5)，点B 在直线l ：2x －y ＋2＝0上，点C 在x 轴上，求△ABC 周长的最小值．解：设点A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0的对称点为A 1(x 1，y 1)，点A 关于x 轴的对称点为A 2(x 2，y 2)，连接A 1A 2交l 于点B ，交x 轴于点C ，则此时△ABC 的周长取最小值，且最小值为||A 1A 2.∵A 1与A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1－5x 1－4×2＝－1，2×x 1＋42－y 1＋52＋2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝7.∴A 1(0,7)．易求得A 2(4，－5)， ∴△ABC 周长的最小值为 ||A 1A 2＝4－02＋－5－72＝410.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·浙江名校协作体联考)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a a －2＝3×1，a ×1≠3×1，解得a ＝－1，故选C.2．(2018·丽水调研)已知直线l 1过点(－2,0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2,0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( )A ．(3，3)B ．(2，3)C ．(1，3) D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32 解析：选C 直线l 1的斜率为k 1＝tan 30°＝33，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以k 2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝33(x ＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(x －2)．两式联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3)．3．(2018·诸暨期初)已知点A (7，－4)关于直线l 的对称点为B (－5,6)，则该对称直线l 的方程为( )A ．6x ＋5y －1＝0B ．5x ＋6y ＋1＝0C ．5x －6y －1＝0D ．6x －5y －1＝0解析：选D 由题可得，直线l 是线段AB 的垂直平分线．因为A (7，－4)，B (－5,6)，所以k AB ＝6＋4－5－7＝－56，所以k l ＝65.又因为A (7，－4)，B (－5,6)的中点坐标为(1,1)．所以直线l 的方程为y －1＝65(x －1)，即6x －5y －1＝0. 4．已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．解析：由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.因为|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0,10]．答案：[0,10]5．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________． 解析：依题意知，63＝a －2≠c －1， 解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c 2＝0， 又两平行直线之间的距离为21313， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋－22＝21313，解得c ＝2或－6. 答案：2或－6二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·舟山调研)在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|M Q|2的值为( )A.102B.10 C ．5 D ．10 解析：选D 由题意知P (0,1)，Q(－3,0)，∵过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，∴M 位于以P Q 为直径的圆上，∵|P Q|＝9＋1＝10，∴|MP |2＋|M Q|2＝|P Q|2＝10.2．(2018·慈溪模拟)曲线y ＝2x －x 3在x ＝－1处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为( )A.722B.922C.1122D.91010解析：选A 由题可得，切点坐标为(－1，－1)．y ′＝2－3x 2，由导数的几何意义可知，该切线的斜率为k ＝2－3＝－1，所以切线的方程为x ＋y ＋2＝0.所以点P (3,2)到直线l 的距离为d ＝|3＋2＋2|12＋12＝722. 3．(2018·绵阳模拟)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|P Q|的最小值为( )A.95B.185C.2910D.295解析：选C 因为36＝48≠－125，所以两直线平行， 由题意可知|P Q|的最小值为这两条平行直线间的距离， 即|－24－5|62＋82＝2910， 所以|P Q|的最小值为2910. 4．(2018·厦门模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n 等于( )A.345B.365C.283D.323解析：选A 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋n 2＝2×7＋m 2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝35，n ＝315，故m ＋n＝345. 5．(2018·钦州期中)已知直线l 的方程为f (x ，y )＝0，P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)分别为直线l 上和l 外的点，则方程f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0表示( )A ．过点P 1且与l 垂直的直线B ．与l 重合的直线C ．过点P 2且与l 平行的直线D ．不过点P 2，但与l 平行的直线解析：选C 由直线l 的方程为f (x ，y )＝0，知方程f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0表示与l 平行的直线，P 1(x 1，y 1)为直线l 上的点，则f (x 1，y 1)＝0，f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0化为f (x ，y )－f (x 2，y 2)＝0，显然P 2(x 2，y 2)满足方程f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0，所以f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0表示过点P 2且与l 平行的直线．故选C.6．已知三角形的一个顶点A (4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l 1：x －y －1＝0和l 2：x －1＝0，则BC 边所在直线的方程为________________．解析：A 不在这两条角平分线上，因此l 1，l 2是另两个角的角平分线．点A 关于直线l 1的对称点A 1，点A 关于直线l 2的对称点A 2均在边BC 所在直线l 上．设A 1(x 1，y 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋1x 1－4×1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝3，所以A 1(0,3)．同理设A 2(x 2，y 2)，易求得A 2(－2，－1)．所以BC 边所在直线方程为2x －y ＋3＝0.答案：2x －y ＋3＝07．(2018·余姚检测)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________．解析：显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k2， ∴k ＝2或k ＝－23. ∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0. 答案：2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝08.如图所示，已知两点A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程为________．解析：易得AB 所在的直线方程为x ＋y ＝4，由于点P 关于直线AB 对称的点为A 1(4,2)，点P 关于y 轴对称的点为A 2(－2,0)，则光线所经过的路程即A 1与A 2两点间的距离．于是|A 1A 2|＝4＋22＋2－02＝210.答案：2109．(2018·绍兴一中检测)两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是________．解析：∵l 1∥l 2，且P ∈l 1，Q ∈l 2，∴l 1，l 2间的最大距离为|P Q|＝[2－－1]2＋－1－32＝5，又l 1与l 2不重合，∴l 1，l 2之间距离的取值范围是(0,5]．答案：(0,5]10．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解：依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)，∴l AC 的方程为2x ＋y －11＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，得C (4,3)．设B (x 0，y 0)，则AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12， 代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，得B (－1，－3)，∴k BC ＝65， ∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)， 即6x －5y －9＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知线段AB 的两个端点A (0，－3)，B (3,0)，且直线y ＝2λx ＋λ＋2与线段AB 总相交，则实数λ的取值范围为________． 解析：如图所示，因为y ＝2λx ＋λ＋2恒过定点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2，连接AC ，CB ，所以直线AC 的斜率k AC＝－10，直线BC 的斜率k BC ＝－47. 又直线y ＝2λx ＋λ＋2与线段AB 总相交，所以k AC ≤2λ≤k BC ，所以λ的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－27. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－27 2．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)．(1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标．(2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程． 解：(1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝3，所以直线l 恒过定点(－2,3)．(2)由(1)知直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大．又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15， 所以直线l 的斜率k l ＝－5.故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.。

第二讲 两条直线的位置关系知识梳理·双基自测知识梳理知识点一 两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括__平行、相交、重合__三种情况． (1)两条直线平行对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2． 对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)两条直线垂直对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1．对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔__A 1A 2＋B 1B 2＝0__． 知识点二 两条直线的交点直线l 1和l 2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．相交⇔方程组有__唯一解__； 平行⇔方程组__无解__； 重合⇔方程组有__无数个解__． 知识点三 三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2． 特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2． (2)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2．(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2． 归纳拓展1．求解距离问题的规律运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平行线间的距离公式时，需先把两平行线方程中x ，y 的系数化为相同的形式．2．对称问题的求解规律(1)中心对称：转化为中点问题处理．(2)轴对称：转化为垂直平分线问题处理．特殊地：点P (a ，b )关于直线x ＋y ＋m ＝0对称的点坐标为(－b －m ，－a －m )，点P (a ，b )关于直线x －y ＋m ＝0对称的点坐标为(b －m ，a ＋m )．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两直线的斜率相等，则两直线平行，反之，亦然．( × )(2)如果两条直线l 1与l 2垂直，那么它们的斜率之积一定等于－1．( × )(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0．( √ )(4)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2．( × )(5)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB 的中点在直线l 上．( √ )题组二 走进教材2．(课本习题改编)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( A ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝03．(必修2P 110B 组T2)已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( C ) A ． 2 B ．2－ 2 C ．2－1D ．2＋1[解析] 由题意得|a －2＋3|1＋1＝1．解得a ＝－1＋2或a ＝－1－2． ∵a ＞0，∴a ＝－1＋2． 题组三 走向高考4．(2020·高考全国Ⅲ)点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离的最大值为( B ) A ．1 B ． 2 C ． 3D ．2 [解析] 解法一：由y ＝k (x ＋1)可知直线过定点P (－1,0)，设A (0，－1)，当直线y ＝k (x ＋1)与AP 垂直时，点A 到直线y ＝k (x ＋1)距离最大，即为|AP |＝2，故选B ．解法二：因为点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离d ＝|1＋k |k 2＋1＝k 2＋2k ＋1k 2＋1＝1＋2k k 2＋1；∵要求距离的最大值，故需k ＞0；可得d ＝1＋2k ＋1k≤2，当且仅当k ＝1时取等号，故选B ．5．(2018·全国)坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为__(6，－6)__．[解析] 设坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为(a ，b )，则⎩⎨⎧ba ×1＝－1a 2－b2－6＝0，解得a ＝6，b ＝－6，∴坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为(6，－6)．考点突破·互动探究考点一 两条直线平行、垂直的关系——自主练透例1 (1)(2021·高安期中)经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( A )A ．6x －4y －3＝0B ．3x －2y －3＝0C ．2x ＋3y －2＝0D ．2x ＋3y －1＝0(2)“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(3)(2021·青岛调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( C ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3D ．－2或－3(4)等腰直角三角形斜边的中点是M (4,2)，一条直角边所在直线的方程为y ＝2x ，则另外两边所在直线的方程为__x －3y ＋2＝0、x ＋2y －14＝0__．[解析] (1)因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l 的方程为y ＝32⎝⎛⎭⎫x －12，化为一般式，得6x －4y －3＝0． (2)由l 1⊥l 2，得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0，∴m ＝3或m ＝－2，∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件．(3)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m (m ＋1)＝6，4m ≠－4，解得m ＝2或－3．故选C ．(4)设斜边所在直线的斜率为k ，由题意知tan π4＝2－k 1＋2k ＝1，∴k ＝13，∴斜边所在直线方程为y －2＝13(x －4)，即x －3y ＋2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x x －3y ＋2＝0可知A ⎝⎛⎭⎫25，45， ∴A 关于M 的对称点B ⎝⎛⎭⎫385，165，∴另一条直角边的方程为y －165＝－12⎝⎛⎭⎫x －385， 即x ＋2y －14＝0，故填x －3y ＋2＝0、x ＋2y －14＝0．名师点拨(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论． 〔变式训练1〕(1)(2021·吉林长春模拟)曲线f (x )＝2sin x 在x ＝π3处的切线与直线ax ＋y －1＝0垂直，则a＝__1__．(2)(2012·浙江)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y ＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0”平行的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)由题得f ′(x )＝2cos x ，∴k ＝f ′⎝⎛⎭⎫π3＝1．所以1×(－a )＝－1，∴a ＝1． (2)l 1∥l 2⇔a 2＋a －2＝0⇔a ＝1或－2，∴a ＝1是l 1∥l 2的充分不必要条件．故选A ． 考点二 两直线的交点、距离问题——师生共研例2 (1)两条垂直直线l 1：2x ＋y ＋1＝0与l 2：ax ＋4y －6＝0的交点到原点的距离为__2__．(2)已知点P (2，－1)．①求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；②求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？③是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．(3)(2020·上海)已知直线l 1：x ＋ay ＝1，l 2：ax ＋y ＝1，若l 1∥l 2，则l 1与l 2的距离为__2__． [解析] (1)kl 1＝－2，kl 2＝－a 4，由l 1⊥l 2知－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4＝－1，∴a ＝－2，∴l 2：x －2y ＋3＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0x －2y ＋3＝0得交点A (－1，1)，∴|AO |＝2． (2)①过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过点P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2． 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0．由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34．此时l 的方程为3x －4y －10＝0．综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0．②作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1， 所以k l ＝－1k OP＝2．由直线方程的点斜式，得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0．所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝5．③由②可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．(3)直线l 1：x ＋ay ＝1，l 2：ax ＋y ＝1， 当l 1∥l 2时，a 2－1＝0，解得a ＝±1； 当a ＝1时l 1与l 2重合，不满足题意； 当a ＝－1时l 1∥l 2，此时l 1：x －y －1＝0，l 2：x －y ＋1＝0； 则l 1与l 2的距离为d ＝|－1－1|12＋(－1)2＝2．名师点拨距离的求法(1)点到直线的距离：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． (2)两平行直线间的距离：①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式．提醒：在应用两条平行线间的距离公式时，应把直线方程化为一般形式，且使x 、y 的系数分别相等．〔变式训练2〕(1)(2021·西南名校联盟联考)设直线l 1：3x －y －1＝0与直线l 2：x ＋2y －5＝0的交点为A ，则A 到直线l ：x ＋by ＋2＋b ＝0的距离的最大值为( C )A ．4B ．10C ．3 2D ．11(2)已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0距离相等，则m 的值可以为( C ) A ．－6或12B ．－12或1C ．12或－6D ．1或－6(3)(2021·绵阳模拟)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( C )A ．95B ．185C ．2910D ．295[解析] (1)解法一：显然l 1与l 2的交点A (1,2)，又直线l 过点B (－2，－1)，∴所求最大距离为|AB |＝32，故选C ．解法二：显然l 1与l 2的交点为A (1,2)，则A 到直线l 的距离d ＝|1＋2b ＋2＋b |1＋b 2＝31＋b 2＋2b1＋b 2＝31＋2b 1＋b 2≤32(当且仅当b ＝1时取等号)，故选C ． (2)直线mx ＋y ＋3＝0与直线AB 平行或过AB 中点，∴－m ＝4－2－1－3＝－12，即m ＝12；AB中点(1,3)，∴m ＋3＋3＝0即m ＝－6，故选C ．(3)因为36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910．考点三,对称问题——多维探究 角度1 线关于点的对称例3 (2021·河北五校联考)直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M ，则直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为( D )A ．2x ＋3y －12＝0B ．2x －3y －12＝0C ．2x －3y ＋12＝0D ．2x ＋3y ＋12＝0[解析] 由ax ＋y ＋3a －1＝0，可得y －1＝－a (x ＋3)，所以M (－3,1)，M 不在直线2x ＋3y －6＝0上，设直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)，则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)，所以所求方程为2x ＋3y ＋12＝0，故选D ．另解：在直线2x ＋3y －6＝0上取点A (0,2)、B (3,0)，则A 、B 关于M 的对称点分别为A ′(－6,0)，B ′(－9,2)，又k A ′B ′＝2－0－9－(－6)＝－23，故所求直线方程为y ＝－23(x ＋6)，即2x ＋3y＋12＝0．故选D ．角度2 点关于线的对称例4 (2021·长沙一模)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为__6x －y －6＝0__．[解析] 设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎨⎧b －4a －(－3)＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0．又反射光线经过点N (2，6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0． (代入法)当x ＝－3时，由x －y ＋3＝0得y ＝0， 当y ＝4时，由x －y ＋3＝0得x ＝1． ∴M (－3,4)关于直线l 的对称点为M ′(1,0)．又k NM ′＝6－02－1＝6，∴所求直线方程为y ＝6(x －1)，即6x －y －6＝0．[引申]本例中入射光线所在直线的方程为__x －6y ＋27＝0__．[解析] N (2,6)关于直线l 的对称点N ′(3,5)，又k MN ′＝5－43－(－3)＝16，∴所求直线方程为y－4＝16(x ＋3)，即x －6y ＋27＝0．角度3 线关于线的对称例5 (2021·合肥模拟)已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0．若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( B )A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0[解析] 解法一：因为l 1与l 2关于l 对称，所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设它关于l 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即(1,0)，(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2的方程为x －2y －1＝0．解法二：在l 1上取两点A (0，－2)，B (1,0)，则A 、B 关于l 的对称点分别为A ′(－1，－1)，B ′(1,0)，∴k A ′B ′＝0－(－1)1－(－1)＝12．∴l 2的方程为y －0＝12(x －1)，即x －2y －1＝0．故选B ．解法三：设P (x ，y )是直线l 2上任一点，则P 关于直线l 的对称点为P ′(y ＋1，x －1)，又P ′∈l 1，∴2(y ＋1)－(x －1)－2＝0，即直线l 2的方程为x －2y －1＝0．故选B ．名师点拨对称问题的解法以光线反射为代表的很多实际问题，都可以转化为对称问题，关于对称问题，一般常见的有：(1)中心对称①点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有⎩⎨⎧n －bm －a×(－AB )＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．特别地，当对称轴的斜率为±1时，可类比关于y ＝x 的对称问题采用代入法，如(1,3)关于y ＝x ＋1的对称点为(3－1，1＋1)，即(2,2)．〔变式训练3〕已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)(角度2)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)(角度3)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)(角度1)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． [解析] (1)设A ′(x ，y )，由已知条件得⎩⎨⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413． (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎨⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013．设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)． 又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0．(3)设P (x ，y )在l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )， ∵点P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0．名师讲坛·素养提升巧用直线系求直线方程例6 (1)求证：动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0(其中m ∈R )恒过定点，并求出定点坐标；(2)求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．[解析] (1)证明：解法一：令m ＝0，则直线方程为3x ＋y ＋1＝0．再令m ＝1时，直线方程为6x ＋y ＋4＝0． ①和②联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＋1＝0，6x ＋y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.将点A (－1,2)的坐标代入动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0中，(m 2＋2m ＋3)×(－1)＋(1＋m －m 2)×2＋3m 2＋1＝(3－1－2)m 2＋(－2＋2)m ＋2＋1－3＝0，故动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0恒过定点A ．解法二：将动直线方程按m 降幂排列整理，得m 2(x －y ＋3)＋m (2x ＋y )＋3x ＋y ＋1＝0，① 不论m 为何实数，①式恒为零，∴有⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，3x ＋y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2. 故动直线恒过点A (－1,2)．(2)解法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得P (0,2)． 因为l 3的斜率为34，且l ⊥l 3，所以直线l 的斜率为－43， 由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2， 即4x ＋3y －6＝0．解法二：设所求直线方程为4x ＋3y ＋m ＝0，将解法一中求得的交点P (0,2)代入上式可得m ＝－6，故所求直线方程为4x ＋3y －6＝0．解法三：设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0．又∵l ⊥l 3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11．∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0．[引申]若将本例(2)中的“垂直”改为“平行”，则直线l 的方程为__3x －4y ＋8＝0__．名师点拨]1．确定方程含参数的直线所过定点的方法：(1)将直线方程写成点斜式y －y 0＝f (λ)(x －x 0)，从而确定定点(x 0，y 0)．(2)将直线方程整理成关于参数的方程，由方程中各项系数及常数项为0确定定点．(3)给参数取两个不同值，再解直线方程构成的方程组，从而确定定点坐标．2．直线系的主要应用(1)共点直线系方程：经过两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中A 1B 2－A 2B 1≠0，待定系数λ∈R ．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，因此它不能表示直线l 2．(2)过定点(x 0，y 0)的直线系方程为y －y 0＝k (x －x 0)(k 为参数)及x ＝x 0．(3)平行直线系方程：与直线y ＝kx ＋b 平行的直线系方程为y ＝kx ＋m (m 为参数且m ≠b )；与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C ，λ是参数)．(4)垂直直线系方程：与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋λ＝0(λ为参数)．如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，那么可选用直线系方程来求解．〔变式训练4〕(1)(2021·启东模拟)不论m 为何值时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点( D )A ．⎝⎛⎭⎫1，－12 B ．(－2,0) C ．(2,3) D ．(9，－4)(2)与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线的方程是__5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0__．[解析] (1)解法一：由(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5，得(x ＋2y －1)m －(x ＋y －5)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，得定点坐标为(9，－4)，故选D ． 解法二：令m ＝1，则y ＝－4；令m ＝12，则－12x ＝－92，即x ＝9，∴直线过定点(9，－4)，故选D ． 解法三：将直线方程化为(2m －1)(y ＋a )＝(1－m )(x ＋b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－52a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－9，∴y ＋4＝1－m 2m －1(x －9)，故直线过点(9，－4)，故选D ．(2)设所求直线的方程为5x－12y＋c＝0，则|c－6|52＋122＝2，解得c＝32或－20，故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0．。

坐标系与参数方程第一节坐_标_系基础盘查一 平面直角坐标系中的伸缩变换 (一)循纲忆知理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况． (二)小题查验 1．判断正误(1)在伸缩变换下，直线仍然变成直线，圆仍然变成圆( ) (2)在伸缩变换下，椭圆可变为圆，圆可变为椭圆( ) 答案：(1)× (2)√2．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，则在这一坐标变换下正弦曲线y ＝sin x 的方程变为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝13y ′.代入y ＝sin x 中得y ′＝3sin 2x ′. 答案：y ′＝3sin 2x ′基础盘查二 极坐标系的概念及极坐标和直角坐标的互化 (一)循纲忆知能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化⎝⎛x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0).(二)小题查验1．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为________．解析：因为点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为－π3，所以点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3.答案：⎝⎛⎭⎪⎫2，－π32．曲线ρ＝4sin θ与ρ＝2的交点坐标是________________．对应学生用书P166解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝4sin θ，ρ＝2，∴sin θ＝12，∴θ＝π6或5π6.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6或⎝⎛⎭⎪⎫2，5π6 基础盘查三 简单曲线的极坐标方程 (一)循纲忆知能在极坐标系中给出简单的图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义．(二)小题查验 1．判断正误(1)过极点，做斜角为α的直线的极坐标方程可表示为θ＝α或 θ＝π＋α( ) (2)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O 的圆的极坐标方程为ρ＝2a sin θ( ) 答案：(1)√ (2)×2．在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为________． 解析：如图，O 为极点，OB 为直径，A (ρ，θ)，则∠ABO ＝θ－90°，OB ＝22＝ρθ－，化简得ρ＝－22cos θ. 答案：ρ＝－22cos θ 3．在极坐标系中，曲线C 1：ρ()2cos θ＋sin θ＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.解析：曲线C 1的直角坐标方程为2x ＋y ＝1，曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝a 2，曲线C 1与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，0，此点也在曲线C 2上，代入解得a ＝22.答案：22考点一 平面直角坐标系下图形的伸缩变换|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]对应学生用书P166设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，λ＞，y ′＝μ·y ，μ＞的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．[题组练透]1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .求点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过φ变换所得的点A ′的坐标．解：设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y ，由于点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2，于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，∴A ′(1，－1)为所求．2．求直线l ：y ＝6x 经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，变换后所得到的直线l ′的方程．解：设直线l ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入y ＝6x 得2y ′＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ′，∴y ′＝x ′，即y ＝x 为所求． 3．求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，变换后所得曲线C ′的焦点坐标．解：设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x2－y 264＝1得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)为所求．[类题通法]平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，λy ′＝μ·y ，μ下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．考点二 极坐标与直角坐标的互化|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]设M 为平面上的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面的关系式成立：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x (θ与(x ，y )所在象限一致)．[提醒] (1)在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)．(2)在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2k π)，(－ρ，π＋θ＋2k π)(k ∈Z )表示同一点的坐标．[典题例析]在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ： ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． 解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.[类题通法]极坐标方程与普通方程互化技巧(1)巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有ρcosθ，ρsin θ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．(2)巧借两角和差公式，转化ρsin(θ±α)或ρ＝cos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．(3)将直角坐标方程中的x 转化为ρcos θ，将y 换成ρsin θ，即可得到其极坐标方程．[演练冲关](2014·广东高考改编)在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C 1和C 2的交点的直角坐标．解析：由ρsin 2θ＝cos θ⇒ρ2sin 2θ＝ρcos θ⇒y 2＝x ，又由ρsin θ＝1⇒y ＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.故曲线C 1和C 2交点的直角坐标为(1,1)．考点三 曲线的极坐标方程|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．圆的极坐标方程(1)圆心在极点，半径为R 的圆的极坐标方程为ρ＝R .(2)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O 的圆的极坐标方程为ρ＝2a cos θ.(3)圆心在点⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2处，且过极点O 的圆的极坐标方程为ρ＝2a sin θ.2．直线的极坐标方程(1)过点(a,0)与极轴垂直的直线的极坐标方程为ρcos θ＝a .(2)过点⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2与极轴平行的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a . [提醒] (1)确定极坐标方程时要注意极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可．(2)研究曲线的极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化．当条件涉及“角度”和“到定点距离”时，引入极坐标系将会给问题的解决带来很大的方便．[典题例析](2015·唐山模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x ＋y ＝2.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆C 和直线l 的方程化为极坐标方程；(2)P 是l 上的点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程．解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入圆C 和直线l 的直角坐标方程得其极坐标方程为C ：ρ＝2，l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.(2)设P ，Q ，R 的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)， 则由|OQ |·|OP |＝|OR |2得ρρ1＝ρ22. 又ρ2＝2，ρ1＝2cos θ＋sin θ，所以2ρcos θ＋sin θ＝4，故点Q 轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．[类题通法]求曲线方程，常设曲线上任意一点P (ρ，θ)，利用解三角形的知识，列出等量关系式，特别是正、余弦定理用的较多．求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．[演练冲关](2014·江西高考)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4解析：选A 因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，且y ＝1－x ，所以ρsin θ＝1－ρcos θ，所以ρ(sin θ＋cos θ)＝1，ρ＝1sin θ＋cos θ.又0≤x ≤1，所以0≤y ≤1，所以点(x ，y )都在第一象限及坐标轴的正半轴上，则0≤θ≤π2.对应B 本课时跟踪检测（六十四）1．在极坐标系中，求直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标．解：ρ(3cos θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程为3x －y ＝2，即y ＝3x －2. ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ， 把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即x 2－23x ＋3＝0， 所以x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标(3，1)，化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6.2．在极坐标系中，求曲线ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3上任意两点间的距离的最大值．解：由ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3可得ρ2＝4ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝2ρcos θ＋23ρsinθ，即得x 2＋y 2＝2x ＋23y ，配方可得(x －1)2＋(y －3)2＝4，该圆的半径为2，则圆上任意两点间距离的最大值为4.3．若直线3x ＋4y ＋m ＝0与曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0没有公共点，求实数m 的取值范围．解：曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0的直角坐标方程是x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋2)2＝1.要使直线3x ＋4y ＋m ＝0与该曲线没有公共点，只要圆心(1，－2)到直线3x ＋4y ＋m ＝0的距离大于圆的半径即可， 即|3×1＋－＋m |5＞1，|m －5|＞5，解得，m ＜0或m ＞10.4．求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4经伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝12y 后的解析式．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝12y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝2y ′.将其代入y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，得2y ′＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·12x ′＋π4，即y ′＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ′＋π4.5．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4. 因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2.所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.6．在极坐标系中，曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ＝－2cos θ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1.(1)求曲线C 1和C 2的公共点的个数；(2)过极点作动直线与曲线C 2相交于点Q ，在OQ 上取一点P ，使|OP |·|OQ |＝2，求点P 的轨迹，并指出轨迹是什么图形．解：(1)C 1的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝1，它表示圆心为(－1,0)，半径为1的圆，C 2的直角坐标方程为x －3y －2＝0，所以曲线C 2为直线，由于圆心到直线的距离为d ＝|－1－2|2＝32＞1，所以直线与圆相离，即曲线C 1和C 2没有公共点．(2)设Q (ρ0，θ0)，P (ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ρρ0＝2，θ＝θ0，即⎩⎪⎨⎪⎧ρ0＝2ρ，θ0＝θ.①因为点Q (ρ0，θ0)在曲线C 2上， 所以ρ0cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π3＝1，②将①代入②，得2ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1，即ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3为点P 的轨迹方程，化为直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1，因此点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32为圆心，1为半径的圆．7．(2015·济宁模拟)已知直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝4和圆C ：ρ＝2k cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4(k ≠0)，若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.求实数k 的值并求圆心C 的直角坐标．解：∵ρ＝2k cos θ－2k sin θ， ∴ρ2＝2k ρcos θ－2k ρsin θ，∴圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2kx ＋2ky ＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －22k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋22k 2＝k 2， ∴圆心的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22k ，－22k .∵ρsin θ·22－ρcos θ·22＝4， ∴直线l 的直角坐标方程为x －y ＋42＝0， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪22k ＋22k ＋422－|k |＝2.即|k ＋4|＝2＋|k |， 两边平方，得|k |＝2k ＋3，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，k ＝2k ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，－k ＝2k ＋3，解得k ＝－1，故圆心C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22. 8．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)因为M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233. 所以P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33， 则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫233，π6， 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．第二节参数方程基础盘查一 参数方程与普通方程的互化 (一)循纲忆知了解参数方程，了解参数的意义，会进行参数方程与普通方程的互化.⎝ ⎛⎭⎪⎫⎩⎪⎨⎪⎧x＝f t ，y ＝g t t 为参数(二)小题查验 1．判断正误 (1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2－t(t ≥1)表示的曲线为直线( )(2)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋m ，y ＝sin θ－m ，当m 为参数时表示直线，当θ为参数时表示的曲线为圆( )答案：(1)× (2)×对应学生用书P1682．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 21＋t2，y ＝4－2t21＋t2(t 为参数)化为普通方程为________．解析：∵x ＝2t21＋t 2，y ＝4－2t 21＋t2＝＋t 2－6t21＋t2＝4－3×2t21＋t ＝4－3x .又x ＝2t21＋t2＝＋t 2－21＋t2＝2－21＋t 2∈[0,2)，∴x ∈[0,2)．∴所求的普通方程为3x ＋y －4＝0(x ∈[0,2))． 答案：3x ＋y －4＝0()x ∈[0，基础盘查二 常见曲线的参数方程 (一)循纲忆知1．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．2．掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题．过点P (x 0，y 0)且倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)(二)小题查验 1．判断正误(1)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 30°，y ＝1＋t sin 150°(t 为参数)的倾斜角α为30°.( )(2)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝5sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数且θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2表示的曲线为椭圆( )答案：(1)√ (2)×2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0≤θ≤π2和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t (t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．解析：由C 1得x 2＋y 2＝5，且⎩⎨⎧0≤x ≤5，0≤y ≤5，① 由C 2得x ＝1＋y,②∴由①②联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝5，x ＝1＋y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.答案：(2,1)3．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋at ，y ＝bt(t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)相切，则切线的倾斜角为________．解析：直线的普通方程为bx －ay －4b ＝0，圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝3，因为直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为3，从而有 3＝|2b －a ·0－4b |a 2＋b 2，即3a 2＋3b 2＝4b 2，所以b ＝±3a ，而直线的倾斜角α的正切值tan α＝ba，所以tan α＝±3，因此切线的倾斜角π3或2π3.答案：π3或2π3考点一 参数方程和普通方程的互化|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．参考方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．将参数方程化为普通方程需消去参数．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ft ，y ＝g t就是曲线的参数方程．对应学生用书P169[提醒] 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． 2．几种常见的参数方程 (1)圆的参数方程若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r ，则圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(2)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(3)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b tan θ(θ为参数)．(4)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．[题组练透]1．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3k1＋k2，y ＝6k21＋k 2；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ.解：(1)两式相除，得k ＝y2x ，将其代入得x ＝3·y2x1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2x 2， 化简得所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(y ≠6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ) 得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0,2]． 2．求曲线⎩⎨⎧x ＝23cos θ，y ＝32sin θ(θ为参数)中两焦点间的距离．解：曲线化为普通方程为y 218＋x 212＝1，∴c ＝6，故焦距为2 6.3．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t (t 为参数，t >0)，求曲线C 的普通方程．解：因为x 2＝t ＋1t －2，所以x 2＋2＝t ＋1t ＝y 3，故曲线C 的普通方程为3x 2－y ＋6＝0.[类题通法]参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形．考点二 直线的参数方程|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法 经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝t 1＋t 22；(2)|PM |＝|t 0|＝t 1＋t 22；(3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|.[提醒] 直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |＝|t |.[典题例析]设直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)．(1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率；(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围． 解：(1)由已知得直线l 经过的定点是P (3,4)，而圆C 的圆心是C (1，－1)， 所以，当直线l 经过圆C 的圆心时，直线l 的斜率为k ＝52.(2)法一：由圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ得圆C 的圆心是C (1，－1)，半径为2.由直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，知直线l 的普通方程为y －4＝k (x －3)(斜率存在)，即kx －y ＋4－3k ＝0.当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径， 即|5－2k |k 2＋1＜2，由此解得k ＞2120.即直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫2120，＋∞.法二：将圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ，化成普通方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝4，① 将直线l 的参数方程代入①式，得t 2＋2(2cos α＋5sin α)t ＋25＝0.②当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，方程②有两个不相等的实根，即Δ＝4(2cos α＋5sin α)2－100＞0，即20sin αcos α＞21cos 2α，两边同除以cos 2α，由此解得tan α＞2120，即直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫2120，＋∞.[类题通法]1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．2．对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt(t 为参数)．当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．[演练冲关]已知直线l ：x ＋y －1＝0与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点，求线段AB 的长度和点M (－1,2)到A ，B 两点的距离之积．解：因为直线l 过定点M ，且l 的倾斜角为3π4，所以它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos 3π4，y ＝2＋t sin 3π4(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，把它代入抛物线的方程，得t 2＋2t －2＝0，解得t 1＝－2＋102，t 2＝－2－102.由参数t 的几何意义可知|AB |＝|t 1－t 2|＝10，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝2.考点三 极坐标、参数方程的综合应用|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]极坐标与参数方程的综合应用规律1．化归思想的应用，即对于含有极坐标方程和参数的题目，全部转化为直角坐标方程后再求解．2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．[典题例析](2014·辽宁高考)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝34sin θ－2cos θ.[类题通法]涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．[演练冲关]1．(2015·大同调研)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t y ＝－1－35t (t为参数)，若以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)求直线l 被曲线C 所截得的弦长；(2)若M (x ，y )是曲线C 上的动点，求x ＋y 的最大值． 解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t y ＝－1－35t (t 为参数)，消去t ，可得3x ＋4y ＋1＝0.由于ρ＝ 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ－22sin θ， 即有ρ2＝ρcos θ－ρsin θ，则有x 2＋y 2－x ＋y ＝0， 其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，半径为r ＝22，圆心到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2＋19＋16＝110， 故弦长为2r 2－d 2＝212－1100＝75. (2)可设圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋22cos θy ＝－12＋22sin θ(θ为参数)，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋22cos θ，－12＋22sin θ，则x ＋y ＝22cos θ＋22sin θ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，由于θ ∈R ，则x ＋y 的最大值为1.2．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a ＞0)，过点P (－2，－4)的直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)与曲线C 相交于M ，N 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值．解：(1)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入ρsin 2θ＝2a cos θ，得y 2＝2ax (a ＞0)， ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)，消去t 得x －y －2＝0，∴曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程分别是y 2＝2ax (a ＞0)，x －y －2＝0. (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)代入y 2＝2ax ，整理得t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0. 设t 1，t 2是该方程的两根，则t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1·t 2＝8(4＋a )， ∵|MN |2＝|PM |·|PN |，∴(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝t 1·t 2， ∴8(4＋a )2－4×8(4＋a )＝8(4＋a )，∴a ＝1.1．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－3t ，y ＝4＋t(t 为参数)．以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的方程为ρ＝4sin θ，曲线C 1与C 2交于M ，N 两点，求线段MN 的长．对应A 本课时跟踪检测（六十五）解析：由题意得，C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝－3t ，y ＝4＋t转化为直角坐标方程为x ＋3y －43＝0，C 2的极坐标方程ρ＝4sin θ转化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝22，圆心(0,2)到直线x ＋3y －43＝0的距离为d ＝|0＋23－43|12＋32＝3， 所以|MN |＝222－32＝2.2．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．解：(1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标得P (0,4)， ∵P (0,4)满足方程x －y ＋4＝0，∴点P 在直线l 上．(2)法一：因为点Q 是曲线C 上的点，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，所以点Q 到直线l 的距离d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42(α∈R )所以当cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值 2.3．(2015·河南实验中学模拟)直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，M 是C 1上的动点，P 点满足OP ＝2OM ，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.解：(1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2.由于M 点在曲线C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，从而曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)．(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.4．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.5．(2014·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. 6．(2014·福建高考)已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． 解：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.故实数a 的取值范围为[－25，25]7．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.8．(2015·洛阳模拟)以平面直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α是参数)，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝2 3. (1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)设点P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值． 解：(1)∵直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝23，∴ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π6－sin θsin π6＝23，∴32x －12y ＝2 3. 即直线l 的直角坐标方程为3x －y －43＝0.由⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α得x 24＋y 23＝1. 即曲线C 的普通方程为x 24＋y 23＝1.(2)设点P (2cos α，3sin α)，则点P 到直线l 的距离d ＝|23cos α－3sin α－43|2＝|15α＋φ－43|2，其中tan φ＝12.当cos(α＋φ)＝－1时，d max ＝15＋432， 即点P 到直线l 的距离的最大值为15＋432.。