解析几何课件(吕林根许子道第四版)(精)

§1.4 向量的线性关系与向量的分解
定 义1.4.1 由 矢 量a1 , a 2 , , a n与 数 量 1 , 2 , , n 所组成的矢量 a 1 a1 2 a 2 n a n , 叫做矢量 a1 , a 2 , , a n的 线 性 组 合 .
定 理1.4.1 如 果 矢 量 e0 ，那么矢量 r与 矢 量 e共 线的充要条件是 r可 以 用 矢 量 e线 性 表 示 ， 或 者 说 r 是e的 线 性 组 合 ， 即 r＝x e， 并且系数 x被 e , r唯 一 确 定 . (1.4 1)
这时e称为用线性组合来表示 共线矢量的基底 .
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单位向量： 模为1的向量. ea 或 e M M
零向量： 模为0的向量.0
1
第一章 向量与坐标
§1.1 向量的概念
2
定义1.1.2 如果两个向量的模相等且方向 相同，那么叫做相等向量.记为 a b
a
＝
b
所有的零向量都相等. 定义1.1.3 两个模相等，方向相反的向 量叫做互为反向量. a的反矢量记为 a
例3 用向量法证明：对角线互相平分的 四边形是平行四边形.
D
C M
b
A
a
B
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第一章 向量与坐标
§1.3 数乘向量
§1.3
数乘向量
定义1.3.1 实数与矢量a 的乘积是一个矢量，记做 a, 它的 模是 a a ； a的方向，当 0时与a相同，当 0时与a 相反我们把这种运算叫做数量与矢量的乘法，简称为数乘 . .
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第一章 向量与坐标
§1.4向量的线性关系与向量的分解
定理1.4.2 如果向量 e1 , e 2 不共线，那么向量 r与 e1 , e2 共面的充要条件是 r可以用向量 e1 , e2线性表示， 或者说向量 r可以分解成 e1 , e2的线性组合，即 r x e1 y e2 并且系数 x , y被 e1 , e2 , r唯一确定 . 这时 e1 , e 2叫做平面上向量的基底 . 定理1.4.3 如果向量 e1 , e 2 , e 3 不共面，那么空间 任意向量 r可以由向量 e1 , e 2 , e 3线性表示，或说空间 （ ） 1.4－2
2a
1 a 2
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第一章 向量与坐标
§1.3 数乘向量
定理1.3.1 数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律： ( a ) ( a ) ( )a （2）第一分配律： ( )a a a （3）第二分配律： (a b ) a b
a
b
B O A
这种求两个向量和的方法叫三角形法则. 定理1.2.1 如果把两个向量 OA 、 OB 为邻边 组成一个平行四边形OACB，那么对角线向量
OC OA OB
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第一章 向量与坐标 B
C
§1.2 向量的加法
O
A
这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则 定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律： （1）交换律： a b b a .
自任意点 O开 始 ， 依 次 引 OA1 a1 , A1 A2 a 2 , , An1 An a n ,由 此 得 一 折 线 OA1 A2 An , 于 是 矢 量 OAn a就 是n个 矢 量 a1 , a2 , , an的 和 ， 即 OA OA1 A1 A2 An1 An .
C
证 必要性 设三矢量a，，可以 bc 构成三角形 ABC，即有 AB a, A B BC b, CA c，那么AB＋BC＋CA ＝AA 0,即a b c 0 充分性 设a b c 0，作 AB a, BC b, 那么AC a b, 所以AC c 0, 从而c是 AC的反矢量， 因此 c＝CA ，所以a，，可构成一个三角形 bc ABC.
第三章 平面与空间直线
§3.1 平面的方程 §3.3 两平面的相关位置 §3.5 直线与平面的相关位置 §3.7 空间直线与点的相关位置 §3.2 平面与点的相关位置 §3.4 空间直线的方程 §3.6 空间两直线的相关位置
第四章 柱面锥面旋转曲面
与二次曲面
§4.1 柱面 §4.2 锥面 §4.3 旋转曲面
向量减法 a b a ( b ) b a b b b c a c a (b ) ab
ab ab
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第一章 向量与坐标
§1.2 向量的加法
例1 设互不共线的三矢量 a, b与c，试证明顺次将 它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是 它们的和是零矢量.
定理 设向量 a 0，那么向量 b 平行于 a 的充 分必要条件是：存在唯一的实数 ，使 b a.
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两个向量的平行关系
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第一章 向量与坐标
§1.3 数乘向量
证 充分性显然； b 必要性 设 b ‖ a 取 , a 当 b 与 a 同向时 取正值， 当 b 与 a 反向时 取负值，即有 b a . b 此时 b 与 a 同向. 且 a a a b. a 的唯一性. 设 b a， 又设 b a， 两式相减，得 ( )a 0， 即 a 0， a 0， 故 0， 即 .
§1.1 向量的概念
§1.1
向量的概念
定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做向量， 或称矢量. 两类量: 数量(标量):可用一个数值来描述的量; 向量(矢量)既有大小又有方向的量. 有向线段 向量的几何表示： 有向线段的长度表示向量的大小,
M2
a
M 有向线段的方向表示向量的方向. 1 a 或 M1 M 2 以 M 1 为起点，M 2 为终点的有向线段. 向量的模：向量的大小.| a | 或 | M1 M 2 |
（2）结合律： a b c (a b ) c a (b c ). （3） a ( a ) 0.
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第一章 向量与坐标
§1.2 向量的加法
有限个矢量 a1 , a2 ,an 相 加 可 由 矢 量 的 三 角 求 形和 法则推广
第一章 向量与坐标
§1.1 向量的概念 §1.2 向量的加法 §1.3 数乘向量
§1.4 向量的线性关系与向量的分解 §1.6 向量在轴上的射影
§1.5 标架与坐标 §1.7 两向量的数性积 §1.9 三向量的混合积
§1.8 两向量的向量积 §1.10 向量的双重向量积
第二章 轨迹与方程
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 平面曲线的方程 曲面的方程 母线平行于坐标轴的柱面方程 空间曲线的方程
设 是一个数，向量a 与 的乘积a 规定为 (1) 0, a 与a 同向，| a | | a | ( 2) 0, a 0 ( 3) 0, a 与a 反向，| a || | | a |
a
如图
A
C
即
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1 AM ( AB AC ) 2
B
M
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第一章 向量与坐标
§1.3 数乘向量
例2 用向量方法证明：联结三角形两边中点 的线段平行于第三边且等于第三边的一半. 证 设ΔABC两边AB，AC之中点分别为M，N， 那么 MN AN AM A
AB与BA互为反矢量 .
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a
a
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第一章 向量与坐标
§1.1 向量的概念
定义1.1.4 叫做共线向量.
平行于同一直线的一组向量
零向量与任何共线的向量组共线.
定义1.1.5 平行于同一平面的一组向量 叫做共面向量. 零向量与任何共面的向量组共面.
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第一章 向量与坐标
§1.2 向量的加法
§1.2 向量的加法
定 义1.2.1 设 已 知 矢 量 a、 b ，以空间任意一点 O为 始 点 接连作矢量 OA a， AB b得 一 折 线 OAB， 从 折 线 的 端 点 O到 另 一 端 点 B的 矢 量 OB c , 叫 做 两 矢 量 a与b的 和 ， 记 做 cab
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第一章 向量与坐标
§1.3 数乘向量
例1设AM是三角形ABC的中线，求证:
1 AM ( AB AC ) 2
证
因为 AM AB BM , AM AC CM 所以 2 AM ( AB AC) (BM CM ), 但 BM CM BM MB 0, 2 AM AB AC 因而
1 1 AC AB 2 2 M 1 ( AC AB) B 2 1 BC 2
MN 1 BC 2
N
C
所以 MN // BC
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且
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第一章 向量与坐标
§1.4向量的线性关系与向量的分解
解析几何课件(第四版)
吕林根 许子道等编
解析几何的基本思想是用代数的方法来研究 几何,为将代数运算引导几何中,采用的最根本最 有效的做法----有系统的把空间的几何结构代数 化,数量化.
第一章 第二章 第三章 第四章 向量与坐标 轨迹与方程 平面与空间直线 柱面锥面旋转曲面与二次曲面
第五章 二次曲线的一般理论
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第一章 向量与坐标
§1.3 数乘向量
表示与非零向量 设ea a 同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
a | a | ea
a . ea |a |
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
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第一章 向量与坐标
§1.2 向量的加法
例2 在平行六面体ABCD-EFGH中， AB = a, AD=b， AE=c，试用a， b， c来表示对角线AG， EC.
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第一章 向量与坐标
§1.2 向量的加法
§4.4 椭球面
§4.5 双曲面
第五章 二次曲线的一般理论
§百度文库.1 二次曲线与直线的相关位置 §5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线 §5.3 二次曲线的切线
§5.4 二次曲线的直径 §5.5 二次曲线的主直径和主方向 §5.6 二次曲线方程的化简与分类 §5.7 应用不变量化简二次曲线方程
第一章 向量与坐标
A1 A2 O An-1 An A4 A3
这种求和的方法叫做多边形法则
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第一章 向量与坐标
§1.2 向量的加法
定 义1.2.2 当 矢 量 b与 矢 量 c的 和 等 于 矢 量 a， 即b c a 时，我们把矢量 c叫 做 矢 量 a与b的 差 ， 并 记 做 c a b.