2019_2020学年高中数学第一章立体几何初步1.2.3空间中的垂直关系第1课时直线与平面垂直学案新人教B版必修2

课题 空间中的垂直关系 课型 主备人 李冬旭上课教师李冬旭上课时间学习 目标1、掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；2、掌握平面与平面垂直的概念和判定定理、性质定理，并能运用它们进行推理论证和解决有关问题；3、在研究垂直问题时，要善于应用“转化”和“降维”的思想，通过线线、线面、面面平行与垂直关系的转化，从而使问题获得解决。

教学 重点 垂直的判定定理教学 难点 垂直的性质定理应用教师 准备教学过程时间分配 集备修正三、知识要点1、直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直。

2、直线与平面垂直的判定：常用方法有：①判定定理： ,,,P b a b a =⋂⊂⊂αα α⊥⇒⊥⊥l b l a l ,.② b ⊥α, a ∥b ⇒a ⊥α；（线面垂直性质定理）③α∥β,a ⊥β⇒a ⊥α（面面平行性质定理）④α⊥β，α∩β=l ，a ⊥l ，a ⊂β⇒a ⊥α（面面垂直性质定理）3、直线与平面垂直的性质定理：①如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

（ a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b ）②直线和平面垂直时，那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线（b a b a ⊥⇒⊂⊥αα,）4、点到平面的距离的定义： 从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的线段的长度叫做这个点到平面的距离。

特别注意：点到面的距离可直接向面作垂线，但要考虑垂足的位置，如果垂足的位置不能确定，往往采取由点向面上某一条线作垂线，再证明此垂足即为面的垂足。

5、平面与平面垂直的定义及判定定理：（1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第1’5x5’三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就说这两个平面互相垂直。

记作：平面α⊥平面β（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

第1章立体几何初步章末检测试卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．六棱柱的表面中，互相平行的平面最多有( )A．2对B．3对C．4对D．5对答案 C解析有3对侧面相互平行，上下两底面也相互平行．2．如图，B′C′∥x′轴，A′C′∥y′轴，则下面直观图所表示的平面图形是( )A．正三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形考点平面图形的直观图题点由直观图还原平面图形答案 D解析因为B′C′∥x′轴，A′C′∥y轴，所以直观图中BC∥x轴，AC∥y轴，所以三角形是直角三角形．故选D.3．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( ) A．12对 B．24对 C．36对 D．48对考点题点答案 B解析如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与棱AB异面的直线有CC1，DD1，B1C1，A1D1，共4对，正方体ABCD－A1B1C1D1有12条棱，排除重复计算的异面直线，∴异面直线共有12×2＝24(对)．4．一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与轴所成的角为( ) A．30° B．45°C．60° D．75°考点题点答案 A解析设圆锥的母线长为L，底面圆的半径为r，则由题意得πrL＝2πr2，∴L＝2r，∴圆锥的母线与轴所成的角为30°.5．下列命题：①在平面外的直线与平面不相交必平行；②过平面外一点只有一条直线和这个平面平行；③如果一条直线与另一条直线平行，则它和经过另一条直线的任何平面平行；④若直线上有两点到平面的距离相等，则直线平行于该平面．其中正确命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案 A解析①正确，②③④错误．6．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( )A．异面B．相交C．平行D．异面或相交考点题点答案 D解析如图所示，a，b是异面直线，AB，AC都与a，b相交，AB，AC相交；AB，DE都与a，b相交，AB，DE异面．7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1.其中推断正确的序号是( )A．①③ B．①④ C．②③ D．②④考点平行问题的综合应用题点线线、线面、面面平行的相互转化答案 A解析∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1.∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，∵FG⊈平面AA1D1D，AD1平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故①正确；∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，∴EF 与平面BC1D1相交，故②错误；∵FG∥BC1，FG⊈平面BC1D1，BC1平面BC1D1，FG∥平面BC1D1，故③正确；∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误．故选A.8．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为1，2，3，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A．3π B．6πC．18π D．24π考点 球的表面积题点 与外接、内切有关球的表面积计算问题 答案 B解析 将三棱锥补成边长分别为1，2，3的长方体，则长方体的体对角线是外接球的直径，所以2R ＝6，解得R ＝62，故S ＝4πR 2＝6π. 9．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( ) A.316 B.916 C.38 D.932考点 题点 答案 A解析 如图所示，设球的半径为R ，由题意知OO ′＝R2，OF ＝R ，∴r ＝32R . ∴S 截面＝πr 2＝π⎝⎛⎭⎪⎫32R 2＝3π4R 2.又∵S 球＝4πR 2，∴S 截面S 球＝3π4R 24πR 2＝316. 10．已知直线l ⊈平面α，直线m 平面α，下面四个结论：①若l ⊥α，则l ⊥m ；②若l ∥α，则l ∥m ；③若l ⊥m ，则l ⊥α；④若l ∥m ，则l ∥α，其中正确的是( ) A ．①②④ B ．③④ C ．②③D ．①④考点 线、面平行、垂直的综合应用 题点 平行与垂直的判定 答案 D解析 由直线l ⊈平面α，直线m 平面α知，在①中，若l⊥α，则由线面垂直的性质得l⊥m，故①正确；在②中，若l∥α，则l与m 平行或异面，故②错误；在③中，若l⊥m，则l与α不一定垂直，故③错误；在④中，若l∥m，则由线面平行的判定定理得l∥α，故④正确．故选D.11．如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下面结论中错误的是( )A．AE⊥CE B．BE⊥DEC．DE⊥平面CEB D．平面ADE⊥平面BCE考点空间中的垂直问题题点空间中的垂直问题答案 C解析由AB是底面圆的直径可知，∠AEB＝90°，即AE⊥EB.∵四边形ABCD是圆柱的轴截面，∴AD⊥底面AEB，BC⊥底面AEB.∴BE⊥AD，AD∩AE＝A，因此BE⊥平面ADE.同理可得AE⊥CE，平面BCE⊥平面ADE.可得A，B，D正确．而DE⊥平面CEB不正确．故选C.12．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°.侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法错误的是( )A．在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMBB．异面直线AD与PB所成的角为90°C．二面角P－BC－A的大小为45°D．BD⊥平面PAC考点空间角问题题点空间角的综合应用答案 D解析对于A，取AD的中点M，连接PM，BM，∵侧面PAD为正三角形，∴PM⊥AD，又底面ABCD是∠DAB＝60°的菱形，∴△ABD是等边三角形，∴AD⊥BM，又PM∩BM＝M，∴AD⊥平面PBM，故A正确．对于B，∵AD⊥平面PBM，∴AD⊥PB，即异面直线AD与PB所成的角为90°，故B正确．对于C，∵平面PBC∩平面ABCD＝BC，BC∥AD，∴BC⊥平面PBM，∴BC⊥PB，BC⊥BM，∴∠PBM是二面角P－BC－A的平面角，设AB＝1，则BM＝32，PM＝32，在Rt△PBM中，tan∠PBM＝PMBM＝1，即∠PBM＝45°，故二面角P－BC－A大小为45°，故C正确．错误的是D，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的32倍，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的表面积为(5＋2)π，则旋转体的体积为________．考点题点答案7π3解析如图所示的是旋转体的半轴截面，设直角梯形的上底长为r，则下底长为32r，∠C＝45°，所以DE ＝r2，DC ＝22r ，所以旋转体的表面积为S 表＝π·r 24＋2π·r 2·r ＋π·r 2·22r ＝π4r 2(5＋2)．又因为S 表＝(5＋2)π，所以r 2＝4，所以r ＝2， 所以V ＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22·r ＋13π·⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22·r 2＝7π3.14．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，MN 在平面BCC 1B 1内，MN ⊥BC 于点M ，则MN 与AD 的位置关系是________．考点 平面与平面垂直的性质题点 应用面面垂直的性质定理判定线线垂直 答案 垂直解析 ∵平面BCC 1B 1⊥平面ABCD ，平面BCC 1B 1∩平面ABCD ＝BC ，MN 平面BCC 1B 1， ∴MN ⊥平面ABCD .∴MN ⊥AD .15．已知平面α，β和直线m ，给出以下条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m α；④α∥β.要想得到m ⊥β，则所需要的条件是________．(填序号) 考点 直线与平面垂直的判定 题点 判定直线与平面垂直 答案 ②④解析 易知⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥α，α∥β⇒m ⊥β.16.如图，已知点O 在二面角α－AB －β的棱上，点P 在α内，且∠POB ＝45°.若对于β内异于O 的任意一点Q ，都有∠POQ ≥45°，则二面角α－AB －β的大小是________．考点 题点 答案 90°解析因为OP与平面β所成的角大于等于45°，所以OP与平面β所成的角最小为45°，即OP与OP在平面β内的射影所成的角最小是45°.又因为∠POB＝45°，所以AB就是OP 在平面β内的射影，所以α⊥β.所以二面角α－AB－β的大小是90°.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D是AB的中点．(1)求证：AC⊥B1C；(2)求证：AC1∥平面CDB1.考点题点证明(1)∵C1C⊥平面ABC，AC平面ABC，∴C1C⊥AC.∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.又BC∩C1C＝C，BC，C1C平面BCC1B1，∴AC⊥平面BCC1B1，而B1C平面BCC1B1，∴AC⊥B1C.(2)连接BC1交B1C于O点，连接OD.如图，∵O，D分别为BC1，AB的中点，∴OD∥AC1.又OD平面CDB1，AC1⊈平面CDB1.∴AC 1∥平面CDB 1.18．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ，BP ＝BC ＝2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点．(1)证明：EF ∥平面PAD ； (2)求三棱锥E －ABC 的体积V . 考点 直线与平面平行的判定 题点 直线与平面平行的证明(1)证明 在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴EF ∥BC .∵四边形ABCD 为矩形， ∴BC ∥AD ，∴EF ∥AD .又∵AD 平面PAD ，EF ⊈平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD .(2)解 连接AE ，AC ，EC ，过E 作EG ∥PA 交AB 于点G .则EG ⊥平面ABCD ，且EG ＝12PA .在△PAB 中，AP ＝AB ，∠PAB ＝90°，BP ＝2， ∴AP ＝AB ＝2，EG ＝22. ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×2×2＝2，∴V E －ABC ＝13S △ABC ·EG ＝13×2×22＝13.19.(12分)如图所示，在五面体ABCDEF 中，四边形ADEF 是正方形，FA ⊥平面ABCD ，BC ∥AD ，CD ＝1，AD ＝22，∠BAD ＝∠CDA ＝45°.(1)求异面直线CE 与AF 所成角的余弦值； (2)证明：CD ⊥平面ABF . 考点 直线与平面垂直的判定 题点 直线与平面垂直的证明(1)解 因为四边形ADEF 是正方形，所以FA ∥ED ， 故∠CED 为异面直线CE 与AF 所成的角． 因为FA ⊥平面ABCD ，所以FA ⊥CD ，故ED ⊥CD .在Rt△CDE 中，因为CD ＝1，ED ＝22，所以CE ＝CD 2＋ED 2＝3，所以cos∠CED ＝ED CE ＝223.故异面直线CE 与AF 所成角的余弦值为223.(2)证明 如图，过点B 作BG ∥CD 交AD 于点G ，则∠BGA ＝∠CDA ＝45°.由∠BAD ＝45°可得BG ⊥AB ， 从而CD ⊥AB .又因为CD ⊥FA ，FA ∩AB ＝A ， 所以CD ⊥平面ABF .20.(12分)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，F ，F 1分别是AC ，A 1C 1的中点．求证：(1)平面AB 1F 1∥平面C 1BF ； (2)平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1. 考点 线、面平行、垂直的综合应用 题点 平行、垂直综合问题的证明 证明 (1)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∵F，F1分别是AC，A1C1的中点，∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F，∴平面AB1F1∥平面C1BF.(2)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1.又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，∴B1F1⊥平面ACC1A1，又B1F1平面AB1F1，∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.21．(12分)在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，沿AE将△DAE折起到△D1AE的位置，使平面D1AE⊥平面ABCE.(1)若F为线段D1A的中点，求证：EF∥平面D1BC；(2)求证：BE⊥D1A.考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行、垂直综合问题的证明证明(1)取AB的中点G，连接EG，FG，则EG∥BC，FG∥D1B，且EG∩FG＝G，EG平面EFG，FG平面EFG，D1B∩BC＝B，D1B平面D1BC，BC平面D1BC，∴平面EFG∥平面D1BC.∵EF平面EFG，∴EF∥平面D1BC.(2)易证BE⊥EA，平面D1AE⊥平面ABCE.平面D1AE∩平面ABCE＝AE，∴BE⊥平面D1AE.又∵D1A平面D1AE，∴BE⊥D1A.22.(12分)如图所示，已知三棱锥A －BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且△PMB 为正三角形．(1)求证：DM ∥平面APC ；(2)求证：平面ABC ⊥平面APC ；(3)若BC ＝4，AB ＝20，求三棱锥D －BCM 的体积．考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行、垂直综合问题的证明(1)证明 ∵M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，∴DM ∥AP .又∵DM ⊈平面APC ，AP 平面APC ，∴DM ∥平面APC .(2)证明 ∵△PMB 为正三角形，且D 为PB 的中点，∴MD ⊥PB .又由(1)知，MD ∥AP ，∴AP ⊥PB .又已知AP ⊥PC ，PC ∩PB ＝P ，PB ，PC 平面PBC ，∴AP ⊥平面PBC ，∴AP ⊥BC .又∵AC ⊥BC ，AC ∩AP ＝A ，AC ，AP 平面ACP ，∴BC ⊥平面APC .又∵BC 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面APC .(3)解 由(2)知AP ⊥平面PBC ，又MD ∥AP ，∴MD ⊥平面PBC .∵AB ＝20，∴MB ＝10，∴PB ＝10.由(2)可知BC ⊥PC ，又BC ＝4，∴PC ＝100－16＝84＝221.∴S △BDC ＝12S △PBC ＝14PC ·BC ＝14×221×4＝221. 又MD ＝12AP ＝12202－102＝5 3.∴V 三棱锥D －BCM ＝V 三棱锥M －BCD ＝13S △BDC ·DM ＝13×221×53＝107.。

高中数学立体几何知识点归纳总结一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。

旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。

其中，这条定直线称为旋转体的轴。

（2）柱，锥，台，球的结构特征 1.棱柱1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形侧棱与底面边长相等1.3①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。

1.4长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA =++②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=；③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则222cos cos cos 2αβγ++=，222sin sin sin 1αβγ++=.1.5侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.1.6面积、体积公式：2S c hS c h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长，h为棱柱的高） 2.圆柱2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. 2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 2.4面积、体积公式：S 圆柱侧=2rh π；S 圆柱全=222rh r ππ+，V 圆柱=S 底h=2r h π（其中r 为底面半径，h 为圆柱高） 3.棱锥3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

1.2.2 空间两条直线的位置关系1．空间两直线的位置关系2．公理4及等角定理(1)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c .(2)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．3．异面直线的判定及其所成的角 (1)异面直线的判定定理提示：(1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．(2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a α，b β，即a 、b 分别在两个不同的平面内，但是因为a ∩b ＝O ，所以a 与b 不是异面直线．(2)异面直线所成的角①定义：a 与b 是异面直线，经过空间任意一点O ，作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把直线a ′和b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a ，b 所成的角．②异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°．③当θ＝π2时，a 与b 互相垂直，记作a ⊥b ．1.思考辨析(1)如果a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .( )(2)如果a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，则a ，c 也是异面直线．( ) (3)如果a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 也相交． ( ) (4)如果a ，b 共面，b ，c 共面，则a ，c 也共面． ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．已知棱长为a 的正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，M ，N 分别为CD ，AD 的中点，则MN 与A ′C ′的位置关系是________．平行 [如图所示，MN 12AC ，又∵ACA ′C ′， ∴MN 12A ′C ′.]3．已知AB ∥PQ ，BC ∥QR ，∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于__________．30°或150° [∠ABC 的两边与∠PQR 的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，所以∠PQR ＝30°或150°.]4．已知a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a ，则c 与b 的位置关系是________． 相交或异面 [a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a ，因而c 不平行于b ，若c ∥b ，则a ∥b ，与已知矛盾，因而c 不平行于b .]①两条直线无公共点，则这两条直线平行；②两条不重合的直线若不是异面直线，则必相交或平行；③过平面外一点与平面内一点的直线与平面内的任意一条直线均构成异面直线； ④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线． (2)a ，b ，c 是空间中三条直线，下列给出几个说法： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②a ∥b 是指直线a ，b 在同一平面内且没有公共点；③若a ，b 分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行．其中正确的有__________．(填序号)思路探究：根据空间两直线位置关系的有关概念及公理4进行判断．(1)② (2)①② [(1)对于①，空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面，因此①不正确；对于②，因为空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面，所以②正确；对于③，过平面外一点与平面内一点的直线和过平面内这点的直线是相交直线，因此③不正确；对于④，和两条异面直线都相交的两直线可能是相交直线，也可能是异面直线，因此④不正确．(2)由公理4知①正确；由平行线的定义知②正确；若α∩β＝l ，a α，b β，a ∥l ，b ∥l ，则a ∥b ，③错误．]空间两直线的位置关系为相交、平行、异面，若两直线有交点则为相交，若两直线共面且无交点则为平行，若以上情况均不满足则为异面．1．如图所示，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，判断下列直线的位置关系： ①直线A 1B 与直线D 1C 的位置关系是________； ②直线A 1B 与直线B 1C 的位置关系是________； ③直线D 1D 与直线D 1C 的位置关系是________； ④直线AB 与直线B 1C 的位置关系是________．①平行 ②异面 ③相交 ④异面 [直线A 1B 与直线D 1C 在平面A 1BCD 1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A 1，B ，B 1在一个平面A 1BB 1内，而C 不在平面A 1BB 1内，则直线A 1B 与直线B 1C 异面．同理，直线AB 与直线B 1C 异面，所以②④都应该填“异面”；直线D 1D 与直线D 1C 显然相交于D 1点，所以③应该填“相交”．]1．如图所示，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，若E ，F ，G ，H 分别为PA ，PB ，PC ，PD 的中点．那么四边形EFGH 是什么四边形？为什么？[提示] 平行四边形．因为在△PAB 中， ∵E ，F 分别是PA ，PB 的中点， ∴EF 12AB ，同理GH 12DC .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ABCD ，∴EFGH ，∴四边形EFGH 是平行四边形．2．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么由等角定理能推出什么结论？ [提示] 这两条直线所成的锐角(或直角)相等．【例2】 如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，E 1，F 1分别为棱AD ，AB ，B 1C 1，C 1D 1的中点．求证：∠EA 1F ＝∠E 1CF 1.思路探究：解答本题时，可先证明角的两边分别平行，即A 1E ∥CE 1，A 1F ∥CF 1，然后根据等角定理，得出结论．[证明] 如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，取A 1B 1的中点M ，连结BM ，MF 1， 则BF ＝A 1M ＝12AB .又BF ∥A 1M ，∴四边形A 1FBM 为平行四边形， ∴A 1F ∥BM .而F 1，M 分别为C 1D 1，A 1B 1的中点，则F 1MC 1B 1. 而C 1B 1BC ，∴F 1M ∥BC ，且F 1M ＝BC . ∴四边形F 1MBC 为平行四边形， ∴BM ∥F 1C .又BM ∥A 1F ， ∴A 1F ∥CF 1.同理取A 1D 1的中点N ，连结DN ，E 1N ，则A 1NDE ， ∴四边形A 1NDE 为平行四边形， ∴A 1E ∥DN .又E 1N ∥CD ，且E 1N ＝CD ， ∴四边形E 1NDC 为平行四边形， ∴DN ∥CE 1，∴A 1E ∥CE 1.∴∠EA 1F 与∠E 1CF 1的两边分别对应平行． 即A 1E ∥CE 1，A 1F ∥CF 1， ∴∠EA 1F ＝∠E 1CF 1.运用公理4的关键是寻找“中间量”即第三条直线．证明角相等的常用方法是等角定理，另外也可以通过证明三角形相似或全等来实现．2．如图，已知棱长为a 的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，AD 的中点．(1)求证：四边形MNA 1C 1是梯形； (2)求证：∠DNM ＝∠D 1A 1C 1. [证明] (1)在△ADC 中， ∵M ，N 分别是CD ，AD 的中点， ∴MN 是△ADC 的中位线．∴MN 12AC .由正方体性质知，ACA 1C 1， ∴MN 12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1.∴四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知MN ∥A 1C 1， 又因为ND ∥A 1D 1，而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的锐角， ∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.11111111DB 1与EF 所成角的大小．思路探究：先根据异面直线所成角的定义找出角，再在三角形中求解．[解] 法一：如图(1)，连结A 1C 1，B 1D 1，并设它们相交于点O ，取DD 1的中点G ，连结OG ，A 1G ，C 1G ，则OG ∥B 1D ，EF ∥A 1C 1，(1)∴∠GOA 1为异面直线DB 1与EF 所成的角或其补角． ∵GA 1＝GC 1，O 为A 1C 1的中点． ∴GO ⊥A 1C 1.∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.法二：如图(2)，连结A 1D ，取A 1D 的中点H ，连结HE ，HF ，则HE ∥DB 1，且HE ＝12DB 1.(2)于是∠HEF 为异面直线DB 1与EF 所成的角或补角．设AA 1＝1.则EF ＝22，HE ＝32， 取A 1D 1的中点I ，连结IF ，IH ，则HI ⊥IF ， ∴HF 2＝HI 2＋IF 2＝54，∴HF 2＝EF 2＋HE 2.∴∠HEF ＝90°，∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.法三：如图(3)，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连结DQ ，B 1Q ，则B 1Q ∥EF .(3)于是∠DB 1Q 为异面直线DB 1与EF 所成的角或其补角．设AA 1＝1，则DQ ＝22＋1＝5，B 1D ＝12＋12＋12＝3，B 1Q ＝12＋12＝2，所以B 1D 2＋B 1Q 2＝DQ 2，从而异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.求两条异面直线所成角的步骤(1)恰当选点，用平移法构造出一个相交角． (2)证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)．(3)把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数．(4)给出结论：若求出的平面角是锐角或直角，则它就是两条异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是两条异面直线所成的角．3.如图所示，在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AB ⊥CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 和AB 所成的角．[解] 如图所示，取BD 的中点G ，连结EG ，FG . ∵E ，F ，G 分别为BC ，AD ，BD 的中点，AB ＝CD ， ∴EG 12CD ，GF 12AB .∴∠GFE 就是EF 与AB 所成的角或其补角． ∵AB ⊥CD ，∴EG ⊥GF ， ∴∠EGF ＝90°. ∵AB ＝CD ，∴EG ＝GF ， ∴△EFG 为等腰直角三角形，∴∠GFE ＝45°，即EF 和AB 所成的角为45°.1．本节课的重点是会判断空间两直线的位置关系，理解异面直线的定义，会求两异面直线所成的角，能用公理4和等角定理解决一些简单的相关问题．难点是求异面直线所成的角．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)判断两条直线位置关系的方法．(2)证明两条直线平行的方法．(3)求异面直线所成角的解题步骤．3．本节课的易错点是将异面直线所成的角求错．1．分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．以上皆有可能[答案] D2．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是________．平行或异面[若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．]3．空间中有一个∠A的两边和另一个∠B的两边分别平行，∠A＝70°，则∠B＝________．70°或110°[∵∠A的两边和∠B的两边分别平行，∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°，又∠A＝70°，∴∠B＝70°或110°.]4．如图，已知长方体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝23，AD＝23，AA′＝2.(1)BC和A′C′所成的角是多少度？(2)AA′和BC′所成的角是多少度？[解](1)因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝23，B′C′＝23，所以∠B′C′A′＝45°.(2)因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角．在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝23，BB′＝AA′＝2，所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°.因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.。

4.2 空间图形的公理(第2课时)1．空间图形的公理公理4 平行于同一条直线的两条直线平行．定理 空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 2．异面直线 (1)异面直线的定义不共面(不同在任何一个平面内)的两条直线叫作异面直线． (2)空间两条直线的位置关系有且只有三种共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点.平行直线：在同一平面内，没有公共点.异面直线：不共面的两条直线，没有公共点．(3)异面直线所成的角过空间任意一点P 分别引两条异面直线a ，b 的平行线l 1，l 2(a ∥l 1，b ∥l 2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a ，b 所成的角．如果两条异面直线所成的角是直角，我们称这两条直线互相垂直，记作：a ⊥b .判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分别在两个平面内的直线一定为异面直线．( ) (2)两条直线垂直，则一定相交．( )(3)两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行．( )(4)两条直线若不是异面直线，则必相交或平行．( )(5)两条直线无公共点，则这两条直线平行．( )(6)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线．( )(7)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．( )[答案] (1)×(2)×(3)×(4)√(5)×(6)×(7)×题型一空间两直线位置关系的判定【典例1】已知a、b、c是空间三条直线，下面给出四个命题：①如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c；②如果a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c也是异面直线；③如果a、b是相交直线，b、c是相交直线，那么a、c也是相交直线；④如果a、b共面，b、c共面，那么a、c也共面．在上述命题中，正确命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3[思路导引] 两条直线的位置关系拓展到空间中有且仅有三种：相交、平行、异面．根据具体情况，具体分析．[解析] ①a与c可能相交，也可能异面；②a与c可能相交，也可能平行；③a与c可能异面，也可能平行；④a与c可能不在一个平面内．故①②③④均不正确．[答案] A(1)判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．(2)判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面．[针对训练1] 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：①直线A 1B 与直线D 1C 的位置关系是________； ②直线A 1B 与直线B 1C 的位置关系是________； ③直线D 1D 与直线D 1C 的位置关系是________； ④直线AB 与直线B 1C 的位置关系是________．[解析] 根据题目条件知道直线A 1B 与直线D 1C 在平面A 1BCD 1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；点A 1、B 、B 1在一个平面A 1BB 1内，而C 不在平面A 1BB 1内，则直线A 1B 与直线B 1C “异面”．同理，直线AB 与直线B 1C “异面”．所以②④都应该填“异面”；直线D 1D 与直线D 1C 相交于D 1点，所以③应该填“相交”．[答案] ①平行 ②异面 ③相交 ④异面 题型二公理4及等角定理的应用【典例2】 如图，已知在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，AD 的中点．求证：(1)四边形MNA 1C 1是梯形； (2)∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.[思路导引] (1)由中位线定理可证MN ∥AC ，MN ＝12AC .由正方体的性质得：AC ∥A 1C 1，AC ＝A 1C 1.从而应用公理4，可证MN ∥A 1C 1，且MN ＝12A 1C 1，于是命题可证．(2)利用等角定理可证．[证明] (1)如图，连接AC ，在△ACD 中，∵M ，N 分别是CD ，AD 的中点， ∴MN 是△ACD 的中位线， ∴MN ∥AC ，MN ＝12AC .由正方体的性质得：AC ∥A 1C 1，AC ＝A 1C 1.∴MN ∥A 1C 1，且MN ＝12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1，∴四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知MN ∥A 1C 1.又∵ND ∥A 1D 1，∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补． 而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均为锐角， ∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.(1)空间两条直线平行的证明一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；三是利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行． (2)求证角相等一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．[针对训练2] 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点．(1)求证：D1E∥BF；(2)求证：∠B1BF＝∠A1ED1.[证明] (1)取BB1的中点M，连接EM，C1M.在矩形ABB1A1中，易得EM綊A1B1，∵A1B1綊C1D1，∴EM綊C1D1，∴四边形EMC1D1为平行四边形，∴D1E∥C1M.在矩形BCC1B1中，易得MB綊C1F，∴BF∥C1M，∴D1E∥BF.(2)∵ED1∥BF，BB1∥EA1，又∠B1BF与∠A1ED1的对应边方向相同，∴∠B1BF＝∠A1ED1.题型三异面直线所成的角【典例3】如图所示，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角.[思路导引] (1)由于CG∥BF，即∠EBF(或其补角)为异面直线CG与BE所成的角．(2)由于BD∥FH，故∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．[解] (1)如图，因为CG∥BF，所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又知O为AH的中点．所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.求异面直线所成的角的步骤(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°<θ<180°，则180°－θ为所求．提醒：求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°.[针对训练3] 如图，P 是平面ABC 外一点，PA ＝4，BC ＝25，D 、E 分别为PC 和AB 的中点，且DE ＝3.求异面直线PA 和BC 所成角的大小．[解] 如图，取AC 中点F ，连接DF 、EF ，在△PAC 中，∵D 是PC 中点，F 是AC 中点，∴DF ∥PA ，同理可得EF ∥BC ， ∴∠DFE 为异面直线PA 与BC 所成的角(或其补角)． 在△DEF 中，DE ＝3，又DF ＝12PA ＝2，EF ＝12BC ＝5，∴DE 2＝DF 2＋EF 2.∴∠DFE ＝90°，即异面直线PA 与BC 所成的角为90°.1．过一点与已知直线垂直的直线有( )A．一条B．两条C．无数条D．无法确定[解析] 过一点与已知直线垂直的直线有无数条，包括相交垂直和异面垂直．[答案] C2．异面直线是指( )A．空间中两条不相交的直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．平面内的一条直线与平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线[解析] 不相交的直线有可能是平行也有可能是异面，故A不正确；如图①中，aα，bβ，但是，a∩b＝A，故B不正确；如图②，aα，bα，但是a∩b＝A，故C不正确；D是异面直线的定义．[答案] D3．若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则( )A．a∥c B．a、c是异面直线C．a、c相交D．a、c平行或相交或异面[解析] a、b、c的位置关系有下面三种情况，如图所示，由图形分析可得答案为D.[答案] D4．过直线l外两点可以作l的平行线条数为( )A．1 B．2C．3 D．0或1[解析] 以如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1为例．令A 1B 1所在直线为直线l ，过l 外的两点A ，B 可以作一条直线与l 平行，过l 外的两点B ，C 不能作直线与l 平行，故选D.[答案] D探究空间中四边形的形状问题根据三角形的中位线、公理4证明两条直线平行是常用的方法．公理4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两条直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法．【示例】 如图，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．[思路分析] 欲证EFGH 为平行四边形，只需证EH ∥FG ，只需证BD ∥FG 且BD ∥EH . [证明] 连接BD ， 因为EH 是△ABD 的中位线， 所以EH ∥BD ，且EH ＝12BD .同理，FG ∥BD ，且FG ＝12BD .因此EH ∥FG .又EH ＝FG ，所以四边形EFGH 为平行四边形．[引申探究] (1)本例中若加上条件“AC ⊥BD ”，则四边形EFGH 是什么形状？ (2)本例中，若加上条件“AC ＝BD ”，则四边形EFGH 是什么形状？(3)本例中，若加上条件“AC ⊥BD ，且AC ＝BD ”，则四边形EFGH 是什么形状？ [解] (1)由例题可知EH ∥BD ，同理EF ∥AC ， 又BD ⊥AC ，因此EH ⊥EF ， 所以四边形EFGH 为矩形．(2)由例题知EH ∥BD ，且EH ＝12BD ，同理EF ∥AC ，且EF ＝12AC .又AC ＝BD ，所以EH ＝EF .又EFGH 为平行四边形，所以EFGH 为菱形． (3)由(1)(2)可知，EFGH 为正方形．[针对训练] 如图所示，设E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CG CD＝μ(λ，μ∈(0,1))，试判断四边形EFGH 的形状．[解] 连接BD ，在△ABD 中，AE AB ＝AHAD＝λ， ∴EH ∥BD ，且EH ＝λBD . 在△CBD 中，CF CB ＝CGCD＝μ，∴FG ∥BD ，且FG ＝μBD ，∴EH ∥FG ，∴顶点E 、F ，G 、H 在由EH 和FG 确定的平面内． (1)当λ＝μ时．EH ＝FG ，故四边形EFGH 为平行四边形； (2)当λ≠μ时．EH ≠FG ，故四边形EFGH 是梯形．课后作业(六) (时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定异面D ．相交或异面[解析] 可能相交也可能异面，选D.[答案] D2．下列选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是( )[解析] 易知选项A，B中PQ∥RS，选项D中RS与PQ相交，只有选项C中RS与PQ是异面直线．[答案] C3．异面直线a，b，有aα，bβ，且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是( ) A．c与a，b都相交B．c与a，b都不相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条相交[解析] 若c与a，b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.又c与b都在β内，∴b∥c.由公理4，可知a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．[答案] D4．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )A ．CC 1与B 1E 是异面直线 B ．C 1C 与AE 共面 C ．AE 与B 1C 1是异面直线D ．AE 与B 1C 1所成的角为60°[解析] 由于CC 1与B 1E 都在平面C 1B 1BC 内，故C 1C 与B 1E 是共面的，所以A 错误；由于C 1C 在平面C 1B 1BC 内，而AE 与平面C 1B 1BC 相交于E 点，点E 不在C 1C 上，故C 1C 与AE 是异面直线，B 错误；同理AE 与B 1C 1是异面直线，C 正确；而AE 与B 1C 1所成的角就是AE 与BC 所成的角，E 为BC 中点，△ABC 为正三角形，所以AE ⊥BC ，D 错误．[答案] C5．已知空间四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则下列判断正确的是( ) A ．MN ≥12(AC ＋BD )B ．MN ≤12(AC ＋BD )C ．MN ＝12(AC ＋BD )D ．MN <12(AC ＋BD )[解析] 取BC 的中点E ，连接ME ，EN ，又M 、N 分别为AB 、CD 的中点， ∴ME 綊12AC ，EN 綊12BD ，又在△EMN 中，ME ＋EN >MN ，∴12(AC ＋BD )>MN . [答案] D6．在四棱锥P －ABCD 中，各棱所在的直线互相异面的有________对.[解析] 以底边所在直线为准进行考查，因为四边形ABCD 是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线．[答案] 87．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是________．[解析] 连接AD1，则AD1∥BC1.∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC ＝AD1＝CD1，∴∠CAD1＝60°，即AC与BC1所成的角为60°.[答案] 60°8．如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD和AC所成角的度数为________．[解析] 依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF所成的角或其补角即为异面直线AC 与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.[答案] 60°9．如图所示，空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AB ⊥CD ，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，求EF 和AB 所成的角．[解] 取AC 的中点G ，连接EG ，FG ， 则FG ∥CD ，EG ∥AB ，所以∠FEG 即为EF 与AB 所成的角(或其补角)， 且FG ＝12CD ，EG ＝12AB ，所以FG ＝EG .又由AB ⊥CD 得FG ⊥EG ， 所以∠FEG ＝45°.故EF 和AB 所成的角为45°.10．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是CC 1、B 1C 1、C 1D 1的中点．求证：∠NMP ＝∠BA 1D.[证明] 如图，连接CB 1、CD 1，∵CD 綊A 1B 1∴四边形A1B1CD是平行四边形∴A1D∥B1C.∵M、N分别是CC1、B1C1的中点∴MN∥B1C，∴MN∥A1D.∵BC綊A1D1，∴四边形A1BCD1是平行四边形∴A1B∥CD1.∵M、P分别是CC1、C1D1的中点，∴MP∥CD1∴MP∥A1B∴∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反∴∠NMP＝∠BA1D.应试能力等级练(时间25分钟)11．若直线a、b分别与直线l相交且所成的角相等，则a、b的位置关系是( ) A．异面B．平行C．相交D．三种关系都有可能[解析] 以正方体ABCD－A1B1C1D1为例．A1B1、AB所在直线与BB1所在直线相交且所成的角相等，A1B1∥AB；A1B1、BC所在直线与BB1所在直线相交且所成的角相等，A1B1与BC是异面直线；AB、BC所在直线与AC所在直线相交且所成的角相等，AB与BC相交，故选D.[答案] D12．如图所示，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M、N分别为AB、CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于( )A ．5B ．6C ．8D ．10[解析] 如图，取AD 的中点P ，连接PM 、PN ，则BD ∥PM ，AC ∥PN ，∴∠MPN 即异面直线AC 与BD 所成的角，∴∠MPN ＝90°，PN ＝12AC ＝4，PM ＝12BD ＝3，∴MN ＝5.[答案] A13.如图正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与AD 1异面且与AD 1所成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有________条．[解析] 与AD 1异面的面对角线分别为：A 1C 1、B 1C 、BD 、BA 1、C 1D ，其中只有B 1C 和AD 1所成的角为90°.[答案] 114．已知空间四边形ABCD 中，AB ≠AC ，BD ＝BC ，AE 是△ABC 的边BC 上的高，DF 是△BCD 的边BC 上的中线，则直线AE 与DF 的位置关系是________．[解析] 由已知，得E 、F 不重合． 设△BCD 所在平面为α则DF α，A ∉α，E ∈α，E ∉DF ∴AE 与DF 异面． [答案] 异面15．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 、F 分别为BC 和AD 的中点，将平面DCEF 沿EF 翻折起来，使CD 到C ′D ′的位置，G 、H 分别为AD ′和BC ′的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形．[证明] ∵梯形ABCD 中，AB ∥CDE 、F 分别为BC 、AD 的中点∴EF ∥AB 且EF ＝12(AB ＋CD )又C ′D ′∥EF ，EF ∥AB ，∴C ′D ′∥AB . ∵G 、H 分别为AD ′、BC ′的中点∴GH ∥AB 且GH ＝12(AB ＋C ′D ′)＝12(AB ＋CD )∴GH 綊EF ，∴四边形EFGH 为平行四边形．。

空间中的垂直关系1．线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直 推理模式： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭。

注意：⑴三垂线指PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用。

2．线面垂直定义：如果一条直线l 和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直其中直线l 叫做平面的垂线，平面α叫做直线l 的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。

直线l 与平面α垂直记作：l ⊥α。

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。

3．面面垂直两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。

两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。

题型1：线线垂直问题例1．如图1所示，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、L 、M 、N 分别为A 1D 1，A 1B 1，BC ，CD ，DA ，DE ，CL 的中点，求证：EF ⊥GF 。

例2．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ，D 、E 分别为BB 1、AC 1的中点，证明：ED 为异面直线BB 1与AC 1的公垂线。

1高中数学 第1章《立体几何初步》垂直关系的判定导学案北师大版必修2你的 疑惑3.（1）半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成 _________，其中的________都叫作半平面.（2）二面角：从一条直线出发的___________所组成的图形叫作二面角，___________叫做二面角的棱，______________叫作二面角的面.（3）二面角的记法：以直线AB 为棱，半平面α、β为面的二面角，记作________________.（如下图（1））（4）二面角的平面角：以二面角的棱上_________为端点，在两个半平面内分别作___________的两条射线，这两条射线所组成的角叫作二面角的平面角. 如下图（2）中的AOB ∠. ______________的二面角叫作直二面角.（5）两个平面相交，如果所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直.4. 将一支铅笔垂直于桌面，再用一本书紧贴着铅笔转动，你能观察到书本和桌面的关系吗？再观察下图（1）（2）中的长方体，可以发现：平面α内的直线a 与平面β________，这时，α____β.抽象概括平面和平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条_______，那么这两个平面互相垂直.图形语言： 符号语言：若直线AB ____平面β，AB ______平面α，策略与反思 纠错与归纳【学习目标】 1. 理解直线和平面、平面和平面垂直的判定定理，并能进行简单应用. 2. 通过垂直关系判定定理的探究和应用过程，进一步提高空间想象能力和逻辑思维能力. 3. 通过垂直关系判定定理的探究和应用过程，体会数学和生活的紧密联系. 【重点难点】 重点：直线和平面、平面和平面垂直的判定定理及应用. 难点：对直线和平面、平面和平面垂直判定定理的理解. 【使用说明】 1. 认真阅读课本第35—37页的内容，独立完成自主学习内容. 2. 在自主学习的基础上，通过小组讨论，完成合作探究内容. 【自主学习】 1. 如右图，拿一块教学用的直角三角板，放在墙角，使三角板的 直角顶点C 与墙角重合，直角边AC 所在直线与墙角所在直线重合，将三角板绕AC 转动，在转动过程中，直角边CB 与地面紧贴，这就表示，AC 与地面垂直.抽象概括 直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的___________直线都_________，那么称这条直线和这个平面垂直. 2. 观察上图（1）的长方体，c b ,是平面α内的两条_______直线，直线a __b ，a __c ，这时，a __α. 观察上图（2）的长方体，平面α内的两条直线c b ,不相交，虽然直线a 与c b ,都______，但是a 与α_________. 抽象概括 直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的_______________都垂直，那么该直线与此平面垂直. 图形语言： 符号语言：若直线a ____平面α，直线b _____平面α， 直线l ____a ， 直线l ____b ，a ____A b =， 则α⊥l .天才在于积累 聪明在于勤奋。

1.2 简单多面体学习目标 1.通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特征(重点)；2.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征解决简单多面体的有关计算(重、难点).知识点一多面体我们把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体.其中棱柱、棱锥、棱台都是简单多面体. 【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)多面体至少四个面.(√)(2)多面体的面都是平的，多面体没有曲面.(√)知识点二棱柱的结构特征定义图形及表示相关概念分类两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫作棱柱.如图可记作：棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′底面：两个互相平行的面.侧面：其余各面.侧棱：两个侧面的公共边.顶点：底面多边形与侧面的公共顶点.按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱、……棱柱的侧面一定是平行四边形吗？提示根据棱柱的概念侧棱平行、底面平行可知，棱柱的侧面一定是平行四边形.知识点三棱锥的结构特征定义图形及表示相关概念分类有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫作棱锥.如图可记作，棱锥S－ABCD底面：多边形面.侧面：有公共顶点的各个三角形面.侧棱：相邻侧面的公共边.顶点：各侧面的公共顶点.按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥、……(1)五棱锥共有五个面.(×)(2)三棱锥也叫四面体.(√)(3)棱锥的侧棱长都相等.(×)知识点四棱台的结构特征定义图形及表示相关概念分类用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫作棱台.如图可记作：棱台ABCD－A′B′C′D′上底面：原棱锥的截面.下底面：原棱锥的底面.侧面：其余各面.侧棱：相邻侧面的公共边.顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点.由三棱锥、四棱锥、五棱锥…截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……棱台的上下底面互相平行，各侧棱延长线一定相交于一点吗？提示根据棱台的定义可知其侧棱延长线一定交于一点.题型一棱柱的结构特征【例1】下列说法中，正确的是( )A.棱柱中所有的侧棱都相交于一点B.棱柱中互相平行的两个面叫作棱柱的底面C.棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形解析A选项不符合棱柱的特点；B选项中，如图①，构造四棱柱ABCD－A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知平面ABB1A1∥平面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；C选项中，如图②，底面ABCD可以是平行四边形；D选项是棱柱的特点.故选D.答案 D规律方法棱柱的结构特征：(1)两个面互相平行；(2)其余各面都是四边形；(3)每相邻两个四边形的公共边都互相平行.求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征.【训练1】根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体名称：(1)由6个平行四边形围成的几何体.(2)由8个面围成，其中两个面是平行且全等的六边形，其余6个面都是平行四边形.解(1)这是一个上、下底面是平行四边形，四个侧面也是平行四边形的四棱柱.(2)该几何体是六棱柱.题型二棱锥、棱台的结构特征【例2】下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是________.解析①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.答案①②规律方法判断棱锥、棱台形状的两个方法：(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确. (2)直接法：棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点A.三棱锥B.四棱锥C.三棱台D.四棱柱解析剩余部分是四棱锥A′－BB′C′C.答案 B【探究1】画出如图所示的几何体的表面展开图.解表面展开图如图所示：【探究2】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由).解点F，G，H的位置如图所示.【探究3】如图所示，已知三棱锥P－ABC的底面是正三角形且三条侧棱两两成30°角，侧棱长为18 cm，从点A引一条丝带绕侧面一周回到A点，设D，E分别为丝带经过PC，PB 时的交点，则△ADE周长的最小值为多少？解把三棱锥P－ABC的侧面沿侧棱PA剪开，并展开在平面上，得到平面图形PABCA′，如图所示，则当A，E，D，A′四点共线时，△ADE的周长取得最小值，即线段AA′的长度.∵∠APB＝∠BPC＝∠CPA′＝30°，∴∠APA′＝90°.又AP＝A′P＝18 cm，∴AA′＝18 2 cm.则△ADE周长的最小值为18 2 cm.【探究4】长方体中，a，b，c为棱长，且a>b>c，求沿长方体表面从P到Q的最小距离(其中P，Q是长方体对角线的两个端点).解将长方体展开，有三种情况(如图).d1＝a2＋（b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2bc，d2＝c2＋（a＋b）2＝a2＋b2＋c2＋2ab，d3＝b2＋（a＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ac，因为a>b>c，故d min＝d1＝a2＋（b＋c）2.规律方法多面体表面展开图问题的解题策略：(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图.(2)已知展开图：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推.同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图.课堂达标1.下列说法错误的是( )A.多面体至少有四个面B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C.长方体、正方体都是棱柱D.三棱柱的侧面为三角形解析由于三棱柱的侧面为平行四边形，故选项D错.答案 D2.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A.棱柱B.棱台C.棱柱与棱锥的组合体D.不能确定解析形成的几何体前后两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，符合棱柱的定义.答案 A3.下列三个命题：①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是菱形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.其中，正确的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个解析①中的平面不一定平行于底面，故①错；②中侧面是菱形，所以侧棱互相平行，延长后无交点，故②错；③用反例验证(如图)，故③错.答案 A4.对棱柱而言，下列说法正确的序号是________.①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形.②所有的棱长都相等.③棱柱中至少有2个面的形状完全相同.④相邻两个面的交线叫作侧棱.解析①正确，根据棱柱的定义可知；②错误，因为侧棱与底面上棱长不一定相等；③正确，根据棱柱的特征知，棱柱中上下两个底面一定是全等的，即棱柱中至少有两个面的形状完全相同；④错误，因为底面和侧面的交线不是侧棱.答案①③5.如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？解 由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱、棱锥、棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以(1)为五棱柱；(2)为五棱锥；(3)为三棱台.课堂小结1.棱柱、棱锥、棱台的关系在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例).2.(1)各种棱柱之间的关系 ①棱柱的分类棱柱⎩⎪⎨⎪⎧直棱柱⎩⎪⎨⎪⎧正棱柱一般的直棱柱斜棱柱②常见的几种四棱柱之间的转化关系(2)棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系，具体见下表： 名称 底面 侧面侧棱高平行于底面的截面 棱柱斜棱柱 平行且全等的两个多边形平行四边形 平行且相等与底面全等直棱柱平行且全等的两个多边形矩形平行、相等且垂直于底面等于侧棱与底面全等正棱柱平行且全等的两个正多边形全等的矩形平行、相等且垂直于底面等于侧棱与底面全等棱锥正棱锥一个正多边形全等的等腰三角形有一个公共顶点且相等过底面中心与底面相似其他棱锥一个多边形三角形有一个公共顶点与底面相似棱台正棱台平行且相似的两个正多边形全等的等腰梯形相等且延长后交于一点与底面相似其他棱台平行且相似的两个多边形梯形延长后交于一点与底面相似基础过关1.一般棱台不具有的性质是( )A.两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱都相等D.侧棱延长后都交于一点解析当棱台是斜棱台时其侧棱不全相等.答案 C2.下列关于棱柱的说法错误的是( )A.所有的棱柱两个底面都平行B.所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行C.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱D.棱柱至少有五个面解析对于A、B、D，显然是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫作棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱.如图所示的几何体就不是棱柱，所以C错误.答案 C3.若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是( )A.1∶2B.1∶4C.2∶1D.4∶1解析由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积比为对应边之比的平方，故选B.答案 B4.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.解析因棱柱有10个顶点，所以棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，所以侧棱长为605＝12 cm.答案125.一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中∠ABC＝________.解析如图所示，将平面图折成正方体.很明显点A，B，C是上底面正方形的三个顶点，则∠ABC＝90°.答案90°6.如图所示为长方体ABCD－A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱.解截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义.它是三棱柱BEB′－CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面，EF，B′C′，BC是侧棱.截面BCFE左侧部分也是棱柱.它是四棱柱ABEA′－DCFD′.其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面，A′D′，EF，BC，AD为侧棱.7.如图所示，有12个小正方体，每个正方体6个面上分别写着数字1，9，9，8，4，5，用这12个小正方体拼成一个长方体，那么图中看不见的那些小正方体的面有多少个，并求这些面上的数字和.解这12个小正方体，共有6×12＝72个面，图中看得见的面共有3＋4×4＝19个，故图中看不见的面有72－19＝53个，12个小正方体各个面的数字的和为(1＋9＋9＋8＋4＋5)×12＝432.而图中看得见的数字的和为131，所以看不见的那些小正方体的面上的数字的和为432－131＝301.能力提升8.如图所示，不是正四面体的展开图的是( )A.①③B.②④C.③④D.①②解析可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.答案 C9.下列命题中，真命题是( )A.顶点在底面上的投影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正三棱锥B.底面是正三角形，各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥C.顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心的三棱锥是正三棱锥D.底面是正三角形，并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥解析对于选项A，到三角形各顶点距离相等的点为三角形外心，该三角形不一定为正三角形，故该命题是假命题；对于选项B，如图所示，△ABC为正三角形，若PA＝PB＝AB＝BC＝AC≠PC，△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，但它不是正三棱锥，故该命题是假命题；对于选项C，顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心，底面为任意三角形皆可，故该命题是假命题；对于选项D，顶点在底面上的正投影是底面三角形的外心，又因为底面三角形为正三角形，所以外心即为中心，故该命题是真命题.答案 D10.如图所示，在所有棱长为1的直三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________.解析 将三棱柱沿AA 1展开如图所示，则线段AD 1即为最短路线，即AD 1＝AD 2＋DD 21＝10.答案 1011.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体或几何图形的4个顶点，这些几何体或几何图形是________(写出所有正确结论的编号).①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体. 解析 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体或几何图形的4个顶点，这些几何体或几何图形是：①矩形，如四边形ACC 1A 1；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A －A 1BD ；④每个面都是等边三角形的四面体，如A －CB 1D 1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如A －A 1DC ，所以填①③④⑤. 答案 ①③④⑤12.如图，在边长为2a 的正方形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A 、B 、C 重合，重合后记为点P .问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？(3)每个面的三角形面积为多少？解 (1)如图，折起后的几何体是三棱锥.(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF 为等腰三角形，△PEF 为等腰直角三角形，△DPE 和△DPF 均为直角三角形.(3)S △PEF ＝12a 2， S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2，S △DEF ＝S 正方形ABCD －S △PEF －S △DPF －S △DPE＝(2a )2－12a 2－a 2－a 2＝32a 2. 13.(选做题)已知正四棱锥V －ABCD 如图所示，底面面积为16，侧棱长为211，求它的高和斜高.解 如图所示，设VO 为正四棱锥V －ABCD 的高，作VM ⊥BC 于点M ，则M 为BC 的中点.连接OB 、OM ，则VO ⊥OM ，VO ⊥OB .因为底面正方形ABCD 的面积为16，所以BC ＝4，所以BM ＝CM ＝OM ＝2，所以OB ＝BM 2＋OM 2＝22＋22＝2 2.又因为VB ＝211，所以在R t△VOB 中，VO ＝VB 2－OB 2＝（211）2－（22）2＝6，在Rt△VOM (或Rt△VBM )中，VM ＝62＋22＝210(或VM ＝（211）2－22＝210).即正四棱锥的高为6，斜高为210.。

人教版必修一第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算3.1交集与并集3.2全集与补集第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识2.1函数的概念2.2函数的表示方法2.3映射§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究4.1二次函数的图像4.2二次函数的性质§5 简单的幂函数第二章指数函数与对数函数§1 正指数函数§2 指数扩充及其运算性质2.1指数概念的扩充2.2指数运算是性质§3 指数函数3.1指数函数的概念3.2指数函数的图像和性质3.3指数函数的图像和性质§4 对数4.1对数及其运算4.2换底公式§5 对数函数5.1对数函数的概念5.2 的图像和性质5.3对数函数的图像和性质§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较第四章函数的应用§1 函数和方程1.1利用函数性质判定方程解的存在1.2利用二分法求方程的近似解§2 实际问题的函数建模2.1实际问题的函数刻画2.2用函数模型解决实际问题2.3函数建模案例必修二第一章立体几何初步§1 简单几何体1.1简单旋转体1.2简单多面体§2 直观图§3 三视图3.1简单组合体的三视图3.2由三视图还原成实物图§4 空间图形的基本关系与公理4.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理§5 平行关系5.1平行关系的判定5.2平行关系的性质§6 垂直关系6.1垂直关系的判定6.2垂直关系的性质§7 简单几何体的面积和体积7.1简单几何体的侧面积7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积7.3球的表面积和体积第二章解析几何初步§1 直线和直线的方程1.1直线的倾斜角和斜率1.2直线的方程1.3两条直线的位置关系1.4两条直线的交点1.5平面直接坐标系中的距离公式§2 圆和圆的方程2.1圆的标准方程2.2圆的一般方程2.3直线与圆、圆与圆的位置关系§3 空间直角坐标系3.1空间直接坐标系的建立3.2空间直角坐标系中点的坐标3.3空间两点间的距离公式。