第一章 矩阵及其初等变换重难点学习指南1、矩阵的乘法运算是重要的、基本的，也是一些学生不重视常出错的地方。
首先要学会乘法运算。
其次，还要注意：(1) 矩阵乘法一般不满足交换律，即AB BA ≠；(2) 矩阵乘法消去律一般不成立，即由0AB =不能得到00A B ==或、由AB AC =一般不能推出B C =，大家可以思考由AB AC =推出B C =的条件。
例题1 已知2461234812A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，计算n A 。
分析：做本题的关键是把矩阵A 变为列矩阵()211234⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭和行矩阵的乘积，即()211234A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；并且运用矩阵乘法的结合律。
所以()()()()122221123112311231611234444nn A AA A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L例题2已知123013001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，计算n A 。
分析：本题可把矩阵A 分解成两个矩阵之和，即100023010003001000A I B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，并且注意到2023023006003003000000000000B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭30060230000000030000000000000B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭那么2(1)()2n n n n A I B I nB B -=+=++2．矩阵的行初等变换源自线性方程组求解的高斯消元法. 给定一个线性方程组, 对应方程组的增广矩阵, 对方程组的方程进行消元变换(两方程互换位置, 某方程乘以非零的常数, 某方程的倍数加到另一方程上)相当于对增广矩阵施行对应的初等行变换. 将增广矩阵通过行变换化为阶梯型矩阵后, 根据阶梯型的形状可以判断原方程组无解, 有惟一解或者无穷多解. 初等矩阵对单位矩阵任作一次初等变换所得到的矩阵称为该初等变换对应的初等矩阵，要注意同一初等矩阵所对应的初等行变换与初等列变换往往是不同的,比如: ()ij E k 对应的初等行变换: i k j 矩阵的第行乘以加到第行上；()ij E k 对应的初等列变换: 矩阵的第j 列的乘以k 加到第i 列.矩阵的初等变换是线性代数课程中矩阵的基础，因此，掌握初等线性变换，避免出错尤其显得重要：(1) 从定义上来说，行变换与列变换是对称而具有完全相同的重要性，但在实际应用当中，除了一些特殊情况外(初等变换化矩阵为标准形，将矩阵写成初等矩阵的乘积)，一般只要用初等行变换即可，为方便记忆，只要记住什么时候可以使用初等列变换，而在其他计算时统一使用初等行变换即可; (2) 切忌进行循环变换：典型错误 第一行加到第二行，第二行加到第三行，第三行再加到第一行. (3) 初等行变换化矩阵为标准阶梯形时，行变换的次序通常是从上面的行到下面的行，依次进行;(4) 两行互换或者某行乘以非零倍数的变换，常可避免分数的出现，减少计算出错的可能.例题1 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=323132332221222312111213a a a a a a a a a a a a B ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000110011P ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000100112P ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0010101003P ，则B =( ).(A) 32AP P (B) 31P AP (C) 13P AP (D) 32P AP分析： 矩阵B 可以视为A 经由两次初等列变换而得：将A 的第二列加到第一列得A 1, 然后将A 1的第一、三列互换即可得到B , 对矩阵作一次初等列变换相当于右乘对应的初等矩阵，应选(B).例题2 计算20102011100123001010234010021345100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.分析：因为123001321234010432345100543⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2123001123234010234345100345⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以 2011123123001321234010432345100543ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为 11223321003211000104320100215430212ααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭221122332210032110001043201002154302122αααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此2010201112321001230013210102340104320213451002010(2)16085120648043αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3．矩阵A 可逆的要求：(1) A 是方阵；(2) AB BA I ==. 由此可知，按定义判断一个矩阵A 是否可逆，一方面应检查A 是否方阵，另一方面，需要找出一个与A 同型的方阵B 使得AB I =或者BA I =.例题1 设n 阶方阵A 满足方程O I A A =++232，证明：I A -是可逆矩阵，并求1)(--I A .分析： 由232()()A A I A I A kI lI ++⇒-+=，用待定系数法求出k l 和，有 I I A I A 6)4)((-=+-,即 I I A I A =+--)]4(61)[(，所以I A -是可逆矩阵，且)4(61)(1I A I A +-=--.例题 2 设n 阶矩阵A 和B 满足条件AB B A =+, 证明I A -是可逆矩阵，其中I 是n 阶单位矩阵.分析：对已知矩阵等式进行变形，凑出()()A I kI -待定矩阵＝，其中待定矩阵与k 的计算可以用待定系数法求得.⇒=+AB B AO AB A B =--首先变形成0=矩阵关系式的形状 ()()?I A -= 问号部分用待定系数法来计算()()I I B I A ---= ()()I I B I A =--⇒()()()I B I A I A -=--⇒-1可逆并且.逆矩阵的计算方法: 初等行变换法.例题3 设矩阵100110101A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭.求()()12 24A I A I -+-.分析： 当遇到较复杂的矩阵计算时, 通常采用先化简后计算的方法, 观察()1发现, ()()()()()112242222A I AI A I A I A I A I --+-=++-=-,比直接计算省力!所以 ()()()()()112242222A I A I A I A I A I A I --+-=++-=-=300130101-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭例题4 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110,111011001B A ，且矩阵X 满足AXA BXB AXB BXA I +=++.I 是三阶单位矩阵，求X .分析：已知矩阵满足的等式求解某矩阵时，通常对矩阵等式先化简，后计算.()()AXA BXB AXB BXA I AXA AXB BXB BXA I +=++⇒-+-=()()AX A B BX B A I ⇒-+-=()()AX A B BX A B I ⇒---= ()(),A B X A B I ⇒--=因此当B A -可逆时，()21X A B -⎡⎤=-⎣⎦, 又100011111110101011,111110001A B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭经计算可得()1112011001A B ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭－＝ 因而，()()21125012001X A B -⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭.第二章 行列式 重难点学习指南1．注意行列式与矩阵的区别与联系，学会用行列式的定义计算行列式; 2. 通过举例让学生掌握行列式的计算方法：三角化法、递推法、归纳法、加边法等;3. 注意子式、余子式、代数余子式三个概念的关系;4. 矩阵秩的概念很容易理解不清,要结合适当例子能熟练掌握矩阵的秩的概念及其计算.行列式的计算方法很多，下面介绍拆开法和递推法： 1. 拆开法：此方法是利用行列式的性质：11121111211122121212 n n i i i i in in i i in n n nnn n nna a a a a abc b c b c b b b a a a a a a +++=+LL M M M MM M LLM M M M M M LL 111211212n i i in n n nna a a c c c a a a L MM M LM M M L将一个行列式拆成两个或多个行列式之和, 再进行计算.2. 递推法：对n 阶行列式n D , 找出n D 与1n D -，或n D 与1n D -、2n D -之间的一种关系，即递推公式（其中n D 、1n D -、2n D -等结构相似）. 再由此递推公式求出n D 的方法称为递推法.例题1. 设1abcd =，计算行列式22222222111111111111a a a ab b bb Dc b c bd ddd++=++分析： 将D 按第一列拆开: 2222222211111111111111111111a a a a a ab b b b b b Dc c c c c cd dddd d=+222232222111111111111(1)111111111111a a a a a ab b b bb b abcdc c c c c cd d d d d d=+-= 例题2 计算 123()n nx a a a bx a a D a b bb x a bbbx =≠L L L M M M M L.分析： 将n D 中的第1列中的元素b 写成0b +，1x 写成1()b x b +-，依第1列将行列式拆成两个行列式之和，于是有1223000n nnx b a a a b a a a x a a b x a aD b x a bbb x bbx -=+L L L L L M M M M M M M M LL211000000()0n n b a a a x a b ax b D b a b ax a--=-+----L L L M M M M L即 2311()()()()n n n D b x a x a x a x b D -=---+-L （1）因Tnn D D =（把a b 与互换, 行列式的值不变）, 故 2311()()()().n n n D a x b x b x b x a D -=---+-L （2） 由a b ≠, 11(1)()(2)()x a x b ⨯--⨯-，得 11()()nni i i i n a x b b x a D a b==∏--∏-=- .例题3 试证明 sin 2sin()sin()sin()sin 2sin()0sin()sin()sin 2ααβαγβαββγγαγβγ++++=++ 分析：利用矩阵的乘积将所求行列式拆成两个行列式的乘积.左边sin cos 0cos cos cos sin cos 0sin sin sin sin cos 00αααβαββαβαγγ=⋅=0 例题4 计算n 阶行列式12211000010000000001n n n n x x x D x a a a a x a ----=+L L L M M M M M L L分析： 直接按第1列展开, 可得递推公式111000100(1)001n n n nx D xD a x +---=+--L LM M M M L1n n a xD -=+ ， 即 1()n n n D a xD -=+（递推公式） 12()n n n a x a xD --=++212n n n a a x x D --=++ 2123()n n n n a a x x a xD ---=+++32132n n n n a a x a x x D ---=++++L L L LL111n n n n a a x a x x --=++++L例题5. 计算n 阶行列式3200013200013000003200013n D =L L L M M M M M L L分析： 这是一个三对角线型的n 阶行列式. 三对角线型的行列式是指主对角线上元素与主对角线上方和下方第一条次对角线上元素不全为零而其余元素为零的行列式.一般采用降阶法、拆开法或递推法计算. 按第1行展开得1232 , (1)n n n D D D --=-设 112() , (2)n n n n D xD y D xD ----=- 比较（1）式与（2）的系数得:3,2,x y xy +=⎧⎨=⎩则:111,2,x y =⎧⎨=⎩或222,1,x y =⎧⎨=⎩ 分别代入（2）式得21122112212()2(1)2,(3)2(2)(2)1,n nn n n n nn n n D D D D D D D D D D D -------⎧-=-==-=⎪⎨-=-==-=⎪⎩L L 其中123,D 7D ==，消去（3）式中的1n D -得：121n n D +=-2．1) 秩的若干等价定义. 设A 是,m n ⨯矩阵 则如下条件等价:(1) A 的秩为k , 记()R A k =;(2) (), 10A k k +有一个阶非零子式且全部阶若存在子式均为; (3) 矩阵A 行向量组的秩为k ; (4) 矩阵A 列向量组的秩为k ;(5) ,, m P n Q 存在阶可逆矩阵阶可逆矩阵使得k I O PAQ O O ⎛⎫= ⎪⎝⎭;2) 矩阵秩的一些基本性质, 设A 是m n ⨯矩阵, 则: (1) ()()R min ,A m n ≤; (2) ()R 0A A O =⇔=;(3) 初等变换不改变矩阵的秩. 当,P Q 是可逆矩阵时:()()()()R R R R PA A AQ PAQ ===;(3) ()R k I O A k P Q PAQ O O ⎛⎫=⇔= ⎪⎝⎭存在可逆矩阵、使得;(4) ()()()()R ,0R R , R 0 ,0T A k A A kA k ≠⎧⎪==⎨=⎪⎩;(5) ()()R R R A O A B O B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;(6) 子矩阵的秩不超过原矩阵之秩, 设A 是m n ⨯矩阵, 从A 选取u其中行与v 列, 由这些行与列所得A 的子矩阵记为B , 则: ()()R R A B ≥, 特别的, 若1234AA A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 则()()()R R 1,2,3,4i A A i =≥;(7) (AX =0基础解系中的解数)+()()R A n AX ==0中的变量数.3) 矩阵的秩是线性代数课程中的难点之一. 学习时要多注重矩阵秩与其他概念之间的联系, 如向量组的相关性, 极大无关组的性质, 齐次方程组系数矩阵秩与基础解系中解数的关系, 分块矩阵的秩等. 下面是一些常用的关于矩阵秩的一些不等式.(1) 设A 是m k ⨯矩阵,B 是m l ⨯矩阵, 则:()()()()()()()max R ,R R ,R R A B A B A B ≤≤+.(2) 设A , B 是m n ⨯矩阵, 则: ()()()R R R A B A B ±≤+. (3) 设A 是m k ⨯矩阵,B 是k n ⨯矩阵, 则:● ()()()()R min R ,R AB A B ≤.● ()()()R R R AB A B k +-≥, 特别的, 若()(),R R AB O A B k =+则≤.(4) 设A 是n 阶方阵, 则: ()()()()* , R ,R 1 , R 1,0 , R 1.n A n A A n A n =⎧⎪==-⎨⎪<-⎩例题1 设A 为n 阶方阵, 证明:1) ()()2, : R R A I A I A I n =++-=若则;2) 若2A A =, 则()()R R A A I n +-=.分析：1) ()()22A I A I O A I A I O =⇒-=⇒+-=, 由定理3知:()()R R A I A I n ++-≤.又由定理2知:()()()()()() R R R R 2A I A I A I A I I n ++-+--==≥.综合如上两个不等式即得()()2, : R R A I A I A I n =++-=若则. 2) 类似于1), 这里考虑用分块矩阵的证明思路.()()()()R R R R ,R A O AO I A A I I I I nO A I O A I I ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥又()2A A A A I O =⇒-=, 由定理3知:()() R R A A I n +-≤.综合如上两个不等式即得()()2, : A A r A r A I n =+-=若则.例题2 设B 为r 阶方阵，C 为n r ⨯型矩阵，且秩()R C r =，证明：（1）若BC O =，则B O =;（2）若C BC =，则I B =，其中I 为n 阶单位矩阵.分析：齐次线性方程组AX O =的基础解系含有()R n A -个解，它仅与秩()R A 有关，因此一些关于秩的问题常可转化为齐次线性方程组解的问题来讨论. （1）把C 按列分块得),,,(21n C αααΛ=，由题设1212(,,,)(,,,) (1,2,,)n n i BC B B B B O B O i n ααααααα===⇒==L L L ，即),,2,1( n i i Λ=α为线性方程组BX O =的解. 由()R C r =知r 个变量的齐次方程组BX O =的基础解系含有r 个解向量，故()R 0B =从而B O =.（2）若C BC =，可得0)(=-C I B .显然I B -为r 阶方阵，由（1）得B I O -=，即I B =.第三章 几何空间 重难点学习指南空间直角坐标是平面直角坐标的推广和发展，空间直角坐标系的概念与平面直角坐标系的概念类似，但它们之间又有区别，学习时一定要注意将相关概念进行对比，分清异同，理解向量的概念与空间直角坐标系.向量积注意掌握它们的运算规律.要能能灵活地应用平面,直线的相互关系解决有关问题.例题1 设向量,,αβγ满足0αβγ++=，||||3,||||5,||||7αβγ===，求向量,αβ的夹角.分析：因为0αβγ++=，所以()αβγ-+=，从而22||||||||αβγ+=. 又因为222||||||||||||2αβαβαβ+=++g , 得222115[||||(||||||||)]22αβγαβ=-+=g . 由1cos ,||||||||2αβαβαβ==g 得到,3παβ=.例题2 一平面过点0(2,1,1),M -且在x 轴和y 轴上的截距分别为2和1,求平面方程.分析: 本题主要需要对平面方程的截距式、一般式、点向式等熟悉和应用. 如由截距式121x y zc++=及平面过点0(2,1,1)M -可求出1c =, 进而求得平面方程; 由平面的一般式方程0Ax By Cz D +++=及平面过点(2,1,1)-、(2,0,0)、(0,1,0)得20200A B C D A D B D +-+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 解之得12A D B D C D ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩. 故平面方程为 222x y z ++=; 因为点0(2,1,1)M -、(2,0,0)A 、(0,1,0)B 在平面上, 所以平面法向量0(1,2,2)n AB AM =⨯=---r u u u r u u u u u r, 于是由平面方程的点向式可得222x y z ++=.例题3 矩阵111222333a b c A a b c a b c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为满秩矩阵, 证明直线 1111232323:x a y b z c l a a b b c c ---==---与直线2222313131:x a y b z c l a a b b c c ---==---相交.分析: 在1l 上取点1111(,,)M a b c 和在2l 上取点2222(,,)M a b c , 得21121212(,,)M M a a b b c c =---u u u u u u u r直线1l 的方向向量为1232323(,,)S a a b b c c =---, 直线2l 的方向向量为2313131(,,)S a a b b c c =---.因为直线1l 的方向向量为1212122112232323313131[,,]0a a b b c c M M S S a a b b c c a a b b c c ---=---=---u u u u u u u r u u r u u r故两直线共面.由于111222333a b c A a b c a b c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为满秩矩阵, 故 111111222232323333313131||0a b c a b c A a b c a a b b c c a b c a a b b c c ==---≠--- 从而知1l 与2l 不平行, 所以1l 与2l 相交.例题4 求异面直线:41263x y z --==--和322254x y z -+-==-之间的距离. 分析: 先求出过直线41263x y z --==--且平行于直线322254x y z -+-==-的平面方程的法向量: (2,6,3)(2,5,4)(9,2,2)n =--⨯-=-r, 故所求平面方程为922340x y z +--=. 在直线322254x y z -+-==-上取点(3,2,2)M -, 则(3,2,2)M -到平面+--=的距离为x y z922340d==.第四章 n 维向量空间 重难点学习指南1. 在向量的线性相关的定义中,要求存在一组不全为零的数12,,,m k k k L ,能将“不全为零”改为“全不为零”吗？分析：不能. 二者含义是不同的. “不全为零”的反面是“全为零”；而“全为零”的反面是“至少有一个为零”. “不全为零”的要求宽:允许一些数为零; “全不为零”的要求严:每一个都不为零; “不全为零”中包括了“全不为零”. 在线性相关的定义中, 只能是不全为零.例如：设向量12(0,0,0),(1,1,1)T T αα==,则可找到(存在)一组数121,0k k ==,使得11220k k αα+=,则1α与2α是线性相关的.其中1k 与2k “不全为零”, 而“全不为零”的数12,k k 是不存在的.2. 12,,,m αααL 是一组线性相关的n 维向量,是否对任意不全为零的数12,,,m k k k L ,都有11220m m k k k ααα+++=L 成立？分析：不是.向量组12,,,m αααL 线性相关是指存在不全为零的数12,,,m k k k L ,使11220m m k k k ααα+++=L 成立. 3.线性相关与线性无关有哪些不同？ 分析:它们的不同之处有三点. (1) 定义不同.线性相关的向量组是,存在不全为零的一组数12,,,m k k k L ,使得11220m m k k k ααα+++=L .而线性无关的向量组是,只有120m k k k ====L 时才有11220m m k k k ααα+++=L 成立.(2) 线性表示问题.线性相关的向量组中至少有一个向量能有其余向量线性表出,而线性无关的向量中任何一个向量都不能由其余向量线性表出. (3) 与方程组的关系.若12,,,m αααL 线性相关,由定义知存在不全为零的数组12,,,m x x x L ,使得11220m m x x x ααα+++=L即1212(,,,)0m m x x x ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L M或0Ax =有非零解,而线性无关则是0Ax =只有有零解.由此可看出研究向量的线性相关性与方程组有着直接的关系. 4. 下列命题是否正确？为什么？(1) 若120000m ααα+++=L ,则12,,,m αααL 线性无关.(2)若12,,,m αααL 线性无关,则11220m m k k k k αααβ++++=L 中的12,,,m k k k L 必全为零.(3)若β不能由12,,,m αααL 线性表出,则12,,,,m αααβL 线性无关. (4)两个等价的向量组,一个线性无关,另一个也必线性无关. (5)两个等价的向量组,必含有的向量个数相同. 分析：(1)不一定.因为不论12,,,m αααL 是线性相关还是线性无关,恒有120000m ααα+++=L 成立.(2)不一定. 当12,,,,m αααβL 线性无关时, 12,,,m k k k L 必全为零. 当12,,,,m αααβL 线性相关时, 12,,,m k k k L 可以不全为零.(3)不一定.例如,设123(1,0,0),(0,0,1),(0,0,2)T T T ααα===,此时1α不能由2α与3α线性表出,但可以看出123,,ααα是线性相关的. (4) 不一定.例如,设12(1,1,1),(3,4,2)T Tββ=-=-,1234(2,4,0),(0,1,1),(1,1,1),(3,4,2)T T T T αααα===-=- ‘可以证明,向量组12,ββ与1234,,,αααα等价,但此时12,ββ线性无关,而1234,,,αααα线性相关.(5)不一定.(4)中的例子即为反例.5. 如果向量组12,,,m αααL 的秩为r ,则其中任意r 个向量是否可以构成它的一个最大无关组?分析：不一定.根据向量组秩的定义, 若12,,,m αααL 的秩为r ,则只能得到存在r 个向量构成它的一个最大无关组,并不是任意.例如,设123(1,2,3),(3,4,5),(4,8,12)T T T ααα===,易知向量组的秩为2,其中12,αα;23,αα均为最大无关组,但1α与3α不能构成组大无关组. 6. 若向量组12,,,m αααL 的秩为r ,问:(1)该向量组中的任意r 个线性无关的向量都可为其最大无关组. (2)该向量组中的任意r 个向量是否都可为其最大无关组？ (3)多于r 个的向量组一定线性相关？ (4)少于r 个的向量组一定线性无关. 分析:(1)是.由定义知正确. (2)不一定, 同5.(3) 多于r 个的向量组一定线性相关.否则,若无关,则与秩为r 矛盾. (4)少于r 个的向量组未必线性无关.例如:1234(2,1,3,1),(3,1,2,0),(4,2,6,2),(4,3,11,1)T T T T αααα=-=-=-=-,易知秩为3,但1α与3α线性相关.7. 等价向量组的秩相同,反之,有相同秩的两个向量组是否等价? 分析:有相同秩的两个向量组未必等价.例如:1234(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)T T T T εεεε====.可以看出12,εε的秩为2; 34,εε的秩为2,但12,εε与34,εε两组向量不能相互线性表出,因而也不等价. 8. 若对矩阵()ij m n A a ⨯=施以行初等变换,得到矩阵()ij m n B b ⨯=,问A 的行向量组12,,,m αααL 与B 的行向量组12,,,m βββL 是否等价？分析: A 的行向量组与B 的行向量组等价. 同理, 对矩阵A 施以列初等变换,得到矩阵B ,则A 的列向量组与B 的列向量组等价.注：对矩阵A 只施行初等变换,或对矩阵A 只施列初等变换才有上述结论.但若对矩阵A 同时施以行和列的初等变换,这时A 与B 的行向量组(A 与B 的列向量组)未必等价. 例如:21122111110220000r r c c A B -++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−−−→−−−→= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然A 的行向量组不能由B 的行向量组线性表出,从而A 与B 的行向量组不等价. 9. 怎样求解非齐次线性方程组？ 分析:n n n n r x x x D D x D D R A R B n R A R B n Ax b R A R B r n 1111,,/,,/()()()(),,()()-=====→==ξξ=→=<⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩L L L L u u u u u u u u u u u u r u u u u u u r u u u u u u u u u u u u r u u u u u u u r u u u u u u r u u u u u u u u u u u ur u u u r 方程组有唯一解行初等变换方程组有唯一解Grammer 法则基础解系齐次方程组方程组有非齐次无穷多解方程组n r n r Ax b x k k 0011--=η=η+ξ++ξ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩L u u u u u u u r 的特解通解10. 线性相关与线性表出这两个概念有什么区别和联系？分析:向量组A : 12,,,m αααL 线性相关是指齐次线性方程组12(,,,)0m x ααα=L 有非零解,向量b 能由向量组A 线性表出是指非齐次线性方程组12(,,,)m x b ααα=L 有解.齐次方程0Ax =是否有非零解与非齐次方程组Ax b =是否有解,显然是两个不同的问题,由此可知线性相关与线性表出这两个概念的区别.但是, 又有向量组A : 12,,,(2)m m ααα≥L 线性相关的充要条件是向量组A 中至少有一个向量能由其余1m -个向量线性表出.这个充要条件把线性相关与线性表出这两个概念联系起来,经常把这个充要条件作为向量组线性相关的等价定义.向量组中至少有一个向量能有其余向量线性表出,也就是A 的m 个向量之间至少有一个线性关系式,这就是向量组A 线性相关的涵义. 按此等价条件即可得, 向量组A :线性无关的充要条件是向量组A 任意一个向量均不能由其余向量线性表出,即向量组A 的m 个向量之间没有有线性关系式.形象地说，“谁也表示不了谁”,这种“独立”性正是向量组A 线性无关的涵义.11. 两个矩阵等价与向量组的等价有什么区别和联系?分析:矩阵A 与B 等价是指A 可以通过有限次初等变换变成B ,因此,两个不同型的矩阵是不可能等价的;两个向量组等价是指它们能够相互线性表出,于是,它们各自所含向量的个数可能不一样多.例如:二维向量组A :11α⎛⎫= ⎪⎝⎭与二维向量组B :}1,1k k R ββ⎧⎛⎫⎪=∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎩是等价的.但前者只含一个向量;而后者含有无穷多个向量.两个矩阵等价与两个向量组等价的联系在于:(1)若矩阵A 经过行初等变换变成矩阵B ,即A 与B 行等价,则A 与B 的行向量组等价；若矩阵A 经过列初等变换变成矩阵C ,即A 与B 列等价,则A 与C 的列向量组等价；若矩阵A 经过行初等变换, 又经列初等变换变成矩阵D ,那么A 与D 等价, 但A 与D 的行向量组、列向量组未必等价.反过来,设两列向量组等价.若它们所含向量个数不相同,则它们对应的两个矩阵不是同型的,因而不等价; 若它们所含向量个数相同(例如都含有m 个)，那么它们对应的两个n m ⨯矩阵(其中n 为向量的维数)列等价,从而一定等价,但不一定行等价.例如:向量组A :12,24⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与向量组B :10,20⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等价,它们对应的矩阵1224A ⎛⎫= ⎪⎝⎭与矩阵1020B ⎛⎫= ⎪⎝⎭列等价,从而A 与B 等价,但非行等价.12. 矩阵的行初等变换对矩阵的列向量组和行向量组各有什么作用? 分析: 矩阵A 经过行初等变换变成矩阵B ,那么(1)矩阵A 与B 的行向量组等价,也即它们能相互线性表出.于是齐次线性方程组0Ax =与0Bx =同解,这是用行初等变换求解线性方程组的理论基础.(2)矩阵A 与B 的列向量组有相同的线性关系,这是用行初等变换求出A 的列向量组的最大无关组,并将其余向量用该最大无关组(唯一地)线性表出问题的理论基础.进一步,从解方程组的角度看,它可以用来求非齐次线性方程组Ax b =的特解. 13. 如何从向量组线性表出的观点认识两个矩阵的乘积? 分析: 设矩阵()ij m n A a ⨯=()ij n l B b ⨯=,()ij m l C C ⨯=,且C AB =.(1)把A 与C 用其列向量表示为12(,,,)n A ααα=L ,12(,,,)l C c c c =L ,有1112121222121212(,,,)(,,,)n n l n n n nn b b b b b b c c c b b b ααα⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭L LL L M M M L, 由分块矩阵的乘法规则，可知1122(1,,)j j j nj n c b b b j l ααα=+++=L L这表明C 的列向量组都是A 的列向量组的线性组合,也即C 的列向量组能由A 的列向量组线性表出,而矩阵B 是这一线性表出的系数矩阵.这一事实反过来也成立,即如果C 的列向量组能由A 的列向量组线性表出,那么一定存在矩阵B ,使得C AB =.(2)当C AB =时,有T T T C B A =,故由(1)可知T C 的列向量组可由T B 的列向量组线性表出,从而有C 的行向量组能由B 的行向量组线性表出.(3)从方程组求解的角度看1122(1,,)j j j nj n c b b b j l ααα=+++=L L b 表明非齐次线性方程组j Ax c =有解,1,2,,j x b j l ==L ;整体看,即为AX C =有解X B =. 14. 向量组的最大无关组有什么重要意义?分析:设0A 是n 维向量组A 的一个最大无关组,那么0A 具有以下性质: (1) 0A A ⊂,且所含向量个数0()r R A n =≤; (2)0A 与A 等价,从而有0()()R A R A r ==;(3)在所有与A 等价的向量组中, 0A 所含向量的个数最少.这样,0A 可以看作A 的最佳“代表”.这具有以下优点:当向量组A 为无限向量组时,就能用有限向量组来“代表”,而有限向量组的问题可以进一步化为矩阵的问题;凡是对有限向量组成立的结论,用最大无关组作过度,立即可推广到无限向量组的情形中去.这正是最大无关组的意义所在.15. 向量组的最大无关组与向量空间的基由什么区别于联系? 分析:(1)由定义,除零空间外,任一向量空间作为一个向量的集合必定是无穷集.但向量组所含向量的个数可以是有限多个.(2)反过来,设V 是向量空间,把V 看做一个无限向量组, 则V 中向量组0A :12,,,r αααL 是V 的一个基的充要条件是0A 是一个最大无关组.向量空间V 的维数就等于向量组V 的秩.(3)如果向量空间V 是由s 个向量的向量组A : 12,,,s αααL 生成,即12(,,,)s V L ααα=L .则向量空间V 与向量组A 的关系如下: 1) A V ⊂,且向量组V 与向量组A 等价; 2) 向量组A 的任一最大无关组是V 的一个基; 3) V 的维数等于向量组A 的秩.16. 向量空间的基有什么重要意义？分析: n 维向量空间V (除零空间外),必定含有无限多个向量.但V 的任一基所含向量的个数小于等于n ;V 中的任一向量都是这个基的线性组合,即可以由该基线性表出.于是把握住基就把握了整个向量空间;把握住有限个(个数n ≤)向量,也就把握了无限多个向量.这与用最大无关组来“代表”向量组的意义是相同的. 17.“向量个数<向量维数”时,向量组是否必然线性相关或无关? 分析：不一定.即可能线性相关,也可能线性无关.例如:12(1,2,0),(3,1,1)α=α=显然是线性无关的,而12(1,2,0),(-2,-4,0)α=α=显然是线性相关的.总结:除了“向量个数>向量维数”时,向量组必然线性相关外,其它情况不确定,需要具体问题具体分析.18.两两线性无关的向量组必然线性无关吗？ 分析:不一定.例如1231201,0,15122⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪α=α=α= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭两两线性无关,但由2010151221=0可知, 123,,ααα线性相关.又如：1231201,0,15112⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪α=α=α= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭两两线性无关,但由201015112≠1=20可知, 123,,ααα线性无关.若两两线性无关的向量组满足“向量个数>向量维数”,则必然线性相关.19. 若“有不全为零的数1,...,m k k ,使得110α++α≠m m k k L ,则1ααm L ，，线性无关”这一说法是否正确？为什么？分析：错误.例如:12(2,1,3),(0,0,0)α=α=,显然12120α+α≠,但易知12αα,线性相关.总结: 向量组线性无关是指“110α++α=m m k k L 时,必然有12...0====m k k k ”换言之“对任意不全为零的数1,...,m k k ,都有110α++α≠m m k k L ”.20. 若12(1,0,2),(0,1,1)ξ=ξ=-T T 都是0=Ax 的解向量,问()R A 满足什么条件? 分析：因为312,ξξ∈R 线性无关,且都是0=Ax 的解向量, 故可知未知量的个数3n =,且12,ξξ为0=Ax 的某个基础解系的一个部分组,而0=Ax 的基础解系含向量的个数为()3()=-n R A R A -所以()3()2=-≥n R A R A -,从而有()1≤R A .总结：0=Ax 的基础解系含向量的个数为()n R A -,任意()n R A -个线性无关的0=Ax 的解向量均为其基础解系.例题1. 已知向量123,,ααα线性无关,证明:122331,,+++αααααα线性无关. 证: 令()()112223331()0k k k +++++=αααααα,则有()131122233()()0k k k k k k +++++=ααα由123,,ααα线性无关可知,()131223()()0k k k k k k +=+=+=.即131223000k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩而该方程组的系数行列式为20=≠101110011故该方程组只有零解1230k k k ===,因而122331,,+++αααααα线性无关. 例题2. 已知向量12,,,m L ααα, 1122231,,,m m =+=+=+L .βααβααβαα证明: (1)证明:当m 为偶数时, 12,,,m L βββ线性相关.(2)证明: :当m 为奇数时, 若12,,,m L ααα线性无关,则12,,,m L βββ线性无关 证明:令1122,+0m m k k k ++=L βββ,则有()111221()()0m m m m k k k k k k -++++++=L ααα （*）为找到不全为零的数12,,,m k k k L ,使得(*)式成立,令（*）左端诸系数为零,得齐次线性方程组1121000m m m k k k k k k -+=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩L (**),它的系数行列式为110011101(1)01100011m m D +==+-L O O O M M O O L, (1)当m 为偶数时, 0m D =,方程组(**)有非零解, 故12,,,m L βββ线性无关.. (2)当m 为奇数时, 20m D =≠. 若12,,,m L ααα线性无关, （*）成立当且仅当(**), 而0m D ≠,所以方程组(**)只有零解, 即120m k k k ====L ,故12,,,m L βββ线性相关.小结: 12,,,m L βββ线性相关与无关的问题就是12(,,,)0=m x L βββ有非零解与只有零解的问题.例题3.证明: r 维向量组的每个向量添加上 n r -个分量，成为n 维向量组，若r 维向量组线性无关，则n 维向量组也线性无关.证：r 维向量组()121,2,i i i ri a a i m a ⎛⎫⎪ ⎪α== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L M ,n 维向量组()11,2,i ri i ni a a i m a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪β== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M L M ,反证法，假设 12,,m βββL 线性相关，则有不全为0 数12,,,m k k k L ，使得11220m m k k k β+β++β=L即 111212111221122000m m r r m rm n n m nm k a k a k a k a k a k a k a k a k a +++=⎧⎪⎪⎪+++=⎨⎪⎪+++=⎪⎩L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L ,方程组的前面 r 个等式就表示11220m m k k k α+α++α=L .这与12,,,m αααL 线性无关矛盾!故, 12,,m βββL 线性无关.例题4. 求向量组()()()()12341,2,3,4,2,3,4,5,3,4,5,6,4,5,6,7T T T T====αααα的秩与一个最大无关组, 并用所求最大无关组表示其余向量。
