百师联盟2021届高三开学摸底联考新高考卷数学试卷

一、单选题二、多选题1. 已知a ，b 为实数，则“不等式对任意成立”是“且”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数(的单位：天)的Logistic 模型：，其中为最大确诊病例数.当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）(参考数据：)A ．60B ．62C ．66D ．633. 已知集合，则A．B．C．D．4. 随机变量X 服从正态分布，有下列四个命题：①；②；③；④．若只有一个假命题，则该假命题是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④5. 已知（R ，为虚数单位），则a+b=A．B．C．D．6. 过等轴双曲线的焦点作它的一条渐近线的平行线分别交另一条渐近线以及双曲线于两点，则（ ）A．B．C．D ．的大小关系不确定7.设函数，若时，的最小值为.则下列选项正确的是（ ）A ．函数的周期为B．将函数的图像向左平移个单位，得到的函数为奇函数C ．当，的值域为D ．方程在区间上的根的个数共有6个8.已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）A ．8B ．12C ．14D ．209.已知点是抛物线，直线经过点交抛物线于，两点，与准线交于点，且为中点，则下面说法正确的是（ ）A．B ．直线的斜率是C．D ．设原点为，则的面积为10.已知偶函数满足，，且当时，，则下列说法正确的有（ ）A．B ．在上为增函数C．D ．在上共有169个零点百师联盟（山东省新高考卷）2021-2022学年高三下学期开年摸底联考数学试题百师联盟（山东省新高考卷）2021-2022学年高三下学期开年摸底联考数学试题三、填空题四、解答题11.已知抛物线的焦点为点F ，准线与对称轴的交点为K ，斜率为k （k ＞0）的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，线段AB的中点为，则下列结论正确的是（ ）A ．若，则点M 到准线的最小距离是3B ．当直线l过点时，C ．当时，直线FM的斜率最小值是D ．当直线l 过点K ，且AF 平分∠BFK时，12. 如图拋物线的顶点为，焦点为，准线为，焦准距为4；抛物线的顶点为，焦点也为，准线为，焦准距为6．和交于、两点，分别过、作直线与两准线垂直，垂足分别为M 、N 、S 、T，过的直线与封闭曲线交于、两点，则（）A．B ．四边形的面积为100C．D ．的取值范围为13.的展开式中的系数为__________．（用数字作答）14.函数的定义域是__________.15.关于圆有如下四个命题：①若圆M 与y轴相切，则；②圆M 的圆心到原点的距离的最小值为；③若直线平分圆M 的周长，则；④圆M 与圆可能外切．其中所有真命题的序号是___________．16. 如图，在三棱锥P －ABC中，底面ABC ，，D ，E 分别是AB ，PB的中点．(1)求证：平面PAC ；(2)求证：17. 已知函数.(1)当时，试比较与0的大小；(2)若恒成立，求的取值范围.18.如图所示，在梯形中，，，.四边形为矩形，且平面.(1)求证：平面；(2)若直线与所成角的正切值为，点在线段上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.19. 已知椭圆：的两个焦点与短轴的两个顶点围成一个正方形，且在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2），是椭圆上异于的两点，设直线，斜率分别为，，点到直线的距离为，若，求以的最大值为直径的圆的面积．20. 已知椭圆的离心率为，短轴长为.（1）求椭圆的方程；（2）已知，是椭圆上的两个不同的动点，以线段为直径的圆经过坐标原点.是否存在以为圆心的定圆恒与直线相切？若存在，求出定圆方程；若不存在，请说明理由.21. 已知等差数列的前项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求的最小值．。

2021年百师联盟高考数学摸底试卷（文科）（全国卷）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）=1+i，则|z|=()1.(2021·全国·模拟题)已知复数z满足z1+iA. √3B. 2C. √5D. √322.(2021·全国·模拟题)集合M={x|y=ln(x2−3x−4)}，N={x|−2<x<4}，则M∪N=()A. (−∞,−1]∪(2.+∞)B. (−∞,−4)∪(1,+∞)C. (−∞,4)∪(4,+∞)D. (−∞,−2]∪[4,+∞)3.(2021·江西省宜春市·模拟题)人口普查是世界各国所广泛采用的搜集人口资料的一种科学方法，是提供全国基本人口数据的主要来源.根据人口普查的基本情况，可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作，人口普查资料是制定人口政策的依据和前提.截止2020年10月10日，我国共进行了六次人口普查，如图是这次人口普查的人数和增幅情况，下列说法正确的是()A. 人口数逐次增加，第二次增幅最大B. 第六次普查人数最多，第四次增幅最小C. 第六次普查人数最多，第三次增幅最大D. 人口数逐次增加，从第二次开始增幅减小4.(2021·全国·模拟题)已知实数a，b，c，则“ac<0”是“方程ax2+bx+c=0有解”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. (2021·全国·模拟题)如图，在△ABC 中，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，P 是BN 上的一点，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +38AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数m 的值为( )A. 14 B. 38 C. 34 D. 976. (2021·全国·模拟题)数列{a n }是等比数列，a 3=3，a 6=81，则a 5=( )A. 15B. 16C. 27D. 257. (2021·全国·模拟题)f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(1)=0，f′(x)为f(x)的导函数，且当x ∈(0,+∞)时f′(x)>0，则不等式f(x −1)>0的解集为( )A. (0,1)∪(2,+∞)B. (−∞,1)∪(1,+∞)C. (−∞,1)∪(2,+∞)D. (−∞,0)∪(1,+∞)8. (2021·全国·模拟题)从一个边长为3的等边三角形开始，把三角形的每一条边三等分，并以每一条边三等分后的中段为边，向外作新的等边三角形(如图)，但要去掉与原三角形叠合的边，接着对此图形每一个等边三角形“尖出”的部分继续上述过程.若按照上述规律，则第四个图形的周长是( )A.1433B.2049C.2569D. 6439. (2021·全国·模拟题)几何体的三视图如图，则其体积为( )A. 5πB. 6πC.32π3D. 12π10. (2021·全国·模拟题)设M ，N 是函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0)图象与直线y =2的交点，若M ，N 两点距离的最小值为6，P(−12,2)是该函数图象上的一个点，则该函数图象的解析式是( )A. f(x)=2sin(π3x +2π3) B. f(x)=2sin(π3x +π3) C. f(x)=2sin(π3x −π6)D. f(x)=2sin(π6x +π3)11. (2021·全国·模拟题)过双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F 的直线交y 轴于点M ，交双曲线右支于点P ，若2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，(O 为原点)，且点M 在圆O ：x 2+y 2=a 2外，则双曲线的离心率的取值范围是( )A. 1<e <√3B. √2<e ≤√3C. e >√3D. e >1+√212. (2021·全国·模拟题)正项数列{a n }满足a 1=1，a n 2−(a n−1+2)a n −a n−1−3=0(n >1,n ∈N)，则1a1a 3+1a3a 5+⋯+1a2019a 2021=( )A. 12003534B. 10106061C. 12202021D. 20205461二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (2020·云南省曲靖市·单元测试)函数f(x)=lnx +x 2的图象在点(1,f(1))处切线方程为______．14. (2018·黑龙江省·其他类型)现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为______ ．15. (2021·全国·模拟题)抛物线y 2=4x 的焦点为F ，设A(x 1,y 2)，B(x 2,y 2)是抛物线上的两个动点，若x 1+x 2+2=2√33|AB|，则∠AFB 的最大值为______ ．16. (2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=mx −lnx −m 在区间(1,e)内有零点，则m 的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. (2021·全国·模拟题)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，2S =c 2−(a −b)2． (1)求cos C 的值；(2)已知c =4，求△ABC 面积的最大值．18.(2021·全国·模拟题)在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=1，PN=2ND.四边形ABCD为梯形，AD//BC，BC=2AD=2DC=4，∠ADC=120°．(1)求证：PB//平面CAN；(2)求三棱锥N−PBC的体积．19.(2021·全国·模拟题)某企业在开展“质量安全周”活动中，某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题，该企业对甲、乙两条流水线生产该产品情况进行统计，表1是甲流水线样本的频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图．表1质量指标数频数(190,195]10(195,200]9(200,205]18(205,210]7(210,215]6(1)某个月内甲、乙两条流水线各生产了3500件和1500件产品，现按照分层抽样的方法，从中抽出100件产品进行检测，问甲、乙两条生产线各抽出多少件产品？(2)随机从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值.若该项质量指标值落在(195,210]内，则为合格品，否则为不合格品.根据已知条件完成表2的2×2列联表，并回答能否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”？表2甲流水线乙流水线合计合格品不合格品合计(其中n=a+b+c+d)．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K20.150.100.050.0250.0100.0050.001≥k0) k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82820.(2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=ae x+x2−x．(1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)>2x−1恒成立，求实数a的取值范围．21. (2021·全国·模拟题)已知定点C(−3,0)，D(3,0)，动点M 满足：直线MC ，MD 的斜率之积为−49．(1)求动点M 的轨迹方程；(2)设M 的轨迹为G.直线I 过抛物线y 2=4√5x 的焦点且与C 相交于不同的两点A ，B.在x 轴上是否存在一个定点P(m,0)，使得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为定值？若存在，写出P 点的坐标；若不存在，说明理由．22. (2021·全国·模拟题)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2cosθ y =sinθ(θ为参数)，直线l 的参数方程为{x =t +2 y =2t +3(t 为参数)． (1)求直线l 普通方程；(2)设A(2,3)，若直线1与曲线C 相交于P ，Q 两点，PQ 的中点为M ，求|AM|的值．23. (2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=|3x −a|+x(a >0)．(1)当a =4时，求不等式f(x)<3的解集；|−x.当x∈R时，证明：f(x)+g(x)≥2√2．(2)设函数g(x)=|x+6a答案和解析1.【答案】B【知识点】复数的模=1+i，∴z=(1+i)2=2i，【解析】解：z1+i则|z|=2，故选：B．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】C【知识点】并集及其运算【解析】解：集合M={x|y=ln(x2−3x−4)}={x|x2−3x−4>0}={x|x<−1或x>4}，又N={x|−2<x<4}，所以M∪N={x|x<4或x>4}．故选：C．先利用对数不等式以及一元二次不等式的解法求出集合M，再利用并集的定义求解即可．本题考查了集合并集的应用，解题的关键是掌握集合并集的定义，属于基础题．3.【答案】C【知识点】合情推理（归纳、类比推理）【解析】解：根据柱状图：对于A：人口逐次增加，第三次增幅最大，故A错误；对于B：第六次人口数最多，第六次增幅最小，故B错误；对于C：第六次普查人数最多，第三次增幅最大，故C正确；对于D：人口数逐次增加，从第三次开始增幅减小，故D错误．故选：C．直接利用柱状图和数据的变化规律判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：柱状图，数据的变化规律，主要考查学生的视图能力，属于基础题．4.【答案】A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】解：若ac <0，则Δ=b 2−4ac >0， ax 2+bx +c =0有解，故“ac <0”是“方程ax 2+bx +c =0有解”的充分条件， 当a =0，b ≠0时，方程ax 2+bx +c =0有解，但ac <0不成立， 故“ac <0”不是“方程ax 2+bx +c =0有解”的必要条件， 综上“ac <0”是“方程ax 2+bx +c =0有解”的充分不必要条件． 故选：A ．根据充要条件的定义判断即可．本题考查了一元二次方程解的判断，充要条件的定义，属于基础题．5.【答案】A【知识点】向量的加法、减法、数乘运算、平面向量的基本定理及其应用 【解析】解：∵在△ABC 中，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，P 是BN 上的一点，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34(AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34×12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +38AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +38AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴m =14． 故选：A ．AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34(AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34×12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +38AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +38AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可求得m 值． 本题考查平面向量基本定理及线性运算，考查数学运算能力，属于基础题．6.【答案】C【知识点】等比数列的通项公式【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ；由a 3=3、a 6=81，得q 3=a 6a 3=813=27，解得q =3，所以a 5=a 3⋅q 2=3×32=27． 故选：C ．设等比数列{a n }的公比为q ，则根据q 3=a6a 3可解出q 值，由a 5=a 3⋅q 2即可计算出出答案．本题主要考查等比数列的通项，考查运算求解能力，属于简单题．7.【答案】A【知识点】利用导数研究函数的单调性【解析】解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)=0，当x∈(0,+∞)时f′(x)>0，∴f(x)在(−∞,0)，(0,+∞)上单调递增，图形如下：∴f(x)>0的解集为：(−1,0)∪(1,+∞)，又y=f(x−1)的图象是y=f(x)的图象向右平移一个单位，∴不等式f(x−1)>0的解集为(0,1)∪(2,+∞)，故选：A．依题意，作出y=f(x)的图象，得到f(x)>0的解集，继而可得不等式f(x−1)>0的解集．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，是中档题．8.【答案】D【知识点】合情推理（归纳、类比推理）【解析】解：设图形的边长分别为a1，a2，a3，a4，边数为b1，b2，b3，b4，周长为c n，(n=1,2，3，4，)，由图形可得a2=a1×13=1，a3=13a2=13，a4=13a3=19，b1=3，b2=3×4=12，b3=3×4×4=48，b4=3×4×4×4=192，∴C1=3×3=9，C2=12×1=12，C3=48×13=16，C4=192×19=643．故选：D．找出相邻图形的边长之间的关系，以及相邻图形边数之间的关系进行求解即可．本题考查了归纳推理的应用，此类问题一般是根据所给的条件，先列举一部分，然后再归纳规律即可，属于中档题．9.【答案】B【知识点】空间几何体的三视图【解析】解：由三视图可知，几何体是下部为圆柱底面半径为1，高为2，上部是34个半球，球的半径为2，所以几何体的体积为：V=34×12×43πR3+πr2ℎ=4π+2π=6π．故选：B．判断几何体的形状，然后求解体积即可．本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是基础题．10.【答案】A【知识点】函数y=A sin(ωx+φ)的图象与性质【解析】解：M，N是函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)图象与直线y=2的交点，若M，N两点距离的最小值为6，所以T=6，所以ω=2πT =π3，P(−12,2)是该函数图象上的一个点，所以π3×(−12)+φ=2kπ+π2，解得φ=2kπ+2π3(k∈Z)，故f(x)=2sin(2x+2π3).故选：A．直接利用函数的图象和性质求出函数的关系式．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的求法，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11.【答案】C【知识点】双曲线的性质及几何意义【解析】解：如图，由2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得M 是FP 的中点，则P(c,b 2a )，M(0,b22a )，∵点M(0,b 22a )在圆O 外，∴b 22a>a ，得b 2=c 2−a 2>2a 2， 又e >1，∴e >√3． 故选：C ．由题意画出图形，由向量等式得M 是FP 的中点，求出M 的坐标，再由M 在圆O ：x 2+y 2=a 2外即可求得双曲线的离心率的取值范围．本题考查双曲线的几何性质，考查数形结合思想，是基础题．12.【答案】B【知识点】数列的递推关系【解析】解：∵a n 2−(a n−1+2)a n −a n−1−3=0(n >1,n ∈N)，∴(a n +1)[a n −(a n−1+3)]=0，a n >0， ∴a n −a n−1=3，∴数列{a n }是等差数列，首项为1，公差为3， ∴a n =1+3(n −1)=3n −2． ∴1a 2n−1a 2n+1=1(6n−5)(6n+1)=16(16n−5−16n+1)，∴1a1a 3+1a3a 5+⋯+1a2019a 2021=16[(1−17)+(17−113)+⋯…+(16055−16061)]=16(1−16061)=10106061． 故选：B ．由a n 2−(a n−1+2)a n −a n−1−3=0(n >1,n ∈N)，通过因式分解可得：(a n +1)[a n −(a n−1+3)]=0，a n >0，于是a n −a n−1=3，再利用等差数列的通项公式、裂项求和方法即可得出．本题考查了等差数列的通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】3x−y−2=0【知识点】导数的几何意义【解析】解：由f(x)=lnx+x2，得f′(x)=1x+2x，则f′(1)=3，又f(1)=1，则切线方程为y−1=3(x−1)，即3x−y−2=0．故答案为：3x−y−2=0．求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数，再求出f(1)，利用直线方程的点斜式得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．14.【答案】12【知识点】古典概型的计算与应用【解析】解：设两道题分别为A，B题，所以抽取情况共有：AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB，其中第1个，第2个分别是两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目，一共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一题目的事件有：ABA，ABB，BAA，BAB，共4种；故所求事件的概率为12．故答案为：12列举基本事件，利用古典概型概率公式求解即可列举法是确定基本事件的常用方法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．15.【答案】2π3【知识点】抛物线的性质及几何意义【解析】解：由抛物线定义可得|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，所以由x1+x2+2=2√33|AB|，得|AF|+|BF|=2√33|AB|，由余弦定理可得cos∠AFB=|AF|2+|BF|2−|AB|22|AF|BF|=|AF|2+|BF|2−34(|AF|+|BF|)22|AF|BF|=14(|AF|2+|BF|2)−32|AF|BF|2|AF|BF|，由基本不等式得|AF|2+|BF|2⩾2|AF|BF|，所以cos∠AFB⩾−|AF||BF|2|AF||BF|=−12,(∠AFB)max=2π3．故答案为：2π3．根据抛物线的定义将x1+x2+2=2√33|AB|转化为|AF|+|BF|=2√33|AB|，再结合余弦定理和基本不等式可以求出cos∠AFB的范围，进而得到∠AFB的最大值．本题考查抛物线的定义，考查余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，考查数学运算的核心素养，属于中档题．16.【答案】(1e−1,1)【知识点】函数零点存在定理【解析】解：令f(x)=mx−lnx−m=0，得m(x−1)=lnx，令y=m(x−1)和y=lnx，只需两函数图象在区间(1,e)上有交点．如图，A(e,1)，B(1,0)，直线AB的斜率k=1e−1．y=lnx在B处切线的斜率k=y′|x=1=1，∴m的取值范围为(1e−1,1).故答案为：(1e−1,1).把f(x)=mx−lnx−m在区间(1,e)内有零点，转化为y=m(x−1)和y=lnx的图象在区间(1,e)上有交点，画出图形，数形结合得答案．本题考查函数零点的判定及应用，考查数形结合思想，训练了利用导数求曲线上某点处切线的斜率，是中档题．17.【答案】解：(1)∵2S=c2−(a−b)2=c2−a2−b2+2ab，又由余弦定理可得，c2=a2+b2−2abcosC，即c2−a2−b2=−2abcosC，∵S=12absinC，∴2×(12absinC)=−2abcosC+2ab，即sinC=2−2cosC，∴sin2C=1−cos2C=(2−2cosC)2，解得cosC=35或cosC=1(舍去)，∴cosC =35． (2)由余弦定理可得，16=a 2+b 2−2abcosC =a 2+b 2−65ab ≥2ab −65ab =45ab ，∴ab ≤20，当且仅当a =b =2√5时等号成立， ∵sin 2C +cos 2C =1，cosC =35， ∴sinC =45，S △ABC =12absinC =12×20×45=8，∴△ABC 面积的最大值为8．【知识点】余弦定理、正弦定理【解析】(1)由题意2S =c 2−(a −b)2=c 2−a 2−b 2+2ab ，结合正弦定理、余弦定理，即可求解，(2)根据已知条件，运用余弦定理和均值不等式，可得ab ≤20，再结合三角形面积公式，即可求解．本题考查了余弦定理、正弦定理，考查了均值不等式，需要学生有较强的综合知识，属于中档题．18.【答案】解：(1)证明：因为AD//BC ，BC =4=2AD ， 连接BD 交AC 于M ，由△ADM∽△CBM ，可得BM =2MD ， 由于PN =2ND ， 连接MN ，MN//PB ，又MN ⊂平面ACN ，PB ⊄平面ACN ， 所以PB//平面ACN ； (2)过D 作DH ⊥BC 于H ， 因为AD//BC ，∠ADC =120°，所以∠DCB =60°，DH =√3，S △DBC =12×4×√3=2√3， 设三棱锥D −PBC 的高为h ，三棱锥N −PBC 的高为ℎ1， 则V N−PBCVD−PBC=ℎ1ℎ=PN PD =23，V D−PBC =V P−DBC =13S △DBC ×PD =2√33，V N−PBC=23V D−PBC=4√39．【知识点】圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积、线面平行的判定【解析】(1)连接BD交AC于M，由三角形的相似的性质和平行线的判定，可得MN//PB，再由线面平行的判定定理，即可得证；(2)过D作DH⊥BC于H，求得DH和△DBC的面积，由等积法和棱锥的体积公式，计算可得所求值．本题考查线面平行的判定和棱锥的体积的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)按照分层抽样抽出100件产品中，甲有1005000×500=70件，乙有1005000×1500=30件，(2)甲、乙两条生产线各抽出50件，甲流水线生产的不合格产品有16件，合格产品有34件，∵乙流水线生产的不合格产品的概率为(0.012+0.028)×5=15，∴乙流水线生产的不合格产品有10件，合格产品有40件，则2×2列联表如下，∵K2=100(340−640)250×50×74×26≈1.87，∵1.87<2.072，∴没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”．【知识点】独立性检验【解析】(1)由分层抽样的定义即可求出甲、乙两条流水线抽出的产品数．(2)分别求出甲、乙两条生产线不合格产品和合格产品的件数，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论即可．本题考查了列联表与独立性检验的问题，考查了分层抽样，属于中档题．20.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=e x+x2−x，则f′(x)=e x+2x−1，设ℎ(x)=e x +2x −1，则ℎ′(x)=e x +2>0， ∴ℎ(x)在R 上单调递增，又ℎ(0)=0，则当x <0时，ℎ(x)<0，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x >0时，ℎ(x)>0，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(x)的单调递减区间为(−∞,0)，单调递增区间为(0,+∞)； (2)ae x+x 2−x >2x −1恒成立，即a >3x−1−x 2e x恒成立， 设g(x)=3x−1−x 2e x，则g′(x)=x 2−5x+4e x=(x−1)(x−4)e x，易知函数g(x)在(−∞,1)，(4,+∞)上单调递增，在(1,4)上单调递减， 且g(x)极大值=g(1)=1e ，当x >4时，−(x 2−3x +1)<0，g(x)<0， ∴g(x)max =1e ，∴a >1e ．【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性【解析】(1)将a =1代入，对函数f(x)求导，判断导函数与0的关系即可得到单调区间； (2)问题等价于a >3x−1−x 2e x恒成立，设g(x)=3x−1−x 2e x，求出g(x)的最大值即可得解．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)设M(x,y)，因为直线MC ，MD 的斜率之积为−49． 所以yx+3⋅yx−3=−49， 整理得方程为x 29+y 24=1(y ≠0)，(2)抛物线的焦点F(√5,0)，当直线与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y =k(x −√5)， 代入椭圆方程，得(9k 2+4)x 2−18√5k 2x +45k 2−36=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=18√5k 24+9k 2，x 1x 2=45k 2−364+9k 2，y 1y 2=k 2(x 1−√5)(x 2−√5)=k 2[x 1x 2−√5(x 1+x 2)+5]=−16k 24+9k 2， 所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−m,y 1)⋅(x 2−m,y 2)=(x 1−m)(x 2−m)+y 1y 2=(9m 2−18√5m+29)k 2+4m 2−364+9k 2，令PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =t ， 则t =(9m 2−18√5m+29)k 2+4m 2−364+9k 2，所以{9m 2−18√5m +29=9t 4m 2−36=4t，解得m =11√59，此时PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB⃗⃗⃗⃗⃗ =−12481，当直线l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =√5， 代入椭圆方程解得A(√5,−43)，B(√5,43)，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12481， 综上，在x 轴上存在一个定点P(11√59,0)，使得PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB⃗⃗⃗⃗⃗ =−12481为定值．【知识点】圆有关的轨迹问题【解析】(1)设M(x,y)，由直线MC ，MD 的斜率之积为−49，得yx+3⋅yx−3=−49，化简即可得出答案．(2)分两种情况：当直线与x 轴不垂直时，当直线l 与x 轴垂直时，写出直线l 的方程，联立椭圆的方程，结合韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，y 1y 2，再由向量的数量积计算PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)直线l 的参数方程为{x =t +2 y =2t +3(t 为参数)，转换为普通方程为y =2x −1．(2)曲线C 的参数方程为{x =2cosθ y =sinθ(θ为参数)，转换为直角坐标方程为x 24+y 2=1；直线的参数方程转换为标准式为{x =2√5y =3√5(t 为参数)代入x 24+y 2=1，得到175t 2√5+36=0， 所以t 1+t 2=17√5，t 1t 2=36×517，所以|AM|=|t 1+t 22|=26√517．【知识点】曲线的参数方程【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用一元二次次方程根和系数的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】(1)解：当a=4时，f(x)=|3x−4|+x，由f(x)<3，可得|3x−4|+x<3，即|3x−4|<3−x，的x−3<3x−4<3−x，解得12<x<74，所以不等式f(x)<3的解集为(12,7 4 ).(2)证明：f(x)+g(x)=|3x−a|+|x+6a |=|3(x−a3)|+|x+6a|=2|(x−a3)|+|(x−a3)|+|x+6a|≥|(x−a3)|+|x+6a|(当且仅当x=a3时取等号)≥|(x−a3)−(x+6a)|(当且仅当(x−a3)(x+6a)≤0时取等号，a>0)=|a3+6a|≥2√2(当且仅当a=3√2时，等号成立)．【知识点】证明不等式的基本方法、不等式和绝对值不等式【解析】(1)利用绝对值不等式的解法求解即可；(2)利用放缩法及基本不等式即可得证．本题主要考查绝对值不等式的解法，不等式的证明，考查放缩法及基本不等式的应用，属于中档题．。

2021届百师联盟（全国卷Ⅲ）高三开学摸底联考数学（文）试题一、单选题1．已知全集为R ，集合{}13A x x =<<，{}2B y y =≤，则集合A B =（ ）A ．{1x x ≤或}2x > B ．{1x x <或}2x > C ．{}12x x <≤ D ．{}12x x <<【答案】C【解析】利用集合交集的定义求解即可. 【详解】因为{}13A x x =<<，{}2B y y =≤，所以{}12A B x x ⋂=<≤. 故选：C 【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题. 2．复数21ii-的虚部为（ ） A ．-1 B ．1C ．12D ．12-【答案】B【解析】根据复数的除法运算，分子分母都乘以分母的共轭复数再化简即可 . 【详解】22(1)11(1)(1)i i i i i i i ⨯+==-+--+，故虚部为1. 故选：B . 【点睛】本题考查了复数的除法运算，要正确进行的计算可得结果.3．从全体高二同学的期末考试成绩中，随机抽取了100位同学的数学成绩进行分析，在录入数据时，统计员不小心将100位同学中的最高成绩148分录成了150分，则在计算出的数据中一定正确的是（ ） A ．平均分 B ．方差C ．中位数D ．标准差【答案】C【解析】将最高分148分录成了150分，将100个数据从小到大排列，数据的先后顺序不发生变化，所以中位数不会发生变化. 【详解】将最高分148分录成了150分，则把100个数据从小到大排列，中间的两个数没有发生变化，所以一定正确的数据为中位数. 故选：C 【点睛】本题考查了平均数、方差、中位数、标准差的概念和性质、属于简单题，解题时需要准确把握以上几个名词的概念和性质.4．已知a b >，则“2m >”是“22log log a m b m >”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】利用从分必条件、要条件的的定义结合不等式的基本性质判断即可. 【详解】因为a b >，由2m >，得2log 0m >，故22log log a m b m >； 又当a b >，22log log a m b m >时，得2log 0m >，即1m ， 所以当a b >时，“2m >”是“22log log a m b m >”的充分不必要条件. 故选：B . 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的基本性质运用，较简单. 5．函数()31f x x x=-的图象可能为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用排除法即可得出正确选项. 【详解】 由()31f x x x=-可知：该函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B ､C . 又()f x 在()0,∞+上为增函数，排除D ， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了由函数的解析式判断函数图象，考查了函数的奇偶性、和单调性，属于中档题6．直线()()00ax by a b ab +-+=≠与圆()2224x y -+=交于A ，B 两点，且OA OB ⊥(其中O 为坐标原点)，则ab=（ ） A ．1- B ．1C ．2D ．不确定【答案】B【解析】根据题意，先判断原点O 在圆()2224x y -+=上，根据OA OB ⊥，得到直线()0ax by a b +-+=过圆心，进而可求出结果. 【详解】因为()220204-+=所以原点O 在圆()2224x y -+=上， 又OA OB ⊥，则AB 为圆的直径，由题意可得，直线()0ax by a b +-+=过圆心()2,0， 故()20a a b -+=，得1ab=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查由直线与圆的位置关系求参数，属于基础题型.7．某几何体的三视图如图所示，已知网格线中的小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（ ）A ．()25π+ B ．()45π+C ．()425π+D ．()225π+【答案】A【解析】先利用三视图作出直观图，再利用公式计算该组合体的表面积即可. 【详解】由三视图可知，其直观图如下图：该几何体由半径为1的半球和底面半径为15的圆锥构成，故根据球和圆锥的表面积公式得该组合体的表面积为(2114π1π2525π22S =⨯⨯+⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查了三视图的应用和空间几何体表面积的计算公式，属于基础题.8．宋代文学家欧阳修在《卖油翁》中写道“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔人，而钱不湿”，由此诠释出了“熟能生巧”的道理.已知铜钱是直径为()1cm a a >的圆，正中间有一边长为0.5cm 的正方形小孔，现随机向铜钱上滴--滴油(油滴的大小忽略不计)，若油滴落入孔中的概率为116π，则a =（ ）A ．4B ．3C ．2D ．2【答案】A【解析】分别计算钱的圆面面积和钱空正方形的面积，由几何概型概率公式求出一滴油滴落入孔中的概率. 【详解】圆的面积为22a π⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭2cm ，正方形的面积为20.50.5cm ⨯， 则一滴油滴落入孔中的概率20.50.16512a P ππ⎛==⨯⎫ ⎪⎝⎭，得4a =故选:A 【点睛】本题考查了几何概型，属于基础题.9．如图，一个物体受到两个拉力1F 和2F 的作用，已知13F N =，24F N =，两力方向的夹角为()0πθθ≤≤，若1F 和2F 的合力为F ，且5F N ≤，则θ的取值范围为（ ）A ．π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】利用平行四边形法则，结合余弦定理求解即可. 【详解】如图所示，由余弦定理得：()22212122cos π91624cos 25F F F F F θθ=+-⋅-=++≤，解得cos 0θ≤，所以ππ2θ≤≤. 故选：B. 【点睛】本题考查力的合成，考查余弦定理及应用，较简单. 10．已知01b a <<<，则（ ） A ．a b a a a b >> B ．a b a b a a >> C ．a a b a b a >> D ．b a a a a b >>【答案】D【解析】根据指数函数的性质，以及幂函数的性质，即可得出结果. 【详解】由10a b >>>，则()xf x a =为减函数，所以a b a a >；根据幂函数的性质可得a a a b >， 故b a a a a b >>. 故选：D. 【点睛】本题主要考查比较指数幂的大小，熟记指数函数与幂函数的性质即可，属于基础题型. 11．如图是函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象，若0x 是()f x 在π2π,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的极小值点，则()()002f x f x +-=（ ）A ．4B ．0C ．2D ．4-【答案】D【解析】根据图象求出解析式，根据0x 是()f x 在π2π,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的极小值点求出0712x π=，进而计算可得解. 【详解】由图象可得：2A =，最小正周期为ππ4π312⎛⎫-=⎪⎝⎭，故22T πω==， 由()f x 在π12x =时取得最大值，所以πsin 2112ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，可得π2π3k ϕ=+，k ∈Z ， 因为||2ϕπ<，所以0k =，得π3ϕ=， 所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由0x 是()f x 在π2π,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的极小值点， 可得0sin(2)13x π+=-，所以032232x k πππ+=+，k Z ∈，即0712x k ππ=+，k Z ∈， 因为0x ∈π2π,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以070,12k x π==，所以()()007722sin(2)4sin(2)123123f x f x ππππ+-=⨯++-⨯+ 3π5π12sin4sin 244262⎛⎫=+-=--⨯=- ⎪⎝⎭故选：D. 【点睛】本题考查了由三角函数图象求解析式，考查了求函数的极值点，考查了三角函数值，属于中档题.12．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +-=，且在[)0,+∞上单调递减，若对任意的x ∈R ，()()22f x a f x -+<恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(),1-∞-B ．1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,+∞【答案】B【解析】令()()1F x f x =-，则()F x 为定义在R 上的奇函数且为减函数，而()()22f x a f x -+<等价于()()20F x a F x -+<，利用()F x 性质去掉对应法则F后得到2a x x <+恒成立，从而可求实数a 的取值范围. 【详解】令()()1F x f x =-，则()F x 在[)0,+∞上单调递减，又()()1F x f x -=--， 故()()()()20F x F x f x f x +-=+--=，所以()F x 为定义在R 上的奇函数， 故()F x 在R 上为减函数.由()()22f x a f x -+<恒成立，得()()20F x a F x -+<恒成立，即()()2F x a F x -<-=()F x -恒成立，可得2x a x ->-恒成立，即221124a x x x ⎛⎫<+=+- ⎪⎝⎭恒成立，所以实数a 的取值范围为1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 故选：B . 【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，一般地，解函数不等式时往往需要考虑函数的单调性和奇偶性，利用这两个性质去掉对应法则，本题属于中档题.二、填空题 13．已知3cos 25α=，则cos α=______. 【答案】725-【解析】利用二倍角公式即可求解. 【详解】27cos 2cos 1225αα=-=-. 【点睛】本题主要考查了二倍角公式，属于基础题. 14．已知在等比数列{}n a 中，1238a a a =，514a =，则首项1a =______. 【答案】4【解析】利用等比中项可得22a =，再利用等比数列的性质352a a q =求得12q =，进而求出1a . 【详解】由1238a a a =，得328a =,即22a =，又3352124a a q q ===，12q =，所以214a a q ==. 故答案为：4 【点睛】本题考查了等比中项、等比数列的性质以及等比数列的性质，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 15．斜率为12的直线l 过抛物线C ：()220y px p =>的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，若弦AB 的中点D 到抛物线的准线的距离为10，则 =p ______. 【答案】2 【解析】设l ：122p y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，与抛物线方程联立消元得到点D 的横坐标，然后根据条件可建立方程求解. 【详解】设l ：122p y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，与抛物线方程联立得22904p x px -+=，设()11,A x y ，()22,B x y ，22281800p p p ∆=-=>，129x x p +=，则点D 的横坐标为92p ，又点D 到抛物线的准线的距离为10，即91022p p +=，解得2p =.故答案为：2 【点睛】本题考查的是直线与抛物线的位置关系，考查了学生的计算能力，较简单.16．在直三棱柱111ABC A B C -中，AB =3BC =，14AA =，π4ABC ∠=，则该直三棱柱的外接球体积为______.【解析】由直棱柱的特点可知，外接球球心位于上下底面外心连线的中点处，先通过解三角形得出底面的外接圆半径，然后求出外接球半径，得出外接球的体积. 【详解】在ABC 中，由余弦定理得222π2cos54AC AB BC AB BC =+-⋅=，得AC =所以ABC的外接圆半径112sin 2AC r ABC =⨯==∠所以该三棱柱的外接球半径2R ===.所以外接球体积34π3V ==⎝⎭.π. 【点睛】本题考查直棱柱的外接球半径计算，考查球的体积计算公式，难度一般，找出球心，解出半径是关键.三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且515S =，735S =. （1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）若121n n a b n =-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）23n a n =-；（2）12n nT n=-. 【解析】（1）由515S =，735S =，得33a =，45a =，则532d =-=，1321a a d =-=-，进而可得答案；（2）利用（1）由121n n a b n =-得，11122321n b n n ⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，利用裂项相消法可得答案. 【详解】 （1）由()155355152a a S a +===，得33a =， 同理74735S a ==可得45a =，设公差为d ， 则532d =-=，1321a a d =-=-，所以()11223n a n n =-+-⨯=-.（2）由121n n a b n =-得，()()1111212322321n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭， 所以11111111121113352321n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11122112n n n⎛⎫=--= ⎪--⎝⎭ 所以12n n T n=-. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和公式，考查了裂项相消法的应用，属于中档题. 18．如图，在三棱锥P ABC -中，侧面PBC 是边长为2的等边三角形，M ，N 分别为AB ，AP 的中点，过MN 的平面与侧面PBC 交于EF .（1）求证：//MN EF ；（2）若平面PBC ⊥平面ABC ，3AB AC == ，求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（22210. 【解析】（1）由题意知//MN PB ，可得//MN 平面PBC ，在利用线面平行的性质定理即可证明//MN EF ；（2）取BC 中点O ，分别以OB ，AO ，OP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PAC 的法向量和直线PB 的方向向量，利用向量夹角公式即可求解.【详解】（1）因为M ，N 分别为AB ，AP 的中点，所以//MN PB ，又MN ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以//MN平面PBC ，因为平面MNEF平面PBC EF =，所以//MN EF .（2）因为平面PBC ⊥平面ABC ，取BC 中点O ，连接PO ，AO ，因为PBC 是等边三角形，所以PO BC ⊥，所以PO ⊥平面ABC ，故PO AO ⊥，又因为AB AC =，所以AO BC ⊥，以O 为坐标原点，分别以OB ，AO ，OP 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得(0,0,0)O ，(0,0,3)P ，(0,22,0)A -，(1,0,0)B ，(1,0,0)C -，所以(1,0,3)=-PB ，(0,22,3)PA =--，(1,0,3)PC =--， 设平面PAC 的法向量为(,,)n x y z =，则223030y z x z ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，令2y =，得4x =，43z =-，所以434,2,3n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 2210cos ,2102PB n 〈〉==⨯， 所以直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值为2210.【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理，利用空间向量求线面角，属于中档题. 19．随着电子商务的发展，人们的购物习惯也在改变，几乎所有的需求都可以通过网络购物来解决，同时顾客的评价也成为电子商铺的“生命线”.某电商平台从其旗下的所有电商中随机抽取了100个电子商铺，对电商的顾客评价，包括商品符合度､物流服务､服务态度､快递包装等方面进行调查，并把调查结果转化为顾客的评价指数x ，得到了如下的频率分.布表： 评价指数x[)0,20 [)20,40 [)40,60 [)60,80 [)80,100 频数5 10 15 40 30（1）画出这100个电子商铺顾客评价指数的频率分布直方图；（2）求该电商平台旗下的所有电子商铺的顾客评价指数的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据以该组区间的中点值为代表).(精确到0.1)14512.04≈.【答案】（1）答案见解析；（2）平均数60，标准差24.1.【解析】（1）根据频率分布表，即可得出频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图，由每组的中间值乘以该组的频率，再求和，即可得出平均数，根据方差的计算公式，即可得出结果.【详解】（1）由题中数据，频率分布直方图如下，（2）由题中数据可得，()11010301050207040902060100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 方差为： ()()()22221106010306010506020100s ⎡=-⨯+-⨯+-⨯⎣()()22706040906020580⎤+-⨯+-⨯=⎦； 所以标准差580214524.1s ==≈.【点睛】本题主要考查完善频率分布直方图，考查由频率分布直方图求平均数和标准差，属于常考题型.20．已知1()ln (0)f x x ax a x=-≥ （1）若函数()f x 在x e =处的切线平行于x 轴，求函数()f x 的单调区间； （2）设函数()()f x F x x=，若()F x 在(0,)e 上有两个零点，求实数a 的取值范围.(其中e 为自然对数的底数) 【答案】（1）单调递增区间为(0,)e ，单调递减区间为(,)e +∞；（2）2112a e e <<. 【解析】（1）求出()f x '，由函数()f x 在x e =处的切线平行于x 轴，可得0a =，由()0f x '>可得增区间，由()0f x '<，可得递减区间.（2）设()()2ln f x x F x a x x==-，利用导数判断函数的单调性，根据单调性结合零点存在性定理列不等式求解即可.【详解】（1）()21ln x f x a x-'=-，函数()f x 在x e =处的切线平行于x 轴，则()0f e '=， 即0a =，此时()21ln x f x x -'=，令()0f x '=，解得x e =， 当0x e <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，当x e >时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为(),e +∞.（2）()()2ln f x x F x a x x==-，定义域为()0,∞+，则()312ln x F x x -'=，可得当(x ∈时，()0F x '>，()F x 单调递增，当)x ∈+∞时，()0F x '<，()F x 单调递减，所以()F x在x =12F a e=-， 又210F e a e ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭， 所以()F x 在()0,e上有两个零点只需()0,0,F F e ⎧>⎪⎨<⎪⎩ 即210,210,a e a e ⎧->⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩解得2112a e e <<， 所以实数a 的取值范围为2112a e e<<. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了导数与函数零点的综合，同时考查了转化思想与计算能力，属于综合题. 21．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，且过点. （1）求椭圆M 的方程；（2）若A ，B 分别为椭圆M 的上，下顶点，过点B 且斜率为()0k k >的直线l 交椭圆M 于另一点N （异于椭圆的右顶点），交x 轴于点P ，直线AN 与直线x a =相交于点Q .求证：直线PQ 的斜率为定值.【答案】（1）22184x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）根据条件求出,a b ，即可写出椭圆方程；（2）设直线l 的方程为2y kx =-，联立直线与椭圆，可表示出,P N 坐标，继而得出直线AN的方程，令x =Q 的坐标，即可求出直线PQ 的斜率并得出定值.【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，则2c a =①， 22421a b+=②，又222a b c =+③， 由①②③解得28a =，24b =，24c =，所以椭圆M 的标准方程为22184x y +=. （2）证明：易得(0,2)A ，(0,2)B -，直线l 的方程为2y kx =-，因为直线l不过点0)，所以k ≠ 由22228y kx x y =-⎧⎨+=⎩，得()222180k x kx +-=， 所以2821N k x k =+，从而222842,2121k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，2,0P k ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 直线AN 的斜率为2224221218221k k k kk --+=-+，故直线AN 的方程为122y x k =-+.令x =2Q k ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，直线PQ的斜率222PQ k k k -+====. 所以直线PQ的斜率为定值2. 【点睛】本题考查椭圆的方程的求法，考查椭圆中的定值问题，属于中档题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为11x t y t=--⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：()6cos 0m m ρθ=>.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的极坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且6AB =，求实数m 的值.【答案】（1）C 的普通方程为()22239x m y m -+=，l 的极坐标方程为()3π4θρ=∈R ；（2）m =.【解析】（1）消去参数t 可得直线l 的普通方程，再化为极坐标方程；根据互化公式222x y ρ=+，cos x ρθ=，可将极坐标方程()6cos 0m m ρθ=>化为普通方程；（2）将直线l 的极坐标方程代入曲线C 的极坐标方程得：ρ=-，根据极坐标的几何意义解方程可得结果.【详解】（1）直线l 的参数方程为1,1x t y t=--⎧⎨=+⎩(t 为参数)，两式相加得0x y +=， 所以直线l 的极坐标方程为：()3π4θρ=∈R ， 由()6cos 0m m ρθ=>，得26cos m ρρθ=，因为222x y ρ=+，cos x ρθ=，所以曲线C 的普通方程为2260x mx y -+=，即()22239x m y m -+=. （2）由（1）知直线l 和曲线C 均过极点，将直线l 的极坐标方程代入曲线C 的极坐标方程得：36cos4m πρ==-，因为6AB =，所以||6-=，解得m =或m =.【点睛】本题考查了参数方程化极坐标方程，考查了极坐标方程化直角坐标方程，考查了极坐标的几何意义，属于中档题.23．设()1f x x a x a=++-(a ∈R ，且0a ≠). （1）当1a =时，解不等式()1f x x >+；（2）求证：()2f x ≥.【答案】（1）{1x x ≠且}x R ∈；（2）证明见解析.【解析】（1）分三类讨论去绝对值，解不等式组所得结果求并集可得解；（2）利用绝对值三角不等式以及基本不等式可证不等式成立.【详解】（1）当1a =时，不等式()1f x x >+等价于111x x x ++->+， 即1,310,x x ≤-⎧⎨-->⎩或11,10,x x -<<⎧⎨-<⎩或1,10,x x ≥⎧⎨->⎩ 即1x ≤-或11x -<<或1x >， 解得：{1x x ≠且}x ∈R .（2）证明：()()111||f x x a x x a x a a a a ⎛⎫=++-≥+--=+ ⎪⎝⎭. 1a a=+(因为a 与1a 同号)2≥=， 所以()2f x ≥.【点睛】本题考查了分类讨论法解绝对值不等式，考查了利用绝对值三角不等式和基本不等式证明不等式，属于中档题.。

2021届河南省百师联盟高三开学摸底大联考全国卷数学（文）试题Word版含答案2021届河南省百师联盟高三开学摸底大联考全国卷数学（文）试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

考试时间120分钟，满分150分。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数z 1＝2－2i ，z 2＝1＋i ，则12z z =A.2iB.－2iC.2－2iD.2＋2i 2.已知集合{31}A x x =-<≤，集合2{lg(2)}B x y x ==-，则AB =A.[2,1]-B.(2,1]-C.[3,2)-D.(3,2)-3.某商场开展转转盘抽奖活动，每抽奖一次转动一次转盘(转盘如图)，经测量可知一等奖，二等奖和三等奖所在扇形的圆心角分别为20°，50°和60°，则抽奖一次中奖的概率为A.1336B.1736C.1936D.59 4.已知实数x ，y 满足220y x y x ≤??+≥??≥?，则x －y 的最小值为A.0B.2C.－2D.15.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，F 1，F 2为其左右焦点，1222F F =，B 为短轴的一个端点，三角形BF 1O(O 为坐标原点)的面积为7，则椭圆的长轴长为A.4B.8C.1332+ D.133+ 6.函数212()log (68)f x x x =--+的单调递增区间为A.(4，＋∞)B.(－∞，2)C.(3，＋∞)D.(3，4)7.元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹一七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，第四节竹子的装米最为A.1升B.23升C.32升D.43升 8.如图，在梯形ABCD 中，BC ＝2AD ，DE ＝EC ，设,BA a BC b ==，则BE =A.1124a b +B.1536a b +C.2233a b +D.1324a b + 9.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为A.3B.2020C.3030D.101010.在一次考试后，为了分析成绩，从1、2、3班中抽取了3名同学(每班一人)，记这三名同学为A 、B 、C ，已知来自2班的同学比B 成绩低，A 与来自2班的同学成绩不同，C 的成绩比来自3班的同学高，由此判断，下来推断正确的为A.A 来自1班B.B 来自1班C.C 来自3班D.A 来自2班11.已知函数y ＝f(x －2)的图像关于直线x ＝2对称，在(0,)x ∈+∞时，f(x)单调递增。